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Escola Superior de Tecnologia e Gestão de MirandelaInstituto Politécnico de Bragança

Licenciatura em Marketing

Unidade Curricular:Matemática

2007 / 2008

2

∈ ∉

Definir um conjunto

� Diz-se que um conjunto A é dado ou definido num universo quando se conhece uma definição que permita sempre, a respeito de qualquer elemento c, saber se c A ou se c A;

� Exemplos (?):

� Conjunto das cidades portuguesas;

� Conjunto dos países que utilizam como língua oficial a Língua Portuguesa.

� Grande parte dos conjuntos de que falamos no dia -a -dia, não estão definidos, mas imperfeitamente delimitados (conjunto dos pobres, conjunto dos ricos).

3

Conjuntos finitos e conjuntos infinitos

� Se um conjunto pode ser definido pela indicação dos seus elementos diz-se finito.

� Exemplos (?)� Números naturais inferiores a cinco;� Alunos da ESTGM da Licenciatura em Marketing.

� Diz-se que um conjunto A é infinito quando éimpossível indicar todos os seus elementos.

� Exemplos (?)� Conjunto dos números pares;� Conjunto dos números naturais.

4

Conjuntos Numéricos

� Números Naturais

N = { 1 , 2 , 3 , ... }

� Números Inteiros

N0 = { 0 , 1 , 2, ... }

� Números Inteiros Relativos

Z = { ... , -2 , -1 , 0 , 1 , 2, ... }

5


� Números Racionais

Q = { a/b, a e b são inteiros e b diferente de 0}

- São aqueles que podem ser representados na forma a/b, onde a e b são inteiros e b diferente de 0.

Exemplos: 3/5, –1/2 , 1 , 2,5 , ...

- Números decimais exactos são racionais

0,1 = 1/10; 3,7 = 37/10- Números decimais periódicos são racionais

0,1111... = 1/9; 0,3232 ...= 32/99; 2,3333 ...= 21/9.

6


� Números Irracionais

- São números que não podem ser representados na forma a/b, com a e b inteiros e b diferente de 0.

- São formados por dízimas infinitas não periódicas.

Exemplos: ; ; π 3 2

7


� Números Reais

- O conjunto dos números reais, simbolizado pela letra R, é constituído por todos os números racionais e por todos os números irracionais.

R = {x | x é racional ou x é irracional}

- Todos os conjuntos numéricos (N, Z e Q), bem como o conjunto dos números irracionais são subconjuntos de R.

- O conjunto dos números reais é a reunião do conjunto dos números irracionais com o dos racionais.

8

Números Reais

Intervalos

� Sejam a e b IR, designam-se por intervalos de números reais os conjuntos:

Intervalos limitados

� [a, b] - intervalo fechado de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x b;

� ]a, b[ - intervalo aberto de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a < x < b;

� [a, b[ - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfaz a condição: a x < b;

� ]a, b] - intervalo semi-aberto (ou semi-fechado) de extremos a e b, constituído por x IR que satisfazem a condição: a < x b;

∈

∈

∈

≤

∈

≤ ≤

≤

∈

9

Números Reais

Intervalos ilimitados

� [a, + [ - intervalo de origem a, fechado, ilimitado à direita,

constituído por x IR que satisfazem a condição: x a;

� ]a, + [ - intervalo de origem a, aberto, ilimitado à direita,

constituído por x IR que satisfazem a condição: x > a;

� ]- , b] - intervalo de extremidade b, fechado, ilimitado à esquerda,

constituído por x IR que satisfazem a condição: x b;

� ]- , b[ - intervalo de extremidade b, aberto, ilimitado à esquerda,

constituído por x IR que satisfazem a condição: x < b;

� ]- , + [ - intervalo ilimitado, geralmente identificado com o

conjunto IR dos números reais.

∈

∈

∞

∞

∞

∈

∈

≤

≥

∞

∞ ∞

10

Operações com números reais

Propriedades da Adição

� A1: a+(b+c) = (a+b)+c, quaisquer que sejam a, b e c (propriedade associativa para a adição)

� A2: 0 é o elemento neutro da adição. a+0=0+a = a, qualquer que seja a (existência de elemento neutropara a adição)

� A3: Para todo o número a existe um número (-a) tal que a+(-a)=0 (existência de simétrico para a adição)

� A4: a+b = b+a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa para a adição)

� A5: A adição é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então a+b também é um número positivo).

