estructuras aeronaúticas - varios

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  • 8/10/2019 Estructuras Aeronaticas - Varios

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    ESTRUCTURAS AERONAUTICAS

    Todo el contenido fue extrado de los siguientes libros: FISICA I de Facobo Ruiz ,FISICA de Santillana, ESTATICA de Jhonston!eer ,"ECA#ICA TEC#ICA de Renaud ,ESTR$CT$RAS ESTATICAS de Fl%es , AIRCRAFT STR$CT$RE de &eer%,RESISTE#CIA 'E "ATERIA(ES de la serie Schau) , A#A(ISIS ESTATIC* de la serieSchau), STR$CT$RA( A#A(IS+S de !ron ,AIRCRAFT 'ESI-# de &eer%,ESTATICA -RAFICA de Renaud.

    NUCLEO TEMATICO 1:

    'efinici/n % ob0eto de la )ec1nica. Su di2isi/n % conce3to de )agnitud. "agnitudescalar % 2ectorial. Conce3to de )edida % escala. Conce3to de fuerza. Sus ele)entos.&eso de un cuer3o. Siste)a de unidades. E0ercicios.

    1.1 -OBJETO DEL ESTUDIO DE LA ESTATICA

    MECANICA

    Si to)a)os dos cuer3os % los obser2a)os durante un deter)inado tie)3o, % lasdistancias entre a)bos 3er)anece inalterada, durante ese tie)3o, deci)os 4ue uno delos cuer3os con res3ecto al otro se halla en e4uilibrio o re3oso. 'e lo contrario elcuer3o se encuentra en )o2i)iento res3ecto al 4ue se ha utilizado co)o referencia.

    DEFINICION : LA MECANICA ESTUDIA LAS LEYES DEL EQUILIBRIO Y DEL

    MOVIMIENTO DE LOS CUERPOS.$na de las 3artes en la 4ue se di2ide la )ec1nica es la CI#E"ATICA, 4ue se ocu3a delestudio exclusi2a)ente geo)5trico del )o2i)iento. 6Es decir co)o se )o2er17. *tra3arte 4ue es la 'I#A"ICA encara el estudio fsico del )o2i)iento o e4uilibrio 6es decir3or4ue se )ue2e, 4ue 3rodu0o el )o2i)iento7.

    DEFINICION : SE DENOMINA FUERZA A TODO AQUELLO QUE TIENDE AMODIFICAR EL ESTADO DE REPOSO O MOVIMIENTO DE UN CUERPO.

    Si a un cuer3o se le a3lican 2arias fuerzas de tal )odo 4ue al colocarle cada una 3orse3arado le 3roduzca )o2i)iento. Al actuar todas las fuerzas si)ult1nea)ente 3uede

    4ue el cuer3o 4uede en re3oso, en este caso se dice 4ue las fuerzas a3licadas alcuer3o se anularon o est1n en e4uilibrio.

    DEFINICION : LA PARTE DE LA MECANICA QUE ESTUDIA LAS CONDICIONESQUE DEBEN SATISFACER LAS FUERZAS QUE ACTUAN SOBRE UN CUERPOPARA QUE ESTE SE HALLE EN ESTADO DE EQUILIBRIO, SE LLAMA ESTATICA.

    MECANICA

    CINEMATICA DINAMICA ESTATICA

    MOVIMIENTO

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    CONCEPTOS

    MODELO :

    El estudio de los 3roble)as reales en la naturaleza es )u% co)3le0o. &or lo 4ue laciencia transfor)a el 3roble)a real en un 3roble)a fsico, )odelizando los ele)entos4ue inter2ienen, a tra25s de hi3/tesis 4ue si)3lifi4uen su soluci/n. $na 2ez encontradala soluci/n al 3roble)a fsico, los resultados se corrigen 3ara ada3tarlos al 3roble)areal.

    "uchos 3roble)as reales 3ueden tener un )is)o )odelo % )uchos )odelos 3uedenser del )is)o 3roble)a real. &or e0e)3lo el estudio de la aerodin1)ica de un a2i/nse efect8a en at)/sfera est1ndar inexistente en la realidad, esta es la hi3/tesis deconsiderar 4ue la at)/sfera 63resi/n, te)3eratura, densidad7 3er)anece constantedurante el ensa%o. (uego los resultados son a0ustados 3ara diferentes condiciones. Eneste e0e)3lo se ha )odelizado la at)/sfera.

    *tro e0e)3lo de )odelo es considerar la fuerza re3resentada 3or una flecha a3licadaen un 3unto, esto no es real 3ues toda fuerza a3licada a una cuer3o tiene unasu3erficie de a3licaci/n.

    CUERPOS :

    Se lla)a cuer3o a todo ele)ento en estudio, este es un )odelo, 3uede tratarse de una2i/n, tren, auto edificio, 2iento, aire, 1to)o. En el estudio desde el 3unto de 2istacine)1tico todos los cuer3os se )odelizan co)o un 3unto 3e4ue9o de )asades3reciable co)o se 2era )as adelante. En el estudio desde el 3unto de 2ista de ladin1)ica la )asa no se des3recia % se )odeliza consider1ndola concentrada en un3unto 3e4ue9o, % desde el 3unto de 2ista de la est1tica la )asa se considerades3reciable.

    1.2- CONCEPTOS GENERALES SOBRE FUERZAS

    (a fuerza se define 3or su efecto: el de 3roducir )o2i)iento. Co)o 3ara deter)inar un)o2i)iento en necesario conocer su direcci/n % sentido entonces la fuerza tiene ladirecci/n % sentido del )o2i)iento 4ue 3roduce o tiende a 3roducir. &or e0e)3lo alsubirnos a una balanza el )ecanis)o de resortes de la balanza )ide a tra25s de laagu0a con 4ue fuerza la gra2edad nos atrae hacia el centro de la tierra, en este caso lafuerza act8a hacia aba0o 2ertical)ente, esta fuerza se lla)a 3eso. *tras fuerzas )u%conocidas son las de roza)iento, el 2iento contra un 3arabrisas de un auto es una

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    fuerza 4ue se o3one al )o2i)iento, un l13iz contra un 3a3el, las cubiertas contra elasfalto, el )ar sobre el casco de una e)barcaci/n.

    ELEMENTOS QUE DETERMINAN UNA FUERZA

    (as )agnitudes co)o la te)3eratura, longitud, 3eso es3ecifica, densidad, o 2olu)en4uedan definidas 8nica)ente 3or su )agnitud, es decir ; C, =

    cent)etros c8bicos 4ue nos brindan toda la infor)aci/n, estas son lla)adas)agnitudes escalares.#o es 3osible hablar de una fuerza sola)ente indicando un 2alor 3or e0e)3lo

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    F > I B 0F > D ;

    F > ex B e%F > direcci/n sudeste

    'e esta for)a cual4uier 3ersona 3uede graficar un 2ector 4ue este ex3resado encual4uiera de las anteriores for)as.

    En el siguiente dibu0o obser2a)os dos 2ectores F % F < 4ue tienen igual intensidad,sentido, % direcci/n 3ero diferente recta de acci/n.

    ESCALA :

    &ara dibu0ar un 2ector es necesario utilizar una escala 4ue re3resente una deter)inada)agnitud de fuerza en longitud de esta for)a 3ode)os decir 4ue = unidades de fuerzasean = c) de longitud en el dibu0o de esta for)a la escala es el cociente entre la)agnitud considerada % la re3resentaci/n en el gr1fico:E "r D "dE :es la escala a utilizar."r :)edida real."d :)edida en el dibu0o.

    &or e0e)3lo si 4uiero re3resentar una longitud de

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    El resorte es un cuer3o defor)able % la defor)aci/n es 3ro3orcional a la fuerza 4ue sele a3lica 3or esta raz/n se utiliza un )ecanis)o co)o el de las figuras 3ara )edirfuerzas 4ue se lla)a dina)/)etro 4ue cuenta con un resorte, una escala graduada enunidades de fuerzas % una agu0a indicadora, cuando se le coloca un 3eso en el extre)o

    libre del resorte, este se estira 3or efectos de la atracci/n gra2itatoria sobre el hacia elcentro de la tierra, si au)enta)os al doble el 3eso colocado en el extre)o libretendre)os el doble del estira)iento. Es decir la defor)aci/n del resorte es 3ro3orcionala la fuerza 4ue se 3roduce en el extre)o libre leda sobre una escala con2eniente.

    En el resorte ?a@ la fuerza se coloca en ?A@, % el resorte se estira total)ente, en elresorte ?b@ la )is)a fuerza se coloca en ?!@ % el estira)iento es desde arriba hasta el3unto ?!@, en a)bos e0e)3los coincide la recta de acci/n, indicada con lneas de3untos, la intensidad de la fuerza indicada 3or la longitud de la flecha, % el sentidoindicado 3or la flecha, lo 4ue ha ca)biado entre a)bos resortes es el 3unto dea3licaci/n, 4ue 3rodu0o efectos fsicos diferentes en a)bos resortes.

    ea)os ahora los resortes ?c@ % ?d@ 4ue se les ha unido un rect1ngulo rgido eindefor)able en los extre)os, al colocar la fuerza en el 3unto ?C@ el resorte se estira la)is)a longitud 4ue en el resorte ?d@ al a3licar la fuerza en el 3unto ?'G, en a)bosresortes coinciden la recta de acci/n indicada 3or lneas de 3untos, la intensidad de lafuerza dada 3or la longitud, el sentido dado 3or la flecha, 3ero el 3unto de a3licaci/n esdistinto, el efecto fsico obtenido es el )is)o.

    Co)o conclusi/n tene)os 4ue si des3laza)os el 3unto de a3licaci/n de una fuerzasobre la )is)a recta de acci/n de un cuer3o rgido el efecto fsico no ca)bia. 6Resortes?c@ % ?d@7.

