estrutura de dados 6/1/[email protected] são paulo, 2010 universidade paulista...
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São Paulo, 2010São Paulo, 2010
Universidade Paulista (UNIP)Universidade Paulista (UNIP)
Estrutura de Dados (Linguagem C / C++)Estrutura de Dados (Linguagem C / C++)
Prof. Msc. Vladimir CameloProf. Msc. Vladimir [email protected]
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São Paulo, 2010São Paulo, 2010
Universidade Paulista (UNIP)Universidade Paulista (UNIP)
Conceitos de Árvores e Árvores BináriasConceitos de Árvores e Árvores Binárias
Prof. Msc. Vladimir CameloProf. Msc. Vladimir [email protected]
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IntroduçãoIntrodução
Uma das mais importantes classes de estruturas de dados em computação são as árvores.
Aproveitando-se de sua organização hierárquica, muitas aplicações são realizadas usando-se algoritmos relativamente simples, recursivos e de eficiência bastante razoável.
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
Uma árvore é uma estrutura de dados que se caracteriza por uma relação de hierarquia entre os elementos que a compõem.
Exemplos de estruturas em forma de árvores são:
O organograma de uma empresa;
A divisão de um livro em capítulos, seções, tópicos, etc;
A árvore genealógica de uma pessoa.
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
De um modo um pouco mais formal, podemos dizer que uma árvore é um conjunto finito de um ou mais nodos (nós ou vértices), tais que:
existe um nodo denominado raiz;
os demais nodos formam m>= 0 conjuntos disjuntos s1, s2, ... , sm, tais que cada um desses conjuntos também é uma árvore (denominada sub-árvore).
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
Uma floresta é um conjunto de árvores.
Se v é um nodo de A, a notação Av indica a subárvore de v com raiz A.
Para visualizar esse conceito, pode-se representa-lo graficamente.
Há formas diferentes de representações gráficas de uma árvore.
Em todas elas, cada nodo poderá ser associado a um identificador, denominado rótulo.
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
a) Representação hierárquica b) Representação por conjuntos (diagrama de inclusão)
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
c) Representação por expressão parentetizada (parênteses aninhados)
Cada conjunto de parênteses correspondentes contém um nodo e seus filhos. Se um nodo não tem filhos, ele é seguido por um par de parênteses sem conteúdo.
( A ( B ( D ( ) E ( ) ) ) ( C ( F ( ) ) ) )d) Representação por expressão não parentetizada
Cada nó é seguido por um número que indica a quantidade de filhos desse nodo, e em seguida por esses filhos, representados do mesmo modo.
A 2 B 2 D 0 E 0 C 1 F 0
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Pode-se representar uma árvore de muitos outros modos, mas é interessante notar que, dentre os exemplos apresentados, a representação a) é a que permite uma melhor visualização da estrutura.
As representações c) e d) não permitem boa visualização da estrutura, mas podem ser úteis para guardar em arquivos os dados de uma árvore.
Como, por definição, os subconjuntos s1, s2,...,sm são disjuntos, cada nó só pode ter um pai. Assim, o desenho a seguir, por exemplo, não representa uma árvore:
Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
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Definições e representações básicasDefinições e representações básicas
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Dada uma árvore qualquer:
A linha que liga dois nodos da árvore denomina-se aresta.
Diz-se que existe caminho entre dois nodos V e W da árvore, se a partir do nodo V puder-se chegar ao nodo W percorrendo-se as arestas que ligam os nodos intermediários entre V e W.
Observa-se que existe sempre um caminho entre a raiz e qualquer nodo da árvore.
DefiniçõesDefinições
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Dada uma árvore qualquer:
Se houver um caminho entre V e W, começando em V diz-se que V é um nodo ancestral de W e W é um nodo descendente de V.
Se este caminho contiver uma única aresta, diz-se que V é o nodo pai de W e que W é um nodo filho de V.
Dois nodos que são nodos filhos do mesmo nodo pai são denominados nodos irmãos.
DefiniçõesDefinições
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Dada uma árvore qualquer:
Uma característica inerente a árvores é que qualquer
nodo, exceto a raiz, tem um único nodo pai.
Se um nodo não possui nodos descendentes, ele é
chamado de folha ou nodo terminal da árvore.
Grau de um nodo é o número de nodos filhos do
mesmo. Obviamente que um nodo folha tem grau zero.
DefiniçõesDefinições
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Dada uma árvore qualquer:
O Nível de um nodo é o número de nodos existentes
no caminho entre a raiz e o próprio nodo. A raiz tem
nível 1.
O grau da árvore é igual ao grau do nodo de maior
grau da árvore.
O nível da árvore é igual ao nível do nodo de maior
nível da árvore.
DefiniçõesDefinições
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Altura e ProfundidadeAltura e Profundidade
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Nível e ProfundidadeNível e Profundidade
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ExercícioExercício
Responda:
Qual é a raiz da árvore?
Quais são os nodos terminais?
Qual o grau da árvore?
Qual o nível da árvore?
Quais são os nodos descendentes do nodo D?
Quais são os nodos ancestrais do nodo #?
Os nodos 4 e 5 são nodos irmãos?
