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ESTUDO DA EFICIÊNCIA DO GRÁFICO

DE CONTROLE POR GRUPOS (GG)

QUANDO HÁ PRESENÇA DE

CORRELAÇÃO ENTRE OS FLUXOS DO

PROCESSO

MAX BRANDAO DE OLIVEIRA (UFPI )

[email protected]

NUBIA DA SILVA BATISTA BRANDAO (UFC )

[email protected]

Joao Welliandre Carneiro Alexandre (UFC )

[email protected]

Os gráficos de controle (GC) foram propostos por Walter A. Shewart

em 1931 para monitorar um processo de fabricação em série. Com o

surgimento dos processos paralelos (PP), o monitoramento por meio

do GC ficou inviável, pois requer a análise individual para cada fluxo.

Boyd (1950), então, propôs o gráfico de controle por grupo (GG), que

consiste em elaborar um único gráfico para o nível de qualidade e

outro para a variabilidade, permitindo monitorar várias linhas

produtivas com apenas duas cartas. O objetivo deste estudo, portanto,

é analisar o desempenho do GG na presença e na ausência de

correlação (r) entre os fluxos através de um algoritmo de simulação. O

algoritmo foi elaborado no software livre R com base no método de

Monte Carlo e simula o número médio de amostras até a ocorrência do

primeiro alarme falso (NMA) em diversos cenários. Resultados

apontam que o desempenho do GG com correlação é inferior ao sem

correlação, chegando a ser 94,3% inferior para r = 0,1 quando

comparado com fluxos independentes, confirmando a hipótese de que a

correlação influencia negativamente o desempenho do GG. A presença

de correlação entre os fluxos faz com que a carta saia de controle mais

rápido, comprometendo o desempenho do processo, indicando a

necessidade da adoção de uma nova estratégia para o monitoramento

dos processos paralelos correlacionados.

Palavras-chaves: Gráfico por grupo, processos paralelos, fluxos

correlacionados

XXXIV ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Engenharia de Produção, Infraestrutura e Desenvolvimento Sustentável: a Agenda Brasil+10

Curitiba, PR, Brasil, 07 a 10 de outubro de 2014.



2

1. Introdução

No monitoramento de um processo de fabricação em série é natural estabelecer uma variável

de interesse X, conhecida como a característica da qualidade, que será avaliada em termos das

especificações técnicas do produto. Segundo Oliveira (2010), a característica da qualidade

pode ser definida como qualquer aspecto, propriedade ou atributo de um item, como por

exemplo, a dimensão, o acabamento, o peso ou a acidez, cuja distribuição de probabilidade é

vinculada ao estado de controle do processo. Em particular, a característica X apresenta uma

distribuição aproximadamente normal com média -∞ < µ < ∞ e variância σ² > 0.

Com o propósito de monitorar a variável X, os gráficos de controle (GC) foram desenvolvidos

por Shewhart em 1931 como método de inspeção de processos em série (SHEWHART,

1931). O método consiste na coleta de amostras contendo n itens a cada intervalo de h

unidades de tempo. De cada amostra é calculada uma medida de localização e outra de

dispersão, as quais são comparadas com os limites inferior e superior de controle, LIC e LSC,

e então decidido o estado de controle do processo. Para maiores detalhes, ver Montgomey

(2009).

Em particular, neste estudo, somente o GC para X será considerado. Assim, adotando L como

o fator de largura do intervalo, se XXX

LLICX ou XXX

LLSCX , assume-se que

uma causa especial alterou a média do processo, agora considerado fora de controle. Nesta

situação, ações corretivas devem ser executadas visando anular tal fonte de distúrbio.

A implementação do GC tradicional de Shewhart aplica-se em processos em série cuja

característica da qualidade X ~ N(µ,σ²) é isenta de estruturas de correlação. No entanto, o

conceito de produção em massa favoreceu o surgimento de processos cujo produto decorre de

diferentes fluxos produtivos, chamados processos paralelos (PP). Nestas situações, não é

recomendado mesclar itens de fluxos distintos, visto que cada linha de produção carrega

informação própria. Assim, o ideal seria elaborar duas cartas de controle tradicionais de

Shewhart para cada fluxo, uma para monitorar o nível e outra para a variabilidade. No

entanto, a inspeção torna-se árdua e complexa, além de aumentar significativamente o tempo

de análise e os custos.

