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Estabilidad local para el modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraespecie. Gladys María Morales Ramirez. Director: Deccy Yaneth Trejos Angel. Universidad Distrital Francisco José de Caldas Facultad de Ciencias y Educación Proyecto Curricular de Matemáticas Bogotá D.C. 2015

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Estabilidad local para el modelo

discreto Lotka-Volterra con

competencia intraespecie.

Gladys María Morales Ramirez.

Director:

Deccy Yaneth Trejos Angel.

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Bogotá D.C.

2015

Estabilidad local para el modelo

discreto Lotka-Volterra con

competencia intraespecie.

Gladys María Morales Ramirez.

Trabajo de grado para optar al título de Matemática.

Director:

Deccy Yaneth Trejos Angel

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad de Ciencias y Educación

Proyecto Curricular de Matemáticas

Bogotá D.C.

2015

Nota de Aceptación.

Firma Director.

Firma Jurado.

Dedicado a todos aquellos que dealguna manera me han apoyado.

AgradecimientosMuchas gracias a mi familia por el apoyo, a los profesores que me guiaron en este procesoy a mis compañeros.

Índice General

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIPlanteamiento del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIIIJustificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IXObjetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XObjetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . X

1 Preliminares 11.1 Modelo de Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I Modelo presa-depredador de Lotka-Volterra sin competencia intraespecie. 3II Modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie. . . . . . . . . . . 6

1.2 Teorema de linealización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3 Discretización del modelo Lotka-Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

I Método de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16II Discretización de modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Modelo Discreto. 182.1 Puntos fijos del modelo discreto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2 Teorema resultado de la linealización. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Análisis del modelo discreto de Lotka-Volterra. . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Simulación Numérica. 26

4 Conclusiones 35

A Cálculo de los puntos fijos, caso discreto. 36

B Cálculo de la discretización del modelo de Lotka-Volterra. 37

IV

Índice de figuras

1. Punto centro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52. Campo Direccional, el punto (0, 0) del modelo continuo . . . . . . . . . . 123. Campo Direccional, el punto (0, y) del modelo continuo . . . . . . . . . . 134. Campo Direccional, el punto (x, 0) del modelo continuo . . . . . . . . . . 145. Campo Direccional, punto (x, y) del modelo continuo . . . . . . . . . . . 15

6. Presa y Depredador vr Tiempo. Punto (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . 277. Depredador vr Presa. Punto (0, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278. Campo Direccional. Punto (0, 0) asintóticamente estable . . . . . . . . . 289. Presa y Depredador vr tiempo. Punto (x, 0) asintóticamente estable . . . 2910. Presa vr Depredador. El punto (x, 0) es asintóticamente estable . . . . . 2911. Campo direccional, punto (x, 0) es asintóticamente estable . . . . . . . . 3012. Presa y depredador vr. tiempo. El Punto (0, y), es asintóticamente estable 3113. Depredador vr Presa. Punto (0, y) asintóticamente estable . . . . . . . . 3114. Campo direccional, punto (0, y) es asintóticamente estable . . . . . . . . 3215. Presa y Depredador vr. tiempo. Punto (x, y) es asintóticamente estable . 3316. Presa vr Depredador, el punto (x, y) es asintóticamente estable . . . . . . 3317. Campo direccional, punto (x, y) es asintóticamente estable . . . . . . . . 34

V

Introducción

Este trabajo de grado tipo monografía se desarrollará con base al artículo DYNAMICSOF A DISCRETE LOTKA-VOLTERRA MODEL escrito por Qamar Din publicadoen la Revista SpringerOpen con doi:10.1186/1687-1847-2013-95, en el que se estudia laestabilidad de un sistema discreto de Lotka-Volterra con competencia intraespecie.Al conjunto de ecuaciones, que describe la lucha constante por la supervivencia, entredos especies que viven en un mismo hábitat, siendo una de ellas el alimento de la otra,se le conoce como modelo Lotka-Volterra o presa-depredador. Este modelo o sistemadinámico, se hace con el objetivo de representar matemáticamente interacciones entredos o mas especies y cada alteración al modelo provee mas herramientas para entendery analizar esta dinámica.El modelo propuesto por Lotka y Volterra solo tenia en cuenta las especies, con el finde mejorar, se comenzó a hablar de la tasa de natalidad, tasa de mortalidad, nivel desaturación y otros parámetros para que al representar dicha situaciones fuesen lo masreal posible; como por ejemplo el modelo presa-depredador con competencia intraespecieen el cual existe un término logístico respecto a los miembros de la misma población.En este trabajo se ira desarrollando el modelo conforme se desarrolla la teoría.En el capítulo 1 se explica y analiza el modelo original [1, 7, 8] que esta representadopor el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales,

dxdt

= ax− byxdydt

= −cy + dxy,

también se analiza el modelo con competencia intraespecie [1] que es como sigue

dxdt

= ax− byx− ex2dydt

= −cy + dxy − fy2.

después se linealiza el modelo [4] y luego con el análisis de los autovalores se determina

VI

Introducción VII

si los puntos de equilibrio pueden ser o no estables[5]. Al finalizar el capítulo se explicael método de Euler [9] que se utilizará para luego discretizar el modelo Lotka-Volterracon competencia intraespecie llegando a

xn+1 = αxn−βxnyn1+γxn

yn+1 = δyn+εxnyn1+ηyn

,

que son las ecuaciones en diferencias racionales [10].En el capítulo 2 se introducirán conceptos y teoremas necesarios para desarrollar lateoría de ecuaciones en diferencias[2, 3]. Después se linealiza, obtienen y analizan lospuntos fijos del modelo de Lotka-Volterra discreto con competencia intraespecie.En el capítulo 3 utilizando Geogebra se harán algunas simulaciones numéricas [11], y sevisualiza el comportamiento de los puntos de equilibrio por medio de Pplane para java[6]El último capítulo es para las conclusiones.

VII

Planteamiento del problema

El modelo Lotka-Volterra es utilizado en diferentes aplicaciones; se han propuesto di-versas modificaciones y cada una es un modelo diferente. Al trabajar el modelo de formadiscreta, se encuentran las ecuaciones en diferencias y de forma análoga a las ecuacionesdiferenciales también se aplica la teoría de la estabilidad y surge la pregunta: ¿Bajo quécondiciones los puntos fijos del modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intraes-pecie son puntos localmente asintóticamente estable?

