estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um guindaste

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ

ESTUDO DO COMPORTAMENTO CINEMÁTICO E DINÂMICO DE

UM GUINDASTE COMERCIAL COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE

Marcelo Torres dos Santos

Projeto de Graduação apresentado ao curso de Engenharia

Mecânica da Escola Politécnica, Universidade Federal do

Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à

obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Max Suell Dutra

Rio de Janeiro

Agosto de 2014

ii

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Departamento de Engenharia Mecânica

DEM/POLI/UFRJ

ESTUDO DO COMPORTAMENTO CINEMÁTICO E DINÂMICO DE UM

GUINDASTE COMERCIAL COM TRÊS GRAUS DE LIBERDADE


PROJETO FINAL SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO DEPARTAMENTO

DE ENGENHARIA MECÂNICA DA ESCOLA POLITÉCNICA DA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE

ENGENHEIRO MECÂNICO.

Aprovado por:

________________________________________________

Prof. Max Suell Dutra, Dr.-Ing.

________________________________________________

Prof. Fernando Augusto de Noronha Castro Pinto, Dr.-Ing.

________________________________________________

Prof. Fábio Luiz Zamberlan, D.Sc.

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

AGOSTO DE 2014

iii

SANTOS, Marcelo Torres dos

Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um

guindaste comercial com três graus de liberdade/ Marcelo

Torres dos Santos. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica,

2014

79 p.: il.; 29,7 cm.


Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de

Engenharia Mecânica, 2014.

Referências Bibliográficas: p.67.

1.Guindaste 2.Cinemática 3.Dinâmica 4.Mecanismo

antropomórfico 5.Torque.

I. Dutra, Max Suell. II. Universidade Federal do Rio de

Janeiro, Escola Politécnica, Curso de Engenharia Mecânica. III.

Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um

guindaste comercial com três graus de liberdade.

iv

Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/ UFRJ como parte

dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um guindaste comercial com três

graus de liberdade


Março/2014


Curso: Engenharia Mecânica

Operações envolvendo transferência de carga sempre estiveram massivamente presentes

na indústria. Estas viabilizam operações básicas em ramos como civil, offshore e

portuário, nos quais são realizados diversos içamentos por dia. Neste âmbito, o uso de

guindastes possibilita o levantamento de cargas cada vez mais pesadas, e o

dimensionamento preciso de sua estrutura e de seus equipamentos motrizes é

fundamental para garantir sua operação confiável e segura. Para isso, é necessário o

entendimento do funcionamento dinâmico do sistema. Este trabalho compreendeu uma

análise cinemática e dinâmica de um mecanismo antropomórfico com três juntas de

rotação que representa um guindaste comercial offshore. Assim, pôde-se dimensioná-lo

através da obtenção dos torques atuantes em cada uma de suas juntas. Foi explorada a

influência da trajetória da carga nos torques calculados.

Palavras-chave: Guindaste, cinemática, dinâmica, mecanismo antropomórfico, torques.

v

Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of

the requirements for the degree of Mechanical Engineer.

Study of the kinematics and dynamic behavior of a comercial crane with three degrees

of freedom


August/2014

Advisor: Max Suell Dutra

Course: Mechanical Engineering

Operations involving cargo handling have always been massively present in the

industry. These are crucial for the feasibility of basic operations in branches like civil

engineering, offshore and harbor activities, in which are performed several liftings a

day. In this context, the use of cranes enables the lifting of heavier loads, and the precise

dimensioning of its structure and driving equipments is paramont to assure its safe and

reliable operation. For that, it is necessary to understand the dynamic functioning of the

system. This work comprehended a cinematic and dinamic analysis of an

antropomorphic mechanism containing three rotational joints that represents a comercial

offshore crane. Thereby, it was possible to dimension the crane through the obtention of

acting torques in each one of its joints. The influence of the load's trajectory was

considered on the torque's calculation.

Keywords: Crane, kinematics, dynamic, antropomorphic mechanism, torque.

vi

Sumário

1. Introdução .................................................................................................................1

2. Estado da Técnica ....................................................................................................2

2.1. Transferência de carga .................................................................................................. 2

2.1.1. Onshore ................................................................................................................. 2

2.1.2. Offshore ................................................................................................................. 2

2.2. Tipos de dispositivos de transferência de carga ............................................................ 3

2.2.1. Guindaste ............................................................................................................... 3

2.3. Tipos de guindastes ....................................................................................................... 6

2.3.1. Ponte Rolante ........................................................................................................ 6

2.3.2. Grua ....................................................................................................................... 7

2.3.3. Level Luffing .......................................................................................................... 8

2.3.4. Guindastes Móveis ................................................................................................ 8

2.3.5. Guindaste Telescópico .......................................................................................... 9

2.3.6. Guindaste Articulado Antropomórfico ................................................................ 10

2.4. Tipos de acionamento.................................................................................................. 10

2.4.1. Hidráulico ............................................................................................................ 10

2.4.2. Elétrico ................................................................................................................ 11

2.4.3. Pneumático .......................................................................................................... 11

3. Modelagem ..............................................................................................................12

3.1. Cinemática ................................................................................................................... 12

3.1.1. Cinemática direta ................................................................................................. 13

3.1.1.1. Sistema de coordenadas e referenciais ............................................................ 13

3.1.1.2. Matrizes de rotação ......................................................................................... 14

3.1.1.3. Matriz de transformação homogênea .............................................................. 14

3.1.1.4. Equações cinemáticas ...................................................................................... 15

3.1.2. Cinemática inversa .............................................................................................. 16

3.1.3. Espaço de trabalho .............................................................................................. 19

3.2. Dinâmica ..................................................................................................................... 19

3.2.1. Movimento dos elos de um manipulador ............................................................ 19

3.2.2. Velocidade angular entre elos ............................................................................. 19

3.2.3. Matriz Jacobiana ................................................................................................. 21

3.2.4. Aceleração angular .............................................................................................. 22

vii

3.3. Dinâmica de manipuladores ........................................................................................ 25

3.3.1. Distribuição de massa .......................................................................................... 25

3.3.2. Energia cinética ................................................................................................... 26

3.3.3. Energia potencial ................................................................................................. 27

3.3.4. Equações de movimento, método de Lagrange ................................................... 28

4. Resultados ...............................................................................................................29

4.1. Propriedades dos elos do mecanismo .......................................................................... 30

4.1.1. Propriedades do elo 1 .......................................................................................... 30




4.2. Restrições e considerações .......................................................................................... 34

4.3. Resultados - Cinemática direta .................................................................................... 35

4.3.1. Espaço de trabalho .............................................................................................. 37

4.3.2. Cinemática direta - Exemplo 1 ............................................................................ 38





4.4. Resultados - Cinemática inversa e dinâmica ............................................................... 44

4.4.1. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 1 ....................................................... 45





4.5. Simulação de esforços ................................................................................................. 62

4.5.1. Simulação do elo 1: ............................................................................................. 62

4.5.2. Simulação do elo 2: ............................................................................................. 63

4.5.3. Simulação do elo 3: ............................................................................................. 64

5. Conclusões ...............................................................................................................65

5.1. Trabalhos futuros......................................................................................................... 66

Referências bibliográficas .............................................................................................67

ANEXO A .......................................................................................................................68

Rotinas desenvolvidas no MATLAB®: ................................................................................... 68

1

1. Introdução

Os primeiros resquícios de atividades comerciais são tão antigos que não é

possível precisar uma data de quando começaram. Sabe-se, tão somente, que o comércio

se iniciou com a troca de bens de consumo. Desde essa época, os animais foram

utilizados com a finalidade de transportar tais mercadorias. Com o passar dos séculos,

as atividades comerciais aliadas ao desenvolvimento tecnológico foram se aprimorando

e utilizando como alicerces os principais meios de transporte de sua geração, buscando

sempre a maior capacidade de carga ao menor custo.

No que tange ao tema ora estudado, ressalte-se que os meios de transporte

marítimos destacaram-se em meados do século XV, por possibilitar o alcance de terras

distantes e daquelas cercadas por mar, bem como por evitar a transposição de terrenos

adversos.

A evolução tecnológica levou a humanidade à era da globalização, que, por sua

vez, foi responsável por constantes mudanças no cenário do comércio mundial e

acirradas concorrências entre potências comerciais. Diante disto, surgiu a enorme

necessidade de se oferecer um serviço mais rápido, menos custoso e mais seguro, não

apenas durante todo o trajeto da mercadoria, como também em todas as etapas do

translado, incluindo os processos de carga e descarga.

Certas operações são executadas sob grande pressão e condições climáticas

críticas, que influenciam diretamente no que diz respeito à segurança durante a

transferência de carga, principalmente pelos ventos e marés.

As transferências de carga offshore se enquadram em ambos quesitos descritos

acima, classificando-as como operações de alto risco. De forma mais técnica, cada uma

das embarcações envolvidas no procedimento possui um referencial móvel diferente, o

que acaba tornando uma tarefa difícil de se efetuar. Existe uma tendência de se

automatizar tal procedimento ao máximo objetivando a anulação de falhas humanas e a

atenuação de risco de acidentes. Para isso, se faz necessária a total compreensão sobre o

funcionamento do sistema. Atualmente, os manipuladores de elevação e transferência de

carga possuem tecnologia de ponta e estão em constante aperfeiçoamento.

O objetivo deste trabalho é estudar o comportamento e os esforços em um

guindaste articulado utilizado em operações offshore durante a atividade de

transferência de carga.

2

2. Estado da Técnica

2.1. Transferência de carga

Consiste no deslocamento de uma carga de um local para outro por meio de um

dispositivo, que geralmente é mecânico. Transferências de carga podem ser onshore ou

offshore.

2.1.1. Onshore

Ocorre quando o procedimento de transferência de carga é realizado em terra.

Por ser menos complexo e oferecer menos riscos que a offshore, costuma apresentar

custos mais baixos.

