Enfoque Multicritério para o Problema de Redistritamento Capacitado

Paulo M. França* Vinícius J. Garcia+ André Morelato* Fábio L. Usberti*

* Universidade Estadual de Campinas C.P. 6101 FEEC – 19093-970 Campinas - SP + Universidade Federal do Pampa/Universidade Federal de Santa Maria Rua Vasco Alves, 125 - 97542-600 Alegrete - RS

Resumo: É apresentado um enfoque multicritério para solucionar o problema do redistritamento capacitado. Neste problema tem-se um conjunto de distritos capacitados, contíguos e não superpostos, sendo que cada um deles é constituído por pequenas unidades territoriais. Quer-se reagrupar estas unidades territoriais em nova conformação de distritos de acordo com critérios conflitantes e que busquem preservar ao máximo certos aspectos da solução existente. O problema de redistritamento aparece sempre que a atual conformação dos distritos fica obsoleta e demanda reformas. É proposto um algoritmo construtivo multicritério aplicado ao problema de redistritamento de lotes urbanos de faturamento de concessionárias de energia elétrica. Quer-se reformular as fronteiras dos lotes de acordo com um critério geométrico de compacidade, assim como preservar ao máximo a atual associação cliente-lote. Experimentos computacionais exemplificam o funcionamento do método. Palavras-chave: Otimização multicritério, problemas combinatórios, redistritamento capacitado Abstract: In this paper a multicriteria approach aiming to solve the capacitated redistricting problem is proposed. In this problem we are given a set of capacitated, contiguous and non-overlapped districts, each of them constituted by a set of small territorial units or atoms. Due to obsolescence one wants to reformulate the existent district configuration according to conflicting objectives. One of them aims at preserving the existent configuration of districts. A constructive multicriteria algorithm is proposed and applied to solve a redistricting problem faced by electrical energy companies which would like to reshape the existent client billing units. Computational experiments demonstrate the effectiveness of the proposed approach. Keywords: Multicriteria optimization, combinatorial problems, capacitated redistricting problem

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1. Introdução

No âmbito da otimização combinatória, os chamados problemas de distritamento (ou agrupamento) têm a ver com um tipo de problema de partição onde um conjunto de n unidades contíguas de um território devem ser agrupadas em m < n distritos ou agrupamentos de forma a otimizar um ou mais critérios. As aplicações mais comuns de problemas de distritamento são o distritamento eleitoral, onde estados ou municípios são divididos em distritos eleitorais compactos e com igual número de eleitores e a divisão de territórios em distritos de vendas, onde se deseja projetar distritos os mais homogêneos possíveis. Há muitos problemas combinatórios próximos aos problemas de distritamento, como os problemas de bin packing ou p-medianas capacitado, mas há em geral considerações geográficas ou geométricas como contigüidade entre os distritos ou compacidade que conferem especificidades suficientes ao problema de distritamento para que ele seja considerado uma categoria à parte entre os problemas combinatórios. Outra característica freqüentemente encontrada em aplicações do problema de distritamento é o compromisso com a atual configuração dos distritos, o que faz com que ele seja designado como problema de redistritamento. Nestes casos há fatores complicadores, principalmente se há o desejo de se fazer um redistritamento que conserve o mais possível a situação existente. Neste artigo é apresentado um método multicritério para redistritamento voltado para uma situação específica representada pelos lotes urbanos de faturamento de empresas de energia elétrica. Os consumidores urbanos de energia são agrupados em lotes como uma forma de organizar e controlar a coleta dos seus dados de consumo de energia. O consumo mensal medido alimenta a fatura que, por sua vez, é enviada a cada cliente mensalmente. O faturamento do enorme contingente de clientes residenciais demanda uma complexa sistemática que começa com uma repartição da área de concessão em unidades regionais que, por sua vez, são também repartidas nos chamados lotes de faturamento.

