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01. Estatística descritiva. 02. Distribuição de probabilidade: discreta.
Noções de Estatística
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Estatística descritiva
Qualquer conjunto de dados, tais como o tempo de uma ligação
telefônica, a velocidade de processamento de um computador, a pro-
porção de participação no mercado das empresas de um determinado
setor, suscetibilidade de empresas a uma determinada mudança no
mercado, opinião dos alunos quanto à didática de um professor, etc.,
contém informação sobre algum grupo de indivíduos. As possíveis
diferenças entre indivíduos determinam a variação que está sempre
presente na análise de dados.
Uma característica que pode assumir diferentes valores de indi-
víduo para indivíduo é denominada variável, pois de outra forma se-
ria denominada constante.
A classificação das variáveis em qualitativas e quantitativas foi
apresentada na disciplina de Metodologia de Pesquisa. Caso não se
lembre, reveja o material de Metodologia de Pesquisa.
Desta forma, apenas para relembrar, como você faria a classifi-
cação das seguintes variáveis?
a) Número de páginas desta unidade;
b) peso dos funcionários do setor de marketing de umaempresa;
c) tipos de empresas em relação a adoção de determina-da técnica; e
d) tamanho de empresas (pequena, média e grande).
Respostas: a) quantitativa discreta; b) quantitativa contínua;
c) qualitativa nominal; d) qualitativa ordinal.
Os dados qualitativas são divididos em nominais e ordinais;enquanto os dados quantitativas são divididos em discretas econtínuas.
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Quando você coleta os dados para uma pesquisa, estas observa-
ções são chamadas de dados brutos. Um exemplo de dados brutos
corresponde ao tempo em minutos que consumidores de uma determi-
nada operadora de telefonia celular utilizariam em um mês (dados simu-
lados pelo autor a partir de um caso real). Os dados foram obtidos em uma
pesquisa de mercado e apresentados na forma em que foram coletados
(Tabela 1), por este motivo são denominados dados brutos*.
Geralmente, este tipo de dado traz pouca ou nenhuma informa-
ção ao leitor, sendo necessário organizar os dados, com o intuito de
aumentar sua capacidade de informação.
GLOSSÁRIO*Dados Brutos:–dados na forma emque foram coletados,sem nenhum trata-m e n t o . F o n t e :Lacombe (2004)
GLOSSÁRIO*Rol – é a mais sim-ples organizaçãonumérica. É a orde-nação dos dados emordem crescente oudecrescente.
*Amplitude Total –corresponde à dife-rença entre o maiore o menor valor ob-servado em um con-junto de dados. No-taremos por A.
Tabela 1: Tempo (T) em minutos de uso de telefone celular por consu-
midores (C) de uma determinada operadora
Como você pode observar na Tabela 1, a simples organização
dos dados em um rol* aumenta muito a capacidade de informação
destes. Na Tabela 2, você pode verificar que o menor tempo observa-
do foi 82 minutos, e o maior, 210 minutos, o que nos fornece uma
amplitude total* de variação da ordem de 128 minutos.
Outra informação que podemos obter nos dados por meio da
Tabela 2 (organizada em rol crescente) é que alguns tempos, como
122 min, 132 min, 138 min e 142 min, foram os mais freqüentes, ou
seja, os mais citados na pesquisa.
C
1
2
3
4
5
6
7
8
T
104
108
138
101
163
141
90
154
C
9
10
11
12
13
14
15
16
T
122
142
106
201
169
120
210
98
C
17
18
19
20
21
22
23
24
T
129
138
122
161
167
189
132
127
C
25
26
27
28
29
30
31
32
T
144
151
146
82
137
132
172
87
C
33
34
35
36
37
38
39
40
T
183
138
115
179
142
111
140
136
13
Então surge uma pergunta:
Como você pode organizar os dados de uma forma mais efi-ciente, na qual se possa apresentar uma quantidade maiorde informações?
Uma maneira de organizar um conjunto de dados para você
melhor representá-lo é por meio de uma tabela de distribuição de
freqüências (tabela onde são apresentadas as freqüências de cada uma
das classes).
Distribuindo-se os dados observados em classes* e contando-se
o número de observações contidas em cada classe, obtém-se a fre-
qüência de classe. Veja que a disposição tabular dos dados agrupa-
dos em classes, juntamente com as freqüências correspondentes, se
denomina distribuição de freqüências.
Por exemplo, para o caso do tempo em minutos do uso decelulares, pode-se desejar incluir em uma única classe todosos indivíduos que possuam tempo entre 128 e 138 minutosassim, a classe irá variar de 128 a 138 minutos.
GLOSSÁRIO*Classes: – Interva-los nos quais os va-lores da variávelanalisada são agru-pados.
Tabela 2: Tempo em minutos de uso de telefone celular por consumido-
res de uma determinada operadora (dados em rol crescente).
82
87
90
98
101
104
106
108
111
115
120
122
122
127
129
132
132
136
137
138
138
138
140
141
142
142
144
146
151
154
161
163
167
169
172
179
183
189
201
210
14
, para
n ¢ 100; ,
para n > 100
Este tipo de intervalo é
o mais utilizado.
Para identificar uma classe, deve-se conhecer os valores dos limites
inferior e superior da classe, que delimitam o intervalo de classe.
Neste ponto, surge uma dúvida.
Indivíduos que apresentem tempo exatamente iguais a 128 oua 138 minutos pertencem ou não a esta classe? (128 a 138)
Deste modo, surge a necessidade de definir a natureza do inter-
valo de classe, se é aberto ou fechado. Portanto, podemos ter exem-
plo de notação dos diferentes tipos de intervalos: Intervalos abertos*
128 min – 138 min; Intervalos fechados* 128 min |–|
138 min. Pode-se ter ainda intervalos mistos*, como por exemplo:
128 min |– 138 min.
Vamos, então, a partir dos dados do exemplo relativo ao tem-po de utilização dos celulares, construir uma distribuição defreqüência e ao longo deste exercício identificar conceitospresentes em uma distribuição de freqüências.
Então, vamos exercitar.
Para elaborar uma distribuição de freqüências é necessário que
primeiramente, se determine o número de classes (k) em que os da-
dos serão agrupados. Por questões de ordem prática e estética, sugere-
se utilizar de 5 a 20 classes. O número de classes (k) a ser utilizado,
pode ser calculado em função do número de observações (n).
Na pesquisa, como temos n = 40 consumidores, teremos, então,
o número de classes definido por = = 6,32, e como o
número de classes é inteiro, usaremos 6 classes. O arredondamento
utilizado neste material é o padrão de algarismos significativos (como
foi aprendido no Ensino Médio). O número de classes pode também
ser definido de uma forma arbitrária sem o uso desta regra.
GLOSSÁRIO*Intervalos abertos–os limites da classe(inferior e superior)não pertencem a ela.
*Intervalos fecha-dos – os limites declasse (superior einferior) pertencemà classe em questão.
*Intervalos mistos –um dos limites per-tence à classe, e ooutro, não.
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onde:
c = amplitude de
classe; A = amplitude
total; e k = número de
classes.
PM = onde:
LI: Limite inferior; e
LS: Limite superior
Após você determinar o número de classes (k) em que os dados
serão agrupados, deve-se, então, determinar a amplitude do interva-
lo de classe (c).
Para calcularmos a amplitude do intervalo de classe, vamos pri-
meiramente calcular a amplitude total dos dados (A), que
corresponde à diferença entre o maior valor observado e o menor
valor observado. No nosso caso, teremos A = 210 – 82 =128 mm.
Com base neste valor da amplitude total (A) calculado, vamos
obter a amplitude do intervalo de classe (c), como é mostrado a seguir:
Deve ficar claro para você, que existem outros procedimentos
para determinação da amplitude do intervalo de classe que podem ser
encontrados na literatura.
Conhecida a amplitude de classes, você deve determinar os in-
tervalos de classe. O limite inferior e o superior das classes devem ser
escolhidos de modo que o menor valor observado esteja localizado no
ponto médio (PM) da primeira classe.
Partindo deste raciocínio, então, o limite inferior da primeira
classe será:
Limite inf. 1ª = menor valor – .
No nosso caso, temos: Limite inf. 1ª = 82 – = 69,2 min
Definindo, então, o limite inferior da primeira classe, para obter-
mos as classes da nossa distribuição, basta que somemos a amplitude
do intervalo de classe a cada limite inferior.
