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Estatıstica Descritiva


Professora Ana Hermınia Andrade

Universidade Federal do AmazonasFaculdade de Estudos Sociais

Departamento de Economia e Analise

Perıodo 2016.2


Por que devo estudar estatıstica?

Estatıstica e um conjunto de metodos especialmente apropriadosa coleta, a apresentacao, a analise e a interpretacao de dados deobservacao, tendo como objetivo a compreensao de uma realidadeespecıfica para a tomada da decisao.

A estatıstica se divide em:

Estatıstica descritiva: Trata da organizacao, resumo eapresentacao dos dados.

Estatıstica Inferencial: A partir de uma amostra, tirarconclusoes sobre a populacao.


Conceitos Basicos

Populacao

Colecao completa de todos os elementos (escores, pessoas,medidas e outros) a serem estudados. A colecao e completa nosentido que inclui todos os sujeitos a serem estudados

Censo

Conjunto de dados obtidos de todos os membros da populacao

Amostra

Subconjunto de membros selecionados de uma populacao


Conceitos Basicos

Parametro

Medida numerica que decreve alguma caracterıstica de umapopulacao

Estatıstica

E uma medida numerica que descreve alguma caracterıstica daamostra

Modelo

Representacao simplificada da realidade

Variavel

Caracterıstica de interesse a ser investigada na populacao ou naamostra


Grande esquema das coisas


Classificacao de variaveis


Exemplos

Altura dos alunos

Posto militar (sargento, tenente, capitao,. . . )

Numero de filhos

Grupo sanguıneo

Idade

Time de futebol

Grau de escolaridade


Distribuicao de Frequencias

E uma tabela onde se preocupa em fazer corresponder osvalores (categorias) observados da variavel em estudo e asrespectivas frequencias.



Dados Brutos: Sao os dados obtidos atraves de algumprocedimento estatıstico, que estao disponıveis logo apos acoleta, mas que nao estao numericamente organizados.

Exemplo: 50 alunos foram entrevistados, fornecendo diversasinformacoes. Em relacao a variavel IDADE, por exemplo, temosque:

8 11 8 12 14 13 11 14 14 156 10 14 19 6 12 7 5 8 8

10 16 10 12 12 8 11 6 7 127 10 14 5 12 7 9 12 11 9

14 8 14 8 12 10 12 22 7 15

Como se pode observar no exemplo, os valores estao dispostos deforma desordenada e pouca informacao se consegue obterinspecionando os dados.



Rol: Sao os dados ordenados, de forma crescente oudecrescente. A vantagem de ordenar o conjunto deobservacoes esta em detectar de um modo mais amplo avariabilidade das mesmas. No exemplo anterior, dispondo osdados em ordem crescente, temos:

5 7 8 8 10 11 12 12 14 155 7 8 8 10 11 12 12 14 156 7 8 9 10 11 12 13 14 166 7 8 9 10 12 12 14 14 196 7 8 10 11 12 12 14 14 22

Note que dessa forma fica facil de verificar os valoresextremos (maximo e mınimo). Esse tipo de procedimento naoe viavel quando se tem um conjunto de dados muito grande,pois a analise se torna extremamente complicada.



Frequencia simples absoluta [fi ]: E o numero de vezes quecada valor da variavel se repete na amostra ou populacao.

Frequencia simples relativa [fri ]: E o numero de vezes queesse valor ocorre relativamente ao total da amostra [n]; nofundo representa a parcela da amostra.

fri =fin



Frequencia acumulada absoluta [Facj ]: E a soma donumero de ocorrencias para os valores iguais ou inferiores aovalor dado.

Facj =

j∑i=1

fi = f1 + f2 + . . . + fj .

Frequencia relativa acumulada [Fracj ]: E o numero devezes que a frequencia acumulada absoluta ocorrerelativamente ao total da amostra [n].

Fracj =

j∑i=1

fri = fr1 + fr2 + . . . + frj =f1 + f2 + . . . + fj

n.