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ExercícioExercício
Responda:
Há caminho entre os nodos C e S?
Qual o nível do nodo 5?
Qual o grau do nodo A?
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Percurso em árvorePercurso em árvore
objetivo principal: visitar os nós da árvore
percurso prefixo: um nó é visitado antes dos seus descendentes
ex. de aplicação: impressão de um documento estruturado
por capítulos e parágrafos
percurso sufixo: um nó é visitado depois dos seus descendentes
ex. de aplicação: determinação do espaço ocupado por um
diretório num sistema de arquivos de um computador
percurso por nível: os nós de determinado nível são visitados
antes dos nós do nível seguinte
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Percurso em árvorePercurso em árvore
Um percurso em extensão é visitar cada nó começando
do menor nível e move-se para os níveis mais altos nível
após nível, visitando cada nó da esquerda para a direita.
Sua implementação é directa quando uma fila é utilizada.
Depois que um nó é visitado, seus filhos, se houver
algum, são colocados no final da fila e o nó no início da
fila é visitado.
Assim, os nós do nível n+1 serão visitados somente
depois de ter visitados todos os nós do nível n.
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Percurso em árvorePercurso em árvore
– Breadth - First Search (BFS)
13
10 25
20 31
29
2 12
Fila: 13
Fila: 10, 25
Fila: 25, 2, 12
Fila: 2, 12, 20, 31
Fila: 12, 20, 31
Fila: 20, 31
Fila: 31
Fila: 29
Percurso: 13, 10, 25, 2, 12, 20, 31, 29
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void BreadthFirst() { Queue q; Node *p = root; if (p != 0) { q.enqueue(p); while (!q.empty()){ p = q.dequeue(); visit(p); if (p->left != 0) q.enqueue(p->left); if (p->right != 0) q.enqueue(p->right); } } }
Percurso em árvorePercurso em árvore
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Percurso em árvorePercurso em árvore
O percurso em profundidade prossegue tanto quanto
possível à esquerda (ou direita), então se move para trás
até a primeira encruzilhada, vai um passo para a direita
(ou esquerda) e novamente, tanto quanto possível, para
a esquerda (ou direita).
Repete-se este processo até que todos os nós sejam
visitados.
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Percurso em árvorePercurso em árvore
– Depth - First Search (DFS)
13
10 25
20 31
29
2 12
V – Visitar um nóL – Percorrer à esquerdaR – Percorrer à direita
VLR VRLLVR RVLLRV RLV
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Árvores bináriasÁrvores binárias
Conforme já mencionado, as árvores constituem as estruturas não seqüenciais com maior aplicação em computação.
Dentre as árvores, as binárias são, sem dúvida, as mais comuns.
Deve-se observar que a ordem em que estão posicionadas as sub-árvores em relação à raiz é fundamental.
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Árvores bináriasÁrvores binárias
Uma vez que cada nodo tem no máximo dois nodos filhos, cada um destes nodos (se houverem) são identificados segundo a sua posição relativa à raiz.
Distingue-se, então, o nodo filho à esquerda do nodo filho à direita e, conseqüentemente, a sub-árvore à esquerda da sub-árvore à direita.
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Árvores binárias - AplicaçõesÁrvores binárias - Aplicações
Expressões aritméticas.
Processo de decisão.
Busca.
A
B C
FD E
H I
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Árvores de expressões aritméticasÁrvores de expressões aritméticas
Árvore binária associada com uma expressão aritmética
Nós internos: operadores Nós externos: operandos
Exemplo: árvore da expressão aritmética para a expressão (2 (a - 1) + (3 b))
2
a 1
3 b
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Árvores de decisãoÁrvores de decisão
Árvore binária associada com um processo de decisão Nós internos: questões com respostas sim/não Nós externos: decisões
Exemplo: Onde jantar
Refeição rápida?
Que tal um café? Pode ser caro?
Cantina Shopping Abade Tábua de carne
Sim Não
Sim Não Sim Não
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Árvores binárias - ExemploÁrvores binárias - Exemplo
Nos exemplos anteriores, as árvores apresentadas são
distintas, pois no primeiro exemplo, o nodo A tem
somente um filho à esquerda e no segundo exemplo, o
nodo tem um filho a direita.
Transformação em árvore bináriaTransformação em árvore binária
A raiz da árvore (sub-árvore) será a raiz da árvore (sub-
árvore) binária.
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Árvores binárias - ExemploÁrvores binárias - Exemplo
O nodo filho mais à esquerda da raiz da árvore (sub-
árvore) será o nodo filho à esquerda da raiz da árvore
(sub-árvore) binária.
Cada nodo irmão de V, da esquerda para a direita, será o
nodo filho à direita do nodo irmão da esquerda, até que
todos os nodos filhos da raiz da árvore (sub-árvore) já
tenham sido incluídos na árvore binária em construção.
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Representações de árvores binárias (implementações)Representações de árvores binárias (implementações)
Cada nodo componente de uma árvore binária tem no
máximo dois filhos, sendo necessários, portanto, dois
campos de elos para representa-lo.
A configuração de um nodo numa árvore binária é a que
segue:
Sendo que EloE (i) indica o endereço do nodo filho à
esquerda do nodo de índice i e EloD (i) aponta para o
nodo filho à direita.
