estudo das linhas de campo magnético em tokamaks com ... · o campo magnético é uma...

Anais do 14O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIV ENCITA / 2008 Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 20 a 23, 2008.

Estudo das linhas de campo magnético em tokamaks com desviadores

Renata Mourão Depto. de Física, Grupo de Física de Plasmas, Instituto tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, Brasil [email protected] Marisa Roberto Depto. de Física, Grupo de Física de Plasmas, Instituto tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos – SP, Brasil [email protected]

Iberê Luiz Caldas Instituto de Física, Universidade de São Paulo, São Paulo – SP, Brasil [email protected] Resumo. As linhas de campo magnético presentes em plasmas confinados magneticamente em tokamaks, são órbitas de sistemas hamiltonianos. O campo magnético é uma superposição de um campo de equilíbrio e um campo perturbativo. Descrevemos o formalismo adotado para descrever o equilíbrio, que é determinado através de uma equação diferencial parcial, não-linear e elíptica que envolve as funções de fluxo e de corrente. O campo perturbativo pode ter diversas origens: correntes internas e externas, limitadores magnéticos, desviadores e outros. Particularmente, um desviador poloidal pode ser simulado causando uma perturbação localizada nas linhas de campo magnético através de um anel externo de corrente paralelo à corrente de plasma, a fim de criar na superfície magnética mais externa, uma separatriz, ou um ponto de X. Assim, a topologia das linhas de campo pode ser estudada na região estocástica. A estrutura das linhas de campo magnético resultante pode ser obtida por integração numérica direta das equações das linhas de campo. Também é possível obter um mapa através das equações magnetohidrodinâmicas. Além disso, a topologia das linhas de campo também pode ser estudada através de mapas mais simples bidimensionais, no qual a área se preserva. Um método de obtenção de mapas simples para estudar tais configurações magnéticas foi utilizado. Este método proposto por Punjab, é chamado de método dos mapas. Com isso, foi possível estudar o comportamento das linhas de campo na região próxima ao ponto de x. Observa-se que, o aumento da perturbação leva ao surgimento de linhas de campo caóticas nessa região.

Palavras chave: plasma, tokamaks, linhas caóticas de campo, desviador.

1. Introdução

A disponibilidade de energia é um requisito essencial para o crescimento econômico e a melhora da qualidade de vida. Para sustentar e aumentar a taxa de consumo de energia no mundo, com base nas atuais expectativas para o século, há apenas três opções de fonte de energia primária disponíveis: energia solar, fissão nuclear regeneradora e fusão nuclear. A Fusão Nuclear, um processo que consiste basicamente na junção de núcleos atômicos [1], requer ainda desenvolvimentos tecnológicos de ponta para que se torne uma fonte de energia economicamente viável.

Na temperatura necessária para fusão (da ordem de 108 K) a matéria encontra-se em estado de plasma, totalmente ionizada, podendo ser tratada do ponto de vista de fluido. Fazemos isso através do uso das equacões magnetohidrodinâmicas (MHD). O reator de fusão mais usado atualmente é o Tokamak, que é um dispositivo toroidal de confinamento magnético.

Partículas que colidem com a parede do tokamak constituem um problema tecnológico, poluindo e resfriando o plasma com impurezas arrancadas da parte interna do tokamak.

Uma região de linhas de campo magnético caóticas pode uniformizar o fluxo de partículas e de energia térmica para a parede do tokamak, evitando ataques localizados na estrutura. Esta região pode ser criada através de perturbações ressonantes com os campos de equilíbrio. Tais perturbacões podem ser impostas por um desviador, formado por um anel externo de corrente que tem como propósito criar na superfície magnética mais externa uma separatriz ou ponto de X, redirecionando o escape das partículas do plasma da borda, para placas coletoras localizadas na parede do tokamak. Uma vez na região entre a separatriz e as placas, o plasma pode ser reciclado, fazendo com que as impurezas não retornem ao plasma. O controle do fluxo de calor nas placas do desviador é de importância crucial no desenvolvimento de projetos de futuros reatores de fusão, como o JET, o DIII-I e o futuro reator a ser construído na Franca, o ITER, que possui desviadores poloidais.

