#ConquistaNoEstudo ■ #Dia3Semana10 Ensino Médio ■ 3º. ano

matemática

Olá, estudante! Vamos

iniciar nossos estudos do

dia 3 da semana 10. Hoje

veremos: Noção de matriz,

Igualdade de matrizes,

Adição de matrizes e

Multiplicação de um número

por uma matriz. O conteúdo

está no capítulo 1 do livro

10, páginas 25 a 31.

Para se mexerPara auxiliar na representação de informações, é comum a utilização de tabelas numéricas retangulares. Essas tabelas são compostas por uma certa quantidade de linhas (fileiras horizontais) e de colunas (fileiras verticais). Na Matemática, matrizes são tabelas formadas por linhas e colunas. Observe a tabela a seguir.

ESTUDO DE MATRIZES

Se quisermos saber:

■ quantos casos confirmados de Coronavírus tem o Brasil, basta olharmos o número que está na primeira linha e na segunda coluna;

■ onde foram registrados o maior número de casos de Coronavírus, basta olharmos para a oitava linha e na primeira coluna;

■ quantas mortes foram registradas nas Américas, basta olharmos o número que está na terceira linha e na terceira coluna.

Fonte: https://www.poder360.com.br/coronavirus/conheca-os-numeros-do-coronavirus-no-brasil-e-no-mundo-3/

Uma tabela desse tipo, em que os números estão dispostos em 3 linhas e 3 colunas, denomina-se matriz 3 x 3 (lê-se três por três) e podemos representá-la por:

ou

*Adaptado.

Fonte: https://www.girosa.com.br/nacional/regiao-osasco-e-a- cidade-com-mais-obitos-por-coronavirus

Definição de matriz: Sejam m e n dois números inteiros maiores ou iguais a 1, temos que: Uma matriz m x n (lê-se m por n) é uma tabela retangular formada por m. n números reais, dispostos em m linhas e n colunas.

Exemplos:

■ Matriz de ordem 2 x 3: duas linhas e três colunas

■ Matriz de ordem 3 x 2: três linhas e duas colunas

■ Matriz de ordem 1 x 4: uma linha e quatro colunas

Matriz linha: formada por apenas uma linha

■ Matriz de ordem 3 x 1: três linhas e uma coluna

Matriz coluna: formada por apenas uma coluna

■ Matriz de ordem 2 x 2: duas linhas e duas colunas

Matriz quadrada: número de linhas igual ao números de colunas

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZIndicamos uma matriz com uma letra maiúscula e cada um de seus elementos pela mesma letra, porém em minúscula, acompanhada de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna em que o elemento está localizado.

Por exemplo:

■ Elemento da 1ª. linha e 1ª. coluna: 𝑎11 = 5 (lê-se “a um um igual a cinco”)

■ Elemento da 1ª. linha e 2ªª. coluna: 𝑎12 = –7 (lê-se “a um dois igual a menos sete”)

■ Elemento da 2ª. linha e 1ª. coluna: 𝑎21 = 4 (lê-se “a dois um igual a quatro”)

■ Elemento da 2ª. linha e 2ª. coluna: 𝑎22 = 3 (lê-se “a dois dois igual a três”)

REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DE UMA MATRIZGenericamente, temos: Matriz A de ordem m x n

No elemento 𝑎𝑖𝑗, o índice i indica a linha, e o j, a coluna em que o elemento está localizado. O elemento 𝑎23, por exemplo, tem i = 2 e j = 3, ou seja, está localizado na 2ª. linha e na 3ª. coluna.

Indicamos

IGUALDADE DE MATRIZESDuas condições devem ser verificadas para que duas matrizes sejam iguais:

■ devem ter a mesma ordem; e

■ os elementos correspondentes (situados na mesma posição) também devem ser iguais.

Por exemplo:

𝐴23 = 𝐵23, se e somente se:

𝑎11 = 𝑏11 𝑎12 = 𝑏12 𝑎13 = 𝑏13

𝑎21 = 𝑏21 𝑎22 = 𝑏22 𝑎23 = 𝑏23

Exemplo:

As matrizes são iguais, pois são de mesma ordem e os elementos correspondentes são iguais.

As matrizes são diferentes, pois são de ordens diferentes.

As matrizes são diferentes, pois, embora tenham a mesma ordem, nem todos os elementos correspondentes são iguais.

MATRIZES ESPECIAIS

Matriz quadradaConsideremos uma matriz m x n. Quando m = n (o número de linhas é igual ao número de colunas), diz-se que a matriz é quadrada do tipo n x n ou simplesmente de ordem n.

Exemplos:

a) é uma matriz quadrada de ordem 2 (m = n = 2)

b) é uma matriz quadrada de ordem 3(m = n = 3)

Em uma matriz quadrada de ordem n, os elementos 𝑎11, 𝑎22, 𝑎33, …,𝑎𝑛𝑛 formam a diagonal principal da matriz (são os elementos 𝑎𝑖𝑗 com i = j)

A outra diagonal da matriz quadrada, que vai do último elemento

da 1a. linha até o 1o. elemento da última linha, é conhecida

como diagonal secundária.

Matriz identidadeA matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais e os demais elementos são nulos é denominada matriz identidade. Indicamos uma matriz identidade de ordem n por I𝑛.

matriz identidade de ordem 1

matriz identidade de ordem 2

matriz identidade de ordem 3

Note que em uma matriz identidade I𝑛, temos:

Matriz nulaÉ a matriz cujos elementos são todos iguais a zero. Indicamos uma matriz nula de ordem m x n por 0𝑚𝑥𝑛 ou simplesmente por 0𝑛, caso a matriz nula seja quadrada.

