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Estudo da Mecânica da Fratura Linear Elástica do Osso

Cortical como Material Compósito

André Filipe Pinto de Almeida

Dissertação para obtenção do Grau de Mestre em

Engenharia Mecânica

Orientadores: Prof. Virgínia Isabel Monteiro Nabais Infante

Prof. Ricardo Miguel Gomes Simões Baptista

Júri

Presidente: Prof. João Orlando Marques Gameiro Folgado

Orientador: Prof. Virgínia Isabel Monteiro Nabais Infante

Vogal: Prof. Paulo Rui Alves Fernandes

Novembro 2016

iii

Dedicado a quem esteve sempre presente.

v

Agradecimentos O desenvolvimento desta tese nem sempre foi fácil e só foi possível com a ajuda de algumas pessoas

que sempre estiveram ao meu lado. Quero, por isto mesmo, fazer alguns agradecimentos.

Gostaria de expressar o meu agradecimento aos professores Ricardo Baptista e Virgínia Infante pela

orientação e ajuda que me prestaram.

Quero expressar também a minha sincera gratidão à pessoa que me apoia incondicionalmente há 9

anos, que sempre me amparou sem nunca me deixar cair. Sem ti, Rita, não estaria onde estou hoje.

Finalmente, quero agradecer a toda a minha família e amigos pela paciência e força nas alturas mais

difíceis.

vii

Resumo O estudo do osso é um tema cada vez mais apelativo, com interesse crescente em perceber as

propriedades da estrutura óssea. A compreensão do comportamento mecânico do osso é vantajosa,

porque isto ajuda na perceção do risco de fratura e pode também servir como base para o

desenvolvimento de novos materiais compósitos inovadores.

Neste trabalho, é apresentada uma caracterização microscópica, a duas dimensões, de um osso

cortical utilizando o software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®. As propriedades do osso necessárias para o desenvolvimento

deste trabalho foram retiradas da literatura relativamente ao osso bovino. Desta forma, e com o intuito

de analisar, a propagação de fendas pré-existentes neste material, foi aplicada uma deformação

crescente ao modelo ósseo para, calcular a sua resistência à fratura. Também é estudada a

importância das propriedades materiais dos osteónios, das linhas cimentantes e dos canais de

Havers na avaliação de como estes constituintes do osso podem provocar a interrupção na

propagação de fendas.

Adicionalmente, foram realizados ensaios mecânicos e observações microscópicas a ossos corticais

de um fémur bovino e de um fémur suíno, de forma a obter se resultados numéricos com superfícies

de fratura experimentais, através de um ensaio de flexão a três pontos.

Os resultados obtidos esclarecem o que torna o osso cortical num material compósito tão resistente à

propagação de fendas, isto porque foi observável a atracão que os osteónios exercem sobre a fenda

na superfície de fratura.

Palavras-chave: Osso Cortical, Abaqus, Fendas, Osteónios, Linhas Cimentantes, Canais

de Havers.

ix

Abstract The study of the bone is an increasingly appealing subject for engineers interested in understanding

the properties of the bone structure. The comprehension of the mechanical behaviour of the bone is

advantageous, because it helps in the perception of the risk of fracture and it can also serve as a

basis for the development of new and innovative composite materials.

In this work, a microscopic two-dimensional characterization of a cortical bone is presented using the

𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® software. The bone properties required for the development of this work were taken from

literature relatively to bovine bones. Therefore, and in order to analyse the propagation of pre-existing

cracks in the material, an increasing deformation of the bone was applied to calculate the fracture

resistance of the model. It is also studied the importance of the material properties of the osteons,

cement lines and Haversian channels, in the evaluation of how these bone constituents can cause a

disruption in the crack propagation.

In addition, microscopic observations were made to the cortical bone of a bovine femur and a swine

femur, in order to obtain a real insight of what happens to the cracks on a fractured surface through a

three-point bending test.

The results obtained clarify what makes the cortical bone in a composite material so resistant to crack

propagation, this is because of the observed attraction that the crack feels for osteons lying in its path.

Keywords: Cortical Bone, Abaqus, Cracks, Osteons, Cement Lines, Harversian Canals.

xi

Índice Agradecimentos ........................................................................................................................................v

Resumo .................................................................................................................................................. vii

Abstract.................................................................................................................................................... ix

Lista de Tabelas .................................................................................................................................... xiii

Lista de Figuras ...................................................................................................................................... xv

Nomenclatura ........................................................................................................................................ xix

Acrónimos .............................................................................................................................................. xxi

1. Introdução ........................................................................................................................................ 1

1.1. Motivação ................................................................................................................................ 1

1.2. Enquadramento ....................................................................................................................... 1

1.3. Objetivos .................................................................................................................................. 2

1.4. Limitações ................................................................................................................................ 2

1.5. Organização da dissertação .................................................................................................... 3

2. Conceitos Teóricos .......................................................................................................................... 4

2.1. Mecânica da Fratura Linear Elástica ....................................................................................... 4

2.1.1. Fenda ............................................................................................................................... 4

2.1.2. Modos de carregamento e facto de intensidade de tensão ............................................ 5

2.1.3. Integral J .......................................................................................................................... 8

2.1.4. Cálculo do Integral J ........................................................................................................ 8

2.2. O método de elementos finitos FEM ..................................................................................... 11

2.2.1. Equações ....................................................................................................................... 11

2.2.2. Aproximação clássica ao cálculo do fator de intensidade de tensões .......................... 12

2.3. O método dos elementos finitos estendidos ......................................................................... 14

2.3.1. Enriquecimento XFEM: Função de Salto ...................................................................... 14

2.4. Estudo de trajetória da fenda em XFEM ............................................................................... 16

3. Caso de Estudo ............................................................................................................................. 17

3.1. Constituição do osso cortical ................................................................................................. 17

3.1.1. Conceitos gerais ............................................................................................................ 18

3.1.2. Métodos e Material ........................................................................................................ 19

xii

3.1.3. Condições Fronteira ...................................................................................................... 20

3.2. Modelação em XFEM ............................................................................................................ 21

3.2.1. Validação do método XFEM .......................................................................................... 21

3.2.2. Modelos testados........................................................................................................... 23

4. Resultados Numéricos .................................................................................................................. 27

4.1. Modelo 1 ................................................................................................................................ 27

4.1.1. Análise da importância da rigidez da linha cimentante (todos os osteónios com as

mesmas propriedades) .................................................................................................................. 29

4.1.2. Análise à propagação da fenda (osteónios com propriedades diferentes) ................... 32

4.2. Modelo 2 ................................................................................................................................ 35

4.2.1. Análise à propagação da fenda (osteónios com propriedades diferentes) ................... 36

4.2.2. Análise da importância da espessura da linha cimentante na resposta do modelo à

propagação da fenda ..................................................................................................................... 39

4.3. Modelo 3 ................................................................................................................................ 41

4.3.1. Análise da atração do osteónio por uma fenda horizontal (todos os osteónios com as


4.3.2. Análise à fenda descentrada (todos os osteónios com as propriedades superiores) ... 47

4.4. Modelo 4 ................................................................................................................................ 53

4.4.1. Análise da atração do osteónio por uma fenda horizontal (todos os osteónios com as


4.4.2. Análise à fenda inclinada (todos os osteónios com as propriedades superiores) ........ 57

5. Resultados experimentais ............................................................................................................. 61

5.1. Preparação de provetes ........................................................................................................ 61

5.2. Preparação das amostras para análise em Microscópio eletrónico de Varrimento .............. 67

5.3. Resultados das observações em Microscópio Eletrónico de Varrimento ............................. 68

5.4. Comparação de resultados experimentais e numéricos ....................................................... 71

6. Conclusão ...................................................................................................................................... 74

6.1. Objetivos Atingidos ................................................................................................................ 74

6.2. Trabalho Futuro ..................................................................................................................... 75

Bibliografia ............................................................................................................................................. 77

xiii

Lista de Tabelas Tabela 3.1 Valores Inferiores (1), [2] [10]. ............................................................................................ 20

Tabela 3.2 Valores Superiores (2), [6] [11] [12]. ................................................................................... 20

Tabela 4.1 Propriedades da Análise 1. ................................................................................................. 29



Tabela 4.4 Propriedade da Análise 4 .................................................................................................... 39





xv

Lista de Figuras Figura 2.1 Comportamento à tração para a fenda real e ideal............................................................... 4

Figura 2.2 Modos de carregamento. ...................................................................................................... 5

Figura 2.3 a) Tensão plana e b) Deformação plana. ............................................................................. 6

Figura 2.4 Coordenadas na frente da fenda........................................................................................... 6

Figura 2.5 a) Contorno integral 2D e b) Contorno integral fechado 2D. ................................................ 8

Figura 2.6 Integral J 3D. ....................................................................................................................... 10

Figura 2.7 Domínio do modelo de elementos finitos e as suas condições fronteira. ........................... 11

Figura 2.8 Geração de um elemento triangular na frente da fenda por colapso do elemento

quadrilátero. ........................................................................................................................................... 12

Figura 2.9 Resultado do colapso em 3D. ............................................................................................. 13

Figura 2.10 Tipo de malha típica na forma de teia, tal como dado por [Z6]. ........................................ 13

Figura 2.11 Geometria 2D para a XFEM. ............................................................................................. 14

Figura 2.12 Geometria 2D para a malha final com o novo nó. ............................................................. 15

Figura 3.1 Representação da microestrutura do osso cortical. ............................................................ 17

Figura 3.2 Osso Cortical, [29]. .............................................................................................................. 18

Figura 3.3 Fixação dos modelos. ......................................................................................................... 20

Figura 3.4 Representação do modelo para calculo de SIF com e sem malha para o método do

integral j em a) e c) e para o método XFEM em b) e d). ....................................................................... 21

Figura 3.5 Frente E. .............................................................................................................................. 22

Figura 3.6 Frente D. .............................................................................................................................. 22

Figura 3.7 Modelo 1. Dimensões e coordenadas. ................................................................................ 24



Figura 3.10 Distribuição dos osteónios no modelo 4. As dimensões interiores e exteriores, assim

como as coordenadas das linhas de referência. ................................................................................... 26

Figura 4.1 Representação da matriz do modelo 1. .............................................................................. 27

Figura 4.2 a) Osteónios com propriedades totalmente iguais e b) Osteónios iguais dois a dois. ....... 28

Figura 4.3 Modelo 1, deformação ampliada em 24x. ........................................................................... 28

Figura 4.4 Caso 1 no step 0.5. ............................................................................................................. 30




Figura 4.8 Caso 1FI no step 0.5. .......................................................................................................... 30


Figura 4.10 Apresentação gráfica dos casos 1 a 5. ............................................................................. 31

Figura 4.11 Evolução geral do modelo. Caso conforme o caso 3........................................................ 32

Figura 4.12 Evolução conforme o caso 6. ............................................................................................ 33

Figura 4.13 Apresentação gráfica do caso 6. ....................................................................................... 34

xvi

Figura 4.14 Representação da matriz do modelo 2. ............................................................................ 35

Figura 4.15 Osteónios O1 e linha cimentante L1 (a cinzento à esquerda) e O2 e L2 (a verde à direita).

............................................................................................................................................................... 35

Figura 4.16 Modelo 2, deformação ampliada em 24x. ......................................................................... 36

Figura 4.17 Evolução conforme o caso 7. ............................................................................................ 37

Figura 4.18 Apresentação gráfica do caso 7. ....................................................................................... 38

Figura 4.19 Pormenor do caso 7. ......................................................................................................... 38

Figura 4.20 Comparação da espessura das linhas cimentantes. ........................................................ 39

Figura 4.21 Comparação da espessura das linhas cimentantes após passagem da fenda. ............... 40

Figura 4.22 Apresentação gráfica dos casos 8 a 12. ........................................................................... 40


Figura 4.24 Osteónios O2 e linha cimentante L2. ................................................................................ 42

Figura 4.25 Modelo 3, ampliação da deformação em 10x. .................................................................. 43

Figura 4.26 Caso 13 no step 0.23. ....................................................................................................... 44





Figura 4.31 Apresentação gráfica dos casos 13 a 17. ......................................................................... 46

Figura 4.32 Evolução geral do modelo. ................................................................................................ 47

Figura 4.33 Caso 18; fenda em 𝑦 = 0.235 𝑚𝑚, a) Instante inicial e b) Instante final. ......................... 48

Figura 4.34 Caso 19; fenda em 𝑦 = 0.24 𝑚𝑚, a) Instante inicial e b) Instante final. ........................... 49





Figura 4.39 Pormenor do osteónio esquerdo do Caso 18. .................................................................. 51

Figura 4.40 Pormenor do osteónio direito do Caso 19. ........................................................................ 51

Figura 4.41 Pormenor do osteónio direito do Caso 22. ........................................................................ 51



Figura 4.44 Osteónios O2 e linha cimentante L2. ................................................................................ 54

Figura 4.45 Instante inicial para os casos. ........................................................................................... 55

Figura 4.46 Caso 24, instante final. ...................................................................................................... 55



Figura 4.49 Pormenor da Caso 24 no instante final. ............................................................................ 56

Figura 4.50 Pormenor da Caso 25 no instante final. ............................................................................ 56


Figura 4.52 Caso 27 no instante final. .................................................................................................. 58

xvii



Figura 4.55 Abordagem ao Canal de Havers do lado esquerdo para fenda a 10°, 15° e 20°. ............ 59

Figura 4.56 Apresentação gráfica dos casos 24 e 27 a 29. ................................................................. 60

Figura 5.1 Exemplo de fémur, após remoção das suas extremidades. ............................................... 61

Figura 5.2 Ensaio a um provete de osso bovino. ................................................................................. 62

Figura 5.3 Momento da fratura do provete bovino. .............................................................................. 62

Figura 5.4 Ensaio a um provete de osso suíno. ................................................................................... 62

Figura 5.5 Momento da fratura do provete suíno. ................................................................................ 62

Figura 5.6 Representação gráfica dos ensaios experimentais aos provetes de bovino. ..................... 63

Figura 5.7 Fratura de um provete de osso de bovino. ......................................................................... 64

Figura 5.8 Pormenor da superfície da fratura do provete da Figura 5.7. ............................................. 64

Figura 5.9 Representação gráfica dos ensaios experimentais aos provetes de suíno. ....................... 65

Figura 5.10 Fratura de um provete de osso de suíno .......................................................................... 65

Figura 5.11 Todas as amostras de osso bovino. ................................................................................. 66

Figura 5.12 Todas as amostras de osso suíno. ................................................................................... 66

Figura 5.13 Fendas na periferia de osteónios de um osso bovino. ..................................................... 67

Figura 5.14 Pormenor da fenda dentro do canal de Havers de uma amostra de um osso bovino. ..... 68

Figura 5.15 Pormenor de pequena fenda dentro do canal de Havers de uma amostra de osso bovino.

............................................................................................................................................................... 68

Figura 5.16 Fenda na periferia de um osteónio de osso bovino. ......................................................... 69

Figura 5.17 Pormenor do osteónio da Figura 5.16. .............................................................................. 69

Figura 5.18 Fendas na periferia de dois osteónios de osso suíno. ...................................................... 70

Figura 5.19 Fenda no interior de um canal de Havers de osso suíno. ................................................ 70

Figura 5.20 Fenda dentro de um osteónio de uma amostra de osso bovino. ...................................... 71

Figura 5.21 Pequena fenda na parte superior de um osteónio de uma amostra de osso bovino. ...... 71

Figura 5.22 Pormenor do Caso 25, modelo 3, no instante final. .......................................................... 72

Figura 5.23 Pormenor da fenda dentro do canal de Havers de uma amostra de um osso bovino. ..... 72

Figura 5.24 Pormenor do osteónio esquerdo do Caso 18. .................................................................. 72

Figura 5.25 Pormenor de um osteónio. ................................................................................................ 72

Figura 5.26 Pormenor do caso 7. ......................................................................................................... 73

Figura 5.27 Fenda no interior de um canal de Havers de osso suíno. ................................................ 73

xix

Nomenclatura

Símbolos Gregos

𝛼 Ângulo de frente de fenda.

Γ Contorno de frente de fenda.

휀 Extensão.

𝜖 Deformação mecânica.

𝜖 ̅ Erro.

𝜈 Coeficiente de Poisson.

𝜋 Pi.

𝜎 Tensão normal.

𝜏 Tensão de corte.

𝜐 Deformação.

𝜓 Fronteira.

Ω Domínio.

Símbolos Romanos

𝐴 Área.

𝑏 Ponto médio.

𝐶+, 𝐶− Contorno superior e inferior da fenda.

𝑑 Distância entre pontos.

𝑒 Vetor unitário.

𝐸 Módulo de elasticidade.

𝑓 Função de forma.

𝐹 Quantidade de força por unidade de volume.

𝐺 Módulo de torção.

xx

𝐼 Tensor de identidade.

𝐾 Fator de intensidade de tensão.

𝐾𝑐 Tenacidade à fratura.

L1 Linha Cimentante de Rigidez inferior.

