estatística 8.º ano

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Estatística Estatística 8.º ano

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Estatística

A Estatística é um ramos da Matemática que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, apresentar e interpretar determinados conjuntos de dados.

A Estatística tem por objectivo extrair informação de dados para assim obter uma melhor compreensão das situações que representam.

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Tipos de dados

Os dados estatísticos nem sempre são da mesma natureza. É diferente fazer um estudo sobre a cor dos olhos ou a cor do cabelo e um estudo sobre a altura ou o número de pessoas de um agregado familiar.

As primeiras duas variáveis (cor dos olhos e cor do cabelo) são expressas através de uma qualidade, categoria ou característica, não susceptível de medida, mas de classificação. São chamados dados qualitativos.

Outro exemplo deste tipo de dados é o “Estado Civil”. Este é expresso através das categorias “Solteiro”, “Casado”, “Viúvo” e “Divorciado”.

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Tipos de dados

As outras duas variáveis (altura e número de pessoas do agregado familiar) representam informação resultante de características susceptíveis de serem medidas. São chamados dados quantitativos.

Os dados quantitativos podem ser de natureza discreta ou contínua.

O número de pessoas de um agregado familiar é expresso através de um número inteiro, por exemplo:

7, 5, 6, 3, 3, 4, 2, 3, 6, 3, 2, 5

Número de pessoas que constituem o agregado familiar numa amostra de 12 famílias consideradas ao acaso.

Este tipo de dados é quantitativo discreto.

Mais exemplos de variáveis estatísticas discretas:Mais exemplos de variáveis estatísticas discretas:

• O número de operários das fábricas de têxteis de um país.

• O número de filhos das famílias que vivem num prédio.

• O número de contas abertas num mês nos diferentes bancos.

• O número de exemplares vendidos das obras de Saramago.

• Número de golos marcados por uma equipa nas diferentes jornadas de um campeonato.

• …5

O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer a observação, sabe-se que se vão encontrar uns dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na recta real por pontos isoladosisolados em número finito ou infinito.

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Tipos de dados

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Tipos de dados

Escolhida agora uma amostra de 12 pessoas ao acaso, os dados relativos à altura, em centímetros, podem ser os seguintes, por exemplo:

142, 175, 166, 133, 143, 144, 172, 163, 176, 193, 182, 185

Este tipo de dados é quantitativo contínuo. As alturas podem tomar qualquer valor, dependendo da precisão com que podemos ou queremos efectuar a medição.

Variáveis quantitativas contínuas são as que podem tomar qualquer valor de um intervalo.

Mais exemplos de variáveis estatísticas contínuas:Mais exemplos de variáveis estatísticas contínuas:

• Temperaturas registadas num observatório em cada hora.

• Peso dos recém-nascidos durante um mês, numa maternidade.

• Quantidade de nicotina de um cigarro.• Quantidade de chumbo em vários tipos de gasolina.

• Distância da casa ao emprego dos trabalhadores de uma empresa.

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O que caracteriza este tipo de variáveis é que, mesmo antes de se fazer uma observação, sabe-se que, teoricamente, se podem encontrar uns dados estatísticos que, em termos geométricos, seriam representados na recta real por qualquer ponto de ponto de um intervalo.um intervalo.

] [

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Variáveis estatísticas

Contínuas

Discretas

vasQuantitati

asQualitativ

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Organização e representação de dados

Dados Qualitativos

Relativamente a uma amostra de 20 portugueses, com mais de 18 anos, obtiveram-se os seguintes dados relativos ao seu estado civil.

Solteiro Solteiro Casado Solteiro Solteiro

Divorciado Solteiro Viúvo Casado Divorciado

Solteiro Casado Solteiro Solteiro Casado

Casado Solteiro Solteiro Casado Divorciado

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Organização e representação de dadosDados Qualitativos

Tabela de frequências

Estado Cívil(Valores da variável estatística)

N.º de pessoas(Frequência absoluta)

% de pessoas(Frequência relativa)

Solteiro 10 10/20 x 100 = 50%

Casado 6 6/20 x 100 = 30%

Viúvo 1 1/20 x 100 = 5%

Divorciado 3 3/20 x 100 = 15%

Total 20 100%

O tamanho ou dimensão da amostra é 20. Repara que a soma das frequências absolutas tem de ser igual ao tamanho da amostra e que a somas das frequências relativas igual a 100%.