11


Propriedades da Multiplicação� M1: a.(b.c) = (a.b).c, quaisquer que sejam a, b e c

(associativa);� M2: 1 é o elemento neutro da multiplicação

a.1=1.a=a, qualquer que seja a;� M3: Para todo o número a existe um número

tal que a. = .a = 1 (existência de inverso);

� M4: a.b = b.a, quaisquer que sejam a e b (propriedade comutativa);

� M5: A multiplicação é uma operação fechada no conjunto dos números positivos. (Se a e b são positivos então axb também é um número positivo).

a

1

a

1

a

1

12


� Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição

a.(b+c) = a.b+a.c, quaisquer que sejam a e b

� Exemplo de aplicação

Calcular:a) 10x987698077 +4x 987698077- 13x 987698077;b) 333999x2– 8x333999 +6x333999;c) 123456x3 + 123456x5 + 123456x8 – 123456x17;

d) 9999999999x99 – 9999999999x100.

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Operações com Fracções

� O que é uma fracção? É uma parte de um todo. No sentido matemático é uma forma de representar uma divisão;

� Diz-se que duas fracções são equivalentes quando "se passa" de uma para a outra multiplicando ou dividindo pela mesma quantidade o numerador e o denominador;

� Verificar se duas fracções são equivalentes:

� Simplificar uma fracção é obter uma fracção equivalente mais simples.

.65103...........10

6

5

3×=×= porque

14


adorDeno

NumeradorFracção

min5

3...

←

←

15


Adição de fracções com o mesmo denominador

� A adição de duas fracções com o mesmo denominador éuma fracção, ainda com o mesmo denominador e cujo numerador é igual à soma dos numeradores.

� Se pretendemos adicionar duas fracções é necessário que elas se refiram a partes duma mesma unidade dividida em igual número de partes (ou seja que tenham o mesmo denominador).

5

7

5

4

5

3=+

16


Adição de fracções com denominadores diferentes

� A adição de duas fracções com denominadores diferentes éigual à adição de duas fracções equivalentes às dadas, transformadas em fracções com o mesmo denominador.

� Se a adição não se referir à mesma unidade, então temos de procurar fracções equivalentes às dadas, mas com o mesmo denominador.

10

23

10

815

10

8

10

15

5

4

2

3=

+=+=+

17


Multiplicação de fracções

� O produto de duas fracções é uma fracção, cujo numerador éigual ao produto dos numeradores e, o denominador é igual ao produto dos denominadores.

10

12

52

43

5

4

2

3=

×

×=×

18


Divisão de fracções

� O quociente de duas fracções é uma fracção, cujo numerador é igual ao produto do dividendo pelo inverso do divisor.

8

15

42

53

4

5

2

3

5

4

2

3=

×

×=×=÷

19

Potências

Regras

mnmn aaa +=× mn

m

n

aa

a −=

nnn baba )( ×=× n

n

n

b

a

b

a)(=

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Polinómios

�Polinómios�Operações com polinómios;�Divisão euclidiana;�Regra de Ruffini;�Teorema do resto;�Resolução de equações polinomiais de 1º grau;�Resolução de equações polinomiais de 2º grau;�Factorização de polinómios;�Equações polinomiais;�Inequações polinomiais.

21

Polinómios

Polinómios

�Definição: Chama-se polinómio na variável x a toda a expressão do tipo a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n-1 x + a nem que n IN0 e a 1, a 2 , ..., a n-1, a n IR.

�a 0 x n, a 1 x n-1, ..., a n-1 x , a n Termos do Polinómio�a 0, a 1, ..., a n-1 Coeficientes �a n Termo independente

∈ ∈

22

Polinómios

�Grau de um polinómio é o maior dos expoentes da variável x com coeficiente não nulo.�Dois polinómios dizem-se idênticos se e só se são iguais todos os coeficientes dos termos do mesmo grau. �Chamam-se termos semelhantes os termos do mesmo grau. �Um polinómio diz-se completo quando existe o termo independente e todos os coeficientes da variável x, desde o termo independente até ao termo de maior grau, são diferentes de zero. �Ex.1) 0 x 4 + 3 x 2 + x + 1 Tem grau 2 e é completo; �Ex.2) 3 x 4 + 2 x 2 + 3 x +1 Tem grau 4, é incompleto porque tem nulo o coeficiente do termo em x 3;

23

Polinómios

Polinómios�0 x n + 3 x n-1 + … +0x + 0 Polinómio nulo

�O polinómio nulo tem grau indeterminado

�Quando o polinómio é constituído por dois termos chama-se binómio;

�Exemplo: 2x + 10

�Quando o polinómio é constituído por três termos chama-se trinómio.