L2 Linha Cimentante de Rigidez Superior.

𝑚 Nova normal exterior.

M1 Matriz intersticial de Rigidez inferior.

M2 Matriz intersticial de Rigidez superior.

𝑛 Normal exterior ao contorno.

𝑁 Função de forma.

O1 Osteónio de Rigidez inferior.

O2 Osteónio de Rigidez superior.

𝑞 Vetor unitário na direção virtual de propagação da fenda.

�̅� Novo vetor unitário na direcção virtual de propagação de fenda.

𝑟 Distancia desde a frente da fenda.

𝑡 Tensão nas faces da fenda.

𝑡̅ Tração.

𝑢 Deslocamento.

𝑉 Volume.

𝑊 Energia de deformação elástica.

𝑥 Eixo x.

𝑦 Eixo y.

𝑧 Eixo z.

xxi

Acrónimos 2D Two-dimensional.

3D Three-dimensional.

CAE Computer-Aided Engineering.

FEM Finite Element Method.

MEV Microscópio Eletrónico de Varrimento.

MFLE Mecânica da Fratura Linear Elástica.

SIF Stress Intensity Factor.

XFEM Extended Finite Element Method.

1

1. Introdução

1.1. Motivação

A observação do comportamento do osso cortical é uma área que atualmente está a ser explorada

por vários campos da ciência, apontando a base do estudo a investigadores ligados à ortopedia,

interessados em perceber quando é que existe risco de fratura, e em limitar o crescimento desta para,

assim, simular a estrutura óssea com o intuito de criar novos materiais, [1]. A suscetibilidade do osso

para a ocorrência de fraturas aumenta com fatores inerentes ao tecido vivo e às suas propriedades

dependentes da idade, como perda de densidade óssea, mudanças na microestrutura e propriedades

não constantes, [2]. No entanto, a necessidade de um estudo à propagação de micro fraturas é muito

importante, de forma a relacionar como é que as propriedades do material ósseo afetam a

propagação de micro fraturas e, assim, facilitar a compreensão do porquê da resistência do osso à

criação e propagação de micro fraturas.

O estudo da razão que faz o osso cortical tão resistente à fratura permitirá explicar como alterações

estruturais e das propriedades do osso conduzem à perda da capacidade e da função deste órgão,

permitirá tanto desenvolver tratamentos preventivos como abordar novas estratégias terapêuticas, de

forma a controlar o número de fraturas existente no osso e, assim, reduzir no investimento

significativo de recursos, acautelando as respetivas repercussões em termos sociais e económicos

dos pacientes. Nesta dissertação é apresentada uma abordagem ao estudo da microestrutura do

osso bovino, por ser estruturalmente idêntico ao osso humano, através de análises numéricas

utilizando modelos 2D, os quais foram desenvolvidos recorrendo ao software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® /𝐶𝐴𝐸® onde

se encontra implementada uma versão do método dos elementos estendidos (eXtended Finite

Element Method ou XFEM). Este método permite uma melhoria significativa na modelação e

avaliação de fraturas, possibilitando uma análise de elementos finitos sem haver a necessidade de

alterar a malha com o propagar da fenda, tal como acontecia em técnicas de modelação

convencionais, tornando assim a fenda geometricamente independente da malha. A descontinuidade

presente nos elementos, devido à existência da fenda, é descrita através do enriquecimento das

funções de aproximação convencionais de elementos finitos. Este método recente viabiliza tanto o

estudo de fendas estacionárias como análises à propagação de fendas, [3].

1.2. Enquadramento

Analisando o trabalho desenvolvido recentemente é notória a atenção que se é dada à análise da

microestrutura óssea, utilizando estudos numéricos cujo objetivo passa por conseguir chegar a

diferentes escalas de modelação. Vários estudos de elementos finitos a osteónios singulares já foram

efetuados, nomeadamente por Prendergast e Huiskes, [4], que modelaram numericamente um

osteónio e investigaram a relação entre o dano e a tensão aplicada no sentido de verificar que micro

lesões podem influenciar os campos de tensão locais na microestrutura do osso cortical. Dong et al.,

[5], criou um método generalizado para estimar o módulo de elasticidade de um compósito reforçado

2

por fibras, mais tarde o modelo teve a sua utilidade quando foi necessário averiguar a dependência

das propriedades elásticas do osso cortical na sua porosidade. Analogamente, Hogan et al., [6],

desenvolveu um modelo compósito reforçado por fibras capaz de representar o sistema de Havers,

onde os osteónios são considerados fibras, a matriz intersticial igualmente como matriz e as linhas

cimentantes como a interface entre fibra/matriz. Raeisi Najafi et al., [7], desenvolveu outro tipo de

modelo finito usando o software FRANC2D para o osso e compósitos com a mesma estrutura do

osso que em [8]. Numa outra experiência Raeisi Najafi et al., [7], [9] ,desenvolveu um modelo finito de

osso cortical à microescala capaz de relacionar a interação entre osteónios e micro fraturas. Noutros

estudos efetuados por Budyn e Hoc, [10], e Abdel-Wahab et al., [2], foram desenvolvidos modelos em

elementos estendidos utilizando multi escalas para múltiplas propagações de fraturas no osso

cortical, quando sujeitos a tensões remotamente aplicadas.

1.3. Objetivos

O propósito desta dissertação é perceber o verdadeiro potencial do osso enquanto material

compósito, modelando fendas utilizando o software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®, no sentido de compreender como é que

este se comporta quando sujeito a deformações na presença de micro fendas. Com esta informação,

quer-se perceber o porquê de o osso ser tão resistente a uma fratura que conduza à perda da sua

capacidade e função, na possibilidade de desenvolvimento de novos materiais compósitos

inovadores.

Como tal, os principais objetivos são:

Geração de modelo de elementos finitos para o cálculo do fator intensidade de tensões na

presença de uma fenda na periferia de um osteónio;

Geração de modelos de elementos finitos para o estudo da propagação frágil de micro fendas

na presença de diferentes estruturas e propriedades do osteónio e linha cimentante,

utilizando o método XFEM;

Efetuar ensaios mecânicos, em osso bovino e osso suíno, para análise visual e comparativa

com os modelos de elementos finitos efetuados.

1.4. Limitações

Todas as análises que se seguem foram efetuadas exclusivamente com fendas pré-concebidas

devido à complexidade existente na criação de fenda de outra forma no software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®. Devido a

isto, o foco das análises efetuadas prendeu-se na posição da fenda relativamente aos osteónios. São

utilizados somente modelos com módulos elástico-lineares, assim, foi somente considerado o estudo

da Mecânica da Fratura Linear Elástica. Foram utilizados dados presentes na literatura para

caracterizar os materiais constituintes do osso cortical bovino, [2] [10] [6] [11] [12], apesar de terem

sido feitos ensaios experimentais tanto em osso bovino como em osso suíno. A caracterização

individual de constituintes tão pequenos tem uma dificuldade acrescida, portanto, para efeitos desta

dissertação mantiveram-se os dados retirados da literatura. No estudo da mecânica da fratura, uma

3

vez que a fenda se propaga sempre sujeita a um carregamento com uma direção constante, não

aparecem outros modos de fratura para além do modo I.

1.5. Organização da dissertação

Esta dissertação está organizada em 6 capítulos distintos. No presente capítulo 1 está exposta a

introdução e sintetiza-se a constituição da dissertação desenvolvida.

No capítulo 2 apresentam-se os conceitos teóricos essenciais ao estudo da propagação de fendas.

Neste capítulo explica-se o método da Mecânica da Fratura Linear Elástica, o fator de intensidade de

tensões, o integral J, as equações constitutivas do método de elementos finitos e o método de

elementos finitos estendidos.

No capítulo 3 descreve-se o caso de estudo, onde se apresenta a informação relativa à constituição

do osso, salientando alguns conceitos gerais. Aqui discute-se o método e materiais utilizados, assim

como se faz a validação do método XFEM, comparando este ao método do integral J. No fim, faz-se

referência aos modelos criados.

No capítulo 4 os resultados são mostrados e discutidos. Os conteúdos referentes às várias análises

efetuadas aos modelos são apresentados. É exposta uma discussão a estas análises, utilizando

várias propriedades mecânicas diferentes, no sentido de perceber o papel dos osteónios, linhas

cimentantes e canais de Havers em interromper ou deflectir a propagação de uma fenda.

No capítulo 5 está exposto o método de verificação da propagação de fendas num osso cortical real,

tanto de bovino como de suíno. Neste capítulo está descrito todo o processo, desde a preparação dos

provetes ósseos até à visualização das amostras, utilizando um microscópio eletrónico de varrimento.

Finalmente, no capítulo 6 estão disponíveis as conclusões desta dissertação, sumarizando os

objetivos e resultados alcançados, fazendo ainda referência a sugestões para trabalho futuro.

No final deste trabalho, estão apresentadas as referências bibliográficas utilizadas.

4

2. Conceitos Teóricos Neste capítulo são explicados os conceitos base da mecânica da fratura e da análise de elementos

finitos.

2.1. Mecânica da Fratura Linear Elástica

A base do estudo da mecânica da fratura reside essencialmente em conhecer o que ocorre na frente

da fenda responsável pela fratura, sendo que a abordagem teórica da Mecânica da Fratura Linear

Elástica (MFLE) foi a utilizada ao longo desta dissertação. Esta teoria tem em consideração o efeito

da tensão na frente da fenda e assume, como aproximação, a fenda como perfeitamente elástica,

com tensões teoricamente infinitas na sua frente. Os princípios básicos destes conceitos são

abordados nesta secção.

2.1.1. Fenda

Fendas sujeitas a cargas tendem a comportar-se como um entalhe num material, ou seja, como

concentradoras de tensão. O seu ângulo na frente de fenda é extremamente reduzido, o seu raio de

concordância tende para zero. Esta geometria provoca o aparecimento de concentração de tensões

críticas na frente, possibilitando a propagação da fenda. Estas tensões potenciam o aparecimento de

uma zona onde ocorre deformação plástica na dianteira da fenda, como é possível visualizar na

Figura 2.1. Esta zona plástica resulta do comportamento do material a altas tensões e acrescenta

complexidade ao problema em questão, no entanto, utilizando a teoria MFLE, a área onde existe

plasticidade não é contabilizada, [13], e o campo de tensões assemelha-se ao encontrado numa

fenda ideal, distanciando-se do que acontece na realidade, [14] [15] [16] [17]. Para ultrapassar esta

consequência, existem limites para a zona plástica onde a fenda ideal apresenta garantidamente o

mesmo comportamento da fenda real, [18], contudo, estes limites não foram testados neste trabalho

visto que apenas foram efetuadas comparações entre diferentes modelos lineares elásticos.

Figura 2.1 Comportamento à tração para a fenda real e ideal.

5

2.1.2. Modos de carregamento e facto de intensidade de tensão

Os fatores de intensidade de tensão (SIF) são utilizados para exprimir o campo de tensões existente

numa fenda em comparação com outras fendas, [13]. Estes detêm um papel essencial no estudo do

comportamento da fenda, representando a severidade das tensões na sua frente, onde os níveis

críticos de tensões proporcionam o crescimento natural da fenda e eventual fratura,

independentemente do seu tipo de propagação. O valor crítico, para o qual ocorre a propagação da

fenda, é chamado de tenacidade à fratura ou 𝐾𝐶. Existem três modos distintos de propagação de

fenda correspondentes a três modos distintos de carregamento. Na Figura 2.2 é possível ver os três

modos, Modo I, II e III, destaca-se, porém, o Modo I que, graças ao seu tipo de carga, possibilita uma

propagação severa da fenda devido à separação de superfícies, sendo por isto o modo mais

importante dos três. O Modo II representa a propagação assente num plano através das tensões de

corte e observa-se o escorregamento das superfícies de fenda uma na outra. O Modo III faz

referência às cargas de torção, viabilizando o separar das superfícies da fenda, uma sob a outra.

Modo I

Modo II

Modo III

Figura 2.2 Modos de carregamento.

O valor 𝐾𝐶 é uma propriedade intrínseca do material e depende sobretudo da sua espessura. O valor

mínimo é alcançado quando a espessura atinge um valor grande o suficiente que consiga garantir um

estado plano de deformação, este valor mínimo de 𝐾𝐶 designa-se por 𝐾𝐼𝐶. Para um estado de tensão

plana, Figura 2.3 a), a espessura necessita de ser relativamente pequena comparativamente às

outras dimensões da peça, proporcionando uma superfície de fratura inclinada em 45° relativamente

à aplicação das cargas, resultando que as tensões de corte atinjam o seu ponto máximo. Devido a

este facto e graças às tensões de corte presentes, que requerem maiores tensões aplicadas de forma

a atingir as tensões de cedência e de resistência à fratura, a energia necessária para produzir

deformação atinge igualmente o seu ponto máximo. Contudo, quando se verifica o aumento do

volume de matéria, Figura 2.3 b), e por consequência existe um aumento de espessura, a energia é

gasta na deformação normal deste e não sobra energia suficiente para deformar o material por corte.

6

Como tal, com o aumento da espessura e desaparecimento das tensões de corte, o valor de 𝐾𝐶

atinge o seu ponto mínimo.

a)

b)

Figura 2.3 a) Tensão plana e b) Deformação plana.

A equação do campo de tensão elástica total na zona da frente da fenda é definida da seguinte

forma:

𝜎(𝑖𝑗)𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿 = 𝐾𝐼𝑓𝐼(𝑖𝑗)(𝑟, 𝛼) + 𝐾𝐼𝐼𝑓𝐼𝐼(𝑖𝑗)(𝑟, 𝛼) + 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑓𝐼𝐼𝐼𝑖𝑗(𝑟, 𝛼).

(2.1)

Alternativamente,

𝜎(𝑖𝑗)𝐼 = 𝐾𝐼𝑓𝐼(𝑖𝑗)(𝑟, 𝛼)

(2.2)

𝜎(𝑖𝑗)𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼𝑓𝐼𝐼(𝑖𝑗)(𝑟, 𝛼)

(2.3)

𝜎(𝑖𝑗)𝐼𝐼𝐼 = 𝐾𝐼𝐼𝐼𝑓𝐼𝐼𝐼(𝑖𝑗)(𝑟, 𝛼).

(2.4)

Onde a equação (2.1) representa a totalidade das tensões aplicadas na frente da fenda quando todos

os tipos de carga são aplicados, fazendo referência do contributo de cada modo de carga para a

tensão total. A Figura 2.4 apresenta as coordenadas na frente da fenda.

Figura 2.4 Coordenadas na frente da fenda.

7

Considerando apenas o modo I, as tensões e deslocamentos na frente da fenda são aproximados por

equações de forma diretamente proporcionais a 1 √𝑟⁄ :

𝜎𝑥𝑥 = 𝐾𝐼𝑓𝐼(𝑥𝑥)(𝑟, 𝛼) =

𝐾𝐼

√2×𝜋×𝑟×𝑐𝑜𝑠 (

𝛼

2)×[1 − 𝑠𝑖𝑛 (

𝛼

2)×𝑠𝑖𝑛 (

3𝛼

2)] (2.5)

𝜎𝑦𝑦 = 𝐾𝐼𝑓𝐼(𝑦𝑦)(𝑟, 𝛼) =

𝐾𝐼

√2×𝜋×𝑟×𝑐𝑜𝑠 (

𝛼

2)×[1 + 𝑠𝑖𝑛 (

𝛼

2)×𝑠𝑖𝑛 (

3𝛼

2)] (2.6)

𝜏𝑥𝑦 = 𝐾𝐼𝑓𝐼(𝑥𝑦)(𝑟, 𝛼) =

𝐾𝐼

√2×𝜋×𝑟× 𝑐𝑜𝑠 (

𝛼

2)×𝑠𝑖𝑛 (

𝛼

2)×𝑐𝑜𝑠 (

3𝛼

2) (2.7)

onde,

𝐾𝐼, o fator de intensidade de tensão para o modo I;

𝑟 é a distância desde a frente da fenda e 𝛼 é o ângulo da frente da fenda, estes valores

representam as coordenadas polares do modelo;

𝜎𝑧𝑧 = 0, para o caso de tensão plana;

𝜎𝑧𝑧 = 𝜈(𝜎𝑥𝑥 + 𝜎𝑦𝑦), para o caso de deformação plana, em que 𝜈 é o coeficiente de Poisson;

considerando apenas modo I, os restantes componentes do tensor das tensões possuem

valor zero.

Sendo as equações de forma 𝑓𝐼(𝑖𝑗) proporcionais a 1 √𝑟⁄ , verifica-se uma singularidade quando 𝑟

𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒→ 0, ou seja, a frente da fenda assume valores infinitos de 𝝈𝒚𝒚, de acordo com a aproximação para

a fenda ideal em MFLE.

