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PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM GEOTECNIA DA UFOP

OOUURROO PPRREETTOO -- DDEEZZEEMMBBRROO DDEE 22000077..

Catalogação: [email protected]

R696e Rodrigues, Clarisse da Silva. Estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas : modelagens

computacionais e soluções analíticas [manuscrito]. / Clarisse da Silva Rodrigues - 2007.

xxii, 166f .: il. color., graf., tabs.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Pelluci Figueiredo.

Área de concentração: Geotecnia Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós Graduação em Engenharia Civil.

1. Petróleo - Teses. 2. Poços de petróleo - Teses. 3. Rochas - Fraturas - Teses. 4. Modelagem computacional -Teses. I. Universidade Federal de Ouro Preto. Escola de Minas. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil. II. Título.

CDU: 553.982

“...Depois que uma mente se abre para uma nova idéia ela jamais retornará ao seu tamanho original.”

Albert Einstein

iii

DEDICATÓRIA À minha maravilhosa família, em especial aos meus pais: Maria da Graças e João

Rodrigues.

iv

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus pela fé que me concede e por renovar e aumentar a cada dia a minha fé. Agradeço ao meu orientador, professor Rodrigo, que sempre me incentivou e me apresentou a base para que eu iniciasse o longo caminho na mecânica das rochas e do petróleo; por nossas reuniões sempre muito produtivas e contundentes; por me fazer entender que os ensinamentos mais complexos podem se tornar os mais simples bastando para isso entendimento, dedicação e observação. E, sobretudo, por me mostrar o quão interessante é a mecânica das rochas. Agradeço à Escola de Minas de Ouro Preto que desde 1876 oferece um ensino de qualidade, público e gratuito na área de Engenharia. Quero deixar aqui registrado o meu agradecimento e orgulho de ser parte integrante desta Escola. Agradeço à minha mãe, Maria das Graças, que é minha vida, meu porto seguro, meu exemplo, quem me ensinou a sempre seguir em frente em todos os meus projetos de vida. Ao meu pai, João, pela dedicação e exemplo de sempre planejar, pensar e analisar todas as variáveis de um novo projeto, qualquer que ele seja. Aos meus queridíssimos irmãos: Fernandes, Berenice, Kelly, Lina, João Henrique e Walter pelas conversas, confissões, descontrações e ajuda mútua. Agradeço aos meus sobrinhos por fazer meus olhos brilharem, fazendo com que eu enxergue melhor o presente e me preocupe em seguir o caminho certo no futuro. À tia Aparecida, eterna gratidão. Às eternas amigas do CEFET de Ouro Preto: Lílian, Natália, Silvia, Margarida, Cíntia e Kívia; pela amizade verdadeira sem o qual não se pode ser feliz. À amiga do mestrado Gláucia por ser uma pessoa que sei que posso contar. À amiga de infância, Fabiane, que eu considero como uma irmã. À grande amiga Sílvia por sempre me apoiar e por ser essa pessoa maravilhosa. Amizade é tudo, muito obrigada. Agradeço à Bruna, que me auxiliou nas análises numéricas no UDEC. Ao Pet-Civil que foi e sempre será a minha casa na Escola de Minas, que muito auxiliou na minha formação não só como Engenheira e Mestre, mas como pessoa. Ao grande Professor e Tutor do Pet-Civil, Jaime Florêncio, por me ensinar sobre as verdadeiras necessidades das pessoas: o Conhecimento e o Equilíbrio (Aristóteles). Á CNPq pela bolsa de mestrado.

v

RESUMO

Problemas de estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas têm

despertado um crescente interesse da indústria petrolífera e da comunidade acadêmica.

Devido à existência de inúmeros poços atravessando formações fraturadas em rochas

carbonáticas da Bacia de Campos e no Golfo do México, esse problema é

particularmente relevante para a indústria nacional e internacional do petróleo.

Constata-se que os poucos estudos existentes na literatura utilizam

exclusivamente técnicas computacionais, normalmente, elementos discretos (Santarelli

et al., 1992; Zhang et al., 1999; Chen et al., 2001; Chen et al., 2003). Essa é uma técnica

reconhecidamente poderosa e apta ao trato de tais problemas. Portanto, é de interesse da

indústria o desenvolvimento de soluções analíticas, que permitam uma avaliação

expedita da estabilidade de blocos rochosos no entorno do poço, pela interseção das

fraturas existentes na formação rochosa. Sendo esta uma solução de engenharia para os

limites inferior e superior da massa específica do fluido de perfuração.

Neste presente trabalho são propostas soluções analíticas para o problema de

estabilidade de poços bem como a validação das soluções analíticas propostas através

de comparações com modelagens computacionais paramétricas com o uso do software

UDEC, para a estabilidade de poços em rochas fraturadas de diferentes características

geomecânicas e geométricas.

vi

ABSTRACT

Problems of stability of petroleum wells in jointed rocks have aroused an

increasing interest of the petroliferous industry and the academic community. Due to

existence of many wells crossing jointed in carbonate rocks of the Campos Basin and in

the Gulf of Mexico, this problem is particularly important for the national and

international industries of petroleum.

There are the few studies about the subject in literature and they use only

computational techniques, normally, discrete elements. This is a powerful technique and

it is very useful to the treatment of such problems. Therefore, it is interesting the

industry the development of analytical solutions that allow evaluation of the stability of

rock blocks around of the well, for the intersection of the existing jointed in the rock

formation. It is an engineering solution to upper and lower limits of the specific mass of

the perforation fluid.

In this present work analytical solutions for the problem of well stability were

proposed as well as the validation of these solutions with parametric computational

modeling in UDEC, for the well stability of wells in jointed rocks with different

geomechanic and geometric characteristics.

vii

ÍNDICE

CCAAPPÍÍTTUULLOO 11

1 – INTRODUÇÃO............................................................................................................ 1

1.1 – OBJETIVO..................................................................................................... 2 1.2– CONTEÚDO E ACAPITULAÇÃO............................................................ 2


2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO.......................................................... 4 2.1 – CONCEITO E MODELAGEM DE MEIOS CONTÍNUOS E

DESCONTÍNUOS ........................................................................................... 7

2.1.1 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS CONTÍNUOS.......................................................................................

10

2.1.2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS DESCONTÍNUOS................................................................................... 12

2.1.2.1 – MECANISMOS DE INSTABILIDADE EM ROCHAS FRATURADAS........................................................................... 12

2.1.2.2 – A INFLUÊNCIA DA INFILTRAÇÃO DO FLUIDO NA FRATURA................................................................................... 30


3 – EQUILÍBRIOS DE BLOCOS ROCHOSOS AO REDOR DE CAVIDADES SUBTERRÂNEAS ......................................................................................................

44

3.1 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – ESCAVAÇÃO COM TETO PLANO.............................................................................................................

45

3.1.1 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO SIMÉTRICO............................................................................................ 45

3.1.2 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO ASSIMÉTRICO.......................................................................................

50

3.2 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – TETO CIRCULAR.. 52


4 – SOLUÇÕES PROPOSTAS: EQUILÍBRIO DE BLOCOS DE ROCHA NO ENTORNO DE POÇOS DE PETRÓLEO .................................................................. 59

4.1 – TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO ENTORNO DE POÇOS PERFURADOS EM ROCHAS FRATURADAS.... 61

4.1.1 - TENSÃO MÍNIMA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS AO REDOR DE UM POÇO – TETO PLANO..............................................

62

4.1.2 - TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO TETO CIRCULAR DE UM POÇO.........................................................

69

viii

4.2 – TENSÃO MÁXIMA NA PAREDE DO POÇO - LIMITE SUPERIOR DA MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO DE PERFURAÇÃO.............................

76


5 – MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS E O SOFTWARE UDEC............ 79 5.1 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DISCRETO............................................. 82 5.2 – PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO EXPLÍCITA............................................ 84 5.3 – REPRESENTAÇÃO DA JUNTA DA ROCHA NO UDEC............................ 85 5.4 – COMPORTAMENTO DA JUNTA DAS ROCHAS....................................... 88 5.5 – DEFORMABILIDADE DE

BLOCOSq1............................................................. 89

5.6 – AMORTECIMENTO NUMÉRICO................................................................... 91 5.7 – MODELAMENTO ESPECÍFICO...................................................................... 93


6 – MODELAGEM COMPUTACIONAL DA ESTABILIDADE DE POÇOS EM ROCHAS FRATURADAS...........................................................................................

99

6.1 – PRECEDENTES PARA A MODELAGEM COMPUTACIONAL................ 100 6.1.1 – DADOS DO POÇO................................................................................. 100 6.1.2 – TENSÕES IN SITU................................................................................. 100 6.1.3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DA ROCHA INTACTA................... 102 6.1.4 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS DESCONTINUIDADES......... 103 6.1.5 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS E REGIMES DE FLUXO............. 103 6.1.6 – GEOMETRIAS DE FRATURAMENTO............................................... 106 6.1.7 – LIMITES EXTERNOS E CONDIÇÕES DE CONTORNO .................. 108 6.1.8 – SEQUÊNCIA DE MODELAGEM E DISCRETIZAÇÃO..................... 109

6.2 – APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS ........................... 110

6.2.1 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES IN SITU EM ROCHAS FRATURADAS....................................................................................... 110

6.2.2 - RESULTADOS........................................................................................ 116 6.2.2.1 – CONDIÇÃO DE FLUIDO NÃO PENETRANTE............................... 116 6.2.2.2 – CONDIÇÃO DE FLUIDO PENETRANTE........................................ 125


7 - VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES PROPOSTAS........................... 131 7.1 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS – SOLUÇÕES

ANALÍTICAS.................................................................................................. 132

7.2 – VALIDAÇÃO DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS ........................... .................. 134 7.3 – COMPARAÇÕES DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS COM O UDEC.................... 137


8 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS......................... 147 RREEFFEERREENNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS............................................................................

150

AANNEEXXOO 11........................................................................................................................... 154

ix

Lista de Figuras

Figura 2.1 – Esquema de uma sonda rotativa 4

Figura 2.2 – Ilustração da remoção de cascalhos pelo fluido de perfuração 5

Figura 2.3 – Alguns tipos de instabilidade de poço (Last & Pumb, 1995). 6

Figura 2.4 – Representação da influência da escala no modelo de comportamento do maciço rochoso (a) Rocha intacta – Meio Contínuo (b) Várias descontinuidades – Meio Descontínuo (c) Meio Contínuo Equivalente ou Pseudo-contínuo.

9

Figura 2.5 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005). 10

Figuras 2.6 – Parâmetros do fluido de perfuração durante três tentativas para perfurar formações vulcânicas (Santarelli et al 1992)

15

Figuras 2.7 – Juntas espaçadas e próximas observadas no testemunho (Santarelli et al 1992).

17

Figuras 2.8 – Observações de testemunho com uma fratura preenchida por calcita e quartzo (Santarelli et al 1992).

17

Figuras 2.9 – Resíduos e sólidos de fluido em uma fratura. (Santarelli et al 1992). 18

Figura 2.10 – Geometria do modelo – Pm é a sobre pressão do fluido, D o diâmetro do poço 8 ½”, e1 espaçamento de 4cm e e2 espaçamento de 2,5cm. (Santarelli et al 1992)

20

Figura 2.11– Abertura de juntas para massa específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3(10,00lb/gal) (Santarelli et al 1992).

23

Figura 2.12 - Abertura de juntas para massa específicas do fluido de perfuração de 1.7 g/cm3 (14,18lb/gal)(Santarelli et al 1992).

24

x

Figura 2.13 – Taxa anisotrópica de deslocamento na parede versus orientação do bloco (Santarelli et al 1992).

24

Figura 2.14 – Deslocamento cisalhante ao longo da junta para uma orientação de bloco de 45º e massa específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal) e 1.7 g/cm3

(14,18lb/gal) A espessura da linha representa um deslocamento de 60µm. (Santarelli et al 1992).

25

Figura 2.15 – Taxa de fluxo através da rede de fraturas com blocos inclinados a 45º e massa específica do fluido de perfuração 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal) e 1.3 g/cm3 (10,84lb/gal) (Santarelli et al 1992).

26

Figura 2.16 – Abertura de juntas correspondentes a dois casos extremos de reboco perfeito e sem reboco. (Santarelli et al 1992).

27

Figura 2.17 – Abertura de vários contatos de juntas sob aumento da massa específica do fluido de perfuração. A orientação do bloco é 0º. Os contatos são situados como na

28

Figura 2.18 – Modelo conceitual e condições limites (Chen et al 2003). 31

Figura 2.19 – Padrão de fraturas para Casos 1 e 2 (Chen et al 2003). 33

Figura 2.20 – Padrão de fraturas para Casos 3 e 4 (Chen et al 2003). 33

Figura 2.21 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σh nos 4 Casos (Chen

et al 2003). 36

Figura 2.22– Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σH nos 4 Casos (Chen

et al 2003). 36

Figura 2.23 – Caso 1 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de do fluido (Chen et al 2003).

38

xi

Figura 2.24 – Caso 3 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de fluido (Chen et al 2003).

39

Figura 2.25 – Caso 2 – (a) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura constante. (b) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração do fluido.

42


42

Figura 3.1 – Representação de algumas escavações subterrâneas – (a) Túnel com teto plano; (b) Poço - teto circular.

44

Figura 3.2–Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a) sujeito às forças N, S, R e W – (b) no estado de equilíbrio limite (Adaptado Brady e Brown 2005).

46

Figura 3.3– Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas – (b) em um estado equilíbrio limite depois da aplicação de um carregamento externo e relaxação da junta (Adaptado Brady e Brown 2005).

48

Figura 3.4 – Diagrama do corpo livre prismático assimétrico no teto plano de uma escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas (b) Corpos livres constituintes para análises de relaxação (Adaptado Brady e Brown 2005).

50

Figura 3.5 – Bloco de rocha simétrico no teto de um poço circular em um campo de tensões biaxial (Sofianos et al 1999).

53

Figura 3.6 – Geometria do bloco no teto de um poço circular (Adaptado D. Elsworth 1986).

56

Figura 3.7 – Geometria do bloco em um nível diferencial (Adaptado D. Elsworth 1986). 57

Figura 4.1 – Poço perfurado com uma lâmina d’água hw. 60

Figura 4.2 – Representação de um bloco na parede de um poço – consideração de teto

plano. 62

Figura 4.3 – Representação da seção transversal de um bloco de rocha. 64

xii

Figura 4.4 – Tensões principais em um poço submetido a uma pressão interna ∆P

(Adaptado Enever and Chopra 1986). 66

Figura 4.5 – Bloco rochoso com ângulo apical negativo na parede de um poço. 67

Figura 4.6 – Representação de um bloco na parede de um poço – teto circular. 69

Figura 4.7 – Representação de um bloco na parede de um poço – caso geral.

70

Figura 4.8 – Representação da geometria dos espaçamentos entre descontinuidades. 71

Figura 4.9– Representação da força PL agindo sob uma superfície de comprimento AB.

74

Figura 4.10– Representação das componentes da força normal, N1 e N2 agindo sob uma

superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente. 75

Figura 4.11 – Variação da componente de tensão principal em um plano de inclinação

θ devido à descontinuidade ao redor de um poço. 77

Figura 5.1 – Ciclo de Cálculo dos Elementos Discretos (Alvarenga 1997). 80

Figura 5.2 – Ciclo de Cálculo da Relaxação Dinâmica (Alvarenga 1997). 81

Figura 5.3 – Ciclo básico de cálculo para o método do elemento discreto (Adaptado Hart 1993).

83

Figura 5.4 – Contatos entre blocos no UDEC (Adaptado Hart 1993). 85

Figura 5.5 - Definição dos contatos no UDEC – (a)Contato limite extremidade arredondado (b) Interação extremidade-extremidade (Adaptado Hart 1993).

86

Figura 5.6 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (Adaptado Hart 1993). 87

Figura 5.7 – Modelagem de um poço (a) Elementos discretos – blocos (b) Zoneamento dentro dos blocos (Adaptado Hart 1993).

90

Figura 5.8 – Tipos de amortecimento (Adaptado Hart 1993).

92

xiii

Figura 5.9 – Modelos do efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo θ com a horizontal e com espaçamento S. (Adaptado Hart 1993).

95

Figura 5.10 – Efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo θ=45o e ν=0,2. (Adaptado Hart 1993).

97

Figura 6.1 - Elementos geométricos do fraturamento em torno do poço. (Figueiredo et al 2006).

106

Figura 6.2 – Geometrias do fraturamento em torno do poço-(a) η1=45º; -(b) η1=30º; -(c) η1=15º; -(d) η1=60º.

107

109 Figura 6.3 - Limites externos do modelo e geometria de fraturamento (e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 =135o). (Figueiredo et al 2006).

Figura 6.4 - Detalhe da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas no modelo (e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o). (Figueiredo et al 2006)

110

Figura 6.5 – Efeito da reorientação das tensões induzidas segundo as direções das fraturas - Geometria 2; K = 1.5; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30°; η2 =120°; ∆p = 0. (a) σmin e σmáx segundo Kirsch 1898 (meio contínuo); (b) σmin e σmáx reorientadas (rocha fraturada). (Figueiredo et al 2006).

111

Figura 6.6 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5); e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30o; η2 =120o.

112

Figura 6.7 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5): (a) e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.

113

Figura 6.8 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5; ρf = 13,34 lb/gal; ∆p = 26.4 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.

114

Figura 6.9 - Fraturas abertas ou cisalhadas com K=1.5; ρf = 15,01 lb/gal; ∆p = 32.8 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o. (Figueiredo et al 2006).

115

Figura 6.10 - Isofaixas de FS - Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ρf = 9,17 lb/gal; ∆p = 4.1 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 15o; η2 = 105o. (Figueiredo et al 2006).

117

Figura 6.11 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 15o e η2 = 105o - (a) sem fluido de perfuração; (b) 9,17 lb/gal; (c) 10,01 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.w

119

xiv

Figura 6.12 - Isofaixas de FS (Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ∆p nula): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 0o; η2 = 90o.

121

Figura 6.13 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massa específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 45o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.

122

Figura 6.14 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; η1 = 30o e η2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.

124

Figura 6.15 - Análise visual comparativa (K=1.5; ρf = 10,00 lb/gal; ∆pf = 8.2 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 30o; η2 = 120o): (a)Fraturas pressurizadas, não conectadas com o poço (b) Padrão de fluxo nas fraturas conectadas com o poço (Figueiredo et al 2006).

127

Figura 6.16 - Análise visual comparativa (K=1.3; ρf = 16,68 lb/gal; ∆pf = 41.0 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o): (a) fraturas plastificadas (fluido não-penetrante); (b) padrão de fluxo nas fraturas. (Figueiredo et al 2006).

128

Figura 6.17- Análise com fluxo irrestrito: (a) padrão de sobrepressões nas fraturas K=1.3; ρf = 12,51 lb/gal; ∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o; (b) Colapso do poço - K=1.3; ρf = 13,34 lb/gal; ∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; η1 = 45o; η2 = 135o - configuração deformada amplificada (60 vezes) da rocha fraturada. (Figueiredo et al 2006).

130

Figura 7.1 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).

136

Figura 7.2 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,5; η2=η1+90).

137

Figura 7.3 – Variação do desvio das soluções analíticas com a massa específica do fluido calculada pelo UDEC (η2=η1+90, K=1.3).

139

Figura 7.4 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).

140


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xv


141

Figura 7.8 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).

142

Figura 7.9 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; η2=η1+90).

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145

xvi

Lista de Tabelas Tabela 2.1 – Variação da resistência da matriz rochosa com a profundidade. Adaptado (Santarelli et al 1992).

18

Tabela 2.2 – Parâmetros usados durantes as simulações. (Adaptado Santarelli et al 1992).

21

Tabela 2.3 – Condições de tensão inicial e orientações da fratura Chen et al (2003). 31

Tabela 2.4 – Propriedades Mecânicas e Físicas da rocha intacta e da fratura Chen et al (2003). 32

Tabela 2.5 – Resultados das Análises (Chen et al 2003). 36 Tabela 2.6 – Diferenças de porcentagem devido ao padrão de fraturas - tensão anisotrópica (Chen et al 2003).

40

Tabela 2.7 – Diferenças de porcentagem entre respostas drenadas com ângulo de atrito das fraturas constante e reduzido (Chen et al 2003).

42

Tabela 6.1 – Massa específica do fluido de perfuração (Figueiredo et al 2006). 100

Tabela 6.2 - Razões entre as tensões horizontais in situ. (Figueiredo et al 2006). 101

Tabela 6.3 - Aberturas hidráulicas (Figueiredo et al 2006). 105

Tabela 6.4 – Geometria dos blocos formados pelas descontinuidades (Figueiredo et al 2006). 107

Tabela 6.5 - Mergulhos analisados por Geometria (Figueiredo et al 2006). 107

Tabela 6.6 – Formato dos blocos para cada geometria

108

Tabela 6.7 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve plastificação nas fraturas (Figueiredo et al 2006).

118


120

Tabela 6.9 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve plastificação nas fraturas.

122


123

xvii


123


125

Tabela 7.1 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica η2=η1+90.

132

Tabela 7.2 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica η2=η1+45.

133

Tabela 7.3 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica, η2=η1+30.

133

Tabela 7.4– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação da descontinuidade η2=η1+90.

135


135


135

Tabela 7.7– Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos pelo UDEC, η2=η1+90.

137

Tabela 7.8 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos pelo UDEC, η2=η1+45.

138

Tabela 7.9 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos pelo UDEC, η2=η1+30.

138

Tabela 7.10 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, η2=η1+90.

145


146


146

xviii

Lista de Símbolos, Nomenclatura e Abreviações

a Raio do poço

A Força de ancoragem

b Comprimento da base do bloco rochoso

c Coesão da rocha

cjunta Matriz de rigidez da descontinuidade

crocha Matriz de rigidez doa rocha

cj Coesão da descontinuidade

e Espaçamento entre fraturas

E Módulo de Young

f0 Abertura da fratura sob tensão normal nula

Fi Resultante das forças externas aplicadas no nó

i

e

F Vetor força no nó

i

c

F Vetor força no contato

Fj Resultante das forças externas aplicadas no elemento

fmax Abertura da fratura sob tensões máximas

fmin Freqüência mínima

Fn Força normal efetiva

fress Abertura da fratura sob tensão residual

Fs Força cisalhante

FS Fator de Segurança

FSmin Fator de Segurança mínima

g Aceleração da gravidade

h Distância vertical do ápice do bloco de rocha até o teto da escavação

Ht Profundidade total do poço

Η Força horizontal interna

H0 Força horizontal interna em equilíbrio estático

xix

hw Lâmina d’água

i Ângulo de dilatância

I Momento de inércia

JCS Coeficiente de rugosidade da junta

JRC Resistência compressiva da junta

K Razão entre tensão horizontal maior e menor

Kf Módulo volumétrico

kn Módulo de rigidez normal

ks Módulo de rigidez cisalhante

N Força normal

N0 Força normal em equilíbrio estático

P Pressão para estabilidade do poço

P0 Força vertical no equilíbrio limite (Sofianos)

PL Forca necessária à estabilidade do bloco rochoso

q Força necessária à estabilidade (Sofianos)

r Distância radial a partir do eixo do poço

R Força de sustentação

Re Raio do círculo de Mohr em um ponto qualquer do meio

Rr Raio do círculo de Mohr hipotético

S Força cisalhante

S0 Força cisalhante em equilíbrio estático

t Tempo

u Pressão de poros

uy Deformação da junta na direção vertical

•

u Vetor velocidade no nó

••

u Aceleração translacional

un Deformação da junta na direção normal

us Deformação da junta na direção cisalhante

V0 Força vertical em equilíbrio estático

xi Vetor posição

xx

Z Profundidade

α Ângulo apical do bloco de rocha

β Ângulo formado entre o eixo normal e radial

∆εij Incremento da deformação

∆εv Incremento da deformação volumétrica

∆Fs Incremento da força cisalhante

∆P Incremento da pressão necessária para se estabilizar o poço

∆PL Incremento de força necessária para se estabilizar o poço

∆t Incremento de tempo

ij

e

τ∆ Incremento do tensor de tensões

∆us Incremento do deslocamento cisalhante

δij Delta de Kronecker’s

εij Deformação no deslocamento nodal

φ Ângulo de atrito da rocha

γ Peso específico da rocha

γf Peso específico do fluido de perfuração

γw Peso específico da água

γ Peso específico médio da rocha

η Ângulo da fratura

λmin Amortecimento mínimo

µf Viscosidade dinâmica do fluido de perfuração

••

θ Aceleração angular

•

ijθ Rotação do deslocamento nodal

θ Ângulo entre o plano xy e um ponto qualquer

ρf Massa específica do fluido

σc Tensão confinante

σh Tensão horizontal menor

σH Tensão horizontal maior

xxi

hσ Tensão horizontal menor média

Hσ Tensão horizontal maior média

σH0 Tensão total mínima

σij Tensor de tensões no elemento discreto

σmax Tensão máxima

σmin Tensão mínima

σn Tensão normal

σθ Componente da tensão normal na direção circunferencial

σr Componente da tensão normal na direção radial

σt Tensão de tração

σv Tensão vertical total

σ'v Tensão vertical efetiva

τrθ Componente da tensão cisalhante normal na direção rθ

υ Coeficiente de Poisson

ψ

Ângulo formado entre a horizontal que passa pelo eixo do poço e o bloco

rochoso

ψj Ângulo de dilatância da descontinuidade

xxii

1

CAPÍTULO 1

1 – INTRODUÇÃO

A indústria de petróleo mobiliza grandes somas de recursos econômicos para

sustentar as operações de exploração e produção de óleo e gás. Deter reservas de óleo e

gás e dominar tecnologias para produzi-las é fator crítico de desenvolvimento para o

Brasil e para o mundo.

O caminho do petróleo, desde a pesquisa para sua descoberta até a sua chegada

a uma refinaria passa por diversas etapas sendo uma das principais delas, e que tem um

custo mais dispendioso, a etapa de perfuração de poços.

A avaliação da estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas tem

despertado um crescente interesse da indústria petrolífera devido à existência de

inúmeros poços atravessando formações fraturadas em rochas carbonáticas da Bacia de

Campos e do Golfo do México.

Trabalhos se referindo especificamente ao problema de estabilidade de poços

em rochas fraturadas são poucos e este é um assunto que precisa ser mais estudado e

analisado, sobretudo com os novos rumos que a perfuração de poços está tomando, com

perfurações profundas de até 8000m em rochas fraturadas. Este problema é muito

relevante para a indústria nacional e internacional do petróleo e necessita de soluções

para serem adotadas na prática da Engenharia.

2

1.1 – OBJETIVO

O objetivo principal deste trabalho é propor uma solução analítica, ou seja, uma

Solução de Engenharia, baseada no Método de Equilíbrio Limite para auxiliar no

problema de instabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas. As soluções

analíticas são propostas para se determinar a faixa de valores de massa específica do

fluido de perfuração, conhecida também como janela operacional, sendo calculado o

limite superior e o limite inferior da massa específica do fluido de perfuração,

favorecendo dessa forma, a estabilidade do poço em rochas fraturadas. É também

objetivo desta dissertação validar a solução analítica proposta através de comparações

com modelagens computacionais paramétricas como uso do software UDEC, os limites

de massa específica superior e inferior (Guenot, 1987; Fjaer et al., 1992; Roegiers,

2002), para a estabilidade de poços em rochas fraturadas de diferentes características

geomecânicas e geométricas.

1.2– CONTEÚDO E ACAPITULAÇÃO

Esta dissertação é composta do seguinte conteúdo e acapitulação:

- Capítulo 2: Estabilidade de Poços de Petróleo - são descritos os principais

problemas de estabilidade em meios contínuos e em meios descontínuos e a importância

do fluido de perfuração na estabilidade de um poço de petróleo.

- Capítulo 3: Equilíbrio de blocos de rocha no entorno de cavidades

subterrâneas - são descritas as soluções existentes na literatura com base no Método de

Equilíbrio Limite para blocos rochosos de teto plano e teto circular.

3

- Capítulo 4: Soluções Propostas - Equilíbrio de blocos no entorno de poços de

petróleo - são descritas as soluções analíticas propostas para o caso de estabilização de

poços de petróleo em rochas fraturadas.

- Capítulo 5: Método dos Elementos Discretos e o Software UDEC – é

descrito a fundamentação teórica do Método dos Elementos Discretos e o uso do

software UDEC como ferramenta de suporte para o estudo de estabilização de Poços em

Rochas Fraturadas.

- Capítulo 6: Modelagem Computacional de poços em rochas fraturadas – são

descritos as diversas análises computacionais que foram feitas fazendo o uso de

parâmetros reais de um poço da Bacia de Campos a fim de que se possam ter resultados

mais próximos da realidade.

- Capítulo 7: Validação e Comparação das Soluções Propostas – é feita a

validação das soluções propostas com comparações dos resultados da solução analítica

com os resultados da solução computacional utilizando o software UDEC.

- Capítulo 8: Conclusões e Sugestões para trabalhos futuros – são apresentadas

as conclusões do trabalho realizado e sugestões para possíveis trabalhos futuros e logo

depois são apresentadas as Referências Bibliográficas seguidas dos Anexos.

4

CAPÍTULO 2

2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO

A perfuração de um poço de petróleo é realizada através de uma sonda,

conforme ilustrado na Figura 2.1.

Figura 2.1 – Esquema de uma sonda rotativa

Na perfuração rotativa, as rochas são perfuradas pela ação de rotação e peso

aplicados a uma broca existente na extremidade de uma coluna de perfuração. Os

fragmentos das rochas são removidos continuamente através do fluido de perfuração. O

fluido é injetado por bombas para o interior da coluna de perfuração através da cabeça

de injeção ou swivel e retorna à superfície através do espaço anular formado pelas

paredes do poço onde é depositado nos tanques de lama.

5

Os fluidos de perfuração são misturas de sólidos, líquidos, produtos químicos

e, por vezes, até gases. As funções do fluido de perfuração são basicamente:

- estabilização das paredes do poço;

- resfriamento e lubrificação da coluna de perfuração;

- limpeza do poço dos cascalhos gerados pela broca e transportá-los até a

superfície (Figura 2.2).

Figura 2.2 – Ilustração da remoção de cascalhos pelo fluido de perfuração

Os fluidos de perfuração são muito importantes para a estabilidade do poço,

pois é através dele que são exercidas pressões sobre as formações rochosas, de modo a

evitar o influxo e refluxo de fluidos e assim estabilizar as paredes do poço.

A pressão do fluido depende de sua massa específica e esta é a principal

propriedade responsável pela estabilidade do poço. Os problemas de instabilidade de

um poço de petróleo geralmente estão ligados ao desconhecimento das tensões in situ e

da pressão de poros; e do uso de massa específica do fluido de perfuração inadequada.

As pressões que levam a parede do poço à ruptura são pressão de colapso e pressão de

fratura. Os maiores problemas são:

Coluna de Perfuração

Formações Rochosas

Broca de perfuração

Cascalhos sendo carregados pelo fluido até a superfície

6

(i) Colapso inferior: ocorre quando a parede do poço rompe por cisalhamento,

ocasionado por uma tensão de compressão. A origem desta ruptura geralmente é o uso

de uma massa específica do fluido de perfuração baixa, gerando uma pressão

insuficiente para estabilizar as paredes do poço, havendo o estreitamento do poço

através de desmoronamentos do mesmo. Neste caso pode ocorrer também o kick

ocasionado pelo fluxo de fluidos presentes na rocha para dentro do poço. (Figura 2.3).

(ii) Fraturamento superior: ruptura por tração, ocorre quando o valor da massa

específica do fluido de perfuração é alto, gerando uma pressão tal que fratura a rocha e

faz com que o fluido migre por entre estas fraturas, abrindo o poço (Figura 2.3).

