ESTUDO NUMÉRICO DE CONVECÇÃO FORÇADA EM CAVIDADES COM PAREDES IRREGULARES

Andressa Araújo Abreu Departamento de Engenharia Mecânica e de Materiais Instituto Militar de Engenharia 22290-270 - Rio de Janeiro – RJ

Albino José Kalab Leiroz♦ Departamento de Engenharia Mecânica – EE/COPPE Universidade Federal do Rio de Janeiro 21945-970 – Rio de Janeiro - RJ Resumo: O presente trabalho apresentada a análise do comportamento temporal dos campos de velocidade e de temperatura no interior de cavidades quadradas com superfície superior deslizante e superior inferior irregular. As equações de conservação de massa, momentum e energia são inicialmente escritas em coordenadas cartesianas. Procedimentos de geração numérica de malhas são utilizados de forma a transformar o domínio físico irregular em um domínio computacional regular. As equações de conservação transformadas são discretizadas utilizando o Método de Diferenças Finitas via um esquema implícito. O sistema de equações algébricas resultante do processo de discretização é resolvido por um procedimento iterativo com controle de erro local. Os resultados mostram a influência da superfície irregular sobre o desenvolvimento dos campos das grandezas estudadas e indicam que o desenvolvimento de estruturas secundárias de escoamento dispare do observado em cavidades com superfícies inferiores planas. O desenvolvimento do campo de temperaturas também se mostra influenciado por estas alterações no campo de escoamento induzidas pela superfície irregular. Palavras-Chave: Escoamentos em Cavidades, Convecção Interna, Escoamento Secundário, Métodos Numéricos, Geração de Malha.

1. INTRODUÇÃO

O comportamento de movimento de fluidos em espaços confinados, bem como a

influência dos contornos sólidos, tem sido de grande interesse científico e de fundamental importância para avanços tecnológicos. O escoamento e a transferência de calor em cavidades fechadas fornecem informações profícuas em áreas diversas como a Meteorologia e a Astrofísica, assim como para o projeto de sistemas de energia solar, armazenamento e conservação de energia.

A separação em escoamentos é um antigo assunto de interesse dentro da literatura de Mecânica dos Fluidos. No século XV, Leonardo da Vinci em um estudo sobre hidráulica, observou e traçou os vórtices de recirculação formados no escoamento ao redor de objetos com configurações diversas (Burggraf, 1966). A partir de então, diferentes formulações e

♦ Autor ao qual a correspondência deve ser endereçada. e-mail: leiroz@ufrj.br

teorias têm sido propostas para solução das equações completas de Navier-Stokes. Entretanto, estudos termofluidodinâmicos em espaços confinados são ainda tópicos de interesse contemporâneo da pesquisa científica.

Inicialmente, estudos de convecção em cavidades ficaram restritos a geometrias regulares. Recentemente, o interesse foi expandido para geometrias não-regulares devido a grande influência dos fenômenos físicos presentes em distintas áreas técnicas. Na operação de coletores solares, a convecção natural deve ser minimizada de forma a aumentar a eficiência do coletor, através da diminuição da perda de energia para o meio exterior. Em sistemas térmicos de armazenamento com mudança de fase do material, efeitos convectivos afetam significativamente o processo de transferência de energia na interface sólido-liquido. Em sistemas de controle de incêndio, a convecção influi diretamente na propagação do fogo e da fumaça em ambientes confinados como salas e corredores (Kakaç, 1987). Além destas aplicações, o estudo de convecção em cavidades promove melhor entendimento no processo de circulação natural da atmosfera, da hidrosfera, e do centro de magma da Terra (Bejan, 1984).

