estruturas de concreto armado ii - sol -...

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CURSO DE ENGENHARIA CIVIL

ESTRUTURAS DE CONCRETO

ARMADO II

Autor

Prof. João Bosco da Costa, M.Sc.

MATERIAIS I-1

___________________________________________________________________ ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc.

CAPÍTULO I - DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DOS MATERIAIS 1.1 – Aços (Item 8.3.6):

O módulo de elasticidade dos aços Es é admitido constante e igual a 210 Gpa. O diagrama tensão-deformação do aço, resistência ao escoamento e à tração, os

valores característicos da resistência ao escoamento ykf , da resistência à tração stkf e da deformação na ruptura ukε devem ser obtidos de ensaios de tração realizados segundo a NBR 6152. O valor de ykf para os aços sem patamar de escoamento é o valor da tensão correspondente à deformação permanente de 2 o/oo.

Para cálculo nos estados-limite de serviço e último pode-se utilizar o diagrama simplificado mostrado na figura 1.1, para os aços com ou sem patamar de escoamento.

Figura 1.1 - Diagrama tensão-deformação para aços de armaduras passivas

Este diagrama é válido para intervalos de temperatura entre -20ºC e 150ºC e pode

ser aplicado para tração e compressão. 1.2 – Concreto:

a)- Módulo de Elasticidade (Item 8.2.8):

O módulo de elasticidade ou módulo de deformação tangente inicial, deve ser

obtido segundo ensaio descrito na NBR 8522. Quando não forem feitos ensaios e não existirem dados mais precisos sobre o concreto usado na idade de 28 dias, pode-se estimar o valor do módulo de elasticidade usando a expressão :

ckci fE ⋅= 5600

onde Eci e fck são dados em megapascal (MPa).

MATERIAIS I-2


O módulo de elasticidade numa idade 7≥j dias pode também ser avaliado através dessa expressão, substituindo-se ckf por ckjf .

Quando for o caso, é esse o módulo de elasticidade a ser especificado em projeto e controlado na obra.

O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limites de serviço, deve ser calculado pela expressão :

cics EE ⋅= 85,0 Na avaliação do comportamento de um elemento estrutural ou seção transversal

pode ser adotado um módulo de elasticidade único, à tração e à compressão, igual ao módulo de elasticidade secante ( csE ).

Na avaliação do comportamento global da estrutura, pode ser utilizado em projeto o módulo de deformação tangente inicial ( ciE ).

b)- Resistência de Cálculo do Concreto (Item 12.3.3):

No caso específico da resistência de cálculo do concreto ( cdf ), alguns detalhes

adicionais são necessários, conforme a seguir descrito: b1)- quando a verificação se faz em data j igual ou superior a 28 dias, adota-se a

expressão:

c

ckcd

ff

γ=

Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito aos 28 dias, de forma a confirmar o valor de fck adotado no projeto;

b2)- quando a verificação se faz em data j inferior a 28 dias, adota-se a expressão:

c

ck

c

ckjcd

fff

γβ

γ⋅≅= 1

sendo β1 a relação ckckj ff dada por:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

ts 281exp1β

onde: s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI. t é a idade efetiva na análise dos esforços resistentes do concreto, em dias.

Essa verificação deve ser feita aos t dias, para as cargas aplicadas até essa data. Ainda deve ser feita a verificação para a totalidade das cargas aplicadas aos 28

dias.

MATERIAIS I-3


Nesse caso, o controle da resistência à compressão do concreto deve ser feito em duas datas: aos t dias e aos 28 dias, de forma a confirmar os valores de ckjf e ckf adotados no projeto. c)- Diagrama Tensão-Deformação (Item 8.2.9):

Para tensões de compressão menores que cf⋅5,0 , pode-se admitir uma relação

linear entre tensões e deformações, adotando-se para módulo de elasticidade o valor secante dado pela expressão constante do item anterior.

Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensão-deformação idealizado mostrado na figura 1.2.

Como o concreto é um material cuja resistência depende de inúmeros fatores que variam como o tempo, Hubert Rüsch, após ensaios realizados com os corpos de prova carregados com diferentes velocidades de carregamento, concluiu que o concreto pode, para fins de dimensionamento, ser admitido com uma resistência de pico igual a

)2(*85,0 fc , sondo 85,0 o produto de três fatores: 3mod2mod1mod ** kkk .

1modk - correspondendo ao efeito de ganho de resistência após 28 dias, conhecido como amadurecimento do concreto ( )23,11mod =k .

2modk - que corresponde a perda de resistência do concreto no ensaio de carga mantida ( )72,02mod =k .

3modk - coeficiente que procura corrigir o erro associado ao ensaio de corpos de prova cilíndricos e a real resistência da estrutura 96,03modk .

Portanto, como se sabe, este coeficiente, chamado de coeficiente Rüsch, é utilizado multiplicado à tensão de pico do concreto, ou seja, cdf*85,0 . Desta forma, está considerado nos modelos de cálculo o crescimento por amadurecimento e a perda por carga mantida que ocorrerão após o marco dos 28 dias, então, a resistência do concreto para fins de verificação de segurança, deve ser tomada na idade de referência de 28 dias, não cabendo a consideração de ganhos de resistência após esta data, senão aqueles que superem as próprias expectativas da teoria que admite 23% de ganho em aproximadamente dois anos e meio.

Figura 1.2 – Diagrama tensão – deformação idealizado do concreto

MATERIAIS I-4


1.3 – Bibliografia: [ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118.

Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2004.

HIPÓTESES BÁSICAS II-1

ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc.

CAPÍTULO II - HIPÓTESES BÁSICAS (Item 17.2.2):

2.1 - Domínios:

Na análise dos esforços resistentes de uma seção de viga ou pilar, devem ser consideradas as seguintes hipóteses básicas:

a) as seções transversais se mantêm planas após deformação; b) a deformação das barras aderentes em tração ou compressão, deve ser a

mesma do concreto em seu entorno;

c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas;

d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama

parábola retângulo definido no item 1.2.c com tensão de pico igual a 0,85 cdf , com cdf definido conforme item 1.2.b. Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de altura x⋅8,0 (onde x é a profundidade da linha neutra), com a seguinte tensão:

- 0,85 cdf no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; - 0,80 cdf no caso contrário;

Figura 2.1 – Distribuição das Tensões no Concreto. As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e

aceitáveis, sem necessidade de coeficiente de correção adicional.

e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação, com valores de cálculo, definidos nos item1.1.



f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na figura 2.2.

Figura 2.2 – Domínios de Estado Limite Último de uma seção transversal

• Deformação plástica excessiva:

Reta a: Tração uniforme; Domínio 1: Tração não uniforme, sem compressão; Domínio 2: Flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do

concreto ( 0005,3=cε ) e com máximo alongamento ( 00

010 ) permitido na armadura.

• Ruptura:

Domínio 3: Flexão simples (seção normalmente armada) ou composta, com simultaneidade de escoamento do aço tracionado e com tensão de ruptura no concreto da região comprimida;

Domínio 4: Flexão simples (seção super-armada) ou composta, sendo que o concreto atinge a tensão de ruptura antes que aço entre em escoamento ( ydsd εε = );

Domínio 4a: Flexão composta com armaduras comprimidas; Domínio 5: Compressão não uniforme, sem tensões de tração; Reta b: Compressão uniforme.





[ 2 ] – Santos, Lauro Modesto. Cálculo de Concreto Armado, Vol 1. Editora LMS Ltda. São Paulo, 1983.

DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DE PILARES III - 1


3- PRESCRIÇÕES DA NBR-6118:2007 PARA DIMENSIONAMENTO

E DETALHAMENTO DE PILARES: 3.1 – Dimensões Mínimas de Pilares e Pilares-Parede (Item 13.2.3):

A seção transversal de pilares não deve apresentar dimensão menor que 19 cm. Em casos especiais, permite-se a consideração de dimensões entre 19 cm e 12

cm, desde que se multiplique as ações a serem consideradas no dimensionamento por um coeficiente adicional γn, de acordo com o indicado na tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Valores do coeficiente adicional γn

Menor dimensão da seção do pilar (b)

a ≥ 19 18 17 16 15 14 13 12 γn 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35

O coeficiente γn deve majorar os esforços solicitantes finais de cálculo nos pilares, quando de seu dimensionamento.

3.2 – Ancoragem ou Comprimento de Transpasse (Item 9.4): a)- Resistência à Tração:

A resistência à tração direta pode ser avaliada por meio das seguintes equações:

fctm = 0,3 3 2ckf

fctk,inf = 0,7 fctm

fctk,sup = 1,3 fctm onde:

fctm e fck são expressos em megapascais. Sendo fckj ≥ 7MPa, estas expressões podem também ser usadas para idades

diferentes de 28 dias.

b)- Verificação da Aderência (posições da barra durante a concretagem) :

Considera-se em boa situação quanto à aderência os trechos das barras que estejam em uma das posições seguintes:



- Com inclinação maior que 45° sobre a horizontal; - As barras horizontais ou com inclinação menor que 45° sobre a horizontal, para

elementos estruturais com h < 60 cm, localizados no máximo 30 cm acima da face inferior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima ou para elementos estruturais com h ≥ 60 cm, localizados no mínimo 30 cm abaixo da face superior do elemento ou da junta de concretagem mais próxima.

Os trechos das barras em outras posições e quando do uso de formas deslizantes

devem ser considerados em má situação quanto à aderência. c)- Valores das Resistências de Aderência:

A resistência de aderência de cálculo entre armadura e concreto na ancoragem de armaduras passivas deve ser obtida pela seguinte expressão:

fbd = η1 η2 η3 fctd sendo: fctd = fctk,inf / γc

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)50(25,2)60(4,1

)6025(0,1

1

CAnervuradasbarrasparadentadoCAdentadasbarraspara

CAouCAlisasbarrasparaη

⎩⎨⎧

=aderênciamádesituaçõesparaaderênciaboadesituaçõespara

7,00,1

2η

⎩⎨⎧

>)/100<

=mmpara

mmpara32, - (132

320,13 φφ

φη

d)- Comprimento de Ancoragem Longitudinal:

Define-se comprimento de ancoragem básico como o comprimento reto de uma

barra de armadura passiva necessário para ancorar a força limite Asfyd nessa barra, admitindo, ao longo desse comprimento, resistência de aderência uniforme e igual a fbd.

O comprimento de ancoragem básico é dado por:

bd

ydb f

fl *

4φ

=



O comprimento de ancoragem necessário pode ser calculado por:

min,,

,1, ** b

efs

calcsbnecb l

AA

ll ≥= α

sendo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥=

.3gancho do ao normal plano no cobrimento com gancho, com as tracionadbarras para 0,7

gancho, sem barras para 1,0

1

φα

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥

cm

ll

b

b

1010

3,0

min, φ

Permite-se, em casos especiais, considerar outros fatores redutores do

comprimento de ancoragem necessário. Na tabela D.1 do apêndice D, apresenta-se os valores do comprimento de ancoragem básico ( lb ), variando-se a resistência do concreto ( fck ).

e)- Ancoragem de estribos:

Os ganchos dos estribos podem ser : - semi circulares ou em ângulo de 45º (interno), com ponta reta de comprimento

igual a 5φt, porém não inferior a 5 cm; - em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a 10φt, porém não

inferior a 7 cm (este tipo de gancho não deve ser utilizado para barras e fios lisos). O diâmetro interno da curvatura dos estribos deve ser, no mínimo, igual ao índice

dado na tabela 3.2.

Tabela 3.2 - Diâmetro dos pinos de dobramento para estribos

Bitola mm

Tipo de aço CA-25 CA-50 CA-60

≤ 10 3 φt 3 φt 3 φt 10<φ< 20 4 φt 5 φt 6 φt

≥ 20 5 φt 8 φt -



3.3 – Armaduras Longitudinais (Item 18.4.2): a) – Armadura Mínima: A taxa de armadura deve ter o valor mínimo, expresso a seguir:

%4.0**15.0min ≥== νρyd

cd

c

s

ff

AA

sendo:

cdc

d

fAN*

=ν ,onde ν é o valor da força normal em termos adimensionais.

b) – Armadura Máxima: A maior armadura possível em pilares deve ser 8% da seção real, considerando-se inclusive a sobreposição de armadura existente em regiões de emenda, ou seja:

%0.8max ≤=c

s

AA

ρ

c) – Diâmetro Mínimo e Máximo: 10.0 mm ≤ φl ≤ menor dimensão / 8 d) – Número Mínimo de Barras: - Seções poligonais = 1 barra em cada vértice; - Seções circulares = 6 barras distribuídas ao longo do perímetro. e) – Espaçamentos Entre Barras: O espaçamento livre entre armaduras, medido no plano da seção transversal, fora da região de emendas, deve ser igual ou superior ao maior dos valores:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥)(*2.1

*22

min

emendasnasinclusive

cme

agregado

l

φφ

O espaçamento máximo entre eixos das barras deve ser:

⎩⎨⎧ ∗

≤cm

DimensãoMenore

402

max



3.4 – Armaduras Transversais – Estribos (Item 18.4.3):

A armadura transversal de pilares, constituída por estribos e, quando for o caso, por grampos suplementares, deve ser colocada em toda a altura do pilar, sendo obrigatória sua colocação na região de cruzamento com vigas e lajes. a) – Bitola Mínima:

⎩⎨⎧

≥4/

0.5

lt

mmφ

φ

b) – Espaçamento entre Estribos:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−−

≤

)50(*12)25(*24

;;20

CAParaCAPara

SeçãodaDimensãoMenorcm

S

l

l

φφ

Pode ser adotado o valor φt < φl /4 desde que as armaduras sejam constituídas do

mesmo tipo de aço e o espaçamento respeite também a limitação:

ykl

t

fs 19000

2

max ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

φφ

onde fyk é dado em MPa

Quando houver necessidade de armaduras transversais para cortantes e torção,

esses valores devem ser comparados com os mínimos especificados para vigas.

c) – Proteção Contra Flambagem das Barras:

Os estribos poligonais garantem contra a flambagem as barras longitudinais situadas em seus cantos e as por eles abrangidas, situadas no máximo à distância de 20 Фt do canto, se nesse trecho de comprimento 20 Фt não houver mais de duas barras, não contando a de canto. Quando houver mais de duas barras nesse trecho ou barra fora dele, deve haver estribos suplementares.

Se o estribo suplementar for constituído por uma barra reta, terminada em ganchos, ele deve atravessar a seção do elemento estrutural e os seus ganchos devem envolver a barra longitudinal. Se houver mais de uma barra longitudinal a ser protegida junto à mesma extremidade do estribo suplementar, seu gancho deve envolver um estribo principal em ponto junto a uma das barras, o que deve ser indicado no projeto de modo bem destacado.



Figura 3.1 – Proteção contra a flambagem das Barras 3.5 – Cobrimento (Item 7.4.7) a)- Agressividade do Ambiente:

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental pode ser classificada de acordo com o apresentado na tabela 3.3.

Tabela 3.3 - Classes de agressividade ambiental

Classe de agressividade ambiental (CAA)

Agressividade Risco de deterioração da estrutura

I Fraca insignificante II Moderada pequeno III forte grande IV muito forte elevado

A agressividade do meio ambiente às estruturas de concreto armado e

protendido pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição da estrutura ou de suas partes, conforme estabelece a tabela 3.4.



Tabela 3.4- Classes de agressividade ambiental em função das condições de exposição

Micro-clima

Macro-clima Ambientes internos Ambientes externos e obras em geral

Seco1) UR≤65%

Úmido ou ciclos2) de molhagem e secagem

Seco3) UR ≤ 65%

Úmido ou ciclos4) de molhagem e secagem

Rural I I I II

Urbana I II I II

Marinha II III ----- III

Industrial II III II III

Especial 5) II III ou IV III III ou IV

Respingos de maré ----- ----- ----- IV

Submersa ≥ 3m ----- ----- ----- I

Solo ----- ----- agressivo I Úmido e agressivo II, III ou IV

1) Salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com argamassa e pintura. 2) Vestiários, banheiros, cozinhas, lavanderias industriais e garagens. 3) Obras em regiões de clima seco, e partes da estrutura protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos. 4) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas. 5) Macro clima especial significa ambiente com agressividade bem conhecida, que permite definir a classe de agressividade III ou IV nos ambientes úmidos. Se o ambiente for seco, deve ser considerada classe de agressividade II nos ambientes internos e classe de agressividade III nos externos.



b)- Qualidade do concreto e cobrimento:

A durabilidade das estruturas é altamente dependente das características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.

Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e nível de agressividade previsto em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento ou água/aglomerante, a resistência à compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se adotar os requisitos mínimos expressos na tabela 3.5.

Tabela 3.5 - Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do

concreto

Concreto Tipo Classe de agressividade (tab 3.3) I II III IV

Relação água/aglomerante

em massa

CA

≤ 0,65

≤ 0,60

≤ 0,55

≤ 0,45

Classe de concreto (NBR 8953)

CA

≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40

NOTAS : CA Componentes e elementos estruturais de concreto armado

Para garantir um cobrimento mínimo (cmin) o projeto e a execução devem considerar o cobrimento nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (Δc). Assim as dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais.

Nos casos de haver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de

tolerância da variabilidade das medidas durante a execução pode-se adotar o valor Δc=5 mm. Em caso contrário, nas obras correntes, seu valor mínimo é de Δc=10 mm.

Os cobrimentos nominais e mínimos estão sempre referidos à superfície da armadura externa, em geral à face externa do estribo. O cobrimento nominal de uma determinada barra deve sempre ser:

cnom ≥ φ �barra cnom ≥ φ �feixe = φn = φ n

A dimensão máxima característica do agregado graúdo, utilizado no concreto

não pode superar em 20% a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

dmax ≤ 1.2 cnom



Tabela 3.6- Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal para Δc=10mm



Componente ou elemento

Classe de agressividade ambiental (tab 3.3) I II III IV

Cobrimento nominal (mm) Concreto armado Pilares 25 30 40 50

DIMENSIONAMENTO DE PILARES IV - 1


CAPÍTULO IV – DIMENSIONAMENTO DE PILARES: 4.1- Definição (Item 14.4.1.2)

Os pilares são elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças normais de compressão geralmente são preponderantes.

