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BOA NOITEAula 04
JUROS SIMPLESPagina 31 a 39
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FACULDADE ANHANGUERA DE RIBEIRÃO PRETOEng. Mec e Eng. Cont. e Autom. – Engenharia Econômica - 03ª Serie
Aula 04 – 16/03/2015 – Prof. Luiz Terra
JUROS SIMPLES: No método de juros simples, o juro é calculado
sobre o principal. Assim, se emprestássemos a alguém aimportância “P” a taxa anual de juros simples “i” (expressaem forma decima) pelo prazo de “n” = anos, o juros queiriamos receber pelo empréstimo seria:
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Juro total = P x i x n = P i n
Ao cabo de “n” anos, o montante “F” devido seria igual ao valor do empréstimo mais o juro total ganho, ou Montante em dinheiro devido ao final do empréstimo.
F = P + P i n
F = P(1 + in)
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Exemplo 3-3: Uma pessoa concordou em emprestar a um amigoR$ 5000 pelo prazo de cinco anos, a taxa de juros simples de 8%aa. Qual o valor do juros que ela vai receber ? Quanto o amigolhe pagara ao cabo de cinco anos ?
Solução:Juros total ganho
P i n = (R$5000)(0,08)(5anos) = 2000
Montante devido ao final do prazo:P + P i n = 5000 + 2000 = R$ 7.000
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No exemplo 3-3 o juro auferido ao final do primeiro ano éde (5000)(0,08) (1) = $400, mas esse dinheiro só é pago aocredor ao final do quinto ano Em resultado, o tomador doempréstimo usa os $400 por quatro anos sem pagarqualquer juro É assim que o juro simples funciona, e explicapor que os emprestadores do dinheiro raramente fazemempréstimos a juros simples. Na pratica, o juro é calculado,quase sempre, pelo método de juros compostos. Nessemétodo, qualquer juro devido, mas não pago, no final doano é adicionado ao saldo devedor, e o juro do próximo anoincide tanto sobre o debito como sobre o juros não pago.
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PAGAMENTO DE UMA DIVIDA:Para melhor compreendermos a mecânica do juro,
consideraremos uma divida de R$ 5000 que deve ser pagaem cinco anos, como a taxa de juros anual de 8%. Há muitasformas de pagar uma divida; por questão de simplicidade,selecionamos quatro formas especificas para o nossoexemplo.
Nos planos a seguir, acompanhem.
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080
1200 5000 6200
PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO
a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400
2000 5000 7000
PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252
1261 5000 6261
Ainda não mostramos tal calculo, verão no exemplo 4-3
SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 0 02 5400 432 5832 0 03 5832 467 6299 0 04 6299 504 6802 0 05 6802 544 7347 0 7347
2347 0 7347
PAGAR O PRINCIPAL E O JURO DE UMA SÓ VEZ AO FINAL DO QUINTO ANO
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EQUIVALÊNCIA:Quando é indiferente dispormos de uma quantia agora ou
termos a garantia de outra quantia (ou de uma sequencia dequantias) em uma data futura, dizemos que a quantia presente éequivalente ao valor futuro, ou a serie de valores futuros.
A equivalência é um fator essencial para a engenhariaeconômica. No capitulo 2 vimos como representar umaalternativa por uma tabela de fluxo de caixa. Como poderíamoscomparar duas alternativas com fluxo de caixa diferentes?
Consideramos, por exemplo, os fluxo de caixa dos Planos 1e 2.
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ANO PLANO 1 PLANO 2
01 -1400 -40002 -1320 -40003 -1240 -40004 -1160 -40005 -1080 -5400
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DIFERENÇAS ENTRE PLANOS DE PAGAMENTO:Já vimos que a utilização do dinheiro por determinado
período de tempo tem um valor, e que estamos dispostos apagar juros pela utilização do dinheiro, conformerepresentado pela área sob a “divida” & “tempo em anos”.
Decorre dai que, a uma determinada taxa, o total dosjuros pagos será proporcional a área sob a curva, Como emcada caso, paga-se um empréstimo de $ 5000, o juro emcada plano é igual ao total menos o principal de $ 5000.