Uma alternativa empregada para contornar essas dificuldades é a utilização dos gráficos de

controle por grupos (GG), introduzidos por Boyd (1950), que têm como principal

característica a construção de dois gráficos para o monitoramento de processos paralelos com



3

k fluxos, um para a média e outro para a variabilidade. O GG pode ser considerado uma

variação do gráfico convencional de Shewhart e ambos descartam a presença de qualquer

estrutura de dependência, seja correlação entre os fluxos ou autocorrelação dentro das linhas

de produção em série.

O procedimento de monitoramento pelo GG consiste em plotar a maior e a menor média de

cada grupo, no gráfico para média, e a maior amplitude, no gráfico para amplitude. Se ambos

os gráficos apresentarem um comportamento aleatório com todos os pontos entre os limites de

controle, assume-se o processo sob controle estatístico, caso contrário, recomenda-se

averiguar e reparar as causas que levaram a esse estado de instabilidade. Alexandre et al.

(2006) apresenta uma aplicação do GG em uma indústria manufatureira no Estado do Ceará.

Por ser uma ferramenta simples, o GG vem sendo amplamente empregado no monitoramento

dos processos paralelos nas indústrias de transformação. No entanto, em geral, não há

qualquer preocupação em relação à presença de uma estrutura de correlação entre os fluxos,

podendo levar a interpretações equivocadas acerca do controle estatístico do processo.

Guimarães e Epprecht (2000) apontam que a existência de autocorrelação no GC de Shewhart

causa a ocorrência de sucessivos alarmes falsos. Porém, não se sabe como a presença de

correlação entre os fluxos pode afetar o desempenho do GG.

Neste sentido, este estudo foi conduzido visando constatar o efeito da correlação entre os

fluxos no desempenho do GG quanto à detecção de causas especiais. Para isso, foi

desenvolvido um algoritmo de simulação no software livre R (R DEVELOPMENT CORE

TEAM, 2011) para determinar o desempenho do GG em ambos cenários (fluxos com e sem

correlação). O algoritmo baseia-se no Método de Monte Carlo (MMC) e calcula o número

médio de amostras (NMA) até ocorrência do primeiro alarme falso através das distribuições

do mínimo e do máximo da média de X. Espera-se que a presença de correlação em processos

paralelos provoque uma redução no desempenho do GG.

O presente artigo se dividirá nas seguintes seções: Trabalhos correlatos, Gráficos de controle

por grupos (GG), Indicador de desempenho, Algoritmo e simulação, Resultados e Conclusões.

2. Trabalhos correlatos

Mortell e Runger (1995) tratam o monitoramento individual dos componentes dos fluxos

através de uma análise residual de cada fluxo, isto é, a diferença entre cada observação



4

corrente e a média geral do processo. Na mesma linha, Epprecht, Barbosa e Simões (2011)

fazem um estudo do desempenho do GG com um deslocamento na média em um único fluxo

do processo. Em outra vertente, Grinshaw, Bryce e Meade (1999) desenvolvem métodos para

comparar o desempenho do GG em relação ao GC tradicional de Shewhart (GCS) propondo

limites de controle para o GG mantendo a mesma taxa de alarme falso do GCS. Vasconcelos

(2009) corroborou a pesquisa determinando a estrutura probabilística, o desempenho e

eficiência do GG em relação ao GCS. Oliveira et al. (2011) desenvolve um procedimento

análogo através de um algoritmo de simulação baseado no método de Monte Carlo. Sousa et

al. (2013) estuda a eficiência do GG em relação ao GCS na presença de autocorrelação. Já

Oliveira et al. (2013) faz uma comparação entre GG e GCS causando distúrbio conjunto na

média e na variância do processo. A proposta e o diferencial deste artigo, portanto, consiste

em inserir uma estrutura de dependência entre os fluxos, permitindo uma análise apurada do

GG em função da correlação.