No processo de resfriamento de equipamentos e dispositivos eletrônicos, o entendimento das possíveis formas de transferência de calor presentes é de fundamental importância para a determinação da confiabilidade de operação e da condição limite dos equipamentos. Os sistemas que compõe os dispositivos eletrônicos são tipicamente subdivididos em componentes internos e externos. Os mecanismos de transferência de calor predominantes são, para os componentes internos, condução através dos diferentes materiais e interfaces de separação entre o dispositivo e a superfície de suporte, e para os externos, convecção entre a superfície e o meio que envolve o componente (Incropera, 1988). Dependendo das dimensões e da freqüência dos circuitos eletrônicos, além de restrições de caráter não térmico, o meio que envolve o componente pode ser ar, água ou um fluido dielétrico. A transferência de calor entre este meio e as superfícies pode ocorrer por convecção natural, forçada ou mista. No caso de meio fluido, mudança de fase pode ainda ocorrer. Além dos mecanismos de transferência de calor deve-se destacar a geometria e as condições de operação dos equipamentos eletrônicos como características que influenciam no processo de dissipação de energia (Incropera, 1988).

Além do aspecto de interesse prático, escoamentos confinados em cavidades têm sido utilizados para o estudo de fenômenos físicos básicos. No interior de cavidades, diferentes estruturas de escoamento, tais como vórtices, escoamentos secundários e instabilidades hidrodinâmicas, podem ser observadas em geometrias relativamente simples. Esta característica dos escoamentos confinados em cavidades os tornam ainda apropriados para o teste de novas metodologias numéricas para simulação de escoamentos.

O presente trabalho visa analisar numericamente o comportamento hidrodinâmico e térmico em uma cavidade quadrada bidimensional que apresenta a superfície superior deslizante a uma velocidade constante e uma superfície inferior arbitrariamente irregular. Uma formulação em função corrente-vorticidade é utilizada para descrever o campo de escoamento. Inicialmente, o domínio físico de solução irregular será transformado em um domínio computacional regular através da utilização de técnicas de geração numérica de malhas. O Método de Diferenças Finitas é aplicado as equações transformadas e o sistema de equações algébricas resultante é resolvido por métodos iterativos com controle local do erro. 2. ANÁLISE

O esboço do domínio físico de solução é mostrado na Fig. 1, que também apresenta o sistema de coordenadas utilizado. As cavidades consideradas no presente trabalho possuem

parede superior deslizante e parede inferior irregular de acordo com uma função arbitrária f(x). A velocidade de deslocamento (U) da superfície superior é considerada constante.

As equações de conservação de massa, momentum e energia podem ser escritas a partir de hipóteses de propriedades termo-físicas constantes, efeitos de dissipação viscosa e de força de corpo desprezíveis, como

Figura 4.1a – Esboço do domínio físico e Coordenadas Cartesianas

0yu

xu

*

*y

*

*x =

∂

∂+

∂∂ (1)

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂∂

+∂∂

2*

*x

2

2*

*x

2

**

*y*

y*

*x*

x*

*x

y

u

x

uxP1

yu

uxuu

tu

νρ

(2)

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2*

*y

2

2*

*y

2

**

*y*

y*

*y*

x*

*y

y

u

x

uyP1

yu

uxu

utu

νρ

(3)

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

+∂∂

+∂∂

2*

2

2*

2

**y*

*x* y

TxT

yTu

xTu

tT α (4)

com as seguintes condições de contorno

Hx0,Hy;TT,0u,Uu **o

*y

*x ≤≤==== (5)

Hx0,)x(fy;TT,0u,0u ***f

*y

*x ≤≤==== (6)

Hy)x(f,0x;TT,0u,0u ***o

*y

*x <<==== (7)

Hy)x(f,Hx;TT,0u,0u ***o

*y

*x <<==== (8)

As condições iniciais são estabelecidas como

Hy)x(f,Hx0;TT,0u,0u ***o

*y

*x ≤≤≤≤=== (9)

que correspondem a condições de fluido estagnado e isotérmico, respectivamente.