Assim, teremos:
69,2 | – 94,8 primeira classe
94,8 | – 120,4 segunda classe
20,4 | – 146,0 terceira classe
146,0 | – 171,6 quarta classe
171,6 | – 197,2 quinta classe
197,2 | – 222,8 sexta classe
16
Então, você pode obter uma tabela como a apresentada a seguir.
A freqüência absoluta (fa) corresponde ao numero de ob-servações que temos em uma determinada classe ou em umdeterminado atributo de uma variável qualitativa e a freqüên-
cia relativa (fr) corresponde à proporção do número de ob-servações em uma determinada classe em relação ao totalde observações que temos.
Esta freqüência pode ser expressa em termos porcentuais. Paraisto, basta multiplicar a freqüência relativa obtida por 100.
Tabela 3: Distribuição de freqüências do tempo em minutos de uso de
telefone celular por consumidores de uma determinada operadora
Na tabela, aparece uma nova denominação chamada “freqüên-
cia”. Podem ter freqüências chamadas de freqüência absoluta (fa),
freqüência relativa (fr) e freqüência acumulada (discutida posterior-
mente).
O cálculo da freqüência relativa é obtido por meio da seguinte
expressão:
, com fai = freqüência absoluta da classe i.
Apresentando os dados na forma de distribuição de freqüência,
você consegue sintetizar as informações contidas neles, além de facili-
Classes (mm)
69,2 | – 94,8
94,8 | – 120,4
120,4 | – 146,0
146,0 | – 171,6
171,6 | – 197,2
197,2 | – 222,8
Total
Freqüência
?
?
?
?
?
?
17
tar sua visualização. Na Tabela apresentada a seguir, temos as freqüên-
cias (fa e fr) relacionadas ao tempo de utilização do aparelho celular.
Como ficaria, então, a interpretação da distribuição de freqüências?
Pode-se verificar claramente na Tabela 4 que os tempos de utili-
zação do celular das 40 pessoas avaliadas em questão estão concen-
trados nas classes segunda, terceira e quarta, decrescendo em direção
às classes do início e do fim da tabela. A apresentação dos dados em
forma de distribuição de freqüência facilita ainda o cálculo manual de
várias medidas estatísticas de interesse e sua apresentação gráfica.
Além das freqüências absolutas e relativas, muitas vezes pode-
se estar interessado na quantidade de observações que existe acima ou
abaixo de um determinado ponto na distribuição.
Desta forma, podemos trabalhar com a freqüência acumulada*.
A título de ilustração, você pode visualizar nas Tabelas 4 e 5,
respectivamente, as freqüências acumuladas para cima e para baixo
dos tempos de utilização das 40 pessoas avaliadas na pesquisa. A fre-
qüência acumulada apresentada na Tabela 4 pode ser obtida da se-
guinte forma: abaixo do limite superior da primeira classe, temos três
pessoas que estão presentes nesta classe, como pode ser visto na Ta-
bela 3 da distribuição de freqüências absoluta. Quando consideramos
a segunda classe, a freqüência acumulada corresponde ao número de
Tabela 4: Distribuição de freqüências do tempo em minutos de uso de
telefone celular por consumidores de uma determinada operadora
GLOSSÁRIO*Freqüência Acu-mulada – Freqüên-cia Acumuladacorresponde à somada freqüência da-quela classe às fre-qüências de todas asclasses abaixo dela.
Classes (mm)
69,2 | – 94,8
94,8 | – 120,4
120,4 | – 146,0
146,0 | – 171,6
171,6 | – 197,2
197,2 | – 222,8
Total
fa (consumidores)
3
8
16
7
4
2
40
fr (proporção de consumidores)
0,075
0,200
0,400
0,175
0,100
0,050
1,000
18
pessoas que temos abaixo do limite superior desta classe, ou seja, as
oito pessoas da segunda classe mais as três pessoas da primeira classe,
totalizando 11 pessoas abaixo de 120,4 minutos. Para as outras clas-
ses, o raciocínio é semelhante.
Um bom exemplo de aplicação das distribuições de freqüências
acumuladas corresponde à identificação de uma determinada freqüên-
cia abaixo ou acima de um determinado valor que não corresponde ao
limite superior ou inferior de uma classe qualquer.
Podemos, então, querer verificar qual a porcentagem de pessoas
que utilizam o celular por um tempo inferior a 146 minutos, e para
isto, basta consultar diretamente a Tabela 4 e verificar a freqüência
acumulada abaixo deste valor (6,75%), pois o valor 146 minutos
corresponde a um dos limites de classe apresentados nesta tabela.
E se você quiser saber a proporção de pessoas que utilizamo celular por menos de 150 minutos?
Para podermos obter esta freqüência, é necessário que venha-
mos a pressupor que os tempos de utilização estejam uniformemente
Tabela 5: Distribuição de freqüência acumulada do tempo em minutos
de uso de telefone celular por consumidores de uma determinada
operadora
Tempo (mim)
69,2 | – 94,8
94,8 | – 120,4
120,4 | – 146,0
146,0 | – 171,6
171,6 | – 197,2
197,2 | – 222,8
Total
Freq. acumulada
0
3
11
27
34
38
40
Freq. acumulada (relativa)
0,000
0,075
0,275
0,675
0,850
0,950
1,000
19
distribuídos dentro das classes. O cálculo é baseado nos dados da Ta-
bela 4 e são apresentados a seguir.
Freq. acumulada relativa abaixo da classe imediatamenteinferior a 150 (abaixo de 146) = 0,675; e
Freq. acumulada relativa abaixo da classe imediatamentesuperior a 150 (abaixo de 171,6) = 0,850;
Proporção de consumidores com tempo de uso abaixo de146,0 min = 0,675
Proporção de consumidores com tempo de uso abaixo de171,6 min = 0,850
Freq. entre 146,0 e 171,6 min = 0,175
de 146,0 a 171,6 min são 25,6 min
de 146,0 a 150,0 min são 4,0 min
assim,
(diferença) no tempo variação (diferença) na proporção
25,6 min -------------------------------------------- 0,175
4,0 min ------------------------------------------------- x
Portanto, fazendo o cálculo da regra de três apresentada anteri-
ormente, teremos o valor de x.
Portanto, como abaixo de 140,0 min existe uma proporçãode 0,675 e entre 140,0 e 150 min existe uma proporção de0,0273, conclui-se, então, que abaixo de 150 min existe umaproporção de 0,7023 (0,675 + 0,0273). Em termosporcentuais, isto corresponde a 70,23% dos consumidores.
20
É importante ressaltar que este resultado é aproximado, devido à
perda de informação pelo fato de a tabela ser intervalar, ou seja, as
classes estão em intervalos.
Quando você trabalha com variáveis qualitativas, os atributos
são as variações nominativas da variável. A construção da tabela con-
siste em contar as ocorrências de cada atributo. O resultado da conta-
gem define a freqüência absoluta do atributo. Para podermos entender
isto, tomemos como exemplo uma pesquisa na qual se procurou avali-
ar o número de pessoas de diferentes sexos em uma determinada em-
presa. Estes resultados são apresentados na Tabela 6.
Tomando, por exemplo, o caso de uma variável aleatória dis-
creta (conceito visto em Metodologia de Pesquisa), realizou-se no
SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor) de uma empresa um
estudo referente ao número de reclamações (N.R.) atendidas diaria-
mente, durante um certo mês, obtendo os seguintes resultados:
Tabela 6: Distribuição de freqüências do número de
funcionários em relação ao seu sexo em 2006
Sexo
Masculino
Feminino
Total
fa
20
30
50
fr
0,40
0,60
1,00
N.R.
0
2
1
5
3
2
Dia
7
8
9
10
11
12
N.R.
1
2
2
3
0
3
Dia
13
14
15
16
17
18
N.R.
0
0
1
2
3
5
Dia
19
20
21
22
23
24
N.R.
1
0
0
2
0
4
Dia
25
26
27
28
29
30
N.R.
0
3
4
0
2
1
21
Dispondo estes dados em um rol (crescente), tem-se:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 5 5
Podemos, então, apresentar a seguir estes dados em uma distri-
buição de freqüências. Neste caso, não é necessário definir intervalos
de classes, porque a variação dos valores é pequena.
Verificamos que os valores da variável discreta correspondem a
cada uma das classes.
Surge, então, uma pergunta:
As tabelas de distribuição de freqüências são a única formaque você tem de apresentar um conjunto de dados?
Para responder a esta pergunta, vamos falar um pouco sobre al-
gumas formas de representação gráfica de tabelas de freqüência.
