estratégias de aproximação para a otimização estrutural · sobester e keane, 2008). those...

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

CENTRO DE TECNOLOGIA E GEOCIÊNCIAS

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

ESTRATÉGIAS DE APROXIMAÇÃO PARA A OTIMIZAÇÃO

ESTRUTURAL

Marcelo Ferreira da Silva

Dissertação submetida ao Corpo Docente do Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Civil da Universidade Federal

de Pernambuco, como parte integrante dos requisitos

necessários à obtenção do Grau de Mestre em Ciências em

Engenharia Civil.

Orientadora: Profª. Silvana Maria Bastos Afonso da Silva

Coorientador: Profº. Bernardo Horowitz

Recife, Pernambuco – Brasil

Novembro de 2009.

S586e Silva, Marcelo Ferreira da.

Estratégias de aproximação para a otimização estrutural / Marcelo Ferreira da Silva. - Recife: O Autor, 2009.

xvi, 98 f., il : grafs., tabs., figs. Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco.

CTG. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, 2009. Inclui bibliografia. 1. Engenharia Civil. 2. Modelos substitutos (metamodelos) 2.

Aproximação. 3. Otimização. 4. Treliças. I. Título. UFPE 624 CDD (22. ed.) BCTG/2010-017

ESTRATÉGIAS DE APROXIMAÇÃO PARA A OTIMIZAÇÃO

ESTRUTURAL

Marcelo Ferreira da Silva

DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO PROGRAMA DE

PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVERSIDADE

FEDERAL DE PERNAMBUCO, COMO PARTE INTEGRANTE DOS

REQUISITOS NECESSÁRIOS À OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM

CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Banca Examinadora:

Recife, Pernambuco – Brasil

Novembro de 2009.

i

Agradecimentos

Agradeço a Deus por ter me dado saúde e inspiração para que pudesse realizar este

trabalho;

Ao meu pai, Marcelo José da Silva (in Memoriam), minha mãe, Cleise Ferreira

Gomes, e meus irmãos, Michelle Ferreira Wright e Sandro Ferreira da Silva, pelo apoio e

incentivo dedicado a mim;

À professora Silvana Maria Bastos Afonso da Silva pela excelência na orientação,

paciência e grande atenção dedicada a mim;

Ao professor, Bernardo Horrowitz pela soberba coorientação e valiosas ideias de

fundamental importância para o desenvolvimento deste trabalho;

Aos professores da banca, Paulo Roberto Maciel Lyra e Ramiro Brito Willmersdorf,

por seus valiosos comentários durante a avaliação dessa dissertação;

Aos professores, Paulo Régis e Ézio da Rocha pelo apoio e conhecimentos passados

ao longo de minha carreira acadêmica;

Aos amigos de convívio do laboratório de estruturas da UFPE, Juliana, Renato,

Sérgio, Leonardo, Denillo, Pedro, Flávia, entre outros;

À CAPES (Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior), pelo

auxílio financeiro;

A todos que, direta ou indiretamente, tornaram este trabalho possível.

ii

Resumo

A otimização de treliças é um assunto bastante estudado na literatura, principalmente

quando se deseja verificar a implementação de um método de programação matemática ou

avaliar uma técnica recentemente desenvolvida. A escolha de treliças deve-se ao fato da

facilidade de implementação computacional, aliada ao uso prático das mesmas, ou seja, as

treliças são capazes de vencer grandes vãos com um peso estrutural relativamente baixo.

Geralmente os problemas de engenharia prática requerem um extensivo

processamento computacional para realizar uma simples análise estrutural. Além disso,

quando se deseja otimizar uma estrutura, a obtenção do projeto ótimo pode se tornar inviável

uma vez que o procedimento de otimização requer sucessivas avaliações das funções e suas

derivadas.

Entretanto são apontados na literatura inúmeras alternativas para superar tais

dificuldades. Uma delas refere-se à criação de modelos substitutos, metamodelos, que são

construídos a partir da simplificação da função real complexa (KEULEN e HAFTKA, 2004);

(FORRESTER, SOBESTER e KEANE, 2008). As aproximações podem ser agrupadas em

dois tipos, local e global (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993) e podem assumir a forma

funcional ou física.

As aproximações locais são geralmente utilizadas juntamente à estratégia de

otimização aproximada sequencial (Sequential Approximate Optimization (SAO)) (GIUNTA

e ELDRED, 2000), uma vez que as mesmas são válidas apenas na vizinhança na qual é

concebida. Nesta estratégia a solução é obtida através da solução sequencial de subproblemas

restritos a sub-regiões de confiança adaptativamente ajustadas em função do desempenho

preditivo do modelo substituto. As aproximações na forma funcional baseadas na série de

Taylor de primeira ordem e baseadas no ajustamento de pontos através da obtenção de uma

superfície de resposta serão avaliadas neste trabalho.

Outra opção seria a utilização das aproximações globais que buscam aproximar o

comportamento global da função. No presente trabalho a aproximação global baseada no

ajustamento de pontos através do modelo de krigagem associada a dois tipos de planos de

amostragem (Design of Experiments (DOE)) (SIMPSON, LIN e CHEN, 2001) será

considerada. O mesmo é apontado na literatura como uma boa escolha quando se considera

iii

problemas de engenharia (GIUNTA e WATSON, 1998). Além dessa, uma aproximação

global baseada na física do problema será aqui proposta.

A combinação da estratégia global e local, denominada de uma estratégia híbrida, será

também considerada. O modelo de grelha (abordagem física) será corrigido por um termo

aditivo ou multiplicativo obtido através da determinação da diferença entre o modelo real

(treliça) e aproximado (grelha) (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004). Tal termo de correção

será expresso tanto em função de uma série de Taylor quanto a partir de um modelo de

krigagem, onde em ambas à estratégia SAO será adotada.

Portanto este trabalho utilizará as estratégias de aproximação acima descritas para

obter o projeto ótimo de treliças. Espera-se assim reduzir o tempo de processamento

computacional durante o processo de otimização estrutural, uma vez que os metamodelos

simplificam tais problemas. Sendo assim, duas classes de treliças serão estudadas. A primeira

consiste de treliças bidimensionais onde quatro exemplos clássicos da literatura (KIRSCH,

1981) com diversos níveis de complexidades serão estudados. A segunda trata-se de uma

treliça espacial que representa uma coberta treliçada real onde buscamos demonstrar a

viabilidade da aplicação de tais técnicas para problemas reais da engenharia.

A análise e a otimização de tais problemas será conduzida a partir do código

computacional inicialmente implementado no ambiente MATLAB (MATHWORKS, 2009)

por Afonso e Horowitz (1998). O código incorpora o algoritmo de Otimização das Dimensões

Estruturais (Structural Sizing Optimization (SSO)) o qual é subdividido em três principais

módulos, ou seja, o módulo da análise estrutural, o módulo da análise de sensibilidade e o

módulo de otimização estrutural. O mesmo será tomado como base para as implementações

das diversas estratégias de aproximação.

A dissertação finaliza com a comparação dos resultados obtidos através das técnicas

de aproximação com os resultados obtidos via o método convencional de alta fidelidade.

Palavra chave: Modelos substitutos (metamodelos). Aproximação. Otimização. Treliças.

iv

Abstract

Optimization of trusses is a well-known subject in the literature, especially when the

goal is to verify an implementation of a mathematical programming method or to evaluate a

technique recently developed. Trusses are usually chosen due to their simple computational

implementation combined with the practical usage of them, i.e., trusses are capable of

reaching longer spans thus keeping their structural weight relatively low.

In general, practical engineering problems usually require large computational

processing for a single structural analysis. Additionally, when the main objective is to

optimize the structure, the process of obtaining an optimal design may become impossible

since the optimization process requires repeated functions evaluations and their derivatives.

Nevertheless, various alternatives to overcome such difficulties appear in the

literature. One of each is the creation of a surrogate model - metamodels - that are built based

on a simplification of real/complex functions (KEULEN e HAFTKA, 2004); (FORRESTER,

SOBESTER e KEANE, 2008). Those approaches can be grouped into two types: local and

global (BARTHELEMY e HAFTKA, 1993) and may also take the functional and physical

forms.

Local approximations are usually used in combination with a SAO (Sequential

Approximate Optimization) strategy (GIUNTA e ELDRED, 2000), since those types are only

valid in the vicinity in which they are built it. In this approach the solution is obtained by

solving a sequence of sub-problems restricted to a sub-region (trust region) which are

adaptively adjusted based on the predictive performance of the surrogate model. Functional

form approximations based on first-order Taylor series and response surfaces obtained

through a data fitting technique will be evaluated in this work.

