estudo das cÔnicas usando coordenadas polares … e... · mostrar que todas as cônicas não...
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Encontro de Ensino, Pesquisa e Extensão, Presidente Prudente, 22 a 25 de outubro, 2012 17
ESTUDO DAS CÔNICAS USANDO COORDENADAS POLARES
Tiago Santos Arruda1, Bruno Rogério Locatelli dos Santos, Eugenia Brunilda Opazo Uribe Universidade Federal de Mato Grosso do Sul ‐ Campus de Três Lagoas. E‐mail: [email protected]. 1Bolsista Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS
RESUMO O presente trabalho tem por objetivo apresentar o resultado de um estudo realizado sobre as cônicas em coordenadas polares. É apresentada uma introdução sobre coordenadas polares, sua relação com as coordenadas cartesianas e as vantagens encontradas em seu uso. É feita uma caracterização unificada da Elipse, Parábola e Hipérbole, isto é, das cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência. A partir da caracterização feita é obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, para, em seguida, obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares ou equação polar das cônicas, equivalente à equação geral em coordenadas cartesianas e que se baseia em uma característica comum a todas as cônicas: a excentricidade. Palavras‐chave: Coordenadas Polares, Cônicas, Elipse, Parábola, Hipérbole
INTRODUÇÃO
O sistema de coordenadas ao qual estamos acostumados é o sistema de coordenadas
cartesianas, que estabelece uma correspondência entre os pontos de um plano geométrico e . Há
outros sistemas de coordenadas que podem ser utilizados para localizar pontos num plano, o sistema
de coordenadas polares é um deles. Este sistema representa um recurso importante, pois algumas
curvas têm equações mais simples quando esse sistema é usado (Leithold, 1994).
O objetivo do trabalho é obter a equação geral das cônicas em coordenadas polares a partir da
caracterização unificada feita em coordenadas cartesianas.
METODOLOGIA
O trabalho foi desenvolvido em etapas, incluindo pesquisa bibliográfica, conceitos
importantes, principais resultados e suas demonstrações, avaliados através de seminários de
discussão e exercícios.
RESULTADOS
Para definir as coordenadas polares escolhemos um ponto O que chamaremos de pólo e uma
reta orientada passando por ele, que chamaremos de eixo polar. No sistema de coordenadas polares
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um ponto no plano é localizado dando‐se a distância do ponto ao pólo, e o ângulo, ),( OPdr ,
entre os vetores e um vetor na direção e sentido do eixo polar, com a mesma convenção da
trigonometria, ou seja, ele é positivo se medido no sentido anti‐horário a partir do eixo polar e
negativo se medido no sentido horário a partir do eixo polar. As coordenadas polares de um ponto P
do plano são escritas na forma
OP
),( r , Santos (2001).
Figura 1
Supondo que o pólo e o eixo polar do sistema de coordenadas polares coincidem com a
origem e o eixo Ox do sistema de coordenadas cartesianas, respectivamente (ver figura 1); podemos
escrever uma relação entre as coordenadas cartesianas e as coordenadas polares, da seguinte forma,
cosrx e rseny ,
bem como,
22 yxr , 22
cosyx
x
,
22 yx
ysen
, se . 022 yx
Utilizaremos as coordenadas polares para estudar as cônicas, já que para aquelas que não são
circunferências a equação assume uma forma simples, se considerarmos o caso em que o foco está no
pólo e a reta diretriz é paralela ou perpendicular ao eixo polar.
As seções cônicas ou, simplesmente, cônicas são curvas geradas, na interseção de um cone
circular reto com um plano. Se o plano que intersecta o cone passa pelo vértice, a secção obtida é
uma cônica degenerada: um ponto, uma reta ou duas retas concorrentes; caso contrário, obtemos as
chamadas cônicas não degeneradas: são elas a elipse, a parábola e a hipérbole.
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A elipse é a curva obtida pela interseção de um cone com um plano que não passa pelo
vértice, não é paralelo a uma reta geratriz (reta que gira em torno do eixo do cone de forma a gerá‐lo)
e que corta apenas uma das folhas da superfície. A parábola é a curva obtida pela interseção de um
cone por um plano paralelo a uma reta geratriz do cone. A hipérbole é a curva obtida pela interseção
de um cone por um plano paralelo ao seu eixo que não passa pelo vértice.
Figura 2. Santos (2001)
Caracterização das Cônicas
Embora cada uma das seções cônicas possua uma equação que a caracterize, podemos
mostrar que todas as cônicas não degeneradas, com exceção da circunferência, podem ser descritas
de uma mesma maneira.
Dados uma reta r e um ponto F não pertencente à reta. A elipse, a hipérbole e a parábola
podem ser definidas como o lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias ao ponto F e a reta
r é uma constante real positiva que depende de cada curva. Esta constante será chamada de
excentricidade (e). A reta r será chamada de diretriz e o ponto F dado será chamado de foco.
erPd
FPd
),(
),(. (1)
Considerando r a reta diretriz, F o foco e P um ponto qualquer da curva. Então, a definição acima
pode ser interpretada geometricamente através da figura 3, onde , e , são distintos e são as 1e 2e 3e
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excentricidades da elipse, hipérbole e parábola, respectivamente, satisfazendo , e 10 1 e 12 e
13 e .
