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Estatística – Conteúdo Programático• Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações
• População, amostra, variáveis aleatórias
• Distribuição de freqüência
• Gráficos e séries estatísticas
• Medidas de Tendência Central:
• Separatrizes
• Medidas de dispersão e assimetria
• Probabilidade
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Estatística – Bibliografia• SILVA, ERMES MEDEIROS DA. Estatística: para os cursos de
Economia, Administração e Ciências Contábeis. v.1 São Paulo: Altas, 2008
• KAZMIER, LEONARD J. Teoria e problemas de Estatística aplicada à Administração e Economia. Porto Alegre: Bookaman, 2007
• MORETIN, LUIZ GONZAGA, Estatística Básica:Probabilidade. São Paulo: Makron do Brasil
• LEVINE, DAVID M.;BERENSON, MARK L.; STEPHAN, DAVID. Estatística: Teoria e Aplicações:usando Microsoft Excel em português. LTC – Livros Técnicos e Científicos:Rio de Janeiro, 2000
• CRESPO, ANTONIO ARNOT, Estatística Fácil, ed.18, Saraiva:São Paulo, 2006.
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Estatística – Bibliografia• STEVENSON, WILLIAM J. Estatística aplicada à Administração.
Harbra: São Paulo, 2001
• LARSON, RON; FARBER BETSY, Estatística Aplicada, 2 ed., Pearson Education do Brasil : São Paulo, 2004
• MONTGOMERY, DOUGLAS C. Introdução ao controle estatístico da qualidade. Rio de Janeiro: LTC, 2004
• ANDERSON, DAVID R.;SWEENEY, DENNIS J.;WILLIAMS, THOMAS A. Estatística aplicada à Administração e Economia. Cengage Learning: São Paulo, 2008.
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ESTATÍSTICA ?
PRA QUÊ ?
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ESTATÍSTICA• Exemplo:
• Bolsa fechou em alta de 3,12 % com a Vale
• Dólar cai para R$ 2,287
http://www.uol.com.br
(disponível em 8/ago/2013)
• Dívida do BNDES com o Tesouro em BILHÕES DE REAIS
2007 ........... 7 Bi
2010 .......... 237 Bi
2013 .......... 379 Bi
Revista Veja, edição 2329 nº 28 de 10/06/2013
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ESTATÍSTICA - sentido comumSegundo DPVAT: 60.752 mortos no trânsito em 2012
Contra 57.116 em 2007
50.780 em 2010
Dos mortos em 2012:
-41% tinham entre 18 e 34 anos = 2x (mortes Boate
Kiss) por semana
Em 2011 : 58.134 no trânsito
52.198 por homicídio
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ESTATÍSTICA - sentido comum98% dos acidentes de trânsito são causados por ERRO ou NEGLIGÊNCIA humana.
Principais causas:
1)Usar o celular ao volante:
ler mensagem de texto a 60 km/h = 76 metros às cegas
2) Dirigir alcoolizado =
21% acidentes, pelo menos um estava alcoolizado
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ESTATÍSTICA - sentido comum
3) Dirigir colado na traseira do carro à frente:
12% acidentes nas estradas federais
4) Dirigir acima da velocidade permitida
12% acidentes
5) Deixar de usar cinto de segurança
60 km/h = 1.000 kgs
Revista Veja, edição 2333 nº 32 de 7/08/2013
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ESTATÍSTICA
• Vem do latim “status” = Estado
• inicialmente envolvia:– compilações de dados e gráficos representativos
dos vários aspectos de um estado ou país.• taxa de mortalidade, • taxa nascimento,• renda, • taxas de desemprego, etc.
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ESTATÍSTICA
• É uma coleção de métodos para:– planejar experimentos,
– obter dados,
– organizar,
– resumir,
– analisar
– concluir sobre as informações coletadas
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Estatística
• Ramo da matemática que analisa dados estatísticos– Estatística Descritiva– Inferência Estatística
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Aplicação na Administração(DOWNING, DOUGLAS;CLARK JEFFREY – ESTATÍSTICA APLICADA)
• Uma firma que está se preparando para lançar um novo produto precisa conhecer as preferências do consumidor no mercado de interesse.
Deve-se fazer pesquisa de mercado entrevistando um número de residências escolhidas aleatoriamente.
Poderá usar os resultados para estimar as preferências da população.
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Aplicação na Administração
• A venda de automóveis é influenciado por:- modelo
- cor - poder aquisitivo,
- concorrência-Através da análise de regressão pode-se determinar quais fatores têm efeitos mais importantes
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Aplicação na Administração
• Antes de lançar um novo remédio no mercado, é necessário fazer várias experiências para garantir que o produto é seguro e eficiente.Toma-se dois grupos tão semelhantes quanto possível, e dar o remédio a um grupo, mas não a outro.Verificar se os resultados nos dois grupos são diferentes.Determina-se que eventuais diferenças observadas são causadas pelo remédio ou por outros fatores
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Aplicação na Administração
• No recebimento de um grande embarque de mercadorias de um fornecedor, teremos de nos certificar de que o produto realmente satisfaz os requisitos de qualidade acordados.
Inspeciona-se uma amostra de itens escolhidos aleatoriamente inferindo-se sobre a qualidade de todo o lote
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Aplicação na Administração
• Auditor: verificar livros de uma firma para certificar que os lançamentos refletem a situação financeira da companhia.
Em vez de examinar todos os documentos originais (notas de venda, ordens de compra, requisições), verifica-se apenas uma amostra de documentos escolhidos aleatoriamente, inferindo o resultado sobre toda a população
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Estatística
• tem objeto e métodos próprios• não tem um objetivo em si mesma.• tem como função auxiliar as outras ciências,
sendo portando considerada um método científico de trabalho
• não é uma ciência.
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Estatística
• UTILIZAÇÃO: aplicável a qualquer ramo do conhecimento onde se manipulem dados numéricos:– Física Química Economia– Biologia Engenharia Medicina– Ciências Sociais– Ciências Administrativas, etc.
