Escola Secundária c/3º CEB José Macedo Fragateiro

Curso Profissional de Nível Secundário

Componente Técnica

Disciplina de

Sistemas Digitais e Arquitectura de Computadores

2009/2010

Módulo 2: Álgebra e Lógica Booleana

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Álgebra Booleana

Na matemática e na ciência da computação, as álgebras booleanas são estruturas algébricas1 que "capturam a essência" das operações lógicas E, OU e NÃO, bem como das operações da teoria de conjuntos soma, produto e complemento.

Receberam o nome de George Boole, matemático inglês, que foi o primeiro a defini-las como parte de um sistema de lógica em meados do século XIX. Mais especificamente, a álgebra booleana foi uma tentativa de utilizar técnicas algébricas para lidar com expressões no cálculo proposicional2. Hoje, as álgebras booleanas têm muitas aplicações na electrónica. Foram pela primeira vez aplicadas a interruptores por Claude Shannon, no século XX.

Os operadores da álgebra booleana podem ser representados de várias formas. É frequente serem simplesmente escritos como E, OU ou NÃO (são mais comuns os seus equivalentes em inglês: AND, OR e NOT). Na descrição de circuitos também podem ser utilizados NAND (NOT AND), NOR (NOT OR) e XOR (OR exclusivo). Os matemáticos usam com frequência + para OU e × para E (visto que sob alguns aspectos estas operações são análogas à adição e multiplicação noutras estruturas algébricas) e representam NÃO com uma linha traçada sobre a expressão que está a ser negada. Tabelas de verdade Muitos circuitos têm mais do que uma entrada e apenas uma saída. A tabela de verdade mostra como a saída do circuito varia com as diversas combinações lógicas dos níveis nas entradas. As possíveis combinações de entradas são listadas do lado esquerdo e o correspondente valor lógico surgirá à direita. Operação OR As duas variáveis são representadas pelas letras A e B . Quando se combinam A e B através da operação OR, o resultado pode expressar-se por:

BAF += Podemos referir que:

O resultado de uma operação OR é 1 se uma ou mais das variáveis de entrada for 1.

Operação AND As duas variáveis são combinadas através da multiplicação AND, o resultado pode expressar-se por:

BAQ •=

Podemos referir que:

O resultado de uma operação AND será 1 se e só se todas as entradas forem 1. Nos restantes casos será 0.

1 Uma estrutura algébrica consiste num conjunto associado a uma ou mais operações sobre o conjunto que satisfazem certos axiomas. 2 Trata-se de um método que trata com apenas dois valores, verdadeiro ou falso com um retorno para tal obrigatório.

A B BAF +=0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

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Operação NOT Trata-se de uma operação com uma única variável de entrada. Assim se a sua entrada for A a respectiva saída será:

AQ =

Lê-se: “Q igual a não A .”, “Q igual ao inverso de A .” Ou “Q igual ao complemento

de A ”.

Análise algébrica de circuitos lógicos Qualquer circuito lógico por mais complexo que seja poderá ser realizado com as operações OR, AND e NOT. Assim e considerando o simples exemplo da figura seguinte, facilmente obtemos a expressão de Boole de saída.

Poderá haver casos em que surja uma certa confusão sobre que operações se devem realizar primeiro. Nestes casos devem ser usados parêntesis.

Sempre que surjam inversores no circuito lógico, a expressão da saída será idêntica à

da entrada, acrescida de uma barra sobre ela.

A B BAQ •=0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

A AQ =

0 1 1 0

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Exercícios

1. Desenha o circuito lógico correspondente a cada uma das expressões lógicas seguintes.

a. CBAF ⋅⋅= b. CBAQ ++=

c. EDCBAR +•+⋅=

2. Indica a equação lógica correspondente ao circuito seguinte:

3. Dadas as expressões lógicas apresente o circuito lógico e tabela de verdade.

a. CBAF •+= )(

b. CBAQ •+= )(

c. CAR •=

d. BAZ +=

Operação NAND Consiste na combinação de uma operação AND com uma operação NOT. A expressão de saída será:

ABQ =

Operação NOR Consiste na combinação de uma operação OR com uma operação NOT. A expressão de saída será:

BAQ +=

A B BAQ •=0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B BAQ +=0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0

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Exercícios

1. Obtenha os diagramas das expressões:

a. BACBAS •+••=

b. BCBAF +•+= c. CBBAQ •+•=

Operação Exclusivo-OR O circuito lógico que realiza esta função é composto por algumas portas já estudadas. Esta operação é representada pelo símbolo ⊕ , realizada com apenas duas entradas. A expressão de saída será:

BABABAQ ⊕=•+•= A saída é igual a 1 desde que as entradas sejam diferentes.

Operação Exclusivo-NOT-OR A expressão de saída será:

BABABAQ ⊕=•+•=

A saída é igual a 1 desde que as entradas sejam iguais.

Exercício

1. Indica a equação lógica correspondente ao circuito seguinte:

A B BAQ ⊕=0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0

A B BAQ ⊕=0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

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Exercícios

1. Desenhe o circuito lógico correspondente à seguinte equação: ZYXW •+=

2. Quais as equações correspondentes aos circuitos lógicos seguintes:

a.

b.

c.

d.

e.

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f.

g.

h.

i.

j.

k.

3. Apresenta as tabelas de verdade correspondentes aos circuitos anteriores (excepto da alínea j).

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4. Desenha o circuito lógico das seguintes funções, utilizando apenas portas AND, OR e NOT.

a. )( DCABF +=

b. DCBEDCBAF +++= )(

c. )( DCBAF ++=

d. CBAF +=

e. )( BCABF +=

5. Mostre que :

a. pode ser implementado com uma porta NOR e uma porta NAND.

b. pode ser implementado com portas NAND.

6. Determine as expressões das funções lógicas representadas no diagrama seguinte:

7. Determine a expressão da função lógica representada no diagrama seguinte: