UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS

CENTRO POLITÉCNICO

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

ESTUDO DA PROBABILIDADE FUZZY INTERVALAR

Por

Ana Maria Barbosa Abeijon

Trabalho Individual I

TI- 2009-2-001

Orientador: Profº. Dr. Antônio Carlos da Rocha Costa

PELOTAS, novembro de 2009

DEDICATÓRIA

À minha mãe, que proporcionou e incentivou meu estudo, esta conquista, com

carinho.

AGRADECIMENTOS

À DEUS, socorro espiritual, pela minha vida.

À meu esposo Claiton e filha Luciele, pela compreensão e paciência.

Aos meus colegas de mestrado, pela ajuda.

À professora Renata Reiser, pela disposição, carinho e dedicação.

À professora Graçaliz, pelo incentivo.

Ao professor Rocha, pela acolhida.

São vários os nomes que deveriam ser citados neste momento, entretanto

permito-me não fazê-lo.

Minha gratidão a todos aqueles que estiveram ao meu lado. A ajuda dessas

pessoas sempre foi de fundamental importância.

A todos, muito obrigado.

“É fácil comprovar que o aprendizado do aluno melhora na mesma proporção

em que o professor desenvolve suas próprias inteligências”.

- HOWARD GARDNER -

SUMÁRIO

LISTA DE FIGURAS ....................................................................... 5

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS ......................................... 6

RESUMO .......................................................................................... 7

ABSTRACT ...................................................................................... 8

INTRODUÇÃO .................................................................................. 9

1.1. Estrutura do Texto ........................................................... 12

1.2. Motivação ........................................................................ 12

1.3. Objetivo Geral .................................................................. 13

1.4. Objetivos Específicos ....................................................... 13

2. ESTUDO DA PROBABILIDADE FUZZY INTERVALAR ............. 14

2.1. Lógica Fuzzy ................................................................... 14

2.2. Operações dos Conjuntos Fuzzy .................................... 15

2.3. Subconjunto Fuzzy .......................................................... 16

2.4. Propriedades Algébricas dos Conjuntos Fuzzy ............... 16

2.5. Características dos Conjuntos Fuzzy .............................. 17

2.6. Propriedades dos alfa-curts ............................................. 19

2.7. Conjunto Fuzzy Normal .................................................... 19

2.8. Conjunto Fuzzy Convexo .................................................. 20

3. NÚMEROS FUZZY ......................................................................... 21

3.1. Tipos de Números Fuzzy .................................................. 21

3.2. Propriedades dos Números Fuzzy .................................... 22

4. LÓGICA FUZZY INTERVALAR .................................................... 24

5. MATEMÁTICA INTERVALAR ....................................................... 26

5.1. Intervalo de Reais ............................................................. 26

5.2. Igualdade de Intervalo de Reais ....................................... 27

5.3. Operações Aritméticas Intervalares .................................. 27

5.4. Propriedades Algébricas da Matemática Intervalar ........... 27

5.5. Propriedades dos Intervalos Simétricos ........................... 28

5.6. Operações com Intervalos ............................................... 29

6. PROBABILIDADE ........................................................................ 30

6.1. Noção de Probabilidade ............................................ 30

6.2. Distribuição de Probabilidades .................................. 30

6.3. Axiomática asProbabilidades .................................... 30

7. PROBABILIDADEINTERVALAR .......................................... 32

7.1.Densidade de Probabilidade ...................................... 33

7.2. Cadeiasde Markov .................................................... 33

7.3. Probabilidades de Transição .................................... 35

7.4. ProcessosEstocásticos ............................................ 37

8. PROBABILIDADEFUZZY ..................................................... 39

8.1. Probabilidade de Eventos Fuzzy ............................. 40

9. CONCLUSÃO ....................................................................... 42

REFERÊNCIAS .......................................................................... 43

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 União de números fuzzy triangulares ................................. 15 Figura 2 União de números fuzzy trapezoidais ................................ 15 Figura 3 Intersecção de números fuzzy triangulares ........................ 15 Figura 4 Intersecção de números fuzzy trapezoidais ....................... 15 Figura 5 Conjunto complementar dos números fuzzy ...................... 16 Figura 6 Alfa-Corte de um conjunto fuzzy ........................................ 19 Figura 7 Conjunto fuzzy normal e convexo ...................................... 19 Figura 8 Conjunto fuzzy normal e não convexo ............................... 19 Figura 9 Conjunto fuzzy não normal e convexo .............................. 20 Figura 10 Conjunto fuzzy não normal e não convexo ........................ 20 Figura 11 Suporte de um conjunto fuzzy ........................................... 21 Figura 12 Número fuzzy triangular .................................................... 22 Figura 13 Número fuzzy trapezoidal ................................................. 22 Figura 14 Diagrama de Transição da Cadeia de Markov ................. 34 Figura 15 Diagrama de Transição da Aplicação da Cadeia de Markov .. 37

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

MI Matemática Intervalar CF Conjuntos Fuzzy

)(xA Grau de pertinência de um elemento x

U Conjunto Universo R Conjunto dos Números Reais IR Conjuntos dos Números Reais Intervalares PE Processo Estocástico LF Lógica Fuzzy Є Símbolo de pertence

