Estudio Experimental y Num Rico Del Efecto de Arco

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  • ESTUDIO EXPERIMENTAL Y NUMRICO DEL EFECTO DE ARCO

    Gislaine Pardo Tobar Pontificia Universidad Catlica de Chile, Escuela de Ingeniera, Departamento de Ingeniera

    Estructural y Geotcnica gspardo@uc.cl

    Esteban Sez Robert

    Pontificia Universidad Catlica de Chile, Escuela de Ingeniera, Departamento de Ingeniera Estructural y Geotcnica

    esaez@ing.puc.cl

    RESUMEN El efecto arco en suelos, consiste en la redistribucin de las tensiones desde zonas muy deformadas a zonas ms rgidas. En este artculo se presentan los resultados de un estudio experimental y numrico del efecto arco, donde se comparan dos modelos de comportamiento elasto-plsticos y se estudia su capacidad de reproducir este fenmeno.

    INTRODUCCIN: El efecto de arco ha sido ampliamente estudiado durante muchos aos. Uno de los trabajos pioneros en esta temtica es el de Terzaghi (Terzaghi, 1943) que define el efecto arco como la redistribucin de tensiones desde una masa de suelo en plastificacin hacia zonas ms rgidas (pilas en el caso de entibacin discontinua). Terzaghi estudi este fenmeno a travs del ensayo trapdoor que consiste en reproducir el efecto arco imponiendo una deformacin localizada en la base de un cajn (Figura 1). El ensayo propuesto por Terzaghi ha sido estudiado matemticamente por varios autores, por ejemplo Handy (1985) extendi la formulacin analtica propuesta por Terzaghi a muros de contencin de forma de tomar en cuenta la rugosidad entre los elementos estructurales y el suelo que los rodea. Luego, Harrop-Williams (1989) propusieron una solucin aproximada del problema e incorporaron mejoras a la forma del efecto arco, con una distribucin circular de tensiones principales.

    Dentro de las aplicaciones geotcnicas del efecto arco a la ingeniera geotcnica se encuentra el caso de las excavaciones con entibacin discontinua. Donde uno de los objetivos prcticos de estudiar el efecto arco es conocer las cargas laterales sobre las pilas a medida que se desarrolla el efecto arco. Para poder realizar un estudio detallado de las caractersticas de los empujes en este tipo entibacin, se requiere tener una compresin acabada del fenmeno del efecto arco en suelos. En efecto, la adecuada modelacin de este fenmeno es un desafo complejo, ya que requiere ser capaz de reproducir la redistribucin de tensiones que toma lugar progresivamente cuando se ejecutan estas excavaciones.

    En esta investigacin se estudia el efecto arco desde el punto de vista experimental y numrico con el objetivo de estudiar la pertinencia de distintos modelos constitutivos para la reproduccin del fenmeno, como paso previo para la modelacin de una excavacin entibada completa. El estudio experimental se basa en la reproduccin del ensayo trapdoor propuesto por Terzaghi. Este ensayo consiste en reproducir el efecto arco imponiendo una deformacin localizada en la base de un cajn. Con la ayuda de una cmara de alta resolucin se capturan los desplazamientos de los pixeles, a partir de los cuales se puede inferir el desplazamiento de las partculas del suelo. Luego, con un modelo numrico en elementos finitos se simula el mismo ensayo utilizando dos modelos de comportamiento distintos, uno de ellos comnmente utilizando en la prctica. Se establecen comparaciones entre ambos casos: experimental y numrico; y a su vez comparaciones entre los modelos de comportamiento empleados, con el fin de establecer la habilidad de cada uno de ellos de representar el comportamiento del suelo durante el experimento y por lo tanto de reproducir la redistribucin de tensiones debida al efecto arco.