2.1.2. Offshore

Trata-se de uma transferência de carga realizada em mar aberto. Outrossim, ao

contrário da operação onshore, consiste em uma atividade de alta complexidade e

elevados riscos de acidentes, tendo em vista que os referenciais de ambas as

embarcações envolvidas no procedimento são diferentes.

3

2.2. Tipos de dispositivos de transferência de carga

Dispositivos de transferência de carga são mecanismos utilizados para

transportar um determinado carregamento de um local para outro.

Alguns dispositivos de transferência de carga são:

Elevador: sistema de transporte de pessoas ou cargas, vertical, baseado em

um sistema de roldanas;

Guincho: dispositivo usado para rebocar ou erguer cargas, tracionando um

cabo de aço através do mecanismo de sarilho;

Empilhadeira: equipamento usando para manobra de cargas em paletes de

madeira, seja em pátio aberto ou fechado. É classificada através de classes

de propulsão, carga e alcance;

Esteira transportadora: muito utilizada na mineração, consiste em uma

superfície, que desliza sobre polias e na qual a carga transportada é

depositada;

Guindaste: mecanismo utilizado para elevação e movimentação de carga,

principalmente em parques industriais. Como é o tema deste trabalho, será

abordado mais profundamente a seguir.

2.2.1. Guindaste

Indícios revelam que os primeiros sistemas de elevação de cargas surgiram no

Egito antigo, como por exemplo, a elevação de blocos pesados de pedra na confecção de

pirâmides. Contudo, as mais antigas documentações encontradas até hoje sobre o

assunto pertencem aos arquitetos romanos Marcos Vitrúvio Polião (século I a.C.) e

Héron de Alexandria (século I d.C.).

Cabe destacar que a introdução do uso da alavanca e da polia logo levou à

substituição das rampas, que até então eram as responsáveis por toda movimentação

vertical de cargas mais pesadas.

Os guindastes romanos apresentavam sérias limitações, pois apesar de

possibilitar o içamento vertical da carga, o ângulo de giro era muito pequeno e tal carga

só poderia ser erguida até a altura das estacas. Outro revés ficava por conta da baixa

4

mobilidade do equipamento, que forçava o uso de inúmeros guindastes ou montagens e

desmontagens excessivas do mesmo.

Figura 1 - Guindaste Greco-Romano

(Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Pentaspastos_scheme.svg>)

Na Alta Idade Média, guindastes portuários foram introduzidos para manobras

de carga e construções de embarcações (alguns eram construídos sobre torres de pedra

para aumentar a estabilidade e capacidade extra). O guindaste medieval era constituído

por uma ou duas grandes esteiras de madeira que giravam em torno de um eixo central,

com uma largura suficiente para ser acionada por dois trabalhadores caminhando lado a

lado. Essa força humana era responsável pelo giro do guincho que realizava a elevação

da carga por meio de uma lança com polias em sua extremidade.

5

Figura 2 - Guindaste Medieval (Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Tretkran_(Bruegel).jpg>)

Durante o final da Idade Média, guindastes de torre foram projetados por

Leonardo Da Vinci. Estes talvez tenham sido os primeiros guindastes móveis

construídos.

Os primeiros guindastes foram feitos de madeira, porém, com a Revolução

Industrial, passaram a ser produzidos com ferro fundido e aço. A força humana, que

antigamente era utilizada para o funcionamento da máquina, permaneceu insubstituível

até o advento das máquinas a vapor.

Até os dias de hoje, devido às constantes evoluções tecnológicas e grande

variedade de operações e finalidades, como por exemplo, construção civil, resgates,

escavações, transporte, manobras portuárias e offshore, existe no mercado uma vasta

gama de marcas e modelos de guindastes.

Os seguintes fatores devem ser considerados quando se deseja projetar um

guindaste: capacidade de carga (resistência mecânica); número de graus de liberdade

(rotacionais e translacionais); local e condições de operação (terreno, ventos, flutuação

etc.). Existe grande risco de falha, caso não haja a devida preocupação com relação a

todos esses quesitos.

6

Figura 3 - Falha em guindaste, Porto do Caju

(Fonte:<http://en.wikipedia.org/wiki/File:Shipyard_Ishibras_Ishikawajima_Sermetal.JPG>)

Os acionamentos dos braços, lanças, bases e ferramentas (talhas, ganchos, pás,

garras etc.) são realizados, geralmente, das seguintes formas: sistemas hidráulicos,

pneumáticos ou elétricos, dependendo do tipo de guindaste, carga e graus de liberdade.

2.3. Tipos de guindastes

A seguir são apresentados os tipos de guindastes mais difundidos atualmente na

indústria:

2.3.1. Ponte Rolante

Consiste em um sistema de vigas bi-apoiadas em suas extremidades que suporta

um guincho que pode se movimentar ao longo dessas vigas. A viga também pode se

movimentar se estiver apoiada sobre trilhos. A elevação da carga é feita por cabos de

aço e acionada através de motores elétricos.

7

Figura 4 - Ponte Rolante (Fonte:<http://www.classiwebgratis.com.br/image/42193.jpg>)

Número de graus de liberdade: duas ou três translações.

Principais aplicações: transporte de contêineres dentro de galpões ou pátios

industriais.

Acionamento: elétrico.

2.3.2. Grua

Muito utilizada na construção civil, a grua é constituída de uma base ou mastro,

uma unidade giratória posicionada no topo desse mastro, e uma lança, sendo que

suporta a carga em sua extremidade maior e o contrapeso em sua extremidade menor.

Figura 5 - Guindaste de Torre

(Fonte:<http://www.mundofisico.joinville.udesc.br/imagem.php?idImagem=271>)

Número de graus de liberdade: uma rotação e duas translações.

8

Principais aplicações: construção civil.

Acionamento: elétrico.

2.3.3. Level Luffing

Por sua grande versatilidade, capacidade de carga e espaço de trabalho, Level

Luffing é o sistema de elevação de carga mais utilizado industrialmente. Seu mecanismo

possibilita alcançar regiões afastadas de sua base.

Figura 6 – Level Luffing (Fonte:<http://www.shi.co.jp/shi-mh/english/product/jibcrane.html>)

Número de graus de liberdade: três rotações e uma translação.

Principais aplicações: construção naval, mineração e manobras portuárias.

Acionamento: hidráulico e elétrico.

2.3.4. Guindastes Móveis

São guindastes equipados em veículos de diversos tipos, como tratores,

caminhões, navios e balsas. Podem se locomover em áreas urbanas, fora-de-estrada ou

no mar. Têm a vantagem de não ser necessário montar uma estrutura fixa no local de

operação, podendo ser utilizado em diversos locais diferentes durante sua vida útil.

9

Figura 7 – Balsa grua

(Fonte:<http://img.diytrade.com/cdimg/1720677/24681283/0/1329464459/sheerleg_floating_crane_b

arge_for_sale_rent.jpg>)

2.3.5. Guindaste Telescópico

Muito utilizado em pequenas e médias embarcações, esse manipulador é

geralmente empregado em manobras de apoio offshore. Possui uma lança telescópica

que permite ampliar seu espaço de trabalho.

Figura 8 - Guindaste Telescópico (Fonte:<http://ebe-

cms.s3.amazonaws.com/energiahoje/photo_static/300x176/2013/09/25/palfinger.jpg>)

Número de graus de liberdade: duas rotações e duas translações.

Principais aplicações: trabalhos de resgate, carregamento de navios e

plataformas.


10

2.3.6. Guindaste Articulado Antropomórfico

Também utilizado em operações offshore, é um guindaste com maior

versatilidade que o guindaste telescópico, e possui diversos tamanhos de acordo com

sua aplicabilidade e tipo de carga. Sua geometria permite um amplo espaço de trabalho.

Figura 9 - Guindaste Articulado

(Fonte:<http://www.maritimejournal.com/__data/assets/image/0006/789783/MJJan13DELG-

Palfinger.jpg>)

Número de graus de liberdade: três rotações e uma translação.

Principais aplicações: carregamento offshore e escavadeiras.


2.4. Tipos de acionamento

Os acionadores dos mecanismos de elevação determinam o desempenho

dinâmico do sistema, ou seja, as velocidades e forças presentes. Esses atuadores podem

ser divididos da seguinte forma:

2.4.1. Hidráulico

É dominantemente utilizado em máquinas de grande porte onde altas

velocidades e forças são requeridas. Infelizmente, possui elevados custos devido a

elementos de controle e pressurização do fluido, e fabricação (necessidade de

11

tolerâncias dimensionais apertadas). Além disso, pode apresentar sérios problemas de

vazamento de fluidos e desgaste nos motores hidráulicos.

2.4.2. Elétrico

É dispositivo que proporciona velocidades e forças menores quando comparado

com o acionamento hidráulico, entretanto apresenta altíssima precisão e desempenho

quando solicitado repetidamente. É equipado com motores de passo ou servo-motores e

possui grande aplicabilidade em serviços de montagem.

2.4.3. Pneumático

Utilizado em sistemas com poucos graus de liberdade, esse dispositivo oferece

altas velocidades e baixas forças para o manipulador. É também muito utilizado em

tarefas simples com apenas duas posições bem definidas, que são chamadas de

operações “pega-e-põe”. É acionamento atrelado a baixos custo e precisão de operação.

Seu fluido de operação é o ar que é facilmente comprimido.

12

3. Modelagem

Este capítulo abrange toda a teoria necessária para a compreensão do problema

abordado no capítulo seguinte. Com tal finalidade, será utilizado um mecanismo

antropomórfico com três graus de liberdade que representa a estrutura rígida de um

guindaste articulado afim de simplificar e exemplificar os resultados simbólicos. O

atrito nas juntas, assim como os intempéries, serão considerados desprezíveis em todos

os casos.

Figura 10 - Vista isométrica do mecanismo

O objetivo desta parte é apresentar as modelagens cinemáticas e dinâmicas

presentes em todos dispositivos manipuladores de carga.