Analogamente, os deslocamentos são dados na forma:

𝑢𝑥 =𝐾𝐼2×𝐺

×√𝑟

2×𝜋×cos (

𝛼

2)×[𝑘 − 1 + 2× sin2(

𝛼

2)] (2.8)

𝑢𝑦 =𝐾𝐼2×𝐺

×√𝑟

2×𝜋× sin (

𝛼

2)×[𝑘 + 1 − 2×𝑐𝑜𝑠2(

𝛼

2)] (2.9)

onde,

𝑢𝑥, 𝑢𝑦 são os deslocamentos em 𝑥 e em 𝑦, respetivamente;

𝐺 é o módulo de torção ou de corte;

e 𝑘 assume dois valores distintos:

o 𝑘 = 3 − 4×𝜈 para deformação plana;

o 𝑘 =3−𝜈

1+𝜈 para tensão plana.

8

2.1.3. Integral J

O integral 𝐽 como conceito da teoria da MFLE, é um método que possibilita o cálculo tanto do SIF

como da libertação de energia que ocorre durante o processo de fratura por unidade de superfície de

fratura criada, [19]. Esta última medida é relevante para a mecânica da fratura, pois o crescimento e

propagação de fenda está intrinsecamente relacionada com o caminho mais eficiente em termos

energéticos. O método assenta principalmente no estudo do fator de intensidade de tensões para

elementos de duas dimensões, no entanto, é possível utilizar o integral 𝐽 para casos onde estejam

presentes as três dimensões, ainda que seja necessário utilizar o método adicional do integral de

interação para este efeito.

O integral 𝐽 é um método integral de contorno que permite calcular a taxa de liberação de energia de

deformação. Esta quantidade de energia libertada durante o crescimento de fenda é um parâmetro

cujo valor é independente do contorno escolhido, desde que este contenha no seu interior a frente da

fenda. Assim, o contorno pode assumir dimensões e formas arbitrárias, sendo a sua validade apenas

limitada por dois fatores, o uso em materiais elásticos (lineares ou não) e a utilização de fendas em

estado estacionário.

2.1.4. Cálculo do Integral J

a) b)

Figura 2.5 a) Contorno integral 2D e b) Contorno integral fechado 2D.

Para o caso de duas dimensões, Figura 2.5, o integral 𝐽 é dado por, [20]:

𝐽 = lim

Γ → 0∫ 𝑛 ∙ 𝐻 ∙ 𝑞𝑑ΓΓ

(2.10)

e

𝐻 = 𝑊 ∙ 𝐼 − 𝜎 ∙

𝜕𝑢

𝜕𝑥 (2.11)

onde,

Γ é o contorno que contém a frente da fenda;

𝑛 é a normal exterior ao contorno;

9

𝑞 é o vetor unitário na direção virtual de propagação da fenda;

𝑊 é a energia de deformação elástica;

𝐼 é o tensor de identidade;

𝜎 é o tensor de tensões;

𝑢 é o vetor de deslocamentos.

A geometria do contorno é feita para enclausurar a frente da fenda, conectando as duas superfícies

de fenda de forma a gerar uma área fechada. O contorno não precisa de contrair em direção à fenda,

necessita somente de ser discriminada a posição onde engloba a frente da fenda. Isto deve-se ao

facto de o integral 𝐽 ser completamente independente do contorno escolhido, partindo do princípio

que o material é elástico e na ausência de forças aplicadas no corpo ou de tensões nas superfícies

da fenda, [20]. Esta situação é ilustrada esquematicamente na Figura 2.5, onde o contorno é reduzido

sucessivamente de forma a incluir somente a frente da fenda. A normal, que aponta para o exterior,

distribui-se ao longo de todo o comprimento do contorno e o vetor unitário que representa a direção

virtual da propagação da fenda está fixo na frente de fenda.

Assim, o integral de contorno bidimensional pode ser revisto de forma a representar o contorno

fechado em redor da frente de fenda, [20]:

𝐽 = ∮ 𝑚 ∙ 𝐻 ∙ �̅�𝑑Γ

𝐶+𝐶++Γ+𝐶−

−∫ 𝑡 ∙𝑑𝑢

𝑑𝑥∙ �̅�𝑑Γ

𝐶+𝐶−

. (2.12)

Aqui já é tido em conta o contorno fechado na frente da fenda, considerando 𝐶 como uma

prorrogação de Γ que cerca a fenda e onde 𝐶+ e 𝐶− correspondem, respetivamente, aos contornos

superior e inferior ao longo da fenda. A nova normal 𝑚 foi introduzida, está para 𝐶 tal como 𝑛 está

para Γ, e toma a forma 𝑚 = −𝑛. Foi também introduzido o vetor unitário �̅� aplicado na direcção da

extensão virtual da frente da fenda, cumpre �̅� = 𝑞 e não tem definição em 𝐶 (�̅� = 0).

Na equação (2.12), 𝑡 = 𝑚×𝜎 representa a tensão que existe nas faces da fenda. Este termo não é

considerado nesta dissertação. Como tal, é apenas considerada a primeira parte da equação (2.12)

daqui em diante.

O integral 𝐽 pode então ser transformado através do teorema de divergência, [20], assumindo a

seguinte forma,

𝐽 = ∫ (𝜕

𝜕𝑥)

𝐴

∙ (𝐻 ∙ �̅�)𝑑𝐴 . (2.13)

Assim, o integral passa a ser definido pela sua cobertura de área 𝐴, sendo o domínio definido pelo

contorno e 𝑑𝐴 um segmento infinitesimal de área.

A equação de equilíbrio de forças toma a forma,

𝜕

𝜕𝑥∙ 𝜎 + 𝐹 = 0 (2.14)

10

onde 𝜎 é o tensor das tensões e 𝐹 é a quantidade de força por unidade de volume. O gradiente de

energia de deformação para um material homogéneo com propriedades constantes apresenta-se

como,

𝜕𝑊(𝜖)

𝜕𝑥=𝜕𝑊

𝜕𝜖:𝜕𝜖

𝜕𝑥= 𝜎:

𝜕𝜖

𝜕𝑥 (2.15)

onde 𝜖 é a deformação mecânica. O integral 𝐽 a duas dimensões pode ser então rescrito, culminando

na sua forma final, [20]:

𝐽 = −∫ [(𝐻:𝜕�̅�

𝜕𝑥) + (𝑓

𝑑𝑢

𝑑𝑥) ∙ �̅�]

𝐴

𝑑𝐴 . (2.16)

Adicionalmente, a equação (2.16) pode ser reformulada para facilmente representar o caso em três

dimensões. Considerando uma dimensão adicional implica o ajustamento da equação do integral 𝐽

para o caso tridimensional, acomodando um valor paramétrico 𝑠 que o define ao longo da frente da

fenda. Tomando a forma 𝐽(𝑠) todos os cálculos são efetuados de um modo semelhante ao caso

bidimensional, em que cada contorno infinitesimal precisa de ser integrado para cada posição de 𝑠,

ao longo do trajeto descrito pela frente da fenda de forma a obter o integral 𝐽 de volume.

O caso tridimensional consiste então num integral de volume para todo o domínio tubular V para um

contorno fechado ao longo de um segmento de frente de fenda de tamanho finito, Figura 2.6.

Figura 2.6 Integral J 3D.

11

Recorrendo à documentação do 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®, [3], à teoria da MFLE e considerando um material

linearmente elástico, homogéneo e isotrópico, o fator de intensidade de tensões relaciona-se com o

integral 𝐽 da seguinte forma,

𝐽 = 1

�̅�(𝐾𝐼

2 + 𝐾𝐼𝐼2) +

1

2𝐺𝐾𝐼𝐼𝐼2 . (2.17)

Quando se utiliza puramente o modo I, a relação entre o integral 𝐽 e o coeficiente de intensidade de

tensão simplifica-se,

𝐽 = 𝐾𝐼2

�̅� (2.18)

onde �̅� = 𝐸 é o módulo de elasticidade, para tensão plana, �̅� =𝐸

1−𝜈2 para deformação plana e 𝜈 é o

coeficiente de Poisson. Para o cálculo do fator de intensidade de tensões no 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® basta adicionar

a fenda ao modelo e selecionar o seu domínio, fazendo assim referência à parte que será analisada.

Depois, terão de ser selecionadas algumas opções relacionadas com as variáveis de saída. A partir

daqui todos os cálculos restantes são efetuados automaticamente pelo 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®, não existindo um

discretizar dos passos ao utilizador nem elucidando qualquer tipo método para o calculo do integral 𝐽,

resultando na impossibilidade em perceber com exactidão os procedimentos e algoritmo que levam o

𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® a obter os fatores de intensidade de tensões ao longo da frente da fenda.

2.2. O método de elementos finitos FEM

Esta secção expõe a teoria que rege a análise de elementos finitos.

2.2.1. Equações

A Figura 2.7 apresenta um domínio Ω que é envolvido numa fronteira 𝜓 dividida em quatro partes, 𝜓𝑡

que está a ser sujeito a uma tração 𝑡̅, 𝜓𝑢 que possui um valor de deslocamento pré-definido e,

finalmente, duas superfícies livres de tração, 𝜓𝐶+ e 𝜓𝐶

− que correspondem respectivamente à

superfície superior e inferior da fenda.

Figura 2.7 Domínio do modelo de elementos finitos e as suas condições fronteira.

12

As equações de equilíbrio e condições fronteira tomam a forma:

∇ ∙ 𝜎 + 𝐹 = 0 𝑒𝑚 Ω (2.19)

𝜎 ∙ 𝑛 = 𝑡̅ 𝑒𝑚 𝜓𝑡 (2.20)

𝜎 ∙ 𝑛 = 0 𝑒𝑚 𝜓𝐶+ (2.21)

𝜎 ∙ 𝑛 = 0 𝑒𝑚 𝜓𝐶− (2.22)

𝑢 = 𝑢𝑝𝑟𝑒 𝑒𝑚 𝜓𝑢 (2.23)

onde 𝐹 representa o volume de forças, 𝑛 a normal exterior, 𝑢𝑝𝑟𝑒 os deslocamentos pré-atribuídos e

considerando deformações infinitesimais 𝛿𝜐,

∫ 𝜎∇𝛿𝜐Ω

= ∫ 𝑡𝛿𝜐𝑑Γ𝜓𝑡

+∫ 𝐹𝛿𝜐𝑑Ω𝜓

(2.24)

2.2.2. Aproximação clássica ao cálculo do fator de intensidade de

tensões

A abordagem clássica mostra uma dependência no facto dominante do problema, a malha, focando

na necessidade de criação de uma malha específica que, de acordo com [13], em problemas

bidimensionais leva a que elementos quadriláteros colapsem em triângulos (Figura 2.8). Esta

transfiguração proporciona uma convergência de nós, levando a que existam três nós a ocupar o

mesmo ponto. No caso tridimensional, a abordagem é idêntica, no entanto, o triângulo bidimensional

expande-se na terceira dimensão num formato de cunha, Figura 2.9.

Figura 2.8 Geração de um elemento triangular na frente da fenda por colapso do elemento quadrilátero.

13

Figura 2.9 Resultado do colapso em 3D.

Para os casos em estudo, tendo em consideração tudo o que já foi descrito até aqui, é necessário um

ajustamento dos nós da sua posição média para a posição 1 4⁄ . A razão desta alteração passa por

modificar a forma de malha do elemento, introduzindo a singularidade correta. Os elementos da frente

de fenda, com os nós na posição 1 4⁄ , exibem uma singularidade 1 √𝑟⁄ própria da deformação num

elemento elástico, trazendo assim um maior nível de precisão, pois a solução analítica contém o

mesmo termo. No caso oposto, o nó na sua posição média apresenta uma singularidade 1 𝑟⁄ própria

da deformação plástica do elemento.

Assim, a malha mais eficiente para a região da frente de fenda possui a forma da Figura 2.10, [3] [13]

[21]. Este tipo de malha consiste na existência de elementos quadriláteros que estreitam em torno da

frente da fenda, cingindo a primeira linha de elementos em triângulos, replicando o que foi descrito

acima. O planeamento desta malha harmoniza a transição entre uma distribuição mais grosseira na

zona exterior e a intensificação do refinamento da malha, que ocorre na região mais próxima da

frente da fenda e que promove o rigor dos cálculos, já que é nesta zona que estão contidos todos os

gradientes de tensão e de deformação. Adicionalmente, esta configuração permite uma integração

suave de domínios no cálculo do integral 𝐽.

Figura 2.10 Tipo de malha típica na forma de teia, tal como dado por [Z6].

14

2.3. O método dos elementos finitos estendidos

O método dos elementos finitos estendidos (XFEM) é um avanço evolutivo do método clássico,

fundamentado no conceito de unidades de partição, onde a soma das funções de forma é igual a um,

[22]. Este método adiciona informação pré-conhecida de um dado problema ao método dos elementos

finitos, possibilitando a representação de descontinuidades e singularidades independentemente da

malha.

O método XFEM foi inicialmente desenvolvido por Ted Belytschko, [23], e pelos seus colegas no final

dos anos 90. É um método poderoso que permite a simulação de propagação de fendas, uma vez

que não é necessário haver uma contínua atualização da malha à medida que a fenda cresce,

prevalecendo o crescimento livre da fenda sem ser preciso sujeitar a frente da fenda a uma malha

específica. É descrito como um método independente da organização da malha para a obtenção de

resultados.

2.3.1. Enriquecimento XFEM: Função de Salto

De forma a exemplificar a forma como as descontinuidades são adicionadas utilizando o método

XFEM, considere-se uma geometria bidimensional simples com quatro elementos e uma frente de

fenda, [24]. A frente de fenda está definida pelos pontos 4, 9 e 10 na Figura 2.11.

Figura 2.11 Geometria 2D para a XFEM.

A solução para o deslocamento é dada por:

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥, 𝑦)𝑢𝑖

10

𝑖=10

(2.25)

𝑏

15

onde 𝑁𝑖(𝑥, 𝑦) é a função de forma no nó 𝑖 com as coordenadas (𝑥, 𝑦) e 𝑢𝑖 é o vetor deslocamento.

Considerando o ponto 𝑏, a branco na Figura 2.11, como sendo o ponto médio entre 9 e 10 e 𝑑 a

distância entre os dois pontos:

𝑏 =𝑢9 + 𝑢102

(2.26)

𝑑 =𝑢9 − 𝑢102

(2.27)

ou, alternativamente,

𝑢9 = 𝑏 + 𝑑 (2.28)

𝑢10 = 𝑏 − 𝑑 . (2.29)

Utilizando a expressão (2.25), reformula-se o seu conteúdo,

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑ 𝑁𝑖(𝑥, 𝑦)𝑢𝑖

8

𝑖=10

+ 𝑏(𝑁9 + 𝑁10) + 𝑑(𝑁9 +𝑁10)𝐻(𝑥, 𝑦) (2.30)

onde a função de salto 𝐻(𝑥, 𝑦) foi adicionada atendendo aos requisitos,

𝐻(𝑥, 𝑦) = {−1, 𝑦 < 01, 𝑦 > 0

. (2.31)

Substituindo, finalmente, (𝑁9 +𝑁10) por 𝑁11 e 𝑏 por 𝑢11 (Figura 2.12).

Figura 2.12 Geometria 2D para a malha final com o novo nó.

A solução aproximada para o deslocamento torna-se:

𝑢(𝑥, 𝑦) = ∑(𝑁𝑖(𝑥, 𝑦)𝑢𝑖

8

𝑖=10

+ 𝑁11𝑢11) + (𝑑𝑁11𝐻(𝑥, 𝑦)) (2.32)

16

em que o primeiro termo da equação corresponde ao método de elementos finitos tradicional FEM e,

o segundo termo equivale ao enriquecimento descontínuo adicional correspondente à função de salto

associada a um novo nó, com deslocamento 𝑢11, resultando na adição de novos graus de liberdade.

A equação (2.32) mostra que a aproximação de elementos finitos substitui uma fenda numa malha, tal

como visto na Figura 2.11, por uma malha completamente sem fenda (e, portanto, sem a

descontinuidade) como visto na Figura 2.12, somando a esta o enriquecimento descontínuo.

Adicionalmente, para ser possível determinar a singularidade na frente da fenda, são definidas

funções descontínuas e assimptóticas nos nós que delimitam a frente da fenda, [24], válidas para

casos estacionários. Assim, se a fenda não terminar na fronteira do elemento, as funções de frente de

fenda também possuem a descontinuidade ao longo das superfícies da fenda no elemento que cerca

a frente da fenda.

Conclui-se então que, no total, existem dois tipos distintos de enriquecimento, as funções

assimptóticas de frente de fenda que descrevem a frente da fenda e a função de salto que descreve o

resto da fenda. No entanto, nesta dissertação utiliza-se o caso complexo da propagação de fendas e

o 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® não inclui as funções descontínuas e assimptóticas no enriquecimento para o caso da

propagação. A esta limitação junta-se ainda o facto de apenas terem sido considerados modelos

bidimensionais, impossibilitando o cálculo dos fatores de intensidade de tensão em XFEM pois as

mais recentes versões do 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® não permitem este cálculo.