Afim de estudar as trajetórias das linhas de campo na região estocástica, utilizamos uma formulação hamiltoniana no limite de alta razão de aspecto, no qual o traçado das linhas de forca são descritas pela superposição do campo de equilíbrio, com o campo criado por um fio ou anel de corrente. Descrevemos o campo magnético de equilíbrio para um tokamak descrito em termos de uma função de fluxo poloidal, solução da equação de Grad-Shafranov representada nas coordenadas polares toroidais. Isto possibilita obter os perfis das superfícies de fluxo, os perfis das componentes do campo toroidal e do campo poloidal de equilíbrio, além do perfil do fator de segurança para essas quantidades.

mailto:[email protected]



Anais do XIV ENCITA 2008, ITA, Outubro, 20-23, 2008 ,

Outro método mais simples para estudar tais configurações magnéticas também foi utilizado, baseado no fato

de que o movimento das linhas de campo é governado por uma hamiltoniana com um único grau de liberdade independente do tempo. Este método, proposto por Punjab [3] é chamado de método dos mapas, e nele, a topologia das linhas de campo magnético em tokamaks com um divertor, pode ser representada por um mapa, cuja a área se conserva. Obtêm-se uma configuração de campo magnético com uma separatriz não-destruída que de forma bem definida, separando as superfícies magnéticas fechadas das superfícies abertas. As impressões das linhas de campo caóticas deixadas nas placas do divertor, chamadas de footprints, podem ser obtidas, além dos mapas de conexão, que dá o número de voltas que a linhas de campo dá no toróide, até alcançar as paredes da câmara. 2. Descrição Teórica

2.1. Descrição do equilíbrio MHD

O sistema de coordenadas polares toroidais [4] é apropridado à descrição dos campos magnéticos de equilíbrio e de perturbação de plasmas confinados em câmaras toroidais. Tal sistema foi escolhido porque, no limitte de alta razão de aspecto, a equação de Grad-Shafranov torna-se uma equação para um equilíbrio cilíndrico, mas levando em consideração efeitos toroidais. Escrevemos as coordenadas polares toroidais ( ), ,t t tr θ ϕ em termos das coordenadas

toroidais ( ), ,ξ ω ϕ como: '0 ,

cosh costRrξ ω

=−

(1)

,θ π ω= − (2)

,tϕ ϕ= (3) onde

22 2 2

0 ' '0 0

1 2 cost tt

r rR R senR R tθ θ

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢= − − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

⎥ (4)

relaciona o eixo do sistema polar toroidal com a coordenada cilíndrica R.

As equações MHD são dadas por [5]: ,p∇ = ×J B (5)

0 ,μ =∇×J B (6)

0,∇⋅ =B (7) que sob configurações de assimetria, podem ser sintetizadas em uma única equação diferrencial parcial elíptica denominada equação de Grad-Shafranov. Da equação (5) temos que 0p p⋅∇ = ⋅∇ =J B , ou seja, tanto o campo magnético quanto a densidade de corrente encontram-se sob superfícies isobáricas ou superfícies magnéticas. Cada superfície magnética é associada então a um fluxo magnético poloidal 2 pπψ , que é o fluxo de linhas de campo passando através de um plano que se estende do eixo magnético até a superfície magnética específica. Outra quantidade superficial é o fluxo da densidade de corrente poloidal 2 Iπ , que é o fluxo referente ao mesmo plano especificado para

o fluxo poloidal. Sendo I, pψ e a pressão P quantidades superficiais, podemos considerar ( )pP ψ e ( )pI ψ . Da

equação (7) obtemos o campo magnético de equilíbrio em termos do gradiente de uma função escalar independente da coordenada azimutal que, em coordenadas polares toroidais ( ), ,t t tr θ ϕ é escrito como:

pt t

Br senh r senh

ϕϕψ ϕ

ξ ξ= ×∇ +

e eB . (8)

Da equação (6) e fazendo uso das equações MHD, encontramos a equação de Grad-Shafranov, que deve ser satisfeita para pψ e que, em coordenadas polares-toroidais, é escrita como:


( )2 2

' 2 20 0 02 2 ' ' 2

0 0

2

' 2 20

1 1 2 cos

1 1 2cos 2 ,

p p t tt p t

t t t t p

p p p ptt t

t t t t t t t t

r rdPr J Rr t r r d R R

r senR r r r r r r

ϕ

ψ ψμ ψ μ θ θ

θ ψ

ψ ψ ψ ψθ θ

θ θ

∂ ∂⎛ ⎞ ⎛∂+ = + +⎜ ⎟ ⎜∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂+ + + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

2

tsen⎞+⎟⎠

(9)

onde a componente de J é dada por:

( ) ' 20

1 .2p o

p p

dP dJ Rd dϕ ψψ ψ

⎛ ⎞= − − ⎜⎝ ⎠

Iμ ⎟ (10)

Como neste trabalho será considerado um tokamak de alta razão de aspecto ( )'0/tr R → 0 e também que

( )p trψ não depende da coordenada poloidal tθ , a equação pode ser simplificada a:

( )01 ,p

tt t

dd r Jr dt dr ϕ

ψμ

⎛ ⎞=⎜ ⎟

⎝ ⎠tr

)

(11)

ou seja, assumir as funções ( pP ψ e ( pI )ψ equivale a admitir Jϕ . O perfil de Jϕ observado em alguns

experimentos, é um perfil não-monotômico, dado por:

( )( )' 2 20

2 2

2 11 1

2p t tI R r rJa a

,a

γ

ϕ

γ γβ

π β γ+ + ⎛ ⎞⎛

= +⎜ ⎟⎜+ + ⎝ ⎠⎝

⎞− ⎟

⎠ (12)

onde pI é a corrente total de plasma, γ e β são parâmetros ajustáveis e a é o raio da coluna de plasma. Substituindo a Eq. (12) na Eq. (11) temos:

( )( )

1' 20 0

2

11 1

2 2p p t

t t

d I R rdr r a

γψ μ β γ

π β γ

+⎡ ⎤⎛ ⎞+⎢= − +⎜⎜ + +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.⎥⎟⎟ (13)

Resolvendo a equação 13, obtemos os campos magnéticos de equilíbrio e o fator de segurança q, o qual é definido como:

2

0

12 t

pol

Bq

B

πϕ dθ

π= ∫ (14)

em que Bϕ é o campo toroidal e polB é o campo poloidal .

Inserindo o perfil de Jϕ na eq. 11, poderemos encontrar a função fluxo ψ , e consequentemente os campos, dados por:

2 20 '

2 2

1

02 ' 2 '

0 0

0

1 1 12

1 2 cos2

t

t

t

r

p t t

t

o e tt

B

I r rBr a a

I I rBR R R

θ

ϕ

μβ

π

μ μ θπ

−

=

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞= − + −⎢ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

⎡ ⎤= − = −⎢ ⎥

⎣ ⎦

2 ⎥ (15)

em que pI é a corrente de plasma e 2eI Iπ≅ − , que é a corrente externa que produz o campo toroidal e

( )( )

' 12

β γβ

β γ+

=+ +

(16)

2.2. Descrição por mapas simples

Formalmente, linhas de campo magnético são órbitas de sistemas hamiltonianos, o que nos possibilita empregar mapas hamiltonianos bidimensionais para descrever as configurações toroidais magnéticas em plasmas


)1 ,+

)

confinados em tokamaks [6]. Embora trajetórias sobre um mapa de retorno para tokamaks possam ser obtidas por meio da integração direta das equações diferenciais para as linhas de campo magnético, isto requer longos tempos de computação. Obter mapas através das equações MHD também pode ser um processo custoso, pois requer o cálculo numérico das funções presentes no mapa. Métodos mais rigorosos podem ser utilizados para obter mapas a partir de funções hamiltonianas dadas [7], mas o uso de mapas mais simples, aproximados, deve ser considerado, pois estes oferecem a grande vantagem de tempos de computação muito mais curtos, além da simplificação da análise dos resultados obtidos.

Um mapa muito apropriado para descrever os fenômenos básicos de sistemas hamiltonianos é o Mapa Padrão (SM, do inglês Standard Map) [8]. Apesar do SM possuir um perfil pouco realístico do fator de segurança e uma perturbação particularmente simples, ele apresenta as mesmas propriedades fundamentais de modelos mais sofisticados, e se mostra muito útil para descrever a dinâmica local de mapas mais complexos. Um desses fenômenos é o efeito de perturbações ressonantes, com o surgimento e crescimento de ilhas e sobrevivência de toros invariantes. Outro fenômeno importante é a passagem ao regime de caos no espaço de fases por meio da iteração entre ressonâncias adjacentes.

Um outro mapa é o chamado Tokamap [9], que foi construído como um modelo para o tokamak, levando em conta que um tokamak deve possuir um perfil realístico da transformada rotacional, que no modelo pode ser livremente escolhido. O tokamap pode ser utilizado para descrever tokamaks com limitadores ergódicos, devido a maior intensidade da perturbação próximo a borda do plasma.