4.2- Efeitos de 2a Ordem:

Os efeitos de 2ª ordem são aqueles que se somam aos obtidos numa análise de primeira ordem (em que o equilíbrio da estrutura é estudado na configuração geométrica inicial), quando a análise do equilíbrio passa a ser efetuada considerando a configuração deformada.

Os efeitos de 2a Ordem podem ser desprezados sempre que não representarem acréscimo superior a 10% nas reações e nas solicitações relevantes da estrutura. Na figura 4.1, o efeito de 2a ordem (Nd * e2) poderá ser desconsiderado se M2d ≤ 0,10 M1d

4.3- Momento Mínimo de 1a Ordem (Item 11.3.3.4.c)

O momento total M1d,min de primeira ordem, isto é, o momento de primeira ordem

acrescido dos efeitos das imperfeições locais, deve respeitar o valor mínimo dado por: M1d,mín = Nd (0,015 + 0,03h) onde: h é a altura total da seção transversal na direção considerada, em metros. Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais

esteja atendido se for respeitado esse valor de momento total mínimo. No caso de pilares submetidos à flexão oblíqua composta, esse mínimo deve ser respeitado em cada uma das direções principais, separadamente.

Md = M1d Md = M1d + M2d Md = Hd * L Md = (Hd * L) + (Nd * e2)

Figura 4.1 – Efeitos de 1a e 2a Ordem



4.4- Comprimento de Flambagem (Item 15.6):

Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de 1ª ordem.

A análise dos efeitos locais de 2ª ordem deve ser realizada de acordo com o estabelecido a seguir.

O comprimento equivalente le do elemento comprimido (pilar), deve ser o menor dos valores da figura 4.2:

Figura 4.2 – Comprimento de Flambagem

onde:

l0 é a distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h é a altura da seção transversal do pilar, medida na direção considerada;

L distância de eixo a eixo do pilar; No caso de pilar engastado na base e livre no topo, o valor de le = 2L.

4.5 - Raio de Giração:

Da resistência dos materiais, o cálculo do raio de giração é dado por:

SIi =

a)- Para seções retangulares:

Figura 4.3 – Raio de giração para seções retangulares

Onde : I = Inércia da seção transversal; S = Área da seção transversal.

1212

3x

xxy

xh

ihh

I =∴=

1212

3y

yyx

y

hi

hhI =∴=

⎩⎨⎧ +

≤L

hlle

0



b)- Para seções circulares:

Figura 4.4 – Raio de giração para seções circulares

4.6 – Índice de Esbeltez λ e Classificação (Item 15.8.2):

O índice de esbeltez é calculado pela expressão que relaciona o comprimento de

flambagem com o raio de giração da peça, ou seja :

Os pilares se classificam em função do índice de esbeltez: a)- pilares curtos (λ ≤ λ1):

Desprezam-se os efeitos de 2a Ordem b)- pilares médios (λ ≤ 90):

Os efeitos de 2a Ordem podem ser avaliados por métodos aproximados.

c)- pilares esbeltos (λ > 90): Deve-se considerar obrigatoriamente a fluência que deve ser acrescentada

aos efeitos de 1a Ordem. Segunda a NBR-6118, “a deformação por fluência do concreto compõe-se de

duas partes, uma rápida e outra lenta. A deformação rápida é irreversível e ocorre durante as primeiras 24 horas após a aplicação da carga que a originou. A deformação lenta é por sua vez composta por duas outras parcelas: a deformação lenta irreversível e a deformação lenta reversível”.

4.7 – Coeficiente αb (Item 15.8.2):

O momento máximo em um pilar depende dos valores dos momentos de topo e de base, além da carga axial e da flambagem, Assim, o momento máximo pode não ocorrer nas extremidades.

Nestes casos, corrige-se o valor do momento máximo através do coeficiente de uniformidade αb que é calculado para um dos 4 casos abaixo:

a)- Para pilares biapoiados sem cargas transversais:

Os momentos Mtopo e Mbase são os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA (momentos em sentido contrário), e negativo no outro caso (momentos em mesmo sentido).

464

4 DiDI =∴=π

iel=λ



Momentos Curvatura Curvatura Extremos Simples (MB positivo) Dupla (MB negativo)

Figura 4.5 – Momentos e Curvaturas

b)- Para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da

altura:

Figura 4.6 – αb para pilares com cargas transversais

c)- Para pilares em balanço: O momento MA é o momento de 1ª ordem no engaste e MC é o momento de 1ª

ordem no meio do pilar em balanço.

Figura 4.7 – αb para pilares em balanço

d)- Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o

momento mínimo estabelecido no item 4.3: MA ≤ M1d,min ⇒

αb = 1,0

40,040,060,0 ≥+=A

Bb M

Mα

85,020,080,0 ≥+=A

Cb M

Mα

αb = 1,0



4.8 – Dispensa da Análise dos Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.2):

Os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ1 estabelecido neste item.

O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: - a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; - a vinculação dos extremos da coluna isolada; - a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem.

λ1 pode ser calculado pela expressão:

/5,1225 1

1b

heα

λ+

=

sendo:

90351

b≤λ≤

α

4.9 – Efeitos Locais de 2a Ordem (Item 15.8.3.3.1):

O cálculo do momento de 2a ordem pode ser feito por métodos aproximados

e ser empregado apenas para pilares com λ ≤ 90, seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado pela expressão:

A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM

e e2 avaliada pela expressão aproximada:

sendo: - ν = Nd / (Acfcd) - M1d,A ≥ M1d,min - h é a altura da seção na direção considerada;

4.10 – Dimensionamento à Compressão Centrada:

No dimensionamento à compressão centrada admite-se que o encurtamento da ruptura do concreto e do aço seja εc = εs = 2o/oo.

hhe ee 005,0*

10)5,0(005,0*

10

22

2ll

≤+

=ν

- αb calculado conforme item anterior; - e1 / h é a excentricidade relativa de 1a ordem; - e1 = MA / Nd ; - h = altura da seção transversal na direção considerada.



a)- Equações de Equilíbrio:

Figura 4.8 - Seção Comprimida

b)- Pré-Dimensionamento:

Uma outra equação pode ser escrita em função da taxa de armadura ρ e da área de concreto da seção, podendo ser utilizada para pré-dimensionar a seção de concreto Ac , ou seja:

Nd = (ρ * σsd-0,002 + 0.85 fcd) * AC

c)- Valores de σsd-0,002: Os valores das tensões nos aços são determinadas segundo os diagramas

tensão-deformação apresentados no capítulo I, para uma deformação εs = 2o/oo e γf = 1,15.

Para o aço CA-25, σsd-0,002 = 217,4 Mpa = 2174 Kgf/cm2. Para o aço CA-50, σsd-0,002 = 420 Mpa = 4200 Kgf/cm2.

ΣFv = 0 Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc e

Rs1 = As1 * σsd-0,002 Rs2 = As2 * σsd-0,002 Rcc = Ac * 0.85 fcd Logo ; Nd = As1*σsd-0,002 + As2*σsd-0,002 + Ac*0.85 fcd

Nd = (As1 + As2) * σsd-0,002 + Ac * 0.85 fcd

002,0,

85,0

−

−=

sd

ccddTOTALs

AfNA

σ

002,085,0 −+=

sd

dc fcd

NA

σρ



4.11 – Processos aproximados para o dimensionamento à flexão composta (Item 17.2.5):

4.11.1- Flexão Normal Composta:

O cálculo para o dimensionamento de seções retangulares ou circulares com

armadura simétrica, sujeitas à flexão normal composta, em que a força normal reduzida (ν) seja maior ou igual a 0,7, pode ser realizado como um caso de compressão centrada equivalente, onde:

sendo:

Sendo αs a relação: Valores de α em função αs : •α = -1/αs se αs < 1 em seções retangulares; •α = αs se 1 ≤ αs ≤ 6 em seções retangulares; •α = 6 se αs > 6 em seções retangulares; •α = - 4 em seções circulares. O arranjo de armadura adotado para detalhamento, a armadura superior e inferior

são perpendiculares à direção do momento Msd (ver figura 4.9), deve ser fiel aos valores de αS e d’/h pressupostos.

Supondo todas as barras iguais, αs é dado por:

NNdeqd

.*,

γ= Md,eq = 0

hd ′

−+=

8,0)01,039,0(

1

αβ

cdc

d

fAN

=ν hNM

he

d

d=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

heβγ 1*



Figura 4.9 - Arranjo de armadura caracterizado pelo parâmetro αs.

4.11.1.1- Exemplo 1: Pré-Dimensionar a seção do pilar. Supor os momentos de 1a ordem em torno do eixo Y:

Figura 4.10 – Seção e Esquema estático

a)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m

MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m MB = Menor valor absoluto = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22 KN*m

MA ≥ M1d,min ⇒ OK.

b)-Normal Equivalente: Supondo-se α = 6 (maior valor α) e d´= 3,8 cm vem: e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm

56,3

188,3*8,0)6*01,039,0(

1

8,0)01,039,0(

1=

−+=

′−+

=

hdα

β

( )( )1

1−−

=v

hs n

nα

Dados: fck = 20 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm Nk = 600 KN = 60 tf hx = 18 cm le = 300 cm Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m



A Força normal equivalente para pré-dimensionamento, supondo apenas a excentricidade de 1a ordem, será:

659,11833,356,311 1* =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

he

βγ

KNNNdeqd

2,1463882*659,1**,

=== γ

c)-Seção Necessária: Adotando-se ρ = 2% - valor intermediário.

2

002

, 71242*

1002

4,12*85,0

2,1463**85,0

cmfcd

NA

sd

eqdc =

+=

+=

−σρ

hx * hy = 712 cm2 = (18x40) ou (18x45) ⇒ esta seção é apenas indicativa, podendo não ser suficiente no dimensionamento.

4.11.1.2- Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar. Supor os momentos de 1a ordem em torno do eixo Y:

Figura 4.11 – Seção e Esquema estático

a)- Índices de Esbeltez :

73,5718

1230012===

x

ex h

lλ e 09,23

451230012

===y

ey h

lλ

b)-Cálculo dos Momentos de 1a Ordem: Nd = γn * γf * Nk = 1,05 * 1,4 * 600 = 882 KN M1d,min = Nd (0,015 + 0,03h) = 882 (0,015 + 0,03 * 18 / 100) = 18 KN*m MA = Maior valor absoluto = γn * γf * Mbase = 1,05 * 1,4 * 20 = 29,4 KN*m MB = Menor valor (positivo, curvatura simples) = γn * γf * Mtopo = 1,05 * 1,4 * 15 = 22KN*m MA ≥ M1d,min ⇒ OK.

Dados: fck = 20 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm Nk = 600 KN = 60 tf hx = 18 cm hy = 45 cm le = 300 cm Mtopo = 15 KN*m = 1,5 tf*m Mbase = 20 KN*m = 2,0 tf*m



c)-Parâmetro αb :

40,040,060,0 ≥+=A

Bb M

Mα

αb = 0,90 ≥ 0.4 ⇒ OK.

c)-Cálculo de λ1:

e1 = MA / Nd = 29,4 / 882 = 0,033 m = 3,33 cm

35,3090,0

185,0*5,1225

/5,1225 11 =

+=

+=

b

heα

λ

90351

b≤λ≤

α ⇒ λ1 = 38,9

λx = 57,73 > λ1 ⇒ Pilar médio. Considerar efeito de 2a Ordem. d)-Efeito de 2a Ordem: ν = Nd / (Acfcd) = 882 / (18*45*2/1,4) = 0,762 ≥ 0,7 ⇒ OK.

e2 = 1,98 cm ≤ 2,5 cm ⇒ OK.

A1d,2dA1d,b tot, M e N M ≥+= αdM Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m ≥ 29,4 KN*m ⇒ OK.

e)-Esforços Equivalentes: Adotando-se a distribuição de armaduras da figura 4.12, vem:

Figura 4.12 – Cálculo de αs

∴≤+

=hh

e ee 005,0*10)5,0(

005,0*10

22

2ll

ν

18005,0*

10300

)5,0762,0(18005,0*

10300 22

2 ≤+

=e

10 φ d´ = 3,8 cm

( )( )

( )( ) 44

1215

11

==⇒=−−

=−−

= ααα sv

hs n

n

d´ / hx = 3,8 / 18 = 0,211



83,3211,0*8,0)4*01,039,0(

1

8,0)01,039,0(

1=

−+=

′−+

=

hdα

β

277,018*882

100*9,43==

hN

M

h

e

d

d

A Força normal equivalente para dimensionamento a compressão centrada será:

( ) 061,2277,0*83,311* =+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

heβγ

KNNNdeqd

1818061,2*882**,

=== γ f)-Dimensionamento à compressão centrada:

4245*18*4,1/2*85,0181885,0

002,0

−=

−=

−sd

ccdds

AfNA

σ

As = 19,87 cm2 ⇒ 10 φ 16,0 mm = 20,0 cm2 ⇒ Coerente com a distribuição adotada. ρefetivo = As,efetivo / Ac = 20,0 / ( 18 * 45 ) = 2,47% g)-Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 18 / 8 * 10 10,0 mm ≤ φl ≤ 22,5 mm ⇒ OK.

-Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ

yd

cd

c

s

ff

AA

%376,0762,0*15,1/504,1/2*15,0min,

min ===c

s

AA

ρ

ρmin = 0,4%

-Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK.

-Bitola do Estribo: ⎩⎨⎧

==≥

mmmm

lt 0,44/0,164/

0,5φ

φ ⇒ φt = 5,0 mm

-Espaçamentos dos Estribos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===≤

cmcmDimensãoMenor

cms

l 2,1910/0,16*12*1218

20

φ ⇒ s = 18,0 cm

-Espaçamento Mínimo entre Barras: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

==⇐==≥

cmcm

cme

agregado

l

8,15,1*2,12,12,36,1*22

0,2

min

φφ



-Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨⎧ ==

≤cm

cmDimensãoMenore

403618*2*2

max

-Ancoragem: Da tabela D.1 : lb = 44φ = 70,4cm e α1 = 1,0

min,,

,1, ** b

efs

calcsbnecb l

AA

ll ≥=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥===

cmcml

b

necb

1010

3,0642,64

0,2024,18*4,70*0,1, φ

l

-Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar um grampo.

h)-Detalhamento:

Figura 4.13 – Detalhamento do Pilar.



4.12 – Dimensionamento à flexão normal composta com o uso dos ábacos de iteração:

4.12.1 – Equações de Equilíbrio:

Seja a seção da figura 4.14 solicitada pela ação conjunta dos esforços Md e Nd, resistidos pela área comprimida de concreto e pelas áreas comprimida e tracionada de aço. O equilíbrio de forças será dado por:

Figura 4.14 – Seção e Forças

Em geral, no dimensionamento, a geometria da seção é previamente estabelecida, ficando como incógnitas as variáveis As1, As2 e y , havendo somente duas equações de equilíbrio. Assim, o problema tem infinitas soluções. Para se ter a solução do problema uma dessas variáveis deve ser necessariamente arbitrada.

O assunto foi estudado por diversos autores, dos quais sugere-se Lauro Modesto dos Santos e ou Péricles Brasiliense Fusco.

Para o curso em questão, serão adotados os ábacos de interação ou tabelas de dimensionamento, largamente utilizadas.

4.12.2 – Ábacos de Interação:

Uma maneira simplificada de se dimensionar seções solicitadas à flexão normal composta e flexão composta oblíqua, é através dos “ábacos de interação força normal – momento fletor”. Os ábacos são as linhas que unem os pares N, M que levam uma peça a um Estado Limite Último para uma dada armadura e seção de concreto.

Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente, em função dos adimensionais:

a)- ΣFv = 0 Nd = Rs1 + Rs2 + Rcc onde: Rs1 = As1 * σsd1 Rs2 = As2 * σsd2 Rcc = bw * y * 0.85 fcd Nd = As1 * σsd1 + As2 * σsd2 + 0.85 fcd * bw * y b)- ΣMA = 0 Nd * h/2 – Md = Rs1 * d´ + Rs2 * d + Rcc * y/2 Nd * h/2 – Md = As1 * σsd1 * d´ + As2 * σsd2 * d + 0,85 * fcd * bw * y * y/2

cdc

d

fAN*

=νcdc

d

fhAeN

***

=μ cdc

yds

fAfA

**

=ϖ



Figura 4.15 – Ábacos de Interação ν x μ

No apêndice B são apresentados ábacos para diversas distribuições de

armaduras, como se verá.

4.12.3.1 – Exemplo1: Refazer o pilar do exemplo anterior, onde os valores dos esforços finais eram:

Nd = 882 KN Md,tot = 0,90 * 29,4 + 882 * 0,0198 = 43,9 KN*m

762,045*18*4,1/2

882*

===ccd

d

AfN

ν

211,018*45*18*4,1/2

100*9,43**

===hAf

M

ccd

dμ

15,0211,018

8.3´≅==

hd (adotado)

Do ábaco B-2 (armaduras perpendiculares à direção do momento), obtêm-se: ω = 0,55

264,1415,1/50

4,1/2*45*18*55,0*

* cmf

fAA

yd

cdcs === ω ⇒ 8φ16.0mm = 16,0 cm2

Valor bem menor que o encontrado no exemplo anterior, quando comparado ao valor encontrado pelo processo simplificado da NBR-6118, onde se encontrou:

As,ef = 10φ16.0mm = 20,0 cm²



4.12.3.2 – Exemplo2 : Dimensionar e detalhar o pilar.