Distribuicao de Frequencias por Valores

E o arranjo dos valores e suas respectivas frequencias, ou seja, e uma

tabela onde os valores da variavel aparecem individualmente. Teremos

uma tabela assim:

Xi fiX1 Numero de valores iguais a X1=f1X2 Numero de valores iguais a X2=f2X3 Numero de valores iguais a X3=f3...

...Xk Numero de valores iguais a Xk=fkΣ f1 + f2 + . . . + fk = n

Note que para cada Xi existe uma frequencia fi associada. Dessaforma, teremos que i = 1, . . . , k . Em outras palavras, dizemos quea tabela possui k linhas.


Distribuicao de Frequencias por Valores

Exemplo: Construir a distribuicao de frequencias por valores,utilizando os dados do exemplo anterior.

Xi (idade) fi (frequencia)05 206 307 508 709 210 511 412 913 114 715 216 119 122 1Σ 50


Exercıcio

De acordo com a Secretaria de Turismo da Paraıba, os quatroestados com maior participacao no numero de turistas quedesembarcaram no aeroporto de Joao Pessoa em 2009 foram:Sao Paulo (SP), Rio de Janeiro (RJ), Bahia (BA) e Parana(PR). Os dados de uma amostra de 30 turistas abordados noaeroporto sao apresentados a seguir:

1 Que tipo de variavel e essa?

2 Construa uma tabela de distribuicao de frequencias, usando fe fr.


Exercıcio

Estado de origem Frequencia Frequencia(Xi ) (fi ) relativa (fri )

BA 6 6/30 = 0, 2PR 5 5/30 = 0, 17RJ 6 6/30 = 0, 2SP 13 13/30 = 0, 43

Total (Σ) 30 1


Distribuicao de Frequencias por Classes

Classe: e cada um dos grupos de valores (ou categorias) emque se subdivide os dados observados.

Limite de classe: sao os valores que definem a classe. Saoconhecidos como limite superior (LS) e limite inferior (LI) daclasse.

Amplitude do intervalo de classe: e o comprimento daclasse, ou seja, a diferenca entre os seus limites superior einferior.

Ponto medio de classe: e o valor que representa a classepara efeito de calculo de certas medidas. E obtido atraves damedia artimetica entre os limites superior e inferior de classe.

Xmedio =LI + LS

2.



Podemos expressar os limites das classes de varias formas:

LI a LS : considera valores entre LI e LS , incluindo LI e LS .Ex: 10 a 12.

LI ` LS : considera valores entre LI e LS , incluindo LI eexcluindo LS . Ex: 10 ` 12.

LI a LS : considera valores entre LI e LS , excluindo LI eincluindo LS . Ex: 10 a 12.

LI − LS : nao determina claramente se LI e LS devem serconsiderados ou nao. Ex: 10− 12.



Exemplo: Distribuicao de frequencias por classes para asidades de 50 pessoas na amostra.

Classe de Idade (Faixa Etaria) fi5 ` 8 10

8 ` 11 1411 ` 14 1414 ` 17 1017 ` 20 120 ` 23 1

Σ 50


Roteiro para a Elaboracao de uma Distribuicao deFrequencias por Classes

Um roteiro para construcao de tabelas de frequencias pode serdescrito pelos seguintes passos:

1 Construcao do Rol;

2 Determinacao da Amplitude Total (AT );

3 Determinacao do Numero de Classes (c);

4 Determinacao da Amplitude das Classes (h);

5 Determinacao dos limites das classes (LI e LS);

6 Construcao da tabela de frequencias, utilizando um ou maistipos de frequencias. Sao utilizadas tipicamente a frequenciasimples absoluta, a frequencia simples relativa, a frequenciaacumulada absoluta e a frequencia acumulada relativa.



