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Marco Reis:2014 ©

Modelação matemática de base estatística/empírica:

Construção de modelos empíricos usandometodologias de regressão linear

I

Engenharia de Processos e Sistemas

Marco S. [email protected]

Construção de modelos empíricos

usando metodologias de regressão

linear

GEPSI/CIEPQPFDEQ-FCTUCEngenharia de Processos e Sistemas 3

Objectivos:

• Identificar a componente estrutural/determinística e aleatória/estocástica do

modelo de RL;

• Compreender o que é um modelo de RL e o seu âmbito de aplicação;

• Perceber como se estimam os parâmetros de um modelo de RL e saber quais os

pressupostos subjacentes ao modelo estimado;

• Interpretar os IC para os coeficientes do modelo (parte estrutural);

• Interpretar os IC para a resposta média e de previsão;

• Saber como validar um modelo de RL;

• Compreender a origem do problema da colinearidade e como o diagnosticar;

• Saber os passos a seguir na construção de uma modelo de RL

• Distinguir os vários métodos de selecção de variáveis


Metodologias de Modelação

Processo Genérico

Variáveis

associadas ao

que entra no

processo (x’s)

Variáveis

associadas ao

que sai do

processo (y’s)

Variáveis ligadas a

parâmetros do processo (x’s)

Objectivo: construir um modelo que relacione as variáveis de entrada (x’s) com as de saída (y’s).

X’s“Inputs”PredictoresRegressores Variáveis de entradaVariáveis independentes

Y’s“Outputs”Respostas

Variáveis de saídaVariáveis dependentes



LC

TC

F0, T0, CA0

F, T, CA

Fcj, Tcj,0

Fcj, Tcj

LC

TC

F0, T0, CA0

F, T, CA

Fcj, Tcj,0

Fcj, Tcj

0

dVF F

dt= −

/0 0 0

E RTAA A A

dVCF C FC k e C V

dt−= − −

/0 0 0 ( )E RT

A cjp p

dVT H UAF T FT k e C V T T

dt C Cρ ρ−∆= − − − −

,0,

( ) ( )cj cjcj cj cj cj

j p cj

dV T UAF T T T T

dt Cρ= − + −

( )2set c setF F K V V= − −

( ), 1cj cj set c setF F K T T= − − X

Y

x

E(Y|x)

X

Y

x

E(Y|x)

Modelos baseados em primeiros princípios → Estrutura completamente definida

“Knowledge intensive” “Data intensive”

Modelos empíricos → Algumas restrições quanto à estrutura do modelo

Modelos baseados em dados

→ muito poucas hipóteses são colocadas

quanto à estrutura do modelo

GEPSI/CIEPQPFDEQ-FCTUC

MSR 2010 © Engenharia de Processos e Sistemas 6

Recolha de dados

Activa (DoE) vs Passiva (Observacional)

DoE – Design of Experiments (Planeamento Estatístico de Experiências)

Matrix of scatter plotsRa_CD

Rz_CD

Rq_CD

Rp_CD

Rt_CD

R Sm_CD

R S_CD

Index

C9

513456399342285228171114571

500

400

300

200

100

0

Time Series Plot of C9

403020100

98

95

90

85

80

70

60

50

40

30

20

100

Absolute Effect

Pe

rce

nt

A A

B B

C C

D D

E E

F F

Factor Name

Not Significant

Significant

Effect Type

ACD

AD

AB

B

A

Half Normal Plot of the Effects(response is Encolhimento, Alpha = 0,05)

Lenth's PSE = 0,9375



Recolha de dados

Activa (DoE) vs Passiva (Observacional)

Teorema:

Não se conseguem as respostas certas,a menos que se façam as perguntas certas.

Corolário:

Não se conseguem as respostas certas, a menos que se façam perguntas.



Recolha de dados

Activa (DoE)

One-factor-at-a-time approach Statistical DOE approach



Recolha de dados

Activa (DoE)

� Basic types of DoE problems

� Screening

� Process characterization (modelling)

� Optimization

� Robustness



Recolha de dados

Activa (DoE)

� Basic principles of DOE

� Replication

� Randomization

� Blocking


� 1D: Com N pontos, consegue-se a seguinte taxa de cobertura, numa linha de comprimento L:

1 2 3 … … N

0 L

NTA

L=

Recolha de dados passiva:

“The curse of dimensionality”



� 2D: Com N pontos, consegue-se a seguinte taxa de cobertura, num quadrado de lado L:

2

NTA

L=

Para garantir igual cobertura, ter-se-ia de usar N2 pontos



� 3D: Com N pontos, consegue-se a seguinte taxa de cobertura, num cubo de lado L:

3

NTA

L=

Para garantir igual cobertura, ter-se-ia de usar N3 pontos



� m-D: Com N pontos, consegue-se a seguinte taxa de cobertura, num hipercubo de lado L:

m

NTA

L=

Para garantir igual cobertura, ter-se-ia de usar Nm pontos

Recolha de dados passiva: um monólogo do processo



Há muito “vazio” nos dados recolhidos passivamente …



� Utilidade dos modelos:� Previsão de valores futuros de uma variável de

saída;� Medição do efeito associado a mudanças

processuais;� Controlo e/ou monitorização do processo;� Optimização do processo;� …


� Regressão (Previsão):� As saídas do modelo são variáveis quantitativas;

� Classificação:� As saídas do modelo são variáveis qualitativas

(classes ou categorias)� Qualidade do produto (Mau, Intermédio, Bom);� Reconhecimento de caracteres (padrões);� …

Regressão (Previsão) vs Classificação


Observ. X1 X2 X3 X41 0,165 0,11 0,075 0,0532 0,178 0,14 0,105 0,0773 0,102 0,089 0,068 0,0484 0,191 0,107 0,06 0,0465 0,239 0,146 0,094 0,0676 0,178 0,115 0,078 0,0567 0,193 0,089 0,041 0,038 0,164 0,113 0,078 0,0569 0,129 0,098 0,074 0,057

10 0,193 0,134 0,093 0,06611 0,154 0,071 0,03 0,01612 0,065 0,053 0,036 0,02513 0,144 0,078 0,043 0,02814 0,138 0,118 0,093 0,06315 0,219 0,145 0,101 0,07