Figura 4.16 – Seção e Esquema estático b) – Índices de esbeltez:

64,3425

12*25012*73,57

60122*50012* 11 ======

y

yey

x

xex h

Le

hL

λλ

c) – Parâmetro αb:

!85,09,021*2,08,0;85,0*2,08,0 OK

MM

bxA

Cbx ⇒>=+=≥+= αα

d) – Cálculo de λ1:

médiopilar

he

cmmNMe

xx

xb

bx

d

Ax

⇒>

=⇒≤≤=

=+

=+

=

====

1

11

1

1

1

9,38909,3835

5,299.0

6040,7*5,1225*5,1225

4,7074,01890140

λλ

λλα

αλ

Dados: fck = 25 Mpa

Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm

a)– Esforços:

( )( )

( )( )

mKNMM

hNM

mKNM

lHM

KNNNN

xd

xd

dxd

xd

ufxd

d

kufd

.37,626,0*03,0015,0*1890

*03,0015,0*

.1405*20*0,1*4,1

***

18901350*0,1*4,1**

min,,1

min,,1

min,,1

,

,

=

+=

+=

==

=

==

=

γγ

γγ



e) – Efeitos de 2ª ordem:

( )( )

( )( )

OKmKNmKNM

M

MeNMMOKcmcme

cme

hl

hl

e

rsimplificapodeAf

N

totd

totd

AddAdbtotd

x

x

eex

ccd

d

⇒≥=

+=

≥+=⇒≤=

≤=+

=

≤+

=

⇒>===

.140.6,256

0691,0*1890140*9,0

**!33,892,6

60005,0*

10500*292,6

60*5,0706,0005,0*

10500*2

005,0*10*5,0

005,0*10

)(7,0706,060*25*

4,15,2

1890*

,

,

,12,1,

2

22

2

22

2

α

ν

ν

f) – Ábacos:

705,0=ϑ

16,060*60*25*

4,15,2

100*6,256**

===hAf

Md

ccd

totμ

( )!10,00633,060

8,3' Adotadohd

≅==

Do ábaco tem-se: 32,0≅ω

22 24161271,1915,1/50

4,1/5.2*60*25*32,0*

* cmcmf

fAA

yd

cdctots =⇒=== φω

ρefetivo = As,efetivo / Ac = 24 / ( 25 * 60 ) = 1,6% g) – Para efeito comparativo, resolvendo o exemplo pelo processo simplificado do

item anterior, vem:

– Esforços Equivalentes:

Figura 4.18 – Cálculo de αs

226,060*1890100*60,256

*===

hNM

he

sd

sd

( )( )

( )( )

( )

( ) 86,2354,01

0633,0*8,01*01,039,01

'*8,0*01,039,0

1

11414

11

==−+

=

−+=

=−−

=−−

=

x

xs

x

v

hs

hd

nn

β

αβ

α

Armadura simétrica nas quatro faces.

Figura 4.17 – Interação no Ábaco



mmAfN

A

KNheNN

sd

ccdeqsds

sdeqd

161289,1942

60*25*4,15,2*85,03112**85,0

3112)226,0*86,21(*1890*1*

,

,

φσ

β

≅=−

=−

=

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Valor muito próximo do obtido no item f) h) –Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal: 10,0 mm ≤ φl ≤ 25 / 8 * 10 10,0 mm ≤ φl ≤ 31,25 mm ⇒ OK.

-Armadura Mínima: %4,0**15,0min,min ≥== νρ

yd

cd

c

s

ff

AA

%120,0706,0*15,1/504,1/5,2*min,

min ==c

s

AA

ρ ∴ ρmin = 0,4% ⇒ OK.

-Armadura Máxima: ρmax ≤ 8% (Inclusive no trespasse) ⇒ OK.


==≥

mmmm

lt 0,44/0,164/

0,5φ

φ ⇒ φt = 5,0 mm

-Espaçamentos dos Estribos: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

===≤

cmcmDimensãoMenor

cms

l 2,1910/16*12*1225

20

φ ⇒ s = 19,20 cm

-Espaçamento Mínimo entre Barras: ⎪⎩

⎪⎨

⎧

====≥

cmcm

cme

agregado

l

8,15,1*2,12,12,36,1*42

0,2

min

φφ

-Espaçamento Máximo entre Barras: ⎩⎨⎧ ==

≤cm

cmDimensãoMenore

405025*2*2

max

-Ancoragem: Da tabela D.1 do apêndice D: φ38=bl e α1 = 1,0 cmlb 8,606,1*38 ==

min,,

,1, ** b

efs

calcsbnecb l

AA

ll ≥=α

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥≅==

cmcml

b

necb

1010

3,05093,49

0,2471,19*8,60*0,1, φ

l

-Grampos: 20φt = 20 * 5,0 / 10 = 10,0 cm ⇒ Usar grampos.



i)-Detalhamento:

Figura 4.19 – Detalhamento do Pilar

Obs: Adotou-se o arranque (ancoragem) do pilar com mesma quantidade e

mesma bitola que o pavimento dimensionado.

4.13 – Dimensionamento à flexão composta oblíqua: 4.13.1 – Equações de Equilíbrio:

Na flexão composta oblíqüa tem-se momentos nos 2 eixos principais, além da força normal axial, conforme figura abaixo.

Figura 4.20 – Seção e excentricidades

d

xdx N

Me =

d

ydy N

Me =



Neste caso, a linha neutra não é paralela aos eixos principais x e y, mas inclinada, ou seja:

Figura 4.21 – Flexão Composta Oblíqüa

As condições de equilíbrio podem ser escritas:

∫∫ ∑+=Acc

n

sidsicdd AdXdYN1

σσ

∫∫ ∑+==Acc

n

isidsicdxdxd XAdXdYXeFM1

*** σσ

∫∫ ∑+==Acc

n

isidsicdydyd YAdXdYYeFM1

*** σσ

onde: σsid = tensão em cada barra i que deve ser menor que fyd ; Xi, Yi = coordenadas de cada barra em relação ao centro de gravidade ; Com essas equações pode-se construir ábacos de maneira semelhante aos

ábacos de Flexão normal composta. Eles dependem da distribuição da armadura na seção e são traçados, geralmente, em função dos admensionais υ, μx, μy e ω. Para υ constante, traça-se várias curvas de ω.

Figura 4.22 – Ábacos υ x μx x μy

cdyc

ydy fhA

eN**

*=μ

cdc

yds

fAfA

**

=ϖ

cdc

d

fAN*

=ν

cdxc

xdx fhA

eN**

*=μ



4.13.2.1 – Exemplo 1: Dimensionar o pilar abaixo:

Figura 4.23 – Seção e Esforços

a)- Excentricidades:

cmmNM

ed

dxx 909,0

100090

==== e cmmNM

ed

dyy 5,5055,0

100055

====

b)- Parâmetros de entrada ábaco B.10 – Armadura igual nas 4 faces:

Figura 4.24 – Seção e Esforços do ábaco

No ábaco, se μa > μb ⇒ μ1 = μa = 0,15 μ2 = μb = 0,10

Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375

A área de aço será : 42

4,1/5,2*50*20*375,0**

*002

==−sd

cds

fbaA

σω

As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm c)-Para armadura perpendicular a altura a, ábaco B.12, vem:

Para ν = 0,4 ⇒ ω = 0,35 e para ν = 0,6 ⇒ ω = 0,45 Interpolando-se para ν = 0,45 ⇒ ω = 0,375

A área de aço será : 42

4,1/5,2*50*20*375,0**

*002

==−sd

cds

fbaA

σω

As = 15,94 cm2 ⇒ 8 φ 16,0 mm (mesma quantidade do item b)

fck = 25 Mpa, Aço CA-50 Cobrimento = 2,5 cm, d´/h = 0,10 Nd = 800 KN = 80 tf hx = 50 cm hy = 20 cm Mdx = 90 KN*m = 9,0 tf*m Mdy = 55 KN*m = 5,5 tf*m

45,04,1/5,2*50*20

800**

10,04,1/5,2*20*50

100*90**

15,04,1/5,2*50*20

100*55**

22

22

===

===

===

cd

d

cd

bb

cd

aa

fbaN

fabM

fbaM

ν

μ

μ



4.13.2.2 – Exemplo 2: Dimensionar e detalhar o pilar P1 para uma carga normal cor respondente a 20 andares mais 7% por conta do peso próprio do pilar.

Figura 4.25 – Seção e diagrama de Momento Fletor KN 76 pavimento 1 de normal Carga =

76*0,0776*20Nk += KN 1626,4Nk =

a)- Índices de esbeltez:

Direção “x” Direção “y”

8,3825

12*28012===

x

ex h

lλ 4,19

5012*28012

===y

ey h

lλ

b)-Esforços:

4,1626*4,1*0,1N*γ*γN kfnd == KN 2277Nd =


KNm 13,589,7*1,4M xA,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yA,1d, == KNm 13,589,7*1,4M xB,1d, == KNm 11,488,2*1,4M yB,1d, ==

)h*0,03(0,015*M xxmin,1d, += dN )h*0,03(0,015*M yymin,1d, += dN )25,003,0*015,0(*2277M xmin,1d, += )5,003,0*015,0(*2277M ymin,1d, +=

KNm 51,23M xmin,1d, = KNm 68,31M ymin,1d, =

Dados: fck = 30 Mpa,

Aço CA-50;

Mkx = 9,7 KNm;

Mky = 8,2 KNm;

Cob. = 2,5 cm;

Lex = Ley = 2,8 m.

a) - Seção b) – Diagrama de Momento Fletor



Logo: KN 2277Nd =

xmin,1d,xA,1d,xmin,1d,xA,1d, MMMM Se =⇔< ymin,1d,yA,1d,ymin,1d,yA,1d, MMMM Se =⇔< KNm 51,23MM xmin,1d,xA,1d, == KNm 68,31MM ymin,1d,yA,1d, ==

c)-Cálculo de bα : Para pilares bi-apoiados com momentos menores que o mínimo:

1,0αadotar MM bxxmin,1d,xA,1d, =⇒≤ 1,0αadotar MM byymin,1d,yA,1d, =⇒≤ 1,0α bx = 1,0α by =

d)-Cálculo de 1λ :


2277100*23,51

NM

ed

xA,1d,1x ==

2277100*31,68

NM

ed

yA,1d,1y ==

cm 2,25e1x = cm 3,0e1y = cm 25,0h x = cm 50,0h y =

1,02525,2*12,525

α

*12,525λ

bx

1

1x

+=

+= x

x

he

1

500,3*12,525

α

*12,525λ

by

1

1y

+=

+

= y

y

he

26,12λ1x = 75,25λ1y =

9012,2613590λ

α35

1xbx

≤≤⇔≤≤ 9075,2513590λ

α35

1yby

≤≤⇔≤≤

35λ1x = 35λ1y =

ordem! 2 de Efeitos λ 1x °⇒> xλ ordem! 2 de efeitosDesprezar λ 1y °⇒≥ yλ

e)-Efeitos de 2º ordem (apenas na direção “x”):

85,050*25*4,1/0,3

2277A*f

N

ccd

d ===ϑ

cm 1,160,5)(0,85*25

0,005*10

2800,5)(*h

0,005*10

Lexe2

x

2

2x =+

=+

=ϑ

A1d,2dxA,1d,b,totald, Me*NM*αM ≥+= xx

23,510116,0*227723,51*0,1M,totald, >+=x

51,2377,64M

,totald, >=x

∴ KNm 77,64M,totald, =x



f)-Parâmetros para entrada de dados no ábaco:

4,1/0,3*25*)50*25(100*64,77

**x ==cdxc

dx

fhAM

μ ( ) 4,1/0,3*50*50*25100*31,68

**y ==cdyc

dy

fhAM

μ

116,0ax == μμ 05,0by == μμ

1ª Solução – Armaduras iguais nas 4 faces (Ábaco B.10, Apêndice B):

2ª Solução – Armaduras nas 2 faces maiores (Ábaco B.12, Apêndice B):

0,16254

bd'δa === e 0,08

504

ad'δb ===

85,050*25*4,1/0,3

2277A*f

N

ccd

d ===ϑ

35,05,0

85,000,13,05,08,00,1

5,00,13,08,0

21

=⇒−−

=−−

⇒⎭⎬⎫

=⇒==⇒=

==⇒>

ωωωϑ

ωϑμμμμμμ baba e

40,055,0

85,000,135,055,08,00,1

55,00,135,08,0

21

=⇒−

−=

−−

⇒⎭⎬⎫

=⇒==⇒=

==⇒>

ωωωϑ


Figura 4.26 - Geometria Figura 4.27 - Detalhamento


⎪⎩

⎪⎨⎧

=

←==

==

2

22

,

002,0,

2,250.208240.1612

3,22

424,13*50*25*35,0

*

cmcm

cmA

fAA

tots

sd

cdctots

φ

φ

σω

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

==

2

22

,

002,0,

2,250.208280.1614

5,25

424,13*50*25*40,0

*

cmcm

cmA

fAA

tots

sd

cdctots

φ

φ

σω



3ª Solução – Armaduras 3 vezes maior nas faces maiores (Ábaco B.14, Apêndice B):

Obs: O detalhamento adotado foi o referente ao ábaco B.10, com 0.1612φ . g)-Disposições construtivas:

-Bitola Longitudinal: 8dimensãoMenor mm 10,0 l ≤≤ φ

OK. 8

250mm 10,0 l ⇒≤≤ φ

-Armadura Mínima: 0,4%*ff

*0,15ρyd

cdmin ≥= ϑ

OK⇒≥== 0,4%%63,085,0*15,1/504,1/0,3*0,15ρmin

-Armadura Máxima: OK. )! trespasseno (Inclusive %8ρmax ⇒≤

-Armadura efetiva: ( )25*5000,24ρ ,

ef ==c

efs

AA

OK. %84,392,1*2ρ :arranque No %92,1ρ efef ⇒==→=


==⇐

≥mm4,04/16,04/

mm5,0

lt φ

φ

-Espaçamento dos estribos: cm 19,0scm19,21,6*12*12cm25DimensãoMenor

cm20s

l

=⇒⎪⎩

⎪⎨

⎧

===≤

φ

-Espaçamento mínimo entre barras: ⇐⎪⎩

⎪⎨

⎧

====≥

cm1,81,5*1,2*1,2cm3,21,6*2*2

cm2,0e

agregado

lmin

φφ

-Espaçamento Máximo entre barras: ⎩⎨⎧

⇐==

≤cm 40

cm 5025*2DimensãoMenor*2emax

-Grampos: cm 100,5*2020 t ==φ


40,055,0

85,000,135,055,08,00,1

55,00,135,08,0

21

=⇒−

−=

−−

⇒⎭⎬⎫

=⇒==⇒=

==⇒>

ωωωϑ


{ 22,

002,0,

54,245.112205,25

424,13*50*25*40,0

*

cmcmA

fAA

tots

sd

cdctots

==

==

φ

σω



-Ancoragem:

Da tabela D.1 : lb = 34 φ = 54,4 cm e α1 = 1,0

minb,efs,

calcs,b1necb, l

AA

*l*αl ≥=

cm5059,0524,0022,32*54,4*1,0l necb, ===

⎪⎩

⎪⎨

⎧==

==≥

cm10cm 16,01,6*10*10

cm 16,3254,4*0,3l*0,3 b

φ

h)-Detalhamento final:

Figura 4.32 – Detalhamento do Pilar.



4.14 – Bibliografia:

[ 1 ] – ABNT, Associação de Normas e Técnicas. Norma Brasileira NBR-6118. Projeto de estruturas de concreto – Procedimentos. Rio de Janeiro, 2007.

[ 2 ] – Guimarães, Gilson Natal. Apostila de Estruturas de Concreto Armado.

Universidade Federal de Goiás, 2003. [ 3 ] – SANTOS, Lauro Modesto dos. Cálculo de Concreto Armado. Vol. 2, Editora

LMS Ltda. São Paulo,1981. [ 4 ] – FUSCO, Péricles Brasiliense. Estruturas de Concreto; solicitações normais;

estados limites últimos. Editora Guanabara Dois. Rio de Janeiro, 1986. [ 5 ] – Exemplo de um Projeto Completo de um Edifício de Concreto Armado.

USP. São Paulo, 2001.

1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm² 1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m 1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m² 1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³

1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

TORÇÃO _ ______ V - 1


5 - TORÇÃO 5.1 – Torção Pura (Item 17.5.1):

As condições fixadas pela NBR-6118-2004 pressupõem um modelo resistente constituído por treliça espacial, definida a partir de um elemento estrutural de seção vazada equivalente ao elemento estrutural a dimensionar.

As diagonais de compressão dessa treliça, formada por elementos de concreto,

têm inclinação que pode ser arbitrada pelo projeto no intervalo 30° ≤ θ ≤ 45°. 5.1.1 – Torção de Equilíbrio e Torção de Compatibilidade (Item 17.5.1.1):

Figura 5.1 – Torção de Equilíbrio

Já para a grelha duplamente simétrica da figura 5.2, apresentam-se os

diagramas solicitantes (fletor e torçor) traçados para duas situações de inércia (elevada e tão pequena que se admite nula) à torção das barras biengastadas, e uma rigidez a flexão constante.

Figura 5.2 – Torção de Compatibilidade

5.1.2 – Armadura Mínima (Item 17.5.1.1):

Sempre que a torção for necessária ao equilíbrio do elemento estrutural, deve existir armadura destinada a resistir aos esforços de tração oriundos da torção. Essa armadura deve ser constituída por estribos verticais normais ao eixo do elemento estrutural e barras longitudinais distribuídas ao longo do perímetro da seção resistente,

Para a grelha da figura 5.1, isostática, seja quais forem as inércias à flexão e torção de suas barras, atuará o momento torçor Td = Pd * a, sendo obrigatória a sua consideração no dimensionamento. Trata-se, portanto, de torção de equilíbrio.

TORÇÃO _ ______ V - 2


calculada de acordo com as prescrições desta seção e com taxa geométrica mínima dada pela expressão:

Quando a torção não for necessária ao equilíbrio, caso da torção de compatibilidade é possível desprezá-la, desde que o elemento estrutural tenha a adequada capacidade de adaptação plástica e que todos os outros esforços sejam calculados sem considerar os efeitos por ela provocados. Para garantir um nível razoável de capacidade de adaptação plástica deve-se respeitar a armadura mínima de torção e a força cortante limitada, tal que: Vd ≤ 0,7 VRd2.

5.1.3 – Seção Vazada Equivalente (Item 17.5.1.3.1):

No caso de torção, trabalha-se com seções como se fossem vazadas,

desprezando-se a função resistente de seu núcleo. Isto se deve ao fato teórico de o maior percentual da torção ser combatido e absorvido na periferia da seção e além disto, a armação de combate à torção ser disposta na periferia da seção.

A seção vazada equivalente se define a partir da seção cheia com espessura da parede equivalente he dada por:

he ≤ A/μ he ≥ 2 c1 onde: A é a área da seção cheia; μ é o perímetro da seção cheia; c1 é a distância entre o eixo da armadura longitudinal do canto e a face lateral do

elemento estrutural. A figura 5.3 ilustra a seção vazada de área Ae e de perímetro u.