Exemplo:

Matriz transpostaSeja uma matriz A de ordem m x n, denomina-se matriz transposta de A a matriz de ordem n x m, a qual indicamos por 𝐴𝑡, de tal modo que as linhas de A são ordenadamente iguais às colunas de 𝐴𝑡. Ou seja, é a matriz que obtemos trocando ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz.

No caso em que a matriz quadrada A é

igual à sua transporta 𝐴t, isto é, A = 𝐴t,

dizemos que A é uma matriz simétrica.

Por exemplo:

Vamos resolver alguns exercícios!1. Escreva a matriz quadrada A de ordem 2, tal que 𝐴𝑖𝑗 = 𝑖 + 3𝑗.

2. Determine x e y de modo que a igualdade das matrizes [2𝑥 −7 6 5] = [−3 6 𝑦 + 9] seja verdadeira.

3. Escreva um exemplo de cada matriz a seguir: a) Linha b) Quadrada c) Transposta d) Simétrica e) Identidade f) Nula

4. Dada a matriz A, responda:

a) Qual é a ordem dessa matriz? b) Que elemento está na posição: ■ 𝑎13? ■ 𝑎24? ■ 𝑎21? ■ 𝑎12? c) Qual é a posição ocupada pelo elemento: ■ 7 ? ■ 19 ? ■ –4 ?

5. Dado os elementos de uma matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)4𝑥3 são tais que 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖+ 𝑗.

a) Qual é o número de elementos da matriz A? b) Escreva a matriz A.

6. Determine os valores de x, y e z; sabendo-se que a matriz dada é nula.

7. Escreva a matriz 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2, tal que 𝑎𝑖𝑗 = i −j.

8. Escreva a transposta da matriz a seguir.

Confira suas respostas!

1.

2. x = 2 e y = -4

3. Resposta pessoal

4. a) 2 x 4

b) ■ 𝑎13? 0

■ 𝑎24? –4

■ 𝑎21? 15

■ 𝑎12? -6

c) ■ 𝑎14

■ 𝑎23

■ 𝑎24

5.

6. X = 2; y = -3; z = 1

7.

8.

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE MATRIZESA adição de matrizes é uma operação que só pode ser feita por matrizes do mesmo tipo com o mesmo número de linhas e colunas, sendo que nessa operação nós simplesmente somamos os elementos correspondentes de A e B.

Consideremos duas matrizes, A e B, do tipo 3 X 3:

Vamos determinar uma matriz C tal que 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 (𝐴+ 𝐵=𝐶)

MATRIZ OPOSTAÉ matriz obtida invertendo-se o sinal de cada elemento de uma matriz dada.

SUBTRAÇÃO DE MATRIZESSendo A e B duas matrizes do tipo m X n, denomina-se diferença entre A e B (representada por A x B) a soma da matriz A com a matriz oposta de B.

Acompanhe o exemplo seguinte:

Vamos calcular, A + (-B)

Podemos também definir A - B assim:

Resolva! Teste seus conhecimentos.

1. a)

b)

c)

2. Calcule [(−𝐴)+ 𝐶] + [𝐵+ (−𝐶)] , dadas as matrizes:

3. Dadas as matrizes , calcule:

a) A + B – C b) A – B + C c) A – B – C

Confira suas respostas!

1. a)

b)

c)

2.

3. a)

b)

c)

Multiplicação de número real por matriz Para compreender como podemos multiplicar uma matriz A por um número real, vamos considerar o caso particular de que esse número seja natural.

Resolva!

1. Sendo as matrizes , determine:

a) A + B i) (5𝐴 −𝐵)𝑡

b) A – B j) (5𝐴)𝑡 - 3 . 𝐴𝑡

c) 5. A k) −(𝐴𝑡 + B𝑡) d) 𝐴𝑡

e) B𝑡

f) 𝐴𝑡 + B g) A + B𝑡

h) 3. 𝐴𝑡

Confira suas respostas!

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

Para ir além

Historicamente, as matrizes surgiram da necessidade de resolver problemas, que envolviam mensuração de terras, agricultura, impostos, etc., os quais resultavam em sistemas de equações de 1º. grau. Embora haja indícios de que por volta de 2 500 a.C. os chineses já resolvessem alguns tipos de problemas com cálculos efetuados sobre uma tabela (apresentados num dos nove capítulos do livro chinês Chui-Chang Suan-Shu, que trata da arte matemática), Augustin-Louis Cauchy (1789 – 1857), matemático francês, parece ter sido o primeiro a nomear essas configurações numéricas de tableau (tabela, em francês), em 1826, e só em 1850, com o matemático inglês James Joseph Sylvester (1814 – 1897), é que esse tipo de configuração numérica recebeu o nome de matriz.

Hoje em dia, as matrizes têm uma importância muito significativa no campo das aplicações em Matemática, especialmente na Álgebra Linear e Computação Gráfica. Também são muito utilizadas em nosso cotidiano, por exemplo, na organização de dados, como a tabela de um campeonato (figura abaixo), calendário, ficha de aposta de loteria e até a tela do computador que você observa é formada por pixels, gerado por uma matriz.

Fonte: http://www.repositorio.ufc.br/bitstream/riufc/5651/1/2013_dis_asoliveira.pdf