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ESTRUCTURAS & OPTIMIZACIÓN: FORMULACIÓN DE LAGRANGE-LEGENDRE-NEWTON

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INTRODUCCIÓN. Este trabajo es una recopilación coordinada de formalismos claramente emparentados entre sí que aparecen en áreas dedicadas a cuestiones muy dispares, prácticamente sin incluir ideas realmente originales. Sólo está escrito para uso propio y quizás de algunos colegas allegados, lo cual permite ciertas libertades olvidadas tales como no documentar referencias y formular conjeturas ad nutum. Por todo ello no es publicable en revistas "científicas", pues no superaría la censura de las autorregresivas auditorías. Mucho menos es una publicación docente, tal como se concibe la "docencia" en este siglo. La cuestión específica que se plantea son las analogías entre diversos problemas de optimización no lineal con los fundamentos del análisis de estructuras; y con los problemas de optimización de estructuras, como híbrido de ambos campos. Estas análogías permiten traducir un cierto problema de uno cualquiera de estos campos al lenguaje de uno de los otros que nos resulte más familiar, facilitando de esta manera su comprensión y resolución. La "lectura" de dichas analogías puede tener un recorrido de ida y vuelta: por ejemplo, interpretación de un problema no mecánico de optimización no lineal con restricciones de igualdad (1) como un problema equivalente de análisis no lineal de estructuras, para su reformulación "primal" como un problema no condicionado de energía potencial total; y la posterior minimización de ésta por un método de gradientes conjugados. Para establecer una perspectiva de las relaciones entre esos campos es conveniente abstraer de ellos un cuerpo conceptual común que podría denominarse de "Lagrange-Legendre-Newton": Lagrange por sus multiplicadores para problemas con restricciones. Legendre por sus transformaciones entre problemas duales, comunes en termodinámica y en mecánica analítica; y que conocemos también en optimización, así como en análisis de estructuras. (2) Newton por su linealización de problemas no lineales. No se incluye en este desarrollo la variable tiempo. Por lo tanto, en los apartados relativos a análisis estructural, los procesos de puesta en carga se suponen implícitamente cuasiestáticos. Además, se efectúa la hipótesis básica de que los procesos de carga deben ser "novales" (sin descargas) en caso de que existan materiales de comportamiento plástico o elastoplástico, si se adoptan de manera "instrumental" modelos elásticos no lineales (Anejo 3). De hecho, todo el formalismo lagrangiano de la mecánica es incompatible con procesos disipativos, y su aplicación al análisis de estructuras no es una excepción. Pero ello no impide la utilización de ecuaciones pseudo-constitutivas como posibles instrumentos de resolución numérica de determinados problemas, teniendo clara la cuestión conceptual de que pueden tener o no significado físico, tanto si se aplican para resolver ciertos problemas de estructuras como si se aplican a problemas de optimización de naturaleza no mecánica (entonces es obvio que las herramientas numéricas tampoco van a participar de dicha naturaleza) o problemas híbridos (por ejemplo, la optimización del coste de estructuras). Por último, no se contempla el carácter estocástico de la mayor parte de las magnitudes consideradas, lo cual deja abiertas cuestiones absolutamente esenciales que bien merecerían un desarrollo específico posterior. (3) ________________________________________________________________________________ (1) O de desigualdad, operando con las correspondientes restricciones activas o con técnicas apropiadas de penalización, cuestiones descritas en el texto clásico de R.Fletcher: "Practical methods of optimization", Wiley, 2000 (1ª ed. en 1987). Se elude en lo posible la mención prolija de otras referencias incluidas en el Anejo 1, que no obstante han sido seleccionadas por su interés. (2) Transformaciones entre diversos potenciales termodinámicos. Transformación entre lagrangiana y hamiltoniano. Energía potencial total versus energía complementaria. (3) Las diversas salvedades expresadas parecen acotar un campo de aplicaciones amplio pero relativamente específico. Sin embargo, por estar incluidos determinados problemas no mecánicos de optimización no lineal, el alcance de este trabajo puede extenderse a casos muy variados; así, meramente a título de ejemplo, en el apartado 1.6 se desarrolla un procedimiento genérico de resolución de sistemas de ecuaciones no lineales, que en el apartado 1.6.1 se aplica a un problema de control de órbitas de satélites; en el apartado 3.1.2 se desarrolla una sencilla aplicación para gráficos bursátiles,etc. Incluso en el campo específico del análisis estructural, en el capítulo 2º se desarrollan aplicaciones para el cálculo plástico, todo ello dentro de un contexto lagrangiano, aunque adecuadamente formulado para tratar esos tipos de problemas.

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1 FORMULACIÓN LAGRANGIANA "PRIMAL" DE LA TEORÍA NO LINEAL DE ESTRUCTURAS Y SU RELACIÓN CON DETERMINADOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN DE NATURALEZA NO MECÁNICA.

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1.1 FORMALISMO "PRIMAL". Para sistemas mecánicos estáticos, lo único directamente observable en laboratorio de estructuras son las variables "cinemáticas": movimientos [ ] ni1,ui ≤≤=u y deformaciones

[ ] mi1,ei ≤≤=e (con m ≥ n en lo sucesivo, salvo indicación en contra). Por lo tanto las fuerzas, momentos, solicitaciones, tensiones, etc.(magnitudes "estáticas") deben considerarse básicamente como entes de razón, cuya introducción en el análisis se fundamenta en su utilidad instrumental pero sin que a priori se les pueda otorgar una naturaleza física directamente cognoscible (4). Su carácter de variables de estado aparece a posteriori al introducir la transformación de Legendre (capítulo 2º). Por definición, las deformaciones se pueden poner en relación con los movimientos por ecuaciones puramente geométricas: e = E[u], donde E[ ] es un cierto operador; por simplicidad se escribe aquí como operador algebraico: ( )uEe = . Para medios continuos esta expresión es factible en general mediante operadores en diferencias o interpolando el campo u en un conjunto de 'b' elementos finitos, etc. En realidad son perfectamente posibles desarrollos con operadores diferenciales, como por ejemplo el del apartado 2.2, pero en el resto de este trabajo se supondrá que de una u otra forma se han formulado las expresiones anteriores de manera algebraica.

La expresión e = E(u) se supone diferenciable y se define j

iij u

EB∂∂

= , ( )uBB = . Como

consecuencia de esta definición, j

ik

kj

i2

k

ij

uB

uuE

uB

∂∂

=∂∂

∂=

∂, es decir, la magnitud

k

ijijk u

BG

∂∂

= , ( )uGG = es

simétrica respecto de sus índices 2º y 3º; dicha función depende solamente de la geometría y topología del sistema. Suponiendo la existencia de estados estáticos determinísticos, se pueden construir, en general de múltiples formas, "potenciales" V(u, e), tales que alcancen un valor extremo para dichos estados: ( ) ( ) 0euEεeu =−≡|,VdeExtremo Se entenderá como formalismo "primal" el problema así formulado de obtener los extremos condicionados de una función de m' = n+m variables con m ≥ n restricciones de igualdad, m ≤ m'. Para sistemas mecánicos conservativos esta formulación puede obtenerse simplemente agregando como términos de V los diversos términos de energía interna del sistema y la energía potencial del campo de fuerzas exteriores; y solamente los mínimos (en general, "locales") corresponden a estados estables. En este trabajo se consideran en general problemas donde la función V no tendrá ese significado físico, pero en principio se supone que se trata de obtener mínimos o máximos; y en el 2º caso basta cambiar V por -V para tomar en consideración sólo los mínimos. Cualquier problema cuyas soluciones sean las de un sistema de ecuaciones ( ) ( ) 0euE0euφ =−= |, comparte dichas soluciones con los mínimos absolutos (nulos) del formalismo primal antedicho sin más que adoptar ( )eu,V igual a una cierta norma de ( )euφ , (y muchos otros problemas admiten de hecho otros "potenciales" específicos); se trata pues de un formalismo de ámbito de aplicación más amplio de los que pudiera parecer a primera vista. ________________________________________________________________________________ (4) Seguramente esta afirmación podría provocar rechazo de un improbable lector. Pero, por ejemplo, considerando la primera categoría de la lista de "entes de razón" antedichos (las fuerzas) y, en particular, la fuerza más común en el análisis de estructuras, es decir, la gravedad, no sólo no se "conoce" lo que "es", sino incluso "cómo opera": ¿"deformación" del espacio-tiempo? ¿"intercambio" de "gravitones"? (estos últimos, por cierto, no detectados "aún" experimentalmente) ...

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El problema se plantea como la obtención de extremos locales (condicionados), de los que sólo los mínimos se toman en consideración. Quedan excluidos los potenciales con mínimos infinitos (negativos), si bien son posibles artificios en casos particulares, como el expuesto en el apartado 3.1.2. Básicamente se consideran problemas con un sólo mínimo (finito) o un número reducido de ellos; y en este segundo caso típicamente los algoritmos desarrollados en diversos apartados (1.4.1, 1.6, 3.1, etc.), se orientan a la obtención del mínimo local "más proximo" a un estado dado. La aproximación al mínimo global de problemas con multiplicidad de mínimos locales NO se contempla en (la versión actual de) este trabajo. El hecho de que las variables se conceptúen como "cinemáticas" no es esencial a efectos numéricos, ya que la posterior formulación "dual", basada en variables "estáticas", tiene también la estructura de extremo condicionado de una función de m variables con n restricciones de igualdad, n ≤ m, siendo ambas formulaciones intercambiables entre sí según convenga para la resolución de cada problema. Problemas no mecánicos pueden ser resolubles con metodologías análogas si admiten el mismo formato. Este formalismo de extremos condicionados se puede desarrollar con los correspondientes multiplicadores de Lagrange (s, "solicitaciones"), obteniendo los extremos de la "función lagrangiana",

( ) ( )xεsx tVL += , donde se ha escrito

=

eu

x (vector de estado n+m dimensional).

Si L alcanza un extremo respecto de todas las variables, 0ε0s

=⇒=∂∂L

(cumplimiento de las restricciones) y

por lo tanto al variar s, el vector de estado (x) correspondiente a los extremos de L deberá pertenecer a la intersección de las m (hiper-)superficies ( ) 0j =ε x , sobre las cuales 0ε =d ; entonces sεεs dddVdL tt ++= se reduce a dVdL = ,

luego la condición de extremo dL ≡ 0 implica dV = 0 a la vez que 0ε = ; es decir, V alcanza un extremo para el conjunto de estados pertenecientes a la intersección de las superficies antedichas. Recíprocamente, si V alcanza un extremo cuando x

varia sobre dichas superficies, dx queda obligado a ser ortogonal a las normales x∂ε∂ j , ya que 0dd j

jt =ε=∂ε∂x

x , lo que

deja n grados de libertad en la elección de las componentes de dx; si x

x∂∂

=VddV t se anula idénticamente para tales dx,

quedarán en x∂

∂V sólo n+m-n = m grados de libertad en la elección de sus componentes; está claro que esas m componentes

de libre elección en el gradiente de V deben orientarse según las normales a las superficies ( ) 0j =ε x , puesto que componentes no nulas tangenciales a las mismas permitirían construir sobre ellas valores no nulos de dV; por lo tanto

∑= ∂

ε∂−=

∂∂ m

1j

jjsV

xx con m factores sj arbitrarios, de donde 0

x=

∂∂L

; y como 0s

0ε =∂∂

⇒=L

, se deduce que la función

lagrangiana alcanza un extremo. En lo que sigue se adopta seu δδδ ,, como notación clásica en cálculo de variaciones para las diferenciales, con objeto de remarcar que se trata de cantidades infinitesimales "virtuales"; es decir, que no guardan ninguna relación con las cantidades "reales" del problema ni con los incrementos de éstas,

seu d,d,d , durante un hipotético proceso de carga incremental, que en pricipio no se considera aquí. Por el contrario se toman en consideración directamente los valores "totales" de dichas cantidades "reales" ( seu ,, ); para que este planteamiento tenga sentido es preciso que se trate de "variables de estado" no dependientes del proceso; es decir, debe estar definida unívocamente la función ( )uEe = y de será por lo tanto una "diferencial exacta"; y análogamente en relación con la función ( )euSs ,= posteriormente introducida, para lo cual se reitera la hipótesis "básica" formulada en la Introducción

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sobre los procesos de carga y ecuaciones constitutivas. Sin embargo la notación se δδ , se utiliza también a veces para posibles diferenciales "no exactas"; por ejemplo, la ecuación de compatibilidad incremental luego deducida podría tener dicho carácter, y otro tanto la ecuación constitutiva incremental del capítulo 3; pero en principio no se considera dichas posibilidades en este trabajo. Imponiendo variaciones infinitesimales arbitrarias ("virtuales") de u, e y s y desarrollando δ[V+st(e-Bu)] ≡ 0, se obtiene la ecuación variacional "general" siguiente:

( ) ( )( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0,V ttttt ≡δ−+δ−+δ−=−+δ seEesSufsBeuEseu , donde se ha empleado la notación

( )u

euf∂∂

−=V, ("campo de fuerzas") y ( )

eeuS

∂∂

=V, .

Anulando los coeficientes de las cantidades δu, δs y δe (que en dicha ecuación variacional "general" son totalmente arbitrarias salvo por el hecho de ser infinitesimales), se obtienen, respectivamente, las ecuaciones de equilibrio, compatibilidad y constitutivas: ( ) ( )eufsuH ,= (EQU) ( )uEe = (COM) ( )euSs ,= (ECO),

siendo ( ) ( )uBuH t= (matriz de equilibrio) y por lo tanto j

ki

k

ji

uH

uH

∂∂

=∂

∂,

k

jiijk u

HG

∂∂

= , ( ) uuHe dd t= .

El carácter "exacto" de las ecuaciones de equilibrio es un tanto tautológico, ya que procede de la naturaleza a su vez "exacta por definición" de las funciones ( )uEe = . La expresión ( ) uuHe dd t= puede integrarse de manera independiente de la trayectoria de las variables u, merced a la simetría supuesta de G respecto de sus índices 2º y 3º. Puede considerarse como una ecuación de compatibilidad incremental para calcular numéricamente las deformaciones si se conoce la evolución de los desplazamientos y la matriz de equilibrio pero no se dispone explícitamente de la función E(u). Si las ecuaciones de compatibilidad se conocen explícitamente en su forma ( )uEe = , el problema "primal" se puede reducir a uno sin restricciones: ( )( )uEu,VdeExtremo , que denominaremos "problema primal no condicionado", considerado con más detalle en el apartado 1.3. Tomando variaciones de la expresión anterior se deduce otra forma de la ecuación variacional:

SsuBeeSuf =∧δ=δδ≡δ ttt | , donde las variaciones δu y δe siguen siendo cantidades infinitesimales sin ninguna relación de causa a efecto con las magnitudes "reales", pero a diferencia de la ecuación variacional general, en este caso deben verificar la ecuación de compatibilidad incremental. La ecuación variacional anterior se mantiene si las magnitudes "estáticas" tienen también carácter "virtual" (es decir, tanto si ( )euSs ,= como si ( )euSs ,≠ ) con la única condición añadida de que estén "equilibradas". Se puede escribir así una tercera forma variacional como igualdad de "trabajos virtuales": ( ) ( ) ( )eufsuBuuBeesuf ,| tttt =∧δ=δδ≡δ , ya que entonces la expresión esuf δ=δ tt se reduce a una identidad. En esta expresión variacional los argumentos de las funciones ( )uB y ( )euf , son las magnitudes cinemáticas "reales" pero δu y δe pueden ser magnitudes infinitesimales cualesquiera "compatibles" entre sí y s pueden ser cualesquiera "solicitaciones equilibradas" con las "fuerzas exteriores". Aunque teóricamente está incluido en las formulaciones anteriores el caso límite en el que

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algunas de las ecuaciones constitutivas contengan "rigidices muy elevadas" que impongan valores "casi nulos" de algunas "deformaciones", pueden obtenerse desarrollos numéricamente mejor condicionados explicitando que todas o parte de las restricciones sean "coacciones" del tipo E2(u) = 0; o bien:

( ) ( ) 0e0ee

euEεeu =∧=

=−≡ 2

2

11 |,VdeExtremo

( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 0,V 2t21

t111

t11

tt2

t211

t11 ≡δ+δ−+δ−+δ−=+−+δ sEseEesSufsBuEseuEseu

( ) ( )eufsuH ,= , ( )uEe = , ( ) 0eeuSs == 2111 ,, Si todas las restricciones son del segundo tipo (i.e., e = e2), queda simplemente: ( ) ( ) 0uEu =|VdeExtremo

( ) ( )[ ] ( ) 0V tttt ≡δ+δ−=+δ sEufsBuEsu ( ) ( )eufsuH ,= ( ) 0uE = Estos tipos particulares de problemas no se consideran en (la versión actual de) este trabajo. Se reitera que todas las expresiones de este apartado son aplicables a problemas de índole no mecánica siempre que admitan la formulación "primal". En los problemas de análisis de estructuras, típicamente las fuerzas exteriores no dependen de e pero pueden depender de manera más o menos complicada de los movimientos (por ejemplo, en los modelos de interacción suelo-estructura). En cuanto a las ecuaciones constitutivas, para procesos de carga noval y sin deformación diferida típicamente se pueden asimilar de forma instrumental a las de materiales hiperelásticos no lineales (v. Anejo 3). Si se cumple lo anterior y además f = cte., .se puede escribir ( ) ( ) ufeeu t

eV,V −= . No obstante, conviene mantener la formulación de carácter más general para poder "leer" ciertos problemas de optimización no lineal con "lenguaje de análisis de estructuras". 1.2 COROLARIO: El análisis lineal de estructuras. Si e = Bu, siendo B una matriz rectangular m·n, con m ≥ n, constante y de rango lleno, s = S(e) = De con D = Dt definida positiva y f = cte., por sustitución directa en las ecuaciones anteriores se obtiene el sistema lineal f = Ku, con K = BtDB = HDHt, que una vez resuelto permite también conocer

e = Bu y s = De. La función ( ) ufKuuufDeeeu tttt

21

21,V −=−= es en este caso, salvo una constante

aditiva, la suma de un polinomio lineal y una forma cuadrática definida positiva. Cualquier problema no mecánico que admita dicho formato podrá resolverse "como un problema lineal de estructuras". Aunque en el párrafo anterior se ha introducido la matriz de rigidez K, tanto el análisis no lineal como por lo tanto el lineal, se puede llevar a cabo sin formar dicha matriz, ni mucho menos su inversa. Las solicitaciones se pueden expresar en la forma ( )fHs 1−= , siendo H(-1) = DHt(HDHt)-1 "una" matriz "pseudo-inversa" de H, que se introduce sólo formalmente, ya que en la expresión anterior aparece la inversa de la matriz de rigidez. Para m = n ("isostatismo"), H(-1) = H-1 (se recuerda que se ha supuesto de rango lleno). Solo en este caso la matriz "pseudo-inversa" está unívocamente definida. En apartados posteriores se introducen "otras" matrices "pseudo-inversas".