Figura 5.3 – Seção Ideal Equivalente

ywk

ctm

w

swsws f

fsb

A2,0≥== ρρ l

TORÇÃO _ ______ V - 3


5.1.4 – Verificação da Compressão Diagonal do Concreto (Item 17.5.1.4):

A resistência decorrente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida por:

Td ≤ TRd2 TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ

sendo: av = 1 - fck / 250, com fck em megapascal.

onde: θ é o ângulo de inclinação das diagonais de concreto, arbitrado no intervalo

30° ≤ θ ≤ 45°; Ae é a área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou

equivalente, incluindo a parte vazada; he é a espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou

equivalente, no ponto considerado.

5.1.5 – Dimensionamento das armaduras (Item 17.5.1.5):

Devem ser consideradas efetivas as armaduras contidas na área correspondente à parede equivalente, quando:

a)- a resistência decorrente dos estribos normais ao eixo do elemento estrutural atende

à expressão:

θgfA

Tds

A

ywde

s

cot***290, =

onde: fywd é a resistência de cálculo do aço, limitada a 435 MPa.

b)- a resistência decorrente das armaduras longitudinais atende à expressão:

θtgfA

TduA

ywde

sl

***2=

onde: Asl é a soma das áreas das seções das barras longitudinais; u é o perímetro de Ae.

A armadura longitudinal de torção de área total Asl pode ter arranjo distribuído ou concentrado, mantendo-se obrigatoriamente constante a relação ∆Asl /∆u, onde ∆u é o trecho de perímetro, da seção efetiva, correspondente a cada barra ou feixe de barras de área ∆Asl.

Nas seções poligonais, em cada vértice dos estribos de torção, deve ser colocada pelo menos uma barra longitudinal.

5.1.6 – Disposições Construtivas das Armaduras de Torção (Item 18.3.4):

Consideram-se efetivos na resistência os ramos dos estribos e as armaduras

longitudinais contidos no interior da parede fictícia da seção vazada equivalente.

TORÇÃO _ ______ V - 4


5.1.6.1 – Estribos:

Os estribos para torção devem ser fechados em todo o seu contorno, envolvendo

as barras das armaduras longitudinais de tração, e com as extremidades adequadamente ancoradas por meio de ganchos em ângulo de 45º.

a)- Bitolas dos Estribos:

φt ≥ 5,0 mm φt ≥ 4,2 mm ( para tela soldada ) φt ≤ bw / 10 φt ≤ 12 mm ( barra lisa )

b)- Espaçamento Mínimo entre Estribos: smin ≥ passagem do vibrador c)- Espaçamento Máximo entre Estribos:

Se 267,0 Rdd VV ≤ , então cmdsmáx 306,0 ≤= ;

Se 267,0 Rdd VV > , então cmdsmáx 203,0 ≤= . entre ramos sucessivos da armadura constituída por estribos: Se 220,0 Rdd VV ≤ , então cmds máxt 80, ≤= ; Se 220,0 Rdd VV > , então cmds máxt 356,0, ≤= .

5.1.6.1 – Armadura Longitudinal: a)- Bitola Mínima: φl ≥ φt. b)- Número Mínimo de Barras: As seções poligonais devem conter, em cada vértice dos

estribos de torção, pelo menos uma barra.

c)- Espaçamentos entre Barras Longitudinais:

As barras longitudinais da armadura de torção podem ter arranjo distribuído ou concentrado ao longo do perímetro interno dos estribos, espaçadas no máximo de 35cm. d)- Armadura de Pele:

A mínima armadura lateral deve ser almacA ,%10,0 em cada face da alma da viga e composta por barras de alta aderência ( )25,21 ≥η com espaçamento não maior que d/3 e 20 cm.

Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm pode ser dispensada a utilização da armadura de pele.

TORÇÃO _ ______ V - 5


5.1.7 – Exemplo: Dimensionar e detalhar a armação de combate ao momento torçor cujo valor de cálculo é de Td = 170 KN * m, para uma seção retangular de bw = 60 cm e h = 80 cm, com concreto fck = 25 MPa, Aço CA 50 e CA 60 e cobrimento lateral de 2,5 cm. a)- Seção Ideal Equivalente:

A área e o perímetro da seção cheia será: A = bw * h = 60 * 80 = 4800 cm2 μ = 2 * ( bw + h ) = 2 * ( 60 + 80 ) = 280 cm

Adotando-se, inicialmente, Φl = 10,0 mm e Φt = 8,0 mm, vem:

c1 = cobrimento + Φl / 2 + Φt = 2,5 + 0,8 + 0,5 = 3,8 cm

A espessura fictícia da parede é adotada igual a: he = A / μ ≤ 4800 / 280 = 17,14 cm he ≥ 2 * c1 ⇒ OK.

A área e o perímetro da seção equivalente:

bs = bw – he = 60 – 17,14 = 42,86 cm hs = h – he = 80 – 17,14 = 62,86 cm Ae = bs * hs = 42,86 * 62,86 = 2694,18 cm2 u = 2 * ( bs + hs ) = 2 * ( 42,86 + 62,86 ) = 211,44 cm

b)- Verificação do Concreto:

Adotando-se θ = 45˚, vem:

αv = 1 - fck / 250 = 1 – 25 / 250 = 0,9

TRd2 = 0,50 av fcd Ae he sen 2 θ = 0,50 * 0,9 * 2,5 / 1,4 * 2694,18 * 17,14 * sen 90˚

TRd2 = 371 KN * m

TRd2 ≥ Td ⇒ OK.

c)- Dimensionamento dos Estribos:

o45cot15,1/50*18,2694*2100*170

cot***290,

ggfATd

sA

ywde

s ==θ

=== mcmcmcms

As /25,7/0725,0 2290, φ 10,0 c/11 = 7,27 cm2/m

d)- Dimensionamento da Armadura Longitudinal:

o45*15,1/50*18,2694*2100*170

***2 tgtgfATd

uA

ywde

sl ==θ

TORÇÃO _ ______ V - 6


cmcmu

Asl /0725,0 2=

Asl = 0,0725 * 211,44 = 15,34 cm2 ⇒ 14 φ 12,5 = 17,5 cm2

e)- Disposições Construtivas:

φt ≥ 5,0 mm φt ≤ bw / 10 = 60 /10 = 60,0 mm

φl ≥ φt. Número Mínimo de Barras: 4 barras. Espaçamentos entre Barras Longitudinais ≤ 35 cm. Armadura de Pele:

As,Face = 0,10% Ac,Alma para face > 60 cm. As,Face = 0,10 / 100 * 60 * 80 = 4,8 cm2

⎩⎨⎧ ==

≤cm

cmdelong 20

3,253/763/

f)- Detalhamento da Seção:

Figura 5.4 – Detalhamento da Seção

TORÇÃO _ ______ V - 7


5.2 – Torção Combinada com Flexão (Item 17.7):

5.2.1- Dimensionamento:

Nos elementos estruturais submetidos a torção e a flexão simples ou composta, as verificações podem ser efetuadas separadamente para a torção e para as solicitações normais, somando-se os resultados.

5.2.2- Verificação do Concreto:

Na combinação de torção com força cortante, o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto θ �coincidentes para os dois esforços.

A resistência à compressão diagonal do concreto deve ser satisfeita atendendo à

expressão:

122

≤+Rd

d

Rd

d

TT

VV

onde : Vd e Td são os esforços de cálculo que agem concomitantemente na seção; TRd2 é calculado conforme item 5.1.4; VRd2 = 0,27 αv fcd bw d ( para θ = 45° ) sendo: αv = 1 - fck/250 e fck em megapascal.

5.2.3- Exemplo: Refazer o exemplo anterior, supondo-se que, além da atuação de Td = 170 KN * m, ocorra um esforço cortante Vd = 580 KN (valor máximo) e do momento fletor Md = 660 KN * m, comprimindo as fibras superiores.

Adotando-se d = 80 – 4 = 76 cm, vem: a)- Verificação do Concreto:

αv = 1 - fck/250 = 1 – 25/250 = 0,9 VRd2 = 0,27 αv fcd bw d = 0,27 * 0,9 * 2,5/1,4 * 60 * 76 = 1978,7 KN

122

≤+Rd

d

Rd

d

TT

VV ⇒ 175,0

371170

7,1978580

≤=+ ⇒ OK

b)- Dimensionamento da armadura de flexão:

25,566000

76*60* 22

===d

wc M

dbK ⇒ tabela A.3 ⇒ Ks= 0,025

27,2176

66000*025,0* cmd

MKA d

ss ===

A armadura mínima longitudinal para vigas retangulares é dada por:

Da tabela A.4, tem-se ρmin = 0,15% e,

TORÇÃO _ ______ V - 8


AS,Min = ρmin * Ac = 0,0015 * 60 * 80 = 7,2 cm2 ⇒ OK.

Para vigas com h ≥ 60 cm a armadura de pele deve ser no mínimo igual a 0,10%

Ac,Alma em cada face, ou seja : As,Alma = 0,0010*60*80 = 4,8cm2, satisfeita para menor face com 4φ12,5 = 5,0 cm2.

c)- Dimensionamento dos estribos de flexão:

MPafckfctm 56,225*3,0*3,0 3 23 2 ===

fctk,inf = 0,7 * fctm = 1,79 Mpa

fctd = fctk,inf / γc = 1,79 / 1,4 = 1,28 Mpa

Adotando-se °= 90α (estribo vertical)

Vc = Vc0 = 0,6 * fctd * bw * d = 0,6 * 0,128 * 60 * 76 = 350,21 KN

cmcmsenfdVV

sA

ywd

cdsw /0773,015,1/50*76*9,0)21,350580(

)cos(***9,0)( 2=

−=

+−

=αα

com MPaf ywd 435≤

mcms

Asw /73,7 2=

A armadura mínima devida a força cortante é dada por:

ywk

wctmsw

fbf

sA **2,0min, ≥

mcmcmcms

Asw /14,6/0614,0500

60*56,2*2,0 22min, === ⇒ OK

TORÇÃO _ ______ V - 9


d)- Armaduras Longitudinais Finais:

Somam-se as armaduras correspondentes, ou seja: Torção = 4 φ 12,5 = 5,0 cm2 (na região da tração da flexão) Flexão = 21,7 cm2 Total = 26,5 cm2 ⇒ Tabela A.1 ⇒ 9 φ 20,0 mm = 28,35 cm2

Figura 5.5 – Armação para combate de Torção + Flexão

e)- Armaduras Transversais Finais (estribos):

Armadura devida à Torção que deve ser resistida por cada perna de estribo.

mcmcmcms

As /25,7/0725,0 2290, ==

Armadura devido ao cortante que deve ser dividida pelo número de pernas dos estribos:

mcms

Asw /73,7 2=

Adotando-se um estribo interno de combate ao cortante - φ 8,0 c/15, obtém-se para as duas pernas, área de 2 x 3,33 cm2/m = 6,66 cm2/m. Resta ainda uma área de (7,73 – 6,66 ) / 2 = 0,535 cm2/m a ser acrescido a um estribo externo.

Assim, a área do estribo externo será 7,25 cm2/m (devido a torção) + 0,535 cm2/m (restante do cortante), ou seja, 7,8 cm2/m que resulta no estribo - φ 10,0 c/ 10 = 8 cm2/m.

O espaçamento máximo admitido para Vd > 0,67 VRd2 é de 0,3 * d = 0,3 * 76 = 22,8 cm e menor que 20cm, plenamente satisfeito.

TORÇÃO _ ______ V - 10


Figura 5.6 – Armação para combate de Torção + Cortante

f)- Detalhamento Final:

Figura 5.7 – Detalhamento Final

TORÇÃO _ ______ V - 11




[ 2 ] – Süssekind, José Carlos. Curso de Concreto, Vol. II. Editora Globo. Rio de

Janeiro, 1984.


1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

ESCADAS _ VI - 1

___________________________________________________________________ESTRUTURAS DE CONCRETO ARMADO II Engo João Bosco da Costa, M.Sc.

Versão 2016_1

6. ESCADAS

6.1 – Limitações Geométricas:

A figura 6.1 indica o corte e a planta genéricos de uma escada composta de dois patamares e um lance de escada. São feitas algumas observações para a boa funcionalidade das escadas, que são:

Figura 6.1 – Limitações Geométricas

- A altura ae dos espelhos deve variar de 16 a 19 cm;

- O comprimento ad dos degraus deve variar de 29 a 30 cm; - A relação entre os espelhos e os degraus deve ser: 2*ae + ad = 61 a 65 cm;

- O ângulo de inclinação do lance deve variar de 30 a 33;

- Quando n > 19, é conveniente criar um patamar intermediário com comprimento maior ou igual a 80 cm;

- A largura da escada deve ser, geralmente, de 80 cm e 120 cm em edifícios de apartamentos, de hotéis e escritórios.

ESCADAS _ VI - 2


6.2 – Carregamento das Escadas:

Os principais carregamentos a serem considerados no cálculo das escadas são:

a)- Peso Próprio; b)- Peso de Revestimentos; c)- Cargas Acidentais ou Sobrecargas ( NBR 6120:1980 ); d)- Cargas de Peitoril; e)- Cargas Localizadas.

6.2.1- Peso Próprio:

O peso próprio inclui a laje inclinada e os degraus que são considerados como um enchimento de altura variável. Adota-se, então, uma altura média, ou seja:

Figura 6.2 – Altura Média

6.2.2- Revestimento:

Os revestimentos mais utilizados são as cerâmicas, as pedras, madeiras e etc. O peso desses revestimentos varia conforme sua espessura e seu peso específico. Para as cerâmicas pode-se adotar uma carga de 1,0 KN/m2 e para as pedras uma carga de 1,5 KN/m2.

6.2.3- Carga Acidental:

A carga acidental é determinada segundo a NBR 6120:1980 e segundo ROCHA, Aderson Moreira, deve ser tomada como distribuída na área de projeção horizontal da escada, podendo-se adotar os seguintes valores:

- Escadas secundárias ................................................... 2,0 a 2,5 KN/m2

- Escadas de edifícios residenciais................................. 2,5 a 3,0 KN/m2

- Escadas de edifícios públicos....................................... 4,0 a 5,0 KN/m2

hm = h1 + ae/2

2

22

e

d

de

m

a

a

aahh

qpp = hm * c

c = 25 KN/m3

qpp é uma carga distribuída na área da escada.

ESCADAS _ VI - 3


Conforme NBR 6120:1980, Tabela 2, de valores mínimos das cargas verticais, a carga da escada depende de sua classificação, podendo ser classificada em com acesso ao público e sem acesso ao público.

Local kN/m²

Figura 6.3 – NBR 6120:1980 – Tabela 2.

6.2.4- Carga de Peitoril:

Segundo a NBR-6120, ao longo dos parapeitos e balcões, devem ser consideradas uma carga horizontal de 0,8 KN/m e uma carga vertical mínima de 2,0 KN/m. Este carregamento pode ser exagerado para escadas com corrimão leve, por exemplo, metálico, sem parede.

6.2.5- Cargas Localizadas:

Quando uma escada for constituída por degraus isolados, estes devem ser calculados para suportarem uma carga concentrada de 2,5 KN, aplicada na posição mais desfavorável. Este carregamento não deve ser considerado na composição de cargas das vigas que suportam os degraus.

6.3 – Classificação das Escadas:

As escadas podem ser divididas em quatro grupos principais que são: a)-Escadas em laje armada longitudinalmente; b)-Escadas em laje armada transversalmente; c)-Escadas em laje armada em cruz; d)-Escadas com degraus isolados.

6.3.1- Escadas em laje armadas longitudinalmente:

O cálculo estático é feito como se a laje fosse uma viga inclinada de largura igual

à largura da escada, e de vão (L) na horizontal igual à distância horizontal entre os eixos dos apoios. Na figura 6.3 são apresentados quatro casos de escadas armadas longitudinalmente, com os respectivos esquemas estáticos (a posição do apoio móvel não influi).

ESCADAS _ VI - 4


Figura 6.4 – Escadas armadas logitudinalmente 6.3.1.1- Dimensionamento da armadura:

Dimensiona-se a armadura principal ( AS,Princ ) para o máximo momento solicitante

( Md ), supondo-se que a laje funcione como uma viga inclinada de largura igual a um metro e altura igual a altura da escada.

ESCADAS _ VI - 5


Tal armadura não deve ser inferior à mínima: AS,Min = ρmin * Ac, ou seja, AS,Princ ≥ AS,Min. Os valores de ρmin e AS,Min estão tabelados no apêndice A, nos itens A.4 e A.5, respectivamente.

O espaçamento da armadura principal das lajes armadas em uma direção não

deve exceder a:

h

cmS

*2

20

Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8. A armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção ou armadura

de distribuição será dada por:

mcm

A

A

A MinS

incS

DistS

/9,0

*5,0

*5/1

2

,

Pr,

,

O espaçamento máximo da armadura de distribuição não deve exceder a 3Φ/m ou

seja s ≤ 33 cm.

6.3.1.2 – Verificação do Concreto: As lajes podem prescindir de armadura transversal para resistir aos esforços de

tração oriundos da força cortante, quando a tensão convencional de cisalhamento obedecer à expressão:

VSd ≤ VRd1

VRd1 = [ τRd *κ* ( 1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15 σcp ] * bw * d

onde:

τRd = 0,25 * fctd

fctd = fctk,inf / γc

db

A

w

S

*

1

1 , não maior que |0,02|

c

Sd

cpA

N

κ é um dos seguintes valores:

-elementos onde 50% da armadura inferior (positiva) não chega até o apoio: κ=|1|

-para os demais casos: κ=|1,6 - d|, não menor que |1|, com d em metros

d= h-cob- Φ/2 onde: d: altura útil da seção (cm);

ESCADAS _ VI - 6


h: espessura da laje no lance (cm); c: comprimento nominal da armadura (cm); Φ:bitola da armadura (cm); O cobrimento (cob) é dado de acordo com a Classe de Agressividade Ambiental.

