este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de investigação no campo da Educação Matemática, particularmente no ensino de equações quadráticas. Inicialmente será abordada uma apresentação histórica do ensino da álgebra no currículo brasileiro. Como referencial teórico, serão tratados os significados de uma equação classificados por Ribeiro (2012) e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Com base nos aportes teóricos apresentados, serão descritos a construção e a preparação da sequência de atividades bem como o relato da aplicação realizada em duas turmas do 9 o ano do Ensino Fundamental em uma escola municipal da cidade de Joinville. O trabalho também apresenta alguns registros da atividade aplicada em sala e a análise destes resultados. Os resultados obtidos indicam a dificuldade dos alunos em transitar dentre os registros geométricos e os registros algébricos, na conversão em representar algebricamente e na interpretação dos enunciados das fichas com exercícios propostos. Orientador: Adriano Luiz dos Santos Né JOINVILLE, 2015

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Page 1: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de investigação no campo da Educação Matemática, particularmente no ensino de equações quadráticas. Inicialmente será abordada uma apresentação histórica do ensino da álgebra no currículo brasileiro. Como referencial teórico, serão tratados os significados de uma equação classificados por Ribeiro (2012) e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Com base nos aportes teóricos apresentados, serão descritos a construção e a preparação da sequência de atividades bem como o relato da aplicação realizada em duas turmas do 9o ano do Ensino Fundamental em uma escola municipal da cidade de Joinville. O trabalho também apresenta alguns registros da atividade aplicada em sala e a análise destes resultados. Os resultados obtidos indicam a dificuldade dos alunos em transitar dentre os registros geométricos e os registros algébricos, na conversão em representar algebricamente e na interpretação dos enunciados das fichas com exercícios propostos.

Orientador: Adriano Luiz dos Santos Né

JOINVILLE, 2015

Page 2: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO

ENSINO DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS: SIGNIFICADOS E REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

BRUNA CORSO

JOINVILLE, 2015

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BRUNA CORSO

ENSINO DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS: SIGNIFICADOS E

REPRESENTAÇÕES SEMIÓTICAS

Trabalho de Graduação apresentado ao curso de

Licenciatura em Matemática do Centro de

Ciências Tecnológicas da Universidade do Estado

de Santa Catarina, como requisito parcial para a

obtenção do grau de Licenciatura em Matemática.

Orientador: Adriano Luiz dos Santos Né

JOINVILLE-SC

2015

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BRUNA CORSO

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Dedico este trabalho à minha família, a base da minha vida.

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AGRADECIMENTOS

Primeiro, gostaria de agradecer a Deus por toda força, incentivo

e coragem. Saiba que sem ti, Senhor, não sou nada.

Agradeço aos meus eternos professores e queridos pais, Jones e

Gladis, por todo amor, compreensão, incentivo que me deram para não

desistir das coisas que me fazem sorrir e por me levarem cada dia para

mais para perto de Deus.

Obrigada Luana e Darlan, minha irmã e meu cunhado, meus

melhores amigos, por todo carinho e apoio nos momentos de alegria e

tristeza. Desse amor, vocês me deram um lindo presente que chegou

para iluminar a minha vida e descobrir o dom de ser madrinha. Obrigada

Mariana, por trazer alegria com esse teu jeito sapeca e ser o motivo do

meu sorriso mesmo naqueles momentos de dificuldades.

Ao professor Adriano, por aceitar o desafio de me orientar neste

trabalho. Obrigada pela amizade, a ajuda nos momentos de dúvidas e

incertezas e por todo incentivo durante a pesquisa.

Agradeço à professora Valkiria, supervisora do PIBID e

professora da escola, que cedeu suas aulas para aplicação da atividade.

Obrigada pelo carinho e por todos os ensinamentos neste período.

Aos professores Valdir Damázio e Regina Munhoz, por

aceitarem compor a banca examinadora deste trabalho. De maneira

especial, agradeço à professora Regina, pela amizade durante a

faculdade, incentivo e aprendizagem proporcionada. Com muito

carinho, queria agradecer a todos os professores do curso de matemática

pelo aprendizado e aos que me mostraram o verdadeiro valor de ser

professora.

Obrigada às minhas amigas Suelen, Mariana, Nathiele,

Caroline, Jennifer pela amizade, pelos momentos de descontração e

estudos. De forma especial, gostaria de agradecer à Mariana pela

amizade neste último semestre da faculdade; obrigada pelos momentos

que compartilhamos juntas, pelas risadas e por me auxiliar na realização

deste trabalho. Às minhas amigas Jéssica, Andressa, Joana, Emanuella e

o meu amigo Marcelo, pelo incentivo e amizade. Desejo muito sucesso para vocês.

Agradeço a todos os meus familiares que, mesmo estando

longe, me incentivaram durante toda essa caminhada. A todos os meus

amigos, o meu muito obrigada.

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Page 12: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

“Sou um pequenino lápis nas mãos do

meu Senhor; é Ele que faz tudo.”

Madre Teresa de Calcutá

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RESUMO

CORSO, Bruna. Ensino das equações quadráticas: significados e

representações semióticas. 2015. 67p. Trabalho de Conclusão de Curso

(Graduação em Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado

de Santa Catarina, Joinville, 2015.

Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de investigação no

campo da Educação Matemática, particularmente no ensino de equações

quadráticas. Inicialmente abordo uma apresentação histórica do ensino

da álgebra no currículo brasileiro. Como referencial teórico, serão

abordados os significados de uma equação classificados por Ribeiro

(2012) e a Teoria dos Registros de Representação Semiótica. Com base

nos aportes teóricos apresentados, serão descritos a construção e a

preparação da sequência de atividades bem como o relato da aplicação

realizada em duas turmas do 9o ano do Ensino Fundamental em uma

escola municipal da cidade de Joinville. O trabalho também apresenta

alguns registros da atividade aplicada em sala e a análise destes

resultados. Os resultados obtidos indicam a dificuldade dos alunos em

transitar dentre os registros geométricos e os registros algébricos, na

conversão em representar algebricamente e na interpretação dos

enunciados das fichas com exercícios propostos.

Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino Fundamental.

Representação Semiótica. Significado. Equações Quadráticas.

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ABSTRACT

CORSO, Bruna. Teaching of quadratic equations: meanings and

semiotic representations.67 pages. Completion of Course Work

(Undergraduate Degree in Math) –University of the State of Santa

Catarina, Joinville, 2015

The aim of this work is to launch an investigation proposal on the

Mathematic Education area, particularly in the teaching of quadratic

equations. Initially aboard a brief historical overview Algebra Teaching

in Brazil. Based on studies of meanings of an equation by Ribeiro(2012)

and the theory of registers of semiotic representation, were described the

creation of one sequence of activities and its application report in two

elementary school classes in Southern Brazil. The results appoint to

student difficulties in transit among different representations of

registers, in other words, in the conversion of geometry to algebra

representation. Besides, difficulties in text interpretation of statements

of the activities.

Key words: Mathematic Education. Elementary School. Semiotic

Representation. Meaning. Quadratic Equations.

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1 – Protocolo de respostas de uma dupla de estudantes............. 27

Figura 2 – Resolução de uma equação quadrática ................................ 31

Figura 3 – Representação gráfica da equação y=2x+1 .......................... 32

Figura 4 – Representação do quadrado de lado x.................................. 37

Figura 5 – Representação do retângulo de lados 10 e x ........................ 38

Figura 6 – Retângulos divididos em quatro partes iguais ..................... 38

Figura 7 – Figura formada por quadrado e quatro retângulos ............... 39

Figura 8 – Novo Quadrado.................................................................... 39

Figura 9 –Área de um quadrado do registro geométrico para o algébrico

.............................................................................................................. 41

Figura 10 – Área de um quadrado do registro algébrico para o

geométrico ............................................................................................ 41

Figura 11 – Figura formada pelo quadrado e quatro retângulos ........... 42

Figura 12 – Construção de um quadrado .............................................. 42

Figura 13 – Construção de um retângulo .............................................. 43

Figura 14 – Representação algébrica para a geométrica de um retângulo

.............................................................................................................. 45

Figura 15 – Figura da Ficha 2 ............................................................... 47

Figura 16 – Figura da Ficha 3 ............................................................... 47

Figura 17 – Figura da Ficha 6 ............................................................... 48

Figura 18 – Resolução de um aluno ...................................................... 48

Figura 19 – Resolução do Aluno A da Ficha 5 ..................................... 49

Figura 20 – Resolução de um aluno da Ficha 3 .................................... 50

Figura 21 – Figura da Ficha 4 ............................................................... 50

Figura 22 – Resolução do Aluno B da Ficha 5 ..................................... 51

