ESTATÍSTICA BÁSICA

Prof. JOÃO BATISTA LOPES Departamento de Zootecnia

CCA - UFPI

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Conceito: A variável aleatória diz respeito à característica do

experimento que se quer estudar

A variável aleatória associa um número real a cada elemento

do espaço amostral

Exemplo 1 Variável aleatória peso

S IR

Antônio

Francisco

Maria

Ana

68

59

55

51

X (Ana) = 51

A variável aleatória pode associar a cada pessoa de um

espaço amostral o seu peso

Exemplo 2

E → jogar uma moeda três vezes

S = {(c c c), (k c c), (c k c), (c c k), (k k c), (k c k), (c k k), (k k k)}

Cara - c

Coroa - k

Suponha

Característica = número de caras nos TRÊS lançamentos da

moeda

Quais os valores assumidos pela variável aleatória?

x = 0 { (k k k )}

x = 1 { (k k c) (k c k) (c k k) }

x = 2 { (k c c)(c k c)(c c k) }

x = 3 {(c c c)}

Exemplo 3

DUAS bolas são retiradas sucessivamente, sem reposição, de

uma caixa que contém QUATRO bolas vermelhas e TRÊS

pretas

Seja X a variável aleatória “número de bolas vermelhas

retiradas no experimento”

Quais os valores assumidos por “X” ?

Solução

S = { vv, vp, pv, pp }

Então x = {2, 1, 1, 0}

Ou seja x = 0, 1, 2

Notação X = x

ONDE

X → variável aleatória

x → valores assumidos pela variável aleatória

TIPOS DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Discretas → este tipo de variável ocorre quando o número de

valores assumidos por X (FINITO ou INFINITO) é

constituído apenas por NÚMEROS INTEIROS

Continua → O número de valores assumidos por X é formado

pelos números de pontos de um SEGMENTO DE

RETA

Situação 1

• Número de dias chuvosos em um mês

• Precipitação diária medida no pluviômetro

• Número de alunos presentes na sala de aula

• Vazão em uma dada seção do rio

• Idade dos alunos de uma sala

• Peso dos alunos desta sala

• Número de disciplinas cursadas por aluno

• Evaporação mensal de um açude

• Velocidade do vento

Quais são DISCRETAS e quais são CONTÍNUAS ?

FUNÇÃO DE PROBABILIDADE

Conceito - É a função que atribui a cada valor xi da variável

aleatória discreta X sua probabilidade de

ocorrência

Representação

X x1 x2 ...... xn

P(X = x) P(X = x1) P(X = x2) ...... P(X = xn)

Uma função de probabilidade deve satisfazer

n 0 ≤ P(X = xi) ≤ 1 e P(X = xi) = 1

i=1

P(x1) + P(x2) + P(x2) +....... + P(xn) = 1

Uma variável aleatória discreta assume cada um

dos seus valores com certa probabilidade

Exemplo

E: Jogar 3 moedas e observar o resultado

S: { (c c c) (c c k) (c k c) (k c c) (k k c) (k c k) (c k k) (k k k) }

X = número de caras (c)

x = {0, 1, 2, 3}

X 0 1 2 3

Representação k,k,k k,k,c – k,c,k- c,k,k

c,c,k - ,c,k,c – k,c,c

c,c,c

P(X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Note

Note que os valores de X esgotam todas as possibilidades,

sendo que Σ P(X = x) = 1

É conveniente representar todas as possibilidades da variável

aleatória X por uma fórmula, que será, necessariamente,

função dos valores de x que denotamos por f(x), g(x), h(x) etc.

FUNÇÃO DENSIDADE DE PROBABILIDADE

Conceito – é uma função destinada representar a distribuição

de probabilidade caso a variável aleatória seja

contínua

Para caracterização desses efeitos se usa INTEGRAL

Se uma variável aleatória tem densidade dada por f(x)

Então Intuitivamente, o intervalo infinitesimal [x, x+dx] tem

probabilidade f(x) dx

Uma variável aleatória contínua tem densidade f(x) se f é uma

função não-negativa INTEGRÁVEL, em que a probabilidade no

intervalo [a,b] é dada por:

Quaisquer que sejam “a “e ‘b” a probabilidade de todo o

espaço amostral é 1

A função distribuição acumulada é a integral da densidade

VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL

Conceito - Seja “” um experimento aleatório e “S” o espaço

amostral associado a “”

Considerando X = X(ω) e Y = Y(ω) DUAS

funções, cada uma associando um número real a

cada resultado ω ∈ S, o par (X, Y) é chamado de

VARIÁVEL ALEATÓRIA BIDIMENSIONAL

Caracterização - O uso da variável aleatória bidimensional

ocorre quando se tem o interesse por dois

resultados simultâneos

Exemplo

Altura H e peso P de duas pessoas

ESPAÇO AMOSTRAL - S

FUNÇÃO

Peso

Altura

DISTRIBUIÇÃO CONJUNTA DE DUAS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

DISCRETAS

Caracterização

Seja ( X, Y) uma variável aleatória bidimensional discreta

Função de probabilidade

Associa um número p(xi, yj) representado por

P (X = xi, Y = yj) satisfazendo as seguintes condições

P(xi, yj) > 0

p(xi, yj) = 1

j=1 i=1

Exemplo:

Seja o evento E = jogar dois dados e (X, Y), os pontos dos

respectivos dados

P(X = xi, Y = yj ) = p(xi, yj) = 1/36

i = j = 1,2,3,4,5,6

Xi / Yj 1 2 3 4 5 6

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4.6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