Observ. Y1 0,4562 0,4563 0,1524 0,765 0,766 0,6087 0,768 0,4569 0,304

10 0,60811 0,60812 0,15213 0,60814 0,30415 0,76

Regressão (Previsão)Treino do modelo vs Teste do modelo

Modelo

(β0, β1,…, βm,σ2)X Y

Observ. X1 X2 X3 X416 0,146 0,17 0,134 0,10317 0,128 0,144 0,125 0,10118 0,107 0,105 0,102 0,08119 0,146 0,174 0,136 0,09920 0,105 0,126 0,094 0,06821 0,152 0,205 0,128 0,08123 0,139 0,207 0,109 0,05724 0,108 0,162 0,082 0,0425 0,12 0,187 0,083 0,038

^ ^ ^ ^

I. Treino/Estimação

XnewModelo

(β0, β1,…, βm,σ2)?

^ ^ ^ ^

II. Teste/Previsão


Observ. C

1 A

2 A

3 B

4 A

5 B

6 B

7 A

8 A

9 B

10 B

11 B

12 A

13 B

14 A

15 A

Observ. X1 X2 X3 X41 0,165 0,11 0,075 0,0532 0,178 0,14 0,105 0,0773 0,102 0,089 0,068 0,0484 0,191 0,107 0,06 0,0465 0,239 0,146 0,094 0,0676 0,178 0,115 0,078 0,0567 0,193 0,089 0,041 0,038 0,164 0,113 0,078 0,0569 0,129 0,098 0,074 0,057

10 0,193 0,134 0,093 0,06611 0,154 0,071 0,03 0,01612 0,065 0,053 0,036 0,02513 0,144 0,078 0,043 0,02814 0,138 0,118 0,093 0,06315 0,219 0,145 0,101 0,07

ModeloX C

Observ. X1 X2 X3 X416 0,146 0,17 0,134 0,10317 0,128 0,144 0,125 0,10118 0,107 0,105 0,102 0,08119 0,146 0,174 0,136 0,09920 0,105 0,126 0,094 0,06821 0,152 0,205 0,128 0,08123 0,139 0,207 0,109 0,05724 0,108 0,162 0,082 0,0425 0,12 0,187 0,083 0,038

I. Treino/Estimação

XnewModelo ?

II. Teste/Previsão

ClassificaçãoTreino do modelo vs Teste do modelo


Regressão Linear Múltipla

� O modelo de regressão linear múltipla

� Propriedades do termo εi (pressupostos):� variância dos resíduos é constante;� todos os resíduos são independentes;� seguem uma lei normal com média nula.

� Pressuposto para fazer inferência estatística sobre o modelo (IC, TH ao modelo ou seus parâmetros).

0 1 1 2 2i i i m im iY x x xβ β β β ε= + + + + +⋯

Componente estrutural Componente estocástica



� β0 - Intercepção na origem (“intercept”, “constant”);

� βi – Coeficientes de regressão parciais (“partial regression coefficients”).




� Pode ser usado para descrever relações não-lineares, e.g:

� Assume que os X’s

estão isentos

de qualquer erro.

2 20 1 1 2 2 11 1 22 2 12 1 2y x x x x x xβ β β β β β ε= + + + + + +



� Notação matricial

1 11 1 0 1

1

1

1

m

n n nm m n

Y x x

Y x x

Y XB E

β ε

β ε

= +

= +

⋯

⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮ ⋮ ⋮

⋯



� Estimação do modelo de regressão linear múltipla:� Mínimos quadrados

( )

( ) ( )

2

0 1 1 2 21

ˆ

ˆ. .,

n

i i i m miB

i

T

B

B Min Y x x x

i e B Min Y XB Y XB

β β β β=

= − − − − −

= − −

∑ ⋯



� Estimação de parâmetros em RLM� Minimizar a soma dos desvios quadráticos (verticais …)

3D Surface Plot

Y=105,1527+0,2131*X1+0,4855*X2

195 190 185 180 175 170 165 160 155



� Métodos dos mínimos quadrados:� Solução: CN de optimalidade

Equações normaisdo método dos

mínimos quadrados



� Solução (notação matricial):

( ) 1ˆ T T−=B X X X Y



� Estimativa da variância do termo estocástico do modelo de regressão linear múltipla:

� N – número de observações� m – número de variáveis

2

2 1

ˆˆ

1 1

N

ii SSr

N m N m

εσ == =

− − − −

∑


Inferência em Regressão Linear

Múltipla

•Montegomery, D.C.; Peck, E.A. & Vining, G.G. (2006). Introduction to Linear Regression

Analysis. Wiley. 4th ed.

•Montgomery, D.C.; G.C. Runger, 1999, Applied Statistics and Probability for Engineers,

2nd ed., Wiley, NY

•Draper, N.R.; H. Smith, 1998, Applied Regression Analysis, 3rd ed., Wiley, NY



Regressão Linear Múltipla Inferência

� Propriedades das estimativas dos parâmetros

� Se o modelo for verdadeiro,

� As estimativas seguem uma distribuição normal multivariada:

( )( )1 2ˆ ~ , TB N B X X σ−




MSR 2009-2012 ©


� ANOVA� Teste à significância do modelo de regressão

linear múltipla:

� H0: β1 = β2 = … βm = 0� H1: βj ≠ 0 para pelo menos um j



MSR 2009-2012 ©

( ) ( ) ( )2 2

11

2

1

ˆˆn

iii

n

i ii

n

iy yy y yy= = =

−− + −=∑ ∑ ∑

Variação Total

SSt

Variação devida à Regressão

SSreg

Variação Residual

SSr

Variabilidadeobservada

Variabilidade explicada pelo modelo(parte estrutural do modelo de regressão)

Variabilidade não explicada pelo modelo

(parte estocástica do modelo de regressão)

= +


� Decomposição ANOVA da variabilidade (soma dos quadrados) total (SSt), em termos da componente explicada pelo modelo de regressão (SSreg) e da componente residual (SSr):



