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ESCOLA POLITÉCNICA DA USP DEPTO. DE ENGENHARIA MECÂNICA

SISEA – LAB. DE SISTEMAS ENERGÉTICOS ALTERNATIVOS www.usp.br/sisea

PPMMEE –– 33336611 PPrroocceessssooss ddee TTrraannssffeerrêênncciiaa ddee CCaalloorr

Prof. Dr. José R Simões Moreira

2o semestre/2016 versão 1.5

primeira versão: 2005

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor

____________________________ http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016

2

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE

Este trabalho perfaz as Notas de Aula da disciplina de PME 3361 - Processos de Transferência de Calor (antiga PME 2361) ministrada aos alunos do 3º ano do curso de Engenharia Mecânica da Escola Politécnica da USP. O conteúdo aqui apresentado trata de um resumo dos assuntos mais relevantes do livro texto “Fundamentos de Transferência de Calor e Massa” de Incropera e Dewitt. Também foram utilizados outros livros-texto sobre o assunto para um ou outro tópico de interesse, como é o caso do “Transferência de Calor” de Holman. O objetivo deste material é servir como um roteiro de estudo, já que tem um estilo quase topical e ilustrativo. De forma nenhuma substitui um livro texto, o qual é mais completo e deve ser consultado e estudado.



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Prof. José R. Simões Moreira Currículo Lattes: http://lattes.cnpq.br/2457667975987644

Breve Biografia

Graduado em Engenharia Mecânica pela Escola Politécnica da USP (1983), Mestre em Engenharia Mecânica pela mesma instituição (1989), Doutor em Engenharia Mecânica - Rensselaer Polytechnic Institute (1994) e Pós-Doutorado em Engenharia Mecânica na Universidade de Illinois em Urbana-Champaign (1999). Atualmente é Professor Associado da Escola Politécnica da USP, professor do programa de pós-graduação do Instituto de Energia e Meio Ambiente (IEE-USP), professor de pós-graduação do programa de pós-graduação em Engenharia Mecânica da EPUSP, pesquisador do CNPq, consultor ad hoc da CAPES, CNPq, FAPESP, entre outros, Foi secretário de comitê técnico da ABCM, Avaliador in loco do Ministério da Educação. Tem experiência na área de Engenharia Térmica, atuando principalmente nos seguintes temas: mudança de fase líquido-vapor, uso e processamento de gás natural, refrigeração por absorção, tubos de vórtices, sensores bifásicos, energia solar, ciclos termoquímicos e sistemas alternativos de transformação da energia. Tem atuado como revisor técnico de vários congressos, simpósios e revistas científicas nacionais e internacionais. MInistra(ou) cursos de Termodinâmica, Transferência de Calor, Escoamento Compressível, Transitórios em Sistemas Termofluidos e Sistemas de Cogeração, Refrigeração e Uso da Energia e Máquinas e Processos de Conversão de Energia. Coordenou cursos de especialização e extensão na área de Refrigeração e Ar Condicionado, Cogeração e Refrigeração com Uso de Gás Natural, termelétricas, bem como vários cursos do PROMINP. Atualmente coordena um curso de especialização intitulado Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética por meio do PECE da Poli desde 2011 em sua décima segunda edição. Tem sido professor de cursos de extensão universitária para profissionais da área de termelétricas, válvulas e tubulações industriais, ar condicionado, tecnologia metroferroviária e energia. Tem participado de projetos de pesquisa de agências governamentais e empresas, destacando: Fapesp, Finep, Cnpq, Eletropaulo, Ipiranga, Vale, Comgas, Petrobras, Ultragaz e Fapesp/BG-Shell. Foi agraciado em 2006 com a medalha ´Amigo da Marinha`. Foi professor visitante na UFPB em 2000 - João Pessoa e na UNI - Universitat Nacional de Ingenieria em 2002 (Lima - Peru). Foi cientista visitante em Setembro/2007 na Ecole Polytechnique Federale de Lausanne (Suiça) dentro do programa ERCOFTAC - ´European Research Community On Flow, Turbulence And Combustion`. Participou do Projeto ARCUS na área de bifásico em colaboração com a França. Foi professor visitante no INSA - Institut National des Sciences Appliquées em Lyon (França) em junho e julho de 2009. Tem desenvolvido projetos de cunho tecnológico com apoio da indústria (Comgas,Eletropaulo, Ipiranga, Petrobras e Vale). Possui uma patente com aplicação na área automobilística. É autor de mais de 100 artigos técnico-científicos, além de ser autor dos livros "Fundamentos e Aplicações da Psicrometria" (1999) e “Energias Renováveis, Geração Distribuída e Eficiência Energética (2016) e autor de um capítulo do livro "Thermal Power Plant Performance Analysis" (2012). Já orientou mais de 20 mestres e doutores, além de cerca de 50 trabalhos de conclusão de curso de graduação e diversas monografias de cursos de especialização e de extensão, bem como trabalhos de iniciação científica, totalizando um número superior a 90 trabalhos. Possui mais de 100 publicações, incluindo periódicos tecnico-científicos nacionais e internacionais. Finalmente, coordena o laboratório e grupo de pesquisa da EPUSP de nome SISEA - Lab. de Sistemas Energéticos Alternativos.



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AULA 1 - APRESENTAÇÃO 1.1. INTRODUÇÃO Na EPUSP, o curso de Processos de Transferência de Calor sucede o curso de Termodinâmica clássica no 3º ano de Engenharia Mecânica. Assim, surge de imediato a seguinte dúvida entre os alunos: Qual a diferença entre “Termo” e “Transcal”? ou “há diferença entre elas”? Para satisfazer à essa dúvida, vamos considerar dois exemplos ilustrativos das áreas de aplicação de cada disciplina. Para isso, vamos recordar um pouco das premissas da Termodinâmica. A Termodinâmica lida com estados de equilíbrio térmico, mecânico e químico, e é baseada em três leis fundamentais:

- Lei Zero (“equilíbrio de temperaturas” – permite a medida de temperatura e o estabelecimento de uma escala de temperatura)

- Primeira Lei (“conservação de energia” – energia se conserva) - Segunda Lei (“direção em que os processos ocorrem e limites de

conversão de uma forma de energia em outra”) Dois exemplos que permitem distinguir as duas disciplinas: (a) Equilíbrio térmico – frasco na geladeira Considere um frasco fora da geladeira à temperatura ambiente. Depois, o mesmo é colocado dentro da geladeira, como ilustrado. Claro que, inicialmente, fG TT

inicial final As seguintes análises são pertinentes, cada qual, no âmbito de cada disciplina: Termodinâmica: TmcUQT - fornece o calor total necessário a ser transferido do frasco para resfriá-lo baseado na sua massa, diferença de temperaturas e calor específico médio – APENAS ISTO!

frasco

ambientef TT Gf TT

t



5

Transferência de calor: responde outras questões importantes, tais como: quanto tempo t levará para que o equilíbrio térmico do frasco com seu novo ambiente (gabinete da geladeira), ou seja, para que Tf = TG seja alcançado? É possível reduzir (ou aumentar) esse tempo?

Assim, a Termodinâmica não informa nada a respeito do intervalo de tempo t para que o estado de equilíbrio da temperatura do frasco ( fT ) com a da geladeira ( GT ) seja

atingido, embora nos informe quanto de calor seja necessário remover do frasco para que esse novo equilíbrio térmico ocorra. Por outro lado a disciplina de Transferência de Calor vai permitir estimar o tempo t , bem como definir quais parâmetros podemos interferir para que esse tempo seja aumentado ou diminuído, segundo nosso interesse. De uma forma geral, toda vez que houver gradientes ou diferenças finitas de temperatura ocorrerá também uma transferência de calor. A transferência de calor pode se dar no interior de um corpo ou sistema ou na interface da superfície deste corpo e um meio fluido.

(b) Outro exemplo: operação de um ciclo de compressão a vapor

TERMIDINÂMICA: 1ª Lei: cec qqw . Permite conhecer ou estabelecer o trabalho

e os fluxos de calor envolvidos, mas não permite dimensionar os equipamentos (tamanho e diâmetro das serpentinas do condensador e do evaporador, por exemplo), apenas lida com as formas de energia envolvidas e o desempenho do equipamento, como o COP:

c

e

w

qCOP

TRANSFERÊNCIA DE CALOR: permite dimensionar os equipamentos térmicos de transferência de calor. Por exemplo, responde às seguintes perguntas: - Qual o tamanho do evaporador / condensador? - Qual o diâmetro e o comprimento dos tubos? - Como atingir maior / menor troca de calor? - Outras questões semelhantes.

cw

cq

eq

compressor válvula

condensador

evaporador



6

Problema-chave da transferência de calor: o conhecimento do fluxo de calor. O conhecimento dos mecanismos de transferência de calor permite: - Aumentar o fluxo de calor: projeto de condensadores, evaporadores, caldeiras, etc.; - Diminuir o fluxo de calor: Evitar ou diminuir as perdas durante o “transporte” de frio ou calor como, por exemplo, tubulações de vapor, tubulações de água “gelada” de circuitos de refrigeração; - Controle de temperatura: motores de combustão interna, pás de turbinas, aquecedores, etc. 1.2 MECANISMOS DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR A transferência de calor ocorre de três formas, quais sejam: condução, convecção e radiação térmica. Abaixo se descreve cada um dos mecanismos.

(a) Condução de calor - Gases, líquidos – transferência de calor dominante ocorre da região de alta temperatura para a de baixa temperatura pelo choque de partículas mais energéticas para as menos energéticas. - Sólidos – energia é transferência por vibração da rede (menos efetivo) e, também, por elétrons livres (mais efetivo), no caso de materiais bons condutores elétricos. Geralmente, bons condutores elétricos são bons condutores de calor e vice-versa. E isolantes elétricos são também isolantes térmicos (em geral). A condução, de calor é regida pela lei de Fourier (1822)

dx

dTAq

x

onde: A : área perpendicular ao fluxo de calor xq

T : temperatura

2T1T . .

x

sólido

xq



7

A constante de proporcionalidade é a condutividade ou condutibilidade térmica do material, k, ou seja:

dx

dTkAqx

As unidades no SI das grandezas envolvidas são:

[x

q ] = W ,

[ A ] = 2m , [T ] = K ou Co , [ x ] = m .

assim, as unidades de k são: [ k ] = Cm

Wo

ou Km

W

A condutividade térmica k é uma propriedade de transporte do material. Geralmente, os valores da condutividade de muitos materiais encontram-se na forma de tabela na seção de apêndices dos livros-texto. Necessidade do valor de (-) na expressão Dada a seguinte distribuição de temperatura: Para 12 TT

T2

T1

T

x

T

xx1 x2

0xq (pois o fluxo de calor flui da região de maior para a de menor temperatura. Está,

portanto, fluindo em sentido contrário a orientação de x)

Além disso, do esquema; 00

0

x

T

x

T, daí tem-se que o gradiente também será

positivo, isto é:



8

0dx

dT mas, como 0k (sempre), e 0A (sempre), concluí-se que,

então, é preciso inserir o sinal negativo (-) na expressão da condução de calor (Lei de Fourier) para manter a convenção de que 0xq

Se as temperaturas forem invertidas, isto é, 21 TT , conforme próximo esquema, a equação da condução também exige que o sinal de (-) seja usado (verifique!!)

De forma que a Lei da Condução de Calor é: Lei de Fourier (1822)

(b) Convecção de Calor A convecção de calor é baseada na Lei de resfriamento de Newton (1701)

)( TTAq S

Onde a proporcionalidade é dada pelo coeficiente de transferência de calor por

convecção, h, por vezes também chamado de coeficiente de película. De forma que:

dx

dTkAq

x

)( TThAq S



9

onde: A : Área de troca de calor;

ST : Temperatura da superfície;

T : Temperatura do fluido ao longe. - O problema central da convecção é a determinação do valor de h que depende de muitos fatores, entre eles: geometria de contato fluido-superfície (área da superfície, sua rugosidade e sua geometria), propriedades termodinâmicas e de transportes do fluido, temperaturas envolvidas, velocidades. Esses são alguns dos fatores que interferem no seu valor. (c) Radiação Térmica A radiação térmica é a terceira forma de transferência de calor e é regida pela lei de Stefan – Boltzmann. Sendo que Stefan a obteve de forma empírica (1879) – e Boltzmann, de forma teórica (1884). Corpo negro – irradiador perfeito de radiação térmica

(para um corpo negro) constante de Stefan – Boltzmann (5,669x10-8 W/m2 K4)

Corpos reais (cinzentos) 4ATq , onde é a emissividade da superfície que é sempre menor que a unidade.

Mecanismo físico: Transporte de energia térmica na forma de ondas eletromagnéticas

ou fótons, dependendo do modelo físico adotado. Não necessita de meio físico para se propagar. Graças a essa forma de transferência de calor é que existe vida na Terra devido à energia na forma de calor da irradiação solar que atinge nosso planeta.

4ATq


____________________________

http://www.usp.br/sisea/- © José R. Simões Moreira – atualização Agosto/2016

10

AULA 2 – CONDUÇÃO DE CALOR

CONDUÇÃO DE CALOR

Condutibilidade ou Condutividade Térmica, k

Da Lei de Fourier da condução de calor, tem-se que o fluxo de calor, q, é diretamente

proporcional ao gradiente de temperaturas, de acordo com a seguinte expressão:

x

Tkq

, onde A é a área perpendicular à direção do fluxo de calor e k é a

condutividade térmica do material.

As unidades no SI da condutividade térmica, k, do material, são:

x

TA

qk

m

Cm

Wk

o2

Cm

Wk

o ou

Km

W

.

Sendo:

k: propriedade (de transporte) do material que pode ser facilmente determinada de forma

experimental. Valores tabelados de diversos materiais se encontram na seção de

apêndice do livro-texto.

Exemplo de experimento laboratorial para obtenção de k

isolante

x

A

Resistência

elétrica

T1 T2 T3 T4 T5 T6 T7

i

Pontos de medição de

temperatura

q

A


____________________________


11

No experimento indicado, uma corrente elétrica é fornecida à resistência elétrica

enrolada em torno da haste do bastão. O calor gerado por efeito joule vai ser conduzido

dentro da haste para fora do bastão (lado direito). Mediante a instalação de sensores de

temperatura (termopares, por ex.), pode-se levantar o perfil da distribuição de

temperaturas como aquele indicado no gráfico acima. Estritamente falando, esse perfil

temperatura de é linear, como vai se ver adiante. Por outro lado, o fluxo de calor

fornecido é a própria potência elétrica dissipada, ou seja, IUIRq 2 . Sendo a

seção transversal A conhecida, então, da lei de Fourier, determina-se a condutividade

térmica do material da haste, k. Neste caso,

x

TA

qk

.

Um aspecto importante da condução de calor é que o mecanismo da condução de calor é

diferente dependendo do estado físico e da natureza do material. Abaixo, indicam-se os

mecanismos físicos de transporte de acordo com o estado físico.

Gases

O choque molecular permite a troca de energia cinética das moléculas mais

energéticas para as menos energéticas. A energia cinética está relacionada com a

temperatura absoluta do gás. Quanto maior a temperatura, maior o movimento

molecular, maior o número de choques e, portanto, mais rapidamente a energia térmica

flui. Pode-se mostrar que.

Tk

Para alguns gases, a pressão moderada, k é só função de T. Assim, os dados

tabelados para uma dada temperatura e pressão podem ser usados para outra pressão,

desde que seja à mesma temperatura. Isso não é valido próximo do ponto critico.

Líquidos

Qualitativamente o mecanismo físico de transporte de calor por condução nos

líquidos é o mesmo que o dos gases. Entretanto, a situação é consideravelmente mais

complexa devido à menor mobilidade das moléculas.


____________________________


12

Sólidos

Duas maneiras básicas regem a transferência de calor por condução em sólidos:

vibração da rede cristalina e transporte por elétrons livres. O segundo modo é o mais

efetivo e é o preponderante em materiais metálicos. Isto explica porque, em geral, bons

condutores de eletricidade também são bons condutores de calor. A transferência de

calor em isolantes se dá, por meio da vibração da rede cristalina, que é menos eficiente.

O diagrama a seguir ilustra qualitativamente as ordens de grandeza da condutividade

térmica dos materiais. Nota-se que, em geral, a condutividade aumenta na sequência de

gases, líquidos e sólidos e que os metais puros são os de maior condutividade térmica.

EQUAÇÃO GERAL DA CONDUÇÃO DE CALOR EM COORDENADAS CARTESIANAS

Balanço de energia em um

volume de controle elementar


____________________________


13

BALANÇO DE ENERGIA (1ª LEI)

Fluxo de Taxa de Taxa temporal Fluxo de

calor que calor de variação calor que

entra no + gerada = da energia + deixa o

V.C. no V.C. Interna no V.C. V.C.

(I) (II) (III) (IV)

Sejam os termos:

(I) Fluxo de calor que entra no V.C.

Direção x

x

TdAk

x

Tdzdykq xxx

-

Direção y

y

Tdzdxkq yy

y

Tdzdxkq yy Direção z y

Tdydxkq zz

(II) Taxa de calor gerado

dz q '''

G dydxEG

onde: '''

gq = Taxa de calor gerado na unidade de volume. 3mW

(III) Taxa temporal de variação da energia interna

t

Tcdzdydx

t

um

t

UEar

onde: c = calor específico; m = massa elementar do V.C. e a densidade. CkgkJ o/

(IV) Fluxo de calor que deixa o V.C. – expansão em serie de Taylor:

Direção x: xdx

qqq xxdxx )(0 2dxdx

x

qqq x

xdxx

Direção y:

dy

y

qqq

y

ydyy

z

Tdydxkq zz


____________________________


14

Direção z:

dzz

qqq z

zdzz

Então, juntando os termos (I) + (II) = (III) + (IV), vem:

dzz

qqdy

y

qqdx

x

qq

t

Tcdxdydzdxdydzqqqq z

z

y

y

x

xGzyx

'''

+ ordem superior

simplificando os termos zyx qqq e , , vem:

, ''' dzz

qdy

y

qdx

x

q

t

Tcdxdydzdxdydzq zyx

G

e, substituindo a Lei de Fourier para os termos de fluxo de calor,

dxdydzkz

dxdydzky

dxdydzkxt

Tcdxdydzdxdydzq zyxG

z

T

y

T

x

T '''

Eliminando o volume de controle elementar dxdydz, temos finalmente:

Essa é a equação geral da condução de calor. Não existe uma solução geral analítica

para a mesma, porque se trata de um problema que depende das condições inicial e de

contorno. Por isso, ela é geralmente resolvida para diversos casos que dependem da

geometria do problema, do tipo (regime permanente) que perfazem as condições de

contorno e inicial. Evidentemente, procura-se uma solução do tipo: ),,,( tzyxTT . A

seguir são apresentados alguns casos básicos.

Casos:

A) Condutividade térmica uniforme (material isotrópico) e constante (independe de T)

kkkk zyx

t

T

k

q

z

T

y

T

x

T'''

g

T

1

2

2

2

2

2

2

2

onde,

t

T

z

T

y

T

x

T "'

cqkz

ky

kx

Gzyx


____________________________


15

=c

k

é conhecida como difusibilidade ou difusividade térmica, cuja unidade no SI é:

s

m

s

s

J

mW

Kkg

J

m

kg

Km

W

c

k ²²

3

Essa equação ainda pode ser escrita em notação mais sintética da seguinte forma:

onde:

2

2

2

2

2

22

zyx

é o operador matemático chamado de Laplaciano no

sistema cartesiano de coordenadas.

Esta última forma de escrever a equação da condução de calor é preferível, pois,

embora ela tenha sido deduzida acima para o sistema cartesiano de coordenadas, a

formulação simbólica do laplaciano independe do sistema de coordenadas adotado.

Caso haja interesse em usar outros sistemas de coordenadas, basta substituir o

Laplaciano do sistema de interesse, como exemplificado abaixo,

- Cilíndrico: 2

2

2

2

2

2 11

zrrr

rr

- Esférico: 2

2

222

2

2

2 sen

1 sen

sen

11

rrr

rrr

B) Sem geração de calor e k uniforme e constante, 0''' Gq

(Eq. de Fourier)

C) Regime permanente (ou estacionário) e k uniforme e constante, 0

t

T

(Eq. de Poisson)

D) Regime permanente e k constante e uniforme

(Eq. de Laplace)

t

T

k

qT G

1

'''

2

12

t

TT

0'''

2 k

qT G

02 T


____________________________


16

AULA 3 – CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO – PLACA OU PAREDE PLANA

O caso mais simples que se pode imaginar de transferência de calor por condução é o

caso da parede ou placa plana, em regime permanente, sem geração interna de calor e

propriedades de transporte (condutividade térmica) constantes. Este é o caso ilustrado

na figura abaixo em que uma parede de espessura L, tendo a face esquerda mantida a

uma temperatura T1, enquanto que a face à direita é mantida à temperatura T2. Poderia se

imaginar que se trata, por exemplo, de uma parede que separa dois ambientes de

temperaturas distintas. Como se verá, a distribuição de temperaturas T(x) dentro da

parede é linear, como indicado na figura, com T1 > T2.

Para resolver esse caso, vamos partir da equação geral da condução de calor, deduzida

na aula anterior, isto é:

t

T

k

qT G

1

'''

2

Introduzindo as simplificações do problema, vem:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional (1D): 1

2

22

x

Assim, com essas condições, vem que 02

2

x

Td, e a solução procurada é do tipo T(x).

Para resolver essa equação considere a seguinte mudança de variáveis: dx

dT

Logo, substituindo na equação, vem que 0dx

d


____________________________


17

Integrando por separação de variáveis vem:

1Cd , ou seja: 1C

Mas, como foi definido dx

dT 1C

dx

dT

Integrando a equação mais uma vez, vem:

21)( CxCxT Que é a equação de uma reta, como já antecipado.

Para se obter as constantes C1 e C2, deve-se aplicar as condições de contorno que, nesse

exemplo, são dadas pelas temperaturas superficiais das duas faces. Em termos

matemáticos isso quer dizer que

(A) em x = 0 1TT

(B) e em x = L 2TT

De (A): 12 TC

e de (B): 112 TLCT L

TTC 12

1

Assim,

Para efeito de ilustração, suponha que 21 TT , como mostrado na figura abaixo.

Cálculo do fluxo de calor transferido através da

parede

.

Para isso, deve-se usar a Lei de Fourier, dada por:

dx

dTkq

e, substituindo a distribuição de temperaturas,

vem:

L

TTkT

L

xTT

dx

dkq 12

112

, ou,

em termos de fluxo de calor por unidade de área,

temos: mW 212''

L

TTk

qq

Esquecendo o sinal de (-), vem

112 )()( TL

xTTxT

L

Tkq

''


____________________________


18

Conhecida a equação que rege do fluxo de calor através da parede, podemos: Aumentar o fluxo de calor q”: . Com o uso de material bom condutor de calor, isto é com k

. Ou, pela diminuição da espessura da parede, isto é L

Ou diminuir o fluxo de calor q”: . Com o uso de material isolante térmico k

. Ou, pelo aumento da espessura da parede, isto é L

CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE SEM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR – TUBO CILÍNDRICO.

Este é o caso equivalente, em coordenadas cilíndricas, ao da condução de calor

unidimensional, em regime permanente, sem geração de calor e condutividade térmica

constante estudado acima para uma parede ou placa plana. A diferença é que sua

aplicação é para tubos cilíndricos.

A equação geral é da forma t

T

k

qT G

1

'''

2

Neste caso, a geometria do problema indica que se deve resolver o problema em

coordenadas cilíndricas. Para isso, basta usar o Laplaciano correspondente, isto é:

t

T

k

q

z

TT

rr

Tr

rr

G

111 '''

2

2

2

2

2

Introduzindo as simplificações:

i. Não há geração interna de calor: 0 Gq

ii. Regime permanente: 0

t

T

iii. Unidimensional (1D): que é válido para um tubo muito longo, ou

seja, T não depende de z, logo 02

2

z

T

iv. Há uma simetria radial, T não depende de , isto é: 02

2

T

As simplificações (iii) e (iv) implicam que se trata de um problema unidimensional na

direção radial, r. A aplicação dessas condições resulta em:


____________________________


19

0

dr

dTr

dr

d, onde a solução procurada é do tipo )(rTT

As condições de contorno para a ilustração indicada acima são:

A superfície interna é mantida a uma temperatura constante, isto é: ii TTrr

A superfície externa é também mantida a uma outra temperatura constante, isto é:

ee TTrr

Solução:

1a Integração – separe as variáreis e integra uma vez, para resultar em:

10 Cdrdrdr

dTrd 1C

dr

dTr

Integrando pela 2a vez, após separação de variáveis, vem:

21 Cr

drCdT

Portanto, a distribuição de temperaturas no caso do tubo cilíndrico é logarítmica e não

linear como no caso da parede plana.