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Representações de árvores binárias (implementações)Representações de árvores binárias (implementações)
Uma árvore binária pode, então, ser representada por;
uma matriz Info que conterá os campos de
informações dos nodos, e
dois vetores de ligação, EloE e EloD.
ou uma estrutura com um campo info, um campo EloE e
um EloD.
Sendo conhecido o índice do nodo raiz de uma árvore, a
mesma é completamente definida (o índice da raiz esteja
contido na variável RAIZ).
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Representações de árvores binárias (implementações)Representações de árvores binárias (implementações)
Exemplo: a seguinte árvore (os números abaixo de cada nodo indicam o índice do mesmo)
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Representações de árvores binárias (implementações)Representações de árvores binárias (implementações)
Pode ser representado por:
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Caminhos e, árvores bináriasCaminhos e, árvores binárias
Há diversas formas de manipulação de árvores binárias e, em geral, estas supõem o exame dos conteúdos (informações) dos nodos.
O acesso sistemático aos nodos de uma árvore de maneira que cada nodo seja examinado no máximo uma única vez (para que não haja repetição), sugere que a árvore seja percorrida segundo algum critério pré-estabelecido.
Esta ação de percorrer a árvore, com a condição de que cada nodo seja examinado no máximo uma vez, denomina-se caminhamento na árvore binária.
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Caminhos e, árvores bináriasCaminhos e, árvores binárias
Se for realizado um caminhamento numa árvore de forma que todos os seus nodos sejam visitados (acessados), os mesmos são implicitamente organizados segundo uma ordem linear.
Dependendo do critério estabelecido para caminhar na árvore, obtém-se uma seqüência dos nodos correspondentes xi1 xi2 ... xin, em que:
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Caminhos e, árvores bináriasCaminhos e, árvores binárias
n é o número de nodos da árvore;
xj é o conteúdo do nodo que ocorre na j-ésima
posição na seqüência de caminhamento da árvore; e
xik ocorre antes de xip na seqüência se o nodo com
informação xik é visitado antes do que o nodo xip,
segundo o caminhamento escolhido.
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Caminhos e, árvores bináriasCaminhos e, árvores binárias
Em geral são utilizadas três formas de caminhamentos em árvores binárias e estas são determinadas dependendo da ordem em que são visitados o nodo raiz, sua sub-árvore à esquerda e sua subárvore à direita (o termo “visitar” significa a realização de alguma operação sobre a informação do nodo, como modificação da mesma, impressão ou qualquer outra).
Os três caminhamentos usuais são descritos como segue:
Caminhamento PRÉ_FIXADO (raiz-esquerda-direita)
a) visitar a raiz; b) caminhar na sub-árvore à esquerda, segundo este caminhamento; c) caminhar na sub-árvore à direita, segundo este caminhamento.
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Caminhos e, árvores bináriasCaminhos e, árvores binárias
Caminhamento INFIXADO (esquerda-raiz-direita)
a) caminhar na sub-árvore à esquerda, segundo este caminhamento; b) visitar a raiz; c) caminhar na sub-árvore à direita, segundo este caminhamento.
Caminhamento PÓS-FIXADO (esquerda-direita-raiz)
a) caminhar na sub-árvore à esquerda, segundo este caminhamento b) caminhar na sub-árvore à direita, segundo este caminhamento c) visitar a raiz;
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Percurso em árvorePercurso em árvore
void inorder(Node *p) { if (p != 0) { inorder(p->left); visit(p); inorder(p->right); } }
void preorder(Node *p) { if (p != 0) { visit(p); preorder(p->left); preorder(p->right); } }
void postorder(Node *p) { if (p != 0) { postorder(p->left); postorder(p->right); visit(p); } }
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DeterioraçãoDeterioração
quando inserimos utilizando a inserção simples, dependendo da
distribuição de dados, pode haver deterioração.
Árvores deterioradas perdem a característica de eficiência de busca.
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Propriedades Ab (BT)Propriedades Ab (BT)
• Notaçãon número de nóse número de nós
externosi número de nós
internosh altura (height)
• Propriedades:– e i 1
– n 2e 1– h i
– h (n 1)2– e 2h
– h log2 e
– h log2 (n 1) 1
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Propriedades Ab (BT)Propriedades Ab (BT)
Nível Nós
0
1
2
3
1
2
4
8
Número máximo de nós em um nível h é 2h
Número total de nós é, no máximo é 2h+1 -1
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Tipo Abstrato de Dado (TAD) Árvores bináriaTipo Abstrato de Dado (TAD) Árvores binária
O TAD Árvore Binária possui os métodos de árvore.
Métodos adicionais:No getFilhoEsquerdo()No getFilhoDireito()boolean éFilhoEsquerdo()boolean éFilhoDireito()
Métodos de atualização podem ser definidos por estruturas de dados que implementam o TAD ArvoreBinaria
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Estrutura de dados para ABEstrutura de dados para AB
• Um nó é um objeto que armazena
– Elemento
– Nó pai
– Filho da esquerda
– Filho da direita
• Objetos nós implementam o TAD Position
B
DA
C E
B
A D
C E
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Estrutura de dados para ABEstrutura de dados para AB
• Podemos usar um array
a
b c
d e f g
h i j k l m n o
1
23
4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14 15
a b c d e f g h i j k l m n o
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
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Representação em CRepresentação em C
É possível definir um tipo para representar uma árvore binária.
