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  • Equilíbrio Bayesiano Perfeito

    Mas-collel et al. Cap. 9 (p. 282)

    Microeconomia II – PPGEA/UFJF Profa. Silvinha Vasconcelos

  • 1. Introdução

    • Vimos que o conceito de ENPS não é forte o suficiente para capturar racionalidade sequencial

    – Caso em que o jogo dinâmico tem um único subjogo, de forma que todos os EN em estratégias puras são ENPS

    2 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Exemplo 9C1

    E

    Fora In2 In1

    I

    B Ac B Ac (0, 2)

    (-1, -1) (3, 0) (-1, -1) (2, 1)

    3 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Forma matricial do Jogo anterior

    Entrante

    Incumbente Briga Acomoda

    Fora (0, 2)* (0, 2)

    In1 (-1, -1) (3, 0)*

    In2 (-1, -1) (2, 1)

    Este não é um EN razoável pois I sempre Acomoda à Entrada

    4 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • 2. Como proceder para eliminar EN que não é razoável?

    a) Usando conceito de EBP fraco

    Ele requer que, a qualquer ponto no jogo

    - haja um sistema de crenças consistentes

    - haja racionalidade sequencial de estratégias

    5 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Definição 9C1

    • Um sistema de crenças  em um jogo na forma extensiva E é uma especificação de probabilidades (x)  [0,1] para cada nó de decisão x em E tal que

     

     Hx

    x H informação de conjunto ,1)(

    6 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Observações

    1. Um sistema de crenças pode ser pensado, para cada conjunto de informação, como uma avaliação probabilística pelo jogador que se move neste conjunto, das probabilidades relativas de estar em cada um dos nós de vários conjuntos de informação, condicionada ao jogador ter alcançado aquele conjunto de informação.

    7 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Observações (continuação)

    2. Estas crenças têm que ser consistentes (a crença tem que ser atualizada ao se observar que o conjunto de informações foi alcançado) usando a Regra de Bayes

    8 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Definição 9C2

    • Uma combinação de estratégias  = (1, ..., I) em um jogo na forma extensiva E é sequencialmente racional no conjunto de informação H, dado um sistema de crenças  se

    ],,,/[],,,/[ )()( ~

    )()()()( HiHiHiHiHiHi HuEHuE   

    9 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Programa de Pós Graduação em Economia Aplicada ( PPGEA) - UFJF

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    Resumindo a ideia de estratégia sequencialmente racional

    “Uma combinação de estratégias =(1, ..., I) é sequencialmente racional se nenhum jogador acha válido (uma vez que seu conjunto de informação tenha sido alcançado) revisar sua estratégia dadas suas crenças sobre o que ocorreu (incorporadas em ) e sobre as estratégias dos rivais.”

  • Usando os conceitos no Ex. 9C1

    E

    Fora In2 In1

    I

    B Ac B Ac (0, 2)

    (-1, -1) (3, 0) (-1, -1) (2, 1)

    [1/4] [1/2] [1/4]

    Suponha que E usa estratégia completamente mista que atribui as probabilidades ¼ de F, ½ de In1 e ¼ de In2

    11 Programa de Pós Graduação em Economia

    Aplicada ( PPGEA) - UFJF

  • Usando a regra de Bayes

    3

    1

    4121

    41

    )Direita/In da Prob(Nó)Meio/In do Prob(Nó

    )Direita/In da Prob(Nó )H,/Prob(In)-(1

    3

    2

    4121

    21

    )Direita/In da Prob(Nó)Meio/In do Prob(Nó

    )Meio/In do Prob(Nó )/H,(In Prob

    21

    2 2

    21

    1 1

     

     

    

     

     

    

    

    

    Para as crenças de I pós entrada serem consistentes com a estratégia da firma E (ou seja, de entrar), estas crenças de I devem designar uma probabilidade de 2/3 de estar no nó do meio e 1/3 de estar no da direita.

