estruturas de concreto ii

Universidade Federal do Pará Instituto de Tecnologia Faculdade de Engenharia Civil

ESTRUTURAS DE CONCRETO II Prof. Ronaldson Carneiro Belém, agosto de 2008

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ - FACULDADE DE ENGENHARIA CIVIL (UFPA / FEC) ESTRUTURAS DE CONCRETO II - PROF. RONALDSON CARNEIRO CARNEIRO versão: março/2008

1

1. INTRODUÇÃO 1. DEFINIÇÃO: Elementos planos (placas), geralmente em posição horizontal, que

apresentam uma dimensão, a espessura, muito menor em relação às demais. As lajes

recebem os carregamentos atuantes e os transferem aos apoios dispostos no

contorno, geralmente vigas, e destes para os pilares até as fundações. Nas estruturas

usuais, as lajes respondem por aproximadamente 50 % do consumo de concreto.

1.2. Tipos de lajes

a. Lajes maciças: De seção homogênea, executadas sobre formas, que as

moldam, e escoramentos, que as sustentam até que adquiram resistência

própria. Recomendadas para vãos até 6 metros de comprimento.

b. Lajes nervuradas: Apresentam nervuras, onde ficam concentradas as

armações, entre as quais podem ser colocados materiais inertes (isopor, tijolo,

etc.) com função de enchimento, o que simplifica a forma (plana) e deixa a

superfície inferior lisa para receber o acabamento. Esse sistema é empregado

em grandes vãos, onde é necessário trabalhar com espessuras elevadas a fim

de atender as flechas e solicitações. A necessidade de espessuras elevadas

inviabiliza o emprego de lajes maciças em razão do consumo de concreto e do

peso próprio elevado, o que não acontece nas nervuradas, pois parte do

concreto é retirado ou substituído por um material mais leve, colocado entre as

nervuras, ficando a armação concentrada em faixas (nervuras) para atender às

solicitações.


2

c. Lajes lisas (cogumelo): São lajes apoiadas diretamente pelos pilares (sem

vigas). Esse tipo de laje apresenta diversas vantagens: facilidade de execução

(forma e armação), redução de pé direito, facilita a passagem de tubulações

(elétrica, hidráulica, ar condicionado, etc.), flexibiliza o arranjo de alvenarias

e/ou divisórias (forro liso), etc. Apesar das inúmeras vantagens, ausência de

vigas torna o sistema mais flexível, comprometendo estabilidade horizontal. A

possibilidade de ruptura por punção e colapso progressivo deve ser

cuidadosamente analisada.

d. Lajes pré-moldadas (treliçadas): Trata-se de lajes nervurada com nervuras

parcialmente pré-moldadas. A armação fica concentrada nas nervuras. Tem a

vantagem da pré-fabricação, reduzindo o uso de formas e escoramentos, com

conseqüente redução de custos e aumento de produtividade.


3

2. CLASSIFICAÇÃO DAS LAJES MACIÇAS

As lajes podem ser classificadas quanto aos seguintes aspectos:

• Quanto ao tipo de apoio:

As lajes podem apresentar os seguintes tipos de apoio (vínculo):

A borda da laje simplesmente apoiada permite a rotação, enquanto o engastado é

impedido de girar. O engastamento depende da rigidez do apoio, ou seja, da rigidez do

elemento onde a laje pretende se engastar. Na realidade, é muito difícil garantir o

engastamento perfeito, sendo mais freqüente o engastamento parcial. Deve-se

destacar que a existência de armação de ligação de uma laje com o apoio,

normalmente, a laje vizinha, NÃO garante o engastamento, é preciso que a rotação

seja impedida, daí a importância da rigidez do apoio. A figura abaixo exemplifica a

representação da vinculação das lajes.

• Quanto à armação De acordo com a atuação dos momentos fletores, em uma ou duas direções, as lajes

podem ser classificadas em armadas em uma ou duas direções.

a. Lajes armadas em uma direção: são aquelas em que os momentos fletores solicitam

predominante apenas uma direção. É o caso das lajes em balanço (sacadas),

daquelas com os dois lados opostos apoiados, sendo os outros dois livres (rampas,

simplesmente apoiado engastado Livre (sem apoio)Tipo de apoio

representação

bordas simplesmente

apoiadasborda

engastada

borda livre

Laje


4

escadas), e das lajes com lados apoiados (simples ou engaste), onde a medida do

maior lado (L) supera o dobro do lado menor (l), como indicado na figura a seguir.

O momento na direção do menor vão é muito superior ao da outra direção quando a

relação entre os vãos supera 2, sendo, dessa forma, considerada como armada em

apenas uma direção. Na direção secundária, paralela a “L”, é colocada uma armação

de distribuição.

a. Lajes armadas em duas direções: são aquelas em que os momentos fletores

solicitam as duas direções. Essa situação ocorre nas lajes retangulares apoiadas nos

quatro lados, em que a relação entre o maior vão (L) e o menor (l) é inferior ou igual a

dois.

São mais econômicas que as lajes

armadas em uma direção, pois o

carregamento da laje solicita as

duas direções, reduzindo a

magnitude dos momentos fletores e

das flechas.

Para a determinação dos vãos para a laje, a Norma Brasileira (NBR 6118) prescreve:

Vão da laje

onde:

L

l

Mfy

Mfx

2>lL

L

l

Mfy

Mfx

L2≤

lL

h

t1 t2lo

l = lo + a1 + a2

a1 = menor vão entre (t1/2) e (0,3h)a2 = menor vão entre (t2/2) e (0,3h)


5

3.0 AÇÕES A CONSIDERAR As ações (carregamentos) podem classificadas segundo o tempo de atuação

nas estruturas, dando origem às ações permanentes e ações variáveis. As ações

permanentes atuam durante toda a vida, pode-se citar: peso próprio, revestimentos,

paredes, etc. As ações variáveis são constituídas pelas cargas de uso da construção,

ou seja, atuam durante certos períodos na estrutura, pode-se citar: móveis, pessoas,

veículos, peso da água (reservatórios), etc. A figura mostrada a seguir ilustra as ações

usuais nas lajes de construções residenciais.

No processo de cálculo das lajes, as ações devem ser consideradas por m2, algumas

são de fato, caso do peso próprio, outras são admitidas assim por simplificação, como

o peso de paredes, o qual deve ser distribuído na área da laje. O cálculo

computacional por elementos finitos já permite a consideração mais precisa da

atuação de ações discretas (paredes) nas lajes.