�Exemplo: x 2 + 3x + 2

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Operações com polinómios

ADIÇÃO �Para adicionar dois polinómios aplicam-se as propriedades comutativa e associativa da adição e reduzem-se os termos semelhantes.Ex. (3x2 + 2x + 1) + (5x2 + 3) = = 3x2 + 2x + 1 + 5x2 + 3= 3x2 + 5x2 + 2x + 1 + 3 = 8x2 + 2x + 4

25


SUBTRACÇÃO�Para subtrair dois polinómios adiciona-se, ao aditivo, o simétrico do subtractivo.Ex. (3x2 + 10x + 1) - ( 5x2 + 3x) == 3x2 + 10x +1 - 5x2 - 3x= 3x2- 5x2 + 10x -3x +1= -2x2 - 7x +1

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�MULTIPLICAÇÃO �Para calcular o produto de dois polinómios aplica-se a propriedade distributiva da multiplicação relativamente à adição e, em seguida, adicionam-se os termos semelhantes.Ex. (5x2 + 3) . (3x2 + x + 1) = = 15x4 + 5x3 + 5x2 + 9x2 + 3x + 3= 15x4 + 5x3 + 14x2 + 3x + 3

27

Casos notáveis da multiplicação de polinómios

�A multiplicação de dois polinómios pode processar-se sempre do mesmo modo.�No entanto, há produtos de polinómios que aparecem com muita frequência e em diversas situações em Matemática:

�Quadrado da soma;�Quadrado da diferença;�Diferença de quadrados.

�Estes casos são conhecidos como casos notáveis de multiplicação de polinómios.

28


Quadrado da soma�O quadrado da soma de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e com o dobro do produto do primeiro pelo segundo monómio.

(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab

Quadrado da diferença �O quadrado da diferença de dois monómios obtém-se adicionando o quadrado do primeiro com o quadrado do segundo e subtraindo o dobro do produto do primeiro monómio pelo segundo.

(a - b)2 = a2 + b2 - 2ab

29


�Diferença de quadradosA diferença dos quadrados de dois monómios é igual ao produto da sua soma pela sua diferença.�a2 - b2 = (a + b) (a - b)

30

Divisão de polinómios

DIVISÃO INTEIRA No conjunto dos números naturais, IN, efectuar a divisão inteira de um número D (dividendo) por um número d (divisor) éencontrar um número natural q (quociente) e um número natural r (resto), tais que:D = d . q + r Ex. D = 20, d = 5, q = 4, r = 0 20 = 5 x 4,20 é divisível por 5 ou 20 é múltiplo de 5 ou 5 é divisor de 20.

31


DIVISÃO INTEIRA Quando o resto de uma divisão inteira de polinómios édiferente do polinómio nulo, então, tal como na divisão em IN, D(x) = d(x) . q(x) + r(x), em que D(x) polinómio dividendod(x) polinómio divisorq(x) polinómio quocienter(x) polinómio de grau inferior ao grau do polinómio divisorEXEMPLO(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)

32


DIVISÃO INTEIRA EXEMPLO(-6x3+3x2+2) : (2x2+1)

33


Regra de Ruffini�Divisão de polinómios em que o divisor é um polinómio do tipo x - α . �A regra de Ruffini é um processo prático para determinação do quociente e do resto da divisão inteira de polinómios em que o divisor é do tipo x - α . �Actividade Seja D(x) = x4 - x3 + 2x2 - 3x - 30 e d(x) = x -2 Determinar o quociente e o resto da divisão de D(x) por d(x).Teorema do Resto�Seja p(x) um polinómio de grau p > 1. O resto da divisão de p(x) por x – a é igual a p(a), ou seja, r = p(a)

34

Equações polinomiais

Equações polinomiais�Equações polinomiais são equações da forma:

an x n + an-1 x n -1 + ... + a1 x + a0 = 0 , com an 0,Sendo, x a incógnita, n o grau da equação e an, an-1 ,…, a1 os coeficientes.�Resolver a equação consiste em encontrar os elementos que tornam a equação uma proposição verdadeira. Este elementos são chamados soluções (ou raízes) da equação polinomial.�Exemplos:a) 2x + 10 = 0;b) x2 + 3x + 2 = 0;c) 4 x 4 + 2 x 2 + 3 x = 0.

≠

35


Equações polinomiais de 1º grau

1) Resolva cada uma das equações em IR:a) 3x+7x = 22- 4x;b) 2(x+5)-3(x+4) = 23;c) 3x+4x = 8x-x+2;d) x+x+x+x = x-x-x-x;e) 3x+3x+3x = 9x;

f) 3+ (5x+8) = (x+2)+1;

g ) 5(3x+3x+3x) = (3+2x).

5

42

3

2

3

36



� Equações de 2º grau são equações da formaax2+bx+c=0, sendo a, b e c números reais e a é diferente de

zero, � c é o termo independente de x;� b é o coeficiente de x;� a é o coeficiente de x2 .

� As equações de 2.º grau, em que b e c são diferentes de zero chamam-se equações completas, são da forma: ax2+bx+c=0;

� Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é o recurso à fórmula resolvente.