2.4. Estudo de trajetória da fenda em XFEM

Nesta dissertação, o método XFEM será utilizado no programa 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® para estudar a trajectória do

crescimento de fendas e como as propriedades dos elementos na sua frente podem influenciar o seu

percurso. O mapear das vias de propagação e de como a mudança de certas propriedades

acompanham o desenrolar processo, estabelecendo um resultado final distinto para cada alteração

ao material, é a principal função do método XFEM no desenrolar deste trabalho.

Sabe-se que o facto de existirem desvios nas fendas aumenta em grande medida a resistência óssea

por aumento do trabalho de fratura, [25]. Este processo é induzido pela presença de osteónios e

linhas cimentantes que, juntamente com o seu tamanho e propriedades, atuam como obstáculo à

propagação da fenda, [8] [9] [26] [27] [28]. Para quantificar o processo de propagação, serão

providenciadas as curvas tensão-extensão respetivas, impondo a extensão em percentagem,

assumindo, assim, valores adimensionais.

17

3. Caso de Estudo As razões que causam a detenção de micro fendas no osso cortical ainda não estão totalmente

compreendidas. No entanto, são assumidas duas fases teóricas no processo de paragem de uma

fenda iniciada em osso intersticial. Uma primeira fase em que a instabilidade da fenda aumenta, a

velocidade de propagação da fenda aumenta e direciona-se para os osteónios menos rígidos. A

segunda fase começa assim que a fenda chega à zona do osteónio e onde fica retida na linha

cimentante ou algures no interior do osteónio.

Os ensaios numéricos e experimentais desta dissertação têm em vista a confirmação destas duas

fases, focando-se sobretudo na capacidade que o osso cortical tem em resistir à propagação de

fendas na zona dos osteónios. Isto será testado para vários valores de rigidez de todos os

constituintes do osso cortical.

3.1. Constituição do osso cortical

Para esta dissertação foram considerados modelos unitários bidimensionais de osso cortical com

0.7 𝑚𝑚 de largura e 0.525 𝑚𝑚 de altura, [2], (ver Figura 3.1). A microestrutura desta zona do osso

está representada por um compósito de três propriedades distintas: a matriz intersticial, que separa

os osteónios (discos ocos) uns dos outros; as linhas cimentantes, que revestem os osteónios que

servem de interface entre a matriz intersticial e os osteónios; e os canais de Havers, onde escoa o

fluido citoplasma.

Figura 3.1 Representação da microestrutura do osso cortical.

18

3.1.1. Conceitos gerais

O grande interesse no estudo da propagação microscópia de micro fendas tem como objetivo de

tentar prever o que acontece durante a sua propagação. Fazer a previsão dos acontecimentos é uma

tarefa extremamente difícil de executar devido à constante variação dos dados disponíveis, isto por

se tratar de um tecido vivo envolvido num ambiente em contínua remodelação. A reestruturação

óssea é um processo inerente que influencia a disposição interna do osso e, por isto mesmo

intrinsecamente responsável pela incerteza existente na fratura óssea. A microestrutura do osso

cortical deve-se ao processo de renovação do osso, uma ação local com o nome de remodelação

óssea. Inicialmente, o osso primário, de constituição não lamelar e formado pela mineralização de

cartilagem, é caracterizado por possuir poucos osteónios, de tamanho reduzido e sem linhas

cimentantes. O osso secundário, que se encontra em maior abundancia no adulto, tem como principal

característica a organização das suas fibras de colagénio em lamelas com cerca de 3 a 7 𝜇𝑚 de

espessura as quais surgem devido à remodelação óssea resultante da atividade combinada dos

osteoclastos e osteoblastos na substituição de tecido velho por novo. Os osteónios secundários

possuem uma forma aproximadamente cilíndrica podendo chegar aos 2 𝑚𝑚 de comprimento, [2].

Cada osteónio possui um corpo formado por várias lamelas que circundam o canal de Havers até à

linha cimentante, esta tem por norma, entre 1 a 5 𝜇𝑚 de espessura, [2], possuindo propriedades

extremamente difíceis de determinar. Formam-se também osteócitos por ação dos osteoblastos, que

se localizam dentro de lacunas e que se adaptam à forma das lamelas. A estrutura do osso cortical

resulta de uma combinação de vários osteónios envolvidos por uma matriz intersticial, tornando o

osso cortical num material rígido. A constituição do osso cortical está representada na Figura 3.2.

Figura 3.2 Osso Cortical, [29].

19

3.1.2. Métodos e Material

Os modelos utilizados para representar a microestrutura do osso compacto estão em conformidade

com o estado de deformação plana. Os osteónios foram modelados como fibras ocas e o tecido

intersticial, que completa o espaço entre os osteónios e que representa a área maior nos modelos, foi

modelado como uma matriz. A linha cimentante foi considerada presente ou ausente consoante o que

se pretendia analisar. Todos os constituintes do compósito foram considerados homogéneos e

isotrópicos em planos perpendiculares ao eixo do osso, para além disto, foi também considerada uma

ligação perfeita entre todos os elementos.

As propriedades mecânicas dos constituintes do osso são fortemente dependentes de vários fatores,

nomeadamente da rigidez dos seus constituintes, e, por isso mesmo, foram utilizados valores de

trabalhos previamente publicados. Devido à grande disparidade de resultados nos vários trabalhos e,

com o intuito de utilizar os resultados como base no fabrico de novos biomateriais, elegeram-se dois

tipos de propriedades que constituem o caso de estudo: inferiores (Tabela 3.1) e superiores (Tabela

3.2). Por simplicidade e de forma a facilitar a identificação atribuiu-se o número 1 às propriedades

inferiores e o número 2 às propriedades superiores. Tendo por base Budyn & Hoc, [10], e Abdel-

Wahab et al. 2011, [2], adotaram-se os valores de rigidez 𝐸𝑜 = 11.510 𝐺𝑃𝑎 para os osteónios, 𝐸𝑚 =

14.122 𝐺𝑃𝑎 para a matriz intersticial e 𝐸𝑐 = 8.632 𝐺𝑃𝑎 para a linha cimentante; isto para a avaliar o

efeito das propriedades mecânicas consideradas inferiores sob ação de micro fendas. Já os

coeficientes de Poisson foram assumidos como 0.170 para os osteónios, 0.153 para a matriz

intersticial e 0.490 para a linha cimentante. Por outro lado, os valores superiores escolhidos para esta

dissertação foram retirados de Rho JY, Pharr GM 1999, [11], onde são utilizados os valores de rigidez

de 𝐸𝑜 = 21.1 ± 2 𝐺𝑃𝑎 para os osteónios e 𝐸𝑚 = 25.1 ± 1.6 𝐺𝑃𝑎 para a matriz intersticial. Para ambos o

valor do coeficiente de Poisson foi considerado de 0.3, tal como sugerido por Hogan HA 1992, [6]. Já

relativamente à linha cimentante, foi seguida a sugestão de Advani et al, [12], com 𝐸𝑐 = 30 𝐺𝑃𝑎 e

coeficiente de Poisson de 0.3.

Com base em análises quantitativas efetuadas para osteónios e para canais de Havers sabe-se que o

tamanho e densidade dos osteónios secundários varia, dependendo da espécie animal considerada,

da sua idade e da localização da amostra, [30] [31] [32] [33] [34] [35]. Observações microscópicas

mostram que em fémures bovinos é expectável encontrar osteónios e canais de Havers elípticos, com

diferentes valores para os seus eixos, [31]. É comummente aceite que o diâmetro dos osteónios

bovinos possui valores, em média, entre 50 a 300 𝜇𝑚, com os respectivos canais de Havers entre 9 e

45 𝜇𝑚, [1] [31] [34]. Nesta dissertação todos os osteónios encontram-se dentro destes intervalos de

valores.

20

Tabela 3.1 Valores Inferiores (1), [2] [10].

Símbolo 𝑬 [𝑮𝑷𝒂] 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏

Osteónios O1 𝐸𝑜 = 11.510 0.170

Matriz intersticial M1 𝐸𝑚 = 14.122 0.153

Linha cimentante L1 𝐸𝑐 = 8.632 0.490

Tabela 3.2 Valores Superiores (2), [6] [11] [12].

Símbolo 𝑬 [𝑮𝑷𝒂] 𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏

Osteónios O2 𝐸𝑜 = 21.1 ± 2 0.3

Matriz intersticial M2 𝐸𝑚 = 25.1 ± 1.6 0.3

Linha cimentante L2 𝐸𝑐 = 30 0.3

3.1.3. Condições Fronteira

Para estudar a microestrutura do osso e das propriedades mecânicas dos materiais quando sujeitos à

propagação de micro fendas, definiram-se os deslocamentos nodais tal como é mostrado na

Figura 3.3, onde os nós fronteiriços permanecem paralelos à sua posição inicial durante todo o

período de deformação. O modelo é fixo na parte inferior e, nesta dissertação, é aplicada uma

deformação crescente de forma linear que atinge um valor máximo entre 1 % e 2 %. Adicionalmente,

foram testados dois paradigmas distintos, a interação entre uma fenda e um osteónio e, a interação

entre uma fenda e vários osteónios dispersos na matriz intersticial.

Figura 3.3 Fixação dos modelos.

21

3.2. Modelação em XFEM

3.2.1. Validação do método XFEM

Com o intuito de validar os casos apresentadas no capítulo seguinte no que diz respeito ao processo

de iniciação de fenda na vizinhança de um ou mais osteónios e para verificar a capacidade do

material em resistir à propagação da fenda, tornou-se necessário comparar dois métodos distintos, o

método do integral J e o método XFEM. Esta comparação foi feita com recurso ao software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®.

O osteónio foi modelado como um círculo perfeito de raio de 0.1 𝑚𝑚 e, para efeitos desta validação,

não foi considerada a existência de canal de Havers nem de linha cimentante. À direita do osteónio

foi modelada uma única fenda. A frente esquerda da fenda (frente E) está mais próxima do osteónio

do que a frente do lado direito (frente D) a qual se manterá mais afastada relativamente ao osteónio,

Figura 3.4. A fenda é passante e tem o comprimento 2×𝑎 = 0.1 𝑚𝑚. Tal como apresentado por Adel

A. Abdel-Wahab et al, [2], os dois materiais foram definidos como lineares elásticos, optou-se por

utilizar um módulo de elasticidade de 𝐸𝑜 = 9.130 𝐺𝑃𝑎 para o osteónio e 𝐸𝑚 = 14.122 𝐺𝑃𝑎 para a

matriz intersticial (qualquer outro valor assinalado na Secção 3.1.2 teria sido igualmente válido),

juntamente com coeficientes de Poisson de 0.17 e 0.153, respetivamente. As condições fronteira do

modelo mantêm-se conforme o que foi descrito na Secção 3.1.3.

Para validar o método XFEM em 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®, fez-se uma análise tridimensional para calcular o fator

intensidade de tensões através do método do integral J e do método XFEM. Considerando o modelo

estacionário apresentado na Figura 3.4, tal como descrito anteriormente.

a)

b)

c)

d)

Figura 3.4 Representação do modelo para calculo de SIF com e sem malha para o método do integral j

em a) e c) e para o método XFEM em b) e d).

22

Considerando primeiramente o método do integral J, foram considerados 56 contornos. O modelo

possui 19 817 elementos hexaédricos e 90 958 nós. O resultado obtido foi todas as vezes o mesmo

resultado para ambos os lados, com 𝐾𝐼 = 4.384 𝑀𝑃𝑎𝑚1/2 para o lado esquerdo da fenda e de 𝐾𝐼 =

4.236 𝑀𝑃𝑎𝑚1/2 para o lado direito. Já o método XFEM, necessita de uma malha mais densa de forma

a uniformizar a consistência de resultados, uma vez que um dos pontos fortes deste método passa

pela possibilidade de ter um número acrescido de graus de liberdade por nó, portanto foi utilizada

uma malha com 75 060 elementos hexaédricos e 91 296 nós. Da lista de resultados foram ignorados

os primeiros valores, devido à introdução de erros por parte do 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® na análise dos primeiros

resultados. Assim sendo, a análise foi efetuada com 54 contornos.

Ao contrário do que se passa para o Integral 𝐽, os resultados obtidos no método XFEM não são

constantes, estes variam em torno de um valor médio de 𝐾𝐼 = 4.416 𝑀𝑃𝑎𝑚1/2 para a frente E (Figura

3.5) e 𝐾𝐼 = 4.269 𝑀𝑃𝑎𝑚1/2 para a frente D (Figura 3.6).

Figura 3.5 Frente E.

Figura 3.6 Frente D.

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 10 20 30 40 50

Desv

io [

%]

Contorno

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 10 20 30 40 50

Desv

io [

%]

Contorno

23

A partir dos resultados obtidos, é possível determinar o erro do método XFEM relativamente ao

método do Integral 𝐽, para a frente E,

𝜖̅ =4.416 − 4.384

4.384×100 = 0.733% (3.1)

e para a frente D,

𝜖̅ =

4.269 − 4.236

4.236×100 = 0.773% .

(3.2)

3.2.2. Modelos testados

Neste texto, para simplificar o conteúdo das discussões alusivas às análises efetuadas, é necessário

fazer a distinção entre o que se está a tratar. Como regra, é dado o nome de modelo a uma forma

pré-definida de distribuição de osteónios, exemplo disto é o modelo dado pela Figura 3.7. Os vários

testes efetuados utilizando o mesmo modelo são chamados de casos, assim é possível ter vários

casos na análise de um modelo específico. Como ponto comum em todas as análises de todos os

modelos, foram definidas as medidas padrão já referidas e foi assumido um modelo 2D, o qual, para

efeitos de cálculo, foi implementado com uma espessura de 0.1 𝑚𝑚. Considerou-se uma fenda inicial

com 0.1 𝑚𝑚 de comprimento, quer horizontal ou diagonal, dependendo do caso. As condições de

fronteira para os vários modelos em análise mantêm-se constantes e foram previamente estipuladas.

Adicionalmente, o tamanho dos osteónios pode variar de modelo para modelo, assim como a

deformação aplicada.

No sentido de ir ao encontro dos resultados desejados, testaram-se vários modelos de elementos

finitos capazes de representar da melhor forma possível os objetivos pretendidos. O desenvolvimento

destes modelos teve em conta o efeito das características da estrutura do osso cortical de modo a

simular a aleatoriedade da distribuição dos osteónios sobre a matriz intersticial. Considera-se também

a eventualidade dos osteónios terem propriedades diferentes entre si, no sentido de perceber como é

que estes afetam a propagação da fenda e como é que a alteração das suas propriedades afeta o

comportamento global dos modelos. As alterações impostas a cada modelo e/ou caso foram

introduzidas gradualmente de forma a facilitar a análise dos resultados, permitindo observar

diretamente as mudanças na propagação da fratura consoante as propriedades definidas em cada

análise.

Foram feitas várias análises distintas passíveis de comparação entre si, os modelos a duas

dimensões usados nestas análises foram criados com algumas simplificações: não foi tida em conta a

orientação das fibras perpendiculares ao plano e os osteónios foram considerados perfeitamente

circulares. Adicionalmente, é de destacar que todas as análises foram efetuadas à tração.

Inicialmente, e como referência para resultados seguintes, testou-se a propagação de uma fenda no

meio intersticial na direção imediata de osteónios, só após este estudo é que se avançou para os

24

testes seguintes. Independentemente do modelo, o canto inferior esquerdo do mesmo é sempre

considerado como a origem (ponto de 𝑥 = 𝑦 = 0), de forma a facilitar as coordenadas dos seus

constituintes.

A Figura 3.7 corresponde ao modelo 1, o qual foi desenvolvido com o objetivo de perceber como é

que as propriedades dos materiais influenciam a propagação da fenda neste modelo. O modelo 1

possui quatro osteónios perfeitamente circulares e simetricamente distribuídos com 0.197 𝑚𝑚 de

diâmetro, a linha cimentante possui uma espessura fixa de 3 𝜇𝑚.

Diâmetro (𝒎𝒎)

Osteónios 0.197

Canal de Havers 0.03

Coordenadas dos osteónios (𝒎𝒎)

𝒙 0.2 0.2 0.5 0.5

𝒚 0.125 0.4 0.125 0.4

Figura 3.7 Modelo 1. Dimensões e coordenadas.

O modelo 2 representado na Figura 3.8, possui o propósito de confirmar que a fenda propaga

inicialmente em direção ao osteónio menos rígido. Com este modelo foi também testada a influência

de diferentes valores de espessura da linha cimentante na distribuição de tensões do modelo. Neste

caso, os dois osteónios possuem 0.1 𝑚𝑚 de diâmetro e a espessura da linha cimentante varia entre 1

e 5 𝜇𝑚.