3.1 COMPOSIÇÃO DO CARREGAMENTO DAS LAJES POR m2

3.1.1 AÇÕES PERMANENTES

São constituídas pelo peso próprio do elemento estrutural e pelo peso de todos

os elementos construtivos e instalações permanentes. Toda carga é de volume

(kN/m3), transformada em peso por m2 (kN/m2) para efeito de cálculo.

a. Peso próprio

Para determinação do peso próprio (pp) por m2, basta multiplicar o volume da laje em

1 m2, pelo peso específico do concreto armado (γ = 25 kN/m3), assim:

pp = 1 m x 1 m x e x 25 = 25. e (kN/m2), com e em metros.

paredes

revestimento teto

pessoas, móveis, veículos, etcrevestimento do piso

paredes

revestimento teto

pessoas, móveis, veículos, etcrevestimento do piso


6

Para cada “cm” na espessura da laje (0,01 m), o peso próprio aumenta de 0,25 kN.

Assim, uma laje com 8 cm de espessura apresenta peso próprio de 2 kN por m2.

Como a espessura ainda não é conhecida nesta fase do cálculo, e o peso próprio é um

carregamento a ser considerado, deve-se fazer um pré-dimensionamento das

espessuras. A norma brasileira (NBR 6118) não apresenta critérios de pré-

dimensionamento, no entanto, para lajes retangulares com bordas apoiadas ou

engastadas, a altura útil (d) pode ser estimada por meio da expressão:

100

)1,05,2( *lnd ⋅−=

sendo n o número de bordas engastadas e l* o menor valor entre l (menor vão) e 0,7L

(maior vão). Ao valor da altura útil deve-se acrescentar o valor correspondente à

metade do diâmetro da armação (estimado) e o valor do cobrimento das armaduras,

como ilustrado na figura abaixo. Assim,

= d +Ø/2 + c

Para efeito de pré-dimensionamento pode-se admitir um diâmetro de 0,5 cm

(Ø = 5.0 mm). O valor do cobrimento (c) é estabelecido na NBR 6118 de acordo com a

classe de agressividade ambiental (CAA) em que a estrutura será construída,

conforme as Tabelas 6.1 e 7.2 da norma, mostradas a seguir.

d

Ø/2c

ed

Ø/2c

e


7L = 400

l= 3

50

L = 400

l= 3

50

Permite ainda a norma que os cobrimentos acima sejam reduzidos de 5 mm, quando

houver um controle rigoroso de execução, o que deve ser explicitado nos desenhos do

projeto. De acordo a NBR 6118, lajes executadas em Belém, ambiente urbano,

classe II, devem ter cobrimento mínimo na face inferior e superior de 25 mm e 15 mm,

respectivamente, enquanto aquelas executadas em Salinópolis, ambiente marinho,

classe III, devem ser executadas com cobrimento de 35 mm e 15 mm.

A NBR 6118 ainda prescreve que devem ser respeitados os seguintes limites mínimos

para a espessura de lajes maciças:

• 5 cm para lajes de cobertura não em balanço;

• 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço;

• 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN;

• 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN;

• 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo.

Como exemplo de pré-dimensionamento, seja a laje de piso indicada na figura a

seguir, a ser executada em ambiente classe, armada com ferros de diâmetro 6 mm.

100)1,05,2( *lnd ⋅−

= , sendo n = 1 e l* o menor valor

entre l = 350 e 0,7 L = 280 cm, ou seja, l* = 280 cm,

logo, cmd 72,6100

280)11,05,2(=

⋅⋅−=

Assim, a espessura da laje:


8

e = d +Ø/2 + c

e = 6,72 + 0,6/2 + 2 = 9,02 cm e = 9 cm

O peso próprio da laje com 9 cm de espessura

pp = 25 . 0,09 = 2,25 kN/m2 ou 225 kgf/ m2

b. Revestimento da superfície inferior (teto)

Para determinação da carga correspondente ao revestimento do forro, deve-se

multiplicar o volume do material aplicado em 1 m2 (1 x 1 x hrt) pelo peso específico do

material ( γrt ), sendo hrt a espessura da camada de revestimento.

= (1 x 1 x hrt) x γrf

De acordo com o tipo de revestimento, pode-se encontrar as seguintes situações:

• argamassa de cimento+areia+cal (γ = 19 kN/m3) com espessura média de 2 cm:

0,02 x 19 = .. ... .0,38 kN/m2

• Gesso espatulado diretamente sobre o concreto: .................... Não considerar

• Placas de gesso (forro falso) penduradas na laje: ...............................0,1 kN/m2

c. Revestimento de piso

É normalmente constituído de camada niveladora e acabamento final.

c.1 Camada niveladora ou camada de regularização em argamassa de cimento+areia

(γ = 21 kN/m3) com espessura média de 4 cm: 0,04 x 21 = ........................... 0,84 kN/m2

c.2 Acabamento:

• Em lajota (e = 0,5 cm) ................................................. 0,005 x 18 = 0,09 kN/m2

• Em taco/tábua corrida (e = 2 cm) ....................................0,02 x 10 = 0,2 kN/m2

• Em mármore/granito (e = 2 cm) ..................................... 0,02 x 28 = 0,56 kN/m2

• Em carpete/paviflex ou similar ............................................... Não considerar

Como resultado final do revestimento de piso deve-se considerar o peso da camada

niveladora somado com o do acabamento. De modo a simplificar a consideração da

hrfhrf

e (m)

γ (kN/m3)

1m

1m

hrt

1m

1m

hrt


9

1,5 m

2,5

m4,5

m

4 m

0,15 m

1,5 m

2,5

m4,5

m

4 m

0,15 m

carga de revestimento nos projetos de prédios residenciais dois valores distintos em

função do acabamento especificado: 1 kN/ m2 para acabamento simples (lajota, tábua

corrida, taco de madeira, carpete) e 1,5 kN/m2 para acabamentos mais sofisticados

que incluam pedras de mármore ou granito)

d. Cargas de parede sobre lajes

O peso das paredes depende da espessura (largura) definida no projeto arquitetônico.

O peso das paredes de tijolos cerâmicos é obtido da soma do peso dos elementos

cerâmicos (tijolo) com o da argamassa de rejunte e de acabamento (reboco). Assim, o

peso de 1 m2 ( 1m de comprimento por 1 m de altura) de paredes acabadas,

executadas com tijolos cerâmicos furados, é dado por:

espessura da parede peso por m2

13 cm .................................... ~ 2 kN/m2

15 cm .................................... ~ 2,3 kN/m2

20 cm .................................... ~ 2,9 kN/m2

Desta forma, para se obter o peso total das paredes sobre determinada laje, deve-se

multiplicar o comprimento total das paredes pela altura, para se determinar a área

total, e o resultado pelo peso por m2, o qual varia com a espessura.

d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em duas direções

Nessas lajes o peso das paredes deve ser uniformemente distribuído na área da

laje, resultando em uma carga por m2. É uma simplificação em razão dos processos

manuais de cálculo, válido para lajes com dimensões reduzidas, como as de prédios

residenciais. Para a laje indicada na figura, a carga proveniente das paredes com 2,8

metros de altura resulta em:

lajedaárea

paredestotalpesopalv =

2/43,145,4

3,28,2)5,15,2( mkNpalv ≅⋅

⋅⋅+=


10

lbparedetotalPesopalv ⋅

=

d.1 Peso das paredes nas lajes armadas em apenas uma direção

Há duas situações quanto à distribuição do peso das paredes, visto que essas

lajes são admitidas como faixas sucessivas de 1 m de largura, como vigas, segundo o

menor vão.