É sobre cada lote de faturamento que se encontram definidas as rotas que são percorridas mensalmente por uma equipe de funcionários próprios ou terceirizados, os chamados leituristas. A fixação do número de lotes por unidade regional objetiva um melhor aproveitamento logístico das equipes de leituristas e, em geral, é definido de modo a permitir que as equipes se ocupem integralmente de um lote para cada dia útil do mês. Esta é a razão de cada regional ter aproximadamente 20 lotes, que para efeito de otimizar o tamanho das equipes, devem ter uma mesma carga de leitura medida em homens.hora. Assim, uma mesma equipe de x pessoas é capaz de realizar no transcurso do mês as leituras de todas as unidades consumidoras da regional.

Este seria um cenário ideal de repartição da área de concessão visando a uma otimização logística da tarefa de leitura dos medidores. Entretanto, restam ainda para cada lote definir adequadamente a quantidade de rotas e o percurso de cada uma, decisões que também causam impactos fortes nos custos operacionais de leitura.

Ocorre que muitas concessionárias às vezes nem dispõem de um plano racional de leitura, e nas que o têm, as modificações que vão sendo introduzidas por força do crescimento vegetativo do mercado, de seu adensamento, das transformações urbanas e da expansão de seu sistema elétrico tendem a desarranjar o equilíbrio entre lotes e desatualizar as rotas. Disso resulta uma degradação da eficiência com que se realizam os trabalhos de leitura e faturamento dos seus clientes. Dados levantados junto a uma concessionária paulista indicam que numa regional tomada ao acaso verificaram-se distorções de +58% até -31% da média de consumidores por lote da unidade; +26% até -10% da média de funcionários leituristas por lote, assim como significativas distorções com relação ao número de rotas e de leituras feitas.

Por conseguinte, a tarefa que se delineia, após a constatação da degradação das condições operacionais da atual configuração dos lotes, é a de redefinir os limites geográficos dos lotes procurando equilibrar suas cargas de leitura, sem porém desprezar os seus formatos, que devem favorecer a construção a posteriori de eficientes rotas de leituristas. É importante ressaltar que esta redefinição é realizada sobre uma configuração de lotes existente e que essas alterações

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tendem a causar impactos que devem ser minimizados. Tais impactos e o seu tratamento serão abordados na próxima seção.

O foco do presente artigo se coloca na construção de metodologia matemático-computacional para auxiliar a redefinição otimizada dos lotes de faturamento de concessionárias de energia elétrica. A restrição a este tipo de concessionária se prende ao fato que os estudos de caso que serão levados a efeito usam dados de uma concessionária de energia, mas a sua aplicação é imediata para outros tipos de serviço público que demandam leituras mensais de medidores como água, gás, etc.

Devido a sua complexidade e tamanho, o escopo deste artigo se limita aos problemas de redistritamento da área de concessão, deixando para outra oportunidade os problemas de definição das rotas dos leituristas dentro de cada lote.

2. Descrição do Problema

Esta seção é voltada para a definição do tipo de problema de agrupamento que se delineia para o estudo em foco, com especial ênfase para a justificativa de uma abordagem multicritério e quais os critérios que são relevantes. Para isso é necessário agregar algumas informações faltantes.

A Agência Nacional de Energia Elétrica - ANEEL -, através da Resolução 456, regulamenta as condições gerais de fornecimento de energia elétrica, visando aprimorar o relacionamento entre os agentes responsáveis pela prestação do serviço público de energia elétrica e os consumidores. Ela estabelece, entre outras coisas, que uma concessionária se obriga a fazer as leituras em intervalos de 30 dias, podendo variar, entretanto, entre 27 e 33 dias. Além disso, precisa apresentar a fatura aos consumidores com prazo mínimo de 5 dias para que o seu pagamento seja efetuado. É facultado aos consumidores escolher o dia do pagamento entre 6 diferentes datas distribuídas ao longo do mês.

Ao se decidir redefinir o tamanho e conformação dos lotes de cada unidade regional de uma concessionária, dois objetivos se descortinam prontamente:

• Critério de Homogeneidade: os novos lotes devem ser os mais homogêneos possíveis quanto à carga de trabalho da equipe de leituristas. Com isso persegue-se uma minimização dos custos operacionais de mão de obra, como salientado na seção anterior.

• Critério Geográfico: a forma geográfica dos novos lotes deve ser a mais compacta possível. Com isso objetiva-se conformar os lotes para que o desenho posterior de suas rotas de leitura seja o mais eficiente possível. É do senso-comum que formas de lote alongadas e tortuosas tendem a dificultar o traçado rotas economicamente eficientes.