MSR 2009-2012 ©


� Tabela ANOVA em regressão linear múltipla:

p = # variáveis de entrada ou regressores= # parâmetros – 1 ( )0 1

SSreg pF

SSr N p=

− −

Fontes de Variação

(1)

Variações (Somas de quadrados)

(2)

Graus de Liberdade

(3)

Médias das Somas dos Quadrados

(4)

Estatística de Teste (F)

(5)

Regressão SSreg p MSreg MSreg / s2 Residual SSr n–p–1 s2 Total SSt N–1




Métricas de Qualidade do Modelo

� Coeficiente de determinação (R2)� Uma medida da qualidade do modelo (0≤ R2≤1)� Definição geral (modelos univariados/multivariados)

(Fracção da variabilidade total que é explicada pelo modelo)

2 1SSreg SSr

RSSt SSt

= = −



� O coeficiente R2 permite aferir sobre a qualidade do ajuste, aumentando sempre que se adiciona mais uma variável � Mesmo que uma variável não esteja relacionada com a

resposta, há sempre uma pequena parte da sua variabilidade que aquela ajuda a explicar, por alinhamentos aleatórios com Y.

� Estas variáveis não trazem nada de novo para o modelo em termos de previsões futuras, tendo pelo contrário uma acção prejudicial e destabilizadora.

� Para aferir sobre a qualidade do modelo é pois importante penalizar a métrica de qualidade com o número de variáveis utilizado.







� R2 ajustado (R2adj)� Penaliza a introdução de termos adicionais no modelo� Previne “overfitting” e a utilização de regressores com

pouco potencial explicativo da variabilidade da resposta

( )( )

( )( ) ( )2 21 1

1 1 11 1adj

SSr N p NR R

SSt N N p

− − −= − = − −

− − −




� TH aos coeficientes individuais� Para analisar a significância de alguns parâmetros

em particular.� Nas condições do modelo de regressão ser válido:

� Os parâmetros seguem distribuições normais;� A sua média é centrada nos valores exactos e a sua

variância é dada pelos elementos diagonais da matriz de variâncias-covariâncias.


Valor de prova(p-value)

Probabilidade de obter um desvio maior ou igual ao verificado, se H0 for válida!


0iβ

( )f x

( )1iβ

Amostra 1

( )2iβ

Amostra 2

( )3iβ

Amostra 3

0 : 0

1: 0i

i

H

H

ββ

=≠

Teste bilateral: Pr(|ET|>ET0 |H0 verdadeira)


0iβ

( )f x

( )1iβ

Amostra 1

( )2iβ

Amostra 2

( )3iβ

Amostra 3

0 : 0

1: 0i

i

H

H

ββ

=>

Teste Unilateral à direita: Pr(ET>ET0 |H0 verdadeira);Teste Unilateral à esquerda: Pr(ET<ET0 |H0 verdadeira);




� TH (parâmetros individuais):

Rejeitar H0 se |t0| > tα/2,n-p-1.

Estatística de teste

Elemento jj da matriz de variâncias-covarâncias

Alternativamente, usar abordagem baseada em IC ou o valor de provaGEPSI/CIEPQPF

DEQ-FCTUCMSR 2010 © Engenharia de Processos e Sistemas 42


� IC para os parâmetros do modelo de regressão múltipla

� IC(βj ,(1-α)x100%):

2 22, 1 2, 1

ˆ ˆˆ ˆj N p jj j j N p jjt C t Cα αβ σ β β σ− − − −− ≤ ≤ +

Elemento jj da matriz de variâncias-covarâncias



Regressão Linear Univariada

Inferência em regressão linear

� IC para a média e intervalo de previsão

Intervalo de previsão

Intervalo de confiança para a média




� IC para a resposta média

� Intervalo de previsão

( ) ( )0 0 0

1 12 2| 2, 1 0 0 | | 2, 1 0 0ˆ ˆ ˆ ˆT T T T

Y x N p Y x Y x N pt x X X x t x X X xα αµ σ µ µ σ− −

− − − −− ≤ ≤ +

( )( ) ( )( )1 12 20 2, 1 0 0 0 0 2, 1 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ1 1T T T T

N p N py t x X X x y y t x X X xα ασ σ− −

− − − −− + ≤ ≤ + +

00 0 |ˆˆ ˆY xy x β µ= =


MSR 2009-2012 ©

Regressão Linear Univariada 45

Regressão Linear Univariada

Inferência em regressão linear

� Exemplo 1� Pretende-se determinar a influência de três parâmetros

processuais (X1, X2 e X3) numa variável de qualidade do produto (Y).

� Para tal, recolheram-se dados do processo durante períodos de laboração normal, com os quais se construiu uma base de dados.

� Utilize esta base de dados para estimar um modelo empírico para o processo em causa, e determine quais o(s) parâmetro(s) que mais influenciam a variável de qualidade.



46MSR 2009-

2012 ©

Y-Answer Time (Average) (secs)

120110100 765

50

30

10120

110

100

X1-Number of personnel

X2-Calls per hour (average)

1380

1320

1260

503010

7

6

5

138013201260

X3-Time per call (average mins)

Matrix Plot of Y-Answer Tim; X1-Number of; X2-Calls per; X3-Time per


� Gráficos

Y vs X1

Y vs X3 X1 vs X3



47MSR 2009-

2012 ©


� MINITAB: Stat > Regression > Regression …

Não é significativamente ≠ 0!

R-Sq subiu, mas R-Sq(adj) desceu.

O modelo é significante: pelo menos um coeficiente de uma variável é diferente de zero.




O Problema da Colinearidade



Regressão Linear Múltipla Colinearidade

� Exemplo� Construir um modelo para Y vs X1,X2

Source: Sokal and Rohlf, Biometry, 3ed., Freeman: NY (1995).

Y X1 X2

-5 -4 3

-7 -2 3

-1 -2 1

-3 0 1

3 0 -1

1 2 -1

7 2 -3

5 4 -3




5

0

-5

20-2

50-5

5

0

-5

50-5

2

0

-2

Y

X1

X2

Matrix Plot of Y; X1; X2






43210-1-2-3-4-5

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

X1

Y

Scatterplot of Y vs X1

43210-1-2-3-4-5

8

6

4

2

0

-2

-4

-6

-8

X1Y

-3

-1

1

3

X2

Scatterplot of Y vs X1





� Nota:� Os coeficientes de regressão parciais

representam a contribuição de um predictor na variável de saída, quando os outros se mantêm constantes;

� A magnitude e sinal dos coeficientes de regressão parciais, depende dos predictores incorporados no modelo (sempre que estes apresentam correlação entre si).




