MATEMTICA FINANCEIRA 2010/2 Professora Ms. Beatriz V. Vaccari SUMRIO 1 PORCENTAGEM4 1.1 FUNES DE PORCENTAGEM NA HP 12C4 2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS7 3 ACRSCIMOS SUCESSIVOS8 4 DIFERENA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES9 5 OPERAES SOBRE MERCADORIAS11 5.1 LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO11 5.2 LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA11 6 JUROS SIMPLES13 6.1 ELEMENTOS BSICOS13 7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)15 8 PRAZO MDIO19 9 DESCONTO SIMPLES21 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL21 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL25 10 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS28 11 JUROS COMPOSTOS31 11.1 CONCEITO31 11.2 FRMULA PARA O CLCULO DO PRESENTE VALOR32 11.3 FRMULA PARA O CLCULO DA TAXA32 11.4 CLCULO DO NMERO DE PERODOS FINANCEIROS33 11.5 CLCULO DO MONTANTE QUANDO O NMERO DE PERODOS FINANCEIROS NO FOR UM NMERO INTEIRO33 12 TAXAS PROPORCIONAIS37 13 TAXAS EQUIVALENTES38 14 TAXA NOMINAL40 15 TAXA EFETIVA (i)41 16 TAXA DE JURO REAL (ir)43 17 TAXA ACUMULADA45 18 CAPITALIZAO CONTNUA46 19 DESCONTO COMPOSTO48 20 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS50 3 21 RENDAS52 21.1 CONCEITO52 21.2 CLASSIFICAO DAS RENDAS52 21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA53 21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITRIA IMEDIATA ( ) na 53 21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)53 21.6 MONTANTE DE UMA RENDA57 22 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS61 22.1 SISTEMA FRANCS (DE PRESTAES IGUAIS OU PRICE)61 22.2 SISTEMA DE AMORTIZAES CONSTANTES (SAC)63 22.3 SISTEMA DE AMORTIZAO MISTO65 22.4 CORREO MONETRIA SOBRE FINANCIAMENTOS66 23 ANLISE DE INVESTIMENTOS69 23.1 VALOR PRESENTE LQUIDO (VPL)69 23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)70 GABARITO74 ANEXO 179 4 1 PORCENTAGEM Aporcentagemmuitoutilizadanaprtica.Elausadanoclculodecomisses, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc. Elementos bsicos: Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operao. Porcentagem (p): a parte do principal que corresponde taxa. Taxa percentual (r): a razo representada pela frao de denominador 100. Clculodaporcentagem:Porserumsistemaproporcional,paraoclculoda porcentagem utiliza-se a seguinte regra de trs: Principal----------- 100% Porcentagem ------- taxa percentual 1.1 FUNES DE PORCENTAGEM NA HP 12C 1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r % Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem ser somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor ser subtrado do principal. 1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T 1.1.3 Para calcular a diferena de percentual entre dois valores a e b: a enter bA% 1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: Centre p %T Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qual foi a taxa percentual desse aumento? 1.800 ---------- 100% Na HP 12 C 360 ---------- x1.800 enter x 1800100 360= 360 x = 20%%T Exemplo2:UminvestidorcomprouumterrenoporR$50.000,00evendeu-o,umano depois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preo de custo? 50.000 ----------- 100% Na HP 12 C 62.500 ----------- x 50.000 000 . 50100 500 . 62 = x enter 5 x= 125%62.500 A% 125- 100 = 25% O lucro foi de 25%. Exemplo 3: Calcular 10% de 12. 12 -------- 100%Na HP 12 C x-------- 10%12 10010 12= x enter x = 1,210 % Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80. 80 -------- 100%Na HP 12 C 8--------x80 80100 8= x enter x = 10% 8 %T Exerccios propostos 1)O nmero de funcionrios de uma agncia bancria passou de 80 para 120. Em relao ao nmero inicial, o aumento no nmero de funcionrios foi de; a) 50%b) 55%c) 60%d) 65%e) 70% 2)Umaescolatem600alunosdosquais40%someninaseosdemaismeninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda no aprenderam a ler, indique quantos meninos j sabem ler. 3)No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda mdia de 1,7%. Para uma carga de 15.000 kg, qunato ser a perda esperada? 4)Uma pessoa comprou um automvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de R$ 680,00, correspondente a 3,4% do preo de compra. Qual foi esse preo de compra? 5)UmlivroquecustavaR$43,00foivendidonumaliquidaocomabatimentode15%. Qual o valor do abatimento? 6)UmtelevisorfoicompradonumaliquidaoporR$420,75,jdeduzidosos6,5%de abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento? 7)Num depsito, h dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36%do total, edorefrigeranteBh1.296garrafas.Qualonmerototaldegarrafasexistentesno depsito? 6 8) Umcomercianteadquiriu2.000cadernosaR$3,60cadaum.VendeuporR$ 2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foio lucro. 9) O preo de capa de uma revista mensal de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edies dessa revista, h um desconto de 12%. Qual o preo da assinatura? 10) Apsumaumentode3,5%,certoempregadopassouaganharR$2.173,50.Qualera seu salrio antes do aumento? 11)Produo e vendas, em setembro, Trs montadoras de automveis MontadoraUnidadesPorcentagem vendida ProduzidasDa produo A3.00080% B5.00060% C2.000x% Sabendoquenessemsastrsmontadorasvenderam7.000dos10.000carros produzidos, qual o valor de x? 12) OSr.ManoelcontratouumadvogadoparrareceberumadvidacujovaloreradeR$ 10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dvida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou? 13) CertoartigoquecustavaR$200,00teveseupreoreajustadoem18%.Qualoseu preo final? 14) Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto emqualquerpeadeinverno.Qualeraopreooriginaldeumcasacoque,na promoo, estava sendo vendido por R$ 96,00? 15) Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro? 16) UmprodutovendidoporR$1.850,00com15%delucro.Seopreo devenda fosse R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro? 17) SobreumafaturadeR$3.679,49seconcedeumabatimentodeR$93,91.Dequanto por cento este abatimento? 7 2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS No meio comercial muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto , calcular os abatimentos sobre os valores lquidos encontrados anteriormente. O clculo do valor lquido ou valor final dado pela seguinte frmula: ni i i C VF = 1 )........( 1 )( 1 (2 1() Sendo: VF = valor real a ser pago C =principal, ou seja, valor de 100% i = taxas unitrias sucessivas Exemplo1:SobreumafaturadeR$124.000,00sodadososseguintesdescontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor lquido a ser pago? VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05)Na HP 12C VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95124000 enter 20% - 10% - 5% VF = R$ 84.816,00 Exemplo2:PorumamercadoriafoipagoR$70,00.Sabendo-sequesobreopreo constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preo da tabela? 70 = C (1- 0,3) (1 0,2)70= C x 0,7 x 0,8 70 = C x 0,56 C= 70/ 0,56 C= R$ 125,00 Taxa nica no sistema de abatimentos sucessivos: ni i i i = 1 )......( 1 )( 1 ( 12 1) Exemplo:Sobreosvaloresconstantesnumatabeladepreossodadososdescontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa? i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 0,2) i= 1 0,5x 0,7x 0,8) i= 1- 0,28 i=0,72 x100 = 72% 8 3 ACRSCIMOS SUCESSIVOS O clculo do valor lquido ou valor final dado pela seguinte frmula: ) 1 )......( 1 )( 1 (2 1 ni i i C VF + + + = Exemplo 1: O preo de uma mercadoria era de R$ 8,00, no incio de um determinado ms. Duranteomssofreuaumentossucessivosde2,5%+5%.Qualopreofinaldessa mercadoria? VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05)Na HP 12C VF = 8 x 1,025 x 1,058 enter 2,5% + 5% + VF = R$ 8,61 Exemplo2:Umamercadoriasofreuaumentossucessivosde20%+15%.,pagandoo comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria? 144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)144,90 = C x 1,2 x 1,15 144,90 = C x 1,38 C = 144,90/ 1,38 C = R$ 105,00 Taxa nica no sistema de acrscimos sucessivos: 1 ) 1 )......( 1 )( 1 (2 1 + + + =ni i i i Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior?