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Dados Qualitativos

Como as variáveis qualitativas não tomam valores numéricos não existe a possibilidade de se determinar a média ou a mediana.

No entanto, pode determinar-se a moda da distribuição.

No exemplo, a moda corresponde ao estado civil “Solteiro”, uma vez que se repete com maior frequência.Pode escrever-se mo = “Solteiro”.

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Dados Qualitativos

Os dados qualitativos podem ser representados através de gráficos de barras ou gráficos circulares, como os abaixo representados.

Estado Cívil(Estudo efectuado a 20 portugueses, com mais de 18 anos de idade)

0

2

4

6

8

10

12

Solteiro Casado Viúvo Divorciado

Estado Cívil

N.º

de

pes

soas

Estado cívil(Estudo efectuado a 20 portugueses, com mais de 18 anos de idade)

Solteiro50%

Casado30%

Viúvo5%

Divorciado15%

Neste exemplo, o gráfico de barras foi construído com as frequências absolutas e o circular com as respectivas frequências relativas.

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Organização e representação de dadosDados Qualitativos

Repara que, nos gráficos de barras, cada uma das barras é separada da anterior. As barras têm todas a mesma largura e a sua altura é proporcional à respectiva frequência.

Nos gráficos circulares, o ângulo definido por cada um dos sectores é proporcional à frequência observada. Assim, para determinar a amplitude do sector relativo aos portugueses com o estado civil “Solteiro”, faremos:

(Nota: É o mesmo que fazer freq. relativa freq. relativa ××360º)360º)

360º 360 50 180º100% 50% 100

x x x×= ⇔ = ⇔ =

180º36020

10 =×

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Dados Quantitativos DiscretosDados Quantitativos Discretos

Na organização de dados quantitativos discretos podem usar-se técnicas semelhantes, quer na organização, quer na representação, às utilizadas para os dados qualitativos.

No entanto, como estamos a trabalhar com variáveis que assumem valores numéricos, temos a possibilidade de determinar, para além da moda, também a média e a mediana.

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Dados Quantitativos Discretos

A tabela acima refere-se a um estudo sobre o número de irmãos, tendo por base uma amostra de 135 alunos de uma Escola Básica do 2.º e 3.º ciclos.

N.º de irmãos N.º de alunos % de alunos

0 60 44,5%

1 40 29,6%

2 20 14,8%

3 10 7,4%

4 3 2,2%

5 2 1,5%

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EstatísticaOrganização e representação de dados


Observando a tabela é fácil verificar que a moda é ser filho único, isto é, ter 0 irmãos.

Logo: mo = 0.

N.º de irmãos

N.º de alunos

% de alunos

0 60 44,5%

1 40 29,6%

2 20 14,8%

3 10 7,4%

4 3 2,2%

5 2 1,5%

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O que fazer para determinar a média?

Vamos multiplicar cada valor da variável pela respectiva frequência absoluta. De seguida, somamos todos os resultados obtidos. Por último, dividimos pelo número total de observações (a dimensão da amostra).

N.º de irmãos

N.º de alunos

% de alunos

0 60 44,5%

1 40 29,6%

2 20 14,8%

3 10 7,4%

4 3 2,2%

5 2 1,5%

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N.º de irmãos

N.º de alunos

% de alunos

0 60 44,5%

1 40 29,6%

2 20 14,8%

3 10 7,4%

4 3 2,2%

5 2 1,5%

0 x 60 + 1 x 40 + 2 x 20 + 3 x 10 + 4 x 3 + 5 x 2 132 = = 0,97 (aprox. 1) 135 135

O número médio de irmãos por aluno é aproximadamente 1.