Figura 2.3 – Alguns tipos de instabilidade de poço (Last & Pumb, 1995).

Guenot (1987) identificou dois novos tipos de instabilidades geradas na parede

do poço. Sendo:

Alargamento do poço

Estreitamento do poço

7

(i) Colapso superior: a depender do estado das tensões in situ pode haver a ruptura da

parede do poço por compressão utilizando um fluido de perfuração muito pesado, ou

seja, com massa específica elevada.

(ii) Fraturamento inferior: ocorre o fraturamento da parede do poço por tração

utilizando um fluido com massa específica baixa.

Entretanto, a forma mais comum de instabilidade do poço que é percebida na

prática da engenharia de poço é o colapso inferior e o fraturamento superior (Guenot

1987).

As situações descritas podem ter uma conseqüência extremamente indesejável

para as companhias de petróleo: a perda do poço. A perda do poço para uma companhia

de petróleo gera grandes prejuízos econômicos. Contudo, nota-se que o conhecimento

da faixa de valores da massa específica ideal do fluido é de grande importância para se

manter o poço estável. E percebe-se que não basta saber somente a massa específica do

fluido para não acontecer o colapso inferior do poço, deve-se conhecer também o valor

da massa específica do fluido para não acontecer o fraturamento superior da formação

rochosa e assim obter a janela operacional do poço.

2.1 – CONCEITO E MODELAGEM DE MEIOS CONTÍNUOS E DESCONTÍNUOS

A rocha é diferenciada dos outros tipos de materiais da engenharia pela

presença de descontinuidades nela. O desenvolvimento de métodos para modelar

descontinuidades e de seus efeitos foi característica notável na adaptação de métodos de

engenharia envolvendo mecânica das rochas (Brady 2005).

A definição de um modelo de maciço rochoso contínuo e descontínuo depende

da influência das descontinuidades contidas neste maciço rochoso, de acordo com a

escala do problema em questão. A Figura 2.4 mostra a representação simplificada da

influência exercida na seleção de um modelo de comportamento de um maciço rochoso

pela relação entre o espaçamento da descontinuidade e a escala do domínio do

problema. Pode ser que, na escala do problema, o maciço rochoso está relativamente

8

livre de descontinuidades, podendo ser tratado como um “contínuo” como mostra a

Figura 2.4a. Para a estrutura do maciço rochoso da Figura 2.4b, na escala deste caso, há

presença de várias descontinuidades e estas se interceptam formando blocos que

interferem na estabilidade do poço. Neste caso, o meio é definido como descontínuo e o

método de avaliação de estabilidade que tem sido utilizado para este caso é o Método

dos Elementos Discretos, que é uma técnica computacional que tem se mostrado

eficiente para analisar meios descontínuos ou fraturados. Na Figura 2.4c, as

descontinuidades estão muito próximas umas das outras para a escala do domínio do

problema em questão e neste caso o maciço rochoso pode ser representado como um

contínuo equivalente, ou seja, as propriedades do maciço rochoso neste caso são

equivalentes ao maciço rochoso “contínuo”.

Devido às diferentes condições de modelagem do maciço rochoso ilustradas na

Figura 2.4, análises computacionais e/ou analíticas são requeridas para investigar o

comportamento do maciço rochoso em questão. Mesmo se o método computacional ou

analítico escolhido para as análises for adequado, as previsões do desempenho destas

análises podem conter erros devido à deficiência dos dados de caracterização do local

ou variabilidade das propriedades do maciço rochoso. Sendo assim tornam-se

necessário o uso de retroanálises, atualizações dos dados de caracterização do local e

modelagem geomecânica para uma efetiva análise.

9

Figura 2.4 – Representação da influência da escala no modelo de comportamento do maciço rochoso (a) Rocha intacta – Meio Contínuo (b) Várias descontinuidades – Meio Descontínuo (c) Meio Contínuo Equivalente ou Pseudo-contínuo.

Análises computacionais e analíticas que são utilizadas para avaliar a

estabilidade de poços em meios contínuos e descontínuos são apresentadas a seguir.

10

2.1.1 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS CONTÍNUOS

As soluções analíticas existentes na literatura para meios contínuos são

baseadas nas Equações do Contínuo, também conhecidas como Equações de Kirsch

1898 (Eq. 2.1, 2.2 e 2.3). As Equações de Kirsh podem ser utilizadas a fim de computar

as redistribuições de tensões ao redor do poço através do uso de vários critérios de

ruptura por tração ou por compressão e assim auxiliar no cálculo da pressão de colapso

e de fraturamento (Figura 2.5).

Figura 2.5 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005).

( )

+−−+

−+= θκκσ 2cos.

.3.41)1(11

2 4

4

2

2

2

2

r

a

r

a

r

apr (Eq. 2.1)

+−−

++= θκκσ θ 2cos.

.31)1(1)1(

2 4

4

2

2

r

a

r

ap (Eq. 2.2)

−+−−= θκτ θ 2sin.

.3.21)1(

2 4

4

2

2

r

a

r

apr (Eq. 2.3)

Onde:

11

σr é a componente normal de tensão na direção radial;

σθ é a componente normal de tensão na direção circunferencial;

τrθ é a componente de tensão cisalhante;

θ é o ângulo medido no sentido anti-horário no plano xy e a partir da direção

y;

r é a distância radial a partir do eixo do poço;

a é o raio do poço;

κ é razão entre a tensão horizontal maior e menor.

Algumas hipóteses simplificadoras são adotadas para se utilizar as Equações

de Kirsch tais como: o meio ser homogêneo, isotrópico, contínuo e com comportamento

elástico e linear. No caso do meio ser contínuo, as demais hipóteses simplificadoras

geralmente não comprometem os resultados finais de estabilidade do maciço rochoso

(Santos 1989). Entretanto, como pode ser visto por Santarelli et al 1992 e Chen et al

2003, para análise de maciços rochosos fraturados, ou seja, em meios descontínuos os

resultados podem ser comprometidos uma vez que as Equações de Kirsch consideram

que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha é grande o bastante quando

comparadas ao diâmetro do poço. No entanto, as observações de campo mostraram que

apesar de seus relativamente pequenos diâmetros, os poços podem também ser afetados

pela presença de fraturas naturais do maciço rochoso. E as equações do contínuo não

levam esse fato em consideração, além de considerar a poro pressão sempre constante.

Detalhes da demonstração das Equações de Kirsch podem ser vistos no Anexo

I.

12

2.1.2 – ESTABILIDADE DE POÇOS DE PETRÓLEO EM MEIOS DESCONTÍNUOS

Manter um poço estável é um dos principais problemas encontrados na

indústria do petróleo uma vez que instabilidade do poço resultará em custos elevados de

perfuração.

Além da ruptura na rocha intacta, a instabilidade do poço pode ser também

iniciada ao longo das descontinuidades naturais, tais como planos de estratificação e

fratura em maciços rochosos (Last et al 1995, Okland and Cook 1998). Tais

instabilidades ocorrem quando as tensões efetivas, agindo nas descontinuidades

alcançam seus valores críticos os quais resultarão no deslizamento e rotação dos blocos.

2.1.2.1 – MECANISMOS DE INSTABILIDADE EM ROCHAS FRATURADAS

A estabilidade de poços em meios contínuos tem sido muito estudada, entretanto

pouca atenção foi dada ao que acontece no caso de formações com fraturas. Santarelli et

al 1992, pesquisou e reuniu evidências de campo durante diversas tentativas de perfurar

a grandes profundidades através de rochas carbonáticas e basaltos intensamente

fraturados. Em suas análises, modelos de elementos discretos são usados para modelar

as condições de campo e para identificar os mecanismos que causam a instabilidade.

Estas instabilidades são provavelmente resultadas das aberturas de comunicação das

juntas com o poço e uma invasão subseqüente do fluido de perfuração nestas redes de

fraturas.

A perfuração de poços para a exploração e a produção de óleo e gás sob condições

críticas sempre revelou uma necessidade de melhor entendimento da instabilidade de

poços sob várias condições de carregamento.

As instabilidades do poço são causadas geralmente ou por uma concentração

excessiva ou baixa de tensão na parede do poço ou por reações químicas na formação.

Solução para estas instabilidades está associada ao aumento da massa específica do

fluido de perfuração e/ou mudança do sistema de lama. Entretanto, mesmo que estes

métodos possam ser bem sucedido ao perfurar formações intactas, para rochas

intensamente fraturadas isso pode não acontecer. Santarelli et al 1992 descreveu estudos

13

executados a fim de permitir uma segura perfuração em uma formação intensamente

fraturada (Figura 2.6). A eficiência das diferentes tentativas em resolver o problema é

analisada. O testemunho analisado mostrou que a formação estava intensamente

fraturada e quimicamente inerte. Para modelar o problema muitos parâmetros foram

inseridos no programa de elemento discreto (UDEC). Os dados teóricos e de campo

mostram que o aumento da massa específica do fluido de perfuração tem, em tal caso,

um papel negativo na estabilidade do poço.

Pesquisas nesta área usando concepções do meio contínuo (mecânica do

contínuo) consideram que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha é

grande o bastante quando comparados aos diâmetros comuns de poços. A aproximação

fundamental de tal estudo consiste em aplicar equações elásticas isotrópicas lineares,

conhecidas como equações de Kirsch a fim de computar as redistribuições de tensões ao

redor do poço através do uso de vários critérios de ruptura por tração ou por compressão

e assim calcular ou a pressão de colapso ou a pressão de fraturamento do poço. As

várias condições de carregamento que afetam poços durante a fase de perfuração tal

como tensões, a eficiência da sustentação do fluido, a poro pressão, etc, foram

analisadas em seu estado constante e em aspectos transientes. As várias melhorias foram

feitas à aproximação original nos termos de reologia da rocha, dos critérios da falha.

Entretanto, as observações do campo mostraram que apesar de seus relativamente

pequenos diâmetros, os poços podem também ser afetados pela presença de fraturas

naturais no maciço rochoso. Maury and Sanzay 1989, depois de uma longa série de

operações, relataram que um poço de gás profundo foi perdido pela pressurização de

uma falha que conduziu ao colapso completo do poço.

Analisando as condições existentes ao redor de um poço de óleo durante a fase de

perfuração e considerando a presença do fluido de perfuração, os seguintes fatores

influenciarão na pressão de colapso e na pressão de hidrofraturamento:

- a anisotropia das tensões in situ;

- a poro pressão

- a pressão e o índice de sólidos no fluido de perfuração que formarão o reboco

(mud cake);

14

- diferença de temperatura entre o fluido de circulação e a formação; em geral o

fluido mais frio conduz a uma contração e o fluido mais quente conduz a uma expansão

da parede do poço;

- a lei de comportamento da rocha que pode incluir componentes elásticos e

plásticos, deformação e resistência anisotrópica;

- reações químicas entre certas rochas tais como folhelho e o fluido de perfuração;

- outros fatores tais como broca de perfuração, erros de procedimentos, taxas de

perfuração, etc.

Todos esses parâmetros foram estudados do ponto de vista experimental,

teórico e de implicações práticas por Santarelli et al 1992 o qual apresenta um exemplo

de campo ao perfurar formações intensamente fraturadas, o que conduziu aos principais

problemas da instabilidade. Em uma segunda parte do estudo de Santarelli et al 1992,

um testemunho foi tirado durante uma das várias trilhas laterais e é descrito junto com

as análises do laboratório executadas. Após a observação do testemunho, foi usada uma

modelagem com elemento discreto (DEM) com o software UDEC a fim compreender

os mecanismos que tinham conduzido às instabilidades no poço. O uso de um modelo

desenvolvido que estude a circulação do fluido no poço foi apresentado e mostrado

como os parâmetros o fluido foram ajustados para minimizar a erosão da parede do

poço. Os resultados do estudo de Santarelli et al 1992 foram estendidos com sucesso a

diversos outros casos do campo.

Foram identificados os mecanismos e as características de instabilidade,

demonstrando como as análises de estabilidade dos poços podem ser adaptadas para

tratar meios altamente fraturados. Neste estudo foi apresentado primeiro as observações

e as evidências de campo que sugeririam um conceito tradicional de como estabilizar

um poço, ou seja, como as teorias do contínuo e as práticas normais de engenharia de

perfuração podem ser inapropriadas quando a formação for intensamente fraturada. Em

particular, Santarelli et al 1992 focalizou em como a fratura natural afeta a

redistribuição de tensões ao redor do poço e quais as conseqüências de invasão da rede

de fraturas pelo fluido de perfuração em termos de estabilidade de poços. E no fim das

análises os fatores que conduziram a estabilização do poço foram identificados.

15

Foram perfurados dois poços a grandes profundidades e uma série de

instabilidades ocorreram, o que conduz a grandes prejuízos. A seqüência na perfuração

que é apresentada na Figura 2.6 ocorreu da seguinte forma:

Figuras 2.6 – Parâmetros do fluido de perfuração durante três tentativas para perfurar formações vulcânicas (Santarelli et al 1992).

(i) O poço foi perfurado sem nenhum incidente visível até uma profundidade de

aproximadamente 3600m onde então foram encontrados estratos instáveis de

argilitos - silicatos. A instabilidade foi resolvida aumentando-se a massa específica do

fluido de perfuração base-água para 1.2g/cm3(10,00lb/gal). Paralelamente a viscosidade

de Marsh foi aumentada para 80 sec. A uma profundidade de 4000 m inicia-se a

formação de rochas carbonáticas e basaltos, e a perfuração torna-se difícil abaixo de

4042 m. Os maiores indícios de instabilidade foram uma grande quantidade de

desabamentos, elevados torques e grandes tensões. Para estabilizar as formações,

tratamentos clássicos foram usados; a massa específica do fluido de perfuração foi

aumentada para 1,26g/cm3 (10,51lb/gal) enquanto a viscosidade de Marsh foi

aumentada de 110 sec para 180 sec. Entretanto, a estabilidade do poço tornou-se pior,

conduzindo a um abandono do poço e seguindo lateralmente.

Prof

(m)

Mas. Esp. (g/cm

3)

1.2 1.3 1.4 1.5 80 100 120 140 3 4 5 6 1.2 1.3 1.4 1.5 60 70 80 90 1 2 3 4 1.2 1.3 1.4 1.5 60 80 100 120 1 2 3 4

Filt. API. (cm

3)

Vis. March. (sec)

Mas. Esp. (g/cm

3)

Filt. API. (cm

3)

Vis. March. (sec)

Mas. Esp. (g/cm

3)

Filt. API. (cm

3)

Vis. March. (sec)

1ª Tentativa Fluido Base-água

2ª Tentativa Fluido Base-água depois

Fluido Base-óleo

3ª Tentativa Fluido Base-óleo

Mudança para Fluido base óleo

16

(ii) A segunda tentativa foi iniciada com um fluido de perfuração base-água de massa

específica 1,25g/cm3 (10,42lb/gal) e viscosidade de Marsh de 55 sec. Neste instante o

filtrado API tinha sido reduzido para 4cm3 e subsequentemente para 2,5 cm3 depois dos

primeiros sinais de instabilidade. A uma profundidade de 4020 m, decidiu-se mudar o

fluido para base-óleo pensando no inconveniente das formações contendo minerais de

argila que podiam ser a origem das instabilidades. Uma nova massa específica do fluido

de perfuração é aumentada para 1,29g/cm3 (10,76lb/gal) a viscosidade de Marsh para 46

sec e o filtrado API foi mantido abaixo de 3.2 cm3. Entretanto, o poço ainda estava

instável e a massa específica do fluido foi aumentada para 1,36g/cm3 (11,34lb/gal) e,

depois aumentada para 1,45g/cm3 (12,09lb/gal) o que não melhorou em nada a situação.

Simultâneo aumento da viscosidade Marsh e diminuição do filtrado API também falhou

para resolver o problema e o poço foi perdido mais uma vez.

(iii)Na terceira tentativa para perfurar aquelas formações foi utilizado um fluido base-

óleo com massa específica de 1,36 g/cm3(11,34lb/gal). Neste último caso a viscosidade

de Marsh foi aumentada de 60 sec para 110 sec e o filtrado API foi reduzido até zero

sem mudança da massa específica do fluido de perfuração. Então a da massa específica

do fluido de perfuração foi reduzida ligeiramente para 1,33 g/cm3 (11,09lb/gal). Apesar

das condições difíceis de perfuração o poço foi completado com sucesso.

A seqüência esboçada acima mostrou que, neste caso, sempre que a massa

específica do fluido de perfuração foi aumentada, o poço tornou-se menos estável. Os

fatores estabilizantes poderiam ser somente a redução do filtrado, aumento da

viscosidade ou mudança do sistema de lama.

Durante a tentativa bem sucedida, um testemunho foi tirado de uma

profundidade de 4040 m, o perfil caliper mostrou que o testemunho foi retirado de uma

profundidade onde o alargamento do poço ocorria e que foi conseqüentemente

representativo de uma formação mais problemática. Análises do testemunho revelaram

que as formações vulcânicas – basaltos e depósitos calcários – contendo minerais que

quase não expandiam e, portanto uma causa químico-física para a instabilidade poderia

ser desconsiderada. A importância de troca de fluido base-água para fluido base-óleo

pode ser considerada como insignificante como uma primeira aproximação, e esta com

certeza foi parcialmente confirmada pela perda do segundo poço com fluido base-óleo.

17

Observações do testemunho mostraram que a rocha estava intensamente

fraturada, com o espaçamento entre fraturas de apenas 5 mm em uma direção e 8mm em

outra (Figura 2.7) mas na média de 2,5 a 4cm. A fratura estava ou vazia ou preenchida

com calcita e quartzo (Figura 2.8).

Figuras 2.7 – Juntas espaçadas e próximas observadas no testemunho (Santarelli et al 1992).

Figuras 2.8 – Observações de testemunho com uma fratura preenchida por calcita e quartzo (Santarelli et al 1992).

Em muitos exemplos, fraturas estavam claramente infiltradas pelo fluido de

perfuração, mas a rocha matriz estava quase impermeável (Figura 2.9).

18

Figuras 2.9 – Resíduos e sólidos de fluido em uma fratura. (Santarelli et al 1992).

A resistência da matriz rochosa (Tabela 2.1) foi medida diretamente por uma

série de ensaios de compressão uniaxial na parte dos testemunhos que estavam intactas.

Estes dados foram então extrapolados para o resto do testemunho por uma série de

medidas do ensaio de dureza de Brinnel.

Tabela 2.1 – Variação da resistência da matriz rochosa com a profundidade.

Adaptado (Santarelli et al 1992).

Profundidade (m) Resistência Estimada (MPa) 4040-4042 80-100 4042-4043 50-70 4043-4044 80-130

As tensões in situ foram estimadas do perfil de poro pressão com a

profundidade e das respostas de pressão durante leak-off test executado a várias

profundidades impermeáveis ou seja, formações não fraturadas. Nestas análises

presumiu-se que a pressão de fraturamento hidráulico corresponde ao começo de não

linearidade das pressões versus curva de volume leak-off test poderia ser interpretado

pelo uso de elasticidade linear para inferir o valor da máxima tensão horizontal. Esta

estimativa é 30,7 MPa para uma máxima tensão in situ efetiva horizontal (σmáx) e 21,2

19

MPa para a tensão in situ efetiva mínima horizontal (σmin). O perfil da massa específica

dava uma estimativa da tensão in situ efetiva vertical (σv) de 45 MPa.

Uma comparação rápida entre estas tensões in situ e os dados de resistência da

Tabela 2.1 tornam evidente que tratando a rocha como um meio contínuo e usando as

Equações de Kirsch não conduziriria a uma previsão da grande instabilidade que foi

ocorrida no campo. Consequentemente foi feita a modelagem das descontinuidades da

rocha a fim de compreender melhor os mecanismos que originam a instabilidade e dessa

forma determinar quais eram os seus parâmetros governantes.

De certa forma, a maioria dos métodos numéricos clássicos, elementos finitos

e diferenças finitas, por exemplo, podem modelar descontinuidades usando elementos

especiais ou “nós” para acomodar deslocamentos cisalhantes. Entretanto estes tipos de

modelagem frequentemente apresentam dois tipos de limitações:

(i) as formulações são frequentemente baseadas em deformações pequenas e

são, portanto, limitadas para modelagens com grandes deslocamentos que ocorrem ao

longo das descontinuidades. Sendo assim, não são confiáveis quando ocorrem

deslocamentos maiores que 10% dos comprimentos iniciais das descontinuidades;

(ii) as formulações baseadas em elementos especiais não funcionam quando as

descontinuidades se interceptam porque tais métodos não lidam com rotação e

separação de blocos.

A modelagem de elemento discreto, conhecido como MED, foi proposto e

desenvolvido para resolver estas dificuldades. O estudo apresentado por Santarelli et al

1992 foi feito no software UDEC por este parecer ser o mais adequado ao estudo do

comportamento de maciço rochoso intensamente fraturado e por este software

considerar interação entre a rocha e o fluido nas suas análises.

No UDEC, o fluxo de fluido é acoplado ao comportamento mecânico do

maciço rochoso como uma variação da pressão na junta que modificará as forças no

bloco e assim a abertura da junta, que por sua vez modificará a queda de pressão ao

longo da mesma.

Uma seção de deformação plana 2D, ortogonal ao poço vertical, Figura 2.10,

foi estudada. A geometria da junta foi sugerida por algumas observações de testemunho

(Figura 2.10).

20

Figura 2.10 – Geometria do modelo – Pm é a sobre pressão do fluido, D o diâmetro do poço 8 ½”, e1 espaçamento de 4cm e e2 espaçamento de 2,5cm. (Santarelli et al 1992).

Parâmetros físicos que foram ou medidos diretamente no testemunho para uma

rocha intacta ou estimadas para as juntas, são dados na Tabela 2.2. Devido a uma

grande resistência uniaxial do material, os blocos foram considerados como elástico

linear, enquanto que as juntas foram consideradas como elasto-plástica utilizando o

critério de Mohr Coulomb. Foi também definido que o trabalho fosse em termos de

tensões efetivas, o que significa que as tensões efetivas exercidas pelo fluido dentro do

poço ou a sobre pressão de fluido, são as diferenças entre a pressão do fluido e a poro

pressão da formação.

21

Tabela 2.2 – Parâmetros usados durantes as simulações. (Adaptado Santarelli et al

1992).

Propriedade Valor Unidade Rocha intacta

Módulo de elasticidade 30 MPa Coeficiente de Poisson 0,3 -

Juntas Rigidez normal 106 MPa/m Rigidez cisalhante 105 MPa/m Coesão 0 MPa Ângulo de atrito 30 (º) Permeabilidade equivalente 10-7 m/sec Massa específica da água 960 kg/m3

Módulo volumétrico 2000 MPa Viscosidade dinâmica 0,289 cP

Vários autores demonstraram que a inclinação da junta em nas direções da

tensão in situ desempenha um papel importante.

Para os cálculos hidráulicos assume-se que somente o filtrado do fluido,

essencialmente água, flui nas fraturas, e isto conduziu à estimativa das propriedades

hidráulicas contidas na Tabela 2.2. Deve-se notar que por causa das instabilidades

numéricas potenciais, somente condições de fluxo em regime permanente foram

consideradas neste modelo. Foram feitos dois tipos de cálculos, correspondendo a dois

casos extremos cujas conseqüências mecânicas foram descritas em termos de

estabilidade de poço em uma rocha não fraturada.

O primeiro caso é aquele onde o reboco do fluido tem baixa permeabilidade.

Em tal caso, a sobre pressão do fluido é concentrada na parede do poço e sem fluxo do

fluido ocorrendo em direção à formação. A poropressão dentro da formação é então

uniforme e um cálculo mecânico simples é suficiente. Esta análise é considerada como

um tipo de análise do fluido não-penetrante.

O segundo caso é aquele onde o reboco do fluido tem um desempenho

hidráulico ruim, ou seja, o reboco do fluido tem uma permeabilidade grande quando

comparado à formação e a sobre pressão conduz o fluido para a formação. Um cálculo

hidromecânico acoplado deve então ser executado, cálculo esse que é relativamente

simples para o caso de regime permanente. Esta análise é considerada como um tipo de

análise do fluido penetrante.

22

Em ambos os casos, a seqüência de modelagem era o seguinte: o conjunto de

blocos sem escavação foi primeiro consolidado sob a influência das tensões efetivas in

situ. O poço foi então escavado suprimindo os blocos apropriados, e a sobre pressão do

fluido é aplicada no bloco na parede do poço em condições limites. Os cálculos foram

então executados até o equilíbrio alcançado ou mecanicamente ou hidromecanicamente.

O último parâmetro que foi assumido e que tem um grande impacto nos

resultados dos modelos são as sobre pressões do fluido que são aplicados ao fluido com

uma dada massa específica. Cálculos foram então conduzidos para massas específicas

do fluido de perfuração 1.12, 1.20, 1.25, 1.30, 1.40, 1.70, 2.00 g/cm3. Os resultados

foram então analisados para dois aspectos diferentes do problema que serão

apresentados:

(i) O primeiro aspecto é a maneira em que as descontinuidades naturais da rocha afetam

a distribuição de tensões ao redor do poço;

(ii) O segundo aspecto é a invasão potencial nas juntas pelo fluido de perfuração, ou

seja, o potencial de invasão do filtrado.

Até as redistribuições de tensão ao redor do poço são preocupantes. Santarelli

et al 1992 comparam os resultados obtidos para massas específicas do fluido de

perfuração típicas de 1.2 e 1.7 g/cm3. Para ambos os casos, a influência da geometria

das fraturas nos resultados são enfatizados. Somente o caso onde o reboco do fluido é

praticamente impermeável que foi analisado.

Para baixas massas específicas do fluido de perfuração (1.2 g/cm3)

correspondente a uma sobre pressão de fluido de 8 MPa, as direções das tensões

principais ao redor do poço tendem a coincidir com o conjunto de fraturas, e não com as

direções de tensão in situ. Entretanto, para massas específicas do fluido de perfuração

maiores, 1.7 g/cm3, por exemplo, correspondem a uma sobre pressão do fluido de

28 MPa, e isto pode ser explicado pelo fato de que neste último caso, a sobre pressão no

poço é similar à tensão in situ efetiva mínima, cancelando o seu efeito.

As razões atrás do alinhamento de tensão principal com as direções da fratura

tornam-se claras quando se estuda a abertura das juntas. (Figura 2.11).

23

Figura 2.11– Abertura de juntas para massa específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal).(Santarelli et al 1992).

A Figura 2.11 mostra as aberturas de juntas seguindo estritamente as direções

da fratura os quais são de certa forma, responsáveis pelo “grau de liberdade” do sistema.

É importante notar que estas aberturas de juntas não são conectadas ao poço, e assim

não podem ser invadidas pelo fluido de perfuração. A razão para tal fenômeno é que a

concentração de tensão próxima à parede do poço pressiona todas as fraturas, que são

consequentemente fechadas. A Figura 2.12 mostra que, aumentando a massa específica

do fluido de perfuração para 1.7g/cm3 (14,18lb/gal) reduzirá fortemente a abertura da

junta e que tal redução será quase completa para certas orientações, por exemplo, 20º e

somente parcial para outras (70º).

24

Figura 2.12 - Abertura de juntas para massa específicas do fluido de perfuração de

1.7 g/cm3 (14,18lb/gal)(Santarelli et al 1992).

A anisotropia do fechamento da parede do poço foi também estudada como

uma função da orientação das fraturas. (Figura 2.13)

Figura 2.13 – Taxa anisotrópica de deslocamento na parede versus orientação do bloco (Santarelli et al 1992).

Sendo A, a taxa anisotrópica de deslocamento da parede calculada como sendo

a taxa do deslocamento radial na direção de σmáx sobre o deslocamento radial na direção

25

de σmin, ambos os deslocamentos sendo calculados na parede do poço. Aplicando as

Equações de Kirsch o resultado de A é 2.15. A Figura 2.12, entretanto, revela que o

valor de A é bastante similar para todas as orientações de blocos, exceto para 45º. Neste

caso, os dois conjuntos de juntas a 45º levam facilmente para movimentos cisalhantes

que ocorrem ao longo das juntas provocando um total movimento de blocos para dentro

do poço. (Figura 2.14).

Isto poderia ser possível para um bloco isolado e que se destacasse da parede e

daí criasse um início de breakout. O breakout resultante seria então orientado

paralelamente à direção de σmáx, por exemplo, 90º, o que é esperado para uma formação

sem fratura. Ainda, para valores elevados de massa específica do fluido de perfuração,

por exemplo, 1.7 g/cm3 (14,18lb/gal) tais fenômenos quase desaparecem (Figura 2.14).

Consequentemente tais mecanismos de instabilidade são incompatíveis com as

observações de campo, porque nas observações de campo o aumento da massa

específica do fluido de perfuração causava problemas de instabilidade.

Figura 2.14 – Deslocamento cisalhante ao longo da junta para uma orientação de bloco de 45º e massa específica do fluido de perfuração de 1.2 e 1.7 g/cm3. A espessura da linha representa um deslocamento de 60µµµµm. (Santarelli et al 1992).

26

Além disso, nenhuma das tensões calculadas foram suficientes para produzir

alguma ruptura através dos blocos, sendo que todos eles ficaram distantes do critério de

ruptura do material intacto. A origem da instabilidade seria relacionada possivelmente

com a invasão do fluido de perfuração na rede de fraturas.

Um método para simular a invasão do fluido na rede de fraturas consiste em

assumir que o reboco do fluido tem uma permeabilidade alta, e então executar cálculos

hidromecânicos acoplados. Sob condições limites, a sobre pressão do fluido conduz o

fluxo de fluido na rede de fraturas somente nos blocos que são considerados

impermeáveis. Sob tais condições, as taxas de fluxo através das fraturas se tornarão

grandes quando a massa específica do fluido de perfuração diminuir, como ilustrado na

Figura 2.15.

Figura 2.15 – Taxa de fluxo através da rede de fraturas com blocos inclinados a 45º e massa específica do fluido de perfuração 1.2 e 1.3 g/cm3 (Santarelli et al 1992).

Para massa específica do fluido de perfuração de 1.3 g/cm3(10,84lb/gal) a taxa

total de fluxo através da rede de fratura é quatro vezes maior que para uma massa

específica do fluido de perfuração de 1.2 g/cm3 (10,00lb/gal). Outra conseqüência da

penetração do fluido na rede de fraturas é que as tensões efetivas normais na junta são

27

menores e que as aberturas de juntas tornam-se consideravelmente maiores quando o

reboco é impermeável (Figura 2.16). O atrito aplicado nos blocos em torno do poço

diminui e os blocos ficam praticamente soltos, tornando-se consequentemente mais

propensos a serem erodidos na parede do poço pela circulação do fluido.

Figura 2.16 – Abertura de juntas correspondentes a dois casos extremos de reboco perfeito e sem reboco. (Santarelli et al 1992).

Tenta-se usar tais mecanismos para explicar os dados de campo, como o

aumento da massa específica do fluido de perfuração sendo nesse caso, o fator

desestabilizante. Além disso, a forma de como houve a erosão com a circulação do

fluido de perfuração foi evidenciada durante as operações de campo. De um ponto de

vista prático, a estratégica usada com sucesso para perfurar o poço consiste em designar

o fluido e adaptar a taxa de circulação de uma maneira que dê uma taxa de menor

velocidade de fluido na parede do poço e ainda assegurar a lubrificação e resfriamento

da broca. Se o mecanismo tivesse ocorrido precisamente como foi modelado acima, ele

sugeriria que uma quantidade relativamente grande de fluidos de perfuração seria

perdido na formação, no entanto, não havia nenhuma evidência de perda do fluido

durante as operações de campo. Isto significa que, se uma invasão da rede de fraturas

28

pelo fluido de perfuração ocorreu, ele afetou somente uma área limitada ao redor do

poço.

