estatÍstica multivariada -...

1 TIAGO TARREacute ESTATIacuteSTICA MULTIVARIADA

ESTATIacuteSTICA MULTIVARIADA

Tiago Teles de Abreu Tarreacute


Equipa Docente

Joseacute Filipe Rafael

(Regente)

Tiago Tarreacute

jfrucppt

tiagotarreucppt


Programa

1 Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Multivariada

2 Distribuiccedilatildeo Normal Multivariada

3 Modelo de Regressatildeo Linear Muacuteltipla

4 Anaacutelise Factorial

5 Anaacutelise Discriminante

6 Anaacutelise de Clusters


Avaliaccedilatildeo

2 Frequecircncias (80)

1 Trabalho de Grupo (10)

Avaliaccedilatildeo Contiacutenua (10)

Esta informaccedilatildeo natildeo dispensa a consulta do syllabus disponiacutevel online


Introduccedilatildeo agrave Estatiacutestica Multivariada

Conjunto de meacutetodos estatiacutesticos que permite a anaacutelise simultacircnea de muacuteltiplas

dimensotildees para cada indiviacuteduo ou objecto em consideraccedilatildeo

Idade

Rendimento

Educaccedilatildeo

Nacionalidade

Estilo de Vida

hellip



ldquoWe may thus define multivariate analysis as the branch of statistical analysis which is concerned with the relationships of sets of dependent variablesrdquo

Kendall (1957)

ldquoMultivariate statistical analysis is concerned with data collected on several dimensions of the same individualrdquo

Morisson (1967)

ldquo the important point is that multivariate analysis deals with the simultaneously relationships among variablesrdquo

Dillon e Goldstein (1984)

ldquoMultivariate analysis refers to all statistical methods that simultaneously analise multiple measurements on each individual or object under investigationrdquo

Hair Anderson Tatham e Black (1987)



Estatiacutestica Univariada

Estatiacutestica Bivariada

Estatiacutestica Multivariada

Anaacutelise das distribuiccedilotildees de cada variaacutevel

Cruzamento de variaacuteveis correlaccedilatildeo regressatildeo simples

Generalizaccedilatildeo dos metoacutedos anteriores a mais de 2 variaacuteveis


Revisotildees de Estatiacutestica

Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida



Teoria das Probabilidades

Experiecircncia Aleatoacuteria Qualquer processo que gera um resultado que pode ser diferente cada vez que o processo eacute executado em iguais condiccedilotildees

Observaccedilatildeo Resultado associado a uma realizaccedilatildeo de uma experiecircncia aleatoacuteria

Espaccedilo Amostral Conjunto de todos os resultados possiacuteveis de uma experiecircncia aleatoacuteria




Experiecircncia Aleatoacuteria Lanccedilamento de um Dado

Espaccedilo Amostral

Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6




Acontecimento Subconjunto de Ω

Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω




Uniatildeo de Acontecimentos Realizaccedilatildeo de pelo menos um dos acontecimentos

A U B

A

Ω

B




Intersecccedilatildeo de Acontecimentos Evento que conteacutem todos os elementos que satildeo comuns a A e B

A cap B

A

Ω

B




Diferenccedila de Acontecimentos Evento que conteacutem todos os elementos de A que natildeo pertencem a B

A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1

3 Se A cap B = 0 P[A U B] = P[A] + P[B]




Teoremas

1 P[Ā] = 1 ndash P[A]

2 P[Oslash] = 0

3 P[B ndash A] = P[B] ndash P[A cap B]

4 P[A U B] = P[A] + P[B] ndash P[A cap B]




Probabilidade Condicionada

P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B




Acontecimentos Independentes A ocorrecircncia de um acontecimento natildeo

afecta a probabilidade de ocorrecircncia de outro

P[B]P[A]B]P[A P[A]P[AB]




Teorema da Probabilidade Total

Os acontecimentos A1 A2 An constituem uma particcedilatildeo em Ω

B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3

1 O Concorrente escolhe uma porta

2 O Apresentador abre uma porta

3 O Concorrente toma a sua decisatildeo final

Depois de o Apresentador abrir a porta deve o Concorrente mudar ou natildeo a sua decisatildeo inicial



Seja

A1 ndash O preacutemio estaacute na Porta 1



B ndash O Apresentador abre a Porta 3

Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11

Conclusatildeo Eacute SEMPRE melhor mudar a decisatildeo inicial


Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






Equipa Docente

Joseacute Filipe Rafael

(Regente)

Tiago Tarreacute

jfrucppt

tiagotarreucppt


Programa








Avaliaccedilatildeo









Idade

Rendimento

Educaccedilatildeo

Nacionalidade

Estilo de Vida

hellip




Kendall (1957)


Morisson (1967)















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






Programa








Avaliaccedilatildeo









Idade

Rendimento

Educaccedilatildeo

Nacionalidade

Estilo de Vida

hellip




Kendall (1957)


Morisson (1967)















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






Avaliaccedilatildeo









Idade

Rendimento

Educaccedilatildeo

Nacionalidade

Estilo de Vida

hellip




Kendall (1957)


Morisson (1967)















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









Idade

Rendimento

Educaccedilatildeo

Nacionalidade

Estilo de Vida

hellip




Kendall (1957)


Morisson (1967)















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12








Kendall (1957)


Morisson (1967)















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12















Variaacuteveis

Categoacutericas

(ou qualitativas)

Escalares

(ou quantitativas)

Ordinal

Nominal

Discreta

Contiacutenua

Escalas de Medida












Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12
















Ω = 123456 ou

Ω = (X) 1 le X le 6





Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









Ex Sai 5 pintas





Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









Ex Sai 5 pintas

A

Ω





A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









A U B

A

Ω

B





A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









A cap B

A

Ω

B





A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









A ndash B = A B

A

Ω

B




Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12








Axiomas

1 P[A] ge 0

2 P[Ω] = 1





Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12








Teoremas


2 P[Oslash] = 0







P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12









P[B]

B]P[AP[AB]

A

Ω

B

B A cap B












B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12
















B A1

A2

A4

Ω

A3

]AP[B]P[A

]AP[BP[B]

i

n

1i

i

i

n

1i




Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12








Teorema de Bayes

]AP[B]P[A

]P[BA]P[AB]P[A

i

n

1i

i

iii

B]P[Ai

P[B]







1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12











1 2 3







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12







Seja





Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 33

30


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 22

2

3

1

2

13

1

2

1


Conc

Apres

1 2 3


P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






P[B]

]P[A]P[BAB]P[A 11

1

3

2

2

13

11



Conc

Apres

1 2 3


1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2



1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12






1

2 3

1

1

1

2

2 2

3

3

3

2

3 3 3

2

2

3

3

1

3

1 1 2

2

1

1

1

2


6

12





estatÍstica multivariada -...

Documents