Another option would be to use global approach which seeks to approximate the

overall behavior of a function. In this study, the global approximation based on data fitting

technique obtained by kriging interpolation model combined with two types of DOE (Design

of Experiments) (SIMPSON, LIN e CHEN, 2001) are considered. Those are appointed in the

literature as a good choice when engineering problems are addressed (GIUNTA e WATSON,

1998). Besides this, another global approach is proposed which is based on the physics of the

problem considered.

v

A combination of global e local strategies, named here as a hybrid strategy, will also

be considered. In this one, the grillage model (physical approach) will be corrected by an

additive or multiplicative term determined by the difference between actual (truss) and

approximated (grid) models (ELDRED, GIUNTA e COLLIS, 2004). This correction term is

expressed either as a function of a Taylor series or as a kriging model, where for both the

SAO strategy is again assumed.

Therefore, this work will use the approximation strategies described above to obtain

an optimal design of trussed structures. In addition, reduction of the computational time

required during the structural optimization procedure is expected, since metamodels simplifies

the real problem. Thus, two classes of examples will be studied. The first consists of two-

dimensional trusses where four benchmarks examples reported in literature (KIRSCH, 1981)

with various levels of complexity are studied. The second will consider a special truss that

represents a real trussed roof problem in order to demonstrate the viability and applicability of

those techniques to any real engineering problem.

The analysis and optimization of those problems will be conducted with the

computational code OPTRUSS which was first implemented in MATLAB (MATHWORKS,

2009) by Afonso and Horowitz (1998). The code incorporates the SSO (Sizing Structural

Optimization) algorithm, which can be subdivided into three main modules, i.e., the structural

analysis module, the sensitivity analysis module, and the structural optimization module. The

code will be taken as the basis for all implementations which considers various approximated

strategies.

This thesis concludes with a comparison of results obtained by approximation

techniques with the results based on conventional approach of high-fidelity.

Key-word: Surrogate models (metamodels). Approximation. Optimization. Trusses.

vi

Lista de Figuras

Figura 1.1: Exemplo de estruturas treliçadas. ............................................................................ 1

Figura 2.1: Definição do pórtico bidimensional para o problema de otimização..................... 11

Figura 2.2: Otimização estrutural representada graficamente. ................................................. 13

Figura 2.3: Discretização do elemento da treliça tridimensional. ............................................ 21

Figura 2.4: Discretização do elemento da grelha. .................................................................... 22

Figura 3.1: Exemplo de diferentes tipos de aproximações. ...................................................... 32

Figura 3.2: Exemplo de três diferentes amostras. ..................................................................... 34

Figura 3.3: Exemplo de amostras LHS e não LHS. ................................................................. 35

Figura 3.4: Modelo da coberta treliçada. .................................................................................. 43

Figura 3.5: Modelo de grelha equivalente. ............................................................................... 44

Figura 4.1: Coberta treliçada do Centro de Convenções de Brasília (Brasília, DF)................. 60

Figura 4.2: Exemplos clássicos de treliças bidimensionais. ..................................................... 62

Figura 4.3: Histórico das iterações considerando a estratégia SAO. ........................................ 70

Figura 4.4: Modelo da coberta treliçada. .................................................................................. 71

Figura 4.5: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de treliça

espacial. ............................................................................................................ 72

Figura 4.6: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da treliça espacial. ................... 73

Figura 4.7: Modelo equivalente de grelha. ............................................................................... 74

Figura 4.8: Agrupamento das variáveis de projeto para o modelo de grelha. .......................... 75

Figura 4.9: Representação gráfica da flexibilidade estrutural da grelha. ................................. 76

Figura 4.10: Diferença da flexibilidade entre o modelo de treliça e o modelo de

grelha. ............................................................................................................... 76

Figura 4.11: Superfície de resposta da flexibilidade estrutural via krigagem. ......................... 79

Figura 4.12: Curvas de níveis da flexibilidade estrutural via krigagem. .................................. 80

Figura 4.13: Flexibilidade estrutural via krigagem considerando amostra LHS+. ................... 81

Figura 4.14: Flexibilidade estrutural via MMQ considerando amostra LHS+. ........................ 81

Figura 4.15: Diferença da flexibilidade considerando a correção aditiva. ............................... 84

Figura 4.16: Diferença da flexibilidade considerando a correção multiplicativa. .................... 84

Figura 4.17: Histórico da evolução da região de confiança para a estratégias

SAO_T .............................................................................................................. 88

Figura 4.18: Gráfico da flexibilidade versus as variáveis de projeto a volume

constante. .......................................................................................................... 88

Figura 4.19: Histórico da evolução da região de confiança. .................................................... 89

Figura 4.20: Histórico das iterações de três distintas estratégias SAO. ................................... 89

vii

Lista de Tabelas

Tabela 1.1: Resumo da metodologia adotada. ............................................................................ 5

Tabela 2.1: Parâmetros para a formulação do problema de otimização estrutural. .................. 15

Tabela 2.2: Aspectos computacionais do algoritmo SSO......................................................... 17

Tabela 2.3: Procedimento simplificado do MEF. ..................................................................... 20

Tabela 2.4: Etapas do algoritmo SQP. ...................................................................................... 30

Tabela 3.1: Funções de correlação disponíveis. ....................................................................... 46

Tabela 3.2: Etapas para determinação do PRESS. ................................................................... 50

Tabela 3.3: Aspectos computacionais da estratégia SAO. ....................................................... 55

Tabela 4.1: Estratégias de aproximação consideradas no processo de otimização. ................. 61

Tabela 4.2: Resultados da flexibilidade e do volume com relação ao projeto inicial. ............. 63

Tabela 4.3: Resultado da flexibilidade via MEF e aproximações por série de

Taylor. .............................................................................................................. 63

Tabela 4.4: Resultados dos gradientes da flexibilidade via MEF e aproximações

por série de Taylor ............................................................................................ 64

Tabela 4.5: Comparação da flexibilidade ótima para a treliça com 10 barras com

RC = 10%. ........................................................................................................ 65


RC = 10%. ........................................................................................................ 66


RC = 10%. ........................................................................................................ 66


RC = 10%. ........................................................................................................ 66

Tabela 4.9: Resultados da flexibilidade ótima via MEF. ......................................................... 67

Tabela 4.10: Resultados da flexibilidade ótima via SAO_T para a treliça com 10

barras. ............................................................................................................... 67


barras. ............................................................................................................... 68


barras. ............................................................................................................... 68


barras. ............................................................................................................... 68

Tabela 4.14: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF ............................................ 73

Tabela 4.15: Resultados da análise estrutural da grelha via MEF. ........................................... 75

Tabela 4.16: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto. ................................... 77

Tabela 4.17: Medida quantitativa dos modelos de krigagem. .................................................. 78

Tabela 4.18: Comparação das técnicas de ajustamento de pontos. .......................................... 82

Tabela 4.19: Comparação da flexibilidade no ponto inicial de projeto. ................................... 82

Tabela 4.20: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção aditiva. ........................ 83

Tabela 4.21: Medida quantitativa do modelo de grelha com correção multiplicativa ............. 83

viii

Tabela 4.22: Estratégias adotadas para comparação no processo de otimização. .................... 85

Tabela 4.23: Resultados da análise estrutural da treliça via MEF. ........................................... 86

Tabela 4.24: Resultados da otimização estrutural .................................................................... 86

ix

Lista de Abreviaturas e Siglas

Abreviações

BFGS Método Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno

DACE Design and analysis of computer experiments

DOE Design of experiments

DSM Direct Stiffness Method

FMINCON Rotina de otimização do software MATLAB

LCVT Latin centroidal voronoi tessellation

LHS Latin hypercube sampling

MATLAB Matrix laboratory software

MEF Método dos elementos finitos

MDF Método das diferenças finitas

MD Método direto

MDA Método direto analítico

MDSA Método direto semianalítico

MMA Method of moving asymptotes

MMQ Método dos mínimos quadrados

MSE Mean square error

MVA Método das variáveis adjuntas

OA Orthogonal array

PRESS Predicted residual sum of squares

QMC Quasi Monte Carlo

RC Região de confiança

RMSE Root mean squared error

SAO Sequential approximate optimization

SLP Sequential linear programming

SQP Sequential quadratic programming

SRS Simple random sampling

SSO Structural sizing optimization

TR Trust region

x

Lista de Símbolos

Romanos

Escalares:

,x ya a Espaçamento entre as barras da treliça na direção X e Y, respectivamente

,x yb b Espaçamento entre as barras da grelha na direção X e Y, respectivamente

, ,x y zc c c Cosseno do , e , respectivamente

d

Distância entre o banzo superior e inferior da coberta treliçada

e Contador do número de elementos

f̂ x

Função aproximada

f x Função objetivo

f x Função objetivo normalizada

,i j Índices das coordenadas dos vetores

k Índices das coordenadas dos vetores; Contador de iterações

,x yl l Comprimento da estrutura na direção X e Y, respectivamente

,x λL Função Lagrangiana

m Tamanho da amostra

n Número das variáveis de projeto

nbar Número total de barras

ngl Número total de grau de liberdade

np Número de pontos da amostra

,p q Máximo número de índices das coordenadas dos vetores

t Contador de iterações

tol Tolerância da estratégia SAO

u Deslocamento

w Carregamento externo por unidade de área

A Área da seção transversal da barra

C Flexibilidade estrutural

E Módulo de elasticidade

xi

,x yD D Rigidez à flexão na direção X e Y, respectivamente

G Módulo de elasticidade cisalhante

I Momento de inércia

J Constante de torção

L Comprimento dos elementos estruturais

P Carga concentrada externa aplicada

V Volume estrutural

W

Carregamento externo por unidade de área

Z x Desvio localizado no modelo global

Vetores:

d Direção de busca

f Forças nodais globais

*f Pseudo-forças

g x Função restrição de desigualdade

g x Função restrição de desigualdade normalizada

h x Função restrição de igualdade

u Deslocamento

,x x

Variáveis de projeto; estimativa das novas variáveis de projeto

*

0 ,x x Variáveis de projeto no ponto inicial e ótimo de projeto, respectivamente

cx Variáveis de projeto no ponto central da região de confiança

,L Ux x Limites inferiores e superiores das variáveis de projeto, respectivamente

