estatistica apostila-slides 2008 · estatÍstica descritiva parte estÁtica da estatÍstica, que...

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1 MARCUS QUINTELLA E-mail: [email protected] Site: www.marcusquintella.com.br ESTATÍSTICA APLICADA A FINANÇAS ESTATÍSTICA CONSTITUI UM DOS PRINCIPAIS INSTRUMENTOS DE TOMADA DE DECISÃO E CONTROLE PARA QUALQUER ATIVIDADE PROFISSIONAL PARTE DA MATEMÁTICA QUE VISA A SELEÇÃO, COLETA, APURAÇÃO, EXPOSIÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS RELATIVOS A UM DETERMINADO FENÔMENO

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1

MARCUS QUINTELLA

E-mail: [email protected]: www.marcusquintella.com.br

ESTATÍSTICA APLICADA A FINANÇAS

ESTATÍSTICA� CONSTITUI UM DOS PRINCIPAIS

INSTRUMENTOS DE TOMADA DE DECISÃO E CONTROLE PARA QUALQUER ATIVIDADE PROFISSIONAL

� PARTE DA MATEMÁTICA QUE VISA A SELEÇÃO, COLETA, APURAÇÃO, EXPOSIÇÃO, ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DE DADOS RELATIVOS A UM DETERMINADO FENÔMENO

2

ESTATÍSTICA

� É UM MÉTODO CIENTÍFICO QUE PERMITE MELHORES TOMADAS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA

� A ÁREA DE FINANÇAS NÃO PODE PRESCINDIR DA ESTATÍSTICA, EM VIRTUDE DO AMBIENTE DE INCERTEZA EM QUE SEUS MODELOS SÃO DESENVOLVIDOS

ESTATÍSTICAExemplos de Aplicação

� Pesquisa de mercado para lançamento de um produto: preferência dos consumidores

� Análise da evolução do consumo de um produto em relação ao preço praticado e à renda média do mercado

� Estudo das incertezas dos fluxos de caixa de projetos de investimentos

� Análise das chances de sucesso em aplicações em ativos financeiros de risco

3

ESTATÍSTICA x PROBABILIDADE

� A probabilidade tenta predizer os resultados de um processo conhecido

� A estatística observa os resultados de um processo desconhecido e os utiliza para conhecer a natureza de tal processo

ESTATÍSTICA

� RAMO DA MATEMÁTICA APLICADA DEDICADO A TIRAR CONCLUSÕES SOBRE UMA POPULAÇÃO, A PARTIR DE DADOS OBSERVADOS NUMA AMOSTRA DESSA POPULAÇÃO

4

POPULAÇÃO (UNIVERSO)

� TOTALIDADE DE INDIVÍDUOS OU ELEMENTOS SOBRE O QUAL SE FAZ UMA INFERÊNCIA

� CONJUNTO CONSTITUÍDO POR TODOS OS INDIVÍDUOS OU ELEMENTOS QUE APRESENTEM PELO MENOS UMA CARACTERÍSTICA EM COMUM

� A POPULAÇÃO PODE SER FINITA OU INFINITA

U (p o p u la ç ã o )

A (a m o s tr a )

AMOSTRA

� SUBCONJUNTO DE UMA POPULAÇÃO, ATRAVÉS DO QUAL SE FAZ UM JUÍZO SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DESSA POPULAÇÃO

� AMOSTRAGEM É A TÉCNICA UTILIZADA PARA SE ESCOLHER OS ELEMENTOS DE UMA POPULAÇÃO

� OS ELEMENTOS DE UMA AMOSTRA SÃO DENOMINADOS VARIÁVEIS

U (p o p u la ç ã o )

A (a m o s tr a )

5

PESQUISA E AMOSTRAGEM

Como poderemos determinar quantas pessoas em uma população apresentam certa característica?

Por exemplo, quantos eleitores apóiam o candidato presidencial favorito? Quantas pessoas são crianças, quantas vivem em centros urbanos e quantas estão empregadas?

Resposta “Lógica”: Deveríamos entrevistar todas as pessoas, já que este seria o método mais preciso. Todavia, este método é demasiadamente dispendioso e de difícil execução.

Resposta da Estatística: Devemos consultar um grupo de pessoas, que constitui uma amostra de toda a população

Assim, os pesquisadores de opinião entrevistam, por exemplo, 1.000 pessoas e procuram, com base nos resultados, estimar as opiniões dos 200 milhões de habitantes do país.

Tais resultados têm chance de ser precisos?

À primeira vista, podem parecer suspeitos, mas os resultados tendem a ser razoavelmente precisos.

Aqui entra a ESTATÍSTICA

6

O modo como se escolhe a amostra tem grande importância, pois o resultado da pesquisa depende de quem compõe a amostra.

Deve-se procurar um sistema confiável para a escolha da amostra, de modo que esta possa representar adequadamente a população como um todo.

A precisão de uma pesquisa de opinião ou de um estudo estatístico depende do tamanho da amostra e não do tamanho da população.

Métodos de Amostragem:

POR CONCLOMERADO: a população é dividida em grupos e selecionam-se aleatoriamente alguns grupos e deles extraem-se, também aleatoriamente, os elementos que irão compor a amostra;

ESTRATIFICADA: a população é dividida em estratos ou camadas, tão semelhantes entre si quanto possível; desta forma, pode-se obter uma amostra representativa com extrações aleatórias em cada grupo.

A base dos sistemas de amostragem deve ser sempre a escolha aleatória, em que todos os elementos da amostra tenham a mesma chance de ser escolhidos.

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ANÁLISE DO ERRO PERCENTUAL EM TERMOSDO TAMANHO DA AMOSTRA

População = 50.000

Amostra = 1.000 elementos →→→→ 95% de chance do resultado da pesquisa estar a menos de 3,1% do verdadeiro valor

Amostra = 5.000 elementos →→→→ erro cai para 1,3%

Embora o erro decresça na medida em que otamanho da amostra aumenta, chega um pontoem que grandes aumentos no tamanho da amostraconduzem apenas a pequenas reduções no erro:aumentar o tamanho da amostra torna a amostra umpouco mais precisa, mas o seu custo aumentaquando são incluídos mais elementos.

N( t a ma nho d a p o p ula ç ã o ) 100 500 1.000 5.000 10.000 50.000

10.000 9,8 4,3 2,9 1,0 0,0 -50.000 9,8 4,4 3,1 1,3 0,9 0,0

100.000 9,8 4,4 3,1 1,4 0,9 0,3500.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4

50.000.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4200.000.000 9,8 4,4 3,1 1,4 1,0 0,4

n ( t a ma nho d a amo s t ra)

Erro Percentual para a Amostra

Obs.: Válido para N>>>>>>>>n ⇒⇒⇒⇒ (N-n)/(N-1) ≈≈≈≈ 1 e n >>>> 30 ⇒⇒⇒⇒ aproximação normal

8

DESCRITIVAESTATÍSTICA

INDUTIVA

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

� PARTE DA ESTATÍSTICA QUE DESCREVE OS DADOS OBSERVADOS DA AMOSTRA

� DESCREVE E ESTUDA CERTAS CARACTERÍSTICAS DE UM GRUPO, SEM TIRAR CONCLUSÕES SOBRE UM GRUPO MAIOR QUE O CONTENHA

9

ESTATÍSTICA DESCRITIVA

� PARTE ESTÁTICA DA ESTATÍSTICA, QUE CONSISTE NO CÁLCULO DE VALORES REPRESENTATIVOS DA AMOSTRA E NA CONSTRUÇÃO GRÁFICA DOS DADOS OBSERVADOS

� REDUZ AS INFORMAÇÕES AO PONTO EM QUE SE POSSA INTERPRETÁ-LAS

ESTATÍSTICA INDUTIVA

� PARTE DA ESTATÍSTICA QUE ENVOLVE O PROCESSO DE GENERALIZAÇÃO, A PARTIR DE RESULTADOS PARTICULARES

� TEM POR OBJETIVO INFERIR PROPRIEDADES PARA O TODO COM BASE EM UMA PARTE DESTE TODO

� ESTÁ ASSOCIADA A UMA MARGEM DE INCERTEZA

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LEVANTAMENTO DOS DADOS

� NO ESTUDO DE UMA AMOSTRA DE UMA POPULAÇÃO DEVE-SE ADOTAR UM MÉTODO DE AMOSTRAGEM QUE EVITE A INTERFERÊNCIA PESSOAL NOS DADOS A SEREM OBSERVADOS

UMA VEZ DETERMINADA A FORMA DE COMO TOMAR A

AMOSTRA, BEM COMO O SEU TAMANHO, PASSA-SE A FAZER

O LEVANTAMENTO DOS DADOS, QUE CONSISTE NA

COLETA, APURAÇÃO ETABULAGEM DOS DADOS

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DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIAS COM DADOS DISCRETOS E CONTÍNUOS

A FREQÜÊNCIA DE UMA OBSERVAÇÃO DE DADOS NUMA SÉRIE É O NÚMERO DE REPETIÇÕES DESTA OBSERVAÇÃO�FREQÜÊNCIAS ABSOLUTAS

�FREQÜÊNCIAS RELATIVAS

�FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS

AMOSTRA DE 15 ELEMENTOS DA POPULAÇÃO DE 2.000 TAXAS DE

JUROS DE MORA DE CARTÕES DE CRÉDITO, FINANCIAMENTOS,

CONDOMÍNIOS ETC(% a.m.)

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

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DISTRIBUIÇÃO DE FREQüÊNCIASCOM DADOS CONTÍNUOS

CLASSES ou CATEGORIAS�DEVEM FORMAR UMA PARTIÇÃO DO CONJUNTO

�UM MESMO ELEMENTO NÃO PODE PERTENCER A DUAS CLASSES SIMULTANEAMENTE

NÚMERO DE CLASSES

� GERALMENTE VARIA ENTRE 8 E 12 CLASSES (recomenda-se entre 5 e 15)

� DEVE-SE USAR O BOM SENSO E CONSIDERAR O OBJETIVO DA PESQUISA

� FÓRMULA EMPÍRICA: k = √√√√n + 1(onde k é o número de classes e n o total de observações)

13

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

Número de Classes: k = √√√√ n +1 = √√√√15 +1 = 3,87+1= 4,87

Amplitude Total: AT = 10,8 - 6,1 = 4,7

Intervalo de Classe: h = AT/ k = 4,7/ 4,87 = 0,97 ∴∴∴∴h = 1

Classes

6 ≤≤≤≤ x <<<< 77 ≤≤≤≤ x <<<< 88 ≤≤≤≤ x <<<< 9

9 ≤≤≤≤ x <<<< 1010 ≤≤≤≤ x <<<< 11

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

� GRUPAMENTO DE DADOS EM CLASSES ONDE ESTÁ EXIBIDO O NÚMERO OU PERCENTAGEM DE OBSERVAÇÕES EM CADA CLASSE

14

DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

√√√√ √√√√Número de Classes: k = n +1 = 15 +1 = 3,87 +1 = 4,87

Amplitude Total: AT = 10,8 - 6,1 = 4,7

Intervalo de Classe: h = AT / k = 4,7 / 4,87 = 0,97 ∴∴∴∴h = 1

Classes xi fi fa

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6,5 2 27 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7,5 3 58 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8,5 5 10

9 ≤≤≤≤ x <<<< 10 9,5 4 1410 ≤≤≤≤ x <<<< 11 10,5 1 15

fr

0,1330,2000,3330,2670,067

HISTOGRAMAC la s s e s x i f i f a

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6 ,5 2 27 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7 ,5 3 58 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8 ,5 5 1 0

9 ≤≤≤≤ x <<<< 1 0 9 ,5 4 1 41 0 ≤≤≤≤ x <<<< 1 1 1 0 ,5 1 1 5

fj

CLASSES

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 -6 7 8 9 10 11

15

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS

fj

xj

| | | | |6,5 7,5 8,5 9,5 10,5

5 -

4 -

3 -

2 -

1 -

0 -

C la s s e s x i f i f a

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6 ,5 2 27 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7 ,5 3 58 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8 ,5 5 1 0

9 ≤≤≤≤ x <<<< 1 0 9 ,5 4 1 41 0 ≤≤≤≤ x <<<< 1 1 1 0 ,5 1 1 5

POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS ACUMULADAS

C la s s e s x i f i f a

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6 ,5 2 27 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7 ,5 3 58 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8 ,5 5 1 0

9 ≤≤≤≤ x <<<< 1 0 9 ,5 4 1 41 0 ≤≤≤≤ x <<<< 1 1 1 0 ,5 1 1 5

f j

C L A S S E S

| | | | |6 ,5 7 ,5 8 ,5 9 ,5 1 0 ,5

1 5 -

1 0 -

5 -

0 -

16

REPRESENTAÇÃO DE DADOS

POR MEIO DE GRÁFICOS

0

5

10

15

20

Qu

anti

dad

e d

e

En

com

en

das

6,5 9,5 12,5 15,5 18,5

Tempo em Minutos

Processamento de Encomendas

17

- 2,000 4,000 6,000 8,000 10,000

Produção em Milhões de Unidades

1970

1972

1974A

no

Carros de Passeio nos EUA

Vendas do Produto X no MundoVendas do Produto X no MundoVendas do Produto X no MundoVendas do Produto X no Mundo

América Central14%

América do Norte

7%

Ásia10%

América do Sul29%

Europa28%

Austrália e Oceania

1%África11%

18

Evolução do IPC/FIPE, em 1998

-0,50

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

Jan Fev Mar Abr Mai Jun Jul Ago Set Out Nov Dez

Mês

Índ

ice

(%)

ASSIM ETRIA

Q U ANDO O TAM ANHO DA fj

CR ESCE IN DEFINIDAM E NTE,O PO LÍGO NO D E FR EQUÊNC IASSE E STABILIZA, RES ULTAN DONU M A CU RVA C ONTÍNU A ES IM ÉTR ICA, CH AM ADA DEC URV A NO RM AL x i

A M AIO R IA DAS C URVAS DE VAC fj

TEM A F O RM A N O RM AL , M ASEX ISTEM DISTR IBUIÇ ÕESQ U E PO SSUE M CUR VASASSIM ÉTRIC AS, PO R Q UEAS M EDID AS DE TENDÊN CIAC ENTR AL SÃO D IFERE NTES

µµµµ = M αααα = M 0

C U RVA NO RMA ou CURVA D E G AU SS

AMOSTRA

ASSIM ETRIA

Q U ANDO O TAM ANHO DA fj

CR ESCE IN DEFINIDAM E NTE,O PO LÍGO NO D E FR EQUÊNC IASSE E STABILIZA, RES ULTAN DONU M A CU RVA C ONTÍNU A ESIM ÉTR ICA, CH AM ADA DEC URV A NO RM AL x i

A M AIO R IA DAS C URVAS DE VAC fj

TEM A F O RM A N O RM AL , M ASEX ISTEM DISTR IBUIÇ ÕESQ U E PO SSUE M CUR VASASSIM ÉTRIC AS, PO R Q UEAS M EDID AS DE TENDÊN CIAC ENTR AL SÃO D IFERE NTES

µµµµ = M αααα = M 0

C U RVA NO RMA ou CURVA D E G AU SS

AMOSTRA

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MEDIDAS DE POSIÇÃO

AS MEDIDAS DE POSIÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SÃO

VALORES QUE REPRESENTAM AS TENDÊNCIAS DE

CONCENTRAÇÃO DOS DADOS OBSERVADOS

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

� RAZÃO ENTRE A SOMA DOS VALORES DE UMA DISTRIBUIÇÃO E A QUANTIDADE DESTES VALORES

� A MÉDIA É MUITO INFLUENCIADA POR VALORES EXTREMOS

20

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

ΣΣΣΣ xinx =

n

i=1

MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

x = = 8,44 10,8 + 9,3 + ... + 7,6 + 9,4 15

21

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

RAZÃO ENTRE A SOMA DOS PRODUTOS xi.fi DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS E A SOMA DESTAS FREQÜÊNCIAS

n

i=1ΣΣΣΣ xi . fi

x =ΣΣΣΣ fin

i=1n

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

x = 126,5 / 15 = 8,43

Classes xi fi xi .fi

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6,5 2 13,07 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7,5 3 22,58 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8,5 5 42,59 ≤≤≤≤ x <<<< 10 9,5 4 38,0

10 ≤≤≤≤ x <<<< 11 10,5 1 10,5∑∑∑∑ 15 126,5

22

MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA

CARTEIRA COMPOSTA POR 3 ATIVOS

Ativo Rent. Anual Valor (R$)A 12% 25.000B 15% 20.000C 13% 35.000

A rentabilidade anual ponderada da carteira é:

(25.000 . 12) + (20.000 . 15) + (35.000 . 13)

25.000 + 20.000 + 35.000w = = 13,19%X

MÉDIA GEOMÉTRICA

RAIZ n-ÉZIMA DO PRODUTO DE TODOS OS VALORES DE UMA DISTRIBUIÇÃO

ΠΠΠΠ xin

i=1x = √√√√

n

23

MÉDIA GEOMÉTRICA

� É UTILIZADA EM PROBLEMAS ENVOLVENDO JUROS COMPOSTOS E OUTROS VALORES QUE ASSUMEM UM COMPORTAMENTO EXPONENCIAL, COMO INFLAÇÃO ACUMULADA, RETORNO DE CARTEIRA ETC

MÉDIA GEOMÉTRICA INFLAÇÃO

mês IGPM-FGVMAR 3,2%ABR 2,8%MAI 3,9%JUN 4,1%JUL 3,8%

Inflação mensal médiaentre março e julho:

ππππacumulada = 1,032 . 1,028 . 1,039 . 1,041 . 1,038 = 1,1911ππππacumulada = 19,11%

ππππmédia = (1,1911)1/5 = 1,03559ππππmédia = 3,56% a.m.

x = √√√√ 1,032 × 1,028 × 1,039 × 1,041 × 1,0385

x = √√√√ 1,1911 = 1,03565

x = 3,56% a.m.