Logicamente, dependendo do tipo de variável, temos um gráfico mais
adequado. Os diferentes tipos de gráfico, (histogramas, polígonos de
freqüência, ogivas, gráficos de setores, pictogramas e outros) permi-
tem uma melhor visualização de resultados. Estes gráficos podem ser
obtidos utilizando planilhas eletrônicas, como por exemplo, o Excel.
Tabela 7: Número de reclamações atendidas diariamente,
durante certo mês
Numero de reclamações por dia
0
1
2
3
4
5
Total
Número de dias (fa)
9
5
7
5
2
2
30
Freq. Relativa
0.3
0.17
0.23
0.17
0.07
0.07
1
22
Os histogramas* são gráficos utilizados para representar tabe-
las intervalares.GLOSSÁRIO
* h i s t o g r a m a –Histogramas: sãoconstituídos por umconjunto de retân-gulos, com as basesassentadas sobre umeixo horizontal, ten-do o centro da mes-ma no ponto médioda classe que repre-senta, e cuja altura éproporcional à fre-qüência da classe.
*Polígono de fre-qüências – é um grá-fico de análise noqual as freqüênciasdas classes são loca-lizadas sobre per-pendiculares levan-tadas nos pontosmédios das classes.
Já o polígono de freqüência*, você pode obter pela simples
união dos pontos médios dos topos dos retângulos de um histograma.
Completa-se o polígono unindo as extremidades da linha que ligam os
pontos representativos das freqüências de classe aos pontos médios
das classes, imediatamente, anterior e posterior às classes extremas,
que têm freqüência nula.
Figura 1: Histograma representativo da distribuição de
freqüências do tempo em minutos de uso de telefone celular
por consumidores de uma determinada operadora
Figura 2: Polígono de Freqüências do tempo em minutos de uso de telefone celular
por consumidores de uma determinada operadora
23
Quando temos uma tabela de variável qualitativa, um tipo de
gráfico adequado para apresentar os resultados corresponde ao gráfi-
co de setores, também popularmente conhecido como gráfico tipo
pizza. Sua construção é simples: sabe-se que o ângulo de 360º equiva-
le a 100% da área da circunferência; assim, para obter-se o ângulo do
setor cuja área representa uma determinada freqüência, basta resolver
uma regra de três simples, como a apresentada a seguir:
360º ---------------- 100%
xº ------------------- Freq. Relativa (Porcentual)
Os gráficos chamados de ogivas correspondem a um polígono
de freqüências acumuladas, nas quais estas freqüências são localiza-
das sobre perpendiculares levantadas nos limites inferiores ou superi-
ores das classes, dependendo se a ogiva representar as freqüências
acumuladas.
Figura 3: Gráfico do sexo de pessoas que trabalham em
uma determinada empresa
24
Após o estudo da construção de distribuições de freqüências e
gráficos que as representam, você deve ser capaz de organizar um
conjunto de dados, por meio de uma distribuição de freqüências (ab-
soluta, relativa, e acumuladas) e representá-lo graficamente.
Saiba mais...
Visite o site de como usar a planilha Calç, do pacoteOpenOffice, nas estatísticas descritivas, em: http://www2.ufpa.br/
dicas/open/oo-ind.htm
Vamos, então, fazer um exercício para fixar os conhecimentos
adquiridos. (As respostas estão no final do livro.)
-
Figura 4: Ogiva "abaixo de" do tempo em minutos que consumidores
de uma determinada operadora de telefonia celular utilizariam em um
mês se houvesse uma redução na tarifa de 20%
25
-
Exercício 1: tem-se a seguir o tempo em minutos de reuniões
em um setor de uma empresa.
GLOSSÁRIO*A média aritméti-ca, ou simplesmen-te média de um con-junto de n observa-ções, x1, x2,...,xn édefinida como:
O somatório (ä)corresponde à somade todos os valoresobtidos.
a) Construa a distribuição de freqüências absoluta, relativa eacumulada; e
b) Determine o número de reuniões em que o tempo foi me-nor do que 50, a partir da distribuição de freqüências.
Medidas de posição
As medidas de posição ou de tendência central constituem uma
forma mais sintética de apresentar os resultados contidos nos dados
observados, pois representam um valor central, em torno do qual os
dados se concentram. As medidas de tendência central mais emprega-
das são a média, a mediana e a moda.
A média aritmética* é a mais usada das três medidas de posi-
ção mencionadas, por ser a mais comum e compreensível delas, bem
como pela relativa simplicidade do seu cálculo, além de prestar-se bem
ao tratamento algébrico.
Considerando o caso do número de reclamações em um SAC
(ver em distribuições de freqüência), se você somar todos os valores
do número de reclamações e dividir pelo número de dias, você terá
então a média aritmética ( ) do número de reclamações.
Então, o valor obtido será: = 1,73 reclamações por dia.
45
50
42
41
52
51
44
41
50
46
50
46
60
54
52
58
57
58
60
51
26
Você pode interpretar este resultado da média como sendo onúmero de reclamações médio por dia, que é de 1,73, po-dendo ocorrer dias em que o número de reclamações podeser maior ou menor que o valor médio encontrado.
Portanto, de uma forma mais geral, podemos interpretar a média
como sendo um valor típico do conjunto de dados. Pode ser um valor
que não pertence ao conjunto de dados.
Se os dados estiverem agrupados na forma de uma distribuição
de freqüência em classes, lança-se mão da Hipótese Tabular Básica*
para o cálculo da média.
Então, você vai calcular a média por meio da seguinte expressão:
sendo xi: ponto médio da classe i; fai: freqüência absoluta da classe i;
fri : freqüência relativa da classe i.
Considerando o caso do tempo de uso em minutos do celular
(ver no item distribuições de freqüências), a média será dada por:
O valor de 82 apresentado na expressão corresponde ao ponto
médio da primeira classe, o qual foi obtido pela soma dos limites supe-
rior e inferior, dividido por dois, ou seja, a média aritmética. Os pon-
tos médios das outras classes são obtidos de forma similar.
GLOSSÁRIO*Hipótese TabularBásica– todas asobservações conti-das numa classe sãoconsideradas iguaisao ponto médio daclasse.
27
Existem outros tipos de média que podem ser utilizados, como
por exemplo, média ponderada (utilizada quando existe algum fator
de ponderação), média geométrica (quando os dados apresentam uma
distribuição que não é simétrica) e outras.
Às vezes, associam-se às observações x1,x
2,...,x
n determinadas
ponderações ou pesos w1,w
2,...,w
n, que dependem da importância atri-
buída a cada uma das observações; neste caso, a média ponderada é
dada por:
Como exemplo, você pode considerar um processo de avaliação
de um funcionário em três etapas. Um funcionário apresentou as se-
guintes notas durante a avaliação: 1ª etapa = 90; 2ª etapa = 70; 3ª etapa
= 85, e os pesos de cada etapa são 1, 1 e 3, respectivamente. Qual o
score médio final do funcionário?
Outro tipo de média corresponde à geométrica (Mg). Ela é cal-
culada pela raiz n-ésima do produto de um conjunto de n observações,
x1,x2,...,xn, associadas às freqüências absolutas f1,f2,..., fn, e, respecti-
vamente, é dada por:
Este tipo de média, você vai trabalhar na disciplina de Ma-
temática Financeira.
Em algumas situações, você verá que é necessária a informação
do número de observações que mais ocorre em um conjunto de dados.
28
No caso do número de reclamações no SAC, verifica-se que o que
mais ocorre é zero, ou seja, em vários dias não ocorre nenhuma recla-
mação. Assim, podemos, então, definir a moda (Mo) como sendo o
valor em um conjunto de dados que ocorre com maior freqüên-
cia. Um conjunto de dados pode ser unimodal (uma moda) ou amodal
(não possuir moda, pois não existe nenhum valor que ocorre com mai-
or freqüência) ou multimodal (possui mais de uma moda).
Quando os dados não estão em intervalos de classes, basta olhar
o valor que ocorre com maior freqüência.
Para dados agrupados em intervalos de classes, você pode cal-
cular a moda por meio do método de Czuber, que se baseia na influên-
cia das classes adjacente na moda, deslocando-se no sentido da classe
de maior freqüência. A expressão que você utilizará é:
onde:L
i: limite inferior da classe modal;
d1: diferença entre a freqüência da classe modal e a imediata-mente anterior;
d2: diferença entre a freqüência da classe modal e a imediata-
mente posterior; e
c: amplitude da classe modal.