Inicialmente, as Eqs. 1-9 são escritas em forma adimensional utilizando as seguintes

variáveis:

Uu

u,Uuu,

Hyy,

Hxx

*y

y

*x

x

**

==== (10)

of

o2

**

TTTT,

UPP,

HUtt

−−

=== θρ

(11)

onde a altura da cavidade H e a velocidade da superfície superior U são utilizados como comprimento característico e velocidade característica, respectivamente. A temperatura adimensional θ é definida em termos da temperatura inicial do fluido To e da temperatura do fundo Tf.

As equações de conservação de massa, momentum e energia podem ser escritas em forma adimensional como

0y

ux

u yx =∂

∂+

∂∂ (12)

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=∂∂

+∂∂

+∂∂

2x

2

2x

2x

yx

xx

yu

xu

Re1

xP

yuu

xuu

tu (13)

∂

∂+

∂

∂+

∂∂

−=∂

∂+

∂

∂+

∂

∂2y

2

2y

2y

yy

xy

yu

xu

Re1

yP

yu

ux

uu

tu (14)

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yx yxPrRe1

yu

xu

tθθθθθ (15)

Com as seguintes condições de contorno

1x0,1y;0,0u,1u yx ≤≤==== θ (16)1x0,)x(fy;1,0u,0u yx ≤≤==== θ (17)

1y)x(f,0x;0,0u,0u yx <<==== θ (18)1y)x(f,1x;0,0u,0u yx <<==== θ (19)

e condições iniciais

1y)x(f,1x0;0,0u,0u yx ≤≤≤≤=== θ (20)

De acordo com as variáveis adimensionais descritas nas Eqs.10 e 11, os números de Reynolds (Re) e de Prandtl (Pr) são definidos como

αν

ν== PrUHRe (21)

onde ν é a viscosidade cinemática e α a difusividade térmica.

Com o intuito de desacoplar os campos de pressão do cálculo das componentes do vetor velocidade, as Eqs. 13-14, que descrevem o campo de velocidades, são escritas na formulação de função corrente-vorticidade. Além de desacoplar o campo de pressão, a utilização dessa formulação reduz o número de equações a serem resolvidas simultaneamente uma vez que a definição de função corrente (ψ)satisfaz identicamente a Equação da Continuidade (Eq.12). A definição de vorticidade (ω) pode ser escrita em coordenadas cartesianas como

yu

xu xy

∂∂

−∂

∂=ω (22)

As componentes de velocidades são escritas em termos da função corrente

xu;

yu yx ∂

∂−=

∂∂

=ψψ (23)

e substituindo essas definições na Eq.22 temos

2

2

2

2

yx ∂∂

+∂∂

=−ψψω (24)

que se constitui na Equação de Poisson que relaciona vorticidade e função corrente.

Operando a Eq.13 com ( e a Eq.14 com ()y/ ∂∂ )x/ ∂∂ , e subtraindo as equações resultantes, obtém-se, após utilizarmos a definição de vorticidade, a Equação de Transporte de vorticidade expressa por

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

2

yx yxRe1

yu

xu

tωωωωω (25)

As condições de contorno para função corrente são expressas por

1x0,1y;0 ≤≤==ψ (26)

1x0,)x(fy;0 ≤≤==ψ (27)1y)x(f,0x;0 <<==ψ (28)1y)x(f,1x;0 <<==ψ (29)

Deve ser ressaltado que os valores de vorticidade nos contornos da cavidade são

desconhecidos. Desta forma, os valores de vorticidade ao longo das superfícies sólidas da cavidade são determinados através de um esquema iterativo de solução.