A informação a ser armazenada são valores de caracteres simples.
Inicialmente será discutido como é possível representar uma
estrutura de árvore binária em C.
Que estrutura pode-se utilizar para representar um nó da árvore?
Cada nó deve armazenar três informações:
a informação propriamente dita, no caso um caractere,
e dois ponteiros para as sub-árvores, à esquerda e à direita.
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Representação em CRepresentação em C
Da mesma forma que uma lista encadeada é representada por um
ponteiro para o primeiro nó, a estrutura da árvore como um todo é
representada por um ponteiro para o nó raiz.
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Criando árvoresCriando árvores
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ExemploExemplo
Alternativamente, a árvore poderia ser criada
recursivamente com uma única atribuição,
seguindo a sua estrutura.
Como isso pode ser feito?
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Exibindo conteúdo da árvoresExibindo conteúdo da árvores
Como é chamada essa forma de exibição?
E para exibir na forma in-fixada? E na pós-fixada?
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Liberando memóriaLiberando memória
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Criação e LiberaçãoCriação e Liberação
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Criação e LiberaçãoCriação e Liberação
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Buscando um elementoBuscando um elemento
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Buscando um elementoBuscando um elemento
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São Paulo, 2010São Paulo, 2010
Universidade Paulista (UNIP)Universidade Paulista (UNIP)
Conceitos de Árvores e Árvores BináriasConceitos de Árvores e Árvores Binárias
Prof. Msc. Vladimir CameloProf. Msc. Vladimir [email protected]
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São Paulo, 2010São Paulo, 2010
Universidade Paulista (UNIP)Universidade Paulista (UNIP)
Algoritmos de OrdenaçãoAlgoritmos de Ordenação
Prof. MSc. Vladimir CameloProf. MSc. Vladimir [email protected]
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Quicksort
eficiente naturalmente recursivo - implementação seria
“complicada” sem recursão Algoritmo Básico
"dividir para conquistar" particiona a lista de elementos em duas partes e
as classifica independentemente a posição exata da partição depende da lista
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quicksort (int e, int d)
{ int i;
if (d >e){
i = partition (e,d); /* importante * /
quicksort(e,i-1);
quicksort(i+1,d);
}
}
Quicksort: algoritmo básico
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A primeira chamada: quicksort(1,N) A função partition deve:
rearrumar a lista de acordo com as três condições: o elemento a[i] está em seu lugar final na lista todos os elementos em a[e] a a[i-1] são menores
que a[i] todos os elementos em a[i+1] a a[d] são maiores
ou iguais a a[i]
Quicksort: algoritmo básico
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Partition:escolha arbitrariamente um elemento pivot a[r] –
elemento que estará na sua posição ao finalpercorra a lista da esquerda até que um elemento
maior que a[r] seja encontradopercorra a lista da direita até um elemento menor que
a[r]esses dois elementos estão fora de posição
troque-os
Quicksort: algoritmo básico
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parar a varredura toda vez que um elemento for igual ao pivot a[r]Continuando dessa forma garante-se que todos os
elementos da lista esquerda são menores e os a direita são maiores
Quicksort: algoritmo básico
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Quando os ponteiros de varredura se cruzam, o processo está quase completo falta trocar a[r] com o elemento mais a esquerda da
sub-lista da direita – o elemento a[i] a posição i foi definida
aplicar quicksort nas sublistas de e a i-1 e i+1 a d i é o elemento que já está na sua posição
Quicksort: algoritmo básico
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9 6 3 5 2 7
2 6 3 5 9 7
2 6 3 5 7 9 fora do-while externo - trocas 7 - em sua posição definitiva partition retorna i = 4
i j
i
j
1a iteração (do-while externo)
2a iteração (do-while externo)
Quicksort: Partition
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partition(int e, int d) {int v, i, j; v = a[d]; i = e -1; j = d; do {
do{ i = i+1; /* esquerda*/} while (a[i] < v) && (i< d) ; do{ j = j-1; /* direita*/} while (a[j] > v) && (j > 0); t=a[i]; a[i]=a[j]; a[j]=t;
} while (j > i)
/* para desfazer a troca extra realizada quando j<= i e saiu do while interno (t já tem o valor de a[i]) */
a[j] = a[i]; a[i] = a[r];a[r] = t;return (i);
}
Quicksort: Partition
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É difícil imaginar um loop interno mais simples
simplesmente incrementam um ponteiro e fazem uma comparação
é o que faz o quicksort ser realmente rápido
pode-se garantir que a[d] nunca será o maior ou o menor elemento
o particionamento da lista seria desequilibrado em relação ao número de elementos
Quicksort
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Pegue arbitrariamente 3 elementos de a:
a[d], a[e] e a[ (e+d)/2]
Compare os 3 elementos e defina o valor médio
Troque com a[d]
Execute o partition
Vantagem: acrescentam-se um número fixo de instruções e não testes que variam com o tamanho da lista