VIII

Justificación

Las ecuaciones diferenciales suelen describir fenómenos de forma continua mientras quelas ecuaciones en diferencias describen la evolución de ciertos fenómenos en el transcursodel tiempo discreto. Existen dos maneras de construir modelos de tiempo discreto: di-rectamente usando las propiedades del fenómeno a estudiar o vía discretización a partirde un modelo en tiempo continuo, empleando técnicas tales como el esquema de Eulerprogresivo, el no estándar u otros esquemas.Teniendo en cuenta que en los cursos de ecuaciones diferenciales no se abordan detalla-damente el estudio y el analisis de las ecuaciones en diferencias, se realizará el estudiode la teoria necesaria para comprender la segunda seccion del articulo DYNAMICS OFA DISCRETE LOTKA-VOLTERRA MODEL, en donde se estudia la estabilidad lo-cal de los puntos de equilibrio del modelo discreto presa-depredador con competenciaintraespecie.

IX

Objetivos

Objetivo General.

Analizar la estabilidad local del modelo discreto Lotka-Volterra con competencia intra-especie.

Objetivos Específicos.

Recopilar y estudiar la teoría necesaria para desarrollar el contenido del artículo.

Obtener y analizar los puntos de equilibrio del sistema.

Exponer algunas simulaciones numéricas mediante el programa Geogebra y pplanepara java, con el fin de comparar los resultados del análisis del sistema discreto conel modelo continuo.

X

1 Preliminares

La base de este trabajo es el análisis del modelo de Lotka-Volterra discreto, para elloen este capítulo se realiza una decripción del modelo continuo, se obtienen los puntosde equilibrio del modelo sin competencia intraespecie, se analiza el punto interior y serealiza el mismo proceso para el modelo con competencia. Para realizar el análisis almodelo es fundamental el concepto de punto de equilibrio y estabilidad, a continuaciónse presentan estas definiciones

Definición 1. Sistema Autonomo bidimensional: es un sistema de dos ecuaciones dife-renciales de la forma dx

dt= F (x, y)

dydt

= G(x, y)

donde supondremos que F y G son funciones de clase C1 en todo el espacio. Estascondiciones sobre F y G garantizan la existencia y unicidad de la solución, definida paratodo t ∈ R, del problema de valor inicialdx

dt= F (x, y)x(t0) = x0

dydt

= G(x, y)y(t0) = y0

para cualquier t0 ∈ R y (x0, y0) ∈ R2.

El sistema se denomina autónomo porque la variable independiente t no aparece explí-citamente en los segundos miembros de las ecuaciones dadas.

Definición 2. Considere un sistema autónomo

dxdt

= F (x, y)dydt

= G(x, y)

Con una solución en la que x(t) = x∗ y y(t) = y∗ para todo t ∈ R define únicamente

1

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 2

un punto (x∗, y∗) en el plano de fases y verifica que F (x∗, y∗) = G(x∗, y∗) = 0. Se diceentonces que (x∗, y∗) es un punto crítico o de equilibrio del sistema.

Definición 3. Sea (x∗, y∗) un punto de equilibrio para x = F (x, y) y y = G(x, y).Entonces se dice que (x∗, y∗) es

estable si, para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que siempre que la condición inicial(x0, y0) este en la región y

‖(x∗, y∗)− (x0, y0)‖ < δ,

entonces‖(F (x0, y0), G(x0, y0))− (F (x∗, y∗), G(x∗, y∗))‖ < ε

para todo t ≥ 0.

asintóticamente estable si, además de ser estable, existe un δ > 0 tal que siempreque la condición inicial (x0, y0) este en la región Ω con

‖(x0, y0)− (x∗, y∗)‖ < δ

entonceslımt→∞‖((F (x0, y0), G(x0, y0))− (F (x∗, y∗), G(x∗, y∗))‖ = 0

inestable es cualquier otro caso

El modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie, es un sistema de ecuacionesdiferenciales no lineales, así que se linealizará para facilitar el análisis de la estabilidad desus puntos de equilibrio. Estos puntos serán representados gráficamente. Y para finalizarse explicará el método de Euler para discretizar un modelo continuo.

1.1 Modelo de Lotka-Volterra

El matemático y biólogo italiano Vito Volterra (1860-1940), que nació en Ancona-Italia,y el matemático y físico de nacionalidad estadounidense Alfred J. Lotka (1880-1949),que nació en Lemberg, en el imperio austro-húngaro, hoy Ucrania, son los pioneros en lainvestigación en lo que hoy se conoce como Biología Matemática. Ambos trabajaron a lavez, pero de forma independiente, en el modelo que se va a estudiar en esta monografía.

2

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 3

Este modelo es fruto del trabajo de Volterra, al final de su vida, entre los años 1924 y1938. El modelo lleva también el nombre de Lotka quien trabajó en problemas de estetipo entre los años 1920 y 1939, pero con resultados más limitados que los de Volterra.Un modelo poblacional es un sistema dinámico, compuesto por una o varias ecuacionesdiferenciales, que pretende predecir la evolución temporal en el número de individuos (o sudensidad espacial) para un conjunto de especies. Para ello se parte de unas determinadascondiciones iniciales, y se asumen unas reglaModelos que representan la interacción delas especies entre sí y su relación con el ecosistema o medio en el que habitan, en términosde los recursos necesarios para la supervivencia.Un ejemplo claro de modelo poblacional de una sola especie es el relativo al ser humano,cuyos primeros intentos de modelizar se remontan al economista inglés Thomas Malthus,a finales del siglo XVIII. En efecto, en la época actual el ser humano carece de depredado-res naturales, y su supervivencia no depende (al menos exclusivamente) de la existenciade presas, sino más bien de la abundancia o escasez de recursos en el ecosistema globalterrestre.Los sistema dinámico que describe la interacción de dos especies que coexisten en unecosistema común son:

Interacción presa-depredador, en la que la supervivencia de la especie depredadoraestá condicionada a la existencia de otra especie que le sirve de presa.

Interacción competitiva: dos especies compiten por el mismo recurso o recursos,pero no existe depredación directamente entre ellas.

Interacción cooperativa, simbiótica o mutualismo: la supervivencia de cada especiese ve favorecida por la existencia de la otra.

I Modelo presa-depredador de Lotka-Volterra sin competencia in-

traespecie.

El caso de dos especies, que se llamarán presa (x) y depredador (y), que coexisten enun ecosistema común donde x y y son el número de individuos de las especies. El modelopropuesto inicialmente por Volterra se expresa de la siguiente forma:

dxdt

= x(a− by)dydt

= y(−c+ dx)(1)

donde a, b, c, d son constantes positivas. El significado del modelo se resume como sigue:

3

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 4

En ausencia de depredadores, y = 0, la ecuación para la presa se reduce a dxdt

= ax,siendo a la constante de crecimiento intrínseca para x. Esta ecuación da lugar a uncrecimiento exponencial.