Figura 3
Equação Geral das Cônicas
A partir da caracterização feita, podemos obter uma única expressão para as cônicas, chamada
de Equação Geral das Cônicas. Para isto, consideremos o sistema de coordenadas cartesianas , xOy
onde o eixo coincida com a reta diretriz r e o eixo seja a reta perpendicular a reta diretriz r Oy Ox
passando pelo foco F. Consideraremos o foco como sendo )0,2( pF , onde , de acordo com a p
figura 4.
0
Figura 4
Consideremos um ponto qualquer de uma das cônicas. Da definição apresentada em (1), ),( yxP
temos que,
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erPd
FPd
),(
),(
Como 22)2(),( ypxFPd e considerando ainda que ||),( xrPd , podemos escrever
||)2(),( 22 xeypxFPd .
Assim, elevando ao quadrado ambos os membros obtemos
2222)2( xeypx ,
ou ainda,
044)1( 2222 pypxxe (2)
que denominamos equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas.
Equação Polar das cônicas
Uma vez obtida a equação geral das cônicas em coordenadas cartesianas, nosso objetivo agora
é obter esta equação utilizando coordenadas polares. Para isto utilizaremos a equação (1) e
consideraremos F o foco e d a reta diretriz de uma cônica C qualquer posicionada no sistema
cartesiano xOy, de forma que d coincida com o eixo Oy e )0,(qF onde . Consideraremos 0q
ainda, no mesmo sistema xOy, o eixo polar O’x numa posição sobre o eixo Ox tal que o pólo O’
coincida com o foco F como mostrado na figura 5.
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Figura 5
Sendo P um ponto qualquer da cônica C com coordenadas polares ),( r , definimos qOF e
consideramos M e N, as projeções ortogonais de P sobre d e O’x respectivamente. Obtemos assim,
cosrFM . Sabendo que, rFPd ),( e d cos),(),( rqNPdrP , podemos substituir na
equação (1), para obter
erq
r
cos
que podemos reescrever na forma
cos1 e
eqr
, (3)
com k2 , onde k um número inteiro para 1e . Esta equação representa a equação geral das
cônicas em coordenadas polares e é equivalente a equação geral das cônicas em coordenadas
cartesianas (equação 2). Observemos que a equação (2) foi determinada considerando o foco F com
coordenadas cartesianas onde no sistema xOy. Consideraremos agora a situação em que )0,(q 0q
o foco e o pólo coincidem com a origem do sistema xOy e eixo polar sobre o eixo Ox. Podemos obter
outras quatro equações polares para as cônicas, de maneira análoga a usada anteriormente,
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considerando o caso em que a diretriz é perpendicular ao eixo polar e o caso em que a diretriz é
paralela ao eixo polar.
Considerando o caso em que a diretriz d é perpendicular ao eixo polar, podemos ter duas
situações, ela esta a direita ou a esquerda do eixo Oy, ver figura 6.
Figura 6
Para este caso, obtemos a equação
cos1 e
eqr
, (4)
para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está a direita ou a esquerda do eixo
Oy, respectivamente.
Considerando agora o caso em que a diretriz d é paralela ao eixo polar, podemos ter duas
situações, ela esta acima ou abaixo do eixo Ox, conforme a figura 7.
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Figura 7
Para este caso, obtemos a equação
esen
eqr
1, (5)
para a qual, o sinal positivo ou negativo indicará se a reta diretriz está acima ou abaixo do eixo Oy,
respectivamente.
DISCUSSÃO
O trabalho desenvolve um estudo na busca por uma equação geral das cônicas, os resultados
são apresentados tanto para coordenadas cartesianas, como para coordenadas polares, evidenciando
a simplicidade desta equação no caso das coordenadas polares, o que se traduz em vantagens para o
uso das mesmas.
CONCLUSÕES
O estudo de coordenadas polares justifica‐se por representar um referencial no qual podem
ser estudadas algumas curvas que seriam praticamente impossível estudar nas coordenadas
retangulares devido a complexidade na hora de escreve‐las, tais curvas podem ser facilmente escritas
usando o referencial das coordenadas polares.
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REFERÊNCIAS
FRENSEL, K. Notas de Geometria Analítica. Departamento de Geometria. Instituto de Matemática.
Universidade Federal Fluminense. 2010. Disponível em:
<http://www.professores.uff.br/katia_frensel/#geometriaanalitica>. Acesso em: 09/09/2012.
LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. 3ª. Ed. São Paulo: Harbra, 1994.
LOPES, J. F. Cônicas e Aplicações. 2011. 185f. Dissertação (Mestrado). Departamento de Matemática,
Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.
Mauri C. Nascimento – Dep. De matemática – FC – Unesp/Bauru Coordenadas polares 10/11/2004
SANTOS, R. J. Seções Cônicas. 2001. Departamento de Matemática – ICEx. Universidade Federal de
Minas Gerais. Disponível em: <http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/conicas.pdf>. Acesso em
13/09/2012.