• Parede paralela à menor direção: a peso da parede é distribuído apenas em um

trecho correspondente a 2/3 do menor vão, como indicado na figura, ficando a

laje com carregamentos diferentes.

Nos trechos “a” e “c”:

No trecho “b”:

, sendo b = l⋅32

• Parede paralela à maior dimensão: A parede é considerada como uma carga

concentrada na laje.

No trecho “a””:

No trecho “b”:

Ppar = 1 ml x altura parede x peso 1 m2 parede

Nos dois casos acima, a carga da parede solicita trechos diferentes da laje (a, b e c),

resultando em momentos e, provavelmente, armaduras diferentes na mesma laje. De

l

L

a

b = l⋅32

c

l

L

a

b = l⋅32

c

pp+rev+sc

l

pp = peso própriorev = revestimentosc = carga acidental

pp+rev+sc+palv

l


palv = peso parede

l

L

a

bd1 d2

l

L

a

bd1 d2

pp+rev+sc

l


pp+rev+sc

l

d1 d2

Ppar

pp+rev+sc

l

d1 d2

Ppar pp = peso própriorev = revestimentosc = carga acidental

Ppar = peso parede


11

modo a simplificar o detalhamento e evitar possíveis erros de execução, costuma-se

adotar a maior armação em toda extensão da laje.

Nos balanços (sacadas), o peso do guarda-corpo deve ser considerada como uma

carga concentrada, aplicada na extremidade do balanço.

3.1.2 AÇÕES VARIÁVEIS

São aquelas que atuam na estrutura em função de seu uso, tais como: pessoas,

móveis, veículos, etc. O termo variável refere-se ao tempo de permanência da carga

na estrutura. Os valores mínimos das cargas variáveis dependem da finalidade da

edificação e estão especificados na NBR 6120.

São freqüentes os valores:

• 1,5 kN/m2 : edifícios residenciais (salas, dormitórios, cozinha e banheiros);

• 2 kN/m2 : escritórios

• 0,5 kN/m2 : forro / terraço sem acesso ao público;

• 3 kN/m2 : garagem / estacionamento para veículos de passageiros com carga

máxima de 25 kN por veículo;

A NBR 6120 ainda exige que deve-se considerar a atuação de uma carga horizontal

de 0,8 kN e outra vertical de 2 kN, por metro linear, ao longo de parapeitos e balcões,

como ilustrado na figura a segui.

Cabe citar a situação de estruturas com cargas variáveis (sobrecargas) elevadas, caso

de depósitos, supermercados, etc., onde deve-se analisar os resultados da aplicação

da carga variável em lajes distintas de modo a se obter os maiores esforços, visto que

a aplicação localizada de valores elevados de carga pode alterar a condição de

engastamento da laje, ou seja, pode resultar na rotação (apoio simples) na borda da

laje, admitida inicialmente engastada.

0,8 kN

2 kN

parapeito (guarda-corpo)

carga variável elevadacarga variável elevada


12

4. ESFORÇOS SOLICITANTES

O dimensionamento das lajes é realizado a partir dos momentos fletores, das forças

cortantes e dos momentos de torção. As lajes são consideradas como faixas

sucessivas de 1 m de largura, dispostas em uma ou duas direções, onde atuam os

esforços solicitantes. O valor determinado para a faixa de laje é considerado o mesmo

em toda sua extensão. Os esforços dependem do carregamento, das vinculações e

dos vãos da laje.

4.1 Momentos fletores

4.1.1 Nas lajes armadas em uma direção ( L / l >2 ) a. Apoiadas nos quatro lados ( L / l >2 )

O cálculo é análogo ao de uma viga de base igual a 1 m e altura correspondente à

espessura da laje. Os seguintes casos podem ser encontrados:

b. Em balanço

A laje fica engastada em apenas um lado, considera-se como uma viga em balanço

p(g+q)

l

P(peso gc +2 kN)

0,8.h

0,8 kN(NBR 6118)

2 kN (NBR 6118)

h )8,02

(2

hlPlpM f ⋅+⋅+⋅

−≅

)( PlpV +⋅≅

guarda corpo (gc)

100

l

L

8

2lp ⋅

p

l

p

8

2pl−

l

p

12

2pl−

24

2pl

2,14

2pl

100

l

L

8

2lp ⋅

p

l

p

8

2pl−

l

p

12

2pl−

24

2pl

2,14

2pl


13

4.1.2 Nas lajes armadas em duas direções ( L / l ≤ 2 ) Para determinação dos esforços nas lajes armadas nas duas direções há dois

processos de cálculo: o elástico e o plástico.

O cálculo no regime plástico permite a determinação do momento fletor último a

partir da configuração de ruína da laje, definida por “linhas de ruptura, charneiras ou

rótulas plásticas”, de acordo com a provável distribuição das fissuras no momento da

ruptura, como ilustrada na figura a seguir.

As “linhas de ruptura” dividem a laje em triângulos e trapézios, ou seja, painéis

rígidos que giram em torno das rótulas plásticas. A carga última pode ser obtida por

meio do princípio dos trabalhos virtuais ou equações de equilíbrio. A verificação aos

ELS (estado limite de serviço) deve ser realizada por processo elástico de cálculo.

O cálculo em regime elástico (cargas de serviço) pode ser realizado a partir da

equação diferencial fundamental da teoria das placas, denominada equação de

Lagrange, admitindo material homogêneo, isótropo, elástico e linear. A equação

relaciona o deslocamento elástico, z, da placa com carga uniforme, p, normal à

superfície, como segue:

Dp

yz

yxz

xz

=∂∂

+∂∂∂

+∂∂

4

4

22

4

4

4 2

sendo:

)1(12 2

3

ν−=

EhD = é a rigidez à flexão da placa;

E é módulo de elasticidade do material;

h é a espessura da placa;

hy

x

z

p

hy

x

z

p

Linhas de ruptura(charneiras plásticas)


14

ν é o coeficiente de Poisson do material.

Os momentos fletores nas direções x e y da placa podem ser determinados por:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅−= 2

2

2

2

yz

xzDM x ν e ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

⋅−= 2

2

2

2

xz

yzDM y ν

A solução das equações diferenciais é normalmente obtida por meio de

processos numéricos (diferenças finitas, elementos finitos, etc.) ou integração por

séries trigonométricas, dos quais resultaram tabelas de uso prático, como as de

Czerny, Bares, Marcus, etc.