3.1. Cinemática

Cinemática é o campo da mecânica responsável por descrever o movimento dos

corpos sem correlacioná-los com suas causas. As posições, velocidades e acelerações,

sejam lineares ou angulares são descritas a partir da geometria do sistema.

13

3.1.1. Cinemática direta

A cinemática direta é responsável pela determinação da posição de um ponto em

um corpo a partir de parâmetros de entrada como ângulos e comprimentos.

3.1.1.1. Sistema de coordenadas e referenciais

Para descrever o movimento de uma partícula é necessário que se defina um

sistema de referência, no qual os vetores de posição, velocidade e aceleração, bem como

os de força possam ser representados [1]. Toda a representação matemática dos

movimentos é, então, baseada em vetores unitários e este sistema de referência ou base

vetorial com origem predefinida pode ser inercial ou móvel.

Com o intuito de facilitar a representação de movimentos mais complexos, são

utilizados sistemas móveis de referência que somados compõem o movimento absoluto.

Figura 11 - Esquema simplificado com localização dos sistemas de referência

14

3.1.1.2. Matrizes de rotação

As rotações de uma base móvel em relação à base inercial, respeitando a regra

da mão direita, apresentam as seguintes matrizes de rotação:

Rotação positiva em torno do eixo x:

1 0 0

0 cos sin

0 sin cos

xR

(3-1)

Rotação positiva em torno do eixo y:

cos 0 sin

0 1 0

sin 0 cos

yR

(3-2)

Rotação positiva em torno do eixo z:

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

zR

(3-3)

3.1.1.3. Matriz de transformação homogênea

A matriz de transformação de coordenadas é uma matriz dependente do tempo e

é responsável por transformar a representação de um vetor descrito em um dado sistema

em um outro sistema.

O operador n

mT , denominado matriz de transformação homogênea, é uma matriz

4x4 que contém todas as informações sobre a translação e a rotação de um referencial m

em um referencial n. Genericamente é definida pela equação 3-4:

3 3 3 1

0 0 0 1

n n m

mn

m

R PT

(3-4)

onde n

mR e n mP correspondem à matriz de rotação e o vetor posição entre os

referenciais [2].

15

As matrizes de transformação homogênea são obtidas através da multiplicação

das matrizes de rotação e translação entre dois elos consecutivos na ordem em que

ocorrem.

A posição e orientação da extremidade do último elo rígido do guindaste é

obtida através da matriz de transformação homogênea 0T3:

0 0 1 2

3 1 2 3. . T T T T (3-5)

3.1.1.4. Equações cinemáticas

As matrizes de transformação são apresentadas abaixo:

1 1

1 10

11

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1

0 0 0 1

TL

(3-6)

2 2 2 2

1

22 2 2 2

1 0 0 0

0 cos sin cos

0 sin cos sin

0 0 0 1

LT

L

(3-7)

3 3 3 3

2

33 3 3 3

1 0 0 0

0 cos sin cos

0 sin cos sin

0 0 0 1

LT

L

(3-8)

Para auxiliar na formatação do texto, a seguinte simbologia é definida: 1cos( ) ,

1sin , 2 3cos são representados respectivamente por 1C ,

1S e 23C , por

exemplo.

Portanto a matriz de transformação homogênea do sistema com três graus de

liberdade analisado é apresentada pela equação 3-9:

16

1 23 1 23 1 1 3 23 2 2

1 23 1 23 1 1 3 23 2 2

23 23 1 3 2

0

3

3 2 20

0 0 0 1

C C S S S S L C L C

S C C S C C L C L C

S C L L S L ST

(3-9)

Através do conceito previamente definido na equação 3-4, verifica-se que o

vetor posição é dado pela equação 3-10:

1 3 23 2 2

1 3 23 2 2

1 3

0

23 2

3

2

S L C L C

C L C L C

L L S L S

P

(3-10)

3.1.2. Cinemática inversa

A cinemática inversa possibilita a determinação dos ângulos das juntas do

manipulador através da trajetória parametrizada λ(t) = (x(t), y(t), z(t)). Essa

parametrização é apresentada a seguir:

1 3 23 2 2

1 3 23 2 2

1 3 23 2 2

x(t)

y(t)

z(t)

S L C L C

C L C L C

L L S L S

(3-11)

Determinação de 1 :

Para determinar 1 é utilizado um procedimento matemático em que o resultado

é expresso apenas em função de 1 :

1 3 23 2 2

1 3 2

1

3 2 2

1

1

x(t) x

y(t) y

S L C L C

C L Ctg tg

L C

(3-12)

17


Para determinar 2 deseja-se obter apenas equações que dependam de

2 e 1 que

fora determinado no procedimento acima. Segue abaixo o desenvolvimento matemático:

1 3 23 2 2

1 3 23 2 2

2 2 3 2 3

1

1 2 2 3 2 3

( ) cos coscos

z(t) sin sin

yy t L L

z

C L C L C

L L S LL LS L

(3-13)

Os termos acima são elevados ao quadrado e somados resultando na equação abaixo:

2

2 2 2 22 23 2 1 1 2 2 1 2 22

1 1

2 cos2 2 sin 2 sin

cos cos

yLyL L z L zL zL L L

(3-14)

Rearranjando na forma:

2 2cos sin 0 (3-15)

2

1

1 2 2

22 2 2 2

2 1 1 32

1

Onde,

2

cos

2 2

2cos

yL

L L zL

yL z L zL L

Afim de isolar 2sin , tem-se os seguintes procedimentos:

2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2

cos sin

cos sin 2 sin

1 sin sin 2 sin

sin 2 sin 0

(3-16)

2 2 2 2 2 2

2 2 2sin

(3-17)

O termo 2cos é obtido analogamente:

18

2 2 2 2 2 2

2 2 2cos

(3-18)

Como,

2 2 2 2 2 2

22

2 2 2 2 2 22

sin

costg

(3-19)

Então:

2 2 2 2 2 2

1

22 2 2 2 2 2

tg

(3-20)


As equações a seguir são utilizadas para encontrar 3 , uma vez que

2 já foi

determinado:

1 3 23 2 2

1 3 23 2 2

( )

z(t)

C L C L C

L L S L S

y t

(3-21)

Rearrumando os termos

2 2

12 3

3

1 2 22 3

3

coscos

cos

sinsin

yL

L

z L L

L

(3-22)

Logo,

1 1 2 2

3 2

2 2

1

sin

coscos

z L Ltg

yL

(3-23)

19

3.1.3. Espaço de trabalho

O espaço de trabalho de um manipulador é todo o conjunto de pontos possíveis

de serem alcançados pelo seu efetuador. Para determiná-lo, é necessário saber os

comprimentos dos elos e as variações angulares das juntas.

3.2. Dinâmica

A dinâmica é responsável por estudar os efeitos que as forças e torques causam

no movimento de um corpo.

3.2.1. Movimento dos elos de um manipulador

Um manipulador é uma cadeia de corpos, denominados de elos, na qual cada um

é capaz de se movimentar em relação aos seus vizinhos.

3.2.2. Velocidade angular entre elos

A velocidade angular de cada elo é dada em relação ao elo imediatamente

anterior. A notação utilizada por i

j representa a velocidade angular do corpo j em

relação ao corpo i.

Tem-se então que:

2 3

0 1 1 2 2 3

1

0

0 ; 0 ; 0

0 0

(3-24)

Logo,

1 2

0 2 0 1 1 2 0

1 2

1

1 0 1 2

1 SR

C

(3-25)

20

1 2 1

0 3 0 1 1 2

3

1 2 1

2 3 2 3

1

3

0 0 2

2

C C

SR S

(3-26)

As velocidades angulares encontradas abaixo representam a velocidade da i-

ésima junta no referencial i e serão usadas mais adiante no cálculo das energias cinéticas

dos elos, com o intuito de determinar o Lagrangeano.

0

0

i i i iR (3-27)

Portanto,

1 1

1

0

0

(3-28)

2 2

1 2 1 2

2 2

2 1

2 1

C +S

S

C

(3-29)

1 1 2 1 3 1 1 2 1 3

1 2 1 3 1 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 3 2 1

1 2 1 3 2 1 3 3 1 2 1 2 3 1 3 2 1 2 1 3 2 3 2

3 3

3 1

C C C S S S

C C S S S C C S C S S C C C S S C S C S

C C C S S C S S C C S C C S S S C C S S

(3-30)

21

3.2.3. Matriz Jacobiana

A Matriz Jacobiana é definida como a matriz composta por derivadas parciais de

primeira ordem de uma função vetorial. Basta que suas derivadas parciais existam para

que a Matriz Jacobiana exista.

O número de linhas da Matriz Jacobiana de dado pelo número de graus de

liberdade do sistema e o número de colunas é igual ao número de juntas do manipulador

[3]. A Jacobiana é uma matriz quadrada de dimensão nxn:

1 1 1

1 2

2 2 2

1 2

1 2

n

nF

n n n

n

F F F

q q q

F F F

q q qJ

F F F

q q q

(3-31)

Onde F é uma função diferenciável em relação à q1, q2, ..., qn.

Segue abaixo o resultado das Matrizes Jacobianas de cada elo, onde cg é o

centro de massa de cada elo:

0 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

GJ

(3-32)

2 1 2 2 1 2

2 2 1 2 1 2

2

2

0

2

0

0

0 0

G

cg C C cg S S

cg C S cg C S

c

J

g C

(3-33)

1 3 23 2 2 1 3 23 2 2 3 23 1

1

0 3

3 23 2 2 1 3 23 2 2 3 23 1

3 23 2 2 3 23

0̀

G

C cg C L C S cg S L S cg S S

S cg C L C C cg S L S cg S C

cg C L C cg C

J

(3-34)

Com base na cinemática direta, a posição e orientação na ponta do

guindaste é função dos ângulos de entrada de cada junta do sistema. É sabido também

que o vetor velocidade na ponta do guindaste nada mais é que a derivada do vetor

22

posição no mesmo ponto. As velocidades cartesianas da ponta do guindaste são dadas

por:

V P J (3-35)

Portanto, de acordo com a equação 3-35, o vetor velocidade do centro de massa de cada

elo é dada por:

0 1

0

0

0

GV

(3-36)

2 1 2 2 2 1 2 1

2 2 1 1 2 1 2 2

2 2 2

0 2G

cg S S cg C C

cg C S cg C S

cg

V

C

(3-37)

1 3 23 2 2 2 1 3 23 2 2 1 3 23 1 3

1 3 23 2 2 1 1 3 23 2 2 2 3 23 1 3

0 3

3 23 2 2 2 3 23 3

G

S cg S L S C cg C L C cg S S

S cg C L C C cg S L S cg S C

cg C L C cg C

V

(3-38)

A velocidade e a aceleração do centro de massa do primeiro elo são iguais a zero

uma vez que não existe variação da posição no tempo.