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1.3 EJEMPLO. Este primer ejemplo con sólo dos g.de l. (otro caso con mayor número de incógnitas se resuelve en el apartado 1.6.A) corresponde al análisis mecánicamente y geométricamente no lineal de un problema muy simple, esquematizado en la figura 1, con fuerzas constantes y barra teóricamente indeformable por flexión (con carácter instrumental se considera su deformabilidad axil en los

desarrollos; la solución analítica posterior corresponde al caso ∞→L

EA ):

Figura 1: Ejemplo de aplicación del formalismo primal a un problema teórico sencillo de análisis no lineal de estructuras. La respuesta del empotramiento es elástica-perfectamente plástica, pero en ausencia de procesos de descarga en el proceso cuasiestático real de puesta en carga, se puede modelizar como hiperelástica no lineal (Anejo 3). La correspondiente "energía elástica instrumental" es

( ) ( ) pp

pmp

p

2

m si2

·mV,Km

si2

KV θ>θ

θ−θ=θ=θ≤θ

θ=θ ; esta función es continua y también su 1ª

derivada, pero la 2ª es discontinua; sin embargo ello no impide este primer planteamiento ni tampoco en el desarrollo posterior basado en el gradiente. Como ejemplo del formalismo primal, se desarrolla directamente la solución a partir de la

expresión de la energía potencial total, ( ) ( ) ( )2211

2

m ufufL2

LEAV,V +−∆

+θ=eu , siendo

−−

=

=

202

011

2

1

xxxx

uu

u , ( )uEe =

∆θ

=L

, ( ) 0202

1010

2

11 ux

uxarctgxxarctgE θ−

−+

=θ−

=u ,

( ) ( ) ( ) LuxuxE 2202

21012 −−++=u , con ( ) ( )

( )

θ+θθ+θ

∆+=

=

0

0

2

1

cossin

LLxx

x , ( )( )

θθ

=

=

0

0

02

010 cos

sinL

xx

x .

Por derivación de ( )eu,V se verifica fu=

∂∂

−V (fuerzas exteriores, constantes en este caso) y

( ) ( )eSe

s =

∆θ

=∂∂

=LLEA

mV (solicitaciones y ecuaciones constitutivas, ( )θ= ms1 , LLEAs2 ∆= ).

f2

m(θ) =minº(Kθ, mp) (θ>0)

θ0 L, EA

f1

u2

θ

0< θ0+θ < π

x1

x2

u1

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Derivando las ecuaciones de compatibilidad ( )uEe = , se obtiene

( ) t

022101

101202

xuuxLLux

LLux

LL1 HuB =

−+∆++

∆+−

∆+= . Por lo tanto las ecuaciones de equilibrio son

( ) ( )( ) ( )

0σ =

θ+θ−∆+

θ+θ

θ+θ∆+

θ+θ

=

σσ

≡2

1

2

1

00

00

2

1

ff

ss

cosLL

sin

sinLL

cos

, que pueden invertirse (problema isostático),

proporcionando ( ) ( )( ) ( )

+−+++

=

∆+

2

1

00

00

2

1

cossinsincos

ff

sLL

s

θθθθθθθθ

; es inmediato verificar que estas

ecuaciones corresponden al equilibrio sobre la geometría deformada.

Se obtiene y representa la solución analítica del caso ∞→L

EA , f1 = 0, f2 = P, 2LPm cr

p = :

( ) ( ) ( )θ+θ=θ+θ+θ+θ

==

θ 0

crcr

02011 sinPP

Psinfcosf

Ks

21,minº , ecuación univariable en la incógnita θ ,

siendo LKPcr = . Esta última magnitud es la "carga crítica ideal", como se deduce para el soporte sin

imperfecciones (θ0 = 0), tomando θ infinitesimal pero no nulo y despejado P = Pcr en ( ) θ≈θ=θ sinPP

cr

,

de donde se infiere que para P = Pcr se inicia el pandeo del soporte "ideal".

Figura 2: Solución analítica del problema de la figura 1 por aplicación directa del formalismo primal Éste es un ejemplo de carácter muy simplista, puramente teórico y orientado a ilustrar cuestiones básicas de optimización y de análisis estructural. Pero además captura algunos aspectos cualitativos importantes para el proyecto de estructuras: 1º) la carga última en compresión integra tres aspectos básicos: carga crítica ideal, "imperfecciones" y resistencia última de las secciones; 2º) la rama post-agotamiento de las piezas fuertemente comprimidas es decreciente (por lo que no es admisible el "cálculo plástico" con "rótulas plásticas" en piezas fuertemente comprimidas de esbeltez significativa (incluso aunque ésta se tenga en cuenta en la evaluación de la resistencia de la piezas individuales).

"imperfección": θ0 (rad.)

θ (radianes)

P/Pcr

Datos particulares:

∞→L

EA ,

f1 = 0, f2 = P,

2LPm cr

p =

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1.4 SOLUCIÓN DEL PROBLEMA PRIMAL BASADA EN EL GRADIENTE. Por sustitución de las ecuaciones de compatibilidad, el problema de extremo con restricciones se reduce a uno no condicionado: ( )( )uEu,VdeExtremo ,

cuyo gradiente es la derivada total uVV

DDV

∂∂

+∂∂

∂∂

=uE

eu, luego

( ) ( ) ( ) ( )uEeeuSseufsuHσu

==−≡= ,,|,DDV

Es decir, el gradiente coincide con el residuo (σ ) de las ecuaciones de equilibrio tomando en ellas las solicitaciones dadas por las ecuaciones constitutivas en función de las deformaciones expresadas mediante las ecuaciones de compatibilidad. Por lo tanto: 1.4.A Los problemas de análisis no lineal de estructuras (o de análisis lineal como caso particular) que admitan una formulación de energía potencial total se pueden resolver como problemas de extremo de ésta en el espacio de los movimientos, tomando como gradiente el residuo de las ecuaciones de equilibrio y aplicando algún método apropiado de optimización basado en el gradiente, como por ejemplo el método de los gradientes conjugados. (apartado 1.4.1). Conviene observar que para ello NO ES NECESARIO UTILIZAR NINGUNA "MATRIZ DE RIGIDEZ" (instrumento que aparece después al desarrollar el formalismo de Newton) lo cual obviamente simplifica los desarrollos teóricos y su implementación informática sin perjudicar los tiempos de cálculo, tanto para problemas lineales como no lineales. 1.4.B Un problema de optimización no lineal condicionada del tipo

( ) ( ) 0euEεeu =−≡|,VdeExtremo , donde las diferentes variables pueden tener cualquier significado no mecánico, se puede resolver como un problema no condicionado de la manera indicada en el párrafo 3A anterior, siempre que la restricción se pueda escribir de manera explícita e = E(u); y

que se disponga asimismo de formulaciones explícitas de ( )u

euf∂∂

−=V, , ( )

eeuS

∂∂

=V, y ( )

uEuB∂∂

= , o

bien que todas o parte de ellas se calculen por diferenciación numérica. 1.4.1 Búsqueda sobre direcciones conjugadas. Se trata de un procedimiento extraodinariamente simple, válido tanto para problemas lineales como no lineales, que compite con el de Newton-Raphson (sección 3), sobre todo por su sencillez de programación y economía de memoria necesaria; y también compite con aquél en tiempo de computación. Es un proceso iterativo que parte de la solución previamente obtenida (u) en una cierta etapa del proceso y con origen en la misma se mueve en línea recta en el espacio nℜ en una cierta dirección (v) variando un único parámetro (t, típicamente t ≥ 0, si bien en problemas no lineales a veces se ensayan los dos sentidos): tvu + . En general será preciso aplicar técnicas de minimización unidimensional apropiadas para obtener ( ) ( )( )t,tVtVminº

tvuEvu ++= . Se reiteran las hipótesis efectuadas en el

apartado 1.1 para la función V, en particular la ausencia de "infinitos negativos".

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Si la naturaleza del problema lo justifica, basta obtener el extremo más próximo, i.e., el mínimo t positivo tal que ( ) 0t =σ , con ( ) ( )( )t,tt t vuEvuσv ++=σ . En problemas lineales, por ejemplo, σ es una función lineal de t; y como se conoce ( ) ( )( )uEuσv ,0 t=σ , basta otra determinación de σ(t) para un valor cualquiera de t, para seguidamente poder resolver la ecuación lineal con una sola incógnita σ(t) = 0. En problemas no lineales, es conveniente EVITAR LA LINEALIZACIÓN DE LA ECUACIÓN UNIVARIABLE σ(t) = 0, salvo dentro de un "bracket" de signos contrarios de σ con ajuste iterativo del intervalo. En el método de los gradientes conjugados se adopta v = -σ en la primera iteración (búsqueda en la dirección y sentido de la "máxima pendiente" de V); pero en las siguientes se toma prvvσv β+−= ,

siendo prvv la dirección de búsqueda de la iteración previa y ( )

2prv

prvt2 0;max

σ

−σ≈β

σσ, DIFERENTE DE

LA "CLASICA" 2prv

2

σσ

≈β específica esta última de potenciales cuadráticos (apartado 1.4.2).

Para mejorar la convergencia puede ser necesario "PRECONDICIONAR" las variables escalándolas adecuadamente (J.D.Faires, R.Burden, "Métodos numéricos", Thomson, 2004); es decir, efectuar un cambio de los incrementos de las variables del tipo ( ) uu ∆=′∆ n1 c,,cdiag K y

consecuentemente σσ

=′

n1 c1,,

c1diag K . Con ello las expresiones anteriores quedan

prvt

prv

t

σσσσ′′′′

=β′ ,

prvvσv ′β′+′−=′ , ( ) tcvutu

i

iii

′+= , ( ) ( ) 0tt t =′′=σ′ σv .

Frecuentemente los factores de escala pueden decidirse a priori para cada tipo de problema, teniendo en cuenta que su objeto es el de homogeneizar de manera aproximada los órdenes de magnitud

de los términos dominantes del hessiano uσK

DD

gtan = ; si dichos términos son los de su diagonal

principal, cabe adoptar el criterio simplificado ii,gtani Kc ∝ . Como normalmente el hessiano no se

conoce a priori (ni por supuesto llega a formarse completo en este método), se pueden aproximar los

factores de escala por diferenciación numérica: ( ) ( )ε

ε−σ−ε+σ∝

2c kkkk

kiuiu , siendo

[ ]tk 00,1,00 KK=i (vector básico k-ésimo en nℜ ); el parámetro ε debe ser objeto de experimentación numérica según el tipo de función de cada problema. Puede ser preciso actualizar los factores de escala a lo largo del proceso (excepto en problemas lineales, para los cuales dichos factores son constantes).

Como criterio alternativo, cabe tomar ( ) ( )( ) ( )0utu

0tcii

iii −∆

σ−∆σ∝ donde las cantidades del numerador y

denominador se obtienen para el primer incremento efectuado sobre cada dirección de búsqueda. El método de los gradientes conjugados converge exactamente en 'n' iteraciones en el caso particular del análisis lineal de estructuras. En problemas no lineales la convergencia puede ser más lenta. Y en el caso de soluciones múltiples conduce a la solución en alguna medida "más próxima" a la iteración inicial; es decir, es un método de optimización local. Por lo tanto si este procedimiento se aplica a problemas de diseño óptimo de estructuras, que típicamente presentan una gran multiplicidad de óptimos locales, es muy importante tener en cuenta que NO conduce necesariamente al óptimo global.

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1.4.2 Deducción de las direcciones conjugadas aproximadas en problemas no lineales. Interesa considerar detenidamente esta deducción para discutir la aplicabilidad del método en problemas no lineales. En primer lugar, es necesario postular que el proceso converge y que por lo tanto asintóticamente 0uu →− prv . Entonces, en las etapas finales del proceso se podrá aproximar la función objetivo en el entorno de cada último estado alcanzado, mediante su desarrollo en serie de Taylor

truncado en los términos cuadráticos, es decir ( )( ) ( )( ) uKuuσuEuuuEuu ∆∆+∆+≈∆+∆+ gtantt

21,V,V ,

donde ( )( )uEuσσ ,= , ( )( )uEuKK ,gtangtan = ; por lo tanto ( )( ) uKσuuEuuσ ∆+≈∆+∆+ gtan, . Tomando

tvu =∆ e imponiendo la ecuación ( )( ) 0t,tt =++ vuEvuσv se obtiene vKv

σv

gtant

t

t −≈ y el nuevo

mínimo local ( )( ) ( )vKv

σvuEugtan

t

2t

2,VV −≈ , expresiones sólo aproximadas que no se utilizan para

reemplazar la resolución numérica de la ecuación exacta ( )( ) 0t,tt =++ vuEvuσv , sino sólo para la estimación del valor óptimo del coeficiente β de la dirección de búsqueda prvvσv β+−= ; a este efecto

se anula la derivada respecto de β de ( )prvgtan

tprv

2prvgtan

tgtan

t

4

gtant

2t

22

2 vKvvKσσKσvKvσv

β+β−σ

= , lo cual

proporciona prvgtan

tprv

prvgtant

vKvvKσ

≈β y por lo tanto 0prvgtant ≈vKv , expresión que da nombre al método de

"direcciones conjugadas". Queda claro a la vista del desarrollo anterior que la relación de conjugación sólo es válida en la medida en que la función objetivo sea aproximable por una función cuadrática con carácter local. Si la resolución numérica de la ecuación exacta ( )( ) 0t,tt =++ vuEvuσv conduce a un punto relativamente alejado, puede ser conveniente, si se sabe a priori que la función objetivo difiere mucho globalmente de una función polinómica de 2º grado, reiniciar el proceso de conjugación, partiendo de σv −= . Las expresiones anteriores, además se ser sólo aproximadas en problemas no lineales, no resultan prácticas por incluir la matriz Ktang. Ésta se elimina teniendo en cuenta que

prvprvgtanprv tvKσσ −≈ , luego ( )( )prv

tprv

prvt

σσvσσσ−

−≈β . Por otra parte,

( ) 2prvprv

tprv,prvprv

2prvprv

tprvprv

tprv σ=β−σ=−=− σvσvσσv , ya que 0t

prv =σv y 0prvt

prv,prv =σv , luego

2prv

prvt2

σ

−σ≈β

σσ. Pero además los gradientes sucesivos son aproximadamente ortogonales entre sí, ya

que ( ) prvtprvprv

tprvprv

t σvσvvσσ β=β+−= = ( )prvprv,prvprv,gtanprv,prvtprv tvKσv +β ≈ 0, porque 0prv

tprv,prv =σv

y 0prv,prvprv,gtantprv ≈vKv . De esta manera se llega a la sencilla expresión 2

prv

2

σσ

≈β , que en realidad es

exacta sólo si la función objetivo es cuadrática.