37


Equações completas de 2º grau� Fórmula resolvente

ax2+bx+c=0

Quando temos uma equação deste tipo, o processo mais usual de resolução é a utilização da Fórmula Resolvente:

38



1) Resolva cada uma das equações, utilizando a fórmula resolvente:

a) 3x2+2x-1= 0;

b) 2(x2+2)-3(x+4) = 0;

c) 3x+4x = x-x2+2;

d) x+x2+x+x = x-x-x-x;

e) 3x2+3x+3x = 9x;

f) 3+ (2x+8) = (x2+2)+1;

g ) 5(3x+3x+3x) = 3 (3+2x2).5

4

2

3

39

Raiz ou zero de um polinómio

� Raiz (ou zero) de um polinómio p(x) é um número c, tal que p(c)=0.

� Actividade� Determinar, caso existam os zeros dos seguintes

polinómios

a) 3x2+2x-1;

b) 2x2+2-3x+4;

c) 3x+4x+ x-x2+2;

d) x+x2+x+x- x-x-x-x;

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Decomposição de um polinómio em factores

Decomposição em factores� Se α1, …, αk são as raízes reais de um polinómio não nulo

A, então existem números únicos e um único polinómio Q sem raízes reais, tais que:A(x) = Q(x)(x - α1)

n1… (x - αk)nk

� Ao número ni chama-se multiplicidade algébrica da raiz αi. Por exemplo: Se ni = 1 diz-se que αi é uma raiz simples de A, se ni = 2 diz-se que αi é uma raiz dupla de A, se ni = 3 diz-se que αi é uma raiz tripla de A.

� Exemplo:3x3-6x2+x-2 = (3x2+1)(x-2);2 é uma raiz simples do polinómio 3x3-6x2+x-2.

41

Factorização de polinómios

Processos para factorizar polinómios

� Factorizar um polinómio consiste em transformar o polinómio (soma de monómios) num produto.

� Existem várias formas para factorizar polinómios, entre as quais:

� Factorização simples (ou pôr em evidência);

� Por agrupamento de expressões comuns;

� Utilização dos casos notáveis da multiplicação;

� Utilização de equações de segundo grau.

42


� Factorização simples (ou pôr em evidência).

Exemplo

ax + ay + az = a (x + y + z);

� Por agrupamento.

Exemplo

ax + by + bx + ay =

= ax + ay + bx + by =

= a (x + y) + b (x + y) =

= (x + y) • (a + b)

43


Utilizando os casos notáveisExemplos

� x² - 4 = (x+2)(x-2);

� x² -2xy+y² = (x-y)(x-y);

� x² +2xy+y² = (x+y)(x+y).

Utilizando equações de 2.º grauax² + bx + c .

Exemploax² + bx + c = a (x - x1) • (x - x2), sendo x1, e x2 as raízes da

equação ax² + bx + c = 0.

44

Inequações polinomiais

Inequações polinomiais � A equação é caracterizada pelo sinal da igualdade (=).� A inequação é caracterizada pelos sinais de maior (>),

menor (<), maior ou igual (≥) e menor ou igual (≤).� Dada a função f(x) = 2x – 1 → função de 1º grau.

� Se dissermos que f(x) = 3 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a igualdade vem : 2x – 1 = 3 → equação do 1º grau, calculando o valor de x, temos: 2x = 3 + 1, 2x = 4, x = 4 : 2, x = 2 → x deverá ter o valor 2 para que a igualdade se verifique.

� Dada a função f(x) = 2x – 1. Se dissermos que f(x) > 3, escrevemos: 2x – 1 > 3 → inequação de 1º grau, calculando os valores de x, temos: 2x>3+1, 2x>4, x > 2.

� Será sempre assim?

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Inequações polinomiais

Inequações polinomiais de 2º grau � Dada a função f(x) = x2+2x – 1 → função de 2º grau.

� Se dissermos que f(x) ≥ -1 e desejarmos determinar os valores de x que satisfazem a desigualdade como poderemos fazer?

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Expressões racionais

�Expressões racionais

�Domínio;

�Simplificação;

�Operações;

�Equações racionais;

�Inequações racionais.

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�Expressão racional é uma expressão da forma:

, sendo P e Q polinómios e Q diferente de zero.

�Exemplo

, P = 2xy − y2, Q = 2x2 − 1

�Operações (?)

Q

P

12

22

2

−

−

x

yxy

48


Domínio

�Domínio de uma expressão racional é o conjunto dos valores para os quais a expressão tem significado, no contexto onde está a ser estudada.

�Exemplo: D = {x IR: Q(x) ≠ 0}.

� Exemplo:

, Domínio da expressão em IR é IR\{-1,1}

)(

)(

xQ

xP

22

22

2

−

−

x

yxy

∈

49

Expressões Irracionais

�Expressões irracionais

Expressão irracional é toda a expressão da forma ,

sendo A (radicando) uma expressão algébrica e n (índice do radical) um número natural.

