Equações de 1° grauEquações de 1° grau

Acadêmicas:Acadêmicas: Eliane Moreira da SilvaEliane Moreira da Silva

Lisiane Milan SelongLisiane Milan Selong

Objetivo geral da unidade:

Estimular no aluno a curiosidade, iniciativa, exploração e consciência de seu desenvolvimento lógico e aprendizagem, levando-o a compreensão de conceitos, procedimentos e estratégias a partir das experiências acumuladas no seu dia-a-dia. Além disso, propiciar um ambiente capaz de promover a interação e a aprendizagem matemática.

Objetivos específicos:

•Construir com o aluno o conceito de equação, através de situações problema;•Demonstrar através da história a origem das equações;•Diferenciar sentença aberta de sentença fechada;•Exemplificar o conceito de equação utilizando material concreto;•Distinguir expressão algébrica de equação;

•Determinar o conjunto solução de uma equação dentro de um determinado conjunto universo;•Reconhecer como equação do 1° grau com uma incógnita toda equação equivalente a ax=b, onde a,b Є Q e a≠0;•Aplicar os princípios de equivalência para obter equações equivalentes e mais simples na forma ax=b;•Escrever o conjunto solução da equação de acordo com o conjunto universo dado;•Traduzir uma sentença expressa em linguagem corrente em uma sentença matemática;

•Identificar o que é dado e o que é pedido no problema;•Analisar o resultado e dar a resposta conveniente ao problema;

Metodologia:

Aulas expositivas e dialogadas com a utilização de quadro e giz, situações problemas, resolução de exercícios, utilização de material concreto e software educacional.

Avaliação:

A avaliação será feita pela observação do desempenho do aluno tanto individualmente quanto em grupo durante a realização das atividades propostas, assiduidade, interesse, trabalho em dupla e avaliação escrita.

Conteúdos:

1-Introdução à Álgebra:Seqüências

Um jardineiro faz canteiros com mudas de rosa e mudas de margarida, arrumando em grupos como os modelos abaixo.

No seu caderno, copie a tabela a seguir e relacione o número de mudas de rosa que ele planta em cada grupo com o número de mudas de margarida.

ROSA MARGARIDA

1 4

2 ?

? ?

2-História das equações:

O enigma de Diofante

Até aquela época, os matemáticos gregos preferiam estudar Geometria. Apenas Diofante se dedicou à Álgebra. A História não guardou muitos da dos sobre a vida de Diofante. Tudo o que sabemos dele estava numa dedica tória gravada em seu túmulo — com toda a certeza, escrita por Hipatia:

--------------------------------------------------------

“Caminhante! Aqui fo ram sepultados os res tos de Diofante. E os números podem mos trar — oh, milagre — quão longa foi a sua vida”,

--------------x

cuja sexta parte consti tuiu sua formosa infância. -----------x/6-----------x/6

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quan do de pêlos se cobriu o seu rosto. ----------x/12----------x/12

E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos. -----------x/7-----------x/7

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimen to de seu primeiro filho, --------------5

que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da de seu pai. ------------x/2------------x/2

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho. --------------4

Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?”

Hoje nós sabemos decifrar esta dedicatória através de uma equação:

42

57126

xxxxx

Fazemos os cálculos:

8497567569

33642042127148484

33642420127148484

x

x

xxxxxx

xxxxx

Agora podemos resolver todo o enigma, substituindo x por 84:“Caminhante! Aqui foram sepultados os res tos de Diofante. E os números podem mos trar — oh, milagre — quão longa foi a sua vida”,

--------------x=84

cuja sexta parte consti tuiu sua formosa infância. ----x/----x/6=84/6=146=84/6=14

E mais um duodécimo pedaço de sua vida havia transcorrido quan do de pêlos se cobriu o seu rosto.

--x/--x/12=84/12=712=84/12=7

E a sétima parte de sua existência transcorreu em um matrimônio sem filhos.

----x/----x/7=84/7=127=84/7=12

Passou-se um qüinqüênio mais e deixou-o muito feliz o nascimen to de seu primeiro filho, --------------5

que entregou à terra seu corpo, sua formosa vida, que durou somente a metade da de seu pai.

----x/----x/2=84/2=422=84/2=42

E com profundo pesar desceu à sepultura, tendo sobrevivido apenas quatro anos ao descenso de seu filho. --------------4

Diga-me: Quantos anos viveu Diofante quando lhe chegou a morte?”

Assim, ficamos sabendo que Diofante morreu aos 84 anos. Quatro anos antes presenciou a morte do filho, que tinha 42

anos:½• 84 = 42

Diofante foi pai, portanto, com 38 anos e casou-se aos 21 anos:

80 - 42 = 38 38 - 5 - 12 = 21

Os matemáticos da época de Hipatia e Diofante não conheciam as equações.

