engenharia economica

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BOA NOITE Aula 04 JUROS SIMPLES Pagina 31 a 39 1 FACULDADE ANHANGUERA DE RIBEIRÃO PRETO Eng. Mec e Eng. Cont. e Autom. – Engenharia Econômica - 03ª Serie Aula 04 – 16/03/2015 – Prof. Luiz Terra

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juros simples

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Page 1: engenharia economica

BOA NOITEAula 04

JUROS SIMPLESPagina 31 a 39

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JUROS SIMPLES: No método de juros simples, o juro é calculado

sobre o principal. Assim, se emprestássemos a alguém aimportância “P” a taxa anual de juros simples “i” (expressaem forma decima) pelo prazo de “n” = anos, o juros queiriamos receber pelo empréstimo seria:

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Page 3: engenharia economica

Juro total = P x i x n = P i n

Ao cabo de “n” anos, o montante “F” devido seria igual ao valor do empréstimo mais o juro total ganho, ou Montante em dinheiro devido ao final do empréstimo.

F = P + P i n

F = P(1 + in)

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Exemplo 3-3: Uma pessoa concordou em emprestar a um amigoR$ 5000 pelo prazo de cinco anos, a taxa de juros simples de 8%aa. Qual o valor do juros que ela vai receber ? Quanto o amigolhe pagara ao cabo de cinco anos ?

Solução:Juros total ganho

P i n = (R$5000)(0,08)(5anos) = 2000

Montante devido ao final do prazo:P + P i n = 5000 + 2000 = R$ 7.000

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No exemplo 3-3 o juro auferido ao final do primeiro ano éde (5000)(0,08) (1) = $400, mas esse dinheiro só é pago aocredor ao final do quinto ano Em resultado, o tomador doempréstimo usa os $400 por quatro anos sem pagarqualquer juro É assim que o juro simples funciona, e explicapor que os emprestadores do dinheiro raramente fazemempréstimos a juros simples. Na pratica, o juro é calculado,quase sempre, pelo método de juros compostos. Nessemétodo, qualquer juro devido, mas não pago, no final doano é adicionado ao saldo devedor, e o juro do próximo anoincide tanto sobre o debito como sobre o juros não pago.

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PAGAMENTO DE UMA DIVIDA:Para melhor compreendermos a mecânica do juro,

consideraremos uma divida de R$ 5000 que deve ser pagaem cinco anos, como a taxa de juros anual de 8%. Há muitasformas de pagar uma divida; por questão de simplicidade,selecionamos quatro formas especificas para o nossoexemplo.

Nos planos a seguir, acompanhem.

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080

1200 5000 6200

PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400

2000 5000 7000

PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252

1261 5000 6261

Ainda não mostramos tal calculo, verão no exemplo 4-3

SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 0 02 5400 432 5832 0 03 5832 467 6299 0 04 6299 504 6802 0 05 6802 544 7347 0 7347

2347 0 7347

PAGAR O PRINCIPAL E O JURO DE UMA SÓ VEZ AO FINAL DO QUINTO ANO

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Page 11: engenharia economica

EQUIVALÊNCIA:Quando é indiferente dispormos de uma quantia agora ou

termos a garantia de outra quantia (ou de uma sequencia dequantias) em uma data futura, dizemos que a quantia presente éequivalente ao valor futuro, ou a serie de valores futuros.

A equivalência é um fator essencial para a engenhariaeconômica. No capitulo 2 vimos como representar umaalternativa por uma tabela de fluxo de caixa. Como poderíamoscomparar duas alternativas com fluxo de caixa diferentes?

Consideramos, por exemplo, os fluxo de caixa dos Planos 1e 2.

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Page 12: engenharia economica

ANO PLANO 1 PLANO 2

01 -1400 -40002 -1320 -40003 -1240 -40004 -1160 -40005 -1080 -5400

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DIFERENÇAS ENTRE PLANOS DE PAGAMENTO:Já vimos que a utilização do dinheiro por determinado

período de tempo tem um valor, e que estamos dispostos apagar juros pela utilização do dinheiro, conformerepresentado pela área sob a “divida” & “tempo em anos”.

Decorre dai que, a uma determinada taxa, o total dosjuros pagos será proporcional a área sob a curva, Como emcada caso, paga-se um empréstimo de $ 5000, o juro emcada plano é igual ao total menos o principal de $ 5000.