F Flexibilidade dos elementos

I Identidade

N Esforços normais

N x Polinômio de regressão

P Carregamento externo concentrado

f Derivada da função objetivo com relação às variáveis de projeto

xii

Matrizes

ek Rigidez do elemento

K

Rigidez global da estrutural

N

Modelo de regressão

H Hessiana

R

Correlação e Rotação

S

Amostra

Gregos

Escalares:

Tamanho do passo da direção de busca

Diferença ou razão entre o modelo real e aproximado

2 Covariância

Termo de aceitação

Parâmetro de correlação; Ângulo entre a barra e o eixo X

, Ângulo entre a barra e o eixo Y e Z respectivamente

Distância entre os pontos da amostra; Tamanho da região de confiança

Vetores:

β Coeficientes de regressão incógnitos

ξ Variáveis adjuntas

λ Multiplicadores de Lagrange

a Tensão admissível

x Perturbação da variável de projeto

xiii

Matemáticos

Símbolos:

Operador Nabla

Pertencente

Derivada parcial

∑ Somatório

∏ Produtório

Conjunto ou espaço dos números reais

, , Igual; diferente; aproximadamente igual

, , Maior que; maior ou igual à; muito maior que

, Menor que; menor ou igual à

∫ Integral

xiv

Sumário

Capítulo 1 - Introdução 1

1.1 Considerações Gerais .......................................................................... 1

1.2 Motivação ............................................................................................. 3

1.3 Objetivos ............................................................................................... 3

1.4 Metodologia .......................................................................................... 4

1.5 Organização da Dissertação ............................................................... 5

Capítulo 2 - Otimização 7

2.1 Introdução ............................................................................................ 7

2.2 Elementos que Constituem um Problema de Otimização ............... 8

2.2.1 Variáveis de Projeto ......................................................................................... 8

2.2.2 Função Objetivo ................................................................................................ 8

2.2.3 Funções Restrições ............................................................................................ 9

2.3 Formulação Padrão do Problema de Otimização........................... 10

2.3.1 Normalização do Problema de Otimização .................................................. 13

2.3.2 Formulação do Problema Estrutural em Estudo ........................................ 14

2.4 Algoritmo SSO ................................................................................... 16

2.4.1 Aspectos Computacionais .............................................................................. 16

2.4.2 Análise de Estrutural ..................................................................................... 18

2.4.2.1 Formulação Estática para Treliças ................................................................ 21

2.4.2.2 Formulação Estática para Grelhas ................................................................ 22

2.4.3 Análise de Sensibilidade ................................................................................. 24

2.4.3.1 Método das Diferenças Finitas ..................................................................... 24

2.4.3.2 Método Direto .............................................................................................. 25

2.4.3.3 Método das Variáveis Adjuntas.................................................................... 26

2.4.4 Programação Matemática .............................................................................. 26

2.4.4.1 Programação Quadrática Sequencial ............................................................ 29

Capítulo 3 - Aproximações 31

3.1 Introdução .......................................................................................... 31

3.2 Classificação Geral das Aproximações ............................................ 31

3.3 Plano de Amostragem ........................................................................ 33

xv

3.3.1 Amostra do Tipo Vetor Ortogonal ................................................................ 34

3.3.2 Amostra do Tipo Hipercubo Latino ............................................................. 34

3.4 Aproximações Locais ......................................................................... 35

3.4.1 Forma Funcional ............................................................................................ 36

3.4.1.1 Séries de Taylor ............................................................................................ 36

3.4.1.1.1 Linear ...................................................................................................... 37

3.4.1.1.2 Recíproca ................................................................................................ 37

3.4.1.1.3 Posinomial ............................................................................................... 38

3.4.1.2 Método da Superfície de Resposta ............................................................... 39

3.4.1.2.1 Coeficientes da Regressão ...................................................................... 40

3.5 Aproximações Globais ....................................................................... 41

3.5.1 Forma Física .................................................................................................... 41

3.5.1.1 Modelo de Grelha ......................................................................................... 41

3.5.2 Forma Funcional ............................................................................................ 44

3.5.2.1 Modelo de Krigagem .................................................................................... 44

3.6 Métodos de Avaliação da Precisão ................................................... 48

3.6.1 RMSE ............................................................................................................... 49

3.6.2 PRESS .............................................................................................................. 49

3.7 Tipos de Correções ............................................................................ 50

3.7.1 Correção Baseada no Modelo de Krigagem ................................................. 51

3.7.2 Correção Baseada na Série de Taylor .......................................................... 51

3.7.2.1 Determinação Numérica da Matriz Hessiana ............................................... 52

3.8 Estratégia SAO ................................................................................... 53

3.8.1 Formulação Matemática ................................................................................ 53

3.8.2 Aspectos Computacionais .............................................................................. 54

3.8.3 Critérios de Convergência ............................................................................. 55

3.8.4 Imposição da Consistência ............................................................................. 57

3.9 Esquema da Região de Confiança .................................................... 57

Capítulo 4 - Exemplos 60

4.1 Introdução .......................................................................................... 60

4.2 Definição dos Problemas Clássicos de Treliças 2D ......................... 61

4.2.1 Estudos da Precisão das Aproximações por Série de Taylor...................... 63

4.2.2 Estudos da Otimização das Aproximações por Série de Taylor ................ 65

4.3 Definição do Problema da Coberta Treliçada ................................ 71

4.3.1 Estudo da Precisão dos Metamodelos ........................................................... 73

4.3.1.1 Modelo de Grelha Equivalente ..................................................................... 73

4.3.1.2 Modelo Global de Krigagem ........................................................................ 76

xvi

4.3.1.3 Modelo de Grelha com Correção ................................................................. 82

4.3.2 Estudo da Otimização dos Metamodelos ...................................................... 85

Capítulo 5 - Conclusões 90

5.1 Realizações .......................................................................................... 90

5.2 Conclusões Gerais .............................................................................. 91

5.3 Sugestões para Trabalhos Futuros ................................................... 92

Bibliografia 94

Capítulo 1 - Introdução

1.1 Considerações Gerais

As estruturas treliçadas são relativamente leves e oferecem uma grande vantagem com

relação às outras estruturas, pois são capazes de suportar altíssimos carregamentos e vencer

longos vãos, isto é, a sua relação peso/vão livre ou peso/carregamento são baixas. Outra

vantagem refere-se à simplicidade de seu dimensionamento, pois seus elementos são apenas

submetidos a esforços normais (tração e compressão) e geralmente os esforços secundários,

tais como esforços cortantes, momentos fletores e torçores, são desprezados.

Devido a essas e outras vantagens, as treliças espaciais têm sido e continuam sendo

empregadas por vários séculos nas mais diversas áreas da engenharia civil e podem ser

facilmente encontradas em terminais de aeroportos, galpões industriais, centro de convenções,

gruas, pontes, estádios de futebol, torres de transmissão, etc.. A Figura 1.1 mostra alguns

exemplos reais da aplicação das treliças.

(a) Aeroporto Int. dos Guararapes (Recife, PE) (b) Ponte sobre Rio Tocantins (Estreito, MA)

(c) Torre de Transmissão de Energia (d) Centro de Convenções de Brasília (Brasília, DF)

Figura 1.1: Exemplo de estruturas treliçadas.

Devido ao grande número de graus de liberdades, a análise rigorosa de tais estruturas

no passado tornou-se um desafio. Como consequência, a utilização de técnicas de análise

aproximada foi uma das alternativas para prever o comportamento de tais estruturas. Esta

estratégia consiste na simplificação da treliça espacial adotando uma estrutura análoga mais

simples. As estruturas mais comuns adotadas seria a de vigas e lajes, pois o comportamento

de tais estruturas pode ser obtido através da solução analítica exata para os casos de

carregamentos e condições de contorno simples.

Mais atualmente, com o crescente poder dos computadores e o desenvolvimento de

novos algoritmos, a análise completa de treliças espaciais tem se tornado mais fácil e barata

computacionalmente. Apesar disso, as análises aproximadas ainda são muitíssimo utilizadas

em engenharia durante a etapa de projeto preliminar por causa de sua rapidez, fácil aplicação

e resultados razoavelmente precisos.