Ø Símbolo de conjunto vazio

∩ Símbolo da operação intersecção

∑ Símbolo da operação somatório

U Símbolo da operação união

RESUMO

A característica especial da Lógica Fuzzy é a de representar uma forma de

manuseio de informações imprecisas. A Lógica Fuzzy, traduz expressões

verbais, vagas, comuns na comunicação humana em valores numéricos. A

Lógica Fuzzy, possui sua base nos conjuntos fuzzy, e tem se mostrado mais

adequada para tratar imperfeições da informação do que a teoria das

probabilidades. É uma ferramenta capaz de capturar informações vagas,

convertendo-as para um formato numérico , de fácil manipulação pelos

computadores de hoje. A lógica difusa ou lógica nebulosa, também pode ser

definida, como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são

aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a

trabalhar. A Matemática Intervalar é uma alternativa para o controle do erro do

resultado na Computação Científica e Tecnológica, cujo objetivo é responder à

questão da exatidão e da eficiência, dos problemas que envolvem a

computação. A Matemática Intervalar, manipula os dados e parâmetros iniciais

incertos como intervalos, antes que os dados sejam introduzidos no

computador. Assim, algoritmos intervalares, comparados à algoritmos pontuais,

apresentam um intervalo como solução, portanto, garantem que a resposta

estará contida no intervalo obtido. A probabilidade, teve sua origem no século

XVII, através dos matemáticos FERMAT e PASCAL, com a finalidade de

resolver questões de jogos de azar. Somente no século XX foi desenvolvida

uma teoria matemática rigorosa, contendo axiomas, definições e teoremas. Os

avanços tecnológicos, em qualquer área do conhecimento humano, está ligada

quase que exclusivamente, aos experimentos. Um princípio fundamental é que

se efetuarmos tais experimentos repetidas vezes, sob condições idênticas,

obteremos resultados que são praticamente os mesmos. Em alguns

experimentos, os resultados não são essencialmente os mesmos, então,

constrói-se modelos matemáticos para explicá-los.

Palavras-chave : Lógica Fuzzy, Matemática Intervalar, Probabilidade

TITLE: “ Study of Probability Fuzzy Intervalar”

ABSTRACT

Of Fuzzy logic is to represent a form of inaccurate information handling. Fuzzy

logic, translates sayings, vacancies, common in human communication in

numeric values. Fuzzy logic, has its basis in fuzzy sets, and is more appropriate

for dealing with faults of the theory of probability. Is a tool able to capture

information waves, converting it to a numeric format, for easy manipulation by

today's computers. Fuzzy logic, or logic Nebula can also be defined as the logic

that supports reasoning are approximate, instead of exact course, as we are

accustomed to working. The math Intervalar is an alternative to control error

result in technological and scientific computing, whose goal is to answer the

question of accuracy and efficiency, the problems that involve computing. The

math Intervalar, handles the initial uncertain data and parameters as ranges

before that data is placed on your computer. Thus, intervalares algorithms,

compared to individual algorithms have a range as a solution, therefore, ensure

that the response is contained in the range obtained. The likelihood, had its

origin in the 17th century, by PASCAL and FERMAT math, with the purpose of

resolving issues of gambling. Only in the 20th century was developed a rigorous

mathematical theory, containing theorems, axioms and definitions.

Technological advances in any area of human knowledge, is tied almost

exclusively to experiments. A fundamental principle is that if you repeatedly

efetuarmos such experiments, under identical conditions, will get results that

are virtually the same. In some experiments, the results are essentially the

same, then build mathematical models to explain them.

KEYWORDS: Fuzzy Logic, Interval Mathematics, Probability

1. INTRODUÇÃO

A Lógica Fuzzy trabalha com dados não-precisos. Com a L.F., é possível

quantificar essa imprecisão, principalmente, dentro da Ciência da

Computação. Há vários tipos de subjetividades e, o modelo fuzzy, depende

da escolha da variável de estado e dos parâmetros dos modelos.A L.F. é

uma tecnologia que permite definir modelos complexos do mundo real

através de variáveis e regras simples, sendo muito utilizada nas Ciências e

Engenharias. Já a Matemática Intervalar, trata dos dados na forma de

intervalos numéricos. Esses intervalos podem ser aplicados , na

Computação Científica, representando valores desconhecidos e valores

contínuos. Também são utilizados para controlar erros de

arredondamentos, representar dados não-exatos, aproximações e erros de

truncamentos . Na L.F. Intervalar, é necessário a especificação de sub-

intervalos, conseguindo-se, assim, determinar o grau de pertinência das

informações nebulosas,através do mapeamentos desses resultados. Esses

valores possíveis e impossíveis, dentro da L. F. , são determinados por

diferentes graus de pertinência. É muito comum se fazer confusão entre

teoria dos conjuntos fuzzy e teoria das probabilidades, quando trocamos

grau de pertinência por probabilidade.É fácil mesmo essa confusão porque

a medida de probabilidade está contida na medida fuzzy, isto é, é um caso

particular da medida fuzzy. As duas teorias lidam com incertezas distintas.

Na probabilidade se o evento ocorreu não há mais dúvida e, a probabilidade

pode ser calculada, isto é, a incerteza não mais existe. A probabilidade está

ligada à ocorrência de um evento ocorrer e, a teoria dos c.f. está ligada à

possibilidade de um dado evento acontecer.

Por exemplo : um paciente , ao procurar um médico, falando o que está

sentindo não é suficiente para o médico fazer o diagnóstico ou saber qual é

a doença . Terá que fazer exames, e mesmo assim, haverá inúmeras

possibilidades de classificação das possíveis doenças. As duas teorias são

complementares e servem como ferramentas muito importantes para

determinar as possibilidades e as probabilidades dos eventos cotidianos.