    12 Programa de Pós Graduação em Economia

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  • Definição 9C3: Equilíbrio Bayesiano Perfeito Fraco (EBPF)

    “Uma combinação de estratégias e um sistema de crenças (, ) é um EBPF em um jogo na forma extensiva E se ele tiver as seguintes propriedades:

    (i) A combinação de estratégias  é sequencialmente racional dado o sistema de crenças ;

    (ii) O sistema de crenças  é derivado da combinação de estratégias  pela Regra de Bayes sempre que possível”

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  • Ilustrando a aplicação do conceito de EBP fraco

    • No Exemplo 9C1

    – EN1 = (Fora, Briga se acomoda) não é EBP fraco porque a ação ótima da Incumbente para qualquer sistema de crenças é acomodar à entrada (estratégia dominante)

    – EN2 = (In1, Acomoda se entrada ocorre), ( =2/3) é EBP fraco.

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  • Outra ilustração do EBP fraco – Ex.9C2

    Programa de Pós Graduação em Economia Aplicada ( PPGEA) - UFJF

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    E1

    Fora

    Propõe Joint Venture

    Entra por conta própria

    Firma I

    B Ac B Ac

    (0, 0, 3)

    (-1, 0, 2) (2, 0, 1) (1, 1, -2) (4, 4, 0)

    E2

    Aceita

    Rejeita

    E1

    B Ac

    (-1, 0, 2) (2, 0, 1)

    (0, 0, 3)

    Entra Fora

  • O jogo do Ex. 9C2

    • I observa se E1 entra mas não se E2 dá assistência

    • Brigar é melhor resposta se E1 está sozinha

    • Se E1 estiver com E2, I prefere acomodar

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  • Resolvendo o jogo do Ex.9C2

    • Qual EBP fraco deste jogo?

    – O EBP fraco é um par de estratégias e crenças onde

    • (E1,  E2 , I )= {(propor Joint Venture), (aceita), (acomoda)}

    • Atualizando as crenças no conjunto de informação, elas devem ser  = 1 no nó do meio

    – Isto implica que o conjunto de informação de I é alcançado com probabilidade positiva

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  • Como fortalecer o conceito de EBP fraco

    • Lembre que

    – Até aqui os requerimentos de consistência sob crenças eram:

    • A especificação de probabilidades não negativas e que somam 1 dentro de cada conjunto de informação

    • As crenças são consistentes com as estratégias de equilíbrio no caminho de equilíbrio (derivam da Regra de Bayes)

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  • Como fortalecer o conceito de EBP fraco

    • O que precisamos

    – Restrições nas crenças fora do caminho de equilíbrio (isto é, nos conjuntos de informação que não são alcançados com probabilidade positiva com a jogada da estratégia de equilíbrio)

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  • Exemplo 9C4: Suponha

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    Natureza

    0,5 0,5

    Jogador 1

    X Y Y X

    (2, 10)

    (0, 5) (0, 5)

    (2, 10)

    [1/2] [1/2]

    L R L R

    (5, 2) (5, 10)

    Jogador 2 [0,9] [0,1]

  • Exemplo 9C4

    • Ou seja, suponha um EBP fraco dado por

    (1,  2 )=((X,X),(L,L)) e  = 0,9

    Caminho de equilíbrio

    Ele é fraco porque o que sustenta a visão de que a melhor resposta fora do caminho de equilíbrio é 2 jogar L, porque

    2,8 5

    ]1,0[10]9,0[2]1,0[5]9,0[5

    )()( 22

    

     RL EE 

  • Exemplo 9C4

    • Estas crenças não são sensatas: é mais consistente pensar que 2 atribui igual probabilidade aos dois nós do seu conjunto de informação ( = 0,5)

    • Pois, se a probabilidade de 1 jogar esquerda ou direita é igual, então a probabilidade de 2 alcançar seu conjunto de informação na direita ou esquerda também é igual

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    22

  • Exemplo 9C4

    • Então 2 joga

    • E o EBP é (Y,R) no caminho de equilíbrio e (X,L) fora do caminho de equilíbrio,  = 0,5.

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    23

    6 5

    ]5,0[10]5,0[2]5,0[5]5,0[5

    )()( 22

    

     RL EE 