Além disso, a otimização de muitos problemas comuns de engenharia podem envolver

um estágio de simulação computacional caro. Em alguns casos, o custo da simulação pode

tornar-se tão elevado que inviabilizaria a obtenção do projeto ótimo. A construção de modelos

aproximados (metamodelos) (KEULEN e HAFTKA, 2004); (FORRESTER, SOBESTER e

KEANE, 2008) é apontada na literatura com uma das alternativas para superar esse

inconveniente. Tais técnicas podem ser divididas em duas categorias, a física e a funcional. A

primeira, a analogia física, envolve a procura de uma estrutura simples para ser analisada,

sendo essencial um bom entendimento físico do problema, na segunda, o modelo funcional,

considera expressões matemáticas de diferentes ordens as quais são usadas para aproximar a

resposta estrutural.

Neste trabalho, ambas as técnicas de aproximação serão usadas para obter o projeto

ótimo de treliças bi e tridimensionais. A flexibilidade estrutural é a função objetivo. As

variáveis de projeto são as seções transversais das barras que são agrupadas em diferentes

regiões. O volume total inicial da estrutura será mantido constante. A escolha de tais

parâmetros é explica com mais detalhes na Seção 2.3.2. Duas diferentes estratégias serão

adotadas como foco de reduzir o tempo computacional. Em todos os casos, a precisão com

relação ao modelo real será aferida.

Na primeira estratégia, ambos os modelos físico e a funcional são usados juntos, dessa

forma a aproximação da função objetivo é escrita como uma combinação das duas técnicas de

aproximação. A analogia de grelha (RENTON, 1966) é usada para substituir a treliça e uma

função polinomial é usada para aproximar a diferença entre o modelo real (treliça) e o

aproximado (grelha).

Na segunda estratégia, o modelo funcional será usado sozinho ou como uma parcela

de correção do modelo físico. A metodologia de Otimização Sequencial Aproximada

(Sequential Approximate Optimization (SAO)) (GIUNTA e ELDRED, 2000); (JACOBS,

ETRNAN, et al., 2002) é usada. A mesma decompõe o problema original em vários

subproblemas de otimização, onde cada subproblema é confinado a uma pequena região do

espaço de projeto. O esquema iterativo de atualização da região de confiança proposto em

(ALEXANDROV, DENNIS, et al., 1997) foi adotado para obtenção do novo espaço de

projeto em cada iteração.

Ambas as estratégias foram implementadas no ambiente SSO (Structural Sizing

Optimization), desenvolvido anteriormente pelo grupo de pesquisa, o qual integra a

modelagem geométrica, análise de elementos finitos, análise de sensibilidade e otimizadores.

O algoritmo de otimização escolhido é o de Programação Quadrática Sucessiva (Sequential

Quadratic Programming (SQP)) (POWELL, 1978). Um novo módulo foi implementado pelo

autor, o qual considera as diversas estratégias de aproximações aqui propostas. Exemplos

clássicos de treliças serão considerados, de modo a verificar as estratégias de aproximação

usadas. Posteriormente o desempenho de tais estratégias será avaliado/comparado com o

método convencional (MEF), de maior custo computacional.

1.2 Motivação

Uma das grandes motivações para realização do presente trabalho é a possibilidade de

desenvolver e usar ferramentas voltadas para a otimização de problemas reais da engenharia,

normalmente complexos e de grande escala, através de dois principais aspectos: a

investigação e uso de algoritmos voltados para problemas de grandes escala; e a investigação

de procedimentos alternativos para a otimização que trabalhem com um problema aproximado

do real. Nesta dissertação será enfatizado o segundo aspecto acima mencionado.

1.3 Objetivos

O objetivo principal desta dissertação é utilizar diferentes métodos para reduzir o

tempo da otimização estrutural, porém, obviamente, mantendo certo nível de precisão. Para

isso, diversos métodos para a construção de modelos substitutos (metamodelos) foram

implementados e usados durante o procedimento de otimização. Com a implementação e

verificação de tais técnicas, problemas práticos da engenharia, geralmente complexos e de

grande escala, poderão ser otimizados com um custo computacional viável. Tais ferramentas

serão aqui aplicadas a problemas relativamente simples da engenharia estrutural. No entanto,

o conhecimento adquirido nesse trabalho de pesquisa servirá de base para ser aplicado a

problemas mais complexos no futuro.

1.4 Metodologia

A seguir descrevemos brevemente a metodologia utilizada para o estudo da análise

estrutural e otimização da treliça espacial.

A otimização estrutural usando o método dos elementos finitos (MEF) requer o uso

sequencial da análise estrutural e de sensibilidades combinados com um otimizador. Foram

aqui desenvolvidos dois sistemas integrados para solução de problema de treliças e problemas

de grelhas em regime estático. A linguagem de programação MATLAB foi escolhida para o

desenvolvimento de ambos os sistemas, devido à simplicidade e grande capacidade numérica

proveniente da vasta biblioteca matemática acoplada ao mesmo.

O código computacional OPTRUSS_3D foi utilizado para analisar e otimizar as

estruturas treliçadas, sendo o mesmo previamente desenvolvido pelo grupo de pesquisa da

orientadora deste trabalho. O código computacional OPTGRID que realiza a análise e

otimização de grelha planas, foi implementado a partir do código OPTFRAME que considera

a análise e otimização de pórticos planos. Os códigos contêm três principais módulos que

seguem um procedimento convencional para otimização. O primeiro módulo utiliza o MEF

em regime linear elástico para conduzir a análise estrutural estática. O segundo módulo

conduz o cálculo das sensibilidades, a partir da escolha de quatro métodos (o procedimento

direto analítico e semianalítico, método das variáveis adjuntas e o método das diferenças

finitas) (VAN KEULEN, HAFTKA e KIM, 2005). O terceiro, e último, módulo contêm uma

interface para acessar a função FMINCON do MATLAB. Esta por sua vez, contém o

algoritmo de programação quadrática sequencial (SQP) necessária para conduzir a otimização

estrutural propriamente dita.

A Tabela 1.1 resume as principais atividades executadas para o desenvolvimento dessa

pesquisa.

Tabela 1.1: Resumo da metodologia adotada.

Estágio Descrição

OPT 1. Uso do programa OPTRUSS_3D para análise de treliças espaciais;

OPT 2. Análise de um exemplo clássico apresentado na literatura consultada,

considerando o programa supracitado;

OPT 3. Implementação da rotina OPTGRID para análise de grelha;

OPT 4. Comparação dos resultados obtidos através da rotina implementada com os

resultados obtidos utilizando o software comercial (SAP2000), com o objetivo de

verificar o código implementado;

OPT 5. Implementação de rotinas de cálculo para a utilização do Método de Otimização

com Aproximação Sequencial (SAO) utilizando o esquema da Região de

Confiança (RC) para atualizar o novo espaço de projeto;

OPT 6. Implementação de rotinas de cálculo para a criação de um modelo substituto

baseado no ajuste de pontos via o modelo de krigagem, onde o mesmo é criado

em função de diferentes planos de amostragem (DOE). Utilizar modelos baseado

nesta técnica tanto para a correção do modelo físico (grelha) como também em

substituição do modelo da treliça espacial (alta fidelidade) no procedimento de

otimização;

OPT 7. Análise dos resultados de otimização obtidos através das sete diferentes

estratégias utilizadas: 1. Método convencional (MEF); 2. SAO com funções

polinomiais; 3. SAO com superfície de resposta; 4. Modelo global de krigagem;

5. Modelo físico aproximado (grelha); 6. Modelo físico aproximado (grelha)

com correção por série de Taylor e 7. Modelo físico aproximado (grelha) com

correção por krigagem.

1.5 Organização da Dissertação

Esta dissertação consiste de cinco capítulos organizados de maneira a facilitar o

entendimento dos estudos realizados. Uma breve descrição do conteúdo de cada capítulo é

dada a seguir.

Até o presente momento foram discutidas as considerações gerais relativas às treliças

juntamente com a motivação, objetivos e a metodologia necessária para a realização deste

trabalho.

O capítulo dois apresentará, em mais detalhes, a definição sobre o procedimento de

otimização. Os elementos que constituem um problema de otimização juntamente com a

formulação padrão de um problema de otimização serão descritos. Uma breve discussão sobre

o algoritmo de otimização SQP (Sequential Quadratic Programming) será apresentada. Uma

atenção especial será dada aos aspectos computacionais do algoritmo SSO (Structural Sizing

Optimization), uma vez que o mesmo servirá de base para as implementações realizadas neste

trabalho.

No capítulo três é dada atenção às metodologias para a construção de modelos

substitutos. Uma visão geral dos tipos de aproximações existentes e as vantagens de suas

aplicações são também apresentadas. A definição de aproximação local e global é introduzida,

onde para cada uma delas, dois métodos de aproximações são discutidos em detalhes. O

conceito de plano de amostragem (Design of Experiments (DOE)) necessário para a obtenção

das amostras juntamente com os métodos de avaliação (RMSE e PRESS) serão introduzidos.