Apenas os mais brilhantes eram capazes de resolver problemas-desafio como este.

Matemáticos de várias partes do mundo adotaram a regra do falso dos egípcios. Veja este famoso quebra-cabeça hindu do século VII:

“Um colar se rompeu quando brincavam dois namorados...Uma fileira de pérolas escapou... A sexta parte ao solo caiu... A quinta parte na cama ficou... Um terço pela jovem se salvou... A décima parte o namorado recolheu... E com seis pérolas o colar ficou...Diga-me, leitor, quantas pérolas tinha o colar dos namorados?”

Um estudante hindu dessa época resolvia o problema através da regra do falso; o montão representava a quantidade de pérolas do colar.

Escolhia um valor falso: Valor falso = 60

12620121060

60.10160.

3160.

5160.

6160

Montava uma regra de três simples:VALOR FALSO VALOR VERDADEIRO

60 Montão12 6

3012360

6.6012.612

60

montão

montão

montão

montão

Descobria assim que o colar dos namorados tinha 30 pérolas.Vamos conferir o resultado resolvendo o problema através de uma equação:

3061801806

18030106530

6.3010356

.30

610356

x

x

xxxxx

xxxxx

xxxxx

3 - De símbolos a palavras; de palavras a símbolos:

Quando escrevemos uma expressão algébrica, por exemplo:

x - lpodemos imaginar uma frase que seja representada por essa expressão: "Pedro tem um livro a menos que Carol." Se x representa o número de livros que Carol possui, x — l representa a quantidade de livros de Pedro.Podemos pensar numa outra interpretação:"Se x representa um número inteiro, x — l representa o antecessor desse número."Outra expressão algébrica:

2y-lpode representar a frase:

"O dobro de um número menos l" ou ainda:"Subtraindo l ano do dobro da idade de Sandro, obtemos a idade de Ana." Se y representa a idade de Sandro, 2y — l representa a idade de Ana. Também podemos fazer o inverso: dada uma frase, representá-la por meio de uma expressão algébrica.Veja:

• um número somado com 5: b + 5;• a diferença entre um número e 10: y — 10;• o dobro de um número: 2 • x ou 2x;• se Pedro é l ano mais velho que Manuel e a idade de Manuel é representada por a, representamos a idade de Pedro por a + 1.

4-Sentenças matemáticas fechadas e sentenças matemáticas abertas:

As sentenças matemáticas A maneira como a Matemática se desenvolveu, com a descoberta de relações entre M medidas, por exemplo, fez com que os matemáticos se vissem obrigados a usar símbolos que viessem a simplificar a escrita das sentenças matemáticas relativas a tais relações. Os símbolos que surgiram espontaneamente foram as letras dos diversos alfabetos mais co nhecidos assim como sinais específicos indicando operações e relações. Assim, para afirmar que a área do retângulo é o produto das duas dimensões, con vencionou-se estabelecer a fórmula que vocês já conhecem, ou seja:

S =b•hOnde: S, b e h são símbolos que representam, respectivamente, a medida da área do retângulo, a medida da base e a medida da altura. Temos, nesta fórmula, uma sentença matemática escrita simbolicamente; é uma sentença porque é a expressão de um pensamento completo, ou seja, traduz uma idéia formando sentido completo. Assim, toda relação entre estes matemáticos passou a expressar-se por meio de símbolos, ou seja, por meio de sentenças matemáticas escritas na linguagem simbólica.

5-Equação:

Denomina-se equação toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade que tem pelo menos um número desconhecido representado por uma letra.

Como toda equação é uma igualdade, temos:

x + 2 = 6→2° membro da equação x – y = 10→2° membro da equação ↓ ↓1° membro da equação 1° membro da equação

6-Variável ou incógnita de uma equação:Observe:

5x + 2 2x + 3 = 7

Qual a diferença entre as duas sentenças matemáticas?Que nome se dá ao “x” nessas duas sentenças?

•5x + 2→ é uma expressão algébrica, nesse caso o “x” recebe o nome de variável;•2x + 3 = 7→é uma equação algébrica (é expressa por uma igualdade), nesse caso o “x” recebe o nome de incógnita;

7-Conjunto universo e conjunto solução de uma equação:

Representação:

U = conjunto universo S = conjunto solução (conjunto verdade)

Recordemos os conjuntos numéricos já estudados, para posterior aplicação:

N = {números naturais} = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}Z = {números inteiros} = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}Q = { números racionais} = { ..., -2, ..., -1, ..., -½, ..., 0, ..., ⅓, ..., 1, ...}

Veremos, por meio de exercícios práticos, o significado de conjunto universo e conjunto solução de uma equação.

