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ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS Uma introdução objetiva dedicada a estudantes interessados em tecnologias de aproveitamento de fontes renováveis de energia. Prof. M. Sc. Rafael Urbaneja

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ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

Uma introdução objetiva dedicada a estudantes interessados em

tecnologias de aproveitamento de fontes renováveis de energia.

Prof. M. Sc. Rafael Urbaneja

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

1

4. LEIS DA EMISSÃO

Retomando alguns conceitos importantes...

4.1. CORPO NEGRO

4.1.1. Conceito geral

a. Todo corpo à temperatura maior que 0 K (zero Kelvin, zero absoluto) emite radiação num espectro

contínuo de frequências, ou seja, não existem “espaços vazios” no espectro.

b. Todo corpo absorve e emite radiação. Quando a temperatura do corpo é maior que a do ambiente a

seu redor, a taxa de emissão é maior que a taxa de absorção. Quando a temperatura do corpo é menor

que a do ambiente a seu redor, a taxa de emissão é menor que a taxa de absorção.

4.1.2. Corpo negro (CN)

Define-se como corpo negro o meio ou substância que absorve toda a radiação incidente sobre ele,

independentemente do comprimento de onda, direção de incidência ou estado de polarização. Nenhuma

componente da radiação incidente é refletida ou transmitida.

Figura 4.1: Ilustração de corpo negro perfeito à temperatura 0 K.

Para entender o conceito, imagine um corpo isolado do seu meio externo, com paredes idealmente

isolantes. Como não há trocas com o meio externo, dizemos que o corpo se encontra em equilíbrio

termodinâmico, isto é, o corpo se apresenta em:

Equilíbrio térmico: Não há gradientes de temperatura. A temperatura do corpo é constante e

homogênea;

Equilíbrio mecânico: Não há forças líquidas ou tensões, isto é, a pressão é constante em todas os

pontos do corpo;

Equilíbrio radiativo: O campo de radiação dentro do corpo é constante, isto é, o fluxo de radiação que

entra no corpo é igual ao que sai;

Equilíbrio químico: As taxas de todas as reações químicas são balanceadas por suas reações inversas,

tal que a composição química é a mesma em todo o corpo;

Suponha agora que esse corpo apresenta uma pequeníssima abertura. Toda a radiação incidente nesta

abertura é absorvida e retida em seu interior, visto que a probabilidade de ser refletida dentro do corpo de

forma a voltar pelo mesmo orifício é muito pequena. Por essa razão, a abertura é perfeitamente

absorvedora ou “negra”.

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

2

A radiação que eventualmente saia pela abertura alcançou equilíbrio térmico com o material que constitui

o corpo. Essa radiação emitida pela abertura é denominada radiação de corpo negro e apresenta as

seguintes características:

é isotrópica;

não polarizada;

independe da constituição e da forma do corpo em questão;

depende apenas da temperatura do corpo e do comprimento de onda da radiação.

Figura 4.2: Ilustração de um corpo negro à temperatura T> 0 K.

Observa-se experimentalmente* o aumento da intensidade das radiações de maior frequência emitidas

com o aumento com a temperatura do corpo emissor, ou seja, quanto maior a temperatura do corpo

emissor maior abundância de radiação de alta frequência emitida pelo corpo considerado.

Corpos a temperaturas mais altas tendem a emitir radiação na região do visível, enquanto corpos a

temperaturas mais baixas emitem radiação na região do infravermelho.

Da necessidade de análise dessas observações surgiu o estabelecimento da grandeza Radiância espectral

L(𝜈) a ser definida formalmente oportunamente. Observe a Figura 4.3:

Figura 4.3: Ilustração da variação da Radiância espectral do corpo negro em função da frequência de radiação.

Note que quanto mais alta for a temperatura do corpo negro mais alta é a frequência da radiação de

Radiância máxima no espectro. Dessa forma é possível determinar a temperatura de um corpo negro em

função da distribuição de sua Radiância espectral.