Uma breve exposição dos tipos de correção dos metamodelos também é apresentada.

Posteriormente serão introduzidos os pontos chaves da estratégia SAO (Sequential

Approximate Optimization) juntamente com os aspectos computacionais para a

implementação do esquema da região de confiança, necessária para a atualização do espaço

de projeto de cada subproblema do SAO.

O capítulo quatro trata dos exemplos considerados. Os mesmos serão exemplos

clássicos da literatura e um exemplo real de treliça espacial, nos quais serão analisados e

otimizados com o intuito de avaliar e verificar as implementações e conceitos apresentados no

Capítulo 2 e 3. Comentários referentes aos resultados obtidos serão revelados e as devidas

explicações serão evidenciadas.

No capítulo cinco, último capítulo deste trabalho, será resumido às realizações feitas

nesta dissertação. As conclusões obtidas através dos diversos resultados serão também

descritas e discutidas. O capítulo, então, finaliza com sugestões para trabalhos futuros.

A bibliografia consultada é a apresentada no final desta dissertação.

Capítulo 2 - Otimização

2.1 Introdução

O ser humano, guiado e influenciado pelas limitações naturais, desempenha, quase que

instintivamente, todas as funções de um modo que economize energia ou minimize o

desconforto e a dor. A motivação é tirar proveito de recursos disponíveis, porém limitados, de

maneira a maximizar a produção ou lucro (HAFTKA e GÜRDAL, 1993).

Sendo assim de forma geral, a otimização pode então ser definida como o estudo de

um conjunto de técnicas que têm como objetivo a obtenção de um melhor resultado para uma

função e parâmetros (variáveis de projeto) pré-especificados dentro de um conjunto permitido

(espaço de projeto viável).

Nas engenharias, geralmente, um grande número de variáveis estão envolvidas. Cabe,

então, ao projetista encontrar uma combinação para estas variáveis que resultem num projeto

mais eficiente e econômico possível. No entanto, a determinação desta melhor configuração

dos parâmetros do projeto, muitas vezes depende da experiência do projetista, porém, nem

sempre é possível obtê-la intuitivamente, em função da ausência de uma base de

conhecimentos físicos que é, em geral, causada pela complexidade do problema a ser

resolvido.

Na engenharia estrutural, um bom projeto requer eficiência no tempo de execução e

nos vários custos envolvidos. Além disso, este deve atingir uma forma aceitável do ponto de

vista da execução e satisfazer as restrições de projeto impostas. Muitas vezes, para se chegar à

forma ideal, é necessário avaliar as várias possibilidades de combinação dos parâmetros do

projeto. Esse procedimento iterativo envolve vários processos até se encontrar a combinação

ótima. A otimização, por sua vez, é utilizada para auxiliar o projetista na determinação da

solução para esses problemas de acordo com os critérios e limitações estabelecidas.

Os elementos que constituem os problemas de otimização, suas diversas características

e classificações serão aqui inicialmente discutidos. Posteriormente, o algoritmo SSO,

inicialmente desenvolvido por Afonso e Horowitz (1998), será introduzido. O algoritmo

contém três principais módulos: O módulo de análise estrutural, o módulo de análise de

sensibilidade e o módulo de otimização estrutural. Tal código servirá de base para todas as

implementações realizadas nesse trabalho.

2.2 Elementos que Constituem um Problema de

Otimização

2.2.1 Variáveis de Projeto

A ideia de melhorar ou otimizar uma estrutura implica em alguma liberdade para

modificá-la e assim obter um melhor desempenho da mesma. O potencial de mudanças é

tipicamente expresso em termos das variações permitidas num grupo de parâmetros. Estes são

comumente chamados de variáveis de projeto e podem ser denotados por um vetor

T

1 2, , , ,nx x xx , onde n é o número total de variáveis de projeto de um dado problema.

Na engenharia estrutural, as variáveis de projeto podem ser as dimensões das seções

transversais, os parâmetros que controlam a geometria ou a forma da estrutura e ainda, as

propriedades dos materiais utilizados. O conjunto de variáveis que fornecem o valor ótimo do

projeto avaliado é chamado de ponto ótimo e também pode ser representado por um vetor

T* * * *

1 2, , , ,nx x x x (KIRSCH, 1993).

As variáveis podem assumir valores contínuos ou discretos. Na maioria dos problemas

de projetos estruturais, tende-se a negligenciar a natureza discreta das variáveis de projeto na

solução do problema de otimização. No caso da presença de variáveis discretas, uma

alternativa adotada é o ajuste do projeto ótimo obtido para o valor discreto mais próximo. Esta

abordagem é adotada porque resolver um problema de otimização com variáveis discretas é,

normalmente, muito mais complicado do que resolver o mesmo considerando as variáveis

contínuas. Entretanto, arredondamentos no projeto, para a solução inteira mais próxima,

funcionam bem quando os valores admissíveis para as variáveis são espaçados a uma

distância cujas mudanças no valor de uma variável para o inteiro mais próximo não

modificam substancialmente a resposta da estrutura. Além disso, a viabilidade em termos das

restrições deve ser assegurada. Alternativamente, outros algoritmos, como aqueles

pertencentes à classe evolucionária lidam diretamente com variáveis discretas (BÄCK, 1996).

2.2.2 Função Objetivo

A noção de otimização implica na existência de uma função de mérito que pode ser

melhorada e utilizada como uma medida da eficácia do projeto. A essa função é dada o nome

de função objetivo f x . Em problemas de otimização estrutural, por exemplo, o peso, os

deslocamentos, as tensões, as frequências de vibração, a carga de flambagem, e o custo, são

comumente utilizados como funções objetivo.

Elas podem ser função de uma variável (unidimensional) ou de várias variáveis

(multidimensional). Da mesma maneira, o problema de otimização pode ser formulado com

um ou vários objetivos, sendo o primeiro definido como problema de otimização uni-objetivo

ou escalar e o segundo como um problema de otimização multiobjetivo ou vetorial

(MACEDO, 2002); (COLLETE e SIARRY, 2003).

O melhor resultado da função objetivo avaliada em um ponto é chamado de solução

ótima e a mesma pode ser classificada como:

ótimo local – melhor solução encontrada em uma região específica do espaço de

projeto;

ótimo global – melhor solução encontrada em todo o espaço de projeto

investigado.

No entanto nem todas as técnicas de otimização garantem que a solução encontrada

será a ótima global. A grande maioria apenas converge para uma solução local próxima ao

ponto inicial (BEALE, 1988); (CASTRO, 2001).

2.2.3 Funções Restrições

Em muitos problemas dos mais variados campos da Engenharia, algumas condições

são impostas de modo a limitar a escolha do projetista. A essas condições dá-se o nome de

restrições que podem ser geométricas ou de comportamento (do ponto de vista físico), ou de

igualdade ou desigualdade (do ponto de vista matemático). As restrições geométricas, também

chamadas restrições de limite, são as limitações impostas diretamente às variáveis de projeto,

já as restrições de comportamento são aquelas que limitam indiretamente as variáveis de

projeto.

As restrições geométricas são determinadas através de valores que impõem limites

inferiores e/ou superiores e são funções de desigualdade por natureza L U x x x .

As restrições de comportamento são determinadas através de especificações de

funções que dependem das variáveis de projeto, impondo a limitação das mesmas a um

semiespaço, através de funções de desigualdade (geralmente concebidas na forma 0ig x ),

ou em uma superfície, através de funções de igualdade (geralmente concebidas na forma

0ih x ). As restrições podem ser funções de uma, de algumas, ou de todas as variáveis de

projeto.

O espaço de projeto é delimitado pelas restrições geométricas, e a viabilidade do

projeto é determinada pela intersecção entre o espaço delimitado pelas restrições geométricas

e as restrições de comportamento. Para um projeto na região viável, uma restrição pode estar

ativa ou não, porém, é prefere-se que no ponto de ótimo, todas ou quase todas as restrições

estejam ativas. Uma restrição de desigualdade é dita ativa para um ponto *

x se 0ig *x e

inativa para o mesmo ponto se 0ig *x (TORRES, 2001). Uma restrição de igualdade é

dita ativa para um ponto *

x se ( ) 0ih *

x . Para um projeto na região inviável, existem duas

possibilidades ao considerar um ponto x , ou seja, ( ) 0ig x ou ( ) 0ih x .

É importante frisar que o número de funções de restrições de igualdade deve ser

menor ou igual que o número de variáveis (NOCEDAL e WRIGHT, 2006). Caso isso não

ocorra, tem-se um sistema de equações superdeterminado, onde há uma formulação

inconsistente ou alguma restrição redundante (isto é, linearmente dependente de outra). No

caso das restrições de desigualdade, não há limitação imposta ao número de funções.