3. Gráficos de controle por grupos (GG)

A elaboração e aplicação do GG são hábeis e objetivas. Segundo Costa, Epprecht e Carpinetti

(2010), o princípio essencial da construção do GG consiste na formação dos subgrupos para

análise da estabilidade estatística do processo, os chamados de subgrupos racionais. A má

formação dos subgrupos impossibilita rastrear o fluxo onde ocorreu o distúrbio no processo,

resultado da uma estratificação incorreta.

A configuração geral do GG, apresentada na Tabela 1, pode facilitar a estratificação e a

formação dos subgrupos racionais. O esquema do GG, segundo Mortell e Runger (1995), tem

dois objetivos preliminares: detectar um deslocamento na média de todos os fluxos e detectar

um deslocamento na média de um fluxo individual do processo.

Para a elaboração dos gráficos de controle por grupos (GG), Ramos (2000) sugere a adoção

dos seguintes passos:

a) Inicia-se a coleta sistemática de amostras de cada fluxo, como se fossem construir

gráficos para a média em cada fluxo, seguindo o modelo tradicional de Shewhart;



5

b) Calcula-se, em seguida, a média para cada amostra selecionada, a média geral X e a

amplitude média R ;

c) Determinam-se limites de controle para o GG para média da mesma forma que os

calculam para o gráfico tradicional de Shewhart;

d) Plotam-se a maior e menor média de cada grupo.

Tabela 1 - Esquema de montagem do gráfico de controle por grupos para X

Grupo Fluxo Prod. 1 Prod. n X R

1

1 X111 X11n R11

k X1k1 X1kn kX 1 R1k

m

1 Xm11 Xm1n 1mX Rm1

k Xmk1 Xmkn mkX Rmk

Fonte: Próprio autor

Caso não existam pontos fora dos limites de controle e seja constatado um comportamento

aleatório, semelhante ao modelo de Shewhart, o processo está sob controle. Caso contrário, é

necessário investigar, identificar e corrigir os fatores que ocasionaram instabilidade no

processo. A ideia é simples e intuitiva. Se o máximo ou o mínimo do subgrupo se localiza

além dos limites de controle, então provavelmente o fluxo estará fora de controle.

Os limites de controle do GG para X são obtidos de maneira similar ao modelo de Shewhart,

que são respectivamente,

RAXLSC

XLC

RAXLIC

X

X

X

2

2

em que A2 é uma constante calculada em função do tamanho amostral, X

LSC , X

LIC e X

LC

são, respectivamente, os limites superior e inferior de controle e a linha central

(MONTGOMERY, 2009). Destaca-se ainda que

m

i

k

j

n

t

ijt mknXX1 1 1

e

m

i

k

j

n

t

ijt mknRR1 1 1

,



6

onde i, j e t são índices associados ao subgrupo, ao fluxo e à amostra, respectivamente. Para

mais detalhes, ver Costa, Epprecht e Carpinetti (2010).

O GG tem se destacado como uma alternativa viável em relação ao modelo de Shewhart na

aplicação em processos paralelos. No entanto, não se sabe como a existência de correlação

entre os fluxos afeta o desempenho do mesmo. Para isso, utilizou-se o número médio de

amostras (NMA) até a ocorrência do primeiro alarme falso, indicador de desempenho da carta

de controle.

4. Indicador de desempenho

Os gráficos de controle podem ser vistos como um teste de hipóteses,

01

00

:

:

H

H

em que a hipótese nula H0 assume o processo sob controle e a hipótese alternativa H1 afirma

que o processo está fora de controle. Associado ao teste, o erro do tipo I (ETI), o alarme falso

no contexto dos gráficos de controle, tem sua probabilidade definida por,

).|],[()( 0 LSCLICXPETIP (1)

Para vários fluxos, a equação (1) pode ser reescrita como,

,|],[)( 0

1

LSCLICXPETIPk

i

ik (2)

ou

.|],[1)( 0

k

k LSCLICXPETIP (3)

No controle estatístico do processo (CEP), o ETI ocorre ao se afirmar que o processo está fora

de controle, quando na verdade não está. A probabilidade apresentada em (2) é usada como

parâmetro de uma distribuição geométrica da variável aleatória Y, descrita como o número de

ensaios até a ocorrência do primeiro sucesso (Y ~ G(p)) (MORETTIM; BUSSAB, 2010).



