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INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA

MAURÍCIO FERREIRA HADDAD

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE SÍNTESES DE CONTROLE

ROBUSTO PARAMÉTRICO

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica.

Orientador: Cap QEM Roberto Ades – Dr.PUC- Rio

Rio de Janeiro

2001

2

c2001


Praça General Tibúrcio, 80 – Praia Vermelha

Rio de Janeiro - RJ CEP: 22290-270

Este exemplar é de propriedade do Instituto Militar de Engenharia, que poderá incluí-lo em

base de dados, armazenar em computador, microfilmar ou adotar qualquer forma de

arquivamento.

É permitida a menção, reprodução parcial ou integral e a transmissão entre bibliotecas

deste trabalho, sem modificação de seu texto, em qualquer meio que esteja ou venha a ser

fixado, para pesquisa acadêmica, comentários e citações, desde que sem finalidade comercial e

que seja feita a referência bibliográfica completa.

Os conceitos expressos neste trabalho são de responsabilidade do autor e do orientador.

H 126 Haddad, Maurício Ferreira

Estudo comparativo entre sínteses de controle robusto paramétrico. – Rio de Janeiro: Instituto Militar de Engenharia, 2001.

105 f. : il., graf., tab. Dissertação (mestrado) - Instituto Militar de Engenharia, 2001. 1. Controle robusto paramétrico. 2. PRCBI. 3. Estudo

comparativo.

3


MAURÍCIO FERREIRA HADDAD

ESTUDO COMPARATIVO ENTRE SÍNTESES DE CONTROLE

ROBUSTO PARAMÉTRICO

Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Mestrado em Engenharia Elétrica do Instituto Militar de Engenharia, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Ciências em Engenharia Elétrica. Orientador: Cap QEM Roberto Ades – Dr.PUC – Rio.

Aprovada em 24 de maio de 2001 pela seguinte Banca Examinadora:

_______________________________________________________________

Cap QEM Roberto Ades – Dr.PUC-Rio do IME - Presidente

_______________________________________________________________

Prof. Mario César Mello Massa de Campos – Dr. ECP da Petrobras

_______________________________________________________________

Prof. Geraldo Magela Pinheiro Gomes – Dr. ENSAE do IME

________________________________________________________________

Cap QEM José Vicente Medlig de Sousa – M.C. do IME

Rio de Janeiro

2001

4

Dedico esta dissertação de mestrado à memória de meu pai Chafic

Salim Haddad.

5

AGRADECIMENTOS

A Deus, Mestre dos mestres, por me privilegiar de um espírito de sabedoria e ciência.

Ao IME, em especial ao DE/3 pela oportunidade de realização do curso de pós-

graduação.

Ao meu orientador e professor Roberto Ades, pela orientação, interesse, dedicação e pa-

ciência no decorrer da dissertação.

Às minhas irmãs Natália e Andréa e à minha mãe Judith A. F. Haddad pelo grande

incentivo.

A todos os meus professores deste curso, especialmente ao professor Decílio de Medeiros

Sales.

Aos meus colegas de turma Padilha, Rebello e em especial a Edilmar e toda a sua família.

A minha noiva Emiliane, pelos finais de semanas perdidos, durante esta dissertação.

A CAPES pelo incentivo à pesquisa através da bolsa de estudos fornecida durante todo

este curso.

A todos os funcionários do DE/3, pela ajuda nesses dois anos de convivência.

A secretaria do DE/3, em especial a Lourdes, por todos os documentos despachados sem-

pre em tempo.

A todos aqueles esquecidos de serem aqui citados, e que de alguma forma colaboraram

com este trabalho.

6

SUMÁRIO

LISTA DE ILUSTRAÇÕES..................................................................................................... 08

LISTA DE TABELAS.............................................................................................................. 10

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS.........................................................................11

1 INTRODUÇÃO GERAL..........................................................................................15

1.1 Motivação e posicionamento da dissertação............................................................... 15

1.2 Objetivos e Escopo......................................................................................................17

2 SUPORTE TEÓRICO UTILIZADO...................................................................... 19

2.1 Métodos de otimização............................................................................................... 19

2.1.1 Método de Powell........................................................................................................21

2.1.2 Método BFGS............................................................................................................. 23

2.1.3 Método de busca unidimensional via aproximação quadrática...................................24

2.2 Síntese PRCBI.............................................................................................................29

3 SÍNTESE DE KONSTANTOPOULOS E ANTSAKLIS.......................................35

3.1 Introdução................................................................................................................... 35

3.2 Considerações iniciais................................................................................................. 36

3.3 Projeto de controladores de realimentação de saída....................................................38

3.3.1 Perturbação não estruturada sem especificações de desempenho............................... 39

3.3.2 Perturbação não estruturada com especificações de desempenho.............................. 45

3.3.3 Perturbação estruturada sem especificações de desempenho......................................47

3.3.4 Perturbação estruturada com especificações de desempenho..................................... 49

4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS DAS SÍNTESES PRCBI E DE K&A..................52

4.1 Sistema de controle longitudinal de uma aeronave..................................................... 52

4.2 Sistema massa-mola com 8 estados............................................................................ 70

7

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES.............................................................................80

5.1 Conclusões.................................................................................................................. 80

5.2 Sugestões para futuros trabalhos................................................................................. 82

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................... 83

7 ANEXO ......................................................................................................................84

7.1 ANEXO 1....................................................................................................................84

8

LISTA DE ILUSTRAÇÕES FIG. 2.1 Diagrama geral do sistema de otimização........................................................20

FIG. 2.2 Evolução do processo de minimização pelo método de Powell.......................21

FIG. 2.3 Fluxograma do método de Powell....................................................................22

FIG. 2.4 Possível forma de F(Xq + α. Sq) x α................................................................25

FIG. 2.5 Fluxograma do método de busca unidimensional por aproximação

quadrática utilizado......................................................................................... 28

FIG. 2.6 Estrutura LQG................................................................................................. 29

FIG. 2.7 Síntese PRCBI em malha fechada...................................................................32

FIG. 3.1 Síntese de K&A com realimentação de saída..................................................36

FIG. 3.2 Fluxograma do algoritmo de K&A..................................................................44

FIG. 4.1 Região de estabilidade e hiperesfera com o controlador kc1 ...........................61

FIG. 4.2 Diagrama de sensibilidade com o controlador kc1...........................................61







FIG. 4.9 Região de estabilidade e hiperesfera com o controlador kc5............................65

FIG. 4.10 Diagrama de sensibilidade ampliado com o controlador kc1 ...........................65

FIG. 4.11 Diagrama de sensibilidade ampliado com o controlador kc2 ...........................66

FIG. 4.12 Resposta ao impulso em MA para o sistema da EQ 4.2..................................66

9

FIG. 4.13 Resposta ao impulso em M.F para o sistema da EQ 4.2 com o

controlador kc1........................................... ......................................................67


controlador kc2............................. ....................................................................67


controlador kc3............................. ....................................................................68


controlador kc4............................. ....................................................................68


controlador kc5............................. ....................................................................69

FIG. 4.18 Diagrama físico do sistema mass-mola 8 estados ...........................................70

FIG. 4.19 Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KLQG ......75

FIG. 4.20 Diagrama de sensibilidade com o controlador KLQG .......................................75

FIG. 4.21 Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KPRCBI....76

FIG. 4.22 Diagrama de sensibilidade com o controlador KPRCBI ....................................76

FIG. 4.23 Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KH100 .....77

FIG. 4.24 Diagrama de sensibilidade com o controlador KH100 ......................................77

FIG. 4.25 Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KK&A1 ....78

FIG. 4.26 Diagrama de sensibilidade com o controlador KK&A1 .....................................78

FIG. 4.27 Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KK&A2 ....79

FIG. 4.28 Diagrama de sensibilidade com o controlador KK&A2 .....................................79

10

LISTA DE TABELAS

TAB. 4.1 Significado físico dos estados, entradas e saídas do modelo

para o modelo de (JIANG, 1994)..............................................................................52

TAB. 4.2 Controladores obtidos no modelo de (JIANG, 1994)...............................................56

TAB. 4.3 Matrizes Z diagonal otimizadas................................................................................58

TAB. 4.4 Características obtidas nos controladores calculados...............................................59

TAB. 4.5 Significado físico dos estados do sistema massa-mola 8 estados.............................71

TAB. 4.6 Controladores de destaque relativos ao sistema massa-mola com

8 estados....................................................................................................................73

TAB. 4.7 Características obtidas pelos controladores mencionados na TAB. 4.6...................73

11

LISTA DE ABREVIATURAS E SÍMBOLOS

ABREVIATURAS

PRCBI : “Parameter Robust Control by Bayesian Identification”

K&A : “Konstantopoulos & Antsaklis”

LQG-LTR : “Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer Recovery”

PRLQG : “Parameter Robust Linear - Quadratic Gaussian”

LQG : “Linear Quadratic Gaussian”

LQR : ”Linear Quadratic Regulator”

MF : Malha fechada

MA : Malha aberta

SÍMBOLOS

Ctrl : Controlador

X : Vetor X

nℜ : Conjunto dos vetores reais de ordem n

AT : Matriz transposta da matriz A

θ : Vetor paramétrico

Cb ∈ : b pertence a C

qxpℜ : Conjunto das matrizes reais de ordem p x q

In : Matriz identidade de ordem n

1

0G −

θ : Matriz da qualidade de identificação bayesiana

Tr(A) : Traço da matriz A

⋅E : Esperança matemática

A>0 : A é uma matriz positiva definida

A<0 : A é uma matriz negativa definida

A>B : A-B é uma matriz positiva definida

A-1

: Matriz inversa da matriz A

)A(maxσ : Maior valor singular da matriz A

12

)A(mimσ : Menor valor singular da matriz A

: = : Por definição

)X(F2∇ : Matriz Hessiana de F(X)

)X(F∇ : Gradiente de F(X)

θ

kYp : Probabilidade condicional de θ dado que Y

k ocorreu

A : Determinante da matriz A

)(minA

⋅ : Encontrar o valor mínimo da expressão variando A

X : Norma quadrática do vetor X

( )⋅F : F é uma função objetivo do argumento

( )⋅F : Módulo do valor da função objetivo do argumento

♦ : Fim de Lema e Teorema

13

RESUMO

Esta dissertação apresenta um estudo na área de controle robusto, que é um assunto de

interesse atual, dada a sua aplicação na capacidade de manter a estabilidade e assegurar uma

maior insensibilidade do desempenho do sistema que esteja submetido a um determinado tipo

de perturbação.

Este trabalho apresenta um estudo comparativo entre a síntese de controle robusto para-

métrico PRCBI (“Parameter Robust Control By Bayesian Identification”) (GOMES,1991),

baseada na qualidade de identificação Bayesiana dos parâmetros incertos a serem robusteci-

dos e a síntese desenvolvida em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), aqui deno-

minada por síntese de K&A, onde o algoritmo de minimização proposto utiliza uma versão do

método de direções conjugadas baseado na regra BFGS (BAZARAA et alii, 1993).

Na parte aplicativa deste trabalho, calcula-se os controladores gerados pelas sínteses

mencionadas em cima do sistema de controle longitudinal de uma aeronave (JIANG, 1994), e

de um sistema massa-mola de 08 estados, verificando através de gráficos e tabelas as vanta-

gens obtidas pela utilização dos controladores calculados por meio de cada uma das sínteses

aqui citadas.

14

ABSTRACT

This dissertation features a study in the field of robust control, which is a subject of

current interest, given its application in the capacity of keeping stability and assure a greater

insensibility of the system performance which is submitted to a determined type of

perturbation.

This project features a comparative study between the synthesis of Parametric Robust

Control PRCBI ( "Parameter Robust Control by Bayesian Identification") (GOMES, 1991),

based on the bayesian identification quality of uncertain parameters to be robusted and the

developed synthesis into (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), here denominated

by K&A synthesis, where the algorithm of minimization proposed uses a version of the

conjugated directions method based on the BFGS rule (BAZARAA et alii, 1993).

In the applicable part of this project, it is calculated the controllers generated by the

synthesis mentioned over the longitudinal control system of an aeroplane ( JIANG, 1994) and

a mass-spring of 08 states, verifying through graphs and tables the advantages obtained by the

utilization of controllers calculated by each synthesis here cited.

15

1 INTRODUÇÃO GERAL

1.1 MOTIVAÇÃO E POSICIONAMENTO DA DISSERTAÇÃO

Nesta dissertação propõe-se um estudo comparativo entre as sínteses de controle robusto

paramétrico, PRCBI (“Parameter Robust Control By Bayesian Identification”) (GOMES,

1991) e a desenvolvida em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), sendo esta

última referida neste trabalho por síntese de K&A.

O Controle Robusto é uma linha de pesquisa que visa adaptar os métodos de controle

ótimo, de maneira a tornar os sistemas imunes a uma classe específica de perturbações, isto é,

um regulador robusto deve ser capaz de manter a estabilidade e assegurar uma maior

insensibilidade do desempenho de um sistema, que esteja submetido a um determinado tipo

de perturbação.