No caso do tempo de uso de aparelhos celulares (ver a tabela no
item distribuição de freqüências), teremos que a classe modal é a ter-
ceira, pois apresenta maior freqüência. Utilizando a expressão mostra-
da anteriormente, teremos:
Uma característica importante da moda é que ela não é afetada
pelos valores extremos da distribuição, desde que estes valores não
constituam a classe modal.
29
Desta forma, a moda deve ser utilizada quando desejamos obter
uma medida rápida e aproximada de posição ou quando a medida deva
ser o valor mais freqüente da distribuição.
Outra medida de posição que você pode utilizar é a mediana (Md).
Em um conjunto de valores dispostos segundo uma ordem(crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma noconjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo nú-mero de elementos, ou seja, 50% dos dados são superiores àmediana, e 50% são inferiores.
O símbolo da mediana é dado por Md ou . A posição da medi-
ana é dada por meio da expressão: E (elemento central) = (n+1) / 2.
Considerando um conjunto de dados com número ímpar de ele-
mentos como (1, 2, 5, 9, 10, 12, 13), a posição da mediana será dada
por (7 + 1)/2 = 4ª posição. Portanto, a partir dos dados ordenados, o
número que se encontra na 4ª posição é o 9, e assim a mediana será
igual a 9. (Temos três valores abaixo e três valores acima ou 50%
acima da mediana, e 50% abaixo)
Caso o número de elementos do conjunto de dados for par, como
por exemplo, (1, 2, 6, 8, 9, 12, 11, 13), encontra-se a posição da medi-
ana (( 8 + 1)/2 = 4,5ª posição). Como a posição 4,5 está entre a 4ª e a
5ª posição, calcula-se a média entre os valores que ocupam estas posi-
ções. O valor encontrado de 8,5 corresponde à mediana.
Quando os dados estão agrupados na mediana devemos encon-
trar a classe mediana.
Se os dados estão agrupados em intervalos de classe, como no
caso do tempo de utilização do telefone, utilizaremos a seguinte ex-
pressão:
30
onde: li: limite inferior da classe mediana; n: número total de elemen-
tos; fantac
: freqüência acumulada anterior à classe mediana; fmed
: fre-
qüência absoluta da classe mediana e a amplitude da classe mediana.
Portanto, resolvendo o caso do tempo de utilização dos celula-
res, teremos que a posição da mediana será dada por E = 40/2 = 20ª
elemento, o qual está na terceira classe (120,4 | – 146), que corresponde
à classe mediana.
Em um conjunto de dados, a mediana, a moda e a média não
necessariamente devem apresentar o mesmo valor. Uma informação
importante é de que a mediana não é influenciada pelos valores extre-
mos. Comparando os resultados encontrados para uma amostra em
relação às medidas de posição estudadas e verificando a inter-relação
entre elas, você pode concluir que seus valores podem nos dar um
indicativo da natureza da distribuição dos dados, em função das re-
gras definidas a seguir:
Outras medidas de posição denominadas separatrizes serão de-
finidas a seguir.
A principal característica das medidas separatrizes consiste na
separação da série em partes iguais que apresentam o mesmo número
de valores.
As principais são os quartis, decis e percentis.
Os quartis são valores de um conjunto de dados ordenados, que
os dividem em quatro partes iguais. É necessário, portanto, três quartis
31
(Q1, Q
2 e Q
3) para dividir um conjunto de dados ordenados em quatro
partes iguais.Q1 : deixa 25% dos elementos abaixo dele.
Q2 : deixa 50% dos elementos abaixo dele e coincide com amediana.
Q3 : deixa 75% dos elementos abaixo dele.
A figura abaixo mostra bem o quartis:
Se considerarmos o exemplo do número de reclamações por dia
em um SAC, teremos de forma semelhante a figura anterior:
Para valores não tabelados, pode ser dito que o primeiro quartil
pode ser obtido como a mediana da primeira metade dos dados, e para o
terceiro quartil, como a mediana da segunda metade. Para dados tabela-
dos, a fórmula da mediana pode ser adaptada para os demais quartis.
Medidas de dispersão
Como foi visto anteriormente, podemos sintetizar um conjunto
de observações em alguns valores representativos como média, medi-
ana, moda e quartis. Em várias situações, torna-se necessário visualizar
como os dados estão dispersos. Tomando como exemplo várias em-
presas que apresentem salários médios iguais, podemos concluir, en-
tão, que a contribuição social (% do salário) será a mesma? Somente
32
O termo amplitude
total foi visto anterior-
mente na construção
de uma distribuição de
freqüência em classes.
Relembrando, é a
diferença entre o
maior e o menor valor
observados.
com base no salário médio, sim, mas estaríamos chegando a uma con-
clusão errada. A variação em termos de faixas salariais pode ser dife-
rente, apesar de apresentarem a mesma média. Pensando no que foi
dito anteriormente, considere o valor (em reais) ganho por dia de três
grupos de empregados (A: 70, 70, 70, 70, 70; B: 50, 60, 70, 80, 90; C:
5, 15, 50, 120, 160).
Podemos verificar que, apesar de apresentarem a mesma média
(70), os três grupos apresentam comportamento diferenciado, pois o
grupo A é o mais homogêneo, e o grupo C é o que apresenta maior
variação de ganho por dia. Portanto, devemos sempre inserir junto a
uma medida de posição uma medida que avalie esta distribuição, ou
seja, a variabilidade de um conjunto de dados. Portanto, quanto maior
a variabilidade, maior será a dispersão das observações.
Uma primeira medida de dispersão que vamos comentar é a
amplitude total. No caso dos ganhos diários, podemos obter os se-
guintes resultados:
AA = 70 – 70 = 0 A
B = 90 – 50 = 40 A
C = 160 – 5 = 155
Verificamos, então, que o grupo C é o que apresenta maior vari-
abilidade, e que o grupo A corresponde ao de menor variabilidade.
Deste modo, o grupo C corresponde àquele que teve maior vari-
abilidade em torno da média.
No caso de dados agrupados, a amplitude total é calculada por
meio da diferença entre o ponto médio da última classe e o ponto mé-
dio da primeira classe.
A amplitude total tem a desvantagem de só levar em conta os
dois valores extremos, por isso é apenas uma indicação aproximada
da dispersão. Outra desvantagem é que a amplitude total apresenta
muita variação de uma amostra para outra, mesmo que ambas sejam
extraídas da mesma população.
Portanto, você deve trabalhar com uma medida que leve em con-
sideração todas as observações. Desta forma, podemos querer verifi-
car o quanto um conjunto de observações está mais próximo ou mais
distante de uma medida, que no caso será a média. Então, você pode
33
calcular o desvio de cada valor em relação à média ( ), e se
fizermos o somatório destes desvios, o resultado será igual a zero. Se
você elevar este desvio ao quadrado e somar, teremos o que chama-
mos de soma de quadrado dos desvios. Dividindo este somatório pelo
total de observações, teremos uma idéia da dispersão das observações
em relação à média. Esta medida que acabamos de visualizar de forma
intuitiva corresponde à variância. Portanto, você pode concluir que a
variância sempre assumirá valores positivos.
Quando o nosso interesse é o de tirar inferências válidas paratoda a população a partir de uma amostra (porção repre-sentativa da população), deve-se trocar na fórmula davariância N por n – 1, onde:
N corresponde ao tamanho da população; e
n corresponde ao tamanho da amostra utilizada.
As expressões para cálculo das variâncias populacional e amostral
são apresentadas a seguir.
Quando temos os dados agrupados em intervalos de classes, o xi
corresponde ao ponto médio da classe, e fi à freqüência da classe.
Como a variância é calculada a partir dos quadrados dos desvi-
os, ela é um número que apresenta a unidade elevada ao quadrado em
relação à variável que não está elevada ao quadrado; isto se torna um
inconveniente em termos de interpretação do resultado. Por isso, defi-
niu-se uma nova medida, o desvio-padrão, que é a raiz quadrada da
variância, com mais utilidade e interpretação práticas, representada por
34
s ou s. A variância é uma medida que tem pouca utilidade na Estatís-
tica Descritiva, mas será extremamente importante na Inferência Esta-
tística e em combinações de amostras. Também é importante frisar
que, na grande maioria das situações, trabalhamos com amostras, en-
tão devemos utilizar o desvio-padrão amostral.
No caso dos ganhos diários, calculando a variância de cada um
dos grupos que correspondem a uma amostra, encontramos os seguin-
tes resultados:
sA = 0 reais; s
B = 15,81 reais; s
C=67,54 reais.