Outra maneira de estudar a invasão da rede de fraturas pelo fluido de

perfuração é imaginar que por causa de um reboco do fluido eficiente, nenhuma perda

de fluido ocorre até que um critério fosse encontrado. A Figura 2.17 mostra como o

contato de uma dada junta irá de um estado de fechamento, por exemplo, abertura de

junta negativa, para um estado de abertura, abertura de junta positiva. Para esta fratura

particular, a abertura ocorrerá para uma massa específica do fluido de perfuração crítica

de 1.6g/cm3(13,34lb/gal). Usando tais métodos, é possível definir para cada geometria

uma massa específica do fluido de perfuração crítica que corresponderá à abertura de

uma junta no contato com o poço, por exemplo, 1.6 g/cm3 (13,34lb/gal) quando o bloco

tiver uma orientação de 0º ou 1.8 g/cm3 (15,01lb/gal) para 45º. É grande a influência da

orientação do bloco nestas massas específicas do fluido de perfuração críticas.

A abertura de contatos no poço resultará na abertura de uma rede de fraturas

limitadas ao redor do poço. Estas juntas serão pressurizadas pelo fluido e os blocos

correspondentes ficarão soltos, como ocorreu quando cálculos hidromecânicos

acoplados foram feitos. Estes blocos serão susceptíveis à erosão pela circulação do

fluido de perfuração porque nenhuma força hidromecânica está mantendo-os no lugar.

Figura 2.17 – Abertura de vários contatos de juntas sob aumento da massa específica do fluido de perfuração. A orientação do bloco é 0º. Os contatos são situados como na Figura 2.16. (Santarelli et al 1992).

Com estes últimos mecanismos e com outros cálculos, torna-se possível

explicar as razões das observações de campo. O aumento da massa específica do fluido

de perfuração teve um efeito negativo, porque muitas juntas comunicantes com o poço

29

tornaram-se abertas e consequentemente conduziram a desestabilização de vários

blocos. Nenhuma perda de fluido foi registrada porque somente uma região limitada em

torno do poço tornou-se disponível à circulação de fluido a cada tempo. Diminuição de

filtrado e a correspondente melhoria do reboco de fluido são de importância primária no

impedimento da invasão de fluidos de perfuração na formação. O valor elevado da

viscosidade de Marsh mostrado na Figura 2.12 foi obtido pela mudança do fluido com

polímeros e vários sólidos de diferentes graus de distribuição, que também contribuem

para o efeito selante do fluido, tornando mais difícil a entrada do fluido na rede de

fraturas. Finalmente, a redução da erosão na parede pelo fluido contribui no sentido de

manter o poço estável por não remover totalmente os blocos soltos.

Nota-se pelo caso documentado por Santarelli et al 1992 que as observações

relatadas indicaram que o aumento sistemático da massa específica do fluido de

perfuração piorou a estabilidade do poço. A modelagem pelo UDEC foi usada para

explicar qualitativamente os mecanismos que causam tais instabilidades.

O modelo permitiu identificar e visualizar o mecanismo provável que foi

responsável pela instabilidade. Sob a sobre pressão do fluido, comunicação de fissuras

com a parede do poço podem abrir, e consequentemente fazer uma região limitada da

rede de fraturas disponível ao fluido de perfuração. Por causa da abertura de juntas e a

pressão insuficiente dos blocos nesta região, eles podem ficar soltos e então serem

erodidos pelo fluido de perfuração. Estes mecanismos são compatíveis com várias

observações de campo como se segue:

(i) O aumento da massa específica do fluido de perfuração abrirá as fissuras e

provocará adicionais desestabilizações;

(ii) Nenhuma detecção de perda de fluido ocorre do poço para a formação e

somente uma região limitada da rede de fratura é afetada;

(iii) O aumento da capacidade selante do fluido através da redução de filtrado

e aumento da viscosidade podem ter como resultado um efeito benéfico;

O parâmetro mais importante para estes mecanismos em rochas fraturadas é a

orientação dos blocos com respeito às direções de tensões in situ. Algumas direções tais

como 20º, parecem muito mais críticas que outras. Este último ponto é também

indiretamente confirmado por experiências quando poços subseqüentes são perfurados

na mesma formação. Nenhum deles teve o menor problema em termos de estabilidade, e

30

isto pode ser explicado de duas formas: ou, os parâmetros de perfuração foram

ajustados para tratar do problema, ou a rede de fraturas tinha intensidades ou orientação

críticas menores.

Do ponto de vista prático, o estudo de Santarelli et al 1992 mostrou que o uso

sistemático de aumentos da massa específica do fluido de perfuração para resolver

problemas de instabilidade de poços pode ter conseqüências desastrosas, principalmente

quando a formação é naturalmente fraturada. É difícil diagnosticar estas formações

através de dados de perfuração clássicos. Dessa forma análises mais criteriosas devem

ser estudadas para um melhor entendimento do que de fato ocorre durante a perfuração

de um poço em rochas fraturadas e assim auxiliar em técnicas que podem ajudar a

manter o poço estável.

2.1.2.2 – A INFLUÊNCIA DA INFILTRAÇÃO DO FLUIDO NA FRATURA

Poucos registros de análise numérica para investigar o comportamento de

poços perfurados em massas rochosas fraturadas podem ser encontrados na literatura

especialmente no que tange a redução do ângulo de atrito das fraturas quando estas são

infiltradas com o fluido. Chen et al. (2003) conduziram um trabalho de comportamento

de poços perfurados em massas rochosas fraturadas. Entretanto nenhum dado de

infiltração de fluido, o qual se acredita ser crítico em massas rochosas, é considerado

neste estudo.

Foram apresentadas análises acopladas para investigar a influência de maciço

rochoso fraturado, da poropressão e da infiltração do fluido sob os estados isotrópicos e

anisotrópicos de tensão. As análises são feitas no software UDEC.

Segundo Chen et al. (2003), o domínio do problema modelado no UDEC

corresponde ao da Figura 2.18.

31

Figura 2.18 – Modelo conceitual e condições limites (Chen et al 2003).

A parede do poço está submetida a uma pressão do fluido, Pm=26MPa. O

domínio do problema é de uma profundidade de 2000m sujeitado a uma tensão vertical

in-situ, σv, tensão horizontal maior e menor σH e σh (Tabela 2.3), e uma poropressão

inicial de 21MPa. Há duas famílias de fraturas (grandes) no modelo, orientadas

α1 e α2 e espaçamentos S1 = S2 = 0.065m.

Tabela 2.3 – Condições de tensão inicial e orientações da fratura Chen et al (2003).

Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4

σσσσv (MPa) 44 44 44 44

σσσσH (MPa) 40 60 40 60

σσσσh(MPa) 40 40 40 40

αααα1 (o) 45 45 15 15

αααα2 (o) 45 45 45 45

O bloco da rocha intacta estava submetido a uma deformação elastoplástica

com o critério de ruptura de Mohr Coulomb e uma regra de fluxo não associada. As

deformações das fraturas são assumidas para seguir o modelo de deslizamento de

Coulomb.

32

As propriedades mecânicas e físicas da rocha intacta usadas no modelo são

valores típicos de um folhelho sintético (Chen et al. 1999), estão na Tabela 2.4.

Tabela 2.4 – Propriedades Mecânicas e Físicas da rocha intacta e da fratura

Chen et al (2003).

Propriedades Valor

Rocha intacta

Massa específica (kg/m3) 2278

Módulo volumétrico (GPa) 18.87

Módulo Cisalhante (GPa) 7.72

Ângulo de atrito (o) 36.2

Coesão (MPa) 6.3

Ângulo de dilatação (o) 0

Resistência à tração (MPa) 2.07

Fratura

Módulo volumétrico do fluido (GPa) 2.0

Massa específica do fluido (kg/m3) 1000

Rigidez normal (Pa/m) 900 x 109

Rigidez cisalhante (Pa/m) 600 x 109

Coesão (MPa) 0

Ângulo de atrito (o) 36.5

Ângulo de atrito depois da infiltração do

fluido de perfuração (o) 25

Limite de tensão (MPa) 0

Abertura residual (m) 1.25x10-4

Abertura normal inicial de tensão (m) 2.5x10-4

Variando as orientações das fraturas e as condições de tensão in situ, 4 casos

do modelo UDEC foram gerados para investigar a influência de combinações de fratura

padrão e condição de tensão na estabilidade de poços. Dois locais da parede do poço são

selecionados em cada caso para monitorar a deformação. Além disso, dois locais

33

internos ao maciço rochoso, um de 0.04m e outro de 0.08m fora da parede do poço, são

monitorados para a poropressão e resposta de regime de fluxo. O padrão de fraturas e os

locais monitorados são ilustrados na Figura 2.19 e 2.20. Os parâmetros usados para

definir os quatro casos estão na Tabela 2.3.

Figura 2.19 – Padrão de fraturas para Casos 1 e 2 (Chen et al 2003).

Figura 2.20 – Padrão de fraturas para Casos 3 e 4 (Chen et al 2003).

34

Para a modelagem da redução do ângulo de atrito das fraturas devido à

infiltração do fluido, segundo Chan et al 2003, o modelo é inicialmente colocado em

equilíbrio sem escavação. O poço é então perfurado com uma pressão do fluido. As

respostas drenadas e não-drenadas podem ser investigadas durante este estágio. A

resposta não-drenada considera somente a mudança de poro pressão gerada devido à

deformação mecânica enquanto respostas drenadas levam em conta deformações

mecânicas e difusão da poro pressão, simultaneamente.

Segundo Chan et al 2003, infiltrações do fluido nas fraturas podem conduzir a

uma redução do ângulo de atrito da fratura, essa redução ocorre devido às interações

com formações reativas e/ou lubrificação das fraturas.

Um procedimento simples é adotado para avaliar a extensão de infiltração do

fluido de perfuração. O domínio de infiltração é circular em torno do poço. A distância

radial de infiltração do fluido, R, é estimada simplesmente usando uma regra de

proporção entre o volume de fluido e volume de fraturas. O ângulo de atrito das fraturas

localizado na região de infiltração de fluido é atribuído então um novo valor, reduzido,

e no modelo é dado um ciclo para avaliar a ruptura.

O ângulo de atrito das fraturas é atualizado cada vez que um novo R é

calculado. O domínio circular de infiltração do fluido é somente válido para materiais

homogêneos sob condições isotrópicas de tensão. A Tabela 2.5 mostra a máxima

mudança de poropressão da fratura, ∆Pp, deslocamento cisalhante da fratura, Sm , e vetor

de deslocamento da rocha intacta, Dm em diferentes estágios da perfuração para cada

caso. A Tabela 2.5 também lista as fraturas em equilíbrio limite. Os deslocamentos em

dois pontos de monitoração na parede do poço (Figuras 2.19 e 2.20) baseados em

abordagens de análise diferentes são comparados nas Figuras 2.21 e 2.22.

A fim de comparação, deslocamentos calculados de soluções do Contínuo são

também incluídas na Tabela. 2.5.

35

Tabela 2.5 – Resultados das Análises (Chen et al 2003).


Resposta não drenada

∆Pp (MPa) 5 17.6 5 15.51

Dm (mm) 0.119 0.477 0.124 0.457

Sm (mm) 0.031 0.061 0.017 0.059

fraturas em limite

de equilíbrio de

atrito

Não Sim Não Sim

Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura constante

∆Pp (MPa) 5 5 5 5

Dm(mm) 0.123 0.495 0.125 0.466

Sm(mm) 0.032 0.09 0.017 0.061

fraturas em limite

de equilíbrio de

atrito

Não Sim Não Sim

Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura reduzido

∆Pp (MPa) 5 6.701 5 5

Dm (mm) 0.141 0.54 0.131 0.484

Sm (mm) 0.062 0.364 0.03 0.228

fraturas em limite

de equilíbrio de

atrito

Sim Sim Sim Sim

Soluções do Contínuo

Dm (mm) 0.145 0.472 0.145 0.472

As propriedades da rocha intacta listadas na Tabela 2.4 são usadas para obter a

solução do Contínuo. Diferentes das soluções do UDEC, que neste caso são para meios

Descontínuos, as soluções do Contínuo são baseados em poropressão constante. As

soluções do Contínuo não predizem material deformado em nenhum dos casos.

36

Pode ser visto na Figura 2.21 que os deslocamentos radiais da parede do poço

no sentido de σh para condições isotrópicas de tensão (Casos 1 e 3) são quase os

mesmos.

Figura 2.21 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σσσσh nos 4 Casos

(Chen et al 2003).

Entretanto, a Figura 2.22 mostra que, sob as mesmas condições de tensão, os

deslocamentos radiais da parede do poço no sentido do σH do Caso 3 são ligeiramente

maiores que no Caso 1.

Figura 2.22 – Deslocamentos radiais na parede do poço na direção σσσσH nos 4 Casos

(Chen et al 2003).

Esta diferença maior pode ser vista como uma deformação adicional na parede

do poço. Os deslocamentos maiores do Caso 3 são devido ao grande ângulo de

interseção das fraturas na parede do poço.

Como pode ser visto na Figura 2.23 para o Caso 1 e na Figura 2.24 para o

Caso 3, sob as mesmas condições de tensão, a distribuição de deslocamentos ao redor

do poço é similar para os dois padrões de fraturas.

37

(a) (b)

(c)

Figura 2.23 – Caso 1 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de do fluido (Chen et al 2003).

38

(a) (b)

(c)

Figura 2.24 – Caso 3 – (a) Vetores de deslocamento não drenado e mudanças de poropressão. (b) Vetores de deslocamento drenado e mudanças de poropressão com ângulo de atrito constante (c) Fraturas em equilíbrio limite com ângulo de atrito da fratura reduzido devido à infiltração de fluido (Chen et al 2003).

39

A magnitude de deslocamentos da rocha intacta para os dois casos em

diferentes estágios são também similares como mostra a Tabela 2.5 e nas Figuras 2.20 e

2.21.

Entretanto, o deslocamento cisalhante da fratura dos dois Casos são

significantemente diferentes. Fraturas no Caso 1 têm maiores deslocamentos que no

Caso 3. Espera-se que fraturas com grandes deslocamentos alcançarão sua resistência

limite mais cedo, resultando na ruptura do poço, devido ao deslizamento ao longo da

fratura. Em outras palavras, ruptura do poço pode acontecer no Caso 1, mas não no

Caso 3. A extensão da mudança de poropressão na formação no Caso 1 e no Caso 3 é

similar quando não há fluxo (resposta não drenada), mas tem uma grande diferença

quando o fluxo inicia. Comparando a Figura 2.25 com a Figura 2.26, pode ser visto que

o comprimento da fratura no equilíbrio limite no Caso 1 é maior que no Caso 3.

Algumas fraturas em equilíbrio limite no Caso 1 se cruzam podendo resultar nos blocos

livres que estão sendo gerados.

Observações semelhantes são também evidenciadas para os Casos 2 e 4, que

estão sob as mesmas condições de tensão in-situ. Entretanto, o deslocamento radial na

parede do poço no sentido de σh é em direções opostas, ou seja, para dentro da formação

no Caso 2 e para fora no Caso 4 (veja Figura 2.21) devido à diferença de padrão de

fraturas. Os deslocamentos radiais são nas mesmas direções em ambos os casos, mas

maior para o Caso 2 (veja Figura 2.21). Como também mostrado na Tabela 2.5, a

magnitude dos deslocamentos da rocha intacta e a magnitude do deslocamento

cisalhante da fratura do Caso 2, para todos os tipos de análises, são significantemente

maiores que aqueles do Caso 4. Isto indica que poços no Caso 2 são bem menos estáveis

que aqueles no Caso 4.

As diferenças de porcentagem entre os resultados para diferentes padrões de

fraturas e sob as mesmas condições de tensão são apresentadas na Tabela 2.6.

40

Tabela 2.6 – Diferenças de porcentagem devido ao padrão de fraturas - tensão anisotrópica (Chen et al 2003).

Padrão de fraturas Anisotropia de tensão

Diferença entre

Casos 1 e 3

Diferença entre

Casos 2 e 4

Diferença entre

Casos 1 e 2

Diferença entre

Casos 3 e 4

Resposta não drenada

∆Pp (%) 0 12 252 210

Dm (%) 4.2 4.2 301 269

Sm (%) 45 3.3 97 247

Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura constante

∆Pp (%) 0 0 0 0

Dm (%) 1.6 5.9 302 273

Sm (%) 47 32 181 259

Resposta drenada com ângulo de atrito da fratura reduzido

∆Pp (%) 0 25 25 0

Dm (%) 7 10 283 270

Sm (%) 52 37 487 660

Para o mesmo padrão de fratura sob condições de tensão diferentes, tais como

no Caso 1 e 2, e no Caso 3 e 4, o deslocamento do bloco, o deslocamento cisalhante da

fratura e a mudança de poropressão são significantemente diferentes, como mostrado na

Tabela 2.5. Deslocamentos maiores na rocha intacta e nas fraturas ocorrem sob

condições de tensão anisotrópica. As máximas mudanças de poropressões em diferentes

estágios de perfuração no Caso 1 e 3 são 5 MPa, que é a diferença entre a pressão do

fluido e a poropressão inicial. Entretanto, mudanças máximas de poropressão nos Casos

2 e 4 são geradas quando o fluxo não é permitido (não-drenado). Diferenças grandes

indicam a importância da anisotropia de tensão.

A diferença de porcentagem entre os resultados para o mesmo padrão de

fraturas sob diferentes condições de tensão estão apresentados na Tabela 2.6. Pode ser

visto que as diferenças de condições de tensão anisotrópicas são significativamente

maiores que aquelas para as condições de tensão isotrópicas. Além disso, diferenças de

41

porcentagem muito maiores de deslocamento cisalhante de fratura são observados para

respostas drenadas com redução do ângulo de atrito em comparação com ângulo de

atrito da fratura constante. Isso indica que a extensão da formação que sofre a mudança

de poropressão e a magnitude de deslocamento são dominados pela condições de tensão

in situ.

Segundo Chan et al 2003, a diferença significantiva entre as respostas

drenadas com ângulo de atrito reduzido e constante, como mostrado na Tabela 2.7,

indica claramente os efeitos de infiltração do fluido. As diferenças de porcentagem entre

cada caso estão apresentadas na Tabela 2.7.

Tabela 2.7 – Diferenças de porcentagem entre respostas drenadas com ângulo de atrito das fraturas constante e reduzido (Chen et al 2003).


∆Pp (%) 0 25 0 0

Dm (%) 15 9.1 4.8 3.9

Sm (%) 94 304 77 274

Pode ser vista que a diferença de porcentagem de deslocamento cisalhante da

fratura pode ser maior que 75% para poços sob condições de tensão isotrópica. Quando

as tensões in situ são anisotrópicas, o deslocamento cisalhante da fratura com redução

do ângulo de atrito da fratura devido à infiltração do fluido pode ser até 250% maiores

que aqueles com ângulo de atrito constante. Quando o efeito de infiltração do fluido não

é considerado, nos Casos 1 e 3, nenhuma fratura está no equilíbrio limite. Quando o

efeito da infiltração do fluido é considerado naqueles casos, todas as fraturas

alcançaram o equilíbrio limite no final das análises (como mostrado na Figuras 2.22 e

2.23). Nos Casos 2 e 4, o comprimento e o número de fraturas em equilíbrio limite,

considerando o efeito de infiltração do fluido, são maiores que aqueles que não

consideram o efeito. (mostrado na Figura 2.25 e 2.26).

42

(a) (b)


(a) (b)


Por isso, as previsões de estabilidade de poços baseadas em cada mecanismo

serão significativamente diferentes. É, consequentemente, crítico para incluir o

43

mecanismo de redução do ângulo de atrito da fratura devido à infiltração do fluido nas

análises de estabilidade de poço em massas rochosas fraturadas.

Como a suposição de domínio circular do fluido é somente válido para

materiais homogêneos sob condições isotrópicas de tensão, a maior mudança de

poropressão no Caso 2 pode indicar a inadequação de uso de tal suposição, para a

anisotropia de tensão e padrão de fraturas dados.

As soluções do Contínuo são próximas às soluções do Descontínuo para o

deslocamento de rocha intacta Dm em cada caso. Isto é pela maior parte devido às

condições de tensão usadas nas análises, sob os quais nenhum bloco livre no maciço

rochoso é gerado quando há perda total de resistência da fratura. Sob estas condições, a

solução do Contínuo para massas rochosas fraturadas podem ser apropriadas. É

esperado que, com a redução das propriedades da fratura e/ou aumento da magnitude de

tensão e/ou anisotropia, blocos próximos à parede do poço podem remover massas

rochosas e cair no poço. Em tais situações, soluções do Contínuo já não são válidas.

Além disso, ruptura das fraturas devido ou ao deslocamento cisalhante ou à redução da

resistência das fraturas como um resultado de infiltração do fluido, não é válido para ser

modelado pela análise do Contínuo.

Chen et al 2003 com o trabalho desenvolvido pode concluir que a redução do

ângulo de atrito devido à infiltração do fluido afeta significativamente a estabilidade do

poço durante a perfuração. A influência tornou-se grande quando houve aumentos da

anisotropia de tensão. É, conseqüentemente, crítica a inclusão de mecanismos de

redução de ângulo de atrito devido à infiltração do fluido em análises de estabilidade de

poços em tais materiais rochosos. Sob as mesmas condições de tensão, deslocamentos

de fraturas podem ser significativamente diferentes entre diferentes padrões de fratura.

Dessa forma, conduzirá a previsões de estabilidade diferentes, especialmente quando

um grande número de fraturas alcançarem seus limites de resistência e a formação

obstruir grandes deslocamentos.O estado de tensão do campo será um fator dominante

para o comportamento de massas rochosas com padrão de fraturas similar. A diferença

torna-se maior com aumentos da anisotropia de tensões.

Serão apresentados a seguir, no Capítulo 3, os estudos do equilíbrio de blocos

rochosos no entorno de cavidades subterrâneas. Estes estudos foram feitos usando o

método do equilíbrio limite.

44

CAPÍTULO 3

3 – EQUILÍBRIOS DE BLOCOS ROCHOSOS AO REDOR DE CAVIDADES SUBTERRÂNEAS

O equilíbrio de blocos ao redor de cavidades subterrâneas tem sido estudado

em diversas situações de escavação. Na Figura 3.1 estão sendo mostradas duas situações

de geometria de escavação: escavações subterrâneas com teto plano e escavações

subterrâneas com teto circular.

(b)

Figura 3.1 – Representação de algumas escavações subterrâneas – (a) Túnel com teto plano; (b) Poço - teto circular.

45

O comportamento mecânico de um bloco de rocha no teto de uma escavação

subterrânea é governado por sua geometria, pelas características mecânicas das juntas,

pela deformabilidade do bloco e da área ao redor do bloco, e pelas tensões in situ da

rocha. A análise da estabilidade de um bloco confinado por um campo de tensões lateral

foi proposta originalmente por Bray 1977 que forneceu uma solução analítica supondo

um procedimento conhecido como relaxação.

A seguir é apresentada a análise de equilíbrio de blocos de rocha em duas

situações distintas: em aberturas com teto plano e em abertura com teto circular. Será

mostrado também o método de relaxação proposto por Bray 1976.

3.1 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – ESCAVAÇÃO

COM TETO PLANO

Um bloco de rocha no teto plano de uma abertura está sujeito ao seu peso, W,

forças de superfície associadas com o estado de tensões, e à poropressão nas fissuras.

Bray 1977 não considerou em seu trabalho a poropressão nas fissuras, então as forças da

superfície do bloco poderiam ser determinadas por algum procedimento analítico

independente, e o peso do bloco poderia ser determinado pelas orientações da junta e

pela geometria da escavação. A seguir é apresentada a formulação baseada no Método

do Equilíbrio Limite de um bloco de rocha prismático simétrico e assimétrico no teto

plano de uma abertura em rocha.

3.1.1 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO SIMÉTRICO

A Figura 3.2a representa a seção transversal de um prisma longo, uniforme,

triangular gerado no teto de uma escavação por juntas simetricamente inclinadas. O

ângulo semi-apical do prisma é α. As forças atuantes neste bloco são: o peso W, a força

de sustentação R e as forças N e S normal e cisalhante em seus contatos superficiais. O

valor da resultante de W e de R é P. Para avaliar a estabilidade do prisma sob as forças

impostas, substitui-se a força P por uma força PL, como mostrado na Figura 3.2b, e

46

encontra-se o valor de PL requerido, estabelecendo um estado de equilíbrio limite no

bloco.

Figura 3.2–Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a) sujeito às forças N, S, R e W – (b) no estado de equilíbrio limite (Adaptado Brady e Brown 2005).

Na Figura 3.2b, a equação de equilíbrio para a direção vertical é:

)sin.cos..(2 αα NSPL −= Eq. 3.1

Se a resistência ao deslizamento na superfície AB, AC for somente o atrito,

nas condições de equilíbrio limite:

φtanNS = Eq. 3.2

onde φ é o ângulo de atrito da descontinuidade.

Então a Eq. 3.1 torna-se:

)sin(.sec..2 αφφ −= NPL Eq. 3.3

Dessa forma, para N>0, a condição de PL>0 pode ser satisfeita somente se

α > φ. Então se α < φ, PL< 0, o prisma seria deslocado sob a influência das forças

superficiais nas juntas, N e S. Para o caso α < φ; o prisma é potencialmente estável, mas

a estabilidade pode ser assegurada somente por uma análise mais extensiva.

A análise seguinte é para se entender e estabelecer os fatores dominantes que

afetam a estabilidade de um prisma simétrico no teto de uma escavação, para o

caso α < φ. É um exemplo do método de análise da relaxação, proposto originalmente

por Bray 1977.

47

O procedimento de relaxação proposto por Bray 1977, leva em conta a

deformabilidade das juntas. Inicialmente, a rigidez normal e cisalhante kn e ks são

consideradas suficientemente elevadas para que a presença de juntas seja ignorada. É

então possível determinar a distribuição de tensões em torno da cavidade, que supõe que

a rocha se comporta como um meio contínuo e elástico. Desde que nenhuma força de

massa seja induzida no meio pelo processo de escavação da abertura, as análises

elásticas levam em conta, implicitamente, o peso (W) do prisma. Tal análise permite

que o estado de tensões seja calculado em pontos do maciço rochoso que coincidem

com as superfícies do prisma. Sendo assim, estimam-se os valores das forças de

superfície que agem no prisma a partir dos valores das componentes de tensão, da área e

da orientação de cada superfície. Como resultado o método da relaxação introduz as

rigidezes kn e ks, e analisam os deslocamentos do bloco causados pela deformação da

junta. Segundo Bray 1977 desde que as rigidezes reais sejam baixas quando comparadas

com a elasticidade do material rochoso, a deformabilidade do prisma pode ser

desconsiderada neste processo. Como definido previamente, o bloco é sujeito ao seu

peso, W, e a força de suporte, R, cuja resultante é P=W-R. Os resultados das análises

através dos deslocamentos do corpo sob a influência das forças de superfície internas e

da força vertical PL, são definidos pela equação 3.3. O estado da estabilidade do prisma

é então avaliado com o fator de segurança FS, definido pela Eq. 3.4:

P

PFS L= Eq. 3.4

Antes do processo de relaxação (antes de aplicar a força P e reduzindo as

rigidezes nas juntas), o estado do carregamento do prisma é como mostrado na Figura

3.3a. Neste caso, as forças de superfície N0 e S0 estão em equilíbrio estático. Estas

forças da superfície original, N0 e S0, são relacionadas à força horizontal interna H0 pela

Eqs. 3.5:

α

α

sin H S

cos H N

00

00

=

= Eqs. 3.5

onde α é o ângulo apical do bloco.

Quando a força resultante PL é aplicada, o bloco será deslocado verticalmente

a uma distância uy. Os deslocamentos us e un, com as direções indicadas na Figura 3.3b,

ocorrem na superfície da junta, e nas forças normal e cisalhante há um incremento,

48

mudando para novos valores de equilíbrio, N e S. As deformações da junta us e un são

relacionadas na vertical como mostrado na Fig. 3.3b. Sendo assim, têm-se as Eqs. 3.6:

α

α

sin u u

cos u u

yn

ys

=

= Eqs. 3.6

Das Eqs. 3.6, tem-se que:

α

α

cos u K .uK S - S

sin u K .uK N - N

ysss 0

ynnn 0

==

== Eqs. 3.7

Figura 3.3– Diagrama do corpo livre prismático no teto plano de uma escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas – (b) em um estado equilíbrio limite depois da aplicação de um carregamento externo e relaxação da junta (Adaptado Brady e Brown 2005).

A equação de equilíbrio estático na direção x será:

αα sin S cos N H += Eq. 3.8 Substituindo N0 e S0 na Eqs. 3.5 a Eqs. 3.7 tornam-se as Eqs. 3.9:

αα

αα

cos u K sin H S

sin u K - cos H N

ys0

yn0

+=

= Eq. 3.9

Substituindo a Eq. 3.2 na Eqs. 3.9 torna-se a Eq. 3.10:

φαααα tan )sin u K - cos (H cos u K sin H yn0ys 0 =+ Eq. 3.10

49

Rearranjando a Eq. 3.10, tem-se a Eq. 3.11:

)coscos(

)(0

φαφα

αφ

sensenKK

senHu

nSy

⋅⋅+⋅⋅

−⋅=

Eq. 3.11

Substituindo a Eq. 3.11 nas Eqs. 3.9, têm-se as Eqs. 3.12:

φαα

φαα

sin).sincos(

cos).sincos(

220

220

⋅+⋅=

⋅+⋅=

ns

ns

KKD

HS

KKD

HN

Eq. 3.12

Onde:

φαφα sensenKKD nS ⋅⋅+⋅⋅= coscos

Substituindo as Eqs. 3.12 nas Eqs. 3.8, e simplificando tem-se a Eq. 3.13:

)cos().sincos( 220 αφαα −⋅+⋅= ns KKD

HH

Eq. 3.13

A expressão de N na Eq. 3.12, quando substituída na Eq. 3.3 para um

equilíbrio vertical, tem-se:

)sin().sincos(.2 220 αφαα −⋅+⋅= nsL KKD

HP

Eq. 3.14

A Equação 3.14 é a equação de Bray 1977 para equilíbrio de blocos no

entorno de cavidades subterrâneas com geometria de teto plano.

A Eq. 3.14 pode ser simplificada fazendo a suposição de kn>>ks, tornando:

φ

αφα

sin

)sin(.sin.2 0 −⋅=

HPL

Eq. 3.15

A análise feita por Bray indica que quando o estado elástico de tensão for

determinado, o carregamento externo vertical requerido para produzir um estado de

equilíbrio limite pode ser estimado pela Eq. 3.15, sendo conhecida a geometria do

50

prisma e o ângulo de atrito da junta. O fator de segurança pode ser calculado pela

Eq. 3.4.

Se PL > W, ou seja, se a força resultante no equilíbrio limite for maior que o

peso do bloco, então o bloco é estável, não sendo necessário qualquer suporte para

estabilizá-la do ponto de vista geotécnico. Se PL< W, a estabilidade do prisma pode ser

assegurada somente pela aplicação de uma carga positiva de sustentação.

É recomendado examinar a relação entre a força vertical limite, e os

componentes de força horizontal na superfície do prisma. Introduzindo a Eq. 3.2 na

Eq. 3.8, rearranjando e substituindo os resultados da expressão para N da Eq. 3.3, tem-

se a Eq. 3.16:

)tan(..2 αφ −= HPL

Eq. 3.16

3.1.2 – EQUILÍBRIO DE UM BLOCO DE ROCHA PRISMÁTICO ASSIMÉTRICO

O caso do equilíbrio de um prisma assimétrico no teto de uma abertura, uma

condição adicional é introduzida na análise do problema como mostra a Figura 3.4.

Figura 3.4 – Diagrama do corpo livre prismático assimétrico no teto plano de uma escavação (a) Sujeito às forças superficiais correspondentes às tensões elásticas (b) Corpos livres constituintes para análises de relaxação (Adaptado Brady e Brown 2005).