Determinado pela NBR 6118:2013;

6.3.1.3 - Empuxo ao Vazio (item 18.2.3):

Quando houver tendência à retificação de barra tracionada em regiões em que a resistência a esses deslocamentos seja proporcionada por cobrimento insuficiente de concreto, a permanência da barra em sua posição deve ser garantida por meio de estribos ou grampos convenientemente distribuídos. Deve ser dada preferência à substituição da barra por outras duas prolongadas além do seu cruzamento e ancoradas conforme item anterior (ver figura 6.7).

Figura 6.5 - Mudança de direção das armaduras

ESCADAS _ VI - 7


6.3.1.3 - Exemplo – Dimensionar e detalhar a armadura do primeiro lance da escada da figura 6.5. Dados: fck = 25 MPa e Aço CA-50. Considerar, inicialmente, a laje da escada com uma altura h = 10 cm. A bitola da armadura (Φ) será adotada inicialmente 10mm.

Figura 6.6 – Planta de forma da Escada

a) Carregamentos:

-Peso Próprio do Patamar:

PPpatamar = h * c = 0,10 * 25 = 2,5 KN/m2 -Peso Próprio do Lance:

ESCADAS _ VI - 8


cmhm 202

17

30

301710 22

PPlance = hm * c = 0,20 * 25 = 5,0 KN/m2 -Revestimento: 1,5 KN/m2 -Carga Acidental (Sobrecarga): 3,0 KN/m2

b) Esquema Estático e Esforços:

Figura 6.7 – Esquema Estático

Calculando-se o momento máximo no tramo, vem: Ms = VA * x – 7,0 * 0,86 * ( x – 0,86 / 2 ) – 9,5 * ( x – 0,86 )2 / 2

Qs = dx

dM s = 0 x = 1,91 m Ms,max = 16,41 KN*m/m

a)Esforço Normal

MB = 0 3,82 * VA - 7,0 * 0,86 * 3,39 - 9,5 * 2,1 * 1,91 - 7,0 * 0,862 / 2 = 0 VA = 16 KN/m

FV = 0 VA + VB = 32 KN/m VB = 16 KN/m

ESCADAS _ VI - 9


b) Esforço Cortante

c) Momento Fletor

Figura 6.8 – Diagramas de Esforços

Observação: Desprezou-se a ação do Esforço Normal.

c) Dimensionamento da armadura:

A espessura da laje para que ela seja simplesmente armada será: Conforme tabela A.3:

Kc,3lim =1,8 cmb

KMd

w

cd43,6

100

8,1*1641*4,1* lim3,

min

hmin = dmin + 1,5 = 7,93 cm (adotou-se h = 10 cm) OK.

ESCADAS _ VI - 10


A armadura principal de flexão será: d= h-cob- Φ/2 d= 10-1,5-1/2 = 8,0 cm

78,21641*4,1

0,8*100* 22

d

w

cM

dbK Tabela A.3 Ks = 0,027

m

cm

d

MKA d

SincS

2

Pr, 75,70,8

1641*4,1027,0

A armadura principal não deve ser inferior a armadura mínima, calculada em função do fck, conforme tabela A.4, ou seja:

AS,Min = 0,15% * bw * h = 0,0015 * 100 * 10 = 1,5 cm2/m

AS,Princ. = 7,75 cm2/m Tabela A.2 Φ 10.0 c/ 10 cm = 8,00 cm2/m A bitola máxima utilizável é: Φ ≤ h / 8 ≤ 10 / 8 ≤ 1,25 cm ≤ 12,5 mm O espaçamento máximo da armadura principal fica limitado à:

cmh

cmS

2010*2*2

20

A armadura de distribuição será dada por:

AS,Dist ≥ 1/5* AS,Princ = 1/5*8,00=1,55 cm²/m

0,5*As,min= 0,5*1,5= 0,75cm²/m 0,9cm²/m

AS,Dist = 1,55 cm2/m Tabela A.2 Φ 5.0 c/ 12.5 cm = 1,67 cm2/m

d) Verificação do Concreto:

VSd = 1,4 * 16 = 22,4 KN/m

fctm = 0,3 3 2

ckf = 0,3 3 225 = 2,56 MPa

fctk,inf = 0,7 fctm = 1,795 MPa fctd = fctk,inf / γc = 1,28 MPa

τRd = 0,25 * fctd = 0,32 MPa = 0,032 KN/cm2

κ = |1,6 - d| = |1,6 – 0,085| = 1,515 > 1 κ = 1,515

02,0010,00,8*100

00,8

*

11

db

A

w

S

ESCADAS _ VI - 11


c

Sd

cpA

N = 0

VRd1 = [ τRd *κ* ( 1,2 + 40 ρ1 ) + 0,15 σcp ] * bw * d

VRd1 = [ 0,032 * 1,515 * ( 1,2 + 40 * 0,010 ) + 0 ] * 100 * 8,0 VRd1 = 62,05 KN/m

VSd ≤ VRd OK. (sem estribos)

e) Verificação de Ancoragem:

e.1) Ancoragem no Apoio: Conforme tabela D.1, para fck = 25MPa, boa aderência:

lb= 38Ф

fyd

Fs

d

lAcalcAs *

.,

NsdVsdFs

mKNFs /4,22

Para lajes, 5,1.

d

lA

15,1

500fyd 434,8MPa

²77,048,43

4,22*5,1, cmcalcAs

cmneclb 65,38

77,0*1*38*0,1,

ESCADAS _ VI - 12


Devido as lajes apresentarem mecanismos de solicitações diferentes aos das vigas, elementos lineares, a ancoragem das lajes deve ser no mínimo 4 cm além do eixo teórico do apoio. Assim, o lb_nec não precisa ser maior que o lb_min. Item 20.1 da NBR 6118:2014

lb,min= 10cm lb, min> lb,nec OK! Deverá ser adotada ancoragem até o cobrimento, com gancho. e.2) Ancoragem no Empuxo ao Vazio:

cmcmneclb 2677,258

75,7*1*38*7,0,

cm

cm

cm

lb

10

101*10

4,1138*3,0

min,

lb, min> lb,nec OK!

ESCADAS _ VI - 13


g) Detalhamento Final:

ESCADAS _ VI - 14


Figura 6.9 – Detalhamento dos Cortes da Escada

ESCADAS _ VI - 15


6.3.1.4- Escadas em “L” Armadas Longitudinalmente:

Na figura 6.9 apresenta-se o esquema estático simplificado de uma escada em “L” com lances armados longitudinalmente. Supõe-se, que o patamar do lance inferior apóie o patamar do lance superior. Note-se que foi desprezado o carregamento no patamar do lance superior (inclusive o peso próprio) que será considerado no lance inferior. A compatibilidade estática fica garantida com a distribuição da reação “RL1” no patamar do lance inferior.

Figura 6.10 – Escada em “L”

6.3.1.5- Escadas em “U” Armadas Longitudinalmente:

No esquema estático simplificado de uma escada em “U” com lances armados

longitudinalmente apresentado na figura 6.10, supõe-se que os patamares do lance inferior e do lance superior apóiem o lance intermediário. Note-se que uma vez mais,

ESCADAS _ VI - 16


desprezou-se os carregamentos nos patamares inferior e superior do lance intermediário (inclusive o peso próprio) que serão considerados no lance inferior e superior. Para manter a compatibilidade estática, as reações do lance intermediário RL1 e RL2) foram distribuídas nos patamares dos lances inferior e superior.

Figura 6.11 – Escada em “U”

ESCADAS _ VI - 17


6.3.1.6- Escadas em Cascata (Plissadas) Armadas Longitudinalmente:

No caso, os espelhos são flexo-tracionados ou flexo-comprimidos, e os pisos são solicitados à flexão simples. Detalha-se as armaduras conforme figuras 6.13 e 6.14, no quadro abaixo.

Figura 6.13 – Esquema Estático e Esforços

Figura 6.12 - Corte de um lance de

escada em cascata

Figura 6.14 – Detalhamento Típico da Armadura para Pequenos Vãos

Figura 6.15 – Detalhamento Típico da

Armadura para Grandes Vãos

ESCADAS _ VI - 18


6.3.2- Escadas em lajes armadas transversalmente:

Este tipo de escada apóia-se geralmente em paredes ou vigas inclinadas, trabalhando numa só direção (lado menor). A figura 6.11 mostra o caso típico. Se as paredes forem estruturais ou se as vigas de apoio tiverem grande rigidez, o esgastamento poderá ser considerado no cálculo, isto é, a “viga de largura 1m” será bi-engastada. Caso contrário bi-apoiada.

Figura 6.16 – Exemplo de escada em laje armada transversalmente

6.3.3- Escadas em laje armadas em cruz:

Para escadas com vãos grandes, maiores que 6m, por exemplo, é conveniente, sempre que possível, apoiar a escada em vigas em todo o perímetro. Quando a largura é da ordem de grandeza do vão, resulta a laje “em cruz”.

Figura 6.17 – Vãos da Escada

Quando 0,2/5,0 12 LL , a laje da escada

deve ser armada em cruz, respeitando-se as condições de apoio dos lados da laje.

ESCADAS _ VI - 19


Figura 6.18 – Planta de Forma de uma Escada em Cruz

6.3.4- Escadas com degraus isolados em balanço:

Nestes casos, admite-se que a viga esteja apoiada em pilares ou outros elementos estruturais nas suas extremidades, que lhe confiram engastamento à torção, necessário ao equilíbrio da estrutura. A figura 6.14 ilustra o caso.

O esquema estrutural dos degraus é uma viga em balanço, carregado com o peso próprio, revestimento e sobrecarga; esta última situada na ponta do balanço (não sendo tomada para cálculo da viga principal). Verifica-se a seção do engastamento à flexão e ao cisalhamento.

Figura 6.19 – Escada com degraus isolados

ESCADAS _ VI - 20


Figura 6.20 – Detalhamento típico

Obs.: Deve-se ancorar bem a armadura de flexão do degrau, para que possa ser transmitida perfeitamente a torção para a viga principal.



[ 2 ] – ROCHA, Aderson Moreira da. Concreto armado. Livraria Nobel S. A. São

Paulo,1985. 3 vol.

[ 3 ] – SANTOS, Lauro Modesto dos. Edifícios de concreto armado. EPUSP. São Paulo,1984.

1N = 0,1 kgf 1 MPa = 1 MN/m² = 10 kgf/cm²

1 kN = 100 kgf = 0,1 tf 1 kN/m = 100 kgf/m = 0,1 tf/m

1 kN.m = 100 kgf.m = 0,1 tf.m 1 kN/m² = 100 kgf/m² = 0,1 tf/m²

1 kN.cm = 100 kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 kN/m³ = 100 kgf/m³ = 0,1 tf/m³

1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

MARQUISES VII - 1


7 - MARQUISES 7.1 – Classificação: 7.1.1 – Quanto à armação:

As marquises podem ser armadas da seguinte forma:

a)-Armadas transversalmente (Vãos pequenos):

Constituídas por lajes armadas na direção transversal, engastadas em um extremo e livres na outra extremidade.

Figura 7.1 – Corte e Planta de uma marquise armada transversalmente.

b)-Armadas longitudinalmente (Vãos médios):

São aquelas em que os consolos são pouco espaçados em relação ao balanço da marquise, ou seja, lc / lm < 0.5.

a)-Planta

Figura 7.2 – Corte e Planta de uma marquise armada longitudinalmente

b)-Vista

c)-Corte

d)-Apoios

MARQUISES VII - 2


c)-Armadas em cruz (Vãos médios):

Quando o espaçamento entre consolos ultrapassar metade do comprimento do

balanço e não é superior a três vezes este valor, deve-se calcular as lajes em duas direções.

Figura 7.3 – Planta de uma marquise armada em cruz.

d)-Armadas com consolos e vigas longitudinais ( Grandes vãos ) :

Para grandes marquises, pode-se projetar, ao mesmo tempo, consolos e vigas longitudinais, com o fim de diminuir a espessura das lajes, reduzindo-se o peso próprio da marquise, como mostra a figura abaixo.

Figura 7.4 – Planta e Corte da marquise armada com consolos e vigas longitudinais

Calculam-se, primeiramente, as vigas longitudinais que estarão apoiadas nos consolos. Determinam-se, então, os esforços nos consolos onde as reações das vigas longitudinais serão consideradas como cargas concentradas, mantendo-se assim a compatibilidade estática.

7.1.2 – Quanto ao engastamento: ( Ligação com a estrutura ) As Marquises podem estar ligadas à estrutura, das seguintes formas :

5,03,0 ≤≤m

c

ll

MARQUISES VII - 3


a)-Engastadas em lajes :

O engastamento se realiza por meio da continuidade existente entre as lajes da

marquise e do piso

Figura 7.5 – Marquise engastada na laje L1.

Para cálculo da marquise ter-se-ia o seguinte esquema estático:

Figura 7.6 – Esquema estático da marquise. Para o cálculo da laje conjugada, utiliza-se do efeito de superposição, somando-se

os resultados. Primeiramente, determinam-se os esforços para a laje L1 solicitada pelo seu carregamento. Calcula-se, a seguir, a laje L1 solicitada pelo momento de engastamento da marquise, enquanto se mantém a compatibilidade estática.

b)-Engastadas em vigas :

Pode-se engastar a marquise em vigas ligadas a pilares, como mostra a figura.

Figura 7.7- Marquise engastada na viga V1.

MARQUISES VII - 4


O esquema estático para cálculo da marquise é análogo ao apresentado no item anterior. Já para a viga que fornece o engastamento, o esquema estático é o apresentado abaixo. No caso, para se manter a compatibilidade estática, a viga que fornece o engastamento estará solicitada a uma carga distribuída vertical

correspondente à reação de apoio da marquise (cortante no engastamento da

marquise) além de um momento torçor distribuído (momento de engastamento da marquise), mostrados na figura abaixo:

Figura 7.8 – Carregamentos e esforços na viga de engastamento.

c)- Engastadas em pilares : As lajes da marquise se apóiam nos consolos, que por sua vez estão engastados

nos pilares.

Figura 7.9 - Corte e Planta da marquise engastada em pilares.

MARQUISES VII - 5


O esquema estático e as armaduras são apresentadas na figura abaixo:

Figura 7.10 – Esquema Estático e diagramas de esforços.

Figura 7.11 – Detalhe da armadura da marquise e do pórtico.

7.2 – DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS DAS LAJES :

Para o correto dimensionamento e adequada escolha de bitola e de espaçamento, importa não esquecer algumas prescrições normativas:

a)- Armadura Mínima (item 19.3.3.2):

Dimensiona-se a armadura principal ( AS,Princ ) para o máximo momento solicitante ( Md ), supondo-se que a laje funcione como uma viga de largura igual a um metro e altura igual a altura da laje. Tal armadura não deve ser inferior à mínima: AS,Min = ρmin * Ac, ou seja, AS,Princ ≥ AS,Min. Os valores de ρmin estão mostrados na Tabela 7.1.

MARQUISES VII - 6


Tabela 7.1 – Taxa Mínima de Armadura

ωmín 0,035

Valores de ρmin* ( % ) fck 20 25 30 35 40 45 50

0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado.

Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como

controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura dados na tabela 7.2. Esta armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Tabela 7.2 - Valores mínimos para armaduras

Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas

Armaduras negativas

ρs ≥ ρmin

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções

ρs ≥ 0,67ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

ρs ≥ ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

ρs ≥ 20 % da armadura principal ρs ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ 0,9 cm2/m

ρs = As/bwh Os valores de ρmin constam da tabela 7.1

b)- Espaçamentos:

O espaçamento da armadura principal das lajes armadas em uma direção não deve exceder a:

⎩⎨⎧

≤hcm

S*2

20

Para lajes armadas em cruz o espaçamento das armaduras nas duas direções não devem exceder a 20 cm.

O espaçamento mínimo entre as armaduras deve ser de 7 cm.

c)- Diâmetro Máximo da Armadura:

Qualquer barra da armadura de flexão deve ter diâmetro no máximo igual a h/8.

MARQUISES VII - 7


d)- Armadura de Distribuição:

A armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção ou armadura de distribuição será dada por:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

mcm

AA

A MinS

incS

DistS

/9,0

*5,0*5/1

2

,

Pr,

,

e)- Espaçamento Máximo da Armadura de Distribuição:

O espaçamento máximo da armadura de distribuição não deve exceder a 3Φ/m ou seja s ≤ 33 cm.

7.3 - EXEMPLO : Calcular e detalhar a armadura das lajes L3 e L4 :

Dados : fck = 25 Mpa, Aço CA-50 e 60, hL3 = 10 e hL4 = 10 cm.

Figura 7.12 – Planta de eixo e de forma das lajes.