24

MÉDIA GEOMÉTRICA

ππππ = √√√√ 1,03117 = 1,006165

ππππ = 0,616% a.m.

Inflação entre AGO/96 e JAN/97:

ππππ = I= I= I= IJAN/97JAN/97JAN/97JAN/97 / I/ I/ I/ IAGO/96AGO/96AGO/96AGO/96 = 136,814 / 132,679 = 1,03117= 136,814 / 132,679 = 1,03117= 136,814 / 132,679 = 1,03117= 136,814 / 132,679 = 1,03117

ππππ = 3,12% no per= 3,12% no per= 3,12% no per= 3,12% no perííííodoodoodoodo

Inflação média mensal entre AGO/96 e JAN/97:

MEDIDAS DE DISPERSÃO

AS MEDIDAS DE DISPERSÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SÃO

VALORES QUE INDICAM O GRAU DE AFASTAMENTO DOS

VALORES DA VARIÁVEL EM RELAÇÃO À MÉDIA

25

VARIÂNCIA

� UTILIZANDO-SE A IDÉIA DE USAR OS DESVIOS PARA MEDIR A VARIABILIDADE DOS ELEMENTOS DE UMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES, O CONCEITO RECOMENDADO É O DA SOMA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS, QUE É UM VALOR MÍNIMO

� A VARIÂNCIA É A MÉDIA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS

VARIÂNCIA

� A VARIÂNCIA DE UMA AMOSTRA ÉREPRESENTADA POR s2

� O VALOR DA VARIÂNCIA É SEMPRE UM VALOR POSITIVO

26

A VARIÂNCIA DE UM CONJUNTO DE n ELEMENTOS É DADA POR:

n

i=1ΣΣΣΣ (xi - x)2

s2 =n - 1

VARIÂNCIA� DEDUÇÕES ESTATÍSTICAS INDICAM

O USO DE (n-1) COMO DENOMINADOR DO CÁLCULO DA VARIÂNCIA DE UMA AMOSTRA, JÁQUE SE APURA, ASSIM, UMA ESTIMATIVA MAIS REPRESENTATIVA DA POPULAÇÃO, NOTADAMENTE PARA n < 30

� O DIVISOR (n-1) É DENOMINADO GRAU DE LIBERDADE

27

GRAU DE LIBERDADE� SUPONHA UMA AMOSTRA DE UM ÚNICO

ELEMENTO: x1 = 250

� A MÉDIA AMOSTRAL É IGUAL A x =250 E CORRESPONDE A UMA ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL µµµµ , MAS NÃO SE TEM UMA IDÉIA PRECISA DESSA MEDIDA

� SE A VARIÂNCIA AMOSTRAL FOSSE CALCULADA COM O DENOMINADOR IGUAL A n, TERÍAMOS: s2 =(250-250)2/1= 0 ⇒⇒⇒⇒ FALSO (s2 É INDETERMINADA)

� PORTANTO, s2 DEVE SER CALCULADA COM O DENOMINADOR IGUAL A (n - 1): s2 =(250-250)2 / (1-1)= ∃∃∃∃ ⇒⇒⇒⇒ VERDADEIRO

GRAU DE LIBERDADE� SUPONHA UMA SEGUNDA MEDIDA PARA A

AMOSTRA: x2 = 280

� AGORA TEM-SE UMA MELHOR ESTIMATIVA DA MÉDIA POPULACIONAL µµµµ: x = 250 + 280 = 265

� OBSERVE QUE DIFERENÇAS DE CADA UMA DAS OBSERVAÇÕES A PARTIR DA MÉDIA NÃO SÃO INDEPENDENTES, DESDE QUE A MÉDIA TENHA SIDO CALCULADA COM BASE NESSES VALORES: COMO x = 265 E x1 = 250, ENTÃO x2 ÉNECESSARIAMENTE IGUAL A 280

� DIZ-SE, ENTÃO, QUE A ESTIMATIVA TEM 1 GRAU DE LIBERDADE

28

VARIÂNCIA

QUANDO OS VALORES DO CONJUNTO ESTIVEREM AGRUPADOS NUMA TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS, A

FÓRMULA DA VARIÂNCIA É A SEGUINTE:

ΣΣΣΣ (xi - x)2s2 =

n - 1

n

i=1. fi

DESVIO-PADRÃO

� UMA DESVANTAGEM DA VARIÂNCIA ÉSUA UNIDADE DE MEDIDA, IGUAL AO QUADRADO DA UNIDADE DE MEDIDA DOS ELEMENTOS DA SÉRIE DE DADOS USADOS NO SEU CÁLCULO

� COMO ESSA UNIDADE NADA EXPLICA SOBRE AS CARACTERÍSTICAS DA SÉRIE DE DADOS, É DEFINIDO O DESVIO-PADRÃO, QUE TEM A VANTAGEM DE MANTER A UNIDADE DE MEDIDA DOS ELEMENTOS DA SÉRIE

29

DESVIO-PADRÃO

� O DESVIO-PADRÃO É A RAIZ QUADRADA POSITIVA DA VARÂNCIA

s = √√√√s2

DESVIO-PADRÃO� CONHECIDO O DESVIO-PADRÃO DE

UMA SÉRIE DE DADOS, O PRÓXIMO PASSO É USAR ESSE VALOR PARA AVALIAR A DISPERSÃO DOS DADOS

� SABE-SE QUE SE DUAS MÉDIAS TÊM A MESMA MÉDIA E DESVIOS-PADRÃO DIFERENTES, A SÉRIE COM DESVIO-PADRÃO MAIOR TERÁ UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS MAIS “ABERTA” QUE A SÉRIE COM DESVIO-PADRÃO MENOR

30

P(x)

Investimento A

Investimento B

300 600 700 800 1.100 E (VPL)X

f(x)

DESVIO-PADRÃO� O USO DO DESVIO-PADRÃO TEM

POR OBJETIVO MEDIR ESTATISTICAMENTE A VARIABILIDADE (GRAU DE DISPERSÃO) DOS POSSÍVEIS RESULTADOS EM TERMOS DE VALOR ESPERADO

� EM FINANÇAS, REPRESENTA UMA MEDIDA DE RISCO

31

DESVIO-PADRÃO� A IDÉIA DE RISCO ESTÁ MAIS

DIRETAMENTE ASSOCIADA ÀS PROBABILIDADES DE OCORRÊNCIA DE DETERMINADOS RESULTADOS EM RELAÇÃO A UM VALOR MÉDIO ESPERADO

� NAS DECISÕES DE INVESTIMENTO COM BASE NUM RESULTADO MÉDIO ESPERADO, O DESVIO-PADRÃO PASSA A REVELAR O RISCO DA OPERAÇÃO, OU SEJA, A DISPERSÃO DAS VARIÁVEIS EM RELAÇÃO À MÉDIA

DESVIO-PADRÃO� O DESVIO-PADRÃO CONSIDERA

QUE OS DESVIOS SE DISTRIBUEM HOMOGENEAMENTE AO REDOR DO VALOR DA MÉDIA

� PELO TEOREMA DE TCHEBYCHEVCONSEGUE-SE DETERMINAR A PROPORÇÃO MÍNIMA DE OBSERVAÇÕES DE UMA SÉRIE QUE SE ENCONTRAM DENTRO DE UM DETERMINADO NÚMERO DE DESVIOS-PADRÃO

32

TEOREMA DE TCHEBICHEV

x ±±±± 1 . sx

Entre 60 e 80% das observações estão contidas num intervalo de um desvio-padrão ao redor da média. Para distribuições simétricas, este valor de 70%.

x ±±±± 2 . sx

Para distribuições simétricas, as porcentagens das observações contidas no intervalo de dois desvios-padrão ao redor da média está em torno de 95%.

x ±±±± 3 . sx

Para todas as distribuições, a porcentagem serápróxima de 100%.

| | | | | | -3σσσσ -2σσσσ -1σσσσ µµµµ +1σσσσ +2σσσσ +3σσσσ

68%

95,5%

99,7%

TEOREMA DE TCHEBICHEV

33

VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO

x = 8,44

= 1,58s2 = (10,8 - 8,44)2 + (9,3 - 8,44)2 + ... + (9,4 - 8,44)2

15 -1

s = (1,58)1/2 = 1,26

10,8 9,3 9,9 9,5 8,48,2 7,1 6,1 8,8 6,77,8 8,5 8,5 7,6 9,4

VARIÂNCIA e DESVIO-PADRÃO

s = (1,26)1/2 = 1,12

s2 = 18,92 / 15 = 1,26

Classes xi fi (xi - x)2.fi

6 ≤≤≤≤ x <<<< 7 6,5 2 7,457 ≤≤≤≤ x <<<< 8 7,5 3 2,598 ≤≤≤≤ x <<<< 9 8,5 5 0,029 ≤≤≤≤ x <<<< 10 9,5 4 4,5810 ≤≤≤≤ x <<<< 11 10,5 1 4,28

∑∑∑∑ 15 18,92

s2 = 18,92 / 14 = 1,3514

s = (1,3514)1/2 = 1,16

34

A partir dos dados abaixo, referentes a preços depropostas, calcule:

a) a média aritmética simples;b) o desvio-padrão e a variância.

Preços de Propostas (R$)

2.450 2.300 2.250 2.350 2.500

Média Aritmética:

xs = ∑∑∑∑ xi / n = 11.850 / 5 ∴∴∴∴ xs = 2.370

Média Geométrica:

xg = ( ΠΠΠΠ xi )1/n = (7,45 . 1016)1/5 ∴∴∴∴ xg = 2.368,19

n x i

1 2.4502 2.3003 2.2504 2.3505 2.500

Somatório 11.850Produtório 7,45E+16

35

Variância:

sx2 = ∑∑∑∑(xi - x)2 / (n-1) = 43.000 / 4 ∴∴∴∴ sx

2 = 10.750

Desvio-Padrão:

sx = sx

2 ∴∴∴∴ sx = 103,68

Dados (Desvio)2

x (x - x)2 (x - 2.450)2 (x - 2.500)2

2.450 6.400 0 2.5002.300 4.900 22.500 40.0002.250 14.400 40.000 62.5002.350 400 10.000 22.5002.500 16.900 2.500 0

SOMA 43.000 75.000 127.500

2. Os dados abaixo referem-se a uma amostrados preços de um certo produto, coletados em24 postos de venda, de forma a subsidiar ofabricante do produto numa análise demercado.

Preços do Produto X (R$)165 170 172 170 170 176180 162 171 163 176 175167 167 170 170 172 163172 175 167 172 171 158

Pede-se:

a) Distribuição de Freqüências;b) Histograma e Polígono de Freqüências;c) Média Aritmética Ponderada;d) Variância e Desvio-Padrão;

36

Amplitude Total: AT = 180 - 158 ∴∴∴∴ AT = 22

Número de Classes: k = √√√√24 + 1 ∴∴∴∴ k = 5,9

Intervalo de Classe: h = AT / k ∴∴∴∴ h = 3,73 →→→→ h = 4

Classes xi fi fa xi.fi (xi- x)2.fi156 160 158 1 1 158 140,03160 164 162 3 4 486 184,08164 168 166 4 8 664 58,78168 172 170 7 15 1190 0,19172 176 174 6 21 1044 104,17176 180 178 3 24 534 200,08

SOMA 24 4.076 687,33

x = ∑∑∑∑ (xi . fi) / n = 4.076 / 24 = 169,8333

s2 = [∑∑∑∑ (xi - x)2 . fi ] / (n - 1) = 687,33 / 23 = 29,88

s = √√√√ 29,88 = 5,47

HISTOGRAMA E POLÍGONO DE FREQÜÊNCIAS

0

1

2

3

4

5

6

7

158 162 166 170 174 178

Classes

Fre

ên

cia

37

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� COMO O DESVIO-PADRÃO É UMA MEDIDA ABSOLUTA, NÃO PERMITE COMPARAR AS MEDIDAS DE DISPERSÃO DE DUAS OU MAIS SÉRIES DE OBSERVAÇÕES. NESTE CASO, FOI DEFINIDA UMA MEDIDA DENOMINADA COMO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� COMPARANDO-SE DUAS SÉRIES, AQUELA DE MENOR CV TERÁMENOR DISPERSÃO

sxCV =

38

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� ENQUANTO O DESVIO-PADRÃO MEDE O GRAU DE DISPERSÃO ABSOLUTA DOS VALORES EM TORNO DA MÉDIA, O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO INDICA A DISPERSÃO RELATIVA, OU SEJA, O RISCO POR UNIDADE

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� NUMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES, O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO INDICA O NÚMERO DE DESVIOS-PADRÃO POR UNIDADE DE MÉDIA

39

Investimento RetornoEsperado

Desvio-Padrão

CV

A 24% 8% 0,333B 30% 8% 0,267

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

� O NÍVEL DE RISCO, MEDIDO PELO DESVIO-PADRÃO, É IGUAL PARA AMBAS AS ALTERNATIVAS

� PELO CRITÉRIO DO CV, A ALTERNATIVA B É A QUE APRESENTA MENOR RISCO, POIS OFERECE UM RISCO DE 0,267 PARA CADA UNIDADE ESPERADA DE RETORNO, INFRIOR A 0,333 DA ALTERNATIVA A

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Investimento RetornoEsperado

Desvio-Padrão

CV

C 22% 9% 0,409D 28% 11% 0,393

� PELO CRITÉRIO DO CV, O INVETIMENTO DE MENOR RISCO É O DA ALTERNATIVA D, APESAR DEAPRESENTAR O MAIOR RETORNO ESPERADO E MAIOR DISPERSÃO DOS RESULTADOS

40

COEFICIENTE DE VARIAÇÃO

Investimento RetornoEsperado

Desvio-Padrão

CV

E 25% 10% 0,400F 32% 14% 0,438

� NESTA HIPÓTESE, O INVESTIMENTO DE MENOR RISCO É O DA ALTERNATIVA E, QUE APRESENTA, TAMBÉM, O MAIS BAIXO RETORNO ESPERADO

� A PREFERÊNCIA PELA ALTERNATIVA DE MAIOR RETORNO ESPERADO E MAIOR RISCO, INVESTIMENTO F, É DEFINIDA PELO GRAU DE RISCO QUE SE ESTÁDISPOSTO A ASSUMIR

P(x)

Investimento A

Investimento B

300 600 700 800 1.100 E (VPL)X

f(x)

41

Para duas emissões de ações ordinárias da indústria eletrônica, o preço médio diário, no fechamento dos negócios, durante um período do mês, para as ações A, foi de $150, com um desvio-padrão de $5. Para as ações B, o preço médio foi de $50, com um desvio-padrão de $3.

Em termos de comparação absoluta, a variabilidade do preço das ações A foi maior, devido ao desvio-padrão maior. Mas, em relação ao nível do preço, devem ser comparados os respectivos coeficientes de variação:

CVA = 5 / 150 = 0,033 e CVB = 3 / 50 = 0,060

Portanto, relativamente ao nível médio dos preços das ações, pode-se concluir que o preço da ação B équase 2 vezes mais variável que o preço da ação A.

