esquemas polinomiais “upwind” para problemas de … · dentre os problemas não lineares...

ENCITA-07-132Anais do 13O Encontro de Iniciação Científica e Pós-Graduação do ITA – XIII ENCITA / 2007Instituto Tecnológico de Aeronáutica, São José dos Campos, SP, Brasil, Outubro, 01 a 04, 2007.

ESQUEMAS POLINOMIAIS “UPWIND” PARA PROBLEMAS DE DINÂMICA DOS FLUIDOS COMPUTACIONAL

Rafael Alves Bonfim de Queiroz Universidade de São PauloInstituto de Ciências Matemáticas e ComputaçãoDepartamento de Matemática Aplicada e Estatística, ICMC, USPAv. Trabalhador São-carlense, 400 - Centro, São Carlos, SPCaixa Postal: 668 – CEP: 13560-970Bolsista de mestrado da FAPESP, No Proc. 06/05910-1

[email protected]

Valdemir Garcia [email protected] Resumo. Neste artigo de pesquisa, dois novos esquemas polinomiais “upwind” para aproximar termos convectivos (advectivos) são investigados em problemas de dinâmica dos fluidos computacional. A derivação desses esquemas é baseada nos critérios de limitação CBC e TVD. Os correspondentes limitadores de fluxo são também derivados. O desempenho dos esquemas é verificado em problemas unidimensionais - um linear (transporte advectivo de um escalar) e um não linear (tubo de choque). Dentre os problemas não lineares investigados, destaca-se a aplicação de um esquema numérico para resolver a equação de Burgers 1D. Os resultados computacionais são bastante motivadores para dar continuidade à pesquisa em escoamentos com superfícies livres a altos Reynolds.

Palavras chave: termos convectivos, esquemas “upwind” de alta ordem, TVD, NVD, CBC.

1. Introdução

O desenvolvimento de métodos numéricos para aproximar termos convectivos (em geral não lineares) em EDP de caráter predominantemente convectivo tem sido assunto de intensas pesquisas nos últimos anos. No processo de solução numérica dessas equações, a precisão dos resultados é, significativamente, afetada pela escolha do esquema de convecção (“upwind”). Por exemplo, esquemas de primeira ordem, tais como FOU (“First Order Upwind”), são estáveis incondicionalmente, mas produzem um caráter difusivo que, em geral, suavisa a solução. Aproximações “upwind” clássicas de alta ordem, tais como QUICK, SOU (“Second Order Upwind”) e CENTRAL, são boas estratégias para melhorar a precisão do método numérico, porém, estas introduzem oscilações não físicas que comprometem a convergência.

Dentro deste cenário, este trabalho apresenta dois novos esquemas polinomiais tipo “upwind” de, no máximo, terceira ordem para aproximar termos convectivos (em geral não lineares). No contexto de NVD (“Normalized Variable Diagram”) de Leonard (1988), a derivação de tais esquemas é baseada no critério de limitação CBC (“Convective Boundedness Criterion”) de Gaskell e Lau (1988), e voltada para a satisfação das restrições TVD (“Total Variation Diminishing”) de Harten (1989) (ver também Harten (1983) e Sweby (1984)). Para ambos os esquemas, são obtidos os limitadores de fluxos correspondentes. O desempenho dos esquemas polinomiais “upwind” são investigados em problemas lineares (advecção escalar) e não lineares (tubo de choque) em condições severas de convecção (Sod, 1978; Shu and Osher, 1989). Dentre os problemas não lineares investigados, destaca-se a aplicação de um esquema numérico para resolver a equação de Burgers 1D, um modelo simplificado de dinâmica dos fluidos que combina termos de adveção não linear e difusão linear (Burger, 1948; Wey e Gu, 2002).

Este trabalho esta organizado da seguinte forma: na seções 2 e 3 contemplam-se os aspectos dos esquemas polinomiais upwind; na seção 4 apresenta-se um método de diferenças finitas para resolver a equação de Burgers; na seção 5 apresentam-se os resultados numéricos obtidos durantes os experimentos realizados; e na seção 6 apresentam-se as conclusões e trabalhos futuros desta pesquisa que está iniciando.