7

A esperança de Y (E(Y)) significa o número médio de ensaios até a ocorrência do primeiro

sucesso. Assumindo o sucesso como sendo o alarme falso, define-se o NMA como,

1

0

1

|],[1

)(

LSCLICXP

pNMAYE

k

i

i , (4)

que pode escrito como

kLLNMA

)()(1

1

, (5)

em que )(L representa a função de distribuição acumulada da distribuição normal no ponto

L, que é o fator de largura do intervalo. Para maiores detalhes, ver Mood, Graybill e Boes

(1974). No contexto do CEP, o NMA, considerando que o processo está sob controle,

representa o número médio de amostras até a ocorrência do primeiro alarme falso, que é uma

indicativa que o processo pode estar fora de controle.

5. Algoritmo e simulação

A função de distribuição acumulada )(L não possui forma exata, o que impossibilita

trabalhar os resultados de forma teórica ou probabilística. Portanto, a simulação surge como

alternativa para atingir os resultados desejados, no caso, o NMA, ver Nascimento e Zucchi

(1997). Para isso, foi elaborado um algoritmo no software livre R que simula o NMA para o

GG em diversos cenários. Os cenários envolvem questões como o número de fluxos (k), o

grau de correlação entre os fluxos (ρ), o tamanho da amostra (n), o fator de largura do

intervalo (L), a média (µ) e a variância (σ²) do processo.

Os parâmetros de entrada do algoritmo (k; ρ; n; L; µ e σ²) são empregados na simulação de

um NMA que virtualiza um processo paralelo com características específicas. A função é uma

extensão da apresentada em Oliveira (2013), tendo uma vantagem, que é a inserção da

correlação entre os fluxos produtivos. Este fator permite avaliar o comportamento do NMA

em relação a ρ, estimado por r. A função baseia-se no método de Monte Carlo, proposto por

Metropolis e Ulam (1949), e pode ser melhor compreendida segundo o algoritmo da Figura 1.



8

Figura 1 – Algoritmo de simulação do NMA


O laço externo vai de 1 até 500, um valor relativamente baixo para simulação. No entanto, por

se tratar de uma distribuição normal, a convergência é mais rápida. Testes foram realizados

para iterações de tamanho superior (1.000, 5.000, ..., 10.000), mas não houve diferença

significativa nos resultados gerados. 1X e nX representam, respectivamente, o mínimo e o

máximo de X para os k fluxos, LC são os limites inferior e superior de controle e

500

1

.500i

iVV

O algoritmo pretende analisar o comportamento do NMA em processos paralelos com fluxos

correlacionados. A ideia consiste em comparar o desempenho do GG na presença e na

ausência de correlação através da eficiência relativa (ER),

1000

0

NMA

NMANMAER

teindependen, (6)

em que 0NMA é o indicador na presença de correlação entre os fluxos e NMAindependente

assumindo independência. É importante enfatizar que as iterações são inicializadas assumindo

o processo sob controle, ver Oliveira et al. (2013).

A eficiência (ER) aponta o aumento ou a redução do NMA com correlação em relação ao

caso em que os fluxos são independentes. Destaca-se que, em princípio, a correlação é a



9

mesma entre todos os fluxos, levando a matriz de correlação a se configurar como uma matriz

uniforme. Tal composição foi selecionada a fim de beneficiar uma análise preliminar do

cenário com fluxos correlacionados de forma mais simples e objetiva.