i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) 1 i= 1,2 x 1,15 -1 i= 0,38 x 100= 38% 9 4 DIFERENA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES Paracalcularadiferenapercentualentredoisvalores(doprincipalparaovalor final), utiliza-se a seguinte frmula: 1 =CVFi Exemplo 1: O preo de uma mercadoria era de R$ 8,00, no incio de um determinado ms. Duranteomssofreuaumentossucessivosde2,5%+5%,passandoacustarR$8,61. Calcular o percentual total de aumento. 1861 , 8 = iNa HP 12C 1 07625 , 1 = i8 enter 8,61A% 100 07625 , 0 = i625 , 7 = i Exerccios propostos 1)UmamercadoriaquecustavaR$24,00foivendidacomabatimentossucessivosde 30%+20%+10%. Pergunta-se: a)Por quanto foi vendida? b)Qual o percentual total do abatimento? 2)Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se: a)Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos? b)Qual o percentual total do abatimento? 3)UmprodutocujopreoeradeR$36,00,sofreuaumentossucessivosde30%+25%. Pergunta-se: a)Qual o preo atual? b)Qual o percentual do aumento? 4)Opreodeumobjetofoiaumentado,sucessivamente10%,10%e20%,passandoa custar R$ 450,12. Qual era o preo inicial? 5)Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um descontode15%,pagandoocompradorR$24,48.Qualeraopreoinicialdesta mercadoria? 6)UmamercadoriacustavaR$75,00foivendidacomabatimentossucessivosde 10%+5%+2%. Pergunta-se: a)Por quanto foi vendida? b)Qual o percentual total do abatimento? 7)Nacompradeumamercadoriafoiobtidoabatimentossucessivosde10%+2%.Seo valor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se: a)Qual o valor da mercadoria antes do abatimento? b)Qual o percentual total do abatimento? 10 8)UmprodutocujopreoeraR$712,00,sofreuaumentossucessivosde6%+3%. Pergunta-se: a)A que preo est sendo vendida? b)Qual foi o percentual total de aumento? 9)Opreodagasolinafoiaumentado,sucessivamente11,5%+7,2%+4,5%passandoa custar R$ 1,30. Qual era o preo antes dos aumentos? 10) Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um descontode10%,pagandoocompradorR$239,32.Qualeraopreoinicialdesta mercadoria? 11) UmoperrioganhouumsalriolquidodeR$515,97.Sabendo-sequerecebeuum aumentode5%emrelaoaosalrioanteriorelhefoidescontado9%referentea impostos previdencirios, qual era o salrio deste operrio? 11 5 OPERAES SOBRE MERCADORIAS Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preo de custo, o preo de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preo de custo ou sobre o preo de venda. 5.1 LUCRO SOBRE O PREO DE CUSTO Paracalcularopreodevendacomlucrosobreopreodecusto,considera-seo preo de custo como o valor correspondente a 100%. O preo de venda ser equivalente a 100%+ r. Frmula: ) 1 ( i C V + = Exemplo1:UmamercadoriafoicompradaporR$120,00.Porquantodeverservendida se o lucro desejado de 40% sobre o preo de compra? V= 120 (1+0,4) Na HP 12C V= 120 x 1,4120enter 40% + V= R$ 168,00 5.2 LUCRO SOBRE O PREO DE VENDA Paracalcularopreodevendacomlucrosobreopreodevenda,considera-seo preo de venda como o valor correspondente a 100%. O preo de custo ser equivalente a 100% - r. Frmula: iCV=1 Exemplo1:Porquantodeverservendidaumamercadoria,compradaporR$20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preo de venda? 2 , 0 100 , 20= V8 , 00 , 20= V00 , 25 $ R V = Exerccios propostos: 1)Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto dever ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preo de compra? 12 2)UmamercadoriafoivendidaporR$50,75,comumlucrode45%sobreopreode compra.Quanto custou esta mercadoria? 3)UmacasafoivendidaporR$54.000,00,comumlucrodeR$6.000,00.Aquantopor cento corresponde este lucro? 4)UmamercadoriafoicompradaporR$240,00edeverservendidacomumlucrode 40% sobre o preo de venda. Qual o preo de venda? 5)Um terreno foi comprado por R$ 4.750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preo de venda. Por quanto foi vendido? 6)UmamercadoriafoivendidaporR$12,50comumlucrode40%sobreopreode venda. Quanto custou esta mercadoria? 7)UmamercadoriaestsendovendidaporR$75,90.Seopercentualdasdespesas incidentessobreopreodevenda29%eolucro15%sobreomesmovalor, quanto custou esta mercadoria? 8)Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preo de custo? 9)UmamercadoriafoicompradaporR$1.200,00evendidaporR$1.500,00.Qualo percentual de lucro sobre o preo de compra? 10) Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, se ele representa 25% sobre o preo de custo? 13 6 JUROS SIMPLES Juro : a) valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado nossa disposio; b) remunerao do capital empregado em atividades produtivas; c) remunerao paga pelas instituies financeiras sobre o capital nelas aplicados; d) remuneraodocapitalemprestado,podendoserentendido,deforma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro. Seaplicarmosumcapitaldurantedeterminadoperododetempo,aofimdoprazo obteremos um valor (montante) que ser igual ao capital aplicado acrescido da remunerao obtida durante o perodo de aplicao. A diferena entre o montante e a aplicao denominada remunerao, rendimento do capital ou juros. No regime de juros simples, os juros de cada perodo so calculados sempre sobre o mesmocapital,portantoosrendimentosemcadaperodosoosmesmoseosmontantes crescem linearmente. Observe o clculo a seguir: Clculo dos juros simplesPerodoCapitalJuros do perodoJuros Montante inicial (i= 10%a.p.)acumulados01.000,000,000,001.000,00 11000 x 0,10= 1001001.100,00 21000 x 0,10= 1002001.200,00 3 1000 x 0,10= 1003001.300,00 6.1 ELEMENTOS BSICOS Capital (C): a quantia empregada no incio da aplicao. Juro (j): o valor pago pelo emprstimo do dinheiro. Taxa de juro (i): a unidade de medida dos juros. Nas frmulas de clculo utiliza-se ataxanaformaunitria.(divide-seataxapercentualpor100paratransform-laem unitria). Tempo(t):otempodeduraodoemprstimo.Deversersemprerepresentado em relao ao perodo da taxa. Montante(M):ovalortotalaserpagoou recebidocoma finalidadedequitarou encerrar um emprstimo. Frmula Fundamental de Juros Simples : j = Cit Exemplo1:JooassumiuocompromissoderestituiraPedroaimportnciadeR$ 200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao ms, a ser restitudo em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receber de Joo. 14 j = 200.000,00 x 0,025 x 9 Na HP 12C j = R$ 45.000,00 200000 enter 2,5% 9 x Exemplo2:Calculeocapitalnecessrioparaqueumaaplicaofinanceiraproduza rendimentosiguaisaR$148.612,61,taxadejurossimplesde12%aoano,durante3 anos. 148.612,61 = C x 0,12 x 3C = 148.612,61/ 0,36 C = R$ 412.812,81 Exemplo 3:Um ttulo de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano,foipenalizadocomumjurodeR$1.650,00.Qualfoiataxamensaldejurossimples cobrada? 1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i i = 1650,00/33.000,00 i = 0,05 x 100 = 5% Obs: Os dias so contados de data a data, atravs do ano civil. Exemplo 4: Qual o tempo necessrio, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano? 4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t t = 4.000,00/ 2.400,00 t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias? 240,00 = C x 0,6 x 72/360C= 240,00/ 0,12 C = R$ 2.000,00 15 7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M) Montante de um capital igual a soma deste capital com os juros por ele produzido. Comoa frmula de juros : j = Cit Ento o montante simples pode ser calculado pela frmula: ou Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate? M = 20.000,00 ( 1 + 0,72/12 x 3) M = 20.000,00 ( 1 + 0,06 x 3) M= R$ 23.600,00 Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00? 12.672,00 = C ( 1 + 0,04 x 42/30) C = 12672,00/ 1,056 C = R$ 12.000,00 Para calcular taxa de juro efetivade uma aplicao, basta apenas dividir o valor do resgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente. Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.000,00. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicao? 35.072,00 32.000,00 100 , 000 . 3200 , 072 . 35 = iNa HP 12C 096 . 1 = i32000 enter 100 096 , 0 = i 35072 M = C + j M = C ( 1+ it)M = C + Cit1 =CMi16 . . % 6 , 9 p a i = A% A taxa mensal de juros simples ser: r = (9,6/48) x 30 r= 6% a.m. Exerccios propostos: 1)Calcular os juros produzidos por uma aplicao de R$ 2.000,00, taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias. 2)QuecapitalaplicadoemjurosimplesproduzumjurodeR$24.000,00taxade30% a.a. em 2 anos? 3)A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses? 4)Durantequantotempodeve-seempregarocapitaldeR$50.000,00paraseobterum juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.? 5)Calcule os rendimentos referentes a uma aplicao financeira R$ 1.470,00, durante 95 dias, taxa de juros simples de 21%a.a.. 6)Qual o valor do resgate de uma aplicao, sabendo-se que o investimento inicial foi de R$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao ms? 7)UmaplicadordesejatransformarocapitaldeR$23.000,00emR$29.997,88,em556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador dever conseguir para alcanar seu objetivo? 8)Um investidor fez uma aplicao em juro simples durante 2 meses . No fim deste tempo retiraomontantedeR$159.000,00ereaplicatudopormais3mesesamesmataxa. Sabendo-sequeovalordoresgatefinaldeR$173.310,00Qualaimportncia inicialmente aplicada? 9)Seu Jos aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qual o valor do resgate? 10) Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Aps este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado. 11) Um ttulo no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo ano.SeovalorpagonaliquidaofoideR$23.287,50,qualataxamensaldejuro simples? 12) Uma TV em cores vendida nas seguintes condies: Preo vista= R$ 1.800,00; Condies prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias. Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo. 17 13) UmaaplicaodeR$15.000,00efetuadapeloprazode3mesestaxadejuros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira? 14) Umamercadoriaoferecidanummagazinepor$130,00vista,ounasseguintes condies: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que est sendo cobrada. 15) Um certo capital, aplicado por trs trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a., rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante. 16) Uma pessoa contrai um emprstimo de R$ 75.000,00 taxa linear de 3,3% ao ms. Em determinadadatalquidaesteemprstimopelomontantedeR$92.325,00econtrai novadvidanovalordeR$40.000,00pagandoumataxadejurossimplesmaisbaixa. Este ltimo emprstimo resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00. Pede-se calcular: a)o prazo do primeiro emprstimo e o valor dos juros pagos; b)a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo emprstimo. 17) Um refrigerador vendido por R$ 980,00 vista ou com uma entrada de 25% e mais um pagamento de R$ 793,80 aps 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na operao? 18) Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses, taxa de 12% ao semestre de juros simples. 19) Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago? 20) Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 aps seis meses. 21) Uma mercadoria cujo o preo vista R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada no financiamento? 22) Aps quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados s taxas de juros simples de 6% e 4% ao ms, respectivamente, atingiro o mesmo montante 23) Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar de valor em 1 ano e 3 meses? 24) Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R$5.000,00foitambmaplicadoajurossimples,mesmataxadurante45dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferena entre os juros da 1 aplicao e da 2 aplicao so iguais a R$ 31,50. 25) OpreovistadeumtelevisorR$500,00.Entretanto,emdoispagamentos,com entrada,naocasio,de R$200,00,eoutroem 30dias,opreosobeparaR$530,00. Qual a taxa cobrada? 26) Uma aplicao financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples taxa de 22%a.a., porm o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante lquido de uma aplicao de R$ 4.000,00? 18 27) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000,00 sacas de caf e, na expectativa de alta de preo do produto, recusa a oferta de compra desse estoque razo de R$ 30,00 por saca.Trsmesesmaistardeforadopelascircunstncias,vendeoestoqueporR$ 24,00asaca.Sabendo-sequeataxadejurosdomercadode5%a.m.,calculeo prejuzorealdofazendeironadatadavendadamercadoria,utilizandooregimede capitalizao simples. 28) Umprodutoestsendovendidonasseguintescondies:R$70,00vistaouuma entradade40%eumchequedeR$48,00para42dias.Qualataxadejurossimples usada por este estabelecimento? 29) Uma televiso vendida vista por R$ 1.500,00 ou, ento, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 aps trs meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento. 30) Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a taxa de 4,5% a.m.. Na poca do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicao? 19 8 PRAZO MDIO Sejam os capitais 1C , 2C ,..........., mC , todos empregadosem juros simples, a uma mesma taxa i durante os tempo t1, t2 , ..........,tm , respectivamente. Chama-se prazo mdio aquelenoqualdeve-seempregarasomadoscapitais,amesmataxa,paraobterumjuro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente. mm mC C Ct C t C t Ct+ + ++ + +=................2 12 2 1 1 Se os capitais forem iguais o prazo mdio calculado pela seguinte frmula:

mt t ttm+ + +=.........2 1

Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro? Na HP 12 C 000 . 3 000 . 5 000 . 2156 000 . 3 60 000 . 5 36 000 . 2+ + + + = tf dias t 84 = 36 enter 2000 +60 enter 5000 +156 enter 3000 +gxw Exemplo 2:Se a taxa de juros 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1? 000 . 10000 . 3 000 . 5 000 . 2=+ + =CC 00 , 680 . 1 $30 / 06 . 0 84 000 . 10R jj= = Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no incio de cada ms, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constitudo no final de um ano. meses tt5 , 6121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12=+ + + + + + + + + + += 20 000 . 6500 12= =CC