PROBABILIDADE� TÉCNICA UTILIZADA PARA EXPRIMIR A

CHANCE DE OCORRÊNCIA DE DETERMINADO EVENTO

� NEM SEMPRE UMA AMOSTRA CONSEGUE REPRESENTAR EXATAMENTE A SUA POPULAÇÃO DE ORIGEM, JÁ QUE A INCERTEZA ESTÁ SEMPRE PRESENTE

� ASSIM, TENTA-SE ESTABELECER O GRAU DE ACERTO DE UM CERTO EVENTO

� A PROBABILIDADE DE OCORRÊNCIA DE UM EVENTO É DADA POR UM NÚMERO QUE PODE VARIAR DE 0 A 1

42

PROBABILIDADE

A ESCOLHA DEPENDE DA NATUREZA DA SITUAÇÃO

MÉTODO MÉTODO OBJETIVO SUBJETIVO

FATOS OPINIÃO PESSOAL

CLÁSSICO EMPÍRICO

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE PROBABILIDADE

A PROBABILIDADE DE UM EVENTO ÉIGUAL À RAZÃO ENTRE O NÚMERO DE CASOS FAVORÁVEIS E O NÚMERO DE CASOS POSSÍVEIS DE OCORRER, SENDO TODOS IGUALMENTE PROVÁVEIS

P(A) = n(A) / n(U)

43

DEFINIÇÃO MATEMÁTICA DE PROBABILIDADE

A PROBABILIDADE PODE SER REPRESENTADA NA FORMA DE FRAÇÃO ORDINÁRIA, NÚMERO DECIMAL OU PERCENTAGEM

2/5 ou 0,40 ou 40%

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

� O CONJUNTO DOS VALORES DE UMA VARIÁVEL, ASSOCIADO ÀS RESPECTIVAS PROBABILIDADES, CONSTITUI UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES, ONDE ∑∑∑∑ P(x) = 1

44

2º DADO1º DADO 1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 72 3 4 5 6 7 83 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 105 6 7 8 9 10 116 7 8 9 10 11 12

Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Xi) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

0

0,05

0,1

0,15

0,2

2 3 4 5 6 7 8 9

10

11

12

Som a de Pontos

P(x)

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

� NA PRÁTICA DAS DECISÕES DE INVESTIMENTO, A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO SE RESUME GERALMENTE A UM ÚNICO RESULTADO ESPERADO, MAS A DIVERSOS VALORES POSSÍVEIS DE OCORRER

45

ILUSTRAÇÃO DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

• A PROBABILIDAE ATRIBUÍDA A UM EVENTO DE NATUREZA INCERTA PODE SER DEFINIDA EM TERMOS OBJETIVOS OU SUBJETIVOS

Fluxos de Caixa(R$)

Probabilidadede Ocorrência

200.000 – 299.999 5%300.000 – 399.999 15%400.000 – 499.999 60%500.000 – 599.999 15%600.000 – 699.000 5%

Total = 100%

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS - VA

� UM EXPERIMENTO É CHAMADO DE ALEATÓRIO CASO NÃO POSSAMOS ANTECIPAR SEU RESULTADO, MESMO CONHECENDO TODOS OS SEUS RESULTADOS POSSÍVEIS

� O CONJUNTO DE TODOS OS RESULTADOS POSSÍVEIS E DIFERENTES DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO DEFINE O ESPAÇO AMOSTRAL DO EXPERIMENTO

46

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS - VA

� VARIÁVEL ALEATÓRIA É UMA REGRA OU FUNÇÃO QUE DESTINA UM ÚNICO VALOR A CADA EVENTO ELEMENTAR DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO

� UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA PODE SER REPRESENTADA POR SUA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA

A variável é denominada DISCRETAquando assume um número finito de valores num intervalo finito

� distribuição dos pontos referentes ao lançamento de dois dados;

� distribuição do nº de peças defeituosas produzidas mensalmente por uma máquina.

47

PARÂMETROS DA VARIÁVEL DISCRETA

Valor Esperado

E(x) = ∑∑∑∑ [ xi . P(xi) ]

Desvio-Padrão

s = √√√√ ∑∑∑∑ [ (xi - E(x))2 . P(xi) ]

BASEANDO-SE EM SUA EXPERIÊNCIA DE MERCADO E EM PROJEÇÕES ECONÔMICAS, UM INVESTIDOR FORMULOU AS SEGUINTES DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES DOS VPL PREVISTOS DE DUAS ALTERNATIVAS DE INVESTIMENTO

Investimento A Investimento BVPL

EsperadosProbabi-lidades

VPLEsperados

Probabi-lidades

600 10% 300 10%650 15% 500 20%700 50% 700 40%750 15% 900 20%800 10% 1.100 10%

48

Valor Esperado do Investimento A: E(VPLA) = ∑∑∑∑ x . P(x)

E(VPLA) = (0,10 . 600) + (0,15 . 650) + (0,50 . 700) + + (0,15 . 750) + (0,10 . 800)E(VPLA) = 700

Valor Esperado do Investimento B: E(VPLB) = ∑∑∑∑ x . P(x)

E(VPLB) = (0,10 . 300) + (0,20 . 500) + (0,40 . 700) + + (0,20 . 900) + (0,10 . 1.100)E(VPLB) = 700

NOTA-SE QUE AS DUAS ALTERNATIVAS APRESENTAM O MESMO

VPL ESPERADO, PODENDO-SE CONSIDERAR, EM TERMOS DE

RETORNO PROMETIDO, COMO INDIFERENTE A ESCOLHA DE UM OU

DE OUTRO

Desvio-Padrão: s(VPLA) = √√√√ ∑∑∑∑ P(x) . (x - x)2

s(VPLA) = [ 0,10 . (600 – 700)2 + 0,15 . (650 – 700)2 + + 0,50 . (700 – 700)2 + 0,15 . (750 – 700)2 + + 0,10 . (800 – 700)2 ]1/2

s(VPLA) = 52,44

Desvio-Padrão: s(VPLB) = √√√√ ∑∑∑∑ P(x) . (x - x)2

s(VPLB) = [ 0,10 . (300 – 700)2 + 0,20 . (500 – 700)2 + + 0,40 . (700 – 700)2 + 0,20 . (900 – 700)2 + + 0,10 . (1.100 – 700)2 ]1/2

s(VPLB) = 219,09

CVA = 52,44 / 700 = 0,075CVA = 219,09 / 700 = 0,313

49

P(x)

Investimento A

Investimento B

300 600 700 800 1.100 E (VPL)

APESAR DE SEREM EQUIVALENTES EM TERMOS DE VPL ESPERADO, OS INVESTIMENTOS NÃO APRESENTAM O

MESMO RISCO

VISUALMENTE, POSE-SE CONCLUIR A PRESENÇA DE MAIOR GRAU DE RISCO NO INVESTIMENTO B, EM RAZÃO DE UMA

DISPERSÃO MAIS ACENTUADA NA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES DE SEUS RESULTADOS

VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUAVAC

� São aquelas que podem assumir infinitos valores num intervalo finito. Desta forma, não se pode associar uma probabilidade a cada valor da variável, pois a fórmula matemática de probabilidade para determinado valor da variável indicaria probabilidade nula.

P(A) = n(A)/n(U)

n(U) →→→→ ∞∞∞∞ ⇒⇒⇒⇒ P(A) = n(A)/ ∞∞∞∞ = 0

50

FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO

� Como não se pode construir uma distribuição de probabilidades para a VAC, considera-se a freqüência acumulada em cada valor com os dados tabulados

DISTRIBUIÇÃO NORMAL(ou GAUSSIANA)

� As variáveis observadas na prática são, quase sempre, resultado da soma de inúmeras outras variáveis aleatórias independentes

51

DISTRIBUIÇÃO NORMAL(ou GAUSSIANA)

� Tais variáveis dão uma distribuição que, por ser muito freqüentemente encontrada na prática, é denominada distribuição normal

� Muitas variáveis aleatórias que, embora não tenham distribuição normal, têm uma distribuição estreitamente aparentada com a normal podem ser consideradas como uma aproximação para a normal

DISTRIBUIÇÃO NORMAL(ou GAUSSIANA)

� A variável aleatória x, que toma todos os valores reais - ∞∞∞∞ < x < ∞∞∞∞ , têm uma distribuição normal se sua função densidade de probabilidade for da seguinte forma:

f(x) = eσσσσ √√√√ 2ππππ

1 -(x-µµµµ)2 / 2σσσσ2

onde:µµµµ = média da distribuição;σσσσ = desvio padrão da distribuição;sendo: - ∞∞∞∞ < µµµµ < ∞∞∞∞ , σσσσ > 0

52

DISTRIBUIÇÃO NORMALUtiliza-se a seguinte notação para avariável x que tem distribuiçãonormal: d

X = N(µµµµ, σσσσ2)

f(x)

x x = µµµµ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

A DISTRIBUIÇÃO NORMAL É UMA DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL

ALEATÓRIA COMUM, QUE SURGE EM MUITAS SITUAÇÕES EM QUE

VALORES EXTREMOS SÃO MENOS PROVÁVEIS DO QUE VALORES

MODERADOS

53

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

� A GRANDE VANTAGEM DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL É QUE COM O CONHECIMENTO DA MÉDIA E DO DESVIO-PADRÃO É POSSÍVEL CALCULAR QUALQUER VALOR DE PROBABILIDADE

µµµµ

50% 50%

DISTRIBUIÇÃO NORMAL

� A CURVA É SIMÉTRICA AO REDOR DA MÉDIA. A ÁREA TOTAL SOB A CURVA É DEFINIDA COMO 100%; PORTANTO, CADA METADE DA CURVA TEM 50% DA ÁREA TOTAL

54

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

� Sendo o perfil de uma curva normal determinado pelo desvio-padrão da distribuição, pode-se reduzir qualquer curva normal a uma curva normal padrão

� A variável x da distribuição normal étransformada numa variável z, que constitui uma distribuição normal padrão ou reduzida

x 70 80 90 100 110 120 130

µµµµ

z -3 -2 -1 0 1 2 3

µµµµ = 100

σσσσ = 10Z = ( x - µµµµ ) / σσσσ

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO ou REDUZIDA

55

DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃOE S T A T R A N S F O R M A Ç Ã O C O R R E S P O N D EA U M A N O V A N O T A Ç Ã O : d

z = N ( 0 , 1 )

A V A R IÁ V E L A L E A T Ó R IA D E S V IO -P A D R Ã O N O R M A L IZ A D O Z D E U M AD I S T R IB U I Ç Ã O N O R M A LP A D R O N IZ A D A É D E F IN ID A P E L AE X P R E S S Ã O :

Z = ( X - µµµµ ) / σσσσ

f ( x ) f ( z )

x x = 0 x = µµµµ z z = 0

TABELA DA DISTRIBUIÇÃO Z

� A tabela fornece a área (proporção da área total) sob a curva normal padrão de z=0, até um valor positivo de z

� As áreas para os valores negativos de z são obtidas por simetria

� O valor de z corresponde ao número de desvios-padrão a contar da média

56

Probabilidades sob a Curva da Distribuição Normal Reduzida N(0,1)

VALORES DE F(x) - F(µ) = F(x) – 0,5 NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

F(xi) - F(µµµµ)

0 zi z

xi - µ(x) σ(x)

zi =

0 zi z

Pr(Z<z)

TABELA DE ALGUNS LIVROS

57

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)0,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6293 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,84610,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,88100,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

Distribuição Normal Padronizada

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)1,21 0,8869 1,50 0,9332 1,79 0,9633 2,08 0,98121,22 0,8888 1,51 0,9345 1,80 0,9641 2,09 0,98171,23 0,8907 1,52 0,9357 1,81 0,9649 2,10 0,98211,24 0,8925 1,53 0,9370 1,82 0,9656 2,11 0,98261,25 0,8944 1,54 0,9382 1,83 0,9664 2,12 0,98301,26 0,8962 1,55 0,9394 1,84 0,9671 2,13 0,98341,27 0,8980 1,56 0,9406 1,85 0,9678 2,14 0,98381,28 0,8997 1,57 0,9418 1,86 0,9686 2,15 0,98421,29 0,9015 1,58 0,9429 1,87 0,9693 2,16 0,98461,30 0,9032 1,59 0,9441 1,88 0,9699 2,17 0,98501,31 0,9049 1,60 0,9452 1,89 0,9706 2,18 0,98541,32 0,9066 1,61 0,9463 1,90 0,9713 2,19 0,98571,33 0,9082 1,62 0,9474 1,91 0,9719 2,20 0,98611,34 0,9099 1,63 0,9484 1,92 0,9726 2,25 0,98781,35 0,9115 1,64 0,9495 1,93 0,9732 2,30 0,98931,36 0,9131 1,65 0,9505 1,94 0,9738 2,35 0,99061,37 0,9147 1,66 0,9515 1,95 0,9744 2,40 0,99181,38 0,9162 1,67 0,9525 1,96 0,9750 2,50 0,99381,39 0,9177 1,68 0,9535 1,97 0,9756 2,60 0,99531,40 0,9192 1,69 0,9545 1,98 0,9761 2,70 0,99651,41 0,9207 1,70 0,9554 1,99 0,9767 2,80 0,99741,42 0,9222 1,71 0,9564 2,00 0,9772 2,90 0,99811,43 0,9236 1,72 0,9573 2,01 0,9778 3,00 0,99871,44 0,9251 1,73 0,9582 2,02 0,9783 3,10 0,99901,45 0,9265 1,74 0,9591 2,03 0,9788 3,20 0,99931,46 0,9279 1,75 0,9599 2,04 0,9793 3,30 0,99951,47 0,9292 1,76 0,9608 2,05 0,9798 3,40 0,99971,48 0,9306 1,77 0,9616 2,06 0,9803 3,50 0,99981,49 0,9319 1,78 0,9625 2,07 0,9808 3,60 0,9998

Distribuição Normal Padronizada

58

z = (xi - x) / s

Z 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

Média = 500Desvio-Padrão = 10Qual a probabilidade de um valor maior que 502,5 ?z502,5=(502,5-500)/10=0,25 TABELA 0,0987

P(X≥≥≥≥502,5)=0,500-0,0987=0,4013P(X≥≥≥≥502,5)=40,13%

zi = xi - µµµµ(x)

F(xi) - F(µµµµ)

z 0 zi

σσσσ(x) 0,0987

0 0,25 z500 510 x

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)0,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6293 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,84610,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,88100,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

Distribuição Normal Padronizada

59

SUPOR OS SEGUINTES CENÁRIOS PROBABILÍSTICOSPARA UM CERTO INVESTIMENTO:

Cenário Probabilidade Retorno (%)OTIMISTA 0,20 22

MAIS PROVÁVEL 0,50 14PESSIMISTA 0,30 7

CALCULE:a) O retorno esperado;b) O desvio-padrão dos retornos;c) A probabilidade do retorno ser inferior a 17,5%.

P ( x < 1 7 , 5 ) = 7 7 , 9 4 %

VALOR ESPERADOE(x) = ∑∑∑∑ [ xi . P(xi) ]E(x) = (22 . 0,20) + (14 . 0,50) + (7 . 0,30) ∴∴∴∴E(x) = 13,5 %

DESVIO PADRÃO

σσσσ = √√√√ ∑∑∑∑ [ (xi - E(x))2 . P(xi) ]

σσσσ = √√√√ (22 - 13,5)2 . 0,20 + (14 - 13,5)2 . 0,50 + (7 - 13,5)2 . 0,30 σσσσ = 5,22

CÁLCULO DO Zz = [xi - E(x)] / σσσσ = [17,5 - 13,5] / 5,22 = 0,77z = 0,77 →→→→ tabela →→→→ 0,2794

z = (xi - x) / s

0,2794

13,5 17,5 z

0,50

60

zi = xi - µµµµ(x)

F(xi) - F(µµµµ)

0 zi z

σσσσ(x)

ÁREAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO

Z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,00 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,03590,10 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,07530,20 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,11410,30 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,15170,40 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,18790,50 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,22240,60 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,25490,70 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,28520,80 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,31330,90 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,33891,00 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)0,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6293 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,84610,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,88100,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

Distribuição Normal Padronizada

61

9. Uma empresa realizou estudos de mercado e definiu oseguinte quadro de probabilidades para o fluxo de caixa deum certo projeto de investimento. A TMA é de 15% a.a. Pede-se determinar:a) O valor esperado do VPL;b) A probabilidade de inviabilidade do projeto.

Invest 0 Prob Fluxo Liq 1 Prob Fluxo Liq 2 Prob Fluxo Liq 3 Prob-8.400 30% 3.200 30% 3.900 30% 4.300 30%-9.000 40% 4.000 50% 4.500 45% 5.000 40%-9.300 30% 4.600 20% 5.000 25% 5.500 30%

VALOR ESPERADO DO VPL: E(VPL)

E(x) = ∑∑∑∑ [xi . P(xi)]

E0 = (-8.400 . 0,30) + (-9.000 . 0,40) + (-9.300 . 0,30) =

E0 = -8.910

E1 = (3.200 . 0,30) + (4.000 . 0,50) + (4.600 . 0,20) =

E1 = 3.880

E2 = (3.900 . 0,30) + (4.500 . 0,45) + (5.000 . 0,25) =

E2 = 4.445

E3 = (4.300 . 0,30) + (5.000 . 0,40) + (5.500 . 0,30) =

E3 = 4.940

Invest 0 Prob Fluxo Liq 1 Prob Fluxo Liq 2 Prob Fluxo Liq 3 Prob-8.400 30% 3.200 30% 3.900 30% 4.300 30%-9.000 40% 4.000 50% 4.500 45% 5.000 40%-9.300 30% 4.600 20% 5.000 25% 5.500 30%

62

FLUXO DE VALORES ESPERADOS

3.880 4.445 4.940

0 1 2 3 ano

8.910

E(VPL) = ∑∑∑∑ Ej / (1+i)j

TMA = 12% a.a.

E(VPL) = 1.614,01 > 0 ⇒⇒⇒⇒ VIÁVEL

VARIÂNCIA DO VPL ESPERADO: S2(VPL)S2(x) = ∑∑∑∑ [(xi - E(x))2 . P(xi)]

S02 = 0,30 . (8.400 - 8.910)2 + 0,40 . (9.000 - 8.910)2 +

0,30 . (9.300 - 8.910)2 = 126.900

S12 = 0,30 . (3.200 - 3.880)2 + 0,50 . (4.000 - 3.880)2 +

0,20 . (4.600 - 3.880)2 = 249.600

S22 = 0,30 . (3.900 - 4.445)2 + 0,45 . (4.500 - 4.445)2 +

0,25 . (5.000 - 4.445)2 = 167.475

S32 = 0,30 . (4.300 - 4.940)2 + 0,40 . (5.000 - 4.940)2 +

0,30 . (5.500 - 4.940)2 = 218.400

Invest 0 Prob Fluxo Liq 1 Prob Fluxo Liq 2 Prob Fluxo Liq 3 Prob-8.400 30% 3.200 30% 3.900 30% 4.300 30%-9.000 40% 4.000 50% 4.500 45% 5.000 40%-9.300 30% 4.600 20% 5.000 25% 5.500 30%

63

FLUXO DE DESVIOS-PADRÃO

356,23 499,60 409,24 467,33

0 1 2 3 ano

FLUXO DE VARIÂNCIAS

126.900 249.600 167.475 218.400

0 1 2 3 ano

S(VPL) = ∑∑∑∑ Sj / (1+i)j

TMA = 12% a.a.