Amplitude Total: E a diferenca entre o maior e o menor valorobservado da variavel em estudo. Ou seja,

AT = Xmax − Xmın,

em que, Xmax representa o valor maximo observado da variavel, eXmın representa o valor mınimo observado da variavel. No exemploanterior,

AT = 22− 5 = 17



Numero de classes: Nao ha uma formula exata para o calculo donumero de classes. Em geral, utiliza-se um dos dois metodos aseguir:

a) c = 5, para n ≤ 25 e c ∼=√n, para n > 25, onde n e o

numero de observacoes.

b) Regra de Sturges: c ∼= 1 + 3, 3 log10 n, onde n e o numerode observacoes.



Amplitude das Classes (h): Deve-se, em geral, construir classesde mesma amplitude, a qual pode ser obtida atraves da expressao:

h ∼=AT

c.

Observacao: h deve ser arredondado para o maior inteiro. Noexemplo, h ∼= 17

7∼= 2, 428571 ∼= 3.



Tabela: Idade de uma amostra da populacao X .

Classe de Idade (Faixa Etaria) Fi Fri Facj FRacj5 ` 8 10 10/50 10 10/50

8 ` 11 14 14/50 24 24/5011 ` 14 14 14/50 38 38/5014 ` 17 10 10/50 48 48/5017 ` 20 1 1/50 49 49/5020 ` 23 1 1/50 50 1


Exercıcio

Em uma determinada empresa os funcionarios foramsubmetidos a uma avaliacao de desempenho. As notas deavaliacao dos 40 funcionarios da empresa seguem abaixo:

69 57 72 54 93 68 72 58 64 6265 76 60 49 74 59 66 83 70 4560 81 71 67 63 64 53 73 81 5067 68 53 75 65 58 80 60 63 53

Construa uma tabela de distribuicao de frequencias para os dadosacima (use a formula de Sturges, log 40 = 1, 6).


Graficos em Barras

Exemplo:


Graficos em Colunas


Graficos em Linhas


Graficos em Setores

A construcao de um grafico de setores parte do fato que o numerototal de graus de um arco demcircunferencia e 360. Assim, o totalde valores correspondera a 360◦. Cada uma dasparcelasmcomponentes do total de valores podera, entao, serexpressa em graus, e a correspondencia se fara atraves de umaregra de tres simples. Ou seja, os angulos correspondentes a cadacomponente da serie sao obtidos atraves de regra de tres simples.Por exemplo, para a componente “Automovel de Passeio”, temos

878−−−−−−360243−−−−−− x

de onde obtemos que x = 243×360◦

878 = 87480878∼= 99.65◦. Repetindo o

processo, obtemos os angulos correspondentes as outrascomponentes da serie.


Graficos em Setores


Histograma e Polıgono de Frequencia

Representacao grafica de uma distribuicao de frequencias por meio deretangulos justapostos, cujas areas sao proporcionais as frequencias dasclasses.

Polıgono de Frequencias: e obtido unindo-se os pontos medios das basessuperioresde cada retangulo atraves de segmentos de retas.

Exemplo: Considere os dados da tabela abaixo.

Tabela: Idade de Uma Amostra de Alunos da Escola XYZ. Joao Pessoa,2007

Ponto medio Idade fi F abi F ac

i

3 2 ` 4 3 3 265 4 ` 6 5 8 237 6 ` 8 10 18 189 8 ` 10 6 24 8

11 10 ` 12 2 26 2Σ 26


Histograma e Polıgono de Frequencia


Medidas de Posicao

As Medidas de Posicao que sao tambem chamadas de medidasde tendencia central e estabelecem valores em torno dos quais osdados se distribuem. Dizemos ainda que esse nome e dado pelofato dos dados observados tenderem, em geral, a se concentrar emtorno de valores centrais.


Media Aritmetica Simples

Se dispomos de um conjunto de valores da amostra (ordenados ou nao)podemos calcular sua media aritmetica simples por

X =

n∑i=1

Xi

n=

X1 + . . . + Xn

n,

no caso amostral, em que n representa o numero de indivıduos daamostra.


Media Aritmetica Simples

Exemplo: Abaixo, temos uma amostra de 10 criancas de 5 anos deidade em uma creche de Joao Pessoa, onde foram coletadasinformacoes referentes a seus pesos (em Kg).