Figura 23 – Resolução do Aluno C da Ficha 5 ..................................... 51

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LISTA DE SIGLAS

CAPES Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior

MMM Movimento da Matemática Moderna

PCN Parâmetros Curriculares Nacionais

PIBID Programa Institucional de Bolsa de Iniciação à Docência

TRRS Teoria dos Registros de Representação Semiótica

UDESC Universidade do Estado de Santa Catarina

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SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ................................................................................... 20

CAPÍTULO 1- ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS ...... 22

1.1 UM BREVE PANORAMA HISTÓRICO ................................... 22

1.2 ENSINO DE ÁLGEBRA E SEUS SIGNIFICADOS................................ 24

1.2.1 Teoria dos Registros de Representação Semiótica .............. 29

CAPÍTULO 2- PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA

PESQUISA .......................................................................................... 34

2.1 OBJETO DE PESQUISA ........................................................... 34

2.2 RECONHECENDO AS TURMAS E A CONSTRUÇÃO DE UMA

SEQUÊNCIA DE ESTUDOS .................................................................. 35

2.2.1 Relato da Aplicação em Sala de Aula ................................. 40

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS ............................ 44

CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................. 54

REFERÊNCIAS .................................................................................. 56

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20

INTRODUÇÃO

O principal objetivo proposto nas quatro disciplinas de estágio

oferecidas pelo curso de Licenciatura em Matemática é inserir o

licenciando no seu futuro ambiente de trabalho para que possa

desenvolver um olhar crítico no que diz respeito às maneiras de se

desenvolver uma aula de matemática bem como acompanhar as aulas de

um professor, juntamente com a análise do programa de matemática da

escola por meio dos documentos oficiais.

Durante este período de estágio, pude perceber o desinteresse de

alguns alunos com relação à aprendizagem de matemática, causando

certa dificuldade no entendimento do conteúdo pelo fato de não

atribuírem significado às atividades vistas em sala. Essa dificuldade se

torna maior quando são abordados conteúdos de difíceis

contextualizações, em que os alunos questionam o motivo de estar

estudando um assunto que julgam não empregar em sua prática

tampouco utilizar na profissão futura.

Em consonância a isto, no decorrer do curso procurei envolver-

me em projetos que iriam me proporcionar um aprendizado para a

minha futura prática docente. Ao atuar como bolsista do PIBID, um dos

objetivos, segundo o site da Capes, é a inserção dos alunos licenciados

em escolas da rede pública de educação, que possa proporcionar

oportunidades para criar e participar de experiências metodológicas,

tecnológicas e práticas docentes com caráter inovador e interdisciplinar

buscando superar os problemas identificados no processo de ensino-

aprendizagem.

Neste período, durante as aulas do Clube de Matemática

oferecidas aos alunos no contraturno, a maior dificuldade dos alunos do

nono ano era o conteúdo de equações do segundo grau. Muitos

estudantes veem as equações quadráticas como um exercício de

treinamento de fórmulas – por exemplo, a fórmula de Bháskara –, e não

conseguem relacionar com problemas existentes na vida real. Na

intenção de tentar propor uma prática docente que vise proporcionar aos alunos um aprendizado que lhes tenha mais significado referente a este

tema, realizei uma investigação no campo da Educação Matemática.

Desta forma, o principal objetivo deste trabalho foi criar,

aplicar e analisar uma proposta de ensino para equações

Page 25: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

21

quadráticas que possibilite um processo de ensino que valorize os

significados que as equações podem assumir em atividades matemáticas. Para tentar alcançar tal objetivo eu dividi minhas ações

nos seguintes objetivos específicos: apresentar um panorama histórico

do ensino da Álgebra; identificar as significações do conceito de

equações; reconhecer especificidades do pensamento algébrico;

organizar e aplicar uma sequência de atividades nas turmas do nono ano

sobre o tema equações quadráticas; analisar os registros e interações

realizados pelos alunos.

Nessa direção, no primeiro Capítulo apresento um breve

panorama histórico que possibilite situar-me diante do ensino da álgebra

a partir do momento em que foi introduzida no currículo brasileiro; em

seguida, trago algumas considerações a respeito de significados que o

conceito de equações pode assumir para, então, relacionar estes

significados apresentados, segundo Ribeiro (2012), com uma atividade a

ser proposta em uma escola. Ainda, neste Capítulo, apresento a Teoria

dos Registros de Representação Semiótica, abordada por Raymond

Duval, como um dos referenciais teóricos.

A partir desta construção teórica, organizo e aplico uma

sequência de atividades em duas turmas do 9º ano do Ensino

Fundamental relatadas no Capítulo 2 deste trabalho. Por fim, no último

Capítulo, faço uma análise dos resultados obtidos durante a criação e

aplicação da atividade bem como diagnosticar os registros da proposta

de ensino aplicada em sala de aula e os resultados para futuros trabalhos.

Page 26: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

22

CAPÍTULO 1- ALGUMAS CONSIDERAÇÕES TEÓRICAS

1.1 UM BREVE PANORAMA HISTÓRICO

Desde 1799, momento em que a álgebra foi introduzida no

currículo no Brasil por intermédio da Carta Régia, até o início da década

de 60 do século 20, a matemática escolar era apresentada em

compartimentos: primeiro se estudava a aritmética, segundo a álgebra e,

logo depois, a geometria (MIGUEL; FIORENTINI; MIORIM, 1992, p.

40). Neste período, a aprendizagem era fundamentada em

procedimentos. Cabia aos alunos seguir o modelo que lhes era

apresentado, e a disciplina possuía “[...] um caráter mais instrumental,

útil para resolver equações e problemas” (ARAUJO, 2008, p. 332).

O Movimento da Matemática Moderna, na década de 60, teve

como propósito a unificação dos três campos fundamentais da

matemática escolar. Ao perceber a forma como era trabalhada a álgebra

e a fragmentação dos campos da matemática, este movimento teve a

intenção, entre outras coisas, de introduzir elementos unificadores, como

a teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas e as relações. Com o

surgimento deste movimento, “[...] a Álgebra viria a desempenhar um

lugar de destaque [...] tornando-a mais rigorosa, precisa e abstrata e,

portanto, assim pensava-se, mais aplicável” (MIGUEL; FIORENTINI;

MIORIM, 1992, p. 45).

No trabalho de Miguel, Fiorentini e Miorim (1992, p. 47), são

apresentados dois significados diferentes para o conceito de equação.

Um pode ser identificado numa citação referente a uma obra sobre o

ensino da álgebra anterior ao Movimento da Matemática Moderna

(MMM), de Pérez y Marín1, e o outro no livro de Zambuzzi

2, elaborado

durante este movimento, Equação é toda igualdade que exprime uma

relação entre as quantidades conhecidas e

desconhecidas de um problema sendas

quantidades conhecidas, os dados do problema ou

1 PÉREZ Y MARÍN, A. P. Elementos de Álgebra. 6ª ed. São Paulo: Liceu

Coração de Jesus, 1928. 2 ZAMBUZZI, O. A. Ensino Moderno da Matemática. 4ª ed., Vol. 2 São Paulo:

Editora Brasil, 1965.

Page 27: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

23

da equação e as quantidades desconhecidas as

incógnitas. (Pérez y Marín, 1928; p.15).

A toda sentença aberta, que encerra a relação de

igualdade e que se torna verdadeira para

determinados valores das variáveis, dá-se o nome

de equação. Para que as sentenças se tornem

verdadeiras é necessário que se dê às variáveis

valores que pertençam a um determinado conjunto

universo. (Zambuzzi, 1965, p. 14).

Na segunda definição expressa por Zambuzzi (1965), podemos

notar a ênfase na precisão matemática e a necessidade de entender o que

são “sentença aberta”, “variáveis”, “conjunto universo” para, depois,

chegar à definição de equação. Isto, porém, não se torna necessário na

primeira definição, quando existe uma preocupação pragmática presente

que “[...] fazia com que o conceito de equação viesse imediatamente

associado à necessidade de resolver problemas” (MIGUEL;

FIORENTINI; MIORIM, 1992, p. 47).

No decorrer do movimento da matemática moderna, Katia Gil

(2008) relata que este movimento acabou tornando-se “difuso e

diversificado”, em razão das diversas formas pelas quais foi assimilado

nos diferentes países e, em decorrência disto, “[...] a partir do final da

década de 70 aparecem alternativas para superar essa situação focando a

correção de distorções e excessos cometidos” (GIL, 2008, p. 23). Ainda

é possível encontrar na literatura disponível que a prática pedagógica

modernista não conseguiu alcançar sucesso na realização do seu projeto

formativo, no qual a subordinação dos conteúdos às estruturas deveria

dotar o aluno de uma capacidade de aplicar essas formas estruturais aos

mais variados domínios, dentro e fora da Matemática (MIGUEL;

FIORENTINI; MIORIM, 1992, p. 49). Em decorrência disto, a segunda

metade da década de 70 foi marcada pelo declínio do Movimento da

Matemática Moderna. A Álgebra pós-matemática moderna retoma seu

papel anterior, com a finalidade de resolver equações e problemas.