Escreve-se: 1≈x

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N.º de irmãos

N.º de alunos

% de alunos

0 60 44,5%

1 40 29,6%

2 20 14,8%

3 10 7,4%

4 3 2,2%

5 2 1,5%

Para determinarmos a mediana podemos usar as frequências relativas.

Vamos somando as frequências relativas até atingirmos o valor 50% ou superior.

Podemos, para isso, criar uma nova coluna na tabela.

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N.º de irmãos

N.º de alunos

% de alunos

%%acumuladaacumulada

0 60 44,5% 44,5%

1 40 29,6% 74,1%

2 20 14,8% 88,9%

3 10 7,4% 96,3%

4 3 2,2% 98,5%

5 2 1,5% 100%

A frequência relativa acumulada correspondente a 50% refere-se ao valor 1 da variável (n.º de irmãos).

Então, a mediana é 1.

Escreve-se:

1~

=x

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Dados Quantitativos Contínuos

Para efectuarmos um estudo sobre a altura dos alunos do 3.º ciclo da escola, escolheu-se uma amostra aleatória constituída por 23 alunos.

Os dados obtidos, em centímetro, foram os seguintes:

145 151 147 167 175 174 153 167 173 162

158 149 170 167 168 175 174 157 149 150

169 156 171

Como deveremos organizar este tipo de dados?

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Os dados quantitativos contínuos organizam-se de uma forma diferente dos discretos.Devemos, em primeiro lugar, identificar o valor mínimo e o valor máximo de entre todas as observações, bem como o número total de observações.

145 151 147 167 175 174 153 167 173 162

158 149 170 167 168 175 174 157 149 150

169 156 171

Neste caso, temos Xmin = 145 (valor mínimo) e Xmax = 175 (valor máximo),

sendo n = 23 (número total de observações).

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Os dados quantitativos contínuos organizam-se por classes ou intervalos de valores.Existem formas de determinar o melhor número de classes, tendo em conta o número de observações recolhidas.

Nota: Quando a variável é discretadiscreta e apresenta uma grande diversidade grande diversidade de dados, também se podem e devem agrupar os dados em classes.

Uma das formas de determinar o número de classes é consultando a tabela de Kelley:

Tabela de Truman L. Kelley

n 5 10 25 50 100 200 500

k 2 4 6 8 10 12 15

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Segundo a tabela, podemos formar 5 classes para organizarmos os dados que foram recolhidos.

Como vamos obter as classes?

Em primeiro lugar vamos efectuar a seguinte operação:

Xmax – Xmin

(Diferença entre o valor máximo e o valor mínimo das observações.)

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Temos, então:

175 – 145 = 30

Dividindo aquele valor pelo n.º de classes, obtemos a amplitude de cada uma das classes.

Neste caso: 30 / 5 = 6

O próximo passo é formar 5 classes, cada uma delas com amplitude igual a 6.

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Para formar a primeira classe, partimos do valor mínimo das observações que é, neste caso, 145.

Este é o limite inferior da classe. Para obtermos o limite superior da classe adicionamos o valor da amplitude ao limite inferior. Neste caso, o limite superior da classe é:

145 + 6 = 151.

A classe a considerar é a seguinte: [145, 151[ .

Nesta classe iremos colocar o número de observações cujo valor é igual ou maior do que 145 e menor do que 151.

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Para as classes seguintes vamos agir da mesma forma, tomando por limite inferior da classe seguinte, o limite superior da classe anterior.

Por exemplo:

[151, 157[ (151 é o limite superior da classe anterior)

[157, 163[

[163, 169[

[169, 175] (na última classe inclui-se o limite superior)

Nota:Nota: Se o limite superior da última classe não fizer parte dos valores observados, é possível também, colocar o intervalo aberto ([).

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Já temos, assim, as 5 classes formadas:

[145, 151[

[151, 157[

[157, 163[

[163, 169[

[169, 175]

Podemos, então, fazer uma tabela de frequências tendo em conta cada uma das classes.