O chamado Processo de Marcus é um dos mais empregados na determinação

dos momentos fletores em lajes retangulares. A obtenção dos momentos fletores é

realizada com base na teoria das grelhas ou quinhões de carga, corrigidos por

coeficientes obtidos da solução da equação de Lagrange. A teoria das grelhas consiste

em dividir a laje em faixas de largura unitária, ortogonais entre si, paralelas aos bordos,

onde a carga total da laje, p, é dividida em duas parcelas, px e py, chamadas de

quinhões de carga, função da relação entre os vãos e da vinculação da laje, sendo

px + py = p. As faixas, admitidas como vigas independentes submetidas aos respectivos

quinhões de carga, produzem esforços mais elevados por não considerar a ligação

com as outras faixas, daí a necessidade de correção por meio de coeficientes

resultantes da equação de Lagrange. O cálculo dos momentos fletores em lajes

retangulares, apoiadas em todo seu contorno, pelo Processo de Marcus pode ser

realizado por meio de tabelas conforme o roteiro a seguir:

1. Observa-se, pelo esquema estático, o tipo de laje a ser calculada. Há seis situações

possíveis:

2. Calcula-se a relação xy ll=λ , onde xl é a direção que contém o maior número

de engastes. No caso de igualdade no número de engastes, xl será o menor vão:

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

lx l x lx l x l xlx l x lx l x l x


15

Diagrama compatibilizado

L1 L2

XL1 XL2

}Xc

XL1 Xc

XL2

1LM∆ 2LM∆Diagrama compatibilizado

L1 L2

XL1 XL2

}XcXc

XL1 Xc

XL2

1LM∆ 2LM∆

3. Com a definição do tipo de laje e do valor de λ , obtém-se na tabela de Marcus os

coeficientes m e n para cálculo dos momentos positivos e negativos, respectivamente;

4. Os momentos são então obtidos pelas expressões:

Momentos positivos Momentos negativos

x

xx m

plM

2

= x

xx n

plX

2

−=

y

xy m

plM

2

= y

xy n

plX

2

−=

Observar que o numerador das expressões é sempre o mesmo, 2xpl , nas duas

direções.

4.1.3 Compatibilização dos momentos O cálculo dos momentos fletores indicado nos itens anteriores é realizado como lajes

isoladas. No trabalho conjunto, as lajes admitidas contínuas apresentam,

normalmente, sobre um mesmo apoio, momentos de engastamento diferentes face ao

cálculo isolado. Dessa forma, entre lajes contínuas, o momento negativo deve ter valor

único, o que requer a compatibilização (uniformização) dos momentos das lajes

engastadas. O momento compatibilizado pode ser obtido por:

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⋅

≥

2

)(8,0

21

21

LL

LL

c XXXeXentremaiordo

X

Como conseqüência da compatibilização,

convém corrigir os momentos positivos,

aumentando-o ou reduzindo-o, conforme

for o caso, de um valor correspondente a

metade da diferença entre o momento

compatibilizado, Xc, e o momento negativo

da laje calculada isoladamente, XL1 ou XL2,

ou seja, ∆ML1=(XL1 – Xc)/2 para L1 e ∆ML2=(Xc – XL2)/2 para L2.

ly

l x

Xy

X xM

x

My

ly

l x

Xy

X xM

x

My


16

Coeficientes para cálculo dos momentos pelo Processo de Marcus


17

5. DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO

Calculados os momentos fletores, pode-se realizar o dimensionamento das

armaduras de flexão. O dimensionamento é realizado admitindo-se as faixas de laje

como vigas de base 1 m e altura h igual à espessura da laje. Em geral, o

dimensionamento conduz a seções subarmadas com armadura simples. A armadura

dupla deve ser evitada em virtude da altura reduzida o que dificulta a execução. Para o

cálculo das armaduras, além da altura e momento fletor, é preciso definir a altura útil

(d = h – d’), a resistência característica à compressão do concreto (fck) e o aço a ser

empregado (CA 50 ou CA 60). As armaduras podem ser obtidas por:

)/( 2 mcmfdk

MAydz

Sds =

sendo:

kSd MM ⋅= 4,1 , momento solicitante de cálculo;

d , a altura útil;

fyd , valor de cálculo da resistência ao escoamento;

zk , coeficiente obtido na Tabela 5.1 a partir do coeficiente mdk obtido por:

cd

Sdmd fd

Mk 2=

onde

cdf é o valor de cálculo da resistência à compressão do concreto.

Com o objetivo de melhorar a dutilidade nas regiões de apoio ou ligações com outros

elementos estruturais, a NBR 6118 exige que se observe os seguintes limites:

5,0≤=dxkx para concretos com 35≤ckf MPa

4,0≤=dxkx para concretos com 35>ckf MPa


18

Tabela 5.1 – coeficientes adimensionais para o dimensionamento à flexão*

*do livro “ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO – FUNDAMENTOS DE PROJETO,

DIMENSIONAMENTO E VERIFICAÇÃO” – João Carlos Teatini de Souza Clímaco


19

O ELU é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal

pertencer a um dos domínios definidos na figura mostrada a seguir.

sc

cx d

xk

εεε+

==

Descrição dos domínios de estado limite último:

kx = 0,259

kx = 0,585 kx = 0,628 CA 60 CA 50


20

Após dimensionamento à flexão, a escolha das armaduras (bitola e

espaçamento) deve atender as prescrições da NBR 6118/2003 relacionadas a seguir:

a. Armadura mínima: Destinada a melhorar o desempenho e dutilidade à flexão, assim como controlar a

fissuração, a armadura mínima em lajes deve ser obtida por

hbA wmíns ⋅⋅= min, ρ (cm2)

sendo cmbw 100= , h em cm e mínρ obtido na Tabela abaixo

Tabela 5.2 – Taxa de armadura mínima em lajes

20 25 30 35 40 45 50

Armaduras negativas

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

Armadura positiva de lajes armadas em duas direção

0,1 0,1 0,116 0,135 0,154 0,174 0,193

f ck (MPa)Armaduras

ρ mín 0,15 0,15 0,173 0,201 0,23 0,259 0,288

A armadura secundaria (distribuição) de lajes, colocada na direção paralela ao maior

vão, deve ser obtida por

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅≥

míns

prins

dists

Amcm

A

A

,

2

,

,

5,0/9,0

5/

b. Bitola máxima ( máxφ )

8h

máx ≤φ , h é a espessura da laje

c. Espaçamento máximo das barras ( s )

Na região de maiores momentos fletores, a armadura principal deve apresentar

espaçamento máximo de 2h ou 20 cm, ou seja, ⎩⎨⎧

≤cm

hs

202

.

A armadura secundária deve apresentar espaçamento de no máximo 33 cm, o que

corresponde a aproximadamente 3 barras por cada metro da laje na direção

secundária.