As análises de relaxação a princípio são idênticas às feitas para o prisma

simétrico. Inicia com uma análise elástica e a deformabilidade da junta não é

considerada para obter as forças normais e cisalhantes que atuam nas interfaces do

prisma. Estes resultados podem ser usados diretamente para fazer uma avaliação inicial

51

do bloco e atrito nas juntas. Desde que o processo de relaxação resulte em uma redução

das forças normais e cisalhantes que agem na junta, as análises elásticas fornecem uma

primeira avaliação do potencial de estabilidade do bloco prismático.

Segundo Bray 1977 a formulação do problema do prisma assimétrico é

idêntica ao problema do bloco simétrico sendo adicionada uma nova condição como

mostra a Figura 3.4 e a Eq. 3.17:

21 LLL PPP += Eq. 3.17

As equações de equilíbrio estático na direção vertical para cada bloco são:

βαα

βαα

cos.sincos.

cos.sincos.

22222

11111

RNSP

RNSP

L

L

+−=

−−= Eq. 3.18

Substituindo a Eq. 3.17 na Eq. 3.18 tem-se que:

)sin(.sec)sin(.sec 2212.2111.121 αφφαφφ −+−=+= NNPPP LLL

Eq. 3.19

Considerando os deslocamentos e mudanças nas forças normais e cisalhantes

associadas com a relaxação da junta de uma forma análoga à que foi usada para o

prisma simétrico, conduzem aos seguintes resultados expressos pela Eq. 3.20:

)sin().sincos()sin().sincos( 2222

222

22

0111

211

21

1

0 αφαααφαα −⋅+⋅+−⋅+⋅= nsnsL KKD

HKK

D

HP

Eq. 3.20

Onde:

2222222

1111111

coscos

coscos

φαφα

φαφα

sensenKKD

sensenKKD

nS

nS

⋅⋅+⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅=

Quando Kn1>>Ks1, Kn2>>Ks2, então:

2

2220

1

1110

sin

)sin(.sin

sin

)sin(.sin

φ

αφα

φ

αφα −⋅+

−⋅=

HHPL

Eq. 3.21

52

A relação entre as forças horizontais após a relaxação e a força vertical limite,

para um prisma assimétrico pode ser mostrada da seguinte forma:

)tan(.)tan(. 220110 αφαφ −+−= HHPL

Eq. 3.22

O estudo apresentado é uma base importante para o estudo de estabil idade de

blocos no teto plano de uma escavação e demonstra que utilizando o Método do

Equilíbrio Limite é possível determinar a força necessária para se estabilizar o bloco

rochoso. Como foi mostrado, a depender da situação, não é necessária nenhuma

intervenção para se estabilizar o bloco uma vez que a mesma pode estar estável. Em

contrapartida pode ocorrer também a necessidade de uma força de sustentação para se

estabilizar o bloco e uma medida de estabilização deve ser executada no maciço

rochoso.

3.2 – ANÁLISE DE FORÇAS NO EQUILÍBRIO LIMITE – TETO CIRCULAR

Outros estudos foram feitos no sentido de analisar a estabilidade de blocos no

teto de escavações subterrâneas. Sofianos et al 1999 analisaram a estabilidade de blocos

no teto de uma abertura circular. O problema é resolvido de forma similar aos estudos

que foram feitos por Bray 1977 sendo adaptado para o caso do teto da abertura circular.

Para o exemplo particular de um bloco simétrico no teto de uma abertura

circular, Sofianos et al 1999 consideraram uma abertura de raio R em um campo de

tensões definido por p e por Kop, com as tensões principais orientadas no sentido

vertical e horizontal. A geometria do problema para um bloco de altura, h, é mostrada

em Figura 3.5. As grandezas envolvidas na estabilidade do bloco são o seu peso W, a

força da sustentação S, e as forças horizontais e verticais, H0 e V0, nas superfícies do

bloco. A estabilidade é avaliada em termos da força de confinamento horizontal H0 e

pela força vertical necessária para fazer com que o bloco esteja no equilíbrio limite, P0.

Para um bloco simétrico como mostrado na Figura 3.5, o fator de segurança

FS é definido pela Eq. 3.23:

53

qW

S

W

PSFS +=

+= 0 Eq. 3.23

Na Eq. 3.23 q é o quociente entre a força P0 e o peso do bloco W. A força P0

nos estudos de Sofianos et al 1999 é análoga à força PL definida por Bray 1977 na Eq.

3.14.

Como no caso em questão o bloco se encontra no teto de uma abertura circular

e está situado em um campo biaxial de tensões definido pelas componentes principais p

e Kop, onde p é a tensão vertical de campo e Ko é o coeficiente de tensão lateral,

mostrado na Figura 3.5, a distribuição de tensões em torno do poço, no fim do primeiro

estágio de relaxação, é obtida usando as equações de Kirsch, Eqs. 2.1, 2.2 e 2.3 que

foram definidas no Capítulo 2 e têm a sua demonstração disponibilizada no Apêndice A

deste presente trabalho.

Figura 3.5 – Bloco de rocha simétrico no teto de um poço circular em um campo de tensões biaxial (Sofianos et al 1999).

O vetor resultante das forças H0 e V0 é mostrado na Figura 3.5. O bloco ABC é

considerado como um corpo elástico que esteja em equilíbrio.

Integrando a componente de tensão ao longo da superfície CB, tem-se a força

H0 que é:

54

H

hRr

Rr

CRp

H

drH

.20

0

+=

= ∫+=

=θθσ

Eq. 3.24

+

−

+−−

+

−

++=

3

00

1

11).1(

1

11).1(

R

hR

hK

R

hR

hKC

onde

H

Eq. 3.25

Para uma tensão principal vertical p dada por p = γ.z, onde z é a profundidade

abaixo da superfície, a força q (dada por P0/W) que é a força necessária para manter o

bloco estável é a seguinte expressão:

MC

C

R

zq

W

H ..= Eq. 3.26

onde:

iikkD

iDiikkM

C

ns

ns

W

cos/)sin(.sin/.cos.cos

cos./)sin(]sin)sin(cos2cos)./[(2

)cot.(tancos2

−+=

−−+=

+−+=

αφφα

αφααα

θπ

αθθ

Eqs. 3.27

sendo i o ângulo de dilatância da descontinuidade.

Para analisar a estabilidade de um bloco simétrico no teto de uma abertura

circular, basta utilizar a Eq. 3.23. Sendo o fator de segurança igual a 1, o bloco

encontra-se no equilíbrio limite e a força necessária para que o bloco esteja na

eminência da instabilidade pode ser calculada. Segundo Sofianos et al 1999, os

parâmetros mais importantes na estabilidade do bloco são: o ângulo apical, α, e o

ângulo de atrito, φ.

Em um desenvolvimento adicional, Nomikos et al 2002 considerou um bloco

simétrico em um campo de tensões inclinado. Foram encontradas equações mais

complexas para definir o fator de segurança e uma correspondência razoável foi

mostrada entre a solução analítica e algumas soluções usando o software UDEC.

55

D. Elsworth 1986 fez um trabalho que também analisava a estabilidade de

blocos simétricos no teto de uma abertura circular. A base dos seus estudos foi o

trabalho de Bray 1977. O equilíbrio do bloco é apresentado com a seguinte equação:

αα sin.2cos..2 NSAW −=− Eq. 3.27

Na Eq. 3.27, - A é a força de ancoragem necessária para que o bloco esteja no

equilíbrio limite. O fator de segurança FS é dado pela Eq. 3.28:

FS

iNS

)tan(. +=

φ Eq. 3.28

O deslocamento vertical V no equilíbrio limite tem uma componente normal,

v, e cisalhante, u. Sob os deslocamentos u e v, as tensões cisalhante e normal iniciais, N0

e S0 serão mudadas para valores N e S, de acordo com a Eq. 3.29:

α

αα

cos..

)tancos(sin

0

0

VkukSS

iVkvkNN

ss

nn

==−

−−=−

Eq. 3.29

Substituindo a Eq. 3.29 em 3.28 e rearranjando tem-se que:

)tan()tan.cos(sin.cos.

.)tan( 00

iikFSk

FSSiNV

ns +−+

−+=

φααα

φ Eq.

3.30

Elsworth 1986 utilizou equações de transformação de tensões para avaliar a

resultante das componentes destas tensões que agem no plano normal e tangente do

bloco. A distribuição de tensões normal e cisalhante podem ser somadas analiticamente

para obter as forças resultantes que podem então ser usadas nas análises de bloco rígido

discutidas previamente. Para expressar o raio de interesse, r, na análise de tensões,

utiliza-se a teoria clássica do cilindro de parede espessa, Eq. 3.31, que determina o raio

r em função da abertura da escavação, a, do ângulo semi-apical do bloco α e dos

ângulos _

θ e θ , mostrados na Figura 3.6.

)sin(

)sin(.

_

θα

θα

+

+= ar Eq. 3.31

56

Figura 3.6 – Geometria do bloco no teto de um poço circular (Adaptado D. Elsworth 1986).

A expressão da tensão normal, σn que age na superfície do bloco é dada por:

+

+

++= )(2cos.

)(sin

)(sin1.

_

2

_2

αθαθ

αθσ Pn Eq. 3.32

onde P é a magnitude das tensões num campo hidrostático antes da escavação.

A força normal na superfície do bloco, N0 pode ser determinada da seguinte forma:

∫=θ

σ0

0 dlN n Eq. 3.33

onde l é o incremento infinitesimal de comprimento do bloco, como mostrado

na Figura 3.7.

_

_2

_

_

)(sin

)sin(.

)sin(

.θ

θα

θα

αθ

θda

drdl

+

+=

+

= Eq. 3.34

57

Figura 3.7 – Geometria do bloco em um nível diferencial (Adaptado D. Elsworth 1986).

Substituindo a Eq. 3.32 e a Eq. 3.34 na Eq. 3.33 e integrando tem-se tensão

normal que age na superfície do bloco:

+

+=

)sin(tan

)2sin(.sin..0

αθα

αθθaPN Eq. 3.35

Utilizando um raciocínio similar, tem-se a tensão cisalhante que age na

superfície do bloco, dada por:

[ ]ααθαθ

2cos)(2cos.)sin(.2

.0 −+

+=

aPS Eq. 3.36

O peso do bloco e dado por:

))cot.(cot.(sin. 22 θαθθγ −+= aW Eq. 3.37

onde γ é o peso específico da rocha.

A solução para se encontrar a força aP

A

..2, que é a força necessária para o

bloco ficar no equilíbrio limite, segundo D. Elsworth 1986 procede da seguinte forma:

(i) Calcula-se a força normal e cisalhante na superfície do bloco, N0 e S0,

através das Eq. 3.35 e 3.36;

(ii) A aplicação da forca “–A” altera as forças iniciais na superfície do bloco,

N0 e S0, para N e S. A força normal N é encontrada substituindo N0 e S0 na Eq. 3.29 e

3.27 para F=1;

(iii) A força “–A” é então encontrada para um fator de segurança igual a 1.

58

Nos estudos paramétricos de D. Elsworth verificou-se que para um dado

ângulo apical (α) do bloco, um aumento do tamanho do bloco (aumentando θ) resulta

em um aumento da força requerida para iniciar a deformação do bloco. Ao contrário do

que ocorre em um bloco no teto plano de uma abertura que, mesmo dobrando a

dimensão linear do bloco não necessitará do valor da força requerida para iniciar a

deformação do bloco seja dobrada. Foi observado também que as descontinuidades com

a relação rigidez cisalhante e rigidez normal elevada necessitam de uma resistência

menor para tornar o bloco estável. As propriedades de deformação podem ser

significativas em avaliar a resistência final do bloco de rocha com o ângulo de atrito da

descontinuidade.

Dentre outras observações importantes, a principal diferença entre os trabalhos

de Sofianos et al 1999 e D. Elsworth 1986 é na forma de cálculo da distribuição de

tensões na superfície do prisma. Enquanto Elsworth 1986 utiliza uma integral na face do

prisma, Sofianos et al 1999 utiliza uma integral na altura do bloco e este fato conduz a

resultados diferentes.

É importante salientar que a distribuição de tensões in situ tem extrema

importância na estabilidade de um maciço rochoso. Sendo assim, ignorando a

capacidade de auto sustentação do prisma pode conduzir à utilização de reforços

desnecessários podendo resultar em atrasos no procedimento de escavação e/ou

perfuração além de elevar os custos envolvidos no processo.

No próximo capítulo serão apresentadas as soluções analíticas propostas por

este trabalho para o problema de estabilidade de poços em rochas fraturadas bem como

a sua demonstração e fundamentação teórica.

59

CAPÍTULO 4

4 – SOLUÇÕES PROPOSTAS: EQUILÍBRIOS DE BLOCOS DE ROCHA NO ENTORNO DE POÇOS DE PETRÓLEO

Rochas intensamente fraturadas são consideradas como meios descontínuos,

tendo um comportamento geomecânico distinto de rochas consideradas contínuas.

Análises computacionais com o software UDEC têm sido utilizadas para

analisar a estabilidade de poços de petróleo em rochas fraturadas ou descontínuas.

Entretanto tais análises demandam tempo o que torna a viabilidade de seu uso restrita.

Sendo assim, este presente trabalho tem como principal foco a apresentação e

demonstração de uma solução analítica para a análise da estabilidade de poços de

petróleo em rochas fraturadas.

Como foi apresentado anteriormente, análise de forças no equilíbrio limite de

escavações subterrâneas foram feitas por diversos autores tendo como principal

fundamentação o trabalho de Bray 1977 descrito no capítulo anterior. Contudo essas

análises não são diretamente aplicáveis para o caso de estabilidade de blocos no entorno

de poços de petróleo porque esta última tem uma pressão interna atuante, referente à

pressão do fluido de perfuração e que deve entrar no equilíbrio do sistema, o que não

ocorre com outros tipos de escavação subterrânea demonstradas anteriormente.

Pelo Princípio das Tensões Efetivas, TERZAGHI em 1943 constatou que:

uvv −=′ σσ Eq. 4.1

Onde σ´v é a tensão efetiva, σv é a tensão total e u é a pressão de poros.

TERZAGHI afirmou que todos os efeitos mensuráveis resultantes de variações

de tensões, como compressão, distorção e resistência ao cisalhamento são devido às

variações de tensões efetivas.

Na Figura 4.1, a tensão vertical total é dada por:

Hhwwv .. γγσ += Eq. 4.2

Onde:

γw é o peso específico da água;

60

γ é o peso específico médio da rocha dado por: ∑∑

=i

ii

z

z.γγ

Figura 4.1 – Poço perfurado com uma lâmina d’água hw.

Para a análise que foi feita subsequentemente, nos resultados da pressão

determinada analiticamente, ∆P, deve ser somada a pressão de poros, u, Eq. 4.2, e dessa

forma obter a pressão necessária para se estabilizar a parede do poço.

P = ∆P+u Eq. 4.2

Onde:

P é a pressão necessária para se estabilizar o poço;

∆P é o incremento de pressão necessário para estabilizar o poço;

u é a pressão de poros.

61

Com este resultado da pressão, P, da Eq. 4.2, usando o Teorema Fundamental

da Hidrostática, tem-se a massa específica do fluido necessária para se estabilizar a

parede do poço, dada por:

gH

Pf =ρ Eq. 4.1

Onde ρf é a massa específica do fluido, P é a pressão total e H é a altura.

Sendo assim, a seguir são apresentados os estudos propostos neste presente

trabalho para que possa ser analisada analiticamente a estabilidade de um poço de

petróleo em rochas fraturadas.

4.1 – TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO

ENTORNO DE POÇOS PERFURADOS EM ROCHAS FRATURADAS

As principais tensões envolvidas na estabilidade de um poço durante a

perfuração são as tensões in situ e as tensões provocadas pelo fluido de perfuração.

Dessa forma para se estabilizar um poço durante a perfuração, é necessário que a tensão

provocada pelo fluido de perfuração não seja superior à tensão de fraturamento da rocha

nem inferior à tensão de colapso da rocha, sendo necessário se obter uma janela

operacional, como é conhecida tecnicamente o intervalo entre o máximo e o mínimo

valor de tensão provocado pelo fluido de perfuração.

Para se analisar o bloco de rocha originado por interseções de

descontinuidades no entorno de uma abertura são consideradas duas situações

geométricas distintas, a saber:

(i) Estabilidade do bloco rochoso no teto plano de um poço;

(ii) Estabilidade do bloco rochoso no teto circular de um poço.

62

4.1.1 - TENSÃO MÍNIMA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS AO REDOR DE

UM POÇO – TETO PLANO

Segundo os estudos originais de Bray 1977, o equilíbrio de um bloco

assimétrico no teto plano de uma abertura é dado pela Equação 3.20 do Capítulo 3.

Sendo a resistência ao deslizamento nas superfícies AB, CA da Figura 4.2

puramente de atrito, na condição de equilíbrio limite tem-se as Eqs. 4.2, que são dadas

por:

222

111

tan.

tan.

φ

φ

NS

NS

=

=

Eqs. 4.1

Figura 4.2 – Representação de um bloco na parede de um poço – consideração de

teto plano.

Fazendo o equilíbrio das forças na direção y na Figura 4.2, tem-se a Eq. 4.2:

22221111 cos..cos.. αααα SsenNSsenNPL −+−= Eq. 4.2

Substituindo a Eq. 4.2 nas Eqs. 4.1, tem-se que:

63

−+

−=

−+−=

−+−=

222

22111

11

222

222111

111

2222211111

cos..cos

1.cos.

cos

1.

cos..cos

1..cos.

cos

1..

cos.tan..cos.tan..

αφφ

ααφφ

α

αφφ

ααφφ

α

αφααφα

sensenNsensenNP

senNsenNsenNsenNP

NsenNNsenNP

L

L

L

2

2222

2

21

1111

1

1 cos

cos.cos..cos

1

.cos

cos.cos.cos

1

.φ

φαφφ

α

φ

φαφφ

α

−

+

−

=

sensen

N

sensen

NPL

Eq. 4.3

Rearranjando a Eq. 4.3 tem-se a Eq. 4.4:

)(.sec.)(.sec. 22221111 φαφφαφ −+−= senNsenNPL Eq. 4.4

Fazendo o equilíbrio das forças na direção x na Figura 4.1 e rearranjando têm-

se as Eqs. 4.5 dadas por:

111111

112

112

101 coscos

cos).sincos(

φαφα

φαα

sensenKK

KKHN

nS

ns

⋅⋅+⋅⋅

⋅+⋅=

222222

222

222

202 coscos

cos).sincos(

φαφα

φαα

sensenKK

KKHN

nS

ns

⋅⋅+⋅⋅

⋅+⋅=

Eqs. 4.5

Substituindo as Eq. 4.5 ns Eq. 4.4, tem-se a Eq. 4.6 dada por:

φαφα

φααα

φαφα

φααα

sensenKK

KKH

sensenKK

KKHP

nS

ns

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅+

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅=

22222

2222

222

20

111111

1112

112

10 coscos

)sin().sincos(

coscos

)sin().sincos(

Eq. 4.6

Na Eq. 4.6, PL é a força necessária para que o bloco de rocha formado a partir

das interseções das descontinuidades se mantenha no equilíbrio limite, ou seja, é a força

mínima que o fluido de perfuração deve exercer sobre as paredes do poço para que o

mesmo fique estável. Sendo assim, o próximo procedimento é determinar a Eq. 4.6 em

termos de tensão para o posterior cálculo da massa específica do fluido de perfuração.

64

Para ser determinada a equação da tensão mínima do fluido de perfuração para

se manter o bloco rochoso formado a partir da interseção de descontinuidades no

entorno de um poço de petróleo estável do ponto de vista geotécnico foi analisada a

Figura 4.3, que é uma representação esquemática da seção transversal de um bloco de

rocha de comprimento unitário.

Figura 4.3 – Representação da seção transversal de um bloco de rocha.

Analisando a Figura 4.3, têm-se pelo triângulo ABC e pelo triângulo BCD as

Eqs. 4.7 e 4.8 respectivamente dadas por:

11 90 αθ −=

Eq. 4.7

22 90 αθ −=

Eq. 4.8

Utilizando a lei dos senos no triângulo ABD, ABC e BCD da Figura 4.3, têm-

se que:

)sin(sinsin 211

2

2

1

ααθθ +==

baa

ba .)sin(

)90sin(

21

21

αα

α

+

−=

Eq. 4.9

ba .)sin(

)90sin(

21

12

αα

α

+

−=

Eq. 4.10

65

11

21

sinsin90sin αθ

maa==

11 sinαam =

1111 cos)90sin( αα aah =−=

11 cosα

ha =

Eqs. 4.11

22

2

sinsin90sin αθ

nha==

22 sinαan =

2222 cos)90sin( αα aah =−=

22 cosα

ha =

Eqs. 4.12

nmb +=

2211 sinsin αα aab +=

22

11

sin.cos

sin.cos

αα

αα

hhb +=

21 tan.tan. αα hhb +=

21 tantan αα +=h

b

21 tantan

1

αα +=

b

h

Eqs. 4.13

Sabe-se pela lei da hidrostática que:

Área

ForçaP =

Eq. 4.14

onde P é a pressão, F é a força e A é a área.

Considerando que a força PL da Figura 4.2 está agindo numa superfície de

comprimento unitário e de largura b e que a força horizontal H0 está agindo numa

superfície de comprimento unitário e de altura h. A Eq. 4.15 a seguir é a equação em

66

termos de tensão para estabilidade do poço, ou seja, é a pressão mínima necessária na

parede do poço para que a mesma permaneça estável geotecnicamente.

+

−+−⋅=∆

2122

2

211

1

10 tantan

1.)sin(.)sin(.

ααφαφασ

D

A

D

AP HL

Eq. 4.15

Onde:

111111

12

112

1

1

1

coscos

sincos

φαφα

αα

sensenKK

KK

D

A

nS

ns

⋅⋅+⋅⋅

⋅+=

φαφα

αα

sensenKK

KK

D

A

nS

ns

⋅⋅+⋅⋅

⋅+=

22222

22

222

2

2

2

coscos

sincos

Na Eq. 4.15, σH0 é a tensão horizontal mínima com o qual a parede do poço se

encontra estável.

Segundo Enever and Chopra 1986, Fig. 4.4, a tensão mínima necessária para

manter o poço estável é calculada pela Eq. 4.16, dada por:

Figura 4.4 – Tensões principais em um poço submetido a uma pressão interna ∆∆∆∆P

(Adaptado Enever and Chopra 1986).

PhHH ∆−−= σσσ 30

Eq. 4.16

67

onde σH é a tensão horizontal maior, σh é a tensão horizontal menor e ∆P é a

pressão interna do fluido de perfuração.

Substituindo a Eq. 4.16 na Eq. 4.15, tem-se a Eq. 4.17, dada por:

+

−+−+

+

−+−⋅−

=∆

2122

2

211

1

1

2122

2

211

1

1

tantan

1.)sin(.)sin(.1

tantan

1.)sin(.)sin(.)3(

ααφαφα

ααφαφασσ

D

A

D

A

D

A

D

A

P

hH

L

Eq. 4.17

A Eq. 4.17 é a solução analítica para a estabilidade de um bloco prismático de

rocha formado a partir de interseções de fraturas ou descontinuidades em rochas

intensamente fraturadas, considerando teto plano.

É importante salientar que a Eq. 4.17 se aplica para ângulo semi-apical,

α, positivo. Para o ângulo semi-apical negativo, como mostrado na Figura 4.5, a pressão

interna mínima necessária para se estabilizar o bloco rochoso é calculada de forma

diferente, pois o equilíbrio de forças na direção x e na direção y ocorre de forma

diferente e as superfícies nas quais as forças estão sendo aplicadas não são as mesmas.

Figura 4.5 – Bloco rochoso com ângulo apical negativo na parede de um poço.

No caso do bloco rochoso com a geometria mostrada na Figura 4.5, fazendo o

somatório das forças na direção y obtém-se a Eq. 4.18, dado por:

68

22221111 cos..cos.. αααα SsenNSsenNPL −++−= Eq. 4.18

Substituindo a Eq. 4.5 na Eq. 4.18, tem-se a Eq. 4.19 dada por:

φαφα

αφαα

φαφα

αφαα

sensenKK

KKH

sensenKK

KKHP

nS

ns

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

+⋅+⋅+

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅=

22222

2222

222

20

111111

1112

112

10 coscos

)sin().sincos(

coscos

)sin().sincos(

Eq. 4.19

A Eq. 4.19 é a força mínima necessária para que o bloco rochoso esteja

estável. Fazendo os cálculos similares ao caso do bloco rochoso com ângulo apical

positivo, para este caso, utilizando a lei dos senos, e fazendo as devidas substituições e

rearranjos, tem-se a Eq. 4.20 dada por:

+

++−⋅=∆

21

222

1

111

1

10 (

cos.)sin(.)sin(.

αα

ααφαφσ

senD

A

D

AP HL

Eq. 4.20

Substituindo a Eq. 4.16 na Eq. 4.20 tem-se a Eq. 4.21, onde ∆P é a pressão

necessária para manter a bloco rochoso com ângulo apical negativo estável

geotecnicamente.

+

++−+

+

++−⋅−

=∆

21

222

1

111

1

1

21

222

1

111

1

1

(

cos.)sin(.)sin(.1

(

cos.)sin(.)sin(.)3(

αα

ααφαφ

αα

ααφαφσσ

senD

A

D

A

senD

A

D

A

P

hH

L

Eq. 4.21

69

4.1.2 - TENSÃO NECESSÁRIA PARA O EQUILÍBRIO DE BLOCOS NO TETO

CIRCULAR DE UM POÇO

Para analisar a estabilidade de um bloco formado a partir de interseções de

descontinuidades ao redor de um poço, foi desenvolvido um estudo que abrange mais

variáveis, uma vez que o teto da escavação de um poço tem a forma circular, Figura 4.6.

Figura 4.6 – Representação de um bloco na parede de um poço – teto circular.

A força normal à superfície do bloco rochoso da Figura 4.6 é dada pela

Eq. 4.22:

∫= dlN n .σ Eq. 4.22

Onde:

βτβσσσσ

σ θθθ 2sin2cos

22 rrr

n +−

++

= Eq. 4.23

Substituindo a Eq. 4.23 na Eq. 4.22, tem-se que a Eq. 4.24 dada por:

N lσr σθ+( )

2

σr σθ−( )2

cos 2 β⋅( )⋅+ τrθ sin 2 β⋅( )⋅+

⌠⌡

d:=

Eq. 4.24

Partindo do princípio de que a integral da soma é igual à soma das integrais,

tem-se a Eq. 4.25 dada por:

70

N lσr σθ+( )

2

⌠⌡

d lσr σθ−( )cos2β

2

⌠⌡

d+ lτrθsin2β⌠⌡

d+:=

Eq. 4.25

É importante salientar que os limites de integração variarão de acordo com a

posição do bloco rochoso em relação à circunferência do poço e ao eixo vertical de

referência. No caso da posição do bloco rochoso mostrado na Figura 4.7, serão

demonstrados todos os procedimentos necessários para se calcular a tensão necessária

para a estabilidade do bloco e consequentemente o peso específico mínimo do fluido de

perfuração para o poço. Trata-se de um caso mais geral, uma vez que o bloco é

considerado assimétrico e a posição do eixo vertical de referência não é coincidente

com o alinhamento CD do bloco com o centro do poço.

Figura 4.7 – Representação de um bloco na parede de um poço – caso geral.

Como se trata de um bloco assimétrico tem-se a Eq. 4.26 dada por:

N=N1+N2 Eq. 4.26

A equação para a força normal, N1, é dada por:

N1=N1a+N1b Eq. 4.27

As componentes das forças normais, N1a e N1b, são dadas pelas Eqs. 4.28 e

4.29 respectivamente:

71

11111111

0

2sin.2cos.2

)(

21

1

dlaN rrr

+

−+

+= ∫

−

βτβσσσσ

θθθ

θθ

Eq. 4.28

11111111

0

2sin.2cos.2

)(

21 dlbN r

rr

+

−+

+= ∫ βτβ

σσσσθ

θθθ

Eq. 4.29

Onde:

( )

+−−+

−+= 14

1

4

21

2

21

2

1 2cos..3.4

1)1(112

θκκσr

a

r

a

r

apr ;

+−−

++= 14

1

4

21

2

1 2cos..3

1)1(1)1(2

θκκσ θr

a

r

ap;

−+−−= 14

1

4

21

2

1 2sin..3.2

1)1(2

θκτ θr

a

r

apr ;

h

H

σ

σκ = ;

hp σ= .

)(90 111 αθβ +−=

)(sin

)sin(.

12

111

θα

θα

+

+= adl

Analisando a Figura 4.8 tem-se a Eq. 4.30 dada por:

111 )cos( ea =−αψ Eq. 4.30

Onde e1 é o espaçamento entre descontinuidades.

Figura 4.8 – Representação da geometria dos espaçamentos entre descontinuidades.

72

Rearranjando a Eq. 4.30, tem-se a Eq. 4.31 dada por:

11

1 arccos αψ +

=

a

e Eq. 4.31

Utilizando a lei dos senos e as devidas substituições tem-se a Eq. 4.32, dada

por:

11

11 90

.90ψ

ψ

αθ +−= Eq. 4.32

Como o bloco rochoso é assimétrico, então a força necessária para se

estabilizar a parede do poço é dada pela soma da força referente ao lado direito do

bloco, PL1, e pela força do lado esquerdo do bloco, PL2, mostrada na Eq. 4.33:

21 LLL PPP += Eq. 4.33

Numa primeira análise, se determina a força da parte direita do bloco rochoso,

PL1, que é dada pela Eq. 4.34:

111111

1112

112

1011 coscos

)sin().sincos(

φαφα

φααα

sensenKK

KKHP

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅=

Eq. 4.34

Onde:

)cos(

1

101

θα +=

NH

Analogamente aos procedimentos feitos para determinação da componente de

força normal, N1, determina-se a componente de força normal, N2, dada pela Eq. 4.35:

N2=N2a - N2b Eq. 4.35

A componente da força normal, N2a e N2b, são dadas pelas Eq. 4.36 e 4.37

respectivamente:

73

22222222 2sin.2cos.

2

)(

22

2

2

dlaN rrr

+

−+

+= ∫

+

βτβσσσσ

θθθ

θθ

θ

Eq. 4.36

22222222 2sin.2cos.

2

)(

22

2

dlbN rrr

+

−+

+= ∫ βτβ

σσσσθ

θθθ

θ

Eq. 4.37

Onde:

( )

+−−+

−+= 24

2

4

22

2

22

2

2 2cos..3.4

1)1(112

θκκσr

a

r

a

r

apr ;

+−−

++= 24

2

4

22

2

2 2cos..3

1)1(1)1(2

θκκσ θr

a

r

ap;

−+−−= 24

2

4

22

2

2 2sin..3.2

1)1(2

θκτ θr

a

r

apr ;

)(90 222 αθβ +−=

)(sin

)sin(.

22

222

θα

θα

+

+= adl

Analisando a Figura 4.8 tem-se a Eq. 4.38 dada por:

222 )cos( ea =−αψ Eq. 4.38

Onde e1 é o espaçamento entre descontinuidades.

Rearranjando a Eq. 4.38, tem-se a Eq. 4.39 dada por:

22

2 arccos αψ +

=

a

e Eq. 4.39

Utilizando a lei dos senos e as devidas substituições tem-se a Eq. 4.40, dada

por:

22

22 90

.90ψ

ψ

αθ +−= Eq. 4.40

Dessa forma, determina-se a força da parte esquerda do bloco rochoso, PL2,

que é dada pela Eq. 4.41:

74

φαφα

φααα

sensenKK

KKHP

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅=

22222

2222

222

2022 coscos

)sin().sincos(

Eq. 4.41

Onde:

)cos(

2

202

θα −=

NH

Substituindo as Eq. 4.34 e 4.41 na Eq. 4.33, tem-se a Eq. 4.42, que é a força

mínima que o fluido de perfuração deve exercer sobre a parede do poço para mantê-lo

estável.