Entretanto, ao se reconfigurar os lotes em conformidade com os critérios acima, pode-se obter uma solução que implica em um volume muito grande de realocações de datas de leitura. Por exemplo, suponha que o medidor de um consumidor era lido todo dia 15 do mês e que na nova solução proposta ele passou a ser lido antecipadamente todo dia 5. Como este intervalo fica fora do prazo máximo de 27-33 dias entre leituras consecutivas, como determina a Aneel, este consumidor deve ser avisado com antecedência da alteração, além de que a antecipação de leitura implica em maior demora de seu faturamento, dado que sua data de pagamento não pode ser alterada por iniciativa da empresa. Este aumento no prazo de faturamento causa uma perda financeira para a concessionária.

Se o número de alterações for grande, o balanço entre a diminuição dos custos operacionais e o aumento dos custos financeiros (além de transtornos não mensuráveis) pode tornar pouco atraente a solução proposta. Por isso, impõe-se um terceiro critério para uma adequada modelagem do problema.

• Critério de Conformidade: os novos lotes devem alterar o mínimo possível as atuais associações entre consumidores e suas datas de leitura.

Os raciocínios descritos compõem um problema de (re)distritamento capacitado multicritério (PDCM) de grande dimensão, visto que em geral as aplicações mais atraentes

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situam-se em grandes cidades com centenas de milhares de medidores a serem lidos mensalmente.

3. Problemas de Distritamento Multicritério

Na sua forma monocritério clássica, o problema de distritamento capacitado (PDC) é definido a partir de um conjunto dado de clientes (ou unidades) onde cada elemento tem associado pesos ou demandas que devem ser agrupados em p distintos distritos, cada qual com uma capacidade conhecida. É sabida a distância euclidiana entre cada par de clientes. Cada cliente deve ter sua demanda designada integralmente a exatamente um distrito, com o objetivo sendo achar um cliente (também conhecido como mediana) em cada um dos distritos para o qual a soma das distâncias dele para todos os outros clientes do distrito seja minimizada. A capacidade de cada distrito deve ser suficiente para atender as demandas dos clientes do distrito.

O PDC é um problema de otimização combinatória e numa de suas mais conhecidas formas ele é descrito como o problema das p-medianas capacitado (Mulvey & Beck, 1984; Osman & Christofides, 1994; França et al., 1999; Lorena & Senne, 2004; Ahmadi & Osman, 2005). Ele foi provado pertencer à classe NP-complete (Garey & Johnson, 1979). Devido a sua complexidade, algoritmos exatos têm-se mostrado incapazes de solucionar instâncias de dimensões reais. Por isso, a maior parte da literatura técnica está dedicada a métodos heurísticos e metaheurísticos. As heurísticas classificam-se em métodos construtivos onde uma solução é construída por meio da adição sucessiva e criteriosa de novos elementos, e métodos de melhoria ou busca local onde um mecanismo troca iterativamente elementos de uma solução inicial dada em busca da melhoria da função objetivo. A maior desvantagem das heurísticas de busca local é sua incapacidade de avançar além dos ótimos locais, o que pode resultar em soluções insatisfatórias. Metaheurísticas são procedimentos interativos de otimização que são sobrepostos a métodos de busca local com o poder de fazer avançar a busca além dos ótimos locais, sendo capazes de gerar muitos deles e com resultados melhores se comparados aos alcançados por simples heurísticas locais ou construtivas. Desde a década de 80, uma grande variedade de metaheurísticas vem sendo aplicada na solução do PDC. Dentre as mais relevantes é possível salientar a Busca Tabu (Glover & Laguna, 1997; França et al., 1999), Simulated Annealing (Kirkpatrick et al. 1983; Osman & Christofides, 1994), GRASP (Feo & Resende, 1989; Ahmadi & Osman, 2005), além dos Algoritmos Genéticos (Holland, 1975; Chiou Y-C & Lan, 2001), que em geral não são classificados como metaheurísticas mas com o mesmo poder de gerar grande variedade de ótimos locais de boa qualidade.