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

3

4.1.2. Emissividade (ελ)

É definida como a razão entre a energia emitida por um determinado corpo, num determinado

comprimento de onda, e a correspondente energia emitida por um CN à mesma temperatura do corpo

considerado.

𝜀𝜆 =𝑈𝜆,𝑇

𝑈𝐶𝑁𝜆,𝑇

Portanto, εCN= 1.

4.1.3. Absortância (aλ)

É a razão entre a quantidade de energia absorvida e o total de energia que incide sobre um determinado

corpo, para um dado comprimento de onda.

𝑎𝜆 =𝑈𝑎𝑏𝑠𝜆

𝑈𝑖𝑛𝑐𝜆

Portanto, aCN= 1.

4.1.4. Refletância (rλ)

É a relação entre a energia refletida para o hemisfério de origem e a radiação incidente, para um dado

comprimento de onda.

𝑟𝜆 =𝑈𝑟𝑒𝑓𝜆

𝑈𝑖𝑛𝑐𝜆

Pela definição de CN, rCN= 0.

4.1.5. Transmitância (tλ)

É a relação entre a energia transmitida e o total incidente, para um dado comprimento de onda.

𝑡𝜆 =𝑈𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝜆

𝑈𝑖𝑛𝑐𝜆

Para o CN tem tCN= 0.

Naturalmente, pela Lei da Conservação da Energia:

𝑎𝜆 + 𝑟𝜆 + 𝑡𝜆 = 1

4.2. Lei de Kirchoff

Relaciona as propriedades refletivas, emissoras e absorvedoras de um material.

Vamos imaginar um sistema fechado em que existem apenas dois corpos diferentes ― A ― um corpo

negro e ―B ― um corpo não negro, com áreas infinitas e espessuras semi-infinitas em equilíbrio térmico (a

temperatura de ambos os corpos não variam com o tempo).

Para que ocorra o equilíbrio, a radiação incidente em B proveniente de A deve ser igual à radiação

incidente em A proveniente de B.

Vamos representar a radiação proveniente do corpo negro A que incide em B (em equilíbrio à temperatura

T): Mλ(T); e que A absortância de B é aλ e a refletância de B é rλ.

Então a radiação refletida por B é:

𝑟𝜆. 𝑀𝜆(𝑇) = (1 − 𝑎𝜆). 𝑀𝜆(𝑇)

Admitindo que a emissão própria de B como sendo: Eλ(T)

Então necessariamente:

(1 − 𝑎𝜆). 𝑀𝜆(𝑇) + 𝐸𝜆(𝑇) = 𝑀𝜆(𝑇) ⇒ 𝐸𝜆(𝑇) = 𝑎𝜆. 𝑀𝜆(𝑇)

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

4

Ou seja, para cada comprimento de onda (λ) a energia emitida por um corpo está diretamente ligada à

energia que absorve naquele mesmo comprimento de onda, através de sua absortância (ou coeficiente de

absorção).

Por exemplo:

a. Se a absortância da superfície do corpo é 1 (corpo negro) então o corpo absorve toda a energia

naquele comprimento de onda e emite em condições de corpo negro no mesmo comprimento de onda;

b. Se a absortância da superfície do corpo é 0 então o corpo não absorve nenhuma energia naquele

comprimento de onda e consequentemente não emite energia comprimento de onda;

Propriedades:

1. em condições de equilíbrio, a capacidade de um corpo irradiar está diretamente relacionada com sua

capacidade de absorver radiação, ou seja, um corpo emite radiação em comprimentos de onda que ele

pode absorver;

2. a emissão de radiação em determinado comprimento de onda (λ) é determinado apenas pelas

características físicas do corpo emissor (αλ) e da temperatura (Mλ(T));

3. todos os corpos negros à mesma temperatura emitem absorvem radiação exatamente da mesmo

forma*;

* Analise a situação seguinte: sejam dois corpos negros A e B, por hipótese à mesma temperatura, e

próximos de tal forma que um absorve a radiação que o outro emite. Logo, se B absorve mais radiação que

emite, então sua temperatura vai aumentar enquanto A absorve menos radiação que emite então a

temperatura de A diminui, o que contraria a hipótese.