Qual o elemento do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} que torna verdadeira a equação x + 1 = 3?

Resposta: O elemento é 2, pois (2) + 1 = 3

Significado:

O conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4} é denominado conjunto universo da equação. O conjunto {2} é denominado conjunto solução da equação (relativo aquele conjunto universo).

Em síntese: Equação: x + 1 = 3 U = {0, 1, 2, 3, 4} S = {2}

Conjunto universo é o conjunto formado por todos os valores pelos quais a variável pode ser substituída.

Conjunto solução é o conjunto constituído por todos os elementos do conjunto universo dado, que tornem verdadeira

a equação.

8-Equação do 1° grau com uma incógnita:

1°) x = 11 → A incógnita é x 2°) 3y = 21 →A incógnita é y 3°) -10t = 2 → A incógnita é t 4°) 6p = -1 →A incógnita é p 5°) 5m = 0 → A incógnita é m 6°) 7x – 1 = 6x + 11 → A incógnita é x 7°) y + ⅔y = 120 → A incógnita é y

Como reconhecer, então, se uma equação é do 1° grau com uma incógnita?

Toda equação que, reduzida à sua forma mais simples, assume a forma ax = b, em que x representa a incógnita e a e b são números racionais, com a ≠ 0, é denominada equação do 1° grau com uma incógnita.

Os números a e b são denominados coeficientes da equação.

9- Resolvendo uma equação do 1° grau com uma incógnita:

Resolver a equação 3x + 1 = 37 sendo U = Q. Aplicando o princípio aditivo, vamos adicionar (-1) aos dois membros da equação, isolando o termo que tem a incógnita x no 1° membro:

3x + 1 = 373x + 1 + (-1) = 37 + (-1)

3x +1 -1 = 37 – 13x = 36

Aplicando o princípio multiplicativo, vamos multiplicar os dois membros da equação por ⅓, descobrindo assim o

valor do número x.

3x . (⅓) = 36 . (⅓)

x = 12

Como 12 Є Q, temos S = {12}

De forma prática:

3x + 1 = 37

3x = 37 – 1 → aplicamos o princípio aditivo

3x = 36

x = 36 ÷ 3 → aplicamos o princípio multiplicativo

x = 12

Como 12 Є Q, temos S = {12}

10-Explorando a idéia de equilíbrio e resolvendo equações de 1° grau com uma

incógnita:

Vamos agora trabalhar com mais um modo de resolver equações.A igualdade traduz uma idéia de equilíbrio. Equilíbrio faz a gente se lembrar de uma balança de dois pratos. Assim, uma equação (que é uma igualdade) pode ser vista como uma balança de dois pratos em equilíbrio.

Observe esta balança de pratos equilibrada e considere todas as latinhas com o mesmo "peso", que vamos representar por x. Qual é o "peso" de cada latinha, ou seja, qual é o valor de x?

Equação correspondente:

5x + 50 = 3x + 290

Quanto tiramos pesos iguais de cada prato, a balança continua equilibrada.Vamos tirar 50 g de cada prato.

Usamos o princípio aditivo da igualdade. Somando -50 a ambos os membros da igualdade, obtemos outra

igualdade: 5x + 50 - 50 = 3x + 290 - 50

5x = 3x + 240

(equação equivalente à anterior)

Tirando três latinhas de cada prato, a balança continua equilibrada.

Outra vez usamos o princípio aditivo da igualdade.Somando -3x a ambos os membros da igualdade, temos uma

nova igualdade: 5x = 3x + 2405x - 3x = 3x + 240 - 3x

2x = 240(equação equivalente à anterior)

Se duas latinhas de mesmo "peso", juntas, "pesam" 240 g, cada uma "pesa" 240 : 2 = 120 g. Assim o "peso" de cada latinha é de 120 g.

Se 2x = 240, pela operação inversa obtemos x:x = 240 : 2

x = 120

Verificando:

Verificando:5x + 50 = 3x + 290

5 . 120 + 50 = 3 . 120 + 290600 + 50 = 360 + 290

650 = 650 (está correto)

11- Usando as equações para resolver problemas:

Veja algumas dicas abaixo. Elas serão importantes para equacionar e resolver as situações-problema:

•Leia com atenção a situação dada verificando o que se conhece e o que se vai determinar;•Represente um valor desconhecido por uma letra;•Escreva uma equação envolvendo essa letra, seguindo as informações da situação;•Resolva a equação obtendo o valor da letra;•Faça a verificação conferindo se acertou;•Escreva a resposta.