estudo das cÔnicas usando coordenadas polares … e... · mostrar que todas as cônicas não...

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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 17 ESTUDO DAS CÔNICAS USANDO COORDENADAS POLARES Tiago Santos Arruda 1 , Bruno Rogério Locatelli dos Santos, Eugenia Brunilda Opazo Uribe Universidade Federal de Mato Grosso do Sul Campus de Três Lagoas. Email: [email protected]. 1 Bolsista Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS RESUMO O presente trabalho tem por objetivo apresentar o resultado de um estudo realizado sobre as cônicas em coordenadas polares. É apresentada uma introdução sobre coordenadas polares, sua relação com as coordenadas cartesianas e as vantagens encontradas em seu uso. É feita uma caracterização unificada da Elipse, Parábola e Hipérbole, isto é, das cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência. A partir da caracterização feita é obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, para, em seguida, obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares ou equação polar das cônicas, equivalente à equação geral em coordenadas cartesianas e que se baseia em uma característica comum a todas as cônicas: a excentricidade. Palavraschave: Coordenadas Polares, Cônicas, Elipse, Parábola, Hipérbole INTRODUÇÃO O sistema de coordenadas ao qual estamos acostumados é o sistema de coordenadas cartesianas, que estabelece uma correspondência entre os pontos de um plano geométrico e . Há outros sistemas de coordenadas que podem ser utilizados para localizar pontos num plano, o sistema de coordenadas polares é um deles. Este sistema representa um recurso importante, pois algumas curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado (Leithold, 1994). O objetivo do trabalho é obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares a partir da caracterização unificada feita em coordenadas cartesianas. METODOLOGIA O trabalho foi desenvolvido em etapas, incluindo pesquisa bibliográfica, conceitos importantes, principais resultados e suas demonstrações, avaliados através de seminários de discussão e exercícios. RESULTADOS Para definir as coordenadas polares escolhemos um ponto O que chamaremos de pólo e uma reta orientada passando por ele, que chamaremos de eixo polar. No sistema de coordenadas polares Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012

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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 17

ESTUDO DAS CÔNICAS USANDO COORDENADAS POLARES  

Tiago Santos Arruda1, Bruno Rogério Locatelli dos Santos, Eugenia Brunilda Opazo Uribe  Universidade Federal de Mato Grosso do Sul ‐ Campus de Três Lagoas. E‐mail: [email protected]. 1Bolsista Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS 

  

RESUMO O presente trabalho tem por objetivo apresentar o resultado de um estudo realizado sobre as cônicas em coordenadas polares. É apresentada uma introdução sobre coordenadas polares, sua relação com as  coordenadas  cartesianas  e  as  vantagens  encontradas  em  seu  uso.  É  feita  uma  caracterização unificada  da  Elipse,  Parábola  e  Hipérbole,  isto  é,  das  cônicas  não  degeneradas,  com  exceção  da circunferência. A partir da caracterização feita é obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, para, em seguida, obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares ou equação polar das cônicas, equivalente à equação geral em coordenadas cartesianas e que se baseia em uma característica comum a todas as cônicas: a excentricidade. Palavras‐chave: Coordenadas Polares, Cônicas, Elipse, Parábola, Hipérbole  

 

INTRODUÇÃO 

O  sistema  de  coordenadas  ao  qual  estamos  acostumados  é  o  sistema  de  coordenadas 

cartesianas, que estabelece uma correspondência entre os pontos de um plano geométrico e  . Há 

outros sistemas de coordenadas que podem ser utilizados para localizar pontos num plano, o sistema 

de coordenadas polares é um deles. Este  sistema  representa um  recurso  importante, pois algumas 

curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado (Leithold, 1994). 

O objetivo do trabalho é obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares a partir da 

caracterização unificada feita em coordenadas cartesianas. 

 

METODOLOGIA 

O  trabalho  foi  desenvolvido  em  etapas,  incluindo  pesquisa  bibliográfica,  conceitos 

importantes,  principais  resultados  e  suas  demonstrações,  avaliados  através  de  seminários  de 

discussão e exercícios. 