6. Resultados

Este trabalho desenvolve um estudo análogo ao de Oliveira et al. (2011), que obtém o NMA

simulado com fluxos independentes. No entanto, agrega um diferencial, que é a inserção da

correlação entre os fluxos como argumento da função. Vasconcelos (2009) calculou o NMA

exato considerando L = 3 para processos com X ~ N(100; 10²) e com o número de fluxos

k = 1, 2, 3, ..., 10, 15, 20. Como critério de comparação, essas mesmas estimativas foram

utilizadas na geração do número médio de amostras até a ocorrência do primeiro alarme falso,

também chamado de taxa de alarme falso. Na Tabela 2 são apresentados os valores

correspondentes ao NMA para fluxos independentes (exato e simulado) e com correlação r =

0,1; 0,2; 0,3; 0,5; 0,7 e 0,9.

Segundo os resultados, percebe-se a aproximação entre o NMA simulado e o exato para

fluxos independentes, comprovando a acurácia do algoritmo. Destaca-se ainda que, de forma

geral, quando o número de fluxos (k) cresce, o indicador sofre uma redução em todos os

cenários. No contexto dos gráfico de controle, isso significa que quanto mais fluxos

produtivos o processo tiver, maior a chance dele sair de controle mais rápido.

Tabela 2 - NMA simulado para o GG com fluxos independentes (exato e simulado) e

dependentes

k Independente Correlacionado (r)

Exato Simulado 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 0,9

1 370,40 384,57 - - - - - -

2 185,40 202,32 143,92 130,87 147,69 159,16 154,63 186,99

3 123,80 120,94 82,32 78,25 85,72 98,74 96,10 120,51

4 93,00 87,00 49,26 53,86 53,08 49,14 57,72 95,94

5 74,50 74,03 34,66 33,94 42,90 37,66 48,64 72,65

6 62,10 62,32 26,03 29,44 28,71 27,91 34,10 51,80

7 53,30 52,72 22,85 17,68 19,81 22,03 33,18 46,84

8 46,70 45,98 16,41 13,07 13,55 16,45 20,99 38,55



10

9 41,60 34,95 9,67 10,68 10,01 12,95 15,93 33,04

10 37,50 37,92 8,74 8,39 10,38 11,61 15,50 22,90

15 25,20 27,15 2,44 4,13 2,64 4,42 4,89 10,63

20 19,00 19,02 1,22 1,09 1,97 2,03 3,04 6,16


Para k = 2, o NMA simulado sem correlação foi de 202,32, enquanto o indicador para uma

correlação de 0,5 foi 159,16. Em outras palavras, a correlação r afeta, neste cenário, de forma

negativa o desempenho do processo, levando o processo a sair de controle mais rápido na

presença de correlação. O mesmo acontece para os demais níveis de r.

Por outro lado, mantendo constante o número de fluxos e alterando r, é constatado que,

quando a correlação cresce, o NMA diminui. Mesmo com correlação r = 0,9, o indicador

ainda é inferior ao cenário com independência entre os fluxos. Isto é, pode-se afirmar que a

correlação positiva afeta negativamente o desempenho do GG, levando-o a sair de controle

mais rápido. A Figura 2 apresenta o comportamento retratado na Tabela 2.

Figura 2 – NMA para o GG com fluxos correlacionados e não correlacionados


Pela Figura 2, o comportamento das linhas correspondentes ao NMA exibe uma queda à

medida que o número de fluxos aumenta, bem como se percebe que, quanto maior a

correlação maior o NMA, como já comentado anteriormente.



11

É importante lembrar que, para o NMA com correlação r = 0,9, ou seja, para uma forte

correlação positiva, os valores do NMA são significativamente maiores quando comparados

aos demais com correlações inferiores. Duas suposições são feitas para este fato, a primeira é

que, para uma forte correlação, assumindo o processo inicialmente sob controle, é natural que

amostras tenham valores significativamente relacionados e levem mais tempo para sair de

controle, por estarem mais concentrados.

Outra suposição baseia-se na ideia de que, se os fluxos apresentam uma baixa correlação,

existe uma considerável dispersão entre os fluxos e o GG pode considerar os fluxos como se

fossem duas variáveis distintas. Essa característica violaria a condição do GG que exige

fluxos igualmente distribuídos. Neste caso, uma ideia seria utilizar os gráficos de controle

multivariados, que monitoram duas ou mais características de um item Brandão (2014). Desta

forma, os fluxos seriam percebidos como variáveis de um processo.