  • 2. ESTUDIO EXPERIMENTAL: El estudio experimental se basa en reproducir el ensayo trapdoor de Terzaghi. La experiencia consiste en un cajn con una puerta mvil en su base. El desplazamiento de dicha compuerta, induce grandes deformaciones en el suelo y por lo tanto su plastificacin. La concentracin de estas deformaciones genera una superficie de corte que induce la redistribucin de tensiones desde el suelo que se encuentra plastificando hacia los apoyos rgidos de la base del cajn (Figura 1a). El material utilizado para el ensayo corresponde a una arena fina, con contenido de finos y propiedades de resistencia al corte y . El desplazamiento mximo impuesto en la base mvil fue de

    Figura 1:(a) Distribucin de corte en ensayo trapdoor (b) Cajn con puerta deslizante en su base.

    Cada etapa del ensayo es capturada con una cmara fotogrfica de alta resolucin. La Figura 2 a presenta una de las fotografas tpicas adquiridas durante la ejecucin del ensayo. Una vez obtenidas las imgenes del ensayo, con la ayuda del programa MATLAB y una toolbox para el procesamiento de imgenes y optimizacin (Eberl, 2006), se puede hacer un seguimiento del desplazamiento de los granos y derivar el campo de deformaciones que se produce en el suelo al bajar la compuerta en la base del cajn.

    La Correlacin de Imgenes Digitales (CID) es una tcnica que permite calcular los desplazamientos a partir de una serie de imgenes consecutivas. En trminos simplificados, la tcnica consiste en la maximizacin de un coeficiente de correlacin que se determina a partir del anlisis de un subconjunto de pxeles (definidos por unos marcadores escogidos por el usuario). El proceso de optimizacin genera una funcin del mapeo de la deformacin (desplazamiento de marcadores entre imgenes).

    (a) (b)

    Figura 2: (a) Fotografa tpica del ensayo trapdoor. (b) Imagen procesada con la tcnica de correlacin de imgenes.

    La Figura 2 b muestra una de las imgenes procesadas, las cruces rojas indican el centro de los cuadros de pxeles monitoreados (marcadores). La diferencia entre la grilla roja y la verde

  • corresponde al desplazamiento estimado por el programa. Una vez terminado el anlisis de las imgenes, se obtiene un campo de desplazamientos de la grilla utilizada. En la Figura 3, se presentan los desplazamientos inferidos con esta tcnica. El desplazamiento vertical (Figura 3a) presenta una porcin de suelo con aproximadamente el mismo desplazamiento (color rojo). Esta porcin corresponde al suelo que ha plastificado (deformado) ms, y se mueve como un bloque rgido. En las imgenes de la Figura 3 se observa que se alcanzan descensos del orden de 4mm, mientras que los desplazamientos horizontales son aproximadamente un orden de magnitud menor.

    Figura 3: Desplazamientos inferidos con la tcnica de CID

    Como verificacin adicional, la base de la compuerta fue instrumentada con transductores de desplazamiento (Ch0 y Ch1 en la Figura 4), lo que permiti comprobar la exactitud de la tcnica CID.

    (a) (b) Figura 4: Descenso de la base del Cajn (a) Desplazamiento de la base (b) Distribucin de transductores en la base del cajn, vista en planta.

    La Figura 4 evidencia la efectividad de la tcnica de Correlacin de Imgenes Digitales (CID), pues la diferencia con respecto a las mediciones de los transductores en promedio es de un 5% al canal Ch0 y 11% al Ch1. En efecto, se observa que las diferencias con respecto al Ch0 son mucho menores, ya que es el captor que se encuentra ms prximo al vidrio (cara del ensayo que se fotografa). La comparacin anterior valida los resultados de aplicacin de la CID, por lo que los desplazamientos inferidos con esta tcnica pueden ser considerados una base de comparacin para la modelacin numrica.

    1. MODELACIN NUMRICA: Para desarrollar un modelo numrico, se deben tomar en cuenta varios aspectos. Por ejemplo, el modelo de comportamiento (calibrado a partir de ensayos de laboratorio) debe ser capaz de reproducir el comportamiento del material. Para representar el comportamiento de la arena utilizada en el ensayo experimental se explor el empleo de dos modelos: el modelo Hujeux (Hujeux, 1985) y el de Mohr Coulomb.