�Para n par o radicando tem de ser um número não negativo, para n ímpar o radicando pode assumir qualquer valor real para o qual a expressão tenha significado.

n A

50


�Domínio de expressões irracionais (em IR)

�Se n é par D = {x IR: A(x) ≥0},

�Se n é ímpar D = {x: A(x) IR}.

Exemplos

Domínio D de ; D = {x IR: x+3≥0} = [-3, +∞[

�Domínio D de D = {x IR: 2+3x IR} = IR

n xA )(

∈∈

4 3+x ∈

7 32 x+ ∈ ∈

51


�Racionalizar dos termos de uma fracção

�Por racionalização dos termos de uma fracção entende-se o processo que conduz à substituição de uma expressão envolvendo radicais por outra sem radicais.

�Exemplo:

é o mesmo que 5

3 x+

5

553 x+

52

Condições que envolvem valor absoluto

� Equações que envolvem valor absoluto (?).1) Resolva, em IR, as equações:a) |3x-4|=5;b) |5x+3|=|8x-2|.

� Inequações que envolvem valores absolutos (?)2) Resolva, em IR, as inequações:a) |3x-4|>5;b) |2x-8|<6;c) |5x+3|≤8.

53

Conteúdos da Unidade Curricular

�Introdução ao cálculo diferencial

�Estudo das funções reais de variável real;

�Limites de funções;

�Continuidade;

�Função derivada e suas aplicações.

54


�Funções

�As correspondências podem ser ou unívocas ou não unívocas;

�Chama-se função f de A em B a toda a correspondência unívoca de A para B, e representa-se por f: A → B;

�Uma função é uma colecção de pares de números tais que: se (a, b) e (a, c) pertencem ambos à colecção então b = c;

�Intuitivamente pode interpretar-se uma função f definida num certo conjunto D e com valores num conjunto E, como uma regra que faz corresponder a cada elemento x de D um único elemento f(x) de E. O conjunto D é chamado domínio de f e o subconjunto C de E formado por todos os elementos f(x), com x D é o contradomínio de f (Ferreira, 1985).

∈

55


�Funções

�Sejam f: D →E

�Diz-se que f é uma função real se todos os valores que assume são números reais, qualquer que seja o conjunto D;

�Diz-se que f é uma função de variável real se D IR;

�Uma função diz-se real de variável real quando o domínio e o contradomínio são subconjuntos do conjunto dos números reais;

�Fixado num plano um referencial cartesiano (que suporemos semprede eixos ortogonais, orientados do modo usual e com a mesma unidade de medida) o gráfico da função f (no referencial considerado) é o conjunto de todos os pontos do plano correspondentes a pares (x, f(x)) com x pertencente ao domínio de f.

⊂

56


�Exemplos de gráficos de funções

�O gráfico da função identicamente nula (com o valor 0 em qualquer ponto x IR) é o eixo das abcissas;

� O gráfico da função identidade I(x) = x para qualquer ponto x IR é a bissectriz dos quadrantes ímpares;

�O gráfico da função f: IR→ IR, tal que f(x) = -x, qualquer que seja x IR) é a bissectriz dos quadrantes pares;

�O gráfico da função f: IR→IR, tal que f(x) = x2, é uma parábola que com a concavidade virada para cima e que passa pela origem do referencial.

∈

∈

∈

57


�Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função

�Seja f: A →B, então:

�Domínio de f, Df = {a A: f(a) = b, b B};

�Conjunto de chegada de f, Cchf = B;

�Contradomínio de f, Cdf = {y B: x A: f(x) = y}

�Caracterizar uma função f, significa conhecer:

� Domínio de f;

� Conjunto de chegada de f;

�Processo pelo qual cada elemento do domínio é transformado num elemento do conjunto de chegada, ou seja, cada objecto do domínio é transformado na sua imagem.

∈

∈∈

∈

58


�Zeros de uma função

�Designa-se por zero de uma função f todo o valor da variável independente x que tem por imagem o valor zero.�Se c é um zero da função f então f(c) = 0.

�Sinal de uma função

�Estudar o sinal de uma função f equivale a determinar:� Os pontos do domínio de f onde a função assume valores positivos;� Os pontos do domínio de f onde a função assume o valor zero;�Os pontos do domínio de f onde a função assume valores negativos.

59


�Monotonia

�Seja f uma função real com domínio D e seja A um subconjunto qualquer de D:

�Diz-se que f é crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser apenas que f é crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é crescente em todo o seu domínio;

�Diz-se que f é estritamente crescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1<x2. Quando se disser apenas que f é estritamente crescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente crescente em todo o seu domínio.

