espaço de fourier - university of são paulo
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1 Processamento de Imagens Médicas
Processamento de Imagens Médicas
Espaço de Fourier
Prof. Luiz Otavio Murta Jr.
Depto. de Física e Matemática (FFCLRP/USP)
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2 Processamento de Imagens Médicas
Teorema da Amostragem (Nyquist).
- O teorema da amostragem de Nyquist diz que devemos
amostrar um sinal analógico (real) com uma taxa
(freqüência) de amostragem de, no mínimo, duas vezes a
sua freqüência para evitar o fenômeno de “aliasing”.
Famostragem ≥ 2 x Fsinal .
- A freqüência correspondente ao dobro da máxima
freqüência de um sinal é denominada taxa de
amostragem de Nyquist.
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3 Processamento de Imagens Médicas
“Aliasing".
As figuras (a), (b) e (c) mostram
amostragens corretas de três
ondas senoidais. Em (c) não
parece captar a forma de onda
corretamente, apesar de cada
período ser amostrado mais de
duas vezes. Em (d), a freqüência
da onda senoidal analógica é
maior que a freqüência de Nyquist
(metade da freqüência de
amostragem). Isto resulta em
“aliasing”, onde a freqüência do
dado amostrado é diferente da
freqüência do sinal analógico,
portanto o sinal não pode ser
reconstruindo porque está
corrompido
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4 Processamento de Imagens Médicas
“Aliasing".
Quando ocorre “aliasing” devido a
uma freqüência de amostragem
muito baixa, o efeito pode ser
descrito por uma superposição
errônea do sinal analógico em
freqüências acima da freqüência
de Nyquist.
Sub-amostragem
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5 Processamento de Imagens Médicas
Sinais Senoidais no Tempo Contínuo
• Uma oscilação harmônica é descrita matematicamente por:
Este sinal é caracterizado por:
1. xa(t) é periódico
• xa(t + Tp) = xa(t)
• onde Tp = 1/F é o período fundamental.
2. O aumento da freqüência F resulta no aumento da taxa de oscilação dentro de um intervalo.
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6 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de um sinal senoidal no tempo discreto = / 6 e = / 3
Sinais Senoidais no Tempo Discreto
Uma senoide em tempo discreto é periódica somente se sua freqüência f é um número racional
Definição: x(n + N) = x(n) para todo n.
Exemplo:
cos[2πf(N+n) + θ] = cos(2πfn + θ)
Um sinal senoidal em tempo discreto pode ser escrito como:
Exemplo: x(n) = A cos(2πfn + θ)
- ∞ < n < ∞
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7 Processamento de Imagens Médicas
Senoides no tempo discreto onde suas freqüências são separada por um número inteiro múltiplo de 2 são idênticas
cos[(ω0+2π)n + θ] = cos [ω0n+2πn + θ]
A taxa de oscilação mais elevada de um sinal senoidal no tempo discreto é alcançada quando = (ou = -) ou, equivalentemente f=½ (ou f = -½).
freqüências negativas para sinais senoidais no tempo discreto
x(n)=Acos[ωn + θ] = A/2.ej(ωn+θ)+ A/2.e-j(ωn+θ)
A faixa de freqüência é finita entre - (-½ f ½).
Sinais Senoidais no Tempo Contínuo
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8 Processamento de Imagens Médicas
Domínio do Tempo e Freqüência.
Domínio da freqüência Domínio do tempo
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9 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier.
Ilustração da decomposição de
Fourier. Um sinal de N pontos
decomposto em N+2 sinais, cada
um tendo N pontos. Metade destes
sinais são senos e a outra metade
são co-senos. As freqüências são
fixas, e as amplitudes são
proporcionas às componentes de
freqüências.
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10 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier.
Exemplo de decomposição de Fourier. Um sinal de
16 pontos decomposto em 9 ondas seno e 9 ondas
co-seno. A freqüência de cada senoide e co-senoide
é fixa, e a amplitude é dependente da amplitude da
forma de onda para a dada freqüência
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11 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier.
Funções deltas
(impulsos unitários)
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12 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier.
Transformada discreta de Fourier
exemplos
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13 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
Se a amplitude é
mudada em um domínio,
é mudada também no
outro domínio na mesma
proporção. Em outras
palavras, uma mudança
de escala em um
domínio corresponde a
uma mudança de escala
no outro domínio.