4. a radiação emitida pelos corpos negros em um dado comprimento de onda depende apenas da

temperatura do corpo;

5. à mesma temperatura um corpo não negro emite menos radiação que outro corpo negro.

4.3. Lei de Planck

Estabelece a distribuição espectral associada à máxima Radiância espectral que pode ser emitida por um

corpo em equilíbrio termodinâmico a uma dada temperatura T.

𝐿𝜆𝐶𝑁=

2. ℎ. 𝑐2

𝜆5. [exp(ℎ. 𝑐𝜆. 𝑘. 𝑇⁄ ) − 1]

(𝑊. 𝑚−2. 𝑠𝑟−1/𝑚)

onde:

c= velocidade da luz no vácuo= 299.792.458 m/s≈ 3.108 m/s;

h= constante de Planck = 6,6262.10-34J.s;

K= constante de Boltzmann= 1,3807.10-23 J/K;

T= temperatura do corpo negro (K);

λ= comprimento de onda (m).

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

5

Figura 4.4: Irradiância monocromática para corpo negro para várias temperaturas.

Do diagrama acima podemos observar as seguintes características importantes:

a) Se a temperatura (T) do irradiador aumenta a irradiação L(λmax,T) aumenta;

b) Se a temperatura (T) do irradiador aumenta a o comprimento de onda máximo (λmax) diminui;

c) Observa-se também a constatação da Lei de Wien, a ser apresentada no próximo item.

Podemos escrever a Lei de Planck introduzindo como variável a frequência da radiação (𝜈). Temos então

𝐿𝜈𝐶𝑁=

2. ℎ. 𝜈3

𝑐2. [exp(ℎ. 𝜈𝑘. 𝑇⁄ ) − 1]

(𝑊. 𝑚−2. 𝑠𝑟−1/𝐻𝑧)

Note que:

para h𝜈/kT>> 1, a expressão acima se reduz a

𝐿𝜈𝐶𝑁=

2. ℎ. 𝜈3

𝑐2 . [exp −(ℎ. 𝜈

𝑘. 𝑇⁄ )]

que é o limite de Wien, para altas energias.

para h𝜈/kT<< 1, a expressão acima se reduz a

𝐿𝜈𝐶𝑁=

2. 𝜈2

𝑐2 . 𝑘. 𝑇

que é o limite de Rayleigh-Jeans, útil na região espectral das microondas (λ> 1 mm), e que está de acordo

com o modelo clássico.

4.4. Lei de Wien

A lei do deslocamento de Wien apresentada abaixo possibilita estimar a temperatura de uma fonte a

partir de seu espectro de emissão.

𝜆𝑚𝑎𝑥. 𝑇 = 2898 𝜇𝑚. 𝐾

onde λmáx é o comprimento de onda da radiação mais intensa para a irradiação de um corpo a uma dada

temperatura T.

A lei de Wien permite prever que a radiação solar é principalmente concentrada nas regiões do visível e

infravermelho próximo, enquanto a radiação emitida pela Terra e sua atmosfera, é principalmente

confinada ao infravermelho.

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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Figura 4.5: Deslocamento do comprimento de onda da radiação para várias temperaturas.

Note que quanto maior a temperatura do corpo radiante, menor é o comprimento de onda da máxima

radiação,

𝑠𝑒 𝑇1 > 𝑇2 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑇1) < 𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑇2)

Para ilustrar apresentamos dois exemplos práticos:

sabendo-se que a máxima emissão solar ocorre no comprimento de onda ~ 0,475 m teremos

𝜆𝑚𝑎𝑥 . 𝑇 = 2898 𝜇𝑚. 𝐾 (0,475). 𝑇𝑆𝑜𝑙 = 2898 𝑇𝑆𝑜𝑙 =2898

0,475= 6.101 𝐾

ou ainda,

sabendo-se que a máxima emissão terrestre ocorre no comprimento de onda ~ 10,0 m teremos

𝜆𝑚𝑎𝑥 . 𝑇 = 2898 𝜇𝑚. 𝐾 (10,0). 𝑇𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 = 2898 𝑇𝑇𝑒𝑟𝑟𝑎 =2898

10,0= 289,8 𝐾

4.5. Lei de Stefan-Boltzmann

Estabelece uma relação de proporção direta entre a irradiância emitida por um corpo negro, já integrada

sobre todo espectro eletromagnético, e a quarta potência da temperatura deste corpo.