S(VPL) = 1.461,18

FLUXO DE DESVIOS-PADRÃO

356,23 499,60 409,24 467,33

0 1 2 3 ano

64

MÉDIA: E(VPL) = 1.614,01

DESVIO-PADRÃO: S(VPL) = 1.461,18

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE: VPL < 0

Z0 = (0 - 1.614,01) / 1.461,18 = 1,10 0,3643

P(VPL) < 0 = 13,57 %

0 1.614,01 Z

65

RISCOE

INCERTEZA

“Ao se montar um projeto de investimento, risco ou

incerteza é o nome dado àpreocupação de que as

expectativas e esperanças, com relação ao futuro,

possam não se concretizar.”

Oldcorn, R. e Parker, D., 1998,“Decisão Estratégica para Investidores”,

Nobel, São Paulo

66

Existe alguma maneira de se antecipar o que deverá ocorrer?

A RESPOSTA É: NÃO

Contudo, existem diversos métodos para auxiliar os analistas de projeto a reduzir as incertezas quanto ao futuro.

Existe alguma técnica infalível de se prever o futuro?

FUTUROLOGIA

� técnica de se tentar presumir como deverá ser o meio daqui a alguns anos, supondo-se que as tendências atuais sejam mantidas;

� produz cenários de como será o mundo no futuro.

67

TÉCNICA DELPHI

� baseia-se na opinião de especialistas para avaliar os contornos de certas situações que poderão surgir em determinado período no futuro;

� produz uma resposta consensual que irá proporcionar uma orientação confiável.

PREVISÃO DE MERCADO

� forma de avaliar a demanda provável para produtos e serviços, levando em conta todas as evidências externas indicadas pelas técnicas já citadas;

� utiliza métodos estatísticos que proporcionam uma visão futura com base no passado, acrescido de “algo mais”;

� pode utilizar técnicas de pesquisa, testes de marketing e de marketshare.

68

“SE FOSSE POSSÍVEL PREVER O FUTURO, EXISTIRIAM POUCOS PROBLEMAS EM ADMINISTRAR UMA

EMPRESA.”

Oldcorn, R. e Parker, D., 1998,“Decisão Estratégica para Investidores”,

Nobel, São Paulo

OS RETORNOS PROMETIDOS POR UM PROJETO DE INVESTIMENTO ESTÃO SUJEITOS A RISCOS E INCERTEZAS, EM DECORRÊNCIA DE DIVERSOS FATORES FORA DO CONTROLE DA EMPRESA, TAIS COMO:

• evoluções tecnológicas• surgimento/desaparecimento de

concorrentes e/ou de produtos complementares ou substitutos

• comportamento das economias nacional e internacional

• variações climáticas

69

“Somente depois que o investimento for feito e os resultados começarem a

aparecer é que saberemos se a estratégia foi bem sucedida.Mas a decisão tem que ser tomada sem a ajuda desse

conhecimento.”

Oldcorn, R. e Parker, D., 1998,“Decisão Estratégica para Investidores”,

Nobel, São Paulo

NA TEORIA DA DECISÃO HÁUMA DISTINÇÃO ENTRE OS

TERMOS “RISCO” E “INCERTEZA”, POIS

DEPENDE DO GRAU DE IMPRECISÃO DAS ESTIMATIVAS

70

RISCO

�EM FINANÇAS, O CONCEITO DE RISCO ESTÁ LIGADO ÀPROBABILIDADE DE UM RESULTADO DAR DIFERENTE DO ESPERADO

RISCO

�EM FINANÇAS, O RISCO RELATIVO É MEDIDO PELO COEFICIENTE BETA, QUE SERÁ MOSTRADO ADIANTE

�JÁ O RISCO ABSOLUTO TEM COMO MEDIDA O DESVIO-PADRÃO

71

RISCO

�TODAS AS OCORRÊNCIAS POSSÍVEIS DE UMA CERTA VARIÁVEL ENCONTRAM-SE SUJEITAS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES CONHECIDA

�BASEADO EM EXPERIÊNCIAS PASSADAS OU NO CONHECIMENTO DE ESPECIALISTAS, COM ALGUM GRAU DE PRECISÃO

INCERTEZA

�DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO PODE SER AVALIADA

�SÃO SITUAÇÕES DE OCORRÊNCIA NÃO REPETITIVAS OU POUCO COMUNS NA PRÁTICA

72

�Para a redução das incertezas, torna-se necessário a obtenção de mais informações ou mais recursos

�Os riscos fazem parte do cotidiano do administrador financeiro e deve ser considerado caso a caso

�Administrar incertezas significa aceitar o desconhecido como fatos da vida e adaptar-se às condições do caminho

ttttéééécnicas mais utilizadascnicas mais utilizadascnicas mais utilizadascnicas mais utilizadas::::

ANANANANÁÁÁÁLISE DE SENSIBILIDADELISE DE SENSIBILIDADELISE DE SENSIBILIDADELISE DE SENSIBILIDADE

SIMULASIMULASIMULASIMULAÇÇÇÇÃO DE RISCOÃO DE RISCOÃO DE RISCOÃO DE RISCO

73

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

testar a variação de um componente do fluxo de caixa,

mantendo-se os demais constantes

PREÇO DE VENDAQUANTIDADECUSTO FIXO

INVESTIMENTOETC

Quando a variação de um componente alterar significativamente a indicação de viabilidade do projeto, pode-se dizer que existe sensibilidade àquele componente

Análise de Sensibilidade: Exemplo Ilustrativo 1Considere os seguintes dados para o projeto deconstrução de uma fábrica, para a produção deum determinado produto:

Investimento Fixo: R$ 550.000,00

Produção Anual:Preço de Ven

-−Vida Estimada: 5 anos− 10.000 ton− da: R$ 100 / ton−Custos Operacionais: R$ 450.000,00/ano−Depreciação: 20% a.a.−Retorno Pretendido após I.R.: 15% a.a.−Alíquota do I.R.: 35%

�Verificar a atratividade do projeto;�Verificar a sensibilidade do projeto para

variações negativas no preço de venda*; �Verificar a sensibilidade para acréscimos

no valor do investimento fixo**.

--

-

Cenários Preço de Venda Investimento Fixo

PESSIMISTA R$ 85 / ton R$660.000,00

MAIS PROVÁVEL R$100 / ton R$550.000,00

OTIMISTA R$110 / ton R$500.000,00

74

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000(-) Custos Operacionais -450.000 -450.000 -450.000 -450.000 -450.000(-) Depreciação -110.000 -110.000 -110.000 -110.000 -110.000(=) LAIR 440.000 440.000 440.000 440.000 440.000(+/-) Imposto de Renda -154.000 -154.000 -154.000 -154.000 -154.000(=) Lucro Líquido 286.000 286.000 286.000 286.000 286.000(+) Depreciação 110.000 110.000 110.000 110.000 110.000(-) Investimento Fixo -550.000(=) Fluxo de Caixa -550.000 396.000 396.000 396.000 396.000 396.000

VPL (15% a.a.) 777.453,42TIR (% a.a.) 66,35%

Fluxo de Caixa MAIS PROVÁVEL: preço de venda = R$100 / t

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 800.000 800.000 800.000 800.000 800.000(-) Custos Operacionais -450.000 -450.000 -450.000 -450.000 -450.000(-) Depreciação -110.000 -110.000 -110.000 -110.000 -110.000(=) LAIR 240.000 240.000 240.000 240.000 240.000(+/-) Imposto de Renda -84.000 -84.000 -84.000 -84.000 -84.000(=) Lucro Líquido 156.000 156.000 156.000 156.000 156.000(+) Depreciação 110.000 110.000 110.000 110.000 110.000(-) Investimento Fixo -550.000(=) Fluxo de Caixa -550.000 266.000 266.000 266.000 266.000 266.000

VPL (15% a.a.) 341.673,26TIR (% a.a.) 39,06%

Análise de Sensibilidade: preço de venda = R$80 / t

Análise de Sensibilidade

-400.000

-200.000

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

50 60 70 80 90 100

Preço de Venda (R$/t)

VP

L (

15%

a.a

.)

P*= R$64,32

85

MARGEM DE SEGURANÇA

Cenários Preço de Venda

PESSIMISTA R$ 85 / ton

MAIS PROVÁVEL R$100 / ton

OTIMISTA R$110 / ton

75

Fluxo de Caixa MAIS PROVÁVEL: investimento = R$550.000

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000(-) Custos Operacionais -450.000 -450.000 -450.000 -450.000 -450.000(-) Depreciação -110.000 -110.000 -110.000 -110.000 -110.000(=) LAIR 440.000 440.000 440.000 440.000 440.000(+/-) Imposto de Renda -154.000 -154.000 -154.000 -154.000 -154.000(=) Lucro Líquido 286.000 286.000 286.000 286.000 286.000(+) Depreciação 110.000 110.000 110.000 110.000 110.000(-) Investimento Fixo -550.000(=) Fluxo de Caixa -550.000 396.000 396.000 396.000 396.000 396.000

VPL (15% a.a.) 777.453,42TIR (% a.a.) 66,35%

Análise de Sensibilidade: investimento = R$750.000

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000 1.000.000(-) Custos Operacionais -450.000 -450.000 -450.000 -450.000 -450.000(-) Depreciação -150.000 -150.000 -150.000 -150.000 -150.000(=) LAIR 400.000 400.000 400.000 400.000 400.000(+/-) Imposto de Renda -140.000 -140.000 -140.000 -140.000 -140.000(=) Lucro Líquido 260.000 260.000 260.000 260.000 260.000(+) Depreciação 150.000 150.000 150.000 150.000 150.000(-) Investimento Fixo -750.000(=) Fluxo de Caixa -750.000 410.000 410.000 410.000 410.000 410.000

VPL (15% a.a.) 624.383,59TIR (% a.a.) 46,59%

Análise de Sensibilidade

-200.000

0

200.000

400.000

600.000

800.000

1.000.000

500.000 750.000 1.000.000 1.250.000 1.500.000 1.750.000

Investimento Fixo (R$)

VP

L (

15%

a.a

.)

I*= R$1.565.815

Cenários Investimento Fixo

PESSIMISTA R$660.000,00

MAIS PROVÁVEL R$550.000,00

OTIMISTA R$500.000,00

MARGEM DE SEGURANÇA

76

Análise de Sensibiliddae: Exemplo Ilustrativo

kD PU Q CV CF Desp VR8% 20 40.000 6 210.000 110.000 75.000

Estudo de viabilidade de um projeto de investimento de $500.000,com uma linha de financiamento disponível de 60% do investimento, carência de 2 anos, com pagamento de juros, e SAC em 3 anos, a uma taxa de juros de 8% ao ano. Os dados para a elaboração do fluxo de caixa encontram-se na tabela abaixo. A TMA do capital próprio alavancado foi definida em 15% ao ano.

Ano SD A J0 -300.000 0 01 -300.000 0 -24.0002 -300.000 0 -24.0003 -200.000 -100.000 -24.0004 -100.000 -100.000 -16.0005 0 -100.000 -8.000

Esquema de pagamento da dívida

Análise de Sensibilidade: Exemplo Ilustrativo

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5 Receitas Operacionais 800.000 800.000 800.000 800.000 800.000(-) Impostos e Taxas -80.000 -80.000 -80.000 -80.000 -80.000(-) Custos Variáveis -240.000 -240.000 -240.000 -240.000 -240.000(-) Custos Fixos -210.000 -210.000 -210.000 -210.000 -210.000(-) Despesas Comerciais -110.000 -110.000 -110.000 -110.000 -110.000(-) Depreciação -87.500 -87.500 -87.500 -87.500 0(=) LAJIR 72.500 72.500 72.500 72.500 160.000(-) Despesas Financeiras -24.000 -24.000 -24.000 -16.000 -8.000(=) LAIR 48.500 48.500 48.500 56.500 152.000(+/-) Imposto de Renda -14.550 -14.550 -14.550 -16.950 -45.600(=) Lucro Líquido 33.950 33.950 33.950 39.550 106.400(+) Depreciação 87.500 87.500 87.500 87.500 0(-) Valor Residual 52.500(-) Investimentos -500.000(+) Empréstimo 300.000(-) Amortizações 0 0 -100.000 -100.000 -100.000(=) Fluxo de Caixa -200.000 121.450 121.450 21.450 27.050 58.900

TMA 15%VPL 56.296

77

Análise de Sensibilidade

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

5% 10% 15% 20% 25%

Taxa de Juros do Empréstimo

VP

L (1

5% a

.a.)

kD* = 17,5%

MARGEM DE SEGURANÇA

kD = 8%

TÉCNICA BASEADA NA UTILIZAÇÃO DE COMPUTADOR QUE PROCURA

COMBINAR O EFEITO DAS VARIAÇÕES POSSÍVEIS NOS FATORES DO CÁLCULO

DO FLUXO DE CAIXA

SIMULAÇÃO DE RISCO

78

SIMULAÇÃO DE RISCO

VERIFICA AS CHANCES DEINSUCESSO DO PROJETO

INFORMA O INTERVALO DARENTABILIDADE DO PROJETO E OVALOR MAIS PROVÁVEL, SEGUNDO

UMA DISTRIBUIÇÃO DEPROBABILIDADES

NA TEORIA DA DECISÃO HÁUMA DISTINÇÃO ENTRE OS

TERMOS “RISCO” E “INCERTEZA”, POIS

DEPENDE DO GRAU DE IMPRECISÃO DAS ESTIMATIVAS

79

RISCO�TODAS AS OCORRÊNCIAS POSSÍVEIS DE UMA CERTA VARIÁVEL ENCONTRAM-SE SUJEITAS A UMA DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES CONHECIDA

�BASEADO EM EXPERIÊNCIAS PASSADAS OU NO CONHECIMENTO DE ESPECIALISTAS, COM ALGUM GRAU DE PRECISÃO

DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES

• NA PRÁTICA DAS DECISÕES DE INVESTIMENTO, A DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO SE RESUME GERALMENTE A UM ÚNICO RESULTADO ESPERADO, MAS A DIVERSOS VALORES POSSÍVEIS DE OCORRER

80

INCERTEZA

�DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADES NÃO PODE SER AVALIADA

�SÃO SITUAÇÕES DE OCORRÊNCIA NÃO REPETITIVAS OU POUCO COMUNS NA PRÁTICA

SIMULAÇÃO

O MODELO MAIS SIMPLES E BASTANTE CONHECIDO É O MÉTODO MONTE CARLO APLICADO À ANÁLISE DE INVESTIMENTOS, DESENVOLVIDO POR DAVID B. HERTZ, EM 1964: “Risk Analysis in Capital Investment”

O MÉTODO MONTE CARLO É BASEADO NA UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PARA GERAR RESULTADOS, SEGUNDO AS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES CORRESPONDENTES

81

SIMULAÇÃO

♦ TAMANHO DO MERCADO♦ PREÇO DE VENDA♦ TAXA DE CRESCIMENTO DO MERCADO♦ FATIA DO MERCADO♦ VALOR DO INVESTIMENTO♦ VALORES RESIDUAIS♦ CUSTOS OPERACIONAIS♦ CUSTOS FIXOS♦ VIDA ÚTIL DOS EQUIPAMENTOS

O MODELO DE HERTZ É UMA APLICAÇÃO DO MÉTODO MONTE CARLO E CONSIDERA 9 VARIÁVEIS PARA A ANÁLISE DO INVESTIMENTO:

SIMULAÇÃO MONTE CARLO

O MÉTODO MONTE CARLO É BASEADO NA UTILIZAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PARA GERAR RESULTADOS, SEGUNDO AS DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES

CORRESPONDENTES

82

Simulação Monte Carlo: Exemplo Ilustrativo

Com base em observações feitas nos últimos 5 anos, as vendas realizadas pelo Grupo Botafogo podem ser representadas pela seguinte distribuição de probabilidades:

Cenário Probabilidade

PESSIMISTA: 20.000 un / ano 10%

MODERADO: 24.000 un / ano 20%

PROVÁVEL: 28.000 un / ano 40%

OTIMISTA: 32.000 un / ano 30%

Simulação Monte Carlo: Exemplo Ilustrativo

Cenário Probabilidade Probabilidade NúmerosSimples Acumulada Aleatórios

PESSIMISTA 10% 10% 0 - 10MODERADO 20% 30% 11 - 30PROVÁVEL 40% 70% 31 - 70OTIMISTA 30% 100% 71 -100

1

83

Simulação Monte Carlo: Exemplo Ilustrativo

CenárioCenário Probabilidade Probabilidade NúmerosSimples Acumulada Aleatórios

PESSIMISTA 10% 10% 0 - 10

MODERADO 20% 30% 11 - 30

PROVÁVEL 40% 70% 31 - 70

OTIMISTA 30% 100% 71 -100

1 - 10

Cenário Prob. SimplesPESSIMISTA 11,00%MODERADO 19,50%PROVÁVEL 38,50%OTIMISTA 31,00%

Resultado da Simulação

Rodada NA Cenário1 66 Provável2 91 Otimista3 100 Otimista4 17 Moderado5 79 Otimista6 90 Otimista7 44 Provável8 31 Provável9 74 Otimista

10 10 Pessimista11 47 Provável12 54 Provável13 83 Otimista14 81 Otimista15 68 Provável16 89 Otimista17 83 Otimista18 37 Provável19 100 Otimista20 16 Moderado

190 96 Otimista191 57 Provável192 91 Otimista193 27 Moderado194 21 Moderado195 49 Provável196 68 Provável197 61 Provável198 32 Provável199 24 Moderado200 22 Moderado

Simulação: Exemplo Ilustrativo

PROJETO DA FÁBRICA DO PRODUTO XYZ:Avaliação Econômica Privada

Prev. Vendas 1º Ano30%

11.000 50%12.000 20%

9.000Prob.