La expresión 2prv

prvt2

σ

−σ≈β

σσ puede mejorar la aproximación en problemas no lineales sin

introducir una carga adicional significativa de computación. De hecho, en el primer caso resuelto en el apartado 1.6.A, el número de búsquedas a iguladad de tolerancia de error se reduce con dicha fórmula a

menos de 2/3 del número de búsquedas necesarias adoptando 2prv

2

σσ

≈β .

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1.4.3 EJEMPLO.Solución basada en el gradiente del ejemplo de las figuras 1 y 2.

Se resuelve el caso ∞→L

EA , f1 = 0, f2 = Pcr, 2LPm cr

p = , θ0 = 0,01 rad, es decir, un soporte con

una "imperfección" de 0,57º sometido a una carga vertical igual a su carga crítica ideal, para la cual la cual el problema tiene tres extremos (dos mínimos y un máximo, inestable), de los que se pretende calcular el tercero, para el cual la carga colgada del soporte por debajo de la cota cero, solución evidentemente teórica ya que mucho antes se habría producido la fractura o agotamiento de la ductilidad de cualquier material real. Se trata por lo tanto de probar el comportamiento numérico del método de los gradientes conjugados en un problema no lineal difícil, no sólo por lo anterior, sino además por el extraordinario mal condicionamiento originado por la disparidad de las rigideces K y

LEA . Sería más simple resolver el problema adoptando ∆L = 0 como restricción, lo cual permitiría

reducir un grado de libertad; pero hacen falta dos como mínimo para poner un ejemplo de utilización de direcciones conjugadas entre sí (por otra parte dos es el número ideal para grafiar en camino recorrido

por el sistema). Por ello L

EA se asigna con valor finito, pero suficientemente elevado, igual a

23cr3

LK10

LP10 = . que corresponde a 310

LL −≤

∆. De hecho, con este valor el término

L2LEA 2∆ de

( )eu,V equivale a una penalización cuadrática peor condicionada incluso que la descrita en la figura 12.1.2 del texto de R.Fletcher. Aplicando la expresión deducida en el apartado 1.1, se escribe el gradiente:

( )( ) ( )( ) ( )

θ+θ−∆+

θ+θ

θ+θ∆+

θ+θ

=P0

ss

cosLL

sin

sinLL

cos

,2

1

00

00

euσ .

Solamente para la 1ª dirección de búsqueda ( )( ) ( )( ) ( )

=

+

θ−θ

θθ

−=−P0

P0

00

cosL

sin

sinL

cos

,0

0

00

00σ

tomaremos ∆L = 0 como restricción, con lo cual simplemente hay que ensayar los dos estados u = 0 y

( )

θ

=

=

002 cosL20

x20

u y tomar el de mínima ( ) ( ) ( )2211

2

m ufufL2

LEAV,V +−∆

+θ=eu , recordando

que ( ) ( ) pp

pmp

p

2

m si2

·mV,Km

si2

KV θ>θ

θ−θ=θ=θ≤θ

θ=θ se adopta como "energía elástica

instrumental" , válida por ser θ monótonamente creciente en el proceso cuasiestático real de puesta en carga. Para u = 0 se obtiene V = 0 y para el segundo estado

( ) ( ) 0cosL2·P412

2PL,V 00 <θ−

−θ−π=eu , luego se toma este último como punto de inicio del

proceso de búsqueda subsiguiente. La primera figura siguiente representa la evolución de u1/L u2/L en las sucesivas iteraciones. La siguiente representa los valores de θ en redianes. A pesar de la dificultad del problema ya comentada la convergencia es satisfactoria; PERO NO SI SE SUPRIME LA CONJUGACIÓN Y/O EL PRECONDICIONAMIENTO.

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0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

u1u2

2,550

2,600

2,650

2,700

2,750

2,800

2,850

2,900

2,950

3,000

3,050

3,100

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

angulo (rad)

Figura 3: Sucesivas iteraciones del método de los gradientes conjugados para el mismo ejemplo de las figuras 1 y 2

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1.5 "SEGUNDA LINEALIZACIÓN". Ya se ha indicado en el apartado 1.4.2 que en problemas no lineales es preferible la resolución numérica de la ecuación univariable ( )( ) 0t,tt =++ vuEvuσv para cada dirección de búsqueda lineal. Aun así, cabe ensayar la aproximación dicha ecuación por una expresión linealizada en 't', lo cual puede calificarse de "segunda linealización" del método de direcciones de búsqueda. La solución correspondiente así obtenida en el apartado 1.4.2 como apoyatura del desarrollo teórico, por incluir la

matriz uσK

DD

gtan = , no tiene utilidad práctica en este capítulo, donde se elude la formación de dicho

tipo de matrices, a diferencia del planteamiento del capítulo 3º . En este apartado se plantea dicha posible "segunda linealización" empleando "lenguaje de análisis de estructuras". Se simplifica el problema suponiendo ( ) .cte, =euf y ( ) ( )eSeuS =, , que es lo típico en análisis de estructuras; pero en problemas genéricos de optimización esto puede no cumplirse, obligando en tal caso a añadir nuevos términos en las expresiones del presente apartado. Para una dirección de búsqueda dada v en el espacio u se tiene pues ( ) ( )( )t,tt t vuEvuσv ++=σ con

( )( ) ( ) ( )( ) fvuESvuHvuEvuσ −++=++ ttt,t . Se efectúan en este apartado las hipótesis simplificativas siguientes: A) La corrección tvu =δ se puede suponer "pequeña", al menos asintóticamente. B) H(u) es constante o varía "lentamente", como para poder adoptar ( ) ( ) ( ) uuGuHvuH δ+≈+ tt . C) La ecuación constitutiva es linealizable paso a paso en la forma ( ) ( ) ( ) eeDeSeeS δ+≈δ+ gtan

Tomando tt wuHe =δ=δ con ( )vuHw t= , imponiendo la condición 0t =σv y suponiendo asintóticamente despreciable el término en t2, se encuentra entonces la solución asintótica

IIgtan

intexttII

tgtan

tt

a WWWWt−−

≡−−

=vfwr

wsvf ., donde:

vf textW = : "trabajo virtual externo" de las fuerzas "reales" f con los desplazamientos "virtuales" v

ws tintW = : "trabajo virtual interno" de las solicitaciones "reales" s (últimos valores calculados) con

las deformaciones virtuales ( )vuHw t= . sHf IIII −= : "fuezas de 2º orden" producidas por los desplazamientos "virtuales" v

∑=

=n

1kkjikij,II uGH : "matriz de equilibrio virtual de 2º orden"

wDr gtangtan = : "solicitaciones virtuales"

wr tgtangtanW = : "trabajo virtual de las solicitaciones virtuales"

vf tIIIIW = : "trabajo virtual de las fuerzas de 2ºorden"

Obviamente la expresión Wtang, que incluye formalmente la magnitud rtang, se debe calcular sin formar la matriz Dtang, de orden m·m, sino como suma extendida a los 'b' elementos o barras de la estructura de los trabajos virtuales de las solicticaciones virtuales calculadas en cada una de ellos/as con deformaciones impuestas w y matrices constitutivas lineales teóricas, expresadas con la rigidez tangente del material en cada punto o sección. Análogamente, WII se puede calcular sin llgar a formar la matriz HII, de orden n·m.

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Si en la ecuación (en t) 0t =σv no se supone despreciable el término en t2, se encuentra:

IIgtan

aIII

a

WWtW411

t2t

−+±

= , siendo:

II

tgtanIIIW wr= : "trabajo virtual de las solicitaciones virtuales debido a las deformaciones virtuales

de 2º orden", vHw tIIII =

Se debe adoptar la solución de menor ( ) ( )( )t,tVtV vuEvu ++= . En principio, si ta > 0, debería corresponder al signo + en el denominador de la expresión anterior. 1.5.1 APLICACIÓN: Análisis de 2º orden de estructuras de barras. Sea ( ) DeeS = con D = cte., ( ) .cteI == fuf y ( ) uGHuH t

I +≈ , expresión linealizada (modelo "biela" para las componentes de 2º orden de los esfuerzos axiles). Entonces ( )IIII ffsHσ +−= siendo

∑∑= =

−=n

1j

m

1kjkijki,II uGsf , expresión teórica que se reducirá en la práctica a calcular las "fuerzas

desequilibradas de 2º orden aplicadas a los nudos" en función de los desplazamientos de éstos.

En la expresión gtan,e

intext

V2WWu −

=δ , el numerador vale ( ) Itt

IIItt

Iintext WW wsvffwsvf −+=−=− ,

con vHw tII = , donde s son las últimas solicitaciones calculadas, fII sus acciones equivalentes de 2º

orden sobre los nudos y v la nueva dirección de búsqueda. En el denominador, tomando

ItI

b

1kk,egtan,e V2V2 Dww≈=∑

=

se conseguiría una simplificación notable cuya posible pérdida de rapidez

de convergencia podría ser objeto de exprimentación numérica (utilizando en cambio la expresión exacta la convergencia se debería producir en 'n' iteraciones, salvo claro está, en caso de 'pandeo'). Nótese que no se forma la matriz de rigidez de la estructura. En cuanto a la matriz D que aparece en la expresión I

tIDww tiene carácter puramente formal. para expresar que las

∑=

b

1kk,eV2 energías elásticas de las barras se calculan con las deformaciones virtuales wI en la

aproximación indicada (su valor correcto se debería obtener con vHw t= ). Se calculan los trabajos con movimientos virtuales v y las correspondientes deformaciones virtuales de las barras . La diferencia entre trabajos externo e interno se "compensa" con "energía almacenada en las barras" permitiendo que la estructura, debido a las fuerzas desequilibras, siga moviéndose, pero obligando a que los incrementos de movimientos se realicen según la dirección v. El análisis se acaba en n direcciones de búsqueda, tantas como grados de libertad tenga la estructura.

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1.6 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. Se considera en este apartado la posibilidad de resolver sistemas de ecuaciones no lineales genéricos por el método de los gradientes conjugados (apartado 1.4.1), como alternativa al método de Newton-Raphson en caso de posibles problemas de convergencia que no se resuelvan mediante los procedimientos de estabilización indicados en el capítulo 3º. Por otra parte, se admiten aquí sistemas "sobredeterminados" e incluso incompatibles, de los que se trata de obtener soluciones de error mínimo. Sea pues un sistema de N ecuaciones con n incógnitas ( ) 0uφ = del cual se pretende obtener la solución "más próxima" a un cierto u0 aplicando el método de los gradientes conjugados con origen en u0, por minimización de los residuos de dichas ecuaciones. Las funciones ( )uφ se suponen

diferenciables y se define la correspondiente matriz jacobiana ( )uφuJ∂∂

= ; esta matriz se introduce sólo

para el desarrollo teórico siguiente, no siendo preciso obtenerla para la implementación del algoritmo numérico, tal como se expone a continuación. Se consideran los siguientes casos: 1.6.A Si la matriz jacobiana es cuadrada (N = n) y además es simétrica, entonces coincide con

la matriz hessiana de una cierta función ( )uV : j

iij

ji

2

uJ

uuV

∂ϕ∂

==∂∂

∂ , ya que al ser i

jjiij

j

i

uJJ

u ∂

ϕ∂===

∂σ∂ se

cumple el lema de Scwharz de igualdad de las derivadas parciales cruzadas de la función ( )uV , luego ésta existe como función de estado. En este caso simplemente basta adoptar ( ) ( )uφuσ = como gradiente para la aplicación del algoritmo del apartado 1.4.1 (o 1.5, en su caso), con la precaución de explorar los dos sentidos de búsqueda ( ( )uv± ) en cada dirección, ya que en principio interesarán todas las soluciones de ( ) 0uφ = y no sólo las que correspondan a mínimos del "potencial" V. En cuanto a los valores que toma dicha función, en realidad es necesario definirlos en dichos algoritmos; pero se pueden calcular (salvo una constante aditiva) simplemente integrando el gradiente sobre la trayectoria, ya que por las hipótesis efectuadas en este caso dicha integral depende sólo de los estados alcanzados y no del camino seguido hasta ellos. 1.6.B Si tJJ ≠ , indistintamente con N = n o N ≠ n, se puede aplicar el método de los

gradientes conjugados, con origen en u0 para el problema no condicionado ( ) φφu t

21Vminº = , cuyo

gradiente es ( ) ( )uφuJuu

σ tVDDV

=∂∂

== . Suponiendo que el proceso converja, la solución será correcta

si se alcanza el mínimo V = 0; y si converge a un mínimo ≠ 0, se tratará de una solución de "residuo cuadrático medio mínimo (local)". Si no se dispone de la expresión explícita de la matriz J, se podría aproximar por diferenciación numérica. Sin embargo NO ES NECESARIO LLEGAR A FORMAR DICHA MATRIZ, según se expone en el párrafo siguiente. Para cada dirección de búsqueda la ecuación ( ) 0tt =+ vuσv se puede escribir en la forma

( ) ( ) 0ttt =++ vuφvuw , siendo en este caso ( ) ( )vvuJvuw tt +=+ (derivada direccional del vector

residuo ϕ según el vector v) y por lo tanto ( ) ( )( ) ( )( )ε

ε−+−ε++≈+

2tttt vuφvuφvuw , donde se ha

utilizado un esquema simétrico de diferenciación numérica. Por lo tanto no es precisa la formación de J, computacionalmente costosa, en cada punto de la recta tvu + . Tampoco es necesaria dicha matriz

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una vez alcanzado el mínimo direccional para obtener el vector gradiente φJσ t= (y a partir de éste calcular la nueva dirección de búsqueda conjugada), ya que el gradiente se puede obtener de forma

directa ( ) ( )

εε−−ε+

≈σ2

VV jjj

iuiu, siendo [ ]tj 00,1,00 KK=i (vector básico j-ésimo en nℜ ); el

parámetro ε debe ser objeto de experimentación numérica según el tipo de función de cada problema. Si se aplica la misma determinación aproximada anterior en cada punto de la recta de búsqueda, la ecuación ( ) 0tt =+ vuσv se puede escribir de manera alternativa (sin evaluación del vector w) en la

forma ( ) ( )( ) 0vtVtV21 n

1jjjj ≈ε−+−ε++

ε∑=ivuivu , que por su sencillez ha sido la adoptada en el

ejemplo posterior (apartado 1.6.B). De forma análoga a lo indicado en el apartado "segunda linealización" cabría tomar aproximadamente en cada dirección de búsqueda ( ) ( ) ( ) ( )( )t·t t vuJuφuJvuσ +≈+ , con lo cual para la

ecuación ( ) 0tt =+ vuσv se obtiene una solución explícita (pero sólo aproximada) ( ) ( )( ) ( )uwuw

uwuφt

t

t ≈ .

Si la matriz J(u) es simétrica, teóricamente se podría aplicar también el procedimiento 1.6.B, pero si existen soluciones ( ) 0uφ = , este último es menos eficiente que el 1.6.A, ya que puede agregar soluciones espúreas (con ( ) 0uφ ≠ ) que es preciso descartar a posteriori. Pero si el sistema ( ) 0uφ = carece de soluciones exactas, el procedimiento 1.6.B puede proporcionar las de "error mínimo (local)". Con la notación precedente no es obvia la relación con el "formalismo primal condicionado" desarrollado en los apartados 1.1 y 1.4. Sin embargo basta reemplazar ( ) ( )uEuφ a y adoptar

ee t

21V = con ( )uEe = , para escribir ( ) 0euEee =−= |

21Vminº t , que equivale a un teórico

problema de análisis geométricamente no lineal de una estructura de barras elásticas con matriz constitutiva ID = , matriz de compatibilidad ( ) ( )uJuB ≡ , matriz de equilibrio ( ) ( )uJuH t= , fuerzas

exteriores 0u

f =∂∂

−=V , ecuación constitutiva e

es =

∂∂

=V y ecuaciones de equilibrio

( ) ( ) ( ) ( )uEuBeufsuHσ t, =−≡ , donde se reencuentra el gradiente ( ) ( )uφuJσ t= . Por lo tanto si N = m ≥ n el problema ( ) 0uφ = puede intentar resolverse mediante las diferentes técnicas de análisis de estructuras hiperestáticas (isostáticas en el caso N = n), no sólo los métodos basados en el gradiente desarrollados en este capítulo sino también el método de la rigidez del capítulo 3º, si bien hay que advertir que este último puede encontrarse con dificultades de convergencia que requieren un estudio especial que puede diferir de los criterios habitualmente aplicados en análisis de estructuras.