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080

1200 5000 6200

PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5

a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080

1200 5000 6200

PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO

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1000

2000

3000

4000

5000

6000

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400

2000 5000 7000

PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5

a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400

2000 5000 7000

PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252

1261 5000 6261

SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

1 2 3 4 5

a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252

1261 5000 6261

SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

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a b c d e f

AnoImportância devida no

inicio do ano

Juros devido no ano

[8% x (b)]

Total devido ao final do ano

[(b) + ( c)]

Amortização do principal

Pagamento total ao final

do ano.

1 5000 400 5400 0 02 5400 432 5832 0 03 5832 467 6299 0 04 6299 504 6802 0 05 6802 544 7347 0 7347

2347 0 7347

PAGAR O PRINCIPAL E O JURO DE UMA SÓ VEZ AO FINAL DO QUINTO ANO

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

1 2 3 4 5

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Plano 1 Plano 2 Plano 3 Plano 4Divida no ano 1 5000 5000 5000 5000Divida no ano 2 4000 5000 4148 5400Divida no ano 3 3000 5000 3227 5832Divida no ano 4 2000 5000 2233 6299Divida no ano 5 1000 5000 1159 6802

15.000 25.000 15.767 29.333

PlanoJuros total

pagoArea sob a

curvaRazão

1 1200 15000 0,082 2000 25000 0,083 1261 15767 0,084 2347 29333 0,08

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Page 17: engenharia economica

A Equivalência Depende da Taxa de Juros:No exemplo dos Planos 1-4 todos os cálculos foram

feitos a taxa de juros de 8%. A esta taxa mostramos quetodos os quatro planos equivalem a um valor presente de$5000. Mas o que aconteceria se modificássemos oproblema, mudando a taxa de juros.

Ex. Recalcule os planos de 1-4 com a taxa de 9%

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Page 18: engenharia economica

Formulas de Juros Compostos para Pagamento Único: Para facilitar os cálculos de equivalência, vamos

estabelecer diversas “formulas de juro”. Para simplificar,utilizaremos a notação seguinte:

“i” = Taxa de juro por período. Nas equações, a taxa de jurodeve estar em notação decimal, ou seja 9% = 0,09

“n” = Numero de períodos.“P” = Uma quantidade em dinheiro hoje (Valor presente- VP).“F” = Uma quantia futura. A quantia futura “F” é o montante

(valor futuro) equivalente a “P” a taxa “i” daqui a “n”períodos.

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Page 19: engenharia economica

Suponhamos uma quantidade “P” investida por umano à taxa “i”. Ao final de um ano, devemos receber de voltanosso investimentos inicial “P” acrescidos do juro “iP”, ouseja, um total de “P” + “iP”, colocando “P” em evidencia, omontante ao final do ano é “P(1+i)”.

Suponhamos que, em lugar de retirar nossoinvestimento, o tenhamos deixado aplicado por mais umano. Qual seria o valor atingido ao final do segundo ano? Omontante do final do primeiro ano, P(1 + i), renderá o juro“iP(1 + i); ou seja, ao final do segundo ano, o investimentototal será.

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Page 20: engenharia economica

P(1 + i) + iP(1 + i)

Que pode ser escrito como: P(1 + i)(1 + i) ou P(1 + i)²

Continuamos o processo, teremos, ao final do terceiro ano,o montante P(1 + i)³, e, ao fim de “n” anos, P(1 + i)n Aprogressão se apresenta como se segue:

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Page 21: engenharia economica

Quantidade no inicio do

período

+ Juros ao final do período

= Montante ao fim do período

Primeiro ano P + iP = P(1 + i)Segundo ano P(1 + i) + iP(1 + i) = P(1 + i)²Terceiro ano P(1 + i)² + iP(1 + i)² = P(1 + i)³Quarto ano P(1 + i) n-1 + iP(1 + i) n-1 = P(1 + i)n

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Page 22: engenharia economica

Em outras palavras, uma importância “P”, agora setransforma em P(1 + i)n em “n” períodos. Temos, pois, umarelação entre uma importância “P”, atual, e sua equivalentefutura “F”.

Valor futuro = (valor presente)(1 + i)nF = P(1 + i)n

Esta é a formula do valor futuro para pagamento único, que serve em notação funcional como:

F = P( F/P, i, n )22

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