21

6. DETALHAMENTO DAS ARMADURAS DE LAJES O detalhamento das armaduras das lajes é realizado em planta, utilizando como

base a planta de formas da estrutura do pavimento. Na planta de armadura de lajes

devem ser desenhadas apenas as barras representativas da armadura de cada laje

nas duas direções, com indicação do número de barras destinadas àquela laje,

diâmetro, espaçamento entre barras e comprimento unitário. O desenho deve indicar

as armaduras positivas (junto à face inferior) e negativas (junto à face superior), no

entanto, quando houver superposição de armaduras que dificulte a interpretação

deve-se realizar o detalhamento dessas armaduras em plantas diferentes. Costuma-se

representar as barras da armadura positiva com linhas cheias e as da negativa com

linhas tracejadas de modo a facilitar a visualização do detalhamento. Por último, na

planta de detalhamento das armaduras devem constar: a resistência característica do

concreto, fck, o tipo de aço (CA 60 e/ou CA 50), os quadros com discriminação das

barras e resumo do aço (quantitativos), e o cobrimento a ser adotado na execução do

projeto.

6.1 Armadura inferior (positiva) Deve ficar junto à face inferior da laje com a finalidade de atender os momentos

fletores positivos. As armaduras geralmente se estendem de apoio a apoio,

penetrando no mínimo 10Ø (10 diâmetros da barra). Na prática a armadura se estende

até próximo à face externa da viga de apoio da laje, respeitando-se o cobrimento

mínimo normativo. A Figura 6.1 mostra o detalhamento típico de armaduras positivas

em lajes.

A bitola e espaçamento são

obtidos no dimensionamento. A

quantidade é obtida dividindo-se o

vão livre (interno), na direção

transversal da armadura, pelo

espaçamento, subtraindo-se uma

unidade. O comprimento é obtido pela

soma do vão livre, na direção da

armadura, com a largura dos apoios,

subtraindo-se o cobrimento normativo

nas duas extremidades.

Figura 6.1 – Armadura positiva

32 Ø6.3 c14 - 405

460

38015 15

15

23 Ø

5.0

c16

-485

Quantidade

Diâmetro

Espaçamento

Comprimento

vão livre

32 Ø6.3 c14 - 405

460

38015 15

15

23 Ø

5.0

c16

-485

Quantidade

Diâmetro

Espaçamento

Comprimento

vão livre


22

Alguma economia pode ser obtida variando-se alternadamente o comprimento

das barras, em decorrência da redução dos momentos fletores na região próxima dos

apoios, ou seja, fora da região dos maiores momentos. O comprimento das barras,

denominadas de ferros contra-fiados, depende da vinculação da laje. Deve-se atentar

para o espaçamento máximo nessa região em que as barras ficam com o dobro do

valor na região dos maiores momentos, em face do valor máximo de 33 cm

estabelecido na NBR 6118. Assim, o detalhamento com ferros contra-fiados só pode

ser realizado quando o espaçamento entre barras, na região dos maiores momentos,

for de até 16,5 cm. A Figura 6.2 exemplifica o detalhamento com ferros contra-fiados.

Figura 6.2 – Detalhamento da armadura positiva com ferros contra-fiados

6.2 Armadura superior (negativa) 6.2.1 Armadura negativa entre lajes totalmente apoiadas (nos quatro lados) Deve ficar junto à face superior da laje com o objetivo de atender os momentos

negativos. Quando não se determinar o diagrama exato de momentos negativos, as

barras da armadura principal sobre os apoios deverão se estender, para cada lado, de

um valor correspondente a 1/4 do maior entre os menores vãos das lajes contíguas,

como exemplifica a Figura 6.3.

A bitola e espaçamento são determinados pelo dimensionamento. A quantidade

é determinada da mesma forma citada anteriormente e o comprimento total

corresponde à soma do comprimento reto com os dos ganchos nas extremidades. De

modo a garantir o posicionamento das barras, devem ser colocadas barras

complementares na direção transversal de modo a proporcionar a sustentação

desejada. Convém ainda empregar dispositivos de apoio tais como caranguejos ou

blocos de argamassa.

32 Ø6.3 c14 - 34546

0

38015 15

1515

23 Ø

5.0

c16

-415

Quantidade

Diâmetro

Espaçamento

Comprimento

vão livre

COMPRIMENTO DOS FERROS CONTRA-FIADOS

~ 0,85 . (vão livre + largura apoios)



VINCULAÇÃO DA LAJE

32 Ø6.3 c14 - 34546

0

38015 15

1515

23 Ø

5.0

c16

-415

Quantidade

Diâmetro

Espaçamento

Comprimento

vão livre

COMPRIMENTO DOS FERROS CONTRA-FIADOS




VINCULAÇÃO DA LAJE


23

Figura 6.3 – Detalhamento de armadura superior (negativa)

6.2.1 Armadura negativa em balanços

• Com continuidade

Nas lajes em balanço com continuidade as barras devem ser estender na laje

contígua 1,5 vezes o comprimento do balanço.

De modo a garantir o

posicionamento das barras

da armadura principal,

devem ser dispostas barras

complementares na direção

transversal como indicado

anteriormente.

Figura 6.5 – Detalhamento da armadura no balanço com continuidade

• Sem continuidade

A armadura deve ficar ancorada na viga, é o caso de pequenas marquises de

proteção. Deve-se destacar a necessidade de dimensionar a viga à torção.

Figura 6.6 – Detalhamento da armadura no balanço sem continuidade

L1 L2

l=120

l1,5 l300

h = 10 h = 8

.. Ø8.0 c12 – 31257

h – 3

a = 2 ,5 l = 300 cm

cobrimento

armadura de amarração

.. Ø

5.0

c30

–…

L1 L2

l=120

l1,5 l300

h = 10 h = 8

.. Ø8.0 c12 – 31257

h – 3

a = 2 ,5 l = 300 cm

cobrimento


.. Ø

5.0

c30

–…

.. Ø6.3 c15 – …h – 3

VigaLaje


.. Ø6.3 c15 – …h – 3

VigaLaje


l 2=40

0

l2 é o maior entre os menores vãos

l1=500 l3=300

L1L2

menor vão de L1 menor vão de L2

ou200

aa/2

25 Ø8.0 c15 – 21257

l1 > l2 > l3

a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm

h – 3 h = 10 h = 8


.. Ø

5.0

c30

–…

l2 / 4 l2 / 4l 2=

400

l2 é o maior entre os menores vãos

l1=500 l3=300

L1L2

menor vão de L1 menor vão de L2

ou200

aa/2

25 Ø8.0 c15 – 21257

l1 > l2 > l3

a = 2 .( l2 / 4) = 2 . (400/4) = 200 cm

h – 3 h = 10 h = 8


.. Ø

5.0

c30

–…

l2 / 4 l2 / 4


24

Lados simplesmente apoiados

Fissuras de canto

Lados simplesmente apoiados

Fissuras de canto

6.3 Armaduras complementares: de canto e de bordo Além dos momentos fletores, surge na região dos cantos de lajes simplesmente

apoiadas um outro esforço, denominado momento volvente (torsor), produzido pela

tendência de elevação dos cantos da laje, do qual pode resultar em fissuras “de canto”

na face superior, orientadas na direção normal à bissetriz, como indica a Figura 6.7.