Caso o vetor velocidade V seja conhecido, é possível determinar o vetor

velocidade angular através da manipulação matemática:

1J V (3-39)

Esses valores de serão fundamentais para a implementação de um sistema de controle

para o manipulador, caso seja de interesse.

3.2.4. Aceleração angular

A aceleração cartesiana de um ponto definido do manipulador em relação ao

inercial é composta por parcelas de aceleração relativa, normal, tangencial, e de

Coriolis. Pode ser escrita usando o Jacobiano da seguinte forma:

23

P J J (3-40)

Vetorialmente, a aceleração angular das juntas é dada por:

1( )J P J (3-41)

Para o cálculo de P é necessário a determinação da derivada do Jacobiano J .

Os elementos de J dependem unicamente das posições angulares,

11 12 13

21 22 23

31 32 33

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

J J J

J J J J

J J J

(3-42)

Logo J é dado por:

11 11 11

1 2 3

21 21 21

1 2 3

31 31 31

1 2 3

12 12 12

1 2 3

22 22 22

1 2 3

32 32 32

1 2 3

13 13 13

1 2 3

23 23

1 2

J J J

J J J

J J J

J J J

J J JJ

J J J

J J J

J J

23

3

33 33 33

1 2 3

J

J J J

(3-43)

Os resultados simbólicos de J são apresentados no apêndice A.

Portanto, de acordo com a equação 3-40, o vetor aceleração do centro de massa

de cada elo é dada por:

24

0 1

0

0

0

GA

(3-44)

2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2

2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2

0 2G

cg C S cg C S cg C S cg C S cg C C cg S S

cg S S cg C C cg C C cg S S cg C S cg C S

cg C cg S

A

(3-45)

0 3GA B

C

A

(3-46)

Onde,

A = S1(cg3C23+L2C2) 1+S1(cg3C23+L2C2) 2+C1(cg3S23+L2S2) 1+C1(cg3S23+L2S2) 2-

C1(cg3C23+L2C2) 1 +S1(cg3S23+L2S2) 2+cg3S23C1 1+cg3C23S1 2+2cg3C23S1

3+cg3S23C1 3+cg3S23S1 3

B = S1(cg3S23+L2S2) 1-C1(cg3C23+L2C2) 2-C1(cg3C23+L2C2) 1+S1(cg3S23+L2S2) 2-

S1(cg3C23+L2C2) 1 -C1(cg3S23+L2S2) 2-cg3C23C1 2-2cg3C23C1 3+cg3S23S1

1+cg3S23S1 3-cg3S23C1 3

C = (cg3C23+L2C2) 2-(cg3S23+L2S2) 2-cg3S23 2-2cg3S23 3+cg3C23 3

25

3.3. Dinâmica de manipuladores

As equações de movimento serão obtidas pelo método de Lagrange, e utilizadas

para relacionar os movimentos dos corpos com as forças e torques aplicados no sistema.

Tensor de Inércia, Energia Cinética e Energia Potencial são conceitos essenciais para o

desenvolvimento dessa teoria.

3.3.1. Distribuição de massa

Para um corpo rígido livre para se mover nas três dimensões, existem infinitas

possibilidades de eixos de rotação. O tensor de inércia pode ser considerado como uma

generalização do momento de inércia escalar de um objeto e mede a distribuição de

massa deste objeto em torno de um eixo de rotação [3].

O tensor de inércia de um determinado ponto P de um corpo rígido em um

determinado referencial i, que pode pertencer ou não ao corpo, é uma matriz 3x3 cuja

principal propriedade é ser uma matriz simétrica, dada por:

P i

Ixx Ixy Ixz

I Ixy Iyy Iyz

Ixz Iyz Izz

(3-47)

Onde os elementos escalares são:

2 2

2 2

2 2

( )

(x )

(x )

xxV

yyV

zzV

xyV

xzV

yzV

I y z d

I z d

I y d

I xy d

I xz d

I yz d

(3-48)

Para um elemento infinitesimal de volume d , e densidade do material ρ. Os

elementos Ixx, Iyy e Izz são chamados de momentos de inércia e os demais são chamados

de produtos de inércia.

26

Os tensores de inércia simbólicos dos elos 1, 2 e 3, respectivamente, são

apresentados a seguir:

1

1|11 1|12 1|13

1

1|21 1|22 1|23

1|31 1|32 1|33

G

I I I

I I I I

I I I

(3-49)

2

2|11 2|12 2|13

2

2|21 2|22 2|23

2|31 2|32 2|33

G

I I I

I I I I

I I I

(3-50)

3

3|11 3|12 3|13

3

3|21 3|22 3|23

3|31 3|32 3|33

G

I I I

I I I I

I I I

(3-51)

3.3.2. Energia cinética

A energia cinética de um elo pertencente a um manipulador é composta pela

energia cinética de rotação e energia cinética de translação. A soma das energias

cinéticas de cada elo no referencial inercial compõe a energia cinética total do

manipulador, denotada por T .

( )i icr ctT E E (3-52)

Para o i-ésimo elo, tem-se que a energia cinética de rotação é dada por

1

( ) ( )2

i

i

Gi i T i i i

crE I (3-53)

Onde, iG iI é o tensor de inércia do elo i obtido no centro de massa do objeto.

A energia cinética de translação é dada por

0 01

( ) ( )2

i i

i

G GT

ct iE m P P (3-54)

Onde, im é a massa e 0 iGP a velocidade linear do centro de massa do elo i.

27

Logo, a energia cinética total do sistema é:

T = (1/2)m2(cg2C2S1 1 + cg2C1S2 2 )2

+ (1/2)m2(cg2C1C2 1 - cg2S1S2 2 )2

+

(1/2)m3((cg3C23 + L2C2) 2 + cg3C23 3 )2

+ 2 C12

+ 2 S12)(I2|11((1/2)

2 C12

+ (1/2)2 S1

2) +

(1/2)I2|31C2 1 + (1/2)I2|21S2 1 ) + ((C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (C1S2S3 - C1C2C3)(S1

2 + S1 3 ) + (C2S3 + C3S2) 1 )(I3|12((1/2)C1(C1 2 + C1 3 ) + (1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) +

I3|22((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 - C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) +

(1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|32((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2) - (1/2)(C1C2S3 +

C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + ((C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2) -

(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (C2C3 - S2S3) 1 )(I3|13((1/2)C1(C1 2 + C1 3 ) +

(1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) + I3|23((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 -

C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|33((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2)

- (1/2)(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + (1/2)m3(S1(cg3C23 +

L2C2) 1 + C1(cg3S23 + L2S2) 2 + cg3S23C1 3 )2 + (1/2)m3(S1(cg3S23 + L2S2) 2 - C1(cg3C23 +

L2C2) 1 + cg3S23S1 3 )2

+ (C1(C1 2 + C1 3 ) + S1(S1 2 + S1 3 ))(I3|11((1/2)C1(C1 2 + C1 3 )

+ (1/2)S1(S1 2 + S1 3 )) + I3|21((1/2)(C1 2 + C1 3 )(S1S2S3 - C2C3S1) - (1/2)(C1S2S3 -

C1C2C3)(S1 2 + S1 3 ) + (1/2)(C2S3 + C3S2) 1 ) + I3|31((1/2)(C1 2 + C1 3 )(C2S1S3 + C3S1S2)

- (1/2)(C1C2S3 + C1C3S2)(S1 2 + S1 3 + (1/2)(C2C3 - S2S3) 1 )) + (1/2)I1|33 12

+ C2 1

(I2|13((1/2)2 C1

2 + (1/2)

2 S12) + (1/2)I2|33C2 1 + (1/2)I2|23S2 1 ) + S2 1 (I2|12((1/2)

2 C12

+

(1/2)2 S1

2) + (1/2)I2|32C2 1 + (1/2)I2|22S2 1 ) + (1/2)cg2

2m2C2

22

2

3.3.3. Energia potencial

De forma similar a energia cinética, a soma da energia potencial de cada elo

compõe a energia potencial total do manipulador, denotada por U .

Para o i-ésimo elo, tem-se que a energia potencial é dada por

0( )i

i

G

p iU E m g P (3-55)

Onde, g é o vetor gravitacional.

28

Tem-se:

U = - m2g(L1 + cg2S2) - cg1m1 g- m3g(L1 + cg3(C2S3 + C3S2) + L2S2)

3.3.4. Equações de movimento, método de Lagrange

Para descrever os efeitos dinâmicos no sistema, serão utilizadas as equações de

movimento de Lagrange que são expressas pela equação 3-56:

i

i i

d L L

dt

(3-56)

O Lagrangeano de um sistema mecânico pode ser definido como uma função de

coordenadas generalizadas [4], obtido pela subtração da equação 3-18 e equação 3-21:

L T U (3-57)

Onde i é o torque atuante na junta i, associada à coordenada generalizada

i . Sua

solução é dada em função da posição e suas derivadas no tempo e tem a forma

,i i i i i iM V G (3-58)

29

4. Resultados

A partir da teoria abordada no capítulo anterior, é possível compreender melhor

o problema que será discutido a seguir e elaborar considerações cabíveis visando a

simplificação do mesmo. Trata-se de um guindaste offshore, similar ao apresentado no

capítulo anterior, com três juntas de rotação possíveis de serem controladas, somado a

um cabo de aço, modelado como uma haste rígida, que possui duas juntas de rotação

passivas e uma junta prismática.