Quicksort: Partition
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o algoritmo não é estável tempo de processamento depende da seleção do pivô quanto ao tratamento do cruzamento dos ponteiros na
presença de chaves iguais tanto faz se a varredura de ambos os ponteiros
parar, um continuar e outro parar, nenhum parar mudanças devem ser feitas no algoritmo
apresentado para listas com grande número de chaves repetidas
Quicksort: Características
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Seja uma lista A de n elementos. O algoritmo consiste das seguintes fasesDividir A em 2 sub-listas de tamanho n/2Conquistar: ordenar cada sub-lista chamando
MergeSort recursivamenteCombinar as sub-lista ordenadas formando uma
única lista ordenada
caso base: lista com um elemento
MergeSort
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7 5 2 4 1 6 3 0
7 5 2 4 1 6 3 0
2 47 5 1 6 3 0
Dividir
entrada
2 4 5 7 0 1 3 6
0 1 2 3 4 5 6 7
saída
Combinar
MergeSort
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MergeSort ordena as posições e, e+1, ..., d-1, d da lista A
MergeSort (e,d){
if (e < d ){meio = (e+d)/2;MergeSort (e, meio);MergeSort (meio+1, d);Merge (e, meio, d);
}
MergeSort
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Merge (e, m, d) {i = e; j = m+1; k = e;while (i < m) && (j < d) do { if (A [i] < A[j]) { B [k] = A [i]; k++; i++; } else { B [k] = A [j]; k++; j++; } }
while (i < m) do {
B [k] = A [i]; k++; i++; }
while (j < d) do { B [k] = A [j]; k++; j++; }
for (i = 0; i < d; i++) A [i] = B [i];
}
MergeSort
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algoritmo de ordenação estávelSe dois elementos são iguais eles nunca são
trocados de ordem Importante, por exemplo, se os elementos já
estão ordenados segundo alguma chave secundária
poderiamos eliminar a lista B? a copia final de B para A é necessária?
MergeSort
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11/04/23 [email protected]
O Selection Sort é um algoritmo que ordena itens verificando O Selection Sort é um algoritmo que ordena itens verificando
repetidamente os itens restantes para encontrar o menor deles e repetidamente os itens restantes para encontrar o menor deles e
movê-lo para uma posição final.movê-lo para uma posição final.
A idéia por trás do selection sort é que para ordenar N itens você A idéia por trás do selection sort é que para ordenar N itens você
tem que passar por todos eles.tem que passar por todos eles.
No primeiro passo você encontra o maior valor, e então troca ele No primeiro passo você encontra o maior valor, e então troca ele
pelo último item. Assim o maior item está agora na posição N.pelo último item. Assim o maior item está agora na posição N.
SelectionSort
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11/04/23 [email protected]
No segundo passo você faz uma varredura apenas nos N-1 No segundo passo você faz uma varredura apenas nos N-1
elementos.elementos.
O maior dos itens é troca de posição com o item na posição N-1.O maior dos itens é troca de posição com o item na posição N-1.
Assim o maior de todos os itens está agora na última posição; o Assim o maior de todos os itens está agora na última posição; o
segundo maior na segunda maior posição.segundo maior na segunda maior posição.
Este processo é repetido, com um item sendo colocado na sua Este processo é repetido, com um item sendo colocado na sua
posição correta a cada vez.posição correta a cada vez.
SelectionSort
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11/04/23 [email protected]
Depois de N passos, a coleção inteira de dados está ordenada.Depois de N passos, a coleção inteira de dados está ordenada.
Uma variação simples é encontrar o menor item a cada vez e Uma variação simples é encontrar o menor item a cada vez e
colocá-lo na frente.colocá-lo na frente.
Para ordenar em ordem decrescente, o maior item é encontrado a Para ordenar em ordem decrescente, o maior item é encontrado a
cada vez e movido para a frente.cada vez e movido para a frente.
SelectionSort
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PROCEDIMENTO SelectionSort(Matriz_de_Inteiro v[])INICIO
PARA( i <== 0 ENQUANTO i<v.comprimento INCREMENTAR i<==i+1) INICIO_PARA inteiro k <== i PARA (inteiro j<==i+1 ENQUANTO
j<v.comprimento INCREMENTAR j<==j+1) INICIO_PARA SE(v[j] < v[k]) INICIO_SE k<==j FIM_SE FIM_PARA SWAP(v,k,j) FIM_PARAFIM.
SelectionSort: Algoritmo
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11/04/23 [email protected]
PROCEDIMENTO swap(Matriz_de_Inteiro v[], Inteiro J, inteiro aposJ) INICIO INTEIRO aux <== 0 aux <== v[j] v[j] <== v[aposJ] v[aposJ] <== aux FIM.
SelectionSort: Algoritmo
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11/04/23 [email protected]
SelectionSort: Teste
Teste de mesa com Selection Sort crescente dados as seguintes variáveis: v[0] = 48, v[1] = 23, v[2] = 15, v[3] = 5, v[4] = 3
Dados 48 23 15 5 3
1ª varredura 3 48 23 15 5
2ª varredura 3 5 48 23 15
3ª varredura 3 5 15 48 23
4ª varredura 3 5 15 23 48
Impressão 3 5 15 23 48
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SelectionSort: Vantagens e Desvantagens
VantagensVantagens É estável, pois sempre mantém os itens na mesma ordem em É estável, pois sempre mantém os itens na mesma ordem em
que foram inseridos.que foram inseridos. Simples pela sua facilidade de uso.Simples pela sua facilidade de uso.