O PDCM por seu turno tem recebido menor atenção. As principais aplicações do PDCM têm sido voltadas para os problemas de distritamento eleitoral e para os problemas de divisão territorial de vendas. No primeiro problema, mais presente em países que adotam o voto distrital, o objetivo é dividir uma região eleitoral, como um estado ou um município, em distritos eleitorais “neutros”, ou seja, que não favoreçam nenhum partido ou candidato distrital devido a sua conformação geográfica (Mehrotra et al. 1998). Em problemas de divisão territorial para vendedores, buscam-se regiões com características semelhantes entre si de modo a não favorecer determinado vendedor ou estabelecimento (Zoltners & Sinha, 1983).

Várias técnicas têm sido empregadas para solucionar o PDCM. Em Bergey et al. (2003a) é usado um sistema de suporte à decisão, em Bergey et al. (2003b) é utilizado um algoritmo genético híbrido em que a parte da intensificação fica por conta de um método de simulated

annealing. Em Pereira et al. (2006) o distritamento regional visando a adoção de tarifas diferenciadas de transporte público é resolvido usando também um algoritmo genético híbrido.

4. Formulação Matemática

O PDCM objeto desta pesquisa deve ser aplicado a uma unidade regional de concessionária de distribuição de energia elétrica, que para efeito prático resume-se a uma área urbana delimitada. O objetivo é redefinir os limites geográficos dos p lotes de faturamento de acordo com os critérios de homogeneidade, geográfico e de conformidade citados na seção

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anterior. Para um melhor entendimento do problema é apresentada a seguir a sua formulação matemática.

O modelo matemático do PDCM requer a definição de um grafo conexo e não-orientado G = (I, A), onde I é o conjunto dos n nós e A é o conjunto das m arestas. A correspondência entre o grafo e a planta urbana da área é obtida associando-se um nó i a cada cruzamento da planta e uma aresta e a cada segmento de rua entre dois cruzamentos. Sabe-se também a distância dij entre cada par de nós (i, j). Esta distância pode ser simplesmente tomada como a distância euclidiana calculada a partir das coordenadas dos nós (i, j) ou a distância mínima entre eles calculada por algum algoritmo de caminhos mínimos. Em problemas clássicos de distritamento, a cada nó i está associado um peso ou demanda ai, que no caso em estudo pode ser o número de medidores ou de consumidores associados ao nó i. Porém, como o PDCM em questão busca lotes equilibrados em relação à carga de leitura, achou-se que, analogamente, o peso de cada nó deveria refletir a carga de leitura associada a cada nó. Por carga de leitura de um nó entende-se o tempo necessário para ler um conjunto de medidores que podem ser associados ao nó. Parece lógico que o ai de cada nó deve então ser calculado como uma composição proporcional dos tempos de leitura das arestas incidentes ao nó i. Considere a figura 1a, onde é mostrada uma parte de um grafo e os tempos de leitura associados às arestas do grafo.

Figura 1. (a) Tempos de leitura associados às arestas; (b) Cálculo do peso ai de cada nó

A título de ilustração considere o cálculo do peso associado ao nó 7. Há 4 arestas

incidentes com tempos de leitura 8, 6, 8 e 10. Como é intenção repartir proporcionalmente (na realidade é igualmente, pois toda aresta do grafo é incidente a somente dois nós) o seu tempo de leitura aos nós a que incide, o peso do nó 7 é igual a 16, ou seja, a soma da metade dos tempos de leitura das 4 arestas incidentes a ele, como mostra a figura 1b. Para efeito da construção do critério de conformidade, é necessário saber-se também a quantidade atual de medidores associado ao nó i. Como este número está armazenado por segmento de rua e, por conseguinte, associado a cada aresta do grafo, é possível associar este dado a cada nó utilizando-se do mesmo expediente usado para calcular o tempo de leitura associado a cada nó i. Assim, para cada nó i torna-se disponível a quantidade atual de medidores mi. Considere que zik =1 denota que o nó i está atualmente designado ao lote k= 1,..., p e zik = 0, caso contrário. Desta forma a quantidade de medidores atualmente associada ao lote k é dada por

1

n

i ik

i

m z=

∑ .