Figura 12 - Vista isométrica do Guindaste

Enfim, o objetivo deste trabalho é encontrar os torques atuantes em cada uma

das juntas do manipulador, dada uma determinada trajetória. A partir daí é possível

dimensionar os motores elétricos para acionamentos elétricos, conjuntos de bombas e

pistões para acionamentos hidráulicos e conjuntos de compressores e pistões para

acionamentos pneumáticos. Esses dados também possibilitam os cálculos estruturais

dos elos do mecanismo. Segue abaixo o esquema com o sistema de referências do

guindaste:

30

Figura 13 - Esquema simplificado com localização dos sistemas de referência

A seguir serão fornecidas informações importantes sobre cada um dos elos para

o desenvolvimento matemático. Todos os desenhos computacionais deste trabalho

foram desenvolvidos em Solidworks®

.

4.1. Propriedades dos elos do mecanismo

4.1.1. Propriedades do elo 1

Figura 14 - Vista isométrica do elo 1

31

O elo 1 possui movimento de rotação em torno do seu eixo principal, o eixo Z.

Os materiais empregados na sua fabricação, em geral, são chapas que medem entre uma

e duas polegadas de espessura de um aço de baixo/médio teor de carbono, que no caso

foi considerado como AISI-1020.

Tabela 4-1 - Propriedades do elo 1

Comprimento [m] Massa [kg] Posição do centro de massa [m]

20 135486 0 0 11

Tensor de Inércia* 2kg m :

4807033

400495 42679

42679 4

0

7

0

9

0

0 9052

* Obtido no centro de massa do elo.



32

O elo 2 possui movimento de rotação em um eixo perpendicular ao seu eixo

principal, o eixo X. Seu material foi considerado o aço carbono AISI-1020.



29 94820 0 13 1,5


0 0

0

0

5474501

5408845 436659

436659 160987




O elo 3 possui movimento de rotação em um eixo perpendicular ao seu eixo

principal, o eixo X. Seu material foi considerado o aço carbono AISI-1020.

33



18 43266 0 9 1


1410748

1397817 92970

92970 36345

0 0

0

0




O elo 4 representa o cabo de aço com uma carga transportada na ponta. O cabo

de aço, modelado como uma haste rígida, permite um movimento de translação na

direção de seu eixo principal, o eixo Z. A massa do cabo de aço foi desprezada diante da

massa da carga e o material considerado do conjunto foi o aço carbono AISI-1020.

34



L 15000 0 0 L


3700

3700 0

0 3

0 0

0

0 700


4.2. Restrições e considerações

A seguir foram impostas algumas restrições e considerações de modo a

simplificar a solução do problema abordado.

Figura 18 - Extremidade do Guindaste - Adaptado de (Fonte:<https://www.palfinger.com/bra/-

/media/Global/Background%20Images/Marine/palfinger_offshore_action_1900x1200px.jpg?la=pt-

BR>)

Uma restrição cinemática adotada, que está exemplificada na figura

acima, na qual a rotação no eixo do cabo de aço é impedida por meio da utilização de

um cabo de aço auxiliar. Portanto, a torção na direção do cabo de aço é desconsiderada.

35

Outra consideração imposta no problema é que o cabo de aço esteja sempre

vertical nos modelos cinemáticos. Para isso, duas restrições foram impostas: 4 2 3

e 5 0 .

4.3. Resultados - Cinemática direta

A posição e orientação do centro de massa da carga localizada na ponta do cabo

de aço é obtida através da matriz de transformação homogênea a seguir:

0 0 1 2 3 4 5

6 1 2 3 4 5 6T T T T T T T (4-1)

As matrizes de transformação são apresentadas abaixo:

1 1

1 10

11

cos sin 0 0

sin cos 0 0

0 0 1

0 0 0 1

TL

(4-2)

2 2 2 2

1

22 2 2 2

1 0 0 0

0 cos sin cos

0 sin cos sin

0 0 0 1

LT

L

(4-3)

3 3 3 3

2

33 3 3 3

1 0 0 0

0 cos sin cos

0 sin cos sin

0 0 0 1

LT

L

(4-4)

4 4

3

44 4

1 0 0 0

0 cos sin 0

0 sin cos 0

0 0 0 1

T

(4-5)

5 5

4

55 5

cos 0 sin 0

0 1 0 0

sin 0 cos 0

0 0 0 1

T

(4-6)

36

5

6

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1

0 0 0 1

TL

(4-7)

Portanto, o resultado simbólico é:

0

6

0 0 0 1

A B C J

D E F KT

G H I L

(4-8)

1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1

23 1 2 3 2 3 1 23 2 1 3 3 1 2

1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1

5 1 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3

23 1 2 3 1 2 3 23 1 2 3

O d

n e,

C C S C C S S C S S S S S S C C S

B C S S S C C S S C S S C S S

C C S C C C S S C S S S S S S C C S

D C S S C C C S C C S S C C C C S S

E C C C C C S S S C C C

A

S

1 3 2

1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3

5 23 2 3 2 3 2 3 3 2

23 2 3 2 3 2 3 3 2

5 23 2 3 2 3 2 3 3 2

3 1 2 3 2 3 1 1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2

23

23

23

3 1 2 2 1

C S

F S S C C C C S C C S S C C C C S S

G S C C C S S S C S C S

H S C C S S C C S C S

I C C C C S S S C S C S

J L S S S C C S L C S C C C S S C S S S S S S C C S L C S

3 1 2 3 1 2 3 1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3 2 1 2

1 3 2 3 3 2 2 2 5 23 2 3 2 3 23 2 3 3 2

K L C C C C S S L S S C C C C S C C S S C C C C S S L C C

L L L C S C S L S LC C C C S S C S C SS

O vetor posição simbólico, no referencial inercial, é dado pela equação 3-67:

3 1 2 3 2 3 1 1 5 5 23 2 1 3 3 1 2 23 1 2 3 2 3 1 2 2 1

3 1 2 3 1 2 3 1 5 5 23 1 2 3 1 3 2 23 1 2 3 1 2 3 2 1 2

1 3 2 3 3 2 2 2 5 23 2 3 2 3

0 6

23 2 3 3 2

L S S S C C S L C S C C C S S C S S S S S S C C S L C S

L C C C C S S L S S C C C C S C C S S C C C C S S L C C

L L C S C S L S L

P

SC C C C S S C S C S

(4-9)

37

4.3.1. Espaço de trabalho

Uma vez que os comprimentos dos elos são conhecidos e as variações angulares

das juntas são dadas a seguir, o espaço de trabalho está representado abaixo.

.

1

2

2

90º 90º

0 45º

180º 90º

0m L 27m

Figura 19 - Vista isométrica do espaço de trabalho

Verificam-se a seguir algumas simulações no MATLAB®

que ilustram o

resultado obtido acima, onde os graus de liberdade controlados serão variados dentro de

um intervalo.

38

4.3.2. Cinemática direta - Exemplo 1

Neste exemplo da cinemática direta, apenas a primeira junta executa um

movimento de rotação no eixo Z, dado o seguinte intervalo:

190º 90º

Figura 20 - Vista isométrica Cinemática direta - exemplo 1

A linha representa a trajetória da carga durante a execução do movimento de

rotação da junta 1.

39


Agora, apenas a segunda junta executa um movimento de rotação no eixo X,

dado o seguinte intervalo:

20º 45º



rotação da junta 2, com o elo 3 completamente retraído conforme a figura 10.

40


Já neste exemplo, apenas a terceira junta executa um movimento de rotação no

eixo X, dado o seguinte intervalo:

3180º 90º



rotação da junta 3.

41


Neste exemplo, apenas a junta prismática executa um movimento de translação

na direção Z, dado o seguinte intervalo:

0 23m L m



translação da junta prismática, que representa a retração do cabo de aço na ponta do

guindaste.

42


No último exemplo da cinemática direta, existe um movimento combinado de

rotações e translação, dado os seguintes intervalos:

1

2

0º 65º

0º 40º

4,4m L 5,6m


Figura 25 - Plano X-Y Cinemática direta - exemplo 5

43

Figura 26 - Plano Y-Z Cinemática direta - exemplo 5

Figura 27 - Plano X-Z Cinemática direta - exemplo 5

A linha representa trajetória da carga durante a combinação de movimento de

rotação das juntas 1 e 2 e translação da junta prismática.

44

4.4. Resultados - Cinemática inversa e dinâmica

A partir de uma dada trajetória, deseja-se encontrar as variações angulares em

cada junta do sistema. Nesta parte do trabalho, o comprimento do cabo de aço será

considerado constante, de valor L. Após uma análise geométrica do problema, o vetor

posição da carga é dado por:

1 2 23

1 2 23

1

2 3

2

2 2 3 23

3

C C C

S C C

L L S S

L L

L L

L L

(4-10)

Utilizando o mesmo método apresentado no capítulo 3.1.2, referente à

cinemática inversa, 1 , 2 e 3 são obtidos. As velocidades e acelerações angulares são

obtidas a partir da derivada das posições angulares, no tempo.

1

1

Ytg

X

(4-11)

2 2 2 2 2 2

1

22 2 2 2 2 2

BC B C A B C Atg

AC A C A B C B

(4-12)

1 2 21

3 2

2 2

1

sin

coscos

Z L L Ltg

XL

(4-13)

2

1

1 2 2

222 2 2

1 1 2 32

1

Onde,

2

cos

2 2

2cos

XLA

B L L L ZL

XC Z L L Z L L L L

45

A seguir serão apresentadas algumas simulações no MATLAB®

onde se deseja

encontrar os torques atuantes nas juntas para determinadas trajetórias.