Osteónios 0.1


Coordenadas dos osteónios (𝒎𝒎)

𝒙 0.15 0.55

𝒚 0.2625 0.2625


25

O modelo 3, representado na Figura 3.9, pretende conjugar o facto de a fenda estar alinhada com os

osteónios e o facto de existirem outros osteónios que são relevantes ao comportamento global do

modelo. Este modelo possui dez osteónios perfeitamente circulares e ordenadamente distribuídos. Os

osteónios à direita da fenda estão uniformemente distribuídos de 0.04 em 0.04 𝑚𝑚 em 𝑥 e 0.08 em

0.08 𝑚𝑚 em 𝑦. Os osteónios à esquerda da fenda estão distribuídos de forma similar, excepto o

osteónio mais acima e o osteónio mais abaixo, os quais estão posicionados a 0.08 𝑚𝑚, em 𝑥, e a

0.04 𝑚𝑚, em 𝑦, relativamente ao osteónio imediatamente à esquerda de cada um deles. Todos

osteónios possuem 0.04 𝑚𝑚 de diâmetro e a linha cimentante mantém a sua espessura fixa de 1 𝜇𝑚.


Osteónios 0.039


Coordenadas dos osteónios

centrais (mm)

𝒙 0.15 0.47

𝒚 0.2625 0.2625


Finalmente, o modelo 4, exposto na Figura 3.10, permite verificar como é que a aleatoriedade da

distribuição dos osteónios afeta o propagar da fenda. Este possui 27 osteónios circulares organizados

numa distribuição arbitrária. Tanto os seus diâmetros como a espessura das suas linhas cimentantes

são variáveis, a espessura das linhas cimentantes varia entre 1 e 2 𝜇𝑚.

26

Nota

A posição de linhas de referência refere-se às linhas invisíveis que

definem as posições dos osteónios. Linhas verticais com coordenada 𝒙 e

linhas horizontais com coordenada 𝒚.

Diâmetro exterior dos

Osteónios (𝒎𝒎)

0.06

0.05

0.04

0.03

0.02

Posição de linhas de referência

(𝒎𝒎)

𝒙 0.08 𝒚 0.0625

𝒙 0.11 𝒚 0.1425

𝒙 0.15 𝒚 0.23

𝒙 0.24 𝒚 0.295

𝒙 0.33 𝒚 0.3425

𝒙 0.4 𝒚 0.38

𝒙 0.47 𝒚 0.4225

𝒙 0.55 𝒚 0.46

𝒙 0.63 𝒚 −

Diâmetro do Canal de

Havers (𝒎𝒎)

0.015

0.012

0.015

0.010

0.005 0.008

Figura 3.10 Distribuição dos osteónios no modelo 4. As dimensões interiores e exteriores, assim como as

coordenadas das linhas de referência.

27

4. Resultados Numéricos Nesta secção serão apresentados os resultados analíticos obtidos através do software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠®

relativamente aos vários modelos. Todos os comentários relativos a estes resultados gráficos estarão

divididos em subsecções de forma a guiar o leitor por uma estrutura sucinta e organizada. Todos os

gráficos foram retirados a partir de um elemento selecionado no limite central e superior da matriz

intersticial ou dos osteónios. O elemento selecionado consiste numa área infinitesimal genérica que

representa todo o espaço de análise. Idealmente, pretende-se selecionar em cada caso um elemento

que pertença ao espaço central referido sendo, sempre que possível, selecionado o mesmo

elemento. Os resultados de tensão retirados correspondem sempre à tensão normal no eixo 𝑦.

Adicionalmente foram realizados estudos de convergência de malha que não foram representados.

4.1. Modelo 1

A malha, representada na Figura 4.1 para este modelo, foi disposta de forma a realçar a zona central

onde ocorre a propagação da fenda, especificando uma malha mais densa onde é essencial à

análise. A fenda, pré-concebida de forma centrada no modelo, tal como mostra a Figura 4.2,

estender-se-á ao longo do modelo e, como tal, é essencial que no seu caminho encontre uma forma

estruturada, livre de uniões irregulares que possam pôr em risco os resultados pretendidos. Por sua

vez, foi necessário fazer a comparação entre a necessidade de uma malha completamente

estruturada e o consumo de recursos, como tal, e de forma a equilibrar a qualidade da análise com o

tempo necessário à obtenção de resultados, optou-se por organizar esta malha em três partes.

Inicialmente, a parte relativa aos osteónios, onde a malha se encontra orientada radialmente.

Seguidamente, a parte superior da malha espalhada ao longo da matriz intersticial superior e inferior,

em que a malha é estruturada e organizada em elementos não homogéneos de forma

aproximadamente uniforme, mas algo espaçados. Em terceiro lugar, encontra-se a parte central da

malha, onde a fenda horizontal se encontra. Aqui os elementos são dispostos de modo contínuo e

são totalmente iguais, graças à implementação de uma partição retangular. A malha tem no total

16 946 elementos quadriláteros e 17 419 nós.

Figura 4.1 Representação da matriz do modelo 1.

28

a)

b)

Figura 4.2 a) Osteónios com propriedades totalmente iguais e b) Osteónios iguais dois a dois.

Os casos feitos em 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® XFEM permitem verificar à partida o crescimento de uma fenda

horizontal e inclinada em 20° com a horizontal, verificando como esta se comporta relativamente às

propriedades dos materiais. Foi aplicada uma deformação incremental de 1% relativamente ao valor

de altura do modelo, 휀 = 0.00525. Os casos foram agrupados em análises, onde na análise 1 foram

testados os casos que consideravam os osteónios todos com as mesmas propriedades (secção

4.1.1), tal como ilustrado na Figura 4.2 a). Posteriormente, realizou-se a mesma experiência, para a

análise 2, dando valores distintos aos osteónios do lado direito, aproveitando a simetria vertical do

modelo e mantendo os osteónios do lado esquerdo com os valores aplicados inicialmente (secção

4.1.2), isto encontra-se ilustrado na Figura 4.2 b).

As figuras desta secção, tal como a Figura 4.3, apresentam uma ampliação do efeito da deformação

em 24x, para uma melhor visualização.

Figura 4.3 Modelo 1, deformação ampliada em 24x.

29

4.1.1. Análise da importância da rigidez da linha cimentante (todos

os osteónios com as mesmas propriedades)

Na análise do comportamento da fenda em ensaio à tração, considerando uma medida fixa inicial de

0.1 𝑚𝑚 para a fenda, foram utilizadas as propriedades materiais disponíveis na Tabela 4.1.

Tabela 4.1 Propriedades da Análise 1.

Análise 1

Caso Osteónios [𝑮𝑷𝒂]

Matriz intersticial [𝑮𝑷𝒂]

Linhas cimentantes [𝑮𝑷𝒂]

1 21.1

25.1

30

2 11.510 30

3 11.510 8.632

4 21.1 8.632

1FI (fenda inclinada) 21.1 30

5 21.1 −

Devido à homogeneidade dos osteónios, independentemente do caso, a fenda propaga-se

linearmente sem interrupções, tanto para a esquerda como para a direita do modelo. Não é

observável qualquer propagação da fenda até aos osteónios, não existe nenhum curvar da fenda,

nem mesmo no caso em que esta é disposta inclinada a 20° com a horizontal. As mudanças das

propriedades nos vários casos não alteraram em nada o seu modo de propagação, no entanto, é de

notar que, desde a Figura 4.4 até à Figura 4.9, o valor das deformações no mesmo instante de tempo

é diferente, resultado natural da propagação sob propriedades diferentes. Estas figuras têm em

comum o mesmo instante (ou step), neste caso, de 0.5, em que o instante 0 representa o instante

inicial e o instante 1 representa o instante final. A cada deslocamento da fenda é contabilizado um

step, por isso o instante 0.5 não representa obrigatoriamente o instante intermédio da propagação da

fenda. O fator de propagação da fenda relativamente ao tempo decorrido é um fator visual

identificativo próprio de cada caso pois, apesar de o comportamento da fenda ser idêntico, este

ocorre em espaços de tempo diferentes, resultando num fator de progressão com o tempo exclusivo

para cada uma. Também independente do caso é a fratura em simultâneo em ambos os lados, que

acontece sempre.

30

Figura 4.4 Caso 1 no step 0.5.




Figura 4.8 Caso 1FI no step 0.5.


Ao examinarmos com mais cuidado cada uma das figuras, desde a Figura 4.4 até à Figura 4.9,

percebe-se que, pela distribuição de tensões na zona dos osteónios, a intensidade de tensões é

maior horizontalmente. Isto é um comportamento natural devido à deformação aplicada, no entanto

as tensões são inferiores ao necessário para se observar uma fratura nesta zona dos osteónios. Seria

31

irrelevante aumentar a deformação aplicada para valores superiores ao 1% no sentido de levar à

fratura nesta zona, visto que a frente de fenda possui uma concentração de tensões muito maior e iria

fraturar sempre antes de ser observável qualquer surgimento de fenda nos osteónios.

Adicionalmente, se olharmos com mais atenção para a Figura 4.5 e para a Figura 4.6, nota-se que,

pelo facto de a rigidez dos osteónios ser inferior, as tensões entre os osteónios superiores e inferiores

são consideravelmente mais baixas. Este comportamento possibilita que exista uma menor tensão na

frente da fenda, sendo natural que estes dois casos sejam os que permitem uma maior deformação

aplicada antes da rotura total. Verifique-se o gráfico tensão-extenção da Figura 4.10 para informações

mais detalhadas.

Figura 4.10 Apresentação gráfica dos casos 1 a 5.

Analisando as várias curvas do diagrama da Figura 4.10, é clara uma evolução gráfica distinta para

dois grupos, a caso 2 e 3 e o agregado dos restantes casos. Em todos os casos é possível verificar o

aumento lento da altura do modelo, praticamente impercetível devido às dimensões reduzidas deste e

proporcional à deformação aplicada. Numa primeira observação aos vários casos, note-se que a

inclinação inicial se mantém constante, compatível com o facto das de se ter utilizado apenas um

valor para o módulo de elasticidade da matriz e, como tal, não há substancial alteração da

elasticidade geral do modelo. No entanto, a variação do valor da tensão máxima é assinalável ao

longo dos casos, sendo que onde se verifica uma maior tensão aplicada é no caso 2 (𝜎𝑦 = 96.8 𝑀𝑃𝑎)

0

20

40

60

80

100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]Caso 1 Caso 2 Caso 3 Caso 4 Caso 1FI Caso 5

32

e no caso 3 (𝜎𝑦 = 97.6 𝑀𝑃𝑎). Isto acontece pelo facto de, no caso 2, os osteónios possuírem uma

rigidez inferior, permitindo dar ao modelo uma constituição estrutural mais flexível como um todo.

Com o caso 3, a única diferença é o coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade da linha

cimentante. Ao diminuir a rigidez da linha cimentante facilita-se a deformação desta zona, da mesma

forma que acontecia ao considerar só os osteónios com menor rigidez, os ganhos são mínimos, mas

percebe-se que existe uma maior resistência do material por permitir uma tensão ligeiramente

superior (𝜎𝑦 = 97.6 𝑀𝑃𝑎). Conclui-se que, no caso 3, se obtém a melhor hipótese para uma

propagação de fenda deste género. Todos os outros casos, por serem mais rígidos, possuem um

comportamento mais frágil e, portanto, são menos resistentes a deformações. Apesar de não ser

observável graficamente uma diferença significativa entre os casos 1, 1FI, 4 e 5, é de notar que no

caso 4 existe uma ligeira alteração relativamente aos restantes casos deste grupo, aqui observa-se a

contribuição da rigidez da linha cimentante da mesma forma que se verificou no caso 3. A progressão

da fenda para o caso 3 está representada na Figura 4.11.

Figura 4.11 Evolução geral do modelo. Caso conforme o caso 3.

4.1.2. Análise à propagação da fenda (osteónios com propriedades

diferentes)

Sabendo que a fenda se propagou uniformemente pelos dois lados na análise da subsecção anterior,

prosseguiu-se à análise do mesmo problema alterando a uniformidade das propriedades dos

osteónios e das linhas cimentantes, criando uma disparidade entre o lado direito e esquerdo do

modelo, para verificar de que forma a alteração de propriedades afeta a propagação da fenda ao

longo do tempo. Com esta modificação, o modelo 1 tornou-se mais rígido no lado esquerdo do que do

lado direito e, embora a fenda tenha mantido a sua propagação na horizontal, esta mudança

introduziu uma discrepância na propagação da fenda, avançando primeiro para o lado esquerdo e só

33

depois de fraturar deste lado do modelo é que avança no lado direito. A caracterização dos

componentes da análise 2 está representada na Tabela 4.2.


Análise 2 Caso

Osteónios (lado

esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Osteónios (lado

direito)

[𝑮𝑷𝒂]

Matriz intersticial

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado direito)

[𝑮𝑷𝒂]

6 21.1 11.510 25.1 30 8.632

A propagação da fenda para este caso está representada com mais pormenor na Figura 4.12, onde é

possível perceber as várias fases de propagação.

Figura 4.12 Evolução conforme o caso 6.

Apesar de nos primeiros instantes não se notar uma diferença relevante na propagação dos dois

lados da fenda, nota-se que a partir de certo ponto se intensifica o crescimento da fenda em direção

ao lado mais rígido do modelo, chegando mesmo a parar a progressão para o outro lado. A

ocorrência deste comportamento explica-se pela menor elasticidade dos osteónios do lado esquerdo

e pelo facto de a fenda manter a propagação sempre ao longo do mesmo material. Dado que os

osteónios do lado esquerdo do modelo possuem uma maior rigidez, tendem a deformar menos que

os osteónios menos rígidos, possibilitando a ocorrência de uma maior deformação na zona central do

modelo para aquele lado, quando comparado com o lado direito. Os osteónios do lado direito, por

serem menos rígidos, permitem que o modelo se alongue mais neste lado do que no lado esquerdo.

A abertura da fenda dá-se então no lado esquerdo para níveis inferiores de deformação aplicada,

quando comparado ao lado direito. Aliás, é percetível, pela distribuição de tensões, que os osteónios

do lado direito estão sujeitos a uma tensão menor do que os do lado esquerdo, até se verificar a

fratura do modelo neste último lado, e só a partir daí é que se verifica o propagar restante da fenda

até à fratura total. Esta alteração às propriedades do lado direito do modelo provoca que o ponto de

34

tensão máxima seja inferior ao verificado nos casos 2 e 3, mas superior ao observado no caso 1,

sendo que isto está intrinsecamente ligado ao facto de existir a fratura precoce do modelo no seu lado

esquerdo sem se ter esgotado a resistência do lado direito.

Examinando o gráfico da Figura 4.13 com mais atenção, nota-se que, paralelamente ao que

aconteceu na secção anterior, a tensão subiu até ao seu ponto máximo de forma quase linear (𝜎𝑦 =

87.7𝑀𝑃𝑎). O ponto de tensão máxima é inferior ao verificado na Figura 4.10 para os casos 2 e 3,

devido à rotura precoce do modelo no lado esquerdo antes de ter esgotado a resistência do lado

direito. O desequilíbrio facilitou a propagação da fenda, quase como se tivesse ocorrido uma mistura

dos resultados dos casos da secção anterior, em que o osteónio mais rígido estabelece o limite do

modelo, assumindo a posição de elo mais fraco. Após o modelo fraturar do lado esquerdo, a tensão

aplicada no modelo decresce até ao ponto em que ocorre um salto na zona dos 𝜎𝑦 = 45 𝑀𝑃𝑎,

correspondente ao instante em que o modelo fratura totalmente no lado direito. Conclui-se que, na

eventualidade de a fenda se propagar entre osteónios sem que a sua propagação cruze nem chegue

perto da linha cimentante, a fenda tenderá a seguir para o lado mais rígido primeiro, parando a

progressão para o lado contrário. Só se verifica progressão para o lado menos rígido após a abertura

total da fenda no lado mais rígido do modelo.

Figura 4.13 Apresentação gráfica do caso 6.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y [𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

Caso 6

35

4.2. Modelo 2

No modelo 2, a malha foi disposta de forma a cobrir o modelo de forma uniforme, procurando ser

adequada à propagação da fenda, tal como apresentado na Figura 4.14. A fenda, pré-concebida de

forma centrada, tal como exposto na Figura 4.15, propaga-se ao longo do modelo, até entrar na

região dos osteónios e terminar dentro dos respetivos canais de Havers. Não foi necessário recorrer à

criação de uma partição, a malha é dividida somente em duas partes, a parte relativa aos osteónios,

onde a malha está orientada radialmente, e a parte ao longo da matriz intersticial, onde a malha é

estruturada e organizada em elementos não totalmente homogéneos, mas que são aproximadamente

uniformes. A malha possui no total 5 921 elementos quadriláteros e 5 704 nós.


Figura 4.15 Osteónios O1 e linha cimentante L1 (a cinzento à esquerda) e O2 e L2 (a verde à direita).

Os casos realizados em 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® XFEM para este modelo permitem verificar, à partida, o

crescimento de uma fenda horizontal e verificar como esta se comporta. De forma semelhante ao que

se passava no modelo 1, foi aplicada uma deformação de 1% relativamente ao valor da altura do

modelo 휀 = 0.00525. Numa primeira análise, consideraram-se propriedades distintas para cada

osteónio e cada linha cimentante, mantendo constantes as propriedades da matriz intersticial (secção

4.2.1), posteriormente, realizou-se uma análise com o objetivo de verificar a importância da

espessura da linha cimentante na resposta do modelo à propagação da fenda (secção 4.2.2).