MARQUISES VII - 8


a)- Carregamentos :

Para a marquise considera-se dois trechos com carregamentos diferenciados, ou seja:

Figura 7.13 – Faixas de distribuição do carregamento Condição da faixa central ( de largura 1,0 m ) :

Peso próprio + carga acidental : ( 25 kN/m³ * 0,10 m + 0,90 kN/m² + 1,50 kN/m² ) = 4,9 kN/m² Peitoril (alvenaria 1 + carga peitoril) : [ ( 1,85 kN/m² * 1,1 m ) + 2,0 kN/m ] = 4,035 kN/m Peitoril ( carga horizontal ) : 0,8 kN/m

Condição da faixa lateral ( de largura 1,0 m ) : Divide-se o peso do peitoril ( alvenaria 2 ) na área Lm2/3, ou seja: Peso próprio + carga acidental : ( 25 kN/m³ * 0,10 m + 0,90 kN/m² + 1,50 kN/m² + (1,85 kN/m² *1,1 m + 2,0 kN/m )/(1,56/3) ) = 12,66 kN/m² Peitoril (alvenaria 1 + carga de peitoril ) : [ ( 1,85 kN/m² * 1,1 m ) + 2,0 kN/m ] = 4,035 kN/m

b)- Cálculo dos esforços :

Condição da faixa central ( de largura 1,0 m ) :

mmKNX y /13,13)1,1*8,0()56,1*035,4(2

)56,1(*9,4 2

⋅=++=

MARQUISES VII - 9


Condição da faixa lateral ( de largura 1,0 m ) :

mmKNX y /7,21)56,1*035,4(2

)56,1(*66,12 2

⋅=+=

Figura 7.14 – Momentos negativos compatibilizados

c)- Dimensionamento:

Condição da faixa central ( l = 4,0 m )

025,03.93,313134,1

5,8100 22

=⇒⇒=⋅⋅

=⋅

= sd

c KAtabelaM

dbK

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

⋅⋅=

⋅=

mcmcmcmc

mcmdMK

A dss /71,514/0,10

/56,59/0,8/4,5

5,813134,1025,0

2

22

φ

φ

Condição da faixa lateral ( l = 0,5 m )

0275,03.38,221704,1

5,8100 22

=⇒⇒=⋅⋅

=⋅

= sd

c KAtabelaM

dbK

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

==

⋅⋅=

⋅=

mcmcmcmc

mcmdMK

A dss /0,105,12/5,12

/0,108/0,10/83,9

5,821704,10275,0

2

22

φ

φ

Armadura Mínima: As,min = ρmin * Ac = 0,0015 * 100 * 10 = 1,5 cm2/m ≥ 0,9 cm2/m

MARQUISES VII - 10


Bitola Máxima: Фmax ≤ h/8 ≤ 10/8 ≤ 12,5 mm

Espaçamento Máximo ≤ ⎩⎨⎧

= cmhcm

20*220

Armadura de distribuição:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=⋅

≥

mcm

mcmA

mcmA

A s

princs

dists

/9,0

/75,0*5,0

/0,251

2

2min,

2,

,

As,dist = 2,0 cm2/m = φ 6,3 c/ 15 cm = 2,10 cm2/m

Smax,dist ≤ 33 cm

Ancoragem: Para o fck = 25 MPa, ℓb = 38 * Ф

MARQUISES VII - 11


d)- Detalhamento Final:

Figura 7.15 – Detalhamento da Marquise


1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

VIGAS-PAREDE ___ VIII - 1


8 – VIGAS-PAREDE 8.1 – Definição:

Designam-se “vigas-parede” as vigas retas, geralmente de seção constante, cuja relação entre o vão (L) e a altura total (h) da peça satisfaçam a uma das seguintes condições:

Figura 8.1 – Definição de Vigas-Parede Sendo o vão “L” dado pelo menor dos valores:

Figura 8.2 – Definição do Vão Teórico

8.2 – Altura Útil das vigas-parede:

Define-se a altura útil das vigas-parede como o menor valor:

⎩⎨⎧

−−

≤)(

)(hAltura

LTeóricoVãohu

⎩⎨⎧ ++

≤o

o

lbla

L15.1

2/2/⎩⎨⎧ +

≤o

o

lla

L15.1

2/



8.3 – Largura Mínima das vigas-parede: A largura wb das vigas-parede está limitada ao maior dos valores da tabela 8.1

abaixo: Tabela 8.1 – Valores Mínimos de bw

8.4 – Dimensionamento:

Os esforços solicitantes devidos à cargas e a outras ações são calculados como no caso das vigas de esbeltez normal.

Se dM designa o valor de cálculo do momento fletor, a seção da armadura principal deve ser pelo menos igual àquela que, sob o mesmo momento dM , deveria armar uma viga comum de mesma largura wb e braço de alavanca Z dado na tab. 8.2:

Tabela 8.2 – Valores do Braço de Alavanca Z

*Expressões nas quais h representa a altura total da parede. Assim, a área de aço de combate à flexão é fornecida por:

ZfM

yd

d

⋅=sA

8.5 – Disposição da armadura principal longitudinal: 8.5.1 – Faixa para Distribuição da Armadura Longitudinal:

A armadura principal, cuja seção terá sido determinada de acordo com o item 8.3,

deve ser mantida, sem redução, de um apoio ao outro, e deve ser repartida sobre uma altura igual a:

h⋅= 15.0μ



Figura 8.3 – Faixa para Distribuição da Armadura Principal 8.5.2 – Ancoragem da Armadura Longitudinal nos Apoios:

É necessário se ancorar as barras no apoio para a força dF . O comprimento de

ancoragem se limita ao comprimento dos pilares, uma vez que se evita a dobra vertical devido a um possível fendilhamento dessas barras.

Figura 8.4 – Ancoragem no Apoio

Fazendo-se N camadas de 2 barras, o perímetro μs fica : μs = N*2*π*φ

A tensão atb,f não deve ser superior à tensão bdf , ou seja:

Substituindo-se os valores de fb,at e μs, vem:

bds

d fF

≤Δl*μ

bdatb ff ≤,

ZMRF d

std⋅

=⋅=8.08.0

Esta força corresponde a uma tensão fb,at dada por:

lΔ

=*,

s

datb

Ff

μ

onde:

sμ = perímetro das barras a serem ancoradas;

lΔ = comprimento de ancoragem.



bd

d

fF

N**2

*π

φ ≥

O valor de fbd é dado por:

ctdbd ff *** 321 ηηη= sendo:

fctm = 0,3 3 2ckf

fctk,inf = 0,7 fctm fctd = fctk,inf / γc

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)50(25,2)60(4,1

)6025(0,1

1



⎩⎨⎧


7,00,1

2η

⎩⎨⎧

>)/100<

=mmpara

mmpara32, - (132

320,13 φφ

φη

8.6 – Verificação da segurança em relação ao concreto comprimido:

Nas vigas-parede, o esforço cortante devido às cargas é determinado como nas vigas comuns de esbeltez normal. Ele não deve ultrapassar o valor limite:

cduw fhb ⋅⋅⋅= 10.0V limd, ou seja: limd,d VV ≤

8.6 – Dimensionamento da armadura de alma:

Geralmente, é suficiente prever uma leve malha de armaduras ortogonais, compostas por estribos verticais e barras horizontais dispostas em cada uma das faces.

As seções das barras da malha vertical e horizontal são dadas pela expressão:

sbA wsv ⋅⋅== %10.0Ash

Expressão em que “s” designa o espaçamento das barras da malha. Um arranjo adequado da armadura na vizinhança dos apoios pode ser obtido pela

introdução de barras complementares, de mesmo diâmetro que a armadura de alma, como indicado na figura abaixo:



Figura 8.5 – Armaduras de Alma 8.7 – Armadura de Cisalhamento:

Nos casos em que lim,d 75.0V dV⋅≥ é conveniente a adoção de estribos

oblíquos, no sentido de se assegurar a transferência de cargas aos apoios, cujo valor é calculado pela seguinte expressão:

yd

d

fV⋅

=8.0Asc

distribuída conforme figura abaixo:

Figura 8.6 – Armadura de Cisalhamento



8.8 – EXEMPLO: Dimensionar e detalhar a viga-parede da figura abaixo. Existem cargas distribuídas aplicadas nas faces inferior e superior, além do peso próprio.

Figura 8.7 – Carregamentos na Viga Parede

a) – Vão Teórico (L):

b) – Tipo de Viga:

c) – Ações e Solicitações:

Figura 8.8 – Diagramas de Esforços Solicitantes

cmLcml

cmblaL 5,507

75,55715,1

5,50722

0

0 =⇒⎪⎩

⎪⎨⎧

=

=++≤

ParedeVigahL

−⇒<== 241,1360

5,507

mKNqtotalPeso

mKNqpróprioPeso

t

pp

/6989,6855,4884,65,13:

/5,1325.15,0.60,3:

==++=

==

KNLqVmKNLqM tK

tK 1,175

2,.14,222

8

2

max, ====

Dados: bw = 15 cm; Fck = 30 Mpa = 3 KN/cm2; Aço CA-50; Cobrimento = 2,5 cm



d) – Altura Útil hu:

d) – Verificação da Largura bw:

bw,const ≥ 12 cm ⇒ OK

f) – Dimensionamento da Armadura Principal:

- Braço de alavanca Z:

- Área de Aço:

- Faixa para distribuição da armadura (parte inferior da viga):

cmhcmhAltura

cmLTeóricoVãoh uu 360

0,3605,507

=⇒⎩⎨⎧

====

≤

!84,6

360.4,1

369,0.4,1.

85,507

..

.8

,

3

3

3

3

,

OKcmb

hfqLb

flambw

ucd

tffliambw

⇒≥

==γ

OKcmb

hjVb

cisalw

ucd

dcisalw

⇒≥

==

18,3

360.4,1

3.1,0

1,175.4,1..1,0

,

,

( )( ) cmZ

hLZhLPara

5,245360.25,507.2,0

2.2,021

=+=

+=⇒<<

⎪⎩

⎪⎨⎧

⇒=

=⇒=

!,0,30,8615,33,610

91,22

22

, adotadocmcm

cmA princs φ

φ

15,150.5,245

14,222.4,1., ==

yd

dprincs fZ

MA

cm

h

54360.15,0

.15,0

===

μμμ



Figura 8.9 – Faixa de Distribuição da Armadura - Ancoragem:

Adotando-se Δl = 12,5 cm (os ferros penetram 12,5 cm no apoio), vem:

cmfl

FN

bd

d 96,3326,0.5,12.2

34,101..2

==Δ

=ππ

φ

Variando-se as bitolas, fica:

Distribuindo-se 5 x 2 φ 8.0 na faixa μ = 54 cm, vem:

Figura 8.10 – Armadura de Ancoragem

As,princ,ancoragem > As, princ ⇒ Adotar a ancoragem. g)– Verificação do Concreto:

KNZ

MF dd 34,101

5,24514,222.4,1.8,0.8,0 ===

MPaff

ff

ff

bd

bd

ckbd

ctdbd

26,330.15,0.0,1.0,1.25,2

.15,0.0,1.0,1.25,2

...

3 2

3 2

321

==

=

= ηηη

⎩⎨⎧

⇒≅=⇒≅=⇒

!2595,40,82728,63,6

adotadobarrasdecamadasNbarrasdecamadasN

Paraφφ

KNV

V

fhbV

d

d

cduwd

11574,1

3.360.15.01

...01

lim,

lim,

lim,

=

=

=

KNVV

VV

d

d

kd

7,2455,175.4,1

.4,1

===

!lim, OKVV dd <



h)– Armadura de Alma (estribos):

Figura 8.11 – Armadura de Alma

i)– Armadura de Cisalhamento:

Figura 8.12 – Armadura de Cisalhamento

⎩⎨⎧

⇒⇒==

===

!21/3,613/0,5

/5,1

/5,1100..%1,0

2

2

adotadocc

mcms

As

A

facecadaemcmcmbs

As

A

svsh

wsvsh

φφ

Como Vd ≤ 0,75Vdlim , pode-se dispensar a armadura Asc.



j)– Detalhamento Final:


1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

RESERVATÓRIOS ______ IX - 1


9 – RESERVATÓRIOS 9.1 – Definição:

O comportamento tridimensional de reservatórios d’água exige uma análise mais detalhada, que consiste em calcular quadros hiperestáticos obtidos cortando o reservatório segundo três planos: um horizontal e dois verticais (transversal e longitudinal).

Porém, é comum a adoção de simplificações para se avaliar os esforços, isolando-se os diversos elementos.

Assim sendo, calcula-se a tampa e o fundo como laje; as faces laterais como placas (lajes) sob a ação do empuxo d’água, e como chapas (viga parede) ou como vigas comuns sob a ação do peso próprio e dos pesos descarregados pelas lajes horizontais (tampa e fundo). Para as faces laterais, calcula-se a placa e a chapa separadamente, e superpõem-se as armaduras encontradas.

Os reservatórios são divididos em dois grupos: • Reservatórios elevados; • Reservatórios subterrâneos.

9.2 – Reservatórios Elevados:

Na figura 9.1 apresenta-se a planta de um reservatório elevado cujas lajes da tampa e do fundo se apóiam nas vigas VR1, VR2, VR3 e VR4, que por sua vez, se apóiam nos pilares P1, P2, P3 e P4.

Figura 9.1 – Perspectiva, Planta do Fundo e Corte do Reservatório

9.2.1 – Funcionamento Tridimensional:

Na figura 9.2 apresenta-se os carregamentos e o diagrama de momento fletor admitindo-se o quadro hiperestático de um dos cortes verticais ( Corte AA ).



Figura 9.2 – Carregamentos e Diagrama de Momento Fletor do Corte AA

Já para a figura 9.3, apresentam-se os carregamentos e os momentos fletores do

quadro hiperestático do plano horizontal.

Figura 9.3 – Carregamentos e Diagrama de Momento Fletor em Planta

9.2.2 – Funcionamento Simplificado:

9.2.2.1 – Carregamentos nas Lajes: a)– Laje da Tampa ( Horizontal ):

São solicitadas, geralmente, pelo peso próprio, por uma impermeabilização inferior

e outra superior além da carga acidental ( laje sem acesso ao público ).

b)– Laje do Fundo ( Horizontal ):

Atuam, além do peso próprio, a impermeabilização superior, o reboco inferior (se houver) e o peso d´água. Pode-se desprezar a carga acidental.

c)– Lajes Laterais:

As paredes laterais (vigas) funcionam como placas (lajes) sob a ação do empuxo d´água. No caso, o carregamento é triangular e distribuído na área da laje.



9.2.2.2 – Reação das Lajes nas Vigas (quinhão de cargas das lajes nas vigas):

Supondo-se que as lajes horizontais (tampa e fundo) são sustentadas pelas vigas laterais, determinam-se as reações por áreas de influência ou por quinhões de cargas que cada viga recebe.

Figura 9.5 – Reações das Lajes

As cargas distribuídas médias nas vigas paralelas aos lados lx e ly serão:

)/(..........41 mKNlqR xx =⋅⋅= e )/(..........)2( mKN

llRR

y

xxy =−⋅=

9.2.2.3 – Cargas nas vigas:

As vigas são solicitadas pelo peso próprio, revestimentos e as reações das lajes da tampa e do fundo (conforme item anterior)

9.2.2.4 – Cálculo dos esforços nos elementos: 9.2.2.4.1 – Lajes:

Através de tabelas para cálculo dos esforços em lajes, determinam-se os momentos, de acordo com as condições de contorno (apoios e engastes são baseados nos esforços obtidos no modelo tridimensional). Posteriormente, compatibiliza-se os momentos das bordas das lajes.

a) – Laje da tampa: É uma laje simplesmente apoiada nas quatro bordas.

Figura 9.6 – Momentos na tampa

b) – Laje do fundo: Supõem-se o engastamento nas quatro bordas.

Definindo-se: lx = menor vão; ly = maior vão; q = carga total distribuída na área da laje



Figura 9.7 – Momentos no fundo

c) – Lajes verticais (paredes): São solicitadas pelo empuxo d´água, admitindo-se o apoio na laje da tampa e o engastamento nas lajes laterais e do fundo:

Figura 9.8 – Momentos nas lajes verticais

d) – Compatibilização dos momentos das bordas: Como as lajes foram calculadas separadamente, é necessário a compatibilização dos momentos de engastamento nas bordas:

Figura 9.9 – Compatibilização dos Momentos das bordas

Esta compatibilização se fará, para cada caso, através da relação:

( ) ( )

⎪⎩

⎪⎨⎧ +

≥)(*8.0

221

maiorMb

MbMbMbequilíbrio



9.2.2.4.2 – Vigas: Conhecido o quinhão das lajes, os esforços são calculados para a viga isostática

(comum ou parede, conforme o caso).

Figura 9.10 – Viga isostática

Observação : As paredes laterais são solicitadas pelo empuxo d’água e por cargas gravitacionais (reações das lajes, peso próprio e revestimentos) que foram consideradas independentemente para as paredes calculadas como lajes e como vigas. Adota-se, usualmente, a maior das armaduras encontradas para a laje e ou para a viga. Isto, para cada direção da parede.

9.2.3 – Exemplo:

Dimensionar e detalhar o reservatório elevado.

Figura 9.11 – Planta de Forma do Reservatório

Dados: fck = 30 Mpa Cobrimento viga = 3,0 cm

Aço CA 50 e 60 Cobrimento laje = 2,0 cm



9.2.3.1 - Resolução como lajes:

a) - Carregamento das lajes:

Tampa Fundo Laterais Peso Próprio = 0.08*25 = 2 Impermeabilização = 2*1,5 = 3 Carga Acidental = 0,5

Peso Próprio = 0.15*25 = 3.75 Impermeabilização = 1,5 Peso d´água = 3,37*10= 33,7

Empuxo d´água = 3,37*10 = 33,7

qtampa = 5,5 KN/m2 qfundo = 38,95 KN/m2 qempuxo = 33,7 KN/m2

b) - Esforços nas lajes:

• Tampa:

• Fundo:

mmKNxM

mmKNxM

CTabelamm

ll

mLmL

mKNq

y

x

y

x

x

y

yx

tampa

/.23,44,22/15,45,5

/.96,59,15/15,45,5

)1.(4,229,15

25,1

15,515,4

/5,5

2

2

2

==

==⎩⎨⎧

==

→=

==

=

Figura 9.12 – Carregamento e momentos do tampa

mKNxM

mKNxM

mmKNxM

mmKNxM

CTabela

nn

mm

ll

mLmL

mKNq

by

bx

y

x

y

x

y

x

x

y

yx

fundo

/.95,377,17/15,439

/.08,459,14/15,439

/.30,135,50/15,439

/.11,204,33/15,439

)9.(

7,179,14

5,504,33

25,1

15,515,4

/39

2

2

2

2

2

−==

−==

==

==

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

→=

==

=

Figura 9.13 – Carregamento e momentos do fundo



• Lateral (VR1 = VR2):

• Lateral (VR3 = VR4):

c)- Compatibilização dos momentos de borda:

Figura 9.16 – Momentos de borda das lajes

KNxMb

KNxMb

mKNxM

mmKNxM

CTabela

nnmm

ll

mLmLmKNq

y

x

y

x

y

x

y

x

x

y

yx

lateral

.51,142,28/485,37,33

77,218,18/485,37,33

/.92,42,83/485,37,33

/.5,82,48/485,37,33

)10.(

2,288,182,832,48

50,1

15,5485,3/7,33

2

2

2

2

2

−==

−==

==

==

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

→=

===

Figura 9.14 – Carregamento e momentos da lateral

KNxM

KNxM

mKNxM

mKNxM

CTabela

nnmm

ll

mLmLmKNq

by

bx

y

x

y

x

y

x

x

y

yx

lateral

.5,132,28/485,37,33

84,179,22/485,37,33

/.27,57,77/485,37,33

/.28,62,65/485,37,33

10.(

3,309,227,772,65

20,1

15,4485,3/7,33

2

2

2

2

2

−==

−==

==

==

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

==

==

→=

===

Figura 9.15 – Carregamento e momentos da lateral



⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−×=

−=−−

=⇒

mmKNM

adotadommKNMLateralLateral

A

ed

/.61,1151,148,0

)(/.01,142

50,1351,14/

1

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−×=

−=−−

=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−×=

−=−−

=⇒

)(/.06,3608,458,0

/.43,332

08,4577,21/

)(/.36,3095,378,0

/.91,272

95,3787,17/

1

1

adotadommKNM

mmKNMFundoLateral

adotadommKNM

mmKNMFundoLateral

A

ed

A

ed

d)- Dimensionamento da armadura positiva das lajes:

• Tampa:

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=××

=×

=

=−=−=→=

cmccmc

mcmA

dMd

KA

KATabelaKMd

dbK

cmdhdcmh

sx

xsxsx

sxcx

x

wcx

5,12/0,80,8/3,6

/79,3

5,55964,1025,0

025,0)3.(62,35964,1

5,5100

5,55,28'8

2

22

φφ

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=

××

=×

=

cmccmc

mcmA

dMd

KA

KATabelaK

Mddb

K

sy

ysysy

sycy

y

wcy

19/0,812/3,6

/58,2

5,54234,1024,0

024,0)3.(11,5

4234,15,5100

2

22

φφ

⎩⎨⎧

=×=×≤

=→=≤

>=

××=××=

=→=

cmhcm

s

mmhmcmmcmA

hbA

MPafPara

s

ws

ck

1682220

0,1088

8

/9,0/38,1

8100100173,0

%173,030

max

maxmax

22min

minmin

min

φφ

ρ

ρ

Figura 9.17 – Armadura positiva da tampa



• Fundo:

• Lateral VR1 = VR2:

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=××

=×

=

=−=−=→=

cmccmc

mcmA

dMd

KA

KATabelaKMd

dbK

cmdhdcmh

sx

xsxsx

sxcx

x

wcx

14/0,109/0,8

/40,5

5,1220114,1024,0

024,0)3.(55,520114,1

5,12100

5,125,215'15

2

22

φφ

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=

××

=×

=

cmccmc

mcmA

dMd

KA

KTabelaAK

Mddb

K

sy

ysysy

sycy

y

wcy

22/0,1014/0,8

/58,3

5,1213304,1024,0

024,0)3.(39,8

13304,15,12100

2

22

φφ

mcmmcmA

hbA

s

ws

/9,0/60,2

15100100173,0

22min

minmin

>=

××=××= ρ

⎩⎨⎧

=×=×≤

=→=≤

cmhcm

s

mmh

30152220

0,188

158

max

maxmax φφ

Figura 9.18 – Armadura positiva do fundo

mcmAd

MdKA

KATabelaKMd

dbK

cmdhdcmh

sx

xsxsx

sxcx

x

wcx

/19,25,128504,1023,0

023,0)3.(13,138504,1

5,12100

5,125,215'15

2

22

=

××=×=

=→→=××

=×

=

=−=−=→=

mcmAd

MdKA

KATabelaK

Mddb

K

sy

ysysy

sycy

y

wcy

/27,15,124924,1023,0

023,0)3.(68,22

4924,15,12100

2

22

=

××=×=

=→→=

××

=×

=

⎩⎨⎧

=×=×≤

=→=≤

>=

××=××=

cmhcm

s

mmhmcmmcmA

hbA

s

ws

30152220

0,188

158

/9,0/60,2

15100100173,0

max

maxmax

22min

minmin

φφ

ρ

Figura 9.19 – Armadura positiva da lateral VR1 = VR2

⎩⎨⎧

==

=<==

cmccmc

mcmAAambosparaAdotar

mcmAmcmAemcmAComo

ss

ssysx

19/0,812/3,6

/60,2

/60,2/26,1/19,2

2min

2min

22

φφ



• Lateral VR3 = VR4:

⎩⎨⎧

==

=<==

cmccmc

mcmAAambosparaAdotar

mcmAmcmAemcmAComo

ss

ssysx

19/0,812/3,6

/60,2

/60,2/26,1/19,2

2min

2min

22

φφ

e)- Dimensionamento das armaduras de borda (negativas): - Fundo com Laterais VR1 = VR2:

mcmAd

MdKA

KATabelaKMd

dbK

cmdhdcmh

sx

xsxsx

sxcx

x

wcx

/62,15,126284,1023,0

023,0)3.(7,176284,1

5,12100

5,125,215'15

2

22

=

××=×=

=→→=××

=×

=

=−=−=→=

mcmAd

MdKA

KATabelaK

Mddb

K

sy

ysysy

sycy

y

wcy

/36,15,125274,1023,0

023,0)3.(18,21

5274,15,12100

2

22

=

××=×=

=→→=

××

=×

=

mcmmcmA

hbA

s

ws

/9,0/60,2

15100100173,0

22min

minmin

>=

××=××= ρ

⎩⎨⎧

=×=×≤

=→=≤

cmhcm

s

mmh

30152220

0,188

158

max

maxmax φφ

Figura 9.20 – Armadura positiva da lateral VR3 = VR4

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=××

=×

=

−=

cmccmc

mcmA

dMdKA

KATabelaKMd

dbK

mmKNM

s

ss

sc

wc

k

12/5,125,7/0,10

/30,10

5,1236064,10255,0

0255,0)3.(1,336064,1

5,12100

/.06,32

2

22

φφ

ml

mfundomVRVR

ladosmenores

ladosmenoresdosmaiorl

b

b

04,14150,4

150,4485,3

41

21

==

⎩⎨⎧

===

×=

Figura 9.21 – Armadura negativa do

Fundo com a lateral VR1 = VR2



- Fundo com Laterais VR3 = VR4:

- Lateral VR1 = VR2 com Lateral VR3 = VR4:

⎩⎨⎧

=

××=×=

=→→=××

=×

=

−=

cmccmc

mcmA

dMdKA

KATabelaKMd

dbK

mmKNM

s

ss

sc

wc

k

14/5,129/0,10

/50,8

5,1230364,1025,0

025,0)3.(68,330364,1

5,12100

/.36,30

2

22

φφ

ml

mfundomVRVR

ladosmenores


b

b

04,14150,4

150,4485,3

41

43

==

⎩⎨⎧

===

×=

Figura 9.22 – Armadura negativa do Fundo com a lateral VR3 = VR4

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

××=×=

=→→=××

=×

=

−=

cmccmc

cmcmcmA

dMdKA

KATabelaKMd

dbK

mmKNM

s

ss

sc

wc

k

5,32/5,125,20/0,10

13/0,8/77,3

5,1214014,1024,0

024,0)3.(97,714014,1

5,12100

/.01,14

2

22

φφφ

ml

mVRVRmVRVR

ladosmenores


b

b

87,04485,3

485,3485,3

41

43

21

==

⎩⎨⎧

====

×=Figura 9.23 – Armadura negativa

das Laterais



f)- Reações das lajes nas vigas:

• Tampa (qt = 5,5 Kn/m2): (tabela C.1)

mKNR

VlqRVmKNR

VlqRV

y

yyyy

x

xxxx

/67,5

20,015,55,520,0/85,6

30,015,45,530,0

=

××=××=→==

××=××=→=

• Fundo (qf = 39 Kn/m2): (tabela C.9)

mKNR

VlqRVmKNR

VlqRV

y

yyyy

x

xxxx

/17,40

20,015,53920,0/56,48

30,015,43930,0

=

××=××=→==

××=××=→=

g)- Cálculo das Vigas Paredes:

As vigas-parede serão calculadas para o carregamento gravitacional conforme item anterior. Deve-se, ainda, comparar a armadura obtida para o empuxo d’água e para o cálculo das vigas-parede e se adotar a maior das armaduras para cada direção.



h)- Detalhamento Final

Figura 9.24 – Detalhamento do Reservatório




1 MPa = 0,1 kN/cm² = 100 N/cm²

APÊNDICE A – TABELAS DE ARMADURAS E DE FLEXÃO SIMPLES _ A - 1


TABELA A.1 – Área da Seção de Armadura As (cm2)

TABELA A.2 – Área da Seção de Armadura Por Metro de Largura (cm2/m)



TABELA A.3 – Dimensionamento à Flexão Simples Para γc = 1.4 e γs = 1.15

ξ=x/d

Kc = bw * d2 / Md Ks

Para fck (Mpa) Para os aços

15 20 25 30 35 40 45 50 CA-50A

CA-60B

Dom

ínio

2

0,02 69,2 51,9 41,5 34,9 29,6 25,9 23,1 20,8 0,023 0,019 0,04 34,9 26,2 20,9 17,4 14,9 13,1 11,6 10,5 0,023 0,019 0,06 23,4 17,6 14,1 11,7 10,0 8,8 7,8 7,0 0,024 0,020 0,08 17,7 13,3 10,6 8,9 7,6 6,6 5,9 5,3 0,024 0,020 0,10 14,3 10,7 8,6 7,1 6,1 5,4 4,8 4,3 0,024 0,020 0,12 12,0 9,0 7,2 6,0 5,1 4,5 4,0 3,6 0,024 0,020 0,14 10,4 7,8 6,2 5,2 4,5 3,9 3,5 3,1 0,024 0,020 0,16 9,2 6,9 5,5 4,6 3,9 3,4 3,1 2,7 0,025 0,020 0,18 8,2 6,2 4,9 4,1 3,5 3,1 2,7 2,5 0,025 0,021 0,20 7,4 5,6 4,5 3,7 3,2 2,8 2,5 2,2 0,025 0,021 0,22 6,8 5,1 4,1 3,4 2,9 2,6 2,3 2,1 0,025 0,021 0,24 6,3 4,7 3,8 3,2 2,7 2,4 2,1 1,9 0,025 0,021

0,2593 5,9 4,4 3,5 3,0 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 0,021

Dom

ínio

3

0,26 5,9 4,4 3,5 2,9 2,5 2,2 2,0 1,8 0,026 0,021 0,28 5,5 4,1 3,3 2,8 2,4 2,1 1,8 1,7 0,026 0,022 0,30 5,2 3,9 3,1 2,6 2,2 1,9 1,7 1,6 0,026 0,022 0,32 4,9 3,7 3,0 2,5 2,1 1,8 1,6 1,5 0,026 0,022 0,34 4,7 3,5 2,8 2,3 2,0 1,8 1,6 1,4 0,027 0,022 0,36 4,5 3,3 2,7 2,2 1,9 1,7 1,5 1,3 0,027 0,022 0,38 4,3 3,2 2,6 2,1 1,8 1,6 1,4 1,3 0,027 0,023 0,40 4,1 3,1 2,5 2,0 1,8 1,5 1,4 1,2 0,027 0,023

0,4384 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 0,023 0,44 3,8 2,8 2,3 1,9 1,6 1,4 1,3 1,1 0,028 - 0,46 3,7 2,7 2,2 1,8 1,6 1,4 1,2 1,1 0,028 - 0,48 3,5 2,7 2,1 1,8 1,5 1,3 1,2 1,1 0,028 - 0,50 3,4 2,6 2,1 1,7 1,5 1,3 1,1 1,0 0,029 - 0,52 3,3 2,5 2,0 1,7 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 - 0,54 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 1,0 0,029 - 0,56 3,2 2,4 1,9 1,6 1,4 1,2 1,1 0,9 0,030 - 0,58 3,1 2,3 1,8 1,5 1,3 1,2 1,0 0,9 0,030 - 0,60 3,0 2,3 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,030 -

0,6283 2,9 2,2 1,8 1,5 1,3 1,1 1,0 0,9 0,031 -

0,05 0,10 0,15 0,20CA-50A 0,023 0,023 0,023 0,023 0,023CA-60B 0,019 0,021 0,022 0,024 0,026

Para ξ =ξ3lim δ = d´/dKs´Aço Ks2

Armadura Dupla :

'2

lim3,

ddM

Kd

MKA d

sd

ss −Δ

+=

'

''

ddMKA d

ss −Δ

=

Unidades: KN , cm 1N = 0,1 Kgf 1KN = 100 Kgf = 0,1tf 1KN.m = 100 Kgf.m = 0,1 tf.m 1 KN.cm = 100 Kgf.cm = 0,1 tf.cm 1 MPa = 0,1 KN/cm2 = 100 N/cm2

Armadura Simples:

dM

KA dss =



TABELA A.4 – Taxa Mínima de Armadura de Flexão para Lajes e Vigas Para melhorar o desempenho e a dutilidade à flexão e à punção, assim como

controlar a fissuração, são necessários valores mínimos de armadura dados na tabela A.4. Esta armadura deve ser constituída preferencialmente por barras com alta aderência ou por telas soldadas.

Armadura Elementos estruturais sem armaduras ativas

Armaduras negativas

ρs ≥ ρmin

Armaduras positivas de lajes armadas nas duas direções

ρs ≥ 0,67ρmin

Armadura positiva (principal) de lajes armadas em uma direção

ρs ≥ ρmin

Armadura positiva (secundária) de lajes armadas em uma direção

ρs ≥ 20 % da armadura principal ρs ≥ 0,5 ρmin

ρs ≥ 0,9 cm2/m ρs = As/bwh Os valores de ρmin constam da tabela A.4

Forma da seção

Valores de ρmin* ( % )

fck 20 25 30 35 40 45 50 ωmín

Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288

T(mesa comprimida) 0,024 0,150 0,150 0,150 0,150 0,158 0,177 0,197

T (mesa tracionada) 0,031 0,150 0,150 0,153 0,178 0,204 0.229 0,255

Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575* Os valores de ρmin estabelecidos nesta tabela pressupõem o uso de aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, ρmin deve ser recalculado com base no valor de ωmín dado. Nas seções tipo T, a área da seção a ser considerada deve ser caracterizada pela alma acrescida da mesa colaborante.



TABELA A.6 – LIMITES PARA FUROS E ABERTURAS EM LAJES

Em lajes lisas ou lajes-cogumelo, a resistência e deformação devem ser verificados e não ultrapassar os limites previstos na Norma NBR-6118. De maneira geral os furos têm dimensões pequenas em relação ao elemento estrutural enquanto as aberturas não. Um conjunto de furos muito próximos deve ser tratado como uma abertura.

Outros tipos de lajes podem ser dispensados dessa verificação, devendo ser armada nas duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições:

TABELA A.7 – ARMADURAS EM BORDAS LIVRES E ABERTURAS EM LAJES :

Em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições mínimas contidas na figura abaixo. Os valores de lb são calculados conforme tabela D.1 e D.2 do apêndice D.

a)- as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (lx);

b)- a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou maior que ¼ do vão, na direção considerada; e

c)- a distância de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão.

APÊNDICE B – ÁBACOS DE INTERAÇÃO___________________ B - 1


TABELA B.1 – Ábacos de interação – ν x μ



TABELA B.8 – Ábacos de interação –ν x μ



TABELA B.9 – Ábacos de Interação υ x μx x μy


APÊNDICE C – TABELAS DE ESFORÇOS DE LAJES __ C - 1


Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 22,7 22,7 - - 0,250 0,250 21,41,05 20,8 22,5 - - 0,262 0,238 19,41,10 19,3 22,3 - - 0,273 0,227 17,81,15 18,1 22,3 - - 0,283 0,217 16,51,20 16,9 22,3 - - 0,292 0,208 15,41,25 15,9 22,4 - - 0,300 0,200 14,31,30 15,2 22,7 - - 0,308 0,192 13,61,35 14,4 22,9 - - 0,315 0,185 12,91,40 13,8 23,1 - - 0,321 0,179 12,31,45 13,2 23,3 - - 0,327 0,173 11,71,50 12,7 23,5 - - 0,333 0,167 11,21,55 12,3 23,5 - - 0,339 0,161 10,81,60 11,9 23,5 - - 0,344 0,156 10,41,65 11,5 23,5 - - 0,349 0,152 10,11,70 11,2 23,5 - - 0,353 0,148 9,81,75 10,8 23,5 - - 0,357 0,144 9,51,80 10,7 23,5 - - 0,361 0,139 9,31,85 10,4 23,5 - - 0,365 0,136 9,11,90 10,2 23,5 - - 0,368 0,132 8,91,95 10,1 23,5 - - 0,372 0,129 8,72,00 9,9 23,5 - - 0,375 0,125 8,6

>2,00 8,0 23,5 - - 6,7

Ly/Lx mx my nx ny vx vy1 vy2 f1,00 32,4 26,5 - 11,9 0,183 0,402 0,232 31,21,05 29,2 25,0 - 11,3 0,193 0,388 0,226 27,61,10 26,1 24,4 - 10,9 0,202 0,378 0,218 24,71,15 23,7 23,9 - 10,4 0,211 0,366 0,212 22,31,20 22,0 23,8 - 10,1 0,220 0,355 0,205 20,31,25 20,2 23,6 - 9,8 0,230 0,342 0,198 18,71,30 19,0 23,7 - 9,6 0,239 0,331 0,191 17,31,35 17,8 23,7 - 9,3 0,248 0,320 0,184 16,11,40 16,8 23,8 - 9,2 0,256 0,310 0,179 15,11,45 15,8 23,9 - 9,0 0,264 0,300 0,173 14,21,50 15,1 24,0 - 8,9 0,272 0,289 0,167 13,51,55 14,3 24,0 - 8,8 0,280 0,280 0,161 12,81,60 13,8 24,0 - 8,7 0,286 0,272 0,156 12,21,65 13,2 24,0 - 8,6 0,292 0,265 0,152 11,71,70 12,8 24,0 - 8,5 0,298 0,257 0,148 11,21,75 12,3 24,0 - 8,5 0,304 0,249 0,144 10,81,80 12,0 24,0 - 8,4 0,310 0,241 0,139 10,51,85 11,5 24,0 - 8,4 0,315 0,235 0,136 10,11,90 11,3 24,0 - 8,3 0,320 0,229 0,132 9,91,95 10,9 24,0 - 8,3 0,325 0,223 0,129 9,62,00 10,8 24,0 - 8,2 0,329 0,217 0,125 9,4

