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ESTRATÉGIAS PARA SUPERAÇÃO DO “ERRO” EM MATEMÁTICA
5ª SÉRIE
Sérgio Wilson dos Santos1
[email protected] Natalia Marin Pires2
RESUMO
Este artigo apresenta uma experiência de avaliação em Matemática nas turmas de 5 as
séries do Ensino Fundamental de um colégio estadual de Arapongas – Pr, em 2007, com a intenção de refletir sobre a produção em matemática dos alunos oriundos das séries iniciais. Para a coleta de dados utilizou-se uma prova de matemática do AVA (1997), no início e no final do ano letivo, a pedido Secretaria Estadual de Educação. A atividade integra uma das ações do PDE (Programa de Desenvolvimento Educacional - Pr). O principal objetivo foi desenvolver algumas estratégias de superação de erros cometidos na referida avaliação. Para isso, foi elaborado um Caderno de Pedagógico com questões que tiveram a intenção de trabalhar conceitos matemáticos não apreendidos pelos alunos que resolveram a prova. É importante salientar a dimensão que o “erro” assume nesta proposta e que, como instrumento relevante pela qualidade de informações que ele traz, é elemento natural do processo de conhecer. A análise dos erros constitui-se em uma possibilidade de contribuir para a reflexão e potencializar discussões entre os professores para que possam elaborar novas estratégias de ensino, pretendendo nos levar a modificar o paradigma vigente dominado pela formalização de conceitos, pela preocupação com o treino de habilidades e mecanização de conceitos tão comuns em nossas escolas.
Palavras-chave: avaliação em matemática. análise do “erro”. estratégias. superação do “erro”
1 Professor da Rede Pública Estadual – Paraná.2 Professora do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina.
ABSTRACT
This article presents an math evaluation experience applied to 5th grades of Fundamental Education from a public state school in Arapongas-Pr, in 2007, intending to reflect about the math production of the initial grades students. A AVA math test (1997) was utilized to collect data, in the beginning and in the end of the school year, requested by State Education Secretary. The activity is part of the PDE actions (Educational Development Program – Pr). The main objective was to develop some strategies to overcome mistakes in the proposed evaluation. Therefore, a Pedagogical Notebook with mathematical problems was elaborated, intending to work with concepts which were not comprehended by the students. It is important to emphasize the dimension that the “mistake” assumes in this proposal and, as an relevant instrument responsible for the quality of the informations, it is an natural element of the knowledge process. The mistake analysis contributes to reflect and to potentize discussion among teachers in order to elaborate new teaching strategies, intending to lead us to change the current paradigm which is ruled by the formalizated concepts, by the worry about abilities practice and mechanizated ideas which are so common in our schools.
Keywords: math evaluation. “mistake” analysis. strategy. “mistake” overcoming.
INTRODUÇÃO
Estudos mostram que no Brasil a Matemática é a disciplina com os mais
altos índices de retenção, causa de insucesso e evasão escolar.
Diante dessa realidade faz-se necessário lançar novos olhares a respeito
das avaliações em Matemática. Em geral, avaliamos as provas pontuando somente
as questões corretas, outras vezes pontuamos as parcialmente corretas e os erros
passam despercebidos, não levamos em conta as informações que eles podem
conter.
Entre professores há pontos de vista controversos a respeito do erro,
alguns defendem o ponto de vista de que não se pode permitir que o erro aconteça,
pois uma vez fixado dificilmente será eliminado. Outros ainda defendem que o erro
deve ser apagado, corrigindo-o o mais rápido possível, pois ele é sentencioso.
Esses pontos de vista indicam que os erros não têm sido problematizados
para poderem ser discutidos e, a partir dele tomar novas direções, o que precisa ficar
claro, e não é compreendido, é que, para o aluno chegar ao “errado” ele precisa
raciocinar e o entendimento do que foi trabalhado está representado no processo que
conduz à resposta errada.
[...] de modo geral os erros devem ser vistos como um indicativo de que o aluno sabe alguma coisa, porém não totalmente ou corretamente e que, portanto, é preciso trabalhar com esses erros e não apenas ignorá-los, lembrando que, dependendo da natureza do erro e que se determina qual conduta pedagógica deve ser adotada na busca de sua superação. Essa é uma das contribuições pessoais que o professor pode fazer na busca de diminuir o fracasso escolar. (AVA 2000, p.55).
O erro é objeto de estudos e debates, considerando que, a partir dele pode-
se aprender. Quando queremos entender suas causas e conseqüências, o erro pode
parecer uma falha no processo, mas ele está associado à construção do saber
matemático.
Este trabalho pretende dar sustentação e direcionamento para que as
dificuldades apresentadas pelos alunos que ingressam nas 5as séries possam ser
minimizadas e contribuam para a reflexão a respeito da construção dos conceitos
matemáticos, a fim de nos levar a modificar o paradigma vigente.