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1.6.A EJEMPLO Mallatesa con desplazamientos finitos. Se resuelve un sistema de N = 18 ecuaciones no lineales con n = 18 incógnitas. Corresponde a un problema de análisis estructural cuyas ecuaciones de equilibrio se escriben en la forma ( ) ( ) 0fuFuφ =−= , de carácter geométricamente no lineal y material hiperelástico lineal; por lo tanto,

suponiendo las magnitudes ϕ y u conjugadas desde el punto de vista del trabajo mecánico, la matriz J(u) es simétrica, luego puede aplicarse el procedimiento 1.6.A. En realidad resulta de esta manera el mismo proceso numérico que se seguiría aplicando el "formalismo primal no condicionado", sólo que aquí no llega a explicitarse la existencia de un potencial V(u, E(u)).

Se trata de una malla-tesa de 12 tirantes coplanarios de fibra de carbono, sometida a cargas perpendiculares a su plano, no simétricas. Todos los tirantes son iguales, con la misma longitud inicial L0 = 1 m, área nominal A = 10 mm2, módulo de deformación efectivo E = 137000 MPa y fuerzas de pretensado s0 = 3 kN, deliberadamente muy bajas para provocar desplazamientos finitos de los nudos; por el mismo motivo se adoptan cargas que producen aproximadamente 10 veces la carga de rotura del tirante más solicitado (18 kN); de esta manera el desplazamiento vertical máximo llega a valer 0.74 m. Los nudos se suponen articulados y por lo tanto es un problema intrínsecamente no lineal, ya que según la teoría de primer orden se trataría de un "mecanismo" incapaz de equilibrar las acciones exteriores. Las ecuaciones son, para cada uno de los nudos 1 ≤ i ≤ 6: ( ) ( ) ∑

==ibk

kkii s υuFuf , siendo k ∈

bi las barras i-jk conectadas a cada nudo i, k0

0k LLEAss ∆+= ,

k

kk L

dυ = , ( ) ( )kk jjiik uxuxd +−+= ,

ktkkkL ddd == , 0kk LLL −=∆ . Los desplazamientos de los nudos exteriores (7 ≤ i ≤ 12) se suponen

coaccionados (ui = 0). El vector general de incógnitas (u) está formado por las 6x3 componentes de los desplazamientos de los nudos interiores (1 ≤ i ≤ 6). El procedimiento 1.6.A converge en 26 búsquedas direccionales, vez y media el número de incógnitas, es decir sólo un 50 % más de las que corresponderían a un problema lineal. Sin precondicionamiento en este caso no hay diferencia significativa (30 búsquedas). Sin conjugación (búsqueda en la dirección del gradiente), son en cambio necesarias 112 búsquedas para la misma tolerancia de error, es decir, más de cuádruplo de las 26 antedichas.

1

23

4

5 6

Figura 4 Mallatesa inicialmente plana

Figura 5 Deformada (sin magnificar)

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1.6.B EJEMPLO. Sistema sobredeterminado de ecuaciones polinómicas. Se considera aquí un sistema de N = 8 ecuaciones no lineales con n = 2 incógnitas; se trata de

obtener la solución cuyo residuo cuadrático medio sea mínimo (local) partiendo de

=

01

u como

estado inicial, de: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 4k1,aiuuIm,aiuuRe k2k

21k21k2k

211k2 ≤≤−+=ϕ−+=ϕ −− uu ; la matriz jacobiana no es simétrica, por lo que se aplica el procedimiento 1.6.B, calculando el gradiente por diferenciación numérica (no se hace uso pues dicha matriz).

En un primer caso se adopta [ ] [ ] i23

21z,zIma,zRea k

k2k

1k2 +===− , con lo que el sistema

es compatible y se obtienen los resultados del primer gráfico de la figura siguiente. Con 1a = , el sistema es incompatible, por lo cual no se alzanza V = 0; los resultados son los del segundo gráfico de la misma figura.

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

3,500

4,000

4,500

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vu1u2

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

1,400

1,600

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Vu1u2

Figura 6 Soluciones de los sistemas algebraicos considerados en el ejemplo 1.6.B

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1.6.1 APLICACIÓN: CONTROL DE ÓRBITAS DE SATÉLITES. Si las ecuaciones ( ) 0uφ = representan simplemente condiciones de cierre (N = 6 condiciones de continuidad de posición y velocidad) tras un cierto número de órbitas, obviamente sólo podrán definirse de manera numérica por integración de las ecuaciones del movimiento, donde se incluyen n parámetros de regulación de maniobras u1, ..., un, que pueden ser simplemente componentes de correcciones del vector velocidad en uno o varios instantes. La elección óptima de dichos parámetros podría efectuarse introduciendo una función de coste adecuada, pero suponiendocomo es lógico que la misma es monótonamente creciente con los valores del módulo de las correcciones del vector velocidad, bastará obtener la solución "más próxima" al origen (u0 = 0) simplemente por aplicación del algoritmo 1.6.B, sin que sea realmente necesario llegar a definir dicha función de coste. Si se quiere cumplir exactamente las restricciones ( ) 0uφ = , en principio será preciso que n ≥ N = 6, lo que correspondería a un problema hiperestático en análisis de estructuras, o isostático si n = N. Por lo tanto, como alternativa al algoritmo 1.6.B basado en el gradiente, se pueden aplicar las técnicas del capítulo 3º, que equivalen al análisis por el método de la rigidez de una estructura geométricamente no lineal de barras con "matriz constitutiva" ID = , "matriz de compatibilidad" ( ) ( )uJuB ≡ , "matriz de equilibrio" ( ) ( )uJuH t= y "fuerzas exteriores" nulas, según se vió en el

apartado1.6. Hay que advertir no obstante que el "método de la rigidez" puede encontrarse con problemas de convergencia que serían atípicos en análisis de estructuras y que requieren criterios de estabilización apropiados que se comentan en el capítulo 3º.

Figura 7 Maniobras correctoras en diferentes instantes de un ciclo de un cierto número de órbitas.

Este ejemplo se trae a colación con carácter ilustrativo de la variedad de problemas técnicos a cuya resolución pueden servir los formalismos expuestos en este trabajo.

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2 FORMULACIÓN "DUAL" BASADA EN LA TRANSFORMACIÓN DE LEGENDRE.

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2.1 FORMULACIÓN DUAL DEL ANÁLISIS NO LINEAL DE ESTRUCTURAS. La transformación de Legendre se utiliza para expresar una cierta magnitud como función diferente en que todos o parte de los argumentos sean precisamente las derivadas de la función inicial respecto a las antiguas variables (sus aplicaciones en termodinámica y en mecánica analítica se pueden consultar por ejemplo en "http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Legendre"). En este trabajo se utiliza esta transformación básicamente para intercambiar entre sí las

variables "duales" e

s∂∂

=V y

se

∂∂

=U (esta segunda ecuación se introduce en este apartado); las

magnitudes e son sustituidas por las s en una nueva definición de la "función objetivo" o "potencial". Podría decirse que mientras que el método de Lagrange "crea" las "solicitaciones", la transformación de Legendre les otorga el carácter de "variables de estado". La transformación de Legendre del potencial V(u,e) respecto de todas sus variables se escribe en la forma ( ) ( )sfesuf ,UVU tt =−+−= , luego esufessefuuf dddddddU tttttt −+++−−= =

sefu dd tt +− ⇒ f

u∂∂

−=U ,

se

∂∂

=U . En problemas típicos de análisis estructural con f = datos

constantes, se tiene df = 0 y por lo tanto se ddU t= . Para dichos problemas en el apartado 1.1 se escribió ( ) ( ) ufeeu t

eV,V −= ; y la correspondiente transformada de Legendre es ( )ses UVU et =−= ,

dependiente en este caso sólo de s. Una segunda transformada de Legrendre se obtiene partiendo del "problema primal no condicionado" del capítulo 1: recordando que ( ) fsuHσ −= es igual a la derivada total

uVV

DDV

∂∂

+∂∂

∂∂

=uE

eu, la transformación de Legendre será en este caso VU t −= uσ y por lo tanto

σuσu

uuσuσu

DDUd

DDVddddU tttt =⇒=−+= .

En el caso particular de problemas "geométricamente lineales" (H = cte.) las dos versiones de la transformada de Legrendre coinciden entre sí, puesto que entonces

( ) ( ) VVVU tttttt −+−=−+−=−−= esufuHsufufHs Para problemas "geométricamente no lineales", en las expresiones correspondientes a la "segunda" transformada de Legrendre es posible considerar que las variables cinemáticas toman valores incrementales infinitesimales, con origen en un estado con deformación finita (u, e) previa a los

incrementos infinitesimales de aquéllas (δu, δe). Entonces VU t δ−δ=δ uσ y σ

uD

UDδ=δ . Para el caso

particular de la teoría infinitesimal, se pueden directamente omitir los operadores δ en dichas expresiones aunque se opere con los valores totales (u, e); y ( ) ( )0HuH ≈ = cte. Para simplificar la notación en este capítulo, o bien se supone el caso de la teoría infinitesimal, o bien se suponen implícitamente valores incrementales (δu, δe), aun cuando ello sólo se explicite cuando sea estrictamente necesario. Estas diferentes versiones de la transformación de Legrendre hacen conveniente una recapitulación ab initio del análisis basado en variables "estáticas", una vez establecido su carácter de variables de estado. Sea pues el problema condicionado, en general de un sistema no mecánico, o de

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un sistema estructural como caso particular (en tal caso ( )suHF = ): ( ) ( ) ( ) 0ufsuFσsu =−≡ ,|,UdeExtremo . Para resolver este problema según el método de Lagrange,

introduciendo n "multiplicadores"

λ

λ=

n

1

Mλ , se debe obtener el extremo de λσ tU − , luego

( ) λs

Fss

λσ0∂∂

−∂∂

=∂−∂

=tt UU , de donde Bλ

s=

∂∂U , siendo

sFH∂∂

= , tHB = . Para el caso infinitesimal,

con H = cte. y uHe t= , suponiendo la matriz H de rango lleno y de número de filas (n) ≤ número de

columnas (m), se pueden identificar, salvo un factor de escala, las magnitudes uλ = y s

e∂∂

=U , esta

última recíproca de la ecuación constitutiva del capítulo 1. Por otra parte, como uλ = , se deduce que uσ tU − alcanza un extremo y por lo tanto también ( )uσ tUV −−= . Así pues, si H = cte. los problemas

de extremo condicionado de ambos capítulos 1 y 2 son equivalentes entre sí, pudiendo resolverse indistintamente uno u otro según convenga en cada caso. Esto permite, por ejemplo, transformar un problema condicionado del tipo ( ) ( ) 0ufHsσsu =−≡|,UdeExtremo en su problema "primal" no condicionado y resolverlo por un algoritmo basado en el gradiente (tomando éste simplemente igual a σ), u otro método apropiado.

Explicitando, en su caso, los operadores δ , se escribe λσ δ−δ tU , λBs

δ=∂δ∂ U . Comparando con

la ecuación de compatibilidad incremental ( ) uuHe δ=δ t y bajo hipótesis similares relativas a la matriz

H(u), salvo por el hecho se ser ésta ahora variable, se deduce uλ δ= y s

e∂δ∂

=δU . Esto permite, por

ejemplo, transformar un problema condicionado del tipo ( ) ( ) ( ) 0ufsuHσsu =−≡|,UdeExtremo

en su problema "primal" no condicionado, aunque en rigor, para esto debería ser j

ki

k

ji

uH

uH

∂∂

=∂

∂.

2.1.1 COROLARIO: Soluciones óptimas de sistemas lineales de ecuaciones independientes entre sí. Sea Hs = f, con H = matriz rectangular n·m, constante y de rango lleno, con n ≤ m (en "lenguaje de estructuras", si n < m: estructura hiperéstatica). La solución que minimiza una forma

cuadrática definida positiva ( ) sDss 1t

21U −= es ( )fHs 1−= siendo H(-1) = DHt(HDHt)-1, como se deduce

por aplicación directa del apartado 1.2 (para valores elevados de n la matiz "pseudo-inversa" anterior tiene carácter teórico, ya que sería mucho más eficiente resolver el problema primal, en este caso lineal, por ejemplo por gradientes conjugados). Así, las solución de mínima norma euclídea es ( )fHs 1−= , con H(-1) = Ht(HHt)-1. Para m = n ("estructura isostática"), H(-1) = H-1 (se recuerda que se ha supuesto de

rango lleno). Si n > m ("mecanismo"), tomando ( ) σσs t

21U = , con fHsσ −= y resolviendo minº U(s)

como un problema de mínimo no condicionado, se obtiene ( )fHs 1−= con H(-1) = (HtH)-1Ht, como solución de mínimo error cuadrático.

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2.2 "TENSIONES EQUILIBRADAS" DE NORMA MÍNIMA EN UN MEDIO CONTINUO. Se considera en este apartado el problema teórico siguiente, formulado con tensores cartesianos en Nℜ , simétricos (sij = sji), aplicando (sólo en este apartado y subapartados) el convenio de sumación implícita (de 1 a N) respecto de índices repetidos en un mismo monomio:

( ) 0fxs

|xdsUmin ij

ijNij

N

=+∂

∂∫ℜ

, siendo ( )ijsU una cierta función definida positiva de las componentes

del tensor de tensiones expresado en coordenadas cartesianas ortonormales. Se suponen condiciones nulas en el infinito, tanto para las incógnitas s(x) como para los multiplicadores de Lagrange u(x) seguidamente introducidos. Las fuerzas se suponen que toman valores constantes. 2.2.1 Norma euclídea.

Sea en primer lugar ( ) ijijij ss21sU = , donde ijijss es el 2º invariante de 2ª especie del tensor de

tensiones expresado en coordenadas cartesianas ortonormales, que se utiliza en este apartado como densidad de la función objeto de minimización (condicionada). Aplicando el método de Lagrange ab initio, se debe obtener el extremo de

∫ℜ

+

∂∂

+N

xdufxs

ss21 N

iij

ijijij variando independientemente s(x) y u(x), luego

0xdxs

uufxs

ssN

N

j

ijiii

j

ijijij ≡

∂δ∂

+

∂∂

+δ∫ℜ

, expresión que mediante el teorema de Gauss y las

condiciones nulas en el infinito se reescribe en la forma 0xdxusufs

xus

N

N

j

iijiiij

j

iij ≡

∂δ∂

−δ+δ

∂∂

−∫ℜ

.

Efectivamente, ( )

ijj

i

j

iji

j

iji s

xu

xsu

xs

u δ∂∂

−∂

δ∂=

δ∂, luego ∫∫

ℜℜ

δ∂∂

−=∂

δ∂

NN

xdsxuxd

xs

u Nij

j

iN

j

iji , ya que

( )∫∫∂

δ=∂

δ∂

Djiji

D

N

j

iji dSnsuxdx

su para cualquier dominio contenido en Nℜ (siendo ∂D su contorno, dS la

diferencial de superficie sobre el mismo y ni las componentes del versor normal exterior); basta tomar ND ℜ→ , en cuyo caso 0sij →δ , para deducir

( )0xd

xsu

N

N

j

iji =∂

δ∂∫ℜ

. Análogamente se prueba que

∫∫ℜℜ

∂δ∂

−=δ∂

NN

xdxusxdu

xs N

j

iij

Ni

j

ij . Por el carácter simétrico del tensor cartesiano sij, se obtiene

finalmente:

∂+

∂∂

≡=i

j

j

iijij x

uxu

21es y ∫∫ δ≡δ xdesxduf N

ijijN

ii .

La expresión ijij se = puede "leerse" como la particular "ecuación pseudo-constitutiva" s

e∂∂

=U

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correspondiente en este caso al potencial "instrumental" ss t

21U = . Las "deformaciones virtuales"

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

uxu

21e no viene dadas por la expresión del tensor de deformación de Green aunque los

"desplazamientos virtuales" u(x) no sean infinitesimales, pero ello no es objetable porque no tienen ninguna relación con las magnitudes cinemáticas "reales", que pueden incluso no estar definidas si se trata de un problema formalmente similar pero de carácter no mecánico; sin embargo, parece conveniente escalar la función U de manera que las deformaciones virtuales resulten infinitesimales, con objeto de evitar posibles problemas en aplicaciones basadas en el MEF (que se comentan después), en las cuales los multiplicadores de Lagrange se interpretarán normalmente como desplazamientos del continuo. En la expresión ∫∫ δ≡δ xdesxduf N

ijijN

ii se reconoce el "principio de los trabajos virtuales" para un medio infinito con condiciones asintóticas nulas. En cuanto a la transposición matricial B = Ht ,

se corresponde aquí con el cambio "de lado" del operador autoadjunto jx∂

∂ en las expresiones

ij

ij fxs

−=∂

∂ y

j

iij x

ue∂∂

= (con simetrización posterior de esta última).