As condições iniciais para o campo de velocidades em termos de vorticidade e da função corrente são escritas como

1y)x(f,1x0;0,0 ≤≤≤≤== ωψ (30) 3. ASPECTOS NUMÉRICOS

Inicialmente, o sistema de equações diferenciais parciais expresso pelas Eqs.15, 24 e 26 e as condições de contorno correspondentes são rescritas em termos de variáveis independentes

ξ e η em um domínio computacional. A substituição das variáveis independentes do domínio físico pelas variáveis independentes do domínio computacional é realizada através das métricas diretas da transformação, obtidas a partir do procedimento de geração numérica de malha descrito detalhadamente em Abreu & Leiroz, 2001. As equações de Transporte da vorticidade, de Poisson para a função corrente e de Energia, além das definições das componentes do vetor velocidade e das condições de contorno, são rescritas em termos das coordenadas transformadas ξ e η na forma

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+

∂∂∂

++∂∂

+

+

∂∂

++∂∂

++∂∂

=

=

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

yyxx

2

yyxx

2y

2x2

22y

2x2

2

yyxx

yyxx

22

Re1

vut

ηξηξηξωηη

ηω

ηηηωξξ

ξωξξ

ξω

ηωη

ξωξ

ηωη

ξωξω

(31)

( ) ( ) ( )

( ) ( )yyxx

2

yyxx

2y

2x2

22y

2x2

2

yyxx

22 ηξηξηξψηη

ηψ

ηηηψξξ

ξψξξ

ξψω

+∂∂

∂++

∂∂

+

+∂∂

++∂∂

++∂∂

=− (32)

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+

∂∂∂

++∂∂

+

+

∂∂

++∂∂

++∂∂

=

=

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

+∂∂

yyxx

2

yyxx

2y

2x2

22y

2x2

2

yyxx

yyxx

22

PrRe1

vut

ηξηξηξθηη

ηθ

ηηηθξξ

ξθξξ

ξθ

ηθη

ξθξ

ηθη

ξθξθ

(33)

ηψη

ξψξ

∂∂

+∂∂

= yyxu (34)

ηψη

ξψξ

∂∂

−∂∂

−= xxyu (35)

10,0;0 ≤≤== ξηψ (36)

10,1;0 ≤≤== ξηψ (37)

10,0;0 <<== ηξψ (38)

10,1;0 <<== ηξψ (39)

e são discretizadas utilizando o Método das Diferenças Finitas. Os valores da vorticidade nos contornos sólidos são obtidos por técnicas iterativas de solução (Anderson et al, 1984).

O esquema BTCS (Backward in Time Centered in Space) foi inicialmente implementado para o cálculo dos campos de velocidade e de temperatura. O fato de ser este um esquema implícito, consistente e incondicionalmente estável justifica a sua escolha. Devido a elevada esparsidade da matriz dos coeficientes, o sistema de equações algébricas resultantes do processo de discretização foi resolvido pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com sub-relaxação e controle local de erro.

4. RESULTADOS

Os resultados obtidos a partir das simulações numéricas realizadas serão apresentados

com o objetivo de avaliar o comportamento dos campos de velocidade e temperatura sob determinadas condições, além da influência da superfície irregular nestes perfis. Diferentes valores para Re e Pr foram utilizados de maneira a analisar o comportamento dos perfis das quantidades de interesse diante destes parâmetros. As simulações numéricas foram realizadas utilizando uma tolerância de 10-4 nos processo iterativo e passo no tempo de 10-3. Resultados foram obtidos até que os campos de velocidade e de temperatura estivessem plenamente desenvolvidos dentro de uma tolerância de 10-3.

O código numérico desenvolvido foi inicialmente validado considerando o caso limite de e superfícies da cavidade regulares, que corresponde ao caso onde f(x) = 0. Sob estas

condições, resultados analíticos para o campo de temperaturas foram obtidos. Simulações numéricas foram realizadas utilizando uma malha de 81 pontos em cada direção. Os parâmetros de sub-relaxação e as tolerâncias dos procedimentos iterativos adotados foram, respectivamente; 0,8 e 10

0Re →

-4 para iterações da vorticidade, função corrente e temperatura nos pontos internos da cavidade, 0,6 e 10-3 para vorticidade nos contornos. Os resultados numéricos apresentaram um desvio máximo inferior a 10-2 em relação aos obtidos analiticamente. O esforço computacional para estas as simulações numéricas foi da ordem de 40 horas. Um computador com processador Pentium III de 500 MHz foi utilizado.