Se integrarmos a equação que apresenta a Lei de Plank em todo espectro eletromagnético, vamos obter a

radiância integrada, ou seja:

𝐿(𝑇) = ∫ 𝐿𝜆𝐶𝑁

0

𝑑𝜆

𝐿(𝑇) = ∫2. ℎ. 𝑐2

𝜆5. [exp(ℎ. 𝑐𝜆. 𝑘. 𝑇⁄ ) − 1]

0

𝑑𝜆 =

Para integrar essa expressão é recomendável efetuar uma substituição de variáveis: faremos

ℎ. 𝑐

𝜆. 𝑘. 𝑇= 𝑥 𝜆 =

ℎ. 𝑐

𝑥. 𝑘. 𝑇=

ℎ. 𝑐

𝑘. 𝑇. 𝑥−1

𝑑𝜆 = −ℎ. 𝑐

𝑘. 𝑇. 𝑥−2. 𝑑𝑥

então

𝐿𝜆𝐶𝑁. 𝑑𝜆 =

2. ℎ. 𝑐2

𝜆5. [exp(ℎ. 𝑐𝜆. 𝑘. 𝑇⁄ ) − 1]

. 𝑑𝜆 =2. ℎ. 𝑐2

(ℎ.𝑐

𝑥.𝑘.𝑇)

5

. [exp(𝑥) − 1].ℎ. 𝑐

𝑘. 𝑇. 𝑥−2. 𝑑𝑥

logo

𝐿𝜆𝐶𝑁. 𝑑𝜆 =

2. ℎ. 𝑐2

(ℎ5.𝑐5

𝑥5.𝑘5.𝑇5) . [exp(𝑥) − 1]

.ℎ. 𝑐

𝑘. 𝑇. 𝑥−2. 𝑑𝑥 =

2. ℎ. 𝑐2

ℎ5. 𝑐5. [exp(𝑥) − 1].ℎ. 𝑐

𝑘. 𝑇. 𝑥−2. 𝑥−5. 𝑘−5. 𝑇−5. 𝑑𝑥

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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logo

𝐿𝜆𝐶𝑁. 𝑑𝜆 = −

2. 𝑘4. 𝑇4

ℎ3. 𝑐2.

𝑥3

[exp(𝑥) − 1]. 𝑑𝑥

então

𝐿(𝑇) = ∫2. ℎ. 𝑐2

𝜆5. [exp(ℎ. 𝑐𝜆. 𝑘. 𝑇⁄ ) − 1]

0

𝑑𝜆 = ∫ −2. 𝑘4. 𝑇4

ℎ3. 𝑐2.

𝑥3

[exp(𝑥) − 1]

0

. 𝑑𝑥

e

𝐿(𝑇) = −2. 𝑘4. 𝑇4

ℎ3. 𝑐2. ∫

𝑥3

[exp(𝑥) − 1]

0

. 𝑑𝑥

portanto

𝐿(𝑇) =2. 𝜋4. 𝑘4

15. ℎ3. 𝑐2. 𝑇4

Para calcular a Emitância devemos integrar a Irradiância (𝐿(𝑇)) num hemisfério (ver aula anterior). Então

𝐸(𝑇) = ∫ ∫ cos 𝜃.