DesvantagensDesvantagens Não é muito eficiente para listas longas.Não é muito eficiente para listas longas.
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11/04/23 [email protected]
RadixSort
O Radix Sort é um algoritmo que ordena itens separando-os em O Radix Sort é um algoritmo que ordena itens separando-os em
grupos que tenham algo em comum para depois juntá-los grupos que tenham algo em comum para depois juntá-los
novamente na ordem correta.novamente na ordem correta.
A idéia por trás do Radix Sort é de fazer a separação dos itens A idéia por trás do Radix Sort é de fazer a separação dos itens
conforme o dígito com maior valor (dígito à esquerda) ou o menor conforme o dígito com maior valor (dígito à esquerda) ou o menor
valor (dígito à direita).valor (dígito à direita).
Radix Sort sendo implementado no modo de dígito com menor valor Radix Sort sendo implementado no modo de dígito com menor valor
(o mais comum):(o mais comum):
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11/04/23 [email protected]
RadixSort
No primeiro passo o algoritmo irá verificar os dígitos do campo da No primeiro passo o algoritmo irá verificar os dígitos do campo da
unidade de todos os itens do vetor.unidade de todos os itens do vetor.
Cada item então é , de um modo figurativo, jogado em uma caixa Cada item então é , de um modo figurativo, jogado em uma caixa
correspondente ao dígito da unidade de cada item. Ou seja 21 e 81 correspondente ao dígito da unidade de cada item. Ou seja 21 e 81
na “caixa 1”, 42 e 12 na “caixa 2” e assim por diante.na “caixa 1”, 42 e 12 na “caixa 2” e assim por diante.
No segundo passo o algoritmo irá verificar os dígitos do campo da No segundo passo o algoritmo irá verificar os dígitos do campo da
dezena de todos os itens do vetor (que já foram organizados uma dezena de todos os itens do vetor (que já foram organizados uma
vez).vez).
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11/04/23 [email protected]
RadixSort
Cada item então é novamente jogado em sua caixa Cada item então é novamente jogado em sua caixa
correspondente, mas respeitando a ordem estabelecida pela correspondente, mas respeitando a ordem estabelecida pela
verificação anterior.verificação anterior.
Quando é encontrado o item com maior número de dígitos, a Quando é encontrado o item com maior número de dígitos, a
verificação / ordenação para e então o Radix faz a junção dos verificação / ordenação para e então o Radix faz a junção dos
dados e apresenta a lista ordenada.dados e apresenta a lista ordenada.
Como foi dito o processo pode ser feito inversamente, ou seja, indo Como foi dito o processo pode ser feito inversamente, ou seja, indo
do dígito de maior valor para o de menor valor (esquerda p/ do dígito de maior valor para o de menor valor (esquerda p/
direita).direita).
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RadixSort: ALgoritmo
PROCEDIMENTO radixexchange (esq, dir, b: inteiro; var A: Vetor)
var t, i, j: inteiro;
INICIO
Se (dir > esc) E (b >= 0) ENTÃO INICIO
i <== esc;
j <== dir;
REPITA
ENQUANTO (bits(A[i], b, 1) == 0 ) E (i < j) FAÇA i<== i + 1
ENQUANTO (bits(A[j], b, 1) == 0 ) E (i < j) FAÇA j<== j - 1
t <== A[i]; A[i] <== A[j]; A[j] <== t
ATÉ QUE j = i
Se (bits(A[r], b, 1) = 0 ) ENTÃO j <== j = 1
radixexchange(esc, j - 1, b - 1)
radixexchange(j, dir, b - 1)
FIM SE
FIM
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11/04/23 [email protected]
RadixSort: Vantangens e Desvantagens
Vantagens:Vantagens:
É estável, pois sempre mantém os itens na mesma ordem em É estável, pois sempre mantém os itens na mesma ordem em
que foram inseridos.que foram inseridos.
É mais rápido que alguns algoritmos comparativos.É mais rápido que alguns algoritmos comparativos.
É simples e eficiente.É simples e eficiente.
Desvantagens:Desvantagens:
Não possui flexibilidade de ordenação, só trabalha com a ordem Não possui flexibilidade de ordenação, só trabalha com a ordem
lexicográfica.lexicográfica.
Se não for modificado, não trabalha bem com float e números Se não for modificado, não trabalha bem com float e números
negativos.negativos.
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11/04/23 [email protected]
BubbleSortBubbleSort
Bubblesort compara elementos adjacentes e troca estes elementos Bubblesort compara elementos adjacentes e troca estes elementos
se não estiverem na ordem correta.se não estiverem na ordem correta.
Este algoritmo de ordenação requer várias passagens pelos dados.Este algoritmo de ordenação requer várias passagens pelos dados.
Durante a primeira passagem, comparamos os dois primeiros itens Durante a primeira passagem, comparamos os dois primeiros itens
do vetor.do vetor.