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Estatística
• Estatística pode ser dividida em duas partes:– .Estatística Descritiva - cuida da:
• Organização
• descrição dos dados experimentais;
– .Estatística Indutiva - cuida da:
• análise
• interpretação dos dados
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Estatística
• Conceitos fundamentais:
– POPULAÇÃO
– AMOSTRA
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População (Universo Estatístico)
• conjunto de elementos com pelo menos uma característica comum.
• Esta característica deve delimitar quais os elementos que pertencem à população e quais os que não pertencem.
• Exemplo: Vamos estudar o desempenho dos estudantes em 2011. – POPULAÇÃO = todos os estudantes de 2011
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População - Universo Estatístico
• COMO DEFINIR UMA POPULAÇÃO?• A quem interessa este resultado?• Se o analista dos resultados for o
responsável pelos cursos Administração, será que interessa a ele o desempenho dos alunos de Engenharia?
• Devemos procurar as características que interessam ao analista dos resultados
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População - Universo Estatístico
• Os alunos do curso “ X ” em 2013• Os alunos do curso “ X “ em 2013 que
cursam o 4º semestre;• a cada item, estamos especificando cada vez
mais as características das pessoas a serem observadas, restringindo a “população” objeto de nossos estudos.
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Levantamento
• definida as características da POPULAÇÃO, o passo seguinte é o levantamento de dados acerca das características objeto de estudo.
• PERGUNTA-SE...• Deve-se pesquisar dados de toda a
população?
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Levantamento
• Em grande parte das vezes não é conveniente e em muitas vezes é impossível
• E Por que?
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Levantamento
TEMPO: as informações devem ser obtidas com rapidez
PRECISÃO: as informações devem ser corretas
CUSTO: no processo de coleta, sistematização, análise e interpretação, o custo deve ser o menor possível.
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Amostra• Outros motivos para se tomar uma amostra
– Exame de doença contagiosa: o pesquisador poderia infectar-se e começar a transmitir a doença a todos os entrevistados.
– Testes destrutivos– exame de sangue de um paciente– trabalho extenso: anotações erradas
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Amostra• Devemos então delimitar nossas
observações a uma parte da população, isto é, a uma amostra proveniente dessa população.
• AMOSTRA: É um subconjunto de uma população, necessariamente finito, pois todos os seus elementos serão examinados para efeito da realização do estudo estatístico desejado.
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Amostra
• A Estatística Indutiva tira conclusões sobre populações com base nos resultados observados em amostras extraídas dessas populações.
• A partir do conhecimento de uma parte, procura-se tirar conclusões sobre a realidade, no todo.
• Logicamente a indução não traz resultado exato, dando margem a erro.
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Amostra
• A Estatística Indutiva, entretanto, irá nos dizer até que ponto poderemos estar errando em nossas induções e com que probabilidade.
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Amostra
• Quanto maior a amostra, mais confiáveis serão as induções ?
• erros grosseiros e conclusões falsas podem ocorrer devido a falhas na amostragem.
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POPULAÇÃO E AMOSTRA
POPULAÇÃO: – é uma coleção completa de todos os elementos
a serrem estudados
AMOSTRA:– é um subconjunto da população
CENSO:– é uma coleção da dados relativos a todos os
elementos de uma população:
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Variável• Antes de tudo, é necessário que se tenham
bem definidas quais características deverão ser verificadas. Ex.: Alunos de Administração. (Universo Estatístico ou População).
• Dentro da população, é preciso definir quais as características que nos interessa averiguar. Ex. idade, sexo, estado civil, etc.
• A escolha da variável dependerá dos objetivos do estudo estatístico.
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Variável• é o conjunto de resultados possíveis de um
fenômeno.• é a característica ou propriedade da
população que está sendo medida. Ex.:– População: moradores de uma cidade– Variável : número de filhos– População: alunos de Administração– Variável : sexo
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Variável– População: moradores de um prédio– Variável : peso
• CLASSIFICAÇÃO DA VARIÁVEL• pode ser: • A) QUANTITATIVA A 1 - DISCRETA
A.2 - CONTÍNUA• B) QUALITATIVA B 1 - NOMINAL
B.2 - ORDINAL
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A - Variáveis Quantitativas
• quando pode ser expressa em números. Ex:– quantidade de valores de notas de uma moeda– quantidade de sabores de refresco– duração de uma bateria de telefone celular– número de ossos existentes em um animal
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A - Variáveis Quantitativas• A.1. - Quantitativas DISCRETAS:
– quando os valores podem assumir apenas determinados valores e resultam de uma contagem.
– O conjunto de valores possíveis que a variável pode assumir é finito ou infinitos enumerável. Ex:
• valores das cédulas da moeda brasileira• número de filhos dos casais de Lins
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A - Variáveis Quantitativas• A.2. - Quantitativas CONTÍNUAS:
– quando os valores podem assumir pertence ao conjunto dos números reais. Podem assumir qualquer valor.
– Obtido por medição. Ex;• peso de um paciente• altura • tempo de vôo entre duas cidades
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B - Variáveis Qualitativas
• quando a variável é não numérica ou definida através de atributos, categorias. Ex:– sexo– religião– naturalidade– cor dos olhos
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B - Variáveis QualitativasB.1. - qualitativas NOMINAIS:
não tem ordenamento nem hierarquia;
Ex: sexo dos pacientes da clínica; tipo de convênio utilizado.
B.2. - qualitativas ORDINAIS: existe uma ordem, uma hierarquia;
Ex: presidente, diretor, gerente, etc...
Classificação: bom, regular, ruim.
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ESCALA DE MEDIÇÃO DAS VARIÁVEIS
• ESCALA NOMINAL:
– dão nome a uma categoria ou classe.
– Os dados não podem ser dispostos em um esquema ordenado.
Ex: Respostas do tipo “sim”, “não” ou “indeciso”
Procedência de qual cidade (Lins, Promissão, etc.)
– não se faz cálculos (ex: tirar a média)
– algumas vezes são atribuídos números aos dados para serem inseridas no computador: 0 - sim; 1 - não, 2 - indeciso. Neste caso são apenas rótulos e não podem ser efetuados cálculos com estes números.