Nestes três períodos históricos é possível notar que, em um primeiro momento, a Geometria era considerada um “[...] objeto para

elevar o espírito” (MIGUEL; FIORENTINI; MIORIM, 1992, p.43),

enquanto a Álgebra era vista como uma disciplina estritamente

pragmática, a primeira ensinada nas escolas das altas classes sociais, e a

segunda às classes populares. Em seguida, a Álgebra teve um lugar de

Page 28: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

24

destaque, principalmente pela exacerbada preocupação com o rigor, e,

no terceiro momento, por volta da década de 80, em virtude de um quase

“esquecimento” do ensino de geometria, o que gerou discussões sobre o

ensino de matemática no currículo brasileiro, o campo da Geometria

volta a receber uma maior atenção em relação ao seu ensino.

Quanto ao ensino da geometria, a pesquisadora Regina

Pavanello (1993) publica um texto de grande importância no campo da

Educação Matemática, intitulado O abandono do ensino da geometria

no Brasil: causas e consequências. Neste trabalho, a autora menciona

algumas razões que parecem ter feito com que o ensino de geometria

fosse deixado de lado em razão dos grandes problemas que enfrentavam

com relação “ao conhecimento do professor, aos métodos utilizados, à

dificuldade em se estabelecer uma ponte entre a geometria prática

indicada para a escola elementar e a abordagem axiomática introduzida

no secundário” (PAVANELLO, 1993, p. 13). Também pude encontrar

relatos dos pesquisadores Miguel, Fiorentini e Miorim (1992) no texto

Álgebra ou Geometria: para onde pende o pêndulo? sobre um segundo

abandono, agora do ensino da álgebra. Logo a seguir, no entanto, já é

especificado que este abandono não é no sentido de

[...] ausência de informações algébricas, mas

ausência de reflexão crítica sobre esse ensino, isto

é, a sua fossilização decorrente da não percepção

da necessidade de renovação que pudesse

imprimir-lhe novas direções e novas significações

(MIGUEL; FIORENTINI; MIORIM, 1992, p.

43).

É notável o ensino da álgebra presente neste momento histórico

sem reflexões acerca do seu real valor e, com isso, sem que pudesse

possibilitar aos alunos novos significados. E é sobre isto que passarei a

relatar na seção a seguir.

1.2 ENSINO DE ÁLGEBRA E SEUS SIGNIFICADOS

De acordo com Miguel, Fiorentini e Miorim (1992),

[...] a maioria dos professores ainda trabalha a

Álgebra – de forma mecânica e automatizada,

dissociada de qualquer significação social e

Page 29: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

25

lógica, enfatizando simplesmente a memorização

e a manipulação de regras, macetes, símbolos e

expressões (1992, p. 40).

No decorrer das leituras de trabalhos de pesquisadores na área

da Educação Matemática, podemos notar que muitos ainda

problematizam o ensino da álgebra realizado de maneira muito

mecanizada e com uma linguagem de difícil compreensão aos alunos.

Segundo Katia Gil, os tipos de atividades e as intervenções do

professor nos processos de exploração das diferenças e dos significados

dos objetos matemáticos, são decisivos para se obter um aprendizado

efetivo. Estas atividades precisam dar oportunidade para que “[...] os

alunos consigam se familiarizar com situações em que a Álgebra assume

as diferentes funções, tornando-se significativa para o aluno” (GIL,

2008, p. 46).

Perante a importância do professor na escolha de atividades que

estimulem um aprendizado significativo em seus alunos, Marcio Dorigo

(2010) ainda afirma que na educação básica este aprendizado, em

específico, deve levar em consideração,

Primeiro a importância de que o aluno entenda o

que são e para que servem as equações, e como

desenvolver estratégias para resolvê-las; segundo,

ser capaz de utilizar tais conhecimentos para fazer

uma leitura crítica das soluções; terceiro, propiciar

a capacidade de abstração e generalização,

ajudando assim o aluno a compreender situações

do cotidiano escolar e de sua vida diária, como

fazer conjecturas, resolver problemas, ler,

interpretar, construir gráficos, etc. (p. 109).

Diante disto, entre vários trabalhos que vêm dando atenção ao

ensino da álgebra, particularmente no que diz respeito às equações,

trago como referência o de Alessandro Jacques Ribeiro, sobre as

significações do conceito de equações. Ribeiro (2012) pretende apontar

relações e potencialidades entre diferentes significados de equação e o

conhecimento matemático para o ensino. Em seu trabalho, o autor traz a

classificação de seis categorias de significados para o conceito de

equações, a saber: intuitivo-pragmático, dedutivo-geométrico,

estrutural-generalista, estrutural-conjuntista, processual-tecnicista e

Page 30: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

26

axiomático-postulacional. Neste trabalho levarei em consideração estes

significados. Desta forma, entendo ser importante discorrer um pouco

sobre cada um deles, o que passarei a fazer a seguir.

Na primeira classificação feita por Ribeiro - a intuitivo -

pragmático – a principal característica é a sua relação com a resolução

de problemas de ordem prática, que emerge de uma situação do

cotidiano e pode ser tratada numericamente, utilizando conhecimentos já

adquiridos pelos indivíduos. O segundo significado de equação aborda

noções ligadas a figuras geométricas, segmentos e curvas; por exemplo,

exercícios que trabalhem com a medida de lados de figuras geométricas,

com interseções de curvas. O terceiro significado, estrutural-generalista,

Ribeiro cita que o conceito de equação é dado por meio de uma “[...]

noção estrutural definida e com propriedades e características próprias”.

Sua utilização está relacionada com a busca de soluções gerais para uma

classe de equações de mesma natureza.

A quarta classificação dos significados de equação, definida

como estrutural-conjuntista, está diretamente ligada à noção de

conjunto. Este significado é útil para a resolução de problemas que

abordam relações entre conjuntos. Na quinta classificação a equação é

concebida como a sua própria resolução. Os métodos e as técnicas

utilizadas para resolvê-la, se há generalização aqui, não é no sentido da

estrutura, mas das formas de proceder - seja pela fórmula de Bháskara,

completando quadrados, geometricamente, etc. (RIBEIRO, 2012)

Estas duas últimas classificações pareceram um pouco

próximas; então, na intenção de melhor distingui-las, trago como

exemplo o caso das equações quadráticas. Quando tratamos das

equações do tipo , o significado estrutural-generalista

parece se preocupar mais com as formas de resolução desta equação, por

exemplo, quando e , quando e e, por fim,

quando todos os coeficientes são diferentes de zero; e isso tomando a

equação como um ente matemático rigorosamente definido. Já o

significado estrutural-conjuntista concentra sua atenção nos corpos

numéricos que se relacionam no trabalho das equações quadráticas. Sua

discussão reside, por exemplo, na resolução de equações do tipo

, com e sua solução não pertence ao corpo

dos reais, ou mesmo nas interpretações dos casos em que o uso da

fórmula de Bháskara tem como efeito uma raiz quadrada de um número

negativo.

Page 31: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

27

Em sua última classificação, o autor cita que a equação é

concebida como noção da matemática, que não precisa ser definida;

“uma ideia a partir da qual outras ideias, matemáticas e não

matemáticas, são construídas” (RIBEIRO, 2012, p. 544).

Diante destas classificações, apresento uma situação utilizada

por este pesquisador em seu trabalho para dar ideia de como fazer uso

destes significados em uma atividade matemática:

Uma aluna, Bianca, fã de música, reserva num

certo mês R$ 70,00 para a compra de CDs ou

DVDs. Um CD custa R$ 12,00 e um DVD custa

R$ 16,00. Quais as possibilidades de compra

desses dois bens, gastando exatamente os R$

70,00? (RIBEIRO, 2012, p. 546)

Segundo o protocolo de respostas de uma das duplas de alunos

que responderam a esta questão e posterior entrevista, eles mencionaram

que não foi possível reconhecer e nem utilizar conceitos de equação para

resolver o problema, e a melhor forma, ou a única forma, para eles

resolverem, era por meio de “chutes” para encontrar o resultado.

Observe na Figura 1 a resolução destes alunos.

Figura 1 – Protocolo de respostas de uma dupla de estudantes

Fonte: RIBEIRO, 2007, p. 547.