� Por outro lado,…� Analisando a variância das estimativas

� Simulação: Gerar aleatoriamente amostras com 10 observações� Dois níveis de correlação entre X1 e X2� Resultados para 1000 simulações

1 2-10

-5

0

5

10

15

20High correlation (ρ =0.95)

Est

imat

es

Variable1 2

-10

-5

0

5

10

15

20Low correlation (ρ =0)

Est

imat

es

Variable

Valores exactos dos parâmetros




� Ou seja:

� Quando a correlação entre X1 e X2 é de 0.95 a variância na estimativa dos coeficientes que afectam as variáveis X1 e X2 é cerca de 10 vezes superior àquela obtida quando não há correlação entre X1 e X2.

( ) 1 2ˆ( ) TVar B X X σ−

=




� Efeitos da colinearidade na estimação de parâmetros

Estimated planes for an High collinearity data set (a) and a Low collinearity data set (b), in the initial situation (I) and when an additional data point was added (II), marked with a circle in the 3D scatter plots. The projection of the observations and contours in the Y=0 plane are also presented.

a)b)




� Conclusões:� Quando há colinearidade nos regressores:

� É difícil interpretar o modelo (face aos gráficos disponíveis)

� As estimativas dos parâmetros são mais instáveis (maior variância)




� Nota:� A correlação entre variáveis é muito comum em

aplicações industriais:� Restrições processuais (balanços mássicos e de

energia);� Anéis de controlo, metodologias e protocolos de

actuação;� Instrumentação (instrumentação redundante,

espectrofotómetros, etc.).




� Como detectar a presença de colinearidade?

� Como lidar com a sua presença?



Correlations (AS.vs.Bendtsen)Marked correlations are signif icant at p < ,05000N=36 (Casew ise deletion of missing data)

Variable Ra_CD Rz_CD Rq_CD Rp_CD Rt_CD R Sm_CD R S_CD R Sk_CD R Ku_CD Rv_CD Rdq_CD Ra_MD Rz_MD Rq_MD Rp_MD Rt_MD R Sm_MD R S_MD R Sk_MD R Ku_MD Rv_MD Rdq_MDRa_CDRz_CDRq_CDRp_CDRt_CDR Sm_CDR S_CDR Sk_CDR Ku_CDRv_CDRdq_CDRa_MDRz_MDRq_MDRp_MDRt_MDR Sm_MDR S_MDR Sk_MDR Ku_MDRv_MDRdq_MD

1,00 0,99 1,00 0,94 0,96 0,89 0,89 0,46 -0,62 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,84 0,85 0,30 -0,63 0,89 0,680,99 1,00 0,99 0,95 0,98 0,86 0,88 0,46 -0,51 0,96 0,84 0,97 0,97 0,97 0,93 0,94 0,79 0,83 0,31 -0,53 0,90 0,731,00 0,99 1,00 0,94 0,97 0,89 0,89 0,46 -0,60 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,83 0,85 0,30 -0,61 0,89 0,680,94 0,95 0,94 1,00 0,94 0,83 0,84 0,71 -0,54 0,81 0,77 0,89 0,91 0,89 0,97 0,89 0,70 0,74 0,57 -0,51 0,75 0,690,96 0,98 0,97 0,94 1,00 0,88 0,91 0,48 -0,43 0,93 0,79 0,93 0,93 0,93 0,90 0,90 0,76 0,79 0,35 -0,51 0,85 0,680,89 0,86 0,89 0,83 0,88 1,00 0,95 0,45 -0,57 0,80 0,49 0,83 0,78 0,82 0,75 0,73 0,86 0,80 0,29 -0,61 0,71 0,360,89 0,88 0,89 0,84 0,91 0,95 1,00 0,38 -0,40 0,84 0,51 0,84 0,80 0,83 0,77 0,75 0,87 0,83 0,28 -0,52 0,73 0,370,46 0,46 0,46 0,71 0,48 0,45 0,38 1,00 -0,45 0,19 0,34 0,36 0,42 0,36 0,67 0,41 0,22 0,22 0,89 -0,31 0,13 0,37

-0,62 -0,51 -0,60 -0,54 -0,43 -0,57 -0,40 -0,45 1,00 -0,44 -0,47 -0,60 -0,54 -0,59 -0,52 -0,52 -0,58 -0,54 -0,28 0,74 -0,48 -0,350,94 0,96 0,94 0,81 0,93 0,80 0,84 0,19 -0,44 1,00 0,83 0,96 0,94 0,96 0,80 0,91 0,79 0,84 0,06 -0,50 0,95 0,690,81 0,84 0,81 0,77 0,79 0,49 0,51 0,34 -0,47 0,83 1,00 0,84 0,88 0,84 0,79 0,87 0,47 0,58 0,18 -0,40 0,85 0,930,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,83 0,84 0,36 -0,60 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,89 0,95 0,84 0,88 0,22 -0,60 0,94 0,710,96 0,97 0,96 0,91 0,93 0,78 0,80 0,42 -0,54 0,94 0,88 0,98 1,00 0,98 0,93 0,99 0,75 0,84 0,28 -0,49 0,94 0,790,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,82 0,83 0,36 -0,59 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,90 0,96 0,83 0,87 0,22 -0,58 0,95 0,720,91 0,93 0,91 0,97 0,90 0,75 0,77 0,67 -0,52 0,80 0,79 0,89 0,93 0,90 1,00 0,92 0,67 0,75 0,59 -0,48 0,76 0,730,92 0,94 0,92 0,89 0,90 0,73 0,75 0,41 -0,52 0,91 0,87 0,95 0,99 0,96 0,92 1,00 0,70 0,84 0,30 -0,43 0,93 0,800,84 0,79 0,83 0,70 0,76 0,86 0,87 0,22 -0,58 0,79 0,47 0,84 0,75 0,83 0,67 0,70 1,00 0,90 0,12 -0,63 0,73 0,240,85 0,83 0,85 0,74 0,79 0,80 0,83 0,22 -0,54 0,84 0,58 0,88 0,84 0,87 0,75 0,84 0,90 1,00 0,17 -0,50 0,83 0,370,30 0,31 0,30 0,57 0,35 0,29 0,28 0,89 -0,28 0,06 0,18 0,22 0,28 0,22 0,59 0,30 0,12 0,17 1,00 -0,29 -0,03 0,21