La demostración anterior puede generalizarse fácilmente para un dominio finito ND ℜ⊂ en el que las tensiones verifiquen las ecuaciones de equilibrio interno y de equilibrio en el controno ( 0nsp jiji =− en DS ∂= ), obteniéndose en este caso ∫∫ ∫ δ=δ+δ

∂ D

Nijij

D Dii

Nii xdesdSupxduf . De hecho, un

dominio finito está ya incluido como caso particular de la demostración anterior, sin más que convertir las fuerzas de superficie pi en fuerzas de volumen mediante la distribución de Dirac respecto de la coordenada normal al contorno, y asignar valores nulos a las variables fuera de éste. Comparando la "ecuación pseudo-constitutiva" ijij se = con la de un material elástico lineal

isótropo, ( )( )ijrrijij ss1E1e δν−ν+= (ley de Hooke), se deduce que las soluciones del problema planteado

en este primer apartado son simplemente las distribuciones tensionales de la elasticidad lineal clásica particularizadas con ν = 0, por lo que este ejemplo no pasaría de ser un simple ejercicio de aplicación del método lagrangiano sin resultados prácticos de interés. Sin embargo, rápidamente se aprecia que el desarrollo anterior es exportable para otros tipos de seminormas o normas diferentes de la euclídea, tal como se indica a continuación. 2.2.2 Otras normas invariantes. Sea ( )ijsU una función de las N(N-1)/2 componentes de s, a la cual se exige ser invariante frente a las traslaciones y rotaciones de coordenadas (supuestas cartesianas ortonormales en todo este trabajo), lo que corresponde a una "densidad de coste" espacialmente homogénea e isótropa. En principo, además, la función complementaria ( )ijc eU luego introducida se supone definida positiva, con objeto de que el problema primal asociado que se formula luego pueda tener soluciones que no sean meramente extremos, sino mínimos locales o globales. Cabe ensayar la metodología aquí propuesta con funciones semidefinidas positivas, aunque presumiblemente con problemas numéricos.

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Rehaciendo la misma deducción del apartado anterior, se encuentran de nuevo la "ecuación

pseudo-constitutiva" ij

ij sUe∂∂

= , las "deformaciones virtuales"

∂+

∂∂

=i

j

j

iij x

uxu

21e y la ecuación

variacional ∫∫ ∫ δ=δ+δ∂ D

Nijij

D Dii

Nii xdesdSupxduf , donde se reconoce la clásica ecuación de los trabajos

virtuales. Por lo tanto se puede resolver el problema planteado mediante un programa de MEF en régimen geométricamente lineal y con un material elástico no lineal teórico, cuya ecuación

constitutiva ( )ijij es sea la recíproca de la función ( )ij

ijij sUse∂∂

= .

Según se indicó anteriormente, resultará conveniente escalar la "densidad de coste" U de manera que las deformaciones virtuales resulten infinitesimales, ya que los multiplicadores de Lagrange se interpretarán normalmente como desplazamientos del continuo.

Si la función ( )ij

ijij sUse∂∂

= se escribe en la forma ( )ssDe 1sec−= y ( )sD 1

sec− es invertible, se tendrá

( )esDs sec= , que normalmente se empleará en la forma ( )esDs prvsec= para definir las tensiones en función de las calculadas en la iteración previa. Para programas de MEF basados en el método de la rigidez (capítulo 3º), normalmente se requerirá además la matriz pseudo-constitutiva tangente

sec

1

kj

iksec,gtan e

sD

DIesD

∂∂

−=∂∂

= , pero con ciertas funciones de coste esta matriz puede resultar mal

condicionada; puede entonces dar mejores resultados asignar ficticiamente secgtan DD ≈ (método de Newton-Raphson "modificado"; v. capítulo 3º), siempre y cuando s(e) se asigne exactamente. Aplicando la tranformación de Legendre, se define la "densidad de coste complementaria"

UesU ijijc −= , luego ijijijijijijc esUesseU δ=δ−δ+δ=δ . En general no será necesario expresar explícitamente la función ( ) ( ) ( )( )ijijijijijijc esUeeseU −= , ya que lo esencial de dicha transformación es

que se cumple ij

cij e

Us∂∂

= , que puede considerarse como otra forma, ya sea explícita o explícita, de la

ecuación "pseudo-constitutiva". La ecuación variacional adopta la forma primal: 0V =δ con ( ) ∫∫

−−=D

iiD

Niic dSupxdufUV , donde se recuerda que las fuerzas se suponen constantes en todo el

apartado 2.2. Por lo tanto se puede asimismo resolver el problema planteado aplicando a este problema primal los métodos basados en el gradiente del capítulo 1º. A este efecto normalmente será preciso considerar soluciones "débiles", es decir, adoptar con carácter aproximado un campo de multiplicadores de Lagrange dependiente de un número finito de parámetros, ( )axu , , que pueden ser por ejemplo las mismas funciones del MEF, lineales en los parámetros (a), u otras apropiadas. La expresión del gradiente será:

∫∫∂ ∂

∂−

∂∂

−∂∂

=D

ii

D

Nii

c dSupxdufUDDV

aaaa, con

aaa ∂∂∂

=∂

∂=

∂∂

j

i2

ijij

ijc

xus

esU

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2.2.3 Funciones de coste invariantes y homogéneas. Además de la condición de invariancia expresada en el apartado anterior para la función ( )ijsU , se supone aquí que se trata de una función homogénea de un cierto grado (h), luego en virtud del

teorema de Euler de las funciones homogéneas, hUsUs

ijij =∂∂ . Por lo tanto la densidad de coste y su

complementaria coinciden salvo un factor constante: ( )U1hUc −= . A modo de ejemplos, entre otros posibles: a) jiijssU = , rikrjkij ssssU = , ..., ijjjijM2 M2211

sssU K= , con M2h =

b) ( ) M21M2U , con 1h =

c) HMijrr

ijijrr

ij U3ss

3ss

23U ≡

δ−

δ−= ( 2

yieldHM fU = es el criterio de plasticidad de Huber-Mises);

d) HMUU = (h = 1), 2HMUU = (h = 4), 4

HMUU = (h = 8), etc. e) Función de coste de las redes de Michell consideradas específicamente en el apartado 2.2.4. La aplicabilidad del MEF señalada en el apartado anterior subsiste si la función Uc es definida positiva o, al menos, semidefinida positiva. Obviamente esto no se cumple en el caso h = 1, lo que no impide aproximaciones ad hoc como la del apartado 2.2.4. Si ( )ijsU es homogénea de grado 1, resulta un coste complementario nulo. Por lo tanto el problema primal se reduciría a obtener extremos (típ. máximos) del "trabajo externo"

∫∫∂

+=D

iiD

Nii dSupxdufW : 0W ≡δ . Para las soluciones débiles sería 0

aa=

∂∂

+∂∂

∫ ∫∂D D

ii

Nii dSupxduf , que

no son suficientes en general para la resolución del problema (baste considerar por ejemplo el caso en que sólo existan fuerzas en el contorno). En este caso el formalismo primal "no condicionado" no es viable como método autocontenido y se requiere la aplicación explícita de las ecuaciones de equilibrio, compatiblidad y constitutivas. 2.2.4. APLICACIÓN: Aproximación de REDES DE MICHELL mediante programas convencionales de MEF. Sea ( ) ( ) K++= II0I0 sUsUU , siendo K,s,s III las tensiones principales y ( ) ( )K,sU,sU II0I0 el coste por unidad de longitud de una serie de barras orientadas según las direcciones principales del tensor de tensiones en cada punto, que se suponen con separaciones unitarias para simplificar la

exposición. Teóricamente, bastaría programar la "ecuación pseudo-constitutiva" ij

ij sUe∂∂

= (con

suavización de posibles discontinuidades) y obtener la malla de direcciones principales que resulte iterativamente de la aplicación de un programa de MEF, para obtener diseños óptimos teóricos para cargas dadas. Teniendo acceso al código fuente, no resultaría difícil agregar a las cargas términos representativos de las acciones de peso propio, que típicamente serán proporcionales a U en cada punto. De esta manera se podría ensayar la obtención de redes de Michell incluyendo el peso propio, la incidencia del pandeo en elementos comprimidos, etc.; y todo ello aprovechando software estándar de mallado automático, dibujo de direcciones principales, etc.

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Lamentablemente en este caso las funciones de coste adoptadas pueden producir ecuaciones pseudo-constitutivas mal condicionadas que obligarán a aproximaciones más o menos groseras.

Como caso teórico simple, sea N = 2 la dimensión espacial y 0

III

Ess

U+

= , donde E0 es una

constante arbitraria suficientemente elevada con la misión ya explicada de mantener infinitesimales las

deformaciones teóricas del continuo. Entonces

τσσ

=

xy

y

x

s , [ ]

σττσ

=yxy

xyxijs , rss II,I ±= ,

2s yx σ+σ=

(abscisa del círculo de Mohr), 2xy

2yx

2r τ+

σ−σ= (radio del mismo círculo) . De manera inmediata

se encuentra:

a) Si ( ) ( )III ssignossigno =ζ= : 0

yx

EU

σ+σζ= [ ]t

0

011Eζ

=e ; entonces 0seD =∂∂

=−1gtan , matriz

que obviamente provocará problemas numéricos.

b) Si III s0s ≥≥ (situación típica en las redes de Michell): 0Er2U = , con lo cual la función de coste

no depende de la posición del centro del círculo de Mohr, que queda indeterminado en las ecuaciones

pseudo-constitutivas. Se obtiene sDe 1sec

12

2

1

e2ee

−=

= ,

τσσ

=

xy

y

x

s , ( ) ( )

ν+ν−

ν−=−

12000101

E11

sec sD , con

( ) 0rE2E =s y (teóricamente) 1=ν . Entonces 0

t

Er2

=es y por lo tanto se cumple exactamente

0UU tc =−= es . Sin embargo, para 1=ν 1

sec−D se hace singular, luego habrá que reducir ν por debajo

de 1 (es posible que algunos programas rechacen valores de ν comprendidos entre ½ y 1 por corresponder a un material teórico termodinámicamente no admisible en tres dimensiones).

Con ν así corregido, se tendrá eDs sec= con ( ) ( ) ( )ν= 0sec E DssD , ( )

ν−ν

ν

ν−=ν

2100

0101

11

20D

y ( ) ( )2xyyxc E

12U τ−σσν−

= . Por lo tanto no se cumplirá Uc = 0, salvo cuando 0sI = y/o 0sII = ; según

esto cabe esperar que el error derivado de adoptar 1≠ν resulte aceptable en mallas donde una de las tensiones principales domine sobre la otra. Tal como se ha indicado en el apartado 2.2.2, si el programa utilizado requiere definir, además de la ecuación constituiva s(e), la matriz de rigidez tangente del material, puede ser conveniente asignar ficticiamente secgtan DD ≈ (método de Newton-Raphson "modificado"; v. capítulo 3º), siempre que s(e) se asigne correctamente. La expresión de dicha matriz dada en el mismo apartado,

sec

1

kj

iksec,gtan e

sD

DIesD

∂∂

−=∂∂

= , se reduce en este caso a sec

1t

gtanE

ED

ssID

∂∂

−= , con

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αα−α

=

τσ−σσ−σ

=∂∂

2sin22cos

2cos

r21

4r41E

E1

xy

xy

yx

2s, donde α es la inclinación en cada punto de dirección principal

correspondiente a sI. Como ( )sE depende sólo del radio del círculo de Mohr, si asintóticamente éste tiende a un valor constante en toda la malla, parecería entonces que se podría englobar en la constante E0, con lo cual se trataría simplemente de un modelo plano de elasticidad lineal isótropa con coeficiente de Poisson tan próximo a la unidad como lo permitiera el condicionamiento numérico. Pero la distribución de tensiones en problemas de tensión plana de un material hookeano en ausencia de fuerzas másicas no depende del coeficiente de Poisson, ya que aquella distribución deriva de una función de tensiones que no depende de dicho coeficiente; entonces actuar sobre éste no tendría nigún efecto sobre la orientación de las líneas isostáticas. Sin embargo, revisando la deducción de la ecuación biarmónica de la tensión de tensiones clásica, se ve que procede entre otras de una ecuación de compatibilidad que involucra derivadas segundas de las deformaciones; en esta ecuación intervendrán pues derivadas primeras y segundas de la función E(s), que distan mucho de poderse suponer nulas aun cuando el radio del círculo de Mohr no varíe, lo que invalida en este caso la citada función clásica de tensiones . La posible viabilidad práctica de este procedimiento para generar redes de Michell queda pendiente de verificación; probablemente lo más que cabe esperar es una aproximación a las redes "exactas" sin alcanzar el estado de tensiones principales uniforme característico de éstas. Pero aun así tendría un considerable interés especulativo por la generalidad del procedimiento para geometrías y cargas cualesquiera. 2.2.5. EJEMPLO: Aproximación analítica de REDES DE MICHELL. Con 1=ν , para III s0s ≥≥ de la ecuación sDe 1

sec−= del apartado anterior se deduce 0ee 21 =+ y por lo

tanto 0div =u ( 0xu

xu

2

2

1

1 =∂∂

+∂∂

); es decir, el campo de multiplicadores de Lagrange corresponde a un movimiento

incompresible. De la misma ecuación sDe 1sec−= se puede despejar el tensor de tensiones salvo dos magnitudes

arbitrarias r,s , tales que III srs0rss =−≥≥+= :

γε−ε

+

=

τσσ

=2

Er0ss

0

xy

y

x

s , donde 2

2

1

1

xu

xu

∂∂

−=∂∂

=ε ,

1

2

2

1

xu

xu

∂∂

+∂∂

=γ ; y se debe verificar 2

20

2xy

2yx

2Er

2rr

γ+ε=τ+

σ−σ== , luego

(a) .cteE1

2 20

22 ==

γ+ε . Por lo tanto se puede escribir α=

γα=ε 2sin

2E,2cosE 00 y

αα−α

+

=

τσσ

=2sin2cos

2cosr

011

s

xy

y

x

s (que simplemente expresa el círculo de Mohr). Si III s,s son constantes en todo el

dominio, también deben serlo r,s ; entonces las ecuaciones de equilibrio interno con fuerzas de volumen nulas imponen las

condiciones adicionales (b) 0x2

1x 21

=∂γ∂

+∂ε∂

, (c) 0xx2

1

21

=∂ε∂

−∂γ∂

, que se reducen a que los multiplicadores de

Lagrange deben ser funciones armónicas, 0u =∆ ( 22

2

21

2

xx ∂∂

+∂∂

=∆ ).

De esta manera se puede tratar de obtener soluciones analíticas por el procedimiento "inverso" de adoptar funciones ( )xu que verifiquen las condiciones anteriores, tomar el contorno siguiendo líneas isostáticas y aplicar las ecuaciones de

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equilibrio en el contorno para deducir las fuerzas np normales a éste, iguales a sI o sII. Eventualmente estas np pueden ser las fuerzas de interacción con un elemento de borde, que a su vez puede recibir o no cargas exteriores. Una manera muy simple de generar expresiones de campos de multiplicadores de Lagrange que verifiquen las condiciones 0div =u y 0u =∆ en un dominio arbitrario 2D ℜ⊂ , consiste en tomar una función compleja analítica en todo el dominio, ( )zu (con 21 ixxz += ) y adoptar ( ) ( )uReu,uImu 21 == (es decir, uiiuu 21 =+ o

( ) 12 iuuzu += ). En efecto, de las condiciones de Cauchy-Riemann para la función analítica ( ) 12 iuuzu += se deduce

( )ε=∂∂

−=∂∂

2

2

1

1

xu

xu

y ( )γ=∂∂

=∂∂

1

2

2

1

xu

xu

, así como el carácter armónico de u1 y u2. Por otra parte, ( ) ε+γ

=′ i2

zu ; por lo

tanto la condición .cteE1

2 20

22 ==

γ+ε se cumple si ( ) ( )xβ=′ i

0 ezuE siendo ( ) ℜ∈β 21 x,x ; como la derivada de

una función analítica también es analítica, imponiendo las condiciones de Cauchy-Riemann se deduce .cte=β , resultado sin interés ya que conduce a un campo de tensiones constante. Como aproximación, cabe adoptar

αα−α

+

=

τσσ

=2sin2cos

2cosr

011

s

xy

y

x

s , con ( ) ( )( )zvArg21x,x 21 −=α , siendo ( ) ( )

2iEEzuiEzv 000

γ−ε=′−= =

α−α= 2sini2cos una función analítica en todo el dominio, de módulo lentamente variable y próximo a la unidad, como

por ejemplo ( ) ∑=

+=K

1k

kkzc1zv con Kk1,zmaxºc k

k ≤≤<< . Las inclinaciones en cada punto de las líneas

isostáticas de la red así generada son α y α+π/2 con ( )( )zvArg21

−=α .