Este trabalho é o ponto de partida para alcançar o objetivo a que se

propõe. Através da Lógica Fuzzy, da Matemática Intervalar e da

Probabilidade Clássica, buscar subsídios, dentro de suas propriedades e

operações, para estabelecer resultados sobre Probabilidade Fuzzy

Intervalar.

1.1 Organização do Texto O texto está organizado da seguinte maneira:

No capítulo 2, uma abordagem sobre o estudo da probabilidade fuzzy

intervalar, onde apresenta-se operações, propriedades e características dos

conjuntos fuzzy. No capítulo 3, trata-se dos números fuzzy com suas

propriedades. No capítulo 4, apresenta-se uma breve explanação da lógica

fuzzy intervalar. No capítulo 5, consta a matemática intervalar, com suas

propriedades e operações. No capítulo 6, fala-se da probabilidade e suas

características. No capítulo 7, aborda-se a probabilidade intervalar, onde

consta as cadeias de Markov, diagramas de transição, matrizes e modelos

estocásticos. No capítulo 8, trata-se da probabilidade fuzzy e suas

propriedades. No capítulo 9, encontra-se a conclusão, considerações finais

e perspectivas de trabalhos futuros.

1.2 MOTIVAÇÃO

A Lógica Fuzzy Intervalar ainda apresenta vários problemas para os quais

ainda não foram propostas soluções. Dentre eles encontra-se o estudo de

probabilidades fuzzy intervalares. O conceito de probabilidade existe tanto

na abordagem fuzzy como na intervalar (denominada de probabilidade

imprecisa), mas não na abordagem da Lógica Fuzzy Intervalar.

1.3. OBJETIVO GERAL

Estudar os conceitos de probabilidade fuzzy intervalar propostos na

literatura e analisar suas propriedades, buscando visão crítica sobre

elas.

1.4. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Esclarecer a noção de probabilidade fuzzy intervalar;

Estabelecer resultados e estudar propriedades ;

Fazer comparações entre as propriedades das probabilidades real,

intervalar e fuzzy, com a probabilidade fuzzy intervalar.

2. Estudo da Probabilidade Fuzzy Intervalar 2.1. Lógica Fuzzy Na teoria clássica dos conjuntos,um elemento pertence ou não pertence a um

conjunto. Na teoria dos conjuntos fuzzy, determina-se um grau de pertinência,

para indicar se um elemento pertence a esse conjunto. Na lógica fuzzy,

proposta por Lotfi A. Zadeh, em 1965, os conjuntos são caracterizados por não

possuírem limites definidos.A lógica fuzzy, que é associada à conjuntos fuzzy,

possui um intervalo de 0 a 1, para a determinação de um elemento do conjunto,

o que difere da lógica clássica.

É preciso o valor do elemento do conjunto, enquanto que no conjunto fuzzy,o

valor do elemento é impreciso.Zadeh teve a idéia de criar uma nova lógica e

uma nova teoria dos conjuntos onde não precisamos nos contentar com

apenas duas opções: verdadeiro ou falso, pertence ou não pertence, mas com

um grau infinito que varia entre essas duas. Assim podemos ter algo que é

50% falso ou pertence ao conjunto apenas 30%.Uma das grandes percepções

de Zadeh foi que a matemática pode ser utilizada para fazer uma ligação entre

a linguagem e a inteligência humanas.

Muitos conceitos, podem ser muito bem definidos por palavras do que pela

matemática, e a lógica fuzzy, com os conjuntos fuzzy proporcionam uma

disciplina que melhor pode construir modelos do mundo real.

A lógica fuzzy está sendo muito utilizada na abordagem de problemas onde se

lida com incertezas, valores aproximados, erros de arredondamento. Em

muitas aplicações, pode ser difícil encontrar ou determinar exatamente o grau

de quanto se pode acreditar que um elemento pertença ao conjunto.

2.2. Operações dos Conjuntos Fuzzy (MUSSI,2009) 1. União Dado x Є U, μAUB (x) = max μA (x) , μB (x)

A B

U(AUB)

Fig. 1 – união triangular Fig. 2 – união trapezoidal 2. Intersecção Dado x Є U, μA∩B (x) = min μA (x) , μB (x)

X

Fig 3 – intersecção triangular Fig. 4 – intersecção trapezoidal

3. Complemento Dado x Є U, μA(x) = 1 - μA(x)

A A

Fig. 5 - complemento 2.3. Subconjunto fuzzy Sejam A e B subconjuntos fuzzy

A B μA (x) μB (x), x Є U

2.4. Propriedades Algébricas dos Conjuntos Fuzzy 1. Comutativa A U B = B U A 2. Associativa (A ∩ B) ∩ C = (A ∩ B) ∩ C 3. Complemento Duplo (A U B)´ = A´∩ B´

4. Indempotência A U A = A A ∩ A = A 5 Conjunto Universo A ∩ U = A 6. Conjunto Vazio A U ø = A A ∩ ø = ø 7. Distributiva A ∩ (B U C) = (A ∩ B) U (A ∩ C) A U (B ∩ C) = (A U B) ∩ (A U C) 8. Involução (A´)´= A 9. Leis de Morgan (A ∩ B) = A U B A U B = A ∩ B 2.5. Características dos Conjuntos Fuzzy 1. CF Universo - o valor da função membro é um para todos os membros

em consideração ;