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ESCALA DE MEDIÇÃO DAS VARIÁVEIS
• ESCALA ORDINAL:
– dão nome e uma ordem a uma categoria ou classe.
– Diferença entre os valores dos dados não podem ser determinadas ou não fazem sentido.
• Ex: grau de instrução:1= sem instrução; 2 = ensino fundamental; 3 = ensino médio, 4 = superior; 5 = Mestre; 6 = Doutor.
Não mantém a propriedade dos números: embora 3 seja maior do que 2, não significa que 3 + 2 = 5.
– Não é possível quantificar o quanto o nível 3 é melhor do que 2 ou o 4 é melhor do que 3.
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ESCALA DE MEDIÇÃO DAS VARIÁVEIS
• ESCALA INTERVALAR: elimina a limitação da escala ordinal estabelecendo intervalos iguais com o mesmo significado.
Ex: na medição de temperatura tanto de 25º a 30º o aumento é de 5º, como o aumento de temperatura tanto de 30º a 35º o aumento é de 5º.
Porém, não se pode afirmar que 60º é o dobro de 30º, pois 0º da escala de temperatura é arbitrário.
• ESCALA PROPORCIONAL ou NÍVEL DE RAZÃO: Apresenta um ZERO absoluto. Ex: peso. Peso Zero = ausência de peso. 60 kgs é o dobro de 30 kgs.
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Variáveis DEPENDENTES E INDEPENDENTES
Variável Independente:– é a que influencia, determina ou afeta outra variável;
– referida como fator determinante, condição ou causa para ocorrência de determinada resposta.
Variável dependente:– a sua resposta varia em virtude dos diferentes valores
que a variável independente pode assumir;
– modificando-se a variável independente, altera-se o valor da variável dependente.
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Variáveis DEPENDENTES E INDEPENDENTES
• Variável Independente (VI): é o antecedente;• Variável dependente(VD): é o conseqüente
Variável Independente Variável Dependente
idade comprimento
sexo Resistência física
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Variáveis DEPENDENTES E INDEPENDENTES
• Como detectar se uma variável é dependente ou independente ?
• Critério de sucetibilidade à influência:– Variável dependente é alterada ou influenciada pela
variável independente:
– Ex: dependente: predisposição a problemas cardíacos
independente: sexo
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Variáveis DEPENDENTES E INDEPENDENTES
• Critérios para identificar o sentido de influência entre as variáveis dependente e independente ?
• 1) Ordem temporal:– o que ocorre depois não pode influenciar o que
aconteceu antes. Ex:V. independente V. dependente
Aumento do U$ em relação ao R$
Aumento dos preços dos combustíveis
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Variáveis DEPENDENTES E INDEPENDENTES
• 2) Fixidez: em Ciência Biológicas, muitas variáveis podem ser consideradas fixas, ou não são sujeitas a influências. Ex:
– suscetibilidade a certas doenças está associada ao sexo do indivíduo;
– variáveis bioquímicas em animais e no homem são dependentes da idade.
– Peso do recém-nascido está relacionado com a ordem de nascimento.
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CO-VARIÁVEIS
• Em todo experimento existe:– variável dependente: a ser analisada;– variável independente:
• que são fatores que influenciam os resultados da variável dependente;
• determinam as condições sob os quais a variável dependente é obtida.
• Podem interferir nos resultados da pesquisa
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CO-VARIÁVEIS
é um fator que o pesquisador procura neutralizar intencionalmente em uma
investigação, com a finalidade de impedir que interfira na análise da relação entre as
variáveis independentes e dependentes
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Tabela Primitiva • Dado um levantamento de dados estatísticos
de uma variável quantitativa, como por exemplo, a altura dos alunos , que tenha dado os seguintes valores (em cm.):
• 165 167 172 160 158 175 157 168
174 179 154 160 173 181 155 166
185 172 157 164 170 168 174 155
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Tabela Primitiva • Notamos que a tabela não está
numericamente organizada. • A esta tabela denominamos TABELA
PRIMITIVA.• com os dados dispostos desta maneira é
difícil fazer qualquer análise e tirarmos alguma conclusão a respeito deste levantamento.
• Para facilitar a análise vamos dispor em uma ordem crescente ou decrescente.
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ROL• 154 155 155 157 157 158 160 160
164 165 166 167 168 168 170 172172 173 174 174 175 179 181 185
• Concluímos que a menor estatura é de 154 e a maior é de 185.
• A amplitude é de 185 - 154 = 31.• A leitura da tabela fica mais clara.• A esta tabela organizada denominamos ROL.
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Estatística• Resumindo:
• TABELA PRIMITIVA: é a tabela onde o : é a tabela onde o conjunto de elementos não foram conjunto de elementos não foram numericamente ordenados.numericamente ordenados.
• ROL: a tabela onde os dados foram a tabela onde os dados foram numericamente ordenados de forma numericamente ordenados de forma crescente ou decrescentecrescente ou decrescente.
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Distribuição de Freqüência• Para facilitar a análise dos dados:
– vamos ordenar em colunas colocando o número de vezes que aparece repetido.
• TABULAR: é registrar quantas vezes o termo aparece no rol.
• Este processo pode ser inconveniente, pois pode gera uma tabela muito extensa pela quantidade de valores diferentes no levantamento de dados
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Distribuição de Freqüência
Altura
• Estaturas dos alunos
freqüência
154 1
155 2
157 2
158 1
160 2
154 1
Altura freqüência
165 1
166
167 1
2
170 1
172 2
168
1
Fonte: Dados fictícios
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Distribuição de Freqüência
Altura
• Estaturas dos alunos de um determinado curso
freqüência
173 1
174 2
175 1
179 1
181 1
185 1
total 24
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Distribuição de Freqüência• Para facilitar a análise dos dados obtidos,
agrupar os valores em intervalos de classes (principalmente para variáveis contínuas).
• Assim dividimos nossa distribuição em INTERVALOS DE CLASSE
• INTERVALO DE CLASSE: é a forma de agrupar valores.