Homogeneidade da
transformada de
Fourier.
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14 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
Somando-se dois ou mais sinais em
um domínio resulta em uma soma
correspondente no outro domínio.
Nesta figura, os sinais no domínio
do tempo (a) e (b) são somados
para produzir o sinal em (c). Isto
resulta na soma dos espectros.
Soma da transformada de Fourier.
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15 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
1
0
1
00 )2()2cos()(n
n
n
n nkfsenbnkfaanf
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16 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
Utilidades da Transformada de Fourier
-Remover freqüências indesejáveis de um sinal
-Certas operações são executadas mais facilmente e com maior
rapidez no domínio da freqüência
- Filtragem de freqüências indesejáveis
- A transformada de Fourier pode ser aproximada por uma soma de
senos e cossenos
exp[± j2πux] = cos(2πux) ± j sin(2πux)
- F(u) é apenas uma função ponderada para as diferentes freqüências
presentes em f(x)
- Para remover certas freqüências, ajuste os valores correspondentes
de F(u) para zero!!!
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17 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
Como as freqüências aparecem em uma
imagem?
- Altas freqüências: variações rápidas (ex. bordas)
-Baixas freqüências: variações lentas (ex. superfícies contínuas)
Original Filtro passa-alta Filtro passa-baixa
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18 Processamento de Imagens Médicas
Domínio de Freqüências (“frequency range”).
dudvevuFyxfvuFF vyuxj 21 ,,,
Estendendo FT para duas dimensões
Transformada de Fourier
Transformada inversa de Fourier
dxdyeyxfvuFyxfF vyuxj 2,,,
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19 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
dxdyeyxfvuF vyuxj 2,,
Y
vyj
X
uxj dyedxeA0
2
0
2
vYuXjevY
vYsen
uX
uXsenAXY
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20 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
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21 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
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22 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
1,...,1;)(1
)(1
0
2
NuexfN
uFN
x
N
uxj
Transformada Discreta de Fourier
(DFT)
DFT:
DFT inversa:
F(u) é discreta:
1,...,1;)()(1
0
2
NxeuFxfN
x
N
uxj
xuNuuuFuF
1;1,...,1,0);()(
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23 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Estendendo a DFT para duas dimensões
DFT:
DFT inversa:
Assuma que f(x,y) seja uma imagem N x N
DFT:
DFT inversa:
1
0
1
0
2
),(1
),(M
x
N
y
N
vy
M
uxj
eyxfMN
vuF
1
0
1
0
2
),(),(M
x
N
y
N
vy
M
uxj
evuFyxf
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
eyxfN
vuF
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
evuFN
yxf
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24 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
Reconstrução com os primeiros coeficientes
(menores freqüências)
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25 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
Reconstrução com os 200 maiores coeficientes
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26 Processamento de Imagens Médicas
Exemplo de Transformada de Fourier 2D
Reconstrução (primeiros coeficientes)
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27 Processamento de Imagens Médicas
Exemplos de Transformada de Fourier 2D
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28 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Propriedades – DFT 2D:
- Separabilidade
- Translação
- Escala
- Periodicidade e Simetria Conjugada
- Rotação
- Convolução
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29 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
1
0
1
0
22
),(1
),(N
x
N
y
N
vyj
N
uxj
eyxfeN
vuF
),(),(1
0
2
vxFeyxfN
y
N
vyj
Separabilidade
A FT 2D pode ser calculada usando FTs 1D apenas!!
DFT:
DFT inversa:
F(u,v) pode ser expressa em forma separável:
Fazendo: , Temos:
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
eyxfN
vuF
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
evuFN
yxf
1
0
2
),(1
),(N
x
N
uxj
vxFeN
vuF
![Page 30: Espaço de Fourier - University of São Paulo](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022041617/625337d6fc679b6dd714ef7c/html5/thumbnails/30.jpg)
30 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Separabilidade
A DFT de uma matriz pode ser obtida através de
– Primeiro aplique a DFT-1D em cada linha (ou coluna)
– Em seguida aplique a DFT-1D em cada coluna (ou linha) no resultado
do passo anterior
Na prática, se você for aplicar a mesma função nos dois passos, o
resultado do primeiro passo deve ser transladado.