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Tabela de frequências

Classes(Altura dos alunos)

N.º de alunos % de alunos

[145, 151[ 5 21,8%

[151, 157[ 3 13,0%

[157, 163[ 3 13,0%

[163, 169[ 4 17,4%

[169, 175] 8 34,8%

Total 23 100%

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Observando a tabela de frequências podemos verificar que uma das classes têm maior frequência de observações.

Classes(Altura dos alunos)

N.º de alunos % de alunos

[145, 151[ 5 21,8%

[151, 157[ 3 13,0%

[157, 163[ 3 13,0%

[163, 169[ 4 17,4%

[169, 175] 8 34,8%

A classe modal, neste caso, é a classe [169, 175].

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Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas.

Num histograma as barras são contíguas, ou seja, são unidas umas às outras.

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É também usual traçar-se uma linha que une os pontos médios das barras do histograma. À região limitada por essa linha chama-se polígono de frequências.

A linha a vermelho limita o chamado polígono de frequências..

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Exercício

Para estudar o peso dos alunos do 3.º ciclo de uma Escola Básica foi recolhida, aleatoriamente, uma amostra constituída por 15 alunos dessa Escola.

Os pesos (em kg) observados são os seguintes:

45,3 70,0 64,8 60,5 54,2 51,1 60,4 69,8 67,6

44,3 47,9 50,6 65,3 56,9 61,9

a) Constrói uma tabela de frequências absolutas e relativas.

c) Identifica a classe modal.

e) Constrói um histograma e o respectivo polígono de frequências.

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Exercício - Resolução

Variável estatística: X – Peso dos alunos

(Trata-se de uma variável quantitativa contínua)

45,3 70,0 64,8 60,5 54,2 51,1 60,4 69,8 67,6

44,3 47,9 50,6 65,3 56,9 61,9

n = 15 (dimensão da amostra = n.º total de observações)

Xmin = 44,3 Xmax = 70,0

n 5 10 25 50 100 200 500

k 2 4 6 8 10 12 15

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Tabela de frequências absolutas e relativas:

Peso dos alunos Contagem N.º de alunos % de alunos

[44,3 ; 50,8[ IIII 4 27%

[50,8 ; 57,3[ III 3 20%

[57,3 ; 63,8[ III 3 20%

[63,8 ; 70,3] IIII 5 33%

45,3 70,0 64,8 60,5 54,2 51,1 60,4 69,8 67,6

44,3 47,9 50,6 65,3 56,9 61,9

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Classe modal:

Peso dos alunos N.º de alunos % de alunos

[44,3 ; 50,8[ 4 27%

[50,8 ; 57,3[ 3 20%

[57,3 ; 63,8[ 3 20%

[63,8 ; 70,3] 5 33%

A Classe modal é a classe [63,8 ; 70,3] uma vez que é a que tem maior frequência.

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Histograma:

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Polígono de frequências (linha a vermelho):

1. Numa maternidade registaram-se os seguintes dados relativamente aos pesos , em kg, de 42 bebés que nasceram num dia.

2,60 3,00 3,82 4,23 3,75 3,01 4,05 2,75 3,25 2,50 4,20 2,55 4,35 3,122,90 3,72 4,12 3,23 3,22 2,50 3,23 3,82 2,55 3,50 3,65 4,44 3,45 3,333,18 2,65 3,87 4,02 3,05 3,80 4,04 3,95 3,25 3,25 3,47 3,07 3,67 4,07

5.1 Agrupa os dados em classes e constrói uma tabela de frequências.5.2 Constrói um histograma e um polígono de frequências.