O desvio-padrão, quando analisado isoladamente, não dá mar-
gem a muitas conclusões. Por exemplo, para uma distribuição cuja
média é 300, um desvio-padrão de 2 unidades é pequeno, mas para
uma distribuição cuja média é 20, ele já não é tão pequeno.
Importante!
Condições para se usar o desvio-padrão ou variância para com-
parar a variabilidade entre grupos:
mesmo número de observações;
mesma unidade; e
mesma média.
Além disso, se quisermos comparar duas ou mais amostras de
valores expressas em unidades diferentes, não poderá ser possível fa-
zer a comparação por meio do desvio-padrão, pois ele é expresso na
mesma unidade dos dados. Também é necessário que os conjuntos de
observações tenham o mesmo tamanho. Podemos, então, considerar a
situação na qual se avaliou o custo indireto de fabricação (CIF) de um
produto em reais e o tempo gasto em uma máquina para fabricação
deste produto em segundos.
CIF
Tempo
x
175 reais
68 segundos
S
5 reais
2 segundos
35
A princípio, você poderia concluir que o CIF apresenta maior
variabilidade. Entretanto, as condições citadas anteriormente deveriam
ser satisfeitas para que se pudesse utilizar o desvio-padrão para compa-
rar a variabilidade. Como as condições não são satisfeitas, devemos ten-
tar expressar a dispersão dos dados em torno da média, em termos
porcentuais. Então, utilizaremos uma medida estatística chamada de
coeficiente de variação (CV). O coeficiente será dado por meio da ex-
pressão:
, onde s e foram definidos anteriormente
Para a situação do CIF e tempo, teremos:
Portanto, nesse grupo de indivíduos, o tempo de horas, máquina
apresenta maior dispersão do que o custo indireto de fabricação (CIF),
mudando, assim, a conclusão anterior.
Ao final desta parte de medidas de posição e dispersão, você
deve ser capaz de calcular as medidas de posição e dispersão, e
interpretá-las.
Caso não consiga, você deve voltar ao texto e fixar melhor os
conceitos.
Seguem abaixo exercícios para fixação dos conhecimentos ad-
quiridos nos assuntos de medida de posição e de dispersão. Você deve
resolver todos eles.
Exercício 2: a tabela abaixo apresenta uma distribuição de fre-
qüências das áreas de 400 lotes:
A partir da tabela acima, calcule:
36
a) média, mediana e moda;
b) desvio padrão e coeficiente de variação;
c) o ponto médio da sétima classe;
d) a amplitude do intervalo da segunda classe;
e) a freqüência relativa da sexta classe;
f) a freqüência acumulada da quinta classe;
g) o nº de lotes cuja área não atinge 700 m2;
h) o nº de lotes cuja área atinge e ultrapassa 800 m2; e
i) a classe do 72º lote.
Exercício 3: os dez funcionários de uma pequena empresa rece-
beram os seguintes salários, em reais:
230, 210, 100, 140, 160, 120, 390, 450, 100 e 200
Calcule as medidas de posição e dispersão em relação aos salários
Áreas (m2)
300 |– 400
400 |– 500
500 |– 600
600 |– 700
700 |– 800
800 |– 900
900 |– 1000
1000 |– 1100
1100 |– 1200
Nº de lotes
14
46
58
76
68
62
48
22
6
37
Exercício 4: uma loja vende cinco produtos básicos A, B, C, D
e E. O lucro por unidade comercializada destes produtos vale, res-
pectivamente $ 200,00; $ 300,00; $ 500,00; $ 1.000,00; $ 5.000,00. A
loja vendeu em determinado mês 20; 30; 20; 10; 5 unidades, respectiva-
mente. Qual foi o lucro médio por unidade comercializada por esta loja?
Exercício 5: uma empresa tem duas filiais praticamente idênticas
quanto às suas características funcionais. Um levantamento sobre os
salários dos empregados dessas filiais resultou nos seguintes valores:
Filial A: xA = 400 e S
A = 20
Filial B: xB = 500 e S
B = 25
Podemos afirmar que as duas filiais apresentam a mesma dispersão?
Saiba mais...
Sobre cálculo de médias e funções em planilhas, visite o site:http://www.juliobattisti.com.br/tutoriais/celsonunes/openoffice007.asp
Mais exercícios referentes ao assunto estão no site:
http://www.famat.ufu.br/prof/marcelo/exercicios.htm
Introdução a probabilidades
Quando estamos falando de probabilidade, queremos identificar
a chance de ocorrência de um determinado resultado de interesse, em
situações nas quais não é possível calcular com exatidão o valor real
do evento. Desta forma, trabalhamos com chances ou probabilidades.
Uma situação, para exemplificarmos este fato, está associada à
seguinte pergunta: meu vendedor poderá cumprir sua meta de venda
na semana que vem? O espaço amostral* simbolizado por S ou Wnesta situação será atinge a meta e não atinge a meta. Para calcular a
probabilidade de cumprir a meta, você pode usar a intuição (subjeti-
vo) ou usar a freqüência relativa das últimas dez semanas em que o
vendedor esteve trabalhando (objetivo).
Portanto, para calcularmos uma probabilidade, é necessário que
tenhamos um experimento aleatório*, que apresenta as seguintes ca-
racterísticas: a) cada experimento pode ser repetido indefinidamente
sob as mesmas condições (n); b) não se conhece a priori o resultado
do experimento, mas podem-se descrever todos os possíveis resulta-
dos; e c) quando o experimento for repetido um grande número de
vezes, surgirá uma regularidade do resultado, isto é, haverá uma esta-
bilidade da fração (freqüência relativa) da ocorrência de um par-
ticular resultado, onde r corresponde ao número de vezes que um de-
terminado resultado aconteceu.
Nos experimentos ou situações mencionadas, você pode notar
que a incerteza sempre está presente, o que quer dizer que, se estes
experimentos forem repetidos em idênticas condições, não se pode
determinar qual o resultado ocorrerá.
A incerteza está associada à chance de ocorrência que atribuí-
mos ao resultado de interesse.
Consideremos, como exemplo, os funcionários que trabalham
no setor de marketing de uma determinada empresa. Sabe-se que nes-
GLOSSÁRIO*Espaço amostral–conjunto de possibi-lidades, ou seja, ospossíveis resultadosassociados a um ex-perimento aleatório.
*Experimento alea-tório – qualquer pro-cesso que venha agerar um resultadoincerto ou casual.
42
te setor trabalham seis funcionários. Um experimento ao acaso seria a
escolha aleatória de um dos funcionários. Podemos considerar como
evento de interesse o sexo do funcionário escolhido. Você, então, vai
aplicar os conceitos vistos acima e novos conceitos associados a pro-
babilidades.
Conjunto de possibilidades (Espaço amostral): S = {Carlos,Jackeline, Giulyana, Girlene, Cláudio, Larissa}.
Conjunto de possibilidades favoráveis (Funcionários dosexo masculino que correspondem a um evento*): {Carlos,Cláudio}.
Qual a probabilidade de escolher um funcionário ao acaso eele ser do sexo masculino? (Sugestão: verificar o número defuncionários do sexo masculino).
Dados três eventos, A (funcionário ser do sexo feminino) e B
(seu nome começa com a letra G) e C (seu nome começa com a letra
C) dos funcionários do setor de marketing apresentado anteriormente:
A Æ B é o evento em que A e B ocorrem simultaneamente:{Giulyana, Girlene}.
A Ç C é o evento em que A ocorre ou C ocorre (ou ambos):{Carlos, Jackeline, Giulyana, Girlene, Cláudio, Larissa}.
A é o evento em que A não ocorre (complementar de A):{Carlos, Claudio}.
Dois eventos são considerados mutuamente exclusivos, se a
ocorrência de um exclui a ocorrência do outro.
Você pode, então, definir a probabilidade como uma função que
atribui um número real aos eventos de W (se A é um evento de W,
P(A) é a probabilidade de A), que satisfaz:
1. P(Å) = 0, P(W) = 1
GLOSSÁRIO*Evento – qualquersubconjunto de umespaço amostral.
43
2. 0 ¢ P(A) ¢ 1
3. Regra da soma: dados dois eventos mutuamente exclusi-vos A e C de W,
P(AÇC) = P(A) + P(C)
O símbolo Å corresponde à ocorrência de um evento impos-sível, ou seja, que não pode ocorrer no espaço amostral con-siderado.
OBS: Caso os eventos não sejam mutuamente exclusivos, na
regra da soma, devemos considerar que a intersecção será contada duas
vezes. Então, devemos retirar na regra da soma a intersecção.