≤∈

∈

60


�Monotonia

�Diz-se que f é decrescente no conjunto A sse quaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) f(x2) sempre que seja x1>x2. Quando se disser apenas que f é decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é decrescente em todo o seu domínio;

�Diz-se que f é estritamente decrescente no conjunto A ssequaisquer que sejam x1, x2 A, se tiver f(x1) < f(x2) sempre que seja x1 > x2. Quando se disser apenas que f é estritamente decrescente, sem indicar qualquer conjunto A, deve entender-se que f é estritamente decrescente em todo o seu domínio;

�Diz-se que f é monótona em A sse f for crescente ou decrescente nesse conjunto e que f é estritamente monótona em A sse for estritamente crescente ou estritamente decrescente em A .

≤∈

∈

61


�Extremos absolutos de uma função

�Ponto máximo e valor máximo

�Seja f uma função e A um conjunto contido no domínio de f.

�x A diz-se ponto máximo de f em A se f(x) f(y), y A; o valor f(x) chama-se valor máximo de f em A .

�Ponto mínimo e valor mínimo


�z A diz-se ponto mínimo de f em A se f(z) f(y), y A; o valor f(z) chama-se valor mínimo de f em A .

≤

∈ ∈≥

∈∈ ∀

∀

62


�Extremos relativos de uma função

�Ponto máximo local


�x A diz-se ponto máximo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto máximo em A ]x- , x+ [.

�Ponto mínimo local


�z A diz-se ponto mínimo local de f em A, se existe algum >0, tal que x é ponto mínimo em A ] z- , z + [.

∈

∈

∂

∂

∂∂

∂∂∩

∩

63


�Injectividade e sobrejectividade

�Seja f: A →B:

�f é injectiva f(x) = f(y) x = y , x, y Df

�f é sobrejectiva y B, x A: f (x) = y;

�f é bijectiva f é injectiva e f é sobrejectiva.

∈∈⇔⇔

⇔∃∀

⇒ ∈∀

64


�Função afim

�Toda a função f, real de variável real, definida por f(x) = ax + b, em que a e b são constantes reais, diz-se uma função afim. O gráfico da função afim é uma recta. O coeficiente a chama-se declive e b chama-se ordenada na origem.

65


�Função quadrática

�Chama-se função quadrática, ou função polinomial de 2ºgrau, a qualquer função f de IR em IR, dada por uma expressão da forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠0.� O gráfico de uma função quadrática (polinomial de 2º grau), f(x) = ax2 + bx + c, com a≠ 0, é uma curva chamada parábola.

66


�Função módulo

� A função módulo pode ser definida como a função que a cada número real x associa o módulo de x, ou seja, a distância de x à origem.

� O gráfico da função módulo, isto é da função ψ: IR→ IR, tal que ψ(x) = |x|, qualquer que seja x IR é a reunião das bissectrizes do 1º e do 2º quadrantes.

∈

67


�Operações com funções• Sejam f e g funções reais de variável real,

• Soma de f e g, representa-se por f+g, e caracteriza-se:

• D f+g=Df ∩ Dg;

• (f+g)(x)=f(x)+g(x), ∀x∈ D f+g;

• Cch f+g=IR.

• Diferença de f e g, representa-se por f-g, e caracteriza-se:

• D f-g=Df ∩ Dg;

• (f-g)(x)=f(x)-g(x), ∀x∈ D f-g;

• Cch f-g=IR.

68


• Produto de f e g, representa-se por f.g, e caracteriza-se:

• D f.g=Df ∩ Dg;

• (f.g)(x)=f(x) . g(x), ∀ x∈ D f.g;

• Cch f.g=IR.

• Quociente de f e g, representa-se por g

f, e caracteriza-se:

• Dg

f =(Df ∩ Dg)\{x ∈ Dg: g(x)=0};

• (g

f )(x)=)(

)(

xg

xf, ∀ x∈ D

g

f ;

• Cch f/g=IR.

69


• Composição de f e g, representa-se por fog, e caracteriza-se:

�D fog={x: x Dg g(x) Df};

�(fog)(x) = f [g(x)], x D fog;

�Cch fog = IR.

∈∈

∈∧

70


�Função inversa

�Seja f uma função real de variável real, tal que: f: D → IR éinjectiva:

�A função inversa de f é por definição, a aplicação g: f(D) → IR, tal que g (f(x)) = x, para cada x pertencente a D;

� Toda a função injectiva tem inversa;

� O domínio da função inversa é o contradomínio da função dada.

71


�Função Exponencial (de base e)

�A função exponencial (de base ) é a função real de variável real que a cada x faz corresponder ex

�Propriedades:

�Domínio: IR

�Zeros: não tem zeros

�Sinal: é sempre positiva

�Extremos: não tem nem mínimos nem máximos

�Monotonia: é crescente

�Contradomínio: IR+

�A função é contínua no seu domínio

�A função é injectiva, mas não é sobrejectiva

72


�Função Exponencial

�Função exponencial (de base e)

�Gráfico:

�Concavidade: voltada para cima

73


�Função Logarítmica

�A função f: IR+ → IR, definida por f(x)=logax, com a≠1 e a>0, é chamada função logarítmica de base a.