En ausencia de presas, x = 0, la ecuación para el depredador toma la forma dydt

=

−cy que da lugar a un decrecimiento exponencial y posterior extinción (colapso)de la población. c es por tanto la tasa de decrecimiento intrínseca de y.

La constante b > 0, que corresponde con el término cruzado −bxy en la primeraecuación, da cuenta de que las interacciones entre las dos especies, que se suponenproporcionales al producto xy de ambas poblaciones, son desfavorables para lapresa (de ahí el signo negativo).

Análogamente, la constante d > 0 corresponde al término cruzado dxy en la segundaecuación, pone en evidencia que los encuentros entre individuos de ambas especiesson favorables al depredador.

Otra forma de interpretar el sistema (1) es por medio de las tasas de crecimiento percá-pita. En efecto, dx

dyy dy

dtson las tasas de crecimiento absolutas para presa y depredador

(x e y respectivamente). Por tanto 1xdxdt

y 1ydydt

son las tasas de crecimiento percápita (esdecir, por número de individuos) para las dos especies. Así, el sistema (1) toma la forma:

1xdxdt

= a− by1ydydt

= −c+ dx

en la que los miembros de la derecha de cada ecuación son funciones lineales en lasvariables x e y.En general, un sistema que modele la interacción de dos o más especies, sólo tiene sentidoecológico si x e y son funciones no negativas del tiempo.El único punto crítico de 1 en C1 = (x, y) ∈ R2 : x > 0, y > 0 viene dado por:

x(a− by) = 0 =⇒ y = ab

y(−c+ dx) = 0 =⇒ x = cd

y lo denotamos por F (x, y) = ( cd, ab). Este punto crítico es un centro. Por tanto las

trayectorias en el mapa de fases son curvas cerradas alrededor del punto crítico, lo cualcorresponde a soluciones periódicas en el tiempo para x(t) e y(t) [1].

4

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 5

A continuación se presenta un ejemplo y se observará gráficamente mediante el softwarepplane.Tomando a = 0,4, b = 0,01, c = 0,3, d = 0,005

dxdt

= (0,4− 0,01y)xdydt

= (0,005x− 0,3)y(2)

así el punto crítico es(cd, ab

)= (60, 40) el cual es un centro

Esto se muestra en la Figura 1

Figura 1: Punto centro del sistemas (2)

5

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 6

II Modelo Lotka-Volterra con competencia intraespecie.

La ecuación dxdt

= ax− bxy presenta una explosión en la población de presas en el casoparticular de ausencia de depredadores. Para remediar este comportamiento se introduceun término logístico en la ecuación para x, que da cuenta de la competencia intraes-pecie cuando el número de presas se hace arbitrariamente grande. Aunque la poblaciónde depredadores no presenta en ningún caso el crecimiento exponencial, se puede in-troducir también el término logístico para modelar la competencia intraespecie de losdepredadores. De esta forma la ecuación diferencial toma la forma:

dxdt

= ax− bx2 − cxydydt

= mxy + ny − py2(3)

con b > 0 y p ≥ 0.

Solución analítica de x = ax− bxy − ex2 cuando y = 0 toma la forma

dxdt

= ax− ex2dxdt

= ax(1− eax)

siendo a > 0 una constante que recibe el nombre de tasa de crecimiento intrínseca, esdecir, la tasa de crecimiento en ausencia de factores limitantes, y K = a

e> 0 la capacidad

límite o de soporte, también llamado nivel de saturación, que es la máxima poblaciónx(t) que se puede sostener o soportar a medida que avanza el tiempo.La solución expresada de forma analítica se halla así:como dx

dt= ax− a

Kx2 es una ecuación tipo Bernoulli entonces sea z = 1

x

dxdt

= ax− aKx2

x′

x2= a

x− a

K

z′ = −x−2x′

−z′ − az = − aK

Se obtiene una ecuación lineal.

z′ + az = aK

z′ exp(at) + az exp(at) = aK

exp(at)

6

1.1 MODELO DE LOTKA-VOLTERRA 7

Luegoddt

(z exp(at)) = aK

exp(at)

z exp(at) =´

aK

exp(at)dt

z exp(at) = 1K

exp(at) + C

z = 1K

+ Cexp(at)

z = exp(at)+KCK exp(at)

1x

= exp(at)+KCK exp(at)

x(t) = K exp(at)exp(at)+KC

x(0) = K1+KC

(1 +KC)x0 = K

C = K−x0Kx0

La solución analítica para x(0) = x0 es

x(t) = K exp(at)

exp(at)+K(K−x0Kx0

)

x(t) = K exp(at)x0 exp(at)+K−x0

x0

x(t) =Kx0

x0 + exp(−at)(K − x0)

De la misma forma se halla la solución analítica para y(t) = −cy + dxy + fy2 cuandox = 0

y(t) = −cy + fy2

= −cy(1− fcy)

con K = cf> 0

Que es una ecuación logística con la tasa de crecimiento intrínseco y capacidad desoporte negativas.Su solución analítica esta dada por

y(t) =Ky0

(K − y0) exp(at) + y0

Puntos de equilibrios del modelo.

A continuación se hallaran los puntos críticos del modelo Lotka-Volterra con competen-cia intraespecie

7

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 8

x = ax− bx2 − cxyy = mxy + ny − py2

(4)

donde a, b, c, m, n, p ∈ R

ax− bx2 − cxy = 0

x(a− bx− cy) = 0

esto es cero cuando x = 0 o a− bx− cy = 0 despejando x se obtiene

x =−cy + a

b.

De forma análoga se obtiene y cuando toma el valor de cero; y = 0 o y = mx+np

.Ahora reemplazando x y y en cada ecuación se obtiene

x = pa−cnpb+cm

y y = ma+bnbp+mc

así los puntos críticos son P0 = (0, 0), P1 = (ab, 0), P2 = (0, n

p) y P3 = ( pa−cn

pb+cm, ma+bnbp+mc

).

A continuación se enuncia y demuestra el teorema de linealización (de forma continua)para modelos continuos tomado de [4] y en el próximo capítulo se utiliza este mismopara linealizar el modelo discreto, lo cual se puede hacer porque el modelo cumple lashipótesis del teorema.

1.2 Teorema de linealización.

Teorema 4. Sea F (x) = (F1(x), ..., Fn(x)) de clase C1 en una región Ω de Rn. EntoncesF tiene una aproximación lineal con respecto a la base estándar en Rn que es

J =

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xn... · · · ...