Figura 6.7 – Fissuras resultantes do momento volvente

Em bordos simplesmente apoiados de lajes, podem surgir fissuras paralelas às

vigas em razão da articulação da ligação laje-viga. Essas fissuras, indicadas na

Figura 6.8 estão diretamente relacionadas à rigidez da laje (vão e espessura) e à

magnitude do carregamento atuante.

Figura 6.8 – Fissuras de canto e de bordo

lados simplesmenteapoiados

fissuras de canto

fissuras de bordo

A A

CORTE AA

fissuras de bordo

lados simplesmenteapoiados

fissuras de canto

fissuras de bordo

A A

CORTE AA

fissuras de bordo


25

Em geral, os momentos nos cantos e bordos das lajes simplesmente apoiados

são pequenos em comparação aos momentos fletores calculados anteriormente,

podendo ser dispensado o cálculo se forem adotadas armaduras conforme esquema

mostrado na Figura 6.9. As armaduras devem ser colocadas junto à face superior da

laje.

Figura 6.9 – Armaduras de canto e de bordo

Cabe destacar que a armadura de canto só deve ser colocada nos cantos

formados pelo encontro de dois lados simplesmente apoiados. A armadura de bordo

deve ser interrompida ao chegar à área destinada à armadura de canto.

h-3

As ≥ 0,75 · As+

As ≥ 0,25 · As+

h-315ØA s≥

0,25

·A s

+

h-3

15Ø

A sbo

rdo

As canto

h-3 bw+0,2 l

bw

As+ : maior armadura positiva da laje

l : menor vão

b w0,

2 l

0,2 l

bw+0,2 l

h-3

As ≥ 0,75 · As+

As ≥ 0,25 · As+

h-315ØA s≥

0,25

·A s

+

h-3

15Ø

A sbo

rdo

As canto

h-3 bw+0,2 l

bw

As+ : maior armadura positiva da laje

l : menor vão

b w0,

2 l

0,2 l

bw+0,2 l


26

7. FORÇAS CORTANTES EM LAJES. REAÇÕES DE APOIO 7.1 Reações de apoio

Em geral, nas lajes há interesse apenas nos cortantes máximos, ou seja, nas

reações de apoio. Para o cálculo das reações, admite-se a divisão da laje em painéis

rígidos, triângulos e trapézios, formados a partir de linhas de ruptura partindo dos

vértices da laje, sendo a carga referente a cada painel transferida uniformemente ao

apoio (viga) situado na base (bordo da laje) do painel, vide Figura 7.1. Os triângulos e

trapézios são obtidos traçando-se, a partir dos vértices, retas inclinadas de:

a. 45o – entre dois apoios do mesmo tipo (ambos apoios simples ou

engastes);

b. 60o – a partir do apoio engastado quando o outro for simplesmente

apoiado;

c. 90o – a partir do apoio quando o bordo vizinho for livre.

Sendo “p” a carga na laje por m2, “A” as

áreas formadas pelas linhas de ruptura,

“L” e “l” os vãos da laje, as reações nas

vigas de apoio (V1, V2 e V3) podem ser

obtidas por:

RV1 = p . A1 / L

RV2 = p . A2 / L

RV3 = p . A3 / l

Figura 7.1 – Configuração das linhas de ruptura para obtenção das reações de apoio

As expressões para o cálculo das reações de apoio (cortantes máximos) de lajes estão

indicadas na Tabela 7.1, onde as reações “R” são aquelas obtidas nos lados maiores

da laje (de vão “L”) enquanto “r” são as dos lados menores (de vão “l”). Os índices “a”

e “e” representam a vinculação da laje, apoiado

ou engastado. Assim, a indicação das reações de

apoio, mostradas na Figura 7.2, ficaria como:

Re = reação da laje no lado maior engastado;

Ra = reação da laje no lado maior apoiado;

ra = reação da laje no lado menor apoiado.

Figura 7.2 – Indicação das reações de apoio

45o

60o

V1

V2

V3 A2

A1

A 3

L

l

45o

60o

V1

V2

V3 A2A2

A1

A 3

L

l

Re

Ra

r a

Re

Ra

r a


27

Para as lajes armadas em uma só direção, as reações devem ser obtidas como em

vigas considerando a base unitária. Para as lajes retangulares com relação entre vãos

superior a 2, portanto, armada em apenas uma direção, costuma-se considerar

calcular as reações apenas para os apoios nos lados maiores, no entanto, os lados

menores recebem uma contribuição (r), que pode ser obtida com as expressões da

Tabela 7.1. Aplicação: Determine as reações de apoio e o cortante máximo da laje L5, com os dados

mostrados a seguir:

Carregamento:

Peso próprio ( e= 9 cm): 2,25

Revestimento: 1,00

Carga variável: 1,50

Carga total (p) : 4,75 kN/m2

Cálculo das reações de apoio (caso 3 na Tabela 7.1):

ra mkNlp /04,34

5,375,4732,04

732,0 =⋅

⋅=⋅

⋅= ;

re ⋅= 732,1 ra mkN /27,504,3732,1 =⋅= ;

Ra= ra mkNLl /43,3)

45,32(05,32 =−⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅ ;

Re = ⋅732,1 Ra mkN /94,543,3732,1 =⋅=

O cortante máximo corresponde à reação de apoio máxima na laje, de 5,94 kN/m. A

força cortante solicitante de cálculo é obtida por

VSd = 1,4 Vk = 1,4 · 5,94 VSd = 8,32 kN / m

L = 4 m

l=3,

5 m

L5

L = 4 m

l=3,

5 m

L5


28

Tabela 7.1 – Expressões para cálculo das reações da laje

Notação:

p = carga por m2

l = menor vão da laje

L = maior vão da laje

ra = reação no menor lado da laje apoiado

re = reação no menor lado da laje engastado

Ra = reação no maior lado da laje apoiado

Re = reação no maior lado da laje engastado


29

7.2 Força cortante em lajes (bw ≥ 5d) Segundo o item 19.4.1 da NBR 6118, as lajes maciças ou nervuradas podem

prescindir de armação transversal para atender aos esforços de tração oriundos da

força cortante quando seu valor de cálculo (VSd) atender a seguinte expressão:

1RdSd VV ≤

A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por:

( )[ ] dbkV wcpRdRd ⋅⋅⋅++⋅⋅= σρτ 15,0402,1 11

onde:

- ctdRd f⋅= 25,0τ , tensão resistente de cálculo do concreto ao cisalhamento, em MPa;

- cctkctd ff γinf,= , valor de cálculo da resistência à tração do concreto, em MPa;

- 3 2inf, 21,0 ckctk ff ⋅= ; resistência à tração do concreto, valor inferior em MPa;

- dbA ws ⋅= 11ρ , taxa de armação longitudinal, não maior que 0,02. 1sA é a área da

armadura de tração que se estende até não menos que necbld ,+ além da seção

considerada, com necbl , (comprimento necessário de ancoragem) definido no

item 9.4.2.5 da NBR 6118 e Figura 7.3;

Figura 7.3 – Comprimento de ancoragem necessário (Figura 19.1 da NBR 6118)

- d é a altura útil da laje, em metros;

- wb = 1 m, largura unitária da laje, em metros;

- cSdcp AN=σ , tensão normal no concreto sendo SdN a força longitudinal na seção

devida à protensão ou carregamento (compressão positiva), em MPa;

- k é um coeficiente que tem os seguintes valores:

= 1, para elementos onde 50 % da armadura não chega até o apoio;

= d−6,1 , não menor que 1, com d em metros.