    DEFINICION :UNA FUERZA QUE ACTUA SOBRE UN CUERPO RIGIDO EINDEFORMABLE NO REQUIERE PUNTO DE APLICACIN YA QUE EL EFECTOFISICO NO SE MODIFICA, LOS VECTORES QUE REPRESENTAN ESTAS FUERZASSE DENOMINAN VECTORES AXILES.

    Siguiendo con la re3resentaci/n 2ectorial de las fuerzas, he)os 2isto 4ue 3or ser)agnitud se lo re3resenta 3or un 2ector 4ue indi4ue los ele)entos 3ara deter)inarloco)3leta)ente, intensidad, direcci/n, sentido, % 3unto de a3licaci/n.

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    &ara su re3resentaci/n se utiliza un siste)a de e0es coordenados cartesianos, 4ueconsisten en dos e0es graduados igual)ente, 4ue se cortan a H; co)o el de la figura.

    $no de los e0es es lla)ado e0e 2ertical ?+@ % el otro e0e horizontal ?@, a)bosgraduados en las )is)as escalas 3ueden re3resentar fuerzas, 2elocidades, tie)3os,etc. A)bos e0es se cortan en sus ceros, 4ue se lla)a origen, hacia la derecha sobre ele0e horizontal tene)os 2alores 3ositi2os % hacia la iz4uierda 2alores negati2os,si)ilar)ente 3ara el e0e 2ertical hacia arriba 2alores 3ositi2os % hacia aba0o 2aloresnegati2os.

    El siste)a de e0es es 3ara establecer un ?)arco de referencia@ res3ecto al cual referir el3roble)a. Es decir establecer una referencia res3ecto al cual estudiar alg8n fen/)eno

    fsico, nosotros deci)os 4ue en una habitaci/n ha% < grados centgrados de calor, estaafir)aci/n es la co)3araci/n de la te)3eratura de la habitaci/n res3ecto a una escalade referencia dada 3or un ter)/)etro 4ue dice 4ue el )o2i)iento lineal del )ercurio,una deter)inada altura se 3roduce 3or el incre)ento de un grado de te)3eratura 3ore0e)3lo. Esta referencia de te)3eratura es arbitraria % se eligi/ co)o se han elegidootras for)as de referencia 3ara la te)3eratura.

    (a utilizaci/n de un siste)a de e0es 3ara el trata)iento de fuerzas resulta )u% c/)odo3ara la resoluci/n de 3roble)as est1ticos, 3or4ue 3er)ite si)3lificar el 3roble)a altratar con fuerzas inclinadas, transfor)1ndose en 3ares de fuerzas 3er3endiculares.

    $n 2ector 3or e0e)3lo re3resentado en un siste)a de e0es se obser2a en la siguientefigura:

    Y

    X 1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 2 1

    !

    4

    3

    21

    1

    2

    X

    1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 21

    4

    3

    21

    45

    F

    m

    n

    . Al resolver un problema esttico ,el alumno seleccionara un sistema de ejes y lo ubicaradependiendo del problema en particular ,el resultado no es afectado por esta eleccin

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    En esta re3resentaci/n de un 2ector F nos brinda todos los ele)entos de un 2ector:Intensidad :Esta dada 3or la longitud del 2ector, si la di2isi/n de los e0es )ide unidadesde fuerza.

    Co)o se sabe 3or el teore)a de &it1goras 3ara un tri1ngulo rect1ngulo:

    aB b

    *bser2e la si)ilitud del 2ector F con h, 3ode)os utilizarla for)ula de &it1goras 3ara encontrar la longitud del2ector F co)o a> % b> ree)3lazando en la for)ula*btene)os 4ue la intensidad de F ,,>7

    'e esta for)a un 2ector 3uede dibu0arse sencilla)ente sobre un e0e coordenadocartesiano 3artiendo de los ele)entos o in2ersa)ente 3artiendo de los ele)entosdibu0arse sobre los e0es.(as 2enta0as de utilizar e0es 3ara la re3resentaci/n 2ectorial de la fuerza se 2era3osterior)ente.En la for)ula de &it1goras se re4uiere 4ue dos de las tres 2ariables a, b o h seanconocidas, esta restricci/n se solucionara cuando se incor3ore las relacionestrigono)5tricas 4ue relacionara 1ngulos con seg)entos.

    EXPRESIONES CARTESIANAS DE UN VECTOR

    (as ex3resiones cartesianas de un 2ector es un legua0e )ate)1tico 3ara indicar un2ector en el siste)a de e0es coordenados cartesianos ortogonales. arias son lasno)enclaturas 3ara re3resentar un 2ector en este siste)a, 2ere)os a continuaci/nco)o inter3retar estas ex3resiones:

    !1

    23

    "

    b

    a

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    &or e0e)3lo utilizando los 2ersores i, 0, re3resentar el 2ector F 0 en el siste)a

    de e0es coordenados cartesianos 4ue se encuentra en unidades de fuerza 3or e0e)3lo# 6#eton7, 3ara graficarlo lee)os < unidades de fuerza en la direcci/n del 2ersor i4ue es en la direcci/n de las % > unidades de fuerza en la direcci/n del 2ersor 0 4uees la direcci/n +. El 2ector F 4ueda definido desde el origen hasta el extre)o co)o se

    )uestra.

    (a inter3retaci/n es 4ue el 2ector F esta co)3uesta 3or dos 2ectores < en la direcci/nde % > en la direcci/n de +, el signo de su)a indica su)a 2ectorial 4ue se definir1)as adelante.

    *tra for)a de escritura es F < Kx B > K% en la 4ue ex % e% indican co)o antes ladirecci/n de los 2ersores i % 0 anteriores, teniendo el 2ector F la )is)a re3resentaci/nanterior.

    *tra for)a es utilizando 1ngulos ,3or e0e)3lo el 2ector F .

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    Mue se lee co)o la intensidad es de ,

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    Cuando hago estas cuentas tengo sie)3re 4ue considerar 4ue 5l nu)ero &i es unnu)ero con gran cantidad de deci)ales % al )ulti3licarlos obtengo sie)3re erroresdebido al trunca)iento de los deci)ales.

    Es 3osible 3asar de una for)a de ex3resi/n cartesiana de un 2ector a otra utilizandorelaciones trigono)etra:&ara un tri1ngulo rect1ngulo con un 1ngulo

    tene)os 4ue

    a7 Sen C*

    b7 Cos CA

    c7 Tg C*

    CA

    d7 6CA7 B 6C*7 6&it1goras7

    Con estas cuatro relaciones es 3osible transfor)ar las ex3resiones cartesianas de unafor)a a otra, estas relaciones ta)bi5n se utilizaran )as adelante 3ara co)3osici/n %desco)3osici/n de 2ectores.

    E+*,' 1:

    Transfor)ar F > i B < 0'e la figura % con la relaci/n d7 6>7B 6

    >. la hi3otenusa es la intensidad del 2ector.

    El 1ngulo se deter)ina con la relaci/n c7 des3e0ando la tangente.Tg Arctg < >>,P

    >Entonces la fuerza F > i B < 0 >, >>,P

    Cat$to o,$stoCO

    Cat$to adac$nt$

    CA

    &,ot$nsa

    3 &

    2 '

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    'ebe aclarase 4ue el 1ngulo obtenido de3ende de los seg)entos 4ue se consideren,

    en este caso < es el 2ertical % > es el horizontal 3or lo tanto es el 1ngulo obtenido, Siconsiderara el 1ngulo otro seria el cateto o3uesto % otra la hi3otenusa.

    E+*,' 2:

    Transfor)ar F ;

    Tene)os de la relaci/n a7 Sen C*

    'es3e0ando de a7 C* . Sen . Sen ; >.

    'e la relaci/n b7 Cos CA

    'es3e0ando de b7 CA . Cos . Cos ; . 0

    E+*,' ":

    Si 4uere)os desco)3oner un 2ector F en dos direcciones coincidente con los e0escoordenados co)o se )uestra en la figura 3ode)os utilizar las relaciones anteriores.

    'esco)3oner F ,

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    (as co)3onentes en la direcci/n de los e0es + del 2ector F facilitan el trata)ientoanaltico de las fuerzas inclinadas %a 4ue desco)3oni5ndolas traba0a)os con dos2ectores en lugar de un 2ector % 1ngulo

    EJERCICIO 1

    Re3resentar las siguientes fuerzas en unidades de #eton, en los e0es coordenados :

    A < I B > 0 . F i B > 0! I B N 0 P. - H I B 0C> I N. < I H 0

    ' H I = 0 H. I 0E = I B > 0 ;. J > I 0

    TABA8O 9:;A< N(o= 1 3!!3

    X #$n N% 1 2 3 4 5 6 77 6 5 4 3 2 1

    !

    3

    2

    1

    /

    Y #N%

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    EJERCICIO 2:

    Re3resentar las siguientes fuerzas en unidades de #eton, en los e0es coordenados:

    A N; . F =

    ! = P. - = >= N. D = ;. J PD

    EJERCICIO 4:Transfor)ar las siguientes ex3resiones cartesianas de las fuerzas en for)a de )odulo %1ngulo:

    A < I B > 0 . F i B > 0! I B N 0 P. - H I B 0C> I N. < i H 0' H i = 0 H. I 0

    TABA8O 9:;A< N(o= 1 3!!3

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    1 2 3 4 5 6 7 /1234567/

    1

    2

    3

    4

    5

    X # N%

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    DEFINICION :RESULTANTE DE UN SISTEMA DE FUERZAS SE LA DENOMINA A LA FUERZA QUEPUEDE REEMPLAZAR EL SISTEMA DE FUERZAS ,CON EL MISMO EFECTO.

    (a resultante del siste)a de fuerzas es la su)a 2ectorial de todas las fuerzas 4ueintegran el siste)a de fuerzas . Co)o la su)a i)3lica )agnitudes 2ectoriales no se3uede realizar 8nica)ente su)ando los 2alores co)o se hace con las )agnitudesescalares debe a3licarse la su)a 2ectorial 4ue se describe )as adelante 3ara cadaclase de siste)a de fuerzas.