-0,63 -0,53 -0,61 -0,51 -0,51 -0,61 -0,52 -0,31 0,74 -0,50 -0,40 -0,60 -0,49 -0,58 -0,48 -0,43 -0,63 -0,50 -0,29 1,00 -0,44 -0,270,89 0,90 0,89 0,75 0,85 0,71 0,73 0,13 -0,48 0,95 0,85 0,94 0,94 0,95 0,76 0,93 0,73 0,83 -0,03 -0,44 1,00 0,750,68 0,73 0,68 0,69 0,68 0,36 0,37 0,37 -0,35 0,69 0,93 0,71 0,79 0,72 0,73 0,80 0,24 0,37 0,21 -0,27 0,75 1,00


� Detecção da presença de colinearidade� Matrizes de correlação e de gráficos de dispersão

Matrix of scatter plotsRa_CD

Rz_CD

Rq_CD

Rp_CD

Rt_CD

R Sm_CD

R S_CD




� Detecção da presença de colinearidade� Conhecimento sobre o processo:

� Verificar se alguns coeficientes têm sinal contrário ao esperado;

� Verificar se variáveis que se esperavam importantes, não têm uma magnitude correspondente;

� Verificar se a eliminação de uma linha ou coluna, produz alterações muito significativas;

� O teste F baseado em ANOVA é significante, mas os coeficientes individuais não o são.




� Detecção da presença de colinearidade� “Variance Inflation Factor” (VIF)

� onde Rj2 é o R2 para a regressão de Xj contra

todos os outros p – 1 regressores.

� Nota:

Cjj é o elemento jj da diagonal de (XTX)-1

( ) ( )2

1ˆ1

j

j

VIFR

β =−

( ) ( ) ( )ˆ 1 varj jj jVIF C n Xβ = ⋅ − ⋅




� Análise do VIF:� Valores de referência:

� VIF>10 → colinearidade é um problema;� VIF<5 → colinearidade não é um problema;� 5<VIF<10 → “zona cinzenta” (colinearidade

pode ser um problema).




� Como lidar com a sua presença?

� Métodos de selecção de variáveis� Métodos de projecção (selecção de dimensões)� Métodos de encolhimento




� Selecção de variáveis

� Princípio:

� Se há redundância entre os X’s, seleccionar aqueles que mais explicam a variabilidade apresentada pela resposta (Y), e retirar todas aquelas variáveis que não acrescentem capacidade explicativa.




� Metodologias mais comuns de selecção de variáveis:� Forward addition� Backward elimination� Forward stepwise selection� “Best subset” regression




Nos métodos de selecção de variáveis analisa-se a significância estatística associada à introdução de grupos de variáveis adicionais:

� “Partial F-test” (ou “Extra Sum of Squares method”)

� Até agora só a analisámos a situação estática.� Temos um conjunto de variáveis de entrada com as quais

queremos construir um modelo para explicar a resposta.

� E se quisermos incluir mais variáveis? – Situação dinâmica!� Pretendemos agora saber se, introduzindo um conjunto extra de

variáveis (# X’s ≥ 1), a capacidade de explicação da variabilidade de Y melhora significativamente.




� “Partial F-test”

� Vamos considerar que dispomos um modelo com p variáveis e pretendemos saber se um subconjunto destas variáveis (r) contribui, como um todo, significativamente para o modelo.

� Ou seja, se particionarmos todos os coeficientes do modelo num conjunto com r variáveis (β1 ) e noutro com as restantes (β2), pretendemos testar as hipóteses:

� H0: β1 = 0

� H1: β1 ≠ 0




� Metodologia:

� Calcular SSreg para o modelo completo:� (com β1 e β2) → SSreg(β)

� Para avaliar a contribuição de β1 para a regressão, estimar um modelo assumindo válida H0: β1 = 0 (modelo reduzido):

� Y=X2 β2 +ε → SSreg(β2)

� Então, SSreg devido a β1, assumindo que β2 já está no modelo é: � SSreg(β1 |β2) = SSreg(β) - SSreg(β2)




� ET:

� Rejeitar se:

(teste unilateral à direita)

( )1 20 2

| /

ˆ

SSreg rF

σ=

β β

Estimado com o modelo completo.

( )0 , 1,F F r N p α> − −

Variabilidade adicional explicada pelo conjunto de variáveis em estudo

Variabilidade residual



Regressão Linear Múltipla Selecção de Variáveis

� Forward addition

Select the predictor having the highest correlation with y

Is variable significant?

Are other predictors

available?

No prediction

possible with MLRValidate model

No

Yes

Yes

Select additional

predictor

No

Examine final

model

Is selected predictor

significant?Yes

(Enter variable)

No

(Fail to enter)

j inf f> j inf f<




� NOTA:� As variáveis são testadas sequencialmente, de

acordo com a magnitude da estatística do teste F-parcial (partial F-test);� Se esta estatística for superior a “F to enter” (fin), a

variável passa a integrar o modelo;� Caso contrário, o processo pára.

� Variáveis seleccionadas não podem ser depois removidas.� Não explora o efeito que a adição de uma variável

pode ter naquelas já adicionadas.




� Backwardelimination

Select all variables and include them in the model

Is its contribution

significant ?

Validate model

No(Remove variable)

Nota:Variáveis eliminadas, não podem voltar a integrar o modelo numa fase posterior.

Select the variable that contributes the

least to explaining the Y variability

(when all others are in the model)

Yes(Do not remove variable )

j outf f>j outf f<




� Forward stepwise selection

j inf f>

Select the predictor having the highest correlation with y

Is variable significant?

Are other predictors

available?