∂Fn∂x1

· · · ∂Fn∂xn

x0=(x01,...,x

0n)

Demostración. Sea L : Rn → Rn una transformación lineal de F definida por J seprueba que

lım‖x−x0‖→0

F (X)− F (X0)− L(X −X0)

‖X −X0‖→ 0

8

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 9

con

L = J

x01

x02...x0n

L(x− x0) =

∂F1

∂x1· · · ∂F1

∂xn... · · · ...

∂Fn∂x1

· · · ∂Fn∂xn

x0

x1 − x01x2 − x02

...xn − x0n

L(x− x0) =

n∑i=1

∂Fk(x01, ..., x

02)

∂xi(xi − x0i ) 1 ≤ k ≤ n

lım‖x−x0‖→0

[F1(x)− F1(x0)− L1(x− x0)

‖x− x0‖, · · · , Fn(x)− Fn(x0)− Ln(x− x0)

‖x− x0‖

]→ 0

lım‖x−x0‖→0

[Fk(x)− Fk(x0)−

∑ni=1

∂Fk(x01,...,x

02)

∂xi(xi − x0i )

‖x− x0‖

]→ 0

Fk(x)− Fk(x0) = Fk(x1, ..., xn)− Fk(x01, ..., x0n)

Fk(x1, x2, x3, ..., xn−1, xn)− Fk(x01, x2, x3..., xn−1, xn)+

Fk(x01, x2, x3..., xn−1, xn)− Fk(x01, x02, x3..., xn−1, xn)+

Fk(x01, x

02, x3..., xn−1, xn)− Fk(x01, x02, x03..., xn−1, xn)+

...Fk(x

01, x

02, x

03, ..., x

0n−1, xn)− Fk(x01, x02, x03, ..., x0n−1, x0n)

por el teorema del valor medio f(b)−f(a)b−a = f ′(c), tomando c = b+ θ(a− b) con 0 < θ < 1

así

∂Fk∂x1

((x01, x2, x3, ..., xn−1, xn) + θ(x1 − x01, 0, 0, ..., 0, 0)) (x− x0)∂Fk∂x1

((x01 + θ(x1 − x01, x2, x3, ..., xn−1, xn)) (x− x0)

9

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 10

reemplazando

Fk(X)− Fk(X0) =n∑i=1

∂Fk(x01, ..., xi + θi(xi − x0i ), xi+1, ..., xn)(xi − x0i )

∂xi

así

lım‖x−x0‖→0

∑ni=1

∂Fk(x01,...,xi+θi(xi−x0i ),xi+1,...,xn)(xi−x0i )

∂xi−∑n

i=1∂Fk(x

01,...,x

02)

∂xi(xi − x0i )

‖x− x0‖

→ 0

por simplicidad se escribirá∑n

i=1∂Fk(x

01,...,xi+θi(xi−x0i ),xi+1,...,xn)(xi−x0i )

∂xicomo

∑ni=1

∂Fk(...,θi,...)∂xi

(xi−x0i )

1

‖x− x0‖

[n∑i=1

∂Fk(..., θi, ...)

∂xi(xi − x0i )−

n∑i=1

∂Fk(x01, ..., x

02)

∂xi(xi − x0i )

]

lım‖x−x0‖→0

n∑i=1

∣∣∣∣(xi − x0i )‖x− x0‖

[∂Fk(..., θi, ...)

∂xi− ∂Fk(x

01, ..., x

02)

∂xi

]∣∣∣∣→ 0

Pero el valor absoluto de esta cantidad no excede a√(x− x0i )2

(x1 − x01)2 + · · ·+ (xn − x0n)2< 1

que tiende a 0 cuando ‖x− x0‖ → 0 ya que ∂Fk∂xi

es continua. Utilizando el teorema anterior, la matriz Jacobiana del modelo de Lotka-Volterra concompetencia intraespecie (4) es

J =

[a− 2bx− cy −cx

my mx+ n− 2py

]

luego (x

y

)≈ J

(x

y

). (5)

Para el análisis de estabilidad del modelo (4) se usa el siguiente teorema que solo seenunciará.

Teorema 5. Teorema de linealización de Liapunov y Poincaré

10

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 11

El punto crítico (x∗, y∗) del sistema (5) es asintóticamente estable si y sólo si todos losautovalores de la matriz J poseen parte real negativa.El punto crítico (x0, y0) del sistema (5) es inestable si y sólo si la matriz J del sistemaposee un autovalor con parte real positiva .

Más aún, si los autovalores de A son distintos entre sí y distintos de cero se puede decirlo siguiente:

1. Si λ1 < λ2 < 0, entonces (x0, y0) es un nodo asintóticamente estable.

2. Si λ1 > λ2 > 0, entonces (x0, y0) es un nodo inestable.

3. Si λ1 < 0 < λ2 , entonces (x0, y0) es un punto de silla.

4. Si λ1 no es real y Re(λ1) < 0, entonces (x0, y0) es un foco asintóticamente estable.

5. Si λ1 no es real y Re(λ1) > 0, entonces (x0, y0) es un foco inestable.

Cuando el punto (x0, y0) del sistema lineal (5) es estable, pero no asintóticamente estable,es decir, cuando la matriz Jacobiana J posee un par de autovalores complejos conjugadoscon parte real nula, o cuando det(J) = 0 y J no posee un autovalor real positivo, el procesode linealización no proporciona información sobre la estabilidad del punto crítico (x0, y0)

para el sistema (5).Utilizando el teorema anterior se analizan los puntos del modelo Lotka-Volterra.

Sea (0, 0) el primer punto.

J(0, 0) =

[a 0

0 n

]así los valores propios serán

λ1 = a y λ2 = n

Como las constantes en este modelo son positivas, de acuerdo a lo anterior el punto(0, 0) es inestable y no hay mas posibilidades.Así, que sin importar los parámetros, el punto (0, 0) va a ser inestable.En la figura (2) se representa el plano de fases cerca al punto (0, 0) de siguiente modelo

dxdt

= 0,4x− 0,01x2 − 0,3xydydt

= 0,005xy + y − 0,9y2(6)

11

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 12

La matriz Jacobiana asociada al punto es

J(0, 0) =

[0,4 0

0 1

].

Como 0,4 > 0 y 1 > 0 el punto es inestable.