Pretende ainda discutir e analisar os erros que os alunos cometem em
matemática, de forma que os professores tenham elementos para elaborar
estratégias de ensino.
Este estudo integra uma das ações previstas pelo Programa de
Desenvolvimento Educacional – PDE-PR.
O PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL (PDE-PR)
Integrado às políticas de formação continuada, a Secretaria de Estado da
Educação, com o apoio da Secretaria de Estado da Ciência, Tecnologia e Ensino
Superior institui o Programa de Desenvolvimento Educacional – PDE, que insere a
escola pública dentro das universidades nas atividades de formação desenvolvidas
nas instituições superiores constituindo uma nova concepção de formação.
O principal objetivo do PDE é “proporcionar aos professores da rede
pública do Paraná subsídios teórico-práticos para o desenvolvimento de ações
educacionais sistematizadas, que possam ser avaliadas em seu processo e em seu
produto e que resultem em redimensionamento de sua prática educativa”. (PDE,
2006, p.1)
O Programa pressupõe avanços na carreira e tempo livre para estudos,
pesquisa e eventos. Estabelece parceria com os professores da Educação Superior e
num diálogo sistematizado e orientado com os professores da Educação Básica, cria
novas condições para que os saberes produzidos possam encontrar ressonância em
todas as escolas da rede pública paranaense.
Num processo de construção coletiva, prevê a articulação do professor
PDE com os professores que ainda não ingressaram no programa por meio de
atividades desenvolvidas nas escolas.
Uma das atividades que integra o programa é a implantação do plano de
trabalho na escola, entendida como sistematização dos conhecimentos teórico-
práticos apreendidos e de “aplicação” planejada dos estudos realizados da qual esta
pesquisa se tornou parte.
METODOLOGIA
O Colégio Estadual Emílio de Menezes de Arapongas conta com
aproximadamente 1600 alunos de 5ª a 8ª séries no Ensino Fundamental e Ensino
Médio no ano de 2007. Destes, 180 alunos são alunos da 5ª série que são
distribuídos em cinco turmas, tendo aproximadamente 36 alunos cada.
No início de 2007 o governo do estado, por meio da secretaria de
educação, solicitou às escolas que trabalham com 5ª série que aplicassem um teste
de português e um teste de matemática aos alunos da referida série, com o objetivo
de diagnosticar as dificuldades apresentadas.
No intuito de atender a solicitação do estado e de analisar as dificuldades
dos alunos nos conteúdos de matemática por meio dos erros cometidos por eles,
utilizou-se uma prova já elaborada e validada pelo AVA (Programa de Avaliação do
Sistema Educacional do Paraná) da secretaria de Estado de Educação que contém
30 questões que avaliaram os alunos concluintes da 4ª série do Ensino Fundamental
em matemática em 2000.
A análise dos erros ocorreu apenas nas 5ªs séries A e B, selecionadas
porque continham apenas alunos provenientes das 4ªs séries e, na oportunidade, o
autor deste trabalho era o professor de matemática.
O tempo de duração necessário para a aplicação dos instrumentos de
avaliação foi de 4 horas, divididas em duas etapas de 2 horas diárias, com 15
questões em cada etapa. Dias antes da aplicação da prova os alunos foram
informados da avaliação e que receberiam uma nota que seria incorporada à nota
bimestral e que as respostas seriam importantes para o diagnóstico das dificuldades,
buscando o aprimoramento do ensino da matemática.
De acordo com a AVA a prova foi elaborada a partir de uma matriz de
referência medindo as competências, habilidades e conteúdos específicos elaborados
a partir do Currículo Básico para a Escola Pública do Paraná e dos PCN’S para o
Ensino Fundamental.
As questões abordaram números e operações, medidas e geometria e
noções de estatística e podem ser classificadas, de acordo com o AVA (2000 p. 1)
em: questões de reconhecimentos de noções e idéias: as que exigem que o aluno
reconheça ou lembre um fato, uma definição ou um algoritmo; questões de
compreensão de procedimentos e algoritmos: as que podem ser resolvidas mediante
o uso de um algoritmo ou procedimento passo a passo, sem que necessite
estabelecer relações ou se aperceber de suas implicações; questões de aplicação de
conhecimento na resolução de problemas: as que na aplicação do conhecimento para
resolver um problema, exigem mudança da linguagem escrita com palavras para uma
linguagem matemática adequada, de modo que possam utilizar algoritmos
adequados.
Além disso, a avaliação apresentava questões contextualizadas e
rotineiramente presentes em sala de aula ou em livros didáticos, porque o objetivo foi
medir a proficiência dos alunos, e isso inclui medir o que ele está aprendendo nas
aulas de matemática que a escola oferece.
Obedecendo ao padrão utilizado pela prova do AVA 2000, as questões,
discutidas neste trabalho, foram corrigidas, analisadas, selecionadas e organizadas
de acordo com o nível de desempenho e dificuldade.