P(AÇB) = P(A) + P(B) – P(AÆB)
Considerando os eventos A, B e C definidos anteriormente, cal-
cule as probabilidades mencionadas na página anterior para fixação
dos conceitos.
Para inserirmos outros conceitos de probabilidade, você deve
considerar os dados a seguir referentes ao acesso e cadastro em dois
sites, por pessoas em uma determinada região. O site 1 segue o padrão
normal, enquanto o site 2 corresponde a uma nova proposta de apre-
sentação de informações.
Site 1
Site 2
Total
Acessa e cadastra
no site
39.577
46.304
85.881
Total
48.249
53.601
101.850
Acessa e não
cadastra no site
8.672
7.297
15.969
Um acesso a um dos sites é escolhido ao acaso. Podemos consi-
derar, então, que o nosso espaço amostral (W) corresponderá ao con-
junto de 101.850 acessos.
Há os seguintes eventos de interesse:
S1 = número de acessos feitos no site 1.
44
S2 = número de acessos feitos no site 2.
AC = o site é acessado, e o cadastro é feito pelo internauta.
S1 Æ AC = o internauta acessa o site 1 e faz o cadastro no site.
S1Ç AC = o internauta acessa o site 1 ou faz o cadastro no site.
Você pode obter, então, algumas probabilidades como:
S2 = 1S Ý P(S2) = 527,0473,01)1P(1)1P( =-=-= SS
P(S1 Ç AC) = P(S1) + P(AC) – P(S1 Æ AC)
= 0,473 + 0,843 – 0,388
= 0,928
Se você relembrar a interpretação da probabilidade, consideran-
do A um evento de um espaço amostral associado a um experimento
aleatório, você pode ter duas formas de atribuir probabilidades aos
eventos de um espaço amostral:
P{A} é uma intuição (subjetiva) que se deposita na ocorrên-cia de A.
Interpretação freqüêntista (objetiva).
Quando n cresce: fn(A) se aproxima da P(A), por isso foram rea-
lizadas n repetições independentes do experimento.
No exemplo anterior, se você souber que um acesso sorteado é do
site 1, qual é a probabilidade de que ocorra a efetuação do cadastro?
45
Temos uma informação parcial: o acesso é do site 1.
Vamos designar a probabilidade de AC, quando se sabe que o
acesso ocorreu no site 1, que chamaremos de P(AC /S1) e denominá-
la probabilidade (condicional) de AC dado S1 (lembre-se que o
símbolo / não corresponde a uma divisão).
É natural atribuirmos:
Note que:
Portanto, você pode generalizar para dois eventos A e B quais-
quer de um experimento aleatório. Desta forma, podemos dizer que a
probabilidade condicional de A dado B (nota-se por P (A / B)) é defi-
nida como:
Podemos, então, definir a regra do produto, ou seja, a partir da
probabilidade condicionada definida anteriormente, obteremos a cha-
mada regra do produto para a probabilidade da interseção de dois even-
tos A e B de um espaço amostral:
Passe a probabilidade de ocorrência de B na probabilidadecondicionada e multiplique pela probabilidade de ocorrên-cia de A sabendo que B já aconteceu.
46
P (A Æ B) = P (A / B) . P (B)
Se dois eventos A e B são independentes, então P{A / B} = P{A}
ou P{B / A} = P(B).
Deste modo, se A e B forem independentes, você pode verificar que:
Veja esta outra situação, utilizando os conceitos de probabilida-
de condicionada e independência de eventos. Considere a tabela a se-
guir, representativa da distribuição da renda anual de produtores ru-
rais e duas cooperativas em uma determinada região.
Observando-se os dados acima, se verifica que a probabilidade
de um cooperado aleatoriamente escolhido ser:
a) da cooperativa A: P(A) = 115/200 = 0,575
b) da cooperativa B: P(B) = 85/200 = 0,425
c) de ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00:P(R1) = 110/200 = 0,550
d) da cooperativa B e ter renda entre R$ 15.000,00 eR$ 20.000,00: P(B Æ R1) = 40/200 = 0,20
e) ter renda entre R$ 15.000,00 e R$ 20.000,00 dado que éda cooperativa B: P(R1/B) = 40/85 = 0,4706 ou
Faixa de renda anual (em R$1.000)
15 a 20 (R1)
20 a 25 (R2)
25 a 30 (R3)
30 a 35 (R4)
Total
A
70
15
10
20
115
B
40
15
20
10
85
Total
110
30
30
30
200
Cooperativas
47
Para que sejam consi-
derados independen-
tes, a relação de
independência deve
ser válida para todas
as intersecções presen-
tes na Tabela 11.
Como P(R1) ¸ P(R1/B), conclui-se que os eventos cooperativa
e renda são dependentes.
Um exemplo de aplicação dos conceitos de independência de
eventos pode ser visualizado por meio do lançamento de uma moeda
não viciada (não existe preferência para cara ou coroa) três vezes.
Considere os seguintes eventos:
A = no primeiro lançamento da moeda, sai cara, e
B = no segundo lançamento da moeda, sai cara.
Obs: considere C = cara e R = coroa
Verifique se é verdadeira a hipótese de que os eventos A e B são
independentes. O espaço amostral e os eventos são apresentados a
seguir:
W = {CCC, CCR, CRC, CRR, RCC, RCR, RRC, RRR}
(A) = {CCC, CCR, CRC, CRR}
(B) = {CCC, CCR, RCC, RCR}
Os resultados que estão em negrito ocorrem no espaçoamostral (8) somente duas vezes.
P(A Æ B) = 2/8 = 1/4
P (A) = 4/8 = 1/2
P (B) = 4/8 = 1/2
Portanto,
P(A Æ B) = P (A) . P(B) => 1/4 = 1/2 . 1/2 ou
P (A / B) = P (A) => 1/2 = 1/2
48
Então, provamos que os eventos são independentes.
Vamos resolver alguns exercícios relacionados aos concei-
tos de probabilidade vistos anteriormente. (Os resultados
estão no final do livro.)
Exercício 1: as probabilidades de três vendedores, A, B e C,
que trabalham independentemente, efetivarem uma venda quando abor-
dam um cliente são 2/3, 4/5 e 7/10, respectivamente. Se cada um abor-
dar um cliente, qual a probabilidade de que pelo menos um efetive a
venda?
Exercício 2: A e B são dois mestres que já estão suficientemen-
te treinados em partidas de xadrez e jogam 120 partidas, das quais A
ganha 60, B ganha 40, e 20 terminam empatadas. A e B concordam
em jogar três partidas. Determinar a probabilidade de:
a) A ganhar todas as três partidas;
b) duas partidas terminarem empatadas; e
c) A e B ganharem alternadamente.
Exercício 3: num período de um mês, cem funcionários de uma
empresa que trabalha com resíduos nucleares, sofrendo de determina-
da doença, foram tratados. Informações sobre o método de tratamento
aplicado a cada funcionário e o resultado final obtido estão na tabela
abaixo:
A
24
24
12
B
16
16
8
Resultado
Tratamento
Cura total
Cura parcial
Morte
a) Sorteando-se aleatoriamente um desses funcionários, de-termine a probabilidade de que o funcionário escolhido:
49
a1) tenha sido submetido ao tratamento A;
a2) tenha sido totalmente curado;
a3) tenha sido submetido ao tratamento A e tenha sidoparcialmente curado; e
a4) tenha sido submetido ao tratamento A ou tenha sidoparcialmente curado.
Exercício 4: para selecionar seus funcionários, uma empresa ofe-
rece aos candidatos um curso de treinamento durante uma semana.
Ao final, eles são submetidos a uma prova, e 25% são classificados
como bons (B), 50%, como médios (M), e os demais 25%, como fra-
cos (F). Como medida de economia, o departamento de seleção pre-
tende substituir o treinamento por um teste contendo perguntas de co-
nhecimentos gerais e específicos. Mas, para isso, gostaria de conhecer
qual a probabilidade de um indivíduo aprovado no teste ser considera-
do fraco caso fizesse o teste. De acordo com os resultados, receberam
os conceitos: aprovado (A) ou reprovado (R). Sabendo que
P(A B) = 0,20; P(A M) = 0,25 e P(A F) = 0,05; encontrar P(A/F).
Variáveis aleatórias
Você pode definir uma variável aleatória como sendo uma fun-
ção que associa valores reais aos eventos de um espaço amostral, e
que pode ser discreta ou contínua.