Na Tabela 3 estão dispostos os índices de eficiência relativa, tendo como referência os valores

simulados não correlacionados. Nota-se que, com o aumento da correlação, os índices de

eficiência aumentam consideravelmente quando comparadas as correlações extremas (r = 0,1

e 0,9). Para k = 2, com a correlação 0,1, o índice de eficiência é de -28,9% e sobe para -7,6%

quando a correlação passa para 0,9. Este fenômeno se repete em praticamente todos os valores

de k.

Tabela 3 – Eficiência Relativa (%) entre o GG

k Correlação (r)

0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 0,9

2 -28,9 -35,3 -27,0 -21,3 -23,6 -07,6

3 -31,9 -35,3 -29,1 -18,4 -20,5 -00,4

4 -43,4 -38,1 -39,0 -43,5 -33,7 10,3

5 -53,2 -54,2 -42,1 -49,1 -34,3 -01,9

6 -58,2 -52,8 -53,9 -55,2 -45,3 -16,9

7 -56,7 -66,5 -62,4 -58,2 -37,1 -11,2

8 -64,3 -71,6 -70,5 -64,2 -54,3 -16,2

9 -72,3 -69,4 -71,4 -62,9 -54,4 -05,5

10 -77,0 -77,9 -72,6 -69,4 -59,1 -39,6



12

15 -91,0 -84,8 -90,3 -83,7 -82,0 -60,8

20 -93,6 -94,3 -89,6 -89,3 -84,0 -67,6


Nota-se que, para k = 1 os valores foram omitidos, visto que a correlação é de natureza

multidimensional. O sinal negativo indica uma redução entre o NMA para fluxos

independentes e o NMA para fluxos correlacionados, comprovando a redução no desempenho

do GG na presença de uma estrutura de correlação. Em todos os níveis de correlação positiva

o GG tem seu desempenho comprometido, apontando que um estudo da correlação entre os

fluxos deve ser realizado antes da aplicação da carta de controle. A Figura 3 retrata o

comportamento da eficiência relativa.

Figura 3 – Eficiência Relativa do GG com fluxos correlacionados


A Figura 3 permite visualizar uma semelhança entre os cinco primeiros níveis de correlação

(r = 0,1; 0,2; 0,3; 0,5 e 0,7). Por outro lado, os índices para uma forte correlação são

significativamente maiores, mostrando assim que o aumento da eficiência relativa é

proporcional ao aumento da correlação, isto é, quanto maior a dependência, maior é a

eficiência do processo.

7. Conclusão e trabalhos futuros



13

O objetivo deste estudo foi analisar o desempenho do gráfico por grupos em processos com

fluxos correlacionados. Desenvolveu-se um algoritmo usando o software livre R, para a

simulação do indicador de desempenho que é o número médio de amostras até o primeiro

alarme falso (NMA). O algoritmo permite a inserção de uma estrutura de correlação entre os

fluxos, produzindo uma relação de dependência entre eles. Além disso, o viabiliza um estudo

aprofundado de cenários com características distintas. Em seguida, calculou-se a eficiência

relativa entre os gráficos com fluxos correlacionados e não correlacionados utilizando os

respectivos desempenhos.

Resultados apontam que, como esperado, a correlação afeta o desempenho dos gráficos de

controle por grupos. De forma geral, não se recomenda utilizar o GG quando os fluxos forem

correlacionados, pois o desempenho da carta diminui significativamente quanto à ocorrência

do primeiro alarme falso, chegando a ter seu desempenho 94,3% inferior ao caso sem

correlação. Em resumo, a presença de correlação entre os fluxos faz com que a carta saia de

controle mais rápido, comprometendo o desempenho do processo.

Como trabalhos futuros, é interessante avaliar o desempenho do GG quando a matriz de

correlação não for uniforme. Além disso, é viável realizar o mesmo estudo para o GG para

amplitude, focando no monitoramento da variabilidade do processo, que é geralmente

descartado pelas indústrias.

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