Por mais que os alunos não tenham utilizado fórmulas ou

algoritmos para resolver o problema, a classificação feita por Ribeiro

(2007) permite caracterizar o conhecimento que estes estudantes

possuem a respeito das equações como Intuitivo-pragmático, pois o

Page 32: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

28

significado emerge de uma situação do cotidiano e usa conhecimentos já

anteriormente adquiridos pelos alunos.

Quando se torna possível dar uma classificação para os

significados dos estudantes, o professor, ao mesmo tempo, reconhece

quais significados ainda não são reconhecidos pelos mesmos para,

então, pensar em estratégias para inseri-los nos processos de ensino e

aprendizagem. Para o ensino da álgebra, portanto, estes significados

precisam ser considerados, pois a “[...] categorização de seis

significados indica um caminho para contemplar um tipo de

conhecimento especializado do conteúdo – útil e importante – para o

professor de matemática exercer, de maneira eficaz, seu papel no

ensino” (RIBEIRO, 2007). Sendo assim, fica evidente que o

aprendizado em álgebra passará a ser mais efetivo quando os estudantes

conseguirem percebê-lo e serem capazes de utilizá-lo.

Os autores Miorim, Miguel e Fiorentini (1993) apontam alguns

elementos que caracterizam o pensamento algébrico, a saber:

a percepção de regularidades, a percepção de

aspectos invariantes em contraste de outros que

variam, as tentativas de expressar ou explicar a

estrutura de uma situação problema e a presença

do processo de generalização. (MIORIM;

MIGUEL, FIORENTINI, 19933, p. 37 apud

Ribeiro 2008, p. 341).

Com relação a estas novas significações de equações e as

características do pensamento algébrico, Araujo (1999), menciona que

“[...] o pensamento algébrico tem várias formas de expressão, podendo

ser manifestado através da linguagem natural, aritmética, geométrica ou

através de uma linguagem simbólica.” (p. 69). Ainda, a autora apresenta

que a solução de problemas com enunciado utilizando recursos

algébricos, abrange aspectos do pensamento algébrico como variação,

dependência, formalização, processamento e comprovação.

Pelas leituras de Araujo (1999, 2008) e Ribeiro (2012), é

possível observar que as equações podem assumir diversos significados

em seu uso e, para que haja um bom conhecimento algébrico, é

3 MIORIN, Â; MIGUEL, A.; FIORENTINI, D. Ressonâncias e dissonâncias do

movimento pendular entre álgebra e geometria no currículo escolar brasileiro.

Zetetiké, v. 1, n. 1, p. 19-39, 1993.

Page 33: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

29

necessário o reconhecimento destes significados e a sua devida

utilização por parte dos alunos.

Com base nessas reflexões, é relevante pensar em intervenções

em sala de aula que utilizem atividades que coloquem os estudantes ante

o reconhecimento e o uso destes significados supracitados. Esta é a

minha intenção para o próximo Capítulo, quando vou apresentar a

intervenção prática que realizei com alunos de duas turmas de nono ano.

Entretanto, antes de dar continuidade, passarei agora a

apresentar uma teoria que parece-me se articular com os trabalhos que

acabo de apresentar, e que também servirá para a organização e análise

de minha intervenção em sala de aula, a Teoria dos Registros de

Representação Semiótica.

1.2.1 Teoria dos Registros de Representação Semiótica

A teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS) foi

elaborada pelo pesquisador Raymond Duval, filósofo francês e

psicólogo de formação, desenvolveu estudos sobre a psicologia

cognitiva. O principal de seus trabalhos é o funcionamento cognitivo

dos estudantes por meio da “[...] mobilização de representações

semióticas, na atividade de resolução de problemas de matemática”

(GUADAGNINI, 2013, p. 57).

Em 1995, Duval publica a obra intitulada Sémiosis et pensée humaine (Semiósis e o pensamento humano), na qual descreve um

modelo de funcionamento cognitivo do pensamento que se baseia na

mudança de registro de representação semiótica. Para a resolução de um

problema, em geral, somos instigados a pensar que um problema

apresenta apenas uma única forma de resolução, contudo há diversas

maneiras. Para entendermos melhor esta afirmação, apresento um

exemplo que retiro do trabalho de Moretti (2002), em que ele adapta

uma situação proposta por Duval a alguns alunos.

A intenção era descobrir qual o valor que está faltando na

igualdade

Duval identifica que os alunos têm certa dificuldade de resolver

esta questão, entretanto, ao trabalhar com a representação decimal, o

problema pode ser representado da forma

Page 34: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

30

Tornando-se uma escolha mais econômica e prática de ser

resolvida, em que no final bastaria reescrever o resultado 0,005 na

representação fracionária para dar a resposta.

Com base nisto e em outros resultados, Duval tem como

finalidade mostrar a importância de reconhecer os vários registros de

representação no processo de aprendizagem, pois, como é possível

observar na situação anterior, outras formas de registrar um objeto

matemático podem trazer certa “economia” para a atividade matemática.

Ainda sob esta teoria, quando acontece a transformação dentro

de um mesmo registro, Duval classifica como uma atividade de

tratamento. Em outras palavras,

Um tratamento é uma transformação da

representação interna a um registro de

representação ou a um sistema. O cálculo é um

tratamento interno ao registro de uma escritura

simbólica de algarismo e de letras: ele substitui

novas expressões em expressões dadas no mesmo

registro de escritura de números (DUVAL, 2009,

apud DIONIZIO; BRANDT, 2012).

Um exemplo que podemos citar de uma atividade de

tratamento, segundo a TRRS, é a resolução da equação quando resolvida com a fórmula de Bháskara.

Page 35: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

31

Figura 2 – Resolução de uma equação quadrática

Fonte: Autora desta pesquisa.

Quando a transformação acontece de um registro de

representação para outro, ou seja, quando existe “mudança de sistema de

representação e em referência a um mesmo objeto matemático”

(MORETTI, 2002, p. 350), Duval dá o nome de conversão. Esta

operação não é tão “algoritmizável” quanto à de tratamento, pois precisa

seguir certos procedimentos metodológicos que estabelecem relações

entre unidades significantes de cada registro (DIONIZIO; BRANDT,

2012).

Uma atividade de conversão citada por Moretti (2002), e que

pode nos dar um maior entendimento destas unidades significativas, é a

representação no plano cartesiano de funções do tipo . A

função, por exemplo, , tem sua representação geométrica

como indico na Figura 3. Perceba que, ao realizar esta operação,

passamos de um registro semiótico algébrico para um registro

geométrico de um mesmo objeto matemático. Para transitar entre estes

registros é preciso estabelecer relações, por exemplo, entre o coeficiente

na representação algébrica e a inclinação, crescente ou decrescente, da

reta que representa o objeto no registro gráfico; também é necessário

estabelecer uma relação entre o coeficiente e a altura em que a linha

da representação gráfica intercepta o eixo das ordenadas.

Percebe-se, então, que na atividade de conversão não há um

algoritmo muito bem-definido como em um tratamento, mas o

Page 36: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

32

estabelecimento de relações entre unidades que são significativas em

cada registro, elementos que influenciam o objeto matemático em cada

um de seus registros semióticos.

Figura 3 – Representação gráfica da equação y=2x+1

Fonte: Autora desta pesquisa.

Com estas considerações teóricas, Duval apresenta o que chama

de sua hipótese fundamental de aprendizagem, que é expressa da

seguinte maneira:

A compreensão (integral) de um conteúdo

conceitual repousa sobre a coordenação de ao

menos dois registros de representação e esta

coordenação manifesta-se pela rapidez e

espontaneidade da atividade cognitiva de

conversão (DUVAL, 1993, p. 51 apud MORETTI,

2002, p. 349).

Então, segundo a TRRS a compreensão em matemática passa

pelo conhecimento de ao menos dois registros de representação e a

mobilização entre estes registros. De acordo com Guadagnini (2013), para Duval não existe

conhecimento matemático que possa ser mobilizado por um indivíduo

sem um sistema de representação que esteja intrinsecamente ligado a

concepções prévias. Guadagnini (2013) enfatiza que

Page 37: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

33

Devemos considerar que os objetos matemáticos

não são perceptíveis ou mesmo observáveis com a

ajuda de instrumentos, seu acesso passa

impreterivelmente por representações semióticas.

Como os alunos, de modo geral, não conseguem

perceber o mesmo objeto matemático em

diferentes representações, isto se torna um fator

limitante para sua apreensão. Daí a importância de

criar condições para que o aluno reconheça um

mesmo objeto matemático em várias

representações, promovendo uma apreensão mais

significativa dos conceitos matemáticos (p. 58).