φαφα

φααα

θαφαφα

φααα

θα sensenKK

KKN

sensenKK

KKNP

nS

ns

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅

−+

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅

+=

22222

2222

222

2

2111111

1112

112

1

1 coscos

)sin().sincos(

)cos(

2

coscos

)sin().sincos(

)cos(

1

Eq. 4.42

Sendo assim, o próximo procedimento é determinar em termos de tensão a Eq.

4.36 para o posterior cálculo da massa específica do fluido de perfuração.

Na Figura 4.9 nota-se que a força PL está agindo numa superfície de

comprimento AB, cuja equação deste comprimento é dada por:

180

).(. 21 θθπ +=

aAB

Eq. 4.43

Figura 4.9– Representação da força PL agindo sob uma superfície de comprimento AB.

75

Analogamente, na Figura 4.10, nota-se que as componentes da força normal,

N1 e N2 estão agindo numa superfície de comprimento z1 e z2. Utilizando a lei dos

senos no triângulo ACD e BCD tem-se as Eqs. 4.44 e 4.45, respectivamente dadas por:

1

11 sin

sin.

α

θaz =

Eq. 4.44

2

22 sin

sin.

α

θaz =

Eq. 4.45

Figura 4.10– Representação das componentes da força normal, N1 e N2 agindo sob uma

superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente.

Considerando que a força PL da Figura 4.10 esteja agindo numa superfície de

comprimento AB e de largura unitária e que as componentes de força normal, N1 e N2,

estejam agindo numa superfície de comprimento z1 e z2 respectivamente e de largura

unitária, fazendo as substituições necessárias tem-se a Eq. 4.46 a seguir que é a equação

em termos de tensão para estabilidade do poço, ou seja, é a pressão mínima necessária

na parede do poço para que a mesma permaneça estável geotecnicamente.

φαφα

φααα

θαφαφα

φααα

θα sensenKK

KKN

AB

z

sensenKK

KKN

AB

zP

nS

ns

nS

nsL

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅

−+

⋅⋅+⋅⋅

−⋅+⋅

+=∆

22222

2222

222

2

2

2

111111

1112

112

1

1

1

coscos

)sin().sincos(

)cos(

2

coscos

)sin().sincos(

)cos(

1

Eq. 4.46

76

4.2 – TENSÃO MÁXIMA NA PAREDE DO POÇO - LIMITE SUPERIOR

DA MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO DE PERFURAÇÃO

Para a análise da janela operacional, como foi citado anteriormente é

necessário saber o limite inferior da massa específica e o limite superior da massa

específica do fluido de perfuração.

Sendo assim, um procedimento de cálculo do limite superior do fluido de

perfuração é proposto neste presente trabalho a fim de se obter uma base teórica através

de procedimentos analíticos para cálculo da tensão máxima admissível na parede do

poço.

Das Equações de Kirsch, descritas no Capítulo 2 e demonstradas no Anexo I,

fazendo r=a nas Eq. 2.1, 2.2 e 2.3, tem-se a Eqs. 4.47, dadas por:

[ ]θκκσσ θ 2cos).1(2)1( −++= h Eq. 4.47

Para o caso da inserção de uma pressão interna, que no caso de um poço de

petróleo é a pressão exercida pelo fluido de perfuração, ∆P, a Eq. 4.47 torna-se a

Eq. 4.48, dada por:

[ ]{ } Ph ∆−−++= θκκσσ θ 2cos).1(2)1( Eq. 4.48

Para se obter o limite superior da massa específica do fluido de perfuração

deve-se ter a pressão máxima na qual a parede do poço ainda esteja estável

geotecnicamente. Fazendo as devidas transformações de acordo com os eixos

mostrados na Figura 4.11, a componente de tensão na direção é dada pela Eq. 4.49:

βσσ

σ θθ .2cos22

−∆+

+∆=

PPn Eq. 4.49

77

Figura 4.11 – Variação da componente de tensão principal em um plano de

inclinação θ θ θ θ devido à descontinuidade ao redor de um poço.

Considerando que para qualquer esforço de tração a parede do poço se torne

instável, então é necessário que o mesmo seja nulo. Sendo assim, rearranjando a

Eq. 4.49 tem a Eq. 4.50 dada por:

[ ] 0.2cos)()(.2

1=∆−−∆+ βσσ θθ PP

Eq. 4.50

Substituindo a Eq. 4.48 na Eq. 4.50 têm-se as Eqs. 4.51 dadas por:

βσσ θθ .2cos)(2

1.

2

1PP ∆−=∆+

[ ] [ ]{ } βθκκσθκκσ .2cos2cos).1(2)1(2cos).1(2)1( PPPP hh ∆−∆−−++=∆+∆−−++

[ ] [ ]{ } βθκκσθκκσ .2cos2cos).1(2)1(2cos).1(2)1( PPhh ∆−∆−−++=−++

[ ] [ ]{ } βθκκσθκκσ .2cos22cos).1(2)1(2cos).1(2)1( Phh ∆−−++=−++

[ ] [ ] ββθκκσθκκσ .2cos2.2cos2cos).1(2)1(2cos).1(2)1( Phh ∆−−++=−++

[ ] [ ]θκκσβθκκσβ 2cos).1(2)1(.2cos2cos).1(2)1(.2cos2 −++−−++=∆ hhP

[ ] )1.2.(cos2cos).1(2)1(.2cos2 −−++=∆ βθκκσβ hP

[ ]

β

βθκκσ

.2cos2

)1.2.(cos2cos).1(2)1( −−++=∆ hP

78

[ ]β

βθκκσ

.2cos2

)1.2.(cos2cos).1(2)1( −−++=∆ hP

Eqs. 4.51

Rearranjando a Eq. 4.51 tem-se a Eq. 4.52 dada por:

[ ]β

βθκκσ

.2cos

).(2cos).1(2)1( 2senP h −++

=∆

Eq. 4.52

Pela Eq. 4.52 tem-se a pressão máxima do fluido de perfuração com o qual a

parede do poço ainda se encontra estável. Para uma massa específica do fluido de

perfuração que ocasione uma pressão superior a ∆P, poderão ocorrer tensões de tração

no poço, ocorrendo alargamento do mesmo e podendo ocorrer até perda de circulação

do poço.

Serão apresentados a seguir, no Capítulo 5, a fundamentação teórica do

Método dos Elementos Discretos, conhecido como MED, o qual foi utilizado neste

presente trabalho,o software UDEC para analisar a estabilidade de poços de petróleo em

meios fraturados.

79

CAPÍTULO 5

5 – MÉTODO DE ELEMENTOS DISCRETOS E O SOFTWARE UDEC

Sendo o maciço rochoso fraturado, composto por blocos isolados com

deslocamentos independentes que não podem ser modelados satisfatoriamente através

de técnicas clássicas para meios contínuos, foi desenvolvido um método para estudar

este tipo de meio, conhecido como Método dos Elementos Discretos (MED).

Neste presente trabalho foi analisada computacionalmente a estabilidade de

poços de petróleo em rochas carbonáticas intensamente fraturadas através do código

bidimensional de elementos discretos UDEC, versão 1.83 (de 1993), desenvolvido pelo

Itasca Consulting Group, Minneapolis/EUA (Itasca, 1993).

O Método dos Elementos Discretos (MED) é uma técnica computacional

especialmente formulada para a modelagem de problemas de mecânica de meios

rochosos fraturados. Cada bloco é tratado como um elemento discreto. Os vários blocos,

ou elementos discretos, componentes da massa rochosa, interagem por contato através

de suas interfaces. Essas, por sua vez, simulam as descontinuidades rochosas naturais,

com suas respectivas relações constitutivas. Internamente, os blocos de rocha intacta

podem ser ou rígidos ou deformáveis, e rotações dos blocos são permitidos. No caso de

blocos deformáveis, estes podem ser discretizados por diferenças finitas, podendo ser

tratados como elásticos ou elastoplásticos.

O MED pode ser entendido como uma generalização das técnicas numéricas de

meios contínuos, na qual cada bloco representa um problema unitário, em cujos limites

externos (as interfaces representando as descontinuidades rochosas) tem condições de

contorno por contato. Essas são expressas nas forças de interação com os blocos

vizinhos, que são estabelecidas em conformidade com as relações constitutivas

prescritas para as descontinuidades. (Figura 5.1)

80

Figura 5.1 – Ciclo de Cálculo dos Elementos Discretos (Alvarenga 1997).

No seu atual estágio de desenvolvimento, o MED incorpora a possibilidade de

modelar problemas 3D, dinâmicos, com acoplamento termo-hidro-mecânico em

regimes transiente ou permanente. A versão do UDEC utilizada neste trabalho é 2D e

admite todos os acoplamentos citados. Há, todavia, a limitação do fluxo monofásico.

Um aspecto distintivo, importante do MED e do UDEC é a utilização de um

algoritmo iterativo de solução das equações de movimento discretas, dito Relaxação

Dinâmica (RD). No MED, as equações de movimento criticamente amortecidas são

integradas explicitamente no tempo, para todos os graus de liberdade, na busca de uma

solução de regime permanente. A utilização desse algoritmo iterativo explícito, de

solução transiente, para se obter soluções em regime permanente, tem profundas

implicações não só na compreensão das respostas fornecidas pelo código, mas,

principalmente, na maneira de operá-lo para se obter respostas fisicamente significativas

(Figura 5.2).

81

Figura 5.2 – Ciclo de Cálculo da Relaxação Dinâmica (Alvarenga 1997).

A relação das forças no MED é realizada nos contatos entre blocos ou elementos

discretos. Desta maneira o primeiro passo é determinar os contatos existentes.

São avaliados no UDEC modelos constitutivos para os blocos e as

descontinuidades utilizando os seguintes critérios: critério de ruptura de Mohr Coulomb,

critério de ruptura de Drucker-Prager, modelo de ruptura por deslizamento de Coulomb

e Modelo da deformação contínua da junta.

O UDEC tem a capacidade de assumir análises mecânico-hidráulica

completamente acoplada em que análise da condutividade da fratura é dependente da

deformação mecânica da abertura da fratura. Por sua vez, o comportamento mecânico

de fratura é afetado pela pressão do fluido na mesma.

82

5.1 – FORMULAÇÃO DO ELEMENTO DISCRETO

O Método dos Elementos Discretos – MED é similar ao método dos elementos

finitos em que o domínio do problema é dividido em um sistema de elementos sólidos

(blocos). A principal diferença entre os métodos é que o MED também permite definir a

geometria dos blocos através das definições dos espaçamentos e orientações das

descontinuidades no maciço rochoso e assim permitindo que os blocos interajam com os

blocos vizinhos. O elemento discreto inclue não somente a representação da teoria do

contínuo para blocos como também leis de força-deslocamento e lei de movimento.

O maciço rochoso é representado no MED como uma união de blocos

discretos. As juntas são vistas como interfaces entre os corpos discretos. As forças de

contato e os deslocamentos nas interfaces de um conjunto de blocos são encontrados

através de uma série de cálculos que definem os movimentos dos blocos. Movimentos

são resultantes da propagação através do sistema de blocos por um distúrbio aplicado no

limite entre os blocos. Sendo assim, o que ocorre é um processo dinâmico em que a

velocidade de propagação é função das propriedades físicas do sistema discreto.

No MED o intervalo de tempo deve ser suficientemente pequeno porque

durante um intervalo, distúrbios não podem propagar em um elemento discreto no

modelo além daqueles elementos imediatamente próximos. Este esquema de solução é

idêntico ao usado pelo método de diferenças finitas para análises numéricas de meios

contínuos. Para blocos rígidos, a massa do bloco e a rigidez entre os blocos definem a

limitação do intervalo de tempo; para blocos deformáveis, a rigidez do sistema inclue

contribuição da rocha intacta e dos contatos.

O cálculo executado no MED alterna entre leis de força-deslocamento nos

contatos e Segunda Lei de Newton de movimento dos blocos. A lei força-deslocamento

é usada para encontrar forças a partir dos deslocamentos. Pela Segunda Lei de Newton a

resultante das forças que agem num corpo é igual à taxa de variação do momento linear

(quantidade de movimento) do mesmo. Dessa forma da Segunda Lei de Newton através

do movimento é possível determinar a força que age no bloco. Se os blocos são

deformáveis, movimentos são calculados nos “nós” dos elementos de deformação finita

dentro dos blocos. A Figura 5.3 mostra esquematicamente o ciclo de cálculo para o

MED.

83

n

s

uksFnFn

uksFsFs

∆−=

∆−=

.

.

∆un

Fn

Fs ∆us

BLOCOS RÍGIDOS BLOCOS DEFORMÁVEIS

CONTATOS

INÍCIO DO CICLO ¤

Elemento

“Nó”

Nos elementos

,...),(

.1

ijjiji

i

i

j

j

ji

C

tdx

ud

dx

ud

εσσ

εε

∆=

∆

+=∆

••

Nos “Nós”

.

.

/ MFiu

FFF

dsnF

c

j

e

jj

jji

e

j

=

+=

=

••

∫σ

No Centróide

LE

IS C

ON

ST

ITU

TIV

AS

L

EIS

DE

MO

VIM

EN

TO

.

.

.

/

/

.1

IM

MFiu

FxM

FFin

iii

c

i

=

=

=

=

••

•

=

∑

∑

θ

t = t + ∆∆∆∆t

VOLTA AO INÍCIO DO CICLO ¤

Figura 5.3 – Ciclo básico de cálculo para o método do elemento discreto (Adaptado Hart 1993).

84

Na Figura 5.3 pode ser visto um ciclo básico de cálculo para o método do

elemento discreto, onde: nos contatos: Fn e Fs é força normal e cisalhante, ∆un e ∆us é o

aumento do deslocamento normal e cisalhante, kn e ks é a rigidez normal e cisalhante e

µ é o coeficiente de atrito. Nos blocos rígidos: Fi é o vetor força do bloco, c

Fi é o vetor

força contato, I é o momento de inércia, ••

u é a aceleração translacional, xi é o vetor

posição e ••

θ é a aceleração angular. Nos blocos deformáveis, C é a forma funcional da

lei constitutiva, e

Fi vetor força no “nó” c

Fi é o vetor força contato, •

u é o vetor velocidade

no “nó”, ∆εij aumento de deformação do elemento e σij é o tensor de tensões do

elemento.

5.2 – PROCEDIMENTO DE SOLUÇÃO EXPLÍCITA

O MED é baseado em um procedimento de solução explícita. “Explícito”

refere-se à natureza das equações algébricas usadas na simulação numérica do sistema

físico. No método explícito, todas as equações de um lado da equação são conhecidas, e

cada equação é avaliada simplesmente para produzir o resultado no outro lado da

equação. As formulações explícitas diferem das formulações implícitas, onde as

quantidades desconhecidas existem em ambos os lados da equação; as formulações

implícitas requerem a solução de equações simultâneas por alguma técnica tais como

eliminação transposta ou eliminação de Gauss.

A formulação explícita considera um tempo finito para a informação propagar

através de um sistema dos blocos. A interdependência de variáveis sobre um intervalo

de tempo pode ser negligenciada se o intervalo do tempo for pequeno bastante e assim a

informação passa entre os blocos vizinhos em uma velocidade menor do que

fisicamente possível. Ou seja, o procedimento numérico é estável quando as equações

de movimento para todos os blocos se tornam desacopladas, selecionando um intervalo

do tempo entre intervalos subseqüentes da integração que seja menor do que àqueles

requeridos para que os blocos adjacentes se comuniquem fisicamente. O intervalo de

tempo pequeno é a principal desvantagem do método explícito. A determinação do

85

intervalo de tempo requerido é baseada nas massas e nas rigidezes dos blocos

envolvidos no problema. Uma vantagem do método explícito é que, grandes

deslocamentos e o comportamento não-linear ou não-elástico são possíveis sem nenhum

esforço computacional adicional.

5.3 – REPRESENTAÇÃO DA JUNTA DA ROCHA NO UDEC

As juntas são representadas numericamente como superfícies de contato

formadas na interface entre dois blocos (Figura 5.4). Em geral, para cada interface entre

dois blocos são criados elementos para representar os pontos de contato. No UDEC,

blocos adjacentes podem ter contato ao longo de um segmento limitante ou em pontos

discretos. Para blocos rígidos, é criado um contato no UDEC em cada extremidade do

bloco interagindo com uma extremidade ou limite de outro bloco. (Figura 5.4). Se os

blocos forem deformáveis, contatos entre pontos são criados em todos os “nós” no

limite entre os blocos.

Figura 5.4 – Contatos entre blocos no UDEC (Adaptado Hart 1993).

Para o modelamento exposto acima e na Figura 5.4 supõe-se que as

extremidades dos blocos têm resistência infinita.

Na realidade, o esmagamento das extremidades dos blocos ocorreria como um

resultado da concentração de tensões. Modelagem explícita deste efeito é impraticável.

Entretanto, uma representação realista pode ser realizada arredondando-se as

extremidades de modo que os blocos podem deslizar um sobre o outro quando duas

86

extremidades opostas interagem. Arredondamento das extremidades é utilizado no

UDEC especificando um arco para cada extremidade do bloco. O arco é definido pela

distância do ápice do ponto de tangência com os limites adjacentes. (Figura 5.5).

No UDEC, o ponto de contato entre uma extremidade e o limite é modelado de

acordo com a Figura 5.5a. Se as duas extremidades estão em contato, o ponto de contato

é modelado de acordo com a Figura 5.5b.

(a)

(b)

Figura 5.5 - Definição dos contatos no UDEC – (a)Contato limite extremidade arredondado (b) Interação extremidade-extremidade (Adaptado Hart 1993).

87

Extremidades arredondadas são aplicadas no UDEC somente para cálculos

mecânicos. Para todos os outros cálculos e propriedades o UDEC baseia-se no bloco

inteiro. O uso das extremidades arredondadas pode resultar em soluções erradas se o

arredondamento for muito extenso. Se o arredondamento for mantido em

aproximadamente 1% do comprimento do limite do bloco representado então obtém-se

um bom resultado (Hart 1993).

Pontos de contato no UDEC são atualizados automaticamente quando o bloco se

move. Os algoritmos para realizar esta atualização são eficientes, particularmente em

análises dinâmicas, em que grandes deslocamentos podem ocorrer requerendo exclusão e

adição de centenas de contatos durante a simulação dinâmica. UDEC tem a vantagem de

uma rede de “domínios” criados pela junção de blocos em duas dimensões. Domínios são

as regiões do espaço entre blocos que são definidos pelos pontos de contato (Figura 5.6).

Durante um certo intervalo de tempo, novos contatos podem ser formados somente com

as extremidades e os limites dentro de um mesmo domínio, dessa forma atualizações

podem ser executadas sempre que alguma medida prescrita de movimento é alcançada

dentro do domínio.

Figura 5.6 – Contatos e domínios entre dois blocos deformáveis (Adaptado Hart 1993).

88

5.4 – COMPORTAMENTO DAS JUNTAS

Numericamente, uma junta é um tipo de contato especial que é classificado

como um contato limite entre dois blocos em duas dimensões. No UDEC, uma junta é

reconhecida quando um domínio é definido pelo contato de dois pontos. Aumentos de

deslocamentos normais e cisalhantes são calculados para cada ponto de contato e

associado a um comprimento. (comprimentos L1, L2 e L3 na Figura 5.6). No UDEC,

cálculos de força-deslocamento são feitos para cada ponto de contato e associados à

área.

UDEC usa a mesma relação de comportamento da junta que descreve a

resposta mecânica na interface, sendo que na direção normal, a relação força-

deslocamento é suposta linear (Eq. 5.1) e governada pela rigidez kn tal que:

nnn ukF .= Eq. 5.1

onde Fn é a força normal efetiva e un é o deslocamento normal.

Em muitas aplicações, a tensão que pode ocorrer entre blocos é limitada. Se o

limite de tensão for excedido, a interface é rompida e os valores de tensão limite e de

coesão são restaurados a um valor inicial igual a zero. As forças cisalhantes e normais

são ajustadas também a zero quando o limite de tensão for excedido. Além dos pontos

de contato especificados por relações de força-deslocamento, os contatos da borda são

importantes fisicamente porque correspondem ao exemplo de uma descontinuidade

fechada ao longo de toda a sua área. Para tais casos, as expressões precedentes são

escritas nos termos de tensão e as áreas de descontinuidades representativas devem ser

levadas em conta. O aumento de forças cisalhantes é proporcional ao aumento de

deslocamentos relativos - Eq. 5.2:

sss ukF ∆=∆ . Eq. 5.2

onde ∆Fs é o incremento da força cisalhante; ks rigidez cisalhante e ∆us é o

incremento do deslocamento cisalhante.

A força máxima é limitada de acordo com o critério de Mohr Coulomb – Eq.

5.3:

89

)tan(. iFcF ns ++≤ φ Eq. 5.3

onde: c é a coesão, φ é o ângulo de atrito da junta e i é o ângulo de dilatação.

Ruptura cisalhante plástica pode ocorrer quando a força cisalhante alcançar o

valor máximo.

Uma melhor compreensão do modelo de enfraquecimento por deslocamento é

possível através do UDEC onde o modelo de deformação continuada da junta (Cundall

e Lemos 1990) é proposto à mecânica intrínseca de dano progressivo na junta, sob

cisalhamento. O modelo de deformação continuada da junta pode ser mais apropriado

para análises dinâmicas do que o modelo de Coulomb porque ele fornece um

amortecimento contínuo da histerese para simulações dinâmicas.

5.5 – DEFORMABILIDADE DE BLOCOS

Como foi citado anteriormente no UDEC os blocos podem ser rígidos ou

deformáveis. A formulação básica para blocos rígidos é dada por Cundall et al. (1978).

Esta formulação representa o meio como um conjunto de blocos discretos que não

mudam sua geometria em conseqüência do carregamento aplicado. Conseqüentemente,

a formulação é mais aplicável aos problemas em que o comportamento do sistema é

dominado por descontinuidades e onde as propriedades elásticas, ou seja, as

propriedades de deformação podem ser ignoradas. Tais circunstâncias resultam em

ambientes de baixas tensões e/ou onde o material possui resistência elevada e baixa

deformabilidade. Para muitas aplicações, a deformação de blocos individuais não pode

ser ignorada, isto é, os blocos não podem ser considerados rígidos. Duas aproximações

foram desenvolvidas. Em uma aproximação, denominada “simplesmente deformável”,

para cada bloco são permitidos três graus de liberdade a eles deformam-se internamente.

Na segunda aproximação, denominada “totalmente deformável”, a deformação dos

blocos é permitida com a discretização interna dos blocos através de zonas de diferenças

finitas, Figura 5.7. Os algoritmos “simplesmente deformável” e “totalmente

deformável” são usados no UDEC e descritos por Cundall et al. (1978).

90

(a) (b)

Figura 5.7 – Modelagem de um poço (a) Elementos discretos – blocos (b) Zoneamento dentro dos blocos (Adaptado Hart 1993).

Os blocos inteiramente deformáveis são discretizados internamente em

triângulos de diferenças finitas. Os vértices destes triângulos são os “nós”, e as equações

do movimento para cada “nó” são formuladas pela Eq. 5.4:

i

ij

sji

i gm

Fdsn

u +

+

=∫ ..σ

Eq. 5.4

Onde: s é a superfície;

Fi é a resultante de todas as forças externas aplicadas no “nó”;

gi é a soma de todas as forças que agem no corpo (gravidade, etc).

Durante cada intervalo de tempo, deformações e rotações são relacionadas nos

deslocamentos nodais de acordo com as Eqs. 5.5 e 5.6:

).(2

1,, ijjiij uu

•••

+=ε Eq. 5.5

).(2

1,, ijjiij uu

•••

−=θ Eq. 5.6

91

Observa-se que, devido ao tratamento incremental, não há uma limitação às

pequenas tensões. As relações constitutivas para blocos deformáveis são usadas em um

de modo que a execução de problemas não linear possa ser realizada facilmente.

(Eq. 5.7)

ijijvji

e

εµδελτ ∆+∆=∆ ..2. Eq. 5.7

Onde: λ e µ são constantes de Lamè;

ji

e

τ∆ é o incremento do tensor de tensões;

ijε∆ é o aumento da deformação;

2211 εεε ∆+∆=∆ v é o aumento da deformação volumétrica

ijδ é o delta de Kronecker´s.

Os modelos de resistência não lineares e de resistência “pós pico” são

incorporados no código de uma maneira direta, sem recorrer a mecanismos como

rigidezes equivalentes ou às tensões iniciais, que necessitam ser introduzidas em

programas de matriz orientados para preservar a linearidade requerida pela formulação

da matriz.

Em um programa explícito, entretanto, o processo é muito mais simples, sendo

que após cada intervalo de tempo, sabe-se o estado da tensão de cada zona. A tensão é

definida excepcionalmente pelo modelo de tensão-deformação se for uma relação

linear-elástica ou por um modelo complexo se a relação for não linear e de resistência

pós-pico.

5.6 – AMORTECIMENTO NUMÉRICO

Para soluções estáticas, o amortecimento deve ser usado para dissipar a

energia de vibração a fim de que o sistema convirja a um estado constante, caso

contrário, o sistema oscilará indefinidamente. Duas formas de amortecimento são

avaliadas no UDEC: amortecimento de massa proporcional e amortecimento de rigidez

proporcional. Amortecimento de massa proporcional tem um efeito similar àquele em

92

que um conjunto de blocos é mergulhado em um fluido viscoso, isto é, que o

movimento absoluto relativo à estrutura de referência é amortecido. Amortecimento

proporcional da rigidez é fisicamente equivalente aos “freios” amortecedores através

dos contatos para amortecer o movimento relativo do bloco.

Este amortecimento através dos contatos ocorre na direção cisalhante e

normal. Para um sistema contínuo que dissipe a energia no deslizamento, a teoria não se

aplica, mas o amortecimento ainda ocorre e pode ser compreendido nos termos dos

efeitos físico de cada tipo de mecanismo de amortecimento. Um ou outro tipo de

amortecimento pode ser usado junto ou separado. Amortecimento de massa

proporcional é eficaz em reduzir o movimento de baixa freqüência. Amortecimento de

rigidez proporcional é mais eficaz em combater o ruído de alta freqüência dos blocos

individuais que se chocam com os vizinhos. Fisicamente, amortecimento proporcional

de massa pode ser considerado como um conjunto dos mecanismos de amortecedores

viscosos conectados ao centróide de cada bloco (Figura 5.8).

Figura 5.8 – Tipos de amortecimento (Adaptado Hart 1993).

O valor de λmin e fmin são parâmetros de entrada do UDEC. Para análises

estáticas, os valores foram frequentemente determinados ou usando uma simplificação

análoga do modelo, ou monitorando um pequeno funcionamento não amortecido de

modo que a forma dominante para o amortecimento possa ser identificado. Uma

93

abordagem alternativa utilizando o UDEC é adaptar um esquema de amortecimento que

ajusta a constante de amortecimento de massa, α, automaticamente para as condições do

problema durante a solução. (Cundall 1982).

Para análises dinâmicas, o amortecimento deve tentar reproduzir a freqüência-

independente de amortecimento de materiais naturais no nível correto. Para materiais

geológicos, esta é geralmente 2% a 5% do amortecimento crítico. As freqüências são

uma combinação das ondas que são introduzidas e dos modos naturais do sistema.

Os mecanismos amortecedores geram uma força que se opõe à velocidade do

bloco e que é proporcional à velocidade e à massa do mesmo. Eq. 5.8.

guM

F

t

u+−=

∂

∂ ••

.α Eq. 5.8

onde α é a constante de amortecimento.

Uma nova equação com o tempo pode ser escrita da seguinte forma:

guu

M

F

t

uu

tt

tt

tt

tt

+

+

−=∆

−

∆−•

∆+•

∆−•

∆+•

2.

2222

α Eq. 5.9

Note que o amortecimento da força na equação é centrada no tempo.

Rearranjando a Eq. 5.9 tem-se a Eq. 5.10:

2

.1

.2

.1.

2

2

t

tgM

Ftu

u

tt

tt

∆+

∆

++

∆−

=

∆−•

∆+•

α

α

Eq. 5.10

5.7 – MODELAMENTO ESPECÍFICO

Avanços em modelagem de meios descontínuos fizeram várias tentativas para

tentar construir melhores detalhes da estrutura geológica no modelo. Isto conduziu a um

dilema se o modelo tem um uso prático na engenharia. O modelo deve incluir muitos

detalhes geológicos, ou ele deve focalizar primeiramente na análise simplificada?

94

Os principais argumentos contra a primeira abordagem, segundo Hart 1993

são:

(i) Dificuldades em ter dados suficientes para modelar os detalhes de

juntas da rocha;

(ii) A compreensão dos resultados do modelo torna-se menos eficazes

quanto mais detalhes forem adicionados.

A dificuldade percebida na segunda abordagem é que os modelos podem se

tornar extremamente simplificados e resumidos, não caracterizando o comportamento

da estrutura geológica.

Como uma abordagem pode estar certa de que a característica crítica da

estrutura geológica está dentro das análises? Este dilema é o maior problema na análise

do elemento discreto no desenvolvimento de projetos de mecânica das rochas.

Pode ser discutido de modo que modelos incorporando maiores detalhes

geológicos podem ser desenvolvidos para uso prático se a capacidade do modelo em

simular alguns mecanismos físicos for restrita. Por exemplo, o movimento das juntas de

um meio descontínuo pode ser limitado apenas para deslocamentos cisalhantes, ou a

rocha intacta pode ser restrita para movimentos de blocos rígidos sem deformação

interna. Contornando as análises para certos mecanismos, modelos incluindo maiores

detalhes na geometria da estrutura da junta podem ser feitos e resolvidos.

Uma falha nestas abordagens descritas acima é que o modelo pode não incluir

os mecanismos dominantes do problema físico. Se algum dado importante do

movimento da junta ou deformação da rocha não está incluído no modelo, a resposta do

cálculo do modelo pode estar errada.

Um simples exemplo demonstra que pode resultar em um comportamento

errôneo se os mecanismos críticos são omitidos no modelo. Considerando uma análise

de um carregamento de uma rocha fraturada confinada. As condições do problema são

mostradas na Figura 5.9. A resposta lateral será uma função de uma relação do

coeficiente de Poisson escolhido para um maciço rochoso. A deformação é em função

da tensão de confinamento. A verdadeira influência do coeficiente de Poisson em um

maciço rochoso fraturado é crítica, sendo muito importante em sua modelagem

numérica.

95

Figura 5.9 – Modelos do efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo θθθθ com a horizontal e com espaçamento S. (Adaptado Hart 1993).

O coeficiente de Poisson de uma massa rochosa é composto por duas partes:

(1) uma componente devido à junta, e (2) uma componente devido às propriedades

elásticas da rocha intacta. Exceto em pequenas profundidades ou valores baixos de

tensão confinamento, a compressibilidade da rocha intacta faz uma grande contribuição

para a compressibilidade de um maciço rochoso como um todo. Sendo assim, o

coeficiente de Poisson da rocha intacta tem um efeito significante no coeficiente de

Poisson da rocha fraturada.

Coeficiente de Poisson, ν, está estritamente definido somente para materiais

elásticos e isotrópicos. Entretanto, há somente alguns padrões de juntas que possuem

propriedades elásticas e isotrópicas para um maciço rochoso. Consequentemente é

conveniente definir um “Efeito de Poisson” que pode ser usado para se ter uma

compreensão do que pode ocorre com materiais anisotrópicos.

O efeito de Poisson é definido como uma relação de tensão horizontal e

vertical quando um carregamento é aplicado na direção horizontal e sem deformação.