    El modelo de Hujeux, fue concebido en los laboratorios de la Ecole Centrale de Paris (ECP) y es un modelo elasto-plsticos de tipo multi-mecanismos diseado para reproducir el comportamiento

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    (a) Desplazamiento vertical [cm]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    0.1

    0.2

    0.3

    0.4

    x [cm]y [

    cm

    ]

    (b) Desplazamiento horizontal [cm]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -0.05

    0

    0.05

    0 5 10 15 20 250

    10

    20

    30

    T

    uy [

    mm

    ]

    Descenso de la base del cajn

    CID

    Ch0

    Ch1

  • de suelos tanto granulares como cohesivos. Dentro de las ventajas de este modelo se encuentran su capacidad para representar el comportamiento de los suelos a gran deformacin tanto en tensiones como en deformacin, as como bajo carga montona y cclica. Este modelo se encuentra formulado en trminos de tensiones efectivas y basa la representacin del comportamiento del suelo mediante la descomposicin en tres planos de corte ortogonales y un mecanismo de consolidacin. La evolucin del endurecimiento del material se conforma de cuatro dominios: elstico (reversible), pseudo-elstico (de transicin), histertico (estabilizado) y movilizado (gran deformacin).

    Por otro lado, el modelo de Mohr Coulomb permite modelar el comportamiento elasto-plstico de algunos materiales como el hormign o algunos suelos. Debido a que este modelo considera el confinamiento del material se emplea frecuentemente para modelar el comportamiento del suelo. En este estudio, se emple un modelo de Mohr Coulomb no asociado sin endurecimiento. Las ventajas del empleo de un modelo sencillo radican en que el tiempo de cmputo es mucho menor que el del modelo Hujeux y que puede ser calibrado directamente de parmetros sencillos como el ngulo de friccin y cohesin. Sin embargo, una desventaja de emplear un modelo tan sencillo es que no es posible reproducir a gran deformacin el estado crtico de los suelos (deformacin a volumen constante)

    Figura 5: Ensayo de compresin triaxial CD

    En la Figura 5 se presentan los resultados de la calibracin de ambos modelos, donde: : Deformacin axial de la probeta. : Desviador de tensiones. : Deformacin volumtrica. La calibracin del modelo de Hujeux se indica en lnea continua, y la de Mohr Coulomb en lnea segmentada. La calibracin se realiz en base a ensayos triaxiales realizados al material en laboratorio con confinamientos de ; y . Se observa que el modelo Mohr Coulomb no es capaz de representar la estabilizacin de las deformaciones de volumen a gran deformacin, pero se ajusta a la tendencia con un ngulo de dilatancia de .

    Con los parmetros calibrados, se procede a la simulacin del efecto arco a travs del ensayo trapdoor, que por sus caractersticas, corresponde a un modelo de deformaciones planas 2D, (Figura 2). En la Figura 6 a y Ecuacin (1) se indican el dominio y condiciones de borde del modelo de elementos finitos (FEM) para el cajn.

    0 10 200

    100

    200

    300

    Ensayo de compresin triaxial drenado

    a (%)

    q (k

    Pa)

    0 10 20

    -10

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    a (%)

    v (%

    )

  • (a) (b)

    Figura 6: (a) Dominio y Condiciones de Borde del modelo (b) Malla de Elementos Finitos

    (1)

    En la base se impone un desplazamiento variable en el tiempo que coincide con el promedio de las mediciones realizadas por los dos transductores instalados en la base del cajn durante el desarrollo experimental del efecto arco (Figura 4).

    La malla de elementos finitos utilizada es la de la Figura 6b, que consta de alrededor de 2000 grados de libertad. Se emplearon elementos triangulares lineales. Todos los clculos de efectuaron con el cdigo de elementos finitos GEFDyn (Aubry and Modaressi, 1996).