36

Nas figuras das duas secções seguintes é possível verificar a progressão da fenda, onde se optou

por uma ampliação da deformação em 24x, tal como representado na Figura 4.16, de forma a facilitar

a visualização da fenda.

Figura 4.16 Modelo 2, deformação ampliada em 24x.

4.2.1. Análise à propagação da fenda (osteónios com propriedades

diferentes)

A análise do comportamento da fenda no modelo 2, em ensaio à tração, possibilita o estudo da

progressão da fenda sabendo que, no seu instante inicial, esta possui uma medida fixa de 0.1 𝑚𝑚. A

Tabela 4.3 indica as propriedades testadas nos vários casos, realizadas para a primeira análise do

modelo 2.


Ficou claro, no modelo 1 da secção anterior, que quando se introduz uma disparidade entre o lado

esquerdo e direito do modelo, a propagação da fenda é alterada no sentido de favorecer a

progressão para o lado onde os osteónios apresentam uma rigidez superior. Isto para o caso de a

fenda passar entre osteónios, sem os intersectar e a uma distância suficiente para não ser atraída por

estes. Nesta secção, a análise foca-se no caso oposto, em que os osteónios cruzam a trajetória de

propagação da fenda, servindo como obstáculo à propagação desta. A rigidez distinta de cada

osteónio e de cada linha cimentante deste modelo provocam um desequilíbrio idêntico ao observado

para o modelo 1. Com estas propriedades estruturais, o modelo 2 é de forma semelhante mais rígido

num lado do que noutro, mas, ao contrário do modelo anterior, o osteónio do lado esquerdo é menos

Análise 3 Caso

Osteónios (lado

esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Osteónios (lado direito)

[𝑮𝑷𝒂]

Matriz intersticial

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado direito)

[𝑮𝑷𝒂]

7 11.510 21.1 25.1 8.632 30

37

rígido que o do lado direito, tal como pode ser comparado na Figura 4.2 b) e Figura 4.15. Embora a

fenda tenha mantido a sua propagação horizontal, a discrepância no modelo fez crescer a fenda

primeiro para o lado esquerdo, menos rígido, e só depois de chegar ao canal de Havers deste lado é

que avança totalmente no lado direito, mais rígido. Esta evolução da propagação da fenda está

representada na Figura 4.17.

Figura 4.17 Evolução conforme o caso 7.

Ao observar a Figura 4.12 e a Figura 4.17 verifica-se que, enquanto no modelo 1 a fenda propaga em

direção ao lado mais rígido do modelo, no modelo 2 acontece o oposto. A fenda, neste modelo, tende

a propagar em direção ao conjunto de osteónio e linha cimentante menos rígidos. Isto acontece

porque, no caso do modelo 2, a fenda propaga-se em materiais diferentes, começando a sua

propagação na matriz intersticial e movimentando-se em direção à linha cimentante e interior do

osteónio, sendo energeticamente mais eficiente, neste caso, a fenda propagar pelo material menos

rígido. A representação gráfica da Figura 4.18 clarifica esta ideia, pois, como se pode ver, o osteónio

do lado esquerdo deforma mais para o mesmo valor de tensão quando comparado ao osteónio do

lado direito. Este último, por ser mais rígido, deforma menos, estando sempre sujeito a uma tensão

superior para a deformação aplicada do que o osteónio do lado esquerdo. A partir de certo ponto, e à

medida que a tensão nos osteónios continua a aumentar, a tensão na matriz intersticial diminui,

confirmando que, após a abertura da fenda, é nos osteónios, especialmente no do lado direito, que se

encontram as tensões máximas no modelo. A fenda propaga sempre no sentido do material que

possui menor rigidez, propagando primeiro para este lado, e só entrando no osteónio do lado direito

depois de chegar ao canal de Havers do lado esquerdo, tal como pode ser visto na Figura 4.19.

38

Figura 4.18 Apresentação gráfica do caso 7.

Figura 4.19 Pormenor do caso 7.

0

20

40

60

80

100

120

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

Matriz intersticial Osteónio lado direito Osteónio lado esquerdo

39

4.2.2. Análise da importância da espessura da linha cimentante na

resposta do modelo à propagação da fenda

Na secção 4.1.1, abordou-se a questão da influência da rigidez da linha cimentante no

comportamento do modelo enquanto estrutura, no entanto, nesta secção, pretende-se estudar a

influência da espessura da linha cimentante na propagação da fenda, de forma a aferir se a

integridade do modelo é alterada com a largura deste segmento que envolve o osteónio. A análise foi

efetuada para um intervalo de valores entre 1 a 5 𝜇𝑚, como pode ser visto na Figura 4.20, e cujas

propriedades estão descritas na Tabela 4.4.

Figura 4.20 Comparação da espessura das linhas cimentantes.

Tabela 4.4 Propriedade da Análise 4

A propagação da fenda, ao entrar no domínio do osteónio deste modelo, não é alterada pela

presença da linha cimentante. Visualizando os resultados obtidos na Figura 4.21 e na Figura 4.22,

compreende-se que, neste caso, pouco acontece à fenda quando aparece esta barreira à sua frente

que a isola do osteónio. Também não é visível que a espessura da linha cimentante afete a

resistência estrutural do modelo à passagem da fenda. Em todas os casos, ao crescer, a fenda

permanece em rota de colisão com o espaço pertencente ao canal de Havers. Para um incremento

de 1% de deformação aplicada, propaga através da espessura das linhas testadas em ambos os

lados do modelo. Independentemente do caso, nesta análise, é visível que a fenda continua a

prosseguir primeiro para a esquerda até ao osteónio e só depois prossegue para a direita, nunca

rompendo totalmente o modelo tal como foi possível verificar nas imagens da subsecção anterior.

Análise 4

Caso

Osteónios (lado

esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Osteónios (lado

direito)

[𝑮𝑷𝒂]

Matriz intersticial

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado esquerdo)

[𝑮𝑷𝒂]

Linha cimentante

(lado direito)

[𝑮𝑷𝒂]

Espessura das linhas

cimentantes

[𝝁𝒎]

8

11.510 21.1 25.1 8.632 30

1

9 2

10 3

11 4

12 5

40

Figura 4.21 Comparação da espessura das linhas cimentantes após passagem da fenda.


0

10

20

30

40

50

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y[𝑀𝑃𝑎

]

𝜀 [%]

1 μm 2 μm 3 μm 4 μm 5 μm

41

Após uma verificação cuidada da Figura 4.22, relativa à resposta geral da matriz intersticial à

deformação aplicada para os casos apresentados, é possível perceber a similaridade entre todos os

resultados. No entanto, existe um caso que se destaca por ter uma tensão máxima ligeiramente

superior, podendo ser um resultado direto do reorganizar da malha que preenche esta área,

provocando um reajuste da dimensão de certos elementos. A diminuição dos valores da tensão

relaciona-se com o processo de abertura da fenda, pois, após a fratura dos dois osteónios, a tensão

tende a diminuir até à fenda atingir uma abertura limite, a partir da qual os valores de tensão deixam

de descer. Este efeito pode ser visto também na subsecção anterior e, igualmente, com maior

pormenor no modelo 3. Percebe-se, portanto, que para estes níveis de deformação aplicada e pelo

facto da fenda se propagar centrada com o canal de Havers, que as diferenças relativas à variação

de espessura são bastante reduzidas e, é então seguro afirmar que as linhas cimentantes ganham

relevância num modelo mais pelas suas propriedades do que pela sua espessura.

4.3. Modelo 3

Finalizada a análise 4 ao modelo anterior, torna-se agora relevante assistir ao progresso da fenda ao

entrar no domínio do osteónio e aferir se esta é atraída ou inalterada pela presença deste, avaliar

qual a importância da existência do osteónio na propagação da fenda, para perceber o que faz do

osso cortical tão resistente à fratura. No modelo 3, exposto na Figura 4.23, para além de existirem

dois osteónios alinhados com a progressão da fenda, existem também outros osteónios no modelo.


Olhando para a Figura 4.24, percebe-se que os osteónios estão distribuídos de forma simétrica na

horizontal, mas estão dispostos de modo a não possuírem simetria vertical. Para as duas análises ao

modelo 3, formou-se uma malha estruturada e justa na zona central, utilizando uma partição

retangular. Esta decisão foi tomada com o intuito de ocupar a região de crescimento da fenda com

uma malha coesa, preenchendo esta zona particionada com elementos uniformes que, devido à

42

presença dos vários osteónios circundantes, de outra forma não seria possível. No resto do modelo,

optou-se por utilizar uma malha menos estruturada, exceto na zona dos osteónios onde a malha

possui uma forma regular e contínua na direção radial, tal como acontecia nos modelos 1 e 2. Dada a

distribuição de osteónios neste modelo, nota-se um aglomerar de elementos na zona central. A malha

possui 30 196 elementos quadriláteros e 29 592 nós no total.

Figura 4.24 Osteónios O2 e linha cimentante L2.

Os casos realizados para este modelo permitem verificar o crescimento de uma fenda horizontal,

tanto centrada como descentrada relativamente aos osteónios centrais, a uma distância na vertical de

0.0175 𝑚𝑚, 0.0225 𝑚𝑚 e 0.0275 𝑚𝑚, para cima e para baixo relativamente à posição centrada

representada na Figura 4.23, de forma a verificar o comportamento fenda à passagem da linha

cimentante e entrada no canal de Havers. Contrariamente ao que foi feito até aqui, neste modelo, foi

aplicada uma deformação de 2% relativamente ao valor da altura do modelo, de forma a acelerar a

propagação da fenda, 휀 = 0.0105. Na primeira análise, consideraram-se propriedades iguais para

todos os osteónios e todas as linhas cimentantes, mantendo constantes as propriedades da matriz

intersticial. A fenda foi considerada centrada com o modelo na análise 5, com o seu ponto médio a

situar-se nas coordenadas 𝑥 = 0.35, 𝑦 = 0.2625 𝑚𝑚 (secção 4.3.1). Também se realizou a análise 6,

com o objetivo de descentrar a fenda e, desta maneira, testar a colisão da fenda com o osteónio a

partir de várias abordagens. O estudo mereceu especial atenção na zona de periferia e interior do

osteónio, no sentido de avaliar a contribuição deste para a propagação (secção 4.3.2).

Igualmente ao que foi feito até aqui, para efeitos de melhor visualização, optou-se por uma ampliação

da deformação, mas desta vez somente em 10x, tal como apresentado na Figura 4.25.

43

Figura 4.25 Modelo 3, ampliação da deformação em 10x.

4.3.1. Análise da atração do osteónio por uma fenda horizontal

(todos os osteónios com as mesmas propriedades)

A análise 5 do ensaio de tração do modelo 3, possibilita o estudo da progressão de uma fenda

alinhada verticalmente com os osteónios, na posição 𝑦 = 0.2625 𝑚𝑚, desde o seu tamanho inicial de

0.1 𝑚𝑚, até ao fim da sua propagação. A Tabela 4.5 indica as propriedades testadas nos vários

casos desenvolvidos para a primeira análise do modelo 3.


Análise 5




13 21.1

25.1

30

14 11.510 30

15 11.510 8.632

16 21.1 8.632

17 21.1 −

A fenda propaga-se horizontalmente, tanto para a esquerda como para a direita do modelo, no

entanto, é notória a propagação da fenda primeiramente em direção do osteónio do seu lado direito e,

sabendo que dentro do mesmo caso todos os osteónios e linhas cimentantes possuem propriedades

iguais, a dedução que se tira é que existe efetivamente uma propagação visível até ao osteónio do

lado direito por se encontrar mais perto do que para o osteónio do lado esquerdo. Não existe nenhum

curvar por parte da fenda, a sua propagação efetua-se a um ritmo constante para o lado direito e em

ritmo lento para o lado esquerdo. Só quando a fenda entra no canal de Havers do osteónio direito é

que se observa um aumento na velocidade de propagação da fenda para o outro lado. As mudanças

das propriedades nos vários casos não alteraram em nada o seu modo de propagação. Cada caso

tem, no entanto, o seu próprio fator de progressão de fenda com o tempo, onde se verifica que num

determinado instante de um dado caso a fenda está num espaço físico diferente, dependendo das

44

propriedades estruturais do modelo. Observa-se que, independentemente do caso, a fenda propaga-

se sempre até ao interior dos osteónios, onde a frente de fenda se conjuga com o canal de Havers,

ficando aqui retida. A tensão necessária para a fenda continuar a propagar a partir deste ponto

deverá compensar o facto do ângulo de frente de fenda deixar de ser aproximadamente zero e ser

excessivamente grande para as condições da análise. As Figura 4.26 até à Figura 4.30 expõem a

fase de propagação na qual a fenda se encontra no instante 0.23.




45



Nestas figuras, é visível que a distribuição de tensões no osteónio da esquerda aumenta após a

chegada da fenda à sua periferia, verificando-se também o aumento da tensão no osteónio da direita

a partir do momento em que a fenda começa a abrir ao centro, forçando o osteónio a abrir também. A

tensão verificada do lado oposto à posição da fenda, dentro do canal de Havers do osteónio da

direita, irá aumentar com o abrir da fenda no osteónio do lado esquerdo, sendo que a mais pequena

indentação ou cavidade nesta zona que permitisse um ângulo de concordância entre superfícies,

poderia ser suficiente para a continuidade da propagação por este lado. Este género de indentações

ou irregularidades é comum, uma vez que os osteónios e respetivos canais de Havers não são

perfeitamente circulares nem livres de anomalias, como será visível nas figuras do capítulo 5 desta

dissertação. Adicionalmente, verifica-se também a similaridade entre o caso 16 e 17, em que a

existência de linha cimentante L1, nesta situação, não acarreta qualquer alteração ao modelo (Figura

4.29 e Figura 4.30). Esta situação está ilustrada graficamente na Figura 4.31.

46


Tendo em atenção a representação gráfica da Figura 4.31, verifica-se que, em todos os casos, a

tensão cresce linearmente até chegar à tensão de cedência, curvando após este ponto até atingir um

pico de tensão. Este pico de tensão reflete o momento de abertura da fenda após a fratura até ao

osteónio do lado direito e imediatamente antes da abertura do osteónio do lado esquerdo, ou seja,

representa o instante anterior ao início da abertura total da fenda após esta chegar aos dois

osteónios. Neste instante é possível dividir os casos em dois grupos, o grupo que contém os

osteónios do tipo O2 e o grupo que contém os osteónios do tipo O1. Verifica-se que, contrariamente

ao que acontecia no modelo 1, ao diminuir a rigidez dos osteónios deste modelo, a resistência global

também diminui. A discrepância verificada é de 6 𝑀𝑃𝑎, sendo igualmente observável que os casos

que possuem osteónios do tipo O1 deformam com mais facilidade para valores inferiores de tensão,

resultando em modelos mais deformáveis. Após a passagem do ponto máximo local, a tensão diminui

até ao seu ponto mínimo local. Esta descida dos valores da tensão para valores crescentes de

deformação justifica-se pelo processo de abertura de fenda, onde nos instantes em que a tensão está

a diminuir correspondem à duração de abertura da fenda até atingir o seu máximo para os níveis de

tensão existentes. A partir do momento em que se esgota a capacidade de deformação do material,

0

20

40

60

80

100

0 0.005 0.01 0.015 0.02

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

Caso 13 Caso 14 Caso 15 Caso 16 Caso 17

47

na zona central da matriz intersticial, verifica-se de novo um crescimento da tensão, associado a um

declive crescente no gráfico, de forma a permitir que o modelo continue a deformar.

Embora o processo seja o mesmo para todos os casos, verifica-se que a disparidade nos valores

acontece porque os casos 13, 16 e 17 possuem uma maior rigidez devido ao valor do módulo de

elasticidade dos osteónios. A propagação total da fenda neste modelo está representada na Figura

4.32.

Figura 4.32 Evolução geral do modelo.

4.3.2. Análise à fenda descentrada (todos os osteónios com as

propriedades superiores)

A análise 6, relativa ao estudo da fenda descentrada, foca-se no comportamento desta desde o seu

instante inicial com 0.1 𝑚𝑚 até ao seu instante final. A Tabela 4.6 indica as propriedades testadas nos

vários casos desenvolvidos para a segunda análise do modelo 3.


Análise 6

Caso Osteónios

[𝑮𝑷𝒂]

Matriz intersticial

[𝑮𝑷𝒂]

Linhas cimentantes

[𝑮𝑷𝒂]

Coordenadas do ponto central da fenda [𝒎𝒎]

18

21.1 25.1 30

𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.235

19 𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.24

20 𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.245

21 𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.28

22 𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.285

23 𝑥 = 0.35 , 𝑦 = 0.29

48

Nesta análise a fenda continua a propagar-se horizontalmente, tanto para a esquerda como para a

direita do modelo. A fenda mantém a sua propagação inicialmente em direção ao osteónio do seu

lado direito, no entanto, desta vez, ocorrem três situações distintas dependendo dos casos.