Segundo este critério, os alunos demonstraram estar em fase inicial de
aprendizagem de problemas envolvendo mais de um raciocínio e de operações de
subtração com recurso; demonstraram não ter assimilado o conceito de área, unidade
de área e concepção de medida expressa em metro e centímetros; e tinham
dificuldades em diferenciar área de perímetro. Também demonstraram não interpretar
problemas envolvendo duas operações de multiplicação e efetuar multiplicações com
dois algarismos no multiplicador. Apresentaram-se em fase inicial na resolução de
problemas de porcentagem e das idéias da subtração com e sem recurso na ordem
das unidades e dezenas ao mesmo tempo.
A análise de desempenho das questões selecionadas mostrou de um modo
geral que os alunos, ao final das séries iniciais, apresentam dificuldades nas quatro
operações, no sistema de numeração decimal, cálculos de porcentagens, noções de
medidas de comprimento e área e interpretação de problemas dentre outras.
Na análise do “erro” algumas questões foram selecionadas para superação
das dificuldades com o apontamento de algumas sugestões descritas no Caderno
AVA: ”O material dourado, os palitos coloridos, o ábaco são materiais manipuláveis
que podem ajudar na compreensão do sistema de numeração decimal” (2000, p.27).
Assim sendo, as estratégias estiveram direcionadas ao uso de materiais
manipuláveis como o Material Dourado (utilizado na compreensão do S.N.D. e o
sistema de medidas) e o geoplano (utilizado em situações reais como a construção
do metro, medições e atividades envolvendo os dois conceitos área e perímetro) que,
de acordo com o AVA: “Para evitar esses erros, seria interessante construir o metro...
e trabalhar sobre como se obtém as unidades de medida, buscando subsídios na
história da matemática, equivalência e relação das unidades de medida com o
sistema de numeração decimal”. (IDEM, p.33). Dentre outras sugestões apresentadas
o referido material também sugeriu a História da Matemática e a Resolução de
Problemas.
Na busca de soluções para superação do “erro” na referida prova, foi
elaborado um Caderno Pedagógico contendo algumas estratégias e aplicado em uma
das séries avaliadas, hoje 6ª série B.
O Caderno Pedagógico descreve a concepção do “erro” no ensino da
Matemática, e a metodologia de aplicação da prova do AVA (Avaliação do
Rendimento Escolar do ano 2000) em quintas séries de um colégio de Arapongas - Pr
com o objetivo de medir a proficiência dos alunos oriundos das séries iniciais. Aponta
em que medida os conteúdos contribuem para o desenvolvimento intelectual do aluno
e explicita a elaboração das questões desdobradas em números e operações,
medidas e geometria e noções de estatística, classificadas de acordo com questões
de reconhecimento de noções e idéias; questões de compreensão de procedimentos
e algoritmos e questões de aplicação de conhecimento na resolução de problemas.
O objetivo do Caderno Pedagógico foi o de analisar os erros que os alunos
cometem em matemática, de forma que os professores tenham elementos para
elaborar estratégias de ensino que venham ao encontro das necessidades de seus
alunos a partir do erro cometido em sala de aula possibilitando aos alunos a
ampliação da capacidade de abstrair, fazer conjecturas, generalizações e deduções.
Desta forma, o Caderno Pedagógico selecionou alguns materiais e
estratégias que vieram ao encontro das dificuldades apresentadas pelos alunos. Nele
estão descritas cinco atividades:
1. Material Dourado (números naturais): auxilia a compreensão do sistema
de numeração decimal, do valor posicional e dos métodos para efetuar as operações
fundamentais.
O material dourado foi utilizado com o objetivo de reparar as defasagens
que envolvem as operações fundamentais e a compreensão do sistema de
numeração decimal. Os alunos que não chegaram à solução correta de uma das
questões selecionadas tiveram seus erros centrados na resolução das operações
(quase 50%) demonstrando que ainda não dominam conceitos como os de
agrupamentos e trocas na formação de ordens e classes.
2. Material Dourado (números decimais): o material dourado também pode
ser trabalhado para a compreensão dos algoritmos com os números decimais.
Para que o aluno resolvesse uma das questões da prova ele deveria
interpretar um mapa e adicionar as medidas sem necessariamente fazer conversões.
O erro mais freqüente foi o de alinhar os números pela direita, desprezando as
vírgulas. O índice elevado de erros (89%) demonstrou que o aluno não compreendeu
conceitos fundamentais sobre os números decimais.
3. Geoplano: desenvolve a percepção visual de formas geométricas planas;
compara, amplia e reduz formas e figuras; trabalho com áreas e perímetros, lados,
vértices e simetrias. A importância dos conceitos geométricos reside no fato de que,
por meio deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que lhe permite
compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que vive.
De acordo com Brasil (1998), estes conteúdos devem apoiar-se em
procedimentos que favoreçam a compreensão das noções envolvidas, como por
exemplo, a obtenção de áreas através de composição e decomposição de figuras
cuja área eles já sabem calcular, por meio de procedimentos de contagem (papel
quadriculado), entre outros.