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080
1200 5000 6200
PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
1 2 3 4 5
a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 1000 14002 4000 320 4320 1000 13203 3000 240 3240 1000 12404 2000 160 2160 1000 11605 1000 80 1080 1000 1080
1200 5000 6200
PAGAR, AO FINAL DE CADA ANO $ 1000 DE PRINCIPAL MAIS JURO DEVIDO
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5000
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400
2000 5000 7000
PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS
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3000
4000
5000
6000
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AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 0 4002 5000 400 5400 0 4003 5000 400 5400 0 4004 5000 400 5400 0 4005 5000 400 5400 5000 5400
2000 5000 7000
PAGAR O JURO ANUAL AO FINAL DE CADA ANO E O PRINCIPAL AO FINAL DE CINCO ANOS
0
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2000
3000
4000
5000
6000
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AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252
1261 5000 6261
SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO
0
1000
2000
3000
4000
5000
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a b c d e f
AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 852 12522 4148 332 4480 921 12533 3227 258 3485 994 12524 2233 179 2412 1074 12535 1159 93 1252 1159 1252
1261 5000 6261
SALDAR A DIVIDA EM CINCO PAGAMENTOS IGUAIS AO FINAL DE CADA ANO
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AnoImportância devida no
inicio do ano
Juros devido no ano
[8% x (b)]
Total devido ao final do ano
[(b) + ( c)]
Amortização do principal
Pagamento total ao final
do ano.
1 5000 400 5400 0 02 5400 432 5832 0 03 5832 467 6299 0 04 6299 504 6802 0 05 6802 544 7347 0 7347
2347 0 7347
PAGAR O PRINCIPAL E O JURO DE UMA SÓ VEZ AO FINAL DO QUINTO ANO
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
7000
8000
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Plano 1 Plano 2 Plano 3 Plano 4Divida no ano 1 5000 5000 5000 5000Divida no ano 2 4000 5000 4148 5400Divida no ano 3 3000 5000 3227 5832Divida no ano 4 2000 5000 2233 6299Divida no ano 5 1000 5000 1159 6802
15.000 25.000 15.767 29.333
PlanoJuros total
pagoArea sob a
curvaRazão
1 1200 15000 0,082 2000 25000 0,083 1261 15767 0,084 2347 29333 0,08
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A Equivalência Depende da Taxa de Juros:No exemplo dos Planos 1-4 todos os cálculos foram
feitos a taxa de juros de 8%. A esta taxa mostramos quetodos os quatro planos equivalem a um valor presente de$5000. Mas o que aconteceria se modificássemos oproblema, mudando a taxa de juros.
Ex. Recalcule os planos de 1-4 com a taxa de 9%
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Formulas de Juros Compostos para Pagamento Único: Para facilitar os cálculos de equivalência, vamos
estabelecer diversas “formulas de juro”. Para simplificar,utilizaremos a notação seguinte:
“i” = Taxa de juro por período. Nas equações, a taxa de jurodeve estar em notação decimal, ou seja 9% = 0,09
“n” = Numero de períodos.“P” = Uma quantidade em dinheiro hoje (Valor presente- VP).“F” = Uma quantia futura. A quantia futura “F” é o montante
(valor futuro) equivalente a “P” a taxa “i” daqui a “n”períodos.
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Suponhamos uma quantidade “P” investida por umano à taxa “i”. Ao final de um ano, devemos receber de voltanosso investimentos inicial “P” acrescidos do juro “iP”, ouseja, um total de “P” + “iP”, colocando “P” em evidencia, omontante ao final do ano é “P(1+i)”.
Suponhamos que, em lugar de retirar nossoinvestimento, o tenhamos deixado aplicado por mais umano. Qual seria o valor atingido ao final do segundo ano? Omontante do final do primeiro ano, P(1 + i), renderá o juro“iP(1 + i); ou seja, ao final do segundo ano, o investimentototal será.
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P(1 + i) + iP(1 + i)
Que pode ser escrito como: P(1 + i)(1 + i) ou P(1 + i)²
Continuamos o processo, teremos, ao final do terceiro ano,o montante P(1 + i)³, e, ao fim de “n” anos, P(1 + i)n Aprogressão se apresenta como se segue:
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Quantidade no inicio do
período
+ Juros ao final do período
= Montante ao fim do período
Primeiro ano P + iP = P(1 + i)Segundo ano P(1 + i) + iP(1 + i) = P(1 + i)²Terceiro ano P(1 + i)² + iP(1 + i)² = P(1 + i)³Quarto ano P(1 + i) n-1 + iP(1 + i) n-1 = P(1 + i)n
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Em outras palavras, uma importância “P”, agora setransforma em P(1 + i)n em “n” períodos. Temos, pois, umarelação entre uma importância “P”, atual, e sua equivalentefutura “F”.
Valor futuro = (valor presente)(1 + i)nF = P(1 + i)n
Esta é a formula do valor futuro para pagamento único, que serve em notação funcional como:
F = P( F/P, i, n )22
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