Seguem as definições dos parâmetros e variáveis usadas no modelo. Os conjuntos I e J ⊆ I designam respectivamente os n nós do grafo e os q nós candidatos a medianas. A localização das q medianas e a associação dos n nós às respectivas medianas constituem os principais resultados que se quer saber. Para isso criam-se as variáveis binárias xij ∀i∈I, ∀j∈J que, se iguais a 1, indicam se o nó i é alocado à mediana j; caso contrário ela é zero. Além disso, as variáveis binárias yj ∀j∈J indicam se o nó j é uma mediana (yj=1) ou não (yj =0). Considere

a b

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adicionalmente a função ( ) tal que 1, 1,2,...j Jk j y k pα ∈= = ∀ = que identifica o número

correspondente da mediana do késimo lote. Finalmente, é preciso saber a capacidade Cj de cada lote j = 1,..., p. Sabe-se que ai é o

tempo de leitura associado ao nó i. Assim, a capacidade Cj pode ser estimada usando-se a média

dos tempos de leitura da área toda, Tmed = 1

1 n

i

i

ap =

∑ . Como Tmed é um limitante inferior à

capacidade dos lotes, deve-se antes ajustar um parâmetro β>0 para se obter a capacidade de cada lote Ci = βTmed. Adicionalmente, este parâmetro mede aproximadamente o desvio máximo que se admite para uma solução com respeito às diferenças entre as cargas de leitura dos lotes.

Antes de escrever o modelo matemático é conveniente aprofundar o entendimento sobre os dois primeiros critérios. Quanto ao critério de homogeneidade, que força os lotes a terem a mesma carga de leitura, é possível transforma-lo em restrição, bastando impedir que os nós associados a cada lote j não ultrapassem a respectiva capacidade Cj. Em relação ao critério geográfico, que na realidade é um critério de compacidade dos lotes que visa a facilitar a tarefa de construir rotas eficientes numa fase posterior, é possível conseguir-se bons resultados ao se minimizar a soma dos momentos dos nós associados às medianas dos lotes. Por momento de um nó i entende-se o produto da distância euclidiana do nó à mediana j pelo peso ai, ou seja, (dij . ai). Este enfoque foi usado em França et al. (1999), tendo-se observado que a minimização dos momentos resulta em agrupamentos compactos e contíguos, além de substituir com vantagem o emprego de funções de inspiração geométrica na avaliação da compacidade dos lotes. Em conseqüência, o modelo matemático do PDCM se escreve:

( )

1

21,...,

min

min

.

1;

; ,

;

, {0,1} ; ,

,

{0,1} ; , 1,..., dado

ij iji

i I j J

i iki kk p i I

j

j J

ij

j J

ij j

i ij j

i I

ij j

ik

f d a x

f m x z

s a y p

x i I

x y i I j J

a x C j J

x y i I j J

I n J q

z i I k p

α

∈ ∈

= ∈

∈

∈

∈

=

= −

=

= ∈

≤ ∈ ∈

≤ ∈

∈ ∈ ∈

≡ ≡

∈ ∈ =

∑∑

∑ ∑

∑

∑

∑

O critério f1 garante a compacidade dos lotes, enquanto o critério f2 orienta a busca por soluções que se afastem o mínimo possível das atuais associações consumidor-lote. Note que os critérios são conflitantes e a busca por soluções de compromisso fica mais árdua na medida em que a atual configuração esteja muito desbalanceada em relação ao tamanho dos lotes. A restrição (1) garante que a repartição contém exatos p lotes, enquanto que as restrições (2) garantem que todos os nós do grafo são alocados a medianas. As desigualdades lógicas (3) asseguram que alocações somente são feitas a nós medianas, as restrições (4) equalizam os tamanhos dos lotes, as restrições (5) definem as variáveis como binárias, enquanto que as restrições (6) fornecem a cardinalidade dos conjuntos de nós a serem alocados e a de nós candidatos a serem medianas, respectivamente. As restrições (7) na realidade correspondem a um dado e indicam as atuais alocações consumidor-lote.

