ensino superior 7. integrais duplas conceitos e propriedades amintas paiva afonso cálculo 2

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Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

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Page 1: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Ensino Superior

7. Integrais DuplasConceitos e Propriedades

Amintas Paiva Afonso

Cálculo 2

Page 2: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Duplas

• Integral dupla é uma extensão natural do conceito de integral definida para as funções de duas variáveis. Serão utilizadas para analisar diversas situações envolvendo cálculo de áreas e volumes, determinação de grandezas físicas e outros.

Page 3: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

f :IR2IR contínua noretângulo R = [a,b] x [c,d]

y

ba x

d

c

RR

Integrais Duplas

Page 4: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

f 0 em RQ = {(x,y,z)/(x,y) R e 0 z

f(x,y)}

x

y

zQQ

RR

Volume de QQ = V = ?

Integrais Duplas

Page 5: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Partição de R

xi

x

ba x

d

c

RRy

x1 x2 xi-1

y1

y2

yj-1

yj

y

RRijij

(x(xijij , y , yijij))

Integrais Duplas

Page 6: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

V =

x

y

z QQ

RR

f (xij , yij)

(xij , yij )

Vij

m

1jijij

n

1in,m

A)y,x(flim

Integrais Duplas

Page 7: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integral Dupla de f sobre o retângulo RIntegral Dupla de f sobre o retângulo R

R

dA)y,x(f

m

1jijij

n

1in,m

A)y,x(flim

R

dA)y,x(fV

Integrais Duplas

Page 8: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais IteradasIntegrais Iteradas

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydxyxf

dxdyyxfdAyxf

),(

),(),(

Integrais Duplas

Page 9: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas

1) Regiões inscritas em faixas verticais

D = { (x,y) | a < x < b, g1(x) < y < g2(x) }

x

y

0 bay = g1(x)

y = g2(x)DD

Integrais Duplas

Page 10: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Duplas em Regiões GenéricasIntegrais Duplas em Regiões Genéricas

1) Regiões inscritas em faixas horizontais

D = { (x,y) | c < y < d, h1(y) < x < h2(y) }

x

y

0

d

c

x = h1(y)

x = h2(y)DD

Integrais Duplas

Page 11: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Propriedades das Integrais Duplas Propriedades das Integrais Duplas

DD

dA)y,x(fcdA)y,x(cf

21 DDD

dA)y,x(fdA)y,x(fdA)y,x(f

DD

D

dA)y,x(gdA)y,x(f

dA)]y,x(g)y,x(f[

Integrais Duplas

Page 12: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Massa e Centro de Massa de uma LâminaMassa e Centro de Massa de uma Lâmina

(x,y) : densidade no ponto (x,y)

D : local ocupado pela lâmina

m : massa da lâmina

D

dA)y,x(m

Integrais Duplas

Page 13: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Centro de Massa : (X,Y)Centro de Massa : (X,Y)

onde XX = My/m e YY = Mx/m

para :

e

D

x dA)y,x(yM

D

y dA)y,x(xM

Integrais Duplas

Page 14: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 1

Page 15: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 2

dx

Page 16: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 3

2/32

3/2

2

2

13

1

3

u-

du 2

1

2

1-dr

21

dr .1

r

u

dur

dudrrur

rr

Page 17: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 4

Page 18: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 5

Page 19: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 6

Page 20: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 7

Calcule , onde R = [1, 2] x [0, ].R

dAxyysen )(

R

dAxyy )sin( dydxxyy2

1 0)sin(

dxxyydx 2

1 0))(cos(1 dxdyxyxyy xx 2

1 00])cos(|)cos([ 11

dxxyxxx 2

1 02 ]|)sin()cos([ 11 dxxx

x

x 2

1 2 ][ )cos()sin(

2

1

2

1 2

)cos()sin( dxdx xx

x

x 2

1

2

1 2

)sin()sin(x

xd

x

x dx

2

1 2

2

1 2

)sin(2

1

)sin()sin( dxdxx

x

xx

x

x 02

1

)sin(

xx

Page 21: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 8

Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

D = {(x, y) / 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 1}

1 1 2 2

0sin sin

xD

y dy dx y dA

Page 22: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 8

Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

D = {(x, y) / 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ x ≤ y}

1 1 2 2

0sin sin

xD

y dy dx y dA

Page 23: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exemplo 8

Calcule a integral Iterada 1 1 2

0sin

xy dy dx

1 1 2 2

0

1 2

0 0

1 2

00

1 2

0

1212 0

12

sin sin

sin

sin

sin

cos

(1 cos1)

xD

y

x y

x

y dy dx y dA

y dx dy

x y dy

y y dy

y

Page 24: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

1) Calcule a integral abaixo onde R é o retângulo no plano xy limitado pelo eixo x, pela reta y = x e pela reta x = 1.

dAx

x

R

sen

2) Resolver a integral dupla . 2

0

2

2

)24(.x

x

dydxx

3) Integrar a função f(x,y), considerando o domínio definido pelas retas x = 0, y = 0 e y = x. .