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Distribuição de FreqüênciaALUNOS DE DETERMINADO ANO
Altura freqüência
154 158.......... 5
158 162.......... 3162 166.......... 2
166 170.......... 4
170 174.......... 4
174 178.......... 3
178 182.......... 2
182 186.......... 1
total......... 24
Fonte: Dados fictícios
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Distribuição de Freqüência• CLASSES DE FREQÜÊNCIA
• São intervalos de variação da variável As classes são representadas
simbolicamente por “ i ” Assim o intervalo 162 166 define a 3ª
classe i = 3
A distribuição é formada por 8 classes
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Distribuição de Freqüência
As classes são:
1ª classe: 154 158
2ª classe 158 162
3ª classe 162 166
4ª classe 166 170
5ª classe 170 174
6ª classe 174 178
7ª classe 178 182
8ª classe 182 186
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Distribuição de Freqüência• LIMITES DE CLASSE
• São os extremos de cada classe. Temos• li = limite inferior da classe
• ls = limite superior da classe
• Referente à 3ª classe temos:– 162 166 li = 162 inclui limite inferior
– lS = 166 exclui limite superior
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Distribuição de Freqüência• FREQÜÊNCIA
• É o número de ocorrências em que uma única característica é observada.
• FREQÜÊNCIA SIMPLES ou ABSOLUTA (fi)
• São os valores que representam o número de dados de classe
• é resultante da contagem.• Ex: Na 3ª classe a freqüência foi igual a 2, ou
seja duas pessoas têm estatura entre 162 a 166 cm (exclusive).
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Distribuição de Freqüência• FREQÜÊNCIA ACUMULADA (Fac ou Fi )
• É o valor total (soma) das freqüências dos valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma das classes.
• FREQÜÊNCIA RELATIVA ( Fr )
• É dado pela razão da freqüência simples e a freqüência total.
Fr = freqüência simples (f i)
freqüência total
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Distribuição de FreqüênciaFREQÜÊNCIA RELATIVA PERCENTUAL
(Fr %)
Fr % = Fr x 100
PONTO MÉDIO ( PM )• É o ponto que divide o intervalo de classe em
duas partes iguais.
PM = li + ls
2
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Distribuição de FreqüênciaAMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT)
• AT=limite superior máximo-limite inferior mínimo
• No nosso exemplo AT = 186 - 154 = 32
AMPLITUDE DE UM INTERVALO DE CLASSE ( h )
h = limite superior da classe - limite inferior da classe
h = ls - li
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1) Quantos elementos foram pesquisados?
2) Quantas pessoas têm altura entre 160 (inclusive) e 170 (excluindo)
3) Isto representa quantos porcento do total?
4) Quantos porcento têm altura entre 160 (inclusive ) e 180 (excluindo)?
5) Quantas pessoas têm altura inferior a 170?
6) Quantos porcento têm altura de no mínimo 160?
7) Quantos porcento têm altura abaixo de 180?
8) Qual a classe (faixa de altura) de maior freqûëncia? Quantos porcento esta classe representa do total?
9) Qual a classe de menor freqüência? Quantos alunos representam?
10) Se for sorteado um elemento ao acaso, qual a probabilidade deste elemento ter altura mínima de 170?
11) Escolhido um aluno ao acaso, sabendo-se que ele têm altura abaixo de 170, qual a probabilidade dele ter altura entre 160 (inclusive) e 170?
12) Escolhido um aluno ao acaso, sabendo que ele tem altura maior ou igual a 160, qual a probabilidade dele ter altura acima de 170?
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Histograma
Comprimento de peças produzidas
0
2
4
6
8
10
12
158 162 166 170 174 178 182 186
comprimento
Fre
qü
ên
cia
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Polígono de Freqüências
0
5
10
15
20
25
30
1 2 3 4 5 6 7
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GRÁFICOS
Variáveis qualitativas
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Variáveis QualitativasDefeitos em um lote de peças
Defeitos quantidade
Cor 20
Mancha 11
Risco 8
Espessura 6
Textura 5
total 50
Fonte: Dados fictícios
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Gráfico de colunasDefeitos em um lote de peças
0
5
10
15
20
25
cor manchas risco espessura textura
Defeitos
Qu
anti
dad
e
![Page 73: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/73.jpg)
Gráfico de barras
Defeitos em um lote de peças
0 5 10 15 20 25
cor
manchas
risco
espessura
textura
De
feit
os
quantidade
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Gráfico de setores ou “pizza”
Defeitos em um lote de peças
cor40%
manchas10%
risco16%
espessura22%
textura12%
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75
Diagrama de Pareto
MAIORIA DAS PERDAS
POUCOS TIPOS
DEFEITOS
Pequenas quantidades de
causas
Se identificados;
pode-se eliminar a maiorias das perdas concentrando-se nestas causas principais
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76
Diagrama de Pareto
• No controle de qualidade– Dr. J.M Juran demonstrou que em muitos
casos:
•a maior parte dos defeitos decorrem de um número relativamente pequeno de causas.
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Variáveis QualitativasDefeitos em um lote de peças
Defeitos ( %) ( % )
acumuladaCor 40 % 40 %
Mancha 22 % 62 %
Risco 16 % 78 %
Espessura 12 % 90 %
Textura 10 % 100 %
total 100 %
Fonte: Dados fictícios
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Diagrama de Pareto
0%
10%
20%
30%
40%
50%60%
70%
80%
90%
100%
cor manchas risco espessura textura
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•MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL
•MEDIDAS DE DISPERSÃO
79
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Estatística
• ELEMENTOS TÍPICOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO:
Medidas de posição
Medidas de variabilidade ou dispersão
80
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Medidas de Tendência Central
• É um valor calculado para um grupo de dados• usado para descrever esses dados. • Tipicamente, desejamos que o valor seja
representativo de todos os valores do grupo• os dados observados tendem, em geral, a se
agrupar em torno dos valores centrais.
81
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Medidas de Tendência Central
• São Medidas de Tendência Central:
1. média;
2. mediana;
3. moda
82
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1 - MÉDIA ARITMÉTICA
• definida como a soma dos valores dividida pelo número de elementos.
• Sua aplicação é seguramente a mais usada• podem ser:
– Média para dados simples– Média para dados agrupados– Média para dados agrupados em classes.