� O domínio da função logarítmica é o conjunto IR+ (reais positivos, maiores do que zero) e o contradomínio é IR (reais).

�Vamos considerar duas situações:

� 0<a<1;� a>1.

74


�Função Logarítmica (0<a<1).

�Exemplo: y=log(1/2)x (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1) �Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

-2-1012y

4211/21/4x

75


�Função Logarítmica (a>1)

�Exemplo: y=log(2)x (nesse caso, a=2, logo a>1) �Atribuindo alguns valores a x e calculando os correspondentes valores de y, obtemos a tabela e o gráfico seguintes:

210-1-2y

4211/21/4x

76

Limites de Funções (13-05-2008)

Limite de uma função num ponto

1. Seja f uma função real definida num conjunto D ⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D e b um número real. Diz-se que f(x) tende para b quando x tende para a (ou que b é

o limite de f no ponto a) e escreve-se ax→

limf(x)=b ou a

limf(x)=b sse, qualquer que seja

o número positivo ε existir δ >0 tal que, qualquer que seja x∈ D verificando a condição |x-a|<δ , se tenha |f(x)-b|<ε . Simbolicamente:

ax→limf(x)=b ⇔ ∀ ε>0, ∃ δ >0, ∀x, 0<|x-a|<δ ⇒|f(x)-b|<ε .

Nota: a é aderente a X sse, qualquer que seja ε>0, Vε (a) ∩X ≠Ø

77

Limites de Funções

Se f: D _______> IR e g: E _______> IR têm limite no ponto a, e se este ponto é aderente a D∩ E, então, têm limite nesse ponto as funções:

i) f+g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f+g)=ax→

lim f+ax→

limg;

ii) f-g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f-g)=ax→

lim f-ax→

limg;

iii) f.g, verificando-se a igualdade: ax→

lim (f.g) =ax→

lim f . ax→

lim g;

i) g

f (se

ax→lim g(x) 0≠ ), verificando-se:

ax→lim

g

f=

g

f

ax

ax

→

→

lim

lim.

78

Limites de funções

Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈IR um ponto aderente a D.

i) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]a, +∞[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à direita ou limite de f(x) quando x tende para a por valores superiores a a, representa-se por

+→axlimf(x);

ii) Ao limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D∩]-∞, a[ (quando existe) chama-se limite de f no ponto a à esquerda ou limite de f(x)

quando x tende para a por valores inferiores a a, representa-se por −→ax

limf(x);

i) O limite de f(x) quando x tende para a relativo ao conjunto D\{a} (quando existe) chama-se limite de f no ponto a por valores distintos de a,

representa-se por ax→

limax

xf≠

)( .

79

Continuidade de funções

Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto de D. Diz-se que f é uma função continua em a sse, qualquer que seja o número positivo ε

existir δ >0, tal que sempre que x seja um ponto de D e verifique a condição

|x-a|<δ , se tenha |f(x)-f(a)|<ε . Simbolicamente:

f é contínua no ponto a ⇔ ∀ε >0, ∃ δ >0, ∀x (x ∈D ∧ |x-a|<δ ⇒|f(x)-f(a)|<ε .

Conclui-se que f é contínua em a se ax→

limf(x)=f(a).

80


Seja f uma função real definida num conjunto D⊂IR, a∈ D.

i) f é contínua à direita no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D∩]a, +∞[ for contínua em a;

ii) f é contínua à esquerda no ponto a sse a restrição de f ao conjunto D∩]-∞, a[ for contínua em a;

i) f é contínua no ponto a sse f for contínua à direita e à esquerda no ponto a.

81


Diz-se que f é continua no intervalo aberto ]a, b[ se f é contínua em todos os pontos desse intervalo.

Uma função f é continua num intervalo fechado [a, b] se:

i) f é continua no intervalo aberto ]a, b[;

ii) f é contínua à direita no ponto a;

iii) f é contínua à esquerda no ponto b.

82


Teorema BolzanoSe é uma função contínua num intervalo fechado , e kum número real compreendido entre e , então existe pelo menos um valor real c, pertencente ao intervalo aberto tal que = k.

83

Assimptotas de uma função

Assimptotas verticais: são da forma x=a (a é ponto de acumulação do domínio de f e, se f está definida em a então f é descontínua em a).

Se ax→

limf(x)=+∞ ou ax→

lim f(x)=-∞ , então x=a é uma assimptota vertical.

