Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro

Mestrado em Engenharia Mecânica

Mecânica dos Fluídos Computacional

Equações diferenciais ordinárias - Método de Adams Moulton

Daniela Justo nº 34439

Marina Eiriz nº34457

Ricardo Carvalho nº 32394

Novembro de 2013

1. Equações diferenciais ordinárias e os métodos de Adams-Moulton

Uma equação diferencial ordinária (EDO) trata-se de uma igualdade que

contém uma variável independente, x, uma variável dependente, y, e algumas das suas

derivadas, y’, y’’,..., y(n). Na Equação 1.1, temos um exemplo de uma EDO.[1]

xy’ + 3y = 6x3 (1.1)

Dada a existência de vários métodos numéricos aplicáveis a resolução de

EDO’s, estes encontram-se divididos em dois grandes grupos: os métodos de uma etapa

e os métodos de várias etapas, sendo que podem ainda ser classificados como

implícitos, explícitos, de 1ªordem de 2ªordem, entre outros [2].

Os métodos explícitos de Adams-Bashforth e os métodos implícitos de Adams-

Moulton são exemplos de métodos de várias etapas, sendo estes últimos o nosso

objecto de estudo. Na Equação 1.2, está apresentada a fórmula geral do método de

Adams-Moulton [2].

y i+1= y i+h∑k=0

n−1

βk f i+1−k+O (hn+1 )(1.2)

Para n=1 e β0=1, a fórmula de Adams-Moulton de 1ªordem é igual ao método

de Euler implícito. Como já referido anteriormente, os Métodos de Adams-Moulton são

implícitos, nos quais o método de 2ªordem é um dos mais populares, que se encontra

demonstrado na Equação 1.3 [2].

y i+1= y i+12h[ f (t i , y i )+ f ( ti+1, y i+1 )] (1.3)

O erro de truncatura local associado a este método é dado pela Equação 4 [2].

eT=−112h3 y' ' ' (1.4)

Combinando os métodos de Adams-Bashforth e Adams-Moulton, obtemos o

método preditor-corretor, sendo estes mais eficazes que os métodos explícitos.

Por fim, o método de Adams-Moulton de 3ªordem é dado pela Equação 1.5 [2].

y i+1= y i+1

12h[−f (t i−1 , y i−1 )+8 f (t i , y i ) 5 f (t i+1 , y i+1 )] (1.5)

2. Exercícios

2.1. Considere a equação diferencial ordinária 2.1 e a respectiva condição inicial y(0)=1. Determine a solução numérica no intervalo [0;1,5], através do método de Adams-Moulton de 2ªordem, considerando h=0,5.Calcule também o erro de truncatura local da fórmula de Adams-Moulton [3].

y '=cos (x ) y (x ) (2.1)

Resolução:

Passo 1: Determinar o método de Adams-Moulton de 2ªordem

y i+1= y i+12h[ f (t i , y i )+ f ( ti+1, y i+1 )]

Passo 2: Substituir a equação em função do método de Adams-Moulton de 2ªordem

y i+1= y i+12×0,5[cos (x i )( y i)+cos (x i+1 )( y i+1)]

Passo 3: Substituir i por 1,2,3, considerando h=0,5

i=0: y1= y0+12×0,5[cos (x0 )( y0)+cos ( x1 )( y1)]

y1=1+ 12×0,5[cos (0 )×(1)+cos (0,5 )×( y1)]

y1=1+0,25×(1+0,8776 y1)

y1=1,25+0,2194 y1

y1=¿1,6013

i=1: y2= y1+12×0,5[cos (x1 )( y1)+cos (x2 )( y2)]

y2=1,6013+ 12×0,5(0,8776×1,6013+0,5403 y2)

y2=1,6013+0,25(1,4053+0,5403 y2)

y2=1,9526+0,5403 y2

y2=4,2476

i=2: y3= y2+12×0,5[cos (x2 )( y2)+cos (x3 )( y3)]

y3=4,2476+ 12×0,5(0,5403×4,2476+0,5403 y2)

y3=4,2476+0,25 (2,2949+0,5403 y2)

y3=4,8213+0,5403 y2

y3=10,4879

Os valores finais são:

y1=¿1,6013; y2=4,2476; y3=10,4879

Passo 4: Calcular erro de truncatura local (calcular segunda e terceira derivada)

eT=−112h3 y' ' '

y '=cos (x ) y (x )

y ' '=cos ' (x) y ( x )+cos (x ) y ' ( x )

= -sen(x)×y(x) + cos(x)׿)

=-sen(x)y(x) + cos2(x) + cos(x)y (x )

y ' ' '=¿- [sen’(x) y(x)+ sen(x) y’(x)] - 2 cos x sen x +[-sen(x)y(x) + cos2(x) + cos(x)y (x )]

¿−cos(x) y(x)+ sen(x )cos (x ) y (x )- 2 cos x sen x - sen(x)y(x) + cos2(x) + cos(x)y (x )

= sen(x)y(x)×(y(x)-1) - 2 cos x sen x + cos2(x)

Substituindo,

eT=−112×0,53×sen(x ) y ( x)×( y (x)−1)−2 cos x sen x+cos2(x )

Assim,

i0: eT=−112×0,53×sen(x0) y (0)×( y (0)−1)−2cos (x0)sen(x0)+cos2(x0)

¿− 112×0,53×0× ( y (0 )−1 )−2cos (0 ) sen (0 )+cos2(0 ) = 1

i1: eT=−112×0,53×sen(x1) y (1)×( y (1)−1)−2cos (x1)sen(x1)+cos2(x1)