𝜋

2

0

2𝜋

0

𝐿(𝑇). sin 𝜃. 𝑑𝜃. 𝑑𝜙 = 𝜋. 𝐿(𝑇)

portanto

𝐸(𝑇) = 𝜋.2. 𝜋4. 𝑘4

15. ℎ3. 𝑐2. 𝑇4

ou

𝐸(𝑇) =2. 𝜋5. 𝑘4

15. ℎ3. 𝑐2. 𝑇4 = 5,67. 10−8. 𝑇4

ou

𝐸(𝑇) = 𝜎. 𝑇4

onde

𝜎 = 5,67. 10−8 𝑘𝑔. 𝑠−3. 𝐾−4

Como exemplo vamos determinar a emitância radiante total de um corpo negro à temperatura do Sol (~

5770K) e à temperatura da Terra (~ 300 K)

Resolução:

Dado que

𝐸(𝑇) = 𝜎. 𝑇4 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜎 = 5,67. 10−8 𝑘𝑔. 𝑠−3. 𝐾−4

Para o Sol (T~ 5770 K) teremos

𝐸(5770 K) = 5,67. 10−8. (5770)4 = 6,28. 107 W/𝑚2

e para o Terra (T~ 300 K) teremos

𝐸(300 K) = 5,67. 10−8. (300)4 = 459,3 W/𝑚2

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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EXERCÍCIOS

EXERCÍCIO 1. Uma estrela, admitida esférica, de raio R e temperatura T apresenta Irradiância E W/m2 (J/s.

m2), de forma isotrópica para todo espaço. Calcule o fluxo de energia (W= J/s) e a intensidade de

radiação(W/st= J/s.st) emitida por essa estrela.

RESOLUÇÃO:

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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Obs.: neste trabalho adotaremos a nomenclatura da Organização Meteorológica Mundial (O. M. M.).

1. Ângulo sólido (Ω)

Dada uma superfície esférica de raio de curvatura r, definimos como elemento infinitesimal de ângulo

sólido (dΩ) de um elemento infinitesimal de área (ds) daquela superfície como a razão entre a área do

elemento de área (ds) e o quadrado do raio de curvatura (r) da superfície, ou seja:

𝑑𝛺 =𝑑𝑠

𝑟2

Obs.: Embora medidas de ângulos sejam grandezas adimensionais para quantifica-las, no Sistema

Internacional de Unidades (S. I. U.), emprega-se como unidade o esterradiano (sr).

Conforme a Figura 3.1, e com a aplicação de um sistema de coordenadas esféricas, com origem (O) no

centro da circunferência S

Figura 3.1: Ilustração de um sistema de coordenadas esféricas.

podemos escrever que o elemento infinitesimal de área ds é dado por

𝑑𝑠 = (𝑟. 𝑑𝜑). (𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜃) (𝑒𝑞. 3.2)

Então o elemento infinitesimal de ângulo sólido (dΩ) é dado por

𝑑𝛺 =𝑑𝑠

𝑟2=

(𝑟. 𝑑𝜑). (𝑟. 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜃)

𝑟2

e portanto

𝑑𝛺 = 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑. 𝑑𝜃 (𝑒𝑞. 3.3)

Obs.: Como ilustração vamos calcular o ângulo solido definido por uma esfera.

Como

𝑑𝛺 = 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑. 𝑑𝜃

então

𝑑𝛺 = ∫ ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑. 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝜋

0

= ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑. ∫ 𝑑𝜃

2𝜋

0

𝜋

0

como

∫ 𝑑𝜃

2𝜋

0

= 2𝜋

então

𝑑𝛺 = ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑. (2𝜋) = 2𝜋.

𝜋

0

∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑

𝜋

0

e

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑

𝜋

0

= −𝑐𝑜𝑠𝜑|0𝜋 = −(𝑐𝑜𝑠 𝜋 − 𝑐𝑜𝑠 0) = −(−1 − 1) = 2

então

𝑑𝛺 = 2𝜋. ∫ 𝑠𝑖𝑛𝜑. 𝑑𝜑

𝜋

0

= 2𝜋. (2) = 4𝜋

Obs.:

1. Para ângulos sólidos pequenos, a área da calota pode ser aproximada à área de um círculo, o que

permite facilitar os cálculos. Neste caso, fazendo θo ângulo plano de abertura do ângulo solido, podemos

escrever:

𝑑Ω =𝜋. 𝑟2. sin2 𝜃

𝑟2= 𝜋. sin2 𝜃

2. Segundo Slater (1980), o angulo é dado com exatidão pela expressão

𝑑Ω = 2. 𝜋. (1 − cos 𝜃)

1. Fluxo (𝝓): É a potência radiante. Ou seja, é quantidade de energia (U) observada (ou detectada) por

unidade de tempo.