2. Normalização das variáveis e a recomendação de Leonard

Considera-se ),( txφ como sendo a variação de um escalar na direção normal a uma face f de uma célula computacional, como está mostrado na Fig. 1. Nesta figura, as posições a jusante D (“Downstream”), a montante U (“Upstream”) e mais a montante R (“Remote-Upstream”) são definidas segundo a direção de propagação de informação

Anais do XIII ENCITA 2007, ITA, Outubro, 01-04, 2007

nesta face (isto é, o sinal da velocidade convectiva fV na face f). Para facilitar a análise, as variáveis originais são

transformadas em variáveis normalizadas (VN) de Leonard (1988) (ver Fig. 2), definidas por: RD

Rtxtx

φφφφφ

−−= ),(

),(ˆ .

A vantagem em se utilizar VN é que essas permitem estabelecer a dependência de fφ̂ somente de Uφ̂ , pois

1ˆ =Dφ e 0ˆ =Uφ . Como recomendado por Leonard (1988), qualquer esquema (em geral não linear) em VN que

passa pelo ponto Q (ver Fig. 2) é condição necessária e suficiente para alcançar segunda ordem de precisão; e qualquer esquema que passar por Q com inclinação 0.75 é condição necessária e suficiente para terceira ordem. Ainda mais,

Leonard acrescenta que para valores de Uφ̂ menores que 0 e maiores que 1, o esquema deve ser extendido de maneira

contínua (FOU).

Figura 1: Variáveis Originais. Figura 2: Diagrama de VN para alguns esquemas clássicos.

3. Derivação dos esquemas “upwind” polinomiais

Nesta seção, são apresentados dois esquemas polinomiais “upwind” novos de, no máximo, terceira ordem, cuja derivação é baseada nas recomendações de Leonard discutidas anteriormente, isto é, eles devem passar obrigatoriamente pelos pontos O(0,0), Q(0.5,0.75), P(1,1) e possuirem inclinações 0.75 em Q. Nesse trabalho, em particular, essas quatro condições são impostas para determinar os coeficientes de um polinômio de grau 3, o qual chamamos de Esquema Convectivo I. Também, essas mesmas condições, mais uma condição livre, são impostas para a determinação de um polinômio de grau 4, chamado de Esquema Convectivo II. Por construção, esses esquemas satifazem o critério de limitação CBC de Gaskell e Lau (1988) e são definidos como segue:

3.1. Esquema Convectivo I

∉∈+−=

].1,0[ˆ,ˆ],1,0[ˆ),ˆ(5.2)ˆ(5.2)ˆ(ˆ

23

UU

UUUUf φφ

φφφφφ (1)

3.2. Esquema Convectivo II

∉∈+−=

].1,0[ˆ,ˆ],1,0[ˆ),ˆ(2)ˆ(3)ˆ(2ˆ

34

UU

UUUUf φφ

φφφφφ (2)

O limitador de fluxo para o esquema I é obtido reescrevendo a Eq. (1) como:

),ˆ1)((5.0ˆˆUfUf r φψφφ −+=

(3)

onde ψ é o limitador de fluxo que determina o nível antidifusividade, fr é razão de dois gradientes consecutivos

definida em VN por )ˆ1/(ˆUUfr φφ −= . Das Eq. (1) e (3), deduz-se o limitador de fluxo para o esquema I, isto é,


<

>+

+=

.0,0

,0,)1(

3)(

)( 2

2

f

ff

ff

f

r

rr

rr

rψ (4)

O limitador de fluxo para o esquema II é obtido de maneira análoga ao obtido para o esquema I. Em suma, ele é

<

>+

+=

.0,0

,0,)1(

2)(6

)( 3

2

f

ff

ff

f

r

rr

rr

rψ (5)

Na Fig. 3 estão representados graficamente os esquemas I e II na região TVD de Harten (1989). Pode-se notar por esta figura que o esquema II está inteiramente contido nessa região. Na Fig. 4 estão representados esses mesmos esquemas (os limitadores) na região TVD de Sweby (1984).

Figura 3: Esquemas I e II na região TVD. Figura 4: Limitadores de Fluxo.

É importante esclarecer ao leitor que durante os experimentos numéricos realizados para o problema da convecção de um escalar, ambos os esquemas apresentaram oscilações não físicas para o número de Courant (CFL) ≥ 0.5. Assim, para eliminar essas oscilações indesejáveis foram realizados alguns ajustes para então se obter:

1. Esquema Convectivo I:

∉∈+−=

].,[ˆ,ˆ],,[ˆ),ˆ(5.2)ˆ(5.2)ˆ(ˆ

23

ba

ba

UU

UUUUf φφ

φφφφφ (6)

2. Esquema Convectivo II:

∉∈+−

=].,[ˆˆ],,[ˆ),ˆ(2)ˆ(3)ˆ(2ˆ

,

34

ba

ba

UU

UUUUf φφ

φφφφφ (7)

em que as constantes a e b são determinadas em função do CFL, da seguinte forma:

• Se 5.0<CFL , então 0=a e 1=b ;• Se 8.05.0 <≤ CFL , então 2.0)5.0( +−= CFLa e ab −= 1 ;

• Se 18.0 <≤ CFL , então 315.01375.0 += CFLa e ab −= 1 ;


4. Aplicação dos esquemas I e II na discretização da equação de Burgers

Para ilustrar a aplicação dos esquemas I e II, apresenta-se nesta seção um método numérico baseado nesses esquemas polinomiais “upwind” para resolver a equação de Burgers 1D, que é definida por:

,2

2

x

u

x

uu

t

u

∂∂=

∂∂+

∂∂ ν (8)

onde ν assemelha-se à viscosidade de um fluido e u é a velocidade do fluido. Nota-se que a Eq (8) é similar a equação de Navier Stokes 1D sem o termo de pressão e forças de campo. Observa-se também nesta equação a presença de um termo convectivo (não linear), um difusivo (linear) e um temporal. Quando o termo difusivo é diferente de zero (

0≠ν ), a Eq. (8) é parabólica; caso contrário, é hiperbólica. É bem conhecido que para 0>ν , o termo difusivo

produz uma solução suave e a energia do sistema é dissipada suavemente. Para 0→ν , choques (ou discontinuidades) podem aparecer na solução, mesmo para condições iniciais suaves. Por esse motivo que a equação de Burgers é muito utilizada para testar esquemas numéricos, pois permite mostrar a formação de choques quando 0→ν .

Sejam L o tamanho do domínio computacional considerado e 0u a amplitude da velocidade em unidades do S.I.

Definem-se as variáveis adimensionais da Eq. (8) por L

xx =* ,

0

*

u

uu = e t

L

ut 0* = . Desta forma, a Eq. (8) pode

ser reescrita na forma adimensional por

( ) ,Re

12*

*2

*

**

*

*

x

u

x

uu

t

u

∂

∂=∂∂+

∂∂

(9)

onde ν

Lu0Re = é o número de Reynolds.

Na construção do método numérico de diferenças finitas (Thomas, 1995) para resolver a Eq. (8), considera-se a Eq. (9) em sua modelagem. Seguem abaixo a discretização dos termos da Eq. (9) no ponto P=(i,j) da malha computacional

•Diferença para frente para o termo temporal:

t

uu

t

u jiji

jiδ

,*

1,*

),(*

* −=∂∂ +

(10)

•Diferença central para o termo espacial viscoso:

( ) 2

,1*

,*

,1*

),(

2*

*2 2

x

uuu

x

u jijiji

jiδ

−+ +−=∂

∂ (11)

•Esquemas “upwind” polinomiais apresentados na seção 3 para o termo convectivo:

,2

1

2

12

1,

2

1*,

2

1,

2

1*,

2

1,

2

1**

,2

1**

),(

*

**

),(*

**

−=

−=

∂

∂

=∂∂ −−++−+

x

uuuu

x

uuuu

x

uu

x

uu

jijijijijiji

ji

jiδδ (12)

onde: jiu ,2

1+ e jiu ,2

1− são calculados por:

( )jijiji uuu ,*

,1*

,2

1

2

1 += ++ e ( )jijiji uuu ,1*

,*

,2

1

2

1−− += . As variáveis jiu ,

2

1*+ e jiu ,

2

1*− da Eq. (12) são

calculadas escolhendo um dos esquemas “upwind” polinomiais em variáveis não normalizadas:


1. Esquema Convectivo I:

( ) ( )

∉∈+−−+=

].1,0[ˆ],1,0[ˆ,)ˆ(5.2)ˆ(5.2)ˆ( 23

UU

UUUURDRf φφ

φφφφφφφφ (13)

2. Esquema Convectivo II:

( ) ( )

∉∈+−−+=

].1,0[ˆ],1,0[ˆ,)ˆ(2)ˆ(3)ˆ(2 34

UU

UUUURDRf φφ

φφφφφφφφ (14)

em que RD

RUU φφ

φφφ−−=ˆ .

Assim, escolhendo o Esquema Convectivo I, tem-se

• Se 0,2

1 >+ jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,1*

,1*

,1*

,*

,ˆˆ−+

−

−−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+= −+−

+].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ5.2ˆ5.2ˆ.