4.4.1. Cinemática inversa e dinâmica - Exemplo 1

Foi definida uma trajetória de deslocamento horizontal da carga ao longo do

eixo Y. Sua parametrização é dada por:

0 18

( ) 0

( ) 10 sin 253

( ) 10

t

X t

tY t

Z t

Figura 28 - Vista isométrica da trajetória

Abaixo são apresentados algumas configurações do mecanismo com a intenção

de facilitar a compreensão dos gráficos seguintes.

46

0,5t s

5,0t s

10,0t s

16,0t s

Os ângulos das juntas, assim como suas velocidades e acelerações angulares, são

apresentados nos seguintes gráficos:

47

Figura 29 - Variações das posições, velocidades e acelerações angulares - exemplo 1

Os torques atuantes nas juntas para a trajetória do exemplo 1 são dados por:

Figura 30 - Torques nas juntas - exemplo 1

48

Verifica-se que o torque na junta 1 é constante e igual a zero, uma vez que esta

mantém-se fixa ao longo de todo procedimento. O torque máximo na junta 2 tem o

módulo de aproximadamente 72,9 10 Nm e apresenta uma queda neste valor a medida

que a carga aproxima-se da base do guindaste. Já na junta 3, o torque é próximo de

65 10 Nm no instante em que a linha de força de atuação da carga e o elo 3 se

aproximam de uma configuração perpendicular.


Foi definida uma outra trajetória de deslocamento horizontal da carga, agora ao

longo do eixo X. Sua parametrização é dada por:

0 20

( ) 12 sin3

( ) 20

( ) 10

t

tX t

Y t

Z t


49



0,0t s

5,0t s

10,0t s

14,5t s

Os ângulos das juntas, assim como suas velocidades e acelerações angulares, são

apresentados nos seguintes gráficos:

50


Os torques atuantes nas juntas para a trajetória do exemplo 2 são dados por:


51

Verifica-se que o módulo do torque na junta 1 é aproximadamente 63 10 Nm e

varia quando a junta 1 é acelerada e desacelerada de modo a cumprir a trajetória

imposta. O torque máximo na junta 2 tem o módulo de aproximadamente 72,5 10 Nm e

na junta 3, 65 10 Nm, dadas as justificativas do exemplo anterior.


A trajetória fechada definida para o exemplo 2 é uma elipse no plano X-Y, cuja

trajetória parametrizada é:

0 20

( ) 12 cos3

( ) 9 sin 233

( ) 10

t

tX t

tY t

Z t


52



4,5t s

10,0t s

14,5t s

20,0t s

As posições angulares, velocidades angulares e acelerações angulares foram

plotadas para a situação abordada.

53


Para tal situação, o gráfico dos torques é:


54

Os torques máximos nas juntas 1 e 3 são aproximadamente 65 10 Nm. O torque

máximo na junta 2 tem o módulo de 72,8 10 Nm.


A trajetória representada por uma Leminiscata é fechada e possui interseção no

ponto central, parametrizada por:

0 20

( ) 12 cos9

2( ) 8 sin 239

( ) 5

t

tX t

tY t

Z t




55

0,0t s

4,0t s

7,5t s

10,5t s

14,5t s

16,0t s

56

Para esse caso a variação angular da posição e suas derivadas são:


Os torques obtidos para essa trajetória são:


57

O torque máximo na junta 1 é aproximadamente 69 10 Nm. Enquanto o torque

máximo na junta 2 tem o módulo em torno de 73 10 Nm. Já o torque máximo na junta

3 é próximo de 65 10 Nm.


A última trajetória analisada é uma elipse helicoidal parametrizada por:

0 12

( ) 6

( ) 8 cos( ) 23

( ) 4 sin( ) 10

t

X t t

Y t t

Z t t


58



0,0t s

4,0t s

8,0t s

9,5t s

59

A seguir, os gráficos das posições velocidades e acelerações angulares:


60

Por fim, segue o gráfico dos torques deste último exemplo:


Para o exemplo 5, verifica-se que o torque máximo na junta 1 é

aproximadamente 65 10 Nm. O torque máximo na junta 2 tem o módulo em torno de

74,1 10 Nm. Já o torque máximo na junta 3 é próximo de 68 10 Nm.

Uma vez que os comprimentos dos elos, os pontos de fixação dos pistões e os

torques máximos são conhecidos, é possível determinar todos os esforços atuantes em

cada um dos elos e assim dimensioná-los estruturalmente.

Diante dos resultados obtidos em todos os exemplos acima, os módulos dos

torques máximos nas juntas 1, 2 e 3 são respectivamente 69 10 Nm,

74,1 10 Nm e

68 10 Nm.

A variação da distância entre a linha de atuação da força de reação no ponto de

fixação do pistão e o ponto de articulação pode ser desprezada ao ser comparada com o

61

comprimento do elo. Então é assumido que as forças de reação são proporcionais

somente ao torque.

A partir da equação 4-14, as forças atuantes no sistema são obtidas através dos

torques máximos nas juntas.

F d (4-14)

Abaixo seguem as condições de carregamento e a simulação estrutural de cada

elo, na plataforma Solidworks Simulation®

.

Finalmente, com a determinação dos torques, forças e velocidades angulares

presentes em cada junta, é possível obter a curva de potência mínima necessária para o

acionador e assim fazer a seleção correta do componente. Sejam motores elétricos,

conjuntos compressores/pistões para sistemas pneumáticos, ou bombas/pistões para

sistemas hidráulicos, responsáveis pelas movimentações dos elos do mecanismo.

62

4.5. Simulação de esforços

Para a realização da simulação dos esforços nos elos do guindaste foi utilizado o

software comercial de análise pelo método de elementos finitos Solidworks

Simulation®

. Os elos, simulados separadamente, foram modelados com elementos

tetraédricos com aresta de 200mm e tolerância de 10mm.

A ação dos pistões e elos adjacentes foi incorporada através da aplicação de

forças nas respectivas fixações. Foram impostas restrições radiais para representar os

pinos das articulações. A base do guindaste foi considerada engastada no deck. O

material usado é isotrópico e possui módulo de elasticidade de 205 GPa e coeficiente de

Poisson 0,29. Foi somente considerado o regime elástico na simulação.

As forças são representadas por setas roxas e os engastes e articulações fixas por

setas verdes apontadas para a direção da restrição.

4.5.1. Simulação do elo 1:

Figura 43 - Condições de carregamento do elo 1

63

Figura 44 - Análise de esforços do elo 1

A tensão máxima atuante no elo 1 foi de aproximadamente 287 MPa.





64





As deformações foram ampliadas com a intenção de facilitar a visualização das

mesmas. O gradiente de tensões segue a legenda apresentada à direita de cada análise de

esforços, do azul para as tensões mais baixas até o vermelho para as tensões mais altas.

Os resultados das simulações comprovam que os elos não falham

estruturalmente quando solicitados aos carregamentos impostos.

65

5. Conclusões

Este trabalho apresentou as modelagens cinemáticas e dinâmica de um guindaste

articulado do tipo antropomórfico, com três juntas de rotação, durante operações de

transferência de carga por meio de rotinas no MATLAB®

. Cumpre ressaltar que foram

feitas considerações cinemáticas, onde o cabo de aço foi modelado como uma haste

rígida mantida sempre na vertical impedida de girar no próprio eixo afim de facilitar a

desenvolvimento do problema abordado.

As modelagens 3D foram desenvolvidas em Solidwoks®

e suas dimensões foram

aproximadas de desenhos técnicos de um modelo de guindaste usado amplamente no

meio offshore. Foi elaborado modelo teórico para a cinemática direta, no qual foram

obtidas trajetórias para a carga ao se variar os ângulos das juntas ou o comprimento do

cabo de aço. Também foi determinado o espaço de trabalho do manipulador.

Já para a cinemática inversa foi elaborado um modelo onde determinadas

trajetórias foram impostas à carga e então observavam-se as variações angulares das

juntas. A partir daí, foram determinadas as velocidades e acelerações angulares de cada

uma das juntas do manipulador e, por fim, por meio das equações de movimento obtidas

pelo método de Lagrange, foram determinados os torques atuantes no sistema para o

intervalo de tempo analisado.

Com os resultados das simulações feitas no MATLAB®

, é possível obter a

curva de potência necessária para dimensionar o acionador de cada uma das juntas,

assim como os cursos dos pistões e posições das fixações dos mesmos no elo. Também

possibilitou a realização das simulações de tensão dos elos do guindaste no Solidworks

Simulation®

.

Contudo, para a validação destes modelos teóricos, seria necessário um modelo

real, com propriedades semelhantes às abordadas no trabalho. Este modelo real deveria

ser equipado com aparatos capazes de medir posições, acelerações e tensões de cada elo

do sistema. Tais instrumentos podem consistir em potenciômetros, sensores de posição

linear, acelerômetros, extensômetros, etc. Assim, seria possível fazer uma comparação

entre as curvas obtidas no modelo real e no modelo teórico, e então, validá-lo.

66

5.1. Trabalhos futuros

Para futuros trabalhos, torna-se interessante a inclusão dos atritos nas juntas e

ações externas como as dos ventos, no modelo dinâmico. Outra implementação

significativa seria adicionar o mecanismo estudado à um sistema de coordenadas

móveis, como por exemplo, uma embarcação que estivesse sob efeito de ondas.

A grande sugestão é a implantação de um sistema de controle para o

manipulador, o que possibilitaria aumentar a velocidade de operação de maneira segura.

Os dados necessários para tal finalidade já foram determinados.

67

Referências bibliográficas

[1] Santos, I. F. Dinâmica de Sistemas Mecânicos. Makorn Books. Primeira Edição.

2001.

[2] Demasi, D. Modelagem Dinâmica e de Controle de um Mecanismo de Três Graus

de Liberdade para Aplicação em um Robô Hexápode. Tese de M.Sc., CEFET/RJ, Rio

de Janeiro, RJ, Brasil, 2012.

[3] Craig, J. Introduction to Robotics: Mechanics and Control.Addison-Wesley

Longman. Second Edition. 1989.

[4] Siciliano, B., Sciavicco, L. Modelling and control of robot manipulators, Springer.