M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05) M = R$ 7.950,00 Exerccios propostos: 1)UmttulodeR$105.000,00vencvelem31/03foipagodaseguintemaneira:R$ 25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em 30/04eR$21.000,00em10/05.Sabendo-sequeataxadejurosimplescobradapelo credor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidao? 2)Uma empresa devedora de um ttulo de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira : R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com atrasode25diaseR$105.000,00comatrasode42dias.Sabendo-sequeototalde jurospagonaliquidao foideR$11.080,00,determinarataxade juro simples,anual cobrada pelo credor? 3)Um ttulo de R$ 108.000,00 vencvel no dia 31 de maro foi pago da seguinte maneira: R$ 28.000,00 no vencimento R$ 20.000,00 em 15/04 R$ 15.000,00 em 20/04 R$ 24.000,00 em 30/04 R$ 21.000,00 em 10/05 Qual foi o atraso mdio no pagamento do ttulo se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano? 4)Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples? 5)Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados mesma taxa dejurossimples,pelosprazosde8,5e9meses,respectivamente.Obtenhaotempo necessrio para que a soma desses capitais produza juros mesma taxa, igual soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos. 6)OscapitaisdeR$20.000,00,R$30.000,00eR$50.000,00foramaplicadosmesma taxadejurossimples,pelosprazosde4,3e2meses,respectivamente.Obtenhao prazo mdio de aplicao desses capitais. 21 9 DESCONTO SIMPLES Descontooabatimentoconcedidosobreumttulodecrditoemvirtudedeseu resgateantecipado.Representaaretiradadojurocalculadopelobanconasoperaesde capitalizao simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento. Quandosefalaemdescontosimples,temosduasmodalidadesdedescontoa considerar: a) o comercial ou bancrio ou por fora; b) o racional ou por dentro. 9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL 9.1.1 Conceito O desconto simples comercial igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do ttulo, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste. 9.1.2. Frmula t Ni da= Onde: d: desconto simples comercial quantia a ser abatida do valor nominal. N: valor nominalvalor do ttulo a ser pago no dia do vencimento. ai : taxa unitria de desconto t: tempo de antecipao perodo compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e seu vencimento Exemplo 1: Um ttulo de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto. d = 280.000,00 x 0,06 x (39/30) d = R$ 21.480,00 Exemplo 2: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operao a 6 meses, cujo valor de resgate de R$ 1.000,00 e cujo valor atual de R$ 880,00? N= 1.000 n= 6 m A = 880i = ? a.m. Sendo A = N (1 i x n)880 = 1000 (1 i x 6) i 6 11000880 =

6i = 1 0,88i = 0,12 6 = 0,02 ou seja 2% ao ms 22 9.1.3 Valor Atual Comercial a diferena entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido. A = N d Ou A = N (1 iat) Onde: A = valor lquido, j abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente; d = desconto simples comercial ia= taxa de descontot= tempo de antecipao Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial A = 280.000 (1- 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00 9.1.4 Valor Lquido Sempre que houver cobrana de comisses ou taxas, o valor lquido igual ao valor atual diminudo da comisso. VL = N (d + com) Ou : VL = N (d+ com + desp + IOF) Onde: VL = valor lquido Com = comisso Desp = despesas N= valor nominal Exemplo 1: Um ttulo de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancrio, 27 dias antes do seu vencimento, numa instituio financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-sequecobradaumacomissode0,5%sobreovalornominal,qualovalor lquido recebido pelo portador? A = 240.000 x 0,07 x 27/30 = R$ 15.120,00 Com. = 240.000 x 0,005 = R$ 1.200,00 VL = 240.000 ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00 Exemplo 2:Uma empresa desconta 5 ttulosno valor total de R$18.000,00 vencveis em 36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o bancocobraumacomissoantecipadade0,5%sobreovalornominaldosttulos,mais despesasparacobrananovalordeR$4,00porttuloemaisoIOF(impostosobre operaesfinanceiras)quede0,123%a.m.,qualovalorlquidocreditadonacontada empresa? 23 d = 18.000 x 0,045 x 36/30 = 972,00 com = 18.000 x 0,005 = 90,00 desp. de cobrana = 4 x 5 = 20,00 IOF = 18.000 x 0,00123 x 36/ 30 = 26,57 VL = 18.000 (972 + 90 + 20 + 26,57) = R$ 16.891,43 Obs: Quandonohouvercobranadecomissesoutaxasovalor lquidoigualao valor atual. 9.1.5 Taxa efetiva de juro numa operao de desconto simples bancrio Numa operao de desconto, a taxa efetiva de juro calculada levando-se em conta ovalornominaldosttulos,oprazomdiodestesttuloseovalorlquidorecebidopelo portador. a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancrio gera no perodo considerado um montante igual ao valor nominal.Paracalcularataxaefetivadejurodoperodododescontodettuloscom vencimentoparatdias,bastaefetuaradivisoentreovalornominaleovalorlquido diminuindode1,ouseja,calcularadiferenapercentualentreovalorlquidoeovalor nominal.

Seu clculo pode ser realizado utilizando a frmula: Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual so utilizados tanto para juro comercial, quanto bancrio. Exemplo1:UmaempresadescontaumttulodeR$20.000,00,39diasantesdeseu vencimento,numbancoqueoperacomumataxadedescontode6%a.m..qualataxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operao? A= 20.000(1- 0,06 x 39/30) = 18.440

i = 20000/18440 -1 i= 1,085 1 i= 8,5% 9.1.6 Taxa total de desconto em relao a taxa efetiva de juro: Para calcular a taxa total de desconto (juro antecipado) conhecida a taxa efetiva de juro, utiliza-se a seguinte frmula: N i f = - 1VL

24 iiiat+=1 OBS:Paracalcularataxamensaldedescontobastadividirataxatotaldedescontopelo nmero de dias que antecede o vencimento do ttulo multiplicando a seguir por 30.

30 =tiiatat Exemplo:Umbancoqueoperacomumataxaefetivadejurode11,2%a.p.para emprstimoscomprazode42dias,aquetaxamensaldedescontodeveriaoperarem operaes de desconto com prazo de 42 dias, para obter o mesmo rendimento? 1007 , 0112 , 0 1112 , 0=+=atiou 10,07 % a.p. de 42 dias = = 304207 , 10ar7,194 % a.m. Exerccios propostos: 1)Um ttulo de $ 5.500,00 descontado taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento.Sabendo-sequeataxadejuroscorrentede30%a.a..Quala taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual? 2)Qualataxamensaldedescontoutilizadanumaoperaoa120dias,cujovalor de resgate de $ 1.000,00 e cujo valor atual de $ 880,00? 3)UmaempresadescontouumttulodeR$20.000,00,39diasantesdeseu vencimento, num banco que opera com uma taxade desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operao? 4)Umaempresacomercialpossuiemseugrupodecontasareceberumchequepr-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depsito est programada paradaquia cincomeses.Sabendoqueaempresapensaemdescontaressettuloemumbanco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo ttulo. 5)Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pr-datados para serem descontados taxa de desconto de 2,8% a.m. ChequeValorPrazo de antecipao AR$ 500,00 2 meses BR$ 1.500,00 1 ms CR$ 2.000,00 45 dias 25 Determinar o valor lquido recebido pela empresa. 6)UmaempresadescontaemumbancoumaduplicatadeR$14.000,00,doismeses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m.. a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 7)A o descontar uma promissria com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto deR$1.200,00.Qualovalordapromissriasabendo-sequeataxadedesconto utilizada foi de 4% a.m.? 8)O dono de uma pequena indstria metalrgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas. DuplicatasValorPrazo de antecipao AR$ 4.000,00 2 meses BR$ 14.000,00 50 dias CR$ 8.000,00 75 dias Seobancoutilizarumataxadedescontode2,5%a.m.,qualserovalorlquido recebido pela empresa? 9)Um ttulo de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto? 10) UmaempresadescontaemumbancoumaduplicatadeR$18.000,00,setentaedois dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m.. a) Qual o valor do desconto? b) Qual o valor descontado recebido pela empresa? c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco? 9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL 9.2.1 Conceito Descontosimplesracionaligualaovalordojurosimplescalculadosobreovalor atualracional de um ttulo, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste. it A dr r = 9.2.2 Valor Atual Racional Chama-se de valor atual racional de um ttulo de valor nominal (N), vencvel no final deumcertotempo(t),aocapital(rA )queaplicadoajurosimples,duranteotempo(t) produza um montante igual ao valor nominal do ttulo (N). itNAr+=1 26 Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um ttulo de R$ 120.000,00 vencvel no final de 60 dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples? 30601 , 0 1000 . 120 +=rA=rAR$ 100.000,00 9.2.3 Frmula para clculo do desconto racional em relao ao valor nominal: Se: r rA N d = Logo: itNitdr+=1 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o desconto racional. rd = 120.000 100.000rd = R$ 20.000,00 ou: 2 1 , 0 12 1 , 0 000 . 120 + =rd rd = R$ 20.000,00 Exerccios propostos: 1)UmttulodeR$320.000,00foinegociadoracionalmente75diasantesdoseu vencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido? 2)OvaloratualdeumttulodeR$158.750,00,descontadoracionalmente,90diasantes do seu vencimento R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transao. 3)Qual o desconto racional sofrido por um ttulo de valor R$ 24.000,00 vencvel no final de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto? 4)UmttulocomvalornominaldeR$3.836,00foiresgatadoquatromesesantesdoseu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo ttulo? 27 5)UmaletradecmbionovalornominaldeR$7.560,00,venceem6mesese15dias. Calcular o valor atual, deste ttulo, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro. 6)Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso,ajurossimples,aumataxade10%a.a.,vencvelem180dias,comdesconto racional.Nosegundocaso,comdescontocomercial,mantendoasdemaiscondies. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do ttulo? 7)CalcularodescontopordentrosobreumttulodeR$3.225,00vencvelnofinalde75 dias e negociado taxa utilizada na operao de 36% a.a.? 8)UmttulocomvalornominaldeR$110.000,00foiresgatadodoismesesantesdoseu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo ttulo? 28 10 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS svezestemosnecessidadedesubstituirumttulo(oumais)poroutro(ououtros) comvencimentodiferenteou,ainda,desaberseduasformasdepagamentoso equivalentes.Essesproblemasestoligados,demodogeral,equivalnciadecapitais diferidos (so aqueles cujos vencimentos tm datas diferentes) Doisoumaiscapitais,disponveisempocasdistintas,soequivalentesse possurem, numa certa poca, valores atuais iguais. A1 = A 2ouA = A 1 + A2 + ...........+An Para a soluo: estabelecer um data de comparao e comparar os valores atuais dos ttulos nessa data. No regime de j uros simples, a data deve ser a data zero (data de contrao da dvida), tambm conhecida comodata focal. Obs:Aequivalnciadecapitaispodesercalculada,nosistemadecapitalizaosimples, atravsdodescontocomercial(comtaxadedesconto)oudodescontoracional(comtaxa de juro). Exemplo 1: Um ttulo de R$ 26.950,00, vencvel no final de 45 dias, deve ser substitudo por outro,vencvelnofinalde39dias.Calcularovalordonovottuloseatransaofor realizada numa taxa de desconto de 15% a.m.. )303915 , 0 1 ( )304515 , 0 1 ( 00 , 950 . 262 = N805 , 0775 , 0 00 , 950 . 262= N65 , 945 . 25 $2R N = Exemplo 2: Um ttulo de R$ 26.950,00 vencvel no final de 45 dias, deve ser substitudo por outro,vencvelnofinalde39dias.Calcularovalordonovottuloseatransaofor realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m.. 225 , 1195 , 1 00 , 950 . 263 , 1 15 , 0 1 5 , 1 15 , 0 100 , 950 . 2622= += +NN 00 , 290 . 26 $2R N = Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois ttulos, sendo um de R$ 720,00, vencvel em 2 meses,eoutrodeR$960,00,vencvelem3meses.Entretanto,nopodendoresgat-los nos prazos estipulados, prope ao credor substitu-los por um nico ttulo, com vencimento para4meses.Calcularovalornominaldonovottulo,considerandoataxadedesconto simples de 2% a.m.. = ) 4 02 , 0 1 ( N ) 2 02 , 0 1 ( 00 , 720 +3 02 , 0 1 ( 00 , 960 ) N= R$ 1.732,17 29 Exerccios propostos: 1)Umcomerciantedevedoisttulos,umdeR$8.000,00para90diaseoutrodeR$ 10.000,00 para 72 dias. Pede para substitu-los por um nico ttulo com vencimento para 60 dias. Calcular o valor do novo ttulo se a taxa de desconto utilizada 7,5% a.m.. 2)UmttulodeR$240.000,00,vencvelem60diasfoisubstitudopordoisnovosttulos, de mesmo valor nominal, vencveis no final de 30e 70 dias, respectivamente. Calcular ovalordosnovosttulos,seatransaorealizadanumataxadedescontode 10%a.m.. 3)Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas: a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses. b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 ms e R$ 350,00 no fim de 2 meses. Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior? 1)UmcomerciantedevedordeumttulonovalordeR$17.050,00,vencvelem60dias, prope ao credor a substituio deste ttulo por dois novos ttulos, sendo um no valor de R$7.200,00para30diaseumoutropara45dias.Calcularovalordesteoutrottulo considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m.. 2)DoisttulosdevalornominalR$5.200,00cada,vencveisem50e75dias, respectivamente, sero substitudos por um nico ttulo de valor R$ 10.000,00. Calcular o prazo deste ttulo se a taxa de desconto simples utilizada na transao de 3%a.m.. 3)UmaempresadevedoradeumttulonovalordeR$22.540,00,vencvelnofinalde3 meses, prope ao credor a substituio deste por dois novos ttulos de valores nominais iguais, vencveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cadaum dos novos ttulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transao. 4)Um negociante tem as seguintes obrigaes de pagamento com um banco: - R$ 18.000,00 vencveis em 37 dias; - R$ 42.000,00 vencveis em 83 dias; - R$ 100.000,00 vencveis em 114 dias. Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema: - R$ 20.000,00 em 60 dias; - R$ 50.000,00 em 100 dias; - o restante em 150 dias. Sendo3,2%aomsataxadejurossimplesadotadapelobanconestasoperaes, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente. 8)Um ttulo de R$ 4.200,00 que vencer em cinco meses deve ser substitudo por outro comvencimentoparadaquiaoitomeses.Admitindoqueessettulospodemser descontados taxa de 1,5% ao ms, calcule o valor nominal do novo ttulo. 9)Um ttulo de R$ 1.000,00 que vencer em 3 meses, deve ser substitudo por outro com vencimentoparadaquia5meses.Admitindo-sequeessesttulospodemser descontados taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo ttulo. 10)Uma pessoa deseja trocar dois ttulos, um de valor nominal de R$ 30.000,00 e outro de R$ 36.000,00, vencveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um nico ttulo 30 vencvel em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual ser o valor do novo ttulo? 11) UmttulodeR$70.000,00,pagvelem50dias,vaisersubstitudoporoutrocom vencimentopara120dias.Sabendoqueocredorpoderesgatarottulotaxade desconto igual a36% a.a., determine o valor nominal do ttulo. 12) Queremossubstituirdoisttulos,umdeR$50.000,00para90diaseoutrodeR$ 120.000,00para60dias,portrsoutros,comomesmovalornominal,vencveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transao de 3% a.m. 13) Umapessoatemdoiscompromissosapagar:R$5.000,00daquia60diaseR$ 8.000,00daquia75dias.Desejotrocaressedbitospordoispagamentosiguais,um daquia3meseseoutroaserpagodaquia4meses.Determineovalordesses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada de 6%am. 14) Uma empresa apresenta o border de duplicatas a seguir, para sem descontadas em um banco taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor lquido recebido pela empresa? 31 11 JUROS COMPOSTOS 11.1 CONCEITO O regime de juros compostos o mais comum no dia-a-diado sistema financeiro e doclculoeconmico.Osjuroscompostossopopularmentechamadosdejurossobre juros. Nacapitalizaocompostaaofinaldecadaperodo,osjurossocalculadose somadosaocapital,formandoummontante,queirserocapitaldoperodoseguinte.A esseprocessodeagregaodosjurosaocapitalquesedonomedecapitalizao composta. Utilizando as seguintes notaes: PV = capital inicial FV = montante final i = taxa unitria (sempre referente ao perodo da capitalizao) n =nmero de perodos de capitalizao (ano, trimestre, ms, dia, etc.) Regime de Capitalizao Composta Capital aplicadoJuros de cada perodoValor acumuladoR$ 1.000,00 R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00R$ 1.100,00R$ 1.100,00 R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00R$ 1.210,00R$ 1.210,00 R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00R$ 1.331,00 O clculo do montante foi assim efetuado: 1FV = 1.000 ( 1 + 0,1 x 1) 2FV = 1.100 ( 1 + 0,1 x 1) 3FV = 1.210 ( 1 + 0,1 x 1) Substituindo os valores pelos smbolos, temos: -montante ao final do 1 perodo 1FV = 0PV( 1 + i ) -montante ao final do 2 perodo 2FV = 0PV( 1 + i ) -montante ao final do 3 perodo 3FV = 0PV( 1 + i ) -montante ao final do n-simoperodo nFV = 0PV ( )ni 1+ Portanto, a frmula fundamental para o Clculo do Futuro Valor:

n) i PV(1 FV + = Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalizao composta. Qual o valor a ser pago no final do perodo? 32 Na HP 12C 10101,03) ( 5.000,00 FV0,03) 1 ( 5.000,00 FV=+ =5000 CHSPV 6.719,58 R$ FV= 3 i 10n FV Na calculadora cientifica1,03 yx10 Multiplicar o resultado acima por 5000 Exemplo 2:Um emprstimo de R$ 200.000,00 dever ser pago no final de um ano a taxa de 5% a.m., num sistema de capitalizao mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?

1,79585636 200.000,00 FV) 0,05 1 ( 200.000,00 FV12 =+ = 359.171,26 R$ FV= 11.2 FRMULA PARA O CLCULO DO PRESENTE VALOR ou Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em dois anos, em capitalizao trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00? ( )80,12 1 838.426 PV+ = Na HP 12 C 83842CHSFV 338.626,20 R$ PV=12 i 8 n PV 11.3 FRMULA PARA O CLCULO DA TAXA 1PVFVi1|.|

\|=n

1PVFVi =n 0,403883 838.426xPV=( )ni 1FVPV+=-n) i 1 ( FV PV + =33 Exemplo:Aquetaxadejurodeve-seempregarocapitaldeR$30.000,00paraobterum montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalizao mensa ? 130.000,00506.736,04i241 |.|

\|= Na HP 12C 1 - 1,125 i = 30000 CHS PV 100 x0,125 i = 24n a.m 12,5% i =506736,04 FV i 11.4 CLCULO DO NMERO DE PERODOS FINANCEIROS i) log(1log(FV/PV)n+= Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalizao mensal, a aplicao de um capital de R$ 120.000,00 taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98? Na HP 12C ( ) 06 , 0 1 log120.000,00287.586,98logn+|.|

\|= FV 287.586,98i6PV CHS120000

meses 15 n =n 11.5 CLCULO DO MONTANTE QUANDO O NMERO DE PERODOS FINANCEIROS NO FOR UM NMERO INTEIRO qpm n + = Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionria. Existem dois sistemas de clculo. Um atravs da Conveno Linear e outro atravs da Conveno Exponencial. Conveno Linear: O clculo da conveno linear calculamos a parte inteira com capitalizao composta e , para a parte fracionria, calculamos o juro simples sobre esse montante.

( ) ( ) p/q i 1 i 1 PV FV + + =m Exemplo:UmadvidadeR$100.000,00estsendopagacom132diasdeatraso.Qual dever ser o valor cobrado se o clculo realizadono sistema de conveno linear e a taxa de 12% a.m.? 34 n= 132/30 = 4,4 meses m = 4p/q= 0,4 FV= 100.000,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4) Na HP 12C FV = R$ 164.904,83 Retirar o C da calculadora 100000 CHS PV 132 enter 30 : n 12 i FV Conveno Exponencial: Oclculodaconvenoexponencialsebaseianafrmulafundamental,ouseja inclusive no perodo fracionrio o juro calculado atravs do juro composto. ( )p/q mi 1 PV FV++ = Exemplo: Clculo do exemplo anterior, atravs da conveno exponencial. FV = 100.000,00 (1 + 0,12) 4,4Na HP 12C

FV= R$ 164.649,08Colocar o C da calculadora 100000 CHS PV 132 enter 30 : n 12 i FV Exerccios Propostos: 1)Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante. 2)Qual ser o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m., durante dois anos em capitalizao mensal? 3)Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao ms, pelo prazo de 24 meses, com capitalizao composta. qual o valor a ser pago no final do perodo? 4)UmttuloderendafixadeverserresgatadoporR$14.345,00daquiaumano. Sabendo que o rendimento desse ttulo de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual. 5)5-Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao ms. Qual foi o valor do juro composto produzido? 6)O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu omontante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicao. 7)Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidadede1,8%aoms,quantodeveraplicarhoje?Suponhacapitalizao mensal. 35 8)UmaempresatomouumemprstimodeR$98.000,00ecomprometeu-seliquid-lono final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalizao mensal. 9)AquetaxadejurosemestralumcapitaldeR$43.000,00podeserdobradoem36 meses? 10) UmcapitaldeR$2.000,00foiaplicadotaxade3%a.m.por60dias,eodeR$ 1.200,00, taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido? 11)Umcapital foidepositadoajuroscompostose,aps2anos, triplicoudevalor.Quala taxa mensal de juros compostos usada? 12) AquetaxadejurocompostodevemseremprestadosR$35.000,00para,emoito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00? 13) Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos. 14) UmacertapessoaconcedeuumemprstimodeR$10.000,00taxaefetivade4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidao, um ano, trs meses e seis dias aps a realizao do emprstimo: a) Calculado atravs da conveno linear. b) Calculado atravs da conveno exponencial. 15) Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., durante umano,oitomesese12dias,emcapitalizaomensal.Calcularovalordomontante atravs da conveno linear. 16) Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao ms, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicao? 17) CalcularomontantedeR$18.000,00durante2a4m8d,ajurosde5%a.t., capitalizados trimestralmente : a) Pela conveno linear. b) Pela conveno exponencial. 18) Uma pessoa aplicou R$ 500,00, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldo R$ 615,95. Determine o prazo da aplicao. 19) OcapitaldeR$50.000,00ficouempregadodurante6meses,sendoquenosdois primeirostaxade4,7%a.m.,nosdoisseguintestaxade4,9%a.m.enosdois ltimos taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constitudo no final de seis meses? 20) Que capital dever ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalizao mensal, `taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 300.277,00? 21) Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% ao ms, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94? 22) Calcule o montante resultante da aplicao de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela conveno linear. 23) Resolva o problema anterior pela conveno exponencial. 36 24) Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos ltimos 15 anos. Determine o montante obtido. 25) Certocapitalfoiaplicadoajuroscompostosdurantequatromeses.Astaxasdejuros foramde1,95%,2,24%,2,73%e2,08%,respectivamente.Ototalderendimentos calculado foi de R$ 2.723,14. a)Determine o capital aplicado. b)Determine a taxa acumulada no perodo. c)Determine o valor dos juros recebidos no terceiro ms. d)Se o capital permanecer aplicado ao quinto msqual deve ser a taxa recebida neste ms 26) Um capital de R$ 8.100,00foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m.duranteosprimeiroscincomeses,a1,8%a.m.nostrsseguintesmesesea 1,65% a.m. nos prximos trs meses. Calcule o total de juros apurado. 27) Certocapitalfoiaplicadoajuroscompostosde3%a.m.,durantecincomeses.O montantedeR$1.022,94,daresultante,foinovamenteaplicadoajuroscompostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule: a)a taxa de juros da aplicao. b)o total de juros recebido nas duas aplicaes. 37 12 TAXAS PROPORCIONAIS Duas,oumaistaxas,soproporcionaisseentreelaseostemposaqueelasse referem existir uma mesma razo. Exemplo:60% a.a.12 meses 15% a.t.3 meses 5% a.m.1 ms Taxas equivalentes so aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo o mesmo. Por exemplo: taxa anualtaxa trimestral