Cresc. Anual Prob.

2,50% 25%

5,00% 50%

7,50% 25%

Invest. Prob.

400.000 20%

440.000 60%

500.000 20%

PU Venda Prob.

90,00 30%

110,00 60%

120,00 10%

CV Prob.

30,00 30%

40,00 50%

50,00 20%

CF Prob.

140.000 30%

150.000 50%

160.000 20%

TMA Prob.

10% 25%

15% 50%

18% 25%

VR Prob.

5% 25%

10% 50%

15% 25%

84

Ano 0 Ano 1 Ano 2 Ano 3 Ano 4 Ano 5RECEITAS DE VENDAS 1.210.000 1.270.500 1.334.025 1.400.726 1.470.763(-) Impostos s/ Vendas -217.800 -228.690 -240.125 -252.131 -264.737(-) Custos Variáveis -440.000 -462.000 -485.100 -509.355 -534.823(-) Custos Fixos -150.000 -150.000 -150.000 -150.000 -150.000(-) Depreciação -206.250 -206.250 -206.250 -206.250 0(=) Resultado Operacional 195.950 223.560 252.551 282.991 521.203(-) Despesas Financeiras -79.200 -59.400 -39.600 -19.800 0(+) Valor Residual 110.000(=) Resultado Antes do IR 116.750 164.160 212.951 263.191 631.203(-) Provisão para IR -35.025 -49.248 -63.885 -78.957 -189.361(=) Resultado Após IR 81.725 114.912 149.065 184.233 441.842(+) Depreciação 206.250 206.250 206.250 206.250 0(-) Investimentos -440.000(-) Amortizações -165.000 -165.000 -165.000 -165.000(=)FLUXO DE CAIXA FINAL -440.000 122.975 156.162 190.315 225.483 441.842

TMA (% a.a.) = 15% VPL = 258.745,43 TIR (% a.a.) = 32,99%

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

-1.400.000

-1.200.000-1.000.000

-800.000

-600.000-400.000

-200.000

0

200.000400.000

600.000

50 60 70 80 90 100

110

120

VP

L (

R$)

Preço Unitário de Venda

Preço Unitário Mais Provável = R$ 110,00

85

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

-300.000

-200.000

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

500.000

1 2 3 4 5 6

VP

L (

R$)

7.000 8.000 9.000 10.000 11.000 12.000

Previsão 1º Ano

Previsão 1º Ano Mais Provável = 11.000 un

ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

-100.000

0

100.000

200.000

300.000

400.000

1 2 3 4 5 6 7

VP

L (

R$)

10% 15% 20% 25% 30% 35% 40%

TMA

TIR

TMA Mais Provável = 15 % a.a.

86

n Prev.1ºAno Cresc.Anual PU CV CF Invest. TMA VR VPL1 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 15% 15% 254.421,64 2 12.000 2,5% 120,00 40,00 160.000,00 500.000,00 18% 15% 433.501,48 3 11.000 7,5% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 15% 10% 297.856,65 4 12.000 5,0% 110,00 30,00 160.000,00 440.000,00 15% 10% 670.692,36 5 9.000 5,0% 120,00 30,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% 440.078,99 6 9.000 5,0% 120,00 50,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% (20.403,76) 7 12.000 7,5% 120,00 50,00 160.000,00 440.000,00 18% 10% 307.352,58 8 11.000 2,5% 110,00 50,00 150.000,00 400.000,00 15% 10% (38.363,49) 9 11.000 7,5% 110,00 40,00 140.000,00 400.000,00 10% 5% 481.388,77

10 11.000 5,0% 110,00 30,00 160.000,00 440.000,00 10% 15% 689.164,35 11 11.000 5,0% 110,00 50,00 140.000,00 440.000,00 18% 10% (38.348,23) 12 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 440.000,00 18% 5% 162.917,04 13 11.000 5,0% 110,00 40,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% 277.886,73 14 11.000 5,0% 110,00 50,00 150.000,00 440.000,00 15% 15% (3.519,39) 15 11.000 5,0% 110,00 40,00 160.000,00 500.000,00 18% 15% 148.407,20

SIMULAÇÃO DOS DADOS DE ENTRADA

Classes do VPL xi fi fa

-1.000.000 -800.000 -900.000 0 0-800.000 -600.000 -700.000 0 0-600.000 -400.000 -500.000 5 5-400.000 -200.000 -300.000 21 26-200.000 0 -100.000 32 58

0 200.000 100.000 74 132200.000 400.000 300.000 97 229400.000 600.000 500.000 105 334600.000 800.000 700.000 72 406800.000 1.000.000 900.000 64 470

1.000.000 1.200.000 1.100.000 24 4941.200.000 1.400.000 1.300.000 4 4981.400.000 1.600.000 1.500.000 2 5001.600.000 1.800.000 1.700.000 0 5001.800.000 2.000.000 1.900.000 0 500

SOMA 500MÉDIA 439.200

DESVIO-PADRÃO 374.946

P(VPL<0) 12,07%

87

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE

0 - 439.200

374.946

P ( VPL < 0 ) = 0,5000 - 0,3790 = 0,1210

P ( VPL < 0 ) = 12,1%

z0 = = 1,17 ⇒ tab⇒ 0,3790

P(VPL<0) = 12,07%

0 439.200 z

0,3790 0,5000

Probabilidades sob a Curva da Distribuição Normal Reduzida N(0,1)

VALORES DE F(x) - F(µ) = F(x) – 0,5 NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,090,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359

0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753

0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141

0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517

0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879

0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224

0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549

0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2704 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852

0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133

0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389

1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621

1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830

1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015

1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177

1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319

1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441

1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545

1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633

1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706

1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767

2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817

2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857

2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890

2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916

2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936

2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952

2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964

2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974

2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0,4979 0,4980 0,4981

2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986

3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990

3,1 0,4990 0,4991 0,4991 0,4991 0,4992 0,4992 0,4992 0,4992 0,4993 0,4993

3,2 0,4993 0,4993 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4994 0,4995 0,4995 0,4995

3,3 0,4995 0,4995 0,4995 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4996 0,4997

3,4 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4997 0,4998

3,5 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998 0,4998

3,6 0,4998 0,4998 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,7 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,8 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999 0,4999

3,9 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

4,0 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000 0,5000

F(xi) - F(µµµµ)

0 zi z

xi - µ(x) σ(x)

zi =

88

PROBABILIDADE DE INVIABILIDADE

0 - 439.200

374.946

P ( VPL < 0 ) = 1,0000 - 0,8790 = 0,1210

P ( VPL < 0 ) = 12,1%

z0 = = 1,17 ⇒ tab⇒ 0,8790

P(VPL<0) = 12,07%

0 439.200 z

0,8790

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)0,01 0,5040 0,31 0,6217 0,61 0,7291 0,91 0,81860,02 0,5080 0,32 0,6255 0,62 0,7324 0,92 0,82120,03 0,5120 0,33 0,6293 0,63 0,7357 0,93 0,82380,04 0,5160 0,34 0,6331 0,64 0,7389 0,94 0,82640,05 0,5199 0,35 0,6368 0,65 0,7422 0,95 0,82890,06 0,5239 0,36 0,6406 0,66 0,7454 0,96 0,83150,07 0,5279 0,37 0,6443 0,67 0,7486 0,97 0,83400,08 0,5319 0,38 0,6480 0,68 0,7517 0,98 0,83650,09 0,5359 0,39 0,6517 0,69 0,7549 0,99 0,83890,10 0,5398 0,40 0,6554 0,70 0,7580 1,00 0,84130,11 0,5438 0,41 0,6591 0,71 0,7611 1,01 0,84380,12 0,5478 0,42 0,6628 0,72 0,7642 1,02 0,84610,13 0,5517 0,43 0,6664 0,73 0,7673 1,03 0,84850,14 0,5557 0,44 0,6700 0,74 0,7704 1,04 0,85080,15 0,5596 0,45 0,6736 0,75 0,7734 1,05 0,85310,16 0,5636 0,46 0,6772 0,76 0,7764 1,06 0,85540,17 0,5675 0,47 0,6808 0,77 0,7794 1,07 0,85770,18 0,5714 0,48 0,6844 0,78 0,7823 1,08 0,85990,19 0,5753 0,49 0,6879 0,79 0,7852 1,09 0,86210,20 0,5793 0,50 0,6915 0,80 0,7881 1,10 0,86430,21 0,5832 0,51 0,6950 0,81 0,7910 1,11 0,86650,22 0,5871 0,52 0,6985 0,82 0,7939 1,12 0,86860,23 0,5910 0,53 0,7019 0,83 0,7967 1,13 0,87080,24 0,5948 0,54 0,7054 0,84 0,7995 1,14 0,87290,25 0,5987 0,55 0,7088 0,85 0,8023 1,15 0,87490,26 0,6026 0,56 0,7123 0,86 0,8051 1,16 0,87700,27 0,6064 0,57 0,7157 0,87 0,8078 1,17 0,87900,28 0,6103 0,58 0,7190 0,88 0,8106 1,18 0,88100,29 0,6141 0,59 0,7224 0,89 0,8133 1,19 0,88300,30 0,6179 0,60 0,7257 0,90 0,8159 1,20 0,8849

Distribuição Normal Padronizada

89

COVARIÂNCIA

e

CORRELAÇÃO

� AS MEDIDAS ESTATÍSTICAS QUE REFLETEM A VARIABILIDADE DOS VALORES, INDIVIDUALMENTE, EM RELAÇÃO À SUA MÉDIA SÃO O DESVIO-PADRÃO E A VARIÂNCIA

� POR OUTRO LADO, AS MEDIDAS QUE OBJETIVAM RELACIONAR DUAS VARIÁVEIS SÃO A COVARIÂNCIA E A CORRELAÇÃO

90

COVARIÂNCIA

� VISA IDENTIFICAR COMO DETERMINADOS VALORES SE INTER-RELACIONAM

� É BASICAMENTE UMA MEDIDA QUE AVALIA COMO AS VARIÁVEIS X E Y MOVIMENTAM-SE AO MESMO TEMPO EM RELAÇÃO A SEUS VALORES MÉDIOS (CO-VARIAM)

COVARIÂNCIA

� DEFINE-SE A COVARIÂNCIA DE DUAS VARIÁVEIS X E Y COMO O VALOR ESPERADO DO PRODUTO DE SEUS DESVIOS, A CONTAR DAS RESPECTIVAS MÉDIAS

91

COVARIÂNCIA� TRATA-SE DE UMA GENERALIZAÇÃO DA

FÓRMULA DA VARIÂNCIA APRESENTADA ANTERIORMENTE E SERVE PARA SE MEDIR O GRAU DE DEPENDÊNCIA ENTRE AS VARIÁVEIS

� A COVARIÂNCIA É A MÉDIA DE UMA NOVA SÉRIE CUJOS ELEMENTOS ESTÃO FORMADOS PELO PRODUTO DOS DESVIOS DAS OBSERVAÇÕES DE CADA VARIÁVEL COM RELAÇÃO A SUA PRÓPRIA MÉDIA

COVARIÂNCIA

� DA MESMA MANEIRA COMO A VARIÂNCIA RESUME A VARIABILIDADE OU DISPERSÃO DE UMA SÉRIE DE OBSERVAÇÕES COM RELAÇÃO À SUA MÉDIA, A COVARIÂNCIA RESUME NUM ÚNICO NÚMERO A TENDÊNCIA E A FORÇA DA RELAÇÃO LINEAR ENTRE DUAS SÉRIES

92

COVARIÂNCIA

� QUANTO MAIOR O VALOR DA COVARIÂNCIA, MAIOR SERÁ A SIMILARIDADE ENTRE AS VARIÁVEIS, OU FORÇA LINEAR

- ∞∞∞∞ ≤≤≤≤ COV(X,Y) ≤≤≤≤ + ∞∞∞∞

COVARIÂNCIA

93

23. Calcular a covariância da amostra das sériesestatísticas abaixo:

X Y14 2519 1922 1616 2213 24

Calcular a covariância e o coeficiente de correlação linear da amostra das séries abaixo:

∑∑∑∑ (Xi - X)(Yi - Y) (n-1)

COV(X,Y) = - 53,8 / 4 ∴∴∴∴ COV(X,Y) = - 13,45

COV(X,Y) = SX,Y =

Calcular a covariância e o coeficiente decorrelação linear da amostra das séries abaixo:

X Y X-X Y-Y (X-X)(Y-Y)

14 25 -2,8 3,8 -10,6419 19 2,2 -2,2 -4,8422 16 5,2 -5,2 -27,0416 22 -0,8 0,8 -0,6413 24 -3,8 2,8 -10,64

Média 16,8 21,2 Soma -53,8s 3,701 3,701

COV(X,Y) < 0 ⇒⇒⇒⇒ tendência de comportamentolinear inverso

94

� O VALOR DA COVARIÂNCIA PODE SER POSITIVO, NULO OU NEGATIVO E SEU RESULTADO EXPRESSO NA UNIDADE DE MEDIDA REFERENTE AO PRODUTO DAS UNIDADES DE MEDIDA DAS DUAS SÉRIES, QUE, ÀS VEZES, NÃO APRESENTAM SIGNIFICADO PRÁTICO ALGUM

� DEVE SER RESSALTADO QUE EXISTE NO ESTUDO DA COVARIÂNCIA UMA DIFICULDADE DE INTERPRETAÇÃO DE SEU RESULTADO NUMÉRICO, FICANDO SUA AVALIAÇÃO MAIS CENTRADA NA TENDÊNCIA APRESENTADA

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

� PARA FACILITAR A INTERPRETAÇÃO DO VALOR DA COVARIÂNCIA E ELIMINAR SUA UNIDADE DE MEDIDA, FOI DEFINIDO O COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO r

rxy = Cov(X,Y) / sX sY

95

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

� OS VALORES DO COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO ESTÃO LIMITADOS ENTRE -1 E +1; ISTO É, -1 ≤≤≤≤ rxy ≤≤≤≤ +1

� É UM VALOR ÚNICO PARA POPULAÇÃO OU AMOSTRA

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃOExpressão Geral de Cálculo

n. ∑(x.y) - ∑x . ∑y

{ [ n. ∑x2 - (∑x)2] . [ n. ∑y2 - (∑y)2 } 1/2r x,y =

COVARIÂNCIA

COVx,y = rx,y . sx . sy

96

COEFICIENTE DE CORRELAÇÃO

r = +1 →→→→ Perfeita Correlação Positiva

r ≅≅≅≅ +1 →→→→ Forte Correlação Positiva

r ≅≅≅≅ + 0 →→→→ Fraca Correlação Positiva

r = 0 →→→→ Não existe relação alguma

r ≅≅≅≅ - 0 →→→→ Fraca Correlação Negativa

r ≅≅≅≅ -1 →→→→ Forte Correlação Negativa

r = -1 →→→→ Perfeita Correlação Negativa

∑∑∑∑ (Xi - X)(Yi - Y) (n-1)

COV(X,Y) = - 53,8 / 4 ∴∴∴∴ COV(X,Y) = - 13,45

COV(X,Y) = SX,Y =

rxy = -13,45 / (3,701××××3,701) ∴∴∴∴ rxy = - 0,982

Calcular a covariância e o coeficiente decorrelação linear da amostra das séries abaixo:

X Y X-X Y-Y (X-X)(Y-Y)

14 25 -2,8 3,8 -10,6419 19 2,2 -2,2 -4,8422 16 5,2 -5,2 -27,0416 22 -0,8 0,8 -0,6413 24 -3,8 2,8 -10,64

Média 16,8 21,2 Soma -53,8s 3,701 3,701

97

� PARA AS DECISÕES FINANCEIRAS A APLICAÇÃO DO CONCEITO DE CORRELAÇÃO ÉDE GRANDE IMPORTÂNCIA, NOTADAMENTE PARA O PROCESSO DE REDUÇÃO DO RISCO POR MEIO DE UMA DIVERSIFICAÇÃO DOS RETORNOS ESPERADOS

� POR EXEMPLO, INVESTIMENTOS EM ATIVOS COM SEMELHANTES COEFICIENTES DE CORRELAÇÃO NÃO COLABORAM PARA A REDUÇÃO DO RISCO TOTAL, VISTO QUE TODOS ELES CONVERGEM PARA GANHOS QUANDO A SITUAÇÃO ECONÔMICA LHES FOR FAVORÁVEL, E PARA PERDAS EM ÉPOCAS DESFAVORÁVEIS