    DEFINICION :SISTEMA DE FUERZAS EN EQUILIBRIO : ES CUANDO LA RESULTANTE DELSISTEMA ES NULA.

    (a acci/n indi2idual de cada fuerza sobre el cuer3o 3uede originar dese4uilibrio ,3ero

    actuando todas si)ult1nea)ente sobre el cuer3o no 3ro2ocan 2ariaciones en este, esco)o si sobre el cuer3o no actuaran esas fuerzas.Se dice 4ue todas las fuerzas se anulan )utua)ente , en el caso de los escalares,sie)3re

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    R;(a resultante de estos siste)as de fuerzas es nulo.

    Teniendo la )is)a recta de acci/n tengan distintos sentidos e intensidad.

    FQF D >=' < i < 0E J

    TABA8O 9:;A< N(o= 2 12!4//

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    1 2 3 4 5 6 7 /1234567/

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    /

    X # N%

    Y #N%

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    EJERCICIO 2$n ho)bre tira de una cuerda atada a un edificio con una fuerza de >;; # ,co)o se)uestra en la figura .Cuales son las co)3onentes horizontal % 2ertical de la fuerzae0ercida 3or la cuerda en el 3unto A

    EJERCICIO "$na barcaza es arrastrada 3or dos re)olcadores .Si la resultante de las fuerzase0ercidas 3or los re)olcadores es de =;;; # dirigida a lo largo del e0e de la barcaza,deter)inar las fuerzas e0ercidas 3or las cuerdas.

    EJERCICIO 4

    TABA8O 9:;A< N(o= 2 12!4

    A m

    6 m

    BACAA

    35

    55

    7

    Dos cab*$s con *as t$ns&on$s&nd&cadas $n $* d&b'o $stn atados a*a ,nta d$ *a to(($ d$t$(m&na( *ascom,on$nt$s d$ *a ($s*tant$ $n *asd&($cc&on$s +$(t&ca* "o(&onta*=

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    EJERCICIO /

    'eter)inar la resultante gr1fica)ente del siguiente siste)a de fuerzas utilizando el)5todo del 3aralelogra)o . El dibu0o se encuentra a escala.a7 Encontrar la escala utilizada si F ; #.b7 (as )agnitudes de las de)1s fuerzas % la resultante.

    EJERCICIO 0 :'ado el siguiente siste)a de fuerzas )edidas en #eton :

    A i B 0! D >;

    C > D >=

    ' < D =

    E D H;

    TABA8O 9:;A< N(o= 2 1/!4//

    1

    2

    3

    4

    3!415

    35! N4!! N

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    -raficar en escala .'eter)inar la resultante gr1fica)ente utilizando el )5todo del 3aralelogra)o.

    EJERCICIO 3 :'ado el siguiente siste)a de fuerzas )edidas en #eton.

    A D N;

    ! D =

    C > D>=

    ' = D H;

    E = D>=

    -raficar en escala.'eter)inar la resultante gr1fica)ente utilizando el )5todo del 3olgono.

    EJERCICIO $na barcaza es arrastrada 3or dos re)olcadores .Si la resultante de las fuerzase0ercidas 3or los re)olcadores es de =;;; # dirigida a lo largo del e0e de la barcaza.'eter)inar gr1fica)ente las fuerzas e0ercidas 3or las cuerdas.

    $tilizar escala E =;; #Dc) .

    EJERCICIO 5'eter)inar gr1fica)ente la tensi/n en las sogas.Realizar el es4ue)a de fuerzas utilizando una escala con2eniente.$tilizar 3ara encontrar la resultante cual4uiera delos dos )5todos gr1ficos.

    736 N

    3!5!

    BACAA

    3!

    45E'$ d$ *a ba(caa

    TABA8O 9:;A< N(o= 2 1/!4//

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    EJERCICIO 1#'eter)inar cual es 1ngulo )1xi)o4ue 3uede tener la ra)3a 3ara 4ueel cuer3o se encuentre en e4uilibrio,si la fuerza de roza)iento es de = #% el 3eso del cubo es de = #.

    EJERCICIO 11Cual es el 3eso )1xi)o 4ue 3ueden so3ortarlas cuerdas ,si son de acero % resisten cadauna ,

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    RESPONDER :7 Mue es un 2ector axil Mue re3resenta la resultante de un siste)a de fuerzas % 4ue significa 4ue la resultantede un siste)a de fuerzas sea nula.

    A 4ue se deno)ina 3ar o cu3la Cuales son las fuerzas colineales Co)o se definen las )agnitudes 2ectoriales

    RESOLVER :

    El siste)a de la figurase encuentra en e4uilibrio .Si la esfera esta sostenida 3or lasdos cuerdas % 3esa N; #, deter)inar las tensionesen las cuerdas.

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    RESOLUCION DE LOS EJERCICIOS DEL EJEMPLO DEL EXAMEN 2-#4-##TEORICO

    $n 2ector axil es el 4ue re3resenta a la fuerza a3licada sobre un cuer3o indefor)able %no re4uiere 3unto de a3licaci/n.

    (a resultante de un siste)a de fuerza re3resenta la su)a de todos ellos, es una 8nicafuerza 4ue ree)3laza los efectos de las de)1s ,si fuera nula la resultante es 4ue elcuer3o se encuentra en e4uilibrio.

    &ar o cu3la es un siste)a de dos fuerzas 4ue tienen la )is)a intensidad ,distintosentido % direcciones 3aralelas.

    (as fuerzas colineales son las 4ue co)3arten la )is)a recta de acci/n.

    (as )agnitudes 2ectoriales se definen 3or su intensidad,sentido,direccion % 3unto dea3licaci/n.

    PRACTICO

    7 &ara resol2er este e0ercicio 3ri)ero debo centrar )i siste)a de e0es en la for)a )asadecuada3ara reducir las cuentas % esto se hace haciendocoincidir el e0e + o con la )a%ora de las direccionesde las fuerzas 6si se 3uede7 de esa for)a ser1n )enos lasfuerzas a desco)3oner.

    Co)o el cuer3o se encuentra en e4uilibrio 6seg8n 3agina dela3unte 7 la resultante deber1 ser #$(A. &or lo 4ue la su)a de todaslas fuerzas 6su)a 2ectorial7 debe ser ;.El es4ue)a re3resentati2o del 3roble)a 64uesie)3re )e a%uda a inter3retar el 3roble)a76)odelizar7 4ueda co)o se )uestra. (os N; # est1nso3ortados 3or las tensiones de las sogas T%T

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    tengo ,la direcci/n es a ;hacia arriba co)o se )uestra ,el 3unto de a3licaci/n es enla esfera % su sentido 3or la flecha, la otra inc/gnita es la intensidad de T < ,co)o laesfera esta en EM$I(I!RI* ,ta)3oco se des3laza horizontal)ente 3or lo 4ue laco)3onente sobre el e0e ?x@ de Tdebe ser igual T #,

    Con lo 4ue %a tengo la soluci/n. Este 3roble)a se reduce a o3erar co)o se ex3lica enel a3unte 3aginas P ,N % H ?"ET*'* A#A(ITIC* &ARA E#C*#TRAR (ARES$(TA#TE@ desco)3oniendo fuerzas en direcci/n de los e0es % luego a3licar lasu)a de fuerzas colineales con distintos sentidos co)o se ex3lica en el a3unte en laho0a =. a% otras for)as de resol2erlo ,analtica)ente 3ero ter)inan siendo lo

    )is)o ,3or e0e)3lo traba0ar con el 1ngulo de >;en lugar de ;4ue es lo )is)o,sie)3re ser1n dos 8nicas ecuaciones ,la for)a gr1fica es )as traba0osa re4uiere )asc1lculos % tie)3o de to)ar )edidas.

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    desco)3ongo el 3eso . Si esta en e4uilibriola resultante debe ser #$(A ,la su)a ECT*RIA(de todas las fuerzas debe dar ?;@.(o 8nico 4ue )e falta es el 1ngulo 4ue for)a con el e0e + 3ara 3oder desco)3oner este 2ector

    % luego su)ar 2ectores colineales co)o en los otros e0ercicios.

    El 1ngulo lo 3uedo saber de los datos de 3lano inclinado ,co)o en el e0ercicio < de la 3agina del a3unte del ho)bre tirandode la cuerda desde el edificio, )ediante las )edidas del tri1ngulo rect1ngulo

    ArcTg ,= 6&agina H del a3unte7Este 1ngulo es el del 3lano inclinado ,deter)ine 3or4ue ta)bi5n es el )is)o1ngulo 4ue entre % el e0e ?%@ el 1ngulo desconocido. (o 4ue 4ueda es desco)3oner% hacer la su)a de los 2ectores colineales : x Fr % % R

    NUCLEO TEMATICO "

    "o)ento est1tico de una fuerza .Cu3las .signos .3ro3iedades del )o)ento est1tico.Teore)a de arignon . 'eter)inaci/n gr1fica ."o)ento % co)3osici/n de fuerzas3aralelas. 'esco)3osici/n ."5todo de Cull)an % analtico de Ritter.

    ".1 -MOMENTO DE UNA FUERZA

    En la unidad anterior he)os )odelizado a los cuer3os s/lidos co)o una sola3artcula ,sin e)bargo esto no sie)3re es 3osible % un cuer3o indefor)able debetratarse co)o una co)binaci/n de un gran nu)ero de 3artculas ,debe)osconsiderarlos con ta)a9o % 4ue las fuerzas 4ue act8an lo hacen en diferentes 3untosde a3licaci/n.&or e0e)3lo las fuerzas 4ue act8an sobre el auto de la figura.

    re3resenta co)o una fuerza a3licada en el centro degra2edad .