Condições de deformação plana são assumidas. O efeito de Poisson para um material

elástico isotrópico é dado pela Eq. 5.11:

96

ν

ν

σ

σ

−=

1yy

xx Eq. 5.11

Se uma forma de deformação de um bloco da rocha intacta eram excluídos do

modelo (por exemplos os blocos rígidos), então a aplicação de uma tensão vertical não

produziriria tensão horizontal. Isto não retrata a realidade porque a tensão horizontal

produzida pelo coeficiente de Poisson da rocha intacta está sendo ignorada.

As tensões que agem na rocha intacta e na junta são idênticas. A deformação

total do maciço rochoso fraturado é a soma das deformações devido à compressibilidade

da rocha.

As propriedades elásticas do maciço rochoso como um todo podem ser pela

adição da matriz de conformidade da junta e da rocha intacta:

[ ]

+=

yy

xxjuntarocha

yy

xxcc

σ

σ

ε

ε)()( Eq. 5.12

Se a rocha intacta fosse modelada como um material elástico linear, a matriz

de conformidade seria:

−−

−−+=

νν

ννν

1

11)(

Ec rocha Eq. 5.13

onde E é o módulo de Young do material.

A matriz de conformidade para a junta dependerá do espaçamento e da

orientação do conjunto de juntas. Para o caso mostrado na Figura 5.9, a matriz de

conformidade de juntas mergulhando a 45º pode ser mostrada na Eq. 5.14:

+−

−+=

nsns

nsns

sn

junta

kkkk

kkkk

kkSc

...2

1)( Eq. 5.14

Então, o efeito de Poisson para o maciço rochoso como um todo é dado pela

Eq. 5.15:

[ ]

sn

sn

sn

sn

yy

xx

kkS

kk

E

kkS

kk

E

...2

)1()1(...2

)1(

++

−+

−+

+

=νν

νν

σ

σ Eq. 5.15

97

A Figura 5.10 é um gráfico da Eq. 5.15 para vários valores de skS

E. . Para

valores baixos de skS

E. o efeito do coeficiente de Poisson de um maciço rochoso é

dominado pelas propriedades da rocha intacta. E para valores altos de skS

E. , o efeito

do coeficiente de Poisson é dominado pelas juntas.

Figura 5.10 – Efeito de Poisson em rochas com juntas mergulhando em um ângulo θ=45θ=45θ=45θ=45o e ν=ν=ν=ν=0,2. (Adaptado Hart 1993).

A Figura 5.10 mostra a importância em modelar a mecânica do problema

corretamente. Neste exemplo, a não ser que skS

E. seja muito grande, detalhes

adicionais da estrutura da junta não acarretariam em erros de cálculo do efeito de

Poisson se o bloco fosse rígido. Entretanto, uma resposta física real pode ser calculada

se a deformação da junta e da rocha intacta forem modeladas.

Esta análise também demonstra a importância do uso de valores reais de

rigidez cisalhante da junta no método de elementos discretos. Na Figura 5.10, a relação

da rigidez cisalhante e normal afeta consideravelmente a resposta do efeito de Poisson

do maciço rochoso.

98

Foi demonstrado a considerável eficiência e o modo de cálculo do UDEC que

utiliza o método dos elementos discretos - MED para modelar rochas fraturadas,

consideradas como meios descontínuos. Para um modelamento mais realista dos

problemas envolvendo estabilidade em meios descontínuos, foi demonstrada também a

necessidade de se ter dados de características geológicas da rocha bem como das

descontinuidades sendo estes de grande importância para se obter uma análise mais

minuciosa e precisa do que ocorre no maciço rochoso.

Será apresentado a seguir, no Capítulo 6, o modelamento computacional

através do código bidimensional de elementos discretos UDEC para poços em rochas

fraturadas. Esta é uma modelagem da estabilidade de um poço real da Bacia de Campos.

Os dados e parâmetros utilizados neste trabalho são definidos e demonstrados bem

como os resultados destas análises em diversas situações prováveis de campo.

99

CAPÍTULO 6

6 – MODELAGEM COMPUTACIONAL DA ESTABILIDADE DE POÇOS EM ROCHAS FRATURADAS

Dentre os estudos feitos neste presente trabalho está a análise computacional

da estabilidade de rochas fraturadas . O principal objetivo desta análise é, dentre outros,

o uso dos resultados gerados computacionalmente como uma forma de comparação e

posterior validação das soluções analíticas aqui propostas. Os modelos computacionais

a serem apresentados foram elaborados com o código bidimensional de elementos

discretos UDEC, versão 1.83, desenvolvido pelo Itasca Consulting Group,

Minneapolis/EUA (Itasca, 1993), que teve a sua fundamentação teórica descrita no

Capítulo 5, para avaliar as condições de estabilidade de poços em rochas carbonáticas

intensamente fraturadas.

Figueiredo et al 2006 analisaram vários cenários representativos de um poço

de petróleo denominado Poço “B”, da Bacia de Campos, cujas características foram

fornecidas pela PETROBRAS (Henriques, 2005). O estudo visou estabelecer os

principais mecanismos de instabilização de poços em rochas carbonáticas intensamente

fraturadas, salientar os aspectos dos mesmos relacionados à condição de fraturamento

do meio e fornecer uma faixa de valores aceitável de massa específica do fluido de

perfuração, conhecida como “janela operacional” que poderia ser adotada no Poço “B”.

Foram feitas análises com a condição de fluido não penetrante no qual o

cálculo é exclusivamente mecânico e fluxo não acoplado pelas fraturas; e a outra

condição foi a de fluido penetrante, no qual o cálculo é hidromecânico e fluxo acoplado

pelas fraturas.

Neste presente trabalho, além de apresentar os principais resultados obtidos

por Figueiredo et al 2006, foram executadas análises computacionais adicionais no

software UDEC para uma maior abrangência de resultados em diversas condições

geomecânicas e geométricas do denominado Poço “B”.

100

6.1 – PRECEDENTES PARA A MODELAGEM COMPUTACIONAL

6.1.1 – DADOS DO POÇO

Inicialmente foi analisado um poço (representativo do Poço “B”) a uma

profundidade total de 4800 m, sendo 1200 m de lâmina d'água e 3600 m abaixo do

fundo do mar. O diâmetro nominal de perfuração foi de 81/2'' (21.59 cm).

A massa específica do fluido de perfuração foi um parâmetro para iniciar a

análise, cujos valores utilizados estão na Tabela 6.1

Tabela 6.1 – Massa específica do fluido de perfuração (Figueiredo et al 2006).

Massa específica (ρρρρf))))

g/cm3 lb/gal

1.1 9.18

1.2 10.01

1.35 11.26

1.5 12.51

1.7 14.18

1.85 15.43

6.1.2 – TENSÕES IN SITU

A tensão vertical efetiva in situ, Vσ , foi deduzida das informações contidas

em Henriques (2005),dadas pela Eq. 6.1:

)())(()()( wsubwwwwwV hzhzhzhz −=−−=−−−= γγγγγσ Eq. 6.1

Onde: γ é o peso específico médio das rochas (0.027 MN/m3);

101

γw é o peso específico da água (0.01MN/m3);

γsub é o peso específico submerso das rochas ( wγγ − = 0.017 MN/m3);

z é a profundidade total (4800 m) e

hw é a espessura da lâmina d'água (1200 m).

Sendo assim: Vσ = 61.3 MPa

A mínima tensão horizontal efetiva in situ, hσ , será mantida fixa. Seu valor

foi calculado, conforme Henriques (2005), a partir da Eq. 6.2 dada por:

Vh συ

υσ

−

=1

Eq. 6.2

Onde υ é o coeficiente de Poisson (igual a 0.3 − ver subitem 6.1.3).

Sendo assim: hσ = 26.3 MPa

A componente de tensão horizontal máxima, Hσ , foi considerada um

parâmetro. O valor da sua razão para com a tensão horizontal mínima, hHK σσ /= , foi

variado de acordo com a Tabela 6.2.

Tabela 6.2 - Razões entre as tensões horizontais in situ. (Figueiredo et al 2006).

K Hσ (MPa)

1.0 26.3

1.2 31.6

1.3 34.2

1.5 39.5

1.6 42.1

Henriques (2005) propôs K = 1.3. Todavia, alguns resultados para outros

valores de K já haviam sido obtidos e estão igualmente disponíveis. Neste trabalho,

entretanto, para não estender a descrição das análises, serão enfatizados os resultados

para K = 1.3.

102

6.1.3 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DA ROCHA INTACTA

Seguindo Santarelli et al. (1992), admitiu-se nos modelos computacionais que

a rocha intacta é um material linear elástico isotrópico. As propriedades médias de

deformabilidade, para tanto, foram fornecidas por Henriques (2005) sendo:

- Módulo de Young ⇒ E = 3.88 x 106 psi = 26.75 GPa;

- Coeficiente de Poisson ⇒ υ = 0.3.

Mesmo sendo a rocha intacta considerada elástica, as suas propriedades de

resistência também foram utilizadas nos modelos computacionais, para o cálculo de

Fatores de Segurança (FS) pontuais. No UDEC o procedimento de determinação do

fator de segurança procede de acordo com a Eq. 6.3 dada por:

FS=Rr/Re Eq. 6.3

Onde:

Re é o raio do círculo de Mohr de um ponto qualquer do meio, obtido a partir

da distribuição elástica das tensões;

Rr é o raio de um círculo de Mohr hipotético que, para o mesmo ponto,

tangencia a envoltória de resistência mantendo-se fixa a tensão principal menor.

Pontos com FS < 1 (Re > Rr) são aqueles susceptíveis à ruptura da rocha

intacta, pois apresentam estados de tensão cujos círculos de Mohr elásticos são

inadmissíveis.

Henriques (2005) indica que a Resistência à Compressão Uniaxial (σc) média

das rochas carbonáticas é dado por σc = 19185 psi = 132.3 MPa.

Para se estimar os parâmetros de resistência de Mohr-Coulomb, a serem

utilizados no cálculo dos FS, utilizou-se a seguinte a Eq. 6.4 dada por:

φ

φσ

sen1

cos2

−=

cc Eq. 6.4

Onde c é a Coesão e φ é o Ângulo de Atrito.

103

Adotando-se um φ = 35o para rochas carbonáticas (Goodman, 1989), pode-se

calcular, a partir da Eq. (6.4), c = 34.44 MPa. Além disso, foi assumida uma Resistência

à Tração de um décimo da Resistência à Compressão, ou seja, σt = 0.1σc = 13.23 MPa.

6.1.4 – PROPRIEDADES MECÂNICAS DAS DESCONTINUIDADES

Para as descontinuidades, utilizou-se também um critério de resistência de

Mohr-Coulomb com os seguintes parâmetros estimados:

- Ângulo de Atrito das Descontinuidades ⇒ φj = 30o (conforme Tabela 1 de

Barton & Choubey, 1977);

- Coesão das Descontinuidades ⇒ cj = 0;

- Resistência à Tração das Descontinuidades ⇒ σtj = 0;

- Ângulo de Dilatância das Descontinuidades ⇒ ψj = 0.

É importante salientar que enquanto os blocos têm o comportamento

considerado elástico, as descontinuidades apresentam um comportamento elastoplástico.

Com relação às propriedades de deformabilidade, admitiu-se que as rigidezes

normal (kn) e cisalhante (ks) são ambas constantes, isto é, independentes do nível de

tensão normal atuante sobre a descontinuidade e da escala da mesma. Para os níveis de

tensão esperados no entorno do Poço B à profundidade de 4800 m, da ordem de 70

MPa, e para a escala dos blocos rochosos a serem modelados (1 a 4 cm − subitem 6.1.6,

na seqüência). Bandis et al (1983) sugere que ks ≈ 1 x 105 MPa/m e uma relação kn / ks ≈

10. Assim, foram adotados os seguintes valores:

- ks = 1 x 105 MPa/m e kn = 1 x 106 MPa/m (valores que coincidem com os

adotados por Santarelli et al., 1992).

6.1.5 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS E REGIMES DE FLUXO

A condutividade hidráulica, k, de uma fratura, em regime laminar, é dada pela

Eq. 6.5, de autoria de Vargas Jr., 1982; Harper & Last, 1989:

104

f

ffk

µ

γ

12

2

= Eq. 6.5

Onde: f é a abertura da fratura;

γf é o peso específico do fluido e

µf é a sua viscosidade dinâmica.

Segundo Figueiredo et al 2006, a abertura f irá variar com o fechamento da

fratura, acoplando integralmente, a partir daí os problemas hidráulicos e mecânico. O

UDEC utiliza as aberturas sob tensão normal nula, f0, residual em altas tensões, fres, e

máxima, fmax, para controle dessa variação.

Para se estimar f0 levou-se em conta, primeiramente, que o fechamento total

máximo das descontinuidades, notado nas análises envolvendo cálculos puramente

mecânicos, ou seja, sem fluxo, foi da ordem de 5 x 10-5 m. Portanto, o valor selecionado

para f0 deverá ser compatível com o mesmo. Utilizou-se, para uma verificação da

pertinência de tal valor, uma expressão empírica proposta em Barton et al. 1986,

Eq. 6.6, dada por:

)1.02.0(50 −=

c

JCSJRCf

σ Eq. 6.6

Onde: JRC é o Coeficiente de Rugosidade da Junta (Barton & Choubey, 1977) e

JCS é a Resistência Compressiva da Junta (Barton & Choubey, 1977).

Para o nível de tensões esperado, a escala de fraturamento modelada

(espaçamentos de 1 a 4 cm − subitem 6.1.6, na seqüência) e na inexistência de qualquer

exposição intempérica pode-se assumir que JCS/σc ≈ 1 e JRC ≈ 2.5 são valores

razoáveis. Então, pela Eq. 6.6, f0 = 0.05 mm = 5 x 10-5 m, que coincide com o

fechamento total máximo supra-referido e foi, assim, o valor adotado. E considerou-se

também que fres ≈ 1 x 10-5 m.

Com relação à abertura máxima, optou-se por admiti-la igual a f0, uma vez que

as descontinuidades são não dilatantes e a adoção de valores de fmax muito maiores que

f0 tem também implicações em termos da eficiência do algoritmo iterativo de solução

105

(reduz a magnitude do passo de tempo da integração temporal, que é inversamente

proporcional à abertura). Assim, fmax = 5 x 10-5 m.

A Tabela 6.3, abaixo, resume os valores atribuídos às aberturas hidráulicas.

Tabela 6.3 - Aberturas hidráulicas (Figueiredo et al 2006).

Aberturas hidráulicas

f0 0.05 mm

fres 0.01 mm

fmáx 0.05 mm

Seguindo Santarelli et al 1992, o fluido que poderá adentrar-se na rede de

fraturas será a água. Considerando-se que à profundidade em questão (3600 m abaixo

do fundo do mar) haverá um substancial acréscimo da temperatura crustal, decorrente

do gradiente geotérmico local, as propriedades relevantes à determinação da

condutividade hidráulica deverão levar em conta tal fato.

Considerou-se que o gradiente geotérmico local seja aproximadamente

0.024 oC/m (o mesmo varia entre 0.02 e 0.03 oC/m − Turcotte & Schubert, 2002).

Assim, o acréscimo de temperatura será de ≈ 70 oC. A essa temperatura as propriedades

da água são, de acordo com Bastos 1983:

- Peso específico ⇒ γf = 977.8 Kg/m3;

- Viscosidade dinâmica ⇒ µf = 0.407 cP = 4.07 x 10-4 Pa.s.

Ainda há a necessidade de se fornecer o valor do módulo volumétrico (inverso

da compressibilidade), que relaciona a geração de pressão à variação de volume do

mesmo. A 70 oC o mesmo será de acordo com Bastos 1983

- Kf = 2196.69 ≈ 2200 MPa.

O UDEC oferece ainda a possibilidade de prescrição, na Eq. 6.5 de um

expoente para a abertura hidráulica (diferente de dois). Tal opção poderia ser usada, por

exemplo, para melhor representar um possível fluxo em regime turbulento nas fraturas.

Nas análises aqui realizadas, o expoente dois foi mantido, modelando-se, portanto, o

fluxo como laminar.

106

Finalmente, deve-se ressaltar que o fluxo pode ser modelado tanto em regime

transiente como permanente. Assim como Santarelli et al. (1992), para facilitar e

simplificar foi adotado por Figueiredo et al 2006, apenas fluxo na condição de regime

permanente. Além disso, existem as alternativas de se admitir que o fluxo ocorra por

toda a rede de fraturas ou tão somente por aquelas fraturas que tenham sofrido algum

tipo de plastificação (por tração ou cisalhamento). Essa segunda possibilidade pretende

representar a existência de fraturas seladas hidraulicamente, as quais só se tornam

permeáveis, caso estejam plastificadas. As duas opções foram aqui modeladas.

6.1.6 – GEOMETRIAS DE FRATURAMENTO

As geometrias consideradas para análise estão esquematizadas nas Figuras 6.1

e 6.2 que ilustram os elementos geométricos e sua posição em relação às tensões

principais aplicadas aos modelos.

Figura 6.1 - Elementos geométricos do fraturamento em torno do poço. (Figueiredo et al 2006).

107

Figura 6.2 – Geometrias do fraturamento em torno do poço-(a) ηηηη1111=45=45=45=45º; -(b) ηηηη1111=30=30=30=30º; -

(c) ηηηη1111=15=15=15=15º; -(d) ηηηη1111=60=60=60=60º.

Na Tabela 6.4 estão representados os valores dos espaçamentos entre as descontinuidades. Na Tabela 6.5 estão os mergulhos analisados para cada geometria (assinalado com X) e na Tabela 6.6 os formatos dos blocos analisados para cada geometria (assinalado com X).

Tabela 6.4 – Geometria dos blocos formados pelas descontinuidades (Figueiredo et al 2006).

e1(cm) e2(cm)

Geometria 1 4 4

Geometria 2 4 2

Geometria 3 4 1

Tabela 6.5 - Mergulhos analisados por Geometria (Figueiredo et al 2006).

η η η η1111

0o 15o 30o 45o 60o 90o

Geometria 1 X X X

Geometria 2 X X X X X X

Geometria 3 X

108

Tabela 6.6 – Formato dos blocos para cada geometria

ηηηη2

ηηηη1+30º ηηηη1+45º ηηηη1+90º

Geometria 1 X

Geometria 2 X X X

Geometria 3 X

Para as Geometrias 1 e 2 (com exceção de η1 = 15o) foram analisados todos os

casos de tensões horizontais in situ mencionados na Tabela 6.2 e de massa específica do

fluido de perfuração mostrados na Tabela 6.1. Já para a Geometria 3, somente o caso de

tensão in situ com K = 1.6 foi considerado.

6.1.7 – LIMITES EXTERNOS E CONDIÇÕES DE CONTORNO

Segundo Figueiredo et al 2006, os limites externos do modelo foram locados

de modo a se ter um domínio quadrangular cujas dimensões correspondem a 5 vezes o

diâmetro do poço. Uma possibilidade adicional oferecida pelo UDEC, que pode ser útil

nesse sentido, é a transformação dos limites externos em uma malha de elementos de

contorno. Com isso tem-se um método numérico híbrido (Lorig et al., 1986), no qual o

domínio próximo ao poço é modelado por elementos discretos e o domínio remoto

infinito (far field) é modelado por elementos de contorno.

Segundo Santarelli et al 1992, os mergulhos das famílias de fraturas foram

mantidos mas seus espaçamentos duplicados, Figura 6.3. O objetivo dessa duplicação

dos espaçamentos foi, diminuindo o número de blocos do modelo, reduzir o tempo de

computação das análises.

As condições de contorno foram em termos de tensões efetivas, sendo aplicada

hσ , tensão horizontal mínima segundo a horizontal e Hσ , tensão horizontal máxima

segundo a direção vertical, Figura 6.1. Adicionalmente, foram aplicadas as tensões

iniciais (in situ) a todo o domínio modelado. Um estado de equilíbrio inicial entre as

tensões no domínio e no contorno ("consolidação" dos blocos) foi então determinado,

109

antes da abertura do poço, com as propriedades de resistências das fraturas

artificialmente elevadas. Posteriormente, o poço foi aberto, as propriedades colocadas

nos seus valores reais e a sobre pressão do fluido de perfuração (diferença em relação à

pressão de poros na formação) aplicada no interior do poço, Figura 6.3. Esse tipo de

seqüência de modelagem é bastante usual no MED, mostrado no Capítulo 5 deste

presente trabalho.

Figura 6.3 - Limites externos do modelo e geometria de fraturamento (e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 45o; ηηηη2 =135o). (Figueiredo et al 2006).

Nas análises hidromecânicas acrescentaram-se condições de contorno em termos

de poro-pressões. As mesmas são nulas nos limites externos. A seqüência de

modelagem é análoga. A lógica de fluxo acoplado do UDEC só é aplicada, no entanto,

na segunda etapa do processo, após a consolidação inicial e a abertura do poço.

6.1.8 – SEQUÊNCIA DE MODELAGEM E DISCRETIZAÇÃO

Nas análises realizadas neste presente trabalho, além da máxima força

desbalanceada e da velocidade, foram monitorados também o deslocamento de um

ponto da parede do poço, alinhado com a tensão horizontal máxima, e a velocidade de

outro ponto da parede, alinhado com a tensão horizontal mínima. Segundo Figueiredo et

110

al 2006, o comportamento desses dois últimos pontos auxilia na avaliação da

estabilidade do poço.

Um exemplo típico da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas,

pode ser visto na Fig. 6.4.

Figura 6.4 - Detalhe da discretização interna dos blocos, por diferenças finitas no modelo (e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 0o; ηηηη2 = 90o). (Figueiredo et al 2006)

6.2 – APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DOS RESULTADOS

6.2.1 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES IN SITU EM ROCHAS FRATURADAS

Como primeiro resultado importante deste estudo, é o efeito do fraturamento

sobre as tensões em torno de um poço. Santarelli et al. (1992) salientaram que a

existência das famílias de fraturas teria o efeito de reorientar as tensões principais in

situ, que se alinhariam paralelamente aos mergulhos das mesmas. Esse efeito valeria

conquanto as pressões do fluido de perfuração fossem bem menores que a mínima

compressão principal. Figueiredo et al 2006 e neste presente trabalho foi encontrada

tendência similar, mostrada na Figura 6.5, na qual representa uma condição com pressão

do fluido de perfuração nula.

111

Figura 6.5 – Efeito da reorientação das tensões induzidas segundo as direções das

fraturas - Geometria 2; K = 1.5; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 30°°°°; ηηηη2 =120°°°°; ∆p = 0. (a) σσσσmin e σσσσmáx segundo Kirsch 1898 (meio contínuo); (b) σσσσmin e σσσσmáx reorientadas (rocha fraturada). (Figueiredo et al 2006).

Mais importante e associado a essa reorientação está o efeito sobre as

concentrações de tensão ao redor do poço em rochas fraturadas, que são bastante

diferentes daquelas que se esperariam baseadas somente nas soluções do meio contínuo,

conhecidas como soluções de Kirsch (citadas no Capítulo 2 e demonstradas no Anexo

1).

A Fig. 6.6 mostra as isofaixas de tensão principal menor, o UDEC considera

trações positivas; portanto, a Fig. 6.6 diz respeito à máxima compressão principal para

duas geometrias de fraturamento, K = 1.5 e sem pressão do fluido de perfuração (∆P=0).

Segundo Goodman 1989, na solução de Kirsch 1898 para meios contínuos, as máximas

concentrações de tensões previstas deveriam ocorrer nas paredes do poço de acordo

com a Figura 6.5a, sendo assim, o valor da mesma seria: hH σσσ −= 3max =

3(39.5) − 26.3 = 92.2 MPa. Ocorre que as concentrações de tensões fornecidas pelo

UDEC naqueles mesmos pontos estão entre 120 e 140 Mpa (Figura 6.6). A mínima

concentração de tensão, por raciocínio análogo seria igual a Hσ = 39.4 MPa. O UDEC

indica em tais pontos concentrações entre 60 e 80 MPa (Figura 6.6).

É importante observar que para um campo de tensões com k = 1.5, não se esperariam

tensões de tração nas paredes do poço (Goodman, 1989). Todavia, o UDEC mostra que

tensões de tração aparecem em quatro pontos.

ηηηη1111

112

Figura 6.6 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5); e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 30o; ηηηη2 =120o.

Na Figura 6.7 para um caso em que o fraturamento consiste de famílias

mergulhando 30o e 120o. Observe-se que as máximas (entre 100 e 120 MPa; e mínimas

entre 60 e 80 Mpa, concentrações compressivas se dão, agora, paralela e

perpendicularmente à família com 30o de mergulho. As tensões de tração novamente

aparecem segundo as bissetrizes do fraturamento.

ηηηη1111

113

Figura 6.7 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5): (a) e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 0o; ηηηη2 = 90o.

Tal tendência, de mudança nos valores e posições das concentrações de tensões,

é observada em todos os casos analisados para os quais a sobrepressão do fluido de

perfuração (excesso em relação à poro-pressão) tem valor inferior a hσ . As diferenças

entre os resultados analíticos e numéricos diminuem, entretanto, à medida que o valor

da sobrepressão se aproxima de hσ e, paradoxalmente, as tensões de tração

desaparecem.

Por exemplo, para o mesmo caso de fraturamento da Figura 6.6, mas com uma

sobrepressão do fluido de perfuração (∆p) de 24.6 MPa (correspondente a uma massa

específica de 13,82 lb/gal), a máxima concentração de tensões dada pela solução de

Kirsch (nos mesmos pontos anteriormente citados) seria de phH ∆−−= σσσ 3max =

3(39.5) − 26.3 − 24.6 = 67.6 MPa. O UDEC indica uma concentração em torno de 70

Mpa, mostrada na Figura 6.8. A mínima concentração, por sua vez, seria, pela solução

de Kirsch, de 14.8 MPa. O resultado numérico indica algo próximo a 20 Mpa, Figura

6.8. Note-se que na Fig. 6.8, não há pontos tracionados na parede do poço.

ηηηη1111

114

Figura 6.8 - Isofaixas de tensão principal menor (K=1.5; ρρρρf = 13,34 lb/gal; ∆∆∆∆p = 26.4 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 0o; ηηηη2 = 90o.

Uma possível explicação para as discrepâncias entre os resultados numéricos e

analíticos está nos processos não-lineares que ocorrem na rocha fraturada. Segundo

Figueiredo et al 2006 a existência de fraturas abertas e/ou sobre as quais ocorreu algum

deslizamento parece ter o efeito de "desacoplar" as tensões principais in situ,

restringindo suas influências às respectivas direções (como se fossem campos uniaxiais

independentes). Assim, as concentrações máxima e mínima são aproximadamente

iguais a 3 vezes a respectiva componente (o que sucederia no caso de um campo de

tensões uniaxial), sendo:

- Hσσ 3max = = 3(39.5) = 118.5 MPa, que é próximo de 120 MPa, limite

inferior dos valore fornecidos pelo UDEC;

- hσσ 3min = = 3(26.3) = 78.9 MPa, que é próximo de 80 MPa, limite superior

dos valores fornecidos pelo UDEC.

Essa tendência desaparece quando as plastificações não sucedem, como é

justamente o caso da Figura 6.8 (∆p = 26.4 MPa), em que não há fraturas abertas ou

cisalhadas em torno do poço.

115

É importante ainda observar que quando as sobrepressões internas são maiores

que a tensão principal mínima in situ, nota-se nas concentrações de tensões, uma

tendência inversa, ou seja, ao invés das concentrações serem mais elevadas que as

deduzidas da solução de Kirsch têm-se normalmente concentrações mais baixas.

Consequentemente a abertura da rede de fraturas pelo filtrado do fluido de perfuração

fica facilitada, podendo ter conseqüências extremamente danosas à estabilidade do

poço.

Como exemplo, a Fig.6.9 mostra a abertura das fraturas (em azul), nos pontos

onde se teriam as mínimas concentrações de tensões. Pela solução de Kirsch:

pHh ∆−−= σσσ 3min = 3(26.3) − 39.5 − 32.8 = 6.6 MPa. No entanto, como as fraturas

naqueles pontos encontram-se abertas e com a tensão de tração nula, pode-se concluir

que as tensões ali atuantes são iguais ou inferiores a zero (mais baixas, portanto, que as

deduzidas por Kirsch).

Figura 6.9 - Fraturas abertas ou cisalhadas com K=1.5; ρρρρf = 15,01 lb/gal; ∆∆∆∆p = 32.8 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 0o; ηηηη2 = 90o. (Figueiredo et al 2006).

Dessa forma de acordo com as importantes observações mostradas acima além

de se verificar que as concentrações de tensões em rochas fraturadas diferem daquela de

meios contínuos, pode-se concluir que valores baixos de massa específica do fluido de

perfuração podem não funcionar adequadamente no sentido de inibir os processos não

lineares intrínsecos da rocha fraturada (abertura e deslizamento das fraturas),

permitindo, com isso, tanto concentrações de tensões compressivas excessivamente

116

elevadas quanto o aparecimento de trações. As primeiras poderão induzir rupturas

inesperadas da rocha intacta e as segundas, uma abertura da rede de fraturas. Não

obstante, valores altos de massa específica do fluido de perfuração, por outro lado,

também podem romper a rocha intacta por compressão ou por tração.

A massa específica do fluido de perfuração deve ficar, portanto, numa faixa de

valores intermediários que não permita nenhum dos dois fenômenos supramencionados.

No subitem seguinte, são apresentados os valores de massa específica do fluido de

perfuração para um cenário representativo do Poço "B", considerando as hipóteses de

fluido não-penetrante (cálculos puramente mecânicos) e penetrante (cálculos com

acoplamento hidromecânico).

6.2.2 - RESULTADOS

6.2.2.1 – CONDIÇÃO DE FLUIDO NÃO PENETRANTE

Como foi ressaltado anteriormente, um primeiro conjunto de análises

computacionais envolveu cálculos puramente mecânicos, simulando, assim, a condição

de fluido não-penetrante. As condições de contorno do problema foram, então, em

termos de tensões efetivas horizontais (principais) in situ, nas fronteiras externas dos

modelos, e de sobrepressões do fluido de perfuração aplicadas no interior do furo.

Também, como já foi dito, todos os modelos foram, antes da abertura do poço,

"consolidados" sob ação das tensões in situ, com altas propriedades de resistência.

Na seqüência serão abordados os resultados dos modelos para os quais K=1.3,

que se considera mais realista. Para os demais valores de K, serão mencionados os

resultados, enfatizando os efeitos de se tê-los acima ou abaixo de 1.3. Serão avaliadas as

possibilidades de ruptura da rocha intacta com valores baixos de massa específica do

fluido de perfuração e abertura da rede de fraturas com valores altos de massa específica

do fluido de perfuração.

Com relação à ruptura da rocha intacta, avalia-se a sua possibilidade pelas

distribuições de Fator de Segurança calculados para um critério de Mohr-Coulomb. Em

nenhum dos casos em que K=1.3, mesmo tendo em conta as concentrações de tensões

117

mais elevadas verificou-se fator de segurança FS < 1. A Figura 6.10 ilustra as isofaixas

de fator de segurança (FS) para a Geometria 2, com uma massa específica do fluido de

perfuração de 9,17lb/gal e fraturas mergulhando 15o e 105o, este é o caso em que as

plastificações nas fraturas foram mais generalizadas e extensas, tendo, como

conseqüência, maior efeito concentrador de tensões apresentando 1.0 ≤ FSmin ≤ 2.0.

Portanto, resta analisar as situações nas quais poderia haver plastificação (abertura ou

deslizamento) das fraturas conectadas ao poço. Ressalte-se que Santarelli et al. (1992)

utilizaram precisamente esse critério, de ocorrência de plastificação, para determinarem,

num problema semelhante, as massas específicas do fluido de perfuração mais

adequadas.