Page 25: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Propriedades das Integrais Duplas

Page 26: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

Múltiplo constante:

Soma e diferença:

Aditividade: (R = R1 + R2)

RR

dxdyyxfkdxdyyxfk ),(),(.

RRR

dxdyyxgdxdyyxfdxdyyxgyxf ),(),()],(),([

21

),(),(),(RRR

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxf

Page 27: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

Se f (x, y) é contínua no retângulo R = [a, b] × [c, d], a integral dupla é igual a integral iterada.

a bx

y

c

d

x

y

b

a

d

c

d

c

b

aR

dydxyxfdxdyyxfdAyxf ),(),(),(

fixo fixo

Page 28: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

a bx

y

h(x)

g(x)

x

b

a

xg

xhA

dydxyxfdAyxf)(

)(

),(),(

A

Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / x em [a, b] e h(x)  y  g(x)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

Page 29: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

d

x

y

d

c

yg

yhR

dxdyyxfdAyxf)(

)(

),(),(

c

h(y) g(y)y

A

Se f (x, y) é contínua em A = {(x, y) / y em [c, d] e h(y)  x  g(y)}, a integral dupla é igual a integral iterada.

Page 30: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

b

a

b

a

xg

xg

dxdyyxfdxxAV)(2

)(1

]),(.[)( b

a

d

c

yh

yh

dydxyxfdyyAV)(2

)(1

]),(.[)(

Page 31: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Duplas para Domínios Não Retangulares

b

a

b

a

xg

xg

dxdyyxfdxxAV)(2

)(1

]),(.[)(

Page 32: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

Page 33: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Dupla para Domínios Não Retangulares

b

a

d

c

yh

yh

dydxyxfdyyAV)(2

)(1

]),(.[)(

Page 34: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Cálculo de Integrais Duplas

Page 35: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Integrais Iteradas – Definição

d

c

b

a

b

a

d

cR

dydx)y,x(f

dxdy)y,x(fdA)y,x(f

Page 36: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Calcule onde D é a região limitada pelas parábolas

y = 2x2 e y = 1 + x2.

D

dA)y2x(

dxdyyxx

x

1

1

1

2

2

2 )2(

dxyxyxy

xy

2

2

1

2

1

1

2

dxxxxxx

1

1

43222 42)1()1(

dxxxxx

1

1

234 123

1

1232

453

345

x

xxxx

15

32

Page 37: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Resposta: 36

Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

Page 38: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

212

212

4 1

2 3

124

23

4 2 2 21 12 22

54 3 21

2 2

46 34 21

22

2

( 1) ( 3)

4 2 84

2 4 3624 3

y

yD

x y

x y

xydA xy dx dy

xy dy

y y y dy

yy y y dy

y yy y

Page 39: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Calcule , onde D é a região limitada pela reta y = x – 1

e pela parábola y2 = 2x + 6.

D

xydA

1 2 6 5 2 6

3 2 6 1 1

x x

x xD

xydA xy dy dx xy dy dx

Page 40: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Page 41: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

)4(2

0

23

2

dydxyxx

x

dxy

yx xx

2

0

22

32)

2

4(

dxxxxxxx 2

0

22323 )(2.)2(22

)8(2

0

52 dx -xx 20

63

63

8 x -

x

3

32

6

64

6

64

3

64 -

Page 42: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

)4(4

02

3 dxdyyxy

y

dyxyx y

y

2

4

0

4

44

dyy

yy

yyy

4

0

4

.2

442.4

4

2

84

64

4

0

22

32

dyyy

yy

40

322

53

3

2

8.22

54

64.3

yyyy

Page 43: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

40

322

53

3

2

8.22

54

64.3

yyyy

40

322

53

3

2

165

8

192

yyyy

3

4.2

16

4

5

4.8

192

4 322

53

3

32

3

1281

5

4.128

3

1

3

4.2

16

4

5

4.8

192

4 322

53

Page 44: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Page 45: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Page 46: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Page 47: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Exercícios

Page 48: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

b

a

d

c

b

a

d

cR

dydx

dydxyxfdxdyyxf

RdeàreaVM

),(),(

..

1

Page 49: Ensino Superior 7. Integrais Duplas Conceitos e Propriedades Amintas Paiva Afonso Cálculo 2

Valor Médio de f(x,y) sobre o domínio R

Exemplo:

Calcular o valor médio da função f(x,y) = sen(x + y), no

retângulo 0 x e 0 x /2.

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