83
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Exemplo: Dado um a idade de 5 crianças
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12
média - x = 4 + 6 + 8 + 10 +12
5
X = ∑xi n
sendo “ n “ o número de elementos
Assim: X = 40 = 8 5 Portanto a idade média dessas 5 crianças é 8 anos.
84
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população:
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• Exemplo: Notas de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
X = 1+1+1 + 2+2+2 + 3+3+3+3 + 5+5+5+5+5+5 + 6+6+6 + 9 20
X = 1 . 3 + 2 . 3 + 3 . 4 + 5 . 6 + 6 . 3 + 9 .1 = 3+6+12+30+18+9 3 + 3 + 4 + 6 + 3 + 1 20 85
1.1. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS SIMPLES amostra: (X) população:
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• Quando o conjunto de dados para os quais precisamos calcular a média é mais extenso, temos a necessidade de agrupar os dados. Assim, a média desse grupo é calculado da seguinte forma:
X = (Xi . fi )
fi
86
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
amostra: (X) população:
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Xi fi Xi . fi
1 3 3 X = Xi . fi
2 3 6 fi
3 4 12 X = 78 = 3,9
5 6 30 20
6 3 18
9 1 9
- 20 78
Fonte: dados fictícios 87
1.2. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS (MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA)
amostra: (X) população:
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IDADE DE ALUNOS
Xi PM fi PM.fi
0 2.......... 1 3 1.3 = 3
2 4.......... 3 7 3.7 = 21 4 6.......... 5 6 5.6 = 30
6 8.......... 7 3 7.3 = 21
8 10.......... 9 1 9.1 = 9
total ......... 20 84
Fonte: Dados fictícios
X = (PM. Fi ) X = 84 X = 4,2
fi 20
88
1.3. MÉDIA ARITMÉTICA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
amostra: (X) população:
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2 – MEDIANA ( X )
• É o valor que se localiza no centro da distribuição
• é obtida a partir de seus valores centrais• Pode ser:
2.1 MEDIANA PARA DADOS SIMPLES
2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES INTERVALARES
89
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2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
Há duas situações:
1) Quando o número de elementos pesquisados é ímpar
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª
“ n “ o número de elementos ímparUma posição central - P
P = n +1 P = 5 + 1 = 3ª posição => Xi = 8, portanto X = 8 2 2
~
posição central
Xi
~
90
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2.1 MÉDIANA PARA DADOS SIMPLES (X)
2) Quando o número de elementos pesquisados é par
Xi (idade) : 4; 6; 8; 10; 10; 12 Posição: 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª
~
X1 X2
~
P1 P2 (2 Posições centrais)
~
“ n = 6 número PAR de elementosDuas posições centrais - P1 e P2
P1 = n P1 = 6 = 3ª posição => X1 = 8, X = X1 + X2 = 8 + 10
2 2 2 2P2 = é a próxima P2 = 4ª posição => X2= 10, X = 9
91
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2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
1)Quando o nº de elementos é IMPAR Xi fi fac nº de elementos =
1 2 2 fi = 19 (ímpar) 2 3 5 3 4 9 uma posição
central 5 6 15 P = fi +1 =
19+1 6 3 18 2 2 9 1 19 P = 10ª posição - 19
92
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2.2 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
Xi fi fac 1 2 2 2 3 5
3 4 9 5 6 15 6 3 18
9 1 19 Σ 19
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5 posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9 posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª
Xi 1 1 2 2 2 3 3
posição 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª
Xi 3 3 5 5 5 5 5 posição 8ª 9ª 10ª 11ª 12ª 13ª 14ª
Xi 5 6 6 6 9 posição 15ª 16ª 17ª 18ª 19ª
93
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2.2. MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
1) Quando o nº de elementos é IMPAR
Xi fi fac P = 10ª posição 1 2 2 2 3 5 3 4 9
Xi = 5 6 15 6 3 18 X = 5 9 1 19 - 19
94
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2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac nº de elementos = fi = 20(par) 1 2 2
2 3 5 3 4 9 duas posição centrais 5 6 15 P1 = fi = 20 = 10ª posição 6 3 18 2 2 9 2 20 P2 = é a próxima= 11ª posição - 20
95
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2.2 MÉDIANA PARA DADOS AGRUPADOS
~
2)Quando o nº de elementos é PAR
Xi fi fac P1 = 10ª posição
1 2 2 P2 = 11ª posição
2 3 5
3 4 9
X1= X2= 5 6 15
6 3 18 X = (X1+ X2) = 5 + 5
9 2 20 2 2
- 20 X = 5
96
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2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P = Fi P = 23 P = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”
97
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2.3. MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO CENTRAL “P”
P = Fi P = 23 P = 11,5º posição
2 2
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE MEDIANA”
li
ls
98
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2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P = 11,5º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P - faa . h fi
+li=X~
11,5 - 3 . 2 10
+=~X 2
99
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2.3 MEDIANA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
8,5 . 2 10
+2=X~
X = 2 + 0,85 . 2~
X = 2 + 1,70~
X = 3,70~
100
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2 – MODA ( X )
• É o ponto de maior concentração de ocorrências de uma variável
• Coincide com o conceito vulgar da palavra, isto é, o que ocorre com maior freqüência
^
101
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2.1 – MODA PARA DADOS SIMPLES ( X )
• Exemplo: Notas de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3
5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
O valor que apareceu maior número de vezes é o 5
portanto => X = 5
^
^
102
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2.2 – MODA PARA DADOS AGRUPADOS ( X )^
^
Maior valor de fiXi =
Xi = 5
Xi fi 1 2 2 3 3 4 5 6 6 3 9 1 - 19
103
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2.3. MODA PARA DADOS AGRUPADOS EM CLASSES – MODA DE CZUBER - Xcz
fmax
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
1º passo: Achar a classe onde se encontra a maior freqüência - fmax
^
104
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2.3. MODA DE Czuber - XCZ
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
li
ls
^
fant
fpos
fmax
105
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2.3. MODA DE Czuber - XCZ^
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
1 = fmax – fant = 10 – 3 = 7
2 = fmax – fpost = 10 – 6 = 4
Cálculo da moda de Czuber
Xcz = li + ___ 1 ___ . h
1 + 2
Xcz = 2 + __7__ . 2 = 2 + _7_ . 2 = 2 + 14 = 2 + 1,3 = 3,3
7 + 4 11 11
^
^
106
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2.3. MODA DE KING - Xki
Xi PM fi
0 2.......... 1 3
2 4.......... 3 10 4 6.......... 5 6
6 8.......... 7 3
8 10.......... 9 1
total ......... 23
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
li
ls
^
fant
fpos
fmax
107
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2.3. MODA DE KING - Xki^
^
^
Limite inferior => li = 2 freqüência máxima => fmax = 10
Limite superior => ls = 4 freqüência anterior => fant = 3
freqüência posterior => fpost = 6
Amplitude da classe=> h = ls – li = 4 – 2 = 2
Cálculo da moda de KING
Xki = li + fpost . h
fant + fpost
Xcz = 2 + 6 . 2 = 2 + 6 . 2 = 2 + 12 = 2 + 1,3 = 3,3
3 + 6 9 9
108
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2.3. MODA DE Pearson - Xpe^
^
^
Cálculo da moda de PEARSON
Xpe = 3. X - 2. X
Exemplo: Em um levantamento de dados onde a Mediana = X = 4
e a Moda = X = 4,2
A moda de Pearson será:
X = 3.4 - 2 . 4,2 = 12 – 8,4
X = 3,6
~
~
_
^
^
109
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Outras separatrizes
• A Mediana divide a distribuição em duas partes.