Resultados para Pr = 1, ( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= e Re = 100 e Re = 1000 em regime permanente, são respectivamente apresentados nas Figs. 2 e 3, ilustrados através da função corrente e isotermas. O campo de velocidade para Re = 100 apresenta um deslocamento do vórtice principal na direção do movimento da tampa, quando comparado aos

(a) (b)

Figura 2 – Função corrente (a) e Temperatura (b), em Regime Permanente, para Re = 100, Pr = 1 e ( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= .

resultados de Re = 1. Este comportamento semelhante ao observado em cavidades de superfície inferior plana ocorre devido ao aumento aumento da tensão cisalhante na região próxima a superfície deslizante associado a um Re superior. Analisando o campo de escoamento para Re=1000 (Fig. 3a) pode ser observado que, apesar da maior tensão cisalhante próxima a tampa, o vórtice principal sofre um deslocamento para região central da cavidade. Este deslocamento do vórtice principal é consequencia da interação entre este e os vórtices secundários, localizados nos cantos inferiores da cavidade, cuja intensidade e zona de influência se apresentam mais significativas quando comparadas a estrutura de escoamento observada para mesma função f(x) e menores valores de Reynolds, conforme mostram as Figs.2 e 3.

Nos campos de temperatura ilustrados nas Figs.2 e 3 são observados maiores efeitos convectivos, a medida em que o escoamento é intensificado. As isotermas se apresentam simétricas em relação a coordenada transversal para , caracterizando um mecanismo de transferência de calor predominantemente difusivo.

0Re →

(a) (b) Figura 3 – Função corrente (a) e Temperatura (b), em Regime Permanente, para

Re = 1000, Pr = 1 e ( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= . Da análise das Figs. 4 e 5, que mostram os campos de velocidades e de temperaturas para

Pr = 10, ( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= e Re = 100 e Re = 1000, em regime permanente, pode ser observada a semelhança entre os perfis de velocidade apresentados nas Figs. 2 e 3. Dentro do escopo do presente trabalho, esta semelhança é decorrente do desacoplamento entre o campo de velocidades e o de temperaturas. Efeitos de variação da massa específica com a temperatura estão sendo atualmente estudados. Para os perfis de temperatura, devem ser ressaltados os efeitos convectivos mais significativos para Pr = 10, decorrentes das camadas limites térmicas mais esbeltas que se desenvolvem. Esses efeitos podem ser inclusive observados, mesmo para condições fortemente difusivas, através da ausência de simetria apresentada pelos resultados para Re = 1 e Pr = 1 (Abreu, 2001), e pelo desenvolvimento mais pronunciado das isotermas na região próxima a superfície esquerda, onde incide o fluxo ascendente de massa promovido pelo movimento da tampa.

Alguns aspectos devem ser ressaltados nos resultados obtidos para o caso de Re = 1000 e Pr = 10, que são apresentados na Fig. 5 e para o qual são observados os efeitos convectivos mais intensos dentre os casos estudados. Para o caso de Re = 1000 e Pr = 10, observou-se a presença de temperaturas elevadas associadas a região de recirculação relacionada ao fluxo de

massa descendente. Vale ainda ressaltar que o processo de transferência de calor nas regiões de recirculação apresenta um forte caráter difusivo. Ao contrário dos resultados apresentados para Re=100 e Pr=10 (Fig. 4.2), o aumento de Reynolds, que eleva os efeitos convectivos, provoca um aquecimento localizado na região de recirculação, o que dificulta o resfriamento do local.

(a) (b) Figura 4– Função corrente (a) e Temperatura (b), em Regime Permanente, para Re = 100, Pr = 10 e

( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= .