É sobre a Teoria dos Registros de Representação Semiótica,

particularmente a hipótese de aprendizagem de Duval, aliada aos

significados proposto por Ribeiro (2012), que organizei uma sequência

de atividades para trabalhar o objeto matemático equações quadráticas,

o que passarei a detalhar no próximo Capítulo.

Page 38: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

34

CAPÍTULO 2- PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS DA

PESQUISA

2.1 OBJETO DE PESQUISA

Diante da realidade vista em muitas salas de aula, Berlinghoff e

Gouvêa (2008) fazem o seguinte questionamento a respeito do ensino da

álgebra:

Quando você pensa em álgebra, o que vem à

mente primeiro? Você pensa em equações ou

fórmulas com x’s, y’s e outras letras, amarradas

por números e símbolos aritméticos? Muitas

pessoas pensam. Na realidade, muitos consideram

a álgebra simplesmente como uma coleção de

regras para manipular símbolos que têm relação

com números (p. 117).

A respeito desta citação, percebo que o ensino de álgebra ainda

é muito mecanizado, como, por exemplo, as equações do segundo grau,

que passam a se “automatizar” quando a resolução pela fórmula de

Bháskara é apresentada.

Ao analisarmos a evolução da história das equações do segundo

grau, notamos que, “[...] apesar da evidência no enfoque puramente

algébrico e simbólico destacados na solução de uma equação quadrática no

ensino atual, suas origens revelam um grande conhecimento de técnicas

geométricas” (REFATTI; BISOGNIN, 2005, p. 80). Desde modo, tenho a

preocupação na busca de abordagens que utilizem o cálculo de áreas de

figuras geométricas que recaem em uma equação quadrática visando a

inserir em sala de aula o conhecimento de algumas destas técnicas.

O PCN destaca que a “visualização” das expressões algébricas, por

meio de cálculos de áreas e perímetros de retângulos, serve de recurso que

facilita a aprendizagem de noções algébricas nos alunos. Ainda, comenta que as atividades algébricas devem possibilitar aos alunos a construção do

seu conhecimento a partir de situações-problema que

[...]confiram significados à linguagem, aos conceitos

e procedimentos referentes a esse tema, favorecendo

Page 39: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

35

o avanço do aluno quanto às diferentes

interpretações das letras. Os contextos dos problemas

deverão ser diversificados para que eles tenham

oportunidade de construir a “sintaxe” das

representações algébricas, traduzir as situações por

meio de equações (ao identificar parâmetros,

incógnitas, variáveis), e construir as “regras” para

resolução de equações. (BRASIL, 1998, p. 121-122).

Diante do previsto nos Parâmetros Curriculares Nacionais de

matemática, como objetivo deste trabalho, apresento situações-problema

envolvendo cálculos de áreas de figuras geométricas que resultem em

equações do segundo grau, objeto até então não estudado por uma turma

de alunos do Ensino Fundamental. Sendo assim, isto serviu como uma

introdução ao conteúdo de equações quadráticas que, nas aulas

posteriores à aplicação, foi apresentado aos alunos de maneira formal,

com as definições e as classificações existentes pela professora da

turma.

Como a intervenção proposta visa introduzir o estudo a respeito

das equações quadráticas, construí uma sequência de atividades

abordando dois dos significados apontados por Ribeiro (2012) no

Capítulo anterior. São estes: intuitivo-pragmático e dedutivo-

geométrico. A intenção também foi propor uma atividade que, segundo

a TRRS, proporcionasse aos estudantes a conversão entre estes registros

semióticos.

2.2 RECONHECENDO AS TURMAS E A CONSTRUÇÃO DE UMA

SEQUÊNCIA DE ESTUDOS

A investigação que realizei aconteceu em uma escola municipal

da cidade de Joinville (SC) nas turmas do nono ano B e C, no período

vespertino. A média4 de estudantes por sala era de 28 alunos.

Na última semana de abril de 2015, trabalhei a sequência de

atividades com a turma do nono ano C em três aulas de matemática, que

duraram dois encontros, um de uma aula e outro de duas aulas seguidas, ou aulas-faixa. Vale ainda mencionar que, antes de realizar a atividade,

4 Estou mencionando uma “média” porque, como explicitarei a seguir, a

aplicação durou dois encontros, então não houve a presença do mesmo

número de estudantes em cada dia e nas mesmas turmas.

Page 40: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

36

observei duas aulas de matemática para conhecer melhor a turma. Com

os alunos no nono ano B a aplicação ocorreu em três aulas de

matemática na primeira semana de maio, também em dois encontros,

um de duas aulas-faixa e outro de uma aula.

Na turma B uma estagiária do curso de licenciatura em

matemática esteve auxiliando os alunos, junto comigo, em eventuais

dúvidas que surgiram no decorrer das tarefas. Além disso, durante a

aplicação da atividade, a professora das turmas, que era a mesma, esteve

sempre presente em sala.

A sequência de atividades elaborada foi dividida em 11 fichas

contendo exercícios extraídos e adaptados – segundo os referenciais

apresentados no Capítulo anterior – de livros didáticos. Tinha, no

entanto, a noção de que não, necessariamente, iria conseguir trabalhar

todas as fichas com as turmas da pesquisa. Minha intenção, ao criar 11

fichas, foi de que, caso os alunos tivessem um bom desenvolvimento,

não lhes faltassem atividades. Nas duas turmas foram abordadas apenas

as seis primeiras fichas. No Apêndice A deste trabalho, entretanto, optei

por deixar expostas as 11 fichas para poder servir de referência para

outros que tentem tomar um caminho parecido com o que tomei.

A intenção era que, ao invés de entregar uma grande lista de

exercícios aos alunos, o que poderia parecer mais uma tarefa cotidiana,

optei por apresentar uma dinâmica diferente em sala de aula,

introduzindo fichas com atividades. Cada dupla resolvia, por exemplo, a

Ficha 1, depois recebia a Ficha 2 e assim sucessivamente conforme o

seu desempenho na atividade. Desta forma, a preocupação dos alunos

não seria resolver toda uma lista de exercícios em um determinado

intervalo de tempo, mas de se concentrar em cada etapa do trabalho.

Um dos intuitos de se trabalhar utilizando essas fichas também

foi proporcionar ao aluno momentos de reflexão sobre o que estão

desenvolvendo, uma vez que os próprios alunos, em alguns casos,

descobrem e corrigem os seus erros o que pode proporcionar uma

aprendizagem significativa. A proposta de dividir os alunos em duplas

nesta atividade era favorecer a socialização, além de um ajudar o outro a

vencer os desafios matemáticos com que se deparavam.

Outro ponto positivo ao propor o trabalho com fichas é que o

papel do professor, nesta etapa do trabalho, muda. Segundo Onuchic e

Allevato (2008), o professor passa de comunicador do conhecimento

para um mediador, incentivador do conhecimento. Desse modo, “[...] o

professor, ao fazer a intermediação, leva os alunos a pensar, espera que

Page 41: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

37

eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve,

quando necessário, problemas secundários” (p. 83).

Na elaboração da Ficha 1 introduzi a maneira de resolver uma

equação do segundo grau conforme o matemático árabe Al-Khowarizmi.

O que me inspirou em utilizar seu método foi sua resolução baseada em

construções geométricas, que tentei construir em sala com recortes de

folhas de papel, sobre o que tratarei mais adiante.

No entendimento de Paula, Lopes e Oliveira (2011), este

matemático muçulmano do século 8º d.C., resolvia equações quadráticas

utilizando a técnica de completar quadrados. Al-Khowarizmi resolvia as

equações de forma retórica, mas, para justificar a exatidão de suas

regras, empregava o método geométrico. Na época, não eram

considerados os números negativos como coeficientes ou raízes das

equações.

Esta forma de resolver equações quadráticas não é nova.

Podemos identificá-la em vários livros didáticos. Na atividade que

realizei, entretanto, tive a intenção de propor situações em que os

estudantes precisassem transitar entre as representações algébricas e

gráficas das equações quadráticas, conforme a teoria de Duval, e

pudessem, também, reconhecer os significados que esta assume,

conforme menciona Ribeiro (2012).

A seguir, apresentarei uma solução de Al-Khowarizmi para

resolver uma equação quadrática que retirei do trabalho de NETO

(2011, p. 29). Vamos considerar a determinação das raízes da seguinte

equação .

Primeiramente, desenhamos um quadrado cuja área representa o

termo . O termo da equação é visto como a área de um retângulo

de lados 10 e (Figuras 4 e 5).

Figura 4 – Representação do quadrado de lado x

Page 42: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

38

Fonte: NETO, 2011, p. 28.