Figura 2: Nodo inestable del sistema (6)

La matriz Jacobiana del modelo evaluada en el punto(

0, np

)es

J

(0,n

p

)=

[a− cn

p0

mnp

−n

]luego sus valores propios son

12

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 13

λ1 =ap− cn

p∧ λ2 = −n

por el teorema anterior para que el punto fuese estable ap < cn.En la figura (3) se representa un modelo que cumple esta condición.

dxdt

= 0,4x− 0,01x2 − 0,3xydydt

= 0,5xy + 0,7y − 0,2y2(7)

donde el punto(

0, np

)= (0, 3,5) es asintóticamente estable estable.

Figura 3: El punto asintóticamente estable del modelo 7

La matriz Jacobiana del modelo evaluada en el punto(ab, 0)es

13

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 14

J(ab, 0)

=

[−a −ac

b

0 amb

+ n

]luego sus valores propios son

λ1 =am+ bn

b∧ λ2 = −a

por el teorema anterior para que el punto fuese estable am < −bn.Como se supuso que todos los parámetros son positivos, no hay forma que esto sucedaasí que este punto será un punto silla, ya que λ2 < 0 < λ1.

En la figura (4) se representa un modelo

dxdt

= 0,4x− 0,01x2 − 0,3xydydt

= 0,5xy + 0,7y − 0,2y2(8)

en el cual el punto (40, 0) es un punto silla.

Figura 4: Punto silla del modelo 8

14

1.2 TEOREMA DE LINEALIZACIÓN. 15

Sea el modelodxdt

= x− x2 − xydydt

= −2xy + 4y − 7y2(9)

cuyos autovalores de la matriz jacobiana evaluada en el punto de equilibrio (0,6, 0,4) son

λ1 = −3 y λ2 = −0,4

Así el punto es asintóticamente estable

Figura 5: Punto asintóticamente estable de modelo 9

15

1.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO LOTKA-VOLTERRA. 16

1.3 Discretización del modelo Lotka-Volterra.

Con el fin de discretizar el modelo de Lotka-Volterra intraespecie se explicara el métodode Euler para luego aplicarlo y obtener el modelo discreto que se analizara en el siguientecapítulo.

I Método de Euler

Se explicará el método de Euler basando en el texto [9]Este método tiene por objeto obtener una aproximación de un problema bien planteadode valor inicial

dy

dt= f(t, y), a ≤ t ≤ b, y(a) = α (10)

En la practica, no se obtendrá una aproximación continua a la solución y(t); por elcontrario, se generarán aproximaciones a esa solución en varios valores, llamados puntosde red, en el intervalo [a, b]. Una vez obtenida la aproximación en los puntos, podemosobtener por interpolación la solución aproximada en otros puntos del intervalo.En primer lugar, estipulamos que los puntos de red tienen una distribución uniforme entodo el intervalo [a, b]. Garantizamos esta condición al seleccionar un entero positivo Ny los puntos de red

ti = a+ ih, para cada i = 0, 1, 2, ..., N.

La distancia común entre los puntos h = (b−a)/N recibe el nombre de tamaño de paso.Utilizaremos el teorema de Taylor para derivar el método de Euler. Supongamos quey(t), la solución única de la ecuación (10), tiene dos derivadas continuas en [a, b], de modoque para cada i = 0, 1, 2, ..., N − 1,

y(ti+1) = y(ti) + (ti+1 − ti)y′(ti) +(ti+1 − ti)2

2y”(ξi),

para algún número ξi en (ti, ti+1). Si h = ti+1 − ti, entonces

y(ti+1) = y(ti) + hy′(ti) +h2

2y”(ξi).

y, como y(t) satisface la ecuación diferencial (10)

y(ti+1) = y(ti) + hf(ti, y(ti)) +h2

2y”(ξi).

16

1.3 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO LOTKA-VOLTERRA. 17

El método de Euler se construye wi ≈ y(ti) para cada i = 0, 1, 2, ..., N, al eliminar eltérmino restante. Por tanto,

w0 = α,

wi+1 = wi + hf(ti, wi), para cada i = 0, 1, 2, ..., N − 1. (11)

La ecuación (11) se le llama ecuación de diferencias asociadas al método de Euler.

II Discretización de modelo

Utilizando el método descrito anteriormente, es decir el método de Euler, donde eltérmino x2n se reemplaza por xnxn+1 obtenemos

xn+1−xnh

= axn − bxnyn − exnxn+1

yn+1−ynh

= cyn − dynxn − fynyn+1

al simplificar se verán las ecuaciones en diferencias racionales

xn+1 = αxn−βxnyn1+γxn

yn+1 = δyn+εxnyn1+ηyn

Donde los parámetros α, β, γ, δ, ε, η ∈ R+.En el siguiente capítulo se hará el análisis de estabilidad de los puntos fijos de estesistema.

17

2 Modelo Discreto.

Como su nombre lo indica en este capítulo se abarca el modelo discreto de Lotka-Volterracon competencia intraespecie, el cual se obtuvo al final del capítulo anterior, para suanálisis se utilizan definiciones y teoremas relativos a las ecuaciones en diferencias. Alaplicar esta teoría al modelo de forma general se obtienen resultados sobre sus puntosfijos, matemáticamente hablando se pueden analizar, aunque ecológicamente solo tienesentido si x > 0 y y > 0.

2.1 Puntos fijos del modelo discreto.

La teoría de la estabilidad para ecuaciones en diferencias, al igual que la de ecuacionesdiferenciales, se basa en el estudio de sus puntos fijos.

Definición 6. Considérese un sistema discreto dinámico de dos dimensiones de la forma

xn+1 = f(xn, yn)

yn+1 = g(xn, yn), con n = 1, 2, . . .(12)

donde f : I × J → J y g : I × J → J son funciones continuamente diferenciable e I, Json algunos intervalos de números reales. Además, una solución (xn, yn)∞n del sistema(12) esta únicamente determinado por la condición inicial (x0, y0) ∈ I × J. Un punto fijode (12) es un punto (x∗, y∗) que satisface

x∗ = f(x∗, y∗)

y∗ = g(x∗, y∗)

Los puntos fijos de este sistema se hallan

x∗ = αx∗−βx∗y∗1+γx∗

y∗ = δy∗+εx∗y∗

1+ηy∗

18

2.2 TEOREMA RESULTADO DE LA LINEALIZACIÓN. 19

Despejando x∗ y y∗ se obtienen

P1 = (0, 0)

P2 = (−1+αγ, 0)

P3 = (0, −1+δη

)

P4 = (β−βδ+(−1+α)ηβε+γη

, γ(−1+δ)+(−1+α)εβε+γη

)

El punto P4 es el único punto fijo positivo del sistema, si α > 1, δ ≤ 1, ε > γ−γδα−1 o

α > 1, δ > 1, η > γ−γδα−1 .