,*

,2

,3

,,1*

,1*

,1*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 ≤+ jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,2*

,*

,2*

,1*

,1ˆˆ+

+++ −

−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+=

+

++++++

].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ5.2ˆ5.2ˆ.

,1*

,12

,13

,1,2*

,*

,2*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 >− jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,2*

,*

,2*

,1*

,1ˆˆ−

−−− −

−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+=

−

−−−−−−

.]1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ5.2ˆ5.2ˆ.

,1*

,12

,13

,1,2*

,*

,2*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 ≤− jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,1*

,1*

,1*

,*

,ˆˆ+−

+

−−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+= +−+

−].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ5.2ˆ5.2ˆ.

,*

,2

,3

,,1*

,1*

,1*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

Escolhendo o Esquema Convectivo II, tem-se

• Se 0,2

1 >+ jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,1*

,1*

,1*

,*

,ˆˆ−+

−

−−==φ , então


( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+= −+−

+].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ2ˆ3ˆ2.

,*

,3

,4

,,1*

,1*

,1*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 ≤+ jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,2*

,*

,2*

,1*

,1ˆˆ+

+++ −

−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+=

+

++++++

].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ2ˆ3ˆ2.

,1*

,13

,14

,1,2*

,*

,2*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 >− jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,2*

,*

,2*

,1*

,1ˆˆ−

−−− −

−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+=

−

−−−−−−

].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ2ˆ3ˆ2.

,1*

,13

,14

,1,2*

,*

,2*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

• Se 0,2

1 ≤− jiu e jiji

jiji

jiU uu

uuu

,1*

,1*

,1*

,*

,ˆˆ+−

+

−−==φ , então

( ) ( ) ( )( )

∉∈+−−+= +−+

−].1,0[ˆ,

],1,0[ˆ,ˆ2ˆ3ˆ2.

,*

,3

,4

,,1*

,1*

,1*

,2

1*

Uji

Ujijijijijijiji

seu

seuuuuuuu

φφ

5. Resultados numéricos

Nesta seção apresentam-se soluções numéricas obtidas com os esquemas propostos para a equação de advecção (linear), equação de Euler (não linear), e Equação de Burgers (não linear). Estes problemas têm sido testes importantes na literatura para averiguar o desempenho de esquemas “upwind” de alta ordem (ver, por exemplo, Kurokawa et al. (2007)). Resultados de simulações de jatos 3D sobre superfícies rígidas são apresentados por Queiroz e Ferreira (2007). Nessas simulações o termo convectivo das equações de Navier-Stokes foi estimado pelos esquemas upwind polinomiais apresentados neste trabalho. Os resultados numéricos obtidos nessas simulações 3D indicam que os fenômenos físicos a baixos e a altos Reynolds podem ser simulados com confiança. Tais simulações foram feitas utilizando o ambiente computacional “Freeflow” de Castelo et al. (2000), equipado com esses novos esquemas polinomiais “upwind”.

5.1. Equação de advecção linear

O primeiro problema teste considerado é a equação de advecção linear com várias condições iniciais (Casos 1, 2 e 3 apresentados abaixo), isto é,

,0=∂∂+

∂∂

xa

t

φφ )()0,( 0 xx φφ = , ℜ∈x

(15)

cuja solução exata é )(),( 0 atxtx −= φφ , em que )(0 xφ é o dado inicial. Em todas as simulações realizadas, foi

utilizada uma malha uniforme de 800 células computacionais, tempo adimensional de simulação 0.1=t e CFL igual a 0.8. Destaca-se que estudos de caso já foram feitos para este problema de advecção linear utilizando CFL iguais a 0.2 e 0.7, e os resultados obtidos mostraram-se de boa qualidade entre as soluções numéricas e analíticas (ver Queiroz e Ferreira (2007), Queiroz et al., 2007).


•Caso 1: Considera-se a Eq. (15) com 1=a e 20 ≤≤ x . Neste problema, a condição inicial é

<<

−−

<≤−<<−

<<<<

=

−−

.,0

,8.07.0,05.0

75.01

,66.055.0,2012

,55.05.0,1020

,4.03.0,1

,2.00,

)(

2

05.0

15.050log

0

2

cc

xx

xx

xx

x

xe

x

x

φ (16)

Na Fig. 6, ilustram-se a solução exata e os resultados numéricos para os esquemas de convecção I e II. Como pode ser visualizado, há uma concordância relevante entre os dados. Embora, ambos os esquemas apresentaram o problema de aparamento de pico perto de 05.1=x e 55.1=x .