No prediction

possible with MLR

Is variance explained

by each variable in the

model significant?

Validate model

No

Yes

Yes

Yes

Select additional

predictor

No

Examine final

model

No (Remove variables)

Is selected predictor

significant?

(Enter variable) Yes No (Fail to enter)

Nota:

Variáveis selecionadas podem vir a ser removidas posteriormente, caso se tornem redundantes quando outras forem adicionadas.

( )normalmente in out in outf f f f≥ =

j inf f<

j outf f<




� “Best subset” regression:� Para cada combinação distinta de k variáveis (k=kmin : kmax):

� Estimar o correspondente modelo MLR;� Calcular o valor do critério de “qualidade de ajuste”

seleccionado;� Ordenar as combinações de variáveis de acordo com o valor

do critério a que elas conduziram;� Guardar os resultados para as melhores N combinações;

� Apresentar os resultados para as melhores N combinações obtidas em cada subconjunto de dimensão k considerado (k=kmin : kmax).




� Critérios de qualidade de ajuste:� R2

� R2adj

� Mallows-Cp

� Uma medida do erro quadrático total do modelo de regressão

� Se o modelo postulado for correcto, Cp dever ser próximo de k+1 (número de parâmetros)

� Logo, escolher modelo para o qual o Cp é baixo e próximo de k+1.

( ) ( )22 1

ˆp

SSr kC n k

σ= − − +

Estimado com o modelo completo.

Estimado com o modelo em estudo (k variáveis).

Gráfico Cp vs p

Também penaliza a adição de variáveis sem poder explicativo




� Critérios de qualidade de ajuste (cont.):� Mallows-Cp

� É conveniente traçar um gráfico Cp vs. (k+1):� procurar qual o modelo com Cp mais baixo que está mais

próximo da recta Cp=k+1.

� PRESS

“Leverage” da observação i




� Statistica



Metodologia Geral de RLM




Passo 1Estudar estatísticas

e gráficos

Passo 2Formular o modelo

Passo 3Estimar o modelo

Passo 4

Validar

o

modelo

Passo 5Apresentar resultados.

Usar modelo.

Bom ajuste

OK!

Ajuste não satisfatório

� Metodologia em RL




1. Familiarização com os dados� Fazer uso extensivo de todas as ferramentas de estatística

descritiva que nos ajudem a familiarizar com os dados do nosso problema, por exemplo:

� Examinar médias, desvios padrão, alguns percentis, mínimos, máximos, para todas as variáveis de entrada e de saída;

� Examinar a matriz de correlação (existe colinearidade entre os x’s? qual/quais os x’s mais correlacionados linearmente com o y?);

� Construir gráficos de dispersão para todas as combinações de x’s e entre cada x e o y;

� Se os dados foram recolhidos ao longo do tempo, analisar, individualmente, o gráfico temporal para cada variável;

� Detectar e examinar outliers.




2. Formulação do modelo� Com base no conhecimento existente a priori e/ou com base nos

gráficos construídos em 1 para as relações entre y e os vários x’s, propor um modelo de regressão que relacione as variáveis de entrada com a variável de saída;




3. Estimar os parâmetros do modelo� Proceder ao ajuste do modelo aos dados recolhidos. Como

resultado, obtém-se as estimativas para os parâmetros do modelo definido em 2., bem como outras grandezas relacionadas (por exemplo, parâmetros de qualidade, valores de prova para diversos testes estatísticos). Deve-se então:

� Analisar os resultados em busca de variáveis eventualmente mais importantes na explicação da variabilidade de y;

� Avaliar a qualidade do ajuste;� Verificar se existe colinearidade entre as variáveis (calcular VIF para

cada variável existente no modelo), e se esta pode constituir um problema.




4. Validação do modelo estimado� Construir os seguintes gráficos envolvendo os resíduos, para

verificar se algum/ns dos pressupostos subjacentes aos modelos de regressão linear está/ão a ser violado/s:� Resíduos vs. valores previstos (para verificar, por exemplo, se a

variância dos resíduos não depende do nível de y);� Resíduos vs. cada uma das variáveis de entrada (verificar que

não existe estrutura por explicar devido, por exemplo, a não considerar termos não-lineares envolvendo as variáveis de entrada);

� Resíduos vs. tempo, ou sequência de observações (verificar a independência dos resíduos ao longo das observações);

� Gráficos de probabilidade normal para resíduos (verificar o pressuposto de normalidade dos resíduos).

� (Padrões não aleatórios são indicativo de um modelo não adequado)




5. Apresentar os resultados e usar o modelo� Nesta fase sintetizam-se os resultados para o modelo

desenvolvido (desde que este seja satisfatório). Os dados utilizados e pressupostos subjacentes devem ser também indicados. Usar então o modelo e criar uma metodologia que permita averiguar a sua validade ao longo do tempo, se o seu uso não se restringir à situação presente.



87


� Exemplo 2

� A rugosidade do papel é normalmente inferida indirectamente por um aparelho denominado “Bendtsen”.

� Este mede a quantidade de ar que passa entre um anel rígido e a superfície do papel durante um determinado intervalo de tempo, a qual está relacionada de alguma forma com a rugosidade do papel.

� Pretende-se estudar quais os factores fundamentais ao nível da rugosidade do papel, que influenciam estas medições.

� Para tal, recolheram-se perfis rigorosos da superfície do papel usando técnicas de perfilometria, em duas direcções (MD e CD), a partir dos quais foram calculados vários parâmetros geométricos com significados bem precisos.

� Que parâmetros fundamentais mais influenciam/explicam os resultados produzidos pelo Bendtsen?