2. Cardinalidade - dado um cf A em um universo finito U, a cardinalidade

é a soma dos graus de pertinência de todos os elementos de U em A,

indicados por

|A| = ∑ μA (x) ; 3. CF Vazio - um cf é vazio se

A = ø μA (x) = 0 , x Є X ;

4. CF Iguais - Sejam A e B cf se e somente se , para todo x Є X ,

μA (x) = μB (x) , logo A = B ;

5. Conjunto Crisp - são os conjuntos cuja função característica assume

apenas valores zero e um, não possuindo valores intermediários ;

6. Conjunto Unitário – é um cf A cujo suporte é um único elemento em X

com μA (x) = 1

7. Altura (h) - o maior valor μA para o qual o -corte não é vazio, chamamos

de altura de A. Altura igual a 1 é um conjunto dito normal, caso contrário é dito

sub-normal.

h(A) = sup xЄX A(x)

8. -corte - contém todos os elementos do domínio que possui valores de

pertinência acima de um certo valor ;

[A]α = x Є X A(x) > α

a b

1

Fig. 6 – α- corte 9. Normalização- de um cf é quando a sua altura é igual a 1. A pertinência

total do elemento se dá quando seu grau é igual a 1.

10. Níveis( ^ ) – de um cf A corresponde a um conjunto que contém todos os

valores Є [0;1] e que representam cortes de A distintos .

A = α A(x) = α para algum x Є X

2.6. Propriedades dos - cortes ou - cut

Sejam os conjuntos fuzzy A e B, possuem as seguintes propriedades : 1. [A U B]α = [A] α U [B] α 2. [A ∩ B] α = [A] α ∩ [B] α 3. A = B [A] α = [B] α

4. [A] α [B] α

2.7. Conjuntos Fuzzy Normal - os α - cortes são não vazios

normalé convexo

1

Fig. 7 – normal e convexo Fig. 8 – normal e não convexo

2.8. Conjuntos Fuzzy Convexos - todos os α - cortes são intervalos

não é normal

é convexo

1

não é normalnão é convexo

1

Fig. 9 – conj não .normal Fig. 10 – conj. não normal conj. convexo conj. não convexo

3. Números Fuzzy DEFINIÇÃO : Um número fuzzy pode ser definido por uma tripla A (a1 , m , a2).

Um nf é qualquer subconjunto fuzzy dos números reais (U = IR), que satisfaz

as seguintes condições :

1. Todos os α - cortes são não vazios com 0 x 1 (normal)

2. Todos os α - cortes são intervalos fechados de IR (convexos)

3. O suporte é limitado [a,b]

1

a bc d

core

Fig. 11 – suporte do conj. fuzzy 3.1. Tipos de Números Fuzzy Os mais usados são os nf triangulares e os nf trapezoidais. a) Triangular N = (a, b, c)

ca b

1

0

Fig. 12 – número triangular b) Trapezoidal M = (a, b, c, d)

1

a bc d

core

Fig. 13 – número trapezoidal 3.2. Propriedades Operatórias com Números Fuzzy Para operar com nf, opera-se com seus α- cortes, utilizando-se a matemática

intervalar.

Sejam N e M dois números fuzzy, logo, obedecem as seguintes propriedades :

1. Adição N + M = [N +M] α = [N] α + [M] α 2. Subtração [M – N] α = [M] α – [N] α

3. Multiplicação [M . N] α = [M] α . [N] α 4. Divisão [M / N] α = [M] α / [N] α , se 0 [N] α

4. Lógica Fuzzy Intervalar A fundamentação dos conjuntos fuzzy é encontrar um grau de pertinência, para

determinar até que ponto um determinado elemento pertence a um conjunto e,

esses valores variam em 0 e 1. A característica da lógica nebulosa está

baseada em palavras e não números, ou seja, os valores verdades são

expressos linguísticamente.

Possui vários modificadores de predicado, tais como: muito, mais ou menos,

pouco, bastante, médio. Possui também um amplo conjunto de quantificadores

como: poucos, vários, entorno de, usualmente. Faz uso das probabilidades

linguísticas como provável e improvável que são interpretados como números

nebulosos e manipulados pela sua aritmética. O manuseio dos valores entre 0

e 1, funcionam apenas como um limite.

VANTAGENS ­ O uso de variáveis linguísticas nos deixa mais perto do pensamento humano; ­ Requer poucas regras, valores e decisões; ­ Simplifica a solução de problemas e a aquisição da base do conhecimento; ­ Mais variáveis observáveis podem ser valoradas; ­ Mais fáceis de entender, manter e testar; ­ São robustos; ­ Operam com falta de regras ou com regras defeituosas; ­ Acumulam evidências contra e a favor; ­ Proporciona um rápido protótipo dos sistemas.

DESVANTAGENS ­ Necessitam de mais simulações e testes; ­ Não aprendem facilmente; ­ Dificuldade de estabelecer regras corretamente; ­ Não há uma definição matemática precisa.

5. MATEMÁTICA INTERVALAR A matemática intervalar, proposta por Moore (MOORE,1979),estabelece como

objetivo, obter maior precisão ou exatidão nos procedimentos presentes dentro

da computação científica. Através do intervalo se pode controlar a

imprecisão,se melhorar a aproximação e ter certeza que a resposta está dentro

do intervalo.