Tendo em vista a sua importância, foram desenvolvidas recentemente várias técnicas de

Controle Robusto. Uma das primeiras e mais importantes, baseada na modelagem das classes

de incertezas estruturais previamente conhecidas, surgiu em (DOYLE & STEIN, 1981), onde

é utilizada uma representação externa das incertezas sob a forma de uma matriz de erro. Esta

técnica recebeu a denominação de LQG-LTR (“Linear Quadratic Gaussian - Loop Transfer

Recovery”).

Posteriormente em (TAHK & SPEYER, 1987), foi proposta uma técnica de Controle

Robusto voltada para as variações paramétricas, conhecida como PRLQG (“Parameter Robust

Linear - Quadratic Gaussian”), sendo baseada na representação interna das incertezas e cuja

metodologia de síntese consiste em analisar as propriedades assintóticas do método LQG

(“Linear Quadratic Gaussian”). O estudo mostra que o método desenvolvido é mais

abrangente, tornando a técnica LQG-LTR um caso particular da PRLQG no que se refere às

características de desempenho e robustez paramétrica em estabilidade. Ainda assim, a técnica

PRLQG possui algumas limitações em relação a sua aplicação.

Em (GOMES, 1991) foi proposta a síntese PRCBI, que lida com o caso de perturbações

paramétricas. Esta síntese se aplica bem a estrutura LQG e visa o robustecimento do sistema

em malha fechada ou em malha aberta face às variações paramétricas da planta. A síntese

PRCBI explora o fato de que uma má qualidade de identificação paramétrica em malha aberta

é obtida sempre que o sistema apresenta boa margem de estabilidade. Quanto mais sensível

for um sistema à variação de um parâmetro, melhor a sua identificação.

16

Várias aplicações recentes da síntese PRCBI foram realizadas. Em (PELLANDA, 1993)

aplicou-se a síntese PRCBI para o robustecimento de um sistema elétrico de potência. Em

(ADES, 1994) foi proposto um algoritmo para conciliar as características de robustez paramé-

trica em estabilidade fornecidas pela síntese PRCBI e o desempenho em malha fechada do

sistema. Para exemplificar os resultados foram utilizados modelos de sistemas massa-mola de

4 e 8 estados, bem como o de um helicóptero em vôo longitudinal. Em (MEDLIG, 1996) de-

senvolveu-se uma extensão da síntese PRCBI, considerando variações na matriz de saída do

sistema, realizando uma aplicação na pilotagem automática de mísseis.

Posteriormente, foram realizadas outras aplicações da síntese PRCBI em (GÓES, 1997) e

(ARNAUT, 2000), referentes ao controle de uma central eletronuclear, em (CERDEIRA,

1998) referente ao guiamento de um míssil solo-ar e em (MENDES, 1998) relacionada ao

controle de um levitador magnético.

Na síntese de K&A (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996) discute-se um

algoritmo rápido para o projeto de controladores robusto de realimentação de saída em

sistemas lineares incertos e discretos no tempo. Este algoritmo baseia-se no método de

otimização BFGS (BAZARAA et alii, 1993). O critério a ser minimizado inclui o custo LQR

(“Linear Quadratic Regulator”) e desenvolvimentos recentes dos autores, relacionados à

maximização dos limites de incertezas estruturadas e não estruturadas a que a planta estiver

submetida. Apresenta-se uma abordagem unificada para os casos de incertezas estruturadas e

não estruturadas nas matrizes de modelos sob a forma de espaço de estado e comenta-se que

os limites de perturbações não estruturadas obtidos são superiores em relação aos calculados

em (KOLLA & FARISON, 1991).

De acordo com (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996) o caso de perturbação

não estruturada na matriz da dinâmica são comparados com os de (KOLLA et alii, 1989) e

(KOLLA & FARISON, 1991) pois foram os únicos encontrados na literatura da área. Cabe

observar que em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), as perturbações não

estruturadas são equivocadamente consideradas com dimensões finitas. Além disso, não foi

apresentado um meio de ponderar as características de robustez em estabilidade e de

desempenho do sistema em malha fechada.

A motivação principal deste trabalho será a realização de um estudo comparativo entre as

sínteses de controle robusto paramétrico PRCBI e de K&A, utilizando alguns exemplos eluci-

dativos, a fim de vislumbrar as potencialidades de cada uma das sínteses mencionadas. Na

parte final do trabalho procurar-se-á apresentar algumas sugestões que permitam colaborar

17

com o aperfeiçoamento da síntese proposta em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS,

1996).

1.1 OBJETIVOS E ESCOPO

Os objetivos desta dissertação são:

a) Realizar um estudo da síntese de K&A, desenvolvida para o robustecimento em estabili-

dade do sistema face a variação de parâmetros incertos a partir da realimentação de saída

de sistemas lineares e discretos no tempo. A síntese mencionada emprega o método de oti-

mização BFGS para a minimização de uma função objetivo que leva em conta os limites

de incertezas desenvolvidos em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996) e um

critério de desempenho quadrático.

b) Estudar e utilizar a síntese PRCBI, baseada no comportamento assintótico dos estimadores

bayesianos e na estrutura LQG. Esta síntese permite o robustecimento do sistema em rela-

ção a uma classe previamente determinada de variações paramétricas.

c) Aplicar as sínteses mencionadas em um exemplo de um controle longitudinal de uma aero-

nave e no sistema massa-mola de 8 estados, verificando através de gráficos e tabelas os re-

sultados obtidos a partir da aplicação de cada uma das sínteses estudadas.

d) Discutir as vantagens e desvantagens de cada uma das sínteses aplicadas.

No capítulo 2 desta dissertação é apresentado os métodos de otimização numérica de

Powell (FOX, 1971) e o BFGS (BERTSEKAS, 1995), bem como o método de busca

unidimensional via aproximação quadrática, que consiste em parte do suporte teórico

necessário ao desenvolvimento deste trabalho. Além disso, explana-se a síntese PRCBI de

maneira simplificada, visto que tal assunto já foi alvo de vários trabalhos anteriores na

Instituição.

O capítulo 3 apresenta uma resenha de (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996)

para os casos desenvolvidos considerando perturbações estruturadas e não estruturadas.

18

Discute-se ainda os projetos de controladores robustos levando-se em conta ou não as

especificações de desempenho, bem como os algoritmos desenvolvidos.

No capítulo 4 realiza-se a aplicação numérica das sínteses estudadas, utilizando um e-

xemplo de um sistema de controle longitudinal de uma aeronave (JIANG, 1994) e outro relati-

vo a um sistema massa-mola com 8 estados (ADES, 1994). Para isto, foram confeccionados

gráficos com a evolução temporal dos sistemas em malha fechada, da região de estabilidade e

do diagrama de sensibilidade para os vários controladores calculados. Os gráficos de evolução

temporal são obtidos pela aplicação de um impulso unitário na entrada do sistema em malha

aberta e, após um certo tempo, pelo fechamento da malha com um dos controladores projeta-

dos, permitindo a observação do comportamento do sistema no tempo. Os gráficos da região

de estabilidade mostram o comportamento do sistema em malha fechada com um dos contro-

ladores calculados, no que diz respeito a estabilidade, face à variações paramétricas. Nestes

gráficos encontram-se traçadas as respectivas hiperesferas de estabilidade, degeneradas em

circunferências de estabilidade. Cada controlador calculado gera uma circunferência de esta-

bilidade, que é aquela que possui o maior raio de perturbação possível inscrita na região de es-

tabilidade dentro do domínio paramétrico, centrada no ponto em que os parâmetros incertos

assumem seus valores nominais.

Nos diagramas de sensibilidade mostram-se os deslocamentos dos pólos de malha fecha-

da do sistema, para cada controlador calculado, face à perturbações paramétricas conveniente-

mente escolhidas. Quando possível, os resultados obtidos serão comparados com aqueles em

(ADES, 1994).

No capítulo 5 são tecidos alguns comentários e as conclusões alcançadas durante o desen-

volvimento desta dissertação. Também são apresentadas algumas sugestões para futuros tra-

balhos.

19

2 SUPORTE TEÓRICO UTILIZADO

2.1 MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

O problema de otimização a ser resolvido nesta dissertação enquadra-se na seguinte

classe:

Minimizar F(X)

sujeito a 0)X(g i ≤ para i = m,,1L

0)X(h j = para j = p,,1L

onde )(F ⋅ é uma função normalmente chamada de função objetivo ou função custo, gi )( ⋅ e

hi )( ⋅ são funções que representam as restrições de desigualdade e igualdade do problema, res-

pectivamente, e X nℜ∈ é o vetor de variáveis de projeto que deve satisfazer as restrições e

minimizar a função F )( ⋅ .

Para a minimização das funções objetivos desta dissertação serão usados os métodos de

otimização de Powell (FOX, 1971), também chamado de método das direções conjugadas, o

método da classe quase-Newton BFGS (BAZARAA et alii, 1993), bem como o método de

busca unidimensional via aproximação quadrática, que atua conjuntamente com os outros dois

citados acima.

Os problemas aqui tratados são de natureza não convexa, não sendo possível garantir que

a solução no processo de minimização seja de fato o mínimo global pesquisado. Deste modo,

as soluções serão denominadas mínimos locais ou relativos por garantirem o valor mínimo da

função somente em suas respectivas vizinhanças, mas não necessariamente para todo espaço

pesquisado. Neste caso a solução escolhida para o projeto ótimo será a melhor dentre os mí-

nimos relativos calculados a partir de vários pontos iniciais testados.

A FIG. 2.1 ilustra o sistema de otimização utilizado neste trabalho, em que o programa

principal define as constantes e os parâmetros a serem empregados, fornecendo para as rotinas

de otimização um ponto de partida X0. De posse deste projeto X0, o método de otimização de-

termina uma direção de busca S0, que será utilizada pela rotina de busca unidimensional.

Dado o projeto X0 e a direção S0, o problema de busca unidimensional consiste em en-

contrar α = *α de modo que:

20

F(X0 + *α S0) ℜ∈α∀α+≤ ),SX(F 00 EQ 2.1

seja mínimo na direção S0, a partir de X0, para qualquer α, onde *α é calculado pelo método

de busca unidimensional por aproximação quadrática, que será visto adiante.

Tanto o método de otimização, quanto a rotina de busca unidimensional utilizam o simu-

lador, que é a rotina responsável pela informação de custo de cada projeto. Encontrado o

passo ótimo *α , a rotina de busca unidimensional devolve o controle para o método de

otimização, que determinará o novo projeto X1 = X0 + *α S0 e em seguida, calculará a nova

direção de busca S1. O problema se repete ao enviar X1 e S1 para a rotina de busca

unidimensional. Quanto ao critério de parada do sistema, vários podem ser empregados, sendo

que um dos mais usuais é aquele que compara o valor da função em dois projetos

consecutivos, ou seja:

ε≤− − |)X(F)X(F| 1qq EQ 2.2

Enquanto esta condição não for satisfeita, o processo será repetido. Atendida a condição, o

método de otimização retornará para o programa principal o último projeto calculado, que se-

rá considerado a solução do problema tratado.

FIG. 2.1: Diagrama geral do sistema de otimização.

PROGRAMAPRINCIPAL

ROTINAS DE OTIMIZAÇÃO

MÉTODO DEOTIMIZAÇÃO

ROTINA DE BUSCAUNIDIMENSINAL

SIMULADOR

qX

0X ótimoX

)X(FJ q=

J J

)F( min ⋅ )SXF( min qq α+ℜ∈α

*α

qq S,X

qX

21

2.1.1 MÉTODO DE POWELL

Este método é também conhecido como o método das direções conjugadas. Neste método

parte-se de uma base vetorial para o espaço de otimização a ser pesquisado. Normalmente a

base adotada é a canônica. Após a escolha da base, minimiza-se unidimensionalmente cada

uma destas direções, de acordo com EQ 2.1, sempre partindo do projeto obtido na busca

anterior. Ao completar esse primeiro ciclo, determina-se uma direção conjugada, formada

pelo ponto final deste processo e pelo ponto inicial X0. Esta direção conjugada irá substituir

uma das direções do conjunto anterior, em geral a mais antiga. O processo será repetido

minimizando-se unidimensionalmente cada uma das direções desse novo conjunto,

completando-se assim o segundo ciclo, onde será calculada uma nova direção conjugada,

formada pelos pontos inicial e final do referido ciclo. Novamente, a direção conjugada irá

substituir uma das existentes no conjunto inicial e este processo será repetido até que seja a-

tendido o critério de parada proposto.

A FIG. 2.2 ilustra o processo de minimização através do método de Powell para um caso

bidimensional, onde as direções 1 e 2 são as da base inicial e a direção a é a conjugada,

calculada no final do primeiro ciclo. Esta direção conjugada irá substituir a direção 1 da base

inicial. As direções 3 e 4 (que é a mesma direção 2) da nova base serão seqüencialmente

minimizadas, gerando ao final do segundo ciclo uma nova direção conjugada b, sendo que

esta substituirá a direção 2 da base inicial. O processo continuará até que o critério de

convergência adotado seja atingido.

FIG. 2.2 : Evolução do processo de minimização pelo método de Powell.