88

Parâmetros dos perfis (X’s)

Ra Arithmetical mean deviation of profile

Rz Maximum height of profile

Rq RMS deviation of profile

Rp Maximum profile peak height

Rt Total height of profile

R Sm Mean width of profile elements

R Sk Skewness of profile

R Ku Kurtosis of profile

Rv Maximum profile valley depth

Rdq RMS slope of profile




89


CD

MD

Bendtsen

Perfilómetro

X’s – média dos parâmetros calculados para 3 perfis na direcção MD, CD (11+11=22)Y – média de 6 medições com o Bendtsen, nas mesmas posições



90


� Detecção de colinearidade

Correlations (AS.vs.Bendtsen)Marked correlations are signif icant at p < ,05000N=36 (Casew ise deletion of missing data)

Variable Ra_CD Rz_CD Rq_CD Rp_CD Rt_CD R Sm_CD R S_CD R Sk_CD R Ku_CD Rv_CD Rdq_CD Ra_MD Rz_MD Rq_MD Rp_MD Rt_MD R Sm_MD R S_MD R Sk_MDRa_CDRz_CDRq_CDRp_CDRt_CDR Sm_CDR S_CDR Sk_CDR Ku_CDRv_CDRdq_CDRa_MDRz_MDRq_MDRp_MDRt_MDR Sm_MDR S_MDR Sk_MDR Ku_MDRv_MDRdq_MD

1,00 0,99 1,00 0,94 0,96 0,89 0,89 0,46 -0,62 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,84 0,85 0,300,99 1,00 0,99 0,95 0,98 0,86 0,88 0,46 -0,51 0,96 0,84 0,97 0,97 0,97 0,93 0,94 0,79 0,83 0,311,00 0,99 1,00 0,94 0,97 0,89 0,89 0,46 -0,60 0,94 0,81 0,98 0,96 0,98 0,91 0,92 0,83 0,85 0,300,94 0,95 0,94 1,00 0,94 0,83 0,84 0,71 -0,54 0,81 0,77 0,89 0,91 0,89 0,97 0,89 0,70 0,74 0,570,96 0,98 0,97 0,94 1,00 0,88 0,91 0,48 -0,43 0,93 0,79 0,93 0,93 0,93 0,90 0,90 0,76 0,79 0,350,89 0,86 0,89 0,83 0,88 1,00 0,95 0,45 -0,57 0,80 0,49 0,83 0,78 0,82 0,75 0,73 0,86 0,80 0,290,89 0,88 0,89 0,84 0,91 0,95 1,00 0,38 -0,40 0,84 0,51 0,84 0,80 0,83 0,77 0,75 0,87 0,83 0,280,46 0,46 0,46 0,71 0,48 0,45 0,38 1,00 -0,45 0,19 0,34 0,36 0,42 0,36 0,67 0,41 0,22 0,22 0,89

-0,62 -0,51 -0,60 -0,54 -0,43 -0,57 -0,40 -0,45 1,00 -0,44 -0,47 -0,60 -0,54 -0,59 -0,52 -0,52 -0,58 -0,54 -0,280,94 0,96 0,94 0,81 0,93 0,80 0,84 0,19 -0,44 1,00 0,83 0,96 0,94 0,96 0,80 0,91 0,79 0,84 0,060,81 0,84 0,81 0,77 0,79 0,49 0,51 0,34 -0,47 0,83 1,00 0,84 0,88 0,84 0,79 0,87 0,47 0,58 0,180,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,83 0,84 0,36 -0,60 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,89 0,95 0,84 0,88 0,220,96 0,97 0,96 0,91 0,93 0,78 0,80 0,42 -0,54 0,94 0,88 0,98 1,00 0,98 0,93 0,99 0,75 0,84 0,280,98 0,97 0,98 0,89 0,93 0,82 0,83 0,36 -0,59 0,96 0,84 1,00 0,98 1,00 0,90 0,96 0,83 0,87 0,220,91 0,93 0,91 0,97 0,90 0,75 0,77 0,67 -0,52 0,80 0,79 0,89 0,93 0,90 1,00 0,92 0,67 0,75 0,590,92 0,94 0,92 0,89 0,90 0,73 0,75 0,41 -0,52 0,91 0,87 0,95 0,99 0,96 0,92 1,00 0,70 0,84 0,300,84 0,79 0,83 0,70 0,76 0,86 0,87 0,22 -0,58 0,79 0,47 0,84 0,75 0,83 0,67 0,70 1,00 0,90 0,120,85 0,83 0,85 0,74 0,79 0,80 0,83 0,22 -0,54 0,84 0,58 0,88 0,84 0,87 0,75 0,84 0,90 1,00 0,170,30 0,31 0,30 0,57 0,35 0,29 0,28 0,89 -0,28 0,06 0,18 0,22 0,28 0,22 0,59 0,30 0,12 0,17 1,00

-0,63 -0,53 -0,61 -0,51 -0,51 -0,61 -0,52 -0,31 0,74 -0,50 -0,40 -0,60 -0,49 -0,58 -0,48 -0,43 -0,63 -0,50 -0,290,89 0,90 0,89 0,75 0,85 0,71 0,73 0,13 -0,48 0,95 0,85 0,94 0,94 0,95 0,76 0,93 0,73 0,83 -0,030,68 0,73 0,68 0,69 0,68 0,36 0,37 0,37 -0,35 0,69 0,93 0,71 0,79 0,72 0,73 0,80 0,24 0,37 0,21

Ra_CD

Rz_CD

Rq_CD

Rp_CD

Rt_C D

R Sm_ CD

R S_CD

R Sk_CD

R Ku_CD

Rv_CD

Rdq_CD

Variable VIFRa_CD 13,01Rz_CD 10,98Rq_CD 12,89Rp_CD 18,42Rt_CD 7,07R Sm_CD 4,74R S_CD 5,54R Sk_CD 2,21R Ku_CD 1,59Rv_CD 4,26Rdq_CD 2,74Ra_MD 10,47Rz_MD 9,55Rq_MD 10,14Rt_MD 7,33R S_MD 6,98R Sk_MD 1,92R Ku_MD 1,68Rv_MD 3,01Rdq_MD 2,82



91


� Resultados: Stepwise Regression� MINITAB: Stat > Regression > Stepwise …

Step 1 Step 2

Resultados Finais



92


� Sumário dos resultadosForward Stepwise Backward Stepwise Forward addition Backward removal

Intercept -361,65 549,03 -361,65 549,03Ra_CD 210,51 210,51Rz_CDRq_CDRp_CD 41,22 41,22Rt_CDR Sm_CD -1,41 -1,41R S_CD -4,19 -4,19R Sk_CD -380,47 -380,47R Ku_CDRv_CDRdq_CD -4752,87 -4752,87Ra_MDRz_MDRq_MDRp_MD 37,86 37,86Rt_MDR Sm_MD 0,45 0,45R S_MDR Sk_MD 355,50 355,50R Ku_MDRv_MD 18,06 18,06Rdq_MD