Figura 6.10 - Isofaixas de FS - Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ρρρρf = 9,17 lb/gal; ∆∆∆∆p = 4.1 MPa): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 15o; ηηηη2 = 105o. (Figueiredo et al 2006)

A Tabela 6.7 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve

plastificação das fraturas vizinhas ao poço.

118


K=1.3 Massa Específica do fluido de perfuração - ρρρρf (lb/gal)

ηηηη1 ηηηη2 =�ηηηη1+90 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 90o X X X - - - X

15o 105o X X X - - - X

30o 120o X X X - - - X

45o 135o X X X - - - X

60o 150o X X X - - - X

90o 180o X X X - - - X

Portanto, a janela operacional, para quaisquer que sejam os mergulhos das

fraturas, fica entre 11.26 lb/gal (limite inferior) e 14.18 lb/gal (limite superior). A Figura

6.11 mostra as fraturas plastificadas, para massas específicas do fluido de perfuração

crescentes. É possível ver pela Figura 6.11 que para este caso específico, valores de

massa específica do fluido de perfuração menores ou iguais a 10.00lb/gal o poço está

instável geotecnicamente, ocorrendo abertura do poço e deslizamentos, colapsando o

poço.

119

(a) (b)

(c) (d)

Figura 6.11 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; ηηηη1 = 15o e ηηηη2 = 105o - (a) sem fluido de perfuração; (b) 9,17 lb/gal; (c) 10,01 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.

A consideração de outras geometrias e de valores de K inferiores a 1.3 (1.0 e

1.2) não alterou significativamente os resultados acima. Apenas nos casos mais

favoráveis do fraturamento (η1 de 0o e 90o), sendo assim pode-se admitir nestas análises

um limite inferior de massa específica do fluido 10.00 lb/gal. Todavia, nos demais casos

a faixa de possibilidades é a mesma do caso em que K=1.3.

120

Já para valores de K superiores a 1.3 a "janela operacional" acima se estreita.

A Tabela 6.8 assinala, com X, os casos em que houve plastificação das fraturas, para a

Geometria 2, com um K=1.5.



ηηηη1 ηηηη2 =�ηηηη1+90 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 90o X X X - - X X

15o 105o X X X X - X X

30o 120o X X X X - X X

45o 135o X X X X - X X

60o 150o X X X X - X X

90o 180o X X X - - X X

Na Tabela 6.7 para K=1.5 e η1 = 0o, se não houvesse pressão do fluido de

perfuração, ter-se-ia uma ruptura da rocha intacta. Isso se conclui de imediato da Figura

6.6, na qual a máxima concentração de tensões compressivas alcança valores entre 120

e 140 MPa, superando, assim, σc que é de 132.3 MPa (subitem 6.1.3). Esse resultado

não seria previsível a partir da solução de Kirsch e embora possa não ter importância

prática no presente contexto, serve de alerta para o possível aparecimento de rupturas da

rocha intacta em maiores profundidades, mesmo com as pressões do fluido de

perfuração não nulas. A Fig. 6.12 ilustra a distribuição de FS no caso comentado.

121

Figura 6.12 - Isofaixas de FS (Critério de Mohr-Coulomb; K=1.3; ∆∆∆∆p nula): e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 0o; ηηηη2 = 90o.

Análises adicionais foram implementadas no UDEC para que dessa forma se

possa ter uma melhor visão do comportamento do poço para orientação de fraturas

diferentes. A Tabela 6.9 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve

plastificação das fraturas vizinhas ao poço para fraturas orientadas da seguinte forma:

η 2 = η1+30. E a Figura 6.13 ilustra uma seqüência mostrando as fraturas plastificadas,

para massas específicas crescentes, no caso η1=45º e η2=75º.

122



ηηηη1 ηηηη2 =�ηηηη1+30 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 30o X X X - - - -

30o 60o X X X - - - X

45o 75o X X X X - - X

60o 90o X X X X - - X

Figura 6.13 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massa específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; ηηηη1 = 45o e ηηηη2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.

Para uma condição de estado de tensões mais severo, como K=1,5, ou seja, a

tensão horizontal máxima é 1,5 vezes a tensão horizontal mínima, a janela operacional

se estreita substancialmente, como pode ser notado na Tabela 6.10.

123

Tabela 6.10 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve plastificação das fraturas.


ηηηη1 ηηηη2 =�ηηηη1+90 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 30o X X X - - - X

30o 60o X X X X - X X

45o 75o X X X X - - X

60o 90o X X X X - X X

90o 120o X X X X - X X

A Tabela 6.11 mostra, assinalados com um X, aqueles casos nos quais houve

plastificação das fraturas vizinhas ao poço para fraturas orientadas da seguinte forma:

η 2 = η1+45. E a Figura 6.14 ilustra uma seqüência mostrando as fraturas plastificadas,

para massas específicas crescentes, no caso η1=30º e η2=75º

Tabela 6.11 – Massa específica do fluido de perfuração para as quais houve

plastificação nas fraturas.


ηηηη1 ηηηη2 =�ηηηη1+45 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 45o X X X - - - X

15o 60o X X X X - - X

30o 75o X X X X - - X

45o 90o X X X - - - X

60o 105o X X X X - - X

124

Figura 6.14 - Seqüência mostrando as fraturas plastificadas para massas específicas crescentes K=1.3; Geometria 2; ηηηη1 = 30o e ηηηη2 = 75o - (a) 11,26 lb/gal; (b) 12,51 lb/gal; (c) 14,18 lb/gal; (d) 15,43 lb/gal.

Para confirmar que para um estado de tensões mais severo, como K=1,5; a

janela operacional se estreita substancialmente, isso pode ser notado na Tabela 6.12.

125



ηηηη1 ηηηη 2 =� η η η η 1+45 0.0 9.17 10.00 11.26 12.51 14.18 15.43

0o 45o X X X X - X X

15o 60o X X X X - X X

30o 75o X X X X - X X

45o 90o X X X X - X X

60o 105o X X X X - X X

6.2.2.2 – CONDIÇÃO DE FLUIDO PENETRANTE

Para as análises de fluido penetrante foi utilizado o acoplamento

hidromecânico implementado no UDEC (Itasca, 1993). Como mencionado

anteriormente, modelou-se o fluxo em regime permanente e laminar. Segundo

Figueiredo et al 2006, os modelos passam por uma fase inicial, puramente mecânica, de

consolidação pelas tensões in situ, anteriormente à abertura do poço. Em seguida foram

aplicadas as condições de contorno do problema de fluxo: poro-pressões nulas nos

limites externos e a sobrepressão do fluido de perfuração no interior do poço. O

problema é então analisado de uma maneira acoplada.

Os casos estudados (geometrias de fraturamento, valores de K e massa específica

do fluido de perfuração) foram os mesmos da condição com fluido não-penetrante.

No UDEC existem as alternativas de se permitir o fluxo por toda a rede de

fraturas ou somente pelas fraturas que vierem a se plastificar. Outra possibilidade

representaria a existência de fraturas seladas (impermeáveis), que só se tornam

permeáveis por plastificação.

As análises de fluxo acoplado nessas condições levam a resultados distintos,

conforme se tenha massa específica do fluido de perfuração abaixo ou acima do limite

superior determinado nas análises com fluido não-penetrante.

126

No caso de massa específica do fluido de perfuração abaixo do limite inferior, os

resultados seriam razoavelmente previsíveis a partir das respectivas análises para fluido

não-penetrante. Isso porque o fluxo ocorrerá justamente pelas fraturas plastificadas

obtidas naquelas análises. Mais além, a invasão da rede de fraturas só pode acontecer a

partir daquelas fraturas plastificadas que estiverem conectadas à parede do poço. Assim,

o fluxo ficará restrito à porção da rede de fraturas que, além de plastificada, estiver

interconectada, entre si e com a parede do poço.

Como exemplo, na Figura 6.15 tem-se uma comparação visual entre as fraturas

plastificadas, obtidas nas análises com fluido não-penetrante, e a respectiva porção da

rede de fraturas invadida pelo fluido nas análises de fluxo penetrante. Pode-se perceber,

claramente, que na porção plastificada da rede que constitui um circuito hidráulico

fechado, conectado com o poço, estabelece-se o fluxo, Figura 6.15a. Já as fraturas

conectadas ao poço, que não constituem um circuito fechado, ficam apenas

pressurizadas Figura 6.15b.

(a)

127

(b)

Figura 6.15 - Análise visual comparativa (K=1.5; ρρρρf = 10,00 lb/gal; ∆∆∆∆pf = 8.2 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 30o; ηηηη2 = 120o): (a)Fraturas pressurizadas, não conectadas com o poço (b) Padrão de fluxo nas fraturas conectadas com o poço (Figueiredo et al 2006).

A Figura 6.15 mostra que, havendo a hipótese de fraturas pré-existentes

hidraulicamente seladas (impermeáveis) e no caso de massa específica do fluido de

perfuração abaixo do limite inferior das análises com fluido não-penetrante, não se teria

diferença substancial entre as análises computacionais com fluxo penetrante e sem fluxo

penetrante. Sendo assim, os cálculos puramente mecânicos seriam, pois, o suficiente

para uma avaliação da extensão da rede de fraturas invadida pelo fluido.

No caso de massa específica do fluido de perfuração acima do limite superior,

todavia, as análises mostram resultados bastante diversos. Ocorrerá um fenômeno de

fraturamento da formação, com o fluido adentrando e abrindo as fraturas plastificadas

conectadas ao poço. A Figura 6.16 ilustra tal situação.

128

(a)

(b)

Figura 6.16 - Análise visual comparativa (K=1.3; ρρρρf = 16,68 lb/gal; ∆∆∆∆pf = 41.0 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 45o; ηηηη2 = 135o): (a) fraturas plastificadas (fluido não-penetrante); (b) padrão de fluxo nas fraturas. (Figueiredo et al 2006).

Portanto, com fluxo restrito às fraturas plastificadas e massa específica do

fluido de perfuração acima do limite superior, haverá uma tendência de fraturamento da

129

formação, que as análises puramente mecânicas não reproduzem adequadamente.

Percebe-se, no entanto, que o caso ilustrado na Fig. 6.16 é irreal, uma vez que a

sobrepressão (41.0 MPa) tem valor mais elevado que a própria tensão principal maior in

situ (34.2 MPa).

Mediante as considerações acima, conclui-se que os principais resultados

obtidos com as análises de fluido não-penetrante, quais sejam as faixas de massa

específica do fluido de perfuração adequada, os resultados são próximos da análise com

fluxo acoplado.

Uma análise no qual é permitindo o acesso do fluido a todas as fraturas, ou

seja, fluxo irrestrito pelas fraturas, a invasão da rede de fraturas ocorreria em qualquer

caso, mesmo naqueles em que as análises de fluido não-penetrante não indicam

plastificação de fraturas conectadas ao poço e a instabilização do poço ocorreria para

qualquer massa específica do fluido de perfuração. A Figura 6.17a mostra o padrão de

sobre-poropressões nas fraturas e a Figura 6.17b, mostra o colapso do poço.

(a)

130

(b)

Figura 6.17- Análise com fluxo irrestrito: (a) padrão de sobrepressões nas fraturas K=1.3; ρρρρf = 12,51 lb/gal; ∆∆∆∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 45o; ηηηη2 = 135o; (b) Colapso do poço - K=1.3; ρρρρf = 13,34 lb/gal; ∆∆∆∆pf = 24.6 MPa; e1 = 4 cm; e2 = 2 cm; ηηηη1 = 45o; ηηηη2 = 135o - configuração deformada amplificada (60 vezes) da rocha fraturada. (Figueiredo et al 2006).

É provável que a realidade do processo de invasão do fluido das fraturas

esteja entre os extremos aqui analisados: fluxo restrito às fraturas plastificadas ou

absolutamente irrestrito. Dessa forma, o ideal é que se tenha uma estimativa adequada

da massa específica do fluido de perfuração e um rigoroso controle do filtrado para que

assim poço possa ser perfurado com segurança.

Será apresentado a seguir, no Capítulo 7, a validação das soluções analíticas

propostas neste trabalho bem como comparações entre os métodos computacionais e

analíticos até aqui discutidos e demonstrados.

131

CAPÍTULO 7

7 - VALIDAÇÃO E COMPARAÇÃO DAS SOLUÇÕES PROPOSTAS

Soluções para os problemas de estabilidade de poços de petróleo tem sido

um desafio da indústria. No que concerne especificamente à estabilidade de poços de

petróleo em rochas intensamente fraturadas, poucos estudos têm sido feitos. A maioria

dos estudos que envolvem estabilidade de poços em meios fraturados são análises

computacionais utilizando softwares baseados nos elementos discretos, tais como o

UDEC.

Soluções computacionais como o UDEC apresentam resultados satisfatórios,

no entanto demandam tempo para serem feitas e esta é uma limitação do seu uso na

indústria.

Neste presente trabalho, até os capítulos anteriores, foram demonstrados os

fundamentos principais e a base teórica deste estudo que compreende a elaboração de

soluções analíticas propostas para a estabilidade de poços em rochas intensamente

fraturadas. A análise computacional abordada no Capítulo 6 também é importante para

o prosseguimento do trabalho.

Este presente Capítulo é composto pela apresentação dos resultados das

soluções analíticas propostas, pela apresentação de uma retroanálise feita no UDEC,

pela validação das soluções analíticas e por uma comparação entre os métodos.

Para validar e comparar as soluções analíticas propostas, Eq. 4.17, Eq. 4.21 e

Eq. 4.46 foram feitos estudos de retroanálise no UDEC. Como o objetivo de analisar

pontualmente a mínima massa específica nos quais não houve plastificação da fratura

no UDEC e assim comparar com os resultados analíticos.

A pressão de poros (u) considerada nas análises subseqüentes é a pressão de

poros normal. No entanto, nas soluções analíticas propostas a pressão de poros entra nas

análises como um dado de entrada, podendo ser normal, anormalmente alta ou

anormalmente baixa. Neste caso específico, nas análises foi considerada pressão de

132

poros normal, no qual se considera que a pressão de poros em uma certa profundidade é

igual à pressão exercida por uma coluna hidrostática de fluido da formação.

7.1 – APRESENTAÇÃO E ANÁLISE DOS RESULTADOS – SOLUÇÕES ANALÍTICAS

Para obter os resultados do limite inferior da massa específica do fluido de

perfuração através das soluções analíticas propostas pelas Eqs. 4.17, 4.21 e 4.46 foi

utilizado o software Mathcad 2001 Professional. Foi analisado a estabilidade do “Poço

B” e os dados geomecânicos e geométricos da rocha e das descontinuidades necessários

para os cálculos analíticos são os mesmos descritos no Capítulo 6, para as análises com

o UDEC.

Como descrito no Capítulo 4, foram considerados dois tipos de geometria do

“teto” do bloco de rocha na parede do poço, a saber: teto plano e teto circular.

Tabela 7.1 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica ηηηη2=ηηηη1+90.

SOLUÇÃO ANALÍTICA PROPOSTA INCLINAÇÃO DA DESCONTINUIDADE

MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO

TETO PLANO TETO CIRCULAR h

HKσ

σ=

ηηηη1 ηηηη2=ηηηη1+90 lb/gal lb/gal

15 105 10,57095 10,63016

30 120 10,58930 10,72424 K=1.3

45 135 10,60514 10,78830

15 105 11,03132 11,03132

30 120 11,32489 11,32822 K=1.5

45 135 11,40705 11,50253

133

Tabela 7.2 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica ηηηη2=ηηηη1+45.




HKσ

σ=


15 60 12,21727 11,53088 30 75 12,79403 11,65015 1.3

60 105 12,99455 12,02128 15 60 13,01707 12,57217

1.5 60 105 13,95532 11,96623

Tabela 7.3 – Massa Específica do Fluido de Perfuração - Solução Analítica,

ηηηη2=ηηηη1+30.




HKσ

σ=


15 45 11,53672 11,20229 30 60 11,53350 11,19979 1.3

45 75 12,63176 12,07382 15 45 11,53505 11,25566

1.5 45 75 12,32819 12,13303

Analisando os resultados mostrados na Tabela 7.1, 7.2 e 7.3 pode-se notar que

os valores de massa específica do fluido de perfuração considerando bloco de rocha

com teto circular na parede do poço, nas condições geomecânicas e geométricas, são

menores que os resultados considerando bloco de rocha com teto plano na parede do

poço. Isto pode ocorrer devido ao fato de que os resultados considerando bloco de rocha

com teto circular consideram todo o contorno circular localizado da parede do poço,

sendo mais detalhado localmente, se aproximando mais da geometria real do poço.

Entretanto os resultados das Tabelas 7.1, 7.2 e 7.3 mostram também que a massa

específica calculada considerando o bloco de rocha com teto plano e teto circular na

parede do poço tem uma pequena diferença. Uma possível explicação para tal fato é que

134

quanto menor o bloco na parede do poço, mais próximo de uma reta se torna o teto do

bloco e numa condição mais instável se encontra este bloco de rocha.

No que se refere à geometria das fraturas, no caso dos resultados mostrados

pelas Tabelas 7.1 e 7.2 é possível notar que os valores de massa específica calculados

analiticamente crescem à medida que se torna maior a inclinação das descontinuidades.

Como estes resultados indicam o mínimo valor da massa específica do fluido de

perfuração para que não haja colapso inferior da parede do poço, o fato das massas

específicas estarem aumentando à medida que o ângulo da fratura aumenta indica que o

poço se encontra numa condição a favor da segurança, pois os valores de massa

específica mínima são maiores.

7.2 – VALIDAÇÃO DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS

A análise computacional feita no Capítulo 6 foi muito importante e serviu

como uma primeira comparação dos resultados analíticos com os resultados obtidos

através do UDEC.

Uma vez que foi constatado que os resultados obtidos analiticamente

resumidos nas Tabelas 7.1, 7.2 e 7.3; estavam dentro da janela operacional mostradas

nas Tabelas 6.7 a 6.12 da análise computacional, mostradas no Capítulo 6, partiu-se

para a análise pontual dos resultados do UDEC.

A retroanálise executada neste trabalho foi feita com o objetivo de se ter uma

forma direta de comparação dos resultados obtidos analiticamente. Foram analisadas

massas específicas no UDEC, fazendo divisões estatísticas sucessivas do valor obtido

analiticamente. Através dessa retroanálise foi possível verificar qual era o valor mínimo

de massa específica obtida no UDEC no qual não houve plastificação da fratura e assim

compará-lo com o valor obtido analiticamente.

Os valores encontrados na retroanálise estão resumidos nas Tabelas 7.4, 7.5

e 7.6.

135

Tabela 7.4– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação da descontinuidade ηηηη2=ηηηη1+90.

INCLINAÇÃO DA

DESCONTINUIDADE MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO

RETROANÁLISE UDEC h

HKσ

σ=

ηηηη1 ηηηη2=ηηηη1+90 lb/gal

15 105 10,67259 30 120 10,79008 1.3

45 135 10,86285 15 105 11,17362 30 120 11,49164 1.5 45 135 11,70728

Tabela 7.5– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação

da descontinuidade ηηηη2=ηηηη1+45.

INCLINAÇÃO DA DESCONTINUIDADE MASSA ESPECÍFICA DO FLUIDO


HKσ

σ=


15 60 11,44368 30 75 11,38410 1.3

60 105 11,34240 15 60 12,26272

1.5 60 105 11,81846

Tabela 7.6– Massa Específica do Fluido de Perfuração – Retroanálise UDEC, inclinação

da descontinuidade ηηηη2=ηηηη1+30.

INCLINAÇÃO DA DESCONTINUIDADE



HKσ

σ=


15 45 11,05050 30 60 10,88370 1.3

45 75 11,59260 15 45 11,20688

1.5 45 75 11,92620

136

Analisando os resultados da retroanálise apresentados na Tabela 7.4 com os

resultados obtidos através das soluções analíticas propostas, resumidos nas Tabelas 7.1,

7.2 e 7.3, pode ser visto que os valores tem uma aproximação razoável, podendo ser

uma forma de validação das soluções analíticas propostas para as condições

geomecânicas e geométricas da rocha as quais a massa específica foi calculada.

Pela Tabela 7.4 pode-se notar que quanto maior for a inclinação das

descontinuidades, maior será a massa específica do fluido de perfuração. Esta

constatação pode ser visualizada na Figura 7.1 e na Figura 7.2. Tendência semelhante

foi pode ser vista nos resultados obtidos analiticamente e esse é mais um indicativo de

que os resultados analíticos são razoáveis quando comparados com os resultados

obtidos pelo UDEC.

8,50

9,00

9,50

10,00

10,50

11,00

0 10 20 30 40 50

SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR SOL. ANALIT. TETO PLANO UDEC

Figura 7.1 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a

inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+90).

Inclinação da descontinuidade - ηηηη1 (o)

Mas

sa e

spec

ífic

a do

flu

ido

- ρρ ρρ

f (l

b/ga

l)

137

8,50

9,00

9,50

10,00

10,50

11,00

11,50

12,00

0 10 20 30 40 50

SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR SOL. ANALIT. TETO PLANO UDEC

Figura 7.2 – Variação dos resultados das soluções analíticas e da solução UDEC com a

inclinação da descontinuidade (K=1,5; ηηηη2=ηηηη1+90).

7.3 – COMPARAÇÕES DAS SOLUÇÕES ANALÍTICAS COM O UDEC

Para comparar as soluções analíticas com a solução computacional foram

feitos cálculos dos desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados

obtidos pelo UDEC, mostrados nas Tabelas 7.7, 7.8 e 7.9.

Tabela 7.7– Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos pelo UDEC, ηηηη2=ηηηη1+90.

DESVIO TETO PLANO

DESVIO TETO CIRCULAR ηηηη1 ηηηη2=ηηηη1+90

% %

15 105 0,95 0,40

30 120 1,86 0,61

K=1.3

45 135 2,37 0,69

15 105 1,27 1,16

30 120 1,45 1,42 K=1.5

45 135 2,56 1,75


Mas

sa e

spec

ífic

a do

flu

ido

- ρρ ρρ

f (l

b/ga

l)

138

Tabela 7.8 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados obtidos pelo UDEC, ηηηη2=ηηηη1+45.

DESVIO TETO

PLANO DESVIO TETO

CIRCULAR ηηηη1 ηηηη2=ηηηη1+45 % %

15 60 -6,76 -0,76 30 75 -12,39 -2,34

K=1.3

60 105 -14,57 -5,99 15 60 -6,15 -2,52

K=1.5 60 105 -18,08 -1,25

Tabela 7.9 – Desvios dos resultados obtidos analiticamente com os resultados

obtidos pelo UDEC, ηηηη2=ηηηη1+30.

DESVIO TETO PLANO

DESVIO TETO CIRCULAR ηηηη1 ηηηη2=ηηηη1+30

% % 15 45 -4,40 -1,37 30 60 -5,97 -2,90

K=1.3

45 75 -8,96 -4,15 15 45 -2,93 -0,44

K=1.5 45 75 -3,37 -1,73

Os resultados analíticos para as condições das Tabelas 7.8 e 7.9 mostram que

os resultados obtidos pelo UDEC são menores que os resultados analíticos, pois os

desvios são negativos. Esta é uma tendência esperada, uma vez que, como descrito no

Capítulo 5, o cálculo do elemento discreto não considera que as bordas dos elementos

discretos tenham “pontas” e em cada elemento discreto as bordas são arredondadas, e

dessa forma os resultados da massa específica para que não haja colapso inferior do

poço são menores.

Entretanto, pode-se notar que os desvios mostrados na Tabela 7.7 são

sensivelmente positivos, ou seja, os valores de massa específica calculados no UDEC

são um pouco maiores que a massa específica calculada analiticamente. Esta tendência

139

pode ser visualizada na Figura 7.3 é verificada nesta análise no caso de geometria das

fraturas serem η2=η1+90.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

10,65 10,7 10,75 10,8 10,85 10,9

Des

vio

em r

elaç

ão à

UD

EC

(%

)

Massa Específica do Fluido - UDEC (lb/gal)

Teto Plano

Teto Circular

Figura 7.3 – Variação do desvio das soluções analíticas com a massa específica do

fluido calculada pelo UDEC (ηηηη2=ηηηη1+90, K=1.3).

Uma constatação é no que concerne ao estado de tensões horizontais in situ, ou

seja, de acordo com os resultados da Tabela 7.7, quanto maior for a tensão horizontal

máxima, σH, em relação à tensão horizontal mínima, σh, maior será o desvio entre

resultados computacionais e os resultados analíticos mostrados nas Figuras 7.4 e 7.5.

Isto pode ser devido ao fato de quanto maior forem as tensões in situ, mais instável

estará o poço. Uma tendência crescente dos desvios também pode ser notada nas

Figuras 7.4 e 7.5 com relação ao ângulo da fratura.

140

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

η1=15η1=15η1=15η1=15

η1=30η1=30η1=30η1=30

η1=45η1=45η1=45η1=45

0,40 0,610,69

0,95

1,862,37

Des

vio

(%

)

Inclinação da descontinuidade ηηηη1 (o)

Desvio em relação UDEC-Teto Circular Desvio em relação UDEC-Teto Plano

Figura 7.4 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto

plano e teto circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+90).

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

η1=15η1=15η1=15η1=15

η1=30η1=30η1=30η1=30

η1=45η1=45η1=45η1=45

1,16 1,42 1,75

1,27 1,45

2,56

Des

vio

(%)


Desvio em relação UDEC - Teto Circular Desvio em relação UDEC-Teto Plano

Figura 7.5 – Variação do desvio do resultado da solução analítica teto plano e teto

circular em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,5; ηηηη2=ηηηη1+90).

Uma variação crescente dos desvios negativos mostrados na Tabela 7.8 e 7.9

podem ser visualizadas nas Figuras 7.6 e 7.7. Pode ser visualizado de outra forma, um

fato citado anteriormente que se refere aos resultados analíticos, ou seja, os resultados

analíticos considerando o bloco rochoso com teto circular são mais próximos dos

141

resultados do UDEC do que resultados considerando bloco rochoso com teto plano pois

os seus desvios são menores, mostrando uma melhor adequação prática realística do

resultado analítico considerando bloco rochoso com teto circular.

-15,00

-10,00

-5,00

0,00-0,76

-2,34

-5,99

-6,76

-12,39

-14,57

Des

vio

(%)





-3,50

-3,00

-2,50

-2,00

-1,50

-1,00

-0,50

0,00

-0,44

-1,73-2,93

-3,37

Des

vio

(%)





ηηηη1=15 ηηηη1=30 ηηηη1=60

ηηηη1=15 ηηηη1=45

142

As Figuras 7.8 a 7.13 mostram o valor absoluto calculado analiticamente e o valor

da diferença da massa específica, em lb/gal, em relação ao resultado da massa específica

calculada pelo UDEC. Estas figuras têm o objetivo de se ter uma análise mais criteriosa em

termos de valores dos resultados e mostram que os resultados não apresentam diferenças

discrepantes.

9,00

9,50

10,00

10,50

11,00

11,50

12,00

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=45η1=45η1=45η1=45

10,57095 10,589298 10,605144

0,10164375 0,2007855 0,257706

SOL. ANALIT. TETO PLANO DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC

Figura 7.8 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em

relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+90).

Inclinação da descontinuidade- ηηηη1 (o)

Mas

sa e

spec

ífic

a do

flu

ido

- ρρ ρρ

f (l

b/l)

143

9,5

9,7

9,9

10,1

10,3

10,5

10,7

10,9

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=45η1=45η1=45η1=45

10,630164 10,72424 10,7883

0,042429750,0658435 0,07455

SOL. ANALIT. TETO CIRCULAR DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC

Figura 7.9 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto circular

em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+90).

-3

-1

1

3

5

7

9

11

13

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=60η1=60η1=60η1=60

12,217266 12,79403 12,994554

-0,773587125 -1,40993 -1,652154

SOL. ANALIT. TETO PLANO DESVIO EM RELAÇAO AO UDEC

Figura 7.10 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+45).


Mas

sa e

spec

ífic

a do

flu

ido

- ρρ ρρ

f (l

b/ga

l)


Mas

sa e

spec

ífic

a do

flu

ido

- ρρ ρρ

f (l

b/ga

l)

144

-1,5

0,5

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

12,5

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=60η1=60η1=60η1=60

11,530884 11,650146 12,021276

-0,087205125 -0,266046 -0,678876




-1,5

0,5

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

12,5

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=45η1=45η1=45η1=45

11,202288 11,199786 12,073818

-0,151788 -0,316086 -0,481218

SOL. ANALIT. TETO PLANO DESVIO EM RELAÇÃO AO UDEC

Figura 7.12 – Variação do desvio do resultado da solução analítica – teto plano em

relação ao resultado do UDEC com a inclinação da descontinuidade (K=1,3; ηηηη2=ηηηη1+30).

Inclinação da descontinuidade - ηηηη1 (o) M

assa

esp

ecíf

ica

do f

luid

o -

ρρ ρρf (l

b/ga

l)


assa

esp

ecíf

ica

do f

luid

o -

ρρ ρρf (l

b/ga

l)

145

-1,5

0,5

2,5

4,5

6,5

8,5

10,5

12,5

η1=15η1=15η1=15η1=15 η1=30η1=30η1=30η1=30 η1=45η1=45η1=45η1=45

11,536722 11,533512,631764

-0,486222 -0,6498 -1,039164




Para obter os resultados do limite superior da massa específica do fluido de

perfuração através da solução analítica proposta pela Eq. 4.52 foi utilizado o software

Mathcad 2001 Professional. Foi analisado a estabilidade do “Poço B” e os dados

geomecânicos e geométricos da rocha e das descontinuidades necessários para os

cálculos analíticos são os mesmos descritos no Capítulo 6, para as análises com o

UDEC. Os resultados estão resumidos nas Tabelas 7.10, 7.11 e 7.12.

Tabela 7.10 - Massa Específica do Fluido de Perfuração – Limite Superior, ηηηη2=ηηηη1+90.


LIMITE SUPERIOR h

HKσ

σ=


15 105 15,93072 30 120 16,07837 1.3

45 135 16,32095 15 105 12,68310 30 120 12,75925 1.5 45 135 13,01691


assa

esp

ecíf

ica

do f

luid

o -

ρρ ρρf (l

b/ga

l)

146



LIMITE SUPERIOR h

HKσ

σ=


15 60 15,77239 30 75 15,76461 1.3

60 105 15,83913 15 60 15,73185

1.5 60 105 15,89624


INCLINAÇÃO DA DESCONTINUIDADE


LIMITE SUPERIOR h

HKσ

σ=


15 45 14,85924 30 60 14,92418 1.3

45 75 15,06845 15 45 15,04325

1.5 45 75 15,15943

As tendências apresentadas para o limite inferior são também observadas para

o caso do limite superior da massa específica do fluido de perfuração. Os valores de

massa específica do limite superior são próximos dos resultados apresentados pelo

UDEC. Os resultados analíticos são sensivelmente maiores que os resultados

apresentados no UDEC. A explicação para tal fato, citada anteriormente, é a geometria

arredondada das bordas dos elementos discretos, que faz com que a análise seja mais

conservadora obtendo resultados a favor da estabilidade.

Será apresentado a seguir, no Capítulo 8, as conclusões deste trabalho e as

sugestões para trabalhos futuros.

147

CAPÍTULO 8

8 – CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA TRABALHOS FUTUROS

Neste presente trabalho foi discutida a estabilidade de poços de petróleo em

rochas fraturadas. Foi proposta uma solução de engenharia para o problema de

instabilidade de poços sendo que foram demonstradas análises computacionais e

analíticas da estabilidade de um poço real na Bacia de Campos bem como uma

fundamentação teórica geomecânica das variáveis no processo de estabilidade.

Várias conclusões podem ser citadas, tanto do ponto de vista da mecânica das

rochas quanto do ponto de vista da engenharia de perfuração de poços.