O resultado final deve ser transladado novamente.
Não importa a ordem da operação !
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31 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
),(),( 00
2 00
vvuuFeyxf N
yvxuj
Visualizando DFT 2D com translação
e
A transformada original F(u,v) pode ser deslocada para o centro da
matriz quadrada (N x N) multiplicando primeiro f(x,y) por (-1)x+y e depois
calculando a transformada de Fourier
O deslocamento não afeta a magnitude da transformada
2
,2
)1)(,( NvNuFyxf yx
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32 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Visualizando DFT - translação
Componentes de baixa freqüência
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33 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
f(x,y) |F(u,v)| |F(f(x,y)( 1)(x+y))|=|F(u N/2,v N/2)|
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34 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Escala:
),(),( vuaFyxaf
),( yxf
o
o
vusenvuFj
vuvuFF
180),(),(
180),(cos),(1
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35 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Exibição do espectro de Fourier: translação + escala
-será mostrada apenas a magnitude de F(u,v) transladada
-a faixa da magnitude de F(u,v) é muito grande [0, 2.5x106]
-aplicar escala: (c é uma constante) ),(1log.),( vuFcvuD
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36 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Periodicidade e Simetria Conjugada
A FT e sua inversa são periódicas com período N Para exibir um
período inteiro, é necessário mover a origem da transformada para o
ponto u=N/2 (ou em (N/2,N/2) no caso 2D) )
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37 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
u
vx
yvuyxr 112222 tan,tan,,
Rotação
A rotação de f(x,y) de Θ implica em uma rotação de F(u,v) de Θ
Distributividade
),().,cos.(),( vuFsenrrfyxf
)cos(.),cos(.),( 00 rrfyxg
)(.),cos(.),(),( 00 senFvuGyxgF
),(),(),(),( yxgFyxfFyxgyxfF
),(),(),(),( yxgFyxfFyxgyxfF
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38 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Rotação –– Exemplo
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39 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
1
0
1
02
),(1
),(N
x
N
y
yxfN
yxf
Valor Médio
1
0
1
0
),(1
)0,0(N
x
N
y
yxfN
F
)0,0(1
),( FN
yxf
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
eyxfN
vuF
lembrando que:
![Page 40: Espaço de Fourier - University of São Paulo](https://reader033.vdocuments.com.br/reader033/viewer/2022041617/625337d6fc679b6dd714ef7c/html5/thumbnails/40.jpg)
40 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Convolução
•Definição
( note que f(x) * g(x) = g(x) * f(x) )
•Teorema da Convolução
f(x) * g(x) ↔ F(u) G(u)
(convolução no domínio direto significa multiplicação no domínio da freqüência)
f(x) g(x) ↔ F(u) * G(u)
(multiplicação no domínio direto significa convolução no domínio da freqüência)
daaxgafxgxf )()()(*)(
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41 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Calculando f *g com eficiência
1. Calcule: F(f(x)) = F(u), e F(g(x)) = G(u)
2. Multiplique: F(u)G(u)
3. Calcule a FT inversa: F-1(F(u) G(u)) = f(x) * g(x)
Convolução discreta
1. A integral é substituída pela soma
2. A variável de integração se torna um índice
3. Os deslocamentos ocorrem segundo incrementos discretos
m
Mxmxgmfxgxf 10 ),()()(*)(
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42 Processamento de Imagens Médicas
Transformada de Fourier 2D discreta
Exemplo
Seqüências de entrada: {f(0),f(1),…,f(A-1)},{g(0),g(1),…,g(B-1)}
Comprimento da seqüência de saída: M = A+B-1
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43 Processamento de Imagens Médicas
Filtros no domínio da freqüência
• Domínio da freqüência
G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
• Domínio espacial
g(x,y) = h(x,y) * f(x,y)
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44 Processamento de Imagens Médicas
Filtros no domínio da freqüência
• Filtro Passa-baixa
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45 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-baixas
• Filtro Passa-baixa Ideal