    Es importante recordar que los modelos no lineales requieren inicializar tensiones, en este caso se inicializaron las tensiones a partir del equilibrio geo-esttico, considerando un coeficiente de

    empujes de tierras en reposo de de acuerdo a la frmula de Jaky.

    3. CONTRASTE ENTRE MODELO EXPERIMENTAL Y NUMRICO: Para establecer comparaciones entre el campo de desplazamientos inferido con el mtodo de correlacin de imgenes (CID) y el obtenido mediante elementos finitos, es necesario definir una medida del error en cada punto del dominio. En este trabajo se emplearon las siguientes medidas:

    (2)

    (3)

    (4)

    (5)

    (6)

    Donde:

    : Mdulo del desplazamiento calculado con FEM/CID, respectivamente

    : Diferencia entre los mdulos de desplazamiento de ambos mtodos

    : Diferencia de desplazamiento horizontal/vertical segn corresponda

  • Figura 7: Evolucin del error promedio

    La Figura 7 presenta el valor del error promedio , para ambos modelos, donde se observa que el error es prcticamente el mismo en ambos casos y que existe la tendencia a estabilizar el error promedio, alcanzando un estado estacionario a medida que desciende la compuerta.

    La Figura 8 presenta las medidas de error de los campos de desplazamiento calculados por FEM entre ambos modelos de comportamiento y los resultados obtenidos por CID al trmino del ensayo. Si bien el rango del error es bastante amplio (entre 20 y 80%), para ambos modelos de comportamiento, el peak del error se encuentra muy localizado en la zona cercana a la compuerta.

    En trminos promedios, el error es del orden de y , para los modelos de Hujeux y Mohr Coulomb, respectivamente. Luego, ambos modelos son capaces de reproducir, razonablemente bien las deformaciones observadas en el suelo en el cajn.

    Figura 8: Comparacin de resultados

    0 5 10 15 20 2510

    20

    30

    40

    Descenso de la compuerta [mm]

    Err

    or

    pro

    medio

    [

    %]

    Evolucin del error promedio en los resultados de la simulacin

    Hujeux

    Mohr Coulomb

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    (a) Variacin entre ambos mtodos, al trmino del ensayo, [%]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    (b) Error en direccin X, al trmino del ensayo, x [%]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    (c) Error en direccin Y, al trmino del ensayo, y [%]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    10 20 30 40

    5

    10

    15

    20

    25

    -80

    -60

    -40

    -20

    Hujeux Mohr Coulomb

  • Clculo de campo de tensiones

    Si bien la tcnica de la correlacin de imgenes permite conocer el campo de desplazamientos que experimenta el suelo, el mtodo no entrega directamente las tensiones que se producen en los apoyos rgidos. Para pasar del campo de deformaciones al campo de tensiones, es indispensable contar con un modelo de comportamiento. Por ello, una vez validado el modelo numrico en trminos de desplazamiento, el siguiente paso es visualizar el efecto arco en trminos de redistribucin de tensiones y as estimar el empuje sobre los apoyos rgidos (Ver Figura 1).

    Para evaluar la redistribucin de tensiones se defini un parmetro de aumento de la tensin vertical normalizada por el valor del caso geo-esttico:

    (7)

    (8)

    Donde:

    : Tensin vertical geo-esttica en cada punto del dominio.

    : Tensin vertical al trmino del ensayo en cada punto del dominio (del FEM)

    : Variacin de la tensin vertical con respecto al caso geo-esttico.