5. Metodologia de Resolução

Antes de descrever a técnica que será empregada na solução do PDCM é interessante observar que nos problemas multicritério perde-se o conceito de busca por soluções ótimas, pelo

(1)

(2)

(3)

(4)

(5) (6) (7)

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fato de não existir solução que seja ótima em relação a todos os objetivos conflitantes. Haverá, portanto, um conjunto de soluções eficientes no qual nenhuma é melhor que outra com relação a todos os objetivos. Este conjunto é chamado no espaço dos critérios de fronteira de Pareto ou conjunto Pareto-ótimo. A um decisor caberá escolher uma ou mais soluções desse conjunto que melhor o satisfaça, considerando, por exemplo, os objetivos gerais por ele escolhidos ou uma função utilidade pré-definida.

O passado recente tem revelado que, dentre as técnicas desenvolvidas para solucionar os problemas de otimização combinatória multicritério (POCM), as metaheurísticas têm prevalecido. Uma versão multicritério do Simulated Annealing é apresentada por Czyzak e Jaszkiewicz (1994). A Busca Tabu multicritério tem recebido muitas contribuições, sendo as mais bem sucedidas as propostas de Gandibleux et al. (1997) e Baykasoglu et al. (1999). Mas parece vir da categoria dos algoritmos evolutivos as contribuições mais relevantes e em maior número. Uma boa revisão do estado-da-arte dos POCM na área dos algoritmos genéticos pode ser encontrada em Zitzler et al. (2004). Um dos motivos que tornam estas técnicas muito adequadas para a aproximação do conjunto Pareto-ótimo é o emprego de uma população de soluções candidatas, permitindo que uma aproximação de todo o conjunto Pareto-ótimo seja obtida em uma única execução.

No âmbito deste artigo pretende-se apresentar uma estratégia para apenas gerar um conjunto inicial de soluções não-dominadas. Esta decisão prende-se ao fato de ser esta tarefa já bastante complexa, sobretudo pelo fato das aplicações serem em redes de grande porte, ficando a implementação de uma estratégia evolutiva como uma continuidade desta pesquisa.

A estratégia proposta para solucionar o modelo (1-7) em relação a f1 e f2 é dividir a busca por um conjunto de soluções não-dominadas em duas fases. Na fase 1 um primeiro método resolve o problema monocritério que minimiza apenas f1 sujeito às restrições (1-6). De posse desta solução, passa-se à fase 2 onde se busca a minimização de f2 sujeito a (7). O primeiro problema restringe-se a resolver o PDC com função objetivo de minimização dos momentos. Para isso pretende-se usar um método heurístico eficiente e rápido pois ele deve ser executado muitas vezes.

Uma vez obtida uma solução que minimiza f1, que corresponde a uma configuração dos lotes de faturamento que privilegia uma repartição com boa conformação geográfica, compacta e contígua, passa-se à fase 2, onde se deve proceder a uma avaliação da solução da fase 1 com respeito à f2. Entretanto, é importante observar que o valor de f2 depende da numeração que foi atribuída aos lotes na nova solução. Explicando melhor. Para facilitar o entendimento e sem perda de generalidade é possível admitir que os p lotes atuais são lidos seqüencialmente nos dias 1, ..., p. Assim, o lote 1 é lido no primeiro dia útil do mês, o lote 2 no segundo dia, etc. Analogamente, pode-se associar aos lotes da nova repartição uma numeração seqüencial que corresponde aos lotes que serão agora lidos no primeiro dia, segundo dia, etc. Ora, dependendo desta associação, o valor de f2 muda para melhor ou para pior. A estratégia da fase 2 passa a ser encontrar uma permutação da seqüência de dias de leitura que minimiza f2.

Para efeitos práticos esta permutação pode ser transferida para a “variável” fixa zik que é um dado do problema e que passa na fase 2 a ser uma variável verdadeira na forma ziπ(k), onde π(k) é uma permutação de k= 1, 2, ...., p. A figura 2 ilustra o comportamento das duas fases mencionadas no espaço dos critérios. Na fase 1, resolve-se um PDC com a relação à f1 e obtém-se uma solução que satisfaz do ponto de vista da compacidade dos lotes, assim como da sua homogeneidade quanto à equidade da carga de leitura. Permutando-se a numeração dos lotes nesta solução (ou na numeração original) obtém-se uma série de soluções diferentes em relação à f2, representada na figura 1 pelas linhas tracejadas. O ponto cheio mais à esquerda de cada linha tracejada representa a melhor solução quanto à f2. Nota-se que muitas dessas soluções são dominadas, sendo que as não-dominadas formam a fronteira aproximada de Pareto.