Assimptotas não verticais: são da forma y=mx+b (só pode haver assimptotas não verticais, se existirem pontos do domínio de f em qualquer vizinhança de +∞ ou de -∞ , ou seja, se x→+∞ existem pontos do domínio de f em ]a, + ∞ [, se x →-∞ existem pontos do domínio de f em ]-∞ , a[)

Sendo y=mx+b,

m=+∞→x

limx

xf )( ou m=

−∞→xlim

x

xf )(;

b=+∞→x

lim (f(x)-mx) ou b= −∞→x

lim (f(x)-mx).

84

Derivadas (20-05-08)

• Razão incremental

Seja f uma função definida num conjunto D⊂IR e seja a um ponto interior a D. Chama-se razão incremental da função f no ponto a, à função ρ : D\{a} →IR,

definida pela fórmula: ρ (x)=ax

afxf

−

− )()(.

85

Derivada de uma função num ponto

Chama-se derivada da função f no ponto a ao limite (quando existe) da função

ρ (x) quando x tende para a. A derivada da função f no ponto a representa-se por

f ’(a),

f ’(a)=ax→

limax

afxf

−

− )()(.

Pondo x=a+h, obtém-se a fórmula,

f ’(a)=0

lim→h h

afhaf )()( −+, que por vezes é mais cómoda a sua utilização.

86

Tangente a um gráfico num ponto

• Tangente a um gráfico num ponto

Se f ’(a) existe e é finita, chama-se tangente ao gráfico de f no ponto P(a, f (a)), à

recta que passa por este ponto e tem declive igual a f ’(a).

87

Regras de derivação

• Regras de derivação

Se k é uma constante, u=ϕ (x) e v=ψ (x) são funções para as quais existem

derivadas, então:

a) (k)’= 0;

b) (x)’= 1;

c) (u+v)’= (u)’+(v)’;

d) (u-v)’= (u)’-(v)’;

e) (uv)’= u’v+uv’;

f) (v

u)’=

2v

uv'-vu', v 0≠

g) (un) ’= nun-1 u’

h) (xn)’ = nxn-1

88

Aplicação das derivadas

• Ponto singular

Chama-se ponto singular de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’(x)=0.

• Ponto de inflexão

Chama-se ponto de inflexão de uma função f, a todo o ponto x, tal que f ’’(x)=0.

89


• Pontos candidatos a máximos ou mínimos

Para determinar os pontos máximos ou mínimos de uma função f no intervalo [a, b], devem-se considerar três classes de pontos:

1) pontos singulares em ]a, b[;

2) extremos a e b;

3) pontos x∈]a, b[ tais que f não é derivável em x.

• Aplicação

Determinar os pontos máximos e mínimos relativos da função f(x) = x3-3x, no intervalo [-3, 4], bem como os respectivos valores máximos e mínimos.

90


• Teoremas

Sejam I um intervalo, I ⊂ Df, f uma função.

1. Se f ’(x) = 0, ∀x∈I, então f é constante em I;

2. Se f ’(x) > 0, ∀x∈I, então f é crescente em I;

3. Se f ’(x) < 0, ∀x∈I, então f é decrescente em I;

4. Se f ’’(x) > 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para cima;

5. Se f ’’(x) < 0, ∀ x∈I, então a concavidade de f é voltada para baixo;

6. Se f ’’(x) = 0, então o gráfico de f muda o sentido da concavidade;

7. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x)>0, então f tem um mínimo local em x;

8. Se f ’(x) = 0 e f ’’(x) < 0, então f tem um máximo local em x.

91


• Teorema

Se f está definida em ]a, b[, tem um máximo ou mínimo local em x∈]a, b[ e f é

derivável em x, então f ’(x)=0.

• Teorema

Se f é derivável em x, então f é contínua em x.

• Teorema

Se g é uma função derivável em a e f é uma função derivável em g(a), então fog é derivável em a, e (fog)’(a)= f ’(g(a))g’(a).

92


• Esboço do gráfico de uma função f

Para esboçar o gráfico de uma função f devem ser considerados, sempre que possível, os seguintes aspectos:

- O domínio de f;

- Os zeros de f;

- Os pontos singulares de f e valores de f nesses pontos;

- Sinal da 1ª derivada de f;

- Pontos de inflexão de f e valores de f nos pontos de inflexão;

- Sinal da 2ª derivada de f;

- Comportamento de f nos pontos onde não é continua e na vizinhança dos pontos aderentes ao domínio de f nos quais a função não está definida;

- +∞→x

lim f(x) e −∞→x

lim f(x).

93


Esboçar o gráfico de cada uma das funções reais de variável real:

1. f(x) = 1

222

−

+−

x

xx;

2. f(x) = x4-x2 ; 3. f(x) = x5; 4. f(x) = 3x4-8x3+6x2 .

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