Por las limitaciones anteriores, estas redes analíticas no parecen tener interés práctico, pero se ha incluido este subapartado como posible idea para desarrollos futuros. Como ejemplo sencillo, se considera un tablero continuo de varios

vanos cuyo vano típico se limita al rectángulo

×

4L,0

2L,

2L

, con cargas gravitatorias uniformemente repartidas

sobre el eje x1 y reacciones verticales en los puntos

± 0,

2L

, del cual por simetría se puede analizar solamente la zona x1

≥ 0. El contorno superior es un arco que absorbe las tracciones transmitidas por tirantes.y que se hace coincidir con una de las líneas isostáticas. Como α debe anularse sobre los ejes coordenados, se puede adoptar un

desarrollo ( ) ∑=

+=

K

1k

k2

k Lzc1zv con sólo potencias pares y coeficientes reales de valor absoluto pequeño frente a la

unidad. Las isostáticas se dibujan integrando por Runge-Kutta las EDO ( )211

2 x,xtgdxdx

α= y ( )211

2 x,xctgdxdx

α−= .

Figura 8. Ejemplo de aproximación analítica a una red de Michell sencilla.

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2.3 FORMULACIÓN DUAL DEL ANÁLISIS DE ESTRUCTURAS "MECÁNICAMENTE" NO LINEAL Y "GEOMÉTRICAMENTE" LINEAL Y SU RELACIÓN CON LA PROGRAMACIÓN "NO LINEAL" COMO MÉTODO DE OPTIMIZACIÓN. En este apartado se suponen ecuaciones de equilibrio y de compatibilidad lineales ( t.cte BH == , análisis "geométricamente" lineal) pero con material hiperelástico no lineal (para procesos de carga monótonos crecientes y sin deformaciones diferidas, se suelen aceptar comportamientos "elásticos no lineales" como modelos ad hoc, aunque el material no sea en rigor elástico). En cuanto a las fuerzas exteriores, se suponen constantes. En este caso las ecuaciones de compatibilidad incrementales uHe δ=δ t se pueden integrar de manera trivial, uHe t= , (suponiendo condiciones de deformación nula para movimientos nulos), por lo cual en los desarrollos del apartado 2.1 se puede operar con los valores totales de las magnitudes cinemáticas. El análisis por el "método de los desplazamientos" se puede plantear como un problema de mínimo condicionado de ( ) ( ) ufeeu t

eV,V −= con la restricción eBu = ; o como un problema de mínimo no condicionado de ( ) ufBu t

eV − . La solución basada en el gradiente del capítulo 1 se

simplifica, ya que se tiene gtan

intextt

gtan

tt

a WWWt −

≡−

=wr

wsvf y vHw t= con H = cte.

El análisis por el "método de las fuerzas" se puede plantear como un problema de mínimo condicionado ( ) fHss

s=|Uminº de una función no lineal de m variables con n ≤ m restricciones de

igualdad lineales. Recordando la demostración de la equivalencia de formulaciones duales efectuada en el apartado 2.1, se puede escribir ( ) ufesufHs ttt UUV −−=−−= , con uHe t= , luego e

t VU −= es

("energía elástica complementaria"). Además s

DeDse

s∂∂

−+=∂∂

=UV

gtangtan ⇒ ( )sSs

e 1U −=∂∂

=

(formulación dual de la ecuación constitutiva, o función recíproca de ( )e

eSs∂∂

== eV ).

Por lo tanto un problema condicionado del tipo ( ) fHss

s=|Uminº con H = cte. y f = cte., se

puede resolver indirectamente por un "algoritmo basado en el gradiente" aplicado al problema primal, con ( ) ( ) ( )( ) ufeseeseu tt U,V −−= y gradiente = fHsσ −= . Esto mismo se aplica en general para problemas de naturaleza no mecánica; e incluso en el caso de estructuras, si U(s) son funciones de coste, como en varios de los apartados posteriores. También resultan aplicable, en su caso, los "algoritmos basados en el hessiano" desarrollados en el capítulo 3º El conjunto de estas técnicas de optimización pueden denominarse como "programación no lineal", por contraposición con las técnicas de "programación lineal" que se mencionan en otro apartado. Si ( )sU es homogénea de grado h (es decir, si ( ) ( ) γ∀γ=γ ,,UU h sss ), por el teorema de Euler

de las funciones homogéneas se cumple hUUt =∂∂

ss , luego ( )U1hUV t

e −=−= es . Por lo tanto si h >

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1, las dos funciones de coste complementarias coinciden salvo un factor constante. Pero si la función de coste ( )sU es homogénea de grado 1, resulta 0Ve = , luego uf tV −= deja de depender de Bue = , lo cual obviamente hace que la minimización directa de V ("formalismo primal no condicionado") carezca de sentido. Como ejemplo teórico de una función de coste homogénea de grado 1, se considera el problema

( ) 0fHssss =−= |Uminº t , con H = matriz rectangular n·m, constante y de rango lleno, con n ≤ m,

cuya solución es obviamente la misma que la del problema ( ) 0fHssss =−= |21Uminº t , es decir

( )fHs 1−= , con H(-1) = Ht(HHt)-1 (apartado 2.1.1). Operando con ( ) sss tU = , se obtiene en cambio

Use = y ufufssufes tt

ttt U

UUV −=−−=−−= , que no depende de e, luego no sería factible la

minimización directa de V en función de u y uHe t= . Sin embargo subsiste la aplicabilidad del formalismo primal basado en el gradiente fuHHfHefHsσ −=−=−= tUU , ya que 0σ = ⇒

( ) fHHu 1t

U1 −

= ⇒ ( ) fHHHuHes 1tttUU −=== , que es la solución correcta, a pesar de que los

multiplicadores de Lagrange (u) hayan cambiado y la ecuación constitutiva ( es U= ) sea ahora no

lineal. Por otra parte ( )t

U1 eeI

se

−=∂∂ , ( ) 1t

gtan ·U −−=

∂∂

= eeIesD , luego también sería aplicable un

algoritmo basado en el hessiano (capítulo 3º).

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2.4 COMPROBACIÓN RESISTENTE DE UNA ESTRUCTURA QUE ADMITA LA APLICACIÓN DEL TEOREMA ESTÁTICO DEL ANÁLISIS LÍMITE La aplicabilidad del teorema estático del análisis límite exige determinadas condiciones de ductilidad de los materiales y de las secciones de las piezas, así como condiciones de proyecto que limiten adecuadamente los fenómenos de inestabilidad local y general, requisitos que vienen establecidos por los diversos Eurocódigos. Las condiciones de ductilidad antedichas en estado último no presuponen que éste se alcance recorriendo una determinada ley constitutiva "elástica-perfectamente plástica", "rígido-plástica", etc., aunque éstas pueden considerarse como casos particulares del problema considerado en este apartado, el cual está orientado a la determinación del factor de carga de colapso global de la estructura (γf,pl ), para una hipótesis única de carga proporcional y con geometría, topología y dimensionado conocidos de todos sus elementos. Las condiciones del teorema estático son dos: ecuaciones de equilibrio, fsH ff γ=γ , que en este caso se suponen lineales y se ha explicitado en ellas el factor de carga; e inecuaciones resistentes,

( )r

id

fi ni1,1R

E≤≤≤

γ s donde los denominadores (que pueden ser signados) incluyen los coeficientes de

seguridad parciales de los materiales. Abreviadamente se escribe aquí ( ) 1sRE

≤γ f para hacer referencia

al conjunto de dichas limitaciones resistentes. Los numeradores de estas condiciones resistentes pueden incluir uno o varios términos del vector s; es decir, se trata en general de funciones de interacción de varios esfuerzos concomitantes. Sin embargo, también está incluida la comprobación de un único esfuerzo; por ejemplo, para un tubo RHS

de acero de clase 1 en flexión pura sobre su eje de mayor inercia: 1MM

Rd,pl,y

yEd ≤ y 1MM

Rd,pl,y

yEd ≤−

, es decir

yEdd ME = , Rd,pl,yd MR = y Rd,pl,yd MR −= . Un mismo esfuerzo puede aparecer en una o varias comprobaciones, solo y/o en interacción con otros. Por ejemplo, el mismo tubo anterior en tracción compuesta se puede comprobar

conservadoramente incluyendo dos limitaciones, 1MM

NNE

Rd,pl,y

yEd

Rd,pl

Edi ≤+= , 1

MM

NNE

Rd,pl,y

yEd

Rd,pl

Edj ≤−= , en

ambos casos formalmente con Rid = 1 = Rjd. Se supone en este apartado que las condiciones resistentes anteriores deben escribirse en forma

de funciones homogéneas de grado 1, de tal manera que ( ) ( )id

if

id

fi

RE

RE ss

γ=γ , lo que no impide en

absoluto su formulación no lineal. Por ejemplo, para el mismo tubo anterior en flexión esviada, se

puede escribir formalmente

µµµ

+=

1

Rd,pl,z

zEd

Rd,pl,y

yEdi M

MMM

E con Rid = 1. Por otra parte, puesto que las

funciones lineales homogéneas lo son de grado 1, cualquier diagrama de interacción puede linealizarse por trozos y quedará aproximado mediante un conjunto de funciones homogéneas de dicho grado. Con diagramas de interacción linealizados por trozos, el cálculo de

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( ) 0fHs1sRE

=γ−∧≤γ=γ fEdEdfpl,f |max (donde se ha efectuado el cambio de variables

ss fEd γ= ) es un problema de "programación lineal", para el cual existen algoritmos núméricos muy eficientes que pueden consultarse en las referencias del Anejo 1 (simplex y métodos de punto interior). Esta alternativa puede ser una forma idónea de eludir los posibles problemas ya comentados de las técnicas de "programación no lineal" con funciones de coste homogéneas de grado 1. Un caso particular de lo antedicho es aquél en el que pueda suponerse ausencia de interacción entre esfuerzos, ya que si éstos se comprueban individualmente, se obtienen las restricciones

1Rs1

id

iEd ≤≤− , obviamente lineales en las incógnitas siEd, para resistencias Rid conocidas a priori. Si no

se puede omitir la interacción entre esfuerzos, el formato anterior puede mantenerse adoptando para cada sección una solicitación "determinante" (típicamente el momento flector) y reduciendo las resistencias Rid de forma iterativa en función de los restantes esfuerzos concomitantes. Expresando dichas resistencias mediante sus proporciones a un "momento plástico" de referencia, piid mrR = , se puede formular la comprobación resistente por "cálculo plástico convencional" como el siguiente

problema de "programación lineal": 0fHs =γ−∧≤≤−γ=γ fEdpi

iEdpfpl,f m

rsm|max , donde las

incógnitas son sEd y γf, siendo H, f, ri y mp "datos". Con diagramas de interacción no lineales, que puedan formularse de manera completa o por trozos con funciones homogéneas de grado 1 y suponiendo además que la resistencia de las secciones es igual en valor absoluto si cambian los signos de los esfuerzos (lo cual, de no ser así, obligaría a establecerlos a priori por prueba y error), se puede formular el problema de programación no lineal con

restricciones lineales ( ) fHss ==γ

|Umin1

pl,f

tomando ( )id

i

ni1 REmaxU

r

s≤≤

= .

Este problema adopta así el formato "dual" del apartado 2.3, aunque lamentablemente la función U(s) no es diferenciable. Para aplicar, en su caso, la solución del problema primal es precisa su aproximación asintótica mediante funciones diferenciables, como las adoptadas en el apartado 2.6 para un problema formalmente similar.

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2.5 DIMENSIONADO ÓPTIMO DE ESTRUCTURAS QUE ADMITAN EL TEOREMA ESTÁTICO. Se considera en este apartado la optimización no lineal del dimensionado de una estructura hiperestática de geometría dada, con ecuaciones de equilibrio lineales, asumiendo la aplicabilidad el teorema estático del análisis límite, lo que exige el cumplimiento de diversas condiciones ya mencionadas anteriormente. El objeto del análisis considerado en este apartado es el de obtener una distribución equilibrada óptima de solicitaciones en una estructura de piezas prismáticas, en base a las cuales se deberá efectuar posteriormente el dimensionado de secciones y piezas, el cual no se incluye en este tipo de algoritmo. Por otra parte, se supone además que los estados límites de servicio se verifican adecuadamente a posteriori en base a las correspondientes solicitaciones de servicio, distintas de las aquí obtenidas. Para cada tramo de pìezas se adopta una función de coste NLs.cte +∝ con N par, por lo que se

puede adoptar como función objetivo N/1m

1i

NiEdiN sLU

= ∑

=

. Si el tipo de materiales empleados, tipología

de secciones, posibles límitaciones de canto, etc., son similares para todas las piezas, típicamente los parámetros Li serán las longitudes de cada una de ellas o de los tramos en que pudieran subdividirse. De lo contrario, las magnitudes Li englobarán en general otros tipos de parámetros tales como costes unitarios medios, etc. Por razones puramente de índole numérico, puede convenir transformar la función objetivo en la forma ( ) 2N UU1U α+α−= , con 10 ≤α≤ , siempre que el parámetro α tome valores "pequeños", al menos al final del proceso. Hay que destacar el carácter no mecánico en este caso de la función U, que no tiene por qué

corresponder a "superficie de fluencia" alguna, ni s

e∂∂

=U es la correspondiente "ley de normalidad":

se trata en este caso de funciones de coste, incluso con una cierta dosis de posible arbitrariedad para su elección en cada caso. Tomando N "suficientemente elevado", α = 0, y valores ficticios de Li = 1/ri, queda incluido

como caso particular asintótico i

iEd

mi1 rsmaxU

≤≤= , es decir, el "cálculo plástico convencional" de

estructuras flectadas de sección constante o secciones de proporciones resistentes prefijadas, ipiid rmrR ∝= . De nuevo este caso se puede resolver de manera muy eficiente con los algoritmos de

"programación lineal" con

=′

pms

s como incógnitas, ya que puede escribirse como minimización de

una función obviamente lineal y con restricciones lineales:

0fHs =γ−∧≤≤− fEdpi

iEdpp m

rsm|mminº .

Conviene señalar que la similitud con la formulación del apartador 2.4 puede ser sólo formal, ya que los parámetros ri pueden tomarse como factores de ponderación LIBREMENTE REGULABLES de los costes de las piezas, siempre que el dimensionado final se efectúe con la distribución equilibrada de esfuerzos así obtenidos, de manera que se verifiquen todas las condiciones del teorema estático; en

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particular, las condiciones de interacción entre esfuerzos en estado último, obviamente no incluidas en las limitaciones de esfuerzos individuales intoducidas como restricciones. En general, con funciones de coste que no admitan la formulación anterior, se trata de resolver el problema de mínimo condicionado: ( ) fHss

s=|Uminº , el cual se puede transformar en el

correspondiente problema primal aplicando la transformación de Legendre análogamente a los

apartados 2.1 y 2.3, luego ufes tt UV −−= , con uHe t= y s

e∂∂

=U . De esta manera se pueden

aplicar los algoritmos de "programación no lineal" al formalismo primal, en caso de que no sean viables los más eficientes de "programación lineal". En el apartado 2.6 se comparan ambos métodos en

el caso particular de la la optimización "minºmaxº" (i

iEd

mi1 rsºmaxminº

≤≤), problema para el cual el

formalismo lagrangiano no es especialmente apto, pero ello precisamente pone de manifiesto su posible viabilidad para otros casos. 2.5.1 COROLARIO: Solución directa de problemas con función de coste cuadrática. Si α = 0 y N = 2 (o α = 1), el problema primal es del tipo considerado en el apartado 1.2 con la

matriz pseudo-constitutiva

iL1diagD , por lo tanto se puede escribir la solución directa ( )fHs 1−= ,

donde se recuerda que la expresión de la matriz pseudo-inversa H(-1) = DHt(HDHt)-1 tiene interés sólo formal (la manera práctica de resolver el problema será obtener los multiplicadores de Lagrange (u) mediante una técnica basada en el gradiente o en la resolución del sistema Ku = f, pero no mediante la formación de K-1 = (HDHt)-1). Lo anterior admite la lectura paradójica de que el análisis lineal de estructuras puede utilizarse como técnica de optimización de estructuras que admitan el teorema estático de la teoría de la plasticidad, asignando las rigideces de las barras como parámetros de regulación DE LIBRE ELECCIÓN de los costes unitarios, (sólo bajo las condiciones de aplicabilidad del teorema estático mencionadas anteriormente), siempre que el coste por unidad de longitud varíe, salvo un término constante, de manera aproximadamente cuadrática con los esfuerzos, lo cual puede no estar demasiado alejado de la realidad en el caso de piezas comprimidas y piezas flectadas de canto estricto.