Se estiverem na ordem errada, são trocados.Se estiverem na ordem errada, são trocados.
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BubbleSortBubbleSort
Comparam-se então os dois itens do par seguinte - ou seja, a Comparam-se então os dois itens do par seguinte - ou seja, a
posição 2 e 3 do vetor.posição 2 e 3 do vetor.
Se estiverem desordenados trocam-se.Se estiverem desordenados trocam-se.
Continuamos a comparar os pares seguintes e a trocar os itens do Continuamos a comparar os pares seguintes e a trocar os itens do
par sempre que estiverem desordenados, até ao fim do vetor.par sempre que estiverem desordenados, até ao fim do vetor.
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11/04/23 [email protected]
BubbleSortBubbleSort Embora o vetor não fique ordenado após a primeira passagem, o Embora o vetor não fique ordenado após a primeira passagem, o
maior elemento foi “bubbled” para a sua posição, no fim do vetor.maior elemento foi “bubbled” para a sua posição, no fim do vetor.
Na segunda passagem, volta para o início do vetor e é considerado Na segunda passagem, volta para o início do vetor e é considerado
os pares de itens como na primeira passagem.os pares de itens como na primeira passagem.
No entanto, não é incluído o último, e o maior, elemento.No entanto, não é incluído o último, e o maior, elemento.
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11/04/23 [email protected]
BubbleSortBubbleSort A segunda passagem só leva em conta N-1 elementos do vetor. A segunda passagem só leva em conta N-1 elementos do vetor.
Após a segunda passagem teremos o segundo maior elemento na Após a segunda passagem teremos o segundo maior elemento na
sua posição correta.sua posição correta.
Agora, ignorando os últimos dois elementos, que já estão na ordem Agora, ignorando os últimos dois elementos, que já estão na ordem
correta, continua com as passagens subseqüentes até que o vetor correta, continua com as passagens subseqüentes até que o vetor
fique ordenado.fique ordenado.
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Insertion SortInsertion Sort
Insertion sort parte um vetor em duas regiões: a região ordenada e Insertion sort parte um vetor em duas regiões: a região ordenada e
a não ordenada.a não ordenada.
Inicialmente, o vetor corresponde à região não ordenada.Inicialmente, o vetor corresponde à região não ordenada.
Em cada passo, pega-se o primeiro elemento da região não Em cada passo, pega-se o primeiro elemento da região não
ordenada e coloca-o na ordem correta da região ordenada.ordenada e coloca-o na ordem correta da região ordenada.
O primeiro passo é trivial e pode ser omitido.O primeiro passo é trivial e pode ser omitido.
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11/04/23 [email protected]
Insertion SortInsertion Sort
O movimento do primeiro elemento da região não ordenada para a O movimento do primeiro elemento da região não ordenada para a
região ordenada é ignoradoregião ordenada é ignorado
considerando a primeira posição do vetor como a região ordenada, considerando a primeira posição do vetor como a região ordenada,
e as restantes posições como a região não ordenada.e as restantes posições como a região não ordenada.
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Insertion SortInsertion Sort
Copia 10Copia 10
Desloca o 29Desloca o 29
Insere o 10; copia 14Insere o 10; copia 14
Desloca o 29Desloca o 29
Insere o 14Insere o 14
Copia o 13Copia o 13
Desloca o 14, 29, 37Desloca o 14, 29, 37
Insere o 13Insere o 13
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11/04/23 [email protected]
Método que simula uma árvore binária completa, por meio deste Método que simula uma árvore binária completa, por meio deste
método utiliza-se uma simulação de uma arvore binária completa e método utiliza-se uma simulação de uma arvore binária completa e
utiliza-se certas funções especiais deste tipo de dado para realizar a utiliza-se certas funções especiais deste tipo de dado para realizar a
ordenaçãoordenação
Uma árvore com estrutura heap é aquela em que, para toda sub-Uma árvore com estrutura heap é aquela em que, para toda sub-
árvore, o nó raiz é um divisor de valores, ou seja, os valores maiores árvore, o nó raiz é um divisor de valores, ou seja, os valores maiores
estão sempre de um lado e os menores estão do outro lado.estão sempre de um lado e os menores estão do outro lado.
Deste modo o elemento no topo da árvore é sempre o elemento de Deste modo o elemento no topo da árvore é sempre o elemento de
inicio da seqüência (em modo crescente o menor).inicio da seqüência (em modo crescente o menor).
HeapsortHeapsort
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11/04/23 [email protected]
Este método tem em seu pior caso de inserção de um dado na Este método tem em seu pior caso de inserção de um dado na
árvore em razão de log n, o que seria realizado utilizando percorrer o árvore em razão de log n, o que seria realizado utilizando percorrer o
tamanho da árvore, não a árvore inteira.tamanho da árvore, não a árvore inteira.
Este é um método bastante eficiente porém requer a construção e Este é um método bastante eficiente porém requer a construção e
ordenação de uma árvore binária, o que o torna mais complexo de ordenação de uma árvore binária, o que o torna mais complexo de
ser implementado, e utiliza mais recursos.ser implementado, e utiliza mais recursos.