Figura 5 – Representação do retângulo de lados 10 e x

Fonte: NETO, 2011, p. 28.

Em seguida, Al-Khowarizmi dividiu esse retângulo em quatro

retângulos de áreas iguais, obtendo a Figura 6. Depois, aplicou cada um

desses quatro retângulos sobre os lados do quadrado de área , como

mostro na Figura 7.

Figura 6 – Retângulos divididos em quatro partes iguais

Fonte: NETO,2011, p. 28.

Page 43: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

39

Figura 7 – Figura formada por quadrado e quatro retângulos

Fonte: NETO,2011, p. 29.

Assim, a área da figura formada é igual a . Sabemos que , portanto a área desta figura é

39. Em seguida, completamos a construção da Figura 7 de maneira que

ela se torne um quadrado, como apresento na Figura 8.

Figura 8 – Novo Quadrado

Fonte: NETO, 2011, p. 29.

A área deste novo quadrado é igual a (a

área anterior mais a área dos 4 novos quadrados). Logo, se a área do

novo quadrado é 64, o lado do quadrado é 8 e assim , resultando em . Al-Khowarizmi mostrou que 3 é uma raiz da

equação: .

É importante mencionar que optei por trabalhar com esta

resolução porque ela pode mobilizar tanto os registros algébricos quanto

Page 44: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

40

os gráficos de uma equação quadrática, além de demandar alguns

tratamentos em cada registro. Este método é abordado na Ficha 1 e a

partir da Ficha 7, porém, nas aulas propostas para a aplicação da

atividade, cada dupla conseguiu resolver até a Ficha 6.

Referente ao trabalho de Ribeiro (2012),visto no Capítulo

anterior, podemos atribuir o uso de dois significados na elaboração das

fichas. O primeiro significado é o intuitivo-pragmático, no qual sua

principal característica é a relação com a resolução de problema que

emergem de uma situação vista no cotidiano dos alunos, o que foi

apresentado nas Fichas 3 e 6 (Apêndice A) quando é calculada a área de

uma planta parcial de um escritório e noutro é visto uma sala com um

tapete e pede-se a área desta sala. Nestas duas fichas, os alunos

poderiam relacionar com circunstâncias presentes na vida real e aplicar

conhecimentos já adquiridos anteriormente, como o cálculo da área de

quadrados e retângulos. O segundo significado de equação apresentado

por Ribeiro aborda noções relacionadas a figuras geométricas,

segmentos e curvas, o que está presente em todas as fichas, pois para

suas resoluções é necessário realizar cálculos que utilizam a medida de

lados de figuras geométricas.

2.2.1 Relato da Aplicação em Sala de Aula

Os principais objetivos na atividade proposta aos alunos das

turmas do nono ano foram relembrar o cálculo de áreas de figuras

geométricas, como quadrados, retângulos e triângulos, introduzir o

conteúdo de equações do segundo grau, apresentar um método

geométrico para resolução de equações quadráticas e propor a resolução

de problemas mediante a criação de fichas envolvendo geometria e

equações do segundo grau.

Para a turma do nono ano C, na primeira aula de matemática,

fiz a revisão do cálculo de áreas de figuras geométricas como o

quadrado, retângulo e o triângulo. Ainda abordei exemplos de como

encontrar a área de um quadrado/retângulo dado o lado da figura e

outros exemplos que solicitavam para determinar a área dado o lado do

quadrado/retângulo, conforme Figuras 9 e 10 na sequência.

Page 45: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

41

Figura 9 – Área de um quadrado do registro geométrico para o

algébrico

Fonte: Autora desta pesquisa.

Figura 10 – Área de um quadrado do registro algébrico para o

geométrico

Fonte: Autora desta pesquisa.

Nesta forma de proceder estou dando atenção tanto para a

conversão da representação gráfica para a representação algébrica

quanto no sentido inverso, pois entendo que essa forma de proceder

parece estar de acordo com a hipótese de aprendizagem de Duval.

Em seguida, expus no quadro cinco envelopes enumerados

contendo equações, como mostrado a seguir.

Envelope 1:

Envelope 2:

Envelope 3:

Envelope 4:

Envelope 5:

A intenção aqui é a identificação de uma equação do 2º grau. A

partir da visualização dos cinco envelopes, então, questionei sobre quais

eram equações do primeiro grau, segundo grau e qual era a diferença

entre equação do primeiro e do segundo grau.

Após esta dinâmica, iniciei a atividade com as fichas

solicitando que os alunos formassem duplas. A Ficha 1, entregue aos

alunos, continha a próxima Figura.

Page 46: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

42

Figura 11 – Figura formada pelo quadrado e quatro retângulos

Fonte: Autora desta pesquisa.

Com a visualização desta Figura, dada a medida do quadrado e

dos retângulos, o objetivo era formar um novo quadrado. Para isto, os

alunos precisavam responder aos seguintes questionamentos: Quantos

quadradinhos iriam precisar? Qual deveria ser a área de cada um desses

quadradinhos? Qual seria a área do novo quadrado formado? A

construção desta primeira ficha foi uma maneira de introduzir uma

forma de resolução de equação do segundo grau proposta pelo

matemático Al-Khowarizmi.

Assim, para tornar mais dinâmica a apresentação, e mais visível

aos alunos, foram entregues duas folhas sulfite a cada estudante. O

objetivo da primeira folha era construir um quadrado. Para isso, propus

a técnica de dobrar a folha de maneira que uma ponta coincidisse com o

outro lado, formando dois triângulos sobrepostos e um retângulo e, com

isso, recortando o retângulo formado, conforme a Figura 12.

Figura 12 – Construção de um quadrado

Fonte: <https://desdobrandoorigami.wordpress.com/tag/origami/page/2/>.

Page 47: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

43

Com a outra folha sulfite dobramos uma vez ao meio e

repetimos mais uma vez este mesmo processo formando quatro

retângulos, como na Figura a seguir.

Figura 13 – Construção de um retângulo

Fonte: <http://portaldoprofessor.mec.gov.br/storage/discovirtual/aulas/16398/-

imagens/retanguloem4.png>.

Com a formação do quadrado e os quatro retângulos, podemos

formar a Figura da Ficha 1 (Figura 11). Em virtude do tempo, esta

atividade continuou na aula seguinte.

No início da aula de quarta-feira apresentei aos alunos um dos

métodos de completar quadrados e uma forma geométrica para resolver

uma equação do segundo grau, com base na Ficha 1 recebida na aula

anterior e na construção dos quadrados e retângulos com as folhas

sulfite. No decorrer das duas aulas de matemática, cada dupla resolveu

as fichas seguintes. Em razão do tempo, as fichas não foram corrigidas

nesta turma.

Procedi da mesma forma com o nono ano B, fazendo a revisão

do cálculo de áreas de figuras geométricas, expondo os cinco envelopes

enumerados com equações e apresentando a atividade com as folhas

sulfite. Neste dia, são duas aulas, uma anterior ao intervalo e outra após

o intervalo. Ao retorno para a sala de aula, apresentei aos alunos uma

forma geométrica para resolver uma equação do segundo grau com base

na Ficha 1 recebida. No decorrer da aula, cada dupla resolveu as fichas

seguintes. Na próxima aula, que não era faixa, cada aluno continuou

com a resolução das fichas. Nesta turma foi realizada a correção das Fichas 1 até a 6, apresentando as soluções de cada ficha com destaques

às formas de resolução expostas pelos alunos.

Page 48: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

44

CAPÍTULO 3 - ANÁLISE DOS RESULTADOS

Como apontado inicialmente, o principal objetivo deste trabalho

foi criar, aplicar e analisar uma proposta de ensino para as equações

quadráticas que possibilite um processo de ensino e aprendizagem que

valorize os significados que as equações podem assumir em atividades

matemáticas. Por isso, neste Capítulo apresento as análises dos

resultados da sequência de atividades realizadas em sala de aula com

base na teoria de Duval vista no Capítulo 1.

Diante do objetivo exposto, entendo ser importante mencionar

que a pesquisa que realizei não teve a intenção de criar uma proposta de

ensino que fosse capaz de solucionar qualquer problema a respeito do

ensino das equações quadráticas no Ensino Fundamental, muito menos

servir de modelo para, daqui para a frente, se pesquisar o tema. Trata-se

de uma pesquisa qualitativa que, segundo o pesquisador Antônio

Garnica (2004), possui as seguintes características:

(a) a transitoriedade de seus resultados;

(b) a impossibilidade de uma hipótese a priori,

cujo objetivo da pesquisa será comprovar ou

refutar;

(c) a não neutralidade do pesquisador que, no

processo interpretativo, vale-se de suas

perspectivas e filtros vivenciais prévios dos quais

não consegue se desvencilhar;

(d) que a constituição de suas compreensões dá-se

não como resultado, mas numa trajetória em que

essas mesmas compreensões e também os meios

de obtê-las podem ser (re)configuradas; e

(e) a impossibilidade de estabelecer

regulamentações, em procedimentos sistemáticos,

prévios, estáticos e generalistas (p. 86).