Para a solução de outra questão da prova o aluno deveria ter conhecimento
de como calcular a área de um retângulo. Os alunos que erraram não colocaram a
unidade de medida (100%). Demonstraram que ainda não dominam o conceito e área
e 15% não sabem a diferença entre área e perímetro.
Atualmente, o que se aprende em geometria é somente o reconhecimento
de algumas figuras planas e memorização de fórmulas para o cálculo de área e
qualquer nova situação ou relação a ser estabelecida se torna mais complexa
ocasionando perdas na construção de seu pensamento lógico e matemático.
4. Resolução de problemas: estimula o raciocínio do aluno preparando-o
para outras situações de sua vivência utilizando seus conhecimentos para resolver
problemas. Para tanto o professor deve propor questões, fazendo com que o aluno
seja capaz de analisar e interpretar situações, usar tentativas de acerto e erro,
estabelecer relações e comparar soluções.
Para fazer com que um aluno interprete um problema é conveniente colocá-
lo em contato com diferentes situações focando diferentes idéias aditivas e
subtrativas que, para serem resolvidas, ora demandam adições, ora subtrações.
Algumas construções de conceitos a partir das idéias da subtração (retirar,
completar e comparar) foram necessárias mediante a dificuldade apresentada na
prova AVA. Esses conceitos foram trabalhados sem detrimento um do outro em
resolução de problemas. Para os alunos o problema da prova apresentou um
raciocínio complexo (73% não conseguiu interpretá-lo) e alguns (12%) não
conseguiram efetuar a operação corretamente. Em alguns casos o aluno não
compreendeu o que leu e se limitou a juntar os dados numéricos do enunciado e
outros não dominaram o conteúdo necessário para a resolução do problema.
5. História da matemática: pode conduzir o aluno a reconstituição de alguns
problemas vivenciados em outro contexto histórico, na redescoberta de símbolos e
conceitos matemáticos.
Dos alunos que erraram a questão proposta na prova AVA, 73% não
interpretaram o problema corretamente, outros 62%, não indicaram a unidade de
medida e há os que não dominaram a conversão de medidas (23%).
Para este artigo foram selecionados os relatos da aplicação de duas
atividades: trabalho com material dourado números naturais e decimais e trabalho
com o geoplano.
RELATO DAS ATIVIDADES
As atividades selecionadas para este artigo são as que expressam as
dificuldades mais elementares relacionadas ao sistema de numeração decimal. A
Matemática se constrói neste conjunto de regras e permite o registro escrito e a
possibilita operar quantidades. Se um aluno apresenta dificuldades na compreensão
destes saberes precisará definitivamente superá-los para que outros e novos
conceitos se incorporem aos anteriores na construção do conhecimento matemático.
O mesmo se aplica ao conhecimento geométrico que, por vezes esquecido nos
programas curriculares, está ocasionando lacunas importantes dimensionadas nas
questões que pudemos analisar.
Primeiro dia de atividades
1. Manipulação do material
Formar grupos, apresentar o Material Dourado e o manusear peças.
Objetivo: tomar contato com o material
2. Relacionando quantidades
Representar os números na ordem seqüencial: um, dois, três... Chegando
ao dez combinar a troca por uma barra.
Objetivo: relacionar quantidades e possíveis trocas
3. Estabelecendo relações
Apresentar oralmente o nome das peças e estabelecer relações.
A primeira relação (1 cubo tem 10 placas) foi estabelecida pelo professor e
os alunos foram descobrindo outras e fazendo o registro:
- dez barras formam uma placa. (Thiago)
- dez cubinhos formam uma barra (Gustavo)
- 100 cubinhos formam uma placa (Andressa)
- numa placa existem 10 barras (Mariana)
- 1000 cubinhos formam um cubo grande (Fernanda)
- 1 cubo tem 10 placas (Pedro)
Novas relações mais elaboradas foram ainda mencionadas por eles:
- 500 cubinhos + 5 placas formam um cubo (Mateus Miranda)
- 800 cubinhos + 20 placas formam um cubo (Thiago)
- 500 cubinhos + 50 barras formam um cubo (Roberto)
- 100 barras resultam num cubo (Kennedy)
- 800 cubinhos + 2 placas formam um cubo (Vinicius)
- 10 cubinhos + 9 barras formam uma placa (Jaqueline).
Uma das dificuldades apresentadas foi o relato dos alunos de que no cubo
havia 600 cubinhos (contaram o número de faces e multiplicaram por 100). O trabalho
neste momento assumiu um de seus objetivos que foi a superação do “erro”.
Perguntou-se como formaríamos um cubo grande com as placas. Manuseando o
material, alguns perceberam seu erro de imediato, outros precisaram juntar 10 placas
e simular a formação do cubo.