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2.6 APLICACIÓN: SPC ("Cálculo Plástico" mte. ecuación Pseudo-Constitutiva Secante). Según se ha indicado anteriormente, se trata de aplicar los algoritmos de "programación no lineal" a la formulación "primal" equivalente a un problema "dual" dado, en el caso particular de la la optimización "minºmaxº". En este caso el formalismo lagrangiano no es especialmente apto frente a las técnicas de "programación lineal", con lo cual se pone de manifiesto su viabilidad para otros tipos de funciones de coste más próximos a la función cuadrática. La dificultad se acrecienta por la condición autoimpuesta, no consustancial al modelo, de tomar una ecuación pseudo-constitutiva "secante" que permita efectuar los cálculos exactamente igual que en un problema de análisis lineal de estructuras, simplemente regulando iterativamente las "rigideces secantes" del sistema. Como consecuencia de ello, el grado de convergencia conseguido es sólo lineal; para convergencia cuadrática sería precisa una linealización del tipo de Newton-Raphson (capítulo 3º). Por otra parte, se requiere la estabilización del algoritmo, que se ha efectuado teniendo en cuenta criterios recogidos en el Anejo 2. En este mismo Anejo se incluye la denominada extrapolación de Aitken, que resulta idónea para el refinamiento final del proceso. En este apartado y en el ejemplo posterior se omite la mención explícita de los subíndices "Ed"

en las solicitaciones siEd. Se adopta NUU = con N/1m

1i

NiiN sLU

= ∑

=

, con N crecientes según potencias

de 2 en las sucesivas iteraciones.

La ecuación (pseudo-)constitutiva es ( )

1N

N

iii U

sLe−

=

s, donde conviene observar que cada

componente de e depende de todas las de s. De manera inmediata se deduce ( )esDs Nsec,= , con

=

=

−−

−1N2N

i

ii

N

2N

N

ii

N

1Nsec, L

eLdiagU1

UsLdiag

U1D , matriz diagonal de términos no negativos.

El ejemplo posterior se ha resuelto adoptando todos los parámetros Li iguales a la unidad, en

cuyo caso se obtiene ( )

=

−2N

i

NNsec s

UdiagUsD ; para N suficientemente elevado se puede adoptar

iiN smaxºU ≈ , expresión que en dicho ejemplo se ha hecho extensiva a todos los valores de N.

Tomando ( )prvsecsec sDD = en función de las solicitaciones de la iteración previa, las nuevas

solicitaciones se obtienen simplemente aplicando la solución del apartado 1.2: ( ) ( )fsHsXs prv)1(

prv−== ,

con ( ) ( ) ( )( )tprvsec

tprvsecprv

)1( HsHDHsDsH =− , ( ) tiseci HsHDK = , expresión que se recuerda tiene

carácter sólo formal si el número de incógnitas es elevado (en tal caso convendrá organizar los cálculos de manera más eficiente, exactamente igual que en el análisis lineal de estructuras de elevado número de grados de libertad).

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Este algoritmo "de punto único" (v. Anejo 2) se estabiliza en este caso adoptando

( ) ( )1N

ˆ−−

+=ssXssX , ( )prv

ˆ sXs = , que amortigua adecuadamente sX∂∂ ˆ

a la vez que preserva el carácter

equilibrado de las solicitaciones, puesto que ( ) ( ) ffffHssHXHssXH =−−

+=−−

+=1N1N

ˆ .

La necesidad de estabilizar el algoritmo se deduce observando que

fKHs

DHKHDKHs

DsX

∂∂

+∂

∂=

∂∂ −−− 1

sectsec1

sect

sec1

sectsec no cumple lo indicado en el Anejo 2, ya que la norma de

sD∂

∂ sec tiende a infinito para N → ∞: así, por ejemplo, ( ) ( )

−−−

α−=

∂∂

1N

i

N

N

ii1N

ii

isec,

sU2N

UsL1N

L1

sD

. En este

caso, dividiendo Dsec por N-1 no se consigue nada ya que un factor común a todos sus términos cancela en la expresión de X.

Desarrollando seD∂∂

=−1gtan se deduce

1

N

t1

Nsec,N,gtan U1N1

−=

eeDD , matriz que no llega a utilizarse aquí,

pero que se requeriría para una posible linealización del tipo de Newton-Raphson (capítulo 3º).

Para ( ) 2N UU1U α+α−= con 0 ≤ α ≤ 1, se obtiene ( ) ( ) ( )ss 2

ii

1N

N

iii U

sLU

sL1e α+

α−=

,

( ) 12sec,

1Nsec,

1sec 1 −−− α+α−= DDD , ( ) 1

2,gtan1

N,gtan1

gtan 1 −−− α+α−= DDD , con

== −−

2

i12,gtan

12sec, U

LdiagDD , cuya diagonal

principal contiene términos estrictamente positivos, lo cual garantiza el carácter definido positivo de Dsec si 0 < α < 1. El coeficiente α, en su caso, se incluye como posible instrumento adicional de estabilización numérica; lo mismo que N, puede ir variando en cada iteración, empezando con una estrategia "poco avariciosa" en la 1ª búsqueda (α = 1, N = 2) e ir reduciendo su valor en las siguientes al tiempo que se incrementa N por potencias de 2.

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2.6.1. EJEMPLO.

Sea el problema ( ) ( ) Pfss2L2Pf

2ss2

L2|s,s,smaxºminº 2231

21321 ==−∧==

− cuya

solución es p21 m23

PLss ==−= , pp3 m·561,0m21

423s ≈

−= . La solución mínimocuadrática del

apartado 2.5.1 (que conduciría a un diseño más económico a base de un perfil constante con refuerzos

locales) es p

1

2

3

2

1

m634,0854,0

073,1

PP

20

12

102

210

02

12L4

20

12

102

L2

sss

−≈

−−

−−=

. Se trata no

obstante de obtener la solución más económica de sección constante, es decir, la solución minimax

−=561,01

1

mp

s . Se llega a ella en cinco iteraciones aplicando el algoritmo del apartado 2.6.

Figura 9. Ejemplo de aplicación del algoritmo SPC a un problema de cálculo plástico elemental.

Aplicando el algoritmo estabilizado, ( )

1Nprvprv

prv −

−+=

ssXss , las iteraciones resultantes son:

N = 2 N = 4 N = 8 N = 16 N = 32 (N = 64) (N = 128) s/mp s/mp s/mp s/mp s/mp AITKEN s/mp s/mp 1,073 1,055 1,030 1,014 1,007 1,001 1,0034 1,0017 -0,854 -0,890 -0,940 -0,972 -0,986 -0,998 -0,9932 -0,9966 0,634 0,615 0,590 0,575 0,568 0,562 0,5641 0,5624

El grado de convergencia es obviamente lineal, como consecuencia de la linealización de tipo "secante" adoptada. Por ello el refinamiento final puede efectuarse por la extrapolación de Aitken (v. Anejo 2), tal como se indica en la 5ª iteración de este ejemplo, mejor que prosiguiendo las iteraciones.

f1 = P

L

L

L/2

45º

s1

(-)s2

f2 = P

s3 L/2

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3 LINEALIZACIÓN DE NEWTON.

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3.1 RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA "PRIMAL" POR EL MÉTODO DE NEWTON- RAPHSON. Las ecuaciones del problema "primal" (apartado 1.1), ( ) ( )eufsuH ,= , ( )uEe = , ( )euSs ,= , se pueden reducir a un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, en un formato que corresponde a lo que en análisis de estructuras se denomina "método de los desplazamientos": ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0uEufuEuSuHuσ =−≡ ,, .

Introduciendo la "matriz de rigidez tangente" ( )uσuK

DD

gtan = , suponiendo conocida una

aproximación previa de la solución (uprv) y linealizando la ecuación anterior en la forma ( ) ( ) ( )( ) 0uuuKuσuσ =−+≈ prvprvgtanprv , se obtiene un algoritmo iterativo "multidimensional de punto

único", que convergerá si se verifica lo indicado para dicho tipo de algoritmos al final del Anejo 2. En cada iteración se debe resolver un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas: prvgtan σuK −=∆ ,

siendo uuu ∆+= prv , ( ) prvprvprvprvprv fsHuσσ −== , ( )prvgtangtan uKK = . Puesto que u

σDDV

= , la matriz

gtanK es el hessiano de V(u) y es por lo tanto simétrica. En el denominado método de Newton-Raphson"modificado" se opta por no actualizar la "matriz de rigidez tangente" en todas las iteraciones, lo cual teóricamente ralentiza la convergencia. Pero también puede favorecerla si se produce mal condicionamiento numérico del anterior sistema lineal de ecuaciones, cuando ( )prvgtan uK pueda llegar a hacerse singular o "casi singular". Por otra parte, la evaluación de gtanK puede ser computacionalmente costosa; y la resolución del sistema linealizado puede reutilizar parte de los cálculos de la iteración anterior cuando no cambia la matriz del sistema (por ejemplo, si se realiza por métodos como el de Choleski), todo lo cual abonará la utilización del método "modificado".

La evaluación de ( )uσuK

DD

gtan = puede ser especialmente laboriosa si no se dispone de

formulaciones explícitas y debe por ello, en tal caso, estimarse por diferenciación numérica:

( ) ( ) ( )ε

ε−σ−ε+σ≈

2K jiji

ij,gtan

iuiuu , con [ ]tj 00,1,00 KK=i (vector básico j-ésimo en nℜ ), siendo ε un

parámetro objeto de experimentación numérica en cada caso. La simetría de la matriz reduce el número de términos a calcular a n(n+1)/2; dicho número puede ser apreciablemente menor si además se trata de matrices en banda. En problemas cuya "rigidez disminuya la aumentar la norma de los desplazamientos", si se buscan soluciones próximas al origen, cabe mantener ( )0gtan0,gtangtan uKKK == , siendo 0u =0 o bien el resultado de una de las primeras iteraciones; entonces ( )prv0,gtan uσuK −=∆ , con 0,gtanK = cte., lo que típicamente proporcionará un algoritmo robusto pero de convergencia lineal y por lo tanto lenta al aproximarse asintóticamente a la solución, en caso de converger el proceso; entonces la extrapolación de Aitken (Anejo 2), ya utilizada en otro contexto en el capítulo 2º, puede ser útil en las fases finales. Conviene advertir que el método "modificado" puede ser contraproducente en problemas cuya "rigidez crezca la aumentar la norma de los desplazamientos" (apartado 3.3).

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3.1.1 APLICACIÓN: Análisis no lineal de estructuras de barras. Se simplifica el problema si se cumple ( ) .cte, =euf y ( ) ( )eSeuS =, , que es lo típico en análisis de estructuras; pero en problemas genéricos de optimización lo anterior puede no cumplirse, obligando ello en tal caso a añadir nuevos términos en las expresiones siguientes. Sea ( ) ( ) ( )( ) fuESuHuσ −≡ . Derivando esta expresión se obtiene mggtan KKK += , siendo

suBK∂∂

=t

g ("matriz de rigidez geométrica"), BDBK gtant

m = ("matriz de rigidez mecánica"), donde

todas las magnitudes pueden ser variables con u, bien directamente ( ( )uB , ( )uGuBG =∂∂

= ) o bien a

través de ( )uEe = ( ( )eSs = , ( )eSeD∂∂

=gtan ), o de s ( ( )sDD gtangtan = ).

La matriz de rigidez mecánica guarda obvia similitud con la matriz de rigidez del análisis lineal de estructuras (apartado 1.2), sólo que actualizando sus factores en función del estado (u, e, s) del sistema.

Si se dispone de formulación explícita de las magnitudes j

ikkij u

HG∂∂

= , se puede expresar la

matriz de rigidez geométrica en la forma ∑=

=m

1kkijkij,g GsK . Comparando esta expresión de la matriz de

rigidez geométrica con la de las fuerzas de 2º orden del apartado 1.5.1, ∑∑= =

−=n

1j

m

1kjkijki,II uGsf , se ve que

éstas pueden expresarse en la forma uKf gII −= , con la única diferencia de que en el apartado 1.5.1 se toma ( )0GG ≈ = cte., mientras que en general la matriz de rigidez geométrica aquí considerada se deberá actualizar en función de u, además de ser variable con las solicitaciones s. La formulación directa de "las fuerzas de 2º orden en la estructura deformada" y su posterior asimilación a uKf gII −= , puede ser una manera simplificada de deducir la matriz gK en problemas que admitan una interpretación física directa de los términos dominantes de dichas IIf . Para estructuras en las cuales se pueda suponer que sólo los esfuerzos axiles (s = N) son

relevantes en el cómputo de las IIf , bastará tomar como r

pkkpr u

HG

∂∂

= las derivadas r

k

u∂∂υ de los factores

k

kk L

dυ = de aquellos esfuerzos en las ecuaciones de equilibrio que se formularon en el ejemplo 1.6.A.

Entonces de manera inmediata se deduce que la matriz gK se forma ensamblando para cada barra k las

submatrices de

kk

kkkN

GGGG

, siendo k

tkk

k LυυIG −

= , en los g.de l. de desplazamientos de los

nudos conectados por dicha barra k-ésima, tomando positivos los esfuerzos de tracción y negativos los de compresión.

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3.1.2 APLICACIÓN: "Líneas de tendencia" de series temporales. Envolventes suavizadas de funciones irregulares. Sea una serie de datos [ ]m21

t xxx L=x ordenados cronológicamente, para la cual se obtiene en este apartado una línea "envolvente superior" 22i11ii uBuBx += (donde

1m1iB,

m1miB 2i1i −

−=

−−

= ), definida por sus ordenadas extremas

=

2

1

uu

u (n = 2), lo más próxima

posible a los datos pero con valores positivos de las "deformaciones" xBue −= (análogamente, operando con -x se puede obtener una "envolvente inferior"). Basta aumentar el número de incógnitas

( )udimn = y tomar ∏≠ −

−=

jk kj

kij ii

iiB , para que el mismo algoritmo proporcione envolventes polinómicas

de grado más elevado.

Se plantea incialmente la solución en la forma ( ) −∞→=∑=

m

1jjelnV , contraviniendo los

supuestos expresados en al apartado 1.1 respecto del potencial V. Si a pesar de ello se aplica la

formulación de los apartados anteriores, se obtiene 0f = , j

j e1s = , sBσ t= , 0G = , 0K =g ,

( )2jgtan sdiag −=D , BDBKKKK gtan

tmmggtan ==+= (matriz n·n). Se parte de j21 xmaxºuu >= , que

proporciona una línea "superior" válida; y cada iteración requiere resolver un sistema lineal de n ecuaciones ( ) ( )prvprvgtan uσuuK −=∆ , que conducirá asintóticamente al valor nulo del gradiente, que NO corresponde a la solución buscada (efectivamente 0σ→ ⇒ ∞→V ). Para mantener la estructura de dicho algoritmo, caben los siguientes artificios: 3.1.2.A. Cambiar de signo la rigidez de la ecuación pseudoconstitutiva: ( )2

jgtan sdiag=D . Para un solo grado de libertad este procedimiento converge al mínimo absoluto −∞→V en una sola iteración,

como se comprueba aplicando la linealización de Newton-Raphson a la ecuación ( ) 0xln =′ . Para n > 1 g. de l., este artificio incurreen "deformaciones" de signo no admisible; pero esto es fácilmente salvable con correcciones ad hoc, como el "coeficiente de estabilización" κ >1 incluido en la ecuación

incremental corregida ( ) ( )κ

−=∆ prvprvgtan

uσuuK . Con una estrategia "poco avariciosa" (valores de κ

apreciablemente superiores a la unidad) este algoritmo converge adecuadamente a una "envolvente superior" con 'n' puntos de tangencia, tantos como grados de libertad asignados. 3.1.2.B. Cambiar a un potencial que cumpla las condiciones supuestas en el apartado 1.1 y que

penalice mucho las deformaciones negativas. Por ejemplo ∑=

=m

1jjVVminº ,

2e

V0e2j

jj =⇒≥ ,

=⇒< 2

2j

jj a2e

expV0e , siendo a > 0, parámetro que se puede reducir en sucesivas aproximaciones

( +→ 0a ). Entonces 1D,es0e jjjj ==⇒≥ , 2jjj

j2jj

jj aVes

D,a

eVs0e

+==⇒< . Calibrando

adecuadamente los parámetros 'a' y κ se pueden conseguir resultados aceptables, pero el algoritmo es más lento e inestable que en el caso anterior.