    El 3eso tiende a hacer 4ue el auto se )ue2a 2ertical)ente hacia aba0o % causara4ue ca%era si no fuera 3or el 3iso. El 3iso se o3one al )o2i)iento del auto con lasreacciones R % R< .Estas fuerzas son e0ercidas 3or el 3iso sobre el auto. (a fuerza Fes el e)3u0e e0ercido 3or el )otor 4ue tiende a hacer 4ue el auto se )ue2a haciaadelante en linea recta 3ro2ocando una traslaci/n . 'ebido a 4ue la fuerza F es unafuerza axil ,el )is)o efecto se obtendra si la fuerza F actuara en el 3aragol3e traserocon tal 4ue la recta de acci/n sea la )is)a.

    1 2F

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    *tras fuerzas 3ueden hacer 4ue el auto se )ue2a en for)a diferente ,3or e0e)3lo lafuerza e0ercida 3or un gato colocado deba0o del e0e delantero hara 4ue el auto giraraalrededor del e0e trasero. Tal )o2i)iento es una rotaci/n .&uede concluirse 4ue cadauna de las fuerzas 4ue act8an sobre un s/lido rgido 3uede si nada se o3one ,i)3artiral s/lido rgido un )o2i)iento de traslaci/n o de rotaci/n o a)bos.

    (a idea de rotaci/n 3roducida a un cuer3o esta dada 3or el "*"E#T* 4ue 3roduceuna fuerza res3ecto a un 3unto % esta definida co)o : " F . d en 4ue F es la fuerza %?d@ la )enor distancia al 3unto ,deno)inado CE#TR* 'E "*"E#T*.

    DEFINICION : EL MOMENTO MIDE LA TENDENCIA DE LA FUERZA F A HACERGIRAR AL SOLIDO RIGIDO ALREDEDOR DE UN PUNTO.(a )enor distancia ?d@ entre una fuerza % un 3unto cual4uiera 4ueda deter)inada 3or elseg)ento 3er3endicular a la recta de acci/n de la fuerza hasta el 3unto 6centro de)o)ento7, co)o se )uestra en el siguiente es4ue)a, ?d@ ,@d@ son todasdistancias )a%ores 4ue ?d@.

    El )o)ento ? "@ de3ende de la intensidad de la fuerza ,de la recta de acci/n % delsentido 3ero no de3ende de la 3osici/n real del 3unto de a3licaci/n de la fuerza a lo

    largo de su recta de acci/n 3or4ue trata)os con cuer3os indefor)ables 3or lo 4ue lasfuerzas son 2ectores axiles.

    En la figura a7 si des3laza)os la fuerza F sobre su recta de acci/n trasladando su3unto de a3licaci/n co)o se )uestra en la figura b7 , el )o)ento 3roducido res3ecto a?o@ es el )is)o.

    d

    o

    M

    d

    o

    M

    d1

    d2

    d3

    OO

    dd

    M M

    a% b%

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    CONVENCION DE SIGNOS

    'e3endiendo del sentido de la fuerza res3ecto a un 3unto ?*@, 3uede 3roducir 4ue els/lido rgido gire en uno u otro sentido, 3or e0e)3lo en el sentido de las agu0as del relo0o en sentido contrario al de las agu0as del relo0 .#ecesita)os es3ecificar una for)a de diferenciar los )o)entos 4ue 3roduciran dos

    fuerzas con las )is)as distancias al 3unto ?*@, intensidades iguales 3ero con sentidosdistintos.&or esta raz/n se le asigna signo 3ositi2o al )o)ento 4ue 3roduce una fuerza 4uehace girar al s/lido rgido en sentido contrario a las agu0as del relo0 , % )o)entonegati2o si la fuerza lo hace girar en sentido de las agu0as del relo0.

    2.2 -MOMENTO DE UN SISTEMA DE FUERZASTEOREMA DE VARIGNON&ara el siste)a de fuerzas concurrentes )ostrado3ode)os deter)inar el )o)ento 4ue 3roducentodas las fuerzas res3ecto al 3unto ?o@ haciendo :

    "T*TA( " Fx d B F< x d< B F> x d>

    El Teore)a de arignon dice 4ue 3ode)os obtener

    el )o)ento total de un siste)a de fuerzas encontrandola resultante del siste)a de fuerzas % luego calcularel )o)ento 4ue esta resultante 3roduce res3ecto al )is)o3unto ?o@. Es decir :

    "T*TA( R x d

    Co)o se )uestra en la siguiente figura :En 3ri)er lugar deter)ina)os la resultante

    1 2

    d1

    d2d3

    o

    OO

    dd

    M M

    MOMENTO;OSITIVO

    MOMENTO

    NE9ATIVO

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    del siste)a de fuerzas % luego deter)ina)osel )o)ento 4ue 3roduce res3ecto al )is)o 3unto [email protected] )5todo es 8til 3ara encontrar el )o)ento 4ue3roduce un siste)a de fuerzas res3ecto a un 3unto.

    Algunas 2eces ser1 necesario el 3aso in2erso

    3ro%ectar una fuerza en sus co)3onentes rectangularesseg8n los e0e ?x@ e@ %@ encontrando el )o)ento 4ueestas co)3onentes 3roducen res3ecto a alg8n 3unto ?o@.

    *bser2e el siguiente e0e)3lo :Se 4uiere deter)inar el )o)ento 4ue 3roduce la fuerza F res3ecto al 3unto [email protected] 3ri)er lugar desco)3one)os al fuerza F en susco)3onentes seg8n el e0e ?x@ e ?%@ utilizando las

    f/r)ulas 2istas anterior)ente :Fx F. cos

    F% F.sen

    *btene)os de esta for)a las co)3onentesde la fuerza F % deter)ina)os seguida)enteel )o)ento 4ue las co)3onentes 3roducenres3ecto al )is)o 3unto ?o@.

    (as coordenadas del 3unto ?o@ son x < , %

    co)o se )uestra en la figura % el )o)ento 4ue 3roducela fuerza F% res3ecto al 3unto ?o@ es :F% . #Es4ue)atizando obtene)os la siguiente figura :

    16!mm

    !! N

    6!-

    4!! N

    6/3 N

    3!! = 3!! =

    21! = 3/! K=

    45 cm

    1! cm

    X cm

    A

    #1%

    #2%#3%

    #4%

    45 cm

    o

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    El )o)ento res3ecto al 3unto ! con distancias en )etros es :"! H> # . ;,< ) ;; # . ;, ) >N, #) #) ; c) co)o se

    indica en el gr1fico deter)nese el )o)ento res3ecto a ?o@.

    (a fuerza se ree)3laza dos co)3onentes ,unaco)3onente una co)3onente & % una co)3onente M.Co)o ?o@ esta en la recta de acci/n de & el )o)entode & con res3ecto a ?o@ es nulo % el )o)ento sereduce 8nica)ente al )o)ento 4ue 3roduce M.

    EJERCICIO 1

    Con las siguientes fuerzas indicadas ,deter)inar el )o)ento total 4ue 3roducenres3ecto a ?o@, las distancias se calculan teniendo en cuenta 4ue cada cuadrado es de c) 3or c).

    TABA8O 9:;A< N(o= 3

    2!! mm

    B

    B

    16! mm

    2!! mm

    o

    3! cm

    3! N

    2!-

    Lo

    3! cm

    ;

    @

    ; 3! N = cos 2!- 2 N@ 3! N = s$n 2!- 1!2 NMo 1!2 N = 3! cm - 3! " cm

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    F ; # F=> #F= # FP #F< # FN #

    EJERCICIO 2

    Con los datos de cada e0ercicio deter)inar la inc/gnita 3ara establecer el e4uilibrio de)o)entos res3ecto de ?o@:

    a7A=;; # !P;; # d A>= c) 'eter)inar d!

    b7 d A c) !;; # d !>; c) 'eter)inar A

    c7 A; # !P;; # d !

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    EJERCICIO 4

    Encontrar el 2alor de la fuerza C 3ara 4ue la barra )ostrada se encuentre en e4uilibrio.Todas las fuerzas se encuentran en Ug.

    EJERCICIO / :

    Calcular el 2alor de la fuerza C 3ara 4ue laestructura se encuentre en e4uilibrio.

    EJERCICIO 0: Encontrar el 2alor de la fuerza C.

    EJERCICIO 3'eter)inar en la estructura )ostrada ,corres3ondiente a un tra)o de un 3uente, el 2alorde Rc 3ara 4ue el )o)ento total de todas las fuerzas res3ecto a ?o@ sea nulo

    1 m

    1 m

    1 m

    4/5 N

    7475 N

    1!!! N

    7!! N

    C

    45-

    2!!!

    C

    1!!!!

    /25!

    1!!!

    143!

    45

    3 m 1 m 3 m

    1!!2 m

    6!

    7!

    1!!

    4!

    C4 m

    A15 =

    3!

    3! =

    C 15 K=

    26 K=

    1!!!

    X

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    EJERCICIO En la 3arte frontal del a2i/n )ostrado ,deter)inarel )o)ento 4ue 3roduce la fuerza sustentadora delala en la raz.

    EJERCICIO 5

    EJERCICIO 1#Calcular el )o)ento 4ue se 3roduce en la uni/ndel so3orte 3ara tele2isi/n con la 3ared ,si el 3eso

    del tele2isor es de N Ug.Re3resentar en un siste)a de e0es ", x co)o 2ariael )o)ento cuando 2aria la distancia x.Rta :

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    EJERCICIO 1"En la 2iga de la figura deter)inar :la ecuaci/n de )o)entos res3ecto al 3unto ?o@ .El 2alor de ?x@ 3ara 4ue el )o)ento sea de =;; Ug.c).El 2alor de ?x@ 3ara 4ue el )o)ento sea de >,> Ug.c).

    Rta : b7 ,< c) , c7 ; c).

    EJERCICIO 14

    'eter)inar la fuerza 4ue debe e0ercerse sobre el bast/n de )ando del a2i/n 3aracontrarrestar la fuerza 3roducida sobre el estabilizador horizontal 3or las fuerzasaerodin1)icas.