P(x=1, y=1) = 1/36

DISTRIBUIÇÃO MARGINAL DISCRETA

Dado uma variável aleatória bidimensional (X,Y) e sua

distribuição conjunta

Ao se determinar a distribuição de X sem considerar Y tem-

se a Distribuição Marginal de X

P(X = xi) = P(X = xi, -∞< y < ∞) ou

P(X = xi) = ΣjP (xi, yj)

Distribuição Marginal de Y (sem considerar X)

P(Y=yj) = P(-∞< x < ∞, Y = yj) ou

P( Y=yj ) = Σ iP (xi, yj)

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

DISCRETA

Seja (X,Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional

Diz-se que X e Y são independentes se e somente se

p (xi, yj ) = p (xi) × p (yj) para quaisquer i e j

CONTÍNUA

Seja (X, Y) uma variável aleatória discreta

bidimensional

Seja g(x) a função de densidade de X e h(x) a de Y

Diz-se que X e Y são independentes se e somente se:

f(x, y) = g(x) × h(y) para todo (x,y)

Exemplo

Considerando os dados da Tabela abaixo em que (X e Y) é uma

variável aleatória bidimensional

X Y

0 1 2 P (yi)

0 0,10 0,20 0,20 0,50

1 0,04 0,08 0,08 0,20

2 0,06 0,12 0,12 0,30

p(xi) 0,20 0,40 0,40 1,00

Verificar se “X” e ‘Y” são independentes

SOLUÇÃO

Para todo para i e j; i=j=0, 1, 2 deve-se ter

p( xi, yj ) = p ( xi ) × p ( yj )

ESTATÍSTICAS DESCRITIVAS BÁSICAS

MÉDIA (X )

n Xi

X = i=1

n

Situação 1: Número de paginas datilografadas em 15 minutos

por tipo de texto (MATEMÁTICA - M, QUÍMICA - Q e

PORTUGUÊS - P)

Tratamentos (Tipos de texto) Datilógrafo

M Q P

1 1 2 3

2 4 3 3 3 4 4 3

Média 3 3 3

VARIÂNCIA ( 2 )

Mostra a instabilidade que ocorre no conjunto de dados em

relação à média Situação 1 Tratamento Valor

individual Média valor individual -

média Soma do quadrado

dos desvios 1 3 -2 4

4 3 1 1

M

4 3 1 1

0 6

2 3 -1 1

3 3 0 0

Q

4 3 1 1

0 2

3 3 0 0

3 3 0 0

P

3 3 0 0

0 0

n ( Xi - )2

2 = i=1

n

n ( Xi - X )2

s2 = i=1

n - 1

Variância ( s2 )

X2 - ( X )2 / n s2 =

n - 1

Situação 2: Peso de leitões ao nascer ( X i )

Variável Xi ( Xi )2 X - X ( X - X )2

2,0 4,00 0,2 0,04

1,5 2,25 - 0,3 0,09

1,6 2,56 - 0,2 0,04 1,8 3,24 0,0 0,00

2,0 4,00 0,2 0,04 2,0 4,00 0,2 0,04

1,5 2,25 - 0,3 0,09

1,9 3,61 0,1 0,01 1,9 3,61 0,1 0,01

16,2

X 1,8

29,52 0 0,36

29,52 - [ (16,2)2 / 9 ] 29,52 - 29,16 0,36 S2 = = = = 0,045

9 - 1 8 8

DESVIO PADRÃO ( )

n ( Xi - )2

= i=1

n

n ( Xi - X )2

s = i=1

n - 1

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO ( CV )

s CV = x 100

X

Situação 3 X = 1,80 kg

s2 = 0,05

s = 0,21 0,21

CV (%) = x 100 = 11,67% 1,80

GRAUS DE LIBERDADE

ERRO PADRÃO DA MÉDIA

s

s ( m ) =

n

Representam o número de eventos

casualizáveis de um conjunto de dados ou de tratamentos dentro de um experimento

PROPRIEDADES DA MÉDIA

1) Se um grupo de observações é caracterizado por média (X )

e desvio padrão (s) ao se adicionar (subtrair) uma

constante K a cada observação média do novo

conjunto será igual X + K e o desvio padrão (ou variância)

não se alterará

Situação 4

X Xi - X ( Xi - X )2

1 -1 1

2 0 0

3 1 1

6 0 2

X 2 - -

s2 - 2 / (3 - 1) = 1

s 1 = 1

Adicionando-se a constante W = 3

X Xi - X ( Xi - X )2

1 + 3 = 4 -1 1

2 + 3 = 5 0 0

3 + 3 = 6 1 1

15 0 2

X 5 = 2 + 3 - -

s2 - 2 / ( 3 - 1 ) = 1

s 1 = 1

2) Se um grupo de observações é caracterizado por média (X )

e desvio padrão (s) for multiplicado (dividido) por uma

constante K o novo grupo formado terá média K X

desvio padrão K s e variância K2s2

Situação 5

X Xi - X ( Xi - X )2

1 -1 1

2 0 0

3 1 1

6 0 2

X 2 - -

s2 - 2 / (3 - 1) = 1

s 1 = 1

Multiplicando-se pelo valor W = 3

X Xi - X ( Xi - X )2

1 x 3 = 3 -3 9

2 x 3 = 6 0 0

3 x 3 = 9 3 9

18 0 18

X 6 = 2 x 3 - -

s2 18 / (3 - 1) = 9 9 = 12 x 32

s 9 = 3 3 = 3 x 1