� EM VERDADE, SE O OBJETIVO FOR DIVERSIFICAR OS INVESTIMENTOS COMO FORMA DE REDUZIR O RISCO DOS ATIVOS DA EMPRESA, TORNA-SE IMPORTANTE SELECIONAR AS APLICAÇÕES COM DIFERENTES MAGNITUDES DE CORRELAÇÃO

� DE FORMA SIMPLISTA, POR UM LADO, VAMOS SUPOR UMA CARTEIRA DE INVESTIMENTOS COMPOSTA UNICAMENTE DE AÇÕES DE EMPRESAS DO SETOR DE CONSTRUÇÃO CIVIL. QUALQUER INFERFERÊNCIA NEGATIVA DA ECONOMIA SOBRE ESSE SETOR AFETARÁ IGUALMENTE TODO O INVESTIMENTO

� POR OUTROLADO, AO OPTAR-SE POR DIVERSIFICAR A NATUREZA DAS APLICAÇÕES, O RISCO DA CARTEIRA SE REDUZ, SENDO OS PREJUÍZOS EVENTUALMENTE APURADOS NO SETOR ABSORVIDOS POR SOMENTE UMA PARTE DAS APLICAÇÕES REALIZADAS, E NÃO PELO SEU TOTAL

98

� SE QUISERMOS SABER A CONTRIBUIÇÃO DE UM CERTO TÍTULO PARA O RISCO DE UMA CARTEIRA, NÃO VALE A PENA PENSAR NO RISCO DESSE TÍTULO, SE FOR CONSIDERADO ISOLADAMENTE

� PRECISAMOS DE LEVAR EM CONTA A FORMA COMO ELE CO-VARIA COM AS OUTRAS AÇÕES DA CARTEIRA

INTRODUÇÃO À TEORIA DA CARTEIRA (MARKOWITZ)

Harry Markowitz, num artigo escrito em 1952, chamou a atenção para a prática comum da diversificação das carteiras e mostrou exatamente como um investidor

pode reduzir o desvio-padrão da rentabilidade da carteira por meio da escolha de ações cujas oscilações

não sejam perfeitamente paralelas

Markowitz desenvolveu ainda os princípios básicos da construção de uma carteira, ou seja, a base para o

estudo da relação entre risco e rentabilidade

Quando medidas em intervalos pequenos, as taxas de rentabilidade históricas de quase todas as ações

aproximam-se bastante de uma curva normal

99

Ação Retorno Desvio CarteiraEsperado Padrão

BOEING 21% 40% 33%KODAK 15% 20% 67%

Calcular a rentabilidade da carteira é fácil:

E(Retorno) = (0,33 ×××× 21) + (0,67 ×××× 15) = 17%

Difícil é calcular o risco da carteira. A primeira idéia seria a utilização da média ponderada dos desvios-padrão:

E(Desvio) = (0,33 ×××× 40) + (0,67 ×××× 20) = 26,7%

Isto somente estaria correto se os preços de ambas as ações evoluíssem em perfeita harmonia. Em qualquer outra

circunstância, a diversificação reduziria o risco para um valor abaixo dos 26,7%

O procedimento exato para calcular a variância de uma carteira constituída por duas ações é dado por:

σσσσ2CARTEIRA = (x2

1 σσσσ21) + (x2

2 σσσσ22) + 2 (x1x2 σσσσ12)

ou

σσσσ2CARTEIRA = (x2

1 σσσσ21) + (x2

2 σσσσ22) + 2 (x1x2 ρρρρ12σσσσ1 σσσσ2)

onde: xi = proporção investida na ação i; σσσσ2i = variância da rentabilidade

da ação i; σσσσij = covariância das rentabilidades das ações i e j; ρρρρij = correlação entre as rentabilidades das ações i e j.

AÇÃO 1 AÇÃO 2

AÇÃO 1 x21 σσσσ2

1 x1x2 σσσσ12

AÇÃO 2 x1x2 σσσσ12 x22 σσσσ2

2

100

Cálculo da Variância da Carteira da BOEING e da KODAK, considerando-se que a correlação linear histórica entre as

duas ações seja igual a ρρρρ12 = + 0,40:

σσσσ2CARTEIRA = [(0,33)2(40)2] + [(0,67)2(20)2] + 2[0,33××××0,67××××0,4××××40××××20] = 495

Assim, o desvio-padrão da carteira é:

σσσσCARTEIRA = 22%

Cálculo da Variância para Carteiras com Muitas Ações:

O método apresentado para se calcular a rentabilidade e o risco esperados de uma carteira podem ser facilmente

extensivos a carteiras contendo três ou mais títulos

Para encontrar a variância de umacarteira com N ações, temos quecalcular a soma dos elementos damatriz mostrada ao lado.Os elementos da diagonal da matrizcontêm os termos em variância (x2

iσσσσ2i)

e os demais elementos contêm ostermos em covariância (xixjσσσσij)

A Ç Ã O1 2 3 4 ... N

1

A 2

Ç 3

à 4

O ...

N

101

Cálculo da Variância para Carteiras com Muitas Ações:

x2Aσσσσ2

A xAxBσσσσAB xAxCσσσσAC

xAxBσσσσAB x2Bσσσσ2

B xBxCσσσσBC

xAxCσσσσAC xBxCσσσσBC x2Cσσσσ2

C

A B C

A

B

C

AÇÃO

AÇÃO

2) Considere que as ações A, B e C tenham como parâmetros de retorno esperado, derisco e de correlação de retornos os valores mostrados no quadro abaixo:

AÇÕES RETORNO DESVIO COEFICIENTES DE CORRELAÇÃOESPERADO PADRÃO A B C

A 10% 11% 1,0 0,6 0,2

B 15% 10% 0,6 1,0 0,4

C 8% 5% 0,2 0,4 1,0

Supondo que você construa uma carteira de risco com os três ativos acima, na qual osdois primeiros participam com 40% cada um, calcule:

a) o retorno esperado da carteira;

b) o desv io-padrão do retorno da carteira;

c) a probabi lidade de que o retorno esperado da carteira seja negativo, considerando-se que os retornos das ações tenham distribuição normal.

Exemplo Ilustrativo

Média da Carteira = (0,4×10%)+ (0,4×15%)+ (0,2×8%)=11,6%

102

Cálculo da Variância da Carteira:

x2Aσσσσ2

A xAxBσσσσAB xAxCσσσσAC

xAxBσσσσAB x2Bσσσσ2

B xBxCσσσσBC

xAxCσσσσAC xBxCσσσσBC x2Cσσσσ2

C

A B C

A

B

C

AÇÃO

AÇÃO

A B C

A 19,36 10,56 0,88

B 10,56 16,00 1,60

C 0,88 1,60 1,00

62,447,90

AÇÃO

AÇÃO

Variância da Carteira:Desvio-Padrão:

Z0 = (0 – 11,6%)/7,9%

Z0 = 1,47

z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z) z Pr(Z<z)1,21 0,8869 1,50 0,9332 1,79 0,9633 2,08 0,98121,22 0,8888 1,51 0,9345 1,80 0,9641 2,09 0,98171,23 0,8907 1,52 0,9357 1,81 0,9649 2,10 0,98211,24 0,8925 1,53 0,9370 1,82 0,9656 2,11 0,98261,25 0,8944 1,54 0,9382 1,83 0,9664 2,12 0,98301,26 0,8962 1,55 0,9394 1,84 0,9671 2,13 0,98341,27 0,8980 1,56 0,9406 1,85 0,9678 2,14 0,98381,28 0,8997 1,57 0,9418 1,86 0,9686 2,15 0,98421,29 0,9015 1,58 0,9429 1,87 0,9693 2,16 0,98461,30 0,9032 1,59 0,9441 1,88 0,9699 2,17 0,98501,31 0,9049 1,60 0,9452 1,89 0,9706 2,18 0,98541,32 0,9066 1,61 0,9463 1,90 0,9713 2,19 0,98571,33 0,9082 1,62 0,9474 1,91 0,9719 2,20 0,98611,34 0,9099 1,63 0,9484 1,92 0,9726 2,25 0,98781,35 0,9115 1,64 0,9495 1,93 0,9732 2,30 0,98931,36 0,9131 1,65 0,9505 1,94 0,9738 2,35 0,99061,37 0,9147 1,66 0,9515 1,95 0,9744 2,40 0,99181,38 0,9162 1,67 0,9525 1,96 0,9750 2,50 0,99381,39 0,9177 1,68 0,9535 1,97 0,9756 2,60 0,99531,40 0,9192 1,69 0,9545 1,98 0,9761 2,70 0,99651,41 0,9207 1,70 0,9554 1,99 0,9767 2,80 0,99741,42 0,9222 1,71 0,9564 2,00 0,9772 2,90 0,99811,43 0,9236 1,72 0,9573 2,01 0,9778 3,00 0,99871,44 0,9251 1,73 0,9582 2,02 0,9783 3,10 0,99901,45 0,9265 1,74 0,9591 2,03 0,9788 3,20 0,99931,46 0,9279 1,75 0,9599 2,04 0,9793 3,30 0,99951,47 0,9292 1,76 0,9608 2,05 0,9798 3,40 0,99971,48 0,9306 1,77 0,9616 2,06 0,9803 3,50 0,99981,49 0,9319 1,78 0,9625 2,07 0,9808 3,60 0,9998

Distribuição Normal Padronizada

103

Probabilidade do E(Retorno da Carteira) ser negativo:

z0 = ( 0 - 11,6 ) / 7,9 = 1,47 →→→→ TABELA →→→→ 0,4292

P(Retorno da Carteira < 0) = 7,08%

0 11,6%

104

ANÁLISE DE REGRESSÃO� A ANÁLISE DE REGRESSÃO CONSTITUI-SE NO

ESTUDO DA VARIAÇÃO DE DETERMINADA VARIÁVEL EM FUNÇÃO DA VARIAÇÃO DE OUTRAS VARIÁVEIS

� A VARIÁVEL DE MAIOR INTERESSE, SOBRE A QUAL SE DESEJA FAZER UMA ESTIMATIVA, ÉDENOMINADA VARIÁVEL DEPENDENTE, E AS DEMAIS INDEPENDENTES

� O PROBLEMA DA ANÁLISE DE REGRESSÃO CONSISTE EM DEFINIR A FORMA DE RELAÇÃO EXISTENTE ENTRE AS VARIÁVEIS

ANÁLISE DE REGRESSÃO� SE, POR EXEMPLO, HÁ INTERESSE EM

ESTUDAR AS QUANTIDADES DEMANDADAS DE CERTO PRODUTO, ELA É A VARIÁVEL DEPENDENTE DE OUTRAS, COMO O PREÇO DE VENDA, A RENDA DISPONÍVEL DOS CONSUMIDORES, OS PREÇOS DOS PRODUTOS ALTERNATIVOS, DOS CUSTOS DE PRODUÇÃO ETC, QUE SÃO, POR SUA VEZ, AS VARIÁVEIS INDEPENDENTES

105

ANÁLISE DE REGRESSÃOENTRE DUAS VARIÁVEIS, X e Y POR EXEMPLO, PODEM

EXISTIR ALGUMAS RELAÇÕES, TAIS COMO:

y = ax + by = ax by = xa b

y = ax2 + bx +c

UMA VEZ ESPECIFICADA A FORMA DE RELAÇÃO ENTREAS VARIÁVEIS, DEVE-SE ESTIMAR OS PARÂMETROS DAFUNÇÃO, OBTENDO ENTÃO A EQUAÇÃO DE REGRESSÃO

y = a + bx

ANÁLISE DE REGRESSÃO

� QUANDO SÃO ESTUDADAS AS RELAÇÕES ENTRE APENAS DUAS VARIÁVEIS, A REGRESSÃO ÉDENOMINADA SIMPLES; SE DETERMINADA VARIÁVEL ÉANALISADA EM FUNÇÃO DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS, A REGRESSÃO É CHAMADA MÚLTIPLA

106

REGRESSÃO LINEAR SIMPLESÉ O CASO DE REGRESSÃO EM SÓ CONHECEMOS E CONTROLAMOSUMA VARIÁVEL QUE AFETA O FENÔMENO, E, ALÉM DISSO, A PARTE

FUNCIONAL DA REGRESSÃO É UMA RETA

OS PONTOS DO DIAGRAMA PODEM SER AJUSTADOS À UMA RETA

A RETA OBTIDA É CHAMADA RETA DE REGRESSÃO DE y SOBRE x

y = ααααx + ββββ yi

y = ax + b

di = yi - yi

x

y = a + b.x

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

� O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS É UM DOS MÉTODOS UTILIZADOS PARA ESTIMAR OS PARÂMETROS DA REGRESSÃO

� NO CASO IREMOS ESTIMAR OS PARÂMETROS αααα E ββββ DA RETA DE REGRESSÃO, E CHAMAREMOS ESTAS ESTIMATIVAS DE a E b, RESPECTIVAMENTE

� O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS VISA ESTIMAR OS PARÂMETROS DA EQUAÇÃO DE REGRESSÃO DE FORMA QUE A SOMA DOS QUADRADOS DOS DESVIOS SEJA A MENOR POSSÍVEL

107

y = a + b.x

Cálculo dos Parâmetros a e b

n. ∑(x.y) - ∑x . ∑y

n. ∑x2 - (∑x)2 b =

∑y - b . ∑x

n a =

Outra Forma de Cálculo

“variância” de xSXX = ∑∑∑∑ xi

2 - [( ∑∑∑∑ xi )2] / n

“variância” de ySyy = ∑∑∑∑ yi

2 - [( ∑∑∑∑ yi )2] / n

“covariância” entre x e ySxy = ∑∑∑∑xiyi - (∑∑∑∑xi . ∑∑∑∑yi) / n

b = Sxy / Sxx a = y – bx

y = a + b.x

108

b = Covx,y / Varx

a = y - b.x

Y = a + b.x

REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

� AJUSTAR UMA RETA A VALORES OBSERVADOS DE 2 VARIÁVEIS É SEMPRE POSSÍVEL, POR PIOR QUE SEJA A DEPENDÊNCIA LINEAR ENTRE AS VARIÁVEIS

� ENTRETANTO, A PRIORI, NÃO PODEMOS GARANTIR QUE EXISTE REGRESSÃO ENTRE AS MESMAS, NEM SE O MODELO TEÓRICO AJUSTADO TEM UM BOM PODER DE EXPLICAÇÃO DA REALIDADE

� TAIS PROBLEMAS SÃO TRATADOS E RESOLVIDOS ATRAVÉS DO ESTUDO DA ANÁLISE DA VARIÂNCIA E DO COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO

109

COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO OU DEDETERMINAÇÃO (R2)

PARA VERIFICARMOS QUANTO O MODELO ADOTADOEXPLICA A REALIDADE, TEMOS QUE USAR ALGUNS

INDICADORES

UM DELES É O COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO, QUEEXPLICA A RELAÇÃO ENTRE A VARIAÇÃO EXPLICADA

PELA REGRESSÃO E A VARIAÇÃO TOTAL

R2 = b.Sxy / Syy

COEFICIENTE DE EXPLICAÇÃO OU DEDETERMINAÇÃO (R2)

0 ≤≤≤≤ R 2 ≤≤≤≤ 1

Se R 2 = 0 →→→→ o m odelo ad otado não exp lica nada da rea lidadeSe R 2 = 1 →→→→ o m odelo adotado explica a realidade com perfe ição

O VALO R D A RAIZ Q UADR ADA D OCO EFIC IEN TE D E EXP LIC AÇ ÃO

R EP RES EN TA A M E DIDA D OCO E FIC IEN TE D E CO R R ELAÇ ÃO L IN EAR

E N TRE x E y.