A MI trata com dados na forma de intervalos numéricos. Serve para a

elaboração de algorítmos numéricos com controle de erro. Os intervalos podem

ser aplicados para representar valores desconhecidos e,representam valores

contínuos, controlar erro de arredondamento, representar dados

inexatos, aproximações e erros de procedimentos.

A MI busca resolver dois problemas: um modelo computacional que faça o

controle e análise dos erros que ocorrem no processamento dos dados e a

escolha de técnicas de programação para o desenvolvimento de

softwares,tentando minimizar os erros nos resultados.Por exemplo: "estar bem

informado", "viver uma vida longa". Essas realizações são diretamente

observáveis. Sabemos que parte da resposta é subjetiva, porém uma parte é

razoavelmente objetiva, basta que olhemos em volta, de modo que por mais

que variem os detalhes, os "temas" são praticamente invariáveis.

5.1. Intervalo de Reais Seja R conjunto dos números reais. Sejam x1 e x2 Є IR x1 ≤ x2 , então x Є R x1 ≤ x ≤ x2 , é o intervalo de reais.

X = [x1; x2]

5.2. Igualdade de Intervalos de Reais Seja A = [a1; a2] e B = [b1; b2] dois intervalos de números reais, se A = B a1 = b1 e a2 = b2

5.3. Operações Aritméticas Intervalares Sejam A e B intervalos de reais, definem-se as operações

Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2] , então

1. Adição - A + B = [a1,a2] + [b1,b2] = [a1+b1 ; a2+b2] 2. Pseudo Inverso Intervalar - Seja A R e A = [a1; a2], logo - A = - [a1; a2] = [- a2; - a1] 3. Subtração - Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], então A - B = [a1; a2] - [b1; b2] = [a1; a2] + [- b2; - b1] = [a1 – b2 ; a2 – b1] 4. Multiplicação - Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], logo A . B = [a1; a2] . [b1; b2] = [min a1b1, a1b2, a2b1, a2b2; maxa1b1, a1b2, a2b1, a2b2] 5.4. Propriedades Algébricas da Matemática Intervalar Sejam A = [a1; a2] e B = [b1; b2], intervalos de números reais, logo, obedecem

às operações :

1. Soma (A1) Fechamento - A, B R , então A + B R (A2) Associativa - (A + B) + C = A + (B + C) (A3) Comutativa - A + B = B + A (A4) Elemento Neutro - 0 IR , 0 + A = A + 0 = A 2. Multiplicação (M1) Fechamento - A . B IR (M2) Associativa - (A . B) . C = A . (B . C) (M3) Comutativa - A . B = B . A (M4) Elemento Neutro - 1 IR , 1 . A = A . 1 = A (M5) Subdistributividade - A . (B + C) (A . B) + (A . C)

5.5. Propriedades dos Intervalos Simétricos Sejam A , X, Y pertencentes ao intervalo de reais com X e Y simétricos.

Então valem as propriedades:

1. A+X = A + Y , X = Y 2. X- A = Y - A , X = Y 3. A+X está contido A + Y , X está contido Y 4. X. 0 = 0 . X = [0;0] 5. , R , ( , )X ( X ) + ( X )

6. , R , ( . ).X = ( X )

7. R , (X + Y) = ( X) + ( Y)

5.6. Operações com Intervalos Sejam A = [a1 ; a2] e B = [b1 ; b2], dois intervalos reais, então, obedecem às

operações :

1. Intersecção A ∩ B = [max a1, b1; min a2, b2] ; min a1 , b1] se max a1, b1 min a2, b2 2. União A U B = [ min a1, b1; max a2, b2] 3. União Convexa A U B = [min a1, b1; max a2, b2] Ponto Flutuante: É o modo como o computador representa números reais. Sistema de ponto flutuante: - É possível representar somente um intervalo limitado de números; Um número de ponto flutuante se representa um conjunto de números

reais.

6. PROBABILIDADE

6.1. Noção de Probabilidade

No início do século XX começa a sentir-se a necessidade de uma

axiomatização da Teoria das Probabilidades , feita em 1933 pelo matemático

russo A. N. Kolmogorov (1903 - 1987).

Evento : É um subconjunto do espaço amostral.

Experimento Aleatório : Operação cujo resultado não é conhecido com

certeza ou é sujeito a mecanismos de chance. Muitos experimentos aleatórios

produzem resultados não numéricos. É conveniente transformar seus

resultados em números, através da variável aleatória. Logo, variáveis aleatórias

são variáveis numéricas, onde iremos associar modelos probabilísticos.

6.2. Distribuição de Probabilidade

Definida a variável aleatória, há interesse no cálculo dos valores das

probabilidades correspondentes.O conjunto das variáveis e das probabilidades

correspondentes é denominado distribuição de probabilidades.

P ( X = xi ) = P (Ai) , i = 1, 2, ..., n

6.3. Axiomática das Probabilidades

Sob um ponto de vista puramente matemático, suporemos que para cada

acontecimento A , pertencente ao conjunto de todos os acontecimentos

possíveis, existe um número, que designamos por P(A), satisfazendo:

A1 : 0 P(A) 1 ; A2 : P(Ω) = 1 em que Ω é o acontecimento certo ; A3 : Se Ai ∩ Aj = Ø , como i j então P(Un i =1 Ai) = ∑n i=1 P(Ai)

7. Probabilidade Intervalar A probabilidade intervalar, como o nome sugere, assume valores

representados por intervalos numéricos, modelando incertezas, sobre uma

medida de probabilidade desconhecida. É uma função que atribui um número

real a cada um dos eventos.A função probabilidade deve ser compatível com

uma relação de inclusão. Os cálculos probabilísticos se utilizam de variáveis

aleatórias contínuas ou discretas.