Nos casos 18, 22 e 23, expostos nas Figura 4.33, Figura 4.37 e Figura 4.38, é possível observar a

propagação da fenda até ao canal de Havers, contudo, a fenda divide-se em duas quando chega

perto do canal de Havers, ao ponto de propagar para dentro deste e ao mesmo tempo continuar a

propagação até ao fim do modelo. O pormenor desta situação é mostrado, mais à frente, na Figura

4.39. Esta situação acontece no caso 18, para os dois lados, e nos casos 22 e 23, apenas para o lado

esquerdo. Para o lado direito destes dois últimos casos, verifica-se que a fenda fica retida na linha

cimentante e não chega a entrar para dentro do osteónio.

Nos restantes casos desta análise, apresentados nas Figura 4.34, Figura 4.35 e Figura 4.36, verifica-

se o curvar da fenda para dentro do canal de Havers, parando aí a sua propagação. Só quando a

fenda entra no canal de Havers do osteónio direito é que se observa um aumento da velocidade de

propagação da fenda para o outro lado, tal como acontecia na análise 5 da secção anterior.

a) b)

Figura 4.33 Caso 18; fenda em 𝑦 = 0.235 𝑚𝑚, a) Instante inicial e b) Instante final.

49

a) b)


a) b)


a) b)


50

a) b)


a) b)


Verifica-se que a curvatura da fenda relativamente ao canal de Havers é maior quanto maior for a

distância vertical à linha média do modelo (𝑦 = 0.2625 𝑚𝑚). Isto pode ser visto com maior ênfase nos

casos 18 e 23 (Figura 4.33 e Figura 4.38), já que aqui a fenda passa a uma distância de 0.0275 𝑚𝑚

relativamente à fenda centrada. Depreende-se através da visualização destas imagens que, para

além de a fenda propagar diretamente ao osteónio que se encontra mais perto no instante inicial,

também existe uma atração pelo canal de Havers a partir do momento em que a fenda cruza a linha

cimentante. Isto é visível em todos os casos, incluindo nos exemplos em que a fenda continua a sua

propagação até ao fim do modelo, formando uma protuberância em forma de V em direção ao canal

de Havers.

É igualmente possível confirmar que, na eventualidade de serem reunidas as condições necessárias,

quer em termos de ângulo de entrada, quer em termos de definição do trajeto da fenda, que a frente

da fenda fica retida na superfície de contacto entre a linha cimentante e o interior do osteónio, tal

51

como é possível ver na Figura 4.37 e Figura 4.38 e, com mais pormenor, na Figura 4.41. Esta

eventualidade explica-se pelo posicionar da fenda entre a linha cimentante e o interior do osteónio,

parando no instante em que o seu posicionamento entre estes dois materiais é suficiente para

dificultar que a propagação se continue a desenrolar para os níveis de rigidez de ambos os materiais.

À semelhança do que acontece na fenda centrada, quando a fenda entra no canal de Havers, como

exemplificado no caso 19, onde a deformação aplicada necessária para fazer com que a fenda

continue a sua expansão horizontal deveria alcançar valores excessivamente elevados. Na Figura

4.40 está exposto o pormenor das tensões no canal de Havers após a entrada da fenda para este

caso.

Figura 4.39 Pormenor do osteónio esquerdo do Caso 18.

Figura 4.40 Pormenor do osteónio direito do Caso 19.

Figura 4.41 Pormenor do osteónio direito do Caso 22.

52

Ao observar o gráfico da Figura 4.42 percebem-se as diferenças entre os casos realizados na análise

6. Começando pelo caso 18, é percetível que, por existir um rompimento do modelo em ambos os

lados, a tensão verificada no final tende para zero por deixar de existir uma deformação aplicada. Já

no que toca aos casos 19, 20 e 21, a diferença entre eles é o posicionamento da fenda relativamente

aos osteónios, em que dentro de um determinado limite de abordagem da fenda ao osteónio (neste

caso o limite estabeleceu-se entre a linha 𝑦 = 0.24 𝑚𝑚 e 𝑦 = 0.28 𝑚𝑚), este é o resultado previsível.

No entanto, nota-se ao visualizar a Figura 4.42 que, apesar de os casos 20 e 21 as fendas estarem

colocadas simetricamente em relação à linha central, o facto de a fenda estar acima ou abaixo do

ponto médio ganha relevância, pois, nota-se que à medida que a posição da fenda está mais acima

as tensões verificadas descem. No final, observa-se o aprisionar da fenda nos canais de Havers,

sendo que, a partir do ponto em que a fenda abre, o declive de tensão nestes três casos aumenta e

torna-se aproximadamente igual para os três casos. Nos casos 22 e 23, pelo facto de a fenda ficar

retida na periferia interior da linha cimentante, o declive da tensão é superior ao verificado para os

casos anteriores. Para isto contribui o facto de ainda existir bastante deformação a aplicar, mas

também a concentração de tensões nesta zona pelo raio de frente de fenda ser muito menor

relativamente ao raio do canal de Havers.


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

0 0.005 0.01 0.015 0.02

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

Caso 18 Caso 19 Caso 20 Caso 21 Caso 22 Caso 23

53

4.4. Modelo 4

Realizadas as análises aos modelos anteriores, segue-se a importância de introduzir uma distribuição

aleatória de osteónios e perceber como é que esta disposição afeta a propagação da fenda.

A criação de micro fendas é bastante comum tanto em ossos humanos como em bovinos, sendo que

a disposição de osteónios, de ambos os casos, é algo muito parecido com o que se pode observar no

modelo da Figura 4.43.


Antes de iniciar as análises ao modelo 4, é necessário referir que, apesar de representar uma

hipótese aleatória, a posição dos osteónios neste modelo foi feita recorrendo a linhas de referência

verticais e horizontais, definidas por coordenadas fornecidas anteriormente na Figura 3.10. A malha

foi disposta de forma adequada à propagação de uma fenda centrada no modelo. Esta fenda

estender-se-á ao longo do modelo, entrará dentro da região dos osteónios, ou termina dentro dos

canais de Havers ou propaga-se até ao final do modelo. Neste sentido, foi implementada uma malha

que possibilite que a fenda cresça na periferia de osteónios, onde a malha se encontra orientada

radialmente, na matriz intersticial a malha é estruturada e organizada em elementos não totalmente

homogéneos. A malha possui no total 33 867 elementos quadriláteros e 35 068 nós.

Para esta análise foram escolhidos casos em linha com os casos utilizados anteriormente para os

modelos antecedentes, a fenda está posicionada na horizontal e de forma a que o seu ponto médio

coincida com o ponto médio do modelo, como apresentado na Figura 4.44. Para a análise da

alteração de propriedades do modelo, análise 7 (secção 4.4.1), foi imposta uma deformação

incremental até um máximo de 1% do valor da altura do modelo. Adicionalmente, na análise 8 impôs-

se um ângulo à fenda com a horizontal, num intervalo entre 0° e 20°, no sentido de perceber a

importância dos ângulos de abordagem aos osteónios no propagar da fenda (secção 4.4.2).

54

Figura 4.44 Osteónios O2 e linha cimentante L2.

Adicionalmente, foi adotada uma ampliação de deformação de 5x de forma a possibilitar uma melhor

visualização da fenda no modelo.

4.4.1. Análise da atração do osteónio por uma fenda horizontal

(todos os osteónios com as mesmas propriedades)

A análise do ensaio de tração do modelo 4 foca-se no estudo da progressão da fenda num ambiente

onde os osteónios não estão dispostos de forma regular relativamente à fenda. A Tabela 4.7 indica as

propriedades testadas nos vários casos considerados para a primeira análise do modelo 4.


Análise 7




24 21.1

25.1

30

25 11.510 30

26 21.1 8.632

Devido à distribuição dos osteónios, a fenda não encontra exatamente os mesmos obstáculos para

ambos os lados durante a propagação, o que contribui para as diferenças observadas nas figuras

seguintes. A fenda inicia a sua propagação sempre da mesma forma para todos os casos, o seu

instante inicial é mostrado na Figura 4.45. Esta propaga-se horizontalmente tanto para a esquerda

como para a direita do modelo e é dependente do material que está a atravessar para ter uma

propagação a um ritmo constante. Ambos os lados da fenda chegam aos osteónios mais próximos

sensivelmente ao mesmo tempo, porque a diferença entre as suas distâncias é aproximadamente a

mesma e porque ambos têm as mesmas propriedades. Não é observável uma propagação inicial

explícita da fenda em direção a um dos lados em detrimento do outro, tal como existia no modelo

anterior, existe sim um ligeiro curvar da fenda na zona do osteónio, mas é praticamente simétrico

para ambos os lados. A partir do primeiro osteónio é que se fazem notar as alterações impostas pelas

mudanças das propriedades. Nos vários casos é visível o curvar da fenda após o primeiro osteónio. A

55

fenda desenvolve-se de um canal de Havers para o próximo à medida que se propaga, tal como é

possível ver nas Figura 4.46, Figura 4.47 e Figura 4.48. No entanto, dependendo do caso, a fenda

pode não passar do primeiro osteónio, como é o caso 24 onde a fenda fica retida na superfície interior

da linha cimentante (Figura 4.46).

Figura 4.45 Instante inicial para os casos. Figura 4.46 Caso 24, instante final.

Figura 4.47 Caso 25, instante final. Figura 4.48 Caso 26, instante final.

Ao comparar-se os três casos, percebe-se que estes são bastantes distintos e verifica-se que,

enquanto no caso 24 a fenda para na linha cimentante, tal como se pode ver no pormenor da Figura

4.49, no caso 25 a fenda propaga-se verticalmente até ao canal de Havers, fraturando-o (Figura

4.50). No caso 26, o facto de ter linhas cimentantes menos rígidas contribui para que a fenda não

fique retida e se propague livremente entre os osteónios até à fratura do modelo.

56

Figura 4.49 Pormenor da Caso 24 no instante final. Figura 4.50 Pormenor da Caso 25 no instante final.

No caso 24, similarmente ao que acontece nos casos 22 e 23 do modelo 3, a fenda fica retida na

linha cimentante, este facto reflete-se no gráfico da Figura 4.51, onde a resposta gráfica deste caso é

similar ao registado para os casos 22 e 23. Já no caso 25, a propagação da fenda dá-se na vertical,

algo que só é possível pelo facto de o osteónio, neste caso, ter uma rigidez inferior aos casos

restantes desta análise. O comportamento gráfico representado na Figura 4.51, para o caso 25,

reflete o momento em que a fenda chega ao canal de Havers, com o declive negativo entre os 𝜎𝑦 =

70 𝑀𝑃𝑎 e os 𝜎𝑦 = 55 𝑀𝑃𝑎. No caso 26, pela rigidez da linha cimentante ser inferior, esta deixa de ser

um obstáculo tão grande para a propagação da fenda. A propagação é irregular, pois a partir do

primeiro osteónio, a fenda tanto avança pela direita como pela esquerda, dependendo do lado onde

existe um osteónio maior e mais perto. Depreende-se que esta ação acontece devido à propensão

que a fenda tem para propagar em direção aos osteónios à medida que se aproxima deles, tal como

acontece quando a fenda curva à passagem das suas imediações.

57


4.4.2. Análise à fenda inclinada (todos os osteónios com as

propriedades superiores)

Levanta-se agora a questão de quanto teria de ser a inclinação da fenda para que esta percorra o seu

caminho diretamente a um, ou dois, canais de Havers. No gráfico apresentado acima, na Figura 4.51,

relativo ao caso 24, já está à vista a configuração da fenda a 0°. Para se ter noção de como varia o

comportamento da fenda com o aumento do ângulo, realizaram-se três casos entre os quais a única

diferença é o ângulo de inclinação, 10°, 15° e 20°, tal como apresentado na Tabela 4.8.


Análise 8

Caso Osteónios

[𝑮𝑷𝒂] Matriz intersticial

[𝑮𝑷𝒂] Linhas

cimentantes [𝑮𝑷𝒂] Inclinação [°]

27

21.1 25.1 30

10

28 15

29 20

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

Caso 24 Caso 25 Caso 26

58

Nestes casos é possível perceber que o comportamento da fenda altera consoante o ângulo inicial,

assim como, a partir de um determinado ponto a fenda vai sempre curvar em direção ao canal de

Havers, tal como pode ser visto na propagação para o lado esquerdo nas Figura 4.52 a Figura 4.54. A

abordagem do lado esquerdo da fenda ao canal de Havers pode ser vista com mais pormenor para

todos os casos na Figura 4.55. Assim que a fenda alcança o canal de Havers, fica aí retida, até

mesmo no caso a 10°, no qual a abordagem é feita pela parte superior do canal. É possível verificar

que, à medida que o ângulo aumenta e a fenda aumenta de inclinação, a propagação dá-se até ao

canal de Havers cada vez mais abaixo (Figura 4.55). Paralelamente, é possível ver que a deformação

exercida no modelo se sobrepõe à propagação até ao interior do osteónio mais pequeno, presente

mais à direita na Figura 4.52 e Figura 4.53, correspondentes aos 10° e 15°. Isto porque, dada a

deformação já existente no modelo, é energeticamente mais eficiente continuar a propagação da

fenda do que curvar totalmente para dentro do canal de Havers, no caso contrário, o que iria suceder

era algo semelhante ao que acontece com a fenda no caso dos 20° de inclinação, representado na

Figura 4.54.

Figura 4.52 Caso 27 no instante final. Figura 4.53 Caso 28 no instante final.

Figura 4.54 Caso 29 no instante final.

59

Figura 4.55 Abordagem ao Canal de Havers do lado esquerdo para fenda a 10°, 15° e 20°.

Na Figura 4.56, nota-se, a partir da informação disponível graficamente, que a tensão aumenta com a

propagação da fenda, com a mesma inclinação em todos os exemplos. A tensão diminui nos casos

de 10° e 15°, por existir fratura parcial do modelo no lado direito bastante tempo após a fenda chegar

ao osteónio do lado esquerdo. Isto acontece porque, com o entrar da fenda no canal do lado

esquerdo, a propagação torna-se mais facilitada no lado direito por existir uma área cada vez mais

reduzida de propagação para este lado, quando comparada com a área que resta para o esquedo. A

isto conjuga-se o facto de o modelo, ao deformar, forçar a fenda a abrir, sendo cada vez mais

eficiente energeticamente a fenda propagar até ao ponto de fratura, ao mesmo tempo que a tensão

no interior do canal de Havers aumenta. A partir do momento em que existe fratura no lado direito do

modelo, a tensão volta a tender para aumentar por já não conseguir propagar para o lado esquerdo.

Isto também acontece aos 20°, mas em ambos os lados da fenda por esta ficar presa nos dois

primeiros canais de Havers que encontra. A tensão sobe, neste caso, com um declive mais elevado

por ter existido pouca propagação de fenda e ainda faltar bastante deformação para aplicar ao

modelo.

60

Figura 4.56 Apresentação gráfica dos casos 24 e 27 a 29.

0

20

40

60

80

100

120

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

𝜎y

[𝑀𝑃𝑎]

𝜀 [%]

0° 10° 15° 20°

61

5. Resultados experimentais Os ensaios experimentais efetuados têm como objetivo observar o comportamento de fendas

desenvolvidas numa superfície fraturada de um osso real. Este estudo experimental não tem como

base uma comparação direta com o que foi implementado no software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® no capítulo anterior,

mas sim proporcionar uma análise visual e qualitativa do que acontece quando uma fenda se propaga

neste meio.

5.1. Preparação de provetes

Os provetes, fabricados a partir de fémures de bovino e de suíno, adquiridos no talho, foram

desenvolvidos com o objetivo principal de serem fraturados e desenvolverem fendas nas suas

superfícies de fratura, de forma a poderem ser efetuadas análises visuais à propagação das fendas.

Como tal, os provetes foram sujeitos a um processo de preparação que se iniciou com sua limpeza.

Foram posteriormente congelados a uma temperatura de −5℃ de forma a conservá-los até ao corte.

As extremidades distais e proximais do osso foram removidas e a secção restante foi depois cortada,

utilizando uma serra manual, em blocos retangulares grosseiros com comprimentos,

aproximadamente, entre 40 e 80 𝑚𝑚, tal como exemplificado na Figura 5.1. Foram obtidos 9

exemplares finais, 6 exemplares de bovino e 3 de suíno, todos com secções transversais diferentes.

Não foi introduzida qualquer fenda. Os provetes foram então sujeitos uma fratura total de forma a

possibilitar a criação de várias fendas grosseiras por esforço, no sentido de ser possível avaliar o

efeito dos osteónios à sua passagem.

Figura 5.1 Exemplo de fémur, após remoção das suas extremidades.

62

Antes de os provetes serem fraturados, retiram-se do congelador e foram mantidos à temperatura

ambiente até descongelarem. Quando a temperatura da superfície dos provetes igualou

sensivelmente a temperatura ambiente deu-se início à sua fratura. O processo de fratura realizou-se

através de uma carga de flexão, num ensaio de flexão a três pontos, tendo como referência [36]. Foi

montada uma célula de carga de 10 𝐾𝑁, mantendo os provetes na sua posição até fraturarem. Desde

a Figura 5.2 até à Figura 5.5 estão representados dois provetes durante o processo de fratura, um de

bovino e outro de suíno.

