Computação quântica:!realizações e desafios!

Ernesto F. Galvão Instituto de Física - UFF

XV Escola Regional de Informática – PR 2009

Resumo

•  Introdução – de Turing à computação quântica

•  Mecânica quântica para cientistas da computação

•  Realizações

•  Perspectivas

Turing e complexidade computacional

Alan Turing (1935) - Formalização matemática dos conceitos de:

-  procedimento preciso para calcular algo - algoritmo -  um tipo simples de computador

Máquina de Turing

CPU se movimenta de acordo com programa, lendo e apagando dados

- simples, mas capaz de qualquer computação: Tese de Church-Turing

Resultados:

-  existem problemas incomputáveis - à la Gödel

-  problemas computacionais podem ser divididos, grosso modo, entre tratáveis e intratáveis.

Intratabilidade computacional

•  Considere - Problema computacional com entrada de d dígitos; - Algoritmo que usa N portas lógicas/passos computacionais.

Problema tratável: N é proporcional a polinômio de d. -  Ex.: multiplicação de dois números de d dígitos.

N ~ d2

Problema intratável: N cresce mais rápido do que qualquer polinômio. -  Ex.: fatoração de inteiro de d dígitos. -  Melhor algoritmo conhecido: N ~ 2d ➡  resultado: fatorar um número de 400 dígitos levaria bilhões de anos neste computador!!

• Problemas intratáveis são importantes:

-  Fatoração: chave para quebrar códigos criptográficos (RSA) -  Otimização: aumento de rendimento na indústria -  Problemas científicos em geral

Mas...

•  A ciência da computação não levava em conta que a computação é um processo físico.

•  Leis físicas determinam os limites dos computadores:

- Termodinâmica

- computação reversível versus irreversível - Irreversibilidade aparece quando apagamos memória Energia dissipada: kT*ln2 por bit apagado

- qual a teoria mais abrangente que descreve a dinâmica de máquinas que computam?

Física Quântica

Física quântica

•  Desenvolvida na década de 1920 para descrever sistemas microscópicos: fótons (luz), elétrons, átomos, etc.

•  Muito diferente das teorias físicas anteriores (“clássicas”):

-  Descrição probabilística

-  Possibilidade de “superposição” - combinação peculiar de propriedades contraditórias

-  Emaranhamento quântico - correlações fortes entre propriedades de partículas separadas

Deus não joga dados!

Fantasmagórica ação a distância!

Superposições

•  Física clássica: objeto tem posição bem-definida •  (2 posições codificam 1 bit)

•  Física quântica: elétron pode estar numa situação de superposição de 2 posições

0 1 bit

Ponto quântico duplo

1

Superposições

• A física quântica permite novas operações sobre o elétron: - estado inicial: 0 - Operação especial com eletrodos cria superposição

Medida da posição revela - 50% das vezes em 0 - 50% das vezes em 1 p=1/2

p=1/2

•  A superposição é sensível ao que fizermos nas duas posições! Pulsos lasers nas duas posições afetam o elétron

Medida da posição revela mudanças nas probabilidades de encontrar o elétron em cada ponto. P=3/4

p=1/4

0 1

0 1

➡  um pouco como se o elétron estivesse nos dois lugares ao mesmo tempo!

Não-localidade quântica

qbit

Computação clássica (com notação quântica)

N. David Mermin – introdução à computação quântica para cientistas da computação

•  Bit - dois estados distinguíveis, os vetores-base:

€

0 ↔10

, 1 ↔

01

•  N bits: produto tensorial de N vetores-base de 1 bit. Exemplo: 2 bits têm 4 estados, representados por vetores 4x1

€

ψ A ⊗ φ B ↔A0A1

⊗

B0B1

=

A0B0A0B1A1B0A1B1

€

1 A ⊗ 1 B ↔ 3 AB ↔01

⊗

01

=

0001

•  3 representações para vetores-base descrevendo a memória:

Computação clássica

€

ψF = PψI

€

ψ = α i ii=1

2N

∑ ,

•  Com esta notação, estado dos N bits no meio da computação é:

•  Computação reversível arbitrária = permutação do vetor 2N x 1 correspondente ao estado inicial:

Algoritmo:

•  Escolha de P •  Decomposição de P em operações (“portas”) envolvendo só 1 ou 2 bits por vez.

onde todos os , exceto , indicando que o estado atual é .

€

α i = 0

€

αk =1

€

k

€

0AB

= 0A0

B

1AB

= 0A1

B

2AB

= 1A0

B

3AB

= 1A1

B

€

0AB

= 0A0

B

1AB

= 0A1

B

2AB

= 1A0

B

3AB

= 1A1

B

Computador

Computação quântica – a memória

€

ψ =α0 0 +α1 1 ↔α0

α1

, α0

2+ α1

2=1.