capitalizao anualcapitalizao trimestral Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais no so equivalentes. Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calculeo montante nas duas situaes: Durante 1 ano, taxa de 24% a.a. = + = + =1) 24 , 0 1 ( 000 . 1 ) 1 (nni C M.................... Durante 12 meses, taxa de 2% a.m. = + = + =12) 02 , 0 1 ( 000 . 1 ) 1 (nni C M............... Comoosdoismontantesobtidosnosoiguais,astaxasnoso equivalentes, mas so proporcionais.153151260= =38 13 TAXAS EQUIVALENTES Duas,oumaistaxas,soequivalentesquando,referindo-seaperodose capitalizaodiferentes,fazemcomquecapitaisiguaisconstituam,nofinaldeum,certo tempo, montantes iguais. A equivalncia calculada pela seguinte frmula: ( )( ) 1 1 + =QtQQc eqi i Onde: ( )( ) 1 1 + =QtQQc eqi i ci= taxa conhecida. eqi =taxa a ser calculada. QQ=tempo do perodo da taxa a ser calculada. Qt=tempo da taxa conhecida, em relao a k. Na realidade eqi nada mais do que o valor do juro calculado sobre o capital unitrio (1,00), no prazo estipulado. Para as fraes do ano, no regime de capitalizao a juros compostos, as relaes so: (1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4 = (1+is)2 = (1+ ia) Exemplo: Taxa ConhecidaTaxa equivalente para: a) 79,5856% ao ano 1 ms b) 28,59% ao trimestre1 semestre c) 2,5 % ao ms105 dias d) 0,5% ao dia1 ano e) 25% (ano comercial) 1 ano exato ( base 365 dias) Soluo algbricaSoluo HP- 12C a) ( )( ) 100 1 795856 , 0 1 i 36030eq((

+ =100 CHS PV ( )( ) | | 100 1 795856 , 1 i... 08333 , 0eq = 79,5856 i ( )| | 100 1 .... 049997 , 1 ieq = 30 enter 360 : n

( )| | 100 ...... 049997 , 0 ieq = FV 100 -

( )ms ao % 5 ieq =39 b)( )( ) 100 1 2859 , 0 1 i 90180eq((

+ = 100 CHS PV ( )( ) | | 100 1 2859 , 1 i2eq = 28,59 i ( )( ) | | 100 1 653539 , 1 ieq = 180 enter 90 : n

( )semestre ao % 35 , 5 6 ieq =FV 100 - c) ( )( ) 100 1 025 , 0 1 i 30105eq((

+ =100 CHS PV

( )( ) | | 100 1 025 , 1 i5 , 3eq = 2,5 i r

( )( ) | | 100 1 090269 , 1 ieq =105enter 30 : n ( )( ) | | 100 090269 , 0 ieq =FV 100 - ( )perodo ao % 0269 , 9 ieq = d) ( )( ) 100 1 005 , 0 1 i 1360eq((

+ = 100 CHS PV

( )( ) | | 100 1 005 , 1 i360eq =5 i ( )( ) | | 100 1 022575 , 6 ieq = 360n

( )( ) | | 100 022575 , 5 ieq =FV 100 -

( )502,26 ieq = % ao ano e) ( )( ) 100 1 25 , 0 1 i 360365eq((

+ = 100 CHS PV

( )( ) | | 100 1 25 , 1 i013889 , 1eq = 25i ( )| | 100 1 25388 , 1 ieq =365 enter 360 : n

( )| | 100 25388 , 0 ieq =FV 100 - ( )25,388 ieq = % ao ano civil 40 14 TAXA NOMINAL Ataxanominalumataxareferencialemqueosjurossocapitalizados (incorporadosaoprincipal)maisdeumaveznoperodoaqueataxaserefere.Ataxade juros nominal quando a sua unidade de tempo no coincide com a unidade de tempo dos perodos de capitalizao. Naprticacomumutilizar,porexemplo,jurosde48%aoano,capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o perodo de capitalizao no coincide com o perodo a que a taxa se refere diz-se que a taxa nominal. Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemos calcular a taxa efetiva da operao. Se, por exemplo, a taxa de capitalizao de 10% a.m., a taxa nominal ser de: 10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente. Exemplo 1: Sendo 12% a.m. capitalizada diariamente a taxa nominal de juro, qual a taxa de capitalizao? Soluo: a.d. % 4 , 030a.m. % 12= = r41 15 TAXA EFETIVA (i) Taxa efetiva, como j a taxa efetivamente paga. a taxa de capitalizao ou toda e qualquer taxa equivalente a esta. Exemplo:Umbancoofereceemprstimosataxade72%a.a.emcapitalizaomensal (Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco? Soluo: i = 0,72 / 12 = 0,06ou6% a.m. (taxa efetiva de capitalizao) ( )( ) 100 1 06 , 0 1 i 112eq((

+ = 100 CHS PV ( )( ) | | 100 1 06 , 1 i12eq =6 i ( )| | 100 1 012196 , 2 ieq = 12n ( )( ) | | 100 012196 , 1 ieq =FV 100 - ( )101,2196 ieq = % ao ano Exerccios propostos: 1)Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente s seguintes taxas: a) 1,8% a.m.b) 2,5% a.b.c) 4,5%a.t.d) 18% a.s 2)Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente s seguintes taxas: a) 75% a.a.b) 50% a.s.c) 21% a.t.d) 6,5% a.b. e) 0,12% a.d. 3)Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente s seguintes taxas: a) 0,14% a.d.b) 1,6% a.m.c) 2,7% a.b.d) 4,1% a.t. e) 96% a.a. 4)Sendo 5% a.m. a taxa efetiva de juro, determinar a taxa para: a) 3 meses.b) 3 dias. c) 42 dias.d) um ano.e) 15 dias. 5)Umbancoofereceataxade54%a.a.paraaplicaesemCDBs.Pergunta-se,quala taxa para: a) 32 dias?b) 47 dias? c) um dia?d) um ms?e) 192 dias? 6)Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.: a) capitalizada mensalmente.b) capitalizada diariamente. 7)Aplicando-seR$50.000,00noregimedejurocomposto,duranteumanoataxade 108% a.a., em capitalizao mensal, qual o valor do montante no final do ano? 8)Umbancoofereceemprstimosataxade42%a.a.capitalizadatrimestralmente.Seo bancotivessequeapresentarocontratoemformadetaxaefetiva,qualdeveriasera taxa efetiva: a) trimestral?b) mensal?c) anual? 42 9)Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.? 10) Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.? 11) Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais. a)24% a.a. com capitalizao diria. b)24% a.a. com capitalizao mensal. c)24% a.a. com capitalizao bimestral. d)24% a.a. com capitalizao semestral. 43 16 TAXA DE JURO REAL (ir) Taxa de juro real a taxa efetiva ganha em cima do ndice inflacionrio, ou seja , a apuraodoganhoouperdaemrelaoaumataxadeinflao.Nataxarealselevaem considerao a inflao do perodo. O juro real calculado sobre o capital corrigido. Sendo: api = taxa aparente ( taxa efetiva) ii = taxa da inflao ri = taxa de ganho real Na capitalizao composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte frmula: 100 1i 1i 1iiapr((

++= Exemplo 1: Qual o rendimento da poupana se a TR do ms foi 0,93% e a taxa de juro real de 0,5%a.m.? 100 10,005 1i 10,93ap((

++=((

++= 10,005 1i 11000,93ap 005 , 1i 11 0093 , 0ap+= +api 1 005 , 1 0093 , 1 + = api 1 01435 , 1 = 100 01435 , 0 iap =api = 1,435% a.m. Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de ms foi de 1,2%, qual a taxa de ganho real? 100 1012 , 0 103224 , 0 1ir((