1

2

3

4

5

6

a

b

22

Demonstra-se (FOX, 1971) que no caso de uma função objetivo )(F ⋅ quadrática, isto é:

F(X) = XTCX + XTB + a EQ 2.3

onde C é uma matriz quadrada positiva definida, B um vetor com dimensão compatível e a

um escalar, o método de Powell alcançará o mínimo global de )(F ⋅ após a execução do algo-

ritmo apresentado na FIG. 2.3. Nesta figura, a matriz A contém em suas colunas as direções

iniciais de busca, J é o contador das direções minimizadas dentro de cada ciclo, L é o contador

do número de ciclos executados, S é a direção a ser pesquisada na busca unidimensional, X0 é

o projeto inicial e *α é o passo ótimo calculado na busca unidimensional.

FIG. 2.3: Fluxograma do método de Powell.

O teste de convergência ilustrado na FIG. 2.3 poderá ser realizado conforme EQ 2.2, on-

de ε é uma constante previamente definida.

INÍCIO

1L

0q

1J

IA nxn

←

←

←

←

J < n

S

NL > n

CONVERGIU?

1L←S

N

N

S

FIM

)J,(:AS←

0q

0q

XX

1J

1LL

XX)L,:(A

←

←

+←

−←

qótimo XX ←

1JJ

1qq

+←

+←

SXX *q1q α+←+

Calculaque minimiza

*α=α

)SX(F q α+

23

2.1.2 MÉTODO BFGS

O método BFGS (BERTSEKAS, 1995) é um método de otimização de ordem 1 da classe

de métodos quasi-Newton. Os parâmetros iniciais do algoritmo são X0 e D0, onde X0 é o

projeto inicial, arbitrado pelo usuário, e D0 é uma matriz simétrica e positiva definida com

dimensão compatível. Calcula-se inicialmente a direção )X(FDd 000 ∇−= e resolve-se o

problema de busca unidimensional )dX(Fmin 00 α+α

. A solução deste problema, obtida com

α = α0 determinará o novo projeto de acordo com X1 = X0 + α0 0d . Após estes cálculos,

executa-se para q=0, 1, ... o seguinte procedimento iterativo:

q1qq XXp −= + EQ 2.4 )X(F)X(Fq q1qq ∇−∇= + EQ 2.5

qq

tqq qDq=τ EQ 2.6

q

qq

qtq

qq

qD

qp

pv

τ−= EQ 2.7

e a matriz Dq+1 poderá ser obtida de acordo com:

tqqq

qqtq

qtqqq

qtq

tqq

q1q vvqDq

DqqD

qp

ppDD τ+−+=+ EQ 2.8

determinando-se a nova direção de busca por:

)X(FDd qqq ∇−= EQ 2.9

Repete-se então este procedimento, resolvendo o problema de busca unidimensional:

)dX(Fmin qq α+

α EQ 2.10

o que levará à determinação do novo projeto por meio da seguinte equação:

24

qqq1q dXX α+=+ EQ 2.11

A vantagem deste método é a obtenção de uma convergência rápida, não necessitando do

cálculo da segunda derivada associado aos métodos de Newton, sendo que as direções pesqui-

sadas neste método são calculadas pelas equações EQ 2.9 e EQ 2.11.

Uma das principais idéias neste método é que duas iterações sucessivas Xq e Xq+1 acom-

panhadas de seus respectivos gradientes )X(F q∇ e )X(F 1q+∇ , rendam a informação de curva-

tura por meio de uma relação aproximada, ou seja:

q1q

2q p).X(Fq +∇≈ EQ 2.12

Em particular, dado n incrementos linearmente independentes de iterações p0, p1,..., pn-1

junto com seus correspondentes incrementos de gradientes q0, q1,..., qn-1, obtém-se uma apro-

ximação da matriz Hessiana por:

[ ][ ] 11n01n0n

2 ppqq)X(F −

−−≈∇ KK EQ 2.13

e uma aproximação de sua inversa através da seguinte expressão:

[ ][ ] 11n01n0

1n

2 qqpp)X(F −

−−− ≈∇ KK EQ 2.14

2.1.3 MÉTODO DE BUSCA UNIDIMENSIONAL VIA APROXIMAÇÃO QUADRÁTICA

Nesta dissertação utilizou-se o método de busca unidimensional via aproximação quadrá-

tica. Este método foi empregado conjuntamente com os algoritmos apresentados nas seções

2.1.1 (método de Powell) e 2.1.2 (método BFGS). O problema da busca unidimensional

consiste na determinação do valor α= *α escalar, de maneira que )SX(F qq α+ seja o mínimo

na direção Sq considerada, isto é:

ℜ∈αmin F(Xq + α. Sq) EQ 2.15

Neste trabalho as funções tratadas são de natureza não convexas, acarretando vários míni-

mos relativos. Desta forma, tentar determinar precisamente o valor de um destes mínimos da

25

função na direção pesquisada seria improdutivo, implicando num tempo excessivo de proces-

samento computacional.

Seja Sq a direção determinada pelo método de otimização e Xq o projeto atual. O novo

projeto será calculado do seguinte modo:

Xq+1 = Xq + α. Sq EQ 2.16

O lugar geométrico de Xq+1, sabendo que α é uma variável escalar, será uma reta no

espaço nℜ . O novo projeto Xq+1 será determinado utilizando a EQ 2.16 e escolhendo um

valor para ℜ∈α de maneira que:

F(Xq+1) : = F(Xq + α. Sq) < F(Xq) EQ 2.17

Uma possível forma da função F(Xq + α. Sq) versus α pode ser vista na FIG. 2.4, cabendo

observar que *α , abcissa do ponto de mínimo no gráfico, não será o mínimo global de )(F ⋅ , a

menos que Xq+1 = Xq + α. Sq contenha este último ponto mencionado.

FIG. 2.4 : Possível gráfico de F(Xq + α. Sq) x α

Dentro deste contexto, o problema de minimizar )(F ⋅ estará reduzido a uma seqüência de

buscas unidimensionais, considerando indiretamente a dimensão do vetor de variáveis de pro-

jeto. Em princípio, o cálculo de *α só será possível por meio de algum processo numérico. O

método de busca unidimensional via aproximação quadrática consiste em ajustar a função

H(α), observando somente três pontos de )(F α : = F(Xq + α. Sq). Considere:

)S.X(F qq α+

α0

26

H(α) : = a + bα + cα2 EQ 2.18

A função quadrática H(α) possuirá um mínimo se c > 0. Neste caso, o mínimo da função

estará localizado em:

α+=α

c2bd

dH = 0 EQ 2.19

ou seja,

α = c2

b* −=α EQ 2.20

onde a, b e c ℜ∈ podem ser calculados atribuindo-se valores a )(F α em três pontos distintos

α1, α2 e α3 e resolvendo as seguintes equações: 2

111 cbaf α+α+=

2222 cbaf α+α+= EQ 2.21

2333 cbaf α+α+=

Para simplificar os cálculos, escolhe-se α1 = 0, α2 = t e α3 = 2t. Assim:

)0(Hf)0(F 1 ==

)t(Hf)t(F 2 == EQ 2.22

)t2(Hf)t2(F 3 ==

Da EQ 2.21 vem que: f1 = a f2 = a + bt + ct2 EQ 2.23 f3 = a + 2bt + 4ct2 Resolvendo as equações, chega-se a:

27

2213

312

1

t2

f2ffc

t2

ff3f4b

fa

−+=

−−=

=

EQ 2.24

e da EQ 2.19:

t.f2f2f4

ff3f4

132

312*

−−

−−=α EQ 2.25

Para que haja o mínimo em H(α) deve-se atender a seguinte condição: 2f2 < f3 + f1 EQ 2.26

Adicionalmente, se f1 > f2 e f3 > f2, então o mínimo de H(α) estará entre os pontos extre-

mos, isto é, 0< *α <2.t. Uma vez que não há garantia que a aproximação seja adequada, torna-

se necessário verificar se 1* f)(F ≤α no algoritmo utilizado para a busca unidimensional via

aproximação quadrática, ilustrada na FIG. 2.5. Nesta figura, M é o número máximo de

tentativas, S é a direção de busca, α é o passo inicial, X é o ponto inicial e *α é o passo que

leva ao suposto mínimo na direção S.

O valor do parâmetro t será dobrado durante a execução do algoritmo até que a condição

apresentada na EQ 2.26 seja satisfeita.

28

FIG. 2.5 : Fluxograma do método de busca unidimensional por aproximação quadrática utilizado.

INÍCIO

incial

3

2

1

1J

)S2X(Ff

)SX(Ff

)X(Ff

α←α

←

α+←

α+←

←

MJ

e

fff2 312

≤

+≥

S

S

N

FIM

S

)SX(Ff

f2f2f4

ff3f4

*4

132

312*

α+←

α−−

−−←α

1JJ

)S2X(Ff

ff

2

3

32

+←

α+←

←

α←α

312 fff2 +<

14 ff <

α←α*

N

0* ←α α←α 2*

12 ff <

N

13 ff <

S

N

S

N

0* ←α

29

2.2 SÍNTESE PRCBI

Uma das estruturas de controle mais importante na teoria de controle moderno é a estru-

tura LQG ilustrada na FIG. 2.6. Seu ponto forte está relacionado com a realimentação de esta-

dos estimados, possibilitando uma grande flexibilidade na alocação de pólos para sistemas

controláveis. O ponto fraco do controle LQG é que, utilizando um Filtro de Kalman para

estimar o estado completo, com este sintonizado no ponto nominal do modelo da planta,

acarreta ao sistema em malha fechada características de pouca robustez paramétrica.

A síntese PRCBI será então utilizada para tornar robusta em estabilidade, em relação às

variações paramétricas da planta, a estrutura LQG.

FIG. 2.6: Estrutura LQG.

A síntese PRCBI foi proposta em (GOMES, 1991) e baseia-se nos estudos sobre o

comportamento assintótico dos estimadores bayesianos (GAUVRIT, 1982). Esta técnica

utiliza uma formulação matemática baseada na qualidade de identificação dos parâmetros

incertos em regime permanente do sistema em malha fechada. Em outras palavras ela explora

o fato, já devidamente comprovado, de que uma má qualidade de identificação de um certo

conjunto de parâmetros da planta está geralmente associada a uma grande robustez em

estabilidade em relação à variação desse conjunto de parâmetros. Em resumo, a síntese

+ SISTEMA

Ruído daplanta

+

Ruído do sensor demedidas de saída

FILTRO DEKALMANcK

REGULADOR

kr ky

x

30

PRCBI busca um controlador, através da otimização de um critério, que conduz à pior

qualidade de identificação possível, obtendo-se, assim, um sistema em malha fechada com

sensibilidade paramétrica bastante reduzida.

A seguir encontra-se um resumo sobre a síntese PRCBI. Cabe observar que uma análise

mais profunda sobre este assunto já foi realizada em trabalhos anteriores (GOMES, 1991),

(PELLANDA, 1993), (ADES, 1994) e não será portanto objeto deste trabalho.

Além disso, em todo este item, o cálculo de um vetor ou matriz variação ∆V qualquer é

sempre considerado como ∆V= Vperturbado – V0, onde V0 representa o caso nominal.

A identificação bayesiana consiste em determinar

θ

kYp , isto é, a densidade de pro-

babilidade condicional do vetor de parâmetros sensíveis θ , sendo conhecidos o conjunto de

medidas de saída da planta até o instante k, ou seja, k10

k y ,,y ,yY K= , onde q

iy ℜ∈ e,

também, a partir do conhecimento a priori da densidade de probabilidade )(p0 θ .

Com a aplicação da formulação de Bayes pode-se escrever esta função densidade de pro-

babilidade condicional da seguinte forma recursiva:

θ

θ

=

θ

−

−−

1kk

1kk

1k

k

Yyp

Y,yp

Yp

Yp EQ 2.27

onde

θ −1k

k

Y,yp representa uma densidade de probabilidade normal de média kY e de co-

variância ( )( )[ ]Tkkkkk yyyyEM −−= . Os outros componentes da expressão EQ 2.27 são

constantes e fazem parte do cálculo recursivo.

Com o uso da expressão analítica da função densidade de probabilidade gaussiana, a função

na EQ 2.27 converge assintoticamente para:

[ ]

∆−

−Λ

=

θ∆+θ − MMTr

2

kexp

M

2

mkexp

Yp 1

02

k

0

k0 EQ 2.28

31

Observa-se na expressão EQ 2.28 a relação de uma variação do conjunto de parâmetros

∆θ com a respectiva variação da matriz de covariância ∆M.

• m é o número de parâmetros de θ;

• ⋅ representa o determinante da matriz indicada;

• M é a covariância do erro de predição do vetor de saída em regime assintótico e

M=M0+∆M onde M0 é o valor nominal e ∆M a variação devida a ∆θ.

Como a relação entre ∆θ e ∆M é do tipo quadrática pode-se escrever:

[ ] θ∆θ∆=∆ −θ

− 1T10 0

GMMTr EQ 2.29

A matriz 1

0G −

θ é a base do critério para a síntese PRCBI, pois ela contém informações so-

bre a variância dos valores estimados dos parâmetros da planta.

