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Introdução ao Controle Automático deAeronaves

Equações de Movimento, Forças eMomentos.

Leonardo Torres

[email protected]

Escola de Engenharia – Universidade Federal de Minas Gerais/EEUFMG

Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 1

Equações de Movimento

O comportamento temporal do veículo, considerando-ocomo um corpo rígido, pode ser descrito por 2 conjuntosde equações:

Equacoes Cinematicas: relações entre posições evelocidades de translação; e relações entreposicionamento espacial (atitude) e velocidadesangulares.

Equacoes Dinamicas: relações entre acelerações eforças resultantes sobre o veículo; e relações entreacelerações angulares e torques resultantes sobre aaeronave. ⇒ Leis de Newton.


Revisão: Transformações de

Coordenadas

Na determinação das equações de movimento serápreciso considerar cuidadosamente as seguintestransformações de rotação:

NED → ABC

B =

cθcψ cθsψ −sθ

−cφsψ + sφsθcψ cφcψ + sφsθsψ sφcθ

sφsψ + cφsθcψ −sφcψ + cφsθsψ cφcθ

Vento → ABC

S =

cαcβ −cαsβ −sα

sβ cβ 0

sαcβ −sαsβ cα


Revisão: Matrizes de Inércia

1. Por definição, o Momento Angular de um conjunto de partículas é igual a somados momentos angulares de cada uma das partículas de massa δm:~H =

∑nk=1

~hk =∑n

k=1~rk × (δm~vk).

2. Mas ~vk = ~ω × ~rk, logo: ~H =∑n

k=1δm (~rk × (~ω × ~rk)).

3. Entretanto, considerando ~rk = [xk yk zk]⊤, é possível reescrever

∑nk=1

δm (~rk × (~ω × ~rk)) = J ~ω:

~H = J~ω =

∑

(y2k+ z2

k)δm −

∑

(xkyk)δm −

∑

(xkzk)δm

−

∑

(xkyk)δm∑

(x2

k+ z2

k)δm −

∑

(ykzk)δm

−

∑

(xkzk)δm −

∑

(ykzk)δm∑

(x2

k+ y2

k)δm

. ~ω

4. Caso as partículas de massa estejam distribuídas de forma simétrica, todos oselementos fora da diagonal, na matriz acima, serão nulos.



1. Para um corpo rígido, os somatórios são substituídospor integrais.

2. Além disso, no caso de uma aeronave que sejasimétrica em relação ao plano XZ, tem-se que:

J =

∫(y2 + z2)dm 0 −

∫xzdm

0∫(x2 + z2)dm 0

−∫xzdm 0

∫(x2 + y2)dm



Aeronave simétrica em relação ao plano XZ:

J =

Jx 0 −Jxz0 Jy 0

−Jxz 0 Jz

J−1 =1

Γ

Jz 0 Jxz0 Γ

Jy0

Jxz 0 Jx

; Γ = JxJz − (Jxz)

2.


Equações de Movimento – Equações

Cinemáticas

Adotando-se as hipóteses de que o referencial NED éinercial e a terra é plana (flat earth), podemos escrever:

Equação de Navegação:

~pNED = B⊤~vABC (1)

Equação de Atitude/Orientação:

B = −ΩB (2)



Dinâmicas

Equação das Forças (2a lei de Newton):

~FABC =

[d(m ~vABC)

dt

]

NED

.

Supondo a variação de massa desprezível (m ≈ 0):(d~vABC

dt

)

NED=

~FABC

m= ~vABC + ~ωABC × ~vABC;

~vABC = −ΩABC~vABC +1

m~FABC. (3)



Dinâmicas

Equação dos Momentos (torque resultante = variaçãodo momento angular):

~TABC =

[d(J ~ωABC)

dt

]

NED

.