    Rta : F N, Ug.En este e0e)3lo se obser2a el 3rocedi)iento de calculo 4ue se realiza cuando sedise9a un )ecanis)o de 3alancas ,con el fin de a)3lificar el esfuerzo )uscular. Aestos )ecanis)os se les lla)a cadena cine)1tica.

    EJERCICIO 1/Calcular la fuerza inc/gnita C 3ara 4ue la estructura )ostrada se encuentre ene4uilibrio.

    'eter)inar si la resultante de las fuerzas a3licadas sobre la estructura es nula.

    2! K=12 K=

    565 K=

    534 K= 12 K= C

    2 m 2 m

    2 m

    *n$a

    d$($$($nc&a

    !66

    1 ! 135 175 15 17

    25! 16!16! 15! 55!

    76!

    23!

    ? . 2 ?

    ? . 31! K=

    2! =

    25 K=

    ;nto d$ ,&+ot$o

    ;nto d$ ,&+ot$o

    ;nto d$ ,&+ot$o$(a sob($ $* bast)n

    2!! K=Cab*$ d$ ac$(o

    Cab*$ d$ ac$(o

    5! cm

    2! cm12 cm

    15 cm

    1! cm 2! cm

    5! cm

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    Rta :C =,

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    - ECUACIONES DE PROECCIONES DE MOMENTOS

    'esco)3oniendo estas ecuaciones 2ectoriales en sus co)3onentes rectangulares las3ode)os ex3resar de la siguiente for)a:

    Estas ecuaciones obtenidas 3ueden utilizarse 3ara deter)inar las fuerzas desconocidasa3licadas a cuer3os o las reacciones 4ue sobre este e0ercen sus a3o%os.(as ecuaciones ex3resan 4ue las todas co)3onentes de las fuerzas en la direcci/n de?x@ deben ser nulas , ta)bi5n deben ser nulas las co)3onentes de las fuerzas seg8n

    ?%@, el )o)ento total de esas fuerzas res3ecto a cual4uier 3unto ?o@ deben igual)enteser nulas 3ara 4ue el cuer3o se encuentre en EM$I(I!RI*.&or consiguiente el siste)a de fuerzas actuante no i)3ri)ir1 ning8n )o2i)iento detraslaci/n ni de rotaci/n al cuer3o.&ara escribir las ecuaciones de e4uilibrio se debe identificar 3ri)ero todas las fuerzas4ue act8an sobre el % dibu0ar el diagra)a de cuer3o libre.

    EJEMPLO 1 :

    (a acr/bata 4ue se encuentra sobre la barra de la figura ,si nos interesa deter)inar lasfuerzas 4ue act8an sobre la barra ,dibu0a)os el diagra)a de cuer3o libre co)o se)uestra, en 4ue ree)3laza)os a la acr/bata 3or la fuerza 4ue 3roduce % los a3o%os3or reacciones desconocidas.

    Este sencillo es4ue)a de cuer3o libre de la barra ,nos indica las fuerzas actuantes.'esea)os conocer las reacciones 4ue los a3o%os 3roducen sobre la barra en los3untos A % !.

    F =

    # =

    F $= F %= #=

    AY

    BX

    BY

    A B

    6! K=

    1 m 2 m

    ?

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    Co)o desconoce)os la direcci/n 4ue tienen las fuerzas de reacci/n le da)os sentidosarbitrarios % luego de acuerdo al signo 4ue obtenga)os 2erifica)os si los sentidossu3uestos arbitraria)ente son los correctos o al re25s.'ebe)os considerar los sentidos 3ositi2os de las fuerzas 4ue coincidan con lossentidos 3ositi2os de los e0es coordenados de referencia 3or lo 4ue R! es negati2o %

    R!+ % RA+3ositi2os , to)a)os co)o centro de )o)entos el 3unto A ,% la con2enci/n designos establecida anterior)ente al 2er )o)entos.

    A3lica)os la condici/n de e4uilibrio 3uesto 4ue la barra no se traslada ni rota.

    F; es decir ; Ug. Cos NN R!;

    F+; es decir RA+ B R!+ ; Ug. Sen NN ;

    "A ; es decir ; Ug. Sen NN ) B R!+ > ) ;

    &odra)os haber elegido cual4uier centro de )o)entos 3or4ue la barra no girares3ecto a ning8n 3unto, se to)a sie)3re co)o centros de )o)entos un 3unto 4ueanules algunas de las fuerzas inc/gnitas % de esta for)a )e facilite la resoluci/n de

    las ecuaciones.'e la 3ri)era ecuaci/n 3ode)os des3e0ar R! < Ug. ,el signo negati2o indica 4ue elsentido elegido es al re25s.'e la tercera ecuaci/n 3ode)os des3e0ar R!+

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    F+; es decir RA+ B R!+

    7! K=

    ?

    A

    B

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    EJERCICIO 1

    En las estructuras indicadas deter)inar las fuerzas de reacci/nInc/gnitas, a3licando las condiciones generales de e4uilibrio.

    EJERCICIO 2'eter)inar en las siguientes estructuras las inc/gnitas A, !, % C.a7 Rta =;,P=,

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    4.2 -VINCULOS REACCIONES

    asta ahora he)os resuelto el e4uilibrio de cuer3os % deter)inado la )agnitud de lasreacciones inc/gnitas sin conocer el origen de tales reacciones.(as reacciones e0ercidas sobre un cuer3o 3ueden di2idirse en tres gru3os,corres3ondientes a tres ti3os de a3o%o o de uniones con los 4ue los cuer3os seI#C$(A# con los de)1s cuer3os:

    REACCI*#ES 'E 'IRECCI*# C*#*CI'A

    Algunos a3o%os o uniones 4ue causan reacciones de direcci/n conocidas son rodillos,balancines, su3erficies lisas, deslizaderas % 3asadores. Cada uno de estos a3o%osi)3ide el )o2i)iento en una sola direcci/n. Esto 3roduce una sola inc/gnita a saber, 5l

    )odulo de la reacci/n. (a recta de acci/n es conocida % el sentido se deter)ina de lasecuaciones de e4uilibrio. Se los suele dibu0ar es4ue)1tica)ente co)o se indica:Estos 2nculos se deno)inan de 3ri)era es3ecieindican 4ue los cuer3os unidos a tra25s de elloscon otros cuer3os 3ueden des3lazarse en la for)aindicada 3or las flechas su3eriores, % la reacci/n4ue 3roducen es en la direcci/n de la flecha 2ertical.

    REACCIONES DE DIRECCIONES DESCONOCIDAS

    Entre los a3o%os % conexiones 4ue 3roducen reacciones de este ti3o est1n lasarticulaciones % su3erficies rugosas, estos 2nculos 3ueden i)3edir el )o2i)iento detraslaci/n del cuer3o en cual4uier direcci/n 3ero no 3ueden i)3edir 4ue gire alrededorde la uni/n. Se los suele es4ue)atizar co)o se indica:Estos 2nculos se deno)inan de segunda es3ecie% su recta de acci/n es desconocida 3or lo 4ue inter2ienendos inc/gnitas 4ue son sus co)3onentes ?x@ e ?%@ de la reacci/n.

    REACCIONES COMO FUERZAS MOMENTOS

    Estas reacciones son 3roducidas 3or e)3otra)ientos 4ue i)3iden cual4uier )o2i)iento

    del cuer3o in)o2iliz1ndolo 3or co)3leto, se los suele es4ue)atizar de la siguientefor)a:Si en el es4ue)a de la figura a7 4uita)osla 3ared 3one)os en e2idencia las reacciones.Muedando co)o en b7 4ue 3roduce dos reaccionesuna 2ertical % una horizontal % un )o)ento.

    Este ti3o de 2nculos se lo suele lla)ar de tercera es3ecie

    X

    Y

    X

    M

    ,a($d

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    % 3ro2oca las tres inc/gnitas Rx, R% % "4ue se deber1n deter)inar.

    EJEMPLOS

    (as siguientes son 2igas 4ue se encuentran 2inculadas de distintas for)as % 3roducenlas reacciones indicadas:

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    B

    B

    B

    B

    B

    B

    A

    AY

    A

    A

    A

    A

    BY

    BY

    BY

    BY

    BY

    B

    BX

    AX

    BX

    BX

    BX

    VINC:

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    EJERCICIO 1

    'eter)inar las reacciones.

    A

    AA

    A

    A

    BB

    BB

    B

    AY

    15 =

    3!

    3! =

    1%

    2%

    3%

    5%

    6%

    7%

    1! =

    15 =

    2! cm 2! cm

    25 cm 2! cm

    3! =

    TABA8O 9:;A< N(o= 5 17

    3!

    3! =

    4! cm

    45 =

    35 cm 55 cm

    5! =

    35 cm 4! cm

    3! =

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    EJERCICIO 2'eter)inar co)o 2aria sobre la barra del dibu0o, el )o)ento 4ue 3roduce la fuerzacuando se des3laza el centro de )o)entos una distancia ?xG.

    TRABAJO GRUPAL N!'. /RESULTADOS DE LOS EJERCICIOSEJERCICIO 17

    &R*+ECCI*# ?@

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    P7

    &R*+ECCI*# ?@ P, B RA ; RA P,"*"E#T*S ?A@ =;. >= BP,. P= B " ; "

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    (a )odelizaci/n de las interacciones con los de)1s cuer3os. (os a3o%os de las 2igas. (as inc/gnitas a deter)inar.

    7 (as fuerzas axiles son:

    (as fuerzas 4ue no re4uieren 3unto de a3licaci/n 3ara definirlas. (as fuerzas 4ue no re4uieren sentido 3ara definirlas. (as fuerzas 4ue no re4uieren direcci/n 3ara definirlas

    P7 (a est1tica estudia:(as condiciones 4ue deben satisfacer las fuerzas 3ara establecer el e4uilibrio delos cuer3os

    (as le%es del e4uilibrio % del )o2i)iento de los cuer3os. Todo a4uello 4ue tiende a )odificar el estado de re3oso o )o2i)iento de loscuer3os.

    RESOLVER : Encontrar los 2alores de las reacciones 4ue 3roducen los 2nculos.