Um exemplo de uma variável aleatória discreta (v.a) consiste
em verificar o número de ações que tiveram queda em um determina-
do dia, em uma carteira composta por cinco ações diferentes. A fun-
ção será dada por:
X= “número de ações que tiveram queda em um determinado
dia”. Define uma variável aleatória discreta, que pode assumir os va-
lores 0, 1, 2, 3, 4, 5.
50
Vamos considerar agora uma situação na qual se verificou o tem-
po gasto por um vendedor para convencer um cliente a adquirir um
determinado produto. A função será:
Y= “tempo gasto por um vendedor para convencer um cliente a
adquirir um determinado produto”. Define uma variável aleatória con-
tínua, que pode assumir infinitos valores.
Se uma variável aleatória X pode assumir os valores x1, x
2,..., x
n
com probabilidades respectivamente iguais a p1, p2,..., pn, e ,
tem-se definida uma distribuição de probabilidade.
É importante ressaltar que a variável aleatória tem notaçãode letra maiúscula, e seus possíveis valores, minúsculos, comoapresentado no parágrafo anterior.
Se a variável X em questão for discreta, sua distribuição é carac-
terizada por uma função de probabilidade (P(X=x)), que associa pro-
babilidades não nulas aos possíveis valores da variável aleatória.
Para o exemplo do número ações da carteira, as probabilidades
obtidas são mostradas na função de probabilidade que corresponde à
tabela abaixo.
X
P(X=x)
0
1/10
1
1/10
2
2/10
3
3/10
4
4/10
5
5/10 ä =1,00
Se a variável X for contínua, somente haverá interesse na proba-
bilidade de que a variável assuma valores dentro de determinados in-
tervalos, sendo sua distribuição de probabilidades caracterizada por
uma função densidade de probabilidade (f.d.p.), f(x), a qual deverá
possuir as seguintes propriedades:
f(x) ² 0;
51
A área compreendida entre os pontos a e b, da função f(x) eo eixo das abscissas, corresponde à probabilidade da variá-vel X assumir valores entre a e b.
Para o caso do tempo gasto para convencer um cliente a adquirir
um produto, podemos, por exemplo, ter a função abaixo, que corresponde
a uma distribuição normal que será vista posteriormente:
, que é a distribuição normal.
A função repartição ou distribuição acumulada, representada por
F(x), corresponde à probabilidade de a variável aleatória ser menor ou
igual a um determinado valor de x.
Se a variável for discreta, a distribuição acumulada será dada
por F(x) = P(X ¢ x), ou seja, você deve somar todas as probabilidades
que se tem abaixo de um determinado valor, inclusive este.
Já no caso de uma variável contínua, o F(x) será dado pela área
que vai de -¤ até o ponto x a ser considerado. Portanto, teremos:
Integral de -¤ até o ponto x (visto no módulo de Matemática).
Agora, você vai ver um exemplo de utilização destes conceitos.
Seja a seguinte variável aleatória contínua, definida pela função
densidade de probabilidade (f.d.p):
52
a) Obtenha o valor de k.
Como f(x) é uma fdp:
O resultado encontrado corresponde à inclinação da reta,ou seja, o quanto que a função aumenta, quando a variável xé acrescida de uma unidade.
b) calcular F(1).
F(1) = P(X 1) =
Para o estudo de variáveis aleatórias, até este ponto, considerou-
se que o resultado do experimento em questão seria registrado como
um único valor x. Todavia, existem casos em que há interesse por dois
resultados simultâneos, como por exemplo, observar o peso e altura
graficamente, tem-se:
53
de uma pessoa, o sexo e desempenho no trabalho, etc. Para tanto, faz-
se necessária a seguinte definição:
Sejam E um experimento aleatório, e S o espaço amostralassociado a E.
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias. Então, (X,Y) defineuma variável aleatória bidimensional, que pode ser discre-ta, contínua ou mista.
O principal objetivo da análise de variáveis aleatórias
bidimensionais é avaliar simultaneamente dois resultados de uma situ-
ação associando as probabilidades individuais e conjuntas.
Vamos, então, definir probabilidades ou distribuições conjuntas
e marginais.
A distribuição conjunta é a distribuição simultânea das duas va-
riáveis, ou seja, a intersecção das variáveis e as distribuições margi-
nais são as distribuições isoladas de cada variável. Estas distribuições
são assim chamadas por ocuparem, em uma tabela, a parte central e as
margens das tabelas, respectivamente. Você pode visualizar este fato
na tabela apresentada na página seguinte.
Se (X,Y) é uma variável aleatória bidimensional discreta, sua
função de probabilidade, representada por P(X = xi ;Y = y
i) que asso-
cia um valor p(xi, y
i) a cada valor do par (X,Y), deve satisfazer as
seguintes condições:
P(xi, yi) = 0
Veja a seguinte situação: uma pesquisa foi realizada para verifi-
car a existência de relação entre a utilização de um produto (baixa,
média ou alta) e o grau de instrução das pessoas (Fundamental, Médio
e Superior). Como os resultados associam duas variáveis, então temos
uma distribuição de probabilidade de variáveis aleatórias
bidimensionais. No resultado encontrado (mostrado a seguir), temos
um quadro chamada de contingência.
54
Vamos, então, calcular o quadro das probabilidades (dividindo
cada valor por 1.000 que é o tamanho da amostra utilizada.
Resolva agora estes dois exercícios e, caso tenha dúvida, releia o
texto relativo a variáveis aleatórias (os resultados estão no final do livro).
Exercício 5: uma empresa tem quatro caminhões de aluguel.
Sabendo-se que o aluguel é feito por dia e que a distribuição diária do
número de caminhões alugado é a seguinte, determine:
Alta
Média
Baixa
Total
Superior
65
20
15
100
Total
285
470
245
1000
Médio
120
100
80
300
Fundamental
100
350
150
600
InstruçãoUtilização
Alta
Média
Baixa
Total
Superior
0.065
0.020
0.015
0.100
Total
0.285
0.470
0.245
1.000
Médio
0.120
0.100
0.080
0.300
Fundamental
0.100
0.350
0.150
0.600
InstruçãoUtilização
Distribuição Marginaldo Grau de Instrução.
Distribuição Conjun-ta do Grau de Ins-trução e Utilização.
DistribuiçãoMarginal daUtilização.
a) Qual é a probabilidade de alugar num dia mais de doiscaminhões?
b) Qual é a probabilidade de alugar no mínimo um cami-nhão?
Nº de caminhões alugados / dia
Probabilidade de alugar
0
0,1
1
0,2
2
0,3
3
0,3
4
0,1
55
c) Qual a probabilidade de alugar no máximo dois caminhões?
d) Determine a função de distribuição acumulada.
e) Qual o valor de F(3)? O que significa este resultado?
Exercício 6: a proporção de álcool em um certo composto pode
ser considerada uma variável aleatória com a seguinte função de den-
sidade:
Calcule a probabilidade da proporção de álcool neste composto
entre 0,20 e 0,25.
Distribuições de variáveis aleatórias discretas
Distribuição Uniforme Discreta
Enquadram-se aqui as distribuições em que os possíveis valores
da variável aleatória tenham todos a mesma probabilidade de ocorrên-
cia. Logo, se existem n valores possíveis, cada um terá probabilidade
igual a 1/n.
Ex. Seja o lançamento de um dado e a variável aleatória X =
“face superior do dado”,
tem-se que:
ou P(X=x) = 1/6
Desta forma, você pode verificar que esta variável segue uma
distribuição uniforme discreta, pois a variável é discreta, e todos os pos-
síveis resultados da variável aleatória têm a mesma probabilidade (1/6).
X
P(X=x)
1
1/6
2
1/6
3
1/6
4
1/6
5
1/6
6
1/6 ä = 1
56
Está relacionado com
o objetivo do trabalho
a ser realizado.
Distribuição de Bernoulli
Imagine uma situação na qual só podem ocorrer dois possíveis
resultados, “sucesso” e “fracasso”. Veja alguns exemplos:
uma venda é efetuada ou não em uma ligação de call center;
um cliente pode ser adimplente ou inadimplente;
uma peça produzida por uma cia. pode ser perfeita ou defei-tuosa; e
um consumidor que entra numa loja pode comprar ou nãocomprar um produto.
Associando-se uma variável aleatória X aos possíveis resulta-
dos do experimento, de forma que:
X= 1 se o resultado for “sucesso”,
X= 0 se o resultado for “fracasso”.
Então, a variável aleatória X, assim definida, tem distribuição
Bernoulli, com p sendo a probabilidade de ocorrer “sucesso”, e
q = (1-p) a probabilidade de ocorrer “fracasso”.