London. Second Edition. 2002.

[5] Salcedo, I. L. Transferência de carga em operações off-shore. Tese de M.Sc.,

COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2008.

[6] Tenenbaum, R. Dinâmica Aplicada. Editora Manole, Primeira Edição. 2006.

[7] Meriam, J. B. Dinâmica. LTC Editora. Segunda Edição. 1994.

[8] Hahn, B., Valentine, D. Essential MATLAB®

for Engineers and Scientists. Elsevier.

Third Edition. 2007.

[9] Tavares, R. M. Transporte de cargas com redução de oscilações. Tese de M.Sc.,

COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro, RJ, Brasil, 2004.

[10] Araújo, L. S. Projeto e controle por realimentação de energia de um protótipo de

ponte rolante para transporte de cargas. Tese de M.Sc., COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro,

RJ, Brasil, 2004.

68

ANEXO A

Rotinas desenvolvidas no MATLAB®:

%Matriz de rotação em x:

function [s]=Rx(t1)

s=[1 0 0 0; 0 cos(t1) -sin(t1) 0;0 sin(t1) cos(t1) 0; 0 0 0 1];

end

%Matriz de rotação em y:

function [s]=Ry(t1)

s=[cos(t1) 0 sin(t1) 0; 0 1 0 0; -sin(t1) 0 cos(t1) 0; 0 0 0 1];

end

%Matriz de rotação em z:

function [s]=Rz(t1)

s=[cos(t1) -sin(t1) 0 0; sin(t1) cos(t1) 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

end

%Matriz de translação em x:

function [s]=Tx(l1)

s=[1 0 0 l1; 0 1 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

end

%Matriz de translação em y:

function [s]=Ty(l1)

s=[1 0 0 0; 0 1 0 l1; 0 0 1 0; 0 0 0 1];

end

%Matriz de translação em z:

function [s]=Tz(l1)

s=[1 0 0 0; 0 1 0 0; 0 0 1 l1; 0 0 0 1];

end

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Cinemática direta%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

close all;

clear all

clc;

%Variáveis simbólicas:

syms q1 q2 q3 q4 q5 l1 l2 l3 l;

%Restrições:

q5=0;

q4=q2+q3;

%Matrizes de rotação e translação:

T8_9=Tz(-l);

T7_8=Ry(q5);

T6_7=Rx(q4);

T5_6=Ty(l3);

T4_5=Rx(q3);

T3_4=Ty(l2);

T2_3=Rx(q2);

T1_2=Tz(l1);

69

T0_1=Rz(q1);

%Matrizes de transformação homogênea:

T0_2=T0_1*T1_2;

T0_4=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4;

T0_6=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6;

T0_9=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6*T6_7*T7_8*T8_9;

%Vetor posição:

p9=T0_9(1:3,4)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dinâmica%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% close all; clear all clc;

syms q1 q2 q3 q6 l1 l2; l1=20; l2=29; l3=18; q5=0; q4=0; l=0;

T11_12=Ty(l2); T10_11=Tz(l1); T9_10=Rz(q6); T8_9=Tz(-l); T7_8=Ry(q5); T6_7=Rx(q4); T5_6=Ty(l3); T4_5=Rx(q3); T3_4=Ty(l2); T2_3=Rx(q2); T1_2=Tz(l1); T0_1=Rz(q1);

T0_2=T0_1*T1_2; T0_4=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4; T0_6=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6; T0_9=T0_1*T1_2*T2_3*T3_4*T4_5*T5_6*T6_7*T7_8*T8_9; p9=T0_9(1:3,4); T9_12=T9_10*T10_11*T11_12; p12=T9_12(1:3,4);

X=[];Y=[];Z=[]; for i=0:0.07:pi for j=-pi:0.07:-pi/2 for k=0:0.07:pi/4

p9i=subs(p9,q1,i); p9i=subs(p9i,q3,j); p9i=subs(p9i,q2,k); X=[X;p9i(1)]; Y=[Y;p9i(2)]; Z=[Z;p9i(3)]; p9i=p9; end

70

end end figure plot3(X,Y,Z,'r.','LineWidth',0.5) grid on xlabel('X') ylabel('Y') zlabel('Z') hold on

X=[];Y=[];Z=[]; for i=0:0.07:pi for j=0:1.5:20 for k=8:1.5:33.5 p12i=subs(p12,q6,i); p12i=subs(p12i,l1,j); p12i=subs(p12i,l2,k); X=[X;p12i(1)]; Y=[Y;p12i(2)]; Z=[Z;p12i(3)]; p12i=p12; end end end plot3(X,Y,Z,'r.','LineWidth',0.5) grid on hold on %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Cinemática inversa%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

close all;

clear all;

clc

%Parametrização da trajetória:

ti=0;

tf=12;

num=200;

t=linspace(ti,tf,num);

dt=(tf-ti)/num;

n=0;

for i=1:length(t)

X(i)=8*cos(t(i))+23;

Y(i)=-6+t(i);

Z(i)=4*sin(t(i))+10;

%Comprimento dos elos:

L1=20;

L2=29;

L3=18;

L=5;

%th1, th2 e th3:

th1(i)=atan2(Y(i),X(i));

A=-2*(X(i)/cos(th1(i)))*L2;

B=2*(L1-L)*L2-2*Z(i)*L2;

C=((X(i)^2)/(cos(th1(i)))^2)+Z(i)^2+(L1-L)^2+L2^2-2*Z(i)*(L1-L)-

L3^2;

th2(i)=atan2((-B*C+sqrt((B^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-A^2))),(-

A*C+sqrt((A^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-B^2))));

71

th3(i)=-atan2((-Z(i)+L1-L+L2*sin(th2(i))),(X(i)/cos(th1(i))-

L2*cos(th2(i))))-th2(i);

%Representação gráfica dos elos:

P0=[0,0,0];

P1=[0,0,L1];

P3=[(L2*cos(th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i)))*sin(th1(i)),L1+L2*si

n(th2(i))];

P5=[(L2*cos(th2(i))+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i))

+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*sin(th1(i)),L1+L2*sin(th2(i))+L3*sin(th3(i)+th

2(i))];

P6=[(L2*cos(th2(i))+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*cos(th1(i)),(L2*cos(th2(i))

+L3*cos(th3(i)+th2(i)))*sin(th1(i)),L1-

L+L2*sin(th2(i))+L3*sin(th3(i)+th2(i))];

figure;

plot3([P0(1),P1(1)],[P0(2),P1(2)],[P0(3),P1(3)],'k-

o','LineWidth',3.5)

hold on

plot3([P1(1),P3(1)],[P1(2),P3(2)],[P1(3),P3(3)],'k-

o','LineWidth',3.5)

hold on

plot3([P3(1),P5(1)],[P3(2),P5(2)],[P3(3),P5(3)],'k-

o','LineWidth',3.5)

hold on

plot3([P5(1),P6(1)],[P5(2),P6(2)],[P5(3),P6(3)],'r-

o','LineWidth',3.5)

hold on

grid on

xlabel('Y[m]')

ylabel('X[m]')

zlabel('Z[m]')

axis ([-5 45 -20 20 -0 40])

%Representação gráfica da trajetória:

Xi=8*cos(t)+23;

Yi=-6+t;

Zi=4*sin(t)+10;

plot3(Xi,Yi,Zi,'b','LineWidth',1)

%contador

n=n+1;

if n==20

close all

n=0;

end

disp(i);

end

for i=1:length(t)-1

th1p(i)=(th1(i+1)-th1(i))/(t(i+1)-t(i));

th2p(i)=(th2(i+1)-th2(i))/(t(i+1)-t(i));

th3p(i)=(th3(i+1)-th3(i))/(t(i+1)-t(i));

end

72

for i=1:length(t)-2

th1pp(i)=(th1p(i+1)-th1p(i))/(t(i+1)-t(i));



end

%Plotagem de gráficos das juntas:

figure

subplot(3,1,1)

plot(t,th1*180/pi,'b','LineWidth',2)

hold on

plot(t,th2*180/pi,'k','LineWidth',2)

hold on

plot(t,th3*180/pi,'r','LineWidth',2)

hold on

grid on

xlabel('tempo [s]')

ylabel('\theta(t) [º]')

title('Gráfico das juntas')

legend('\theta_1','\theta_2','\theta_3')

subplot(3,1,2)

plot(t(1:num-1),th1p*180/pi,'b','LineWidth',2)

hold on

plot(t(1:num-1),th2p*180/pi,'k','LineWidth',2)

hold on

plot(t(1:num-1),th3p*180/pi,'r','LineWidth',2)

hold on

grid on

xlabel('tempo [s]')

ylabel('d\theta(t) [º/s]')

title('Gráfico das velocidades das juntas')

legend('d\theta_1','d\theta_2','d\theta_3')

subplot(3,1,3)

plot(t(1:num-2),th1pp*180/pi,'b','LineWidth',2)

hold on

plot(t(1:num-2),th2pp*180/pi,'k','LineWidth',2)

hold on

plot(t(1:num-2),th3pp*180/pi,'r','LineWidth',2)

hold on

grid on

xlabel('tempo [s]')

ylabel('dd\theta(t) [º/s²]')

title('Gráfico das acelerações das juntas')

legend('dd\theta_1','dd\theta_2','dd\theta_3')