 

RESULTADOS 

Para definir as coordenadas polares escolhemos um ponto O que chamaremos de pólo e uma 

reta orientada passando por ele, que chamaremos de eixo polar. No sistema de coordenadas polares 

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um ponto no plano é  localizado dando‐se a distância do ponto ao pólo,   e o ângulo, ),( OPdr , 

entre os vetores   e um vetor na direção e  sentido do eixo polar,  com a mesma  convenção da 

trigonometria,  ou  seja,  ele  é  positivo  se medido  no  sentido  anti‐horário  a  partir  do  eixo  polar  e 

negativo se medido no sentido horário a partir do eixo polar. As coordenadas polares de um ponto P 

do plano são escritas na forma 

OP

),( r , Santos (2001). 

 

 

Figura 1 

 

Supondo  que  o  pólo  e  o  eixo  polar  do  sistema  de  coordenadas  polares  coincidem  com  a 

origem e o eixo Ox do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente (ver figura 1); podemos 

escrever uma relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares, da seguinte forma, 

cosrx     e      rseny , 

bem como, 

22 yxr ,        22

cosyx

x

,        

22 yx

ysen

,   se  . 022 yx

  Utilizaremos as coordenadas polares para estudar as cônicas, já que para aquelas que não são 

circunferências a equação assume uma forma simples, se considerarmos o caso em que o foco está no 

pólo e a reta diretriz é paralela ou perpendicular ao eixo polar. 

As  seções  cônicas ou,  simplesmente,  cônicas  são  curvas geradas, na  interseção de um cone 

circular reto com um plano. Se o plano que  intersecta o cone passa pelo vértice, a secção obtida é 

uma cônica degenerada: um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes; caso contrário, obtemos as 

chamadas cônicas não degeneradas: são elas a elipse, a parábola e a hipérbole.  

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A  elipse  é  a  curva  obtida  pela  interseção  de  um  cone  com  um  plano  que  não  passa  pelo 

vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá‐lo) 

e que corta apenas uma das folhas da superfície. A parábola é a curva obtida pela interseção de um 

cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone. A hipérbole é a curva obtida pela interseção 

de um cone por um plano paralelo ao seu eixo que não passa pelo vértice. 

 

   

Figura 2. Santos (2001) 

 

Caracterização das Cônicas 

Embora  cada  uma  das  seções  cônicas  possua  uma  equação  que  a  caracterize,  podemos 

mostrar que todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas 

de uma mesma maneira. 

Dados uma  reta  r e um ponto F não pertencente à  reta. A elipse, a hipérbole e a parábola 

podem ser definidas como o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias ao ponto F e a reta 

r  é  uma  constante  real  positiva  que  depende  de  cada  curva.  Esta  constante  será  chamada  de 

excentricidade (e). A reta r será chamada de diretriz e o ponto F dado será chamado de foco.  

erPd

FPd

),(

),(.                                                              (1) 

 

Considerando  r a  reta diretriz, F o  foco e P um ponto qualquer da  curva. Então, a definição acima 

pode ser interpretada geometricamente através da figura 3, onde  ,   e  , são distintos e são as 1e 2e 3e

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excentricidades  da  elipse,  hipérbole  e  parábola,  respectivamente,  satisfazendo  ,    e 10 1 e 12 e

13 e .  

 

     

Figura 3 

 

Equação Geral das Cônicas 

A partir da caracterização feita, podemos obter uma única expressão para as cônicas, chamada 

de Equação Geral das Cônicas. Para  isto, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas  , xOy

onde o eixo   coincida com a reta diretriz r e o eixo   seja a reta perpendicular a reta diretriz r Oy Ox

passando pelo foco F. Consideraremos o foco como sendo  )0,2( pF , onde  , de acordo com a p

figura 4.  

0

 

 

Figura 4 

 

Consideremos um ponto qualquer   de uma das cônicas. Da definição apresentada em (1), ),( yxP

temos que, 

 

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erPd

FPd

),(

),( 

 

Como  22)2(),( ypxFPd  e considerando ainda que  ||),( xrPd , podemos escrever 

 

||)2(),( 22 xeypxFPd . 

 

Assim, elevando ao quadrado ambos os membros obtemos 

 

2222)2( xeypx , 

 

ou ainda, 

044)1( 2222 pypxxe                                          (2) 

 

que denominamos equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas. 