Variável discreta : Fx (t) = )(xPt

x

x

Variável contínua : Fx (t) = dxxf

t

x )(

Conforme a mudança de estado do sistema, os modelos podem ser

classificados em discretos, onde o estado do sistema muda apenas em pontos

discretos no tempo, que coincidem com a ocorrência de eventos; ou contínuos,

onde o estado do sistema muda continuamente ao longo do tempo simulado.

Conforme a presença de aleatoriedade, os modelos podem ser classificados

em determinísticos, que sempre produzem os mesmos resultados para o

mesmo conjunto; ou estocásticos, que incluem aleatoriedade e distribuições de

probabilidade, e podem produzir resultados diferentes.

Uma variável aleatória X é uma função real definida em Ω tal que dado evento

aleatório ω pertence a Ω ,

X(ω): Ω → R

7.1. Densidade de Probabilidade

Para a variável aleatória X, uma função densidade de probabilidade é uma

funçãoque satisfaz as propriedades :

1. f(x) 0

2.

1)( dxxf

3. P ( a X b ) = b

a

dxxf )( = área sob f(x) entre “a” e “b” para qualquer

“a”“b”.

7.2. Cadeias de Markov Variável - É uma função, isto é, são intervalos de tempo, que é determinado

por uma probabilidade. A cadeia de Markov é um processo em que a

sequência de variáveis aleatórias toma valores num alfabeto finito. Funciona

como uma máquina de estados em que as transições são estocásticas. A (CM)

é caracterizada pelas probabilidades de transição.

A

B

C Fig. 14 – diagrama de transição Diz-se que a CM é invariante no tempo se as probabilidades de transição não

variam ao longo do tempo, isto é, não dependem de n.

Processo invariante no tempo diz respeito ao "mecanismo" de funcionamento

(probabilidades de transição constantes).

Processo estacionário diz respeito às variáveis aleatórias ou estado

(probabilidades de cada um dos estados). Um processo pode ser invariante no

tempo e encontrar-se ou não em regime estacionário.

Um novo e importante processo de desenvolvimento da teoria das

probabilidades, encontra-se na Teoria dos Processos Estocásticos. A CM é um

tipo especial de processo estocástico, que satisfaz as condições :

- o parâmetro é discreto (ex: tempo) ;

- o espaço de estados é discreto ;

- o estado inicial é conhecido.

Uma cadeia de Markov discreto no tempo é especificada pela:

- probabilidade inicial p0;

- matriz de transição de probabilidade:

P =

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

P é conhecida como a matriz de probabilidade de transição :

jXPj

n 1[ 1] j

ijn PX i

7.3. Probabilidades de Transição Exemplo:

1) Existem três marcas de sabão em pó, disponíveis no mercado. OMO,

MINERVA e GIRANDO SOL.. O termo aij da matriz A, é a probabilidade de

quem gosta de uma marca de sabão da coluna j.(supondo as probabilidades).

para O M G

De O, M , G

2,04,04,0

2,05,03,0

1,02,07,0

Os termos da diagonal de A, dão a probabilidade aii de se trocar de produto.

100

16

100

36

100

48100

17

100

39

100

44100

13

100

28

10

5

16,036,048,0

17,039,044,0

13,028,05,0

2,04,04,0

2,05,03,0

1,02,07,0

2,04,04,0

2,05,03,0

1,02,07,0

Os termos de A2, aij, significam mudar da marca i para a marca j depois de

duas compras.

10

7

10

7

10

2

10

2

10

1

10

4

O → O → O O → M → O O → G → O, então : a11 - probabilidade de usar inicialmente a marca de sabão O , mudando para

outro da mesma marca, ou seja, O , depois de duas compras.

a11 = 100

59

10

4.

10

1

10

3.

10

2

10

7.

10

7

a12 – probabilidade de estar usando o sabão O e mudar para a marca M,

depois de duas compras.

10

7

10

2

10

2

10

5

10

1

10

4

O → O → M O → M → M O → G → M

a12 = 100

28

10

4.

10

1

10

5.

10

2

10

2.

10

7

a13 – probabilidade de usar marca O e trocar pela marca G, depois de duas

compras.

10

7

10

1

10

2

10

2

10

1

10

2

O → O → G O → M → G O → G → G

a13 = 100

13

10

4.

10

1

10

2.

10

2

10

1.

10

7

Os outros cálculos são análogos.

a21 = 100

44

10

4

10

2

10

3.

10

5

10

7.

10

3 (mudança da marca M para O ).

a22 = 100

44

10

4.

10

2

10

5.

10

5

10

2.

10

3 (troca do produto M para M).

a23 = 100

16

10

4.

10

1

10

5.

10

2

10

2.

10

7 (troca de M para G).

a31 = 100

48

10

4.

10

2

10

3.

10

4

10

7.

10

4 (mudança de G para O).

a32 = 100

36

10

4.

10

2

10

5.

10

4

10

2.

10

4 ( mudança de G para M).

a33 = 100

16

10

2.

10

2

10

2.

10

4

10

1.

10

4 ( mudança de G para G).