A minimização do traço da matriz 1

0G −

θ conduz à pior qualidade de identificação do vetor

0θ .

Para o cálculo da matriz 1

0G −

θ são consideradas as seguintes definições:

Tri21 )( εεεε=θ∆ KK EQ 2.30

( ) r1i,0000 Ti

iKKK =ε=θ∆ EQ 2.31

então, [ ]

2i

101

ii

i

0

MMTr)i,i(Gg

ε

∆==

θ∆

−

−θ EQ 2.32

A representação em malha fechada da síntese PRCBI é ilustrada na FIG. 2.7, onde o vetor

0θ representa o vetor de parâmetros incertos em seu respectivo valor nominal, sendo:

• o modelo nominal da planta definido por ( ) ( )0000 , θΓ=ΓθΦ=Φ e ( )00 CC θ= ;

• D nxpℜ∈ é a matriz de entrada de ruídos na planta;

• p

kℜ∈ξ é o vetor de ruído que atua na planta;

• p

kℜ∈η é o vetor de ruído que age nas medidas de saída;

32

• Q é a matriz de covariância do ruído no interior da planta, isto é,

Q=E ( )( ) T

kkDD ξξ = [ ] T

rTT

kkDQDDED =ξξ , onde Qr é a covariância do ruído incidente.

Observa-se que se D for um vetor coluna, Qr será apenas uma grandeza escalar que representa

a variação do ruído incidente na planta.

• R é a matriz de covariância do ruído nos sensores de medida na saída, ou seja,

R=E T

kkηη .

Na FIG. 2.7 o processo de otimização utiliza um algoritmo de programação não linear pa-

ra minimizar o critério PRCBI e o cálculo da medida de robustez em estabilidade será repeti-

do até que o processo encontre o traço mínimo de 1

0G −

θ . Depois da otimização, as matrizes

Drob e KCrob serão introduzidas no regulador, que passará a ser robusto em relação às variações

do vetor de parâmetros sensíveis da planta.

FIG. 2.7 : Síntese PRCBI em malha fechada

D

kξ

Sistema

kη

)(C)()( θθΓθΦ

F.K.

Cálculo do

[ ]1

0GTr −

θ

cK )(C)( 00 θθΦ

Programação não linear

( )[ ]1

K,D 0c

GTrmin −θ

ESTRUTURALQG

33

Para o cálculo das matrizes M0, ∆M e, consequentemente, o )G(Tr 1

0

−θ , utiliza-se a formu-

lação a seguir: RCPCM T

0'000 += EQ 2.33

onde:

• R é a matriz de covariância do ruído;

• '0P pode ser calculado a partir da solução da equação algébrica de Ricatti discreta a seguir:

0QPC)RCPC(CPPP T

0'00

1T0

'00

T0

'00

T0

'00

'0 =−Φ+Φ+ΦΦ− − EQ 2.34

O ganho de realimentação de estados (Kc) e a matriz de entrada de ruído na planta (D)

são as duas grandezas usadas como variáveis de projeto na otimização. A matriz 1

0G −

θ será en-

tão obtida, calculando-se o conjunto de equações (tipo Sylvester) mostrado a seguir: T

c00T000c00

Tc00c00 )K(KMK)K()K(L)K(L Γ−ΦΓ−Φ+Γ−ΦΓ−Φ= EQ 2.35

T

0000c00

Tc00

T0

T00c00

)KK~

(MK)K(-

~L)K()CKI(N)K(N

∆Φ+Φ∆Γ−Φ

Φ∆Γ−Φ−Φ−Γ−Φ= EQ 2.36

onde cK~

∆Γ−∆Φ=Φ∆ , e

TT

000

TT00000

T0

T00

T0

T00000

~N)CKI(-

~L

~)K

~K(M)K

~K(

)CKI(N~

)CKI('P)CKI('P

Φ∆−Φ

Φ∆Φ∆−Φ∆+∆ΦΦ∆+∆Φ+

Φ−Φ∆−Φ−∆−Φ=∆

EQ 2.37

e T

00 C'PCM ∆=∆ EQ 2.38

juntamente com a EQ 2.29.

Como uma matriz não define uma medida de robustez em estabilidade, verificou-se em

(GOMES, 1991) que o traço da matriz 1

0G −

θ poderia representar o índice desejado, isto é: )G(TrJ 1

rob 0

−θ= EQ 2.39

34

A medida de robustez com base na qualidade de identificação bayesiana dos parâmetros

incertos necessita do conhecimento das matrizes D, Q e R e das demais características esto-

cásticas destes ruídos. Assim sendo, podem ocorrer três situações:

a) No caso do sistema ser tratado como estocástico, estas matrizes são impostas pelo modelo,

sendo consideradas como dados do problema. O ganho de Kalman é determinado em fun-

ção destas matrizes e dos valores nominais do sistema, restando agir sobre o ganho de

realimentação de estado Kc, a fim de minimizar a medida de robustez em estabilidade: ( )[ ]1

K1 0

c

GTrminJ −θ= EQ 2.40

b) No caso do sistema ser tratado como determinístico, ou seja, naquele em que os ruídos não

afetam fortemente a precisão do modelo, pode-se usar também a matriz D, e a relação Q/R

como grandezas variáveis no processo de minimização da medida de robustez em malha

fechada. Deste modo, os ruídos são considerados fictícios e o Filtro de Kalman passa a a-

tender as características de robustez em estabilidade desejadas.

( )[ ]1

K,D2 0

c


c) Em uma terceira abordagem, o controlador Kc pode ser calculado a priori para atender as

condições de desempenho desejadas e desta forma a minimização dependerá unicamente

do Filtro de Kalman para o robustecimento do sistema.

( )[ ]1

D3 0


35

3 SÍNTESE DE KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS

3.1 INTRODUÇÃO

O problema de determinação de uma lei de controle com realimentação de saída para sis-

temas lineares incertos é um assunto de interesse atual, tendo em vista que os modelos nomi-

nais considerados nos projetos não representam fielmente as respectivas realidades físicas das

plantas. Alguns critérios têm sido utilizados para caracterizar as incertezas destes sistemas, de

forma que a estabilidade assintótica, quadrática ou exponencial seja garantida caso estes crité-

rios sejam satisfeitos.

A síntese de K&A, tema deste capítulo, apresenta uma abordagem para o projeto de um

controlador de realimentação de saída, conforme ilustrado na FIG. 3.1, unificando os casos de

perturbações estruturadas e não estruturadas. Cabe aqui observar que no trabalho de

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), considera-se as perturbações não

estruturadas com dimensão finita, contrariando a literatura da área de controle. A síntese de

K&A é baseada em teoremas desenvolvidos em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS,

1994a, 1995b), permitindo uma melhora nos limites de perturbações propostos e o aumento da

região de estabilidade apresentada no trabalho de (KOLLA & FARISON, 1991).

A função objetivo adotada na determinação do controlador é baseada em um índice de ro-

bustez em estabilidade a ser minimizado, associado à maximização do limite de perturbação

estruturada ou não estruturada, conforme definido em (KONSTANTOPOULOS &

ANTSAKLIS, 1996). Além do caso anterior em que se maximiza a robustez em estabilidade,

apresenta-se também uma função objetivo contendo um termo referente ao desempenho.

Neste novo caso, a síntese de K&A não impõe uma ponderação direta entre os dois termos

considerados, isto é, desempenho e robustez em estabilidade, tornando o compromisso es-

tabelecido uma conseqüência das matrizes escolhidas para o LQR. O algoritmo de minimiza-

ção utilizado na solução do problema proposto é baseado naquele de Broyden-Fletcher-

Goldfarb-Shanno (BFGS) (BAZARAA et alii, 1993), discutido no capítulo anterior. O caso de

realimentação de estado pode ser facilmente derivado escolhendo a matriz de saída como a i-

dentidade, C = In.

36

FIG. 3.1: Síntese de K&A com realimentação de saída

3.2 CONSIDERAÇÕES INICIAIS Considere o sistema linear discreto no tempo (l.d.t.): x(k+1) = Ax(k) EQ 3.1 onde x ∈ ℜn é o vetor de estados e A é uma matriz assintoticamente estável. Dada uma ma-

triz arbitrária Q simétrica positiva definida, existe uma matriz P simétrica positiva definida,

que é a única solução da eq. de Lyapunov (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996):

ATPA – P + Q = 0 EQ 3.2

Supondo que o sistema EQ 3.1 seja perturbado em seu comportamento dinâmico, tem-se

que:

x(k+1) = (A + ∆A)x(k) EQ 3.3

O novo sistema perturbado definido na EQ 3.3 se manterá estável caso (∆A)T (αZ+AP)

(∆A)+α

1Ω1<Q, onde a notação M1>0 e M2>M3 utilizada, significa que as matrizes M1 e

32 MM − são positivas definidas. Isto decorre da substituição da matriz da dinâmica nominal

A pela matriz perturbada A+∆A na EQ 3.2, conforme será discutido no teorema 3.1 a seguir.

Sistemax (k+1) = Ax(k) + Bu(k)y (k) = Cx(k) + Du(k)

y

K

+ur +

-

37

Teorema 3.1: Considere o sistema l.d.t. na EQ 3.1, onde A é uma matriz assintoticamente

estável que satisfaz a EQ 3.2. Suponha que a matriz A seja substituída por A+∆A, então o

novo sistema na EQ 3.3 permanecerá assintoticamente estável se:

(∆A)T (αZ + A P)(∆A) + α

1Ω1 < Q EQ 3.4

ou, equivalentemente, σmax (∆A) <

2/1

max

1maxmin

)PZ(

]1

[)Q(

+ασ

Ω

ασ−σ

EQ 3.5

onde Z é uma matriz positiva definida arbitrariamente escolhida com as dimensões apropria-

das e α um número positivo qualquer que satisfaça:

α > σ

σmax

min Q

( )

( )

Ω1 EQ 3.6

sendo Ω1 : = ATPZ-1PA EQ 3.7 Demonstração: Ver em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), ANEXO 1 ♦ Para o caso de perturbação estruturada, com a matriz ∆A descrita da seguinte maneira:

∆A = θ i ii

m

A=

∑1

EQ 3.8

onde θi , i = 1,..., m representam os parâmetros incertos reais; Ai, i = 1,..., m são matrizes pre-

viamente conhecidas que determinam a perturbação a ser realizada sobre a matriz da dinâmica

A do sistema, o teorema 3.2 mostra que o aumento da região de estabilidade pode ser dado

pela relação de desigualdade entre os parâmetros incertos iθ e as matrizes Q, [(1/α)Ω1], Α~

e

(αZ+P) conforme será visto na EQ 3.9.

Teorema 3.2: Seja o sistema l.d.t. na EQ 3.3 com a matriz da dinâmica A sendo assintotica-

mente estável. Suponha que este sistema seja submetido a perturbações estruturadas da forma

da EQ 3.8, então o mesmo permanecerá assintoticamente estável se os parâmetros incertos iθ

atenderem a seguinte desigualdade:

38

θσ σ α

σ σ αi

min max

max maxi

m Q

A Z P2 1

21

1<

−

+=

∑( ) [( / ) ]

(~

) ( )

Ω EQ 3.9

onde, por definição, Ã : = [ A A AT TmT

1 2 ... ]T.

Demonstração: Ver em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1995b), ANEXO 1 ♦ Conforme será visto adiante, os teoremas 3.1 e 3.2 serão as bases da síntese de K&A. No

próximo item deste trabalho será tratado o problema de projeto de controladores de realimen-

tação de saída com perturbações estruturadas e não estruturadas considerando-se ou não as

especificações de desempenho.

3.3 PROJETO DE CONTROLADORES DE REALIMENTAÇÃO DE SAÍDA Considere o sistema l.d.t.:

=

+=+

(k)xC (k)y

(k)uB (k)xA 1)(kx EQ 3.10

onde x ∈ ℜn é o vetor de estado, u ∈ ℜr é o vetor de entrada e y ∈ ℜq é o vetor de saída. Vale

lembrar que na síntese de K&A considera-se as perturbações não estruturadas com dimensões

finitas, como uma generalização das perturbações estruturadas mencionadas na EQ 3.8. Assim

sendo, considere que o sistema na EQ 3.10 esteja submetido a perturbações não estruturadas

em todas as matrizes do sistema, de acordo com:

A = A0 + ∆A , B = B0 + ∆B , C = C0 + ∆C EQ 3.11

e suponha uma lei de realimentação estática de saída da forma:

u(k) = Ky(k) = KCx(k) EQ 3.12

O sistema em malha fechada perturbado será descrito por:

x(k+1) = [ Α0 + ∆A + (∆B)KC0 + B0K(∆C) + (∆B)K(∆C)]x(k) EQ 3.14

39

onde a matriz da dinâmica em malha fechada nominal será:

Α0 = A0 + B0KC0 EQ 3.15

Do teorema 3.1, em analogia a EQ 3.2 e a EQ 3.7, segue para o sistema nominal em

malha fechada (MF) que:

Α Α0 0TP - P + Q = 0 EQ 3.16

Ω Α1 0= T PZ-1P Α0 EQ 3.17

Pelo teorema 3.1, a estabilidade do sistema em malha fechada na EQ 3.14 pode ser

mantida caso as matrizes perturbações ∆A, ∆B e ∆C satisfaçam a seguinte condição

suficiente:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+∆σΚσΒσ+σΚσ∆Βσ+∆Ασ CC maxmax0max0maxmaxmaxmax

+ ( ) ( ) ( )Cmaxmaxmax ∆σΚσ∆Βσ <

2/1

max

1maxmin

)PZ(

]1

[)Q(

+ασ

Ω

ασ−σ

EQ 3.18

onde Q é uma matriz arbitrária simétrica positiva definida, P e Ω1 estão definidos na EQ 3.16

e na EQ 3.17, respectivamente. Note que a desigualdade acima define uma região em ℜ3 para

maxσ (∆Α), maxσ (∆B) e maxσ (∆C). O objetivo a seguir será encontrar um ganho K estático de

realimentação de saída, estabilizante, que maximize a região definida na EQ 3.18,

satisfazendo a EQ 3.16.