30

Aplicação:

Determine o cortante máximo para se evitar armação transversal em uma laje com os

seguintes dados:

h = 9 cm = 0,09 m

d’=2,5 cm = 0,025 m;

d = h – d’ = 0,09 – 0,025 = 0,065 m;

hbAA wmínss ⋅== %1,0, (armadura mínima em lajes armadas em duas direções).

O cortante máximo corresponde ao valor do cortante resistente de projeto, 1RdV , dado

por:

MPafff cckcctkctdRd 32,0)4,1/2521,0(25,0)/21,0(25,0)(25,025,0 3 23 2inf, =⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅= γγτ

535,1065,06,1 =−=k

00138,0065,0

09,0001,0001,011 =

⋅=

⋅⋅⋅

=⋅=db

hbdbA

w

wwsρ

( )[ ] kNMNVRd 1,400401,0065,01015,000138,0402,1535,132,01 ==⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅=

kNVRd 1,401 = , força cortante resistente de cálculo da laje.

Para que seja dispensada armação transversal na laje em questão, o cortante deve ser

menor ou igual a 40,1 kN/m. Geralmente, o esforço cortante solicitante é bem inferior

ao valor resistente, logo, o cisalhamento em lajes retangulares não chega a preocupar,

no entanto, deve-se atentar para situações de carregamentos elevados, como o de

reservatórios, onde são observados cortantes com valores significativos. Nessa

situação, quando for constatada a necessidade de armação transversal (VSd > VRd1),

costuma-se aumentar a espessura da laje, de modo a aumentar o valor resistente de

cálculo, até que seja atendida o critério de dispensa da armação transversal, face a

dificuldade de execução dessa armação. Atenção especial deve ser dada às lajes lisas

(cogumelo) em razão das tensões elevadas de cisalhamento, e, por conseguinte, da

possibilidade de ruptura por punção, o que pode comprometer a estabilidade da

estrutura (colapso progressivo).

( )[ ] dbkV wcpRdRd ⋅⋅⋅++⋅⋅= σρτ 15,0402,1 11

= 0 (sem protensão)


31

8. VERIFICAÇÕES AOS ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO (ELS) Estão relacionadas à funcionalidade, aparência e durabilidade das estruturas

em condições normais de utilização. Em geral, as principais verificações quanto aos

ELS devem observar os seguintes aspectos:

• flechas (ELS-DEF): devem ser limitadas a fim de evitar prejuízos à

aparência da estrutura, dos elementos da edificação, ou ao uso da

construção;

• fissuração excessiva (ELS-W): devem ser limitadas de modo a evitar

prejuízos à aparência, durabilidade e estanqueidade do elemento

estrutural (reservatórios);

8.1 Verificação do Estado limite de Deformação Excessiva (ELS-DEF) - flechas

Considera-se atendido ao estado limite de deformação excessiva quando o

deslocamento do elemento estrutural (viga/laje) não ultrapassar os valores limites

estabelecidos na NBR 6118.

8.1.1 Deslocamentos limites

Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em

serviço do estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF) da estrutura. A

NBR 6118 estabelece os valores limites, mostrados na Tabela 8.1, com base em

quatro grupos básicos relacionados a seguir:

a. aceitabilidade sensorial: caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito

visual desagradável (vibrações em pisos, prejuízos à aparência);

b. efeitos específicos: caracterizado por deslocamentos que limitem a utilização

adequada da construção (quadra de ginásios, pistas de boliche, drenagem de

coberturas e varandas, uso de equipamentos sensíveis em laboratórios);

c. efeitos em elementos não estruturais: caracterizados por deslocamentos que

acarretem em prejuízos ou mau funcionamento de elementos ligados à estrutura

(esquadrias: janelas e portas, revestimentos, paredes, etc.);

d. efeitos em elementos estruturais: caracterizados por deslocamentos que

possam afetar o comportamento do elemento estrutural, afastando-o das

hipóteses adotadas no cálculo (introdução de esforços não previstos no modelo

estrutural).


32

Os deslocamentos limites são normalmente estabelecidos com base no vão do

elemento estrutural (viga/laje) e nas características do elemento estrutural.

Tabela 8.1 – Deslocamentos limites (NBR 6118/2003)


33

8.1.2 Cálculo dos deslocamentos (flechas) 8.1.2.1 Flecha inicial (imediata)

O cálculo dos deslocamentos deve ser realizado considerando-se a rigidez

efetiva das seções e a ação da fluência do concreto. Deve-se destacar que o

carregamento a ser utilizado (permanente e variável) depende da situação em que se

deseja verificar o deslocamento e da combinação de ações.

Para as lajes armadas em uma direção, a obtenção das flechas é realizada

como vigas de base unitária. Nas lajes retangulares armadas em duas direções, com

apoios nos quatro lados, a flecha inicial (sem a consideração da fluência) pode ser

obtida pela seguinte expressão:

IElpa

csi ⋅

⋅⋅=

4*

000.12β

(cm)

onde:

β é o coeficiente obtido na Tabela 8.3 em função de lL=λ ;

l é o menor vão, em m;

csE = ckf760.4 , é o módulo de elasticidade secante do concreto, ckf em MPa;

*p = qg ⋅+ 2ψ , é o valor do carregamento para combinação quase-permanente, em

kN/m2, sendo:

2ψ = 0,3, para edifícios residenciais

2ψ = 0,4, para edifícios comerciais

2ψ = 0,6, para bibliotecas, arquivos, oficinas e garagens

I é o momento de inércia da seção, em m4. No caso de seção não fissurada

)( ra MM < pode-se utilizar o momento de inércia da seção bruta de concreto,

123hbI wc = . Quando a seção estiver fissurada )( ra MM ≥ , pode-se empregar um

momento de inércia equivalente obtido por

IIa

rc

a

req I

MM

IMM

I⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

33

1

sendo:

aM é o momento fletor na seção crítica do vão considerado, momento máximo no vão

para vigas biapoiadas ou contínuas e momento no apoio para balanços;

rM é o momento de fissuração do elemento estrutural;

III é o momento de inércia da seção fissurada de concreto no estádio II


34

O momento de fissuração ( rM ) pode ser calculado com a seguinte expressão

aproximada (NBR 6118)

t

cctr y

IfM

α=

onde:

α é o fator que correlaciona aproximadamente a resistência à tração na flexão com a

resistência à tração direta, sendo

α = 1,2 para seções T ou duplo T

α = 1,5 para seções retangulares

ctf é a resistência à tração direta do concreto, igual a 3 2, 3,0 ckmct ff = no estado limite

de deformação excessiva;

cI é o momento de inércia da seção bruta de concreto= 123hbw ;

ty é a distância do centro de gravidade da seção à fibra mais tracionada.