•  Bit quântico = qbit

•  Estado de 1 qbit = vetor complexo 2x1, normalizado

•  Estado de N qbits = vetor complexo com 2N componentes, normalizado

€

ψ = α i ii=1

2N

∑ , α ii∑

2=1

Ex.: dois qbits A e B

€

ψ AB =α0 0 A 0 B +α1 0 A 1 B +α2 1 A 0 B +α3 1 A 1 B

€

ψ = cos(θ /2) 0 + exp(iφ)sin(θ /2)1

• Estados são combinações lineares dos vetores-base clássicos.

Computação quântica – a dinâmica

•  Dinâmica = algoritmo = aplicação de matrizes unitárias ( ) UU† = U†U = 1

Ex.: matrizes de Pauli correspondem a 3 rotações diferentes:

•  Dinâmica quântica é mais rica que a clássica, levando a estados arbitrários de descrição complexa:

€

X =0 11 0

Y =

0 i−i 0

Z =

1 00 −1

€

ψ = α i ii=1

2N

∑ , α ii∑

2=1

Só uma pequena parte da informação presente nos pode ser obtida ao final, no processo quântico de medida

€

α i

Computação quântica: o processo de medida (output)

• Resultado = medida quântica em

• Medida é irreversível:

- Resultado (output): sequência de N bits correspondente a um dos vetores-base k

- Probabilidade do resultado k associado a :

- Após medida com resultado k, o estado do sistema é

€

ψF =UψI = α i ii∑

€

ψ = k€

€

k

€

pk = αk2

• É preciso escolher o algoritmo U cuidadosamente para que ao final o processo de medida nos dê a solução do problema com alta probabilidade.

Bits x Qbits Bits Qbits

Estado de N (q)bits

Operações reversíveis Permutações Transf. unitárias

Medida revela o estado? Sim Não

Como descobrir o estado É só olhar! Medida quântica

Informação adquirida k k com probabilidade

Estado depois da medida O mesmo: Diferente:

€

i , 0 ≤ i ≤ 2N

€

α i i∑ , α i∑2

=1

€

αk2

€

k

€

k

Emaranhamento quântico

•  Vimos que estado geral de sistema de 2 qbits é dado por:

•  Por outro lado, se

- qbit A está no estado - qbit B está no estado

€

α0α3 ≠α2α1€

€

ψ AB =α0 0 A 0 B +α1 0 A 1 B +α2 1 A 0 B +α3 1 A 1 B

€

φ A =α 0 A + β 1 A

€

φ B = γ 0 B + δ 1 B

€

φ AB =αγ 0 A 0 B +αδ 0 A 1 B + βγ 1 A 0 B + βδ 1 A 1 B

•  não é geral – nele ambos A e B têm estados bem-definidos (estado separável).

•  Quando temos estados emaranhados, e os subsistemas não têm estados bem-definidos.

•  Emaranhamento quântico é um recurso usado em várias aplicações.

€

φ AB

Pioneiros da computação quântica

•  Richard Feynman (1982)

-  cálculo de propriedades de sistemas quânticos parece ser um problema intratável

-  sistema quântico muito bem controlado poderia servir para calcular essas propriedades de maneira eficiente

computador quântico

• David Deutsch (1985)

- estudou as propriedades de uma máquina de Turing quântica - mostrou que ela poderia resolver um problema em menos passos que um computador clássico

Pioneiros da computação quântica

•  Peter Shor (1994)

-  computadores quânticos podem fatorar inteiros em tempo polinomial - exponencialmente mais rápido!

-  o algoritmo (quântico) de Shor abriu caminho para o crescimento da pesquisa em informação quântica e computação quântica

• Lov Grover (1996)

- algoritmo de busca em base de dados - desempenho (número necessário de consultas à base de dados)

- útil para acelerar solução de problemas intratáveis

Computando com qbits

•  Escolhemos sistema quântico para codificar zeros e uns. Ex: níveis de energia eletrônicos de íons presos em armadilha

Foto de íons armadilhados

•  Modificamos as superposições quânticas de maneira controlada. Ex: pulsos laser em conjuntos de íons

•  Medimos o sistema ao final das manipulações. Ex: pulsos laser especiais para identificar os níveis de energia.