    Figura 9: Representacin del efecto arco en trminos de tensiones

    La Figura 9 a presenta el incremento de la tensin vertical al trmino de la simulacin con respecto a la tensin vertical del caso geo-esttico. Para el modelo de Hujeux, en los apoyos se

    (a) Variacin de tensin vertical c/r al caso geoesttico, y [%]

    Hujeux

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    -50

    0

    50

    100

    Mohr Coulomb

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    -500

    50100

    (b) Tensin de corte, xy

    [kPa] al trmino de la simulacin

    Superficie de corte

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    -1

    0

    1Superficie de corte

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    -1

    0

    1

    (c) Deformacin Volumtrica Plstica (vp %) al trmino de la simulacin

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    0

    0.05

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    20 40

    510152025

    0

    0.05

    0.1

  • produce un incremento de tensiones verticales entre un 20% a un 40% en comparacin con la tensin sin el efecto arco, informacin importante a considerar al momento de disear los apoyos rgidos (pilas en el caso de entibacin discontinua). Por otra parte, para el modelo de Mohr Coulomb, se produce un incremento de tensiones en un rango de 5% a 50%, las mayores tensiones se encuentran muy localizadas hacia la compuerta (Figura 11), tenindose que el 30% del apoyo resiste el mayor incremento de tensiones (30 a 50%).

    Por otra parte, en la Figura 9 b, se observa en forma clara en ambos modelos las superficies de corte que Terzaghi enunciaba como necesarias para el desarrollo del efecto arco Figura 1a. Se observa que el ngulo de estas superficies con respecto a la horizontal es de 74 y 75 para los modelos de Hujeux y Mohr Coulomb, respectivamente.

    La Figura 9 c se presenta la deformacin volumtrica plstica de cada modelo constitutivo.

    Para ambos modelos, se observa una porcin de suelo plastificado sobre la compuerta que representa el suelo de la CID que se mova como bloque rgido en la Figura 3a. Para el caso de Mohr Coulomb la porcin de suelo es mucho ms masiva y vertical que para Hujeux y adems presenta gran plastificacin en la zona superior del suelo En el caso de Hujeux, aparecen dos zonas bien definidas y acotadas por sobre los extremos de la compuerta que desciende, pero la porcin de suelo con mayor deformacin irreversible se encuentra localizada slo sobre la compuerta.

    Finalmente, la direccin de la tensin principal mayor durante el efecto arco se presenta en la Figura 10, donde el tamao de las flechas es directamente proporcional a la magnitud de las tensiones. En el caso del modelo de Hujeux, la distribucin coincide con la orientacin semi-circular de tensiones principales esperada propuesta por Harrop Williams, 1989. En cambio, con el modelo de Mohr Coulomb la trayectoria resulta ms bien elptica. En efecto, en este caso se observa que las tensiones principales a los costados de la compuerta presentan una componente horizontal convergente hacia el centro. Se observa para ambos modelos que las tensiones crecen en los apoyos mientras que el suelo entre apoyos se descarga prcticamente por completo.

    Figura 10: Direccin principal mayor

    Las principales diferencias que se observan son en la zona del apoyo rgido ms alejada a la compuerta, donde el modelo Hujeux predice una distribucin ms bien uniforme de la tensin vertical y el de Mohr Coulomb, una distribucin fuertemente concentrada en los extremos (Figura 11). El valor de la tensin promedio sobre los apoyos es: y para Hujeux y

    Mohr Coulomb, respectivamente. Adems, de la Figura 11, se observa que las tensiones se mantienen prcticamente constantes en el tiempo a medida que desciende la compuerta.

    15 20 25 30 350

    5

    10

    Direccin principal mayor, al trmino de la simulacin

    x [cm]

    y [

    cm

    ]

    Hujeux

    Mohr Coulomb

  • Hujeux 10kPa 5,9kPa

    Mohr Coulomb

    22kPa 6,6kPa

    Figura 11: Cargas sobre los apoyos CONCLUSIONES: En este trabajo se han presentado los resultados experimentales y numricos del estudio del efecto arco enfocado a determinar la capacidad de dos modelos de comportamiento para representar adecuadamente el efecto arco.