M

O

G

a12

a21

a23

a22

a32

a33

a11

a1 3

a31

Fig. 15 – Diagrama de transição 7.4. Processos Estocásticos

É uma sequência de variáveis aleatórias X1, X2,..., Xn e é caracterizado pela

distribuição conjunta p(X1, X2,..., Xn). Diz-se estacionário se a distribuição

conjunta de um número arbitrário de variável aleatória se mantém quando se

efetuam deslocamento no tempo, isto é,

Pr X1 = x1,...,Xn = xn = Pr X 1+m = x1,..., X n+m = xn para qualquer

deslocamento m e qualquer número de variável aleatória n.

Diz-se que forma um processo de Markov se cada variável aleatória depende

da precedente e é condicionalmente independente das restantes, isto é,

Pr Xn = xn , X n-1 = x n-1 ,..., X1 = x1 = Pr Xn = xn , X n-1 = x n-1. Exemplos - (série temporal – intervalo de tempo)

- flutuação de câmbio;

- sinais (fala, áudio e vídeo);

- dados médicos (eletrocardiograma, pressão sanguínea e temperatura);

- movimentos aleatórios.

-(campo aleatório – região do espaço )

- imagens estáticas;

- topografias aleatórias (satélite);

- variações de composição em um material não homogêneo.

Exemplo 1: Seja X a variável aleatória que indica se chove ou não num determinado dia

num dado local. A sequência X1, X2,..., Xn que indica o estado do tempo ]em

dias consecutivos forma um processo estocástico. É um (PE) não estacionário

pois as probabilidades variam ao longo do tempo.

Exemplo 2: Uma sequência de lançamentos de um dado forma um processo estocástico

estacionário. As probabilidades são constantes ao longo do tempo.

8. Probabilidade Fuzzy Há três tipos de incertezas: a incerteza de natureza aleatória, a incerteza

devida ao conhecimento incompleto e a incerteza em função do conhecimento

vago ou impreciso. A probabilidade só é capaz de modelar o primeiro tipo de

incerteza.

A partir do reconhecimento da existência de diferentes tipos de incerteza, têm-

se desenvolvido ferramentas matemáticas capazes de lidar com mais de um

tipo de incerteza ao mesmo tempo, como por exemplo, a probabilidade fuzzy.

Em especial, a (PF) pode ser utilizada para estudar um experimento aleatório

cujos dados possuem incerteza de medição. Para isso, a imprecisão dos dados

é modelada por números fuzzy.

A falha humana resulta, das interações homem - máquina ou homem –

ambiente dentro do sistema sócio-técnico que ele atua.

Termos da lógica fuzzy compreendem: a menor parte, aproximadamente a

terça parte, muitos e nada. Termos de probabilidade compreendem: certo,

incerto, improvável, provável. Para muitos sistemas devido às incertezas e

imprecisões dos dados, fazer estimações únicas de probabilidades e

consequências é muito difícil. A teoria de probabilidades e a teoria dos (CF)

lidam, em geral, com tipos de incertezas distintos.

Na teoria de probabilidades temos o evento muito bem definido e a dúvida é

sobre a ocorrência do evento. Uma vez que o evento ocorreu não existirá mais

dúvida alguma. A medida da probabilidade é um caso particular da medida

fuzzy. O espaço mensurável é dado pelo par ( Ω , A) - o universo Ω e uma σ-

álgebra de conjuntos mensuráveis de Ω .

Definição 1 : Dizemos que A é uma σ-álgebra , com A ≠ 0 , se são satisfeitas :

1. A Є A A Є A , onde A é o complemento de A

2. Ak Є A , K Є N U KЄN Ak Є A .

Definição 2 : Uma medida μ é uma função definida em um espaço mensurável

( Ω , A) que não assume valores negativos e que satisfaz os seguintes

postulados:

1. μ (Ø) = 0

2. μ é σ – soma para uma família de pares de conjuntos disjuntos , Ai Є Ω

3. Ai ∩ Aj = Ø , i = 1, 2, ..., i ≠ j , a medida da união dos Ais é dada por :

μ ( AiU i

1) = )(

1

Aii

3. Se An , n = 1, 2, ..., é uma sequência crescente de conjuntos

mensuráveis, então :

lim n→ μ (An) = μ ( lim n→ An )

Uma das medida σ- soma mais comumente usada é a medida de

probabilidade, que é expressa por :

111

)()(i

i

i

ii

i

PAPAP

8.1. Probabilidade de Eventos Fuzzy Uma maneira de unir a teoria de probabilidades e a lógica fuzzy é

considerarmos a probabilidade de um evento fuzzy. Um evento é um

subconjunto do espaço amostral. Lançar dez moedas e verificar quantas caras

e coroas obtivemos é um evento. Considerando todas as possibilidades entre

nenhuma cara e nenhuma coroa que representam o espaço amostral. Há

casos em que o evento não é bem definido, esse evento é chamado de evento

fuzzy. No lançamento das moedas o (EF) poderia ser "existem muito mais

caras do que coroas"; o "quanto é muito mais" não é bem definido.

A probabilidade de um (EF) é obtido pela generalização da teoria de

probabilidade, que é dada por ...