Supondo desprezível a variação da matriz de inércia, ou seja, a massa da

aeronave varia muito lentamente, bem como sua distribuição espacial em torno

dos eixos do corpo (não há disparo de armas ou alijamento de tanques de

combustível ⇒ J ≈ 03×3):

~TABC = JωABC + ~ωABC × (J ~ωABC)

~ωABC = −J−1ΩABC J ~ωABC + J−1 ~TABC. (4)


Equações de Movimento Expandidas

As equações (1), (2), (3) e (4) constituem as equaçõesdiferenciais não lineares que definem o movimento de umveículo no espaço. Elas dependem de 12 variáveis deestado, enumeradas abaixo:

1. Posição do c.g. no espaço: ~pNED = [pN pE h]⊤,

2. Velocidade de translação: ~vABC = [U V W ]⊤,

3. Atitude: ~Φ = [φ θ ψ]⊤,

4. Velocidade angular ~ωABC = [P Q R]⊤.


Equações Cinemáticas Expandidas

A partir da equação ~pNED = B⊤~vABC, podemos escrever:

pN = U cos θ cosψ+

V (− cosφ sinψ + sinφ sin θ cosψ)+

W (sinφ sinψ + cosφ sin θ cosψ),

pE = U cos θ sinψ+

V (cosφ cosψ + sinφ sin θ sinψ)+

W (− sinφ cosψ + cosφ sin θ sinψ)

pD = U sin θ − V sinφ cos θ −W cosφ cos θ.

(5)

É importante notar que pD = −H, sendo H a altitude.


Equações Cinemáticas Expandidas

No caso da equação (2)

B = −ΩB,

podemos escrever, usando os elementos 1 e 2 da coluna~b3, e o elemento 1 da coluna ~b2:

φ = P +Q tan θ sinφ+ R tan θ cosφ,

θ = Q cosφ− R sinφ,

ψ = Q sinφ

cos θ+R cosφ

cos θ

(6)

Onde se vê que há singularidade para o caso θ = ±π/2!


Equações Dinâmicas Expandidas

Escrevendo~FABC = [Fx Fy Fz]

⊤,

a equação (3) pode ser expandida como:

U = RV −QW + Fx

m,

V = −RU + PW + Fy

m,

W = QU − PV + Fz

m.

(7)


Equações Dinâmicas Expandidas

Escrevendo~TABC = [L M N ]⊤,

a equação (4) pode ser expandida como:

P = (−c1R+ c2P )Q+ c3L+ c4N,

Q = c5PR − c6(P2 − R2)+ c7M,

R = (c8P − c2R)Q+ c4L+ c9N,

(8)

sendo que ck, k = 1, . . . , 9 são coeficientes que dependemdos elementos da matriz de inércia da aeronave.


Equações de Movimento

As 12 equações diferenciais mostradas anteriormentepodem ser escritas de forma compacta como:

~x = f(~x, ~u),

sendo que ~x ∈ R12 é o vetor de estados

~x = [pN pE h φ θ ψ U V W P Q R]⊤,

e ~u é o vetor de entradas de controle. Por exemplo:

~u = [δe δa δr δth]⊤.

sendo δe a deflexão do profundor; δa a deflexão dosailerons; δr a deflexão do leme e δth o comando de tração.


Forças em uma Aeronave

O vetor força resultante ~FABC = [Fx Fy Fz]⊤ sobre a

aeronave é o resultado da contribuição de 3 parcelas.

z

y

x

L; Sustentação (Lift)

D; Arrasto (Drag)

mg; Peso (Weight)

C; Força Lateral

Th; Propulsão (Thrust)

α

β

Vento

~FABC =~Fvento +~Fgravidade +~Fpropulsao.


Forças do Vento

Conforme visto no slide anterior, a força produzida pelodeslocamento do veículo em relação à atmosfera (Forçado Vento) é dividida em 3 componentes, ao longo dosrespectivos Eixos do Vento:

(

~Fvento

)

W= ~D + ~L+ ~C =

−D

−C

−L

,

sendo que

D = qSwCD;

L = qSwCL;

C = qSwCC .

onde q = 12ρV 2

T ; é apressão dinâmica e Sw é aárea da asa.