• u, v são coordenadas de freqüência
D(u,v) = (u2+v2)1/2
0
0
),( se 0
),( se 1),(
DvuD
DvuDvuH
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46 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-baixas
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47 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-baixas
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48 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-baixas
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49 Processamento de Imagens Médicas
Fitro de Butterworth passa-baixas
nDvuD
vuH2
0/),(1
1),(
nDvuD
vuH2
0/),(]12[1
1),(
n
DvuD2
0/),(414,01
1
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50 Processamento de Imagens Médicas
Fitro de Butterworth passa-baixas
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51 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-altas
• Filtro Ideal
• Filtro de Butterworth
0
0
),( se 0
),( se 1),(
DvuD
DvuDvuH
nDvuD
vuH2
0/),(1
1),(
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52 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-altas
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53 Processamento de Imagens Médicas
Filtro Passa-altas
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54 Processamento de Imagens Médicas
Filtragem homomórfica
• Modelo de iluminação:
i → iluminação; r → refletância
f(x,y) = i(x,y) r(x,y)
A transformada de Fourier não ajuda muito
F{ f(x,y) } ≠ F{ i(x,y) } F{ r(x,y) }
Mas transformando f em z:
z(x,y) = ln f(x,y)
=ln i(x,y) + ln r(x,y)
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55 Processamento de Imagens Médicas
Filtragem homomórfica
É possível então separar as duas componentes:
F{ z(x,y) } = F{ln f(x,y) } = F{ln i(x,y) } + F{ln r(x,y) }
Então a variável Z é:
Z(u,v) = I(u,v) + R(u,v) Supondo S a solução no espaço de Fourier:
S(u,v) = H(u,v)Z(u,v)
= H(u,v)I(u,v) + H(u,v)R(u,v)
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56 Processamento de Imagens Médicas
Filtragem homomórfica
E “s” no espaço direto:
s(x,y) = F-1{ S(u,v)}
= F-1{H(u,v)I(u,v)} + F-1{H(u,v)R(u,v)}
Então a iluminação:
i’(x,y) = F-1{H(u,v)I(u,v)}
E a refletância:
r’(x,y) = F-1{H(u,v)R(u,v)}
s(x,y) = i’(x,y) + i’(x,y)
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57 Processamento de Imagens Médicas
Filtragem homomórfica
E finalmente i0 e r0:
g(x,y) = exp[s(x,y)]
= exp[i’(x,y)].exp[r’(x,y)]
= i0(x,y) r0(x,y)
i0(x,y) = exp[i’(x,y)]
r0(x,y) = exp[r’(x,y)]
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58 Processamento de Imagens Médicas
Filtragem homomórfica
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59 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
Equação do filtro no domínio da freqüência:
G(u,v) = H(u,v) F(u,v)
Filtro no domínio espacial:
H é a transformada de Fourier de h:
1
0
1
0
),(),(),(N
i
N
k
kifkxixhyxg
1
0
1
0
2
),(1
),(N
x
N
y
N
vyuxj
eyxhN
vuH
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60 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
1
0
1
0
2
),(ˆ1
),(ˆN
x
N
y
N
vyuxj
eyxhN
vuH
Se h(x,y) é restrito a zero para valores x > n e y > n , com N > n.
Máscara de convolução h de tamanho n x n.
O objetivo e encontrar os coeficientes h(x,y) que tenha menor erro:
1
0
1
0
22 ),(),(ˆ
N
x
N
y
vuHvuHe
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61 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
1
0
1
0
22 ),(),(ˆ
N
x
N
y
vuHvuHe
hCH ˆˆ
)(ˆ),(ˆ iHvuH
Considerando o erro:
A função de resposta estimada pode ser obtida como o produto da matriz de base pela função espacial:
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62 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
),(1 2
kiCeN
N
vyuxj
)(ˆ),(ˆ khyxh
)ˆ(*)ˆ(2 HHHHe
2ˆ HH
2ˆ HhC
Impondo a base de funções:
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63 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
0ˆ*2ˆ
2
HhCC
h
e
HCHCCCh ***ˆ 1
Fazendo a derivada do erro quadrático igual a zero
Resulta no produto da matriz de base por H
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64 Processamento de Imagens Médicas
Geração de máscaras espaciais
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65 Processamento de Imagens Médicas
Restauração de imagens (introdução)
Modelo de degradação:
f(x,y) H +
η(x,y)
g(x,y)