Apresentou-se a nomenclatura e as mesmas relações foram descritas com
a terminologia correta.
1 milhar 1 centena 1 dezena 1 unidade
Objetivo: Estabelecer relações para a compreensão do S.N.D. dos
agrupamentos e trocas (na base 10).
4. Formando numerais
Dado um número que pode ser da forma escrita ou oral o aluno deve
representá-lo com o material. Inversamente, representar um número e pedir para o
aluno ler. Descrever o lugar que cada algarismo ocupa no numeral.
Na formação dos numerais propôs-se para que formassem com o material
dourado o numeral 15 de quantas maneiras conseguissem.
A maioria dos grupos representou de duas maneiras:
Para a formação do numeral 135 ficaram eufóricos quando da tentativa de
um grupo queria superar o outro pela quantidade de representações:
E assim por diante, com alguns grupos chegando a pegar 135 cubinhos.
Neste momento, a intervenção foi feita no sentido de corrigir o aluno para o
mais simples, ao invés de se representar 135 cubinhos para o numeral 135, propôs-
se as trocas: dez unidades por uma dezena ou de dez dezenas por uma centena.
Alguns exercícios de decomposição de numerais também foram
oportunizados:
257 = 200 + 50 + 7 ⇒ 2 centenas = 200; 5 dezenas = 50; 7 unidades = 7
Outros exemplos foram explicados e resolvidos por eles: 820, 900, 609
Alguns alunos precisaram de atendimento individual.
Dominada esta etapa, passou-se para o processo inverso: simulava-se um
numeral com o Material Dourado e o aluno descobria qual o numeral formado sendo
trabalhada a leitura e escrita dos numerais.
Objetivos: Compor e decompor um número em suas ordens e classes.
Decompor numerais identificando os valores relativos.
Compreender o processo de formação dos numerais.
Segundo dia de atividades
5. Efetuando trocas
Um dos alunos da equipe começa a contar o material. Toda vez que juntar
10 cubinhos os outros membros do grupo devem alertá-lo sobre a troca de 10
cubinhos por uma barra, quando tiver 10 barrinhas, trocá-las por uma placa e
determinar o número formado.
Inicialmente os alunos agrupados começaram a contar: “1” e colocaram um
cubinho, 2 (para dois cubinhos) e ao chegar em 10 cubinhos eles trocaram por uma
barrinha e continuaram contando 11 (1 barrinha e um cubinho, 12, 13,...) até
completarem duas barrinhas e assim até completar 9 dezenas. Da mesma maneira,
quando tiveram 10 barrinhas, trocou-se por uma placa ou centena. E assim
sucessivamente até a compreensão do milhar.
Objetivo: Efetuar trocas para compreensão do sistema de numeração
decimal.
6. O processo da adição com e sem recurso
Apresentar a adição com o material dourado simultaneamente ao ábaco de
papel.
Ábaco é qualquer instrumento de manipulação que ajude a fazer cálculos
partindo-se de um referencial (quadro valor de lugar). Nosso ábaco de papel foi feito
no caderno e serviu para auxiliar as representações com as peças do Material
Dourado.
O professor pediu que os alunos representassem com o material dourado e
no ábaco de papel as quantidades 15 e 15 separadamente, para que fosse efetuada
a soma. Ficou assim representado:
+ Depois o professor solicitou que os alunos juntassem as quantidades nas
referidas ordens.
+
A necessidade das trocas foi observada pelos alunos que realizaram o
seguinte procedimento:
foi trocado por resultando em .
Com o material dourado ficou representado assim:
+
trocou-se por
A representação no papel:
Ao explicar o "vai um", o professor pode concretizar cada passagem do
cálculo que também pode indicar a troca de 10 dezenas por uma centena, ou 10
centenas por um milhar.
O professor apresentou outras quantidades a serem adicionadas: 124 + 53
Os alunos representaram as duas quantidades separadamente.
Juntaram as quantidades de mesma ordem iniciando pelas unidades
As representações no ábaco de papel foram feitas pelo professor
simultaneamente transpondo cada passo no algoritmo convencional.
Construídos os conceitos, exemplos foram propostos em alguns problemas:
Mário tinha 267 figurinhas e ganhou 235. Com quantas figurinhas Mário ficou?
Os alunos representaram o numeral e realizaram a operação utilizando as
peças do Material Dourado e o ábaco de papel.
267 + 235 =
Juntam-se as quantidades e na ordem das unidades houve a possibilidade
de se efetuar uma troca: 10 unidades foram trocadas por uma dezena.
Algumas trocas foram efetuadas entre os membros do grupo e analisadas
as respectivas quantidades (se seriam as mesmas). Este processo de troca foi
repetido várias vezes e com vários numerais. Desta forma os alunos estavam
preparados para realizar adições e subtrações.