Por mais que os resultados aqui possam ser positivos, eles são provenientes de uma trajetória que decidi tomar com o auxílio de meu

orientador, da singularidade da turma de alunos que trabalharei, das

influências da professora desta turma, das concepções pedagógicas da

escola em questão, etc.

Page 49: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

45

Isso, porém, não me parece tirar a relevância desta pesquisa,

pois há uma proposta de intervenção em sala de aula materializada que

pode vir a servir para outros pesquisadores e professores. Farei, neste

momento, uma descrição teórico-metodológica da análise dos resultados

obtidos e, entre outras coisas, um delineamento da maneira que eu,

enquanto iniciante de uma pesquisa, me portei e “movimentei” ante o

meu objeto de estudo.

Durante a análise trago os acontecimentos que pareceram mais

expressivos e reproduzidos por grupos de alunos, os quais vão ser

analisados neste Capítulo. Observei alunos que foram muito bem nas

atividades e outros que tiveram dificuldades que ultrapassam a discussão

envolvida neste trabalho. Justamente por se tratar de uma pesquisa

qualitativa, as observações que trago não são neutras, pois passam pela

minha subjetividade.

Inicio a descrição a partir das representações geométrica e

algébrica da área de um retângulo. A proposta, nesta atividade, foi

verificar se os alunos transitavam entre as duas representações, ou seja,

dada a área encontrar os lados do retângulo e dado os lados encontrar a

área. Fiquei surpresa com a resposta de uma aluna, pois, quando propus

isto, pensava que a resposta seria que dada a área os lados

respectivamente seriam 4 e , porém a resposta da aluna foi e 2

(Figura 14).

Figura 14 – Representação algébrica para a geométrica de um retângulo

Fonte: Autora desta pesquisa.

A partir disto, destaquei aos alunos que, às vezes, ficamos

presos a apenas uma forma de representação de uma determinada propriedade geométrica, no entanto existem diversas maneiras de fazê-

lo, como neste exemplo.

Seguindo, expus aos alunos cinco envelopes no quadro com o

intuito de verificar se eles reconheciam e diferenciavam uma equação do

primeiro e do segundo grau. Na aplicação das duas turmas do nono ano,

Page 50: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

46

os alunos responderam que o envelope 5, que continha a equação

, era uma equação do primeiro grau. Ao resolver no

quadro, porém, todos imediatamente mudaram suas respostas. A

dificuldade maior em reconhecer que era uma equação quadrática

aconteceu pelo fato do termo estar fatorado, ou seja, não estar

evidente o . Neste caso, segundo a teoria de Duval, o aluno parece

confundir o objeto com a sua representação, posto que cada

representação não possui as mesmas propriedades e características do

objeto em questão, o que induziu os estudantes ao erro.

Posterior a isto, realizei a atividade com a folha sulfite e

apresentei um método de resolução da equação quadrática , até então nunca visto pelos alunos. Pude perceber a dificuldade no

momento da transição do registro algébrico para o geométrico, ou seja,

associar o termo com a figura geométrica de um quadrado e o termo

com a figura geométrica de um retângulo. Conforme foi visto na

resolução de uma equação no Capítulo anterior, outro ponto foi perceber

que era necessário dividir o retângulo em quatro partes iguais para

preencher os lados do quadrado. Na última figura, formada por

quadrados e retângulos, notei que os alunos sentem dificuldade na

visualização da figura decomposta em várias outras figuras geométricas

menores.

Uma análise que faço é referente à atividade de conversão de

um registro geométrico para um registro algébrico, pois, segundo a

teoria dos registros de representação semiótica, a conversão é parte

importante na construção do conhecimento do aluno. (PANTOJA,

2013).

Na Ficha 2, a maior dificuldade verificada para a resolução foi

encontrar os lados do retângulo proposto, conforme Figura 15. Durante

o acompanhamento na resolução desta ficha, muitos alunos afirmavam

que os lados eram “ ” ao invés de “ ” (Figura

15).

Page 51: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

47

Figura 15 – Figura da Ficha 2

Fonte: Autora desta pesquisa.

Este mesmo erro também foi comum nas Fichas 3 e 6. Na Ficha

3 o item b) questionava qual era a área do corredor na Figura 16, e

muitos alunos respondiam que os lados do retângulo eram e 1,

respectivamente.

Figura 16 – Figura da Ficha 3

Fonte: Autora desta pesquisa.

Esta mesma dificuldade de converter da representação gráfica

dos lados do retângulo para a representação algébrica, pude identificar

na Ficha 6. Conforme a Figura 17, os lados do retângulo são 3 2 +2, porém esta foi a maior dificuldade apresentada, quando os

alunos não conseguiam entender o procedimento da soma “ ”

para encontrar, assim, um lado do retângulo solicitado.

Page 52: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

48

Figura 17 – Figura da Ficha 6

Fonte: Autora desta pesquisa.

Em relação aos tratamentos algébricos envolvendo a

multiplicação dos lados das Figuras, os alunos enfrentaram dificuldade

em efetuar a multiplicação da soma de dois termos, aplicar propriedades

básicas da potenciação e realizar, em uma expressão algébrica, a soma

de termos em comum. Observe algumas das resoluções realizadas

(Figuras 18 e 19).

Figura 18 – Resolução de um aluno

Fonte: Produção de um aluno da turma.

Page 53: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

49

Figura 19 – Resolução do Aluno A da Ficha 5

Fonte: Produção de um aluno da turma.

Na Figura 18 percebemos que a dificuldade do aluno foi

multiplicar por e na seguinte notamos que o erro foi apresentar

que . Nestes erros comuns apresentados pelos alunos,

segundo a teoria de Duval, podemos afirmar que houve uma dificuldade

no tratamento do registro algébrico e no uso de propriedades básicas das

transformações de uma mesma rede semântica.

Ainda em minha análise, identifiquei mais alguns erros que

foram comuns a certo grupo de alunos, referentes ao item c) da Ficha 3.

A questão pedia para encontrar a área total da Figura. Vejamos a

resolução de um aluno (Figura 20).

Page 54: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

50

Figura 20 – Resolução de um aluno da Ficha 3

Fonte: Produção de um aluno da turma.

A dificuldade parece ser a de não conseguir visualizar que a

Figura era formada por duas salas e que era preciso somar a área das

duas salas mais o corredor e igualá-la à área total dada no problema. Em

outras palavras, não fez a conversão da Figura para a equação solicitada

da maneira esperada.

O mesmo problema foi analisado nas Fichas 4 e 5. O problema

proposto na Ficha 4 era encontrar uma expressão que representasse a

área total da Figura 21. A maior dificuldade dos alunos era visualizar

que a figura total era formada por um quadrado e mais um retângulo.

Figura 21 – Figura da Ficha 4

Fonte: Autora desta pesquisa.

Page 55: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

51

Na atividade proposta pela Ficha 5 era necessário identificar

que a área total era formada por retângulos e que bastava encontrar as

representações algébricas de suas áreas e somá-las. Um fato a destacar é

que existiam diversas possibilidades para encontrar a equação solicitada

no item a) da Ficha 5, conforme vemos nas figuras a seguir.

Figura 22 – Resolução do Aluno B da Ficha 5

Fonte: Produção de um aluno da turma.

Figura 23 – Resolução do Aluno C da Ficha 5

Fonte: Produção de um aluno da turma.

Page 56: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

52

A atividade nesta ficha possibilitava que os alunos percebessem

que em um determinado problema, às vezes, não existe apenas uma

única forma de resolvê-lo, entretanto, mesmo partindo de estratégias um

pouco diferentes, é possível obter a mesma solução. Segundo Moretti

(2002), nesta atividade fica evidente o papel que desempenham as

diferentes formas de representar um mesmo objeto matemático, pois são

elas que aumentam a capacidade dos estudantes na resolução de

problemas.

Outra grande dificuldade que identifiquei por parte dos alunos

na resolução das fichas foi a interpretação do problema, ou seja, a

associação do que é dito na linguagem natural a respeito da figura –

conversão da representação linguística para a representação geométrica.

Em outras palavras, eles não conseguiam retirar os dados que o

problema fornecia e interpretar a figura para, depois, resolver o que era

pedido.