23, 0 20, 2 22, 0 19, 0 25, 028, 8 24, 0 21, 0 27, 0 21, 0

Temos que n = 10 e obtemos X atraves de

X =23, 0 + 20, 2 + 22, 0 + 19, 0 + 25, 0 + 28, 8 + 24, 0 + 21, 0 + 27, 0 + 21, 0

10

=230, 0

10= 23, 0.


Propriedades da Media Aritmetica

P1) A soma dos desvios com relacao a media e nula, isto e,

n∑i=1

(Xi − X ) = 0.

P2) Somando-se ou subtraindo-se uma constante “a” a todos osvalores do conjunto, a media fica aumentada ou diminuidadessa constante. Ou seja, Y = X + a, a media de Y eY = X + a.

P3) Multiplicando-se ou dividindo-se uma constante “b” a todosos valores do conjunto, a media fica multiplicada ou divididapor essa constante. Ou seja, Y = bX , a media de Y eY = bX .


Vantagens e desvantagens da media

V 1 E a medida mais conhecida e de maior uso;

V 2 E facilmente calculavel;

V 3 Pode ser tratada algebricamente;

V 4 Serve para compararmos conjuntos semelhantes;

V 5 E particularmente indicada para dados que possuem os valoressimetricos em relacao a um valor medio e de frequencia maxima(um histograma pode ajudar nessa identificacao);

D1 E uma medida de tendencia central que por uniformizar os valoresde um conjunto de dados, nao representa bem os conjuntos querevelam tendencias extremas. Ou seja, e grandemente influenciadapelos valores extremos (grandes) do conjunto;

D2 Nao pode ser calculada para distribuicoes de frequencias com limitesindeterminados (indefinidos);

D3 So deve ser utilizada quando a distribuicao dos dados for simetrica(normal ou Gaussiana).


Mediana

A mediana de um conjunto de dados, que denotaremos por Md ,pode ser definida como o valor que divide a serie ordenada emduas partes iguais, em relacao a quantidade de elementos. Emoutras palavras, e o valor que ocupa o centro da distribuicao, ouseja, 50% dos elementos da serie sao menores do que ela e 50%dos elementos da serie sao maiores do que ela.

Exemplo: No Rol, temos:


Mediana

Podemos encontrar o elemento mediano de um conjunto de dadosda seguinte forma:

1) Se n e ımpar: a mediana sera o elemento que ocupar a posicaon+1

2 no rol de dados ordenados, ou seja, EMd = n+12 , em que EMd

representa o elemento mediano.

Exemplo: Sejam X1 = 2, X2 = −2, X3 = 6, X4 = 1 e X5 = 3.Ordenando os valores temos, −2, 1, 2, 3, 6. O elemento mediano edado por EMd = n+1

2 = 5+12 = 6

2 = 3. Ou seja, a mediana sera ovalor que ocupar a posicao 3 do rol. Daı, concluimos que Md = 2.


Mediana

2) Se n e par: a mediana sera a media aritmetica simples doselementos que ocuparem as posicoes n

2 e n2 + 1 no rol de dados

ordenados. Ou seja, teremos dois elementos centrais ou doiselementos medianos, dados por 1o

¯EMd = n2 e 2o

¯EMd = n2 + 1.

Exemplo: Sejam X1 = 2, X2 = −2, X3 = 6, X4 = 1, X5 = 3 eX6 = 5. Ordenando os valores temos, −2, 1, 2, 3, 5, 6. Oselementos centrais sao dados por 1o

¯EMd = n2 = 6

2 = 3 e2o

¯EMd = n2 + 1 = 6

2 + 1 = 3 + 1 = 4. A mediana sera a mediaaritmetica simples entre os valores que ocuparem as posicoes 3 e 4,ou seja, Md = 2+3

2 = 52 = 2, 5.


Vantagens e desvantagens da Mediana

V 1 A mediana nao e influenciada por valores extremos (grandes)de uma serie ou conjunto de dados;

V 2 A mediana e utilizada especialmente para distribuicoesassimetricas, mas pode ser utilizada para dados comdistribuicao simetrica tambem.