Dez dezenas foram trocadas por uma centena:
Objetivos: Compreender agrupamentos de dez em dez (dez unidades
formam uma dezena, dez dezenas formam uma centena, etc.), fazer agrupamentos
de 10 em 10; e processar a troca de 10 unidades por 1 dezena e assim
sucessivamente e efetuar operações de adição com várias parcelas.
7. O processo da subtração com e sem recurso
Apresentar a subtração com o material dourado simultaneamente ao ábaco
de papel.
Da mesma forma, por meio de uma situação problema foi introduzida a
subtração com e sem reserva. Os alunos representaram o minuendo, o subtraendo e
viram a necessidade de realizar trocas. Aqui as relações anteriormente trabalhadas
auxiliaram a compreensão dos algoritmos por eles utilizados e que, para muitos, até
então era mecanizado.
Um dos grupos reconheceu o próprio erro e não efetuou as trocas retirando
do subtraendo o minuendo. Foram refeitas as trocas e outras operações de subtração
associadas à situações problema foram realizadas com o material e o ábaco de papel
para dar mais sustentação ao processo.
Os grupos trabalharam entusiasmados. Com a manipulação de materiais os
alunos passaram a sentir confiança em apresentar seus resultados. As discussões
potencializaram o aprendizado. Houve necessidade de atendimento individual e
retomada de alguns conceitos. A maioria dos alunos tiveram o entendimento do “vai
1” no processo da adição e as trocas feitas na subtração com reserva, até então eles
estavam acostumados a dizer “empresta”, o trabalho realizado mostrou que o
processo exige trocas e tentamos redirecionar o vocabulário dos alunos.
Objetivo: compreender o processo da subtração com e sem recurso.
Terceiro dia de atividades
8. O trabalho com os decimais: estabelecendo relações
Trabalhar os números decimais da mesma forma com que foram
explorados os conceitos de números naturais.
O professor indaga os alunos:
- Se o cubo é 10 vezes cada placa então cada placa representa a décima
parte do cubo?
- O que podemos dizer entre a barra e o cubo e vice-versa?
- E entre o cubinho e a barra?
- E entre o cubo e o cubinho?
- E entre o cubinho e a placa?
É importante a utilização da nomenclatura apropriada para os numerais
decimais (décimo para a placa, centésimo para a barra e milésimo para o cubinho) e
estabelecer as relações:
Foram propostos exercícios de representação de quantidades. Como por
exemplo: um inteiro e doze centésimos:
Pediu-se aos alunos se existia outra forma de representação. Eles
efetuaram a troca de 10 barras por 1 placa:
Foram feitos outros exemplos, registrados no quadro e efetuadas as duas
formas de leitura: a direta (um inteiro e doze centésimos) e a decomposta: (1 inteiro,
1 décimo e um centésimo).
O próximo passo foi inverter a atividade. Deu-se a quantidade de peças do
Material Dourado e os alunos escreveram o numeral.
Foram trabalhados conceitos de maior, menor e igual; ordem crescente e
decrescente.
Quando indagados de quem era o maior 2,350 ou 2,305 alguns alunos
compararam cada valor separadamente (2=2, 3=3, 5 é maior que 0 então o maior é
2,350), outros compararam a parte inteira e depois a decimal ( 2=2 e 350 é maior que
305, então o maior é 2,350) e outros ainda utilizaram-se do material dourado
montaram o número e concluíram.
Um dos alunos apresentou sérias dificuldades na organização e
entendimento destes conceitos e três grupos necessitaram de auxílio para a
compreensão e realização das atividades devido ao uso do zero intercalado e ao
valor posicional dos numerais (milésimo dá a eles a noção de maior, pois remete ao
numeral mil, centésimo dá a eles a noção de maior que décimos e assim por diante...)
Esta atividade repetiu-se em grupos e individualmente.
As estratégias de superação do erro foram desenvolvidas de modo coletivo
e partilhadas as dificuldades.
Objetivos: Diferenciar números naturais e decimais.
Entender a formação dos números decimais.
Estabelecer relações entre as partes inteira e decimal.
Compreender o processo de composição e decomposição de numerais decimais.
Quarto dia de atividades
9. Resolvendo problemas
Ao abastecer seu carro na quinta-feira Mário percebeu que o preço do litro de gasolina havia aumentado em R$ 0,152 do preço pago na última abastecida que era de R$ 1,24. Quanto Mário pagou pelo preço da gasolina?
Foram distribuídos aos alunos o Material Dourado e o ábaco de papel. Os
alunos representaram as duas quantidades atentando para a colocação das classes.
Os questionamentos giraram em torno principalmente da interpretação do
problema e da colocação das ordens no ábaco de papel.
Uma leitura cuidadosa do enunciado do problema e a colocação de novas
perguntas ajudaram a buscar a solução do problema, aproveitando, sempre que
possível, o raciocínio apresentado pelo aluno. Também foi trabalhada a nomenclatura
(décimos, centésimos, milésimos e inteiros) e a colocação das ordens.