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    Analizando el siste)a de cargas del cuer3o notare)os 4ue 3roducen "o)entosflexores, Esfuerzos Tangenciales o Cortantes % Esfuerzos #or)ales dentro del cuer3o.'efinire)os 3ri)era)ente los cuer3os 4ue estudiare)os:

    VIGAS:Es un ele)ento estructural dise9ado 3ara so3ortar cargas a3licadas en 2ariosde sus 3untos 3er3endicular)ente a su e0e, son largas % rectas de for)a 3ris)1tica, 3ore0e)3lo son 2igas los e0es.

    BARRAS :Es un ele)ento estructural dise9ado 3ara so3ortar cargas a3licadasaxial)ente 6esfuerzos nor)ales7, ta)bi5n son largas % rectas, un e0e)3lo son loscables.

    EFECTOS INTERNOS DE LAS FUERZAS

    &ara deter)inar 4ue ocurre interna)ente en un cuer3o so)etido a un estado de cargasdebe)os cortar ?i)aginaria)ente@ el cuer3o % deter)inar los esfuerzos internos

    utilizando las ecuaciones de e4uilibrio.&or e0e)3lo el cuer3o cargado de longitud ?(@ 4ue se )uestra con una carga de 2alor?3@ a3licada a la )itad del cuer3o % el es4ue)a de las reacciones.

    En 3ri)er lugar debe)os deter)inar las reacciones en los a3o%os RA, RA+ % R!+utilizando las ecuaciones de e4uilibrio %a 2istas.F x ; RA ;

    F % ; RA+B R!+ 3 ;

    "A ; 3 .( D < B R!+.( ;

    Si 4uere)os saber las fuerzas internas 4ue se 3roducen debido a este siste)a decargas 3rocedere)os a cortar ?i)aginaria)ente@ a tra25s de la secci/n ?AA@ a ladistancia (D 4ue se )uestra en el es4ue)a siguiente.

    AB

    AY

    ,.2

    ,.2

    BY

    ,.2

    ,.2

    AX

    , ,

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    +a 4ue cada 3unto del cuer3o se encontrabaen e4uilibrio , " % 4 deber1n tener 2alores tales4ue contin8en )anteniendo el e4uilibrio del sectorde cuer3o cortado ,3ara obtener el 2alor 3ode)osnue2a)ente 3lantear las ecuaciones de e4uilibrio

    3ero esta 2ez al tra)o del cuer3o.

    F % ; 3D< 4 ;

    "o ; 4 .( D B " ;

    'e esta for)a la fuerza ?4@ % el )o)ento ?"@ son los esfuerzos internos ,tanto ensentido co)o en intensidad,en el cuer3o a una distancia de (D desde ?o@ .Si4uisi5ra)os saber 4ue ocurre en otro sector del cuer3o 3rocedere)os de la )is)afor)a 3ara otra secci/n del cuer3o.

    Este 3rocedi)iento de cortar i)aginaria)ente el cuer3o % analizar los esfuerzosinternos se deno)ina &*#ER E# EI'E#CIA (*S ESF$ERY*S I#TER#*S .&or lotanto ?"@ es el )o)ento interno deno)inado "o)ento Flexor % ?4@ es el esfuerzo decorte o tangencial.

    /.2 -MOMENTO FLEXOR

    El )o)ento flexor es el )o)ento 3roducido dentro del cuer3o debido a las cargasexteriores 6fuerzas % reacciones7 en cada secci/n estudiada,el )o)ento flexor generaflexiones en los cuer3os tendiendo a doblarlos.

    CRITERIO DE SIGNOSEl criterio ado3tado 3ara el )o)ento flexor a3arece en el es4ue)asiguiente de3endiendo co)o se flexione al cuer3o:

    $n )5todo )as sencillo 3ara deter)inar el signo del )o)ento flexor en una secci/n esconsiderar 4ue las fuerzas exteriores dirigidas hacia arriba 3roducen )o)entos flexores3ositi2os % las dirigidas hacia aba0o 3roducen )o)entos flexores negati2os.

    TRAZADO DEL DIAGRAMA DEL MOMENTO FLEXOR

    Este diagra)a re3resenta la 2ariaci/n del )o)ento flexor a lo largo del cuer3o,registr1ndolos 3unto 3or 3unto a una distancia ?x@ desde uno de los extre)os,graficandose sobre un siste)a de e0es coordenados en el 4ue sobre el e0e ?%@ sere3resentan los )o)entos flexores % sobre el e0e ?x@ las longitudes del cuer3o.

    D$ $stas $cac&on$s om&t&$ndo *as com,on$nt$s $n L?,o( s$( n*as obt$n$mos J$ P J ,.2 M ,.2 =

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    &ara la construcci/n se 3uede utilizar el )5todo sencillo 4ue se ex3lica con el e0e)3loanterior del cuer3o so)etido a cargas :

    *btene)os el diagra)a de "o)entos Flexores co)o se )uestra arriba.Este es un 3rocedi)iento )u% sencillo 3ara elaborarr13ida)ente el diagra)a 4ue ser1 en general tra)os derectas.El diagra)a de )o)entos flexores co)o los 4ue 2ere)os

    )as adelante de esfuerzos tangenciales % esfuerzos nor)alesnos indicaran a si)3le 2ista lo 4ue ocurre interna)entecuando se a3lica el siste)a de cargas al cuer3o.% 3er)ite deter)inar en 4ue 3unto del cuer3o se 3roducenlos )1xi)os esfuerzos.

    /."-ESFUERZOS CORTANTES

    ,.2 ,.2

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    Es el 4ue se 3roduce en el cuer3o en cada secci/n interna en for)a tangencial, % es3roducida 3or todas las fuerzas 2erticales 4ue act8an a un lado de la secci/n estudiada.(a fuerza ?4@ encontrada en el e0e)3lo de la 3agina es el esfuerzo tangencial en lasecci/n [email protected] ti3o de esfuerzos tiende a 3ro2ocar corte entre las secciones.

    CRITERIO DE SIGNOS

    Ta)bi5n al igual 4ue anterior)ente se establece un criterio de signos 3ara losesfuerzos tangenciales o de corte indicado en el es4ue)a. $n )5todo sencillo 3aradeter)inar el signo del esfuerzo cortante es si la fuerza 4ue act8an a un lado de lasecci/n tiende a cortar la 3arte iz4uierda del cuer3o hacia arriba res3ecto a la derechaes un esfuerzo cortante 3ositi2o.

    TRAZADO DEL DIAGRAMA DE ESFUERZOS CORTANTES

    &ara el trazado del diagra)a del esfuerzo cortante se 3rocede si)ilar)ente co)o sehizo 3ara los )o)entos flexores, 3ero sola)ente se consideran las fuerzas 2erticales aun lado del cuer3o.&rocedere)os a ex3licar el )5todo utilizando el )is)o cuer3oanterior.

    COTANTE ;OSITIVA COTANTE NE9ATIVA

    ,.2 ,.2

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    Se 3uede obser2ar la sencillez 3ara elaborar estos diagra)as.Este en es3ecial nosindica 4ue en el 3unto en el 4ue act8a la fuerza 3 es la )as critica.

    /.4-ESFUERZOS NORMALES

    (os esfuerzos nor)ales ta)bi5n lla)ados axiles son 3roducidos 3or las fuerzasexteriores dirigidas a lo largo del cuer3o 6barras7, estos esfuerzos 3roducen tracci/n6estira)ientos7 o co)3resi/n 6acorta)ientos7.&ara 3onerlos en e2idencia utilizare)os el cuer3o cargado 4ue se )uestra 3rocediendode la )is)a for)a 4ue se realizo 3ara los anteriores esfuerzos.

    &lanteando las ecuaciones de e4uilibrio 8nica)ente 3ara las fuerzas en ?x@ tene)os :F x ; RA 3 ;

    &ara saber 4ue esfuerzo interno se 3roduce dentro del cuer3o corta)osi)aginaria)ente a tra25s de la secci/n AA a una distancia de (D desde ?o@,co)o sehizo anterior)ente eli)inando la 3arte derecha del cuer3o ,ree)3laz1ndolo 3or elesfuerzo interno inc/gnita # a deter)inar con las ecuaciones de e4uilibrio.Co)o se )uestra en el es4ue)a.

    F x ; 3 # ;

    'e a4u se deduce 4ue el esfuerzo interno # 3.

    CRITERIO DE SIGNOS

    &ara los esfuerzos nor)ales el criterio de signos ado3tado es 3ositi2o 3ara las fuerzas4ue tienden a co)3ri)ir el cuer3o % negati2a 3ara las fuerzas 4ue tienden a

    traccionarlo.

    TRAZADO DEL DIAGRAMA DE ESFUERZOS NORMALES

    Re3resentando en un e0e coordenado cartesiano con e0e ?% ? a los esfuerzos nor)ales# en una escala con2eniente, % sobre el e0e de las ?x@ la longitud del cuer3o,

    AY BY

    AX

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    3rocede)os a ca)inar sobre el cuer3o %endo de iz4uierda a derecha obser2ando lasfuerzas horizontales detr1s.&ara el cuer3o anterior, 3arados en ?A@ tene)os RAcu%a)agnitud se deter)ino 4ue es 3.Si continua)os hasta la distancia de (D< 8nica)entetene)os a 3 con sentido 3ositi2o,al 3asar (D< se inclu%e la fuerza 3 de sentido negati2o,si continua)os no a3arece ninguna otra fuerza hasta co)3letar la longitud total.

    El diagra)a de esfuerzos nor)ales es el )ostrado .

    EJEMPLO 1:

    RESOLVER1!!!! K=

    1!!! K=

    1!!! K=

    1!!! K=

    2!!! K=

    175! K= /25! K=

    1!!!! K=

    1!!! K=

    1!!! K=

    1!!! K=

    Mom$ntos*$?o($s

    3 m 1 m 3 m

    525!

    3!!!