++=100 1012 , 103224 , 1ir((

=| | 100 1 02 , 1 ir =100 02 , 0 ir =% 2 ir = a.m. 44 Exerccios propostos: 1)Um capital foi aplicado, por um ano, taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo perodo, a taxa de inflao foi de 12%. Qual a taxa real de juros? 2)A taxa anual de juros cobrada por uma loja de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de inflao resultar em 15% no mesmo perodo? 3)Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se: a) A inflao mensal for de 6%?b) A inflao mensal for de 4,8%? 4)Uma pessoa adquire uma letra de cmbio em uma poca A e a resgata na poca B. O juroaparenterecebido foide25%.Calculeataxadejuroreal,sabendoqueataxade inflao, nesse perodo foi de 15%. 5)Quetaxaaoperododeveseraplicadasobreumcapitaldepositadoemcadernetade poupana por um ms, sabendo que esse produto remunerado taxa de 0,5% a.m. + TR? (considere TR do ms 0,45%). 6)Umemprstimofoifeitoaumataxade32%aoano.Sabendoqueainflao nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. 7)Umafinanceiracobraumataxaaparentede22%aoano,comaintenodeter umretornorealcorrespondenteaumataxade9%aoano.Qualataxade inflao? 45 17 TAXA ACUMULADA Taxa acumulada aquela resultante ao final de n perodos. Se a taxa for constante em todos os perodos, ento a taxa acumulada ser iacumulada=(1+ido perodo)n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros acumulada quando ela no constante. iacumulada = [(1 + i1) x (1 + i2) x ... x (1 + in)- 1] x 100 Exemplos: 1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no perodo? i1=0,12e i2=0,10 iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2% 2. Em trs anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no perodo?i1=0,07i2=0,08 e i3=0,05 iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1 iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1 iacumulada = 1,2134 - 1iacumulada = 0,2134iacumulada = 21,34% Exerccios propostos: 1)A inflao nos ltimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao ms,respectivamente. Determine a taxa acumulada no perodo. 2)Emjaneiro,fevereiro,maroeabrildeumano,opreodeumprodutoteve, respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre? 3)Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro ms, 1,17 no segundo e 1,23% no terceiro ms do ano. 46 18 CAPITALIZAO CONTNUA Supondo uma taxa nominal de 12% a.a. vamos determinar as taxas efetivas com as seguintes hipteses de capitalizao: Capitalizao N. perodos no ano n Taxa efetiva do perodo ni12 , 0=Taxa efetiva anual ie = (1 + i)n 1 semestral2 trimestral4 mensal12 diria360 horria8.640 Podemosobservarquequantomaioronmerodecapitalizaesdentrodotempo, maiorataxaefetiva.Porm,pode-seobservartambm,queadiferenaentreastaxas com capitalizao diria e capitalizao horria muito pequena. Quando o nmero de capitalizaes tende ao infinito o clculo da taxa efetiva se d atravs da seguinte frmula: 1 =nie i onde: i = taxa efetiva e = 2,7182818 (base dos logaritmos naturais) in = taxa nominal Exemplo 1: Qual A taxa efetiva anual equivalente a 10%a.a. com capitalizao contnua? i = e0,1 1i = 2,71828180,1 1 i = 1,105171 1 = 0,105171r = 10,5171%a.a. A capitalizao contnua proporciona o maior montante possvel no final do tempo do investimento,paraumataxanominalanual.Seuclculorealizadoatravsdaseguinte frmula: m nie PV FV = onde: m=nmerodeperodosreferentesataxanominal.(Seataxanominalforexpressa anualmentemrepresentanmerodeanos,seforexpressamensalmente,mrepresenta nmero de meses e assim sucessivamente). Exemplo2:CalcularomontanteconstitudocomuminvestimentodeR$5.000,00pordois anos a uma taxa de 10% a.s. capitalizada continuamente. Soluo: m = 4 (nmero de semestres) FV = 5.000,00 e0,1 4 47 FV = 5.000,00 2,71828180,4 FV = 5.000,00 1,491825 = R$ 7.459,12 Exemplo 3: Se um investimento de R$ 20.000,00 for realizado a uma taxa nominal de 5% a.m. capitalizada continuamente, qual o montante acumulado no final de 5 anos? Soluo:m = 60 (nmero de meses) FV = 20.000,00 e0,05 60 FV = 20.000,00 2,71828183 FV = 20.000,00 20,085536 = R$ 401.710,73 Exerccios propostos: 1)Calcularataxaefetivaanualequivalenteasseguintestaxasnominaiscapitalizadas continuamente: a) 15% a.a.b) 36% a.a.c) 24% a.s.d) 2% a.m. 2)Um capital de R$ 5.000,00 aplicado durante oito meses a juros compostos taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente. Qual o montante? 3)QualomontantedeumaaplicaodeR$6.000,00durantetrsanos,taxade15% a.a., capitalizados continuamente? 4)QualomontantedeumaaplicaodeR$3.000,00duranteoitomeses,taxade2% a.m., capitalizados continuamente? 5)Qualataxaanualdejuroscompostosequivalentetaxade15%a.a,capitalizados continuamente? 6)O valor de R$ 15.000,00 ficou aplicado durante 4 anos. Calcular o valor acumulado no finaldos4anosseforconsideradaumataxanominalde28%a.a.capitalizada continuamente. 7)Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 48% a.a.: a) capitalizada mensalmente.b) capitalizada diariamente. c) capitalizada continuamente. 48 19 DESCONTO COMPOSTO Oconceitodedescontoomesmoquenoregimeajurossimples:abatimentoao antecipar o pagamento de um vencimento. Emprega-se o desconto composto para operaes a longo prazo, j que a utilizao do desconto simples em perodos longos pode resultar em valores sem nexo. Assimcomonocasodedescontossimples,emdescontoscompostostemosdois tipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente no utilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional. A = N (1+i)-n ouniNA) 1 ( += A=valoratualracionalouvalordescontadoracionalvalorlquidopagoou recebido antes do vencimento N = valor nominal do ttulo valor indicado no ttulo (importncia a ser paga no dia do vencimento) i = taxa de desconto n = tempo perodo compreendido entre o dia em que se negocia o ttulo e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o ltimo) Exemplo 1: Determine o valor atual de um ttulo de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, taxa de desconto composto de 2% ao ms. N = 80.000n = 4 mesesi = 2% a.m. =0,02 a.m. A = N (1+i)-n Na HP 12C A = 80.000 (1+0,02)-4 80000 FV A= 73.907,634n2iPV CHSO valor atual do ttulo de R$ 73.907,63 Exemplo 2: Qual o desconto composto que um ttulo de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, taxa de 2,5% ao ms? d =?N = 50.000n = 3 mesesi = 2,5% a.m. = 0,025 a.m. Como d = N A,A = N (1+i)-n Na HP 12C A = 50.000 (1+0,025)-3 50000 FV A = 46.429,97 3n2,5id = 50.000 - 46.429,97 PV d = 3.570,0350000+ O valor do desconto de R$ 3.570,03 49 Exerccios propostos: 1)CalculeovaloratualdeumttulodevalornominaldeR$112.000,00,comvencimento para 2 anos e 6 meses, taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente. 2)Qual o valor atual de um ttulo de R$ 10.000 vencvel no final de 6 meses, sendo 84% a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro? 3)UmttulodevalornominaldeR$150.000,00foiresgatado3mesesantesdeseu vencimento, tendo sido contratado taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? 4)Em uma operao de desconto composto, o portador do ttulo recebeu R$ 39.954 como valor de resgate. Sabendo que a antecipao foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046, qual foi a taxa de juro mensal adotada? 5)UmttulonovalornominaldeR$75.000comvencimentopara5mesestrocadopor outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado de 3% ao ms, qual o valor nominal do novo ttulo? 6)Umcomerciante,devedordeumttulodeR$400.000,00para3anos,desejaresgatar essa dvida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. 7)Umaempresadevedoradedoisttulos,umdevalorR$30.000,00vencvelnofinalde 129diaseoutrodevalordeR$42.000,00vencvelnofinalde171dias,pretende liquid-losimediatamente.Seocredorconcordacomatransaoaumataxade48% a.a. capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois ttulos? 8)Uma financeira oferece a um cliente dois ttulos, vencendo o primeiro em 12 meses, no valor de R$ 8.000,00, e o segundo em 18 meses no valor de R$ 10.000,00. Por quanto devem ser adquiridos hoje, considerando uma taxa efetiva de juros de 2,55% a.m.? 9)UmaPessoatemumanotapromissriaareceberdevalornominalR$12.000,00,que vencer em dois anos. Alm disso, possui R$ 18.000,00 hoje. Que ir aplicar taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando a taxa de juros vigente no mercado, de 2% a.m., pergunta-se: a) Quanto a pessoa possui em dinheiro na data de hoje? b) Quanto possura daqui a um ano?c) Quanto possuir daqui a dois anos? 50 20 EQUIVALNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS O conceito de equivalncia de capitais permite transformar formas de pagamento em outras formas equivalentes, para poder compar-las e decidir sobre a melhor alternativa. Dois capitais so equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores so iguais. Os conceitos aplicados na equivalncia de capitais so os mesmos de juros simples. Exemplo1:Aumataxadejuroscompostosde2%a.m.,R$1.500,00daquia3meses, equivalem a quanto, hoje? Fv = 1.500C = ?n = 3 mesesi = 2% a.m. = 0,02 a.m. Fv = C (1+i)n

1500= C (1+0,2)3 C= 3) 2 , 0 1 (1500+C = 1.413,48. Assim,umadvidadeR$1.500,00daquia3mesesomesmoqueuma dvidadeR$1.413,00hoje, j que,dispondodestevalor,pode-seaplic-loeobter, daqui a 3 meses os R$1.500,00. Exemplo2:UmapessoatemhojeR$700,00emaisumanotapromissriadeR$ 500,00parareceberem5meses.Seodinheiropodeserremuneradoumataxa efetiva de 3,7% a.m, pede-se que valor essa pessoa pode contar nas datas: a) de hoje b) no final de 5 mesesc) no final de 3 meses data focal: dia de hoje data focal: ms cinco data focal: ms trs FV=700 + 5) 037 , 0 1 (500+ FV= 700(1 + 0,037)5 + 500FV=700(1 + 0,037)3 +2) 037 , 0 1500+ Exerccios propostos: 1)UmaempresadevedoradeumttulodeR$15.000,00vencvelnofinalde6meses, propeasubstituiodestettulopordoisnovosttulos,demesmovalornominal, vencveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transao realizada a taxa de 12% a.a. em capitalizao mensal, qual o valor dos novos ttulos? 2)Uma empresa tomou emprestado um emprstimo de R$ 100.000,00 por dois anos a juro de24%a.a.capitalizadotrimestralmente.Passado6mesesdarealizaodo emprstimoaempresapropeaocredoraliquidaodadvidamediantedois pagamentosiguais, sendoumnoato e outro no final de um ano a partir daquela data. Sabendo-sequeocredorconcordacomatransaoconcedendoumdescontoataxa de 20% a.a capitalizada trimestralmente, qual o valor dos pagamentos? 3)Umanotapromissria,cujovalornominalR$50.000vencedaquiaumms.O devedor prope a troca por outra nota promissria, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissria para que os capitais sejam equivalentes, taxa de 2% ao ms? 4)Uma pessoa tem uma dvida de R$ 60.000 para daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000 para daqui a 3 meses. Quanto dever aplicar hoje, taxa de juros de 3% ao ms, para fazer frente a essas dvidas? 51 5)Resolva o problema anterior considerando a taxa de 1% a.m. 6)Umaempresadevepagar3ttulos.OprimeirodeR$15.000exigvelem1ano;o segundo de R$ 30.000 exigvel em 2 anos e o terceiro de $ 25.000 exigvel em 3 anos. A empresapretendesubstituirestes3ttulosporumnicottulode$45.676,21. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 5%, o prazo do novo ttulo de (aproximadamente)... (Questo do concurso para Controlador da Arrecadao Federal). a) 12 mesesb)13 meses c)14 mesesd)15 meses 7)A loja BOM SOM vende um conjunto de aparelhos de som em duas parcelas: R$ 20.000 deentradaeR$40.000aps5meses.Franciscopropeadiarasegundaparcelapor mais 3 meses. Considerando que a taxa de juros mensal cobrada de 5% e o regime decapitalizaocomposta,Franciscodeverpagaramaisnaentradaaquantiade: (desprezar os centavos da resposta): a) R$ 4.267,00b) R$ 4.553,00 c)R$ 4.674,00d) R$6.305,00 8)Uma casa vendida vista por R$ 318.000 ou a prazo por R$ 90.000 de entrada, mais 3prestaesmensaiseiguaisdeR$80.000cadauma,vencendoaprimeiraumms apsaentrada.Qualamelhoralternativaparaumcompradorquepodeaplicarseu dinheiro taxa de 3% ao ms? 9)Ernesto emprestou determinada quantia a Jos Luiz, que se comprometeu a pag-lo em doispagamentosiguaisdeR$800,00aofinaldoterceiroestimomesesdo emprstimo. Posteriormente, o devedor props pagar as prestaes ao final do quinto e sexto meses. Sabendo que o credor trabalha com taxas de juros compostos de 8% a.m., aceitar a proposta? 52 21 RENDAS Asoperaesataquiestudadascompreenderamcasosdepagamentosou recebimentos geralmente em parcela nica. Agora vamos estudar os casos de depsitos ou prestaes sucessivas, destinados a pagar uma dvida ou a formar um capital. Oprocessoderealizaodedepsitossucessivoscomoobjetivodeformarum fundo,umcapitalouumapoupanachamadodecapitalizao.Aoprocessode pagamento de uma dvida d-se o nome de amortizao. 21.1 CONCEITO Rendaumasucessodedepsitose/ousaquesou,ainda,derecebimentose/ou pagamentos,empocasdiferentes,destinadosaformarumcapital(capitalizao)oua pagar (ou receber) uma dvida (amortizao). 21.2 CLASSIFICAO DAS RENDAS Vamos classificar uma renda ou srie uniforme de acordo com quatro parmetros: o prazo, o valor, a forma e o perodo a que se refere a renda. 22.2.1 Quanto ao prazo a) Temporria, quando tem um nmero limitado de pagamentosb) Infinita, quando tem um nmero ilimitado de pagamentos 21.2.2 Quanto ao valor a)Fixos,quandotodosospagamentosourecebimentos,ousaquesoudepsitos tm valores iguais. b) Variveis, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depsitos no tm todos os valores iguais. 21.2.3 Quanto ao vencimento do primeiro pagamento a)Imediata:quandooprimeiropagamentoourecebimento,ousaqueoudepsito ocorre no primeiro perodo. b)Diferida:quandooprimeiropagamentoourecebimento,ousaqueoudepsito no ocorre no primeiro perodo, havendo, portanto um prazo de carncia. 21.2.4 Quanto periodicidade a)Peridicas,quandoospagamentosourecebimentos,ousaquesoudepsitos ocorrem em intervalos de tempo iguais. b)NoPeridicas,quandoospagamentosourecebimentos,ousaquesou depsitos ocorrem em intervalos de tempo variveis. 21.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos a) Postecipadas, quando a ocorrncia no final do perodo. 53 b)Antecipadas,quandooprimeiropagamentoocorrenotempo0dasriede pagamentos. 21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA O valor atual ou presente valor de uma renda igual soma dos valores atuais em termos de pagamentos. 21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITRIA IMEDIATA ( ) na Ovaloratualdeumarendaasomadosvaloresatuaisdeseuspagamentos.Na prtica, no entanto, fica muito difcil, a cada operao, ter que calcular os valores atuais das parcelasindividualmente.Parafacilitar,podemosutilizarumfatorespecfico.Ofator representado por( ) na . Este fator calculado atravs da frmula: ( )iiann+ = 1 1 Onde: n = nmero de perodos i= taxa Exemplo:Qualovaloratualdeumarendaunitriaimediata,com10pagamentos,sendo 5% a.p. a taxa de juro? ( )05 , 005 , 0 1 11012+ = a Na HP 12 C: 721735 , 712= a1 CHS PMT5 i 10nPV 21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV) 21.5.1 Imediata ou Postecipada =na PMT PV . ou = PMT PV( )||.|