A momento de inércia da seção fissurada )( III para seções retangulares sem

armadura de compressão pode ser obtida por

23

)(3

xdAxb

I sew

II −+= α

onde:

csse EE=α é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e o módulo secante

do concreto;

d é a altura útil;

sA é a área de aço do elemento estrutural;

x é a posição da linha neutra da seção fissurada, obtida por

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−=

se

w

w

se

Adb

bA

xα

α 211

8.1.2.2 Flecha diferida em decorrência da fluência do concreto A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função

da fluência do concreto, pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação

da flecha imediata pelo fator fα dado pela expressão:

'501 ρξα

+∆

=f


35

onde:

dbA

w

s'

'=ρ ;

'sA é a armadura de compressão;

ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na Tabela 8.2

ou ser calculado pelas seguintes expressões:

)()( ott ξξξ −=∆

32,0)996,0(68,0)( tt t ⋅⋅=ξ , para t ≤ 70 meses

2)( =tξ , para t > 70 meses

Tabela 8.2 – Valores de ξ em função do tempo (NBR 6118)

onde:

t é o tempo, em meses, quando se deseja calcular o valor da flecha diferida;

to é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração.

Cabe destacar que a flecha diferida só acontece para cargas de longa duração.

Como as cargas de longa duração (peso próprio, carga de revestimento, paredes, etc.)

são aplicadas em tempos diversos, pode-se utilizar o princípio das superposição de

efeitos, aplicando-se diferentes coeficientes ξ , de acordo com o tempo de atuação do

carregamento.

8.1.2.3 Flecha total A flecha total, imediata e diferida, pode ser obtida por:

figiqigfigitotal aaaaaa αα ⋅++=⋅+=

iqfigtotal aaa ++⋅= )1( α

Pode-se realizar o cálculo da flecha total utilizando-se como carregamento, *totalp , com a parcela de carga permanente ponderado pelo coeficiente fα :

IElp

acs

totaltotal ⋅

⋅⋅=

4*

000.12β

, sendo a carga qgp ftotal ⋅++⋅= 2* )1( ψα


36

Tabela 8.3 – Coeficiente β para cálculo das flechas em lajes


37

{t

cctr y

IfM α=

Aplicação: Para a laje mostrada abaixo, com os momentos fletores em kNm, verificar o estado

limite último de deformação excessiva (ELS-DEF), admitindo-se retirada do

escoramento com 15 dias (0,5 mês) e aplicação do revestimento após 1 mês contado

da concretagem da laje:

Carregamento: Tempo de aplicação

Peso próprio (h= 9 cm): 2,25 (g1) tog1 = 0,5 mês

Revestimento: 1,00 (g2) tog2 = 1 mês

Carga variável: 1,50 (q)

Carga total (p) : 4,75 kN/m2

Ma = 1,98 kN.m (momento máximo no vão)

fck = 25 MPa d’ = 2,5 cm d = 6,5 cm

A flecha total deve ser calculada por: IElp

acs

totaltotal ⋅

⋅⋅=

4*

000.12β

- módulo de elasticidade secante do concreto

25760.4760.4 == ckcs fE MPaEcs 800.23=

- momento de inércia: Ic (seção bruta: ra MM < ) ou Ieq (seção fissurada: ra MM ≥ ) ?

momento de fissuração ( rM ) :

α = 1,5 (seção retangular)

23 23 2, /565.2565,2253,03,0 mkNMPafff ckmctct ==⋅===

4533 10075,61209,0112 mhbI wc−⋅=⋅=⋅=

mhyt 045,02/09,02 ===

045,0

10075,6565.25,1 5−⋅⋅⋅==

t

cctr y

IfM

α mkNM r ⋅= 19,5 mkNM a ⋅=> 98,1

deve-se empregar o momento de inércia da seção bruta de concreto:

4510075,6 mII c−⋅==

- coeficiente β (Tabela 8.3) 15,15,34 ≅== lLλ , como nos apoios os

momentos são maiores que os de fissuração, pode-se adotar para o coeficiente β , a

média entre o tipo 1 (simplesmente apoiado) e o tipo 3 (2 bordas engastadas)

L = 4 m

l=3,

5 m

L5

L = 4 m

l=3,

5 m

L5

-5,52 1,8

-5,6

2 L5


38

tipo 1: 20,61 =β tipo 3: 18,33 =β 69,42)( 21 =+= βββ

- carregamento:

∑ +⋅+⋅= )1(2*

ftotal gqp αψ

3,02 =ψ edifício residencial

'501 ρξα

+∆

=f , como não há armadura de compressão 0' =ρ , logo, ξα ∆=f . O

coeficiente ξ é função da data de aplicação do carregamento (meses), assim:

para 1g em 5,010 =gt 46,154,02)5,0()()()( 01 =−=−∞=−=∆= ξξξξξα ttf

para 2g em 120 =gt 32,168,02)1()()()( 02 =−=−∞=−=∆= ξξξξξα ttf

qggp fftotal ⋅++⋅++⋅= ⋅22211* )1()1( ψαα

5,13,0)32,11(0,1)46,11(25,2* ⋅++⋅++⋅=totalp 2* /31,8 mkNptotal =

- cálculo da flecha

• Carga total

5

44*

10075,6800.235,331,8

000.1269,4

000.12 −⋅⋅⋅

⋅=⋅⋅

⋅=IElp

acs

totaltotal

β cmatotal 337,0=

• Apenas carga acidental

5

44*

10075,6800.235,3)5,13,0(

000.1269,4

000.12 −⋅⋅⋅⋅

⋅=⋅

⋅⋅=

IElp

acs

qq

β cma q 018,0=

flecha limite:

Segundo a NBR 6118, o valor limite, lima , é dado por:

- 250lim

la = (deslocamentos visíveis – carga total)

250350

250lim ==la cma 4,1lim = > cmatotal 337,0=

- 350lim

la = (vibrações sentidas no piso – carga acidental)

350350

350lim ==la cma 1lim = > cma q 018,0=

As flechas são inferiores aos valores limites, logo considera-se atendido o ELS-DEF

para a laje em questão

estruturas de concreto ii

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