Só que há muitas dificuldades experimentais…

Ion trap Steane group

(Oxford)

Computando com qbits

•  Dificuldades:

- acesso experimental x isolamento

- fragilidade das superposições (descoerência)

- controle preciso dos sistemas usados

•  Situação experimental atual:

-  demonstração de pequenas simulações quânticas Lanyon et al., arXiv:0905.0887

-  demonstração do algoritmo de fatoração em RNM Vandersypen et al., Nature 414, 883(2001)

-  criação de superposições e controle de poucos qbits em diversos sistemas

•  Há outras aplicações interessantes além da computação…

Outras aplicações de informação quântica

Criptografia quântica Fótons individuais

A B F

•  A se comunica com B através de canal quântico (ex: polarização de fótons)

•  Interceptação pelo espião (F) resulta em perturbação inevitável do fóton

medida quântica

Garantia de segurança absoluta na troca de mensagens

Criptografia quântica comercial

•  Já há pelo menos 4 companhias que já comercializam sistemas de criptografia quântica:

- IdQuantique (Suíça)

- Smartquantum (França)

- QuintessenceLabs (Austrália)

- MagiQ Technologies (EUA)

Sistemas físicos sendo investigados

• Armadilhas de íons

-  correntes e cargas elétricas prendem íons individuais no vácuo -  qbits codificados no estado eletrônico -  interações entre qbits são feitas com lasers e através do balanço conjunto dos íons

Foto de íons armadilhados (NIST)

micro-armadilha de íons (NIST)

Sistemas físicos sendo investigados

• Outras alternativas:

- elétrons presos em pontos quânticos - ressonância nuclear em líquidos - átomos em redes óticas - luz laser (ótica quântica) - circuitos supercondutores - [??????]

??????

Séc. XIX: tecnologias limitadas pela termodinâmica e mecânica clássica

Importância estratégica

Séc. XX: tecnologias limitadas pela mecânica quântica

Séc. XXI: tecnologias usando os efeitos mais sutis da mecânica quântica:

Informação quântica, spintrônica, … ?

Computação •  Tratabilidade/intratabilidade com computadores quânticos •  Que problemas tratáveis (classicamente) admitem aceleração polinomial com CQ? •  Simulação de sistemas quânticos (novos materiais, etc) •  Códigos quânticos de correção de erros

Criptografia •  fatoração rápida = quebra da criptografia RSA •  desenvolvimento de protocolos seguros mesmo contra CQs •  criptografia quântica com segurança absoluta

Protocolos interativos com comunicação quântica/emaranhamento •  vantagem quântica (até exponencial) em complexidade de comunicação e outras tarefas

Metrologia •  vantagem em medidas de precisão usando estados emaranhados da luz

Design de células solares, cálculos de química quântica, …

[ver A Federal Vision for Quantum Information Science (Janeiro 2009) – relatório do Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia – E.U.A.]

Novas tecnologias usando informação quântica

Perspectivas – Computação Quântica

Física Matemática

Ciência da Computação

CQ

No Brasil:

Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia (INCT) de Informação Quântica - CNPq -  20 grupos de pesquisa em 7 estados, predominância de físicos

Fora:

IQC & Perimeter (Waterloo, Canadá), Caltech, MIT, CQCT (Austrália), Cambridge, Viena, …

Perspectivas – Computação Quântica

•  Área interdisciplinar em pleno desenvolvimento

•  Computação quântica em grande escala pode levar décadas, mas antes: -  criptografia quântica -  simulações de sistemas quânticos -  outras novas tecnologias

•  Por volta de 2020 já não conseguiremos mais miniaturizar os transístores...

Melhor aprender desde já como processar informação quanticamente!

Sugestões de leitura

A face oculta da Natureza: o novo mundo da física quântica Anton Zeilinger (Ed. Globo - 2005)

O que é computação quântica? Ernesto F. Galvão (Ed. Vieira&Lent – 2007)

A revolução dos q-bits •  Ivan Oliveira e Cássio Leite (Zahar – 2009)

Quantum computer science: an introduction N. David Mermin (Cambridge UP – 2007)

Computação quântica e informação quântica Nielsen, Chuang (Ed. Bookman – 2005)

Visitem o meu site para mais dicas de leitura na web:

http://profs.if.uff.br/ernesto/

Usando emaranhamento: computação distribuída

•  Complexidade de comunicação: cada pessoa tem parte dos dados, e Clara precisa calcular f(x,y,z). Qual o mínimo de comunicação necessária entre as pessoas?

x z

y

A

B

C

f(x,y,z)?

•  Aplicações: design de circuitos eletrônicos, computação em rede •  Vantagem quântica: usamos emaranhamento ao invés de comunicação

x z

y

A

B

C Solução clássica Solução quântica