3.3.1 PERTURBAÇÃO NÃO ESTRUTURADA SEM ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO

Para descobrir um ganho K estático de realimentação de saída, estabilizante, com a

finalidade de maximizar a região definida por maxσ (∆Α), maxσ (∆B) e maxσ (∆C) na EQ 3.18,

será necessário minimizar maxσ (K) no lado esquerdo da desigualdade mencionada, bem como

40

minimizar

Ω

ασ 1max

1 no numerador e maxσ (αZ + P) no denominador do lado direito da

EQ 3.18.

Tendo em vista a seguinte propriedade:

≤σ )A(2max Tr(ATA) EQ 3.19

onde Tr(A) é o traço da matriz A, substitui-se as minimizações dos máximos valores

singulares mencionados no parágrafo anterior por:

i) minimizar J1 = Tr(KTK) ao invés de minimizar maxσ (K).

ii) minimizar J2 = Tr[(αZ+P)T(αZ+P)]=Tr(α2Z2+2αPZ+P2) no lugar de maxσ (αZ+P).

iii) minimizar J3 = ( )10 0

α

Tr TΑ Α , pois σ

αmax

11

Ω = maxσ

α

−0

1T0 APPZA

≤

)A(1

02maxσ

α)P(2

maxσ )Z( 1max

−σ . Como )P(maxσ e )Z( 1max

−σ já estão sendo mini-

mizados em (ii), basta apenas considerar )A(1

02maxσ

α, o que acarretará pela EQ

3.19 no custo J3.

Entretanto, como o custo a ser minimizado J’ABC = J1 + J2 + J3 deve ser realizado atendendo a

restrição imposta pela EQ 3.16, referente a estabilidade do sistema em malha fechada, chega-

se ao seguinte Lagrangeano:

( )

+−ΑΑ+ΑΑ

α++α+α+ΚΚ= QPPL

1PPZ2ZTrJ 0

T010

T0

222TrABC EQ 3.20

onde L1 ∈ ℜnxn é a matriz multiplicadora de Lagrange.

41

A fim de minimizar rABCJ na EQ 3.20, uma condição necessária é que

=∂

∂

1

rABC

L

J=

α∂

∂ rABCJ

0KP

J rABC

rABC =

∂

∂=

∂

∂ sendo para isto utilizadas as propriedades de

(ATHANS,1967):

T2 X2)X(TrX

=∂

∂

T1

T111 BA)YBA(Tr

Y=

∂

∂

222T

2 AB)BYA(TrY

=∂

∂

T3

T333

T33 YBAYBA)YYBA(Tr

Y+=

∂

∂

Empregando-se estas propriedades, tem-se que:

∂

∂

J

LP P QABC

r

Lr T

11 0 0= = − +∆ Α Α EQ 3.21

( ) ( ) ( )0T02

2rrABC Tr

1PZTr2ZTr2

JΑΑ

α−+α=∆=

∂α

∂α EQ 3.22

∂

∂α

J

PP Z L LABC

r

pr T T T= = + + −∆ Α Α2 2 0 1 0 1 EQ 3.23

∂

∂ α α

J

KK KC C CABC

r

Kr T T T T= = + +∆ Β Β Β Α2

2 20 0 0 0 0 0 0 +

+ ( ) ( )Β Β Β Β0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0T T T T T TP KC L L C P L L C+ + + EQ 3.24

O método de direções conjugadas, baseado em regra BFGS comentado no subitem 2.1.2

deste trabalho, bem como o algoritmo desenvolvido em (KONSTANTOPOULOS &

ANTSAKLIS, 1996), que tem seu fluxograma representado na FIG. 3.2, foram empregados

para a minimização de rABCJ na EQ 3.20.

42

A seguir será apresentado o algoritmo desenvolvido na síntese de K&A para o caso de

projeto sem especificações de desempenho:

Algoritmo

Passo inicial:

Seja ε > 0 escalar.

Escolha um ganho estabilizante inicial

( )

( )K

T

r

T1

11

1

=

τ

τ

EQ 3.25

onde ( )τs

T1 , s=1,..., r são as linhas 1 x q de K1 , que estabiliza ( )Α Β0 0 0, ,C , isto é,

torna Α0 estável. Escolha uma matriz inicial simétrica p.d. D1 ∈ ℜrq x rq . Seja

φ χ

τ

τ

1 1

11

1

= =

r

EQ 3.26

o vetor coluna das linhas transpostas de K1 e m =j = 1. Passo principal:

passo 01- Substitua a matriz de ganho Kj nas EQ 3.21 a EQ 3.23. Faça ∆ Lr

1=0, ∆α

r = 0,

∆ Pr = 0 e resolva respectivamente para P, α , L1 nesta específica ordem.

passo 02- Substitua estes parâmetros na EQ 3.24 e calcule

( )

( )∆ K j

r

j T

rj T

=

σ

σ

1

EQ 3.27

onde ( )σs

T1 , s=1,..., r são as linhas 1 x q de ∆ Kr

j.

43

passo 03- Seja

( )∇ =

J ABCr

j

j

rj

φ

σ

σ

1

EQ 3.28

Se ( )∇ <J ABCr

jφ ε , pare. O ganho ótimo é Kj.

Caso contrário, inicie o passo 04.

passo 04- Se j > 1, atualize a matriz d.p. Dj como segue:

D Dp p

p q

q D q

p q

D q p p q D

p qj jj j

T

jT

j

jT

j j

jT

j

j j jT

j jT

j

jT

j

= + +

−

+−

− −

− −

− − −

− −

− − − − − −

− −

11 1

1 1

1 1 1

1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1 EQ 3.29

onde: p dj j j j j− − − −= = −1 1 1 1λ φ φ EQ 3.30

( ) ( )q J Jj ABCr

j ABCr

j− −= ∇ − ∇1 1φ φ EQ 3.31

passo 05- Defina

( )d D Jj j ABCr

j= − ∇ φ EQ 3.32

e seja λ j uma solução ótima do problema de minimização de ( )J dABCr

j jφ λ+

sujeito a λ ≥ 0 e considere:

φ φ λ

τ

τ

j j j j

j

rj

d+

+

+

= + =

1

11

1

EQ 3.33

de modo que ( )

( )K j

j T

rj T

+

+

+

=

1

11

1

τ

τ

EQ 3.34

passo 06- Se j < rq, faça j = j+1 e repita o passo principal.

Se j = rq, faça φ χ φ1 1= = +m rq , j =1 e m = m+1.

Repita o passo principal.

44

A busca unidimensional, no passo 05, está restrita a matrizes de ganho

estabilizantes (sistema malha fechada nominal). Considerada esta restrição,

minimiza-se rABCJ .

Um critério de parada seria o passo 03, mas outros critérios podem ser propostos.

A FIG. 3.2 ilustra o fluxograma do algoritmo recém discutido, apresentando-o de uma

maneira mais simples.

FIG. 3.2: Fluxograma do algoritmo de K&A.

INÍCIO

S

N

21.3EQnacalculadoP

J

20.3EQnacalculadoJ

19.3EQnacalculadoL

J

CKBAA

rABCr

P

rABCr

1

rABCr

L

0j000

1

⇒∂

∂=∆

⇒α∂

∂=∆

⇒∂

∂=∆

+←

α

28.3EQna)(J

Calcular

jrABC φ∇

AtualizarDj na EQ 3.27

a EQ 3.32

0

0

0

rP

r

rL1

=∆

=∆

=∆

α

ε<φ∇ )(J jrABC

FIM

KK ótimoj ←

T11

in1

K

KK

←φ

←

1

rK

L e P,

de valoresos dosubstituin

3.24 EQ. na Calcular

α

∆

45

3.3.2 PERTURBAÇÃO NÃO ESTRUTURADA COM ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO

Considere o custo LQR:

( ) ( ) ( ) ( )∑∞

=

+=0k

1T

1T'

LQR kuRkukxQkxJ EQ 3.35

onde Q1 e R1 são matrizes arbitradas de ponderação dos estados e das entradas, positivas defi-

nidas e com dimensões apropriadas. Para o sistema nominal (A0, B0, C0) com realimentação

de saída, tem-se utilizando as EQ 3.10, 3.12, 3.15 e 3.35:

( )( ) ( ) ( )∑∞

=

ΑΑ=0k

T

0

kT0

T'LQR 0xQ0xJ = )0(x)A(Q)A()0(x T

00k

kT0

T

∑

∞

=

EQ 3.36

onde Q Q C R CT T= +1 0 1 0Κ Κ EQ 3.37 Já em (OGATA, 1987) mostra-se que a matriz P da forma:

∑∞

=

=0k

kkT QA)A(P EQ 3.38

é a solução da seguinte equação de Lyapunov discreta: 0QPPAT =+−Α EQ 3.39 o que permite concluir que '

LQRJ , em analogia a EQ 3.38, pode ser calculado por:

( ) ( )0xP0xJ 2T'

LQR = EQ 3.40

onde P2 é a solução da seguinte equação de Lyapunov discreta: 0QPP 202

T0 =+−ΑΑ EQ 3.41

Para eliminar a dependência de '

LQRJ com x(0), assume-se que x(0) é um vetor aleatório

com E[x(0)] = x0, ( ) ( ) 0X]0x0x[E 0T

>= e define-se LQRJ = E [Tr( 'LQRJ )]. Utilizando a pro-

priedade que Tr(AB) = Tr(BA), onde A e B são matrizes com dimensões compatíveis, tem-se

que:

46

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ==== ]0x0xP[TrE]0xP0x[TrEJTrE:J T22

T'LQRLQR

( ) ( ) ( )02T

2 XPTr]0x0xP[ETr == EQ 3.42

A fim de considerar não somente o critério de robustez em estabilidade proposto na EQ

3.20, mas também uma parcela relativa ao desempenho, propõe-se o critério p,rABCJ a ser mini-

mizado. Este critério engloba a EQ 3.42 e inclui a restrição na EQ 3.41 por meio de uma

matriz multiplicadora de Lagrange L2, de forma a transformar o novo problema em um sem

restrição. Deste modo:

p,rABCJ ( ) +

++−ΑΑ+ΑΑ

α++α+α+= 020

T010

T0

222T XPQPPL1

PPZ2ZKKTr

( ) )QPPL 202T02 +−ΑΑ+ EQ 3.44

Analogamente ao procedimento realizado em 3.3.1, calcula-se as derivadas parciais da

função objetivo p,rABCJ em relação as novas variáveis do problema a ser resolvido:

QPPL

J0

T0

p,rL

1

p,rABC

1+−ΑΑ=∆=

∂

∂ EQ 3.45

∂

∂

J

LP P QABC

r p

Lr p T

,,

22 0 2 0 2= = − +∆ Α Α EQ 3.46

( ) ( ) ( )∂

∂αα

αα

JTr Z Tr PZ TrABC

r pr p T

,,= = + −∆ Α Α2 2

122 0 0 EQ 3.47

T1

T0

T10

p,rp

p,rABC LLZ2P2P

J−ΑΑ+α+=∆=

∂

∂ EQ 3.48

T2

T0

T20

T0

p,rp

2

p,rABC LLXP

J2

−ΑΑ+=∆=∂

∂ EQ 3.49

T0

T2202

T0

T0

T22002

T0

T0

T110

T0

T0

T1100

T0

T0

T2201

T00

T0

T000

T0

p,rK

p,rABC

C)LL(APBC)LL(KCBPB

C)LL(PABC)LL(KCPBB

C)LL(KCRCAB2

CKCBB2

K2K

J

++++

+++++

+++α

+α

+=∆=∂

∂

EQ 3.50

Deste modo, o algoritmo de K&A apresentado no subitem 3.3.1 será modificado para o

caso de projeto com especificações de desempenho, substituindo-se os passos 1 e 2 do

algoritmo mencionado pelos que se seguem:

47

passo 1- Substituindo a matriz de ganho Kj nas derivadas parciais das EQ 3.45 a EQ 3.49,

fazendo 0p,rL1

=∆ , 0p,rL2

=∆ , 0p,r =∆α , 0p,rp =∆ , 0p,r

p2=∆ e resolvendo P, P2, α, L1

e L2 nesta específica ordem.

passo 2- Substituindo estes parâmetros na EQ 3.50 e calculando

( )

( )

σ

σ

=∆Tj

r

TT1

p,rK j

EQ 3.51

onde ( )σsj T

, s=1,..., r são linhas 1 x q de ∆ K j

r p,

3.3.3 PERTURBAÇÃO ESTRUTURADA SEM ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO

Neste caso, parte-se de um sistema linear discreto no tempo, formulado sob a forma de

espaço de estado de acordo com:

=

+=+

)k(xC)k(y

)k(uB)k(xA)1k(x

0

EQ 3.52

onde supõe-se que as matrizes nominais da dinâmica A0 e da entrada B0 estejam sujeitas a

perturbações da forma:

A = ∑=

Α+ΑAm

1iii0 k , B = ∑

=

Βλ+ΒBm

1jjj0 EQ 3.53

com Ai (i = 1,2,...) e Bj (j = 1,2,...) sendo matrizes previamente estabelecidas com dimensões

compatíveis.