2.3 Formulação Padrão do Problema de Otimização

Os conceitos apresentados anteriormente para variáveis de projeto, função objetivo e

de restrições, podem ser sumarizado na formulação matemática de um problema típico de

otimização da seguinte maneira:

Minimize f x

(2.1) Sujeito à: 0jg x , 1j p

0kh x , 1k q

L Ui i ix x x , 1i n

onde x , f x , g x , h x , Lx e Ux representam, respectivamente, o vetor das variáveis de

projeto, a função objetivo, os vetores das restrições de desigualdade e igualdade e os limites

inferiores e superiores dos vetores das variáveis de projeto.

O problema definido pela Equação (2.1) é apresentado como uma minimização porque

a maioria dos algoritmos de otimização é formulada dessa maneira, uma vez que a

maximização pode ser obtida através da minimização da sua forma negativa. Da mesma

forma, se na formulação de alguma restrição de desigualdade for apresentada de forma

diferente, é possível chegar à mesma formulação apresentada pela Equação (2.1) através de

algumas operações matemáticas.

De modo a facilitar o entendimento dos conceitos de otimização apresentado até

agora, será apresentado na Figura 2.1, um exemplo prático de um problema de otimização

relativamente simples, no qual se pretende encontrar as dimensões dos pilares e viga que

minimize o volume da estrutura, porém não se deve ultrapassar a tensão admissível (tração

e/ou compressão) nos seis pontos chaves localizada na base dos pilares, topo dos pilares e

extremos da viga.

O pórtico bidimensional aqui considerado é construído a partir de dois pilares

conectados rigidamente a uma viga. Os pilares e a viga têm comprimento L e seção

transversal quadrada, onde a largura e altura são iguais a 1x para os pilares e 2x para a viga.

As bases do pilares são engastados e uma carga concentrada P é aplicada na metade do vão

da viga.

Figura 2.1: Definição do pórtico bidimensional para o problema de otimização.

A formulação do problema de otimização é definida segundo a Equação (2.2), onde a

função objetivo f é o peso da estrutura, as restrições 1 2 3, e g g g são respectivamente, as

tensões na base dos pilares, no topo dos pilares e nos extremos da viga e as variáveis de

projeto 1x e 2x são respectivamente, as dimensões do pilares e da viga.

topo do pilar

base do pilar

1800 kgfP

2130 kgf cma

550 cmL

0.5L

extremo da viga

0.5L

1x

1x

2x

2x

Pilar Viga

Tensão admissível

Minimizar 2 21 2 1 2, 2 ,f x x Lx Lx

(2.2)

Sujeito à:

4 4 4 3 4 4

1 1 2 2 1 1 2

1 1 2 3 4 4

1 1 2

3 6 6,

6

aP Lx x x Lx x x xg x x

x x x

,

4 3 4 4

2 1 1 1 2

2 1 2 3 4 4

1 1 2

3 3 6,

6

aPx L x x x xg x x

x x x

,

4 4 3 2 4 4

1 2 2 2 1 2

3 1 2 2 4 4

2 1 2

6 18 2 6,

2 6

aP x x Lx x x xg x x

x x x

,

1 25 , 60x x .

A Figura 2.2 mostra graficamente o resultado do problema de otimização definido

anteriormente, onde as linhas coloridas representam as curvas de níveis do volume da

estrutura para os valores 6 6 6 6 6 6 60.2 10 ,0.6 10 ,1.2 10 ,2.4 10 ,3.0 10 ,3.6 10 ,4.2 10 cm3.

As três linhas nas cores cinza claro, cinza médio e cinza escuro representam respectivamente

as funções de restrição 1 0g , 2 0g , e 3 0g . A região hachurada define a região viável

do projeto de otimização, na qual quaisquer pares 1x e 2x escolhidos dentro dessa região é

solução do problema. Os três pontos destacados no gráfico representam os pontos de ótimo

local onde duas das restrições, neste caso 1 3 e g g estão ativas, ou seja, 1 3 0g g e 2g está

inativa, ou seja, 2 0g . Deve-se ter em mente que nem sempre é possível obter um projeto

ótimo, onde todas as funções de restrições estejam ativas.

No entanto o ponto de mínimo global é definido pelo ponto 1 40x cm para a

dimensão dos pilares e 2 34.1x cm para a viga. O volume obtido a partir deste ponto é igual

a 62.4 10 cm3 e as tensões na base dos pilares, no topo dos pilares e nos extremos da viga

são respectivamente iguais a 2 2 2130 kgf cm ,80.29 kgf cm e 130 kgf cm .

Contudo, deve-se ter em mente que nem sempre é possível tal representação gráfica de

um problema de otimização, pois o mesmo geralmente é constituído por funções complexas e

não-lineares que nem sempre são possíveis de serem obtidas na sua forma analítica ou

simplesmente consideram quatro ou mais variáveis de projeto, ou seja, consideram mais de 3

dimensões sendo este caso impossível de ser ilustrado graficamente.

Figura 2.2: Otimização estrutural representada graficamente.

2.3.1 Normalização do Problema de Otimização

Em problemas de otimização, a discrepância entre a magnitude das variáveis de

projeto e/ou das funções objetivo e de restrições, pode levar a dificuldades numéricas na

solução dos mesmos. Este problema pode ser resolvido através da normalização destas

quantidades.

As variáveis de projeto devem ser normalizadas através da razão entre o valor atual e o

valor inicial, isto é:

0

ii

i

xx

x

(2.3)

onde ix e 0ix são, respectivamente, a variável i do ponto x (corrente) e a variável i do

ponto 0x (inicial).

Similarmente a magnitude da função objetivo pode ser normalizada como mostra a

Equação (2.4).

0f

ff

x

xx

(2.4)

g3 (x1, x2) = 0

g1(x1, x2) =

0

g2 (x1, x2) =

0

f (x1, x2) = 2,4 × 106 cm

3

x1 [cm]

x2 [

cm]

onde f x e 0f x são, respectivamente, a função objetivo avaliada no ponto x (corrente)

e a função objetivo avaliada no ponto 0x (inicial).

A normalização das restrições de desigualdade é feita em função do valor limite

estabelecido para as mesmas. Um exemplo de normalização é apresentado no esquema a

seguir:

0

u

j j

j u

j

g gg

g

xx com 0

u

jg (2.5)

onde jg x e u

jg são, respectivamente, o valor da restrição j correspondente a variável x e

valor limite superior da mesma. Da mesma forma pode ser obtida a normalização para

restrições com limite inferior.

A normalização das restrições de igualdade pode ser feita de forma similar ao

apresentado para o caso da função objetivo, na Equação (2.4).

2.3.2 Formulação do Problema Estrutural em Estudo

Geralmente em problema de otimização de estrutural busca-se minimizar o volume

(peso) total da estrutura. Este tipo de otimização é conhecida como uni-objetivo ou escalar,

uma vez que apenas uma função objetivo (volume) é considerada. Tal função por sua vez,

apresenta um comportamento linear que pode ser facilmente observado na Equação (2.6).

1

nbar

i i

i

V A L

.

(2.6)

onde iA é a área da seção transversal e iL é o comprimento, ambos respectivos a barra i e

nbar é o número total de barras. A função peso é obtida a partir da multiplicação do volume

pela respectiva densidade do material.

Tal otimização apesar de ter uma função objetivo relativamente simples, geralmente

está associada a funções de restrições de tensões e/ou deslocamentos que, por outro lado, são

altamente complexas e não-lineares. Tal afirmação pode ser confirmada a partir da observação

da solução gráfica da otimização do pórtico plano apresentada anteriormente (ver Figura 2.2).

Por outro lado, em otimizações do tipo multiobjetivo são escolhidas duas ou mais

funções objetivos e geralmente não são consideradas as funções de restrições. Tal

simplificação é adotada devido ao fato de que as funções objetivas são estritamente escolhidas

de modo que tenham um comportamento inverso uma com relação à outra, ou seja, ao se

tentar minimizar uma função a outra é maximizada e vice-versa. Desta forma, em tais

problemas de otimização não existem uma solução única (escalar) e, portanto as soluções são

expressas a partir de um vetor no qual contem infinitas soluções.

Com ambos os argumentos em mente, buscou-se formular o problema de otimização

de certa forma simples, porém com um comportamento não-linear com relação à variável de

projeto de modo a verificar a viabilidade das funções aproximadas. Para isso, a função de

flexibilidade estrutural C , definida pela Equação (2.7), foi à função objetivo escolhida uma

vez que a mesma é uma função não-linear com relação à área da seção transversal.

2

1 1

ngl nbar

i i j j

i j

C Pu N F

.

(2.7)

onde iP é a força externa aplicada e iu é o deslocamento no sentido da força iP , ambos

relativos ao grau de liberdade i , ngl é número total de grau de liberdade, nbar é o número

total de barras da estrutura, jN é o esforço normal na barra j e j j j jF L E A é a

flexibilidade de cada barra j .

A consideração de uma segunda função objetivo daria um caráter multiobjetivo ao

problema de otimização. No entanto de forma a simplificar o problema de otimização

investigado nessa dissertação, a segunda função objetivo foi substituída pela função de

restrição de igualdade. A mesma recebeu o valor do volume inicial 0V que é determinado a

partir do ponto inicial de projeto. A escolha do volume como função de restrição se deve ao

fato de que a mesma tem um comportamento inverso à função de flexibilidade e portando a

formulação de otimização uni-objetivo investigada tem aspecto multiobjetivo. A Tabela 2.1

resume os parâmetros escolhidos.