>2,00 8,0 24,0 - 8,0 6,7

UMA BORDA MENOR (Lx) ENGASTADA - CARGA UNIFORME

Tabela C.1LAJE RETANGULAR COM 4 BORDAS APOIADAS - CARGA UNIFORME

Tabela C.2LAJE RETANGULAR COM 3 BORDAS LIVREMENTE APOIADAS E

fhElp

a

vqlRmpl

M

vqlRmpl

M

c

x

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

=

==

==



Ly/Lx mx my nx ny vx1 vy vx2 f1,00 26,5 32,4 11,9 - 0,402 0,183 0,232 31,21,05 25,7 33,3 11,3 - 0,412 0,175 0,238 29,21,10 24,4 33,9 10,9 - 0,422 0,167 0,244 27,41,15 23,3 34,5 10,5 - 0,431 0,160 0,249 26,01,20 22,3 34,9 10,2 - 0,440 0,153 0,254 24,81,25 21,4 35,2 9,9 - 0,447 0,147 0,259 23,81,30 20,7 35,4 9,7 - 0,455 0,141 0,263 22,91,35 20,1 37,2 9,4 - 0,461 0,136 0,267 22,11,40 19,7 39,9 9,3 - 0,468 0,131 0,270 21,51,45 19,2 41,1 9,1 - 0,474 0,126 0,274 20,91,50 18,8 42,5 9,0 - 0,479 0,122 0,277 20,41,55 18,3 42,5 8,9 - 0,484 0,118 0,280 20,01,60 17,8 42,5 8,8 - 0,488 0,115 0,282 19,61,65 17,5 42,5 8,7 - 0,492 0,112 0,285 19,31,70 17,2 42,5 8,6 - 0,496 0,109 0,287 19,01,75 17,0 42,5 8,5 - 0,500 0,106 0,290 18,71,80 16,8 42,5 8,4 - 0,504 0,102 0,292 18,51,85 16,5 42,5 8,3 - 0,507 0,100 0,294 18,31,90 16,4 42,5 8,3 - 0,511 0,097 0,296 18,11,95 16,3 42,5 8,3 - 0,514 0,095 0,298 18,02,00 16,2 42,5 8,3 - 0,517 0,092 0,299 17,8

>2,00 14,2 42,5 8,0 - - - - 16,7

Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 46,1 31,6 - 14,3 0,144 0,356 45,31,05 39,9 29,8 - 13,4 0,151 0,349 39,21,10 36,0 28,8 - 12,7 0,159 0,341 34,41,15 31,9 27,7 - 12,0 0,166 0,334 30,41,20 29,0 26,9 - 11,5 0,173 0,327 27,21,25 26,2 26,1 - 11,1 0,180 0,320 24,51,30 24,1 25,6 - 10,7 0,188 0,312 22,31,35 22,1 25,1 - 10,3 0,196 0,304 20,41,40 20,6 24,8 - 10,0 0,203 0,297 18,81,45 19,3 24,6 - 9,8 0,210 0,290 17,51,50 18,1 24,4 - 9,5 0,217 0,283 16,31,55 17,0 24,3 - 9,3 0,225 0,275 15,31,60 16,2 24,3 - 9,2 0,233 0,267 14,41,65 15,4 24,3 - 9,1 0,240 0,261 13,71,70 14,7 24,3 - 8,9 0,246 0,254 13,01,75 14,0 24,3 - 8,8 0,253 0,248 12,41,80 13,5 24,3 - 8,7 0,259 0,241 11,91,85 13,0 24,3 - 8,6 0,265 0,235 11,41,90 12,6 24,3 - 8,5 0,270 0,229 11,01,95 12,1 24,3 - 8,4 0,275 0,223 10,62,00 11,8 24,3 - 8,4 0,280 0,217 10,3

>2,00 8,0 24,3 - 8,0 6,7

Tabela C.4LAJE RETANGULAR COM DUAS BORDAS MAIOR (Ly) APOIADAS E DUAS

BORDAS MENORES (Lx) ENGASTADAS - CARGA UNIFORME

Tabela C.3LAJE RETANGULAR COM 3 BORDAS LIVREMENTE APOIADAS E UMA

BORDA MAIOIR (Ly) ENGASTADA - CARGA UNIFORME

fhElpa

vqlRnplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

yyyx

xx

xxxy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

22

2

11

2

=

==

==

==

fhElpa

nplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

y

xy

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

2

=

=

==

==



Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 31,6 46,1 14,3 - 0,356 0,144 45,31,05 29,9 46,4 13,8 - 0,363 0,137 43,21,10 29,0 47,2 13,5 - 0,369 0,131 41,51,15 28,0 47,7 13,2 - 0,375 0,125 40,11,20 27,2 48,1 13,0 - 0,380 0,120 39,01,25 26,4 48,2 12,7 - 0,385 0,115 37,91,30 25,8 48,1 12,6 - 0,389 0,111 37,21,35 25,3 47,9 12,4 - 0,393 0,107 36,51,40 24,8 47,8 12,3 - 0,397 0,103 36,01,45 24,4 47,7 12,2 - 0,401 0,099 35,61,50 24,2 47,6 12,2 - 0,404 0,096 35,11,55 24,0 47,6 12,1 - 0,407 0,093 34,71,60 24,0 47,6 12,0 - 0,410 0,090 34,51,65 24,0 47,6 12,0 - 0,413 0,088 34,21,70 24,0 47,4 12,0 - 0,415 0,085 33,91,75 24,0 47,3 12,0 - 0,418 0,083 33,81,80 24,0 47,2 12,0 - 0,420 0,080 33,71,85 24,0 47,1 12,0 - 0,422 0,078 33,61,90 24,0 47,1 12,0 - 0,424 0,076 33,51,95 24,0 47,1 12,0 - 0,426 0,074 33,42,00 24,0 47,0 12,0 - 0,428 0,072 33,3>2,00 24,0 47,0 12,0 - 32,0

Ly/Lx mx my nx ny vx1 vy1 vx2 vy2 f1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 0,317 0,317 0,183 0,183 41,31,05 32,1 33,7 13,3 13,8 0,332 0,302 0,191 0,175 37,11,10 30,1 33,9 12,7 13,6 0,347 0,288 0,198 0,167 34,51,15 28,0 33,9 12,0 13,3 0,359 0,276 0,205 0,160 31,71,20 26,4 34,0 11,5 13,1 0,371 0,264 0,212 0,153 29,91,25 24,9 34,4 11,1 12,9 0,381 0,254 0,218 0,147 28,21,30 23,8 35,0 10,7 12,8 0,391 0,244 0,224 0,141 26,81,35 23,0 36,6 10,3 12,7 0,400 0,235 0,229 0,136 25,51,40 22,2 37,8 10,0 12,6 0,408 0,227 0,234 0,131 24,51,45 21,4 39,1 9,8 12,5 0,416 0,219 0,239 0,126 23,51,50 20,7 40,2 9,6 12,4 0,424 0,211 0,243 0,122 22,71,55 20,2 40,2 9,4 12,3 0,431 0,204 0,247 0,118 22,11,60 19,7 40,2 9,2 12,3 0,437 0,198 0,250 0,115 21,51,65 19,2 40,2 9,1 12,2 0,443 0,193 0,253 0,112 21,01,70 18,8 40,2 8,9 12,2 0,448 0,187 0,257 0,109 20,51,75 18,4 40,2 8,8 12,2 0,454 0,182 0,260 0,106 20,11,80 18,1 40,2 8,7 12,2 0,459 0,176 0,263 0,102 19,71,85 17,8 40,2 8,6 12,2 0,463 0,172 0,266 0,099 19,41,90 17,5 40,2 8,5 12,2 0,468 0,168 0,269 0,097 19,01,95 17,2 40,2 8,4 12,2 0,472 0,164 0,272 0,094 18,82,00 17,1 40,2 8,4 12,2 0,476 0,159 0,274 0,091 18,5>2,00 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7

Tabela C.6LAJE RETANGULAR COM DUAS BORDAS ADJACENTES ENGASTADAS

E OUTRAS DUAS APOIADAS - CARGA UNIFORME

Tabela C.5LAJE RETANGULAR COM DUAS BORDAS MAIORES (Ly) ENGASTADAS

E DUAS BORDAS MENORES (Lx) APOIADAS - CARGA UNIFORME

fhElpa

npl

X

vqlRmpl

M

vqlRmplM

c

x

x

xx

yyyy

xy

xxXx

xx

3

4*

2

2

2

=

=

==

==

fhElpa

vqlRnplX

vqlRnplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

yyyy

xy

yyyx

xx

xxxy

xy

xxxx

xx

3

4*

22

2

11

2

22

2

11

2

=

==

==

==

==



Ly/Lx mx my nx ny vx1 vy vx2 f1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 0,250 0,304 0,142 55,41,05 41,7 37,3 16,6 15,4 0,263 0,294 0,149 49,11,10 38,1 36,7 15,4 14,8 0,275 0,284 0,157 44,11,15 34,9 36,4 14,4 14,3 0,288 0,274 0,164 40,11,20 32,1 36,2 13,5 13,9 0,301 0,264 0,171 36,71,25 29,8 36,1 12,7 13,5 0,314 0,254 0,178 33,81,30 28,0 36,2 12,2 13,3 0,327 0,244 0,185 31,71,35 26,4 36,6 11,6 13,1 0,339 0,235 0,191 29,71,40 25,2 37,0 11,2 13,0 0,350 0,227 0,196 28,11,45 24,0 37,5 10,9 12,8 0,360 0,219 0,202 26,61,50 23,1 38,3 10,6 12,7 0,370 0,211 0,208 25,51,55 22,3 39,3 10,3 12,6 0,378 0,402 0,214 24,51,60 21,7 40,3 10,1 12,6 0,387 0,198 0,217 23,61,65 21,1 41,4 9,9 12,5 0,394 0,193 0,221 22,81,70 20,4 42,7 9,7 12,5 0,402 0,187 0,225 22,11,75 20,0 43,8 9,5 12,4 0,409 0,182 0,229 21,51,80 19,5 44,8 9,4 12,4 0,416 0,176 0,232 21,01,85 19,1 45,9 9,2 12,3 0,421 0,172 0,235 20,51,90 18,7 46,7 9,0 12,3 0,427 0,168 0,239 20,11,95 18,4 47,7 8,9 12,3 0,432 0,164 0,242 19,72,00 18,0 48,6 8,8 12,3 0,437 0,159 0,245 19,3

>2,00 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7

Ly/Lx mx my nx ny vx vy1 vy2 f1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 0,303 0,250 0,144 55,41,05 35,5 44,8 15,3 17,9 0,313 0,237 0,137 51,61,10 33,7 45,7 14,8 17,7 0,321 0,227 0,131 48,71,15 32,0 47,1 14,2 17,6 0,329 0,217 0,125 46,11,20 30,7 47,6 13,9 17,5 0,336 0,208 0,120 44,11,25 29,5 47,7 13,5 17,5 0,343 0,200 0,114 42,51,30 28,4 47,7 13,2 17,5 0,349 0,192 0,110 41,21,35 27,6 47,9 12,9 17,5 0,354 0,185 0,107 39,91,40 26,8 48,1 12,7 17,5 0,359 0,179 0,103 38,91,45 26,2 48,3 12,6 17,5 0,364 0,173 0,099 38,01,50 25,7 48,7 12,5 17,5 0,369 0,166 0,096 37,21,55 25,2 49,0 12,4 17,5 0,373 0,161 0,093 36,51,60 24,8 49,4 12,3 17,5 0,377 0,156 0,090 36,01,65 24,5 49,8 12,2 17,5 0,381 0,152 0,088 35,41,70 24,2 50,2 12,2 17,5 0,384 0,147 0,085 35,01,75 24,0 50,7 12,1 17,5 0,388 0,143 0,083 34,61,80 24,0 51,3 12,1 17,5 0,391 0,138 0,080 34,41,85 24,0 52,0 12,0 17,5 0,394 0,135 0,078 34,21,90 24,0 52,6 12,0 17,5 0,397 0,132 0,076 33,91,95 24,0 53,4 12,0 17,5 0,400 0,129 0,074 33,82,00 24,0 54,1 12,0 17,5 0,402 0,125 0,071 33,7

>2,00 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0

Tabela C.7LAJE RETANGULAR COM UMA BORDA MAIOR (Ly) APOIADA

E AS OUTRAS TRÊS BORDAS ENGASTADAS - CARGA UNIFORME

Tabela C.8LAJE RETANGULAR COM UMA BORDA MENOR (Lx) APOIADA EAS OUTRAS TRÊS BORDAS ENGASTADAS - CARGA UNIFORME

fhElpa

nplX

vqlRnplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

y

xy

yyyx

xx

xxxy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

22

2

11

2

=

=

==

==

==

fhElp

a

nplX

vqlRnplX

vqlRmpl

M

vqlRmplM

c

x

y

xy

yyyx

xx

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

22

2

11

2

2

=

=

==

==

==



Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 0,250 0,250 68,51,05 43,1 47,3 18,2 18,8 0,262 0,238 62,41,10 40,0 47,8 17,1 18,4 0,273 0,227 57,61,15 37,3 48,3 16,3 18,1 0,283 0,217 53,41,20 35,2 49,3 15,5 17,9 0,292 0,208 50,31,25 33,4 50,5 14,9 17,7 0,300 0,200 47,61,30 31,8 51,7 14,5 17,6 0,308 0,192 45,31,35 30,7 53,3 14,0 17,5 0,315 0,185 43,41,40 29,6 54,8 13,7 17,5 0,321 0,179 42,01,45 28,6 56,4 13,4 17,5 0,327 0,173 40,51,50 27,8 57,3 13,2 17,5 0,333 0,167 39,51,55 27,2 57,6 13,0 17,5 0,339 0,161 38,41,60 26,6 57,8 12,8 17,5 0,344 0,156 37,61,65 26,1 57,9 12,7 17,5 0,348 0,152 36,91,70 25,5 57,8 12,5 17,5 0,353 0,148 36,31,75 25,1 57,7 12,4 17,5 0,357 0,144 35,81,80 24,8 57,6 12,3 17,5 0,361 0,139 35,41,85 24,5 57,5 12,2 17,5 0,365 0,136 35,11,90 24,2 57,4 12,1 17,5 0,368 0,132 34,71,95 24,0 57,2 12,0 17,5 0,372 0,129 34,52,00 24,0 57,1 12,0 17,5 0,375 0,125 34,3

>2,00 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0

Tabela C.9LAJE RETANGULAR COM AS 4 BORDAS ENGASTADAS - CARGA UNIFORME

fhElpa

nplX

nplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

y

xy

x

xx

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

2

2

=

=

=

==

==



Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 85,5 80,5 29,0 34,5 - - 118,41,10 73,5 78,1 25,3 32,1 - - 94,71,20 65,2 77,7 22,9 30,3 - - 79,51,30 57,2 78,2 21,1 29,2 - - 69,01,40 52,4 80,8 19,6 28,5 - - 61,31,50 48,2 83,2 18,8 28,2 - - 55,72,00 37,8 94,6 16,6 27,3 - - 43,0

>2,00 33,5 94,6 15,0 26,0 - - 34,9

Tabela C.10LAJE RETANGULAR COM UMA BORDA MAIOR (Ly) E AS

OUTRAS TRÊS BORDAS ENGASTADAS - CARGA TRIANGULAR

fhElp

a

nplX

nplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

y

xy

x

xx

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

2

2

=

=

=

==

==

Ly/Lx mx my nx ny vx vy f1,00 80,5 85,5 34,5 29,0 - - 118,41,10 70,3 82,9 31,1 26,9 - - 103,11,20 62,8 80,7 28,7 25,8 - - 92,21,30 57,7 78,9 26,7 24,9 - - 85,41,40 54,3 77,5 25,3 24,1 - - 80,11,50 51,5 76,4 23,7 23,8 - - 76,62,00 45,2 73,3 20,2 21,9 - - 70,9

>2,00 40,0 70,0 16,0 20,0 - - 68,0

Tabela C.11LAJE RETANGULAR COM UMA BORDA MENOR (Lx) E AS

OUTRAS TRÊS BORDAS ENGASTADAS - CARGA TRIANGULAR

fhElp

a

nplX

nplX

vqlRmplM

vqlRmplM

c

x

y

xy

x

xx

yyyy

xy

xxxx

xx

3

4*

2

2

2

2

=

=

=

==

==



TABELA C.12 – Momentos fletores γX e γy no centro das lajes para momento

senoidal unitário aplicado nos lados

APÊNDICE D – TABELAS DO COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO D - 1


• AÇO CA-50 (BARRAS NERVURADAS)

TABELA D.1 – Comprimento de Ancoragem Básico para 0 < φ < 32 mm e η1 = 2,25

• AÇO CA-60 (BARRAS DENTADAS)

TABELA D.2 – Comprimento de Ancoragem Básico para 0 < φ < 32 mm e η1 = 1,4

Resistência à Tração:

3 2*3,0 ckctm ff =

ctmctk ff *7,0inf, =

Resistência de Aderência:

ctdbd ff *** 321 ηηη=

cctkctd ff γinf,=

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)50(25,2)60(4,1

)6025(0,1

1



⎩⎨⎧


7,00,1

2η

⎩⎨⎧

>)/100<

=mmpara

mmpara32, - (132

320,13 φφ

φη

Comprimento de Ancoragem Básico:

bd

ydb f

fl *

4φ

=

4,1=cγ

( )MPafck 15 20 25 30 35 40 45 50)( AderênciaBoalb φ53 φ44 φ38 φ33 φ30 φ28 φ25 φ24 )( AderênciaMálb φ76 φ62 φ54 φ48 φ43 φ39 φ36 φ34

( )MPafck 15 20 25 30 35 40 45 50 )( AderênciaBoalb φ102 φ84 φ73 φ64 φ58 φ53 φ49 φ46 )( AderênciaMálb φ146 φ120 φ104 φ92 φ83 φ76 φ70 φ65

Comprimento de Ancoragem Necessário:

min,,

,1, ** b

efs

calcsbnecb l

AA

ll ≥=α

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥

=

φ

α

3,

,7,00,1

1

ganchodoaonormalplanonocobrimentocomgancho

coganchocomstracionadabarrasparaganchosembarraspara

Comprimento de Ancoragem Mínimo:

⎪⎩

⎪⎨

⎧≥

cm

ll

b

b

1010

3,0

min, φ

estruturas de concreto armado ii - sol -...

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