Segundo Duval,

Não importa qual a figura desenhada no contexto

de uma atividade matemática, ela é objeto de duas

atitudes geralmente contrárias: uma imediata e

automática, a apreensão perceptiva de formas e,

uma outra, controlada e tornando possível a

aprendizagem, a interpretação discursiva de

elementos figurais. Estas duas atitudes encontram-

se geralmente em conflito porque a figura mostra

objetos que se destacam independentemente do

enunciado e que os objetos nomeados no

enunciado das hipóteses não são necessariamente

aqueles que aparecem espontaneamente. O

problema das figuras geométricas está

inteiramente ligado à diferença entre a apreensão

perceptiva e uma interpretação necessariamente

comandada pelas hipóteses (DUVAL 1988b, p. 58

apud MORETTI, 2002, p. 355).

Pude notar ainda que alguns alunos queriam resolver as

questões de imediato, sem a devida interpretação do problema, o que

induzia ao erro, pois não analisavam as hipóteses do problema para

depois buscar uma solução correta.

Ribeiro (2011) aponta que

Page 57: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

53

Uma vez que Duval destaca a importância de

utilizar diferentes registros de representação

semiótica para a construção do conhecimento

matemático, pode-se conjecturar que, articulando-

se o intuitivo-pragmático com o dedutivo-

geométrico, por exemplo, propicia-se situações

em que o conceito de equação, ainda que

entendido como um problema entre igualdade de

quantidades, possa ser interpretado e representado

de diferentes formas gráficas, seja por meio de

diagramas, de esquemas gráficos, ou mesmo,

posteriormente, pela intersecção de duas curvas,

gerando a solução para o problema apresentado

(p. 8).

Desta maneira, as atividades propostas neste trabalho visaram a

relacionar a teoria de Duval com os significados apontados por Ribeiro.

A seguir, apresentarei algumas conclusões e, para isto, farei uma síntese

desta análise apresentada.

Page 58: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

54

CONSIDERAÇÕES FINAIS

Na intervenção proposta em sala, baseada em alguns

referenciais teóricos, pude identificar como a transição entre as formas

de representação do objeto matemático equação quadrática traz

dificuldade aos estudantes e que, segundo as análises feitas no Capítulo

anterior, essas dificuldades esbarram na conversão em representar

algebricamente os lados de uma figura retangular, na percepção de uma

figura total composta por figuras geométricas, no tratamento algébrico

referente ao produto de polinômios, nas propriedades de potenciação e

na interpretação dos enunciados de algumas fichas.

Na teoria de Duval, é percebido que o aluno não deve confundir

o objeto com sua representação, pois as variadas representações de um

mesmo objeto não têm, evidentemente, o mesmo conteúdo, e não

apresentam as mesmas características e propriedades do objeto em

questão. Diante da observação na intervenção em aula, por exemplo,

tornou-se frágil uma prática docente que somente se baseia no

desenvolvimento de tratamentos algébricos de equações do segundo

grau completas e incompletas; em outras palavras, uma maneira de

abordar este conteúdo que somente se preocupa em ensinar como

resolver as equações, mas deixa o aluno sem atribuir e relacionar

diferentes significações ao que está fazendo.

Esta minha tentativa de buscar uma prática docente que possa

ultrapassar o mero tratamento algébrico de resolução de equações

quadráticas parece legitimar a ideia que os trabalhos de Ribeiro

apontam, de que um procedimento visando os significados que uma

equação assume pode fornecer um aprendizado matemático mais

significativo aos alunos. Quando se torna possível dar uma classificação

para os significados dos estudantes, o professor, ao mesmo tempo,

reconhece quais significados ainda não são reconhecidos pelos mesmos

para, então, pensar em estratégias para inseri-los nos processos de

ensino e aprendizagem.

A maneira que procedi na análise permitiu experienciar uma

prática docente que valoriza a reflexão, pois, com os resultados que

obtive, pude ter uma avaliação mais refinada da turma, no sentido de

classificar as dificuldades segundo referenciais teóricos, além de poder

Page 59: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

55

realizar uma outra intervenção em sala que possibilite superar tais

dificuldades encontradas.

A pesquisa pode me proporcionar novos olhares e caminhos

como futura professora de matemática. Acredito ser possível uma

educação em que professores se tornem orientadores e incentivadores na

busca por novos conhecimentos, quando o aluno possa criar, questionar,

ser um agente ativo em sala de aula e um solucionador de problemas

matemáticos.

A inserção na escola e nas duas turmas do nono ano, como

pesquisadora, trouxe-me novas experiências da ação docente bem como

o conhecimento da realidade escolar e seus desafios. Acredito que este

trabalho tenha contribuído para a construção de novos conhecimentos

dos estudantes do nono ano no estudo das equações quadráticas. Aos

professores do Ensino Fundamental, ao final desta pesquisa, apresento

uma sequência das fichas que podem ser utilizadas como forma de

complementar seus trabalhos em sala.

Por fim, pude ainda notar que, mesmo existindo inúmeros

desafios encontrados dentro de sala de aula, e que, por vezes, nos

desanimam, confirmo meu interesse pela profissão: ainda quero ser

professora, na esperança de, em um futuro próximo, transmitir aos meus

alunos, com um brilho no olhar, o quanto é gratificante a arte de ensinar.

Page 60: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

56

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Page 64: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

60

APÊNDICES

Page 65: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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APÊNDICE A

Fichas

FICHA 1

Mariana recortou, em cartolina, um quadrado e quatro retângulos como

estes a seguir.

Usando o quadrado e os quatro retângulos, Mariana formou a seguinte

figura:

Agora, partindo desta figura, Mariana quer formar um novo quadrado.

Para isto, terá de acrescentar quadradinhos à figura.

a) De quantos quadradinhos ela vai precisar?

b) Qual deve ser a área de cada um desses quadradinhos?

c) Qual será a área do novo quadrado?

Page 66: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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Neste momento introduzirei uma forma de resolução de uma equação do

segundo grau. Para isto, cada aluno irá receber duas folhas sulfite. Com

auxílio e orientação, os alunos vão construir um quadrado e quatro

retângulos. O novo quadrado formado tem lado x e os retângulos de

lados 4 e x. Após isto, propor aos alunos a resolução da seguinte

equação: .

FICHA 2

Em uma aula de matemática, a professora propôs aos alunos o seguinte

problema: uma sala, inicialmente quadrada, foi ampliada da forma que a

figura sugere. Sabendo que a área da sala, depois de ampliada, é 24 m2,

determine o lado da sala inicial.

Ricardo, que gostava de resolver problemas, depois de pensar um pouco

disse à professora:

– Para saber a resposta temos de aprender a resolver equações do 2o

grau, uma vez que a equação que resolve o problema é . Concordas com Ricardo? Justifica a tua resposta.

FICHA 3

Observe a planta parcial de um escritório:

Page 67: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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As duas salas quadradas e o corredor retangular têm, no total, 40m2 de

área. Cada sala tem x metros de lado, e o corredor tem 1 metro de

largura. De acordo com a figura e os dados do problema, responda:

a) A área de cada sala

b) A área do corredor

c) A equação que representa a área total, ou seja, a área das duas salas e

o corredor

FICHA 4

A Figura a seguir é formada por um quadrado de lado 2x e um

retângulo. Escreva uma expressão que representa a área total da figura,

sabendo que sua área é de 80 m2.

FICHA 5

Considere a figura a seguir para responder às questões:

a) Qual é a expressão que representa a área desta figura?

b) Se a área for 31, qual será a equação correspondente?

FICHA 6

Page 68: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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Em uma sala retangular deve-se colocar um tapete retangular de

medidas (2m x 3m), de modo que se mantenha a mesma distância em

relação às paredes, como indicado na Figura a seguir:

Sabendo que a área dessa sala é 12 m

2, qual será a equação para

encontrar o valor de x?

FICHA 7

Considere o triângulo ao lado, cuja área é 19,5 cm2. Vamos determinar a

medida da altura desse triângulo. Tente resolver utilizando o método

empregado na ficha 1 por Mariana para encontrar o valor de x.

FICHA 8

A área total da Figura na sequência é igual a 84 m2. Descubra o valor de

n pelo método utilizado na ficha 1.

Page 69: Este trabalho tem como objetivo lançar uma proposta de

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FICHA 9

Resolva, pelo método utilizado na ficha 1, a seguinte equação:

FICHA 10

A área do ACDE é igual a 40m2. Calcule a área do BCFG.

Dica: para encontrar o valor de x resolva pelo método da ficha 1.

FICHA 11

Sabendo que a área da Figura a seguir é igual a 31m2,

a) escreva uma equação do segundo grau formada pela figura;

b) encontre o valor de x utilizando o método visto na ficha 1.