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ProDiVoz ProDiVoz Estructuras de Realización de Filtros Digitales Dr. Juan Carlos Gómez

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Estructuras de Realización de Filtros Digitales

Dr. Juan Carlos Gómez

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Estructuras de Filtros FIREstructuras de Filtros FIR

Un filtro FIR de orden M-1 está caracterizado por la ecuación en diferencias

1

0( ) ( ) ( )

M

ky n h k u n k

=

= −∑

donde son los coeficientes de la respuesta al impulso del filtro. Equivalentemente, el filtro puede caracterizarse por su función transferencia Z

{ } 1

0( ) M

kh k −

=

1

0

( ) ( )M

k

k

H z h k z−

=

= ∑

(1)

(2)

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Estructuras en forma directaEstructuras en forma directa

Asociada a la ecuación (2) puede construirse la realización en Forma Directa de Figura 1.

1z− 1z− 1z− 1z−

(0)h (1)h (2)h (3)h ( 2)h M − ( 1)h M −

+

+ + + + +

+ + + +

Figura 1. Realización en Forma Directa de un Filtro FIR.

( )u n

( )y n

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Esta estructura requiere (M – 1) posiciones de memoria (retardos unitarios) y tiene una complejidad de M multiplicaciones y (M – 1) sumas.

Cuando el filtro FIR es de fase lineal, su respuesta al impulso verifica alguna de las condiciones de simetría

( ) ( 1 ) ,h n h M n= ± − −

y en este caso el número de multiplicaciones se reduce a M/2para M par y a (M -1)/2 para M impar. La estructura que aprovecha esta simetría se representa en Figura 2, para el caso de M impar.

(3)

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1z− 1z− 1z− 1z−

(0)h (1)h (2)h 3( )2

Mh − 1( )2

Mh −

++

+

+

++ +

+

1z− 1z− 1z− 1z−

+++++

+++

( )u n

( )y nFigura 2. Realización en Forma Directa de un Filtro FIR de fase lineal (M impar).

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Estructuras en cascadaEstructuras en cascada

La realización en cascada se obtiene al factorizar la función transferencia Z en (2), como producto de funciones transferencia de segundo orden, de la forma

1

( ) ( )K

kk

H z H z=

=∏donde

1 20 1 2( ) , 1, 2, ,k k k kH z b b z b z k K− −= + + =

siendo K la parte entera de (M+1)/2 . El parámetro del filtro puede ser distribuido entre las K secciones, de manera que

o puede ser asignado a una sola sección del filtro.

0b

0 10 20 0Kb b b b=

(4)

(5)

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Los ceros de H(z) están agrupados de a pares, y es deseable que se formen pares con raíces complejas conjugadas de manera que los coeficientes en (5) sean reales.{ }kib

1z− 1z−

0kb 1kb 2kb+

++

+

( )ku n

( )ky n

Figura 3. (a) Realización en cascada de un Filtro FIR. (b) Sección de segundo orden.

(a)

(b)

1( )H z 2 ( )H z ( )KH z( )u n ( )y n

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Estructuras de Filtros IIREstructuras de Filtros IIR

Un filtro IIR de orden N está caracterizado por una ecuación en diferencias de la forma

1 0

( ) ( ) ( )N M

k kk k

y n a y n k b u n k= =

= − − + −∑ ∑ (6)

o equivalentemente por una función transferencia Z racional de la forma

0

1

( )1

Mk

kk

Nk

kk

b zH z

a z

=

=

=+

∑(7)

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Estructuras en forma directaEstructuras en forma directaLa función transferencia en (7), puede expresarse como

1 2( ) ( ) ( )H z H z H z=

donde

10

2

1

( )

1( )1

Mk

kk

Nk

kk

H z b z

H za z

=

=

=

=+

Sistema todo-cero

Sistema todo-polo

(8)

(9)

(10)

Esta representación da lugar a la realización en Forma Directa I de la Figura 4, que requiere (M + N + 1) multiplicaciones, (M+N) sumas y (M+N+1) posiciones de memoria.

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1z−

0b+

+

-

+

-

+

+

1z−

1z− +

+

+

+

+

+( )u n ( )y n

1b

2b

Mb

1Mb −

1z−

1z−

1z−

1a

2a-

1Na −-

Na

+

Figura 4. Realización en Forma Directa I de un Filtro IIR.

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Si se invierte el orden del producto en (8), es decir el filtro todo-polo precediendo al filtro todo-cero, se obtiene una estructura más compacta que es la denominada Forma Directa II, que se representa en Figura 5. Esta estructura requiere (M+N+1) multiplicaciones, (M+N) sumas, y el máximo entre N y M posiciones de memoria.

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+

+

1z−

1z−

1z−

1a

2a

1Na −-

Na

0b

1b

2b

Mb

1Mb −

+

+

+

+

+

++

+

+

+-

-

-

( )u n ( )y n

Figura 5. Realización en Forma Directa II de un Filtro IIR (M = N).

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Estructuras transpuestasEstructuras transpuestas

Invirtiendo el sentido de flujo de señal e intercambiando las entradas por las salidas en los diagramas de bloques de las Figuras 4 y 5, correspondientes a las Formas Directas I y II respectivamente, se obtienen estructuras equivalentes que se denominan Formas Transpuestas.

La Forma Transpuesta correspondiente a la Forma Directa II de Figura 5, se representa en la Figura 6.

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+

1z−

1z−

1z−

1a

2a

1Na −

-Na

0b

1b

2b

Mb

1Mb −

+

+

+

+

+

+

+

+

-

-

-

( )u n( )y n

Figura 6. Forma Directa II Transpuesta.

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Estructuras en cascadaEstructuras en cascada

La función transferencia (7) de un filtro IIR se puede factorizar como la cascada de sistemas de segundo orden de la forma:

1

( ) ( )K

kk

H z H z=

=∏donde K es la parte entera de , con sin pérdida de generalidad, y donde

N M≥( 1) / 2N +

( )1 2

0 1 21 2

1 21k k k

kk k

b b z b zH za z a z

− −

− −

+ +=

+ +(11)

Para que los coeficientes en (11) sean reales se deben agrupar pares de ceros complejos conjugados o pares de ceros reales en el numerador, y pares de polos complejos conjugados o pares de polos reales en el denominador.

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1( )H z 2 ( )H z ( )KH z( )u n ( )y n

++

1z−

1z−1ka

2ka

0kb

1kb

2kb

+

+

+

-

( )ku n ( )ky n

-

Figura 7. (a) Realización en cascada de un Filtro IIR. (b) Sección de segundo orden.

(a)

(b)