Forças do Vento

Os coeficientes aerodinâmicos são composições determos: 1 componente básico + valores incrementais:

CD = CD(CL) + ∆CD(δe) + ∆CD(β) + ∆CD(M) + . . .

CL = CL(α) + ∆CL(δe) + ∆CLstall(α) + . . .

CC = CC(β) + ∆CC(δr) + . . .

É assim que “aparecem” as influências das deflexões δe,δa, δr das superfícies de controle, nas forças que agemsofre a aeronave.


Forças do Vento

Um exemplo: determinação da força de sustentação.

~L =

0

0

−L

W

; sendo que: L = qSwCL =

12ρV 2

T

SwCL

L =

1

2ρV 2

T

︸︷︷︸

q

Sw CL(α) + ∆CL(δe) + ∆CLstall(α) + . . .︸︷︷︸

CL

Programas de simulação de vôo de aeronaves devemconter Tabelas Aerodinâmicas que descrevem a variaçãode cada coeficiente, em função da velocidade, atitude eposição.


Especificação de Forças no FlightGear

No programa FlightGear , as Tabelas Aerodinâmicas estãocolocadas entre as “tags” (rótulos no arquivo XML):

<aerodynamics>

<ax is name="DRAG">

< !−− . . . tabe las / funcoes para fo rca de a r ra s to . . .−−>

< \ ax is>

<ax is name="SIDE">

< !−− . . . tabe las / funcoes para fo rca l a t e r a l . . .−−>

< \ ax is>

<ax is name=" LIFT ">

< !−− . . . tabe las / funcoes para fo rca de sustentacao . . .−−>

< \ ax is>

< \ aerodynamics>Dep. Eng. Eletronica – EEUFMG – p. 20


Exemplo (força de sustentação para a aeronave F-16).Análise do arquivo XML correspondente à aeronave:

f16.xml



Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas:

1. aero/qbar-psf: pressão dinâmica q em libras por pé-quadrado.

2. metrics/Sw-sqft: área da asa Sw em pés-quadrados.

3. metrics/bw-ft: envergadura bw da asa em pés.

4. metrics/cbarw-ft: corda média cw da asa em pés.

5. aero/h b-mac-ft: altura da asa em relação ao solo.

6. aero/alpha-rad: ângulo de ataque em radianos.

7. aero/alphadot-rad sec: derivada α do ângulo de ataque em rad/s.

8. fcs/flap-pos-deg: posição dos flaps em graus.

9. aero/stall-hyst-norm: variável auxiliar para simular histerese após estol (ignorar esteefeito).

10. fcs/mag-elevator-pos-rad: valor absoluto da deflexão de profundor em graus.

11. aero/mag-beta-rad: valor absoluto de beta.



Algumas variáveis recorrentes que gerarão dúvidas (continuação):

12. aero/bi2vel: envergadura divida por 2× a velocidade: bw2VT

.

13. aero/ci2vel: corda média divida por 2× a velocidade: cw2VT

.

14. fcs/left-aileron-pos-rad: deflexão do aileron esquerdo δa.

15. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δr.

16. fcs/rudder-pos-rad: deflexão de leme δr.

17. velocities/p-aero-rad sec: componente Pw da velocidade angular ~ωW do veículo,representada no eixo do vento. Ou seja:~ωw = RABC2W ~ωABC ⇒ [Pw, Qw, Rw]⊤ = RABC2W × [P,Q,R]⊤.

18. velocities/q-aero-rad sec: idem, componente Qw.

19. velocities/r-aero-rad sec: idem, componente Rw.



Outras variáveis podem ser compreendidas lendo o“Manual da biblioteca JSBSim”, a qual contém as rotinasusadas para integrar as equações diferenciais quedescrevem a aeronave (veja a Seção 2.6):

Manual do JSBSim


http://jsbsim.sourceforge.net/JSBSimReferenceManual.pdf

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