Determinação de 1C e 2C por meio da aplicação das condições de contorno:

(A) ii TTrr 21 )ln( CrCT ii

(B) ee TTrr 21 ) ln( CrCT ee

Fazendo-se (A) – (B), temos que e

i1

r

rln CTT ei , ou

e

i1

r

rln

ei TTC

Finalmente, na eq. da distribuição de temperaturas:

Distribuição de temperatura, supondo ei TT .

21 )ln( CrCrT

e

ei TTT

rT

e

e

i r

rln

r

rln


____________________________


20

Te

Ti

re ri raio

Lei logarítmica T

O fluxo de calor é obtido por meio da Lei de Fourier, isto é, dr

dTkq

Atenção a esse ponto, a área A é a área perpendicular ao fluxo de calor e não a área da

seção transversal. Portanto, trata-se da área da “casquinha” cilíndrica ilustrada abaixo.

rLA 2 (casca cilíndrica), L é o comprimento do tubo

Substituindo a distribuição logarítmica de temperatura na equação de Fourier,

21 )ln()( CrCrT , vem:

])ln([2 21 CrCdr

drLkq

ou, efetuando a derivação, temos:

r

kLrCq1

2 1

ou, ainda: 12 kLCq

Substituindo, 1C :

e

i

r

rln

2 ie TTkLq

(W)

O fluxo de calor total q é constante através das superfícies cilíndricas!

Entretanto, o fluxo de calor por unidade de área ''q depende da posição radial

e

i

ie

r

r

TT

rL

kL

A

qq

ln

)(

2

2''

e

i

ie

r

r

TT

r

kq

ln

)('' 2

mW



21

AULA 4 – PAREDES PLANAS COMPOSTAS Condução unidimensional, regime permanente, sem geração de calor – paredes compostas.

Para resolver de forma rápida e simples este problema, note que o fluxo de calor q é o mesmo que atravessa todas as paredes. Assim, para cada parede pode-se escrever as seguintes equações:

- parede 1: 1

211

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

1

121

- parede 2: 2

322

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

2

232

- parede 3: 3

433

)(

L

TTAkq

Ak

qLTT

3

343

Assim, somando os termos _____________

de todas as paredes: Ak

LqTT

i

i 41

ou, simplesmente,

R

Tq

Onde, T refere-se à diferença total de temperaturas da duas faces externas e R é a

resistência térmica da parede composta, dada por Ak

LR

i

i

ANALOGIA ELÉTRICA Nota-se que existe uma analogia elétrica perfeita entre fenômenos elétricos e térmicos de condução de calor, fazendo a seguinte correspondência:

qi TU

TÉRMICOÔHMICORR



22

Por meio de analogia elétrica, configurações mais complexas (em série e paralelo) de paredes podem ser resolvidas.

Circuito elétrico equivalente

Fluxo de calor que é:

T

total

R

Tq

5//1 RRRRT

com

432//

1111

RRRR

Resistência térmica de contato Quando as superfícies de dois sólidos são colocadas em contato para formar uma parede composta, a região interfacial entre eles pode ter uma resistência térmica de contato, ��," , devido ao fato de que não existe uma contato “perfeito” entre as duas superfícies, como ilustrado abaixo, devido à rugosidade superficial. A transferência de calor se dará por condução nos pontos de contato dos picos das rugosidades e pela condução através do fluido que preenche o espaço entre as superfícies. Radiação térmica também pode estar presente.

q



23

A resistência térmica de contato é dada por ��," = � − ��"

Alguns valores de resistência térmica estão indicados na Tabela 3.2 do livro do Incropera, reproduzida a seguir.

CONDUÇÃO EM PLACA PLANA COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR Geração interna de calor pode resultar da conversão de uma forma de energia em calor. Exemplos de formas de energia convertidas em calor: 1. Geração de calor devido à conversão de energia elétrica em calor (efeito Joule)

2RIP (W) Onde: P : potência elétrica transformada em fluxo de calor por efeito Joule (W)

R : resistência ôhmica ( ) I : corrente elétrica (A)

Ainda, U : diferença de potencial elétrico (V)

UIP ou R

UP

2

Em termos volumétricos, '''Gq )/( 3mW ,

V

PqG '''

(W/m3), onde V : volume onde o

calor é gerado. 2. Geração de calor devido a uma reação química exotérmica )0( ''' Gq como, por

exemplo, o calor liberado durante a cura de resinas e concreto. Já, no caso de uma reação endotérmica, 0''' Gq .

3. Outras formas tais de geração de calor devido à absorção de radiação, nêutrons, etc...



24

Parede (placa) plana com geração de calor uniforme (resistência elétrica plana). Lb

T1

T2

2L

2b

i

Equação geral

t

T

k

qT G

1'''

2 , sendo que 0

t

T (regime permanente)

0'''

2 k

qT G )(xTT

Condições de contorno: (1) Lx 1TT (2) Lx 2TT

Solução

Seja a seguinte mudança de variável (apenas por conveniência): dx

dT ,

Então k

q

dx

d G'''

Integrando essa equação por partes, vem:

1

'''

Cdxk

qd G , mas como

1

'''

então , Cxk

q

dx

dT

dx

dT G



25

Integrando novamente: Obs.: Trata-se de uma distribuição parabólica de temperaturas.

Como no caso da resistência elétrica '''Gq (geração de calor) é positivo e,

claro, k também é positiva, a constante que multiplica o termo 2x é negativa parábola com a concavidade voltada para baixo. Por outro lado, se '''

Gq

for negativo, o que pode ocorrer com processos de curas de algumas resinas (processos endotérmicos), então a concavidade será voltada para cima.

Determinação das constantes 1C e 2C : Condições de contorno

(1) 21

2'''

1 2CLC

k

LqT G - temperatura da face esquerda conhecida

(2) 21

2'''

2 2CLC

k

LqT G - temperatura da face direita conhecida

Somando (1)+(2), vem:

2

2'''

21 2Ck

LqTT G

k

LqTTC G

22

2'''21

2

.

Substituindo em (1) ou (2), tem-se L

TTC

212

1

Então, a distribuição final de temperaturas é:

CASOS: (A) Suponha que as duas faces estejam à mesma

temperatura: STTT 21 . Daí, resulta que:

21

2'''

2)( CxC

k

xqxT G

22)(

2

)()( 21

12

22''' TT

L

xTT

k

xLqxT G

SG T

k

xLqxT

2

)()(

22'''



26

É uma distribuição simétrica de temperaturas. A máxima temperatura, nesse caso, ocorre no plano central, onde 0x (note a simetria do problema). Se for o caso pouco comum de uma reação endotérmica, ou '''

Gq < 0, a concavidade seria voltada para abaixo

e, no plano central, haveria a mínima temperatura.

Também poderia se chegar a essa expressão usando 0dx

dT

S

GCMÁX

Tk

LqTT

2

2'''

O fluxo de calor (lei de Fourier)

dx

dTkAq ou, o fluxo de calor por unidade de área,

dx

dTk

A

qq '' , substituindo a distribuição de temperaturas, vem:

S

'''G'' T

k

)xL(q

dx

dkq

2

22,

ou, simplesmente: No plano central (x = 0) o fluxo de calor é nulo devido à simetria do problema e das condições de contorno. Dessa forma, o plano central age como o caso de uma parede adiabática, 0'' q

(B) Nesse caso, suponha que a temperatura de uma das faces seja maior: Por exemplo,

21 TT , como ilustrado abaixo a seguir.

'''''Gxqq



27

Plano em que ocorre a máxima temperatura, máxT ( máxx ) Sabemos que o fluxo de calor é nulo em máxx :

0máxxdx

dTk ou

022

)()(2

2112

22'''

TT

L

xTTxL

k

q

dx

d G , que resulta em:

02

)( 12'''

L

TTx

k

qmáx

G

Cuja solução é: Substituindo-se o valor de xmáx na expressão da distribuição da temperatura, encontra-se o valor da máxima temperatura máxT . Tente fazer isso!

PENSE: Suponha que você é um engenheiro-perito e é chamado para dar um parecer

sobre um incêndio com suspeita de ter origem no sobreaquecimento do sistema elétrico.

Como você poderia, a partir de uma análise na fiação elétrica, inferir se houve ou não

sobreaquecimento à luz do assunto tratado nesta aula?

'''12

2

)(

G

máxLq

kTTx



28

AULA 5 - CONDUÇÃO DE CALOR EM CILINDROS COM GERAÇÃO INTERNA DE CALOR e COEFICIENTE

GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Nesta aula, vai se estudar o caso da geração interna de calor em cilindros maciços. Como exemplo de aplicação tem-se o calor gerado por efeito joule devido à passagem de corrente elétrica em fios elétricos, como indicado na figura ao lado. Partindo da equação geral da condução de calor:

t

T

k

qT

'''G

12

(Regime permanente)

Neste caso, é conveniente usar o Laplaciano em coordenadas cilíndricas, isto é:

2

2

2

2

22 11

z

TT

rr

Tr

rrT

Hipóteses adicionais

- simetria radial: 02

2

(não há influência da posição angular numa seção

transversal, pois há simetria radial)

- o tubo é muito longo: 02

2

z

(não há efeitos de borda na direção axial)

Logo, trata-se de uma distribuição de temperaturas unidimensional na direção radial, ou seja, )(rTT Assim, introduzindo essas simplificações na equação geral da condução, vem:

01

'''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Ou, integrando por partes:

1

'''

Crdrk

q

dr

dTrd G

, ou, ainda: 1

2'''

2C

k

rq

dr

dTr G

Integrando novamente por separação de variáveis:

2

1'''

2Cdr

r

Cr

k

qdT G

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G



29

*condições de contorno para obtenção das constantes C1 e C2: (1) STrrT )( 0 a temperatura da superfície TS é conhecida

(2) 00

rdr

dT simetria radial na linha central

Isso implica dizer que o fluxo de calor é nulo na linha central e, como decorrência,

também pode-se afirmar que a máxima temperatura máxT ocorre nessa linha.

Da segunda condição de contorno, vem que:

02

lim 1'''

0

r

C

k

rqG

r

Do que resulta em 01 C , para que a expressão permaneça sempre nula.

Da primeira condição de contorno.

2

2'''

4C

k

rqT G

S ou, k

rqTC G

S 4

20

'''

2

Finalmente, a equação da condução de calor fica:

É uma distribuição parabólica de temperatura (2º. grau) !

Sendo, SG

máx Tk

rqT

4

20

'''

SG Trrk

qT 22

0

'''

4



30

EXEMPLO DE APLICAÇÃO Considere um tubo cilíndrico longo revestido de isolamento térmico perfeito do lado externo. Sua superfície interna é mantida a uma temperatura constante igual a iT .

Considere, ainda, que ocorre geração de calor '''

Gq uniforme.

a) calcule a distribuição de temperaturas; b) determine o fluxo de calor total removido (internamente); c) determine a temperatura da superfície externa.

Solução: Hipóteses: as mesmas que as anteriores.

Eq. 01 '''

k

q

dr

dTr

dr

d

r

G

Condições de contorno: (1) ii TrrT )( (temperatura interna constante)

(2) 0erdr

dT (fluxo de calor nulo na superfície)

A solução geral, como já visto, é:

21

2'''

ln4

)( CrCk

rqrT G

Sendo, 1C e 2C saem das condições de contorno do problema específico:



31

i

ie

ieG Tr

r

r

rr

k

rqrT

ln2

4)(

2

222'''

k

rqC eG

2

2'''

1 ;

)ln(2

4

22'''

2 i

e

ieGi r

r

r

k

rqTC

Assim,

O fluxo de calor é:

dr

dTkAq

)()2( rTdr

drLkq

Após substituir a distribuição de temperaturas e efetuar da derivada, vem:

22'''ieG rrq

L

q (W/m)

A temperatura máxima é:

emáx TT

i

i

e

e

eieG

emáx Tr

r

r

rr

k

rqTT

ln2

4 2

222'''

OUTRO EXEMPLO DE APLICAÇÃO Num fio de aço inoxidável de 3,2mm de diâmetro e 30cm de comprimento é aplicada uma tensão de 10V. O fio está mantido em um meio que está a C

o95 e o coeficiente de transferência de calor vale CmkW

o2/10 . Calcule a temperatura no centro do fio. A resistividade do fio e de cm70 e sua

condutibilidade térmica vale CmW o/5,22



32

CTo

c 267

Solução:

Calor gerado por unidade de volume, isto é, a potência elétrica dissipada no volume.

R

URiP

22 ;

A

LR

m 81070

mL 3,0 , 26232

100425,84

)102,3(

4m

DA

2

6

8

106111,2100425,8

3,01070R

kWP 830,3106111,2

1002

3,0100425,8

1083,31083,36

33

LAV

PqG

3910587,1

m

WqG

hA

PTTTThAP PP )(

3,0)102,3(1010

1083,395 33

3

PT

CTo

P 222

k

rqTT oG

Pc 4

2

5,224

)106,1(10587,1222

239

cT



33

RESISTÊNCIA TÉRMICA – Várias Situações

- paredes planas

R

TTq 21

kA

LR

- circuito elétrico

- paredes compostas

- Circuito elétrico

Ainda,

onde

432//

1111

RRRR

5//1 RRRREQ

EQR

TTq 21



34

- Tubo cilíndrico

R

TTq ei ;

kL

rr

Ri

e

2

ln

- Tubo cilíndrico composto


ieq RR

Para dois tubos:

Lk

r

r

R1

1

2

1 2

ln

Lk

r

r

R2

2

3

2 2

ln

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1



35

Por indução, como deve ser a resistência térmica devido à convecção de calor?

Lei de convecção (Newton)

)( TThAq p e

hA

TTq

p

1

onde, hA

1 é a resistência térmica de convecção


Para o caso em que houver convecção em ambas as paredes:

- Convecção em tubo cilíndrico



36

Tabela-resumo de Resistências Térmicas

Circuito Elétrico

Fluxo de

Transferência

de calor

Resistências Térmicas

Parede plana

R

TTq 21

kA

LR

Parede plana com convecção

R

TTq 21

321 RRRR

AhkA

L

AhR

21

11

Paredes compostas

EQR

TTq 21

5//1 RRRREQ

432//

1111

RRRR

Tubo cilíndrico

R

TTq ei

kL

rr

Ri

e

2

ln

Tubo cilíndrico composto

EQ

ei

R

TTq

Lk

r

r

Ri

i

i

eq 2

ln 1

Convecção em tubo cilíndrico

EQ

ei

R

TTq

hAkL

rr

Ri

e

eq

1

2

ln



37

COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR U O coeficiente global de transferência de calor é definido por:

totalTUAq

Claramente, U está associado com a resistência térmica,

- parede plana

AhkA

L

AhR

21

11

TUAR

Tq

RUA

1 ou

RAU

1

Logo,

21

111

hk

L

h

U

- tubo cilíndrico

Há um problema associado com a área de referência. É preciso dizer se U se refere à área interna do tubo, iU , ou à área externa, eU . No entanto, os dois valores são

intercambiáveis mediante a seguinte expressão:

totaliitotalee TAUTAU

Logo, iiee AUAU



38

U referido à área externa:

e

rr

e

e

hkL

AU

i

e 1

2

ln1

U referido à área interna:

ee

irr

i

i

hA

A

kL

AU

i

e

2

ln

1

RAIO CRÍTICO DE ISOLAMENTO TÉRMICO As tubulações que transportam fluidos aquecidos (ou frios) devem ser isoladas do meio

ambiente a fim de restringir a perda (ou ganho) de calor do fluido, que implica em

custos e ineficiências. Aparentemente, alguém poderia supor que a instalação pura e

simples de camadas de isolantes térmicos seria suficiente. Entretanto, um estudo mais

pormenorizado mostrará a necessidade de se estabelecer um critério para realizar esta

operação.

Como visto, o fluxo de calor é

hLrkL

TTq

e

rr

i

i

e

2

1

2

ln

ou, hrk

TTLq

e

rr

i

i

e 1ln

)(2

Note que o raio externo que aparece no

denominador dessa expressão tem duas

contribuições: uma no termo de condução e a

outra no termo de convecção. De forma que, se

o raio externo do isolamento aumentar, ele

diminui uma das resistências térmicas (a de convecção), enquanto que a resistência

térmica de condução aumenta. Isto está ilustrado no gráfico acima e dá origem a um

ponto de maximização. Do cálculo, sabe-se que a máxima transferência de calor ocorre

quando a derivada é nula, isto é,



39

h

krcrit

2.

1

.

12

1ln

)(20

erhe

rk

hrk

TTL

dr

dq

e

rr

i

ei

e

Assim,

2

11

ee hrkr

critr é o chamado raio crítico de isolamento.

Se o raio crítico de isolamento for originalmente menor que h

k a transferência de calor

será aumentada pelo acréscimo de camadas de isolamento até a espessura dada pelo raio

crítico – conforme tendência do gráfico. Neste caso, ter-se-ia o efeito oposto ao

desejado de diminuir o fluxo de calor. Por outro lado, se originalmente a espessura de

isolamento for maior que a do raio crítico, adições sucessivas de camadas isolantes vão

de fato diminuir a perda de calor.

Para exemplificar, considere um valor do coeficiente de transferência de calor por

convecção de h = Cm

Wo27 (convecção natural). A tabela a seguir indica os raios críticos

de isolamento para alguns isolantes térmicos.

material

CmW

ok critr (mm)

Teflon 0,350 50,0 Papel 0,180 25,7 Couro 0,159 22,7

Borracha macia 0,130 18,6 Silicato de cálcio 0,055 7,9

Lã de vidro 0,038 5,4 Poliestireno expandido 0,027 3,9

Folhas de papel e alumínio de

vidro laminado 0,000017 0,0024

Notas de aula de PME 3361 – Processos de Transferência de Calor 40

____________________________


AULA 6 - ALETAS OU SUPERFÍCIES ESTENDIDAS

Considere uma superfície aquecida (resfriada) que se deseja trocar calor com um fluido.

Da lei de resfriamento de Newton, vem que o fluxo de calor trocado é dado por

TThAq s , onde h é o coeficiente de transferência de calor por convecção, A é a

área de troca de calor e Ts e T∞ são as temperaturas da superfície do fluido (ao longe).

Por uma simples análise, sabe-se que a transferência de calor pode ser melhorada, por

exemplo, aumentando-se a velocidade do fluido em relação à superfície. Com isso,

aumenta-se o valor do coeficiente de transferência de calor h e, por conseguinte, o

fluxo de calor trocado, como dado pela expressão de Newton. Porém, há um preço a

pagar e este preço é o fato que vai se exigir a utilização de equipamentos de maior porte

para movimentação do fluido, ou seja, maiores ventiladores (ar) ou bombas (líquidos).

Uma forma muito empregada de se aumentar a taxa de transferência de calor consiste

em aumentar a superfície de troca de calor com o emprego de aletas, como as ilustradas

abaixo.

Assim, o emprego das aletas permite uma melhora da transferência de calor pelo

aumento da área exposta ou de contato entre a superfície aquecida e o fluido.


____________________________


Alguns poucos exemplos de aplicação de aletas:

(1) camisa do cilindro de motores de combustão interna resfriados a ar, como os do

“velho” fusca e motores de motocicletas;

(2) carcaça de motores elétricos;

(3) condensadores e evaporadores, como os de aparelhos de ar condicionado;

(4) dissipadores de componentes eletrônicos e de cpus de computadores;

(5) orelhas de elefantes.

TIPOS DE ALETAS

A figura abaixo ilustra uma série de exemplos de aletas. Evidentemente, existem

centenas ou milhares de formas construtivas que estão, muitas das vezes, associadas ao

processo construtivo das mesmas (extrusão, soldagem, etc).

Figura 1– Diferentes tipos de superfícies aletadas, de acordo com Kreith e Bohn. (a)

aleta longitudinal de perfil retangular; (b) tubo cilíndrico com aletas de perfil

retangular; (c) aleta longitudinal de perfil trapezoidal; (d) aleta longitudinal de perfil

parabólico; (e) tubo cilíndrico equipado com aleta radial; (f) tubo cilíndrico equipado

com aleta radial com perfil cônico truncado; (g) pino cilíndrico; (h) pino cônico

truncado; (i) pino parabólico.


____________________________


EQUAÇÃO GERAL DA ALETA

Volume de controle

elementar, C

Hipóteses:

- regime permanente;

- temperatura uniforme na seção transversal;

- propriedades constantes.

Balanço de energia

convecçãopCVdo

saiquequecalordefluxo

III

conduçãopCVo

deixaquequecalordefluxo

II

conduçãopCVno

entraquecalordefluxo

I

/../../..

(I) dx

dTkAq xx

(II) )( 2dxodxdx

dqqq x

xdxx expansão em serie de Taylor

(III) )TT(hAq Lc

)( TThPdxqc

P : perímetro “molhado”, isto é, o perímetro da superfície externa (área lateral, AL) da

aleta que se encontra em contato com o fluido.

Substituindo-se as equações acima no balanço global de energia, vem:

dxTThPdxdxdx

dqqq x

xx )(

0)( TThPdx

dqx

Ou, substituindo a lei de Fourier da condução:

0)(

TThPdx

dTA

dx

dk


____________________________


mxmx ececx 21)(

Sendo dTdTT

0

k

hP

dx

dA

dx

d Esta é a equação geral da Aleta

)(x que é a distribuição de temperaturas ao longo da aleta;

)(xAA que depende da geometria da aleta (deve ser conhecida).

ALETA DE SEÇÃO TRANSVERSAL CONSTANTE: RETANGULAR

Do ponto de vista matemático, a equação de aleta mais simples de ser resolvida é a de

seção transversal constante como, por exemplo, uma aleta prismática de seção

transversal retangular ou circular. Assim, da equação geral com A = cte, vem:

02

2

2

md

d,

kA

hPm 2

A solução é do tipo: ,

Essa solução provém do polinômio característico, o qual possui duas raízes reais e

distintas (m e –m) . Veja a seção “ lembrete de cálculo” abaixo.

Determinação das constantes 1c e

2c vêm das condições de contorno:

a1 Condição de Contorno

TT

TTxpara

bb

b

)0(

)0(0

0

2

0

1

ececb

bcc 21


____________________________


LEMBRETE DE CÁLCULO

Solução geral de equação diferencial homogênea de a2 ordem e coeficientes constantes

02

2

cydx

dyb

dx

yd

Assume-se que nxey

Substituindo essa solução, vem

nxnxnx cebmeem 2

nxe

Daí, obtém-se o polinômio característico

02 cbnn

Caso 1: 1n e

2n reais e distintos

xnxn

ececy 21

21

Caso 2: 1n e

2n reais iguais

xnxn

xececy 11

21

Caso 3: conjugados complexos

qipn 1 ; qipn 2

)]()cos([ 21 qxsencqxcey px

Onde, 2

bp ;

2

4 2bcq

A outra relação entre as condições de contorno depende do tipo de aleta, conforme

os casos (a), (b) e (c), abaixo estudados:

(a) aleta muito longa Nesse caso, admite-se que a aleta é muito longa e sua

extremidade já atingiu a temperatura do fluido. Do ponto de

vista matemático uma aleta muito longa pode ser

simplificada como uma aleta de comprimento “infinito”, isto é:


____________________________


x

kA

hP

b

mx

b ex

ex )(

)(

0 ouTTx

Assim,

b

mxmx

xccecec 2121 0lim0

De forma que, a distribuição de temperaturas nesse caso é:

Ou, substituindo a definição de , vem:

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O fluxo de calor total transferido pela aleta pode

ser calculado por dois métodos:

(1) aletabasecondaleta qq . (o fluxo de calor total

transferido é igual ao fluxo de calor por condução na base da aleta)

(2) dxTThPqaleta )(0

(o fluxo de calor total transferido é a integral do

fluxo de calor convectivo ao longo de toda a superfície da aleta)

Usando o método (1), vem:

00

x

b

x

baletadx

dkA

dx

dTkAq

Mas, cteAAb

0

)(

x

mx

b

mx

baleta emkAedx

dkAq

kA

hPkAq baleta

hPkAq baleta ou )( TThPkAq baleta

x

kA

hP

bb

eTT

T)x(T)x(


____________________________


mLmL

mL

bee

ec 1

Pelo outro método (2):

dxhPqaleta

0

; cteP

dxehPq mx

baleta 0

bbmb

mx

bmx

baleta hPkAm

hPe

m

hP

m

ehPdxehPq

1limlimlim

00

ou, )( TThPkAq baleta o mesmo resultado anterior!