No que concerne ao uso da mecânica do continuo para resolver os problemas

da estabilidade de poços, também conhecida como solução de Kirsch, conclui-se que

somente o uso desta solução não se aplica de forma satisfatória. As distribuições e

concentrações de tensões ao redor do poço são sensivelmente diferentes (contra a

segurança) das previstas pela solução do contínuo. Além disso, as tensões ao redor do

poço dependem criticamente da geometria e das propriedades mecânicas das fraturas. E

a mecânica do contínuo não considera a influência das propriedades das fraturas na

estabilidade do poço.

Para os casos estudados, as soluções analíticas propostas obtém resultados

razoáveis do ponto de vista de estabilidade geotécnica do poço, pois os resultados

obtidos analiticamente se assemelham dos resultados obtidos numericamente (UDEC)

sendo que encontram resultados próximos tanto do valor do limite inferior, conhecido

como colapso inferior, quanto do limite superior, conhecido como fraturamento

superior.

A solução para limite inferior da massa específica do fluido de perfuração

proposta neste trabalho não é uma solução analítica apenas considerando a rocha como

um contínuo. Trata-se de uma solução para rocha fraturada, que para o cálculo do

estado de tensões, leva em conta também as propriedades geomecânicas e geométricas

148

das fraturas. E é verificado analiticamente e computacionalmente que estas propriedades

são importantes nas análises do meio rochoso fraturado.

Sendo a rocha intacta de alta resistência, o principal fator a controlar a

estabilidade será a possível invasão da rede de fraturas pelo fluido de perfuração. As

conseqüências dessa invasão irão depender principalmente da condição de abertura

hidráulica das fraturas. Estando as fraturas hidraulicamente abertas e conectadas ao

poço, o fluxo poderá se estabelecer pelas mesmas e a instabilidade das paredes do poço

será uma conseqüência. Assim, só o controle rigoroso do filtrado poderá evitar uma

percolação descontrolada e o insucesso da perfuração.

No caso de apenas as fraturas plastificadas ficarem hidraulicamente abertas, é

possível a determinação de uma faixa de massa específica do fluido de perfuração

adequada no UDEC. O limite inferior da massa específica será um valor abaixo do qual

as fraturas conectadas ao poço irão se plastificar. Entre o limite inferior e superior da

massa específica não haverá nenhuma plastificação. Acima do limite superior de massa

específica, as fraturas voltam a apresentar plastificação.

Uma importante constatação feita é que análises computacionais puramente

mecânicas (correspondentes à hipótese de fluido não-penetrante) fornecem resultados

semelhantes aos das análises acopladas com fluxo restrito às fraturas plastificadas,

servindo igualmente à determinação da faixa de massa específica do fluido, ou seja,

análises computacionais demonstraram que a análise de fluido penetrante (com fluxo

restrito às fraturas plastificadas) e a análise de fluido não penetrante (sem fluxo nas

fraturas), obtiveram resultados próximos.

Pelas análises numéricas pôde-se constatar que para maiores tensões

horizontais máximas (σH) em relação à mínima (σh), mais instável é o poço, pois a

janela operacional se estreita. Este fato é percebido tanto analiticamente quanto

computacionalmente e demonstra que quanto maior for a relação σH/σh , mais instável é

o poço.

A aplicabilidade das soluções analíticas aqui propostas deve ser investigada

futuramente de forma sistemática em poços situados em diferentes locais em rochas

fraturadas para que a solução analítica seja verificada em casos distintos, não somente

em um caso isolado.

149

Para estudos futuros sugere-se que se investiguem outras geometrias de

fraturamento. E na ausência de dados das tensões in situ, que então se investigue a

influência de diferentes estados tensões da rocha. É importante que se faça análises com

variação das propriedades hidráulicas e mecânicas das fraturas presentes na rocha.

Para análises futuras é importante que se tenha dados das geometrias das

fraturas através de fotometria, por exemplo, que como foi visto neste presente trabalho,

é um dado importante quando se trata de rochas intensamente fraturadas. Dessa forma a

solução analítica proposta pode ser verificada para um caso real e com um dado real da

geometria de fraturamento.

No que se refere à retroanálises, que sejam feitas mais retronálises,

investigando pontualmente mais casos e assim fazer comparações ainda mais precisas,

porque dessa forma pode-se notar mais análises interdependentes, e assim comparar de

forma direta as soluções analíticas e computacionais.

Conclui-se enfim que, para que este estudo tenha um aproveitamento real na

indústria do petróleo é necessário que análises paramétricas sejam comprovadas e

sistematicamente investigadas na prática da engenharia de poços através de medições in

situ ou, na ausência da anterior, que sejam feitas variações sucessivas de possíveis

cenários do poço a ser investigado através de dados de poços de correlação, medições

aproximadas do estado de tensões, e dados obtidos com experiência da prática de

perfuração de poços em uma região conhecida.

150

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

AOKI, T., TAN, C.P., BAMFORD, W.E., 1994. Stability analysis of inclined wellbores in saturated anisotropic shales. 8th International Conference on Computer Methods and Advances in Geomechanics. Balkema, Rotterdam, pp. 2025– 2030.

BANDIS, S.; A.C. LUMSDEN & N.R. BARTON (1983). Fundamentals of Rock Joint Deformation. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., v.20, n. 6, pp. 249-268;

BARTON, N. & V. CHOUBEY (1977). The Shear Strength of Rock Joints in Theory and Practice. Rock Mechanics, v. 10, n. 1/2, pp. 1-54;

BARTON, N.; S. BANDIS & K. BAKHTAR (1986). Strength, Deformation and Conductivity Coupling of Rock Joints. Norwegian Geotechnical Institute Publications, n.62, pp. 1-20;

BASTOS, F.A.A. (1983). Problemas de Mecânica dos Fluidos. Rio de Janeiro: Ed. Guanabara Dois, 483 p.;

BRADY, B. H. G, BROWN, E. T. 2005. Rock Mechanics for underground mining, 3rd ed. Klumer Academic Publishers.

BRAY JW. Unpublished note. Imperial College, London, 1977.

BROEK, D., “Elementary Engineering Fracture Mechanics”, 4th. Ed., Dordrecht, 1991;

CHEN, X.; C.P. TAN & C. DETOURNAY (2001). Wellbore Behaviour in Fractured Rock Masses. Rock Mechanics in the National Interest, Elsworth, Tinucci & Heasley (eds.), Lisse: Swets & Zeitinger, pp. 59-66;

CRAWFORD, AM & BRAY J.W(1983) Influence of the in situ field and joint stiffness on rock wedge stability in underground openings. Can. Geotech. J. 20(2); 276-287.

CUNDALL, P.; T. MAINI; J. MARTI; P. BERESFORD; N. LAST & M. ASGIAN (1978). Computer Modelling of Jointed Rock Masses. Technical Report N-78-4, US Army Engineer Waterway Experiment Station, Vicksburg, Mississipi;

DUSSEAUT, M.B.Analysis of the borehole stability. 8th International Conference on Computer e Advances in Geomechanics , Siriwardance.

151

ELSWORTH, D. (1986). Wedge Stability in the Roof of a Circular Tunnel: Plane Strain Condition. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., v. 23, n. 2, pp. 177-181;

FIGUEIREDO, R. P. et al (2006). Estabilidade de poço em rochas carbonáticas intensamente fraturadas: um estudo paramétrico por elementos discretos. IV SBMR, Curitiba – PR;

FIGUEIREDO, R.P. (1990). Aplicação da Técnica de Relaxação Dinâmica à Solução de Problemas Geotécnicos. Dissertação de Mestrado, Depto. de Engenharia Civil, PUC-RIO, 187 p.;

FJAER, E., HOLT, R. M., HORSRUD, P., IKU, A.M.R, RISNES, R. 1992. Petroleum related rock mechanics. Elsevier Science Publishers B.V. (338p).

FRANKLIN, J.A. DUSSEAULT, M.B. 1983 - Rock Engineering. McGraw Hill, New York, 1989. ISRM Métodos para Descrição Quantitativa de descontinuidades em maciços rochosos. ABGE, S.Paulo.

GOODMAN R. E., SHI GEN-HUA and BOYLE W.J(1982). Calculation of support for hard, Jointed rock using the keyblock principle. Proc. 23rc US. Symp. On Rock Mechanics. Berkeley.

GOODMAN, R.E. (1989). Introduction to Rock Mechanics. 2nd ed., New York: Wiley, 562 p.;

GUENOT, A. 1987. Contraintes et ruptures autour de forages petroliers. In: Congr. I.S.R.M., 6. Montreal;

HARPER, T.R. & N.C. LAST (1989). Interpretation by Numerical Modelling of Changes of Fracture System Hydraulic Conductivity Induced by Fluid Injection. Géotechnique, v. 39, n.1, pp. 1-11;

HART, R.D. (1991). An Introduction to Distinct Element Modelling for Rock Engineering. Proc. 7th Cong. ISRM, Aachen, W. Wittke (ed.), Rotterdam: Balkema, pp. 1881-1891;

HEMPHILL, T. 2005. Integrated management of the safe operation window: welbore stability is more than just fluid density. SPE 94732. 2005.

HENRIQUES, F. (2005). Comunicação Técnica. Partes I, II e III, CENPES-PETROBRAS;

HOEK, E. & BRAY, J. (1978) - Rock Slope Engineering. Inst. Mining and Metallurgy, London.

152

ISRM (1978) - Suggested methods for the quantitative description of discontinuities in rock masses.Int. J. Rock. Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., Vol. 15, pp. 319-368.

ITASCA (1993). UDEC Version 1.83 User's Manual. v. I e II, Minneapolis: Itasca Consulting Group;

JAEGER, J.C., COOK, N.G.W. Introduction Rock Mechanics, 2nd ed. London: Chapman and Hall.

KIRSCH G. Die Theorie der Elastizität und die Bedürfnisse der Festigkeitslehre. Veit Ver Deut Ing 1898;42:797–807.

KULHAWY, F. H. & GOODMAN, R. E. (1987).Foundations in Rocks, Ground Engineer’s Reference Book, ed. F.G.Bell, Butterworths.

LEMOS, J. V. & L.J. LORIG (1990). Hydromechanical Modelling of Jointed Rock Masses Using the Distinct Element Method. Proc. Int. Conf. on Mech. of Jointed and Faulted Rock, Rossmanith (ed.), Rotterdam: Balkema, pp. 605-612;

LORIG, L. J.; B.H.G. BRADY & P.A. CUNDALL (1986). Hybrid Distinct Element - Boundary Element Analyis of Jointed Rock. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., v. 23, n. 4, pp. 303-312;

MALVERN, L.E., Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium, Prentice-Hall, 1969;

OBERT, L., DUVAL, WI, New York, 1967. Fundamentals of Rock Mechanics.

PANDE, BEER & WILLIANS (1990) - Numerical Methods in Rock Mechanics, John Wiley & Sons.

ROCHA, M. (1973) Mecânica das Rochas. Laboratório Nacional de Engenharia Civil, Lisboa.

ROEGIERS , J. C., ZHANG, J (2002). Borehole stability in naturally fractured reservoir a fully coupled approach, Paper SPE 77355 presented at the SPE Annual Technical Conf. Exhib. held in San Antonio

ROSSMANITH, H.P. (aditor) (1983) - Rock Fracture Mechanics. Apringer - Verlag.

SANTARELLI, F.J.; D. DAHEN; H. BAROUDI & K.B. SLIMAN (1992). “Mechanisms of Borehole Instability in Heavily Fractured Rock Media”. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., v. 29, n. 5, pp. 457-467;

153

SANTOS, H. M. R., 1989.Análise da Estabilidade de Poços Inclinados, Dissertação de Mestrado, Depto. de Engenharia Civil, PUC-RIO, 197 p.;

SHI GH, GOODMAN RE, TINUCCI J. 1985. Application of block theory to simulated joint trace maps. In: Stephansson O, editor. Fundamentals of rock joints. Lulea: Centak Publishers, p. 367–83.

SOFIANOS, A.I. (1986). Stability of Rock Wedges in Tunnel Roofs. Int. J. Rock Mech. Min. Sci. & Geomech. Abstr., v. 23, n. 2, pp. 119-130;

SOFIANOS, A.I.; P. NOMIKOS & C.E. TSOUTRELIS (1999). Stability of a Symmetric Wedge Formed in the Roof of a Circular Tunnel: Non-Hydrostatic Natural Stress Field. Int. J. Rock Mech. Min. Sci., v. 36, n. 5, pp. 687-691;

TERZAGUI, K. & PECK, R.B. (1967): Soil mechanics in engineering practice, J Willey and Sons, 2nd edition.

THOMAS, J. E. (2006). Fundamentos de engenharia de petróleo. Editora Interciência, Rio de Janeiro.

THOMPSON, J. M. AND HUNT, G. W. (1973) A General Theory of Elastic Stability. Wiley: London.

TIMOSHENKO, S.; GOODIER, J.N., Teoria da Elasticidade, Guanabara Dois, 1980;

TURCOTTE, D.L. & G. SCHUBERT (2002). Geodynamics. 2nd ed., Cambridge: Cambridge University Press, 456 p.;

VARGAS JR., E.A. (1982). Development and Application of Numerical Models to Simulate the Behaviour of Fractured Rock Masses. PhD Thesis, University of London (ICST), London, 359 p.;

VOIGHT, B. (1968) Determination of the virgin state of stress in the vicinity of a borehole from measurements of a partial anelastic strain tensor in drill cores. Felsmech. Ingenieurgeol., 6(4); 201–15.

WEI, L.L. & J.A. HUDSON (1991). DEM Modelling of Water Flow in Jointed Rocks. Proc. 7th Cong. ISRM, Aachen, W. Wittke (ed.), Rotterdam: Balkema, pp. 823-826;

WRIGHT, F. D. (1974) Design of Roof Bolt Patterns for Jointed Rock. U. S. Bur. Mines Open File Rep.61–75.

ZHANG, X.; N. LAST; W. POWRIE & R. HARKNESS (1999). Numerical Modelling of Wellbore Behaviour in Fractured Rock Masses. J. Petroleum Sci. & Engng., v. 23, pp. 95-115.

154

ANEXO I

Este apêndice tem o objetivo de apresentar o desenvolvimento da solução de

Kirsch (1898) a fim de que se possa ter uma fundamentação teórica desta solução bem

como analisar matematicamente as variáveis envolvidas. É importante salientar que

estas soluções são utilizadas para um meio homogêneo, isotrópico, contínuo, com

comportamento elástico e linear. Além destas considerações deve-se citar que a

aplicabilidade destas equações para o cálculo das tensões ao redor do poço considera o

meio como um contínuo e que o comprimento médio entre as fraturas naturais da rocha

é grande o bastante quando comparadas ao diâmetro do poço.

I.1 – TENSÕES AO REDOR DE UM POÇO

G. Kirsch obteve as seguintes equações em 1898 que podem ser usadas para o

cálculo de tensões ao redor de um poço:

θσ 2cos..4.3

12

12 2

2

4

4

2

2

−++

−=

r

a

r

ap

r

apr (Eq.I.1)

θσ θ 2cos..3

12

12 4

4

2

2

+−

+=

r

ap

r

ap (Eq. I.2)

θτ θ 2sin..2.3

12 2

2

4

4

+−−=

r

a

r

apr (Eq. I.3)

A seguir, a fundamentação teórica das Equações de Kirsch 1898.

155

I.1.1 – EQUAÇÕES DE EQUILÍBRIO EM COORDENADAS POLARES

A posição de um ponto no plano médio de uma chapa é definida pela distância

da origem O (Figura I.1) e pelo ângulo θ entre r e um certo eixo Ox fixado no plano:

Figura I.1 – Posição de um ponto no plano médio de uma chapa (Timoshenko

1980)

Considerando agora um equilíbrio de um pequeno elemento 1234 delimitado pelas

seções radias O4 e O2, normais a chapa, e por duas superfícies cilíndricas 3 e 1 normais à

chapa. A componente normal da tensão na direção radial é designada por σr, a

componente normal na direção circunferencial por σθ, e as componentes cisalhantes por

τrθ, referindo-se estes símbolos à tensão no ponto r e θ, que é o ponto médio P do

elemento. Devido à variação da tensão, os valores nos pontos médios das faces 1, 2, 3 e

4 não são exatamente os mesmos que os valores σr, σθ, τrθ e são designados por (σr)1, na

Figura 2.5. Os raios das faces 3 e 1 são designados por r3 e r1. A força radial na face 1 é

(σrr)1dθ, e similarmente, a força radial no lado 3 é (σrr)3dθ. A força normal na face 2

tem uma componente, na direção do raio OP, dada por –(σθ)2(r1-r3)sen(dθ/2), que pode

156

ser substituída por (σθr)2 dr (dθ/2). A correspondente componente na face 4 é -(σθr)4 dr

(dθ/2). As forças cisalhantes nas faces 2 e 4 são [(τrθ)2−(τrθ)4]dr.

Fazendo o somatório das forças na direção radial, incluindo a força de massa R

por unidade de volume na direção radial, obtemos a equação de equilíbrio:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] 0..2

..2

.. 424231 =+−+

−

−− drdRrdr

ddrr

ddrrdrdr rr θττ

θσ

θσθσθσ θθθθθθ

Eq. I.4

Dividindo por drdθ ela se torna:

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0

2

. 424231 =+−

+−

−−

Rrd

rr

dr

rr rr

θ

ττσσσσ θθθθθθ Eq. I.5

Se as dimensões dos elementos são tomadas agora cada vez menores, até o limite zero,

o primeiro termo desta equação é, no limite, r

r

∂

∂ )(σ. O segundo se torna σθ, e o terceiro,

θ

τ θ

∂

∂ r . A equação de equilíbrio na direção tangencial pode ser estabelecida da mesma

maneira. As duas equações tomam a forma final:

0

0

=+∂

+∂

∂+

∂

∂

=+−

+∂

∂+

∂

∂

pRrr

I

Rrr

I

r

rr

rrr

θθθ

θθ

ττ

θ

σ

σσ

θ

τσ

Eqs. I.6

Onde p é a componente de força de massa (por unidade de volume) na direção

tangencial (com o sentido de θ crescente).

As Eqs. I.6 resolvem problemas bidimensionais por meio de coordenadas

polares e são conhecidas como Equações de Airy em Coordenadas Polares. Quando a

força de massa é nula, elas são satisfeitas da seguinte forma:

∂

∂

∂

∂−=

∂∂

∂−

∂

∂=

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

θ

φ

θ

φ

θ

φτ

φσ

θ

φφσ

θ

θ

.1

.

11

11

2

2

2

2

2

2

2

rrrrr

r

rrr

r

r

Eqs. I.7

157

onde φ é a função de tensão expressa como função de r e θ. Isto pode ser facilmente

verificado por substituição direta. As equações A.6 são substituídas pelas Eqs I.7.

Em vez de instituir a Eq. I.6 e observando que , quando R=p=0, elas são

satisfeitas pela Eq. I.7, pode-se considerar a distribuição de tensões como

primeiramente expressas em componentes xy, quais sejam σx, σy, τxy, sendo:

)(coscos.)(

cos..2cos

cos..2cos

22

22

22

θθτθθσστ

θθτθσθσσ

θθτθσθσσ

θθ

θθ

θθ

sensen

sensen

sensen

rrxy

rry

rrx

−+−=

−+=

++=

Eqs. I.8

Para obter as Eq. I.8, considera-se as relações entre derivadas nos dois

sistemas de coordenadas. Primeiramente, tem-se que:

222 yxr += x

yarctan=θ

que conduzem a:

rr

x

yr

sen

r

y

x

senr

y

y

r

r

x

x

r

θθθθ

θθ

cos

cos

22==

∂

∂−=−=

∂

∂

==∂

∂==

∂

∂

Eqs. I.9

Portanto, para qualquer função f(x,y), em coordenadas polares f(r.cosθ,r.senθ),

θ

θθ

θ

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂=

∂

∂ f

r

sen

r

f

xr

f

x

r

r

f

x

f.cos

Eqs. I.10

Para obter 2

2

x

f

∂

∂, repete-se a operação indicada no último membro de I.10.

Então:

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

ϑ

θϑ

θ

θθ

f

r

sen

r

f

r

sen

rx

f.cos.cos

2

2

158

∂

∂

∂

∂+

∂

∂

∂

∂−

∂

∂

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂

θθ

θ

θθ

θ

θ

θθθθ

fsen

r

sen

r

f

r

senf

rrsen

r

f

x

f..cos.

1..coscos

22

22

2

2

Eq. I.11

Rearranjando a Eq. I.11, tem-se que:

∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

θθθ

θθθ

f

rrsen

f

rr

f

rsen

r

f

x

f.

1cos..2.

1.

1cos

2

2

22

2

22

2

2

Eq. I.12

Analogamente, encontra-se:

∂

∂

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂

θθθ

θθθ

f

rrsen

f

rr

f

rr

fsen

y

f.

1cos..2.

1.

1cos

2

2

22

2

22

2

2

Eq. I.13

∂

∂

∂

∂−−

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

∂−

θθθ

θθθ

f

rrsen

r

ff

rr

f

rsen

yx

f 1).(cos.

1.

1cos. 22

2

2

2

2

2

2

Para assumir a equação diferencial na forma polar, primeiramente soma-se

I.11 e I.12 para obter:

frrrr

fyx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂2

2

22

2

2

2

2

2 11

θ

Eq. I.14

Mostrando que o operador da direita é o equivalente polar laplaciano da esquerda.

Verifica-se somando as duas primeiras Eqs. I.8, que:

θσσσσ +=+ ryx

Eq. I.15

Para forças de massas nulas, tem-se que:

( ) 0.2

2

2

2

=+

∂

∂+

∂

∂yx

yxσσ

Eq. I.16

159

Sendo assim, com as Eqs. I.14, I.15 a expressão I.16 se torna:

011

..11

2

2

22

2

2

2

22

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

θ

φφφ

θ rrrrrrrr

Eq. I.17

De várias soluções desta equação diferencial parcial, também conhecida como

equação de compatibilidade, obtêm-se soluções de problemas bidimensionais em

coordenadas polares para diversas condições de contorno.

I.1.2 – DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A UM EIXO

Quando a função de tensão depende somente de r, a equação de

compatibilidade I.17 se torna:

0.1

.12

.1

.1

332

2

23

3

4

4

2

2

2

2

=+−+=

+

+

dr

d

rdr

d

rdr

d

rdr

d

dr

d

rdr

d

dr

d

rdr

d φφφφφφ

Eq. I.18

Esta é uma equação diferencial ordinária, que pode ser reduzida a uma

equação linear com coeficientes constantes, pela introdução de uma nova variável r=et.

Desta maneira, a solução geral I.18 pode ser facilmente obtida. Esta solução tem quatro

constantes de integração, que devem ser determinadas a partir de condições de

contorno. Por substituição, pode ser verificado que:

DrCrrBrA +++= 22 .log..log.φ

Eq. I.19

A eq. I.19 é a equação geral. As soluções de um grupo de problemas de

distribuição simétrica de tensões, sem força de massa, podem ser obtidas a partir desta

expressão. As correspondentes componentes de tensão, pelas Eqs. I.8-I.16 são:

160

0

.2)log.23.(

.2)log.21.(.1

22

2

2

=

+++−=∂

∂=

+++=∂

∂=

θ

θ

τ

φσ

φσ

r

r

CrBr

A

r

CrBr

A

rr

Eqs. I.20

Se não houver orifício na origem de coordenadas, as constantes A e B são

nulas, pois de outro modo as componentes de tensão (Eqs. I.10) se tornam infinitas

quando r=0. Assim, para uma chapa sem orifício na origem e sem forças de massa, só

um caso de distribuição simétrica em relação ao eixo pode existir, qual seja, aquele em

que σr=σθ=constante e a chapa está num estado de tração uniforme ou de compressão

uniforme em todas as direções do seu plano.

Se houver um orifício na origem, outras soluções além de tração ou

compressão uniforme podem ser obtidas a partir das Eqs. I.20. Considerando B=0, as

eqs. I.20 se tornam:

Cr

A

Cr

Ar

.2

.2

2

2

+−=

+=

θσ

σ

Eqs. I.21

A equação I.21 é uma solução que pode ser adaptada para representar a

distribuição de tensões num cilindro vazado, submetido à pressão uniforme nas

superfícies externa e interna (Figura I.2). Sejam a e b os raios interno e externo do

cilindro, e pi e po a pressão uniforme interna e externa. Então, as condições de contorno

são:

iar p−==)(σ obr p−==)(σ

Eqs. I.22

161

Figura I.2 – Distribuição de tensões num cilindro vazado (Adaptado Timoshenko

1980)

Substituindo na Eq. I.21 a Eq. I.22, obtemos as seguintes equações para

determinar A e C:

o

i

pCb

A

pCa

A

−=+

−=+

.2

.2

2

2

Eqs. I.23

Das Eqs. I.23 obtém-se:

22

20

2

220

22

.2

)(.

ab

ppC

ab

ppbaA

i

i

−

−=

−

−=

Eq. I.24

Substituindo estes valores nas Eqs. I.23 e I.24, as seguintes expressões para as

componentes de tensão são obtidas:

22

20

2

2220

22

22

20

2

2220

22

..1)(.

..1)(.

ab

bpap

rab

ppba

ab

bpap

rab

ppba

ii

iir

−

−+

−

−−=

−

−+

−

−=

θσ

σ

Eq. I.25

162

O deslocamento radial u é facilmente determinado, uma vez que r

u=θε e

para um estado plano de tensão:

rσνσε θθ .−=Ε

A soma θσσ +r é constante ao longo da espessura da parede do cilindro.

Portanto, as tensões σr e σθ produzem um alongamento o uma contração uniforme na

direção do eixo do cilindro e as seções transversais perpendiculares a este eixo

permanecem planas. Assim, a deformação produzida pelas Eqs. A.25 num elemento do

cilindro, limitado por duas seções transversais adjacentes, não interfere com a

deformação dos elementos vizinhos, sendo justificável considerar o elemento na

condição de estado plano de tensão como foi feito na discussão acima.

No caso particular em que p0=0, e o cilindro está submetido somente à pressão

interna, as Eqs. I.25 fornecem:

+

−=

−

−=

2

2

22

2

2

2

22

2

1.

1.

r

b

ab

pa

r

b

ab

pa

i

ir

θσ

σ

Eq. I.26

As Eq. I.26 mostram que σr é sempre uma tensão de compressão e σθ, uma

tensão de tração. Esta última é máxima na superfície interna do cilindro, onde:

22

22

max

).()(

ab

bapi

−

+=θσ

Eq. I.27

A tensão (σθ)max é sempre numericamente maior que a pressão interna e se

aproxima deste valor quando b cresce, de tal forma que nunca pode ser reduzida abaixo

de pi, não obstante mais material seja acrescentado no lado externo.

O correspondente problema para um cilindro excentricamente perfurado foi

resolvido por G. B. Jeffery. Se o raio da perfuração é a e o da superfície externa é b, e

se a distância entre seus centros é e, a tensão máxima, quando o cilindro estiver sob uma

163

pressão interna pi, será a tensão tangencial na superfície interna na parte mais delgada,

se a

e2

1< e seu valor será:

−

−−−+

−−+= 1

)..2).((

)..2.(.222222

2222

eeaabba

eeaabbpiσ

Eq. I.28

Se e=0 esta a Eq. I.28 coincide com a Eq. I.27.

I.1.3 – EFEITOS DE ORIFÍCIOS CIRCULARES NA DISTRIBUICÃO DE

TENSÕES

A Figura I.3 representa uma chapa submetida a uma tração uniforme p na

direção x Se um pequeno orifício circular é feito no centro da chapa, a distribuição de

tensões na vizinhança do orifício será alterada, mas pode-se concluir pelo princípio de

Saint-Venant que a variação é desprezível a distâncias grandes em comparação com o

raio a do orifício.

Figura I.3 – Chapa submetida à tração uniforme p (Adaptado Timoshenko 1980)

164

Considerando a porção da chapa no interior de um círculo de raio b, grande em

comparação com a, concêntrico com o orifício. As tensões à distância b do centro são

efetivamente as mesmas que na chapa sem orifício, e são, portanto dadas por:

θτ

θθσ

θ .2..2

1)(

).2cos1.(2

1cos.)( 2

senp

pp

brr

brr

−=

+==

=

=

Eq. I.29

Estas forças, atuando na periferia do anel de raios interno e externo r=a e r=b,

produzem uma distribuição de tensões no interior do anel que pode-se considerar como

constituída por duas partes. A primeira é devida à componente constante p2

1das forças

normais. As tensões que ela produz podem ser calculadas por meio das Eqs. I.25. A

parte restante, consistindo nas forças normais θ.2cos.2

1p , juntamente com as forças

cisalhantes θ.2.2

1senp− , produz tensões que podem ser determinadas com uma função

de tensão da forma:

θφ .2cos).(rf=

Eq. I.30

Substituindo a Eq. I.30 na equação de compatibilidade (Eq. A.17), tem-se que:

011

.11

2

2

22

2

2

2

22

2

=

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂

θ

φφφ

θ rrrrrrrr

Obtêm-se a seguinte equação diferencial ordinária para determinar f(r):

0.41

.41

22

2

22

2

=

−

∂

∂+

∂

∂

−+

r

f

r

f

rr

f

rdr

d

rdr

d

Eq. I.31

A solução geral é:

Dr

CrBrArf +++=2

42 1...)(

Eq. I.32 A função de tensão é, portanto:

165

θφ 2cos.1

...2

42

+++= D

rCrBrA

Eq. I.33

E as componentes de tensão, pelas Eqs. I.7, são:

θθ

φτ

θφ

σ

θθ

φφσ

θ

θ

2..2.6

..6.2.1

2cos..6

..12.2

2cos..4.6

.211

242

42

2

2

242

2

2

senr

D

r

CrBA

rr

r

CrBA

r

r

D

r

CA

rrr

r

r

−++=

∂

∂

∂

∂−==

++=

∂

∂=

++−=

∂

∂+

∂

∂=

Eqs. I.34

As constantes de integração devem ser determinadas pelas Eqs. A.29, para o bordo externo, e pela condição de que o bordo do orifício esteja livre de forças externas. Estas condições conduzem a:

0.2.6

..6.2

2

1.2.6..6.2

0.4.6

.2

.2

1.4.6.2

242

242

24

24

=−−+

−=−−+

=++

−=++

a

D

a

CaBA

pb

D

b

CbBA

a

D

a

CA

pb

D

b

CA

Eqs. I.35

Resolvendo as Eqs. I.35 e pondo 0=b

a, ou seja, admitindo uma chapa

infinitamente longa, obtêm-se: Substituindo os valores das constantes A, B, C e D nas Eqs. I.34 e somando as

tensões produzidas pela tração uniforme p.2

1 no contorno externo, calculadas pelas

Eqs. I.25 encontra-se, a renomada solução de G. Kirsch (1898) que vêm sido

confirmada por medição de deformações e para diversos métodos.

166

θτ

θσ

θσ

θ

θ

2sin..2.3

1.2

2cos..3

1.2

1.2

2cos..4.3

1.2

1.2

2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

4

4

2

2

+−−=

+−

+=

−++

−=

r

a

r

ap

r

ap

r

ap

r

a

r

ap

r

ap

r

r

Eqs. I.36 Nas Eq. A36, o ângulo θ é contado a partir da horizontal e no sentido anti-

horário. Tomando como referência o eixo vertical (Fig. I.4), as equações de Kirsch

tornam-se:

θτ

θσ

θσ

θ

θ

2sin..2.3

1.2

2cos..3

1.2

1.2

2cos..4.3

1.2

1.2

2

2

4

4

4

4

2

2

2

2

4

4

2

2

+−−=

+−

+=

−++

−=

r

a

r

ap

r

ap

r

ap

r

a

r

ap

r

ap

r

r

Eqs. I.37

Figura I.4 – Tensões ao redor de um poço (Brady & Brown 2005).

estabilidade de poÇos de petrÓleo em rochas …‡Ão... · de 45º e massa específica do fluido...

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