O mapa de Martin-Taylor (MTM) [10] modela linhas de campo magnético com um limitador magnético ergódico. O MTM é uma composição de dois mapas: um mapa integrável simples para a descrição da dinâmica de equilíbrio e um mapa perturbativo, que quebra a simetria. O mapa utilizado neste trabalho é introduzido como o mais simples modelo para a configuração magnética de um tokamak equipado com um defletor, o “mapa simples simétrico” (SSM, simple simetric map) [3] é especialmente voltado ao estudo do fluxo e pegadas magnéticas sobre as placas dos desviadores. Configurações magnéticas produzidas por desviadores (divertors) produzem uma configuração magnética que apresentam uma separatriz em torno dos usuais toros aninhados, com um ou mais pontos hiperbólicos. As pegadas magnéticas são definidas pelo ponto de impacto com as placas. O SSM é dado pelas seguintes equações:

( )( ) (

21

1 1

2 2 1 ,

1 1n n n n n

n n n n n n

y y kx k y y

x x ky y ky y+

+ +

= + − −

= − − − − (17)

em que ( ,n nx y são as coordenadas retangulares sobre a superfície de seção poloidal e k determina amplitude das assimetrias toroidais no campo magnético, naturais ou impostas externamente. A hamiltoniana do SSM é:

( ) ( )2 2,2 3k kH X Y X Y Y= + − 3. (18)

que pode integrada para obter as equações de movimento e assim obter o SSM contínuo, com x sendo o momento canônico e y a posição canônica. Esta hamiltoniana descreve a configuração de campo magnético com uma separatriz não-destrída que de separa as superfícies fechadas das superfícies abertas. 3. Obtenção dos mapas

Simulações de mapas feitas numericamente para diversos valores de k, mostram que o SDM representa muito bem um tokamak com um ponto de X. Um ponto importante é que k pode ser diretamente relacionado ao fator de segurança q, de forma que se desejarmos um q na borda igual a 3.0, k=0.3 deve ser escolhido [3]. Isto significa que são necessárias 10 iterações no mapa para dar uma volta completa no ângulo toroidal ϕ . O retrato de fase para k=0.3, mostrado na fig.1 exibe a configuração do campo magnético, com uma separatriz não-destruída e as superfícies magnéticas fechadas na região interna a separatriz. Como k=0.3 representa uma perturbação muito pequena, não ocorre o surgimento de caos, como podemos ver na fig.1. Pequenas perturbações introduzem caos no sistema, ou seja, a formação de uma estreita camada caótica na região da separatriz (fig.2). Para k=0.5 (fig.2 (b)) observa-se o aumento da largura desta camada estocástica, o que evidencia o fato de que o aumento da perturbação leva ao aparecimento de fenômenos caóticos.


Figura 1. Mapas de Poincaré para k=0.2.

(a)

(b)


Figura 2. Mapas de Poincaré para os parâmetros de perturbação (a) k= 0.4 e (b) k=0.5.

Com uma ampliação da região próxima a y=1 é possível ter uma melhor visualização da camada estocástica, e

observar a diferença entre os valores de k=0.3, k=0.4 e k=0.5. Isto pode ser verificado nos gráficos da fig. 3. (a)


(b)

(c)

Figura 3. Mapas de Poincaré das figs. 1 e 2 ampliados, para os parâmetros de perturbação (a) k= 0.3 e (b)

k=0.4 e (c) k=0.5. Esses resultados nos possibilitam agora, continuar o estudo das linhas de campo caóticas, que seguirá do

cálculo da largura estocástica em cada situação de perturbação, e o padrão das impressões das linhas de campo deixadas nas placas do divertor, os chamados “footprints”. 3. Agradecimentos

Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro. 5. Referências [1] Bittencourt, J. A. Fundamentals of Plasma Physics. FAPESP, São Paulo, 2 edition, 1995. [2] Post, D.E, et al. ITER Physics (IAEA, Vienna, 1991), ITER Documentarion Series, n. 21. [3] Punjab, A., Ali, H., Boozer,A. Phys. of Plasmas, 4 (2), 337-346, 1997. [4] Kucinski,M. Y.; Caldas, I. L.; Monteiro, L. H. A. and Okano, V. J. Plasma Phys., v.44:303–311, 1990. [5] Freidberg, J.P. Ideal Magnetohydrodynamics. Plenum Press, New York, 1987. [6]da Silva, E. C. Efeitos da Geometria Toroidal na Atuação dos Campos Helicoidais Ressonantes em Tokamaks. Tese de doutorado, USP, São Paulo, 2000. [7] Adbullaev, S.S. Nuclear Fusion, 44, S12-S27, 2004. [8] Greene, J. M. A method for determining a stochastic transition. Journal of Mathematical Physics, 20 (6):1183-1201,

1979.


[9] Wobig, H. Magnetic-surfaces and localized perturbations in the Wendelstein VII-A stellarator. Zeitschrift fur

Naturforschung, 42 (10): 1054-1066. [10] Martin, T. J. e Taylor, J. B. Ergodic behaviour in a magnetic limiter. Plasma Physics and Controlled Fusion, 26

(1B): 3145-3148.

estudo das linhas de campo magnético em tokamaks com ... · o campo magnético é uma...

Documents