Figura 5.2 Ensaio a um provete de osso bovino.

Figura 5.3 Momento da fratura do provete bovino.

Figura 5.4 Ensaio a um provete de osso suíno.

Figura 5.5 Momento da fratura do provete suíno.

63

A fratura ocorreu a uma velocidade de deformação constante para todos os provetes com um valor de

0.033 𝑚𝑚/𝑠. Apesar de o principal objetivo ser a fratura dos provetes, observa-se, pela Figura 5.6,

que até chegar à fratura, cada provete tem uma resposta distinta à deformação aplicada. Enquanto o

provete 4 suporta uma força acima de 3500 𝑁, o provete 2 suporta pouco mais de 1100 𝑁, no entanto,

este permite uma flexão superior. Isto deve-se, tal como já foi referido, às diferentes dimensões da

secção de perfil de cada provete, para além dos seus comprimentos não serem constantes. No fim

constata-se que os ossos fraturados possuem uma superfície de fratura irregular, tal como

apresentado nas Figura 5.7 e Figura 5.8.

Figura 5.6 Representação gráfica dos ensaios experimentais aos provetes de bovino.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 1 2 3 4 5 6

Ten

são

[N

]

Extensão [mm]

Provete bovino 1 Provete bovino 2 Provete bovino 3

Provete bovino 4 Provete bovino 5 Provete bovino 6

64

Figura 5.7 Fratura de um provete de osso de bovino.

Figura 5.8 Pormenor da superfície da fratura do provete da Figura 5.7.

Ao observar a superficie de fractura com mais pormenor, verifica-se que a fratura não se dá num

plano perpendicular. Esta apresenta várias rugosidades, especialmente na zona que ficou por baixo

durante o ensaio, pois nesta zona ocorre um arrancamento instantâneo de osso quando se dá a

fratura total.

Já no caso do osso suíno, a velocidade de deformação manteve-se inalterada em 0.033 𝑚𝑚/𝑠, mas

observa-se uma maior uniformidade na forma dos gráficos, correspondente a uma maior uniformidade

nas dimensões dos provetes suínos utilizados. Em termos de deslocamento, nada pode ser concluído

quando comparado com o que acontece com os ossos de bovino, pois ambos os tipos de osso

permitem flexões semelhantes. No entanto, quando se verifica os níves de força que cada provete

suporta até fracturar, percebe-se que os ossos de suíno suportam cargas inferiores quando

comparado com o osso bovino. Esta afirmação está sustentada no gráfico da Figura 5.9.

65

Figura 5.9 Representação gráfica dos ensaios experimentais aos provetes de suíno.

No fim, constata-se que os ossos suinos fraturados possuem também uma superfície de fratura

irregular, tal como acontecia para o osso bovino. Na Figura 5.10 é possível ver uma fratura de perfil

num provete de osso suíno.

Figura 5.10 Fratura de um provete de osso de suíno

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 1 2 3 4 5

Ten

são

[N

]

Extensão [mm]

Provete Suíno 1 Provete Suíno 2 Provete Suíno 3

66

Os provetes fraturados foram então limpos de qualquer resíduo de medula óssea. Posteriormente, os

provetes foram maquinados em exemplares mais pequenos, preservando somente as superfícies

fraturadas, de forma a caberem na camara de amostras do microscópio eletrónico de varrimento.

Este corte foi efetuado com uma serra elétrica, utilizando água abundante de forma a não permitir que

o calor alterasse as propriedades do osso. As amostras estão expostas na Figura 5.11 e Figura 5.12.

Figura 5.11 Todas as amostras de osso bovino.

Figura 5.12 Todas as amostras de osso suíno.

67

5.2. Preparação das amostras para análise em Microscópio

eletrónico de Varrimento

Após o ensaio de fratura, as amostras foram guardadas numa solução de 3% peróxido de hidrogénio

à temperatura ambiente por 48 horas. Depois deste período as amostras foram desidratadas numa

nova solução de 70% etanol durante 4 horas, seguindo-se submersões completas em séries de

água/etanol com aumento progressivo da percentagem de etanol em cada banho, tal como em [37].

Estes banhos tiveram como objetivo introduzir uma desidratação do osso cada vez maior. As

amostras foram posteriormente secas ao ar e cobertas com um revestimento superficial prateado.

Selecionaram-se 4 amostras para serem fixos ao prato de amostras utilizando uma cola epóxi, 2 de

osso bovino e 2 de osso suíno.

O microscópio eletrónico de varrimento (MEV) foi utilizado por possuir a capacidade de produzir

imagens de alta resolução de cada amostra e assim avaliar a estrutura superficial de cada superfície

fraturada. As superfícies de fratura foram fotografadas para adquirir informações sobre a trajetória da

propagação de micro fendas. Um exemplo de uma fotografia de alta resolução tirada com este

microscópio pode ser vista na Figura 5.13, onde é possível ver 5 osteónios distintos e fendas na

periferia de dois, em baixo na figura.

Figura 5.13 Fendas na periferia de osteónios de um osso bovino.

68

5.3. Resultados das observações em Microscópio

Eletrónico de Varrimento

Na Figura 5.14 está apresentada uma superfície de fratura através da fotografia em MEV. A

orientação desta fenda é perpendicular ao eixo longitudinal do osteónio e é possível ver o caminho da

micro fenda até chegar ao osteónio e ficar retida no canal de Havers.

Figura 5.14 Pormenor da fenda dentro do canal de Havers de uma amostra de um osso bovino.

Também é possível ver que a solicitação aplicada ao material causa o aparecimento de fendas,

perpendiculares ao eixo do osteónio, que começam e acabam dentro do canal de Havers. Exemplo

disso é a Figura 5.15.

Figura 5.15 Pormenor de pequena fenda dentro do canal de Havers de uma amostra de osso bovino.

69

Adicionalmente, noutro exemplo disponibilizado na Figura 5.16 e na Figura 5.17, é possível ver uma

micro fenda a passar na periferia de um osteónio. Este comportamento indica que, em regiões em

que os osteónios estão situados próximos uns dos outros, as micro fendas tendem a passar perto da

zona da linha cimentante. No entanto, neste caso não é claro se a fenda prossegue a sua

propagação para dentro do osteónio ou se a linha cimentante impede a fenda de propagar para

dentro deste, contornando-a apenas.

Figura 5.16 Fenda na periferia de um osteónio de osso bovino.

Figura 5.17 Pormenor do osteónio da Figura 5.16.

70

É também possível visualizar, na Figura 5.18, uma fenda a passar em baixo, fora da área de dois

osteónios, não propagando na direção de nenhum destes. Observa-se, de igual forma, uma pequena

fenda ao centro da figura, a contornar a zona da linha cimentante no osteónio central.

Figura 5.18 Fendas na periferia de dois osteónios de osso suíno.

Como é expectável, durante o processo de fratura dos provetes ósseos, o crescimento de fendas na

face fraturada pode também ocorrer paralelamente ao eixo do osteónio, dentro do seu canal de

Havers. Exemplo disto é a Figura 5.19, que apresenta uma fenda a percorrer esta zona no osso.

Figura 5.19 Fenda no interior de um canal de Havers de osso suíno.

Também se verificou o caso em que a fenda tem o seu início dentro de um osteónio e termina dentro

do canal de Havers, tal como acontece nas Figura 5.20 e Figura 5.21, apresentadas de seguida.

71

Figura 5.20 Fenda dentro de um osteónio de uma amostra de osso bovino.

Figura 5.21 Pequena fenda na parte superior de um osteónio de uma amostra de osso bovino.

5.4. Comparação de resultados experimentais e numéricos

Ao visualizar a superfície fraturada das amostras, através de fotografias retiradas do MEV, verifica-se

que existem semelhanças entre estes resultados experimentais e os resultados numéricos obtidos no

Capítulo 4. Estas parecenças morfológicas, entre os dois tipos de resultados, são uma indicação do

efeito da heterogeneidade da estrutura do osso cortical, a partir da qual foram criados os modelos

utilizados no Capítulo 4.

Através da análise da Figura 4.50 e da Figura 5.14, renumeradas como Figura 5.22 e Figura 5.23,

verifica-se que, em ambos os casos, a fenda propagou em direção ao interior do canal de Havers,

ficando aí retida. Nos dois casos, é possível ver o efeito que os osteónios têm na propagação de

fendas, confirmando o canal de Havers como um local possível para a propagação da fenda terminar.

72

Percebe-se também que a forma como a fenda chega ao canal, depende das propriedades

mecânicas dos vários componentes estruturais, não possuindo por este motivo uma trajetória

completamente retilínea durante a propagação final até ao canal de Havers.

Figura 5.22 Pormenor do Caso 25, modelo 3, no

instante final.

Figura 5.23 Pormenor da fenda dentro do canal de

Havers de uma amostra de um osso bovino.

Outro exemplo pode ser visto através da Figura 4.39 e da Figura 5.17, renumeradas como Figura

5.24 e Figura 5.25, nas quais a fenda passa pelo interior do osteónio e continua a sua propagação.

Este comportamento da fenda indica que existem regiões no osso onde a fenda não termina a sua

propagação dentro do canal de Havers, continuando a sua propagação para fora do osteónio,

cruzando a linha cimentante em direção ao tecido intersticial. O motivo para esta ocorrência pode

estar relacionado com as propriedades mecânicas do osteónio e com a deformação a que o local foi

sujeito, possibilitando que seja energeticamente mais eficiente a fenda continuar a sua propagação.

Figura 5.24 Pormenor do osteónio esquerdo do Caso

18.

Figura 5.25 Pormenor de um osteónio.

Através das Figura 4.19 e Figura 5.19, reajustadas e renumeradas como Figura 5.26 e Figura 5.27, é

possível ver que, no caso em que a fenda propaga em direção ao interior do osteónio, de forma

alinhada com este, pode ocorrer o desvio da fenda para esta passar a propagar paralelamente ao

eixo de um osteónio. Este fenómeno é claramente mostrado na Figura 5.27, onde pode ser

observado um canal de Havers, de um ponto de vista paralelo à superfície de fratura. Na Figura 5.26,

73

devido ao modelo ser apenas bidimensional, não é possível saber se seria esta a ocorrência para

este caso, no entanto, a semelhança visual das imagens leva a crer que a fenda poderia aqui

propagar igualmente de forma paralela ao eixo do osteónio.

Figura 5.26 Pormenor do caso 7.

Figura 5.27 Fenda no interior de um canal de Havers

de osso suíno.

74

6. Conclusão

6.1. Objetivos Atingidos

O osso tem adquirido atenção crescente por parte de engenheiros, graças à sua combinação ideal de

propriedades mecânicas. É um material biológico importante, pois para além de servir de suporte

para a estrutura corporal de vários seres vivos e permitir o movimento, com a ajuda dos músculos do

corpo, também tem a função de proteger os seus órgãos internos.

A sua constituição faz do osso um material resistente, relativamente leve, adaptável e multifuncional.

É, portanto, um material com interesse em replicar, de forma a aproveitar a sua performance

mecânica, no desenvolvimento de novos materiais compósitos inovadores.

Com isto em mente, esta dissertação tinha como objetivo a análise da propagação de micro fendas

no sentido de perceber o que faz do osso cortical tão resistente à propagação de fendas. Com base

no estudo efetuado recorrendo ao software 𝐴𝑏𝑎𝑞𝑢𝑠® discutido no capitulo 4, onde se criaram 4

modelos distintos, de forma a analisar o trajeto da propagação de fendas pré-concebidas, com

0.1 𝑚𝑚 de comprimento, é possível afirmar que o objetivo foi atingido.

Através do modelo 1 percebeu-se que alterando as propriedades mecânicas dos constituintes do

osso, nomeadamente diminuir a rigidez da linha cimentante e do osteónio, é possível atingir uma

resistência à fratura superior no modelo. Também foi possível perceber que a trajetória da fenda

depende em grande parte das propriedades mecânicas dos osteónios, e das propriedades do

material onde está a propagar, pois pelo que se pôde observar na secção 4.1, a fenda propaga

primeiro para o lado mais rígido do modelo quando passa entre osteónios sem cruzar diretamente

com nenhum. Juntando este resultado ao obtido na primeira análise ao modelo 2, onde se percebe

que a fenda percorre o seu trajeto em direção ao osteónio menos rígido, percebe-se que o

comportamento da fenda pode ser, em parte, previsto. Este conhecimento não é totalmente exato

devido às diferentes variantes que podem existir, no entanto, após os resultados do capítulo 4

percebe-se que a fenda tende a propagar entre osteónios mais rígidos e em direção a osteónios

menos rígidos.

Os resultados permitem também observar que a linha cimentante tem um papel essencial para

impedir a propagação de fendas, no entanto, é percetível que quando a fenda se propaga em rota de

colisão com o centro do osteónio, atravessando a linha cimentante de forma perpendicular, a

espessura desta não é relevante para impedir a propagação, como pode ser visto na segunda análise

do modelo 2. A partir do momento em que a fenda se propaga de forma descentrada com o canal de

Havers, percebe-se que, por já não entrar em contacto com a linha cimentante de forma

perpendicular, esta pode parar completamente a sua propagação, mesmo sem considerar a

espessura da linha cimentante com o seu valor mais elevado, tal como pode ser visto nos modelos 3

e 4. Isto acontece porque são reunidas as condições necessárias em termos de abordagem da fenda

ao osteónio para que a frente da fenda fique aprisionada entre as superfícies interiores da linha

75

cimentante e do osteónio, separando estes dois materiais e parando no instante em que é impossível

continuar a propagar-se horizontalmente. Quando a rigidez do osteónio deixa de ser impedimento ao

propagar da fenda, esta tende a propagar-se de forma vertical rompendo o osteónio em direção ao

canal de Havers, parando assim a sua propagação, este exemplo pode ser visto na análise 7 do

modelo 4.

Finalmente é também possível observar que assim que a fenda ultrapassa a linha cimentante e a sua

frente entra dentro do osteónio, existe um curvar visível da fenda em direção ao canal de Havers. Isto

é particularmente visível nos casos em que a fenda está descentrada relativamente ao canal de

Havers, como é o caso da segunda análise ao modelo 3, no qual a fenda, caso não curvasse para

dentro deste, seguiria o seu trajeto na horizontal. Conclui-se que a fenda não se propaga primeiro

apenas em direção aos osteónios menos rígidos, mas assim que entra dentro destes, tende a curvar

em direção ao canal de Havers do osteónio que está a atravessar. Este curvar da fenda durante a

propagação pode ser visto também no modelo 4, onde a fenda ao propagar tende a curvar na direção

dos osteónios por que passa, criando saliências à sua passagem.

Tudo isto é em parte confirmado no capítulo 5, onde recorrendo às imagens obtidas a partir do

microscópio eletrónico de varrimento, é possível ver a propagação de fendas até aos canais de

Havers, tal como acontecia nos resultados numéricos do capítulo 4. No capítulo 5 sucedem ainda

outras situações que não são assinaláveis em análises a duas dimensões, como o propagar da fenda

paralelamente ao eixo nas paredes do canal de Havers, atravessando-o em todo o seu comprimento,

não saindo dentro deste. Existem também fendas que nasceram dentro do domínio do osteónio e que

mesmo nestes casos seguiram a sua propagação em direção ao canal de Havers, não passando

desse ponto.

Concluindo a observação de todos os modelos e ao caso do capítulo 5, o essencial a retirar é

efetivamente as várias maneiras possíveis de interromper a propagação da fenda no osso cortical. O

número de osteónios presentes no caminho da fenda é um fator decisivo na habilidade que a fenda

tem em se propagar, uma vez que com o crescente número de osteónios, menor é o espaço que a

fenda percorre sem entrar em contacto com nenhum deles. É, portanto, essencial existir um equilíbrio

entre o número de osteónios e a área de matriz intersticial, de forma a que o osso não seja

excessivamente fraco, mantenha as suas propriedades mecânicas e ao mesmo tempo impeça a

progressão livre de fendas. Logo, a presença de osteónios no caminho da fenda constitui a principal

barreira à sua propagação, quer seja pela presença da linha cimentante, que pode parar a

propagação da fenda por si só, quer pela atração que a fenda tem ao canal de Havers impedindo

também aí a sua propagação.

6.2. Trabalho Futuro

Como trabalho futuro, após este estudo para geometrias simples em duas dimensões, terão de ser

testadas geometrias mais complexas baseadas em distribuições reais de osteónios, assim como

utilizar o XFEM para analisar modelos a três dimensões que requeiram malhas mais densas e um

poder computacional mais elevado.

76

Posteriormente poderá ser feita também uma análise idêntica a um material compósito desenvolvido

a partir das características mecânicas do osso, com o objetivo de analisar as principais diferenças

entre a resposta do osso e este novo material a tensões aplicadas, de forma a otimizar a constituição

do material de reforço presente na sua matriz.

77

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