R2 = (coef. de correlação)2 = r2

110

14.Uma empresa, estudando a variação da demanda de um de seus produtos (yi) em relação à variação do preço de venda (xi), levantou os seguintes dados:

Preço de Venda 40 45 52 58 65 70 85 90

Demanda 320 305 290 280 275 270 250 245

a) estabelecer a equação de regressão linearde y sobre x;

b) estimar y para x = 80 e x = 100.

n = 8

∑∑∑∑ x = 505

∑∑∑∑ x2 = 34.143

∑∑∑∑ y = 2.235

∑∑∑∑ y2 = 628.975

∑∑∑∑ xy = 137.920

Preço de Venda 40 45 52 58 65 70 85 90

Demanda 320 305 290 280 275 270 250 245

n . ∑∑∑∑ (x.y) - ∑∑∑∑ x . ∑∑∑∑ y ∑∑∑∑ y - b . ∑∑∑∑ x

n . ∑∑∑∑ x2 - ( ∑∑∑∑ x )2 nb = a =

y = a + b x

(8 ×××× 137.920) - (505 ×××× 2.235)

(8 ×××× 34.143) - ( 505 )2b = = - 1,3972

(2.235) - (-1,3972 ×××× 505)

8 a = = 367,57

y = 367,57 - 1,3972 x

y80 = 367,57 - 1,3972 . (80) ∴∴∴∴ y80 = 255,80

y100 = 367,57 - 1,3972 . (100) ∴∴∴∴ y100 = 227,86

111

Utilizando-se a HP-12C, os passos são:

f →→→→ REG

320 40 1 2 0,9670 [ R2 ]

305 45 2 1 g →→→→ y,r 366,1731

290 52 3 0 367,5702

280 58 4 - 1,3972 [ b ]

275 65 5

270 70 6

250 85 7

245 90 8

0 g →→→→ y,r 367,5702 [ a ]

0 367,5702

0,9834 [ rxy ]

-

>>>><<<<x y

yx

y = 367,5 - 1,3972 x

R2 = 96,70%

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

STO

RCL

∧∧∧∧

∧∧∧∧

Y = 367,57 - 1,3972 X

R2 = 96,7%

EXCEL: FERRAMENTAS / ANÁLISE DE DADOS / REGRESSÃO

y = -1,3972x + 367,57

R2 = 0,967

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100

Variável X

Var

iáve

l Y

Y

Linear (Y)

RESUMO DOS RESULTADOS

Estatística de regressão

R múltiplo 0,983373842

R-Quadrado 0,967024113R-quadrado ajustado 0,961528132

Erro padrão 5,012677785

Observações 8

ANOVA

gl

Regressão 1

Resíduo 6

Total 7

Coeficientes

Interseção 367,5702301Variável X 1 -1,397152161

112

EXCEL: GRÁFICO DISPERSÃO (XY)

y = -1,3972x + 367,57

R2 = 0,967

0

50

100

150

200

250

300

350

0 20 40 60 80 100

Variável X

Var

iáve

l Y

Y

Linear (Y)

IN TERVALO S DE CONFIANÇA

CONSIDERA-SE QU E TODO S O SESTIM ADO RES DA REGRESSÃO

POSSUEM DISTRIBUIÇÃO NORM AL

COM O, EM G ERAL, DESCO NHECEM OS AVARIÂNCIA POPULACIO NAL σσσσ 2, IREM O SSUBSTITUÍ-LA POR SEU ESTIM ADO R S2

E, ASSIM, DEVEM OS TAM BÉMSUBSTITUIR A VARIÁVEL NORMAL PELAVARIÁVEL “t” DE STUDENT, A QUAL TEM

φφφφ=(n-2) G RAUS DE LIBERDADE

113

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA APROJEÇÃO DE Y

onde S2 = (SYY - b.SXY) / (n-2)

e φφφφ = n-2 para a variável t

P[ yi - tαααα/2.S.√√√√ 1 + 1/n + (xi-x)2/Sxx ≤≤≤≤ yi ≤≤≤≤

yi + tαααα/2.S.√√√√ 1 + 1/n + (xi-x)2/Sxx ] = 1- αααα

O Índice Geral de Preços da FGV (Col. 2)apresenta os seguintes valores, para o período deset a jan/97:

Mês SET/96 OUT/96 NOV/96 DEZ/96 JAN/97IGP 132,849 133,141 133,517 134,689 136,814

Pede-se:a) Ajustar uma reta aos dados;b) Comparar graficamente os valores estimados

com os observados;c) Calcular o coeficiente de explicação;d) Estimar o IGP para FEV/97 (valor ocorrido =

137,390);e) Calcular o intervalo de confiança para a

estimativa acima, ao nível de significância de5%.

114

Mês (Xi) IGP (Yi) Xi . Yi

Set/96 1 132,849 132,849Out/96 2 133,141 266,282Nov/96 3 133,517 400,551Dez/96 4 134,689 538,756Jan/97 5 136,814 684,070SOMA 15 671,010 2.022,508

(SOMA)2 55 90.061,369

Sxx= ∑∑∑∑x2 – (∑∑∑∑x)2 / n ∴∴∴∴ Sxx = 55 – (15)2 / 5 = 10Sxy = ∑∑∑∑xy – (∑∑∑∑x.∑∑∑∑y) / n ∴∴∴∴ Sxy = 2.022,508 – (15 . 671,010) / 5 = 9,478Syy = ∑∑∑∑y2 – (∑∑∑∑y)2 / n ∴∴∴∴ Syy = 90.061,369 – (671,010)2 / 5 = 10,485

b = Sxy / Sxx ∴∴∴∴ b = 9,478 / 10 ∴∴∴∴ b = 0,9478

a = y – b.x ∴∴∴∴ a = (671,010 / 5) – 0,9478 . (15 / 5) ∴∴∴∴ a = 131,3586

y = a + b.x ∴∴∴∴ y = 131,3586 + 0,9478 x

Mês (Xi) IGP (Yi) Yi = 131,3586+0,9478.X

Set/96 1 132,849 132,3064Out/96 2 133,141 133,2542Nov/96 3 133,517 134,2020Dez/96 4 134,689 135,1498Jan/97 5 136,814 136,0976

REGRESSÃO LINEAR

130,000

132,000

134,000

136,000

138,000

1 2 3 4 5

Me ses

IGP

115

Intervalo de Confiança:

S2 = (Syy – b.Sxy) / (n-2) ∴∴∴∴S2 = (10,485 – 0,9478 . 9,478) / (5-2)

S2 = 0,500 ∴∴∴∴S = 0,706

tαααα /2 . S . √√√√ 1 + (1/n) + (xi – x)2/Sxx =

3,182 . 0,706 . √√√√ 1 + (1/5) + (6-3)2/10 = 3,255

137,045 – 3,255 < y6 < 137,045 + 3,255

133,790 < y6 < 140,300

Coeficiente de Explicação:

R2 = b . Sxy / Syy ∴∴∴∴R2 = 0,9478 . 9,478 / 10,485R2 = 0,8568 ∴∴∴∴R2 = 85,68%

Estimativa para FEV/97:

yFEV/97 = y6 = 131,3586 + 0,9478 . 6 ∴∴∴∴ y6 = 137,045

Utilizando-se a HP-12C, os passos são:

f →→→→ REG

132,849 1 1 2 0,8567 [ R2 ]

133,141 2 2 1 g →→→→ y,r 132,3064

133,517 3 3 0 131,3586

134,689 4 4 0,9478 [ b ]

136,814 5 5

0 g →→→→ y,r 131,3586 [ a ]

0 131,3586

0,9256 [ rxy ]

-

>>>><<<<x y

yx

y = 131,3586 + 0,9478 x

R2 = 85,67%

y6 = 137,05

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

∑∑∑∑ +ENTER∧∧∧∧

∧∧∧∧

STO

RCL

116

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

Quanto maior o tamanho n da amostra, menor a variância de x

Em outras palavras, na medida em que o tamanho da amostra aumenta, pode-se ter cada vez mais confiança em que x estarámais próximo do valor de µ

LEI DOS GRANDES NÚMEROS

Se temos n variáveis aleatórias independentes, identicamente distribuídas (x1, x2, ... , xn), todas provenientes de uma distribuição com média µ e variância σ2, então dizemos que essas variáveis constituem uma amostra aleatória de tamanho n da

distribuição de x. Seja x a média de todos esses valores. Então

E(x) = µ Var(x) = σ2/n

117

O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

� Pelo Teorema Central do Limite, se o tamanho n da amostra for suficientemente grande, então a média de uma amostra aleatória retirada de uma população teráuma distribuição aproximadamente normal, independentemente da forma da distribuição de freqüências da população de onde foi retirada a amostra

O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE

� A MEDIDA QUE SE AUMENTA O TAMANHO DA AMOSTRA, A DISTRIBUIÇÃO DAS MÉDIAS AMOSTRAIS SE APROXIMA CADA VEZ MAIS DA DISTRIBUIÇÃO NORMAL

118

� O TEOREMA CENTRAL DO LIMITE AFIRMA QUE A MÉDIA DE UM GRANDE NÚMERO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES, IDENTICAMENTE DISTRIBUÍDAS, TEM DISTRIBUIÇÃO NORMAL

� ESTE TEOREMA SE APLICA A QUALQUER DISTRIBUIÇÃO DE VARIÁVEL ALEATÓRIA

DISTRIBUIÇÃO DAAMOSTRAGEM DA MÉDIA

� Considere que numa determinada população a média das alturas das pessoas seja: µµµµ = 1,72 m e σσσσ = 0,07 m.

� Se tomarmos certo número de amostras, de 25 pessoas cada uma, provavelmente teremos diversos valores de x, bastante próximos uns dos outros, tais como:

x1 = 1,70 m; x2 = 1,73 m; ... xn = 1,72 m

119

DISTRIBUIÇÃO DAAMOSTRAGEM DA MÉDIA

� A distribuição de x tem a mesma média µµµµda população, entretanto o desvio-padrão de x é menor que o desvio-padrão σσσσ da população, já que os valores de x têm pequena variabilidade se comparados com os valores de x da população.

� O desvio-padrão de x, denominado ERRO-PADRÂO da média, é igual a: σσσσ / √√√√n

Comprovação que a média da distribuição amostral da média da amostra será igual à média da população µµµµ:

Seja a população constituída pelos números 2, 3 e 4

A média (valor esperado) e a variância dessa população são, respectivamente, µµµµ = 3 e σσσσ2 = 0,67

Retiram-se agora todas as amostras possíveisde tamanho n = 2, com reposição, e calcula-sea média de cada amostra:

A média dessas médias amostrais resulta em µµµµx = 3, que émédia da população

Entretanto, a variância da média amostral é igual a σσσσ2x = 0,33,

que é a variância da população dividida pelo tamanho da amostra n

Assim sendo, E(x) = µµµµ e Var(x) = σσσσ2/n

Amostra Média2, 2 22, 3 2,52, 4 33, 2 2,53, 3 33, 4 3,54, 2 34, 3 3,54, 4 4

120

VALOR ESPERADO DAS MÉDIAS AMOSTRAIS ÉIGUAL À MEDIA DA POPULAÇÃO:

E(X) = µµµµX = µµµµX

O DESVIO-PADRÃO DA DISTRIBUIÇÃO DAS MÉDIASAMOSTRAIS, DENOMINADO ERRO AMOSTRAL, ÉIGUAL A:

σσσσX = σσσσX / √√√√ n

Desta forma, a variável x tem os seguintes parâmetros:

INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA µµµµ

� QUANDO COLHEMOS UMA AMOSTRA DE UMA POPULAÇÃO, APURAMOS UM VALOR X, QUE ÉUMA ESTIMATIVA POR PONTO DE µµµµ

� ENTRETANTO, SE TOMARMOS OUTRA AMOSTRA DESSA POPULAÇÃO, TEREMOS PROVAVELMENTE OUTRO VALOR DE X, PORTANTO OUTRA ESTIMATIVA DE µµµµ . ASSIM, UMA TERCEIRA AMOSTRA DARÁ OUTRA ESTIMATIVA DA MESMA MÉDIA

� A FIM DE OBTERMOS UMA ESTIMATIVA DE µµµµCOM CERTO GRAU DE CONFIABILIDADE, FIXAMOS UM INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO

121

INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA µµµµ

� ADMITINDO-SE X COMO SENDO UMA VARIÁVEL NORMALMENTE DISTRIBUÍDA COM MÉDIA µµµµ E DESVIO-PADRÃO σσσσ , PODE-SE ESTABELECER UM LIMITE INFERIOR E UM SUPERIOR, DEFININDO-SE UM INTERVALO QUE CONTÉM CERTO PERCENTUAL DOS VALORES DE X

� NORMALMENTE, SÃO UTILIZADOS OS PERCENTUAIS 90%, 95% E 99%, QUE SÃO DENOMINADOS NÍVEIS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA DA POPULAÇÃO

NA DISTRIBUIÇÃO NORMAL PADRÃO, OS VALORESDE Z QUE LIMITAM OS INTERVALOS ACIMA SÃOREPRESENTADOS DA SEGUINTE FORMA:

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA µµµµ

X - Z σσσσ/√√√√ n < µµµµ < X + Z σσσσ/√√√√ n

VALORES LIMITES DE z

90% 95% 99%

-1,64 1,64 -1,96 1,96 -2,57 2,57

122

ANTERIORMENTE, FOI FEITA A REDUÇÃO DA VARIÁVEL X PARA Z.

AGORA, ANALOGAMENTE, A VARIÁVEL X ÉREDUZIDA À VARIÁVEL Z POR MEIO DA

SEGUINTE FÓRMULA:

X - µ

σ / √ n

INTERVALO DE CONFIANÇA

x - z . σσσσ////√√√√n < µµµµ < x + z . σσσσ////√√√√n

Z =

C O E F IC IE N T E D E C O N F I A N Ç A

A M O S T R A S G R A N D E SO IN T E R V A L O D A E S T IM A T I V A D A M É D I AC O M U M C O E F IC IE N T E D E C O N F I A N Ç A IG U A LA ( 1 - αααα ) P A R A A M O S T R A S G R A N D E S ( n > 3 0 ) ,S E N D O C O N H E C ID O O D E S V IO - P A D R Ã O D AP O P U L A Ç Ã O , É I G U A L A :

µµµµ X = X ±±±± Z αααα /2 . σσσσ X / √√√√ n

1 - αααα αααα / 2 Z αααα / 2

0 ,9 0 0 ,0 5 0 ±±±± 1 ,6 4 50 ,9 5 0 ,0 2 5 ±±±± 1 ,9 6 00 ,9 9 0 ,0 0 5 ±±±± 2 ,5 7 6

( 1 - αααα ) - Z αααα /2 Z αααα /2

- Z αααα /2 + Z αααα /2

123

AMOSTRAS PEQUENAS

EM AM O STRAS PEQUENAS (n≤≤≤≤30), O DESVIO-PADRÃOAM OSTRAL NÃO É BOA ESTIMATIVA DE σσσσ . NESTECASO, DEVE-SE EMPREGAR UM A NOVA VARIÁVELPARA O CÁCULO DAS ESTIM ATIVAS DE µµµµESTA VARIÁVEL É DENOM INADA t DE STUDENTA DISTRIBUIÇÃO t TEM UM A FORMA SIM ILAR A DADISTRIBUIÇÃO NORM AL, PORÉM COM AS CAUDAS UMPOUCO MAIS ALTAS. PARA SUA COMPLETADEFINIÇÃO DEVE-SE USAR O NÚM ERO DE GRAUS D ELIBERDADE νννν = n-1.

µµµµX = X ±±±± tαααα/2 . σσσσX/√√√√ n

Distribuição Z

Distribuição t

Valores Críticos das Distribuições Z e t1-αααα Zαααα/2 tαααα/2

0,90 1,645 1,6970,95 1,960 2,0420,99 2,576 2,750

124

x - zαααα/2 . σσσσ/√√√√n <<<< µµµµ <<<< x + zαααα/2 . σσσσ/√√√√n

σσσσ desconhecido →→→→ usar a estimativa s, pois trata-se de uma amostra grande (≥≥≥≥ 30)

30 - 1,96 . 4 / √√√√36 <<<< µµµµ <<<< 30 + 1,96 . 4 / √√√√36

28,69 <<<< µµµµ <<<< 31,31

P(28,69 <<<< µµµµ <<<< 31,31) = 95%

Estabelecer o intervalo de confiança de 95%para µµµµ, sendo que uma amostra de tamanho36, dessa população, forneceu x = 30 e s = 4.

x - zαααα/2 . σσσσ/√√√√n <<<< µµµµ <<<< x + zαααα/2 . σσσσ/√√√√n

σσσσ desconhecido →→→→ usar a estimativa s, pois trata-se de uma amostra grande (≥≥≥≥ 30)

45 - 1,96 . 12 / √√√√36 <<<< µµµµ <<<< 45 + 1,96 . 12 / √√√√36

41,91 <<<< µµµµ <<<< 48,09

P(41,91 <<<< µµµµ <<<< 48,09) = 95%

De uma população com média desconhecida e desvio-padrão igual a 12 foi retirada uma amostra de 58observações. Se o valor da média amostral é igual a45, pede-se estimar a média da média da população,considerando um intervalo de confiança igual a 95%.

125

x - t . σσσσ/√√√√n <<<< µµµµ <<<< x + t . σσσσ/√√√√n

Amostra Pequena (< 30)G.L. : νννν = n - 1 ∴∴∴∴ νννν = 19

ρρρρ = 0,05

38 - 2,093 . 5 / √√√√20 <<<< µµµµ <<<< 38 + 2,093 . 5 / √√√√20

35,66 <<<< µµµµ <<<< 40,34

P(35,66 <<<< µµµµ <<<< 40,34) = 95%

TABELA t = 2,093

Qual o intervalo de confiança para µµµµ, no nível de 95%,sendo que uma amostra de tamanho 20 forneceu x=38e s=5?

Graus de Na cauda superior área ααααLiberdade 0,1 0,05 0,025 0,01

1 3,078 6,314 12,706 31,821

2 1,886 2,920 4,303 6,965

3 1,638 2,353 3,182 4,541

4 1,533 2,132 2,776 3,747

5 1,476 2,015 2,571 2,365

6 1,440 1,943 2,447 2,143

7 1,415 1,895 2,365 2,998

8 1,397 1,860 2,306 2,896

9 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,371 1,812 2,228 2,764

11 1,363 1,796 2,201 2,718

12 1,356 1,782 2,179 2,681

13 1,350 1,771 2,160 2,650

14 1,345 1,761 2,145 2,624

15 1,341 1,753 2,131 2,602

16 1,337 1,746 2,120 2,583

17 1,333 1,740 2,110 2,567

18 1,330 1,734 2,101 2,552

19 1,328 1,729 2,093 2,539

Distribuições t

0 tαααα t

αααα

126

Amostra Pequena: n < 30

x = (7+4+2+5+7) / 5 ∴∴∴∴ x = 5

(7-5)2+(4-5)2+(2-5)2+(5-5)2+(7-5)2

5-1

Ver na tabela o valor crítico de “t” para teste bicaudal( αααα = 10% e G.L.= 4 →→→→ t = 2,132 )

x - t . s/√√√√n <<<< µµµµ <<<< x + t . s/√√√√n

5 - 2,132 . 2,12 / √√√√5 <<<< µµµµ <<<< 5 + 2,132 . 2,12 / √√√√5

2,98 <<<< µµµµ <<<< 7,02

s = ∴∴∴∴ s = 2,12

As observações 7, 4, 2, 5 e 7 foram retiradas de umapopulação que tem distribuição normal. Pede-seestimar o valor da média da população, considerandoum intervalo de confiança de 90% nas duas caudas.