(b) caso em que a extremidade da aleta é adiabática

(finito) Nesse caso, admite-se que a transferência de calor na

extremidade da aleta é muito pequena. Portanto,

admite-se que é adiabático:

LxLx dx

d

dx

dT

0 (extremidade adiabática), ou 021 mxmx ececdx

d

De onde, se obtém, mLmL

mL

b

ee

ec

2

Mas como bcc 21 , então:

Logo, substituindo na equação, vem:

mx

c

mLmL

mLmx

c

mLmL

mL

b

eee

ee

ee

e

21

Ou

2/

2/)()(

mLmL

xLmxLm

b ee

ee

ou

mLcosh

)xL(mcosh

T)x(T

T)x(T)x(

bb


____________________________


)mL(senh

mkhmLcosh

)xL(msenhmk

h)xL(mcosh

T)x(T

T)x(T)x(

bb

)mL(senh

mkh)mLcosh(

)mL(conhmk

h)mL(senh)TT(hPkAq b

Lembrete de funções hiperbólicas:

FUNÇÃO DEFINIÇÃO DERIVADA senhx

2

xx ee

xcosh

xcosh

2

xx ee

senhx

tghx

x

senhx

cosh

xh2sec

O fluxo de calor total transferido pela aleta

O mesmo resultado do caso anterior

00 cosh

)(cosh

x

b

x

aletamL

mxL

dx

dkA

dx

dkAq

)()cosh(

)(m

mL

mLsenhkA b

)(mLtghmkA b

)(mLtghhPkAq b

(c) aleta finita com perda de calor por convecção na extremidade

Caso realista.

Condição de contorno na extremidade:

em

)( TThdx

dTkLx L

Lx

condução na extremidade = convecção

Distribuição de temperaturas

Fluxo de calor


____________________________


Tabela Resumo. Distribuição de temperaturas e perda de calor em aletas de seção

transversal uniforme.

Caso

Condição de

contorno na

extremidade � = �

Distribuição de Temperatura

Fluxo de Calor

a

Aleta muito

longa

x

kA

hP

bb

eTT

TxTx )()(

)TT(hPkAq baleta

b

Extremidade

adiabática

mL

xLm

TxT

TxTx

bb cosh

)(cosh

)(

)()(

)mL(tghhPkA)TT(q b

c

Convecção na

extremidade

(caso real)

)(cosh

)()(cosh

)(

)()(

mLsenhmk

hmL

xLmsenhmk

hxLm

TxT

TxTx

bb

)()cosh(

)()()(

mLsenhmk

hmL

mLconhmk

hmLsenhTThPkAq b

� = √ℎ��

Comprimento Corrigido de Aleta

Em muitas situações, costuma-se usar a solução do caso (b) – extremidade adiabática –

mesmo para os casos reais. Para isso, usa-se o artifício de “rebater” a metade da

espessura t para cada lado da aleta e definir o chamado comprimento corrigido de aleta,

LC. Com isso, usa-se o caso (b) de solução mais simples.

b

t

L t/2

Lc=L+t/2

2/tLLc

L t/2

Lc

O erro introduzido por

essa aproximação será

menor que 8% desde que

5,0k

ht


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49

AULA 7 – EFICIÊNCIA E EFETIVIDADE DE ALETAS Eficiência de Aleta A teoria desenvolvida na aula anterior é bastante útil para uma análise em detalhes para o projeto de novas configurações e geometrias de aletas. Para alguns casos simples, existem soluções analíticas, como foi o do caso estudado da aleta de seção transversal constante. Seções geométricas irregulares ou que envolvem condições de contorno mais complexas podem ser resolvidas mediante solução numérica da equação diferencial geral da aleta. Porém, existe um método de seleção de tipos de aletas baseado no chamado método da eficiência da aleta. Sendo que a eficiência de aleta, A , é definida por

idealcasobase.tempàestivessealetaacasootransmitidseriaquecalorfluxo

realcasoaleta/potransmitidcalordefluxoA

q

qb

qb= cte

L

Pode ser utilizado o comprimento corrigido, dado por: Lc = L+ t/2

Para o caso estudado na aula anterior da aleta retangular de extremidade adiabática, a

aplicação da definição de eficiência de aleta resulta em:

c

c

bc

cbA

mL

mLtgh

hPL

mLtghhPkA )()(

qq , com

kA

hPm

Por outro lado, o perímetro molhado é dado por

btbP 2)(2 (para t << b, aleta fina), sendo btA , de onde se obtém:

cc Lkt

hmL

2



50

Cálculo do Fluxo de Calor Através da Aleta Da definição de eficiência de aleta, o fluxo de calor real transferido pela aleta, qA, pode ser obtido por meio de maxqq AA , onde o máximo fluxo de calor transferido, qmax, é

aquele que ocorreria se a aleta estivesse toda à temperatura da base, isto é:

bahAq qmax ,

onde, Aa é a área total exposta da aleta e TTbbq

Assim, o fluxo de calor real transferido pela aleta é:

baaA hAq q

Note que a eficiência da aleta, a , selecionada sai de uma tabela, gráfico ou equação.

Na sequência deste texto há uma série de gráficos para alguns tipos de aletas. Deve-se usar aleta quando:

(1) h é baixo (geralmente em convecção natural em gases, como o ar atmosférico) (2) Deve-se usar um material de condutividade térmica elevado, tais como cobre e

alumínio, por razões que veremos adiante. O alumínio é superior devido ao seu baixo custo e baixa densidade. Exemplo de Aplicação Em um tubo de diâmetro externo de 2,5 cm são instaladas aletas circulares de alumínio por um processo de soldagem na superfície. A espessura das aletas é de 0,1 cm e o diâmetro externo das mesmas é de 5,5 cm, como ilustrado. Se a temperatura do tubo for de 100 oC e o coeficiente de transferência de calor for de 65 W/m2 K, calcule o fluxo de calor transferido pela aleta.

Solução Trata-se de aleta circular de alumínio. O valor da condutividade térmica é de aproximadamente 240 W/mK (obtido por consulta a uma tabela de propriedades termofísicas dos sólidos). Vamos calcular os parâmetros do gráfico correspondente dado na página 50 à frente.



51

mt

LLmL

mt

c 0155,02

015,001,02

)5,25,5(

001,0

255,01055,1240650155,0 1055,1001,00155,05,055,12123

c25

PcP kAhLmtLA

Para o uso do gráfico, precisamos ainda da razão entre o raio externo corrido e o raio interno da aleta.

24,225,1

2/1,075,22/

1

2

1

2

r

tr

r

r c Com esses dois parâmetros no gráfico, obtemos

%91A . Assim, o fluxo de calor trocado pela aleta é: , 5,177500394,06591,0 WhAq baaA q Já que a área exposta da aleta,

vale, . 00394,02 221

22 mrrA ca

Exemplo de Aplicação (cont...) Admitindo que o passo das instalações da aleta é de 1 cm, qual deve ser o fluxo de calor

total transferido pelo tubo, se o mesmo for de 1 m de comprimento.

Solução O tubo terá 100 aletas. O fluxo de calor trocado por aleta já é conhecido do cálculo anterior. O fluxo de calor da porção de tubos sem aletas será:

aletas. há não que em tubodo área a é onde ),( sassasa ATThAq

221 07068,0 8,7061,010010025,12)(2 mcmtNLrA aTsa

Assim, Wqsa 6,344)25100(07068,065 O fluxo de calor trocado pelas 100 aletas será Wqca 17505,17100 Finalmente, o fluxo total de calor trocado pelo tubo será

Wqqq casaT 5,209417506,344 e %6,83%1002095

1750%

Como se vê, a instalação das aletas aumenta consideravelmente a transferência de calor.



52

Ap – área de seção transversal de aleta

Tipo Aa área total exposta da aleta

b – largura da aleta Lc = L-corrigido t = espessura

Retangular cbL2

Triangular 2/122 )2/(2 LLb

Parabólica 2/122 )2/(05,2 LLb

Anular 2/121

222 rrb c

Fluxo de calor transmitido pela aleta:

baahAq qÁrea total da aleta

Eficiencia da aleta (f da figura)

TTbbq

base Aa é a área total exposta da

aleta Para obter a eficiência da aleta, use os dados geométricos disponíveis e os indicados nos gráficos. Uma vez obtida a eficiência da aleta, calcule o fluxo real de calor através da simples expressão acima. Comentários: Aleta triangular (y ~ x) requer menos material (volume) para uma mesma dissipação de calor do que a aleta retangular. Contudo, a aleta de perfil parabólico é a que tem melhor índice de dissipação de calor por unidade de volume (q/V), mais é apenas um pouco superior ao perfil triangular e seu uso é raramente justificado em função de maior custo de produção. A aleta anular é usada em tubos.



53

Efetividade da Aleta

Como visto, a eficiência de aleta é somente um procedimento de seleção de tipos

de aletas, já que uma tabela, gráfico ou equação fornece as eficiências das aletas e os

cálculos se dão a partir destes valores. Mas, é preciso continuar com a análise para

determinar se, de fato, haverá incremento ou não da transferência de calor com a

instalação de aletas. Claro que está informação é crucial para que o engenheiro decida

pela instalação de aletas. Para que se possa seguramente tomar uma decisão sobre a

vantagem ou não da instalação de aletas, deve-se lançar mão do método da efetividade

de aleta, . Nesse método, compara-se o fluxo de calor devido através da aleta com o

fluxo de calor que o ocorreria caso ela não houvesse sido instalada. Lembrando que

caso a aleta não existisse, a transferência de calor em questão ocorreria através da área

da base da aleta, Ab. Assim, define-se a efetividade como sendo a razão entre o fluxo de

calor através da aleta pelo fluxo de calor através da base da aleta, ou seja:

bb

aleta

aletas

aleta

hA

q

q

q

q

/

Ab, Tb

O fluxo de calor sem a aleta, q s/aleta, é o que ocorreria na base da aleta, conforme

ilustração acima. Como regra geral, justifica-se o caso de aletas para ε > 2.

Para aleta retangular da extremidade adiabática

bb

cb

hA

mLtghhPkA

qq

)(

Nesse caso: A = Ab e, portanto, kPhA

mLtgh c

/

)(



54

Exemplos de Aplicação Exemplo de aplicação 1 – Uma aleta de aço inoxidável, seção circular de dimensões L

= 5 cm e r = 1 cm, é submetida à três condições de resfriamento, quais sejam:

A – Água em ebulição; h = 5000 W/m2K B – Ar – convecção forçada; h = 100 W/m2K C – Ar – Convecção natural; h = 10 W/m2K Calcule a efetividade da aleta, para os seguintes dados: - k aço inox = 19 W/m K (obtido de uma tabela de propriedades de transporte) - Comprimento corrigido: Fórmula 2/rLLc

L= 5cm

Solução:

kPhA

mLtgh c

/

)( , com

hh

kr

h

rk

rh

kA

hPm 24,3

01,0.19

2222

e 2/01,005,024,3 hmLc , ou

seja: hmLc 178,0 .

No denominador tem-se: hh

k

hr

rk

rh

kP

hA0162,0

19.2

01,0.

22

2

.

Substituindo estes dois resultados na expressão da efetividade, vem:

h

htgh

0162,0

)178,0(



55

Agora, analisando os três casos (valores diferentes de h)

Caso A : h = 5000 W/m2 K 873,0145,1

1

50000162,0

)5000178,0(

tgh

Caso B : h = 100 W/m2 K 833,5162,0

945,0

1000162,0

)100178,0(

tgh

Caso C : h = 10 W/m2K 0,10051,0

510,0

100162,0

)10178,0(

tgh

Comentário - Como visto, a colocação da aleta nem sempre melhora a transferência de calor. No

caso A, por exemplo, a instalação de aletas deteriora a transferência de calor, já que ε<1.

Um critério básico é que a razão hA/Pk deve ser muito menor que 1 para justificar o uso

de aletas.

Caso (A) 31,1kP

hA

Caso (B) 026,0kP

hA

Caso (C) 00262,0kP

hA

- Informação importante: A aleta deve ser colocada do lado do tubo de menor coeficiente de transferência de calor, que é também o de maior resistência térmica. Exemplo de aplicação 2 – Considerando o problema anterior, suponha que a aleta seja

constituída de três materiais distintos e que o coeficiente de transferência de calor seja h

= 100 W/m2 oC. Calcule a efetividade para cada caso.

Das tabelas de propriedades de transporte dos materiais, obtém-se: A – Cobre k = 368 W/m K B – Aço inox k = 19 W/m K C – Alumínio k = 240 W/m K



56

Solução:

kkkr

hm

4,141

01,0.

100.22 e, portanto,

kkmLc

76,72/01,005,0

4,141

No denominador, agora temos: kkk

hr

kP

hA

2

1

2

01,0.100

2

Substituindo ambos os resultados, obtém-se:

)/76,7(2 ktghk Caso (A): k = 368 W/m K (cobre) ε = 10,7 Caso (B): k = 19 W/m K (aço inox) ε = 5,8 Caso (C): k = 240 W/m K (alumínio) ε = 10,1 Comentário: O material da aleta é bastante importante no que tange a efetividade de uma aleta. Deve-

se procurar usar material de elevada condutividade térmica (cobre ou alumínio).

Geralmente, o material empregado é o alumínio por apresentar várias vantagens, tais

como:

(1) É fácil de ser trabalhado e, portanto, pode ser extrudado;

(2) Tem custo relativamente baixo;

(3) Possui uma densidade baixa, o que implica em menor peso final do

equipamento;

(4) Tem excelente condutividade térmica.

Em algumas situações as aletas podem ser parte do projeto original do equipamento e

serem fundidas juntamente com a peça, como ocorre com as carcaças de motores

elétricos e os cilindros de motores resfriados a ar, por exemplo. Nesse caso, as aletas são

feitas do mesmo material da carcaça do motor.


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57

AULA 8 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SISTEMA CONCENTRADO

Introdução

Quando um corpo ou sistema a uma dada temperatura é bruscamente submetido a novas

condições de temperatura como, por exemplo, pela sua exposição a um novo ambiente de

temperatura diferente, certo tempo será necessário até que seja restabelecido o equilíbrio

térmico. Exemplos práticos são aquecimento/resfriamento de processos industriais,

tratamento térmico, alimentos colocadas na geladeira, entre outros.

No esquema ilustrativo abaixo, suponha que um corpo esteja inicialmente a uma

temperatura uniforme T0. Subitamente, ele é exposto a um ambiente que está a uma

temperatura maior T∞2. Uma tentativa de ilustrar o processo de aquecimento do corpo está

indicada no gráfico temporal do esquema. A forma da curva de aquecimento esperada é, de

certa forma, até intuitiva para a maioria das pessoas, baseado na própria experiência

pessoal.

T0

1T

10 TT

Tempo t=0

2T

2T

T0

t

t

T(t)

Uma análise mais detalhada e precisa do problema do aquecimento do exemplo

ilustrativo acima vai, entretanto, indicar que o aquecimento do corpo pode não ocorrer de

forma uniforme no seu interior. Na ilustração que segue, indica-se de forma ilustrativa a

temperatura na no centro Tc, e numa posição qualquer na superfície Ts. Note que as curvas



58

de aquecimento não são iguais. Isto indica que a variação da temperatura no corpo não é

uniforme dentro do corpo, de uma forma geral. Esta análise que envolve o problema da

difusão interna do calor é um pouco trabalhosa do ponto de vista matemático, mas pode ser

resolvida para alguns casos de geometrias e condições de contorno simples. Casos mais

complexos podem ser resolvidos de forma numérica. Entretanto, o interesse da aula de hoje

é numa hipótese simplificadora que funciona para um grande número de casos práticos. A

ideia consiste em assumir que todo o corpo tenha uma única temperatura uniforme a cada

instante. Esta hipótese é chamada de sistema concentrado, objeto de análise na sequência.

2T

T0

t

Ts

T0

TC

2T

T

T0

Sistema

Concentrado

TC

Sistema Concentrado A hipótese é que a cada instante t, o sistema tenha uma só temperatura uniforme T(t).

Isto ocorre em situações nas quais os sistemas (corpos) tenham sua resistência interna à

condução desprezível face à resistência externa à troca de calor externa que, geralmente se

dá por convecção. Para conduzir essa análise, lança-se mão do esquema abaixo de um

corpo a uma temperatura inicial T0 e que, subitamente, é exposto a um ambiente de

temperatura T∞, de forma a que ocorra transferência de calor convectiva.

T0

T

q convecção

TS



59

O balanço de energia fornece o seguinte esquema

Balança de energia

= Termo (I):

dt

dTc

dt

du

dt

dum

dt

dU

m = massa do corpo; U = energia interna do corpo; u = energia interna específica do corpo; ρ = densidade do corpo; = volume do corpo; c = calor específico do corpo. Termo (II):

)( TThAqconv h = coeficiente transferência de calor por convecção para o fluido circunvizinho; A = área da superfície do corpo em contato com o fluido; T = temperatura instantânea do corpo T = T (t); T = temperatura ao longe do fluido. Assim, pelo esquema do balanço de energia, vem:

)( TThAdt

dTc

Essa é uma equação diferencial de primeira ordem, cuja condição inicial é T(t=0) = T0. Separando as variáveis para se realizar uma integração por partes, vem:

dtc

hA

TT

dT

Por simplicidade, seja dTdTT , então:

Taxa temporal de variação de energia

interna do corpo (I)

Fluxo de calor Trocado por convecção

(II)



60

dtc

hAd

, ou

t

t

dtc

hAd

00

, do que resulta em:

tc

hA

0

ln .

Finalmente,

tc

hA

e

0

ou t

c

hA

eTT

TT

0

Analogia Elétrica

Essa equação resulta da solução de um sistema de primeira ordem. Soluções desse tipo

ocorrem em diversas sistemas físicos, inclusive na área de eletricidade. Existe uma analogia

perfeita entre o problema térmico apresentado e o caso da carga e descarga de um capacitor,

como ilustrado no esquema abaixo.

V

t

V0 C R

V0

Inicialmente o capacitor C é carregado até uma tenção elétrica V0 (chave ligada).

Depois, a chave é aberta e o capacitor começa a se descarregar através da resistência R.

A solução desse circuito RC paralelo é

RC

t

eV

V

0

Note a Analogia

Elétrica Térmica Tensão, V TT

Capacitância, C c Resistência, R hA/1



61

Circuito térmico equivalente V

t

T0

V0

c hA/1

T Constante de tempo do circuito elétrico,

RC

A constante de tempo é uma grandeza muita prática para indicar o quão rápidamente o capacitor se carrega ou se descarrega. O valor de t é o instante em que a tensão do do capacitor atingiu o valor de e-1 ~ 0,368

368,011

0

eee

V

V

Com isso, pode-se fazer uma análise muito interessante, como ilustrado no gráfico

abaixo que indica a descarga do capacitor para diferentes constantes de tempo. Quanto maior for a constante de tempo, mais o capacitor demora para atingir o valor de 0,368V0.

V

t

V0

III

III

IV

1 2 3 4

0,368V0

Por analogia, a constante de tempo térmica será:

t

tt

c

hA

eeTT

TT

0 →

hA

ct



62

Veja o gráfico ilustrativo abaixo para ver a influência da constante de tempo térmica.

tt

TT

TT0

)(368,0 0 TT

Um exemplo interessante da aplicação dos conceitos de transitório térmico é o caso da

medida de temperaturas com sensores do tipo termopar e outros. Esses sensores consistem

de dois fios unidos pelas suas extremidades que formam uma junção. Essa junção é exposta

ao ambiente que se deseja medir a temperatura. Suponha, de forma ilustrativa, um ambiente

que idealmente sua temperatura tem o comportamento ilustrado pela linha cheia no

esquema abaixo, isto é, sua temperatura oscila entre T∞1 e T∞2, de período em período (onda

quadrada). Agora, deseja-se selecionar um sensor que acompanhe o mais próximo possível

o seu comportamento. Três sensores de constantes térmicas diferentes são mostrados. Note

que o sensor de maior constante térmica, 3 , praticamente não “sente” as variações de

temperatura, enquanto que o sensor de menor constante térmica acompanha melhor as

variações de temperatura. Esse exemplo poderia ser o caso de um motor de combustão

interna em que as temperaturas da câmara variam com a admissão e combustão dos gases.

Com esse simples exemplo, mostra-se a importância da constante térmica.

t

10 TT

TT

20 TT

tP 2tP 3tP

12 1

13



63

A equação que rege o regime transitório concentrado pode ainda ser reescrita para se obter

a seguinte forma

FoBie

TT

TT

0

Onde, Bi é o número de Biot, definido por k

hLBi , e Fo é o número de Fourier, definido

por 2L

tFo

(trata-se de um “tempo” adimensional). Sendo,

h = coeficiente transferência de calor por convecção;

= difusividade térmica;

k = condutividade térmica;

L = comprimento característico do corpo;

O número de Biot é uma razão entre a resistência interna à condução de calor e a resistência

externa à convecção.

Pode-se adotar L como sendo a razão entre o volume do corpo pela sua área exposta à troca

de calor.

expostaárea

corpodoolume

v

A

VL

Para concluir esta aula, deve-se informar o limite da aplicabilidade da hipótese de sistema

concentrado. Mostra-se que a hipótese de sistema concentrado admite solução razoável

desde que:

1,0Bi

EXEMPLO DE APLICAÇÃO 1 (adaptado de Incropera, ex. 5.1)

Termopares são sensores muito precisos para medir temperatura. Basicamente, eles são

formados pela junção de dois fios de materiais distintos que são soldados em suas

extremidades, como ilustrado na figura abaixo. A junção soldada pode, em primeira análise,

ser aproximada por uma pequena esfera de diâmetro D. Considere um termopar usado para

medir uma corrente de gás quente, cujas propriedades de transporte são: k = 20 W/m K,

c = 400 J/kg K e = 8500 kg/m3. Inicialmente, o termopar de D = 0,7 mm está a 25 oC e é



64

inserido na corrente de gás quente a 200 oC. Quanto tempo vai ser necessário deixar o

sensor em contato com o gás quente para que a temperatura de 199,9 oC seja indicada pelo

instrumento? O coeficiente de transferência de calor vale 400 W/m2K.

SOLUÇÃO

Comprimento característico: mD

A

VL

43

10167,16

107,0

6

Número de Biot: 34

10333,220

10167,1400

k

hLBi

Da expressão da temperatura, vem 76,320020025

2009,199ln

10333,2

1ln

13

0

TT

TT

BiFo

Dado que 610883,54008500

20

c

k

e

2L

tFo

, vem:

s

LFot 4,7

10883,5

10167,176,32006

242

Comentário: note que o número de Biot satisfaz a condição de sistema concentrado 1,0Bi . Um tempo de 7,4 s é necessário para obter uma leitura precisa de temperatura. O que aconteceria com o tempo se o diâmetro do termopar fosse reduzido à metade? EXEMPLO DE APLICAÇÃO 2

Melancias são frutas muito suculentas e refrescantes no calor. Considere o caso de uma melancia a 25 oC que é colocada na geladeira, cujo compartimento interno está a 5 oC. Você acredita que o resfriamento da melancia vai ocorrer de forma uniforme, ou se, depois de alguns minutos a fatia da mesma estará em temperaturas diferentes? Para efeito de estimativas, considere que a melancia tenha 30 cm de diâmetro e suas propriedades de



65

transporte sejam as da água. Considere, também, que o coeficiente de transferência de calor interno do compartimento da geladeira valha h = 5 W/m2 oC. Solução: á�� = , �/�°

Cálculo do Nº de Biot � = ℎ , sendo = �

= , = , �

D= 0,3 m � = 0,0 ×0,02 =

Conclusão, a melancia não vai resfriar de forma uniforme. Isto está de acordo com sua experiência?

D = 0,3 m


____________________________

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66

AULA 9 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSITÓRIO – SÓLIDO SEMI-INFINITO

Fluxo de Calor num Sólido Semi-Infinito

Na aula anterior foi estudado o caso da condução de calor transitória para sistemas

concentrados. Aquela formulação simplificada começa a falhar quando o corpo possui

dimensões maiores e propriedades de transporte tais que a resistência interna à

condução não pode ser desprezada face à resistência externa à convecção (Bi > 0,1).