R2 0,94 0,98 0,94 0,98

R2adj 0,94 0,97 0,94 0,97

Step 1

Step 2



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Ra Arithmetical mean deviation of profile

Rz Maximum height of profile

Rq RMS deviation of profile

Rp Maximum profile peak height

Rt Total height of profile

R Sm Mean width of profile elements

R Sk Skewness of profile

R Ku Kurtosis of profile

Rv Maximum profile valley depth

Rdq RMS slope of profile

Highest peak (in sampling length)

Average “wavelength” of irregularities

Results: interpretation



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� Resultados: “Best Subset” Regression� MINITAB: Stat > Regression > Best Subsets …� Statistica

Adjusted R square and standardized regression coefficients for each submodel

Stepwise

Para estudar modelos com # max. 10 variáveis, seria necessário estimar 4 194 302 modelos …



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� Resultados: “Best Subset” Regression� Matlab

1 2 3 40.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

Subsets

R2 ad

j

Best subset regression

Quantas variáveis usar no modelo?



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� Notas:� A ordem de entrada de variáveis não reflecte necessariamente a sua

importância relativa;� (Forward) stepwise é um método eficiente de selecção de variáveis,

recomendando-se o seu uso. Os resultados obtidos devem ser comparados com aqueles provenientes da aplicação de outros métodos (e.g. best subset, backward stepwise) para ganhar uma maior familiaridade com as características dos dados em estudo;

� (Backward) stepwise é um método útil, em particular quando se pretende assegurar que nada de importante é perdido durante a selecção de variáveis, mas o facto de começar com todas as variáveis pode conduzir a problemas de cálculo e a estimativas não muito boas, se existir colinearidade nos regressores;

� Procedimentos “Stepwise” são em geral preferíveis relativamente àqueles que não permitem a entrada e remoção de regressores.

� “Best subset” tende a fornecer modelos com muitas variáveis e é computacionalmente mais exigente. Deve-se escolher adequadamente a gama de variáveis a explorar, caso contrário pode-se não encontrar o melhor modelo. Deve-se também tentar vários critérios de qualidade, em particular R2

adj e Mallows Cp .


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Diagnóstico de “Outliers” e

Observações Influentes


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Regressão Linear

� Para além de validar o modelo é importante também diagnosticar e analisar:

� “Outliers”

� Observações (demasiado) influentes


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Regressão Linear

� “Outliers”� Observações que fogem aos padrões normais da dispersão de:

� Valores X’s� Previsões

� E.g. (previsão): resíduo com um valor absoluto bastante superior aos demais ( >3-4 desvios padrões do seu valor absoluto médio);

� Só devem ser rejeitados quando forem conhecidas as suas causas, e se existirem boas razões para o fazer;

� Caso contrário a decisão de rejeição dever ser bem pensada.


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Regressão Linear

� Observações influentes

� Observações com muito peso na estimativa do modelo, i.e. que exercem uma influência anormal no seu ajuste aos dados.


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Regressão Linear

Observation Order

Re

sid

ua

l

80757065605550454035302520151051

5,0

2,5

0,0

-2,5

-5,0

-7,5

Residuals Versus the Order of the Data(response is Y-Answer Time (Average) (secs))

Resíduos normalizados = Resíduo / SE(Resíduos)(>2 → Considerado elevado)

“Outliers”: Previsões


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Regressão Linear

� Tipos de resíduos� Resíduos

� Resíduos normalizados� Permite detectar facilmente resíduos elevados� Definição: Resíduo / SE(resíduos)� Subestimam a magnitude dos resíduos

� “Internally Studentized residuals”

� “Externally / Deleted studentized residuals”� Definição: semelhante ao anterior, mas com ri e σ2 estimados

sem a observação i: σ2 (i). � Desta forma, evita-se que a observação em causa possa interferir

negativamente no modelo, caso seja desviante e/ou influente.

“Outliers”: Previsões

( )2

1

ˆ 1

- Elemento i da diagonal de

( )

("Hat" matrix)

del ii

ii

ii

T T

rr

h

h

X X X X

σ

−

=−

=

H

H

Var(ri)


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Regressão Linear

� “Leverages” (hii – “hat value”)� Permitem detectar observações cujos valores de X se

afastem do “normal”.� Medida da distância entre cada valor de x e a média de

todos os valores de x:� Observações afastadas da média de X: “High Leverage Points”

� Estes resíduos possuem menor variância, pois têm uma maior influência na estimativa da recta de regressão (ver Var(ri))

� Observações próximas da média de X: “Low Leverage Points”

� Observações muito afastadas podem exercer uma grande influência na estimativa do modelo regressão;

� 0<L≤1: L é considerado elevado se > 2-3 x (p+1)/n, onde p é um número de regressores (X’s) e n o número de observações.

“Outliers”: Valores de X


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Regressão Linear� Distância de “Cook” (Di)

� Medida combinada do impacto (influência) de uma observação nas estimativas do modelo.

� Congrega informação sobre “leverages” e resíduos normalizados → i.e., combina:� Valores anormais nos X’s� Valores anormais em Y

� Corresponde a uma medida da distância entre os valores ajustados integrando a observação em causa e deixando-a de lado.� Di apresenta valores elevados quando:

� Resíduo elevado e “leverage” moderada� Resíduo moderado e “leverage” elevada� Resíduo e “leverage” elevados

� Comparar e verificar se existem Di’s muito elevados.� Analisar com maior detalhe:

� Belsey: Di >2 (p+1)/n (p = # variáveis = # parâmetros -1)� Fox: Di>4/(n-p)

Observações influentes


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Regressão Linear

Index

CO

OK

1

80726456484032241681

0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,00

Time Series Plot of COOK1

Minitab > Stat > Regression > Regression … > StorageMinitab > Graph > Time Series

engenharia de processos e sistemas construção de modelos ...marco/eps/edições...gepsi/ciepqpf...

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