Graus de Na cauda superior área ααααLiberdade 0,1 0,05 0,025 0,01

1 3,078 6,314 12,706 31,821

2 1,886 2,920 4,303 6,965

3 1,638 2,353 3,182 4,541

4 1,533 2,132 2,776 3,747

5 1,476 2,015 2,571 2,365

6 1,440 1,943 2,447 2,143

7 1,415 1,895 2,365 2,998

8 1,397 1,860 2,306 2,896

9 1,383 1,833 2,262 2,821

10 1,371 1,812 2,228 2,764

11 1,363 1,796 2,201 2,718

12 1,356 1,782 2,179 2,681

13 1,350 1,771 2,160 2,650

14 1,345 1,761 2,145 2,624

15 1,341 1,753 2,131 2,602

16 1,337 1,746 2,120 2,583

17 1,333 1,740 2,110 2,567

18 1,330 1,734 2,101 2,552

19 1,328 1,729 2,093 2,539

Distribuições t

0 tαααα t

αααα

127

ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA� NA FÓRMULA DO INTERVALO DE CONFIANÇA,

A EXPRESSÃO z.σσσσ/√√√√n CONSTITUI O ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA (e).

� ESSE VALOR INDICA O AFASTAMENTO MÁXIMO QUE O PARÂMETRO µµµµ PODE TER EM RELAÇÃO AOS LIMITES DE CONFIANÇA PARA DETERMINADO NÍVEL.

� SE FIXARMOS PREVIAMENTE O ERRO MÁXIMO DE ESTIMATIVA E O NÍVEL DE CONFIANÇA, PODEMOS DETERMINAR O TAMANHO DA AMOSTRA A SER TOMADA:

e = z .σσσσ/√√√√nn = (z.σσσσ / e)2

Aplicações Práticas das Principais Ferramentas da Estatística

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

128

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

Um dos modelos mais importantes em finanças é o de precificação de ativos, mais conhecido por

Capital Asset Pricing Model - CAPM

O CAPM é bastante utilizado nas operações do mercado de capitais, participando das avaliações

de tomadas de decisão em condições de risco

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

Por meio do CAPM é possível também se apurar a taxa de retorno requerida pelos investidores

O coeficiente BETA, medida obtida do CAPM, indica o incremento necessário no retorno de um ativo de

forma a remunerar adequadamente seu risco sistemático

129

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

O CAPM é derivado da teoria do portfólio e busca, mais efetivamente, uma resposta de como devem ser relacionados e mensurados os componentes

básicos de uma avaliação de ativos:

risco e retorno

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

Hipóteses mais importantes para o desenvolvimento do CAPM:

• assume-se uma grande eficiência informativa do mercado, atingindo igualmente a todos os investidores;

• não há impostos, taxas ou quaisquer outras restrições para os investimentos no mercado;

• todos os investidores apresentam a mesma percepção com relação ao desempenho dos ativos, formando carteiras eficientes a partir de idênticas expectativas;

• existe uma taxa de juros de mercado definida como livre de risco.

130

MODELOS DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS E AVALIAÇÃO DO RISCO

• Inúmeras e importantes conclusões sobre o processo de avaliação de ativos foram definidas a partir dessas hipóteses;

• Mesmo que não sejam constatadas na realidade do mercado, as hipóteses formuladas não suficientemente rígidas de maneira a invalidar o modelo;

• Entretanto, o CAPM trouxe uma inestimável contribuição para explicar o funcionamento das decisões financeiras no mundo real.

RETA CARACTERÍSTICA

• A reta característica permite que se relacione, dentro do modelo de precificação de ativos, o comportamento de um título, ou carteira de títulos, com a carteira de mercado

• Esta reta procura descrever como as ações, por exemplo, se “movem” diante de alterações verificadas no mercado como um todo

131

RETA CARACTERÍSTICA

• Sabe-se que, na prática, é constatável uma forte correlação entre as ações e o mercado

• Na maioria das vezes, se o mercado apresentar uma valorização, as ações também crescem, porém não necessariamente com a mesma força

• Por meio dessa verificação prática, é possível se prever os resultados proporcionados por uma ação dado desempenho esperado do mercado

• A relação entre os retornos de um título e os retornos da carteira de mercado pode ser desenvolvida por meio de dados históricos, admitindo-se que os retornos do passado serão repetidos no futuro

RETA CARACTERÍSTICA

• Identificados os retornos dos ativos e da carteira de mercado, os mesmos são plotados em um gráfico, obtendo-se a reta característica por meio de REGRESSÃO LINEAR

• Nessa regressão identifica-se uma importante medida financeira: o Coeficiente BETA (ββββ), que éo coeficiente angular da reta de regressão

132

Custo do Capital Próprio

Estimativa daTaxa Mínima de Atratividade

TMA

Taxa Requeridade Retorno (%)

Risco0

Risco - Retorno

133

TMA (k)

=

Taxa de Retorno Básica

+

Recompensa pelo Risco

Uma taxa de retorno exigida pode ser considerada como uma TMA

Custo do Capital Próprio(Estimativa da TMA)

CAPMCAPITAL ASSET PRICING MODEL

Modelo de Precificaçãode Ativos Financeiros

134

CAPM

R = Rf + (Rm - Rf) . ββββ

R = taxa de retorno exigida*

Rf = taxa de retorno livre de risco

Rm-Rf = prêmio de risco de mercado**

ββββ = risco sistemático / mercado

* R = TMA do capital próprio (k0 ou ke)

** O prêmio de risco de mercado é a taxa de retorno acima dataxa livre de risco que um investidor poderia obter em umacarteira de ativos bem diversificada

O BETA representa o risco sistemático ou de mercado e representa a medida de

sensibilidade de oscilação da rentabilidade do ativo em relação ao mercado.

135

O BETA mede a volatilidade de um ativo em relação a um ativo

médio, que possui, por definição, ββββ = 1

BETA

ββββ = 1 ⇒⇒⇒⇒ ação X tende a variar na mesmaproporção do mercado

ββββ < 1 ⇒⇒⇒⇒ ação X tende a variarpercentualmente menosque o mercado

ββββ > 1 ⇒⇒⇒⇒ ação X tende a variarpercentualmente maisque o mercado

136

Mês Ibovespa Ação BAbril 1,50% 1,62%Maio 1,21% 1,47%

Junho 1,70% 2,05%Julho 0,80% 0,84%

Agosto -0,55% -0,67%Setembro 0,95% 1,00%Outubro 1,20% 1,16%

Cálculo do BETA da Ação B(para uma janela de 7 meses)

RENTABILIDADE M ENSAL

E1

E1

Determinação do Coeficiente BETA

y = 1,167x - 0,0007

R2 = 0,9842

-1,00%

-0,50%

0,00%

0,50%

1,00%

1,50%

2,00%

2,50%

-1,00% -0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00%

IBOVESPA

Açã

o B

BETA = 1,167

AçãoE1

Mês Ibovespa Ação CAbril 1,15% 2,03%Maio 2,34% 5,60%

Junho 0,87% 0,11%Julho 0,55% 0,06%

Agosto 1,89% 6,20%Setem bro 3,11% 5,57%Outubro 1,45% 1,66%

Cálculo do BETA da Ação C(para uma janela de 7 meses)

RENT ABILIDADE M ENSAL

E2

E2

Determinação do Coeficiente BETA

y = 2,6343x - 0,0124

R2 = 0,7637

0,00%

1,00%

2,00%

3,00%

4,00%

5,00%

6,00%

7,00%

8,00%

0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 3,00% 3,50%

IBOVESPA

Açã

o C

BETA = 2,6343

E2

137

BETARentabilidade

Esperadada Ação Y

Rentabilidadedo Mercado

ββββ =2

20%

10%

Quanto maior for o BETA, mais elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, maior seu valor esperado:

INVESTIMENTO AGRESSIVO

BETARentabilidade

Esperadada Ação W

Rentabilidadedo Mercado

ββββ =0.5

5%

10%

Quanto menor for o BETA, menos elevado se apresenta o risco da ação e, ao mesmo tempo, menor seu valor esperado:

INVESTIMENTO DEFENSIVO

138

Taxa Requeridade Retorno (%)

Risco ββββ0

Risco - Retorno

BETA = medida de risco de mercado

Aplicação do CAPM: Exemplo Ilustrativo

Um projeto tem o seguinte fluxo de caixa previsto, em US$.103, para uma estrutura de 100% de capital próprio.

O beta estimado é de 1,5, a rentabilidade do mercado é de 16% e a taxa sem risco é de 7%. Calcule o VPL do projeto:

F0 F1 F2 F3

-500 +240 +360 +450

Solução

CAPM: k0 = RF + ββββ (RM - RF) = 7% + 1,5 (16% - 7%)

k0 = 20,5% (TMA)

VPL = - 500 + 240 / (1,205) + 360 / (1,205)2 + 450 / (1,205)3

VPL = 204,29

139

RISCO e BETA

Com a diversificação, ações individuais com risco podem ser combinadas de maneira a fazer com que um conjunto de títulos tenha quase sempre menos risco do que qualquer um dos componentes isoladamente.

Uma certa proporção de risco desaparece com a diversificação.

RISCO e BETA

O desvio-padrão de uma ação isolada não é uma boa medida de como o desvio-padrão do retorno de uma carteira se altera quando uma ação lhe éacrescentada.

Portanto, o desvio-padrão do retorno de um título não é uma boa medida de seu risco, quando quase todos os investidores detêm carteiras diversificadas.

140

RISCO e BETA

Um título com elevado desvio-padrão não tem, necessariamente, um impacto forte sobre o desvio-padrão dos retornos de uma carteira ampla.

Inversamente, um título com desvio-padrão reduzido pode acabar tendo um impacto substancial sobre o desvio-padrão de uma carteira ampla.

ESTA É A BASE DO CAPM

O CAPM indica que o beta, e não o desvio-padrão, é a medida apropriada de risco.

COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (R2)

• O Coeficiente de Determinação ou de Explicação (R2) é uma medida estatística que define a porcentagem de Y (variável dependente) que pode ser identificada pela equação de regressão linear

• Em termos financeiros, R2 permite que se conheça a parte do risco de uma empresa explicada pelas condições de mercado, o denominado risco sistemático (taxas de juros, política econômica etc) e a parcela decorrente de variáveis específicas de uma empresa (1 - R2), conhecida por risco não sistemático ou diversificável

141

APLICAÇÃO PRÁTICA

Considere os retornos hipotéticos de uma ação (Rk) e do mercado (RM), referentes aos últimos 5 anos:

A partir das formulações estatísticas já estudadas, ajusta-se a seguinte reta de regressão:

Rk = - 13,7778 + 1,1749 RM (R2 = 74%)

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 15% 18%

Utilizando-se a HP-12C, os passos são:

f →→→→ REG

7 17 1

14 20 2

22 29 3

10 24 4

5 18 5

0 g →→→→ y,r -13,7778 [ a ]

STO 0 -13,7778

0,8605 [ rk,M ]

2 0,7405 [ R2 ]

1 g →→→→ y,r -12,6029

RCL 0 -13,7778

1,1749 [ b ]

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 5% 18%

∧∧∧∧

∧∧∧∧

-

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER ∑∑∑∑ +

>>>><<<<x y

yx

Rk = -13,7778 + 1,1749 RM

R2 = 74%

142

• Este resultado indica, pelo conceito estatístico do R2, que 74% do risco da ação é de natureza sistemática e que 26% é decorrente de variáveis específicas da empresa, ou seja, risco não sistemático.

• A parcela menor do risco pode ser eliminada pela diversificação, não sendo considerada, portanto, nos cálculos de retorno demonstrados pelo CAPM.

Ano Rk RM

0 7% 17%1 14% 20%2 22% 29%3 10% 24%4 5% 18%

Rk = -13,7778 + 1,1749 RM

R2 = 74%

• Como foi verificado, o BETA da ação em questão é igual a 1,1749, ou seja, seu risco sistemático é 17,49% mais elevado que o risco do mercado como um todo.

• Admita, agora, que a taxa livre de risco da economia seja de 6,5% e a expectativa dos investidores é de que o prêmio pelo risco de mercado atinja a 8,5%.

• Determine, então, a remuneração mínima exigida pelo investidor desta ação.

Solução pelo CAPM

R = Rk + (RM - Rk) . ββββ

RM = 6,5% + 8,5% = 15%

R = 6,5% + (15% - 6,5%) . 1,1749

R = 16,49%

O retorno esperado desta ação deve ser, no mínimo, igual a 16,49%, que representa a TMA para se investir nesta ação.

R = 16,49%

143

RETA DO MERCADO DE TÍTULOSSecurity Market Line - SML

A reta do mercado de títulos relaciona os retornos desejados e seus respectivos indicadores de risco,

definidos pelo coeficiente BETA

A SML está inserida na lógica do CAPM de avaliar um título a partir da relação risco/retorno discutida

na teoria de carteiras

A reta do mercado de títulos (SML) e a reta do mercado de capitais (CML) são essencialmente a mesma coisa,

diferenciando-se apenas no grau de correlação dos ativos avaliados com o mercado

RETA DO MERCADO DE TÍTULOSSecurity Market Line - SML

A reta do mercado de capitais é utilizada preferencialmente para o estudo do risco e retorno desejado de ativos

eficientes, identificados de forma direta com a carteira de mercado

A reta do mercado de títulos, de outro modo, é aplicada na avaliação da relação risco/retorno de todos os ativos,

mesmo aqueles que não se relacionam perfeitamente com a carteira de mercado

144

EXEMPLO ILUSTRATIVOConsidere três ativos de risco com os seguintes indicadores esperados de desempenho:

O retorno médio esperado da carteira de mercado [E(RM)] está definido em 18% e a taxa de juros de ativos livres de risco em 7%. Pede-se:(a) determinar o retorno que os investidores devem exigir

de cada um desses ativos;(b) identificar na linha do mercado de títulos as posições

dos três ativos;(c) indicar os ativos sub e sobreavaliados.

Ativo Retorno Esperado RiscoE(R) (Beta)

A 22% 1,7B 20% 1,1C 18% 0,9

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(a) Retorno Esperado

Utilizando-se o CAPM: Rk = RF + ββββ (RM - RF)

RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RC = 16,9%

145

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(a) Retorno Esperado

Utilizando-se o CAPM: Rk = RF + ββββ (RM - RF)

RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RC = 16,9%

(b) Linha do Mercado de Títulos (SML): Rk = 7 + 11 ββββ

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% C

RC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββββ

B••••

••••

••••

Utilizando-se a HP-12C, os passos são:

f →→→→ REG

7 0 1

16,9 0,9 2

19,1 1,1 3

25,7 1,7 4

0 g →→→→ y,r 7,0 [ a ]

STO 0 7,0

1 [ rk,M /R2 ]

1 g →→→→ y,r 18,0

RCL 0 7,0

11,0 [ b ]

Ativo ββββ E(R)M 0,0% 7,0%C 0,9% 16,9%B 1,1% 19,1%A 1,7% 25,7%

∧∧∧∧

∧∧∧∧

-

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

∑∑∑∑ +

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

>>>><<<<x y

Rk = 11 + 7 ββββ

R2 = 100%

146

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(a) Retorno Esperado

Utilizando-se o CAPM: Rk = RF + ββββ (RM - RF)

RA = 7% + 1,7 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RA = 25,7%RB = 7% + 1,1 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RB = 19,1%RC = 7% + 0,9 (18% - 7%) ∴∴∴∴ RC = 16,9%

(b) Linha do Mercado de Títulos (SML): Rk = 7 + 11 ββββ

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% C

RC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββββ

B••••

••••

••••

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(c) Avaliação dos Ativos

Os ativos B e C encontram-se subavaliados, já que possuem risco baixo para o retorno oferecido. O retorno exigido do ativo B diante do risco oferecido é de 19,1%; o mercado, porém, espera um retorno de 20% nesse investimento.

O ativo C possui um risco menor que o do mercado, oferecendo, porém, um retorno esperado acima da carteira de mercado, indicando uma atratividade de compra.

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% C

RC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββββ

B••••

••••

••••

147

EXEMPLO ILUSTRATIVO - Solução

(c) Avaliação dos Ativos

O ativo A, situado abaixo da SML, encontra-se superavaliado, apresentando um risco elevado para os padrões de retorno oferecido. Para um ββββ = 1,7, o retorno que A deve produzir é de 25,7%, superior àtaxa esperada pelo mercado.

E(R) SMLRA=25,7%

22% A20%

RB=19,1% RM= 18% C

RC=16,9%

RF= 7%

0 0,9 1,0 1,1 1,7 ββββ

B••••

••••

••••

FIM

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