(a) (b) Figura 5 – Função corrente (a) e Temperatura (b), em Regime Permanente, para

Re = 1000, Pr = 10 e ( )[ ]x6sen0.105.0)x(f π+×= . 5 CONCLUSÕES

O desenvolvimento dos campos de velocidade e temperatura foi analisado numericamente em uma cavidade de parede inferior irregular e superfície superior deslizante O modelo numérico desenvolvido considera propriedades físicas constantes, além de forças de corpo e a dissipação viscosa desprezíveis. As equações de movimento são escritas em formulação de vorticidade-função corrente. O procedimento numérico de solução mostrou-se sensível aos parâmetros de sub-relaxação. Os resultados mostram a influência da parede irregular no campo de escoamento restrita a região meridional da cavidade. Para Re = 100 e 1000, o campo de temperatura se mostra influenciado tanto pela parede irregular como por

efeitos convectivos. Além disto, os resultados mostram que a influência da parede irregular é pouco significativa na região superior da cavidade.

A presença dos vórtices secundários desenvolvidos na região inferior da cavidade influencia no comportamento das linhas de corrente principais e no comportamento dos perfis de temperatura. As recirculações geradas por esses vórtices impedem a incidência dos efeitos convectivos provocando uma concentração local de elevadas temperaturas com processo de transferência de calor basicamente difusivo. Agradecimentos Os autores gostariam de agradecer o suporto financeiro proporcionado pelo CNPq (Processo No. 520315/98-7). Recursos computacionais foram disponibilizados pelo Laboratório de Aerodinâmica e Termociências do Instituto Militar de Engenharia. BIBLIOGRAFIA Abreu, A.A., 2001, Estudo de Convecção Mista em Cavidades de Parede Irregular,

Dissertação de Mestrado, Instituto Militar de Engenharia, Rio de Janeiro Abreu, A.A. e Leiroz, A.J.K., 2001, Geração Numérica de Malha para Análise de Cavidades

com Parede Irregular, Anais do Congresso Brasileiro de Engenharia Mecânicao, Uberlândia.

Anderson, D.A., Pletcher, R.H. e Tannehill, J.C, 1984, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, Hemisphere.

Bejan, A., 1984, Convective Heat Transfer, McGraw-Hill. Burggraf, O.R., 1966, Analytical and Numerical Studies of the Structure of Steady Separated

Flows, Journal of Fluid Mechanics, v.24, pp. 113-151. Incropera, F.P., 1988, Convection Heat Transfer in Eletronic Equipament Cooling, Jounal of

Heat Transfer, v.110, pp. 1097-1111. Kakaç, S., 1987, Handbook of Single Phase Convective Heat Transfer, John Wiley.

NUMERICAL STUDY OF FORCED CONVECTION INSIDE CAVITIES WITH AN IRREGULAR WALL

Abstract: A numerical study of the transient heat transfer process by forced convection within a square driven-lid cavity with an irregular wall is discussed in the present work. The velocity field behavior is also analyzed in order to evaluate the basic physical phenomena associated with the mixed convection o phenomena and with the influence of the irregular surface. The momentum and energy governing equation are discretized using the Finite-Difference Method. A vorticity-stream function formulation is employed for the flow field analysis. The resulting system of algebraic equations is by an iterative method with local error control. The irregular physical solution domain is transformed into a regular computational domain using an elliptic numerical grid generation technique, allowing the clustering of points where high gradients in the solution profiles are expected and the control of grid line angles near the domain solid boundaries. Results show the development of recirculation zones within the flow field and temperatures profiles influenced by the irregular surface. Results are obtained for different values of Reynolds and Prandtl and the influence of these parameters on the velocity and temperature evolutions are also presented. Keywords: Cavity Flows, Internal Convection, Secundary Flows, Numerical Methods, Grid Generation.