• É o atributo que está no meio da distribuição:– 50% dos valores acima da mediana– 50% dos valores abaixo da mediana
110
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Outras separatrizes
QUARTIS ou QUARTILHOS
• o Quartil divide a distribuição em 4 partes de igual freqüência.
• Seu cálculo é importante para as medidas de dispersão e variabilidade
• São três:
111
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Outras separatrizes
Quartil
• São três:
• Q1 = quartil inferior ou primeiro quartil. Tem 25% da distribuição abaixo de si
• Q2 = é a mediana ou quartil mediano
• Q3 = quartil superior ou terceiro quartil. Tem 75% da distribuição abaixo de si
112
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Quartil
• 1º quartil - Q1 = assume a posição P1q = Σfi
4• 2º quartil – Q2 = assume a posição P2q = 2. Σfi
4 • 3º quartil - Q3 = assume a posição P3q = 3.Σfi
4
113
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1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO QUARTIL “ P1q ”
P1q = Fi P1q = 23 P 1q = 5,75º posição
4 4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO QUARTIL – Q1”
114
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1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 1º quartil -> P 1q= 5,75º posição
Limite inferior da classe -> li = 2
Limite superior da classe -> ls = 4
Amplitude da classe -> h = ls - li = 4 – 2 = 2
Freqüência da classe -> fi = 10
Freqüência acumulada anterior -> faa = 3
li
ls
P1q - faa . h fi
+li=Q1
5,75 - 3 . 2 10
+=Q1 2
115
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1º QUARTIL – Q1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
2,75 . 2 10
+2=Q1
Q1 = 2 + 0,55
Q1 = 2,55
116
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3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO TERCEIRO QUARTIL “ P3q ”
P3q = 3. Fi P3q = 3. 23 P 3q = 17,25º posição
4 4
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O TERCEIRO QUARTIL – Q3”
117
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3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 3q= 17,25º posição
Limite inferior da classe -> li = 4
Limite superior da classe -> ls = 6
Amplitude da classe -> h = ls - li = 6 – 4 = 2
Freqüência da classe -> fi = 6
Freqüência acumulada anterior -> faa = 13
li
ls
P3q - faa . h fi
+li=Q3
17,25 - 13 .2 6
+=Q3 4
118
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3º QUARTIL – Q3
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
li
ls
4,25 . 2 13
+4=Q3
Q3 = 4 + 0,65
Q3 = 4,65
119
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Outras separatrizes
Decil
• Dividem a distribuição em 10 partes de igual freqüência.
• São nove
• o quinto decil é a mediana.
120
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Decil
• 1º decil - D1 = assume a posição P1d= Σfi
10• 2º decil – D2 = assume a posição P2d = 2. Σfi
10
• 9º decil - D9 = assume a posição P9d = 9.Σfi
10
121
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1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO PRIMEIRO DECIL “ P1d ”
P1d = Fi P1d = 23 P 1d = 2,3º posição
10 10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O PRIMEIRO DECIL – D1”
122
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1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 1º DECIL -> P 1d= 2,3º posição
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P1d - faa . h fi
+li=D1
2,3 – 0 . 2 3
+=D1 0
123
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1º DECIL – D1
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3
+0=D1
D1 = 1,53
124
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9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONO DECIL “ P9d ”
P9d = 9. Fi P9d = 9. 23 P9d = 20,70º posição
10 10
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O NONO DECIL – D9”
125
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9º DECIL – D9
li
ls
P9d - faa . h fi
+li=D9
20,7 - 19 .2 3
+=D9 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 9d= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19126
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9º DECIL – D9
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19 faa
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3
+6=D9
D9 = 6 + 1,13
D9 = 7,13
127
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Outras separatrizes
Centil ou Percentil
• Dividem a distribuição em 100 partes de igual freqüência.
• São noventa e nove
• o qüinquagésimo centil é a mediana.