Um novo exemplo foi trabalhado:
O carro de Mário necessita de um litro de óleo para funcionar. Devido a um vazamento, seu carro estava apenas com 0,732 do litro. Quanto vazou de óleo o carro de Mário?
Houve dificuldade na representação de um litro de óleo e só após algumas
intervenções eles próprios concluíram:
Retiraram 0,732 de um número inteiro, porém antes precisaram entender e efetuar a troca de 1 inteiro por 10 décimos:
E na nova troca: 1 décimo por 10 centésimos:
Finalmente trocaram 1 dos dez centésimos por 10 milésimos:
Restando:
Foram interrogados: “E se houvesse mais 1 centésimo?”; “E se no lugar de
9 centésimos tivessem 10?”; “Por que vai 1?”. Estas questões tinham a finalidade de
permitir ao aluno uma maior compreensão do processo, pois o acréscimo de uma ou
mais unidades em certa ordem faz com que o aluno tenha a necessidade de recorrer
uma ordem superior.
Alguns exercícios tiveram por objetivo reforçar os conceitos de valor
posicional e também que zeros colocados à direita de um número significativo na
parte decimal não alteram o valor do número.
O material manipulável conseguiu mostrar o que muitos alunos não
conseguem abstrair sem a visualização por ele proporcionada.
Objetivos:
Efetuar operações de adição envolvendo numeração decimal transformar
medidas (m e cm) para resolução de problemas
Resolver problema expresso por texto envolvendo adição e subtração de
números decimais.
Quinto dia de atividades
10. Explorando figuras A solicitação foi que construíssem no geoplano, com os elásticos coloridos,
triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos de tamanhos diferentes, para revisão
de alguns conceitos: figuras planas e polígonos convexos. O modelo de geoplano,
que adotamos nesta atividade, é o geoplano quadrado.
Referindo-se às figuras planas os alunos não encontraram dificuldades.
Alguns alunos construíram polígonos côncavos e convexos e para tanto foi
necessária uma intervenção do professor na diferenciação entre eles visto que o
conteúdo a ser explorado nesta série são os polígonos convexos.
Objetivo: Permitir que o aluno visualize formas diferentes de triângulos,
quadriláteros, etc. (quanto aos lados e ângulos).
11. Noções de perímetro e área
Construir a medida de área no geoplano e fazer as relações com área e
perímetro.
Para introdução do conceito de área explicou-se a unidade de medida no
material e os alunos consideraram como sendo a distância entre os quatro pregos.
Pediu-se que montassem uma figura e verificassem quantas unidades
lineares foram suficientes para contornar a figura (noção de perímetro) e a seguir que
verificassem quantas unidades de área estavam contidas na figura (noção de área).
As atividades foram repetidas com várias figuras porque alguns alunos
contavam os pregos e não as unidades.
Solicitou-se que construíssem alguns quadrados no Geoplano e
verificassem o perímetro e a área de cada figura.
12. Construindo figuras Construir 2 retângulos de mesma área e perímetro diferentes.
Construir 2 retângulos de mesmo perímetro e áreas diferentes.
Construir 2 paralelogramos não retangulares de áreas iguais e perímetros
diferentes.
Construir um losango e um trapézio de modo que ambos possuam 6
unidades de área.
Construir três figuras diferentes de área primeiramente 6 e depois 10 e
calcular o perímetro de cada figura.
No Geoplano foi solicitado que desenhassem figuras com os seguintes
perímetros e áreas:
Perímetro Área12 910 412 88 412 6
Aos pares, os alunos manusearam o material desenvolvendo as atividades
acima, surgiram outras propostas pelos próprios alunos, como criar duas figuras com
o mesmo número de pregos, comparar construções de superfícies semelhantes e
perímetros diferentes.
Os alunos recorreram muitas vezes à estratégia da tentativa e erro,
demonstrando sempre persistência na procura de soluções e pararam para observar
e pensar. As tarefas desenvolveram o pensamento imaginativo dos alunos e
facilitaram a descoberta e análise de relações.
Objetivos: Desenvolver a percepção espacial; calcular a área de uma figura
plana expressa por medidas; identificar a área de uma figura plana em malha
quadriculada; reconhecer que para calcular o perímetro é necessário adicionar as
medidas do contorno da figura dada; identificar figuras de mesma área; apresentar o
geoplano como um material que auxilia a compreensão de alguns conteúdos de
geometria.
ALGUMAS CONSIDERAÇOES
No desenvolvimento das atividades relatadas, buscou-se investigar em que
medida a experiência do trabalho tendo o “erro” como mote pode contribuir para
transformar as concepções da matemática e seu ensino na prática educativa.
Os resultados fundamentados na aplicação da Prova AVA 2000 evidenciam
que há conhecimentos matemáticos básicos que não são apreendidos pelos alunos
que concluem as séries iniciais e que as principais dificuldades apresentadas pelos
alunos são geradas pela mecanização dos conteúdos, tanto na resolução de
algoritmos como na resolução de problemas.