A função de probabilidade da Distribuição de Bernoulli é dada
por:
A média e a variância serão obtidas por:
Média = p
Variância = pq
Contextualizando a distribuição de Bernoulli, temos a seguinte
situação: a experiência tem mostrado que, durante as vendas de Natal,
um cliente que entra em uma determinada loja tem 60% de chance de
comprar um produto qualquer. Temos, portanto, uma probabilidade
de sucesso (o cliente adquirir um produto qualquer) de 0,6 e uma
57
Pense, como exemplo
de forma didática no
lançamento de uma
moeda 50 vezes, e
veja se esta situação se
enquadra nas condi-
ções da distribuição
binomial.
probabilidade de não adquirir um produto de 0,4 (vem da diferença
q = 1-0,6).
Distribuição binomial
Para que uma situação possa se enquadrar em uma distribuição
binomial, deve atender às seguintes condições:
são realizadas n repetições (tentativas) independentes;
cada tentativa é uma prova de Bernoulli (só podem ocorrerdois possíveis resultados); e
a probabilidade p de sucesso em cada prova é constante.
Se uma situação atende a todas as condições acima, então a va-
riável aleatória X = número de sucessos obtidos nas n tentativas terá
uma distribuição binomial, com n tentativas e p (probabilidade de su-
cesso).
Simbolicamente, temos: X ~ B(n,p) com a interpretação dada a
seguir:
A variável aleatória x tem distribuição binomial com n en-saios e uma probabilidade p de sucesso. (em cada ensaio).
A função de probabilidade utilizada para cálculo de probabili-
dades, quando a situação se enquadra na distribuição binomial, será
dada por meio da seguinte expressão:
, onde n! corresponde ao fatorial de n.
p = probabilidade de “sucesso” em cada ensaio
q = 1-p = probabilidade de “fracasso” em cada ensaio
58
Como na binomial são
n ensaios de Bernoulli
e a distribuição tem
média p, a média da
binomial será np.
Raciocínio semelhante
é feito para a
variância.
Para exemplificar a utilização da distribuição binomial, você deve
considerar que pessoas entram em uma loja no período próximo ao
Dia das Mães. Sabe-se que a probabilidade de uma pessoa do sexo
masculino comprar um presente é de 1/3. Se entrarem quatro pessoas
do sexo masculino nesta loja, qual a probabilidade de que duas ve-
nham a comprar presentes?
Se as quatro pessoas entram na loja e duas delas compram, po-
demos colocar as possibilidades da seguinte forma (C compra e não-
C não compra). O espaço amostral associado ao experimento é:
C, C, não-C, não-C ou C, não-C, não-C, C ou C, não-C, C,não-C ou
não-C, não-C, C, C ou não-C, C, não-C, C ou não-C, C, C,não-C
Logo, calculando as probabilidades usando as regras do “e”
(multiplicação, pois são independentes) e do “ou” (soma), a probabi-
lidade de dois clientes do sexo masculino comprarem presentes é:
z
Agora, você deve calcular utilizando a função de probabilidade
apresentada anteriormente e verificar que o resultado será o mesmo.
Os valores da média e da variância da distribuição binomial são:
Média = np
Variância = npq
Um outro exemplo de utilização da distribuição binomial é o
seguinte. Em um determinado processo de fabricação, 10% das peças
59
produzidas são consideradas defeituosas. As peças são acondiciona-
das em caixas com cinco unidades cada uma. Considere que cada peça
tem a mesma probabilidade de ser defeituosa (como se houvesse repe-
tição no experimento de retirar uma peça).
a) Qual a probabilidade de haver exatamente três peças de-feituosas numa caixa?
P = 0,1 n = 5
b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peças defei-tuosas em uma caixa?
c) Qual a probabilidade de uma caixa não apresentar nenhu-ma peça defeituosa?
d) Supondo que a empresa pague uma multa de R$ 10,00por caixa que apresente peças defeituosas, qual o valor espe-rado desta multa em um lote de 1.000 caixas?
P(uma caixa ter peça defeituosa) = 1- P(X=0) = 0,4095
Temos, então, uma nova variável aleatória (número de caixas
com peças defeituosas), a qual chamaremos de Y em um lote de 1.000
caixas, que segue uma distribuição binomial com n=1.000 e p=0,4095.
E(Y) = np = 1000.0,4095 = 409,5 caixas.
Multa Esperada = 409,5 . R$ 10,00 = R$ 4.095,00
Distribuição de Poisson
Você pode empregar a distribuição de Poisson em situações nas
quais não está interessado no número de sucessos obtidos em n tenta-
tivas, como ocorre no caso da distribuição binomial, entretanto este
número de sucessos deve estar dentro de um intervalo contínuo, ou
seja, o número de sucessos ocorridos durante um intervalo contí-
nuo, que pode ser um intervalo de tempo, espaço, etc. Imagine que
você queira estudar o número de suicídios ocorridos em uma cidade
durante um ano ou o número de acidentes automobilísticos ocorridos
numa rodovia em um mês, ou o número de defeitos encontrados em
60
Como o intervalo em
que se deseja calcular
a probabilidade é um
dia, então, o l será
igual a 3.
um rolo de arame ovalado de 500 m. Estas situações são exemplos
que se enquadram na distribuição de Poisson.
Note que, nos exemplos acima, não há como você determinar a
probabilidade de ocorrência de um sucesso, mas sim a freqüência média
de sua ocorrência, como por exemplo, dois suicídios por ano, que de-
nominaremos l.
Em uma situação com estas características, a variável aleatória
X = número de sucessos em um intervalo contínuo terá uma distribui-
ção Poisson, com (freqüência média de sucesso). Simbolicamente,
podemos utilizar a notação X ~ P(l).
A variável aleatória x tem uma distribuição de Poisson comuma freqüência média de sucesso l.
A função de probabilidade da distribuição de Poisson será dada
por meio da seguinte expressão:
Onde e =2,7182 (base dos logaritmos neperianos) e l corresponde
à freqüência média de sucesso no intervalo contínuo em que se deseja
calcular a probabilidade.
Vamos considerar que o Corpo de Bombeiros de uma determi-
nada cidade recebe, em média, três chamadas por dia. Queremos sa-
ber, então, qual a probabilidade de do Corpo de Bombeiros receber:
a) quatro chamadas num dia:
X~P(3)
b) nenhuma chamada em um dia:
61
Como o intervalo
desejado é uma sema-
na, ou seja, sete dias,
então, em uma semana
a freqüência média de
chamadas será de sete
dias vezes 3 chama-
das/dia.
c) 20 chamadas em uma semana:
l = 21 chamadas por semana
Uma característica da distribuição de Poisson é que as estatísti-
cas da distribuição (média e variância) apresentam o mesmo valor, ou
seja, são iguais a l. Então, teremos:
Média = Variância = l
Vamos fazer alguns exercícios relativos à distribuição
binomial e de Poisson.
Exercício 7: no Brasil, a proporção de microempresas que fe-
cham em até um ano é de 10%. Em uma amostra aleatória de 20
microempresas, qual a probabilidade de cinco terem fechado em até
um ano de criação?
R: P(X = 5) = = 0,03192
Exercício 8: entre 2.000 famílias de baixa renda, com quatro
crianças e considerando que a chance de nascer uma criança do sexo
masculino é igual à do sexo feminino, em quantas famílias se espera-
ria que tivessem:
n = 4 e p = ½
a) dois meninos? R: P(x=2) . 2.000 = 0,3750 . 2.000 = 750famílias.
b) Um ou dois meninos? R: [P(1) + P(2)] . 2.000 = (0,25 +0,375) . 2.000 = 1.250 famílias.
c) Nenhum menino? R: P(0) . 2.000 = 0,0625 . 2.000 = 125famílias.
62
Exercício 9: a probabilidade de compra de um aparelho de celu-
lar é igual a 30%. Observando oito compradores, qual a probabilidade
de quatro deles comprarem este aparelho?
R: P(X = 4) = = 0,13614
Exercício 10: chegam caminhões a um depósito à razão de 2,8
caminhões/hora, segundo uma distribuição de Poisson. Determine a
probabilidade de chegarem dois ou mais caminhões:
a) num período de 30 minutos;
b) num período de 1 hora; e
c) num período de 2 horas.
R: 1- [P(0) + P(1)]
a) l = 1,4 R= 0,40817
b) l = 2,8 R=0,76892
c) l = 5,6 R=0,97559