128
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Percentil - Ci
• 1º percentil - C1 = assume a posição P1c= Σfi
100• 2º percentil – C2 = assume a posição P2c = 2. Σfi
100
• 99ºpercentil - C99 = assume a posição P99c =99.Σfi
100
129
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10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO DÉCIMO PERCENTIL “ P10c ”
P10c = 10 . Fi P10c = 10 .23 P 10c = 2,3º posição
100 100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O Décimo Percentil – C10”
130
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10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3 faa
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição 10º percentil -> P 10c= 2,3º posição
Limite inferior da classe -> li = 0
Limite superior da classe -> ls = 2
Amplitude da classe -> h = ls - li = 2 – 0 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 0
li
ls
P10c - faa . h fi
+li=C10
2,3 – 0 . 2 3
+=C10 0
131
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10º PERCENTIL – C10
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
2,3 . 2 3
+0=C10
C10 = 1,53
132
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90º percentil – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1º passo: ACHAR A POSIÇÃO DO NONAGÉSIMO PERCENTIL “ P90c ”
P90c = 90. Fi P90c = 9. 23 P90c = 20,70º posição
100 100
2º passo: IR NA COLUNA “freqüência acumulada = fac” E LOCALIZE A CLASSE QUE PERTENCE O nonagésimo percentil – C90”
133
![Page 134: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/134.jpg)
90º PERCENTIL – C90
li
ls
P90c - faa . h fi
+li=C90
20,7 - 19 .2 3
+=C90 6
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 faa 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
Posição central -> P 90c= 20,7º posição
Limite inferior da classe -> li = 6
Limite superior da classe -> ls = 8
Amplitude da classe -> h = ls - li = 8 – 6 = 2
Freqüência da classe -> fi = 3
Freqüência acumulada anterior -> faa = 19134
![Page 135: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/135.jpg)
90º PERCENTIL – C90
Xi PM fi fac
0 2.......... 1 3 3
2 4.......... 3 10 13 4 6.......... 5 6 19
6 8.......... 7 3 22
8 10.......... 9 1 23
total ......... 23
1,7 . 2 3
+6=C90
C90 = 6 + 1,13
C90 = 7,13
135
![Page 136: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/136.jpg)
Relações
Quartil Decil Percentil Mediana
D1 = C10
Q1 = = C25
Q2 = D5 = C50 = X
Q3 = = C75
D9 = C90
~
136
![Page 137: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/137.jpg)
Outras médiasMÉDIA DE INTERVALOÉ a média entre a menor e a maior observação em um
conjunto de dados.
MÉDIA DAS JUNTAS ou MidhingeÉ a média entre o primeiro e o terceiro quartil.
XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR
22Média de Intevalo =Média de Intevalo =
Outras médiasOutras médias
XXMENOR MENOR + X+ XMAIORMAIOR
22Média de Intevalo =Média de Intevalo =
QQ1 1 + Q+ Q33
22MidhingeMidhinge = =
137
![Page 138: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/138.jpg)
Medidas de Dispersão
• As Medidas de Tendência Central:– representam de certa forma uma determinada
distribuição de dados– só elas não são suficientes para caracterizar a
distribuição.
• Para uma análise estatística mais exata é necessária a verificação da flutuação dos valores em torno de sua média aritmética
138
![Page 139: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/139.jpg)
Medidas de Dispersão
• Suponha as notas de 2 grupos de estudantes, cada qual com 5 alunos.
• GRUPO “A” : 4, 5, 5, 6
• GRUPO “B” : 0, 0, 10, 10
• Média do grupo “A”: 5
• Média do grupo “B”: 5
139
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Medidas de Dispersão
• Os dois grupos apresentam a mesma média
• O comportamento dos 2 grupos são bem distintos. GRUPO “A”: valores são mais homogêneos
GRUPO “B”: valores são dispersos em
relação à média
140
![Page 141: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/141.jpg)
Medidas de Dispersão
• Dentre as medidas de dispersão pode-se citar algums delas:– a) Amplitude Total– b) Amplitude Interquartil– c) Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílico– d)Desvio Médio– e) Variância– f) Desvio Padrão
141
![Page 142: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/142.jpg)
a) Amplitude Total - R
– é a diferença entre o maior e o menor valor observados.
R = Limite superior - Limite Inferior
• Exemplo 5: Idade de 20 alunos:
Xi: 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9
R = 9 – 1 = 8
142
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b) Amplitude Interquartil – AIQou IQR ( InterQuartile Range )
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil.
AIQ ou IQR = Q3 - Q1
– Supera a dependência dos valores extremos– Abrange 50% dos valores centrais,
eliminando os 25% dos valores mais baixos e os 25% dos valores mais altos
143
![Page 144: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/144.jpg)
c) Desvio Quartílico ouAmplitude Semi-interquartílicoé a diferença entre o terceiro quartil e o
primeiro quartil.
Dq = Q3 - Q1
2
144
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d) Desvio Médio - DM
é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra
DM = Σ Xi – X_
n - 1
Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética
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d) Desvio Médio - DM
Para uma população
DM = Σ Xi – _
n Sendo: DM = Desvio Médio Xi = vr. variável
n = nº elementos
= média aritmética
![Page 147: Estatística – Conteúdo Programático Conceitos básicos de Estatística e suas aplicações População, amostra, variáveis aleatórias Distribuição de freqüência](https://reader037.vdocuments.com.br/reader037/viewer/2022103113/552fc0fe497959413d8bb3ce/html5/thumbnails/147.jpg)
d) Desvio Médio - DM
Exemplo 6: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ Xi Xinn
40401010
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d) Desvio Médio - DMXi Xi - x Xi – x 2 2 – 4 = - 2 2 2 2 – 4 = - 2 2 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 3 3 – 4 = - 1 1 DM = = 4 4 – 4 = 0 0 4 4 – 4 = 0 0 DM = 1,56 4 4 – 4 = 0 0 5 5 – 4 = 1 110 10 – 4 = 6 6