 

Equação Polar das cônicas 

Uma vez obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, nosso objetivo agora 

é  obter  esta  equação  utilizando  coordenadas  polares.    Para  isto  utilizaremos  a  equação  (1)  e 

consideraremos  F  o  foco  e  d  a  reta  diretriz  de  uma  cônica  C  qualquer  posicionada  no  sistema 

cartesiano  xOy, de  forma que d  coincida  com o eixo Oy e  )0,(qF  onde  . Consideraremos 0q

ainda,  no mesmo  sistema  xOy,  o  eixo  polar O’x  numa  posição  sobre  o  eixo Ox  tal  que  o  pólo O’ 

coincida com o foco F como mostrado na figura 5. 

 

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Figura 5 

 

Sendo  P  um  ponto  qualquer  da  cônica  C  com  coordenadas  polares  ),( r ,  definimos  qOF   e 

consideramos M e N, as projeções ortogonais de P sobre d e O’x respectivamente. Obtemos assim, 

cosrFM .  Sabendo  que,  rFPd ),(   e  d cos),(),( rqNPdrP ,  podemos  substituir  na 

equação (1), para obter 

 

erq

r

cos 

 

que podemos reescrever na forma 

 

cos1 e

eqr

,                                                          (3) 

 

com  k2 , onde k um número  inteiro para  1e . Esta equação  representa a equação geral das 

cônicas  em  coordenadas  polares  e  é  equivalente  a  equação  geral  das  cônicas  em  coordenadas 

cartesianas (equação 2). Observemos que a equação (2) foi determinada considerando o foco F com 

coordenadas cartesianas   onde   no sistema xOy. Consideraremos agora a situação em que )0,(q 0q

o foco e o pólo coincidem com a origem do sistema xOy e eixo polar sobre o eixo Ox. Podemos obter 

outras  quatro  equações  polares  para  as  cônicas,  de  maneira  análoga  a  usada  anteriormente, 

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considerando o  caso em que a diretriz é perpendicular ao eixo polar e o  caso em que a diretriz é 

paralela ao eixo polar. 

  Considerando  o  caso  em  que  a  diretriz  d  é  perpendicular  ao  eixo  polar,  podemos  ter  duas 

situações, ela esta a direita ou a esquerda do eixo Oy, ver figura 6.  

 

 

Figura 6 

 

Para este caso, obtemos a equação 

 

cos1 e

eqr

,                                                              (4) 

para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está a direita ou a esquerda do eixo 

Oy, respectivamente.  

Considerando agora o  caso em que a diretriz d é paralela ao eixo polar, podemos  ter duas 

situações, ela esta acima ou abaixo do eixo Ox, conforme a figura 7.  

 

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Figura 7 

 

Para este caso, obtemos a equação 

 

esen

eqr

1,                                                               (5) 

 

para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está acima ou abaixo do eixo Oy, 

respectivamente.  

 

DISCUSSÃO 

  O trabalho desenvolve um estudo na busca por uma equação geral das cônicas, os resultados 

são apresentados tanto para coordenadas cartesianas, como para coordenadas polares, evidenciando 

a simplicidade desta equação no caso das coordenadas polares, o que se traduz em vantagens para o 

uso das mesmas. 

 

CONCLUSÕES 

  O estudo de coordenadas polares  justifica‐se por representar um referencial no qual podem 

ser  estudadas  algumas  curvas  que  seriam  praticamente  impossível  estudar  nas  coordenadas 

retangulares devido a complexidade na hora de escreve‐las, tais curvas podem ser facilmente escritas 

usando o referencial das coordenadas polares. 

 

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REFERÊNCIAS 

FRENSEL, K. Notas de Geometria Analítica.   Departamento de Geometria.  Instituto de Matemática. 

Universidade  Federal  Fluminense.  2010.  Disponível  em: 

<http://www.professores.uff.br/katia_frensel/#geometriaanalitica>. Acesso em: 09/09/2012. 

LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª. Ed. São Paulo: Harbra, 1994. 

LOPES, J. F. Cônicas e Aplicações. 2011. 185f. Dissertação (Mestrado). Departamento de Matemática, 

Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro. 

Mauri C. Nascimento – Dep. De matemática – FC – Unesp/Bauru Coordenadas polares 10/11/2004 

SANTOS, R.  J. Seções Cônicas. 2001. Departamento de Matemática –  ICEx. Universidade Federal de 

Minas  Gerais.  Disponível  em:  <http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/conicas.pdf>.  Acesso  em 

13/09/2012.