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Figura 2. Funcionamento do método de resolução do PDCM

Algumas observações se aplicam.

• A avaliação de cada valor de f2 é imediata. • Não é necessário fazer a permutação completa dos números dos lotes (p!). Na realidade

um lote só deve receber um novo número dentre aqueles que são seus vizinhos, o que limita enormemente a combinatória. Esta observação é de bom-senso, visto que os lotes já existem e apenas estão sendo reconfigurados. É sensato pois admitir que eles vão sofrer alterações de forma, mas de pequenas proporções, aumentando ou diminuindo de tamanho. É isso que nos faz supor que, no máximo, eles devem trocar de numeração apenas com os seus vizinhos.

• É possível sofisticar o critério f2 se for considerado o número total de dias de leitura que foram alterados, ao invés de somente a quantidade de medidores.

• Outra sofisticação seria considerar o intervalo de 27 a 33 dias de leitura permitido pela Aneel, desconsiderando como alteração de data de leitura aqueles consumidores que caíssem dentro destes limites.

• Uma outra observação diz respeito a garantir uma alta diversidade de soluções na fase 1. Isso pode ser conseguido com diferentes critérios para geração das sementes das medianas, que constitui uma etapa inicial dos algoritmos propostos para o PDC monocritério. Com isso, obtém-se um conjunto de soluções não-dominadas que pode compor uma boa população inicial de um algoritmo evolutivo.

5.1 Fase 1: Algoritmos monocritério para o PDC

Como salientado na sessão anterior, a resolução do PDCM se faz em duas fases: na fase 1 resolve-se um PDC monocritério onde são geradas as diversas soluções minimizando apenas f1 sujeito às restrições (1-6) e depois passa-se à fase 2 onde se buscam soluções não-dominadas por meio da otimização de f2. Dois algoritmos foram testados. O método de Ahmadi & Osman (2005), que é uma bem sucedida combinação de GRASP (Feo & Resende, 1989) com Adaptive

Memory Programming – AMP (Glover , 1997) e que recebeu o nome de GRAMPS. Em favor da rapidez necessária na execução, no presente trabalho foi apenas implementada a parte construtiva do GRAMPS. Ela se apóia na criativa idéia de gerar sementes de medianas usando o conceito de densidade dos nós do grafo e na idéia de fazer as alocações nó-mediana com base na função arrependimento. Usa também um procedimento que intercala fases de construção com desconstrução na busca de soluções cada vez melhores. Um outro método implementado foi o de Osman & Christofides (1994), cuja fase construtiva é mais elementar do que a de Ahmadi & Osman, porém bem mais rápida. Ele se baseia em três etapas: (1) a escolha da localização das medianas de cada agrupamento, (2) a designação dos nós às medianas e (3) readequação de cada agrupamento para redefinir a nova posição da mediana. Uma dificuldade enfrentada na aplicação dos dois métodos tem sido obter soluções factíveis com baixos valores de desvio entre as cargas de leitura dos lotes (veja o parâmetro β

f1

f2

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embutido nas restrições 4). Por factibilidade entenda-se a não ocorrência de enclaves nas soluções, que corresponde à hipótese de só haver lotes contíguos em uma solução. Em geral, para valores de β abaixo de 25% verificam-se alguns enclaves pequenos que precisam ser retirados posteriormente.