Σ 14
ΣΣ Xi – x_ Xi – x_ n - 1n - 1
1414 99
Considerando uma amostra
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e) Variância – população: 2
amostra: s2
– é a média dos quadrados dos afastamentos entre as os valores da variável e sua média aritmética
– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
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é a diferença entre o terceiro quartil e o primeiro quartil. Para uma amostra
s2 = Σ (Xi – X )2_
n - 1
Sendo: s2= variância amostra Xi = vr. variável
n = nº elementos
X = média aritmética
e) Variância – população: 2
amostra: s2
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Para uma população
2 = Σ (Xi – )2_
n Sendo: 2 = variância população Xi = vr. variável
n = nº elementos
= média aritmética
e) Variância – população: 2
amostra: s2
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d.1) Variância - 2 – dados simples
Exemplo 7: Dado o levantamento:
Xi : 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 10
a) Calcule a média X = = = 4
b) Montar a tabela a seguir:
ΣΣ Xi Xinn
40401010
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d.1) Variância - s2 – dados simplesXi Xi - x ( Xi – x )2 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 2 2 – 4 = - 2 22 = 4 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 3 3 – 4 = - 1 12 = 1 s2 = = 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 4 4 – 4 = 0 02 = 0 s2 = = 5,33 5 5 – 4 = 1 12 = 110 10 – 4 = 6 62 = 36
Σ 48
ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )22
n - 1n - 1
4848 99
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d.2) Variância - s2 – dados agrupados
Xi fi Xi . fi Xi - x ( Xi – x )2 ( Xi – x )2 . fi 2 2 2 . 2 = 4 2 – 4 = -2 (-2)2 = 4 4 . 2 = 8 3 3 3 . 3 = 9 3 – 4 = -1 (-1)2 = 1 1 . 3 = 3 4 3 4 . 3 = 12 4 – 4 = 0 02 = 0 0 . 3 = 0 5 1 5 . 1 = 5 5 – 4 = 1 12 = 1 1 . 1 = 110 1 10 . 1 = 10 10 - 4 = 6 62 = 36 36 . 1 = 36
Σ fi = 10 Σ fi = 40 Σ fi = 48
se amostra
s2 =
s2 = = 5,33
ΣΣ ( Xi – x ) ( Xi – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1
4848 99
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d.2) Variância - s2 – dados agrupados em classes
Xi PM fi PM.fi PM-x ( PM–x )2 ( PM–x )2.fi
0 2..... 1 2 1.2 = 2 1-5= -4 (-4)2 = 16 16 . 2 = 32
2 4..... 3 4 3.4 = 12 3-5= -2 (-2)2 = 4 4 . 4 = 16
4 6..... 5 8 5.8 = 40 5-5= 0 02 = 0 0 . 8 = 0
6 8..... 7 6 7.6 = 42 7-5= 2 (2)2 = 4 4 . 6 = 24
8 10.... 9 1 9.1 = 9 9-5= 4 (4)2 = 16 16 . 1 = 16
total .... 21 105 88
ΣΣ ( PM – x ) ( PM – x )2 2 . fi. fi ΣΣ fi - 1 fi - 1
ΣΣ ( PM.fi) ( PM.fi) ΣΣ fi fi
X = = 105 105 2121
X = 5
ss22 = = 8888 2020
ss22 =
ss22 = 4,4
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d) Desvio Padrão
– Por definição, é a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios
– É a mais utilizada– Revela a dispersão do conjunto que se estuda
para uma população = 22
para uma amostra ss = ss22
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e) Desvio Padrão - “” ou “s”– Se todos os valores forem iguais, o desvio padrão
é nulo.– quanto maior o desvio padrão mais heterogênea é
a distribuição, significa que os valores são mais dispersos em torno da média
– MEDIA ± 1 => 68,26% dos valores– MEDIA ± 2 => 95,44% dos valores– MEDIA ± 3 => 99,74% dos valores
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f) Coeficiente de Variação - CV
CV = - desvio padrão
X X - média artitmética
– o CV mede o grau de heterogeneidade da distribuição
– Valor máximo é CV = 1
0 ≤ CV ≤ 1
158
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Coeficiente de Variação - CV
– Quanto mais próximo de 1:mais heterogênea é a distribuiçãoOs valores estão mais dispersos
– Quanto mais próximo de 0:mais homogênea é a distribuiçãoOs valores da variável estão mais próximos em torno
da média
159
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Coeficiente de Variação - CV
– Ex: Dado 2 estudantes cujas notas bimestrais foram:• “a”: 60; 40; 50; 50• “b”: 70; 70; 30; 30• Qual foi mais regular ?
160
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f) Coeficiente de Variação - CV
Na comparação de variabilidade de dois ou mais conjuntos de dados:
1. expressos em diferentes unidades de medida
2. expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes.
161
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f) Coeficiente de Variação - CV
Comparação de valores expressos em diferentes unidades de medida
Exemplo 8: Deseja-se comparar qual grandeza varia mais: PESO ou COMPRIMENTO
XPESO = 20 kg XCOMPRIMENTO = 50 metros
PESO = 2 kg COMPRIMENTO = 4 metros
162
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f) Coeficiente de Variação - CV
XXPESOPESO
PESOPESOCVCVPP =
COMPRIMENTOCOMPRIMENTO
XXCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO
CVCVCC =
22 2020CVCVPP =
44 5050CVCVCC =
CVCVPP = 0,10
CVCVCC = 0,08
CVCVPESOPESO = 0,10 ≥ CVCVCOMPRIMENTOCOMPRIMENTO = 0,08
PESO varia mais que o comprimentoPESO varia mais que o comprimento
163
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f) Coeficiente de Variação - CV
expressos nas mesmas unidades, mas com médias diferentes
Exemplo 9: Deseja-se comparar qual grupo “ A ”
ou “ B “ tem mais variação de rendimento em um processo:
XA = 80 % XB = 50 %
A = 2 % B = 1 %
164
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f) Coeficiente de Variação - CV AA
CVCVAA =XXAA
BBCVCVBB =
XXBB
22 8080CVCVPP =
11 5050CVCVBB =
CVCVAA = 0,025
CVCVBB = 0,020
CVCVAA = 0,025 ≥ CVCVBB = 0,020
O rendimento do Produto A varia mais que o O rendimento do Produto A varia mais que o rendimento do produto B no decorrer do processorendimento do produto B no decorrer do processo
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Esquema dos 5 NúmerosBox – Plot ou
Gráfico Box-and-Whisker
Q3
3º Quartil
Q1
1º Quartil
X
Mediana
~
XMENOR XMAIOR
25% dos dados 25% dos dados25% 25%
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Dados suspeitos ou Outliers
Q1 – 1,5. IQR Q3 + 1,5. IQR
Possível suspeito
Q3 + 3 . IQR
Suspeito
Q1 - 3 . IQR
IQR = Q3 - Q1
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