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EEssccoollaa SSeeccuunnddáárriiaa ddee JJoosséé FFaallccããoo Matemática A — 10º Ano

Teste de Avaliação de Matemática Data: 16-03-2007 Turma 3

Grupo I

1. As quatro questões deste grupo são de escolha múltipla.

2. Para cada uma delas são indicadas quatro alternativas, das quais só uma está correcta.

3. Escreva, na sua folha de respostas, apenas a letra correspondente à alternativa que seleccionar para responder a cada questão.

4. Se apresentar mais do que uma resposta ou se esta for ilegível a questão será anulada.

5. Não apresente cálculos nem justificações.

1. Num ref. o. n. xOy, considere a família de rectas 2: 5 4 1,kr y k x k IR= − − ∈ e a recta . Uma recta da família é paralela à recta t se, e só se, : 4 3t y x− = −

4.º Teste de avaliação de Matemática [¨.] Pág. 1 de 3

A 5k = ; B 5 5= ∨ = −k k ; C 1 1k k= − ∨ = ; D . 1k =

2. No referencial da figura está representada graficamente a função f de domínio .

1

2

3

4

5

6

-3

-2

-1 1 2 3 4 5 6-3 -2 -1

y

O x

f

Qual das seguintes opções é a correcta?

A A função f é estritamente decrescente em todo o seu domínio;

B f tem um mínimo relativo em 2=x ;

C f tem um máximo relativo em 2=x ;

D f não tem extremos relativos em .

3. Seja f uma função de domínio IR . Sabendo que o contradomínio de f é IR + e que f não é par, uma representação gráfica da função pode ser A

B

O

y

xO

y

x

C

D

4. Considere a circunferência de centro no ponto de coordenadas ( )1, 2−

e de raio 2 e a recta que passa pelo centro da circunferência e pelo ponto de coordenadas . Uma condição que define a região

sombreada é:

O

y

x O

y

x

5

2

-1 O x

y

C ( )

5

0, 5

A ( ) ( )2 21 2 4 3x y y− + − ≤ ∧ ≥ − +x ; B ( ) ( )2 21 2 4 3 5x y y x+ + − ≤ ∧ ≥ + ;

C ( ) ( )2 21 2 4 3 5x y y+ + − ≤ ∧ ≥ − +x ; D ( ) ( )2 21 2 4 3 5x y y x− + + ≤ ∧ ≥ + .


Grupo II

1. Nas questões deste grupo apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efectuar e todas as justificações necessárias.

2. Atenção: Quando para um resultado não for pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exacto.

1. Considere a função g representada graficamente. Os pontos A e B têm coordenadas ( )6, 5− e

respectivamente. A curva representada é parte de uma

parábola de vértice (3, 4).

( 3, 3− )

O

B

A

y

x-6 -3

7

5

4

3

3

2 51 4

6

2

1

1.1. Indique: 1.1.1. o domínio, o contradomínio e os zeros de g; 1.1.2. os intervalos de monotonia e os extremos relativos

e absolutos, de g, caso existam; 1.1.3. o conjunto solução da condição ( ) 0g x ≤ .

1.2. Escreva a equação reduzida da recta que passa pelo ponto do gráfico de g com abcissa 2 e é paralela à recta AB.

1.3. Defina analiticamente a função g para ] [2,x∈ +∞ .

O

R S

U T

Vz

y

x A

Figura 1

2. No referencial Oxyz, em que se tomou para unidade o metro, está representada uma pirâmide regular (ver figura 1). Sabe-se que: a base [RSTU] é um quadrado com 144 m2 de área e com centro na origem do referencial;

o ponto A pertence ao eixo Ox e V é um ponto do eixo Oz; a aresta [RS] contém o ponto A e é paralela a Oy; o apótema da pirâmide mede 10 m.

2.1. Determine as coordenadas dos pontos V e S. 2.2. Escreva uma equação vectorial da recta VS e averigúe se o ponto de coordenadas

21 21, , 62 2

⎛ −⎜⎝ ⎠

⎞⎟ pertence a essa recta.

2.3. Considere um ponto P que se desloca sobre a altura, relativa ao vértice V, do triângulo [RSV] e que nunca coincida com A nem com V. O deslocamento do ponto P sobre a altura [VA] vai gerando sucessivos trapézios de base maior [RS] e altura a, em metros, igual à distância de A a P, como se ilustra na figura 2. Seja f a função que dá a área do trapézio em função da altura a. 2.3.1. Justifique que o domínio da função f é o intervalo ]0, 10[ e

mostre que a área de um trapézio de altura a é dada pela expressão 2( ) 0,6 12f a a= − +

O

R S

U T

V z

y

x A

P

Figura 2

a .

2.3.2. Determine, sem recorrer à calculadora, os valores de a para os quais a área do trapézio é superior a 35 m2.

2.3.3. Considere agora que a função f está definida em IR através da mesma expressão analítica. Explique como pode obter o gráfico dessa função a partir do gráfico da função definida por . 20,6y x= −



Formulário

Áreas de figuras planas Áreas de superfícies

Losango: 2

menordiagonalmaiordiagonal × Área lateral de um cone: grπ

r – raio da base; g - geratriz

Trapézio: alturamenorbasemaiorbase×

+2

Área de uma superfície esférica: 24 rπ

r – raio Polígono regular: apótematrosemiperíme ×

Volumes

Pirâmide: AlturabasedaÁrea ××31

Cone: AlturabasedaÁrea ××31

Esfera: 3

34 rπ (r – raio da esfera)

Cotações

Grupo I ............................................................................................................................. 36

Cada resposta certa .......................................................................................... 9 Cada resposta errada ....................................................................................... 0 Cada resposta não respondida ou nula ............................................................ 0

Grupo II ............................................................................................................................ 164

1. ...................................................................................................................... 78 1.1. ......................................................................................................................... 48

1.1.1. .............................................................................................................. 16

1.1.2. .............................................................................................................. 22

1.1.3. .............................................................................................................. 10

1.2. ......................................................................................................................... 18 1.3. ......................................................................................................................... 12

2. ...................................................................................................................... 86 2.1. ......................................................................................................................... 10 2.2. ......................................................................................................................... 18 2.3. ......................................................................................................................... 58

2.3.1. .............................................................................................................. 25

2.3.2. .............................................................................................................. 17

2.3.3. .............................................................................................................. 16 Total ________________________________________________________________ 200

Boa Sorte


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