Aplicando uma lei de realimentação de saída estática:

u(k) = Ky(k) = KC0x(k) EQ 3.54

48

o sistema l.d.t. com perturbações estruturadas nas matrizes A e B conforme EQ 3.53 permane-

cerá assintoticamente estável se os parâmetros incertos ki e jλ satisfizerem:

2A&K

mm

1i max2max

1maxmin2i R:

P)(σ)ˆ(σ

])/1[()Q(ˆBA

=+ΖαΠ

Ωασ−σ<θ∑

+

=

EQ 3.55

onde A&KR é o raio de estabilidade garantido pela síntese de K&A,

Π : ( ) ( )[ ]TT0m

T01

Tm

T1 KC...KC|...

BAΒΒΑΑ= EQ 3.56

e [ ] [ ]Tmm1T

m1m1 BABA

ˆˆ:|kk +θθ=λλ KKK EQ 3.57

Neste subitem, o objetivo será maximizar a região definida pela EQ 3.55. Para isto, além

dos objetivos (ii) e (iii) vistos no subitem 3.3.1, será necessário minimizar maxσ ( Π ), bastando

para isto adicionar a parcela J4=Tr( Π T Π ) na função objetivo J’AB a ser considerada.

Desta maneira a função objetivo a ser minimizada passa a ser J’AB = J2 + J3 + J4.

Entretanto, como o custo a ser minimizado J’AB = J2 + J3 + J4 deve ser realizado atendendo a

restrição imposta pela EQ 3.16, referente a estabilidade do sistema em malha fechada, chega-

se ao seguinte Lagrangeano:

( )

+−ΑΑ+ΠΠ+ΑΑ

α++α+α= QPPLˆˆ1

PPZ2ZTrJ 0T01

T0

T0

222rAB EQ 3.58

Para a minimização da função objetivo r

ABJ na EQ 3.58 basta usar o algoritmo visto

anteriormente, substituindo o termo 2K nas EQ 3.24 e 3.50 por:

( ) T00

*m

T*m

4 CKC2K

JBB

ΒΒ=∂

∂ EQ 3.59

onde ( )TTm

T1

*m BB

...ΒΒ=Β EQ 3.60

49

3.3.4 PERTURBAÇÃO ESTRUTURADA COM ESPECIFICAÇÕES DE DESEMPENHO

Considere o custo LQR na EQ 3.35 e suponha que o sistema esteja sujeito a perturbações

somente na matriz A, então o sistema em malha fechada perturbado descrito por

x(k+1)=( )A0 ∆+Α x(k) permanecerá estável, se:

maxσ (∆A) <

2/1

max

1maxmin

)PZ(

]1

[)Q(

+ασ

Ω

ασ−σ

EQ 3.61

são mantidas para P, Q e Ω1.

Com a finalidade de maximizar a região da EQ 3.61 será necessário, no lado direito da

desigualdade, minimizar maxσ (αZ + P) no denominador, bem como σα

max

11

Ω no

numerador.

Em analogia ao item 3.3.1, as minimizações de maxσ (αZ + P) e σα

max

11

Ω podem ser

substituídas pelas mininizações do Tr(α2Z2 + 2αPZ + P2) e ( )10 0

α

Tr TΑ Α , respectivamente.

Portanto, para a minimização do custo da função objetivo definida por rAJ = J2 + J3 e

LQRrA

p,rA JJJ += , onde J2=Tr(α2Z2+ 2αPZ + P2) e J3= ( )1

0 0α

Tr TΑ Α , pode-se usar os algorit-

mos vistos nos subitens 3.3.1 e 3.3.2, sendo que a única diferença será a omissão do termo

K2K

J1 =∂

∂ nas EQ 3.24 e 3.50.

Demonstração: Ver em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1995a ), ANEXO 1.

Para o caso em que considera-se a robustez em estabilidade e o desempenho com

perturbações nas matrizes A e B, tem-se a função objetivo J ABr p, = p,r

AJ + J4, valendo as

mesmas considerações feitas no item anterior .

Como em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996) não é imposta uma

ponderação direta entre as funções que quantizam a robustez em estabilidade e o desempenho,

50

o compromisso estabelecido é uma conseqüência das matrizes escolhidas para o LQR e da

faixa de valores assumida por estas funções.

52

4 APLICAÇÕES NUMÉRICAS DAS SÍNTESES PRCBI E DE K&A

4.1 SISTEMA DE CONTROLE LONGITUDINAL DE UMA AERONAVE

Este exemplo foi também utilizado em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996).

A título de comparação será aplicada também a síntese PRCBI neste exemplo, a fim de

verificar os resultados alcançados pelos controladores calculados. O modelo dinâmico

contínuo e linearizado, fornecido abaixo, refere-se ao controle longitudinal de uma aeronave

(JIANG, 1994).

τ

η

−

−+

θ

ψ

β

α

−−−

−−

−−

=

θ

ψ

β

α

)t(

)t(

00

011.1

00541.0

10

)t(

)t(

)t(

)t(

0100

0947.0685.00715.0

0109.1685.0303.0

171.000651.00582.0

)t(

)t(

)t(

)t(

&

&

&

&

EQ 4.1

y(t) =

θ

ψ

β

α

)t(

)t(

)t(

)t(

1000

0100

0010

0001

O significado físico dos estados, entradas e saídas estão apresentados na TAB. 4.1.

TAB. 4.1: Significado físico dos estados, entradas e saídas do modelo para o modelo de

(JIANG,1994).

Variável Significado Físico

α(t) velocidade longitudinal

β(t) Velocidade vertical

ψ(t) velocidade angular de ataque

θ(t) ângulo de ataque

η(t) ângulo do profundor

τ(t) posição da manete de potência

53

Discretizando o modelo contínuo fornecido na EQ 4.1 com um período de discretização

de T=0,5s, chega-se ao seguinte modelo discreto:

τ

η+

θ

ψ

β

α

=

+θ

+ψ

+β

+α

)k(

)k(B

)k(

)k(

)k(

)k(

A

)1k(

)1k(

)1k(

)1k(

dd

EQ 4.2

y(k+1) = Cd

θ

ψ

β

α

)k(

)k(

)k(

)k(

onde as matrizes Ad, Bd e Cd são respectivamente as matrizes da dinâmica, de entrada e de saí-

da do modelo discretizado, cujos valores numéricos são:

−−

−−

−

−−

=

0001.13873.00621.00041.0

0007.05644.02126.00086.0

0059.03584.06469.01302.0

0842.00112.00283.09692.0

Ad

EQ 4.3

−−

−−

−−=

0009.01170.0

0041.04266.0

0344.01385.0

4924.00017.0

Bd e Cd = I4.

Considere que o sistema fornecido na EQ 4.2 esteja submetido em sua matriz da dinâmica

a perturbações estruturadas de acordo com:

pdA = dd AA ∆+ EQ 4.4

onde a perturbação aditiva ∆Ad, retirada de (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996)

foi considerada da forma:

−+

=∆

005.000

05.0000

001.00

05.0000

k

05.0001.0

0000

01.0005.0

0015.01.0

kA 21d EQ 4.5

54

sendo k1, k2 ℜ∈ . Logicamente, a matriz da dinâmica nominal é obtida fazendo-se k1=k2=0.

Para a execução do algoritmo apresentado no subitem 3.3.1 e para encontrar os resultados

fornecidos em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), algumas variáveis foram

inicialmente arbitradas, a saber:

• a matriz Q da equação de Lyapunov na EQ 3.2, foi adotada como:

Q = 10-2 I4 EQ 4.6

• a matriz D1 de ponderação das direções de busca, utilizada no algoritmo proposto no

subitem 3.3.1, foi considerada como:

D1= I8 EQ 4.7

• a matriz Z simétrica, positiva definida, que aparece na EQ 3.4, fornecida no trabalho de

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996, p.85) está errada, pois não atende as

características mencionadas. Desta forma, arbitrou-se inicialmente a matriz Z=I4.

• um ganho inicial K1 estabilizante, conforme a EQ 4.8, que posicione os pólos de malha

fechada discretos nas seguintes posições do plano z: 0.20, 0.07, -0.50 ± 0.25j.

K1=

−−

−−

0742.00224.02706.06068.1

2700.100531.31722.00264.0 EQ 4.8

O problema proposto consistirá na determinação de um controlador de realimentação de

estados que maximize o raio R da circunferência gerada pelas variáveis k1 e k2 dentro da

região de estabilidade, onde:

R = 22

21 kk + EQ 4.9

O raio desta circunferência delimitará uma região, na qual será possível variar k1 e k2, ga-

rantindo que o sistema discreto definido na EQ 4.2 permanecerá estável.

55

Com o controlador calculado pelo algoritmo discutido no subitem 3.3.1 e fornecido em

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), obteve-se o seguinte resultado:

( )222

21 5269.0kk <+ EQ 4.10

Vale observar que o resultado apresentado na EQ 4.10 não pôde ser reproduzido, pois

conforme mencionado anteriormente, a matriz Z fornecida não era positiva definida.

O objetivo aqui será a determinação de vários controladores para o modelo discreto defi-

nido na EQ 4.2, considerando a otimização de critérios que levem em conta a robustez em es-

tabilidade e o desempenho do sistema em malha fechada. O cálculo desses controladores foi

realizado por intermédio de algoritmos desenvolvidos neste trabalho, bem como pela imple-

mentação das sínteses PRCBI e de K&A, discutidas nos capítulos 2 e 3, respectivamente.

O custo de robustez em estabilidade e o de desempenho quadrático que compõem o cri-

tério a ser otimizado, são dados pelas EQ 4.11 e EQ 4.12, respectivamente:

Jrob = Tr (G 1

0

−θ ) EQ 4.11

Jdesemp = ( )∑=

+230

151kk2

Tkk1

Tk uQuxQx EQ 4.12

Como a matriz Z é um parâmetro inicial arbitrado para a síntese de K&A e como o con-

trolador calculado é função desta matriz, partiu-se para o seguinte problema: determinar a ma-

triz Z diagonal que maximize a região definida na EQ 4.10 garantida pelos resultados de

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996). Para isto, empregou-se o método de

otimização numérica de Powell (FOX, 1971), obtendo-se a seguinte matriz Z otimizada:

=

8112.0000

05122.000

008334.00

0004804.0

Z EQ 4.13

Na TAB. 4.2 estão listados quatro controladores de realimentação positiva de estados, de

acordo com a FIG. 3.1. O primeiro controlador, 1cK , foi extraído do trabalho de

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), tendo sido calculado pela síntese de K&A.

O segundo controlador, 2cK , foi calculado pelas rotinas implementadas neste trabalho,

56

otimizando-se uma matriz Z diagonal e empregando a síntese de K&A, conforme será

explicado no próximo parágrafo. O terceiro controlador, Kc3, é o de melhor desempenho

(LQR), considerando o critério quadrático com Q1=I4 e R1=I2, de acordo com EQ 4.12. Por

fim, o quarto controlador, Kc4, é o controlador com características de robustez em estabilidade

calculado pela síntese PRCBI, determinado de acordo com a seção 2.2 deste trabalho e com

sinal invertido para realimentação positiva de estados.

Para o cálculo do controlador Kc2 desenvolveu-se um algoritmo que otimizava uma ma-

triz Z diagonal de maneira a maximizar o raio de estabilidade na EQ 3.9, desenvolvido em

(KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996). Neste caso, para cada matriz Z diagonal

encontrava-se um controlador específico de realimentação de estados. O problema proposto

foi então determinar a matriz Z diagonal, e consequentemente o controlador correspondente,

que maximizasse o raio de estabilidade definido em função dos parâmetros sensíveis k1 e k2.

TAB. 4.2: Controladores obtidos no modelo de (JIANG, 1994).