Um item que pode servir como exemplo para ilustrar este fato são as
questões que envolvem as operações fundamentais e a compreensão do sistema de
numeração decimal. Os alunos que não chegaram à solução correta de uma das
questões selecionadas tiveram seus erros centrados na resolução das operações
(quase 50%) demonstrando que ainda não dominam conceitos como os de
agrupamentos e trocas na formação de ordens e classes.
Somado a este, outros exemplos analisados fizeram com que a geometria
estivesse entre as questões selecionadas: “Qual é a área de um campo que tem 12
metros de comprimento e 9 metros de largura?” Ou ainda: “Cortei 155 centímetros de
um barbante de 3 metros, quanto sobrou?”. E: “Siga o roteiro do mapa. Quantos
metros Pedrinho têm que caminhar para chegar a escola? O aluno, interpretando o
mapa, deveria apenas efetuar a adição de quatro números decimais 13,5m, 30m,
41,3m e 15,45m.
A partir dessa premissa a reflexão sobre a prática e a proposição de novas
abordagens para os conceitos e procedimentos ainda não consolidados devem ser
objeto de estudo e averiguações no intuito de avançarmos para uma Matemática que
realmente possa atender aos princípios de formar cidadãos, e bem preparados.
As estratégias para superação do erro como proposta metodológica, talvez,
seja um dos caminhos apontados para corrigir esta e outras questões abordadas
neste trabalho embora a complexidade desse processo de mudança se faça evidente.
Assim, há ainda um longo caminho a ser percorrido se desejamos formar
profissionais competentes e comprometidos com uma sociedade igualitária, mas, seja
por qual metodologia ou concepção optarmos, o fato é que só terá eficácia se a
construção for coletiva.
CONCLUSÃO
Estudos realizados neste trabalho apontam para uma necessidade de
adequar a matemática a uma nova realidade lançando novos olhares em relação aos
resultados de avaliações em Matemática.
A análise dos resultados apresentados mediante a prova do AVA 2000
realizado nas quintas séries do “Colégio Estadual Emílio de Menezes” no ano de
2007, mostram que os alunos, ao final das séries iniciais, apresentam dificuldades
nas quatro operações, no sistema de numeração decimal, cálculos de porcentagens,
noções de medidas de comprimento e área e interpretação de problemas entre
outras.
O que se observa é que nossos alunos são colocados num mesmo nível de
aprendizagem e são ensinados da mesma forma e o “erro” é desprezado e
dificilmente são retomadas as questões incorretas. Nesta pesquisa o erro pode ser
considerado metodologia de pesquisa e ensino, ponto de partida, fonte de informação
e o caminho até chegar a uma resposta. O erro deve fazer parte da construção do
conhecimento e o professor deve estar atento às condições em que o erro acontece e
quais as estratégias para superá-lo. Aprender é um processo envolvendo tentativas
de acerto e erro, levantamento de hipóteses, deduções e abstrações. Por isso é
comum que as pessoas errem em suas tentativas de aprender.
Desenvolvendo estratégias destinadas à superação do “erro”, os resultados
tendem a ser mais positivos especialmente se trabalhados de forma com que o aluno
construa e abstraia seus conceitos por meio de materiais que auxiliem a sua
compreensão.
Um dos aspectos positivos relevante neste estudo foi a correção das
dificuldades por meio do “erro” pelo próprio aluno e o processo de construção do seu
pensamento matemático a partir de abstrações que tiveram suporte na manipulação
de materiais.
O que se constatou foi que o trabalho desenvolvido de maneira a
proporcionar ao aluno a compreensão dos conceitos contribuiu de forma significativa
para assimilação dos conteúdos. Porém ficou evidenciado que este trabalho pode ter
um aproveitamento considerável se aplicado nas séries iniciais. Sendo que a
estrutura do Colégio Estadual Emílio de Menezes contempla alunos de 5ª a 8ª série
do ensino fundamental e ensino médio, a sugestão é que o trabalho se inicie a partir
do ingresso do aluno neste estabelecimento.
O trabalho com o erro nas aulas de Matemática, associado ao uso de
estratégias para superação das dificuldades que os alunos apresentam, pode
contribuir para estimular o aluno, criar situações reais de aprendizagem, propiciar a
construção do conhecimento e a formação de alunos preparados para enfrentar os
desafios da vida.
O que se constatou foi que o trabalho desenvolvido de maneira a
proporcionar ao aluno a compreensão dos conceitos contribuiu de forma significativa
para compreensão dos conteúdos. Porém ficou evidenciado que este trabalho pode
ter um aproveitamento considerável se aplicado nas séries iniciais. Sendo que a
estrutura do Colégio Estadual Emílio de Menezes contempla alunos de 5ª a 8ª série
do ensino fundamental e ensino médio, a sugestão é que o trabalho se inicie a partir
do ingresso do aluno neste estabelecimento.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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