Tabela 2.1: Parâmetros para a formulação do problema de otimização estrutural.

Função objetivo f x : Flexibilidade estrutural;

Função restrição de desigualdade jg x : Não considerada;

Função restrição de igualdade kh x : Volume inicial da estrutura constante;

Variáveis de projeto x : Área da seção transversal das barras.

No Capítulo 4 - serão apresentados e discutidos exemplos clássicos da literatura de

treliças bidimensionais e um problema real de treliça espacial, a qual é amplamente utilizada

em cobertas. Tais problemas serão utilizados para verificar e comparar o desempenho das

estratégias de aproximações consideradas aliadas à técnica de otimização.

2.4 Algoritmo SSO

O algoritmo de otimização utilizado como base para as implementações das diversas

técnicas de otimização aproximada previamente mencionadas é denominado de Algoritmo

SSO (Sizing Structural Optimization), ou seja, Algoritmo de Otimização das Dimensões

Estruturais. Tal algoritmo foi implementado por Afonso e Horowitz (1998), e utiliza o

ambiente Matrix Laboratory, comumente chamado de MATLAB. O mesmo foi escolhido,

pois oferece um ambiente de programação com linguagem interativa de alto desempenho

voltado para o cálculo numérico, onde se encontra já integradas diversas bibliotecas relativas

à análise numérica, cálculo com matrizes, otimização não-lineares, processamento de sinais e

imagens, construção de gráficos, etc. O MATLAB oferece também um ambiente fácil de usar,

onde problemas e soluções são expressos como eles são escritas matematicamente, ao

contrário dos softwares de programação tradicional (MATHWORKS, 2009).

O algoritmo SSO é composto por três principais módulos que de forma sistemática

efetuam a análise e otimização estrutural. Tais módulos são definidos como:

1. Módulo da Análise Estrutural: considera o Método dos Elementos Finitos (MEF)

em regime linear elástico e o carregamento estático;

2. Módulo da Análise de Sensibilidade: considera diferentes métodos, para o cálculo

dos gradientes (derivadas) numericamente, tais como o método das diferenças

finitas, o método das variáveis adjuntas e o método direto, nas versões analítico e

semianalítico. Tais gradientes são necessários durante o processo de otimização;

3. Módulo de Otimização Escalar: considera o algoritmo de otimização SQP

(Sequential Quadratic Programming) (POWELL, 1978) já implementado na rotina

FMINCON da biblioteca de otimização do MATLAB.

Um quarto módulo - implementado pelo autor - considera as diversas técnicas de

aproximações a serem discutidas no Capítulo 3 -. Os aspectos computacionais do algoritmo

SSO e seus principais módulos serão brevemente descritos a seguir.

2.4.1 Aspectos Computacionais

O algoritmo SSO (AFONSO, 1995); (MACEDO, 2002), como já foi previamente

mencionado, serviu de base para as novas implementações baseadas nas técnicas de

aproximações descritas. A estratégia SAO por sua vez utiliza o algoritmo para obter as

soluções intermediárias para cada iteração k . O algoritmo contém diferentes ferramentas,

onde é possível fazer a definição da geometria, discretização da estrutura, análise estrutural e

de sensibilidade e finalmente a otimização propriamente dita.

Os aspectos computacionais do código são resumidos, segundo a Tabela 2.2, e

discutidos as seguir.

Tabela 2.2: Aspectos computacionais do algoritmo SSO.

Etapa Descrição

SSO 1. Definir a formulação do problema de otimização;

SSO 2. Gerar a (nova) geometria da estrutura;

SSO 3. Discretizar o domínio através de elementos;

SSO 4. Analisar a estrutura via o método dos elementos finitos;

SSO 5. Conduzir a análise de sensibilidade via um dos métodos numéricos para o cálculo

dos gradientes;

SSO 6. Realizar a otimização via o algoritmo de programação matemática (SQP) para

obter o projeto ótimo parcial;

SSO 7. Checar os critérios de convergência para a otimização dimensional;

7.1. se alcançada: o projeto ótimo é obtido, o processo é terminado.

7.2. caso contrário: voltar para o passo SSO 2, repetir o processo.

Na sequência do algoritmo SSO descrita acima, podemos apontar algumas

observações importantes adotadas tanto com relação ao código propriamente dito, como para

a estratégia proposta de otimização sequencial aproximada. Maiores detalhes estão

disponíveis em publicações de Afonso (1995) e Macedo (2002).

OBS SSO 1: A função objetivo e de restrições, assim como as variáveis de projeto e

seus limites devem ser definido de modo a determinar a formulação do problema de

otimização. Um grande número de opções está disponível, como por exemplo: minimização

do volume (peso) com restrição de tensões, ou minimização da flexibilidade estrutural com

restrição volume (peso), minimização do volume (peso) com restrição de deslocamentos, etc.

Neste trabalho será explorada uma dessas formulações clássicas de modo a avaliar o

desempenho das técnicas de aproximações;

OBS SSO 2 e 3: No caso das treliças e grelhas, a discretização do domínio coincide

com a representação geométrica das mesmas, pois tais estruturas são modeladas a partir de

elementos (barras);

OBS SSO 4: Duas estratégias para realizar a avaliação das funções são adotas. Uma

considera a análise via MEF (convencional) e a outra considera as diferentes técnicas de

aproximações apresentadas;

OBS SSO 5: O cálculo da sensibilidade é requerido quando o algoritmo de

programação matemática é baseado nos gradientes. Sendo assim vários métodos para a

determinação numérica das derivadas estão disponíveis, como por exemplo: Método das

Diferenças Finitas, Método das Variáveis Adjuntas, Método Direto nas versões Analítico e

Semianalítico. Tais esquemas estão disponíveis e implementados para ambas as estratégias,

ou seja, método EF, ou convencional, e para as diferentes diversas técnicas de aproximações;

OBS SSO 6: O otimizador é baseado no algoritmo sequencial de programação

quadrática (SQP) (POWELL, 1978). A formulação matemática de um problema de

otimização pode ser definida através da escolha da função objetivo, das restrições que podem

ser de desigualdades e igualdades e das variáveis de projeto juntamente com os limites

inferiores e superiores da mesma. Na estratégia SAO, o algoritmo SSO é utilizado em cada

laço da estratégia, onde um ótimo local é encontrado para cada iteração. Este processo se

repetirá até que a convergência de todo o processo seja alcançada.

Uma vez que as principais observações e considerações relativas ao aspecto

computacional relativas ao algoritmo SSO foram mencionadas. Contudo, a seguir serão dadas

algumas explicações com relação aos três principais módulos que constituem o algoritmo

SSO.

2.4.2 Análise de Estrutural

O Método dos Elementos Finitos (MEF) utilizado no módulo de análise estrutural do

algoritmo SSO, tem suas origens nos anos 50, porém tem sido vastamente utilizado nos

últimos 20-30 anos, graças aos avanços tecnológicos dos computadores. O método consiste

basicamente numa adaptação/modificação de métodos de aproximação conhecidos já no

início deste século, como por exemplo, o Método de Ritz, estabelecido em 1909 (CLOUGH,

1960); (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2006).

MEF é um método matemático para a solução de equações diferenciais parciais, entre

as quais se inclui a equação de Poisson, Laplace, Helmholtz, Navier-Stokes, etc. Em muitos

casos práticos, o MEF é a capaz de fornecer uma solução aceitável, ainda que sob o ponto de

vista matemático, a solução seja considerada como uma aproximação (ZIENKIEWICZ e

TAYLOR, 2006).

Um grande impulso para o seu desenvolvimento e aperfeiçoamento do MEF foi dado

pela indústria aeroespacial, aonde o método vem tendo larga aplicação desde os anos 70.

Contudo, inúmeras são as áreas em que o método pode ser aplicado, entre elas citamos:

projeto e análise de estruturas, análise de escoamento de fluídos, distribuição de temperaturas,

eletromagnetismo, projeto de equipamentos eletromecânicos (máquinas, transformadores),

biomecânica, etc.

Devido à sua versatilidade na aplicação dos mais diversos problemas de engenharia,

seu conhecimento é de fundamental importância para a aplicação prática do mesmo. O

procedimento segue uma forma consistente e sistemática e consequentemente pode ser

facilmente implementada na forma de um sistema computacional (programa de computador).

Além disso, o método oferece flexibilidade e estabilidade numérica (ZIENKIEWICZ e

TAYLOR, 2006). Tais características explicam a sua grande popularidade e crescente

aparecimento nos mais diversos softwares comerciais disponíveis atualmente, tais como:

ANSYS, ABAQUS, SAP2000, etc.

Desta forma, na Tabela 2.3 será apresentado de forma simplificada o procedimento do

MEF para análise estrutural linear elástica (ZIENKIEWICZ e TAYLOR, 2006).