Definición 7. Sea (x∗, y∗) un punto fijo del sistema (12).

Un punto de equilibrio o fijo (x∗, y∗) es estable si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal quepara cada condición inicial (x0, y0) se cumple que ‖(x0, y0)− (x∗, y∗)‖ < δ entonces‖(xn, yn)− (x∗, y∗)‖ < ε para todo n > 0, donde ‖, ‖ es la norma euclidiana en R2

Un punto fijo (x∗, y∗) es inestable si no es estable.

Un punto fijo (x∗, y∗) es asintóticamente estable si existe η > 0 tal que ‖(x0, y0)− (x∗, y∗)‖ <η y (xn, yn)→ (x∗, y∗) cuando n→∞.

Un punto fijo (x∗, y∗) se dice atractor global si (xn, yn)→ (x∗, y∗) cuando n→∞.

Un punto fijo (x∗, y∗) se dice atractor global asintótico si es atractor global y estable.

2.2 Teorema resultado de la linealización.

Teorema 8. Suponga que f es continuamente diferenciable en una vecindad abierta G ⊂Rk+1 de (x∗, x∗, x∗, . . . , x∗), donde x∗ es un punto fijo de

x(n+ 1) = f(x(n), x(n− 1), . . . , x(n− k)). (13)

Entonces las siguientes proposiciones son ciertas.Si todas las raíces características de (13) se encuentran dentro del disco unitario en elplano, entonces, el punto de equilibrio x∗ de (13) es localmente asintóticamente estable.Si al menos una raíz característica de (13) esta fuera del disco unitario en el plano, elpunto de equilibrio es inestable.

19

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 20

Demostración. (Ver en [2]) ⇒Puesto que el punto es asintóticamente estable, existe unentorno G al punto tal que si x0 ∈ G y xm = Amx0 entonces xm → 0 cuando m → ∞.En particular, si v0 ∈ G es un autovector de A, entonces vm = Amv0 = λmv0, es decir,‖vm‖ = |λ|m ‖v0‖ . Y como ‖vm‖ → 0 cuando m → ∞, necesariamente se ha de tener|λ| < 1, para todo autovalor.⇐Si |λ| < 1 para todo autovalor, entonces descomponemos A en su forma canónica deJordan:

A = P−1JPy

sabemos que se cumple:Am = P−1JmP

Como cada autovalor tiene módulo |λ| < 1, todos los elementos de Jm toman la formaα(m) |λ|m−n , donde α(m) es un coeficiente que depende polinómicamente de m. La sumade los módulos de los elementos de una fila o columna se comporta como β(m)|λ|m−n → 0

cuando m→∞. En otras palabras, unas de las normas subordinadas de la matriz A esmenor que 1, y esto significa que Am tiende a la matriz nula cuando m→∞, y se sigueinmediatamente que xm = Amx0 → 0 cuando m→∞ para cualquier x0 ∈ GPara la segunda parte véase la misma referencia.

2.3 Análisis del modelo discreto de Lotka-Volterra.

Proposición 9. Sea α < 1 y δ < 1 entonces el único punto localmente asintótico establees E0 = (0, 0).

Demostración.La matriz Jacobiana del sistema es[

α−βy(n)(1+γx(n))2

−βx(n)1+γx(n)

−εy(n)1+ηy(n)

δ−εx(n)(1+ηy(n))2

](14)

Esta matriz evaluada en el punto E0 es

J(E0) =

[α 0

0 δ

]

20

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 21

y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ.

Luego los autovalores son λ1 = α y λ2 = δ como α < 1 y δ < 1 entonces por elteorema (8) el punto E0 = (0, 0) es localmente asintótico estable.

El Jacobiano evaluado en el punto E1 =(−1+αγ, 0)es

J(E1) =

[1α

β−αβαγ

0 (α−1)ε+δγγ

],

luego los autovalores asociados son λ1 = 1αy λ2 = γδ−ε+αε

γcomo α < 1 entonces

λ1 > 1 así por el teorema (8) E1 es inestable.

Ahora sea

J(E2) =

[β−βδ+αη

η0

(−1+δ)εδη

]

la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 =(

0, −1+δη

).

Los autovalores asociados a la matriz son λ1 = 1δy λ2 = β−βδ+αη

ηcomo δ > 1 por

el teorema (8) el punto E2 es inestable.

Proposición 10. .

a) Si α > 1, δ < 1 y ε < γ−γδα−1 , entonces el punto de equilibrio E1 =

(−1+αγ, 0)es

localmente asintótico estable.

b) Si α < 1 , δ > 1 entonces el punto de equilibrio E2 =(

0, −1+δη

)es localmente

asintótico estable.

Demostración.

a) La matriz (14) evaluada en el punto E0 es

J(E0) =

[α 0

0 δ

]

y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ.

Luego los autovalores sonλ1 = α y λ2 = δ

21

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 22

como α > 1 y δ < 1 entonces por el teorema (8) el punto E0 = (0, 0) es inestable.

El Jacobiano evaluado en el punto E1 =(−1+αγ, 0)

es

J(E1) =

[1α

β−αβαγ

0 (α−1)ε+δγγ

],

luego los autovalores asociados son

λ1 =1

αy λ2 =

γδ − ε+ αε

γ

como α > 1 entonces λ1 < 1 y γδ−ε+αεγ

< 1 así por el teorema (8) E1 es localmenteasintótico estable.

Ahora sea

J(E2) =

[β−βδ+αη

η0

(−1+δ)εδη

]

la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 =(

0, −1+δη

).

Los autovalores asociados a la matriz son

λ1 =1

δy λ2 =

β − βδ + αη

η,

como λ1 > 1 por el teorema (8) el punto E2 es inestable.

Así el único punto de equilibrio bajo estas condiciones es E1.

b) La matriz 14 evaluada en el punto E0 es[α 0

0 δ

]

y el polinomio característico relacionado a la matriz es λ2 − λ(α + δ) + αδ. cuyosautovalores son

λ1 = α y λ2 = δ

como α < 1 y δ > 1 entonces por el teorema (8) el punto E0 = (0, 0) es inestable.

22

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 23

El Jacobiano evaluado en el punto E1 =(−1+αγ, 0)es

[1α

β−αβαγ

0 (α−1)ε+δγγ

],

luego los autovalores asociados son

λ1 =1

αy λ2 =

γδ − ε+ αε

γ

como α < 1 entonces λ1 > 1 y así por el teorema (8) E1 es inestable.