6. Experimentos computacionais

Os experimentos computacionais realizados contemplaram um problema real de redistritamento de lotes de consumidores de uma região de uma grande cidade brasileira. Nesta região foram considerados 1.381 cruzamentos de ruas, que se transformaram nos nós do problema de agrupamento e 4.020 segmentos de rua (arestas) com 166.446 pontos de consumo. Os métodos desenvolvidos foram implementados com a linguagem de programação C++ e executados em um computador da família PC com processador Intel Pentium 4 3.2 GHz com 512 MB de memória RAM. Para todos os resultados foram consideradas 10 repetições de cada teste. Como são necessárias várias soluções para o critério f1 para a posterior avaliação do critério f2, foi fixado um número de 50 soluções a serem geradas em ambos os métodos. A Figura 3 inclui todas as soluções geradas e o respectivo conjunto aproximado de Pareto para os métodos de Osman & Christofides (OC) (“sol.ger.OC” e “front.OC”, respectivamente) e Ahmadi & Osman (AO) (“sol.ger.AO” e “front.AO”, respectivamente). Para facilitar a análise dos resultados, os valores de f1 e f2 são expressos como o percentual de um valor máximo de referência para cada um dos critérios. Comparando-se os conjuntos “front.AO” e “front.OC” é possível concluir que o conjunto aproximado de Pareto obtido com o método AO apresenta valores melhores se comparado ao

conjunto obtido com o método OC. Figura 3: Soluções geradas e conjuntos aproximados de Pareto obtidos com os métodos AO e

OC. Entretanto, convém salientar que o tempo computacional gasto pelo método AO é significativamente maior que o tempo computacional gasto pelo método OC: enquanto este requer apenas 27 segundos por execução, aquele necessita 4.394 segundos. Tal diferença se deve às sofisticações do método AO, que realiza uma série de operações na construção e desconstrução dos agrupamentos toda vez que uma nova mediana é criada.

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As figuras 4 e 5 permitem avaliar a disposição dos lotes e a carga relativa de cada um dos agrupamentos. A figura 4 mostra a solução extrema do conjunto aproximado obtido com o método AO (85,3;71,8), localizada no canto inferior esquerdo da figura 3. A figura 5 mostra a outra solução extrema do mesmo conjunto obtido com o mesmo método (84;80,4). Observando-se o carregamento médio de cada agrupamento, calculado a partir da soma de todas as demandas dividida pelo número de lotes, verifica-se que a solução (84;80,4) apresenta valores mais equilibrados quanto ao carregamento, dado que se quer obter carregamentos mais próximos de 100 em todos os lotes. Por outro lado a solução (84;80,4) tende a deteriorar o respeito à situação existente, representada pelo maior valor de f2. Outro aspecto que merece destaque diz respeito às diferenças entre a carga de leitura dos lotes de uma mesma solução: pelos estudos realizados, tal discrepância se deve à grande dispersão entre os valores das demandas dos nós, pois o menor valor de demanda é 0 e o maior valor é 8.110.

Figura 4: Solução (85,3;71,8) do conjunto aproximado de Pareto obtido com o método AO.

7. Conclusões

Este trabalho apresenta uma comparação entre duas abordagens construtivas para resolver o problema de redistritamento capacitado multricritério: obter soluções que favoreçam o arranjo compacto e contíguo de distritos urbanos e que alterem o mínimo possível as atuais associações entre os nós e suas medianas. A metodologia de redistritamento foi aplicada ao problema de redefinir lotes de faturamento de concessionárias de energia elétrica. É proposto um modelo matemático que inclui as duas funções objetivo definidas e as respectivas restrições associadas. A seguir são descritos a metodologia de resolução empregada e os resultados computacionais obtidos na resolução de um problema de redistritamento real.

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Figura 5: Solução (84;80,4) do conjunto aproximado de Pareto obtido com o método AO.

Os resultados apresentados sugerem que há um certo compromisso entre eficiência e tempo computacional quando são comparados os métodos propostos por Ahmadi & Osman (2005) e Osman & Christofides (1994). Embora o primeiro tenha um conjunto aproximado de Pareto de melhor qualidade, o tempo computacional requerido é significativamente maior que o segundo. Também cabe salientar a grande dificuldade em se achar soluções onde as cargas dos lotes sejam equilibradas ao mesmo tempo que se respeita a contigüidade dos mesmos (existência de enclaves). Os desdobramentos deste trabalho incluem o acoplamento de uma busca local aos algoritmos construtivos objetivando chegar-se a soluções com menores desvios entre os distritos, mitigando a possibilidade de ocorrência de enclaves.

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