Figura 6: Comparação das soluções numérica e analítica, para a equação de advecção 1D com condição inicial dada pela Eq. (16).

•Caso 2: Considera-se a forma “W” proposta por Wey e Gu (2002). Neste problema, a condição inicial é

≤≤≤≤+−

≤≤−≤≤

=

.,0

,8.06.0,1

,6.04.0,6.24

,4.02.0,6.04

,2.00,1

)(0

cc

x

xx

xx

x

xφ (17)

A Fig. 7 mostra a solução exata e os resultados numéricos obtidos com os esquemas de convecção I e II. Nota-se neste exemplo que há uma concordância bastante satisfatória entre os dados para ambos os esquemas.


Figura 7: Comparação das soluções numérica e analítica, para a equação de advecção 1D com condição inicial dada pela Eq. (17).

•Caso 3: Considera-se a aplicação dos esquemas de convecção I e II na solução do problema com “sharp” gradientes de Harten (1989). Neste caso, a condição inicial considerada é

( )

≤≤−−

<

−≤≤−

−

=

.13

1,3

6

112

,3

1,)2(

,3

11,

2

3

)(

2

0

xxsinx

xxsin

xx

xsin

x

π

π

π

φ (18)

A Fig. 8 mostra a solução exata e os resultados numéricos obtidos com os esquemas de convecção I e II. Como pode ser visto, há uma excelente concordância entre os dados.

Figura 8: Comparação das soluções numérica e analítica, para o problema de Harten com condição inicial dada pela Eq. (18).


5.2. Equações de Euler 1D

Em contraste ao problema linear apresentado na seção anterior, apresenta-se aqui o problema não linear do tubo de choque 1D, modelado pela equação de Euler da dinâmica dos gases

t∂∂

U+x∂

∂ F(U) = 0 (19)

onde U ,),,( TEρνρ= F(U) .))(,,( 2 TpEp ++= νρνρν Sendo ρ , ν , ρν , E , p , respectivamente, a

densidade, velocidade, quantidade de movimento, energia total e pressão. Para fechar a Eq. (19), a equação constitutiva

de gás ideal é considerada:

−−= 2

2

1)1( ρνγ Ep , onde 4.1=γ .

Na simulação da equação de Euler, utilizaram-se 800 células computacionais e valor de CFL 0.8. Ressalta-se que estudos de caso já foram feitos para este problema não linear do tubo de choque 1D utilizando CFL iguais a 0.2 e 0.6, e os resultados obtidos mostraram-se bastante satisfatórios entre as soluções numéricas e analíticas (ver Queiroz e Ferreira (2007), Queiroz et al., 2007). Em particular, foram simulados os seguintes problemas de Riemann:

• Tubo de choque de Sod (Sod, 1978), onde se considera a Eq. (19) suplementada com a condição inicial:

≥<

=.5.0,)1.0,0,125.0(

,5.0,)1,0,1(),,(

x

xp

T

TTνρ

Os resultados numéricos e a solução analítica são apresentados na Fig. 9. Observa-se nesse caso que os resultados numéricos são bastante precisos.

Figura 9: Comparação das soluções numérica e analítica, para o problema do tubo de choque de Sod.

•Tubo de choque de Shu-Osher (Shu and Osher, 1989), em que considera-se a Eq. (19), no intervalo [-1,3], suplementada com os dados iniciais:

+−<

=.,)1,0),5sin(2.01(

,8.0,)33.10,63.2,86.3(),,(

ccx

xp

T

TTνρ

Os resultados numéricos e a solução analítica são apresentados nas Fig. 10. E mais uma vez, os resultados numéricos mostraram-se de boa qualidade.


Figura 10: Comparação das soluções numérica e analítica, para o problema do tubo de choque de Shu-Osher.

5.3. Equação de Burgers 1D

Nesta seção, apresentam-se alguns resultados obtidos com a aplicação do método numérico explicado na seção 4. Foram realizados dois experimentos que se diferenciam em relação a malha computacional adotada e ao valor da viscosidade da equação de Burgers.

Nos experimentos realizados, foi utilizado o valor de CFL igual 0.5. Em t = 0s, a condição inicial da

velocidade é ( )

==

L

xutxu

π2sin0, 0 , L=1m, que pode ser reescrita de forma adimensional por:

( ) ( )**** 2sin0, xtxu π== (Ver Fig. 11). Esta condição inicial foi escolhida para verificar se o método numérico

proposto captura choques. As condições de contorno adotadas são: ( ) 0,0 ** =tu e ( ) 0,1 ** =tu .