CONTROLADORES

K&A

−

−−=

0641.00590.00895.09253.1

9723.04512.11988.00672.0K 1c

K&A c/ Z otimizada

−−

−=

2506.00490.00676.09491.1

8252.16617.10016.01472.0K 2c

LQR

−

−−=

0129.00289.00471.07579.0

7740.07081.01962.00266.0K 3c

PRCBI

−−−=

9658.22797.02027.45350.2

3008.21761.20213.22510.0K 4c

Além dos controladores apresentados na TAB. 4.2, foi também calculado o controlador

Kc5, que é o LQG. Para os cálculos dos controladores PRCBI, LQR e LQG, aonde tenham

sido necessário, foram adotados os seguintes parâmetros:

57

• matrizes de ponderação dos estados e da entrada, respectivamente, Q1=I4 e R1=I2

• matriz de covariância do ruído na planta Q2=10-3 I2

• matriz de covariância do ruído no sensor de medidas na saída R2 = 10-4 I4.

• matriz de entrada de ruído na planta D foi considerada D:= Bd, isto é, o ruído na planta entra

pelos atuadores.

De posse dos controladores mencionados, verificou-se as características alcançadas por

cada um deles em cima dos seguintes tópicos:

• Raio da hiperesfera de estabilidade - é o raio da maior hiperesefera (circunferência) de per-

turbação que poderá ser inscrita na região de estabilidade do espaço paramétrico, centrada no

ponto em que os parâmetros sensíveis assumem seus valores nominais. Neste caso, o contro-

lador obtido pela síntese PRCBI obteve o maior raio, conforme mostra a TAB. 4.4.

• Custo de robustez em estabilidade na EQ 4.11. O controlador que obteve o menor custo, isto

é, aquele com maior robustez em estabilidade segundo o critério proposto na EQ 4.11 foi o

controlador da síntese PRCBI, pois minimiza esse critério.

• Custo de desempenho quadrático na EQ 4.12. Este custo leva em conta a energia total dos

estados e da entrada, ponderados pelas matrizes Q1=I4 e Q2=I2, após fechar a malha em k=151

durante a evolução do sistema em malha fechada por 80 períodos. O menor custo foi en-

contrado pelo controlador LQR, que é aquele que minimiza o critério na EQ 4.12.

• Raio de estabilidade garantido por K&A na EQ 3.9 - é o raio calculado pelo algoritmo pro-

posto em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), representando a região na qual os

parâmetros sensíveis k1 e k2 podem ser variados e a estabilidade do sistema na EQ 4.2

continua garantida. Neste caso, o maior raio de estabilidade foi conseguido pelo controlador

Kc2, cujo método de cálculo foi comentado acima.

• Área da região de estabilidade - é a quantização em unidade de área do tamanho do domínio

paramétrico de estabilidade gerado por cada um dos controladores calculados, atuando no

sistema em malha fechada. É nesta região que se inscreve a hiperesfera.

A TAB. 4.4 ilustra as características de cada controlador. Na primeira e na segunda

linha desta tabela apresenta-se as características do controlador Kc1. A diferença é que na pri-

meira linha exibe-se o resultado de (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996) em que

a matriz Z fornecida não é positiva definida, inviabilizando a reprodução do resultado. Na

58

segunda linha, foi mantido o controlador sugerido por (KONSTANTOPOULOS &

ANTSAKLIS, 1996), mas a matriz Z foi otimizada de maneira a ampliar o raio de

estabilidade garantido por K&A. Pode-se observar na TAB. 4.4, que o raio de estabilidade

garantido por K&A na segunda linha aumentou aproximadamente 3,5% em relação ao da

primeira linha.

O controlador Kc4 forneceu o menor raio de estabilidade garantido por K&A e o pior de-

sempenho em relação aos demais controladores, mas note que este mesmo controlador gerou

a maior área da região de estabilidade e conseqüentemente a maior hiperesfera, conforme

mostrado na TAB. 4.4.

Para a determinação do raio RK&A de estabilidade garantido por K&A, que é uma figura

de mérito da síntese de K&A, foi necessário otimizar uma matriz diagonal Z para cada um dos

controladores, inclusive para os controladores PRCBI e LQR. Estas matrizes estão ilustradas

na TAB. 4.3 a seguir:

TAB. 4.3: Matrizes Z diagonal otimizadas.

CONTROLADOR Matriz Z diagonal otimizada

*Kc1 Z = diag[0.1244 0.1943 0.1396 0.1927]

Kc2 Z = diag[0.0821 0.0804 0.0763 0.0781]

Kc3 Z = diag[0.1683 0.2219 0.2057 0.2222]

Kc4 Z = diag[2.6545 2.4760 2.2718 2.5140]

( * ) Controlador obtido em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996).

Nas FIG. 4.1, 4.3, 4.5, 4.7 e 4.9 estão ilustradas as regiões de estabilidade e as respectivas

hiperesferas, neste caso degeneradas em circunferências, para o sistema fornecido na EQ 4.2

em malha fechada, com realimentação de estados via controladores da TAB. 4.4. Nestas figu-

ras que ilustram as regiões de estabilidade, os pontos de cor azul indicam que o sistema é está-

vel para os respectivos valores de k1 e k2, a cruz de cor preta mostra a posição do ponto nomi-

nal dos parâmetros sensíveis e a circunferência em vermelho ilustra graficamente a circunfe-

rência de estabilidade, cujo valor do raio está mostrado na TAB. 4.4.

59

TAB. 4.4: Características obtidas nos controladores calculados.

Controlador

Raio da hiperesfera

Custo Jrob estabilidade

Custo Jdesemp

desempenho quadrático

Raio estab. garantido por K&A

Área região estab. gerada

por cada ctrl.em u.a.

1cK 2.8881 0.0107 58.0291 0.5269 6823

1c* K 2.8881 0.0107 58.0291 0.5457 6823

2cK 2.9233 0.0079 74.9195 0.6422 7144

3cK 2.2179 0.0221 55.8273 0.5224 5474

4cK 3.3882 0.0054 323.5365 0.2742 7441

5cK 2.2307 0.0221 55.8273 -- 5588

( * ) Controlador obtido em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), usado conjuntamente com a matriz Z diagonal otimizada ilustrada na TAB. 4.3 para o seu respectivo controlador.

As FIG. 4.2, 4.4, 4.6 e 4.8 exibem os diagramas de sensibilidade dos controladores apre-

sentados na TAB. 4.2. Nestes diagramas ilustram-se as posições dos pólos de MF para o sis-

tema perturbado em direções aleatórias com raios de perturbação constantes, isto é,

=+ 22

21 kk 1, 9 e 25. As curvas de cores vermelha, azul e verde representam os pólos de MF

para perturbações com raios de uma, três e cinco unidades, respectivamente. As várias cruzes

assinaladas mostram as posições dos pólos de MF na situação nominal, ou seja, com os parâ-

metros sensíveis iguais a zero. A partir destes diagramas, torna-se possível verificar a sensibi-

lidade dos pólos de MF ao submeter o sistema a perturbações com raio constante em várias

direções do espaço paramétrico para os controladores exibidos na TAB. 4.2. Normalmente,

uma maior sensibilidade estará associada a uma maior degradação do desempenho nominal.

A FIG. 4.12 representa a resposta ao impulso em malha aberta durante 150 amostras ( 75

segundos ), onde a linha vermelha representa a velocidade longitudinal (α(t)), a linha verde a

velocidade vertical (β(t)), a linha azul escura a velocidade angular de ataque (ψ(t)) e a linha

azul clara o ângulo de ataque (θ(t)).

Nas FIG. 4.13, 4.14, 4.15, 4.16 e 4.17 encontram-se as evoluções dos estados em malha

fechada para o sistema sob atuação de cada um dos controladores apresentados na TAB. 4.2.

A simulação é desenvolvida após a evolução de 150 períodos, conforme apresenta a FIG.

4.12. Após isto, fecha-se a malha e apresenta-se a evolução dos estados por mais 80 períodos.

60

O desempenho obtido por cada um dos controladores é avaliado pela expressão EQ 4.12, em

cima das respectivas curvas de evolução temporal dos estados. Quanto maior for a área sob as

curvas, maior será o custo de desempenho. Note que a FIG. 4.16, relativa ao controlador do

PRCBI, apresenta as maiores áreas sob as curvas de evolução dos estados, enquanto que as da

FIG. 4.15, referente ao controlador LQR, apresentam as menores áreas. Isto já era esperado,

pois o controlador LQR, de acordo com a definição do critério de desempenho, é o que possui

custo mínimo.

As FIG. 4.2, 4.4 e 4.6 que ilustram os diagramas de sensibilidade dos controladores Kc1,

Kc2 e Kc3, respectivamente, mostram que quando o raio de perturbação é escolhido em 3 e 5

unidades, o sistema torna-se instável em algumas das direções de perturbação, pois ul-

trapassaram o valor do raio da hiperesfera de estabilidade apresentada na TAB 4.4. As FIG.

4.10 e 4.11 são ampliações das FIG. 4.2 e 4.4, permitindo uma melhor visualização de que

uma perturbação com raio de 3 unidades terá parte do diagrama fora do círculo unitário no

plano z. As FIG. 4.8 e 4.9 tem a mesma relação com o controlador Kc4, no que se refere ao

raio de perturbação e raio da hiperesfera de estabilidade. Para o controlador Kc5 não foi feito o

diagrama de sensibilidade, pois neste caso aparece o Filtro de Kalman, dobrando o número de

pólos de malha fechada.

A título de comparação entre as FIG. 4.2, 4.4 e 4.6 em relação à FIG. 4.8, o diagrama de

sensibilidade do controlador PRCBI (Kc4) foi calculado com realimentação direta de estado e

não com a estrutura LQG, incluindo o Filtro de Kalman, conforme foi visto na FIG. 2.6 do

item 2.2.

61

FIG. 4.1: Região de estabilidade e hiperesfera com o controlador Kc1.

FIG. 4.2: Diagrama de sensibilidade com o controlador Kc1.

62


FIG.4.4: Diagrama de sensibilidade com o controlador Kc2.

63



64



65


FIG. 4.10: Diagrama de sensibilidade ampliado com o controlador Kc1.

66

FIG. 4.11: Diagrama de sensibilidade ampliado com o controlador Kc2.

FIG. 4.12: Resposta ao impulso em MA para o sistema da EQ 4.2.

Estados: α(t)-verm.; β(t)-verde; Ψ(t)-azul; θ(t)-azul claro.

0 10 20 30 40 50 60 70 80-2

-1

0

1

2

3

4

5

Resposta ao impulso do sis tema em M.A durante 75 segundos(150 amostras)

tempo (s)

es

tad

os

67

FIG. 4.13: Resposta ao impulso em MF para o sistema da EQ 4.2 com o controlador Kc1.


75 80 85 90 95 100 105 110 115-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Resposta ao impulso do sis tema em M.F durante 40 segundos(80 amostras)

tempo (s)

es

tad

os

75 80 85 90 95 100 105 110 115-3

-2

-1

0

1

2

3


tempo (s)

es

tad

os

68



75 80 85 90 95 100 105 110 115-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo (s)

es

tad

os

75 80 85 90 95 100 105 110 115-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3


tempo (s)

es

tad

os

69


75 80 85 90 95 100 105 110 115-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3


tempo (s)

es

tad

os

70

4.2 SISTEMA MASSA-MOLA COM 8 ESTADOS

Este exemplo foi utilizado no trabalho de (ADES, 1994). O objetivo nesta aplicação será

o cálculo de um controlador pela síntese de K&A, levando em conta somente o

robustecimento em estabilidade do sistema face às variações das massas 1 e 4 do sistema

ilustrado na FIG. 4.18, a fim de comparar com os resultados já obtidos pela aplicação da

síntese PRCBI em (ADES, 1994). Os gráficos e os resultados relativos aos controladores

LQG, PRCBI e híbrido 100% foram extraídos em (ADES, 1994).

Massa 1

u

Massa 1Massa 2

Massa 3 Massa 4

y

FIG. 4.18: Diagrama físico do sistema massa-mola 8 estados.

Na EQ 4.14 mostra-se um modelo em espaço de estado do sistema da FIG. 4.18

=

+=

xCy

uBxAx& EQ 4.14

onde xT = ( x1 x2 ... x8 ) é o vetor de estados, cujo significado físico encontra-se na TAB.

4.5. Além disso tem-se que “y” é a saída ( posição da massa 4 ) e “u” a entrada da planta

(força aplicada na massa 1). As matrizes A, B e C são dadas por:

71

A =

−−

−−

−−

−−

4444

333333

222222

1111

m

b

m

k

m

b

m

k0000

10000000m

b

m

k

m

b2

m

k2

m

b

m

k00

00100000

00m

b

m

k

m

b2

m

k2

m

b

m

k00001000

0000m

b

m

k

m

b

m

k00000010

EQ 4.15

= 000000

m

10B

1

T EQ 4.16

[ ]01000000C = EQ 4.17

TAB. 4.5: Significado físico dos estados do sistema massa-mola 8 estados.