A formulação do MEF pode ser simplificada para o caso de treliças bi e

tridimensionais e das grelhas, uma vez que tais estruturas consistem em um arranjo natural de

elementos finitos, ou seja, as mesmas são discretizadas através de elementos unidimensionais

e também devido à hipótese de regime linear-elástico adotada.

O resultado de tais simplificações resulta em dos métodos mais comuns para análise

estrutural e atualmente disponíveis em diversos softwares comerciais de EF (ANSYS,

ABAQUS, SAP2000, etc.). Tal formulação foi finalmente consolidada por Jon Turner (chefe

do departamento de dinâmica estrutural da Boeing) (TURNER, CLOUGH, et al., 1956) em

meados dos anos 50 e é conhecida na literatura como o Método da Rigidez Direta, do inglês

Direct Stiffness Method (DSM), sendo o mesmo brevemente discutido a seguir para ambas as

estruturas, treliça e grelha.

Tabela 2.3: Procedimento simplificado do MEF.

Etapa Descrição

MEF 1. Identificar a equação governante, geralmente na forma diferencial:

0uL

MEF 2. Introduzir a forma integral através de um dos métodos (Formulação do MEF):

2.1. Diferenças finitas;

2.2. Método Variacional;

2.3. Resíduos ponderados.

0 0d d

u u uL L L

MEF 3. Discretizar o domínio de interesse através de elementos (Seleção dos elementos):

MEF 4. Introduzir a aproximação para as variáveis incógnitas sobre o elemento (Interpolação):

1 1 2 2 3 3 u x N x u N x u N x u

iu : Valor da variável incógnita no nó i

iN : Função de interpolação ou de forma para o

nó i

MEF 5. Avaliar a forma integral em cada elemento (Integração numérica):

e e e

K u f

MEF 6. Montar a matriz global (Processo de montagem):

K u f

MEF 7. Impor as condições de contorno (naturais e essenciais) relativas ao problema:

Por exemplo: 0iu , 100jf , etc.

MEF 8. Resolver o sistema de equações para obter os valores incógnitos (Técnicas de solução):

1

u K f

MEF 9. Calcular os valores de interesse através da solução aproximada (Pós-processamento):

ee e

f K u , etc.

x

y 3u

2u 1u

u x

x

y

2.4.2.1 Formulação Estática para Treliças

O método da rigidez direta para treliças tridimensionais é aqui formulado, no qual se

considera cada barra da treliça como uniforme, sujeita a um carregamento estático em regime

linear-elástico.

A Figura 2.3 mostra a representação de um elemento isolado da treliça no espaço

tridimensional X Y Z (GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

Figura 2.3: Discretização do elemento da treliça tridimensional.

Para cada elemento e , o vetor deslocamento u e o vetor de forças nodais f são

obtidos a partir do sistema de coordenadas globais X Y Z e podem ser expressos como,

1 2 3 4 5 6T

e u u u u u uu ,

(2.8)

1 2 3 4 5 6T

e f f f f f ff .

A rigidez axial k de cada elemento e da treliça é definida pela Equação (3.16) abaixo

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009),

e ee e

e

e ee

E A

L

R Rk

R R,

(2.9)

onde A = a área da seção transversal, E = o módulo de elasticidade, L = o comprimento e

eR é a matriz de rotação 3 3 definida por:

x x y x z x

e x y y y z y

x z y z z z

c c c c c c

c c c c c c

c c c c c c

R .

(2.10)

Na equação (2.10), os termos , e x y zc c c , são respectivamente os cossenos dos ângulos

de inclinação , e do elemento e com relação à orientação global dos eixos , eX Y Z

(GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

1f

2f

3f

4f

5f

6f

X

Z

Y

A partir da obtenção da matriz de rigidez, do vetor deslocamento e do vetor de forças

nodais de cada elemento. O procedimento de montagem é então efetuado, obtendo assim um

sistema linear de equações definido segundo a expressão abaixo:

Ku f ,

(2.11)

onde K é a matriz de rigidez global, u é o vetor de deslocamentos globais incógnitos e f é o

vetor das forças externas aplicadas sobre os graus de liberdade não restritos.

A solução não-trivial do sistema de equações definido pela Equação (2.11) é possível

a partir da imposição das condições de contorno que regem o problema (deslocamentos

impostos e/ou forças externas aplicadas nos nós das barras). A partir da solução do sistema,

isto é, determinação dos deslocamentos incógnitos é possível obter em cada barra os valores

de interesse, tais como: esforços nas barras, tensões, energia de deformação, flexibilidade

estrutural, etc.

2.4.2.2 Formulação Estática para Grelhas

A formulação do DSM para as estrutura grelhadas são definidas de forma semelhante

a das treliças apresentadas anteriormente. Portanto, cada barra da grelha é considerada

uniforme, submetida a um carregamento estático em regime linear-elástico.

A Figura 2.4 mostra a representação de um elemento isolado da grelha no espaço

tridimensional X Y Z (GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

Figura 2.4: Discretização do elemento da grelha.

Para cada elemento e , o vetor deslocamento u e o vetor de forças nodais f são

obtidos a partir do sistema de coordenadas locais e podem ser expressos como,

1 2 3 4 5 6T

e u u u u u uu ,

(2.12)

1 2 3 4 5 6T

e f f f f f ff .

A rigidez k de cada elemento e , descrita pela Equação (2.13), é expressão em função

das seguintes propriedades: ,E G são respectivamente, o módulo de elasticidade e o módulo

1f

2f

3f

4f

5f

6f

X

Z

Y

de elasticidade cisalhante, I é o momento de inércia, J é a constante de torção e L é o

comprimento da barra (GHALI, NEVILLE e BROWN, 2009).

2 0 3 2 0 3

0 1 0 0 1 0

3 0 4 3 0 5

2 0 3 2 0 3

0 1 0 0 1 0

3 0 5 3 0 4

e

k k k k

k k

k k k k

k k k k

k k

k k k k

k ,

(2.13)

onde 1GJ

kL

, 3

122

EIk

L ,

2

63

EIk

L ,

44

EIk

L e

25

EIk

L .

Na Equação (2.14) é definida a matriz de rotação eR que é utilizada para transformar

do sistema local de coordenadas para o sistema global X Y Z (GHALI, NEVILLE e BROWN,

2009).

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

e

c s

s c

c s

s c

R ,

(2.14)

onde cosc , sens e é o ângulo medido a partir do eixo de orientação global X

e a barra. Consequentemente, a matriz de rigidez do elemento, o vetor deslocamento e o vetor

de forças nodais podem ser rescritos como,

G T

e e e eK R k R ,

(2.15) G

e e eu R u

G

e e ef R f

A partir da obtenção da matriz de rigidez, do vetor deslocamento e do vetor de forças

nodais de cada elemento. O procedimento de montagem é então efetuado, obtendo assim um

sistema linear de equações definido segundo a expressão abaixo:

Ku f ,

(2.16)

onde K é a matriz de rigidez global, u é o vetor global de deslocamento incógnitos e f é o

vetor global das forças nodais .

A solução não-trivial do sistema de equações definido pela Equação (2.16) é possível

a partir da imposição das condições de contorno que regem o problema (deslocamentos

impostos e/ou forças externas aplicadas nos nós ou ao longo das barras). A partir da

determinação dos deslocamentos incógnitos é possível obter em cada barra os valores de

interesse, tais como: esforços nas barras, tensões, energia de deformação, flexibilidade

estrutural, etc.

2.4.3 Análise de Sensibilidade

A análise de sensibilidade consiste no cálculo das derivadas das funções provenientes

da análise estrutural, por exemplo, do volume, da tensão, do deslocamento e da flexibilidade

estrutural, com relação às variáveis de projeto (KIRSCH, 1981).

A determinação das derivadas é de extrema importância, pois a partir delas, o

algoritmo SQP define a direção de busca. Porém a obtenção das mesmas corresponde ao

maior custo computacional durante o processo de otimização. Devido a este fato, se faz

necessário utilizar técnicas computacionais eficientes para obtê-las de forma rápida e precisa.

No caso de carregamento estático, a principal meta é encontrar o vetor das derivadas

dos deslocamentos, pois todos os outros valores de interesse (esforços, tensões, energia de

deformação, flexibilidade estrutural) são cálculos em função do mesmo.

Os quatro diferentes métodos para o cálculo das derivadas numericamente serão aqui

discutidos. Entre eles podemos citar o método das diferenças finitas, o método direto

semianalítico, o método direto analítico e o método das variáveis adjuntas.

2.4.3.1 Método das Diferenças Finitas

O Método das Diferenças Finitas (MDF) é um método de fácil implementação, porém

o seu custo computacional é diretamente proporcional ao número de variáveis de projeto. O

método consiste em perturbar cada variável de projeto ix independentemente com um valor

relativamente pequeno. O tamanho da perturbação ix é de grande importância e pode

influenciar o resultado obtido, contudo o valor tipicamente adotado é da ordem de 410 ix

à

610

estratégias de aproximação para a otimização estrutural · sobester e keane, 2008). those...

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