¿− 112×0,53×0,7677×(0,6013)−2×0,4207+0,7702= -0,0760

i2: eT=−112×0,53×sen(x2) y (2)×( y (2)−1)−2cos (x2)sen(x2)+cos2(x2)

¿− 112×0,53×11,6077−0,903+0,2919= - 0,7320

i3: eT=−112×0,53×sen(x3) y (3)×( y (3)−1)−2 cos (x3)sen (x3)+cos2(x3)

¿− 112×0,53×99,2589−0,9975+3,5395= - 2,0311

2.2. Utilize o método de Adams-Bashfortth-Moulton com h=0,2 para obter uma

aproximação de y(0,8) para a solução de:

y’=x+y-1, y(0)=1 [4]

Resolução:

Sendo h=0,2, y(0,8) será aproximado por y5.

Passo 1: Utilizar o método de Runge-Kutta de 4ªordem com y0=1 e h=0,2

k 1=f (x i , y i )

k 2=f ( xi+ h2 , y i+ h2 k1)

k 3=f ( xi+ h2 , y i+ h2 k2)k 4=f (x i+h , y i+hk 3 )

y i+1= y i+h6

(k1+2k2+2k3+k4 )

x1=0: k 1=f (x0 , y0 )=f(0,1)=0

k 2=f ( x0+h2, y0+

h2k1) =f (0,1 ;1 )=0,1

k 3=f ( x0+h2, y0+

h2k2)=f (0,1 ;0,11 )=−0,79

k 4=f (x0+h , y 0+hk3 )= f (0,2 ;−0,948 )=−1,748

y1= y0+h6

(k1+2k2+2k3+k 4 )= 0,89

x2=0,2: k 1=f (x1 , y1 )=f(0,2;0,89)=0,09

k 2=f ( x0+h2, y1+

h2k1) =f (0,3 ;0,899 )=0,199

k 3=f ( x0+h2, y1+

h2k2)=f (0,3 ;0,9099 )=0,2099

k 4=f (x0+h , y1+h k3 )= f (0,4 ;0,93198 )=0,33198

y2= y1+h6

(k1+2k2+2k3+k 4 )=1,044

x3=0,4: k 1=f (x2 , y2 )=f(0,4;1,044)=0,444

k 2=f ( x2+h2, y2+

h2k1) =f (0,5 ;1,0884 )=0,5884

k 3=f ( x2+h2, y2+

h2k2)=f (0,5 ;1,103 )=0,6028

k 4=f (x2+h , y2+hk 3)= f (0,6 ;1,16456 )=0,76456

y3= y2+h6

(k1+2k2+2k3+k 4 )=1,119

x4=0,6: k 1=f (x3 , y3 )=f(0,6;1,119)=0,719

k 2=f ( x3+h2, y3+

h2k1) =f (0,7 ;1,101 )=0,891

k 3=f ( x3+h2, y3+

h2k2)=f (0,7 ;1,2089 )=0,909

k 4=f (x3+h , y3+h k3 )= f (0,8 ;1,301 )=1,101

y4= y3+h6

(k1+2k 2+2k 3+k4 )=1,18

Determinados os valores de y para o intervalo [0;0,6], proceder-se-á o cálculo de

y(0,8) pelo método de preditor corretor de Adams como era pedido no enunciado.

Assim,

Método de Adams-Bashforth-Moulton 4ª ordem é dado por

Preditor:

y¿i+1= y i+

h24 [ 55 f (x i , y i )−59 f (xi−1 , y i−1)+37 f (x i−2 , y i−2 )−9 f (x i−3 , y i−3 ) ]

Corretor:

y i+1= y i+h

24 [9 f (x i+1 , y i+1¿ )+19 f ( xi , y i )−5 f (x i−1 , y i−1 )+ f (x i−2 , y i−2 ) ]

Se

f (x i , y i )=f ( x4 , y 4 )=f (0,6 ;1,18 )=0,78

f (x i−1 , yi−1 )=f (x3 , y3 )=f (0,4 ;1,119)=0,519

f (x i−2 , y i−2 )=f (x2 , y2 )=f (0,2 ;1,044 )=0,244

f (x i−3 , y i−3 )=f (x1 , y1)=f (0 ;0,89 )=−0,11

Susbtituindo os valores acima apresentados, o preditor é dado por:

y4¿=1,119+ 0,2

24[55×0,78−59×0,519+37×0,244−9× (−0,11) ]=1,305

Para se prosseguir para o cálculo do corretor, é necessário ter em conta que

f ( xi+1, y i+1¿ )=f (0,8 ;1,305 )=1,105

Assim o corretor é dado por:

y4=1,18+ 0,224

[ 9×1,105+19×0,78−5×0,519+0,244 ]=1,37

3. Bibliografia

[1] Minhós,Feliz. “Equações Diferenciais Ordinárias-Relatório sobre a Unidade Curricular”, (2009).

[2] Borges, Amadeu. ”Resolução Numérica de Equações Diferenciais em Mecânica dos Fluidos e Transferência de Calor”, Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, (2011).

[3] Fernandes, Edite. “Computação Numérica-2ªEdição”, pp.269, Universidade do Minho,1996.”

[4] Dennis, G. Zill e Cullen, Michael R. “Matemática Avançada para Engenharia- Equações Diferenciais Elementares e transformada de Laplace” 3ªedição.