ESTADOS SIGNIFICADO FÍSICO x1 Posição da massa 1 (m) x2 Velocidade da massa 1 (m/s) x3 Posição da massa 2 (m) x4 Velocidade da massa 2 (m/s) x5 Posição da massa 3 (m) x6 Velocidade da massa 3 (m/s) x7 Posição da massa 4 (m) x8 Velocidade da massa 4 (m/s)

Para o cálculo dos controladores apresentados, foram adotados os seguintes parâmetros e constantes: • m1=1.0, m2=0.25, m3=0.1 e m4=0.1 são os valores nominais das massas em kg;

• k = 0.145 N/m é a constante elástica da mola;

• b = 0.04875 N.s/m é a constante do amortecedor;

• período de amostragem na discretização T = 0.1s;

72

• custo de desempenho de acordo com a EQ 4.18, onde as matrizes de ponderação dos

estados e da saída são, respectivamente, Q1 = I8 e Q2 = 1;

Jdesemp = ( )∑=

+200

51kk2

Tkk1

Tk uQuxQx EQ 4.18

• custo de robustez em estabilidade de acordo com a EQ. 4.11;

• matriz de covariância de entrada de ruídos na planta: Q = 0.01;

• matriz covariância de ruído no sensor de medidas de saída da planta: R = 0.0001;

• nas simulações utilizou-se a estrutura LQG com Filtro de Kalman, de acordo com a

FIG. 2.6;

• o ruído entra na planta pelos atuadores, isto é, D = Γ (ver FIG. 2.7);

• vetor de parâmetros sensíveis a serem robustecidos ( )T41 mm=θ ;

• as matrizes arbitradas Z e Q, referentes à síntese de K&A, foram adotadas com os

seguintes valores: Z = 20 I8 e Q = 10-6 I8 por tentativa e erro para a convergência da síntese

de K&A.

A TAB. 4.6 apresenta os controladores LQG (desempenho ótimo), PRCBI e híbrido

100%, extraídos de (ADES, 1994), bem como os controladores K&A1 e K&A2, calculados

pela síntese de K&A. Os elementos dos vetores que representam os controladores K&A1 e

K&A2 estão com seus sinais invertidos, indicando realimentação negativa, tal como os

demais. Cabe observar que no capítulo 3, referente a síntese de K&A, foi adotado a

realimentação positiva conforme mostra a EQ. 3.12.

A TAB. 4.7 apresenta as características de custo de robustez em estabilidade, custo de

desempenho, raio da hiperesfera percentual de estabilidade, conforme definido em (ADES,

1994, p.43), e o raio de estabilidade garantido por K&A para os controladores relacionados na

TAB. 4.6.

73

TAB. 4.6: Controladores de destaque relativos ao sistema massa-mola com 8 estados.

CONTROLADORES

KLQG = [ 1.846076533 2.205799446 0.020262473 1.664610417 -0.040385758 0.769685911 –0.048710792 0.816805303 ]

KPRCBI = [ 4.705820385 7.361800067 –4.270015626 –6.408789105 0.440542769 -2.104900311 –0.876346472 1.152333760 ]

KH100 = [ 5.453379809 9.564500067 –3.715771139 –5.586051605 0.643760899 –1.348749630 –0.358188095 1.897859931 ]

KK&A1 = [ 0.072584679 0.860754592 0.030135312 0.009260002 0.006205396 0.001576863 -0.005084672 0.004750105 ]

KK&A2 = [ 0.044178785 0.861069738 0.019970790 0.015558045 0.006811836 0.002136684 0.005044984 0.001671661 ]

TAB. 4.7: Características obtidas pelos controladores mencionados na TAB. 4.6.

CONTROLADOR

CUSTO DE ROBUSTEZ EM ESTABILIDADE

Jrob=Tr(Gθ0

1− )

CUSTO DE

DESEMPENHO Jdesemp

RAIO DA HIPERESFERA PERCENTUAL

DE ESTABILIDADE

RAIO RK&A DE ESTABILIDADE

GARANTIDO POR K&A

KPRCBI 2.60409 991.791 59.9609 - KH100 5.20790 70.376 41.7188 - KLQG 45.51052 32.030 14.0234 - KK&A1 4.67623 64.550 58.6792 0.05703347 KK&A2 4.41153 71.723 62.3303 0.05329108

Tendo em vista que na síntese de K&A as perturbações sobre as matrizes do modelo

nominal ocorrem conforme a EQ 3.53, as matrizes Ai e Bj (com i = 1, 2 e j = 1), referentes às

variações de perturbação, que aparecem nessa mesma equação foram geradas da seguinte

maneira:

A1 = Aperturbado1 - Anominal = A( 0.95, 0.25, 0.1, 0.1 ) - A( 1.0, 0.25, 0.1, 0.1 ) A2 = Aperturbado2 - Anominal = A( 1.0, 0.25, 0.1, 0.095 ) - A( 1.0, 0.25, 0.1, 0.1 )

B1 = Bperturbado1 - Bnominal = B( 0.95, 0.25, 0.1, 0.1 ) - B( 1.0, 0.25, 0.1, 0.1 )

74

onde A = A( m1, m2, m3, m4 ) é a matriz da dinâmica dada pela EQ 4.15 e B = B( m1, m2, m3,

m4 ) é a matriz de entrada do modelo na EQ 4.16. O raio de estabilidade garantido por K&A,

apresentado na TAB. 4.7, relaciona-se com as perturbações do seguinte modo:

2

A&K21

22

21 Rkk ≤λ++ EQ 4.19

conforme a EQ 3.53 apresentada no subitem 3.3.3.

O controlador K&A1 foi obtido durante a execução do algoritmo de K&A, escolhendo

durante as iterações o controlador que gerava o maior raio RK&A. Já o controlador K&A2 foi

aquele gerado pelo algoritmo em sua última iteração, ao atingir o critério de parada.

Nas FIG. 4.19, 4.21, 4.23, 4.25 e 4.27 estão ilustradas as regiões de estabilidade e as

respectivas hiperesferas percentuais para o sistema com os controladores da TAB. 4.6.

As FIG. 4.20, 4.22, 4.24, 4.26 e 4.28 exibem os diagramas de sensibilidade dos controla-

dores apresentados na TAB. 4.6. Nestes diagramas ilustram-se as posições dos pólos de malha

fechada do sistema perturbado com raios percentuais de 10% (vermelho) e 40% ( azul ).

Pela TAB. 4.7 pode-se observar primeiramente que os raios de estabilidade RK&A dos

controladores K&A1 e K&A2 são bastante reduzidos, tornando-se desprezíveis quando

comparados à região de estabilidade. Embora o controlador KK&A1 possua um raio RK&A

maior que o do KK&A2, o raio da hiperesfera do último foi superior quando comparado com o

do primeiro.

75

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

massa 1 - (Variação de -80% a +200% do valor nominal)

Região de Estabilidade e Hiperesfera Percentual

Ctrl LQG - Desempenho ótimomassa 4

FIG. 4.19: Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KLQG.

0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Perturbações de 10% e 40% do vetor paramétrico nominal

Diagrama de Sensibilidade - Estrutura LQG

Ctrl LQG

FIG. 4.20: Diagrama de sensibilidade com o controlador KLQG.

76

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3



Ctrl PRCBImassa 4

FIG.4.21: Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KPRCBI.

0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2



Ctrl PRCBI

FIG. 4.22: Diagrama de sensibilidade com o controlador KPRCBI.

77

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3



Ctrl Híbrido 100%massa 4

FIG. 4.23: Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KH100.

0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2



Ctrl Híbrido 100%

FIG. 4.24: Diagrama de sensibilidade com o controlador KH100.

78

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3



Ctrl K&A1massa 4

FIG. 4.25: Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KK&A1.

0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2



Ctrl K&A1

FIG. 4.26: Diagrama de sensibilidade com o controlador KK&A1.

79

0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3



Ctrl K&A2massa 4

FIG. 4.27: Região de estabilidade e hiperesfera percentual com o controlador KK&A2.

0.7 0.8 0.9 1 1.1

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2



Ctrl K&A2

FIG. 4.28: Diagrama de sensibilidade com o controlador KK&A2.

80

5 CONCLUSÕES E SUGESTÕES

5.1 CONCLUSÕES

Este trabalho apresentou um estudo comparativo entre a síntese de controle robusto pa-

ramétrico PRCBI (GOMES,1991), baseada na qualidade de identificação bayesiana dos parâ-

metros incertos a serem robustecidos e a síntese desenvolvida em (KONSTANTOPOULOS &

ANTSAKLIS, 1996), onde o algoritmo de minimização proposto utiliza uma versão do méto-

do de direções conjugadas baseado na regra BFGS.

Na parte aplicativa deste trabalho, calculou-se os controladores gerados pelas sínteses

mencionadas em cima do sistema de controle longitudinal de uma aeronave (JIANG, 1994) e

de um sistema massa-mola de 8 estados (ADES, 1994), verificando através de gráficos e tabe-

las as vantagens obtidas pela utilização dos controladores calculados por meio de cada uma

das sínteses aqui citadas.

Tendo em vista o trabalho realizado nesta dissertação, observou-se as seguintes

conclusões:

• Na síntese de K&A é feita uma abordagem para o projeto de um controlador de realimen-

tação de saída unificando os casos de perturbações estruturadas e não estruturadas.

• Considera-se na síntese de K&A perturbações não estruturadas com dimensão finita,

sendo estas apenas uma generalização das perturbações estruturadas, contrariando a lite-

ratura específica da área de controle.

• A função custo adotada na síntese de K&A é baseada na soma direta de um índice de ro-

bustez em estabilidade a ser minimizado, associado à maximização do limite de perturba-

ção estruturada ou não estruturada, com um termo referente ao desempenho quadrático,

tornando o compromisso estabelecido uma conseqüência das matrizes escolhidas para o

LQR e das faixas de valores dos índices empregados.

81

• A síntese de K&A nem sempre fornece raios de estabilidade positivos e ainda, o que é

pior, nem sempre converge em seu algoritmo.

• Os raios de estabilidade e a convergência do algoritmo de K&A são altamente dependen-

tes dos valores arbitrados para as matrizes Q na EQ 3.2 e Z na EQ 3.4.

• A não convergência do algoritmo de K&A ocorre em seu passo 05 durante a execução do

problema de minimização de ( )J dABCr

j jφ λ+ com a EQ 3.33, onde considera-se que P, α

e L1 são constantes, o que não é verdade a partir do momento em que altera-se a variável

jφ e consequentemente o controlador K.

• Quando o algoritmo de K&A converge, geralmente ocorre rapidamente e com poucas

iterações.

• No mesmo algoritmo desenvolvido por K&A, implementando-se um sistema de otimiza-

ção para o cálculo da matriz Z diagonal, obteve-se um controlador que garante um raio de

estabilidade maior que o encontrado em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS,

1996).

• O raio de estabilidade garantido por K&A é calculado a partir de uma condição suficiente

para a variação dos parâmetros e, geralmente, fornece um raio bem inferior ao da hiperes-

fera de estabilidade conforme pode ser visto nos exemplos apresentados.

• Foi observado que com o controlador PRCBI, obtém-se em MF uma região de estabilida-

de superior a apresentada pelos demais controladores.

• O controlador PRCBI possui uma maior insensibilidade face às variações paramétricas

que os demais controladores.

• De acordo com o exemplo do sistema massa-mola de 8 estados, observou-se que embora

a região de estabilidade gerada pelo controlador de K&A seja menor que a do PRCBI, o

raio da hiperesfera do primeiro foi superior a do segundo.

82

• Embora o controlador de K&A seja mais sensível que o PRCBI no exemplo mostrado no

item 4.2, o desempenho do mesmo foi bem superior, com um raio de hiperesfera

equivalente.

• Por intermédio do método de otimização de Powell, foi possível calcular uma matriz Z

diagonal otimizada, obtendo-se um raio de estabilidade de K&A maior que aquele calcu-

lado em (KONSTANTOPOULOS & ANTSAKLIS, 1996), no item 4.1.

5.2 SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS

Tendo em vista que na síntese de K&A o custo minimizado é composto pela soma direta

de uma parcela que diz respeito à maximização dos limites de incertezas e à minimização de

um critério de desempenho (LQR), o desenvolvimento de um novo algoritmo, baseado naque-

le apresentado em (ADES, 1994) e denominado “Técnica das liberações” seria uma sugestão

bastante interessante. Com isso seria possível resolver as dificuldades do algoritmo de K&A

no que diz respeito à ponderação entre os custos de desempenho e robustez em estabilidade.

Uma segunda sugestão seria a otimização de uma matriz Z completa, ao invés de somente

uma matriz Z diagonal, conforme foi experimentado neste trabalho. Também seria possível

tentar otimizar a matriz Q.

Por fim, seria importante realizar um estudo no sentido de determinar sob quais hipóteses

a síntese K&A teria sua convergência garantida.

83

6 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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85

7 ANEXO

7.1 ANEXO 1

Cópia do artigo “Optimal design of robust controllers uncertain discrete- time systems”

de Joannis K. Konstantopoulos e Panos J. Antsaklis do International Journal of Control,

1996, vol. 65, no. 1, 71-91.

estudo comparativo entre sÍnteses de ...5 agradecimentos a deus, mestre dos mestres, por me...

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