Soluções analíticas existem para casos em que uma das dimensões é predominante e

muito grande que, em termos matemáticos, é dito infinito. Considere o esquema abaixo

de um sólido com uma superfície exposta à troca de calor (à esquerda) e sua dimensão

se estende à direita para o infinito (daí o nome de semi-infinito). A face exposta sofre

bruscas mudanças de condição de contorno, como se verá.

Condições de contorno

(A) Temperatura constante na face exposta:

TiT0

x

Solução: T(x, t)

Equação geral condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

Por não haver geração interna de calor, vem que t

T

x

T

1

2

2

, a qual é submetida as

seguintes condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0),0( TtT

Sem apresentar detalhes da solução do problema, prova-se que a distribuição de

temperaturas é dada por:


____________________________


67

t

xerf

TT

TT

i 20

0,

Onde, erf é a chamada função erro de Gauss, cuja definição é dada por:

t

x

det

xerf

2

0

22

2

Vista em forma gráfica, esta função tem o seguinte comportamento.

Para valores numéricos de T = T (x,t), veja a Tabela B – 2 do livro do Incropera

e Witt. Note que o seu comportamento se parece com uma exponencial “disfarçada”.

Tabela B-2 do Incropera


____________________________


68

Fluxo de calor numa posição x e tempo t

Para se obter o fluxo de calor instantâneo numa dada posição qualquer, basta aplicar a

lei de Fourier da condução. Isto é feito substituindo a distribuição de temperaturas

acima, na equação de Fourier, isto é:

t

x

iix dex

TTkAt

xerfTTT

xkA

x

TkAq

2

0

000

22)()

2()(

t

x

xe

TTkAt

x

i

2

)(240

2

, do que, finalmente, resulta em:

t

x

ix e

t

TTkAq

40

2

)(

(B) Fluxo de calor constante na face exposta:

Neste outro caso, estuda-se que a face exposta está submetida a um fluxo de calor

constante,

Tiq0qx

x

Partindo da equação da condução de calor t

T

x

T

1

2

2

, submetida às seguintes

condições:

- Condição inicial: iTxT )0,(

- Condição de contorno: 0

0

qx

TkA

x


____________________________


69

A solução é:

t

xerf

kA

xq

kA

et

q

TT

t

x

i

21

20

4

0

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor!!

(C) Convecção de calor na face exposta

Nesse terceiro caso, analisa-se o caso em que ocorre convecção de calor na face

exposta à esquerda.

Tiqx

x

T

Novamente, partindo da equação da condução de calor sem geração interna, vem:

t

T

x

T

1

2

2

, a qual é submetida às seguintes condições:

- Condição inicial: T (x,o) = Ti

- Condição de contorno:

TtThAx

TkA

x

),0(0

(condução interna =

Convecção)

A solução é:

k

th

t

xerfe

t

xerf

TiT

TT k

th

k

hx

i

21

21

2

2

NOTA: Obtenha o fluxo de calor! – use a Lei de Fourier!


____________________________


70

Outros casos de condução transitória de interesse

Placas, chapas, cilindros e esferas são geometrias muito comuns de peças

mecânicas. Quando o número de Biot é pequeno, basta que se use a abordagem de

sistema concentrado. Entretanto, quando isso não ocorre, há de se resolver a equação

geral da condução de calor. No entanto, para essas geometrias básicas, Heisler

desenvolveu soluções gráficas, como mostrado na tabela abaixo.

Tabela – convenção para uso dos diagramas de Heisler

Placas cuja espessura é

pequena em relação as outras

dimensões

Cilindros cujos diâmetros são

pequenos quando comparados

com o comprimento

Esferas

T0 Te

x

2L

T

T

Te r0

r0

rTe

T

TtrTouTtxT ),(),(

TTii

TT00

TTee

Número de Biot: k

hLBi

L – dimensão características (dada no gráfico)

Número de Fourier, Fo (tempo adimensional), definido por

22 cL

kt

L

tFo

Calor total trocado pelo corpo Qi

iii cTTcQ )(


____________________________


71

Gráficos de Heisler para uma placa de espessura 2L. Para outras geometrias (esfera e

cilindro): ver Apêndice D do Incropera e Witt


____________________________


72

Exemplo:

Uma placa de espessura de 5 cm está inicialmente a uma temperatura uniforme de

425 ºC. Repentinamente, ambos os lados da placa são expostos à temperatura ambiente,

T = 65 ºC com hmédio = 500 W/m2 ºC. Determinar a temperatura do plano médio da placa

e a temperatura a 1,25 cm no interior da mesma, após 3 min.

Dados:

k = 43,2 W/mK

α = 1,19 x 10-5

m2/s

x

5 cm

h

Solução:

2L = 5 cm = 0,05 m → L = 0,025 m

1,0289,02,43

025,0500

k

hLBi

Não se aplica a solução de sistema concentrado. Portanto, use a solução de Heisler. Para

isso, deve-se calcular os parâmetros para os gráficos da página anterior, que são:

45,3289,0

11

Bi e 43,3

025,0

1801019,12

5

20

L

tF

Do diagrama de Heisler (página anterior), vem:

e 22745,0).65425(65 . Assim,

CT o2270 Na linha de centro após 3 mim

Do gráfico para uma posição qualquer x:

45,3/1 iB

5,005,0

0125,0/ Lx

95,00

95,0)65281(6595,0)( 0 TTTT

CT o2,270 p/ min3,5,0 tL

x

45,3165,0

11

iB

43,30 F

45,00 i



AULA 10 – CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME PERMANENTE BIDIMENSIONAL

Condução Bidimensional

Até a presente aula, todos os casos estudados referiam-se à condução de calor

unidimensional em regime permanente, ou seja, não se considerava a distribuição

espacial da temperatura para além de uma dimensão. Também foram estudados os casos

transitórios em uma dimensão. Evidentemente, muitos problemas reais são bi ou

tridimensionais. Soluções analíticas existem para um número limitado de problemas de

condições de contorno e geometrias simples. Os casos mais realistas devem ser

resolvidos de forma numérica. Entretanto, neste curso introdutório é importante que o

estudante tenha uma visão das soluções analíticas existentes e, para isso, é resolvido um

problema clássico que é o método da separação das variáveis para uma placa retangular

bidimensional.

O Método da Separação de Variáveis Seja uma placa retangular, submetida às condições de contorno ilustrados, isto é, todos os lados estão à mesma temperatura T1, exceto o lado superior que está à T2.

y

b

T2

T1

T1

T1

L

T(x,y)

x

Placa retangular com as condições de contorno indicadas, procura-se T (x,y) Equação da condução de calor

t

T

k

qT

1'''2

Hipóteses:

(1) Regime permanente (2) Sem geração interna de calor (3) Bidimensional



As hipóteses resultam em: 02 T ou 02

2

2

2

y

T

x

T

Condições de contorno – temperaturas dos quatro lados

(1) T(0,y) = T1 (2) T(L,y) = T1 (3) T(x,0) = T1 (4) T(x,b) = T2

É conveniente realizar uma mudança de variáveis

12

1

TT

TT

Condições de contorno na nova variável θ são:

(1) θ(0,y) = 0 (2) θ(L,y) = 0 (3) θ(x,0) = 0 (4) θ(x,b) = 1

A variação elementar de temp. é dTT

dT

12

Então, 02

2

2

2

yx

Esta é a equação da condução na nova variável θ.

A técnica de separação das variáveis supõe que a distribuição de temperaturas θ(x,y)

seja o produto de duas outras funções X e Y as quais, por sua vez, são funções

exclusivas apenas das variáveis do problema x e y, isto é:

yYxXyx ),(

Assim, a derivada parcial em relação à x dessa nova função são:

Primeira derivada: dx

dXY

x

Segunda derivada: 2

2

2

2

dx

XdY

x

Analogamente em relação à y:

Segunda derivada: 2

2

2

2

dy

YdX

y



Logo, substituindo essas derivadas segundas parciais na equação diferencial da condução, vem:

02

2

2

2

dy

YdX

dx

XdY

ou, dividindo-se pelo produto XY, vem:

2

2

2

2 11

dx

Xd

Xdy

Yd

Y

É digno de nota que na equação acima o lado esquerdo é uma função exclusiva de y

e o lado direito, uma função exclusiva de x. No entanto, os dois lados da equação são

sempre iguais. Isto implica dizer que cada lado da equação não pode ser nem função de

x, nem de y, já que de outra forma não seria possível manter a igualdade sempre válida.

De forma que a igualdade deve ser uma constante que, por conveniência matemática, se

usa o símbolo 2 . Dessa forma, tem se:

22

21 dx

Xd

X e

22

21 dy

Yd

Y

Note que a equação diferencial parcial original deu origem à duas outras equações

diferenciais comuns ou ordinárias. As soluções dessas duas novas equações são bem

conhecidas (lembre-se do polinômio característico) e são:

xsenCxCxX 21 cos , e

yy eCeCyY 43

De forma que, voltando à variável original, yYxXyx ),( , a solução global é:

yy eCeCxsenCxCyx 4321 .cos,

A obtenção das constantes depende das condições de contorno impostas. Assim:

Da 1a Condição de contorno: θ(0,y) = 0

0.0.0.cos,0 4321 yy eCeCsenCCy

De onde se conclui que a única possibilidade é que 01 C



Agora, da 3ª condição de contorno: θ(x,0) = 0

432 .0 CCxsenC

de onde se obtém que 043 CC 43 CC

Da 2ª condição de contorno: θ(L,y) = 0

)(.0 42yy eeCLsenC

mas, como simultaneamente as duas constantes não podem ser nulas, isto é:

042 CeC , logo, deduz-se que 0)( Lsen

Os possíveis λ que satisfazem essa condição são: nL

ou, seja L

n n = 1,2,3, .....

nota: λ = 0, resulta na solução trivial e não foi considerada. λ são os autovalores.

Portanto, a distribuição de temperaturas até o presente é:

)(

42 22,

L

ynsenh

L

yn

L

yn

C

n

ee

L

xnsenCCyx

n

ou, seja )()(,L

ynsenh

L

xnsenCyx nn

Para cada n = 1,2,3,... Existe uma solução particular θn. Daí também ter juntado as constantes 42 CeC num nova única constante Cn que dependem do valor de n. Então a solução geral deve ser a combinação linear de todas as possíveis soluções.

L

ynsenh

L

xnsenCyx

n

n

1

,

Cn deve ser obtido da última condição de contorno: θ(x,b) = 1, isto é:

L

bnsenh

L

xnsenC

n

n

1

1



A última e mais difícil tarefa é de encontrar os coeficientes Cn da série acima para

obter a distribuição final de temperaturas. Essa tarefa é realizada usando a teoria das

funções ortogonais, revista abaixo.

REVISÃO DO CONCEITO DE FUNÇÕES ORTOGONAIS

Um conjunto infinito de funções g1(x), g2(x), é dito ortogonal no domínio bxa , se

b

a

nm nmpdxxgxg /0)()( (dica: note que se parece com produto escalar de

vetores: o produto escalar de dois vetores ortogonais é nulo)

Muitas funções exibem a propriedade de ortogonalidade, incluindo )(L

xnsen e )cos(

L

xn em

Lx 0 Verifica-se também, que qualquer função f(x) pode ser expressa numa série infinita de funções ortogonais, ou seja:

1

)()(m

mm xgAxf

Para se obter os coeficientes Am; procede-se da seguinte forma:

(1) Multiplica-se por )(xgn , ambos os lados da igualdade:

1

)()()()(m

mmnn xgAxgxfxg

(2) Integra-se no intervalo de interesse:

dxxgAxgdxxfxgb

am

mmn

b

an

1

)()()()(

Usando a propriedade de ortogonalidade, ou seja:

nmsedxxgxgb

anm 0)()(

Pode-se eliminar a somatória, então: dxxgAdxxfxgb

amm

b

am )()()( 2

Finalmente, as constantes da série Am podem ser obtidas:

dxxg

dxxfxgA

b

am

b

am

m

)(

)()(

2



Voltando ao problema, tem-se:

1

1n

nL

bnsenh

L

xnsenC

(A)

Comparando com o caso acima, vemos que f(x) = 1 e que

,....2,1;)(

n

L

xnsenxg

ortogonalfuncão

n

Logo, expandindo a função f(x) = 1, vem

1

1

n

nL

xnsenA

Assim, podem ser obtidos os coeficientes da série, como visto na revisão acima:

ndx

L

xnsen

dxL

xnsen

An

L

L

n

1)1(2 1

0

2

0

Então,

11)1(2

1

1

n

n

L

xnsen

n

(B)

Comparando (A) com (B), vem:

1

1

1

1)1(2

n

n

n

nL

xnsen

nL

bnsenh

L

xnsenC

Então, da igualdade das séries:

,....3,2,1;

1)1(2 1

n

L

bnsenhn

Cn

n

De forma que a solução final do problema é:



1

1 1)1(2),(

n

n

L

bnsenh

L

ynsenh

L

xnsen

nyx

É interessante ver o gráfico desta função

y

b

Lx

1

75.050.0

25.0

10.0

0

00

Calcule o fluxo de calor. Nesse caso, você precisa calcular qx e qx. Note que o fluxo de calor, nesse caso, será dado de forma vetorial, isto é:

ix

Tkqx

e jy

Tkq y

. Sendo que o fluxo total de calor será yx qqq e o

módulo do fluxo de calor será 22yx qqq em W/m2

Faça os Exercícios 4.2 e 4.3 do Incropera e Witt Método Gráfico O método gráfico é empregado para problemas bidimensionais envolvendo condições de contorno adiabáticas ou isotérmicas. Exige paciência, sendo que o objetivo é construir uma malha formada por isotérmicas e linhas de fluxo de calor constante. Com a finalidade de ilustrar o método, considere uma seção quadrada, cuja superfície interna é mantida a T1 e a externa T2.

T2

T1

(1) O primeiro passo é identificar todas as possíveis linhas de simetria do problema tais linhas são determinadas pela geometria e condição simétricas.



T2

T1

SIMETRIA

SIMETRIA

(2) As linhas de simetria são adiabáticas, ou seja, não há fluxo de calor na direção perpendicular a elas. Portanto, podem ser tratados como linhas de fluxo de calor constante.

T2

T1

PAREDES ADIBATICAS

(3) Traças algumas linhas de temperatura constante. Lembre-se que elas são perpendiculares às linhas de fluxo constante.

T2

T1

(4) As linhas de fluxo constante devem ser desenhadas criando quadrados curvilíneos. Isto é feito fazendo como que as linhas de fluxo cruzem as linhas de temperatura constantes em ângulo reto e impondo que todos os quadrados tenham aproximadamente, o mesmo comprimento.

qX

DL

LINHAS DE FLUXO CTE.

(ADIABÁTICO)

(OU QUADRADO CURVILÍNEO)

(5) Quando houver um “canto” isotérmico”, a linha de fluxo cte. Deve bissectar o ângulo formado pelas duas superfícies

T

T

LINHA DE FLUXO CTE.

O fluxo de calor, por unidade de espessura de material, que atravessa o quadro curvilíneo ilustrado é:



DD

Dl

Tlkqi (1)

qi

DL

DL

O fluxo de calor acima é o mesmo que atravessa qualquer região que esteja limitada pelas mesmas linhas de fluxo constantes desde T1 até T2. Então, pode-se escrever que.

N

TTT 12 D (2)

T1

T2

Onde N é o numero de incrementos de temperatura entre T1 e T2. (no exemplo N = 5). Assim, de (1)

N

TTkqi

)( 12 (3)

O fluxo de calor total, q, é a soma de todos os M “Faixas” formadas por duas linhas adjacentes de fluxo de calor (no exercício M = 5)

)( 121

TTkN

Mqq

M

i

i

Define-se a razão M/N como o fator de forma do sistema, assim:

)(5 12 TTkq


____________________________

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82

AULA 11 – SOLUÇÃO NUMÉRICA - DIFERENÇAS FINITAS

Como estudado na aula anterior, a solução da equação da condução de calor em

configurações bi e tridimensional é bastante complexa e, verdadeiramente, na maioria dos

casos práticos não existe nem solução analítica. Nesse caso, lança-se mão de métodos

numéricos de solução. Há uma grande variedade de métodos disponíveis na literatura, mas

vamos nos ater a apenas um dos métodos: o das diferenças finitas.

A idéia consiste em dividir a região que está sendo examinada em pontos discretos ou

pontos nodais, e aplicar um balanço de energia para cada ponto nodal, conforme ilustrado

no esquema abaixo. Assim, transforma-se o meio contínuo original em um meio discreto

formado por uma matriz de pontos com propriedades térmicas que “concentram” as

informações do meio contínuo original naqueles pontos. Considerando o esquema a seguir,

considere o ponto nodal (m,n) indicado, tendo como vizinhos os pontos nodais (m-1,n) à

esquerda, (m+1,n) à direita, (m,n-1) abaixo e (m,n+1) acima. A distância entre os pontos

nodais é x e y, nas duas direções principais.

m,n

x

ym,nm+1,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

y,n

x,m

Pontos Nodais


____________________________


83

A equação da condução de calor em RP, 2-D é dada por 02

2

2

2

y

T

x

T. Ela pode assim

ser assim discretizada:

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,1,

,2

1 (Primeira derivada na direção x – face esquerda)

x

TT

x

T nmnm

nm

)( ,,1

,2

1 (Primeira derivada na direção x – face direita)

Assim,

x

x

T

x

T

x

T nmnm

,

2

1,

2

1

2

2

(Segunda derivada na direção x – centro)

Ou, ainda, após substituição das primeiras derivadas: 2

,,1,1

,2

2

)(

2

x

TTT

x

T nmnmnm

nm

Analogamente, na direção y: 2

,1,1,

,2

2

)(

2

y

TTT

y

T nmnmnm

nm

Assim, a equação original da condução de calor diferencial pode ser aproximada por uma

equação algébrica,

2

2

2

2

y

T

x

T04 ,1,1,,1,1 nmnmnmnmnm TTTTT , se Δx = Δy

A equação acima é a forma da equação do calor em diferenças finitas para o caso em RP, 2-

D. Note que a temperatura nodal Tm,n representa a média aritmética das quatro temperaturas

da sua redondeza.


____________________________


84

O que acontece nas regiões de contorno do problema?

Suponhamos que haja convecção, conforme ilustrado. Um nó (à direita) se situa sobre a

superfície ou no contorno do meio.

m,nm-1,n

m,n+1

m,n-1

Convecção

T

Procede-se a um balanço de energia para o ponto (m,n) em questão

)()(

2

)(

2

)(,

1,,1,,,1,

TTyh

y

TTxk

y

TTxk

x

TTyk nm

nmnmnmnmnmnm

se Δx = Δy

0)2(2

12 1,1,,1,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

Para outras condições de contorno, equações semelhantes podem ser escritas.

Por exemplo, um canto superior à direita:

m,nm-1,n

m,n-1

Ty

x

x = y

0)(212 1,,1,

nmnmnm TTT

k

xh

k

xhT

Ver tabela 4.2 (Incropera) ou Tabela 3.2 Holman para outras condições e geometrias.

Tabela 4.2 do Incropera.


____________________________


85

Uma vez que as equações de todos os pontos nodais forem estabelecidas, obtém-se um

sistema de N equações por N incógnitas do tipo:


____________________________


86

NNNNNN

NN

NN

cTaTaTa

cTaTaTa

cTaTaTa

...

....

....

....

...

...

2211

22222121

11212111

Ou, em notação simplificada matricial, vem:

][]].[[ CTA

Estudar exemplo resolvido 4.3 (Incropera)

Uma técnica antiga de solução manual de sistemas lineares de equações é o chamado

método da relação. Nesta técnica, a equação nodal é, primeiramente, igualada a zero:

0...2211 nnmnmm cTaTaTa

Em seguida é igualada a um resíduo e depois segue-se o seguinte procedimento de solução:

1 – Admite-se uma distribuição inicial de temperatura;

2 – O valor do resíduo em cada ponto nodal é calculado;

3 – “Relaxar” o maior resíduo encontrado para zero (ou próximo) mudando a temperatura

do ponto nodal correspondente;

4 – Recalcular os resíduos para esta nova temperatura;

5 – Continuar o processo 3 – 4 até que todos os resíduos sejam nulos ou próximos de zero.

Hoje em dia, há muitos programas de computador e até de calculadoras que resolvem um

sistema linear de equações por diversas técnicas. Basta selecionar um deles. Por exemplo, o

método de eliminação gaussiana.


____________________________


87

Exemplo Resolvido

Uma placa retangular é submetida às condições de contorno ilustradas na figura. Pede-se

calcular a distribuição de temperatura nos pontos nodais mostrados, dados que:

h = 200 W/m2 ºC

T = 20 ºC

k = 10 W/m ºC

x = y = 10 cm

5 6 7 6 5

3 4 3

1 2 1

20T C

100°C

100°C

100°C

OBS: Observar a simetria do problema (nós com o mesmo número)

Solução:

Pontos nodais interiores (1-4) - vale a seguinte equação:

04 ,1,1,,1,1 NMNMNMNMNM TTTTT

Portanto,

042:4

01004:3

010042:2

0)100(24:1

7432

6431

421

321

TTTTnó

TTTTnó

TTTnó

TTTnó

Ponto nodal 5 (canto) – vale a seguinte equação

0)(2 ,1,

fixonmnm TTT

k

xh

k

xhT

nó 5: 0)100(2010

1,02002

10

1,020065

TT , ou


____________________________


88

01404 65 TT

Pontos nodais com convecção (6 – 7) – vale a seguinte equação:

022

12 ,1,11,,

nmnmnmnm TTTT

k

xh

k

xhT

nó 6: 022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou

022

120

10

1,02002

10

1,02007536

TTTT , ou ainda,

0402

14

2

17653 TTTT

nó 7: 0)22(2

1404 647 TTT , ou

0404 764 TTT

Em forma de Matriz temos:

40

40

140

0

100

100

200

41010002

14

2

10100

0140000

1004210

0101401

0001042

0000114

7

6

5

4

3

2

1

T

T

T

T

T

T

T

Solução do sistema pelo método de eliminação gaussiana

CT

CT

CT

CT

CT

CT

CT

7,36

8,38

7,44

2,68

3,74

2,87

4,90

7

6

5

4

3

2

1


____________________________ www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização setembro/2016

89

AULA 12 – INTRODUÇÃO À TRANSFERÊNCIA DE CALOR CONVECTIVA

Lei de Resfriamento de Newton Já vimos que a transferência de calor por convecção é regida pela simples de lei de

resfriamento de Newton, dada por:

)( TTAhq S onde, Ts, T∞ – temperaturas da superfície aquecida e do fluido ao longe; A – área de troca de calor, isto é, a área de contato do fluido com a superfície; h = coeficiente de transferência de calor por convecção. Nota-se que a expressão para o cálculo da transferência de calor é consideravelmente

mais simples que a da condução. De forma que basta resolver uma equação algébrica

simples para que o fluxo de calor seja obtido desde que, claro, se conheça o valor de h,

enquanto que no segundo caso, exige-se a solução da equação diferencial da condução

de calor. Essa aparente simplicidade é, no entanto, enganosa, pois, em geral, h é função

de um grande número de variáveis, tais como as propriedades de transporte do fluido

(viscosidade, densidade, condutividade térmica), velocidade do fluido, geometria de

contato, entre outras. Assim, pode-se afirmar de uma forma ampla que o problema

fundamental da transferência de calor por convecção é a determinação do valor de h

para o problema em análise. Nessa e nas demais aulas, serão apresentados expressões e

métodos de obtenção dessa grandeza para diversas condições de interesse prático. Mas,

antes, vamos apresentar os números adimensionais que controlam a transferência de

calor convectiva.

Análise Dimensional

A análise dimensional é um método de reduzir o número de variáveis de um problema

para um conjunto menor de variáveis, as quais não possuem dimensão física, isto é,

tratam-se de números adimensionais. Alguns adimensionais que o aluno já deve estar



90

familiarizado são o número de Reynolds na Mecânica dos Fluidos, e os números de Biot

e de Fourier.

A maior limitação da análise dimensional é que ela não fornece qualquer informação

sobre a natureza do fenômeno. Todas as variações que influenciam devem ser

conhecidas de antemão. Por isso deve se ter uma compreensão física preliminar correta

do problema em análise.

O primeiro passo da aplicação do método consiste na determinação das dimensões

primárias. Todas as grandezas que influenciam no problema devem ser escritas em

função destas grandezas. Por exemplo, considere o sistema primário de grandezas

MLtT, sendo:

Comprimento L Tempo t Massa M Temperatura T

Nesse sistema de grandezas primárias, por exemplo, a grandeza força tem as seguintes

dimensões:

Força ML/t2 O mesmo pode ser feito para outras grandezas de interesse:

Condutividade térmica ML/t3T Calor ML2/t2 Velocidade L/t Densidade M/L3 Velocidade M/Lt Calor específico a pressão constante L2/t2T Coeficiente De transmissão de calor M/t3T

Teorema dos Π ou de Buckingham Esse teorema permite obter o número de adimensionais independentes de um problema.