    Es$(osd$ co(t$

    N

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    COMPENSATORIO N!'.1 TEMA A7777777777777777777777777777777777777777777725-#5-##

    Mue )5todo gr1fico se utiliza 3ara deter)inar la resultante de un siste)a de fuerzas noconcurrentes Mue es un siste)a de fuerzas colineales Mue es un 2ector axil Cuantas clases de restricciones )odeliza un 2inculo de segunda es3ecie.

    Ex3li4ue el teore)a de arignon , % su utilizaci/n.Encontrar las reacciones en la estructura )ostrada.

    a7

    b7

    COMPENSATORIO N!'.1 TEMA C 77777777777777777777777777777777777777777777777725-#5-##

    Ex3li4ue el teore)a de arignon , % su utilizaci/n.

    Mue es un siste)a de fuerzas colineales no concurrentes Mue )5todo gr1fico se utiliza 3ara deter)inar la resultante de un siste)a de fuerzasconcurrentes Mue es un 2ector axil Cuantas clases de restricciones )odeliza un 2inculo de tercera es3ecie.Encontrar las reacciones en la estructura )ostrada.

    a7

    1m 1 m 13 m 1 m

    12! N

    135

    5! 7! N

    1!! N

    1m 1 m 13 m 1 m

    12! N

    135

    5! 7! N

    1!! N

    Es$(osno(ma*$s

    A5! =

    25 =

    45

    35 cm 4! cm

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    est1tico se lla)an estructuras I&ERESTATICAS. Estas inc/gnitas se 3ueden resol2erconsiderando las defor)aciones 4ue sufren los cuer3os , % se estudia en cursossu3eriores co)o Resistencia de "ateriales, en este caso se dice 4ue la estructura esi3erestatica)ente deter)inada. En general casi todas las estructuras reales sonhi3erestaticas ,3ero sie)3re se 3ueden )odelizar co)o isostaticas 3ara obtener una

    3ri)era soluci/n a3roxi)ada.

    Si su3one)os ahora la estructura sustentada co)o se )uestra.

    Esta claro 4ue las restricciones de estos a3o%os no son suficientes 3ara i)3edir 4ue laestructura se )ue2a horizontal)ente. Se dice en este caso 4ue la estructura se

    encuentra 3arcial)ente 2inculada.El diagra)a de cuer3o libre nos )uestra 4ue los a3o%os dan origen a dos reaccionesinc/gnitas ,co)o cuento con tres ecuaciones a resol2er ,una de las ecuaciones no sesatisface.

    A% B !% 3 ; 3 dD< B !% d ; s;

    (o 4ue nos indica 4ue el cuer3o no se encuentra en e4uilibrio 3ara todos los estados decarga.(a carga 4ue 3ro2oca el )o2i)iento del cuer3o es la carga S. Si esta carga no existierala estructura estara est1tica % tendra dos reacciones 4ue deter)inar % tres ecuaciones3ara 3lantear, en este caso 3uedo deter)inar 3erfecta)ente las reacciones :A% B !% 3 ; 3 dD< B !% d ;

    Cuando la cantidad de inc/gnitas de las reacciones de a3o%o es )enor 4ue la cantidadde ecuaciones de e4uilibrio 4ue 3uedo 3lantear % el cuer3o se encuentra est1tico aestas estructuras se las conoce co)o estructuras I&*STATICAS. 'ebe 4uedar claro4ue las ecuaciones de e4uilibrio 4ue utilizo 3ara deter)inar las reacciones las utilizo3or4ue la estructura se encuentra en e4uilibrio ,no las 3uedo utilizar si la estructura nose encuentra est1tica.

    Conclui)os 4ue si un cuer3o esta co)3leta)ente 2inculado % las reacciones en susa3o%os est1n est1tica)ente deter)inadas tendre)os tantas inc/gnitas co)o

    ecuaciones de e4uilibrio.Sin e)bargo la condici/n anterior es necesaria 3ero no suficiente es decir 4ue auncoincidiendo el nu)ero de inc/gnitas con el de las ecuaciones no garantiza 4ue elcuer3o este co)3leta)ente 2inculado ,est1tico o in)o2ilizado o 4ue todas lasreacciones en sus a3o%os est5n est1tica)ente deter)inadas .&or e0e)3lo la estructura 4ue se )uestra cuenta con tres 2nculos de 3ri)era es3ecie4ue )e 3roducen tres inc/gnitas coincidente con el nu)ero de ecuaciones de e4uilibrio4ue 3uedo 3lantear, 3ero estos 2nculos no son los a3ro3iados 3ara e2itar 4ue la

    s

    d

    sA B

    , ,

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    seis grados de libertad, gener1ndo)e seis inc/gnitas a deter)inar 4ue las 3uedoresol2er 3lanteando seis ecuaciones de e4uilibrio est1tico.!a0o esta generalizaci/n ,siguen siendo 2alidas las deno)inaciones anteriores dadas3ara las estructuras 3lanas ,a3licadas a las estructuras es3aciales co)oi3erestaticas ,Isostaticas ,o i3ost1ticas.

    El siguiente cuadro resu)e lo ex3uesto en este ca3itulo 3ara las estructuras est1ticas:

    ESTR$CT$RAS

    -RA'*S'E(I!ERTA'

    &*SI!I(I'A'ES 'E"*I"IE#T*

    EC$ACI*#ES 'EEM$I(I!RI*

    REACCI*#ESI#C*-#IT

    AS

    TI&* 'EESTR$CT$R

    A

    > > IS*STATICA

    R*TACI*#

    I&ERESTATICA

    >TRAS(ACI*#ES

    Z I&*STATICA

    ES&ACIA(ES IS*STATICA>R*TACI*#ES

    Q I&ERESTATICA

    /-0 ANALISIS ESTATICO

    Este an1lisis cine)1tico es lo 3ri)ero a realizar 3ara asegurarnos de 4ue unaestructura bidi)ensional se encuentra co)3leta)ente est1tica % 4ue las reacciones6inc/gnitas7 son est1tica)ente deter)inadas .'ebe)os 2erificar 4ue las reacciones ensus a3o%os inclu%an tres % solo tres inc/gnitas % 4ue los a3o%os est5n dis3uestos defor)a 4ue las rectas de acci/n de las reacciones no sean todas 3aralelas oconcurrentes en un 3unto.

    EJE"&(*S :Estructuras est1tica)ente indeter)inadas.

    A BB

    1% 2%

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    /-3 MOMENTOS CONCENTRADOS

    Si sobre un cuer3o act8an dos fuerzas co)o las indicadas en la figura F % F 4ue tienenel )is)a intensidad ,recta de acci/n 3aralelas % sentidos o3uestos. (a resultante deeste siste)a es nula 3ero la su)a de los )o)entos res3ecto a un 3unto dado no esnulo. Aun4ue las fuerzas no trasladen al cuer3o lo hacen rotar.

    &ara deter)inar el )o)ento 4ue este 3ar de fuerzas3roduce lo calcula)os res3ecto al 3unto ?o@ ,una fuerzaF se encuentra a una distancia d B r de ?o@ % la otra fuerzaF se encuentra a una distancia de r.

    " F.6d B r7 F . rSi a3lica)os distributi2a tene)os :" F. d B F . r F. r F. d

    Es decir 4ue el )o)ento 4ue 3roduce un 3ar de fuerza res3ecto a cual4uier 3unto ,aunfuera del cuer3o, es igual a la intensidad de una de las fuerza 3or la distancia 4ue losse3ara.

    El 8nico )o2i)iento 4ue se le 3uede i)3artir a un cuer3o 3or la a3licaci/n de un 3ar defuerzas es el de rotaci/n. En los tres casos 4ue siguen ,el )o)ento 3roducido al cuer3oes el )is)o si la intensidad de las fuerzas es la )is)a % las distancias entre ellas esigual ,inde3endiente)ente del 1ngulo 4ue for)en las fuerzas.

    Co)o el 3ar de fuerzas de los tres cuer3os 3roducen el )is)o efecto sobre el cuer3o,se dice 4ue for)an un siste)a e4ui2alente.Su3onga)os 4ue un 3ar de fuerzas a3licado al cuer3o 4ue se )uestra 3ro2oca el girores3ecto a ?o@ 3ode)os ree)3lazar el 3ar de fuerzas 3or el )o)ento 4ue 3roduce.

    d (o

    A

    A

    BB3%

    4%

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    Ta)bi5n deci)os en este caso, 4ue el 3ar de fuerzas a3licadas al cuer3o, ese4ui2alente a un )o)ento concentrado.

    /- DESCOMPOSICION DE UNA FUERZA DADA EN UNA FUERZA UN PAR

    Su3onga)os 4ue tene)os una fuerza F actuando sobre un cuer3o en el 3unto A % 3oralguna raz/n 4uere)os a3licarla en el 3unto ?o@ .(a fuerza F 3uede des3lazarse a lolargo de su recta de acci/n debido a 4ue es un 2ector axil ,3ero no 3ode)osdes3lazarla a un 3unto ?o@ fuerza de su recta de acci/n sin )odificar su efecto.

    Sin e)bargo 3ode)os unir dos fuerzas una igual a F % otra igual a F en ?o@ ,co)o se)uestra, 3or lo 2isto anterior)ente F % la fuerza F a3licada en A for)an un 3ar con un)o)ento " F.d

    Es decir 4ue una fuerza F a3licada en A 3roduce el )is)o efecto a un cuer3o 4ue unafuerza F a3licada en ?o@ % un )o)ento concentrado ". A)bos siste)as sone4ui2alentes.

    ANALISIS DE ESTRUCUTRAS CARGADAS CON MOMENTOS CONCENTRADOS

    Su3onga)os 4ue estudia)os la estructura 4ue se )uestra % 4uere)os realizar losdiagra)as de esfuerzos internos.