\|+ iin1 1 Exemplo1:OpreodeumcarroR$17.706,00.Umcompradord40%deentradaeo restantefinanciadotaxade5%aomsem10meses.Calculeovalordaprestao mensal. 17706 100% Na HP 12C x 40%17706enter 54 x = 7.082,4040 % - 17.706,00 7.082,40 Valor a ser financiado R$10.623,60 10.623,60 = PMT x 7,72173510623,60 CHS PV PMT = 10.623,60/ 7,72173510n PMT = R$ 1.375,815i PMT O valor da prestao R$ 1.375,805 Exemplo 2: Qual o valor que, financiado taxa de 2,5% ao ms, pode ser amortizado em 12 prestaes mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma? PV = 350 x 10,257765Na HP 12C PV = R$ 3.590,21350 CHS PMT 2,5i 12n PV Exemplo3:QuantasprestaesdemensaisdeR$80,00cadaumasosuficientespara liquidar um financiamento de R$ 361,20, taxa de 3,5% a.m.? 361,20 = 80 x na Na HP 12C na = 361,20/ 8080 CHS PMT na=4,515000361,2 PV n = 5 3,5i n 21.5.2 Antecipada ( ) + =11na PMT PV ou ( ) ( )(((

||.|

\|+ + = iiPMT PVn 11 11 Exemplo:UmaparelhoeletrnicofoicompradoemquatroprestaesmensaisdeR$ 200,00, no incio de cada ms, taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho. PV = 200 ( 1 + 2,883883)Na HP 12C PV = 200 x 3,883883 g beg PV = 776,78200 CHS PMT 2i 4n PV 21.5.3 Diferida ( )mni a PMT PV+ = 1 .55 Onde m representa o nmero de perodos da carncia. Exemplo:UmemprstimodeR$50.000,00concedidoaumaempresaemprestaes mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao ms e foiconcedidoumprazodecarnciade4mesesparaoprimeiropagamento,pergunta-se: Qual o valor da prestao? = PMT 50000( )||.|

\|+ 02 , 002 , 0 1 124( )-30,02 1+ Na HP 12C = PMT 50000 18,913926 x 0,94232250000 CHS PVPMT = 50000/ 17,8230153n PMT = R$ 2.805,362i FV CHSPV 0FV 24 n PMT Exerccios propostos: 1)Calcular o valor de um financiamento a ser quitado atravs de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00, vencendo a primeira parcela 30 dias da liberao dos recursos, sendo de 3,5% a.m. a taxa de juros negociada na operao. 2)Um produto comercializado vista porR$500,00.Qualdeveserovalorda prestao se o comprador resolver financiar em cinco prestaes mensais iguais e sem entrada, considerando a taxa de juros cobrada pelo comerciante seja de 5% ao ms? 3)UmprodutocomercializadovistaporR$1.750,00.Outraalternativaseriafinanciar esteprodutoaumataxade3%aoms,gerandoumaprestaodeR$175,81; considerando que o comprador escolha a segunda alternativa, determinar a quantidade de prestaes deste financiamento. 4)Calcular o valor da prestao de um emprstimo de R$ 25.000,00 a ser liquidado em 12 prestaes iguais mensais e consecutivas, ao final de cada ms, taxa de 4% a.m.. 5)Antnioadquiriuummicrocomputadorparapagamento,sementrada,em5prestaes mensaisiguaisesucessivasdeR$345,00.Qualfoiovaloravistadacompra considerando a taxa mensal de 2%? 6)Qual o valor da prestao de um bem que est sendo anunciado para pagamento em 1 + 5 prestaes mensais iguais, sabendo que a taxa praticada de 36% a.a. (nominal) e o valor a vista do aparelho de R$ 450,00? 7)CertaimpressoraestsendovendidaavistaporR$600,00.Alojaaceitavend-laa prazo, sem entrada, em prestaes mensais de R$ 98,13, garantindo taxa de 3,5% a.m.. Onmerodeprestaesseria,segundoovendedor,iguala15.Ocomprador, desconfiado de que este nmero est elevado, recorreu a seus conhecimentos; auxilie-o, calculando o nmero de prestaes. 56 8)Uma empresa comprou uma mquina e financiou o seu valor em 6 prestaes mensais deR$15.000,00cada,comtrsmesesdecarncia.Seataxacobradano financiamento de 8% a.m, qual o valor da mquina vista? 9)Considerandoasduasopesaseguir,paraaquisiodeumimvel,dizerqualdas duas a mais vantajosa para o comprador; e qual a diferena entre ambas: (a) a vista, por R$ 8.000,00, ou (b) a prazo em seis prestaes iguais e sucessivas de R$ 1.500,00, sem entrada, a serem pagas ao final de cada ms, taxa nominal de 36%a.a.. 10) Calcularataxamensalpercentualqueestsendopraticadanocasodeumbem oferecido a vista por R$ 1.500,00 e, a prazo, em 10 prestaes mensais de R$ 167,00 sem entrada? 11) Qual o valor a vista de um aparelho de som que est sendo oferecido para pagamento em 5 prestaes iguais de R$ 300,00, taxa de 4,5% a.m., sendo a primeira no ato da compra? 12) Qual o valor financiado de um bem a ser pago em 10 prestaes mensais iguais de R$ 500,00 cuja primeira prestao vence daqui 90 dias, taxa de 4%a.m? 13) Um automvel 0 km vendido vista por R$ 32.000,00 ou a prazo com 20% de entrada mais 24 prestaes mensais iguais.Qual o valor de cada prestao se a taxa de juros compostos do financiamento for de 1,8% a.m.? 14) UmequipamentodesomestsendovendidoemumalojaporR$1.020,00para pagamentovista.Umcompradorpodepedirumfinanciamentopeloplano(1+1) pagamentosiguais,isto,oprimeiropagamentodeveserfeitonoatodacompraeo segundo, um ms aps aquela data. Se a taxa de juros praticada pela empresa que ir financiar a compra for de 4% ao ms, qual o valor de cada prestao? 15) Um banco concede um emprstimo a uma pessoa cobrando 10 prestaes mensais de R$ 700,00 cada uma, sem entrada. Qual o valor emprestado, sabendo-se que o banco cobra juros compostos, taxa de 4% a.m.? 16) Um terreno vendido por R$ 200.000,00 a vista, ou por 40% de entrada e o restante em 12prestaesmensais.Paraumataxadejurosde2,5%a.m.,determinarovalorde cada prestaes mensais. 17) UmarevendedoradecarroscolocaavendaumcarroporR$25.000,00oucomuma entradade20%eorestantefinanciadoem12prestaesmensaisiguais,ataxa nominal de 84%a.a.. Qual o valor da prestao mensal? 18) Uma empresa toma um emprstimo para ser amortizado em 24 prestaes mensais de R$ 50.000,00 cada, com um ano de carncia. Calcular o valor do emprstimo, se a taxa de juro do financiamento de 6% a.m.? 19) Umaempresa tomaum emprstimodeR$720.000,00,comcarnciadeumano,para ser amortizado em 12 prestaes mensais iguais. Calcular o valor das prestaes, se a taxa do financiamento de 1,5%a.m.. 20) Ao comprar uma mquina uma empresa paga R$ 10.000,00 no ato e financia o restante em8prestaestrimestraisdeR$5.000,00cada.Seataxadefinanciamentode 9%a.t., qual o valor da mquina vista? 57 21) Umaempresacompraumamquinaparaserpagaem6prestaesmensaisdeR$ 3.000,00 cada com 3 meses de carncia. Sendo 8%a.m. a taxa do financiamento, qual o valor da mquina vista? 22) Que emprstimo pode ser amortizado em 15 prestaes mensais de R$ 20,00 cada se a taxa de financiamento de 5% a.m.? 23) Umacasacomercialvendeumamercadoriaem4pagamentosmensaisdeR$80,00 cada, sem entrada. Qual o valor vista se a taxa do financiamento de 8% a.m.? 24) Umacasacomercialvendeumamercadoriaem4pagamentosmensaisdeR$80,00 cada, sendo o primeiro no ato (1+3). Qual o valor vista se a taxa do financiamento de 8% a.m.? 25) Umacasacomercialofereceumamercadoriaem(1+4)vezesdeR$120,00.Qualo preo vista se a taxa cobrada no financiamento de 4% a.m.? 21.6 MONTANTE DE UMA RENDA Montanteoufuturovalordeumarendaasomadomontantedosdepsitos, montante este calculado a partir da data deste depsito a data do ltimo depsito. 21.6.1. De uma Renda Unitria Imediata ( )iiSnn1 1 += Exemplo:Qualomontanteoufuturovalordeumarendaunitriaimediatacomdoze depsitos, sendo 5% a.p. a taxa de juro? ( )05 , 01 05 , 0 112 += Sn Na HP 12C 917127 , 15 = Sn 1CHS PMT 12n 5i FV SnrepresentaofatordemultiplicaoparaclculodoFuturoValordeumarenda uniforme. 58 21.6.2. De uma Renda Imediata =nS PMT FV ou = PMT FV( )||.|