É dado por:

M = N – P

Onde,

M – número de grupos adimensionais independentes;

N – número de variáveis físicas dos problemas;

P – número de dimensões primárias;



91

Sendo um adimensional genérico, pode-se escrever, então:

0),...,( 21 mF

Para exemplificar, considere um fenômeno físico de 5 variáveis e três dimensões

primarias. Logo, M = 5-3 = 2, de onde se obtém:

0),( 21 F ou

pode-se escrever um adimensional como função do outro da seguinte forma.

)( 21 f

Essa relação funcional pode ser teórica ou experimental, obtida em laboratório, como

ilustrado no gráfico abaixo. Note que seria necessário se realizarem experimentos com

apenas uma variável (grupo adimensional 2) e observar o comportamento ou

dependência do adimensional 1. Com isso, reduz-se drasticamente o número de

experimentos. Caso contrário, seria necessário fazer experimentos envolvendo as 5

variáveis originais do problema.

1

2

erimentalcurvaf exp)( 2

Outro exemplo, seria o caso de um fenômeno descrito por 3 grupos adimensionais. Nesse caso, tem-se:

0),,( 321 F , ou ),( 321 f

Pode-se, assim, planejar experimentos laboratoriais mantendo 3 constantes, e variar 2, observando como 1 varia, como ilustrado no gráfico abaixo.

2

tesconsdecurvas tan31



92

Adimensionais da transferência de calor por convecção forçada Considere o escoamento cruzado em um tubo aquecido, como ilustrado na figura abaixo.

fluido

V

Tubo

aquecido

D

Sabe-se de antemão que as grandezas que interferem na transferência de calor são: Variáveis Eq. Dimensional D Diâmetro do Tubo L k Condutividade térmica do fluido ML/t3T V Velocidade do fluido L/t ρ Densidade do fluido M/L3 μ Viscosidade do fluido M/Lt CP Calor especifico a pressão constante L2/t2T h Coef. de transferência de calor M/t3T Portanto, há N = 7 grandezas e P = 4 dimensões primárias, do que resulta em:

M = 7 – 4 = 3 (3 grupos adimensionais) Seja um grupo adimensional genérico do tipo:

gf

p

edcba hcVKD

Substituindo as equações dimensionais de cada grandeza, vem:

gfedcb

a

Tt

M

Tt

L

Lt

M

L

M

t

L

Tt

MLL

32

2

33

ou, após rearranjo, vem:

gfbgfecbfedcbagedb TtLM 32323 Por se tratar de um adimensional, todos os expoentes devem ser nulos, isto é:



93

0

0323

023

0

gfb

gfecb

fedcba

gedb

Há um sistema de 7 incógnitas e 4 equações. Portanto, o sistema está indefinido. O

método pressupõe que se assumam alguns valores para os expoentes. Aqui é um ponto

crítico do método, pois há de se fornecer valores com critérios. Por exemplo,

(A) – Como h é uma grandeza que nos interessa, vamos assumir o seguinte conjunto de

valores

0

1

dc

g

Assim, pode-se resolver a equação do grupo adimensional, resultando em: a = 1 b = -1 e = f = 0 Esse primeiro grupo adimensional recebe o nome de número de Nusselt, definido por:

Nuk

Dh1

(B) – Agora vamos eliminar h e assumir outros valores

0

1

0

f

a

g

(para não aparecer h)

A solução do sistema fornece: b = 0 c = d = 1 e = -1 De onde resulta o outro grupo adimensional relevante ao problema que é o número de

Reynolds, dado por:

D

VDRe2



94

(C) - Finalmente, vamos assumir os seguintes valores e = f =1 b = -1 Daí resulta, o terceiro e último número adimensional que recebe o nome de número de

Prandtl.

Pr3 k

cp

Então, há uma função do tipo

0),,( 321 F ou 0),,( PrReDNuF .

Isolando o número de Nusselt, vem:

),( PrReDfNu Assim, os dados experimentais podem ser correlacionados com as 3 variáveis (os

grupos adimensionais) ao invés de sete (as grandezas que interferem no fenômeno).

Vimos, então, que:

),( PrReDfNu

Diversos experimentos realizados com ar, óleo e água mostraram que existe uma ótima

correlação envolvendo estes três adimensionais, conforme ilustrado no gráfico abaixo.

Note que, ar, água e óleo apresentam propriedades de transporte bastante distintas e, no

entanto, os coeficientes de transferência de calor nesses três fluidos podem ser

correlacionados por meio dos números adimensionais. Isto também indica que, uma vez

obtida a expressão que rege a transferência de calor, nos sentimos à vontade para usar

com outros fluidos, caso não existam dados experimentais de laboratório disponíveis.

10 1001

1

3,0Pr

Nu

4,03,0 RePr82,0Nu

água

óleoar

3<ReD<100

10

0,01

Re


____________________________

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95

AULA 13 – CAMADA LIMITE LAMINAR SOBRE UMA

PLACA OU SUPERFICIE PLANA

Na aula passada vimos que a transferência de calor no escoamento externo sobre uma

superfície resulta na existência de 3 números adimensionais que controlam o fenômeno.

Essas grandezas são o número de Nusselt, Nu, o de Reynolds, Re, e o de Prandtl, Pr. De

forma que existe uma relação do tipo Nu = f(Re, Pr), que pode ser obtida de forma

experimental ou analítica em algumas poucas situações.

Na aula de hoje apresentar-se-á uma situação particular em que esta relação pode ser

obtida de forma analítica e exata para o caso do escoamento forçado sobre uma

superfície plana. Para isso, serão apresentadas as equações diferenciais que regem a

transferência de calor em regime laminar. Depois será indicada a solução dessas

equações. Para começar o estudo, considere o escoamento de um fluido sobre uma

superfície ou placa plana, conforme ilustrado a seguir. Admita que o fluido tenha um

perfil uniforme de velocidades (retangular) antes de atingir a placa. Quando o mesmo

atinge a borda de ataque, o atrito viscoso vai desacelerar as porções de fluido adjacentes

à placa, dando início a uma camada limite laminar, cuja espessura cresce à medida que

o fluido escoa ao longo da superfície. Note que esta camada limite laminar vai crescer

continuamente até que instabilidades vão induzir a uma transição de regime para dar

início ao regime turbulento, se a placa for comprida o suficiente. Admite-se que a

transição do regime de escoamento laminar para turbulento ocorra para a seguinte

condição 5105Re

xu

xtransição (às vezes também se usa 3 105), onde x é a

distância a partir do início da placa (borda de ataque).

y

u

laminar

xTransição Turbulento


____________________________


96

No regime laminar, o fluido escoa como se fossem “lâminas” deslizantes, sendo que a

tensão de cisalhamento (originária do atrito entre essas camadas) é dada por dy

du

para um fluido newtoniano (como o ar, água e óleo). Essa condição e geometria de

escoamento permitem uma solução exata, como se verá a seguir.

Equações da continuidade e quantidade de movimento na camada limite laminar

Hipóteses principais:

- Fluido incompressível

- Regime permanente

- Pressão constante na direção perpendicular à placa

- Propriedades constantes

- Força de cisalhamento na direção y constante

Considere um elemento diferencial de fluido dentro da camada limite laminar (CLL),

como indicado.

x

ydy

dx

Equação da continuidade ou da conservação de massa.

dydxx

uu )(

dxdyy

vv )(

vdx

udy

dx

dy

Como entrasai mm , então substituindo os termos, vem:

dydxx

uudxdy

y

vvvdxudy )()(

. Simplificando, tem-se


____________________________


97

0

y

v

x

u ou 0VDiv

Onde o operador matemático Div é definido por, y

jx

iDiv

.

Equação da conservação da quantidade de movimento

Da 2ª lei de Newton, tem-se que

extF Variação do fluxo da quantidade de movimento

Note que essa lei é uma equação vetorial, isto é, o balanço deve ser feitos nas diversas

direções (x, y, z). No caso, nos interessa o balanço de forças e de quantidade de

movimento na direção paralela à placa, ou, seja a direção x.

Forças externas (pressão e atrito – gravidade desprezível)

dxdyy

)(

dx

pdydydx

x

pp )(

dydxx

ppdxdxdy

ypdyFx )()(

ou, simplificando, dxdyx

pdxdy

yFx

Mas, por ser um fluido newtoniano, tem-se y

u

que, substituindo, em.

dxdyx

pdxdy

y

uFx

2

2

Agora, vamos calcular o fluxo de quantidade de movimento (direção x)


____________________________


98

dxdyy

uudy

y

vv ))((

vudx

dydxx

uu 2)(

dyu2

Juntando todos os termos, tem-se a seguinte expressão:

superior ordem de termos2

)(

)(2

))(()(

2

222

22

dxdyy

vudxdy

y

uvdxdy

x

uu

uvdxdxdyy

u

y

v

dxdyy

vudxdy

y

uvvudxdyudydx

x

udxdy

x

uudyu

uvdxdxdyy

uudy

y

vvdyudydx

x

uu

Ainda é possível simplificar esta equação para obter

dxdyy

v

x

uudxdy

y

uv

x

uu

decontinuida

0

)()(

dxdyx

uv

x

uu )(

Portanto, agora podemos juntar os termos de resultante das forças externas com a

variação do fluxo da quantidade de movimento, resultando na seguinte equação:

x

p

y

u

y

uv

x

uu

2

2

)(

Equação da conservação da energia, ou primeira lei da termodinâmica

- Condução na direção x desprezível

- Energia cinética desprezível face à entalpia


____________________________


99

dxdyy

uudy

y

vv ))((

dydxx

uu 2)(

dxdyy

uu )

)((

)(

2

2

dyy

T

y

Tkdx

dx

dy

y

Tkdx

dxuvhdx

uhdy

Potência (térmica) líquida das forças viscosas

dydxy

uuu

ydydx

y

udxudxdy

y

uu

)()(

Conservação de energia:

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeo deixa

que energia de fluxo

tempode unidade

na realizado

líquido trabalho

tempode unidade na

ldiferencia controle

de volumeno entra

que energia de fluxo

Agora, vamos tratar cada termo em particular

Fluxo de energia que entra

Entalpia + Condução de calor (note que a condução na direção x é desprezível –não é

verdade no caso de metais líquidos)

y

Tkdxuhdyvhdx

Trabalho na unidade de tempo (potência térmica gerada pelas forças viscosas)

dxdyy

uu

y

Fluxo de energia que entra

)())(())((2

2

dyy

T

y

Tkdxdydx

x

hhdx

x

uudxdy

y

hhdy

y

vv

dydyx

hhdy

x

uu ))((

dydyy

hhdy

y

uu ))((


____________________________


100

Desprezado os termos de ordem superior

dxdyx

ukdxdy

y

vhdxdy

y

hvdxdy

x

uhdxdy

x

hudydx

y

uu

y 2

2

00

2

2

0

)(x

uk

y

v

x

uh

x

hv

x

hu

y

uu

y

decontinuida

Com Tch p e substituindo todos os termos na equação de balanço, resulta na forma

diferencial da equação da energia para a camada limite laminar, dada abaixo:

y

uu

yy

Tk

y

Tvc

x

Tuc pp

2

2

Em geral a potência térmica gerada pelas forças viscosas (último termo) é desprezível

face ao termo da condução de calor e de transporte convectivo de energia (entalpia).

Isso ocorre a baixas velocidades. Assim, a equação da energia pode ser simplificada

para:

2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Retornando agora à equação da conservação da quantidade de movimento. Se o

escoamento se der à pressão constante, aquela equação pode ainda ser reescrita como:

2

2

y

u

y

uv

x

uu

onde, é a viscosidade cinemática

Comparando as duas equações acima, nota-se que quando , ou seja, 1Pr

corresponde ao caso em que a distribuição da temperatura é idêntica a distribuição de

velocidades, o que ocorre com as maiorias dos gases, já que 1Pr65,0 .

Em resumo, as três equações diferenciais que regem a transferência de calor na camada

limite laminar são:


____________________________


101

Conservação de massa 0

y

v

x

u

Conservação da quantidade de movimento

direção x

x

p

y

u

y

uv

x

uu

2

2

)(

2

2

y

u

y

uv

x

uu

Pressão constante

Conservação de energia 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Ver solução das camadas limites laminares hidrodinâmica e térmico no apêndice B do

Holman e item 7.2 do Incropera. Solução de Blasius.

Os principais resultados da solução dessas equações diferenciais são os seguintes:

Espessura da camada limite hidrodinâmica (CLH):

x

x

Re

5 ;

Coeficiente local de atrito local: 2/1

, Re664,0 xxfc ;

Coeficiente local de atrito médio desde a borda de ataque:

2/1

0

,, Re328,1*21

Lf

L

xfLf LxCdxC

Lc ;

Razão entre as espessuras das camadas limites hidrodinâmica (CLH) e térmica (CLT):

3/1Prt

;

Número de Nusselt local: Pr6,0PrRe332,0 3/12/1

xxNu 50

Número de Nusselt médio: 3/12/1

0

PrRe664,0*21

L

L

LxxL NudxNuL

uN .

Definição do coeficiente de atrito: 2/

2

u

c s

f

, s tensão de cisalhamento na parede

Os gráficos abaixo indicam o comportamento das camadas limites. Note que o número

de Prandtl desempenha um papel importante no crescimento relativo das CLT e CLH.


____________________________


102

Tu ,

)1(Pr T

)1(Pr T

)1(Pr T

x

C.L.T C.L.H

Temos as seguintes relações: x

C xf

1, , e

xh xf

1, .

TS

T u


____________________________

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103

AULA 14 – CAMADA LIMITE LAMINAR – SOLUÇÃO INTEGRAL OU APROXIMADA DE VON KARMAN

Na aula passada, vimos as equações diferenciais da camada limite laminar. Os

resultados da solução clássica de Blasius foram apresentados. A solução per si não foi

discutida, uma vez que o livro-texto apresenta em detalhes o procedimento de solução.

Nesta aula, vamos ver uma solução aproximada baseada no método integral, também

conhecida como solução de von Karman.

Neste caso, define-se um volume de controle diferencial apenas na direção x paralela ao

escoamento, cuja altura H se estenda para além da camada limite, isto é, H ,

conforme ilustrado na figura abaixo.

x

y

1 2

A A

dx

H

Leis de conservação na camada limite laminar do elemento diferencial acima:

Balanço de massa

Fluxo mássico na face 1 – A: H

udy0

Fluxo mássico na face 2 – A: dxudydx

dudy

HH

00

Fluxo mássico na face A – A: dxudydx

dH

0

Balanço de fluxo de quantidade de movimento na direção x

Fluxo de Q. M. na Face 1 – A: H

dyu0

2


____________________________


104

Fluxo de Q. M. na Face 2 – A: dxdyudx

ddyu

HH

0

2

0

2

Fluxo de Q. M. na Face A – A: dxudydx

du

H

0

Fluxo líquido de quantidade de movimento para fora do volume de controle

(face 2-A) – (face A – A) – (face 1 – A) =

Fluxo liquido de Q. M. = dxudydx

dudxdyu

dx

dHH

00

2

Lembrando da regra do produto de diferenciação, vem que:

)()()( ddd ou

)()()( ddd

Fazendo u

H

udy0

, vem

dxdx

duudydxudyu

dx

ddxudy

dx

du

HHH

000

dxudydx

dudxudyu

dx

dHH

00

Agora, substituindo na expressão do fluxo líquido de Q. M, vem:

dxudydx

dudxudyu

dx

ddxdyu

dx

dMQfluxo

HHH

000

2..

Os dois primeiros termos da integral podem ser reunidos para obter a seguinte forma

mais compacta:

dxudydx

dudxudyuu

dx

dMQfluxo

HH

00

)(..

Agora, vamos obter a resultante das forças externas. No presente caso, só vamos

considerar as forças de pressão e de atrito.


____________________________


105

- força resultante da pressão: dxdx

dPH

- força de cisalhamento na parede: -dx

0

y

py

udx

Finalmente, a equação integral da camada limite laminar hidrodinâmica pode agora ser

escrita (2ª lei de Newton):

dxudydx

dudxudyuudx

dx

dPH

y

udx

HH

y

000

)(

Se a pressão for constante ao longo do escoamento, como ocorre com o escoamento

sobre uma superfície plana (no caso do escoamento dentro de um canal ou tubo, essa

hipótese não é válida): 0dx

dP

A hipótese de P = cte. também implica em que a velocidade ao longe também seja

constante, já que, fora da camada limite, é valida a eq. de Bernoulli, ou

cteuP

2

De forma que, na forma diferencial: 002

2

duduudP

Assim, a equação da conservação da Q.M. se resume a:

H

y

udy)uu(dx

d

y

u

00

Mas como H > δ a velocidade é constante u = u∞, então:

00

)(

yy

uudyuu

dx

d

Esta é a forma final da equação da conservação da Q.M. válida para o escoamento

laminar sobre uma superfície ou placa plana. Até o presente momento, o

equacionamento é exato, pois nenhuma aproximação foi empregada. A questão é: se

conhecermos o perfil de velocidades u(y), então, a equação acima pode ser integrada.


____________________________


106

Daí, pode se obter, entre outras coisas, a lei de crescimento da camada limite laminar

hidrodinâmica, isto é, a espessura da camada limite laminar numa posição x a partir da

borda de ataque, (x).

A solução aproximada, objeto desta análise, começa quando se admite um perfil de

velocidades na direção perpendicular ao escoamento, isto é, u(y). Claro que a adoção

desse perfil deve seguir certos critérios. Pense: Se você tivesse que admitir tal perfil de

velocidades, provavelmente faria o mesmo que o apresentado aqui. Isto é, você imporia

um polinômio de grau tal que as condições de contorno do perfil de velocidades fossem

satisfeitas. Certo? Pois é exatamente isso é que é feito. Então, primeiro passemos a

analisar as condições de contorno do problema, que são:

0/0

/0

/

0/0

2

2

ypy

u

ypy

u

ypuu

ypu

As três primeiras condições de contorno são simples e de dedução direta. A primeira

informa que a velocidade na superfície da placa é nula (princípio de não-

escorregamento); a segundo diz que fora da CL a velocidade é a da corrente fluida e a

terceira diz que a transição entre a CL e a corrente livre é “suave”, daí a derivada ser

nula. A última c.c. é um pouco mais difícil de perceber. Há de se analisar a equação

diferencial da conservação da quantidade de movimento da camada limite laminar (aula

anterior que requer que essa condição seja nula sobre a superfície da placa). Como são

quatro as condições de contorno, uma distribuição que satisfaz estas condições de

contorno é um polinômio do 3º grau, dado por:

3

4

2

321)( yCyCyCCyu

Daí, aplicando as c.c. para se obterem as constantes C1 a C4, tem-se o perfil aproximado

de velocidades: 3

2

1

2

3)(

yy

u

yu

Introduzindo-o na eq. da Q. M., vem:


____________________________


107

00

33

2

2

1

2

3

2

1

2

31

yy

udy

yyyy

dx

du

Do que resulta, após algum trabalho:

u

udx

d

2

3

280

39 2

Integrado essa equação por partes, lembrando que para x = 0 δ = 0 (a CL começa

na borda de ataque):

x

dxdu

00840

78

ou,

u

vxx 64,4)( , ou

xx

x

Re

64,4)(

Lembrando da aula anterior que solução exata (Blasius) fornece: x

x

x

Re

5)(

Ver Holman Apêndice B ou Incropera

Considerando as aproximações realizadas, o resultado aproximado é bastante razoável.

Camada Limite Térmica Laminar

Uma vez resolvido o problema hidrodinâmico acima, agora se pode resolver o problema

térmico, tendo sempre como alvo a obtenção do coeficiente de transferência de calor, h.

Note que junto à superfície todo calor transferido da superfície para o fluido se dá por

condução de calor e depois este fluxo de calor vai para o fluido. De forma, que se

podem igualar os dois termos da seguinte maneira:

0

)(

y

py

TkTTh , ou

TT

y

Tk

hp

y 0

Assim, para se obter o coeficiente de transferência de calor é preciso conhecer a

distribuição de temperaturas T(y). De forma semelhante ao que foi feito para o caso

hidrodinâmico, pode-se aplicar as seguintes c.c. para a distribuição de temperaturas:


____________________________


108

Condições de contorno

0/0

/

/0

0/

2

2

ypy

T

ypTT

ypy

T

ypTT

t

t

p

Método integral (aproximado)

x

y

x0

t u

T

cteTp

Considere a figura acima, em que o aquecimento da superfície começa a partir de um

ponto x0, a partir da borda de ataque. De forma análoga ao caso hidrodinâmico,

desenvolvendo um balanço de energia num V.C. de espessura maior que δ, vem:

(ver Holmam)

00

2

0

)(

y

H

p

H

y

Tdy

dy

du

cudyTT

dx

d

Admitindo uma distribuição polinomial de grau 3 para a distribuição de temperaturas e

aplicando as c.c., vai se obter a seguinte curva aproximada: 3

2

1

2

3)()(

ttp

p yy

TT

TyTy

(o mesmo que o de velocidades, pois as c.c. são as mesmas)

Desprezando o termo de dissipação viscosa, obtém-se a seguinte relação entre as

espessuras de camadas limites:

3/1

4/3

03/1 1Pr026,1

1

x

xt

Se a placa for aquecida ou resfriada desde a borda, x0 = 0, temos


____________________________


109

3/1Pr026,1

1 t

No desenvolvimento admitiu-se δt < δ o que é razoável para gases e líquidos

11

11

/Pr

t

Finalmente, agora, podemos calcular o h, por substituição da distribuição de

velocidades, calculada junto à parede

tttp

p

p

y

x

kk

TT

TTk

TT

y

Tk

h

2

3

2

3

2

3

)(

)(0 , ou

3/14/3

0

3/1

1Pr026,1

2

3

x

xkhx

, ou ainda

3/1

4/3

0

2/1

3/1 1Pr332,0

x

x

x

ukhx

Lembrando da definição do número de Nusselt, k

xhNu x

x , vem:

3/14/3

02/13/1 1RePr332,0

x

xNu xx

As equações anteriores são para valores locais.

O coeficiente médio de transferência de calor será, se x0 = 0:

L

x

dxu

L

dxh

h

LL

x

L

0

2/1

2/1

3/1

0

Pr332,0

, ou

2/

Pr332,0 2/1

2/1

3/1

L

Lu

hL

, ou finamente:

LxL hL

uh

2Pr332,02

2/1

3/1

Analogamente, para esse caso:


____________________________


110

312166402 //LLxL PrRe,Nu

k

LhuN

Note que é a mesma expressão da solução exata!

Quando a diferença de temperatura do fluido e da placa for substancial, as

propriedades de transporte do fluido devem ser avaliadas á temperatura de película, Tf

2

TTT

p

f

E se o fluxo de calor for uniforme ao longo da placa, tem-se:

31214530 //LL PrRe,

k

hLNu

Note que as dependências de Re e Pr são as mesmas, variando somente a constante de

multiplicação (0,453 no lugar de 0,664).

Ver exercícios resolvidos do Holmam 5.4 e 5.5

Exemplo resolvido (extraído do livro de Pitts e Sissom)

Num processo farmacêutico, óleo de rícino (mamona) a 40ºC escoa sobre uma placa

aquecida muito larga de 6 m de comprimento, com velocidade de 0,06 m/s. Para uma

temperatura de 90ºC. Determine:

(a) a espessura da camada limite hidrodinâmica ao final da placa

(b) a espessura da camada limite térmica t no final da placa

(c) o coeficiente de transferência de calor local e médio ao final da placa

(d) o fluxo de calor total transferido da superfície aquecida.

São dados:

Propriedades calculadas a CT f

0652

9040

= 7,3810-8

ms/s

fk = 0,213 W/moC

= 6,510-5

m2/s

= 9,57102 kg/m

3

= 6,2210-2

N.s/m2

pC = 3016 Ck

J

g

CTp 90

u

T

t


____________________________


111

Solução

Verificação se o escoamento é laminar ao final da placa

)105(Re5538105,6

606,0Re 5

5

transiçãoL

Lu

É laminar!