    Ao o

    A

    o

    A

    d

    o o

    dd

    M =d

    M

    d

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    Con lo 2isto anterior)ente 3ode)os ree)3lazar el efecto 4ue 3roduce la fuerza Fa3licada en la )ani0a 3or un )o)ento " F . d % una fuerza F a3licada sobre la 2igaco)o se )uestra en el diagra)a de cuer3o libre siguiente.

    (as reacciones sobre la 2iga se encuentran con las ecuaciones de e4uilibriosi)ilar)ente co)o se ha realizado con todas las estructuras anteriores.'e la )is)a for)a en estructuras en las 4ue act8an 3ares de fuerzas se 3uederee)3lazar sus efectos 3or su e4ui2alente 4ue es un )o)ento.

    EJEMPLOMuere)os deter)inar los diagra)as de esfuerzos de la estructura )ostrada cargadaco)o se indica :

    Es una 2iga so)etida a un )o)entosi ree)3laza)os los a3o%os 3or lasreacciones desconocidas ,co)o8nica)ente act8a un 3ar,las reaccionesdeben constituir otro 3ar :

    "A R!+ .= ) ) tene)os 4ue el)o)ento es 3roducido 3or la fuerza de=; Ug. . > ) =; Ug.)En ese 3unto esta a3licado el )o)ento4ue tiene sentido 3ositi2o 3ro2ocandoun salto en el diagra)a de 2alor

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    flexores.Co)o la reacciones horizontales es nula el diagra)a de esfuerzos nor)ales es nulo %no se gr1fica.

    RECU8RDESE :(os )o)entos concentrados 3roducen saltos 3ositi2os o negati2os 6 de3endiendo delcriterio de signos 3ara los )o)entos flexores7 en el diagra)a de )o)entos flexores.El diagra)a de esfuerzos de corte % nor)al no se )odifica.

    EJEMPLOS :(os siguientes e0e)3los cualitati2os , indican los diagra)as de esfuerzos de corte %)o)ento flexor . (os diagra)as 3ueden 2ariar en funci/n de las )agnitudes de lasfuerzas.

    ESTRUCTURA 1

    'IA-RA"A 'E C$ER&* (I!RE

    "*"E#T*S F(E*RES

    ESF$ERY*S 'E C*RTE

    ESTRUCTURA 2

    'IA-RA"A 'E C$ER&* (I!RE

    "*"E#T*S F(E*RES

    ESF$ERY*S 'E C*RTE

    ESTRUCTURA "

    'IA-RA"A 'E C$ER&* (I!RE

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    "*"E#T*S F(E*RES

    ESF$ERY*S 'E C*RTE

    EJERCICIOS :7 oladizo

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    b7

    Mue 1ngulo for)a con el e0e ?x@ , el 2ector A > i B = 0 .Mue re3resenta la resultante de un siste)a de fuerzasCon cuantos 3ar1)etros se define un 2ector axil

    Cuantos grados re3resenta DMue ex3resa el Teore)a de arignonMue estudia la est1ticaEJERCICI*: 'eter)inar los diagra)as de " , M , % # .

    / .5 - MODELIZACION DE LAS FUERZAS

    En todo el estudio de la estructuras est1ticas se )odelizo a las fuerzas % reacciones6cargas7, co)o concentradas en un 3unto 3e4ue9o sobre la estructura ,re3resentadas3or un 2ector. Esta es una )odelizaci/n razonable 3ara ciertas fuerzas ,3ero 3uederesultar 4ue esta si)3lificaci/n del 3roble)a sea )u% idealizada 3ara otro ti3o deacciones sobre las estructuras ,o 4ue se 3retenda )a%or exactitud.&or )as 3e4ue9o 4ue sea el 3unto de a3licaci/n de las fuerzas sie)3re habr1 una

    su3erficie sobre la 4ue se a3lica la fuerza ,en el caso de los 3roble)as es3aciales.Cuando se 4uiere estudiar 3or e0e)3lo el ala de un a2i/n ,la fuerza 4ue act8a sobre la)is)a es la fuerza aerodin1)ica sustentadora 4ue consiste en un con0unto de3e4ue9as fuerzas 4ue se encuentran a3licadas sobre toda la su3erficie % se 3uedere3resentar co)o 354uenos 2ectores dirigidos hacia arriba.

    1!! *b=

    1!! *b 2!! *b

    5 &n

    7 &n

    2 &n &n

    7 &n

    6 &n

    5 &n

    6 &n

    6 &n

    6!! *b

    35!! *b=&n2!!! *b=&n

    7!7 *b=&n

    1!!! *b=&n

    16!! *b=&n2!! *b

    6!

    2!! m=

    1!! 12!

    1 m 1 m 1 m

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    En el dibu0o solo se )uestran algunas co)3onentes de la sustentaci/n sobre un ala

    ,cuando estudia)os el 3roble)a desde el 3unto de 2ista est1tico 3ode)os )odelizar alala co)o un cuer3o bidi)ensional ,en 4ue todas las fuerzas se encuentran ubicadassobre una lnea si lo obser2a)os desde la 3arte frontal. A esta )odelizaci/n de lasfuerzas se las lla)a F$ERYAS 'ISTRI!$I'AS.

    En el dibu0o 3ode)os 2er co)o se 3ueden distribuir las fuerzas de sustentaci/n enci)adel ala. Estas fuerzas describen una le% de 2ariaci/n 4ue de3ende del 1ngulo de ata4uedel ala ,2elocidad del aire ,for)a del 3erfil ,su3erficies hi3ersustentadoras ,etc.Se 3uede deter)inar la resultante de todas las fuerzas 3or4ue constitu%en un siste)ade fuerzas 3aralelas ,utilizando los )5todos 2isto en los 3ri)ero ca3tulos o si seconoce la le% de 2ariaci/n se 3uede calcular )ediante la a3licaci/n de Integrales de1reas ,%a 4ue el efecto total de estas fuerzas es la su)a de todas ellas.

    $na 2ez calculada su resultante se 3rocede a deter)inar las reacciones considerandola raz del ala co)o un e)3otra)iento al fusela0e ,con las )is)as ecuaciones dee4uilibrio estudiadas 3ara estructuras 3lanas.(uego se 3ueden construir los diagra)as de esfuerzos utilizando los )is)os3rocedi)ientos estudiados 4ue resultan )u% laboriosos ,o se 3ueden realizarconociendo algunas reglas si)3les % a3licando deri2adas.*tra )odelizaci/n 4ue se ado3to fue 4ue las fuerzas 3er)anecan in2ariables duranteel an1lisis est1tico ,es decir durante el transcurso del tie)3o el )odulo o la direcci/n osu 3unto de a3licaci/n eran constantes .El estudio desde este 3unto se realiza dentrodel 1rea de la aeroelasticidad.

    $na ulti)a aclaraci/n es 4ue las fuerzas distribuidas 3ueden ser 3roducidas 3ordi2ersos factores co)o la 3resion hidrost1tica , te)3eratura ,otros cuer3os ,r1fagas,

    sustentaci/n ,resistencia al a2ance , 3eso de los cuer3os , etc.

    NUCLEO TEMATICO 0 :

    Coordenadas del centro de fuerzas 3aralelas ,centro de gra2edad de s/lidos % figuras3lanas ,baricentro de una su3erficie % de una cha3a 3lana ."o)ento est1tico de unasu3erficie res3ecto de un e0e ."o)ento de inercia .Teore)a de Steiner ."o)ento deinercia 3olar .Radio de giro ."o)ento resistente.

    S:STENTACION S:STENTACION

    S:STENTACION

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    0 - CENTRO DE UN SISTEMA DE FUERZAS

    F*T*C*&IAS SCA$" RESISTE#CIA 'E "ATERIA(ESCa3itulo P

    RES*(ER'eter)inar el centro de gra2edad ,radio de giro % el )o)ento de inercia res3ecto a lose0es 4ue 3asan 3or el centro de gra2edad de los siguientes cuer3os :

    A% B%6 cm 4 cm 6 cm

    4cm

    6cm

    1! cm

    1 cm

    1 cm

    5 cm

    1 cm

    4 cm

    C% D%2 cm

    2 cm

    16 cm

    12 cm

    12 cm2! cm

    TABA8O 9:;A< NO 5

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    E7

    RECTA#-$(*

    TRIA#-$(*

    "

    b

    A($a b ? "

    C$nt(o d$ (a+$dad s&m$t(a

    X9

    Y9

    X

    Mom$nto d$ &n$(c&a ($s,$cto a ? IX b ?#"%33

    Mom$nto d$ &n$(c&a ($s,$cto a ?9 IX9 b ?#"%3

    12

    "

    b

    X9

    X

    A($a b ?" 2

    C$nt(o d$ (a+$dad X9 " Y9 b 3 2

    Y9

    Mom$nto d$ In$(c&a ($s,$cto a ? IX b ?#"%3

    12Mom$nto d$ &n$(c&a ($s,$cto a ?9 IX9 b ?#"%3

    36

    12 cm

    12 cm

    4 cm

    6 cm

    12 cm

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    CIRC$(*

    7 'eter)inar el )o)ento de inercia de la figura so)breada res3ecto al e0e - 4ue3asa 3or su centro de gra2edad.

    TABA8O 9:;A< NO 6

    X9

    Y9 A($a (2

    C$nt(o d$ (a+$dad s&m$t(a

    Mom$nto d$ &n$(c&a ($s,$cto a X9

    IX9 D4 64

    D d&m$t(o( (ad&o

    3 cm

    cm

    1 cm 6 cm 1cm

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    75/75

    Res3uesta >H> c)

    7

    cm

    2 cm

    4 cm

    D$t$(m&na( $* mom$nto d$ &n$(c&a d$ *a &(a ($s,$ctoa n $'$ "o(&onta* J$ ,as$ ,o( $* c$nt(o d$ (a+$dad=

    2 cm

    cm

    2 cm

    4 cm

    D$t$(m&na( $* mom$nto d$ &n$(c&a d$ *a &(a($s,$cto a n $'$ "o(&onta* J$ ,as$ ,o( $* c$nt(od$ (a+$dad=

    2 cm

    3 cm