\| +iin1 1 Obs.: Ao efetuarmos o clculo do (PMT . Sn) estaremos substituindo todos os n depsitos, por um nico valor com vencimento na data do ltimo depsito. Exemplo1:Determinarovalorfuturodeumasriede18aplicaesmensais,iguaise sucessivas, no valor de R$ 1.600,00, taxa de 2% a.m., sabendo que a primeira aplicada no final do primeiro ms. FV= 1600 x S12Na HP 12C FV = 1600 x 21,4123121600CHSPMT FV =R$ 34.259,7018n 2i FV Exemplo : Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de R$ 12.000,00, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remunerao do capital 4% e que o primeiro depsito feito no final do primeiro ms?12000 = PMT x S12Na HP 12C 12000 = PMT x 15,02580512000 CHS FV PMT = 12000/ 15,02580512n PMT = R$ 798,634i PMT 21.6.3 De uma Renda Antecipada ( )nni 1 S PMT FV + = Exemplo1:Depositando-seR$500,00noinciodecadams,durantedoisanos,numa instituio financeira que credita juro mensalmente a taxa de 4% a.m., qual o saldo da conta no final dos dois anos? 500 FV = 500 x S12x (1+ 0,04)Na HP 12C FV = 500 x39,082604 x 1,04g beg FV = R$ 2.0322,95500 CHSPMT 4i 24 n FV 59 Exemplo2:Comafinalidadedeconstituirumfundodereservaumapessoasepropea depositar,noinciodecadams,durantetrsanosconsecutivos,R$200,00,numa instituio financeira que credita juro mensalmente taxa de 3% a.m. Qual o saldo da conta no final do quinto ano, a partir do primeiro depsito? FV = 200 x S36x( )250,03 1+ Na HP 12C FV = 200 x63,275944 x 2,093778g beg FV = R$ 26.497,16200 CHSPMT 3i 36 n FV Exerccios propostos: 1)Umpoupadorefetuavaregularmentedepsitosemumacontadepoupana.Aps12 mesesestepoupadortevequeinterromperosdepsitos,masnoefetuounenhum saque, e gostaria de saber quanto ter aps 6 meses, considerando-se que os valores dosdepsitoseramdeR$200,00equeataxamdiadejurosparaosprimeiros12 meseserade1%aomsequeparaosprximos6mesesestimou-seumataxade 0,8% ao ms. Quanto nosso amigo poupador ter aps todo o perodo? 2)Se uma pessoa depositar mensalmente R$ 50,00 em um banco, a comear hoje, quanto ela ter acumulado ao final de 5 anos? (Taxa prevista de 0,78% ao ms) 3)Qualomontantequeumpoupadoracumulaem12meses,nocasodeeleaplicara quantia de R$ 640,00 taxa de 3,8% a.m. ao final de cada ms? 4)Um banco remunera suas aplicaes a 2,1% a.m. Quanto dever ser depositado, a partir de hoje, para que ao final de 50 meses o montante de R$ 14.300,00 seja atingido? 5)UmapessoadepositoumensalmenteaquantiadeR$100,00numacadernetade poupana, taxa de 3% ao ms. Os depsitos foram fitos no ltimo dia til de cada ms e o juro foi pago no primeiro dia til de cada ms, incidindo sobre o montante do incio domsanterior.Oprimeirodepsitofoifeitoem31dejaneiroenoforamfeitas retiradas de capital. Qual o montante em 01 de outubro? 6)Em quanto estar, no final de quatro anos, um fundo constitudo por aplicaes mensais regulares de R$ 600,00, taxa de 3,5% a.m., feitas no incio de cada ms? 7)CertapessoadepositaR$2.000,00nofinaldecadams,numainstituiofinanceira. Qual o saldo da conta no final de um ano, se a taxa efetiva de juro de 4% a.m.? 8)Com a finalidade de constituir um fundo de reserva uma pessoa se prope a depositar, noinciodecadams,durantetrsanosconsecutivos,R$200,00,numainstituio financeiraquecreditajuromensalmentetaxade3%a.m.Qualosaldodacontano final do quinto ano, a partir do primeiro depsito? 9)Qual o valor do depsito a ser feito durante cinco anos, no incio de cada ms, para que sepossadispor,aofinaldessetempo,deR$12.000,00,sabendoqueataxade aplicao de 2% a.m.? 60 10) SeuJoodepositouR$210,00nofinaldecadams,durantetrsanosconsecutivos, numainstituiofinanceiraquecreditajuromensalmente.Seataxadejurosfoi2% a.m., qual o saldo da conta no final dos trs anos? 11) Que importncia dever ser aplicada mensalmente, a partir desta data, para se obter no final de 24 meses o montante de R$ 100.000,00, taxa anual equivalente de 34,489%? 12) Desejandoconstituirumapoupana,umapessoadeposita,nofinaldecadams,R$ 100,00 durante dois anos consecutivos. Qual ser o saldo da conta no final do terceiro ano, se a taxa de juro de 4% a.m.? 13) Umapessoadepositaemumafinanceira,noinciodecadams,durante5meses,a quantia de R$100,00. Calcule o montante dessa renda, sabendo que a financeira paga juro de 2% ao ms, capitalizado mensalmente. 14) Uma pessoa deseja depositar bimestralmente uma mesma importncia numa instituio financeira, taxa de 1,5% ao bimestre, capitalizado bimestralmente, de modo que com 8 depsitos antecipados constitua o capital de R$ 150.000. Calcule a importncia. 15) JoaquimestdepositandoemumacontadepoupanaR$100porms.Quanto tempoJoaquimlevarparaobteromontantedeR$50.000,emprestaes mensais antecipadas, sabendo que o banco paga um juro de 1,5% ao ms? 16) Para constituir uma aposentadoria, uma pessoa prope depositar, no final de cada ms, R$ 500,00 durante 7 anos consecutivos. Que importncia poder retirar, mensalmente, a partir do final do primeiro ms do 8. ano, durante tambm 7 anos, se a taxa de juro 2% a.m.? 17) Comafinalidadedeconstituirumfundodereserva,umapessoadepositanoinciode cadamsR$250,00,durantetrsanosconsecutivos,aseguirR$380,00nofinalde cada ms durante mais dois anos. Qual o saldo da conta no final do 6 ano, sendo 2% a.m. a taxa de juro? 18) Seu Alpio depositou R$ 100,00 no incio de cada ms, durante trs anos consecutivos, constituindoummontantedeR$6.517,42.Quantodeveriaterdepositadonofinalde cada ms, durante os trs anos, para que o montante constitudo fosse R$ 10.000,00? 19) Qual o valor atual de uma anuidade antecipada de 12 termos mensais de R$ 2.500,00, taxa de 3% ao ms? 20) Uma pessoa deposita R$ 200,00 no fim de cada ms. Sabendo que a taxa de juro de 2% ao ms, quanto possuir em 2 anos? 21) Pretendo depositar R$ 1.000,00 mensalmente, a partir de hoje, taxa de 1,5% ao ms. Daqui a quanto tempo conseguirei um montante de R$ 18.201,00? 22) Quanto se deve aplicar mensalmente, durante 20 meses, taxa de 2,5% ao ms, para quesetenhaR$60.000,00nofinaldovigsimoms,dentrodosconceitosderenda imediata e antecipada? 61 22 SISTEMAS DE AMORTIZAO DE EMPRSTIMOS Umemprstimooufinanciamentopodeserfeitoacurto(at1ano),mdio(at3 anos) ou longo prazo. Nos emprstimos a curto e mdio prazo usual a cobrana de juro simples e h trs formas do devedor ou muturio resgatar sua dvida. a)Pagando os juros e o capital no vencimento b)Pagando os juros antecipadamente, na data em que contrai a dvida, e restituindo o capital no vencimento. c)Pagando os juros e o capital por meio de prestaes. Nos emprstimos em longo prazo o devedor ou muturio tambm tem trs formas de resgatar sua dvida: a)Pagando os juros e o principal no vencimento b)Pagando os juros periodicamente e restituindo o capital no vencimento. c)Pagando periodicamente os juros e uma quota de amortizao do capital Cada uma destas formas de pagamento constitui um sistema. Nossistemasdeamortizaodeemprstimosemlongoprazo,regrageral, osjurossosemprecobradossobreosaldodevedor,oquesignificaconsiderar apenasoregimedejurocomposto.Destemodo,onopagamentodeuma prestao,isto,onopagamentodejuroemumdadoperodoredundaemum saldo devedor maior, j que est sendo calculado juro sobre juro.Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativa aos juros, quesocalculadossobreosaldodevedor,eoutrapartechamadaamortizao,que faz com que o saldo devedor diminua. Os principais sistemas de amortizao so: -Sistema Americano (SA) -SistemaFrancsdeAmortizao(SF)ouSistemadeAmortizaoProgressiva ou Sistema Price -Sistema de Amortizao Constante (SAC) -Sistema de Amortizao Misto -Sistema Alemo -Emprstimo com correo monetria 22.1 SISTEMA FRANCS (DE PRESTAES IGUAIS OU PRICE) Este sistema foi usado inicialmente na Frana, no sculo XIX. o sistema de amortizao maisutilizadonocomrcioemgeralnascomprasprazodebensdeconsumo(comcrdito direto ao consumidor). A principal caracterstica desse sistema de amortizao que as prestaes so iguais eperidicas,sendoaperiodicidadenormalmentemensal.Osjurosdecadaperodoso calculados sobre o saldo devedor do perodo anterior e, portanto decrescentes. Dessa forma as parcelas de amortizao so crescentes. OsistematambmconhecidocomSistemaouTabelaPrice,devidoaoeconomista RichardPricequeincorporouojurocompostonosistema,nosculoXVIII.SistemaouTabela PriceumcasoparticulardoSistemaFrancs,poisataxadejurosapresentadaemtaxas anuais nominais e as prestaes mensais so calculadas com as correspondentes taxa efetivas mensais. Esse sistema de amortizao aplicado nas operaes de crdito direto ao consumidor, nas operaes de leasing e nos credirios das lojas comerciais. Comoessasprestaessoconstantes,medidaquevosendopagas,advida diminuieosjurostornam-semenores,enquantoascotasdeamortizaotornam-se automaticamentemaiores.Cadaprestaoconstanteecontmduasparcelas:juros calculados sobre o ltimo saldo devedor e amortizao . 62 Exemplo : Um amigo lhe empresta R$ 1.000,00, que devem ser pagos em 5 parcelas. O sistema de amortizao escolhido foi o Price, e a taxa acertada foi de 10% a.m. Construir uma planilha. 1 Calcular o valor da prestao: 1.000 =PMT . 3,790787 PMT = 1.000/ 3,790787 PMT = R$263,79 nPrestaoJurosAmortizao Saldo devedor 0 1.000,00 1263,79100,00163,79836,20 2263,7983,62180,18656,02 3263,7965,60198,19457,83 4263,7945,78218,01239,82 5263,7923,80239,820,00 Clculo dos juros: Juros para o 1 perodo: J = 1.000,00 x 0,1x 1 = 100,00 Juros para o 2 perodo: J = 836,20 x 0,1x 1 = 83,62 Juros para o 3 perodo: J = 656,02 x 0,1x 1 = 65,60 Juros para o 4 perodo: J = 457,83 x 0,1x 1 = 45,78 Juros para o 5 perodo: J = 239,82 x 0,1x 1 = 23,80 Clculo da amortizao: Parcela de amortizao para o 1 perodo: Amort. = 263,79 -100,00 = 163,79 Parcela de amortizao para o 2 perodo: Amort. = 263,79 -83,62= 180,18 Parcela de amortizao para o 3 perodo: Amort. = 263,79 -65,60= 198,19 Parcela de amortizao para o 4 perodo: Amort. = 263,79 -45,78= 218,01 Parcela de amortizao para o 5 perodo: Amort. = 263,79 -23,80= 239,82 Clculo do saldo devedor: Saldo devedor para o 1 perodo: SD= 1000,00 - 163,79 =836,20 Saldo devedor para o 2 perodo: SD = 836,20 - 180,18=656,02 Saldo devedor para o 3 perodo: SD = 656,02 -198,19=457,83 Saldo devedor para o 4 perodo: SD = 457,83 - 218,01=239,82 Saldo devedor para o 5 perodo: SD = 239,82 - 239,82= 0 Na HP 12C 1000 CHS PV 5 n 10i PMT263,79 1famort100x>