    Las deformaciones que experimenta el material durante el ensayo trapdoor han sido inferidas exitosamente gracias a la tcnica de correlacin de imgenes digitales. En la modelacin del problema mediante la tcnica de elementos finitos ambos modelos de comportamiento empleados reprodujeron satisfactoriamente el campo de desplazamientos del suelo observado en la experiencia del trapdoor, as como la redistribucin de tensiones debidas al efecto arco. Sin embargo, en el caso de las tensiones sobre los apoyos rgidos existen algunas diferencias entre ambos modelos: Hujeux predice una distribucin de tensiones ms homognea que Mohr Coulomb, pero en trminos promedio la prediccin de la compresin sobre los apoyos difiere en un 8%, siendo la obtenida mediante Mohr Coulomb la mayor. Se puede concluir que el modelo de comportamiento estndar estudiado (Mohr-Coulomb) es capaz de predecir una la redistribucin de tensiones, pero con singularidades en las cercanas de la compuerta lo que induce una distribucin de tensiones poco homognea sobre los apoyos. Por ahora no es posible establecer cul es el modelo es ms adecuado, debido a que no se realizaron mediciones de tensiones en el ensayo trapdoor experimental. Se espera poder realizar dicha medicin en las prximas etapas de esta investigacin. La investigacin presentada constituye el primer paso para completar la modelacin del efecto de arco en excavaciones con soporte discontinuo. Las siguientes fases de la investigacin irn orientadas a la comparacin cuantitativa de las tensiones mediante instrumentacin de la experiencia trapdoor, para continuar con la modelacin del problema completo y el estudio del efecto de la cohesin en la redistribucin de tensiones.

    2. AGRADECIMIENTOS: Este trabajo ha sido posible gracias al financiamiento del Fondo Nacional de Desarrollo Cientfico y Tecnolgico (FONDECYT) a travs del proyecto 11100157. 3. REFERENCIAS

    Arias, J. S. (1984). Socalzados de Edificios en la Grava de Santiago. Comparacin entre Esfuerzos de Diseo y los Medidos en Terreno. Universidad de Chile.

    Aubry, D. y Modaressi, A. (1996) GEFDyn: Manuel scientifique. Ecole Centrale Paris, LMSS-Mat.

    Chen, C., & Martin, G. R. (2002). Soil structure interaction for landslide stabilizing piles. Computers and Geotechnics, 29(5), 363-386.

    Eberl, C., Thompson, R., & Gianola, D. (2006). Digital Image Correlation and Tracking with Matlab. Image. Matlab Central. Obtenido de http://www.mathworks.com/

    Handy, R. L., & ASCE, M. (1985). The arch in soil arching. Journal of Geotechnical Engineering, 111(3), 302318. ASCE.

    0 10 20 30 40 50

    0

    10

    20

    x [cm]

    yy [

    kP

    a]

    Compresin vertical en los apoyos, yy

    [kPa]

    Descenso de la compuerta: 1.157 [cm]

    Hujeux

    Mohr Coulomb

    0 10 20 30 40 50

    0

    10

    20

    x [cm]

    yy [

    kP

    a]

    Descenso de la compuerta: 2.3275 [cm]0 10 20 30 40 50

    0

    10

    20

    x [cm]

    yy [

    kP

    a]

    Compresin vertical en los apoyos, yy

    [kPa]

    Descenso de la compuerta: 1.157 [cm]

    Hujeux

    Mohr Coulomb

    0 10 20 30 40 50

    0

    10

    20

    x [cm]

    yy [

    kP

    a]

    Descenso de la compuerta: 2.3275 [cm]

  • Harrop-Williams, K. (1989). Arch in soil arching. Journal of geotechnical engineering, 115(3), 415-419.

    Hujeux, J.-C. (1985). Une loi de comportement pour le chargement cyclique des sols. Gnie Parasismique, Presse ENPC: 287-302 (en francs).

    Sez E. y Ledezma C. (2012) Earthquake-induced pressures on discontinous piling support on Santiago gravel. Soil Dynamics and Earthquake Engineering 41, 72-83.

    Terzaghi, K. (1943). Efecto arco en los suelos ideales. Mecnica Terica de Suelos.