%Plotagem de animação gráfica

figure;

plot3([P0(1),P1(1)],[P0(2),P1(2)],[P0(3),P1(3)],'k-o','LineWidth',3.5)

hold on

73


hold on


hold on

plot3([P5(1),P6(1)],[P5(2),P6(2)],[P5(3),P6(3)],'r-o','LineWidth',3.5)

hold on

grid on

xlabel('Y[m]')

ylabel('X[m]')

zlabel('Z[m]')

axis ([-5 45 -20 20 -0 40])

plot3(Xi,Yi,Zi,'b','LineWidth',2.5)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%Dinâmica%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

clc

close all

clear all

%Declaração das variáveis simbólicas

%Ângulos das rotações das juntas

syms th1 th2 th3 th4 th5 dth1 dth2 dth3 dth4 dth5

%Comprimento dos elos

syms L1 L2 L3 L dL

%Posição do centro de massa nos respectivos elos e gravidade

syms c1 c2 c3 g

%Massa dos elos

syms m1 m2 m3 M

%Tensor de inércia do primeiro elo

syms I111 I112 I113 I121 I122 I123 I131 I132 I133

%Tensor de inércia do segundo elo

syms I211 I212 I213 I221 I222 I223 I231 I232 I233

%Tensor de inércia do terceiro elo

syms I311 I312 I313 I321 I322 I323 I331 I332 I333

%Tensor de inércia do conjunto cL2o de aço + massa M

syms I411 I412 I413 I421 I422 I423 I431 I432 I433

function [tau]=Dinamica_Guindaste(th,dth,d2th)

th1=th(1);

th2=th(2);

th3=th(3);

th4=th(4);

th5=th(5);

L=th(6);

dth1=dth(1);

dth2=dth(2);

dth3=dth(3);

dth4=dth(4);

dth5=dth(5);

dL=dth(6);

d2th1=d2th(1);

d2th2=d2th(2);

d2th3=d2th(3);

d2th4=d2th(4);

74

d2th5=d2th(5);

d2L=d2th(6);

J0G1= simplify(jacobian(P0G1,v));%Jacobiano elo 1



J0G6= simplify(jacobian(P0G6,v));%Jacobiano cL2o de aço

V0G1= J0G1*v1;%Velocidade do centro de massa do elo 1



V0G6= J0G6*v1;%Velocidade da carga na ponta do cabo de aço

%Velocidades angulares das bases fixas nos elos em relação a base

anteriores

W01= [0;0;diff(sym('th1(t)'))];

W12= [diff(sym('th2(t)'));0;0];

W23= [diff(sym('th3(t)'));0;0];

W34= [diff(sym('th4(t)'));0;0];

W45= [0;diff(sym('th5(t)'));0];

W02= W01+r01*W12;%velocidade angular da junta 2 no referencial

inercial

r02= r01*r12;%determinação de r02

W22= r02.'*W02;%r20 = r02 transposta. Logo, W22 = r20*W02


inercial

r03= r01*r12*r23;%determinação de r03



inercial

r04= r01*r12*r23*r34;%determinação de r04



inercial

r05= r01*r12*r23*r34*r45;%determinação de r05


%Tensor de inércia no centro de massa do elo 1 (quilogramas * metros

quadrados):

%Obtido no centro de massa e alinhado com o sistema de coordenadas de

saída.

I1= [I111 I112 I113;I121 I122 I123;I131 I132 I133];


quadrados):


saída.

I2= [I211 I212 I213;I221 I222 I223;I231 I232 I233];


quadrados):


saída.

I3= [I311 I312 I313;I321 I322 I323;I331 I332 I333];

%Tensor de inércia no centro de massa do conjunto cL2o de aço + massa

M (quilogramas * metros quadrados):

75


saída.

I4= [I411 I412 I413;I421 I422 I423;I431 I432 I433];

%LAGRANGE: L = Ecin - Epot

%Elo 1:

Ecr1= (1/2)*W01.'*I1*W01;%Energia cinética de rotação

Ect1= (1/2)*m1*V0G1.'*V0G1;%Energia cinética de translação

Ep1= -m1*g*P0G1z;%Energia potencial

%Elo 2:




%Elo 3:




%CL2o de aço + massa M:


Ect4= (1/2)*M*V0G6.'*V0G6;%Energia cinética de translação

Ep4= -M*g*P0G6z;%Energia potencial

Ecin= Ecr1+Ect1+Ecr2+Ect2+Ecr3+Ect3+Ecr4+Ect4;%Energia cinética total

Epot= Ep1+Ep2+Ep3+Ep4;%Energia potencial total

L= Ecin-Epot;%Lagrangeano

%Torque nas juntas

%Utilização de variáveis auxiliares para reformulação do Lagrangeano

a= subs(L,diff(sym('th1(t)')),'dth1');

a= subs(a,diff(sym('th2(t)')),'dth2');




a= subs(a,diff(sym('L(t)')),'dL');

%Junta 1:

dLdth1= diff(a,'dth1'); %Derivada parcial do Lagrangeano

b= subs (dLdth1,'th1','th1(t)');

b= subs (b,'th2','th2(t)');




b= subs (b,'L','L(t)');

b= subs(b,dth1,diff(sym('th1(t)')));





b= subs(b,dL,diff(sym('L(t)')));

dLdt1= diff(b); %Derivada em função do tempo

b= subs(dLdt1,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

b= subs(b,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');



76


b= subs(b,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

b= subs(b,diff(sym('th1(t)')),'dth1');





b= subs(b,diff(sym('L(t)')),'dL');

b= subs (b,'th1(t)','th1');





b= subs (b,'L(t)','L');

dLth1= diff(L,'th1'); %Derivada do Lagrangeano em função de th1

c= subs(dLth1,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

c= subs(c,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');




c= subs(c,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

c= subs(c,diff(sym('th1(t)')),'dth1');





c= subs(c,diff(sym('L(t)')),'dL');

Tau1= b-c %Torque na junta1

%Junta 2:

dLdth2= diff(a,'dth2');

d= subs (dLdth2,'th1','th1(t)');

d= subs (d,'th2','th2(t)');




d= subs (d,'L','L(t)');

d= subs(d,dth1,diff(sym('th1(t)')));





d= subs(d,dL,diff(sym('L(t)')));

dLdt2= diff(d);

d= subs(dLdt2,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

d= subs(d,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');




d= subs(d,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

d= subs(d,diff(sym('th1(t)')),'dth1');



77



d= subs(d,diff(sym('L(t)')),'dL');

d= subs (d,'th1(t)','th1');





d= subs (d,'L(t)','L');

dLth2= diff(L,'th2');

e= subs(dLth2,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

e= subs(e,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');




e= subs(e,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

e= subs(e,diff(sym('th1(t)')),'dth1');





e= subs(e,diff(sym('L(t)')),'dL');

Tau2= d-e%Torque na junta2

%Junta 3:

dLdth3= diff(a,'dth3');

f= subs (dLdth3,'th1','th1(t)');

f= subs (f,'th2','th2(t)');




f= subs (f,'L','L(t)');

f= subs(f,dth1,diff(sym('th1(t)')));





f= subs(f,dL,diff(sym('L(t)')));

dLdt3= diff(f);

f= subs(dLdt3,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

f= subs(f,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');




f= subs(f,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

f= subs(f,diff(sym('th1(t)')),'dth1');





f= subs(f,diff(sym('L(t)')),'dL');

f= subs (f,'th1(t)','th1');


78




f= subs (f,'L(t)','L');

dLth3= diff(L,'th3');

h= subs(dLth3,diff(sym('th1(t)'),2),'d2th1');

h= subs(h,diff(sym('th2(t)'),2),'d2th2');




h= subs(h,diff(sym('L(t)'),2),'d2L');

h= subs(h,diff(sym('th1(t)')),'dth1');





h= subs(h,diff(sym('L(t)')),'dL');

Tau3= f-h%Torque na junta3

end

ti=0;

tf=12;

num=200;

t=linspace(ti,tf,num);

dt=(tf-ti)/num;

n=0;

for i=1:length(t)

w=1;

X(i)=10*cos(t(i))+30;

Y(i)=-12+2*t(i);

Z(i)=5*sin(t(i))+10;

L1=20;

L2=29;

L3=18;

L=5;

th1(i)=atan2(Y(i),X(i));

A=-2*(X(i)/cos(th1(i)))*L2;

B=2*(L1-L)*L2-2*Z(i)*L2;

C=((X(i)^2)/(cos(th1(i)))^2)+Z(i)^2+(L1-L)^2+L2^2-2*Z(i)*(L1-L)-L3^2;

th21(i)=atan2((-B*C+sqrt((B^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-A^2))),(-

A*C+sqrt((A^2*C^2)-(A^2+B^2)*(C^2-B^2))));

th33(i)=-atan2((-Z(i)+L1-L+L2*sin(th21(i))),(X(i)/cos(th1(i))-

L2*cos(th21(i))))-th21(i);

x(i)=L2*cos(th21(i))+L3*cos(th33(i)+th21(i));

y(i)=(L2*cos(th21(i))+L3*cos(th33(i)+th21(i)))*sin(th1(i));

z(i)=L1-L+L2*sin(th21(i))+L3*sin(th33(i)+th21(i));

79

th4(i)=th33(i)+th21(i);

th5(i)=0;

Ld(i)=0;

end

for i=1:length(t)-1

th21p(i)=(th21(i+1)-th21(i))/(t(i+1)-t(i));

th1p(i)=(th1(i+1)-th1(i))/(t(i+1)-t(i));

th33p(i)=(th33(i+1)-th33(i))/(t(i+1)-t(i));

th4p(i)=(th4(i+1)-th4(i))/(t(i+1)-t(i));

th5p(i)=0;

Lp(i)=0;

end

for i=1:length(t)-2





th5pp(i)=0;

Lpp(i)=0;

end

q=[th1' th21' th33' th4' th5' Ld'];

dq=[th1p' th21p' th33p' th4p' th5p' Lp'];

ddq=[th1pp' th21pp' th33pp' th4pp' th5pp' Lpp'];

tau=[];

for i=1:length(ddq)

aux=Dinamica_Guindaste(q(i,:),dq(i,:),ddq(i,:));

tau(i,:)=aux';

end

%% Plotagem de gráfico

figure(2);

plot(tau,'LineWidth',2.5)

grid on

xlabel('Tempo(s) x 10^-¹')

ylabel('\tau(t) [N.m]')

title('Gráfico dos torques das juntas 1, 2 e 3')

legend('\tau_1','\tau_2','\tau_3')

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

estudo do comportamento cinemático e dinâmico de um guindaste

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