D1 Suas propriedades nao sao bem compreendidas por muitaspessoas;

D2 Nao e levada em consideracao na maior parte dos testesestatısticos.


Moda

A moda de um conjunto de dados, que denotaremos por Mo, e ovalor que ocorre com maior frequencia.

Exemplo: 1, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 8. Temos queo valor mais frequente e 6, logo, Mo = 6.

Observacao:

1 A moda pode nao existir. Neste caso, dizemos que o conjuntode dados e amodal.

Exemplo: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5

2 A moda pode nao ser unica.

Exemplo: 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5. Temos dois valores maisfrequentes: 3 e 5.


Moda de Dados Tabulados Nao-agrupados emClasses

Neste caso, obtemos a moda simplesmente identificando o valormais frequente na tabela.

Exemplo:

Tabela: Tipo sanguıneo em uma amostra de 820 doadores do HEMOPE.Recife, 2007.

Tipo Sanguıneo Numero de Doadores

O 417A 292B 94

AB 17

Total 820

Fonte: Dados Hipoteticos


Moda de Dados Tabulados Nao-agrupados emClasses

Nessa amostra, o grupo sanguıneo O ocorreu com maiorfrequencia. Entao, a moda nessa amostra e o tipo sanguıneo O.


Medidas de Dispersao

As medidas de posicao apresentadas fornecem a informacao dosdados apenas a nıvel pontual, sem ilustrar outros aspectosreferentes a forma como os dados estao distribuıdos na amostra.

Exemplo: Sejam quatro conjuntos A, B, C e D com os seguintesvalores:

A: 7, 7, 7, 7, 7

B: 5, 6, 7, 8, 9

C: 4, 5, 7, 9, 10

D: 0, 5, 10, 10, 10

Note que XA = 7, XB = 7, XC = 7 e XD = 7



No exemplo, percebe-se que apesar de constituıdos de valoresdiferentes, os grupos revelam uma mesma media aritmetica.

E possıvel notar que em cada grupo os valores se distribuemdiferentemente em relacao a media.

E preciso uma medida estatıstica complementar para melhorcaracterizar cada conjunto apresentado.

As medidas estatısticas responsaveis pela variacao oudispersao dos valores de um conjunto sao as medidas dedispersao ou de variabilidade, onde se destacam a amplitudetotal, a variancia, o desvio padrao e o coeficiente de variacao.Em princıpio, diremos que entre dois ou mais conjuntos dedados, o mais disperso (ou menos homogeneo) e aquele quetem a maior medida de dispersao.



As medidas de dispersao sao uteis para avaliar o grau devariabilidade ou de dispersao dos valores de um conjunto.Essas medidas proporcionam um conhecimento mais completosobre o fenomeno que se esta analisando, permitindoestabelecer comparacoes entre fenomenos de mesma natureza.

O objetivo maior sera, portanto, construir medidas queavaliem a representatividade da media.

Veremos algumas dessas medidas a seguir.


Amplitude Total

E a diferenca entre o maior e o menor valor da serie, ou seja,

AT = Xmax − Xmın

A amplitude e util para nos dar uma ideia do campo de variacao daserie. Verifica-se que a amplitude como medida de dispersao elimitada.


Desvio Medio

E definido como a media aritmetica dos desvios absolutos e podeser obtido atraves de

DM =

n∑i=1

∣∣Xi − X∣∣

n,

onde X e a media aritmetica simples.


Variancia

A variancia de um conjunto de dados (amostra ou populacao)mede a variabilidade do conjunto em termos de desvios quadradosem relacao a media aritmetica do conjunto. E uma quantidadesempre nao negativa e expressa em unidades quadradas doconjunto de dados, sendo de difıcil interpretacao.


Variancia

A variancia e definida como a soma dos quadrados dos desvioscom relacao a media, dividida pelo numero de elementos (ou pelonumero de elementos menos um, no caso amostral, comoveremos). Ou seja, dada a amostra, temos que

S2 =

n∑i=1

(Xi − X

)2

n − 1=

1

n − 1

{(n∑

i=1

X 2i

)− nX

2

},


Variancia

Observacao Importante: A equacao de S2 e utilizada quandonosso interesse nao se restringe a descricao dos dados mas,partindo da amostra, visamos tirar inferencias validas para suarespectiva populacao.


Desvantagem de uso da Variancia

Quando elevemos ao quadrado a diferenca Xi − X , a unidadede medida dos dados tambem fica elevada ao quadrado.

Exemplo: se a unidade de medida dos dados for metros, avariancia sera expressa em metros quadrados.

Em alguns casos, a unidade de medida ao quadrado nem farasentido.


Desvantagem de uso da Variancia

Comentarios Importantes

O interessante e ter uma medida que descreva a variabilidadedas informacoes com a mesma eficiencia da variancia, porem,que esteja na mesma escala em que estao os dados fornecidos.

Esta medida se chama Desvio Padrao.


Desvio Padrao

E definido como a raiz quadrada positiva da variancia e apresentaas mesmas propriedades desta, com a vantagem de ser expresso namesma unidade dos dados. De fato, e a medida de dispersao maisutilizada. Dada a amostra, a expressao do desvio padrao e dadapor

S =√S2


Exemplo:

Sejam as notas de quatro alunos em cinco provas de estatıstica.

Aluno Prova 1 Prova 2 Prova 3 Prova 4 Prova 5

Antonio 5 5 5 5 5

Joao 6 4 5 4 6

Jose 10 5 5 5 0

Pedro 10 10 5 0 0

Vamos calcular todas as medidas descritas anteriormente.


Exemplo:

Aluno P1 P2 P3 P4 P5 X AT DM Var D.P.

Antonio 5 5 5 5 5 5 0 0 0 0

Joao 6 4 5 4 6 5 2 0, 8 1 1

Jose 10 5 5 5 0 5 5 2 12, 5 3, 54

Pedro 10 10 5 0 0 5 5 4 25 5


Coeficiente de Variacao

E uma medida de dispersao relativa que serve para comparardois ou mais conjuntos de dados de unidades diferentes.

Mede o grau de concentracao dos dados em torno de suamedia. E obtido atraves das expressoes

CV =S

X

Nas expressoes acima temos que: X e a media aritmetica davariavel na amostra e S e o desvio-padrao amostral.

Pode-se denotar CV tambem em termos percentuais,bastando fazer CV × 100%.


Exemplo:

As alturas (em cm) de uma amostra de criancas de 8 anosforam medidas e destas foi concluıdo que a altura media erade 128 cm.

O desvio-padrao das alturas era de 12 cm.

O mesmo foi feito para uma amostra de criancas de 12 anos,onde a media obtida foi 158 cm e desvio-padrao igual a 14 cm.


Exemplo:

GRUPO X s CV

Criancas de 8 anos 128 12 CV = 12128∼= 0, 093

Criancas de 12 anos 158 14 CV = 14158∼= 0, 088

Embora, observando o desvio-padrao dos grupos, pareca que aaltura de criancas de 12 anos tem maior variabilidade, observandoo Coeficiente de Variacao, verificamos que a altura de criancas de8 anos varia mais que a altura de criancas de 12 anos.


Outro exemplo:

Considere a tabela de valores a seguir:

Valores X S CV (X )

1 - 2 - 3 2 1 0, 5

100 - 200 - 300 200 100 0, 5

Novamente:

O coeficiente de variacao mede o grau de concentracao dosdados em torno de sua media.

Embora, observando o desvio-padrao dos grupos, pareca que osegundo grupo tem maior variabilidade, porem observando oCoeficiente de Variacao, verificamos que a nao ha diferencaentre os grupos no que diz respeito a variabilidade.


Exercıcio

Para o conjunto de dados acima:

Construa uma tabela de intervalos iguais

Faca um histograma

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