Heapsort - UtilizaçãoHeapsort - Utilização
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11/04/23 [email protected]
Método de ordenação linear. Requer o tamanho máximo de um valor Método de ordenação linear. Requer o tamanho máximo de um valor
dentro da seqüência para então utilizar uma seqüência virtual de dentro da seqüência para então utilizar uma seqüência virtual de
contagem que tem este tamanho máximo, fazendo com que todos os contagem que tem este tamanho máximo, fazendo com que todos os
valores da seqüência original sejam contados e que seja colocado valores da seqüência original sejam contados e que seja colocado
na posição referente a seu valor nesta seqüência virtual a na posição referente a seu valor nesta seqüência virtual a
quantidade de valores referentes a cada posição.quantidade de valores referentes a cada posição.
Então utiliza outra seqüência auxiliar com o tamanho da seqüência Então utiliza outra seqüência auxiliar com o tamanho da seqüência
original que irá conter os valores da seqüência original ordenando-os original que irá conter os valores da seqüência original ordenando-os
através da busca nesta seqüência original na quantidade de vezes através da busca nesta seqüência original na quantidade de vezes
que contém cada uma das posições da seqüência virtual de que contém cada uma das posições da seqüência virtual de
contagem.contagem.
Counting SortCounting Sort
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11/04/23 [email protected]
Este método só pode ser utilizado com números inteiros, visto que Este método só pode ser utilizado com números inteiros, visto que
sua forma de ordenação é através de utilização de uma seqüência sua forma de ordenação é através de utilização de uma seqüência
posicional que irá receber a quantidade de vezes que o valor posicional que irá receber a quantidade de vezes que o valor
referente a tal posição aparece na seqüência.referente a tal posição aparece na seqüência.
Para garantir estabilidade ele deve varrer os elementos do lado Para garantir estabilidade ele deve varrer os elementos do lado
contrário a sua determinada ordenação, ou seja, para ordenação contrário a sua determinada ordenação, ou seja, para ordenação
crescente ele deve varrer do último ao primeiro elemento.crescente ele deve varrer do último ao primeiro elemento.
Counting Sort - UtilizaçãoCounting Sort - Utilização
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Este é um método a ser implementado quando a comparação entre Este é um método a ser implementado quando a comparação entre
os elementos da seqüência é um problema, ele utiliza operações os elementos da seqüência é um problema, ele utiliza operações
aritméticas e atribuições para realizar seu trabalho.aritméticas e atribuições para realizar seu trabalho.
No entanto para uma seqüência em que o valor máximo é muito No entanto para uma seqüência em que o valor máximo é muito
grande ele utiliza muitos recursos sem necessidade.grande ele utiliza muitos recursos sem necessidade.
Counting Sort - UtilizaçãoCounting Sort - Utilização
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Método de ordenação linear que supõe que os elementos a serem Método de ordenação linear que supõe que os elementos a serem
ordenados possuem uma natureza peculiar.ordenados possuem uma natureza peculiar.
Pro exemplo, os elementos devem estar uniformemente distribuídos Pro exemplo, os elementos devem estar uniformemente distribuídos
em um intervalo semi-aberto, a idéia é dividir este intervalo em n em um intervalo semi-aberto, a idéia é dividir este intervalo em n
segmentos de mesmo tamanho (segmentos de mesmo tamanho (bucketsbuckets) e distribuir os n elementos ) e distribuir os n elementos
nos seus respectivos segmentos.nos seus respectivos segmentos.
Bucket SortBucket Sort
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Como os elementos estão distribuídos uniformemente, espera-se Como os elementos estão distribuídos uniformemente, espera-se
que o número de elementos seja aproximadamente o mesmo em que o número de elementos seja aproximadamente o mesmo em
todos os segmentos.todos os segmentos.
Em seguida, os elementos de cada segmento são ordenados por um Em seguida, os elementos de cada segmento são ordenados por um
método qualquer e então os segmentos ordenados são método qualquer e então os segmentos ordenados são
concatenados em ordemconcatenados em ordem
Bucket SortBucket Sort
Est
rutu
ra d
e D
ado
sE
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tura
de
Dad
os
11/04/23 [email protected]
Este método pode ser utilizado em conjunto com outros métodos Este método pode ser utilizado em conjunto com outros métodos
para realizar a separação de um problema grande em vários para realizar a separação de um problema grande em vários
problemas pequenos, sendo mais simples de ordenar pelos métodos problemas pequenos, sendo mais simples de ordenar pelos métodos
anteriormente descritosanteriormente descritos
Bucket Sort - UtilizaçãoBucket Sort - Utilização
Est
rutu
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tura
de
Dad
os
11/04/23 [email protected]
ShackerSort - UtilizaçãoShackerSort - Utilização
Est
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ShackerSort - UtilizaçãoShackerSort - Utilização
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11/04/23 [email protected]
ShackerSort - UtilizaçãoShackerSort - Utilização
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Dad
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São Paulo, 2010São Paulo, 2010
Universidade Paulista (UNIP)Universidade Paulista (UNIP)
Algoritmos de OrdenaçãoAlgoritmos de Ordenação
Prof. MSc. Vladimir CameloProf. MSc. Vladimir [email protected]
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