Ahora sea [β−βδ+αη

η0

(−1+δ)εδη

]

la matriz Jacobiana evaluada en el punto E2 =(

0, −1+δη

). Los autovalores asociados

a la matriz sonλ1 =

1

δy λ2 =

β − βδ + αη

η< 1

como λ1 < 1 por el teorema (8) el punto E2 es inestable.

Proposición 11. Sea α > 1, δ > 1, y η > −β+βδ−1+α , entonces el único punto de equilibrio

E3 = (η(α−1)−βδ+βγη+εβ

, γ(δ−1)+ε(α−1)γη+βε

) es localmente asintótico estable si

Ω < (β(γ − γδ + ε) + αγη)2(γδη + ε(β + (−1 + α)η))

Donde

Ω =

β3ε(γ2δ3 + αγδ2ε+ (5α + δ))ε2)+

β2(γ3δ2 + γ(1 + α(5 + 2α + 7δ))ε2 + 3α2ε3)η+

βγ(γ2(2α + δ2) + αγ(7 + (3 + α)δ)ε+ (1 + α2 + α3)ε2)η2 + αγ2(γ(1 + α + δ) + αε)η3

Demostración. La matriz Jacobiana evaluada en el puntoE3 = (η(α−1)−βδ+βγη+εβ

, γ(δ−1)+ε(α−1)γη+βε

)

es [(βε+γη)

(αγη+β(ε−γ(δ−1))) − β(αη+β(1−δ)−η)(αγη+β(ε−γ(δ−1)))

− ε(αε+γ(δ−1)−ε)(αεη+βε+η(γδ−ε)) −

(αεη+βε(1−2δ)−η(γδ+ε))(βε+γη)(αεη+βε+η(γδ−ε))2

]El polinomio característico relacionado con la matriz Jacobiana evaluado en el punto E3

23

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 24

esλ2 − (A−B + C)λ+D − E + F −G+H

dondeA = α(βε+γη)2

(αγη+β(ε−γ(δ−1)))2 ,

B = β(αε+γ(δ−1)−ε)(βε+γη)αγη+β(ε−γ(δ−1))2 ,

C = −(αεη+βε(1−2δ)−η(γδ+ε))(βε+γη)(αεη+βε+η(γδ−ε))2 ,

D = αδ(βε+γη)4

(αγη+β(ε−γ(δ−1)))2(αεη+βε+η(γδ−ε))2 ,

E = βδ(αε+γ(δ−1)−ε)(βε+γη)3(αγη+β(ε−γ(δ−1)))2(αεη+βε+η(γδ−ε))2 ,

F = αε(αη+β(1−δ)−η)(βε+γη)3((αγη+β(ε−γ(δ−1)))2(αεη+βε+η(γδ−ε))2) ,

G = βε(αε+γ(δ−1)−ε)(αη+β(1−δ)−η)(βε+γη)2((αγη+β(ε−γ(δ−1)))2(αεη+βε+η(γδ−ε))2) ,

H = (βε+γη)(αεη+βε+η(γδ−ε)) ,

Las raíces del polinomio característico son

λ1, 2 =A−B + C ±

√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

2

Como para que el punto sea asintóticamente estable es necesario que |λ| < 1∣∣∣∣∣A−B + C ±√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

2

∣∣∣∣∣ < 1

Ahora trabajando la desigualdad a derecha e izquierda tenemos

−2 < A−B + C +√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

−2− (A−B + C) <√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

(−2− (A−B + C))2

< (A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

4 + 4(A−B + C) + (A−B + C)2 < (A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

4 + 4(A−B + C) + (A−B + C)2 < (A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H)

4 + 4(A−B + C) < −4(D − E + F −G+H)

1 + (A−B + C) < −(D − E + F −G+H)

y

A−B + C +√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H) < 2√(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H) < 2− (A−B + C)

(A−B + C)2 − 4(D − E + F +G+H) < (2− (A+B + C))2

(A+B + C)2 − 4(D + E + F −G+H) < 4− 4(A−B + C) + (A−B + C)2

(A−B + C)2 − 4(D − E + F −G+H) < 4− 4(A−B + C) + (A−B + C)2

−4(D − E + F −G+H) < 4− 4(A−B + C)

−(D − E + F −G+H) < 1− (A−B + C)

24

2.3 ANÁLISIS DEL MODELO DISCRETO DE LOTKA-VOLTERRA. 25

así|−(D + E + F +G+H)− 1| < −(A+B + C)

Luego |λ| < 1 cuando (A−B + C) < 1

(A−B+C)(αγη+β(ε−γ(δ−1)))(αεη+βε+η(γδ−ε))2 =

β3ε(γ2δ3 + αγδ2ε+ (5α+ δ))ε2)+

β2(γ3δ2 + γ(1 + α(5 + 2α+ 7δ))ε2 + 3α2ε3)η+

βγ(γ2(2α+ δ2)+

αγ(7 + (3 + α)δ)ε+ (1 + α2 + α3)ε2)η2+

αγ2(γ(1 + α+ δ) + αε)η3

entonces

(A−B + C) < (αγη + β(ε− γ(δ − 1)))(αεη + βε+ η(γδ − ε))2

así queda probado que el punto E4 es localmente asintótico estable si

Ω<(αγη+β(ε-γ(δ-1)))(αεη+βε+η(γδ-ε))2.

En el siguiente capítulo se harán algunos ejemplos en Geogebra con el fin de evidenciargráficamente estas proposiciones.

25

3 Simulación Numérica.

En esta parte, se representaran ejemplos de las proposiciones del capítulo anterior, delas siguientes tres maneras:

? presa y depredador vr tiempo, en esta gráfica se evidencia que la solución de lasecuaciones en diferencias esta dada por sucesión de puntos.

? presa vr depredador.

? El campo direccional de las ecuaciones y se señalan los cuatro puntos fijos (en rojo).

Sea

xn+1 = 0,5xn−0,7xnyn1+2,3xn

yn+1 = 0,7yn+4,2xnyn1+6,8yn

(15)

con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1. Se observa que el punto (0, 0) es asintóti-camente estable.

26

Simulación. 27

Figura 6: Punto (0, 0) es asintóticamente estable del modelo (15).

Figura 7: Punto (0, 0) asintóticamente estable

27

Simulación. 28

Figura 8: Campo Direccional. Punto (0, 0) asintóticamente estable

Tomando α = 1, 5 y δ = 0, 5 el punto (x, 0) es asintóticamente estable en el sistema

xn+1 =1, 5xn − 0, 7xnyn

1 + 2, 3xnyn+1 =

0, 5yn + 2xnyn1 + 6, 8yn

(16)

con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1 si ε < γ−γδα−1 = 2, 3.