Método Exato Método Aproximado a)

xx Re

5

; x = L = 6m

m40,05538

65

xx Re

64,4

; x = L = 6m

m37,05538

664,4

b) 3/1

8

53/13/1 881

1038,7

105,6)/(Pr

t

mt 042,0881

4,03/1

3/1Pr026,1

1 t

mt 037,0881

37,0

026,1

13/1

c) 2/1

3/1Pr332,0

L

ukhx

Cm

W

hx

2

2/1

5

3/1

4,8

6105,6

06,0)881(213,0332,0

Cm

Whh LxL

28,164,822

2/1

3/1Pr332,0

L

ukhx

Obs*: Tanto a solução exata como a aproximada leva a constante ao mesmo valor de 0,332

Cm

Whx

2

4,8

Cm

Whh LxL

28,164,822

d) )( TThAq s

m

W

TTLhL

qs

p

5040

)4090(68,16)(

)( TThAq s

m

W

TTLhL

qs

p

5040

)4090(68,16)(

Analogia de Reynolds – Colburn ou Analogia entre Transf. de Calor e Atrito

Como visto nas aulas anteriores, a transferência de calor e de quantidade de movimento

(atrito superficial) são regidas por equações diferenciais análogas. Na verdade, esta

analogia entre os dois fenômenos é muito útil e será explorada nesta seção. Essa é a

chamada analogia de Reynolds-Colburn que, portanto, relaciona o atrito superficial com

a transferência de calor. Qual a sua utilidade? Bem, em geral dados de medição

laboratorial de atrito superficial podem ser empregados para estimativas do coeficiente


____________________________


112

de transferência de calor. Isto é uma grande vantagem, pois, pelo menos no passado, os

dados de atrito eram bem mais abundantes que os de transferência de calor.

Por definição, o coeficiente de atrito é dado por:

2

2

u

Cp

f

Mas, por outro lado, para um fluido newtoniano (todos os que vamos lidar neste curso),

a tensão de cisalhamento na parede é:

0

y

py

u

Usando o perfil de velocidades desenvolvido na aula 14, ou seja:

3

2

1

2

3

yy

u

u,

temos que a derivada junto à parede resulta em:

u

y

u

y2

3

0

Por outro lado, usando o resultado da solução integral ou aproximada da espessura da

camada limite, isto é, x

x Re

64,4

que, mediante substituição na definição da tensão de

cisalhamento na parede, resulta em:

x

uu x

p

Re323,0

2

3

Substituindo este resultado na equação da definição do coeficiente de atrito, vem:

x

xfx

xu

uC

Re

323,0Re323,0

2 2

Por outro lado, da aula anterior, chegou-se à seguinte expressão para o número de

Nusselt,2/13/1 RePr332,0 xxNu que, mediante algum rearranjo pode ser escrito como:

2/13/2 RePr332,0PrRe

x

St

x

x

x

Nu

, onde Stx

uc

h

p

x

é o número de Stanton. Então,

reescrevendo de forma compacta:

x

xStRe

332,0Pr 3/2


____________________________


113

Comparando as duas equações anteriores em destaque, notamos que eles são iguais a

menos de uma diferença de cerca de 3% no valor da constante, então, esquecendo desta

pequena diferença podemos igualar as duas expressões para obter:

2Pr 3/2 fx

x

cSt

Esta é a chamada analogia de Reynolds-Colburn. Ela relaciona o coeficiente de atrito

com a transferência de calor em escoamento laminar sobre uma placa plana. Dessa

forma, a transferência de calor pode ser determinada a partir das medidas da força de

arrasto sobre a placa. Ela também pode ser aplicada para regime turbulento (que será

visto adiante) sobre uma placa plana e modificada para escoamento turbulento no

interior de tubos. Ela é válida tanto para valores locais, como para valores médios.

______________________________________________________________________

Exemplo resolvido – continuação do anterior Calcule a força de arrasto sobre a placa do exemplo anterior.

Sabe-se que 3/2Pr

2tS

C f

Por outro lado, 5

21070,9

06,030161057,9

8,16

uc

htS

p

L

Assim da analogia, podemos obter 23/25 1078,1881107,92 fC , de forma

que a tensão de cisalhamento na superfície é:

2

2222

1007,32

)06,0(9571078,1

2 m

NuC fp

Finalmente, a força de atrito por unidade de largura é:

m

NL

L

Fp

p

184,061007,3 2

______________________________________________________________________



114

AULA 15 –CAMADA LIMITE TURBULENTA E TRANSFERÊNCIA DE CALOR EM ESCOAMENTO

EXTERNO

Camada Limite Turbulenta A transferência de calor convectiva na camada limite turbulenta é fenomenologicamente

diferente da que ocorre na camada limite laminar. Para entender o mecanismo da

transferência de calor na camada limite turbulenta, considere que a mesma possui três

subcamadas, como ilustrado no esquema abaixo:

x

yturbulenta

Camada amortecedora

Sub camada laminar

A CLT é subdividida em:

- Subcamada laminar – semelhante ao escoamento laminar – ação molecular - Camada amortecedora – efeitos moleculares ainda são sentidas - Turbulento – misturas macroscópicas de fluido

Para entender os mecanismos turbulentos, considere o exercício de observar o

comportamento da oscilação da velocidade local (isto é, em um ponto do escoamento),

o que é ilustrado no gráfico temporal abaixo.

t

u

u

Do gráfico ilustrado, depreende-se que a velocidade instantânea, u, flutua

consideravelmente em torno de um valor médio, u . Este fato da flutuação da

velocidade local em conjunção com a flutuação de outras grandezas, embora possa

parecer irrelevante, é o que introduz as maiores dificuldades no equacionamento e no

que se chama “problema da turbulência”. Para analisar o problema, costuma-se dividir a



115

velocidade instantânea em dois componentes: um valor médio e outro de flutuação,

como indicado:

velocidade na direção paralela: 'uuu

velocidade na direção transversal: 'vvv

O mesmo se faz com o termo de oscilação da pressão local:

pressão: fluctuacàomedio

táneoinsvalor

PPP '

tan

Em todos os casos, uma barra sobre a grandeza indica um valor médio e uma apóstrofe,

valor de flutuação. Os termos de flutuação são responsáveis pelo surgimento de forças

aparentes que são chamadas de tensões aparentes de Reynolds, as quais devem ser

consideradas na análise.

Para se ter uma visão fenomenológica das tensões aparentes, considere a ilustração da

camada limite turbulenta abaixo. Diferentemente do caso laminar, em que o fluido se

“desliza” sobre a superfície, no caso turbulento há misturas macroscópicas de “porções”

de fluido. No exemplo ilustrado, uma “porção” de fluido (1) está se movimentando para

cima levando consigo sua velocidade (quantidade de movimento) e energia interna

(transferência de calor). Evidentemente, uma “porção” correspondente (2) desce para

ocupar o lugar da outra. Isso é o que dá origem às flutuações. Do ponto de vista de

modelagem matemática, essas “simples” movimentações do fluido dentro da camada

limite dão origem às maiores dificuldades de modelagem.

Uma análise mais detalhada do problema da transferência de calor turbulenta foge do

escopo deste curso. Assim, referira-se a uma literatura mais específica para uma análise

mais profunda. No entanto, abaixo se mostram os passos principais da modelagem.

O primeiro passo é escrever as equações diferenciais de conservação – aula 13. Em

seguida, substituem-se os valores instantâneos pelos termos correspondentes de média e

flutuação, isto é, 'uuu , 'vvv e 'PPP . Esse procedimento é chamado de



116

médias temporais de Reynolds. Começando pela equação da conservação da quantidade

de movimento, tem-se:

x

P

y

u

y

uv

x

uu

1

2

2

Agora, substituindo a decomposição das grandezas, 'uuu , 'vvv e 'PPP ,

PPx

uuy

uuy

vvuux

uu

1

2

2

x

P

x

P

y

u

y

u

y

uv

y

uv

y

uv

y

uv

x

uu

x

uu

x

uu

x

uu

11

2

2

2

2

Neste ponto é conveniente realizar uma média temporal sobre um intervalo de tempo

T = t2 - t1 longo o suficiente para capturar as informações relevantes de flutuação do

escoamento. Para isso, define-se, a seguinte média temporal sobre uma grandeza

instantânea f (ou sua derivada espacial) qualquer:

2

1

1 t

t

dt )t(fT

f

As seguintes propriedades se aplicam:

011112121

f e s

f

s

f ,ff ,fCCf ,ffff 11

sendo, C uma constante no intervalo de tempo e s é uma coordenada espacial (x, y ou z).

Assim, aplicando a média temporal sobre a equação anterior, vem:

x

P

x

P

y

u

y

u

y

uv

y

uv

y

uv

y

uv

x

uu

x

uu

x

uu

x

uu

11

2

2

2

2

Usando as propriedades de média temporal, obtém-se a seguinte equação:



117

00

2

2

2

2

000

11

x

P

x

P

y

u

y

u

y

uv

y

uv

y

uv

y

uv

x

uu

x

uu

x

uu

x

uu

Reescrevendo, vem:

y

uv

x

uu

x

P

y

u

y

uv

x

uu

1

2

2

Ainda, vamos tratar em separado as médias temporais que envolvem as flutuações

(termos entre parênteses). O seguinte artifício matemático pode ser escrito:

x

vu

x

vu

x

uv e

x

uu

x

uu

x

uu

De forma que aqueles termos podem ser escritos como:

0

x

v

x

uu

x

vu

x

uu

x

uv

x

uu

O termo entre parênteses do lado direito é nulo pela lei da conservação de massa.

Substituindo a igualdade acima, obtém-se a forma da equação diferencial turbulenta da

conservação da quantidade de movimento:

x

vu

x

uu

x

P

y

u

y

uv

x

uu

1

2

2

Como indicado acima, no processo de obtenção desta equação, admitiu-se que a média

temporal das flutuações e suas derivadas são nulas. Com isso surgiram termos que

envolvem a média temporal da derivada do produto das flutuações, que são os termos

entre parênteses. Por fim, ainda existe uma última simplificação que envolve a camada

limite. Para o caso do escoamento bidimensional verifica-se que o gradiente do produto

das flutuações na direção principal x (primeiro termo dos parênteses) é desprezível em

relação ao segundo termo, de forma que a equação final da conservação da quantidade

de movimento turbulenta é:



118

x

vu

x

P

y

u

y

uv

x

uu

1

2

2

Aqui reside grande parte do problema da turbulência que é justamente se estabelecer

modelos para estimar o gradiente da média temporal do produto das flutuações das duas

componentes de velocidade. Este termo dá origem às chamadas tensões aparentes de

Reynolds que têm um tratamento à parte.

De forma análoga, pode-se estabelecer a equação da energia para a camada limite

turbulenta, o que resulta em:

'T'vCy

Tk

yy

Tv

x

TuC pp

Por semelhança ao caso laminar, definem-se:

Viscosidade turbilhonar: uvy

uM

e

Difusividade turbilhonar: Tvy

TH

Assim, definem-se a tensão de cisalhamento total turbulenta por: y

uMt

,

e transferência de calor total turbulenta: y

TCq Hpt

Distante da parede, o domínio da viscosidade e da difusividade turbilhonares é superior

em relação às grandezas moleculares, isto é, M e H . De forma que se

pode definir um número de Prandtl turbulento, HMt /Pr aproximadamente

unitário. Isso indica que os transportes de energia e de quantidade de movimento nessa

região ocorrem na mesma proporção e que os perfis de temperatura e de velocidade

médios sejam mais uniformes nesta região.

O estudo das grandezas turbilhonares dão origem aos perfis de velocidade e temperatura

universais. Importante frisar, que as muitas análises indicam que a analogia de

Reynolds-Colburn entre atrito superficial e transferência de calor pode ser estendida



119

para região turbulenta. É objeto dos estudos de turbulência adequadamente modelar os

efeitos das variações instantâneas das grandezas, o que foge do escopo destas notas de

aula.

É importante saber que existem dois regimes de transferência de calor: laminar e

turbulento. Também existe uma região de transição entre os dois regimes. Expressões

apropriadas para cada regime em separado e em combinação estão indicadas na tabela

7.9 do Incropera e Witt.

Resumo das expressões de transferência de calor para regime turbulento sobre

superfícies planas:

Local : 318,0 PrRe0296,0 xxNu 60Pr6,010Re 8 x

Médio : 318,0 Pr871Re037,0 LLNu 810Re L

2,0Re37,0 xx

810Re L

Nota: para outras expressões ver livro-texto – ou tabela ao final desta aula.

As propriedades de transporte são avaliadas à temperatura de mistura (média entre superfície e ao longe). Reynolds crítico = 5 105

_____________________________________________________________________ Exemplo resolvido (Holman 5-7) Ar a 20oC e 1 atm escoa sobre uma placa plana a 35 m/s. A placa tem 75 cm de comprimento e é mantida a 60ºC. Calcule o fluxo de calor transferido da placa.

Propriedades avaliadas à CT

402

6020

Ckg

kJcp

007,1 3

128,1m

kg 7,0Pr

Cm

Wk

02723,0

ms

kgx 510007,2

610475,1Re xVL

L

2055)871Re037,0(Pr 8,03/1 LL

k

LhNu

CmWNuL

kh L 2/6,74

WTTAhq s 2238)2060.(1.75,0.6,74)(

______________________________________________________________________



120

Escoamento Cruzado sobre Cilindros e Tubos No caso do escoamento externo cruzado

sobre cilindros e tubos, a análise se torna

mais complexa. O número de Nusselt

local, dado em função do ângulo de

incidência , isto é, Nu(), é fortemente

influenciado não só pela formação das

camadas limites, como também pelo efeito

do descolamento da camada limite. A

figura ao lado indica o que acontece com o

número local de Nusselt. Para ReD 105, o

número de Nusselt decresce como

consequência do crescimento da camada

limite laminar (CLL) até cerca de 80o.

Após este ponto, o escoamento se descola

da superfície destruindo a CLL e gerando

um sistema de vórtices e mistura que

melhora a transferência de calor (aumento de Nu(). Para ReD > 105, ocorre a transição

de laminar para turbulento e, portanto, a formação da camada limite turbulenta (CLT).

Na fase de transição (80o a 100o) ocorre a melhora da transferência de calor. Uma vez

iniciada a CLT, novamente se verifica a diminuição do coeficiente local de transferência

de calor devido ao crescimento da CLT para, em torno de 140o, descolar o escoamento

da superfície que destrói a CLT para, então, gerar o sistema de vórtices e mistura que

volta a melhorar a transferência de calor. No caso turbulento há, portanto, dois mínimos.

Embora do ponto de vista de melhoria da transferência de calor possa ser importante

analisar os efeitos locais do número de Nusselt, do ponto de vista do engenheiro e de

outros usuários é mais proveitoso que se tenha uma expressão para a transferência de

calor média. Assim, uma expressão bastante antiga tem ainda sido usada, trata-se da

correlação empírica de Hilpert, dada por:

3

1

PrRem

DD Ck

DhNu

onde, D é o diâmetro do tubo. As constantes C e m são dadas na tabela abaixo como

função do número de Reynolds.



121

ReD C m

0,4 – 4 0,989 0,330 4 – 40 0,911 0,385

40 – 4.000 0,683 0,466 4.000 – 40000 0,193 0,618

40.000 – 400.000 0,027 0,805

No caso de escoamento cruzado de um gás sobre outras seções transversais, a mesma

expresssão de Hipert pode ser usada, tendo outras constantes C e m como indicado na

próxima tabela (Jakob, 1949).

Para o escoamento cruzado de outros fluidos sobre cilindros circulares, uma expressão

mais atual bastante usada é devida a Zhukauskas, dada por

4/1

Pr

PrPrRe

s

nm

DD CNu válida para

610Re1

500Pr7,0

D

,

onde as constantes C e m são obtidas da tabela abaixo. Todas às propriedades são

avaliadas à T∞, exceto Prs que é avaliado na temperatura de superfície (parede). Se

Pr 10, use n = 0,37 e, se Pr > 10, use n = 0,36.



122

ReD C m 1 – 40 0,75 0,4

40 – 1.000 0,51 0,5 1.000 – 2105 0,26 0,6 2105 – 106 0,076 0,7

____________________________________________________________

Escoamento sobre Banco de Tubos

Escoamento cruzado sobre um banco de tubos é muito comum em trocadores de calor.

Um dos fluidos escoa perpendicularmente aos tubos, enquanto que o outro circula

internamente. No arranjo abaixo, apresentam-se dois arranjos típicos. O primeiro é

chamado de arranjo em linha e o outro de arranjo desalinhado ou em quicôncio.

Arranjos em linha ou quicôncio

Existem várias expressões práticas para a transferência de calor sobre banco de tubos.

Para o ar, pode se usar a expressão de Grimison, que também pode ser modificada para

outros fluidos, como discutido em Incropera (Seção 7.6). Mais recentemente,

Zhukauskas apresentou a seguinte expressão:

4/1

36,0max, Pr

PrPrRe

s

m

DD CNu

válida para

6max, 10.2Re1000

500Pr7,0

20

D

LN

onde, NL é o número de fileiras de tubos e todas as propriedades, exceto Prs (que é

avaliada à temperatura da superfície dos tubos) são avaliadas à temperatura média entre

a entrada e a saída do fluido e as constantes C e m estão listadas na tabela abaixo.



123

Configuração ReD,max C m

Alinhada 10-102 0,80 0,40

Em quicôncio 10-102 0,90 0,40

Alinhada

Em quicôncio

102-103 Aproximado como um único

102-103 cilíndro (isolado)

Alinhada (ST/SL>0,7)a 103-2105 0,27 0,63

Em quicôncio (ST/SL<2) 103-2105 0,35(ST/SL)1/5 0,60

Em quicôncio (ST/SL>2) 103-2105 0,40 0,60

Alinhada 2x105-2106 0,021 0,84

Em quicôncio 2x105-2106 0,022 0,84

a Para ST/SL>0,7 a transferência de calor é ineficiente, e tubos alinhados não deveriam ser utilizados.

Se o número de fileiras de tubos for inferior a 20, isto é, NL < 20, então deve-se corrigir

a expressão acima, multiplicando o resultado obtido por uma constante C2, conforme

expressão abaixo e valores dados na segunda tabela abaixo.

202

20

LL ND

ND NuCNu

Tabela com o fator de correção C2 para NL<20 (ReD>103)

NL 1 2 3 4 5 7 10 13 16

Alinhada 0,70 0,80 0,86 0,90 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

Em quicôncio 0,64 0,76 0,84 0,89 0,92 0,95 0,97 0,98 0,99

O número de Reynolds ReD,max é calculado para a velocidade máxima do fluido que

percorre o banco de tubos. No arranjo em linha, a velocidade máxima ocorre em

VDS

SV

T

T

max , onde as grandezas podem ser vistas na figura anterior. No arranjo em

quicôncio ou desalinhado, a velocidade máxima pode ocorrer em duas regiões,

conforme ilustrado na figura anterior. Vmax ocorrerá na seção A2 se a seguinte condição

for satisfeita )()(2 DSDS TD que, após uma análise trigonométrica simples, se

obtém a seguinte condição equivalente 22

212

2 DSSSS TT

LD

. Se isso



124

acontecer, então: VDS

SV

D

T

)(2max . Caso essa condição não seja satisfeita, então, a

velocidade máxima ocorre em A1 e, portanto, usa-se novamente VDS

SV

T

T

max .

Tabelas- resumo com as equações (Incropera & Witt)



125

______________________________________________________________________

Exercício de Aplicação

Verifica-se um escoamento de ar a uma velocidade de 4 m/s e temperatura de 30°C.

Neste escoamento de ar é colocada uma fina placa plana, paralelamente ao mesmo, de

25 cm de comprimento e 1 m de largura. A temperatura da placa é de 60°C.

Posteriormente, a placa é enrolada (no sentido do comprimento) formando um cilindro

sobre o qual o escoamento de ar vai se dar de forma cruzada. Todas as demais

condições são mantidas. Pede-se:

(a) Em qual caso a troca de calor é maior.

(b) Qual o fluxo de calor trocado em ambos os casos.

(c) Analisar se sempre há maior troca de calor numa dada configuração do que na

outra, independentemente do comprimento e velocidade do ar. Justifique sua

resposta através de um memorial de cálculo.



126

Solução

Propriedades do ar à CTT

Tp

45

2

ν = 1,68 x 10-5 m2/s k = 2,69 x 10-2 W/mK Pr = 0,706 Placa

L=0,25m

CTp 60

smu /4

CT 30

critL xLu

Re1095,51068,1

25,04Re 4

5

5105

2,144)706,0()1095,5(664,0PrRe664,0 3/12/143/12/1 xNu LL

Assim CmWL

kNuhL

2/56,15

25,0

02697,02,144

Cilindro

D

CTs 60 Tu ,

πD = L D = 0,25/π = 0,0796 m

Assim, 45

10895,11068,1

0796,04Re

D

Usando a expressão de Hilpert (a mais simples) (Eq. 7.55b)

3/1PrRem

DD CNu p/ReD=1,895104 C = 0,193

m = 0,618

Assim, 63,75)706,0()10895,1(193,0 3/1618,04 DNu

de forma que: KmWD

kNuh

DD

2/63,250796,0

02697,063,75

a) A transferência de calor é maior no caso do cilindro pois LD hh e a área de troca de calor é a mesma.



127

b) Placa

WQ

TTAhQ

placa

ppplaca

7,116

3025,056,15

)(

Cilindro

WQ

TTAhQ

cil

pccil

2,192

3025,063,25

)(

c) Porção laminar 5

, 105Re Lcrit

Note que 51059,1Re/ReRe DLD sendo equivalente ao crítico.

3/12/1 PrRe664,0

LL

L

kh

(A)

m

D

m

DD CL

kC

D

kh Re

PrRePr

3/13/1 (B)

Portanto de (A), 2/1

3/1

Re664,0

Pr

L

Lh

L

k , que, pode ser subst. em (B), para obter

Lm

D

D

Lm

DD hC

hCh 5,0

2/1Re669,2

Re664,0

Re

Ou 5,0Re669,2 m

D

L

DC

h

h para o caso laminar na placa

Porção laminar-turbulenta ReL> Recrit =5105

3/18,0 Pr)871Re037,0( LLNu (Eq. 7.41 p/camada limite mista)

De donde 3/18,0 Pr)871Re037,0( L

L

k

Lh e

871Re037,0

Pr8,0

3/1

L

Lh

L

k (C)

sub. em (B), vem 871Re037,0

Re8,0

L

Lm

DD

hCh

Subs. ReL = πReD, vem: 871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h

Finalmente para o caso laminar e turbulento na placa

871Re037,0

Re8,0

L

m

D

L

D C

h

h



128

Os diversos valores de C e m da expressão de Hilpert foram substituídos nas expressões

das razões entre os coeficientes de transferência de calor e aparecem na tabela abaixo e,

em forma gráfica. Evidentemente, a transferência de calor será sempre maior no caso do

cilindro (na faixa de validade das expressões)

ReD C m hD/hL regime

4 0,898 0,33 2,09 laminar

40 0,911 0,385 1,59 “

4000 0,683 0,466 1,38 “

40000 0,193 0,618 1,8 “

159000 0,027 0,805 2,78 “

200000 0,027 0,805 2,15 lam-turb

400000 0,027 0,805 1,43 “

L

D

h

h

ReD

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

3,00

1 10 100 1000 10000 100000 1000000


____________________________ www.usp.br/sisea - © José R. Simões Moreira – atualização Outubro/2016

AULA 16 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE TUBOS E DUTOS - LAMINAR

Considerações hidrodinâmicas do Escoamento Diferentemente do escoamento externo sobre corpos e superfícies, a camada limite interior tem início e crescimento sobre a superfície interna do tubo ou duto que, dependendo do comprimento do tubo, vai se coalescer na linha central, como ilustrado abaixo. O comprimento até que isso ocorra é chamado de comprimento de entrada. A partir desse ponto, diz-se que o escoamento é plenamente desenvolvido. Desenvolvimento da camada limite laminar

xe – comprimento de entrada x > xe – escoamento plenamente desenvolvido O número de Reynolds agora deve ser baseado no diâmetro do tubo (ou duto), isto é:

Du

D Re , sendo u – velocidade média

O caso laminar vai ocorrer para 2300Re D e, nesse caso, o comprimento de entrada

se estende até D

e

D

xRe05,0

Desenvolvimento da camada limite turbulenta No caso turbulento, dá-se início ao desenvolvimento da camada limite laminar, porém, essa camada limite sofre uma transição para camada limite turbulenta, como indicado na figura abaixo.