P(A) = μA (x) . PX (x) dx

onde PX é a distribuição de probabilidades de X, μA é a função de pertinência

do evento A. Para o caso em que X é discreto teremos:

P(A) = ∑ μA (xi) . PX (xi)

A probabilidade é uma medida de eventos. Se o evento A Ω , onde Ω

denota o conjunto universo e a inclusão não estrita. Então a probabilidade

de ocorrência de A é dada por P : 2 Ω → [0;1] , satisfazendo os seguintes

axiomas, sendo 2 Ω é o conjunto das partes de Ω :

i) A Ω, 0 P(A) 1

ii) P(Ω) = 1

iii) (A,B) Ω , se A ∩ B = Ø então

P(A U B) = P(A) + P(B) , onde Ø é o conjunto vazio. Pelo axioma da soma

podemos então concluir que :

i) P(Ø) = 0

ii) P(A) = 1 – P(A)

iii) P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

9. CONCLUSÃO

O conceito “fuzzy” pode ser entendido como uma situação onde não podemos

responder simplesmente SIM ou NÂO. Se não conhecemos as informações

sobre uma determinada situação, o mais apropriado é usar expressões como :

alguns, talvez, quase. A lógica fuzzy gera uma saída lógica a partir de um

conjunto de entradas não precisas. A matemática intervalar busca resolver os

problemas de controle e análise de erros, procurando minimizar esses

resultados, no processo computacional. A matemática intervalar tenta

solucionar esses problemas, com as devidas aproximações que induzem ao

erro, o que pode provocar distorções , em computação. Os números

representados como intervalos servem como controladores da propagação do

erro. Logo , a matemática intervalar, torna-se uma alternativa na resolução de

problemas onde haja imprecisão. Com a probabilidade, é possível calcular a

chance de determinado evento ocorrer. Para esse cálculo do evento, existem

dois modelos matemáticos que são : - Determinístico – tendo as condições de

execução de um experimento se realizar, pode-se saber o resultado por

antecipação.

- Probabilístico – as condições de execução de um experimento não

determinam o resultado do mesmo, somente o comportamento probabilístico

do resultado observável. Pelo exposto , podemos deduzir que a Lógica Fuzzy,

a Matemática Intervalar e a Probabilidade, serão as ferramentas auxiliares para

um trabalho futuro. Ainda não se tem um resultado concreto mas, espera-se

conseguir formular as propriedades e operações da “Probabilidade Fuzzy

Intervalar”, como forma de contribuição à comunidade científica.

REFERÊNCIAS

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Chu Fuzzy Intervalar. XXV CNMAC . 2002

[2] CRUZ, Anderson P.; BEDREGAL, B.C. .Sistemas Fuzzy Intervalares.

CNMAC – 2008 (www.sbmac.org.br).

[3] COSTA,Claudine Gomes da; BEDREGAL, B.C.;BEDREGAL, R.C. . VIII

ERMAC – RS . 2008.

[4] COSTA, Claudine Gomes da; BEDEGRAL, B.C.; BEDEGRAL,R.C.

Uma Aritmética Contínua para Números Fuzzy Trapezoidais. VIII

ERMAC - 2008. (www.ufrn.br).

[5] CAMPOS,M.A.; DIMURO,G.P.; COSTA, A.C.R.; ARAÚJO,J.F.F.;

DIAS,A.M.. Probabilidade Intervalar e Cadeias de Markov Intervalares

no Maple. XXIV CNMAC. São Carlos.2002. (www.sbmac.org.br).

[6] DUARTE, G.doC.P.; BEDREGAL,B.R.C. Introdução à Matemática

Financeira Intervalar: Análise Intervalar de Investimentos. CNMAC

2008.(www.sbmac.org.br).

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de Markov. VI Oficina de Inteligência Artificial. 2002.

[8] JAFELICE,R.S. da M.; BARROS, L.C. de;BASSANEZI,R.C. Teoria dos

Conjuntos Fuzzy com Aplicações. V.17.SBMAC. SP. 2005.

[9] MUSSI, R.R.; DIMURO,G.P.;BEDREGAL,B.C. Números Fuzzy

Intervalares. Monografia. 2009.

[10] OLIVEIRA,Paulo Werlang de;DIVÉRIO,Tiarajú Asmuz;

CLAÚDIO,Dalcído Morais. Fundamentos de Matemática Intervalar.

Sagra Luzzatto.V.1 .UFRGS.

[11] RENTERIA,Alexandre Roberto.Estimação de Probabilidade Fuzzy a

partir de Dados Imprecisos.Tese de Doutorado.RJ.2006.

(www2.dbd.puc-rio.br).

[12] SILVEIRA,M.M.M.T. Uma Proposta de Integração de Matemática

Intervalar à Teoria Fuzzy. Tese de Mestrado. UFRN. 2002.

[13] SANTOS,A.V.; DIMURO,G.P.; BEDREGAL,B.R.C. Avaliação Fuzzy de

Trocas Sociais entre Agentes Baseados em Personalidades. XXXI

CNMAC. São Carlos. 2008.

[14] SHAW,Ian S.; SIMÕES, Marcelo Godoy. Controle de Modelagem

Fuzzy.Ed. Edgard Blücher Ltda. UFRGS. FAPESP. 1999.

[15] SANTOS,Alexandre Figueredo; GIMENES,Rodrigo.Lógica Nebulosa ou

Lógica Fuzzy. Artigo.FATEC. S.P. (www.ime.usp.br).

[16] TAKAHASHI,A.;BEDEGRAL,B.R.C.T-normas,T-conormas.

Complementos e Implicações Intervalares.DIMAP. LABLIC.UFRN. 2006

(www.dcie.ibilce.unesp.br).