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En las figuras siguientes se aplica el procedimiento 3.1.2.A a una serie de aproximadamente 18 meses de valores del IBEX35, con diferentes grados de libertad.

Figura 10.Envolvente "superior" por el procedimiento 3.1.2.A: n = 4, 8 iteraciones con κ = 3

Figura 11.Idem con n = 7 y κ = 3: solución asintótica

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3.2 RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES. En el apartado 1.6 se vió que la solución de mínimo error cuadrático de un sistema general de N ecuaciones con n incógnitas ( ) 0uφ = equivale a un teórico problema de análisis geométricamente no lineal de una estructura con m = N solicitaciones s , matriz de compatibilidad ( ) ( )uJuB ≡ , matriz de

equilibrio ( ) ( )uJuH t= , fuerzas exteriores 0f = , ecuación constitutiva ee

s =∂∂

=V y ecuaciones de

equilibrio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )uφuJuEuBeufsuHσ tt, ==−≡ .

Estas expresiones se escribieron introduciendo la matriz jacobiana ( )uφuJ∂∂

= de la función

( ) φφu t

21V = ; pero dicha matriz no llegaba a utilizarse en el procedimiento de resolución basado en el

gradiente expuesto en dicho apartado 1.6, donde dicho gradiente se obtenía de forma aproximada: ( ) ( )

εε−−ε+

≈σ2

VV jjj

iuiu, siendo [ ]tj 00,1,00 KK=i (vector básico j-ésimo en nℜ ).

Como alternativa al procedimiento de resolución antedicho, se puede ensayar el método de Newton-Raphson expuesto en el apartado 3.1, obteniendo también la matriz de rigidez tangente por

diferenciación numérica ( ) ( ) ( )ε

ε−σ−ε+σ≈

2K jiji

ij,gtan

iuiuu . Este procedimiento puede funcionar si N

= m ≥ n, lo que equivaldría a una "estructura hiperestática" ("isostática" en el caso N = n), pero cabe esperar que resulte mal condicionado si N < n ("mecanismo"). Se reitera no obstante que el método de Newton-Raphson puede encontrarse con dificultades de convergencia que requieren un estudio especial, el cual puede diferir de los criterios habitualmente aplicados en análisis de estructuras. Si el sistema de ecuaciones es completo (N = n), se puede simplificar considerablemente el proceso aplicando directamente el método de Newton-Raphson a dicho sistema: ( ) prvprv φuuJ −=∆ , donde en general, a diferencia de lo supuesto en el apartado 3.1 y del procedimiento 1.6.A del apartado 1.6, la matriz J no será simétrica. En este caso sí será preciso en general obtenerla explícitamente, aproximándola por diferenciación numérica en caso de no disponer expresiones directas de dicha

matriz, ( ) ( ) ( )ε

ε−ϕ−ε+ϕ≈

2J jiji

ij

iuiuu . Puede ensayarse el método "modificado" manteniendo la matriz

jacobiana ( )00 uJJ = sin actualizar durante un cierto número de iteraciones, resultando así ( )prv0 uφuJ −=∆ .

Para sistemas completos, en caso de ser simétrica la matriz jacobiana, cabe recomendar la aplicación del método 1.6.A, que elude la formación de dicha matriz y algunos de los problemas de inestabilidad numérica posibles con el método de Newton-Raphson.

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3.3 ESTABILIZACIÓN NUMÉRICA. Se ha indicado ya en el apartado 3.1 que el método "modificado" puede servir en ocasiones para la estabilización numérica a costa presumiblemente de ralentizar la convergencia. Sin embargo, el método "modificado" puede ser contraproducente en problemas cuya "rigidez crezca la aumentar la

norma de los desplazamientos". Esto se ve claramente en la expresión 1)'y(''yy2 < del Anejo 2 para un

solo g.de l., en cuyo denominador y' se corresponde con la rigidez tangente, luego infravalorar ésta inestabilizará el proceso numérico. Si se aplica el método "modificado", las iteraciones siguen el esquema ( )prvuXu = , con

( ) ( )uσKuuX 10,gtan

1 −

κ−= en el tipo de problemas considerados en el apartado 3.1; o bien

( ) ( )uφJuuX 10

1 −

κ−= para los sistemas "completos" de ecuaciones no lineales considerados al final del

apartado 3.2. En estas expresiones las matrices inversas tiene carácter simbólico si el número de incógnitas es muy elevado, ya que normalmente la resolución del sitema lineal de ecuaciones correspondiente a cada iteración no se efectuará formando dicha matriz inversa. En ambos casos se ha introducido un posible "coeficiente de estabilización" 1≥κ cuyo sentido se aclara para la segunda expresión, ya que a este efecto la primera es formalmente análoga. Por tratarse de un algoritmo de punto único (Anejo 2), la convergencia depende de los autovalores de la matriz

( )uJJIuX 1

01 −

κ−=

∂∂ . Si ( )uJ se inestabiliza y llega a tomar valores muy dispares a 0J , adoptando κ

suficientemente elevado se puede tratar de conseguir que el valor absoluto de dichos autovalores no supere la unidad. El mismo "coeficiente de estabilización" puede aplicarse en el método "no modificado", pero entonces la discusión anterior no es tan simple. 3.3.1 Ejemplo. Se considera el caso de la figura 1, suponiendo la barra inextensible, con lo cual se reduce a un problema de un solo g. de l. Se supone que el muelle permanece indefinidamente en régimen elástico lineal, por lo que se produce una rama postcrítica monótonamente creciente. Se opera con un sistema de

unidades tal que K = 1, con lo cual ( ) ( ) ( )

θ−κ

+θ−−= 0

cr0

cr

cosPP1usin

PPuuuX . Se resuelve el

caso 2PP

cr

= , θ0 = 0.1, que tomando κ = 2 converge adecuadamente (no así con κ = 1):

-0,500

0,000

0,500

1,000

1,500

2,000

2,500

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43

Figura 12. Abscisas: número de iteraciones; ordenadas: u en radianes

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ANEJO 1 BIBLIOGRAFÍA

P.Brousse, "Optimization in mechanics", North-Holland, 1988 J.Brinkhuis, V.Tikhomirov: "Optimization: insights and applications", Princeton, 2005 A.C.Chiang: "Elements of Dynamic Optimization", McGraw-Hill, 1992. G.Dahlquist, A.Björck: "Numerical methods", Prentice-Hall, 1974. J.D.Faires, R.Burden, "Métodos numéricos", Thomson, 2004 R.Fletcher: "Practical methods of optimization", Wiley, 2000 E.Galéev, V.Tijomírov: "Breve curso de la teoría de problemas extremales", J.of E.M., , Mir, Moscú, 1991 J.W.Harris, H.Stocker: "Handbook of mathematics and computational science", Springer, 2006. T.Hastie, R.Tibshirani, J.Friedman: "The Elements of Statistical Learning", Springer, 2001. W.S.Hemp, "Optimum structures", Clarendon Press, Oxford, 1973. S.Hernández: "Métodos de diseño óptimo de estructuras", Paraninfo, 1990 J.Ortiz, N.Ortiz: NLP-QP for Satellites & Structures, https://collab.upm.es/gm/folder-***, 2011 C.Roos, T.Terlaky, J.P. Vial, "Interior point methods for linear optimization", Springer, 2006 G.I.N. Rozvany: "Structural design via optimality criteria", Kluwer Acad.Pub., 1989 M. Simmonard: "Programación lineal", Paraninfo, Madrid, 1972. W.H.Steeb: "The nonlinear workbook", World Scientific, 2001 R.S. Stengel: "Optimal control and estimation", Dover, 1994. R.J.Vanderbei: "Linear Programming: Foundations and Extensions", Department of operations research and financial engineering, Princeton University, Princeton, NJ 08544.

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ANEJO 2

ALGORITMOS ITERATIVOS "DE PUNTO ÚNICO" La inmensa mayoría de los algoritmos iterativos empleados en el análisis no lineal de estructuras se basan únicamente en los resultados de la iteración previa y no en las iteraciones anteriores a ésta ("iteración de punto único"). El método de Newton-Raphson no es una excepción a lo antedicho. CONVERGENCIA DE ALGORITMOS UNIDIMENSIONALES: (G.Dahlquist, A.Björck: "Numerical methods", Prentice-Hall, 1974, apartado 6.5).

( ) 0k,xXx k1k ≥=+ ( ) xxXlim kk=∃

∞→ ⇒ ( )xXx = ; ( ) 1xX k <′ ⇐ convergencia

ALGUNOS PROCEDIMIENTOS DE ESTABILIZACIÓN DE UN ALGORITMO DADO:

( ) ( ) ( )xxAxxAxXx −+= ⇒ ( )xX̂x = ⇒ A1AxXX̂

−−

= ; ( )( )2A1

AxXA1AXX̂

−′−

+−−′

=′

Si A = cte. y/o x ≈ X: 1A1AXX̂ <

−−′

≈′ ⇔ A1AX −<−′

( ) ( )( )xxX·BxxX̂ −−= ; ( )1X·B1X̂ −′−=′ ; 1X̂ <′ ⇐ ( ) 11X·B0 <−′<

( ) ( )( ) 1xX

xxXCxxX̂−′−

−= ; ( )( )21X

XxXCC1X̂−′

′′−+−=′ ; si el último término es pequeño: 1C0 <<

Ejemplo 1: Ecuación x = 2x (solución: x = 0); X(x) = 2x ⇒ 0k

k x2x = , divergente; X' = 2 ... A > 3/2;.

con A = 5/2 , 3xX̂ = , k

0k 3

xx = convergente; también con B = ½ o con C = ½.

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES POR LINEALIZACIÓN Ecuación y(x) = 0

( ) ( ) ( )( )k1kkk1k xxxDxyxy −+≈ ++ ⇒ ( ) ( )( )xDxyxxX −= , con elecciones diversas de D(x).

Ejemplo 2: .cteD = ; acotación de valores de D: 1dxdX

DyxX <→−= ⇒ 1

D'y1 <−

Ejemplo 3: NEWTON-RAPHSON: D = D(x) = y'(x). 1dxdX

< ⇒ 1)'y(''yy2 <

LINEALIZACIÓN HOMOGÉNEA ("SECANTE") Ecuación y(x) = a

( ) ( ) 1kksec1k xxDxy ++ ≈ ∧ ( ) ( )k

kksec x

xyxD = ⇒ ( ) ( )xyaxxX = ⇒ ( ) 2yyxya <′−

EXTRAPOLACIÓN DE AITKEN: (ibid., apartado 6.5). Conversión de una iteración de punto único de convergencia lineal en iteración de punto doble de convergencia cuadrática:

( )

−−

−+=+

−+++ 1

xxxxxxxx̂

k1k

1kkk1k1k1k

ALGORITMOS MULTIDIMENSIONALES DE PUNTO ÚNICO: kkk1k txTx +=+ Si TT =k y tt =k son constantes, una condición necesaria de convergencia es (ibid., apartado 5.6):

( ) ( ) 1eigenvaluemax ini1<=ρ

≤≤TT . En general (ibid., apartado 6.9): 1<

∂∂

ρxX .

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ANEJO 3 TERMINOLOGÍA BÁSICA SOBRE ECUACIONES CONSTITUTIVAS

Material hiperelástico (Truesdell): aquél cuya ecuación constitutiva, s = S(e), en general no

lineal, deriva de un potencial, i.e., ( )e

eSs∂∂

== eV . En otros términos, es un material elástico

conservativo: existe la energía "elástica" como función de estado, es decir, la energía absorbida por el material no depende del proceso de deformación. Si además s(e) = De, con D = cte., se habla de material hiperelástico lineal; para la existencia de la función de estado U(e) es c.n. y s. que D = Dt. No se presupone isotropía, que es el caso -muy particular- de material hookeano Material hipoelástico o elástico a secas (siempre según Truesdell) es aquél que cumple s = s(e), pero con ∂s/∂e no simétrica, por lo que no existe la energía "elástica". Aún así la hipótesis de hipoelasticidad es muy fuerte, porque implica una relación unívoca (lineal o no) entre s y e, independientemente del proceso de carga. Por lo tanto un material con deformaciones plásticas no es hipo-elástico, ni mucho menos hiper-elástico. Sin embargo para procesos de carga monótonos crecientes (sin descargas) y sin deformaciones diferidas, se suelen aceptar modelos "elásticos no lineales" como hipótesis ad hoc, aunque el material no sea en rigor hipoelástico ni hiperelástico.

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ANEJO 4

FORMALISMO GAUGE El formalismo gauge y el lagrangiano constituyen dos de las principales herramientas actuales de la física teórica. Ambos admiten una traducción al "lenguaje de las estructuras", de manera sencilla si los operadores empleados son algebraicos. En este Anejo se realiza ese ejercicio para el segundo de ellos, en forma de una teoría "gauge" de análisis de estructuras. La tercera herramienta básica de la física teórica, la mecánica cuántica, no tiene en cambio visos de guardar relación conceptual con la teoría de estructuras. Se desarrolla este formalismo en su versión estática, partiendo de las ecuaciones de equilibrio lineales Hs-f = 0 como axioma. Existe un formalismo dual, que en nuestro caso se aplicaría a los mecanismos. Se supone aquí n = dim(f) < dim(s) = m = n+h y rango(H) = n (estructuras hiperestáticas). No se supone a priori la existencia de ninguna función 'V' ni 'U'. La generalidad es pues total. A posteriori se verifica que ciertas soluciones pueden corresponder a funciones U particulares. Existe una matriz (u operador) "de contraste" C de dim.= h·m y rango h, tal que CB = 0, donde B = Ht (demostración: sea Bt = [B1

t, B2t] con B1 invertible; con C = [-B2B1

-1, I] se comprueba que CB = 0). Si sequ verifica Hsequ = f, también sequ+Ctsh, ∀sh, puesto que HCtsh = (CB)tsh = 0. La solución de las ecuaciones de equilibrio verifica pues la igualdad: h

tequ sCss +=

Entrando con ella en la expresión del trabajo virtual interno, ets = utHs = utH(s+Ctsh) = ets+etCtsh ⇒ (Ce)tsh = 0 ∀sh, de donde se deducen las denominadas ecuaciones de continuidad: 0Ce = , que en nuestro caso simplemente establecen la clásica condición de que los elementos deben permanecer unidos, es decir, que la deformación no debe romper la continuidad del medio. Si la función V no está definida a priori, se pueden añadir libremente 'h' ecuaciones, denominadas "de calibración": 0Qs = , donde la matriz Q debe ser de rango = h, pero por lo demás es arbitraria. Con ello se determina la solución: sh = -(QCt)-1Qsequ La denominada "calibración canónica" se obtiene suponiendo la igualdad de las variables duales e = s y entrando en las ecuaciones de continuidad. En el campo de las estructuras ello equivale a adoptar una función teórica de coste cuadrática con los esfuerzos: Calibración canónica: Q = C Formalismo lagrangiano equivalente (dual): U = sts (norma euclídea) (D = I) Demostración: ∂V/∂sh = 0 ⇒ sh = -(CCt)-1Csequ Solución: s = Ht(HHt)-1f Si en lugar de lo anterior se entra en Ce = 0 con e = D-1s, se obtiene: Calibración elástica lineal: Q = CD-1 Formalismo lagrangiano equivalente (dual): U = ½stD-1s (energía complementaria) Demostración: ∂V/∂sh = 0 ⇒ sh = -(CD-1Ct)-1CEsequ Solución: s = DHt(HDHt)-1f Análogamente: Calibración rígido-plástica: Q = Q(s) = CDsec

-1 con Dsec

-1 → diag([Epi], 0) suponiendo numerados en primer lugar los s1 correspondientes a las "rótulas plásticas". Formalismo lagrangiano equivalente: V = maxº1≤i≤m |si| (norma ∞). Equivale al algoritmo "SPC", cuya solución se escribe aquí en la forma: sh = -(C1Ep1C1

t)-1C1Ep1sequ,1