Nesse caso, Dxe 10 . O número de Reynolds vai indicar se o escoamento é turbulento,

quando seu valor será superior a 4000, isto é, 4000Re D . Entre 2300 e 4000 ocorre

transição laminar-turbulento. Para efeitos práticos, porém, pode-se assumir escoamento

turbulento a partir de 2300.

TEMPERATURA MEDIA DE MISTURA No caso do escoamento interno, existe um problema de referenciar a transferência de

calor. Para exemplificar essa dificuldade, considere os escoamentos externos e internos

ilustrados abaixo. No primeiro caso, o cálculo da transferência de calor se dá levando

em consideração a temperatura da superfície, Ts, e do fluido ao longe, T∞, que é

constante. Isso já não ocorre no caso do escoamento no interior de tubos e dutos. Não

existe uma temperatura ao longe constante, T∞, para efetuar o cálculo da troca térmica

pela lei de resfriamento de Newton. Deve-se, portanto, utilizar uma temperatura

representativa do fluido na seção de interesse, Tm. Não se pode ser a temperatura média

aritmética simples, pelos motivos expostos abaixo. Há de ser uma temperatura que

efetivamente represente a temperatura do fluido na seção. Esta é a chamada temperatura

média de mistura ou de copo.

)(cte

s TThAq

T

sT

C.L.

externo

)( ms TThAq

sT

interno

Para se entender como obter a temperatura média de mistura, considere os seguintes

perfis de temperatura e velocidade em um fluido sendo aquecido:

sT

cT



Note que as maiores temperaturas ocorrem junto à parede, porém nessa região é

exatamente onde ocorrem as menores velocidades. Assim, a média aritmética simples

TdAA

Tm

1 não representa a temperatura efetiva da seção. Para obter a temperatura

efetiva da seção, considere o exercício mental em que uma porção da seção transversal

do tubo com fluido é colocada dentro de um copo. Há de se concordar que a

temperatura efetiva que representa a seção é aquela temperatura decorrente do equilíbrio

térmico daquela porção de fluido. Certo? Sim, isto está correto e daí o nome alternativo

de temperatura de copo (“cup” que significa literalmente “caneca” no vernáculo

original).

dx

(copo)mequilibrio TT

Para determinar essa temperatura, considere o fluxo entálpico, hE , na seção transversal

dado por: A

h uhdAmhdE0

.

Assim, pode-se definir a entalpia média, hm, na seção transversal por:

mh

A

m hmEuhdAm

h

0

1

Mas, sabendo que mpm Tch , então: A

P

P

m TdAuCmC

T0

1

Se CP= cte., vem que A

m uTdAm

T0

1

Mas, por definição a vazão mássica na seção transversal é dada por A

udAm0

Assim, chega-se na expressão da definição da temperatura média de mistura ou

temperatura de copo, qual seja:

A

A

m

udA

uTdA

T

0

0



Para o caso do duto circular a área da seção transversal é dada por

rdrdArA 22 que, substituindo na expressão acima, resulta em:

r

r

m

urdr

uTrdr

T

0

0

(Válida para tubo circular)

Além do mais, se ρ= cte, vem

R

R

m

urdr

uTrdr

T

0

0 (válida para tubo circular)

Transferência de Calor no Escoamento Laminar no Interior de Duto Conhecida a expressão para o cálculo da temperatura média de mistura, pode-se

determinar a transferência de calor, caso sejam conhecidas as distribuições de

velocidade e de temperatura na seção transversal, isto é, u(r) e T(r). O caso laminar

fornece tais expressões, como veremos a seguir. Considere o perfil laminar de

velocidades ilustrado abaixo. No diagrama à direita, tem-se um balanço de forças para o

elemento de fluido.

ra

q

r

Elemento de fluido

)2( rdx

dx

2)( rdpp )( 2rp

Um balanço de forças, resulta em: )2(2rdxdpr , ou dx

dr

durdp 2 , ou ainda:

drdx

dprdu

2

Integrando na direção radial. Note que a pressão estática é a mesma na seção

transversal, isto é, p p(r), vem que Cdx

dpru

4

2

A constante C é determinada da condição de parede, isto é,

u = 0 r = r0 dx

dprC

4

. 20

r0



Assim, )(4

1)( 22

0 rrdx

dpru

Velocidade no centro do tubo, u0: dx

dpru

4

20

0

Finalmente, dividindo uma expressão pela outra, tem-se:

20

2

0

1)(

r

r

u

ru O perfil de velocidades é parabólico (2º grau)!!

Admitindo-se fluxo de calor constante na parede do tubo: 0dx

dq p

Um balanço de energia para o elemento de fluido anterior resulta em:

x

T

r

Tr

rr

11

Como o fluxo de calor e constante ao longo do tubo, então: ctex

T

Por outro lado, por simetria no centro do tubo, sabe-se que 00

rr

T e, na parede do

tubo cteqr

Tk p

rr

0

Entrando com estas c.c na equação acima e integrando, resulta no seguinte perfil laminar de temperaturas:

4

0

2

0

200

0 4

1

4

1)(

r

r

r

rru

x

TTrT

Finalmente, pode-se agora introduzir os perfis de velocidade, u(r) e temperatura, T(r),

na equação da definição da temperatura média de mistura 00

00

rr

m urdruTrdrT

Após algum esforço, se obtém x

TruTTm

200

0 96

7 (para fluxo de calor constante na

parede).



Para se poder calcular a transferência de calor, ainda é preciso obter a temperatura de

parede (r = r0). Isto é prontamente obtido da expressão de T(r), que resulta em:

x

TruTTp

2

000 16

31

(fluxo de calor constante)

Agora, finalmente, o coeficiente de transferência de calor laminar em tubo circular com

propriedades constantes, fluxo de calor constante na parece, e escoamento plenamente

desenvolvido pode ser calculado, a partir da sua própria definição:

0

)(rr

mpr

TkATThAq

, ou mp

rr

TT

r

Tk

h

0

Substituindo as expressões, vem:

mP TT

rr

x

TruT

x

TruT

r

r

r

rru

x

TT

rk

h

200

02

000

4

0

2

0

200

0

96

7

16

31

4

1

4

1

0

Após se efetuarem os cálculos, vai-se chegar a D

kh 364,4 ou, 364,4DNu . Este é

um resultado notável, pois o número de Nusselt para escoamento laminar plenamente

desenvolvido, propriedades constantes, submetido a um fluxo de calor constante não

depende do número de Reynolds ou de qualquer outro parâmetro! Se os cálculos forem

efetuados para temperatura de parede constante, vai-se obter 66,3DNu .

Trabalhos teóricos também foram realizados para outras geometrias e seus valores são

apresentados na tabela abaixo. O fator de atrito também é apresentado.

Nos problemas práticos, as propriedades devem ser calculadas à média entre as

temperaturas médias de saída e entrada, isto é: 2

msmem

TTT

quando as diferenças de

temperatura não são significativas. Em caso diferenças significativas, deve-se empregar

o conceito de diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, visto adiante.



No caso de seções transversais não circulares, define-se o chamado diâmetro hidráulico,

Dh, de acordo com:

P

ADh

4 , onde A é a área da seção transversal do tubo e P é o chamado perímetro

molhado (o perímetro que abarca o fluido que está em contato com a parede da

tubulação).

Quando os tubos são curtos, deve-se considerar que o escoamento ainda não está

plenamente desenvolvido e deve-se usar a expressão corrigida. O gráfico abaixo ilustra

como o número de Nusselt varia, começando da entrada, até que o escoamento se torne

plenamente desenvolvido.

Relação para tubo curto: 3/2PrRe)/(04,01

PrRe)/(0668,066,3

D

DD

LD

LDNu

Nu

x

Plenamente desenvolvido

Veja livro para correlações que consideram o comprimento de entrada.



DETERMINAÇÃO DE Tm AO LONGO DO COMPRIMENTO DO TUBO

Em muitas situações, estamos mais interessados em determinar como a temperatura

média de mistura varia ao longo do tubo. Isto é obtido, mediante um balanço de energia,

conforme ilustrado na figura abaixo. É válida para qualquer regime de escoamento, pois

decorre de uma análise da Primeira Lei da Termodinâmica. Note que, nesta seção, h

refere-se à entalpia específica e não ao coeficiente convectivo de calor.

dx

dxxhm xhm

pdAq"

Expansão em serie de Taylor da entalpia, vem ... dxdx

dhhh x

xdxx

Mas, pela 1ª lei, temos: pxdxx dAqhmhm " , que substituindo a expansão, já

desprezando os termos de ordem superior, tem-se

pxx

x dA"qhmdxdx

dhhm

ou, simplesmente px dA"qdx

dx

dhm , sendo Ap = área em contato com o fluido.

Mas, por outro lado PdxdA ; onde P é o perímetro molhado.

De forma que Pdxqdxdx

dhm x "

Ou, ainda, Pqdx

dhm x " . Assumindo cteC/pdTCdh ou,TCh PPmp , tem-se

dx

dTCm

dx

dTAuCPq m

P

m

P "

Dois casos podem ser analisados para ser determinar Tm que dependem da condição de

contorno impostas na parede do tubo.



(I) Fluxo de calor constante na parede. cteq"

Integrando a equação, vem ctexAuC

PqxT

P

m

")(

Para x = 0, Tm = Te, de forma que e

P

m TxAuC

PqxT

"

)(

(II) Temperatura de parede constante Tp = cte Nesse caso, )(" mpxx TThq que, substituindo na expressão Tm, vem

dx

dTCmTTPh m

Pmpx )(

Ou, dxcm

Ph

TT

dT

p

x

mp

m

, cuja integração resulta em ctex

Cm

PhTT

P

c

mp

)ln(

Para x = 0, Tm = Te, de forma que

P

c

ep

mp

Cm

Pxh

TT

xTT

exp

)(

T Tp

Te

Tm

h

h

Fluxo de calor constante na superfície

T

x

Tp

Te

Temperatura de parede constante



138

AULA 17 – TRANSFERÊNCIA DE CALOR NO INTERIOR DE DUTOS - TURBULENTO

Transferência de Calor no Escoamento Turbulento em Dutos – Analogia de Reynolds-Colburn

No caso laminar, a transferência de calor da parede para o fluido (ou vice-versa) é dada

por condução, segundo a lei de Fourier, isto é, dr

dTk

A

q , ou

dr

dT

cA

q

p

No caso de escoamento turbulento, define-se uma expressão análoga que tem a seguinte forma

dr

dT

cA

qH

p

em que, artificialmente, define-se H como difusividade térmica turbilhonar. Analogamente à tensão de cisalhamento , tem-se:

dr

du

dr

dum )(

em que, m é a viscosidade turbilhonar.

Hipótese: Admitindo que o calor e quantidade de movimento sejam transportados a

uma mesma taxa, ou seja, H = m e = α, então tem-se que Pr = 1. De forma que,

dividindo as equações anteriores, vem:

du

dT

Ac

q

p

ou dTduAc

q

p



139

Outra hipótese a ser adotada é que a razão entre o fluxo de calor por unidade de área e o

cisalhamento seja constante na seção transversal, o que permite escrever que o que

ocorre na parede, também ocorre dentro do escoamento, isto é:

ppP

p

P AC

q

AC

q

ou dTdu

AC

q

ppP

p

As condições de contorno do problema são: u = 0 , T = Tp u = um , T = Tm

De forma, que é possível integrar a equação: m

p

m T

T

u

pPp

pdTdu

CA

q

0

que resulta em mpm

pPp

pTTu

CA

q

mas, por outro lado, o fluxo de calor convectivo é dado por )( mppp TThAq . Agora

igualando as duas expressões, tem-se:

mpm

ppp

mppTTu

cA

TThA

)(

que resulta em p

p

m

c

hu (A)

Por outro lado, o equilíbrio de forças no elemento de fluido ilustrado abaixo resulta em:

LrrP p 02

0 2 , ou PL

rp

20

Lrp 02

p

20)( rPP

20rP

L

Mas, da mecânica dos fluidos, sabe-se que a perda de pressão distribuída é dada por:

2

2

0

mu

d

LfP ,



140

sendo, f = fator de atrito (sai do diagrama de Moody ou de uma expressão de ajuste – Colebrook, Churchill, entre outras) Assim, comparando as duas expressões, vem que

2

8 mp uf (B)

Finalmente, pode-se concluir a analogia igualando as equações (A) e (B). Assim:

2

8 m

p

m uf

C

hu

Agora é de interesse que se façam aparecer os adimensionais que controlam o

fenômeno. Para isso, algumas manipulações serão necessárias, começando por

rearranjar a equação acima, para obter:

8

f

uC

h

mp

Agora, conveniente, esta expressão é multiplicada e dividida por algumas grandezas,

conforme indicado abaixo:

8

1 f

DuC

k

k

hD

mp

que, pode ainda ser manipulada para obter: 8

11 f

/uD/k

hD

m

Finalmente, os grupos adimensionais são substituídos:

8

f

RePr

Nu

D

D , ou 8

fSt

Esta é a analogia de Reynolds para escoamento turbulento em tubos. Ela está de acordo

com dados experimentais para gases (Pr ~ 1). Com base em dados experimentais

Colburn recomenda que a relação acima seja multiplicada por Pr2/3 para Pr > 0,5 (até

100). Lembre-se que essa analogia já havia sido desenvolvida para escoamento laminar.

8RePr 31

fNu

D

D , ou 8

Pr 32 fSt

Na faixa de Reynolds entre 2 104, para tubos lisos, f pode ser aproximado pela seguinte

equação de ajuste

2,0Re184,0 Df .



141

Então, obtém-se a famosa expressão de Dittus-Bolter (ligeiramente modificada)

3/18,0 PrRe023,0 DDNu

Na prática, sugere-se que o expoente do número de Prandtl seja do tipo

n

DDNu PrRe023,0 8,0 sendo, n = 0,3 se o fluido estiver sendo resfriado n = 0,4 se o fluido estiver sendo aquecido Para tubos rugosos, usar o diagrama de Moody, como mostrado abaixo, para obter f.

Ou uma expressão de correlação, como por exemplo as expressões de Churchill ou Colebrook:

Expressão de Churchill:

121

5,1

121

Re

88

BAf

D

em que,

16

9,0 27,0Re7

1ln457,2

DA

D

e 16

Re

530.37

D

B



142

A expressão acima tem a vantagem de ajustar de forma suave a transição laminar-turbulento

Expressão de Colebrook (clássica):

2/12/1 Re

51,2

7,3

/log0,2

1

f

D

f D

Correlações válidas considerando a região de entrada para tubos lisos:

0,5 < Pr < 1,5 ��̅̅ ̅̅ � = , 4 �� / − �� / [ + (��) / ] 0,5 < Pr < 1,5

��̅̅ ̅̅ � = , ��0, − 8 �� / [ + (��) / ] CORREÇÃO DEVIDO A PROPRIEDADES VARIAVEIS (A) Laminar As propriedades são calculadas à temperatura de mistura. Acontece que algumas propriedades dependem fortemente da temperatura como, por exemplo, a viscosidade da água: (T = 25°C) ~ 8,90 x 10

-4 kg/ms

(T = 30°C) ~ 7,98 x 10-4

kg/ms

Em 5ºC ocorre uma variação em torno de 10%. Assim, segue-se que a seguinte expressão seja utilizada para levar este efeito em consideração.

n

p

mcor NuNu

m = viscosidade à temperatura da mistura.

p = viscosidade à temperatura da parede Se o fluido for em gás n = 0 (sem correções) Para 0,5 < Tm / Tp < 2,0 (B) Turbulento

n

p

mcor

T

TNuNu

Ver tabela de correlações para outras configurações



143

T – temperatura absoluta n = 0 (resfriamento de gases) n = 0,45 para fases sendo aquecidos (n = 0,15 p/ Co2) se 0,5 < Tm / Tp < 2,0

Líquidos

11,0

Pr

Pr

p

mcor NuNu

Exemplos resolvidos (1) Ar escoa pelo interior de um duto de 5cm de diâmetro. A velocidade do ar é 30m/s e sua temperatura é 15ºC. O comprimento aquecido do tubo é 0,6m com temperatura de parede, Tp = 38ºC. Suponha que o escoamento seja plenamente desenvolvido. Obtenha a transferência de calor e a temperatura de saída do ar.

0,6m

Te TsCTp 38

Calcule as propriedades à temperatura média 2

sem

TTT

Dittus Boelter: 4,08,0 PrRe023,0 DDNu (1)

Balanço de energia: )()( espmp TTCmTTAh (2)

Note que há duas equações e duas incógnitas (Ts e h) Esses tipos de problema devem normalmente serem resolvidos de forma iterativa, conforme esquema abaixo. Primeiro admite-se uma temperatura de saída, calculam-se todas as grandezas envolvidas e depois faz-se a verificação se corresponde ao resultado da segunda equação. Caso contrário, admite-se uma nova temp. de saída.

Admite Ts Calcula Tm Calcula da eq. (1)

Nova Ts

hCompara Ts

com eq. (2)fim

igual

diferente

Ts = 21ºC Tm = 18ºC



144

Tabela A.5 (Holman) A.4 (Incropera) – Interpolação ρ = 1,2191 kg/m3

γ = 14,58 x 10-6 m

2/s Pr = 0,72

cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02554 W/m°C

5

610029,1

1058,14

05,030Re x

x

xVDD

turbulento !!!!

34,206)72,0()5^10029,1(023,0PrRe023,0 4,08,04,08,0 xNu DD

Cm

W

D

kNuh

D

24,105

05,0

02554,0*34,206

De (2)

Cx

TTmc

hATT mp

p

es

7,171838

100056,1072,0

6,005,04,10515

3

Não confere!! Portanto, nova iteração é necessária Assumindo agora Ts = 18ºC Logo, Tm = 16,5ºC, assim: ρ = 1,2262 kg/m3

= 14,40 x 10-6 m2/s Pr = 0,711

cp = 1,0056 kJ/kg°C k = 0,02542 W/m°C

51004,1Re xD skgm /072,0 CmWh 2/27,105

CTs 95,17 OK! Agora, confere

Realizando os próximos cálculos. Pela lei de resfriamento

WTTAhq mps 3,213)5,1638(6,005,027,105)(

Pela 1ª. Lei

WTTcmq esp 2,217)1518(6,1005072,0)(

As diferenças se justificam em função das aproximações usadas e no cálculo das propriedades. (2) Água passa em tubo de 2cm de diâmetro dotado de uma velocidade média de 1 m/s. A água entra no tubo a 20ºC e o deixa a 60ºC. A superfície interna do tubo é mantida a 90ºC. Determine o coeficiente médio de convecção de calor, sabendo que o tubo é longo. Calcule, também, o fluxo de calor transferido por unidade de área de tubo.



145

Solução

As propriedades termofísicas da água serão calculadas à média das temperaturas de misturas da entrada e saída, isto é, a 40ºC. ρ = 992,3 kg/m

3 k = 0,6286 W/m°C cp = 4,174 kJ/kg°C

= 6,531 x 10-4 kg/ms Pr = 4,34

O número de Reynolds do escoamento é

44

10039,310531,6

3,99202,01Re

VD

D

O escoamento é turbulento e o número médio de Nusselt é obtido usando a equação de Dittus-Bolter, vem.

4,08,0 PrRe023,0D

DNu

Assim, 5,15934,410039,3023,0 4,08,04 DNu As propriedades termofísicas da água são dependentes da temperatura, e uma correção deveria ser realizada para o número de Nusselt obtido com a hipótese de propriedades constantes. O número de Prandtl da água a 90oC vale 1,97.

0,17497,1

34,45,159

Pr

Pr11,011,0

P

mcor NuNu

O coeficiente médio de transferência de calor é

Cm

W

D

kNuh

cor

21,5468

02,0

6286,00,174

2/4,27340901,5468)(" mkWTThq p



146

DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT

No exemplo anterior de parede de tubo constante, a temperatura de mistura do fluido

varia de forma exponencial entre a entrada e saída. Assim, os cálculos realizados acima

foram apenas aproximados, pois usamos uma temperatura média representativa do

fluido que foi simplesmente a média aritmética entre a temp. de mistura de entrada e a

de saída. No entanto, prova-se (ver próxima aula) que nestes casos deve-se usar a

diferença média logarítmica de temperatura, DMLT, definida por:

es

es

TT

TTDMLT

ln

sendo, sps TTT e epe TTT

T

x

Tp

Te

Assim, a lei de resfriamento de Newton adequadamente aplicada é DMLTAhq

Refazendo o exercício, vem: CDMLT o2,477030ln

7030

- compare com CT o50

Assim, 2/1,2582,471,5468)(" mkWDMLThq

Como última informação, perceba que se as diferenças de temperatura entre a entrada e

saída não forem muito grandes, a DMLT vai tender a diferença entre a temperatura de

parede e a média entre as temperaturas de mistura de entrada e saída. A DMTL será

estudada detalhadamente na próxima aula.



147

Outro exemplo de Aplicação Um tubo de um aquecedor solar é exposto a uma radiação térmica uniforme e constante de 1000 W/m por meio de um concentrador. O diâmetro do tubo é de 60mm.

1) se a água entra no tubo a skgm /01,0 e Tm,1 = 20°C. Qual o

comprimento do tubo necessário para a temperatura de saída alcançar Tm,2

= 80°C? 2) Qual a temperatura superficial do tubo na saída?

Solução

L

Ts

skgm /01,0

CTm 201

CTm 802

1) 1º Lei TCmQ p , com DLqQ " e, portanto, TCmDLq p "

De forma que: Dq

TCmL

p

"

, ou m,,

,L 3113

060100

604181010

2) )(" 2,2, mps TThq ou 2,2,

"m

sp T

h

qT

Precisamos, agora, fazer uma estimativa de h Regime de escoamento – cálculo do número de Reynolds:

D

m

D

DmDumD

44Re 2

da tabela 2680 /10352 mNsC

, então

23006031035206,0

01,04Re

6

D - Laminar !!

Como se trata de fluxo de calor constante na parede, tem-se 364,4k

DhNuD

Assim, D

kh

364,4 mas CmWk C /670,080

Logo, CmWx

h 2/73,4806,0

67,0364,4

Finalmente, CTp 5,1008073,48

10002,



AULA 18 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA DIFERENÇA MÉDIA LOGARÍTMICA DE TEMPERATURA – DMLT E MÉTODO F

O principal objetivo no projeto térmico de trocadores de calor é a determinação da área

superficial necessária para transferir o calor numa determinada configuração,

conhecidas as vazões e as temperaturas dos fluidos. Este trabalho é facilitado pelo uso

do coeficiente global de transmissão de calor, U.

TAUq

Onde, T é uma diferença média efetiva da temperatura para todo o trocador de calor

que será discutida adiante; U já foi definido e representa as resistências térmicas. Para

as configurações usuais mais encontradas, temos:

Paredes plana: � = 11 ℎ�⁄ + � �⁄ + 1/ℎ

Parede cilíndrica:

� = 1�� ℎ�+[�� ⁄ / ]+1 ℎ�⁄⁄ , ( TAUq oo )

�� = 11 ℎ�+[�� ⁄ / ]+�� ℎ�⁄⁄ , TAUq ii

Os índices i e o representam as superfícies interna e externa, respectivamente.

A tabela a seguir fornece valores aproximados de U para alguns fluidos utilizados em

trocadores de calor. As faixas relativamente largas de U resultam da diversidade dos

materiais empregados e das condições do escoamento, bem como da configuração

geométrica do trocador de calor.



Fluido (U – W/m²K) Óleo para óleo 170-312 Orgânico para orgânico 57-340 Vapor para Soluções aquosas 567-3400 Óleo combustível, pesado 57-170 Óleo combustível, leve 170-340 Gases 28-284 Água 993-3.400 Água para Álcool 284-850 Salmoura 567-1.135 Ar comprimido 57-170 Álcool condensado 255-680 Amônia condensado 850-1.420 Freon 12 condensado 454-850 Óleo condensado 227-567 Gasolina 340-510 Óleo lubrificante 113-340

As figuras abaixo mostram alguns tipos de trocadores de calor.

Corrente paralela Contra-corrente

Corrente cruzada Corrente cruzada

Casco e tubo



Trocador de placas

O TROCADOR DE CALOR DE CORRENTES PARALELAS

Antes de serem efetuados os cálculos da transferência de calor, é necessário definir o

termo T . Seja, por exemplo, um trocador de calor de correntes paralelas, cujos perfis

de temperatura estão mostrados na seguinte figura.

Para a figura acima considerar que:

1. U é constante ao longo de todo o trocador.

2. O sistema é adiabático; ocorre troca de calor somente entre os dois fluidos.



3. As temperaturas de ambos os fluidos são constantes numa dada seção transversal e

podem ser representadas pela temperatura de mistura.