Classes Freq. Absoluta Freq. Relativa

[2,50; 2,80[ 7 0,17

[2,80; 3,10[ 5 0,12

[3,10; 3,40[ 9 0,21

[3,40; 3,70[ 5 0,12

[3,70; 4,00[ 7 0,17

[4,00; 4,30[ 7 0,17

[4,30; 4,60[ 2 0,04

Total 42 1

2,60- 2,75- 2,50- 2,55- 2,50-2,55-2,65

3,00- 3,01-2,90-3,05-3,07

3,18-3,23-3,22-3,23-3,25-3,25-3,25-3,12-3,33

3,45-3,67-3,47-3,65-3,50

3,72-3,82-3,87-3,75-3,80-3,82-3,95

4,12-4,23-4,02-4,05-4,04-4,20-4,074,44-4,47

4,44-2,50=1,94

3,07:94,1 ≈

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1. Para que a média de filhos da Inês e da Sara seja 1,5, quantos filhos pode ter cada uma delas? Explica a tua resposta e apresenta todas as possibilidades.

2. Os pesos (em Kg) de 15 participantes numa prova de golf são os seguintes:86 84 73 72 72 69 73 60 73 75 66 58 66 65 85

2.1 Determina o peso médio dos participantes.

2.2 Três amigos fazem parte desta equipa. O peso médio destes três atletas é 65 kg; O peso de um deles é a mediana dos pesos de todos os jogadores; Os outros dois pertencem ao grupo dos 3 mais leves. Qual o peso de cada um dos amigos?

3. Segundo os meteorologistas, um mês considera-se seco se a precipitação total mensal (P), dada em milímetros, for inferior ao dobro do valor da temperatura média (T) desse mês, dada em graus centígrados (ºC), ou seja:

P<2TObserva a tabela, relativa à temperatura e à precipitação, na cidade do Porto, ao longo do ano de 1998.

Meses T- temperatura média mensal (ºC)

P- precipitação (mm)

Janeiro 8,8 179,3

Fevereiro 9,7 166,9

Março 11,6 144,7

Abril 13,3 92,8

Maio 16,7 87,2

Junho 18 51,6

Julho 19,4 16,5

Agosto 19,7 27,5

Setembro 18,6 61,5

Outubro 15,5 124,6

Novembro 11,9 118,8

Dezembro 9,1 164,3

3.1 Nesse ano o mês de Maio pode ser considerado um mês seco? Explica a tua resposta.

3.2 Qual foi a precipitação média nos meses de Julho, Agosto e Setembro?

4. Num clube desportivo, estão a seleccionar jogadores para participarem numa prova de lançamentos de dardos. As regras de selecção estão afixadas no cartaz. O alvo utilizado está representado abaixo.

O João e o Vítor inscreveram-se na prova de lançamento de dardos.Vítor

Pontos Frequência

31 132 233 134 435 0

4.1 A tabela indica os resultados finais obtidos pelo Vítor.Sabendo que o Vítor acertou sempre no alvo, quantos lançamentos efectuou?

JoãoPontos Frequência

31 132 033 034 135 0

4.2 A tabela indica os resultados obtidos pelo João após dois lançamentos. De seguida, vai efectuar o seu terceiro lançamento.Quantos pontos terá de fazer, neste lançamento, para ficar automaticamente seleccionado?Apresenta todos os cálculos que efectuares e explica a tua resposta.

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5. O Roberto tem 9 primos. Explica como farias para determinar a mediana das idades dos 9 primos do Roberto.

6. Hoje em dia, é possível ver um programa de televisão através de um computador. Na tabela que se segue, podes observar o número de pessoas (em milhares) que viu televisão num computador, no primeiro trimestre de 2006, em Portugal.

Mês Janeiro Fevereiro MarçoN.º de pessoas (em milhares)

680 663 682

6.1 De Janeiro para Fevereiro, o número de pessoas que viu televisão num computador diminuiu. Determina a percentagem correspondente a essa diminuição.

6.2 A média do número de pessoas que viu televisão, num computador, nos primeiros quatro meses de 2006, foi de 680 (em milhares). Tendo em conta os dados da tabela, quantas pessoas (em milhares) viram televisão num computador, durante o mês de Abril desse ano? Mostra como obtiveste a tua resposta.

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7.

estatística 8.º ano

Education