•Experimento 1: Malha com 500 elementos, 1000Re = , sm /001.0 2=ν , mx 002.0=δ e st 001.0=δ .

Figura 12: Esquema de Convecção I Figura 13: Esquema de Convecção II

Nas Fig. 12 e 13, ilustram-se os resultados obtidos pelo método numérico baseado nos esquemas de Convecção I e II em vários tempos. Observa-se que o método conseguiu capturar o choque livre de oscilações.


•Experimento 2: Malha com 5000 elementos, 10000Re = , sm /0001.0 2=ν , mx 0002.0=δ e

st 00001.0=δ .Nas Fig. 14 e 15, podem ser visualizados os resultados obtidos pelo método numérico baseado nos esquemas de

Convecção I e II. Observa-se que o método conseguiu capturar o choque livre de oscilações em condições muito severas de difusão.

Figura 14: Esquema de Convecção I Figura 15: Esquema de Convecção II

5. Conclusões

Dois esquemas polinomiais “upwind” novos para aproximar termos convectivos nos contextos TVD/NVD/CBC, e seus respectivos limitadores de fluxo, foram apresentados neste trabalho. De modo geral, a aplicação desses esquemas nas equações 1D de advecção, Euler e Burgers indica que ambos os esquemas fornecem soluções numéricas bastante satisfatórias e sem oscilações.

Para trabalhos futuros, os autores planejam comparar os resultados obtidos neste trabalho com resultados de esquemas “upwind” consagrados da literatura, tais como Quickest Adaptativo, Superbee, Mimmod, ENO, etc.

AgradecimentosOs autores agradecem o apoio financeiro concedido pela FAPESP, Processo No. 06/05910-1.

Referências BibliográficasBurgers, J. M., 1948, “A mathematical model illustrating the theory of turbulence”, Advances in Applied Mechanics, Vol. 1, pp. 171-199.Castelo, A. et al., 2000, “Freeflow: An integrated simulation system for three-dimensional free surface flows”, Journal

of Computing and Visualization in Science, Vol. 2 , pp. 199-210.Gaskell, P.H. and Lau, A.K., 1988, “Curvature-compensated convective transport: SMART, a new boundedness-

preserving transport algorithm”, International Journal for Numerical Methods in Fluids, Vol. 8, pp. 617-641.Harten, A., 1983, “High resolution schemes for conservation laws”, Journal of Computational Physics, Vol. 49, 357-

393.Harten, A., 1989, “ENO schemes with subcell resolution”, Journal of Computational Physics, Vol. 83 , pp. 148-184.Kurokawa, F. A. et al., 2007, “A comparison of high order upwind schemes for solving strong convection problems”,

Proceedings of the XXVIII CILAMCE - Congresso Ibero Latino-Americano sobre Métodos Computacionais em Engenharia, Porto, Portugal.

Leonard, B.P., 1988, “Simple high-accuracy resolution program for convective modeling of discontinuities, International Journal for Numerical Methods in Fluids”, Vol. 8, pp. 1291-1318.

Laney, C. B., 1998, “Computational Gasdynamics”, Cambridge University Press.Queiroz, R.A.B. e Ferreira, V. G, 2007, “Esquemas Polinomiais Upwind e suas Aplicações em Escoamentos Incompressíveis 3D Transientes”, In: XIV Congresso Nacional de Estudantes de Engenharia Mecânica - XIV CREEM, Uberlândia - MG.Queiroz, R.A.B., Ferreira, V. G., Kurokawa, F. A., 2007, “Desenvolvimento e Aplicação de Esquemas Upwind de Terceira Ordem para Transporte Convectivo”, In Press: XXX Congresso Nacional de Matemática Aplicada e Computacional - XXX CNMAC, Florianópolis - SC.Sod, G., 1978, “A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws”,

Journal of Computational Physics, Vol. 27.


Sweby, P.K., 1984, “High resolution scheme using flux limiters for hiperbolic conservation laws”, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 21, pp. 995-1011.

Shu, C.-W.and Osher, S., 1989, “Efficient implementation of essentially non-oscillatory shock capturing schemes”, Journal of Computational Physics, Vol. 83.

Thomas, J. W., 1995, “Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods”, Springer, New York, pp. 344-347.Wei, G. W. and Gu, Y., 2002, “Conjugated filter approach for solving Burger's equation”, Journal of Computational

and Applied Mathematics, Vol. 149, pp. 439-456.

esquemas polinomiais “upwind” para problemas de … · dentre os problemas não lineares...

Documents