4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.

Com base nestas hipóteses, a troca de calor entre os fluidos quente (q) e frio (f) para

uma espessura infinitesimal dx é:

( )q fdq U T T dA

onde dA é a área elementar de troca de calor. O fluxo de calor recebida pelo fluido frio é

igual à fornecida pelo fluido quente, isto é,

qqqfff dTcmdTcmdq

onde m é o fluxo mássico e c é o calor específico. Da equação anterior resulta:

1 1( )q f

q q f f

d T T dqm c m c

Substituindo dq da equação de conservação, resulta:

( ) 1 1

( )q f

q f q q f f

d T TU dA

T T m c m c

Cuja integração é igual a

2

1

1 1ln

q q f f

TUA

T m c m c

onde, 1 qe feT T T e 2 qs fsT T T , como indicado no gráfico de distribuição de

temperaturas anterior. Por meio de um balanço de energia em cada fluido,

( ) ( )q q f f

qe qs fs fe

q qm c m c

T T T T



Substituindo-se estas expressões na equação anterior:

2

1

( ) ( )ln qe qs fs feT T T TT

UAT q

Ou:

12

12

ln TT

TTUAq

Comparando-se este resultado com a primeira equação, nota-se que

DMLTTT

TTT

12

12

ln

Esta diferença média efetiva de temperatura é chamada de diferença média logarítmica

de temperatura (DMLT).

O TROCADOR DE CALOR EM CONTRA-CORRENTE

As distribuições de temperaturas nos fluidos quente e frio associadas a um trocador de

calor com escoamento em contracorrente estão mostradas na figura acima.



Note que a temperatura de saída de fluido frio (Tfs) pode ser maior que a temperatura de

saída de fluido quente (Tqs).

De forma similar ao do caso de correntes paralelas, pode-se demonstrar que a DMLT

para o caso contra-corrente que as taxas de transferência de calor por conservação de

energia infinitesimal e convectivo são respectivamente:

q q q f f fdq m c dT m c dT e ( )q fdq U T T dA

Subtraindo o segundo e terceiro termos da equação de conservação infinitesimal e

substituindo a segunda equação juntamente com a equação de conservação, tem-se

1 2 1 21 1( ) ( ) q q f f

q f q f

q q f f

T T T Td T T dq U T T dA

m c m c q q

ou

1 1 2 2

( )( ) ( )

( )q f

q f q f

q f

d T T UT T T T dA

T T q

Substituindo a equação anterior em termos das seções 1 e 2 do gráfico acima:

( )1 2

( )

( )q f

q f

d T UT T dA

T q

Integrando a equação acima, obtém-se:

ATTq

U

T

T)(ln 21

1

2

ou

DMLTAUq onde 12

12

ln TT

TTDMLT

Sendo, 1 qe fsT T T e 2 qs feT T T

Para as mesmas temperaturas de entrada e saída, a DMLT em contra-corrente é maior

que para corrente paralela, dessa forma, admitindo o mesmo U, a área necessária para

uma determinada taxa de transferência de calor é menor para um trocador em

contracorrente.



Exemplo resolvido (do Incropera):

Um trocador de calor bitubular (tubos concêntricos) com configuração em

contracorrente é utilizado para resfriar o óleo lubrificante do motor de uma grande

turbina a gás industrial. A vazão da água de resfriamento do tubo interno (Di = 25 mm) é

de 0,2 kg/s, enquanto a vazão do óleo através da região anular (De = 45 mm) é de

0,1 kg/s. O óleo e a água entram a temperaturas de 100 °C e 30 °C, respectivamente. O

coeficiente de transferência de calor por convecção na região anular (do óleo) é de

38,4 W/m²K. Qual deve ser o comprimento do trocador se a temperatura de saída do

óleo deve ser de 60°C?

Solução

Considerações:

Perda de calor para a vizinhança desprezível.

Mudanças nas energias cinética e potencial desprezíveis.

Propriedades constantes.

Resistência térmica na parede do tubo e efeitos da deposição desprezíveis.

Condições de escoamento completamente desenvolvidas na água e no óleo (U

independente de x).



Propriedades do óleo de motor novo ( qT = 80 °C)

cp = 2.131 J/kg-K; μ = 0,0325 N.s/m²; k = 0,138 W/m K.

Propriedades da água ( cT 35 °C) , primeira aproximação!

cp = 4.178 J/kg K; μ = 0,000725 N.s/m²; k = 0,625 W/m K; Pr = 4,85.

, ( )q p q qe qsq m c T T

0,1 2131 (100 60) 8.524q W

A temperatura de saída da água é:

,fs fe

f p f

qT T

m c

852430 40,2

0,2 4178fsT

°C

Por tanto a primeira aproximação de fT = 35 °C foi uma boa escolha.

A DMLT é igual a:

C

TT

TT

TTTTDMLT

feqs

fsqe

feqsfsqe

2,43

30

98,5ln

308,59

ln

)()(

O coeficiente de transferência global é dado por:

1/U= 1/hi + 1/he

Para o escoamento da água através do tubo,

4 4 0,2Re 14.050

0,025 0,000725c

D

e

m

D

(Turbulento)

9085,414050023,0PrRe023,0 4,05/44,05/4 DDNu

Assim:

KmWD

kNuh

i

Di ²/250.2025,0

625,090



Por tanto o coeficiente global de transferência de calor é:

KmWU ²/8,374,38/1250.2/1

1

A área necessária para a troca de calor é de:

DMLTU

qA

E o comprimento será de:

mDMLTUD

qL

i

5,662,438,37025,0

524.8

O MÉTODO F

Para trocadores de calor mais complexos, como os multitubulares, diversos passes na

carcaça ou correntes cruzadas, a determinação da diferença média efetiva de

temperatura é tão difícil que o procedimento usual é modificar a equação acima através

de um fator de correção F, resultando em:

DMLTFAUq

Onde DMLT é aquela para um trocador de calor de tubo duplo em contracorrente com

as mesmas temperaturas de entrada e saída da configuração mais complexa. As figuras a

seguir fornecem os fatores de correção para diversas configurações. Nestas figuras, a

notação (T, t) representa as temperaturas das duas correntes de fluido, pois não

importando se o fluido quente escoa nos tubos ou na carcaça.



AULA 19 – TROCADORES DE CALOR – MÉTODO DA EFETIVIDADE - NUT

O método estudado de cálculo térmico de trocadores de calor estudado na aula anterior,

DMLT, é útil quando as temperaturas de entrada e saída dos fluidos frio e quente são

conhecidas. Porém, se mais de uma das temperaturas de entrada ou saída do trocador de

calor for desconhecida, o método DMLT é trabalhoso, necessitando de um método

iterativo do tipo tentativa e erro. Nesta aula, vamos ver um segundo método que

dispensa o conhecimento de todas as temperaturas. Trata-se do método da efetividade

() e número de unidades de transferência (NUT). Para isso, considere a seguinte

definição de efetividade:

máx

real

q

q

possívelcalordetrocamáxima

realcalordetroca

Sendo que a máxima troca de calor possível é aquela que resultaria se um dos fluidos

sofresse uma variação de temperatura igual à máxima diferença de temperatura possível,

isto é, a temperatura de entrada do fluido quente menos a temperatura de entrada do

fluido frio. Este método emprega a efetividade para eliminar a temperatura de saída

desconhecida e fornece a solução para a efetividade em termos de outros parâmetros

conhecidos ( m , c, A e U).

Seja a capacidade definida como cmC . Então, pela 1a Lei da Termodinâmica, tem-

se:

( ) ( )real q qe qs f fs feq C T T C T T

O que indica que o fluxo de calor cedido pelo fluido quente é aquele recebido pelo

fluido frio. A máxima troca de calor ocorre quando o fluido de menor C sofrer a maior

variação de temperatura possível, isto é,

min ( )máx qe feq C T T



Esta troca de calor seria conseguida num trocador de calor de contracorrente de área

infinita. Combinando as equações acima, obtém-se:

min ( )real qe feq C T T

Trocador de Calor de Correntes Paralelas

Considere o trocador de calor simples de correntes paralelas como aquele da figura

abaixo:

As seguintes hipóteses simplificadoras são válidas:

1. O coeficiente global de transf. de calor U é constante ao longo de todo o trocador.

2. O sistema é adiabático; ocorre transferência de calor somente entre os dois fluidos.

3. As temperaturas de ambos os fluidos são uniformes numa dada seção transversal e

podem ser representadas pela temperatura de mistura.

4. Os calores específicos dos fluidos são constantes.

Note que são as mesmas hipóteses adoptadas para o cálculo de DMLT.

Combinando as equações acima, são obtidas as duas expressões para a efetividade:

min min

( ) ( )

( ) ( )

q qe qs f fs fe

qe fe qe fe

C T T C T T

C T T C T T



Como o valor mínimo de C pode ocorrer tanto para o fluido quente quanto para o fluido

frio, existem dois valores possíveis para a efetividade:

:qe qs

q f q

qe fe

T TC C

T T

:fs fe

q f f

qe fe

T TC C

T T

Os índices de indicam qual fluido tem o valor mínimo de C. Para um TC muito

grande ( A )

Retomando a equação da DMLT, esta pode ser escrita em função de C da seguinte

maneira:

2

1

1 1ln

q q f f

TUA

T m c m c

, (eq. da DMLT)

1 1ln

qs fs

qe fe q f

T TUA

T T C C

Ou

1q

q f

CUA

C Cqs fs

qe fe

T Te

T T



Se considerado que o fluido quente tem o valor mínimo de C, a partir da equação da

efetividade, obtém-se:

feqe

fefs

feqe

fsqs

feqe

feqe

feqe

qsfsfsfefeqe

esqe

qsqe

qTT

TT

TT

TT

TT

TT

TT

TTTTTT

TT

TT

qq

real

f

real

feqe

fsqs

feqe

fefs

feqe

fsqs

q

C

q

C

q

TT

TT

TT

TT

TT

TT

11

Rearranjando,

feqe

fsqs

f

q

qTT

TT

C

C

11

ou

1

1

1 /

q

q f

CUA

C C

q

q f

e

C C

Se o fluido frio tem o valor mínimo de C:

qf

C

C

C

UA

fC/C

eq

f

f

1

11

Ou generalizando:

máx

C

C

C

UA

CC

e máx

/1

1

min

1 min

min

Denomina-se Número de Unidades de Transferência (NUT) ao agrupamento:

minC

AUNUT



Então temos para um T.C de corrente paralela:

máx

C

CNUT

CC

e máx

/1

1

min

1 min

Note que, para um evaporador ou condensador, C = Cmin/Cmáx=0, porque um dos

fluidos permanece numa temperatura constante, tornando seu calor específico (aparente)

efetivo infinito.

Outras Configurações

Expressões para a efetividade de outras configurações estão na seguinte tabela, em que

C = Cmin/Cmáx. NUT (na tabela NUT está escrito como NTU – number of transfer units).



Exemplo

Uma fluxo de água de 0,75 kg/s entra num TC de tubo duplo, em contra-corrente, a

temperatura de 38 °C. A água é aquecida por um fluxo de óleo de 1,51 kg/s (cp=1,88

kJ/kgK) que entra no TC a 116 °C. Para uma área de 13 m² e U=340 W/m²K determinar

o fluxo de calor total transferido.

Solução:

Cágua = 0,75 x 4184 = 3138 W/oC = 3,138 kW/

oC

Cóleo = 1,51 x 1880 = 2838,8 W/oC = 2,8388 kW/

oC

Logo, Cmin = Cóleo

Então,

NUT = UA/Cmin = 340 x13/2838,8 = 1,557

C = Cmin/Cmax = 2838,8/3138 = 0,905

Da expressão ou do gráfico do TC em tubo duplo, em contra-corrente:

� = − �−� −�− × �−� −� = − � ,557 ,9 5−− , × � ,557 ,9 5− = ,

kW,)(,,qq maxreal 813838116838826270

As temperaturas de saída das correntes quente e fria são obtidas da equação de

conservação de energia:

C,,

,

C

qTT

óleo

realqeqs 167

83882

8138116

C,,

,

C

qTT

água

realfefs 282

1383

813838



Correntes paralelas

Considere o mesmo TC, mas agora na configuração de correntes paralelas.

498090501

1

1

1 9050155711

,,

e

C

e,,CNUT

q

kW ,)(,,qq maxreal 311038116838824980

C,,

,

C

qTT

óleo

realqeqs 077

83882

3110116

C,,

,

C

qTT

água

realfefs 173

1383

311038

Exemplo – Continuação

Calcule o fluxo de calor do trocador de calor do exemplo anterior usando o método F-

DMLT da aula anterior. Admita as temperaturas de entrada do problema e as de saída

que foram obtidas para as configurações de contra-corrente e de correntes paralelas.

Comente.



Solução

Contra-corrente = °

� = , ° = °

� = , ° ∆ = − � = − , = , ° ∆ = � − = , − = , °

�� = , − ,� ,, = , °

�� = × � × ��= × × , �� = , �

Correntes paralelas = °

� = , ° = °

� = , ° ∆ = − = − = ° ∆ = � − � = , − , = , °

� = − ,� , = , °

�� = × � × �= × × , �� = , �

Comentários

(1) Nas configurações contra-corrente e correntes paralelas os valores do fluxo de

calor são os mesmos, como era de se esperar. A diferença (110,3 e 109,2 kW) no

caso de corrente paralela se deve pelo número de casas decimais usadas.

(2) Evidentemente, esse era um resultado esperado, pois os dois métodos são

equivalentes e devem levar do mesmo resultado.

(3) Note que, em geral, a configuração de contra-corrente tem uma capacidade

maior para a mesma carga térmica de trabalho, mantidas as demais condições

operacionais.



168

AULA 20 – CONVECÇÃO NATURAL OU LIVRE

Nos casos anteriormente estudados, os de convecção interna e externa, havia o

movimento forçado do fluido em relação à superfície de troca de calor. Esse movimento

forçado pode ser causado por um agente externo como uma bomba, um ventilador, ou

outra máquina de fluxo. A força da gravidade desempenhava pouco ou nenhum efeito

sobre a transferência de calor nesses casos. No entanto, quando o fluido se encontra em

repouso e em contato com uma superfície aquecida (ou resfriada) a transferência de

calor da superfície para o fluido deverá ocorrer de forma não forçada. Nesse caso o

número de Reynolds é nulo e as correlações desenvolvidas para a convecção forçada

não se aplicam. Assim, o movimento do fluido junto à superfície vai ocorrer como

resultado de outro fenômeno, originário da variação de densidade do fluido como

consequência de gradientes de temperatura. Para se entender melhor esse aspecto,

considere uma superfície vertical em contato com um fluido em repouso. A região em

contato com a superfície aquecida também vai se aquecer e, como consequência, haverá

uma diferença de empuxo gravitacional entre as porções aquecidas e as menos

aquecidas. Assim, as porções aquecidas sobem, enquanto que as menos aquecidas

tomam seu lugar dando origem às correntes de convecção. Camadas limites térmicas e

hidrodinâmicas também são estabelecidas, como ilustrado abaixo. No caso da CLH, as

condições de contorno do problema exigem que a velocidade seja nula junto à superfície

e também na extremidade da camada limite, como ilustrado.

Equações diferenciais

Quantidade de movimento

2

2

y

ug

x

p

y

uv

x

uu

x

y

CLH

CLT

Tœ

uœ = 0



169

Mas, gx

p

, de forma que substituindo na equação da QM, vem

2

2

)(y

ug

y

uv

x

uu

Mas o coeficiente de expansão voluntária, , pode ser escrito como:

TTT p

11, ou )( TT (aproximação de

Boussinesq), logo,

2

2

)(y

uTTg

y

uv

x

uu

Note que para gás perfeito, ][K 11 1-

TRT

P

TP

RT

T pp

GP

A equação da Energia: 2

2

y

T

y

Tv

x

Tu

Contrariamente à solução das camadas limites hidrodinâmicas e térmicas laminares da

convecção forçada, as equações da conservação da quantidade de movimento e da

energia não podem ser resolvidas separadamente, pois o termo de empuxo TTg

acopla estas duas equações. Não se pretende avançar na discussão da solução dessas

camadas limites e sugere-se a leitura da Seção 9.4 do livro do Incropera, como ponto de

partida para aquele aluno mais interessado. De forma que, a partir desse ponto, lança-se

mão de correlações empíricas, obtidas em experimentos de laboratório.

O primeiro passo para a análise empírica é a definição de um novo grupo adimensional

chamado número de Grashof, Gr, por



170

2

3)(

xTT

gGr sx

Este adimensional representa a razão entre as forças de empuxo e as forças viscosas na

convecção natural. Ele desempenha um papel semelhante ao do número de Reynolds na

convecção forçada, o qual representa a razão entre as forças de inércia e as forças

viscosas. Assim, a solução das equações da quantidade de movimento e da energia pode

ser escrita da seguinte forma geral:

Pr),(GrfNu

A solução aproximada para a placa vertical isotérmica em convecção natural laminar,

resulta em:

4/14/12/1 Pr)952,0(Pr508,0 xx GrNu

e o valor médio de Nusselt

Lxx

L

xL NuGrdxNuL

uN 3

4Pr)952,0(Pr677,0

1 4/14/12/1

0

Assim, como ocorre com a convecção forçada, também existe a transição de camadas

limites de laminar para turbulenta na placa vertical, o valor normalmente aceito é

910Pr critGr

Relações Empíricas

Diversas condições de transferência de calor por convecção natural podem ser

relacionadas da seguinte forma.

,Pr)( mm CRaGrCuN



171

sendo as propriedades calculadas a temperatura de película, Tf, que é a média entre a

temperatura da superfície e do fluido. O produto Gr.Pr é chamada de número de

Rayleigh

v

LTTgGrRa s

3

Pr.

a) Superfícies Isotérmicas - Convecção natural em cilindros e placas

Geometria Ra C m obs

4/1

35

LGrL

D Cilindros e placas verticais 104 – 109 0,59 ¼ Laminar

109 – 1013 0,10 1/3 Turbulento

Cilindros horizontais 104 – 109 0,53 ¼ Laminar

109 – 1012 0,13 1/3 Turbulento

b) Fluxo de calor constante

Grashof modificado: Gr* 2

4* .

k

xqgNuGrGr B

xx

Laminar, placa vertical: 5/1* Pr.60,0 xx GrNu 11*5 1010 xGr

Turbulento, placa vertical: 4/1* Pr.17,0 xx GrNu 16*13 10Pr10.2 xGr



172

Sumário de correlações (Incropera)



173

____________________________________________________________________

Exemplo sugerido

Com base em muitos dados experimentais indicados no gráfico abaixo (extraído de

Kreith & Bohn), estabeleça sua própria correlação experimental de )(RafNuD para

cilindros horizontais.



174

Espaços Confinados

Um caso comum de convecção natural é o de duas paredes

verticais isotérmicas, conforme ilustrado ao lado, separadas

por uma distância . A figura seguinte mostra os perfis de

velocidade e temperatura que podem ocorrer, de acordo com

MacGregor e Emery. Na figura, o número de Grashof é baseado

na distância entre as placas:

2

321 )(

TTgGr

Os regimes de escoamento estão indicados no gráfico acima. As correntes de convecção

diminuem com o número de Grashof e, para números de Grashof muito baixos, o calor é

transferido por condução de calor. Outros regimes de convecção também existem,

dependendo do número de Grashof, como ilustrado. O número de Nusselt é expresso em

T2 T1

21 TT



175

função da distância das placas, isto é: k

hNu

. Conforme indicado por Kreith,

algumas correlações empíricas podem ser empregadas:

Gr - número de Grashof baseado na distância entre as placas.

No caso de espaço confinado horizontal há duas situações a serem consideradas. Não

haverá convecção se a temperatura da placa superior for maior que a da placa inferior e,

nesse caso, a transferência de calor se dará por meio de condução de calor simples. Já

no caso recíproco, isto é, temperatura da placa inferior maior que a da placa superior,

haverá convecção. Para um número de Grashof baseado na distância entre as placas,

Gr, inferior a 1700 haverá a formação de células hexagonais de convecção conhecidas

como células de Bernard, como ilustrado abaixo. O padrão das células é destruído pela

turbulência para Gr 50000.

Segundo Holman, há certa discordância entre autores, mas a convecção em espaços

confinados pode ser expressa por meio de uma expressão geral do tipo:



176

m

n LGrC

k

hNu

Pr

C, m e n são dadas na tabela a seguir. L é a dimensão característica da placa. Holman

adverte que deve-se usar essa expressão na ausência de uma expressão mais específica.

CONVECÇÃO MISTA

Até o presente os casos de convecção natural e forçada foram tratados separadamente.

Claro que a natureza não está preocupada com nossas classificações e os fenômenos vão

ocorrer mediante a presença das forças que o controlam (forças de empuxo, atrito e

inercial). De forma que existem determinadas situações em que os dois efeitos

convectivos são significativos, para as quais se dá o nome de convecção mista.

Considera-se que a convecção mista ocorra quando 1Re/ 2 LLGr . As formas

combinadas dessas duas formas de convecção podem ser agrupadas em três categorias

gerais: (a) escoamento paralelo se dá quando os movimentos induzidos pelas duas

formas de convecção estão na mesma direção (exemplo de uma placa aquecida com

movimento forçado ascendente de ar); (b) escoamento oposto se dá quando os

movimentos induzidos pelas duas formas de convecção estão em direções opostas

(exemplo de uma placa aquecida com movimento forçado descendente de ar); (c)

escoamento transversal é exemplificado pelo movimento forçado cruzado sobre um



177

cilindro aquecido, por exemplo. É padrão considerar que o número de Nusselt misto

seja resultante da combinação dos números de Nusselt da convecção forçada, NuF, e

natural, NuN, segundo a seguinte expressão:

n

N

n

F

n NuNuNu

Onde, o expoente n é adotado como 3, embora 3,5 e 4 também sejam adotados para

escoamentos transversais sobre placas horizontais e cilindros (e esferas),

respectivamente. O sinal de (+) se aplica para escoamentos paralelos e transversais,

enquanto que o sinal de (-), para escoamentos opostos.



178

Exemplo

Em um determinado experimento de laboratório, uma pequena esfera de cobre de 1 cm

de diâmetro é mantida aquecida atingindo uma temperatura de superfície constante de

TS = 69 oC e é circundada por água a T∞ = 25 oC. Determine o fluxo de calor total em

watts transferido da pequena esfera para a água sob duas situações:

(a) a água está em repouso;

(b) a água se movimenta com uma velocidade ascendente de U∞ = 0,04 m/s;

(c) a partir de que velocidade da água a convecção natural poderia ser desprezada?

Obs.: para o item (b) considere a transferência de calor combinada de convecção natural (livre) e

forçada. Para isso, verifique se a condição em que os dois efeitos são significativos dado por GrD ≈ReD2 e

use a expressão Nu3 = NuF

3 + NuN3, onde, NuN é o número de Nusselt calculado como se houvesse apenas

convecção natural e NuF se houvesse apenas convecção forçada. Todos os números de Nusselt são

baseados no diâmetro da esfera.

Solução

(a) Propriedades da água a CTT

T sf

47

2

2569

2

mKWksmxK /627,0/1082,5/0004366,0 27

smxKkgJcp /10515,1)7,0(84,3Pr/4182 27

11677

33

101014,21051,11082,5

01,0)2569(0004366,081,9

x

xxv

DTTgRa s

22

84,3

469,01

)1014,2(589,02

Pr

469,01

589,02 9/416/9

4/16

9/416/9

4/1

xRa

Nu N

KmWD

kNuh NN

2/137901,0

627,022

222 0003140010 m,,DAs



179

W,,TTAhq ssNN 119256900031401379

(b)

556398

)1082,5(

01,0)2569(0004366,081,927

3

2

3

xv

DTTgGr s

D

6871082,5

01,004,0Re

7

xv

DUD

121,1687

556398

Re 22

D

DGr

mskgmskgx s /10400/10557 66

25,0

4,05,05,0

25,0

4,03/25,0

400

55784,368706,06874,02PrRe06,0Re4,02

s

DDFNu

28,30FNu

74,33333

NuNuNuNu NF

KmWD

kNuh 2/2115

01,0

627,074,33

W,,TThAq ss 229256900031402115

(c)

1Re2

D

DGr portanto, assumindo 01,0

Re2

D

DGr

01,0Re 1 D

DGrDU

smGr

DU D /434,0

01,0

556398

01,0

1082,5

01,0

7

(ou maior)

escola politÉcnica da usp depto. de engenharia …

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