Entonces el punto(α−1γ, 0)

= (217391304, 0) es asintóticamente estable.

28

Simulación. 29

Figura 9: Punto (x, 0) asintóticamente estable del modelo (16)

Figura 10: Presa vr Depredador. El punto (x, 0) es asintóticamente estable

29

Simulación. 30

Figura 11: Campo direccional, punto (x, 0) es asintóticamente estable

Con α = 0, 5 y δ = 1, 5 se tiene

xn+1 = 0,5xn−0,7xnyn1+2,3xn

yn+1 = 1,5yn+2xnyn1+6,8yn

(17)

con condiciones iniciales x0 = 0, 1 y y0 = 0, 1 el punto de equilibrio es(

0, −1+δη

)=

(0,−0, 073529412)

30

Simulación. 31

Figura 12: Punto (0, y), asintóticamente estable en el modelo (17)

Figura 13: Depredador vr Presa. Punto (0, y) asintóticamente estable del modelo (17)

31

Simulación. 32

Figura 14: Campo direccional, punto (0, y) es asintóticamente estable

Como se ve en las siguientes gráficas, que representan el modelo con α = 2, 5 y δ =

2, 7

xn+1 =2, 5xn − 0, 7xnyn

1 + 2, 3xnyn+1 =

2, 7yn + 4, 2xnyn1 + 6, 8yn

(18)

cuyas condiciones iniciales son x0 = 0, 84 y y0 = 0, 5

El punto de equilibrio (x∗, y∗) = (0, 484930032, 0, 549515608) es asintótiamente estable.

32

Simulación. 33

Figura 15: El punto (x, y) es asintóticamente estable el modelo (18)

Figura 16: Presa vr Depredador, el punto (x, y) es asintóticamente estable

33

Simulación. 34

Figura 17: Campo direccional, punto (x, y) es asintóticamente estable

34

4 Conclusiones

1. Se ha supuesto que el tamaño del paso (h) en el método de Euler es tan peque-ño como se quiera, el autor nunca lo menciona pero los parámetros del modelodiscretizado son factor de h.

2. El autor del artículo analiza el punto positivo (o punto interior)con ayuda del teo-rema de Rouche, en este trabajo se realiza el mismo análisis pero con el métodotradicional para dicho punto, (hallar el polinomio característico, sus raíces y ob-servar cuando son menores que 1). Llegando a la misma conclusión, esto se realizacon el fin de observar los dos métodos.

3. Al hacer la comparación entre el modelo continuo y el discreto, se puede observarque tienen la misma cantidad de puntos críticos (o fijos) y el proceso utilizados paraevaluarlos y analizarlos es similar, también se concluye que en el modelo continuo lospuntos de equilibrio (0, 0) y (x, 0) no pueden ser asintóticamente estable mientrasque en el modelos discreto, eligiendo los parámetros adecuados cualquiera de loscuatro puntos puede ser asintóticamente estable.

35

A Cálculo de los puntos fijos, casodiscreto.

Obtenemos los puntos fijos así

x∗ = αx∗−βy∗x∗

1+γx∗

x∗(1 + γx∗) = (α− βy∗)x∗

x∗ = α−βy∗−1γ

y∗ = δy∗+εx∗y∗

1+ηy∗

y ∗ (1 + ηy∗) = (δ + εx∗)y∗

y∗ = δ+εx∗−1η

reemplazando x∗ en y∗y viceversa tenemos

x∗ =α−β

(δ+εx∗−1

η

)−1

γ

x∗ = η(α−1)−βδ+βγη+εβ

y∗ =δ+ε

(α−βy∗−1

γ

)−1

η

y∗ = γ(δ−1)+ε(α−1)γη+βε

El punto de equilibrio trivial O = (0, 0) es un punto fijo.

Si x∗ = 0 entonces y∗ =δ( δ−1

η )1+η( δ−1

η )así y∗ = δ−1

η.

Si y∗ = 0 entonces x∗ =α(α−1

γ )1+γ(α−1

γ )así x∗ = α−1

γ.

Y el punto positivo es cuando x∗ > 0 y y∗ > 0

es como η, β, γ y ε son reales positivos ó α > 1 y δ ≤ 1

η(α− 1)− βδ + β > 0 γ(δ − 1) + ε(α− 1) > 0

η(α− 1) > β(δ − 1) γ(δ − 1) > −ε(α− 1)γ(δ−1)α−1 > −εγ−γδα−1 < ε

ó α > 1 y δ > 1

η(α− 1)− βδ + β > 0

η(α− 1) > β(δ − 1)

η > β(δ−1)(α−1)

36

B Cálculo de la discretización delmodelo de Lotka-Volterra.

Sea ndxdt

= ax− bxy − ex2dydt

= cy + dxy − fy2

Las ecuaciones del modelo. Utilizando el método de Euler, donde el término x2 se re-emplaza por xnxn+1 tenemos

xn+1 = xn + h(axn − bxnyn − exnxn+1)

xn+1 = xn + ahxn − bhxnyn − ehxnxn+1

xn+1 + ehxnxn+1 = xn + ahxn − bhxnynxn+1(1 + ehxn) xn + ahxn − bhxnyn

xn+1 = xn+ahxn−bhxnyn1+ehxn

xn+1 = (ah+1)xn−bhxnyn1+ehxn

conα = ah+ 1,

β = bh,

γ = eh.

como los parámetros a, b, e ∈ R+ y h es el tamaño del paso y este

es positivo, (el tiempo es positivo ti+1 − ti), entonces estos nuevos parámetros tambiénlo son.

yn+1 = yn + h(cyn + dxnyn − fynynn+1)

yn+1 = yn + chyn + dhxnyn − fhynynn+1

yn+1 + fhynyn+1 = yn + chyn + dhxnyn

yn+1(1 + fhyn) = yn + chyn + dhxnyn

xn+1 = yn+chyn+dhxnyn1+fhyn

xn+1 = (1+ch)yn+dhxnyn1+fhyn

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conδ = ch+ 1,

ε = dh,

η = fh.

como los parámetros c, d, f son reales positivos y h es el tamaño

del paso y este es positivo, entonces estos nuevos parámetros también lo son.como podemos observar estos dependen del paso del tiempo que se tome, en este trabajolo tomaremos tan pequeño como se quiera, pero, ¿qué sucederá cuando h toma distintosvalores?

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Bibliografía

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