𝝓 =𝒅𝑼

𝒅𝒕 𝑢𝑛𝑖𝑑(𝜙) =

𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽)

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑠)= 𝑤𝑎𝑡𝑡 (𝑊)

2. Irradiância (I): É o quociente entre o fluxo

energético observado através de dado

elemento de área de dada superfície,

perpendicular à direção de propagação.

𝑰 =𝝓

𝒅𝑨=

(𝑑𝑈

𝑑𝑡)

𝑑𝐴=

𝑑𝑈

𝑑𝑡 𝑑𝐴 𝑢𝑛𝑖𝑑(𝐼)

=𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽)

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑠). 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2(𝑚2)

=𝑤𝑎𝑡𝑡

𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜2(𝑚2) (

𝑊

𝑚2)

Obs.: quando consideramos a Irradiância

para uma determinada fonte de radiação

aplica-se a denominação específica de

Emitância.

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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Então, como a energia que incide num observador daquela estrela é proveniente de uma esfera de área

𝐴 = 4. 𝜋. 𝑅2

e, como

𝐼 =𝜙

d𝐴 ⇒ 𝐸0 =

𝜙

4. 𝜋. 𝑅2 ⇒ 𝜙 = 𝐸0. 4. 𝜋. 𝑅2

3. Intensidade radiante (P): É a razão entre o

fluxo de energia observado através de dado

elemento de área e o ângulo sólido

determinado pelo elemento de área.

𝑷 =𝝓

𝒅𝜴=

(𝑑𝑈

𝑑𝑡)

𝑑𝛺=

𝑑𝑈

𝑑𝑡. 𝑑𝛺 𝑢𝑛𝑖𝑑(𝑃) =

𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 (𝐽)

𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 (𝑠). 𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜(𝑠𝑟)=

𝑤𝑎𝑡𝑡

𝑒𝑠𝑡𝑒𝑟𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 (

𝑊

𝑠𝑟)

Nessas condições a intensidade de radiação emitida pela estrela é:

𝑃 =𝜙

𝑑𝛺 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝜙 = 𝐸0. 4. 𝜋. 𝑅2 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒𝑙𝑎 𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑑𝛺 = 4. 𝜋

então

𝑃 =𝜙

𝑑𝛺=

𝐸0. 4. 𝜋. 𝑅2

4. 𝜋= 𝐸0. 𝑅2

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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EXERCÍCIO 2. Um planeta de raio RP realiza uma órbita em torno de uma estrela de raio RE. Esta estrela é

isotérmica à temperatura TE e emite radiação como um corpo negro. Qual é o fluxo total emitido por essa

estrela?

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a Irradiância (I) ― que para o caso específico de uma fonte de energia (como no caso de uma

estrela) recebe a denominação especifica de Emitância ― é dada por

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴

onde, para a estrela dA= 4.π. RE2, então

𝐼 =𝜙

4. 𝜋. 𝑅𝐸2 ⇒ 𝜙 = 𝐼. 4. 𝜋. 𝑅𝐸

2

E como pela Lei de Stefan-Boltzman

𝐼 = 𝜎. 𝑇4

então para a estrela na temperatura TE

𝐼 = 𝜎. 𝑇𝐸4

𝜙 = 𝐼. 4. 𝜋. 𝑅𝐸2 = (𝜎. 𝑇𝐸

4).4. 𝜋. 𝑅𝐸2

logo,

𝜙 = 4. 𝜋. 𝜎. 𝑅𝐸2. 𝑇𝐸

4

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

13

EXERCÍCIO 3. A órbita do planeta em torno da estrela do exercício anterior é excêntrica a ponto da

distância que os separa sofrer variações de cerca de 20 % em relação à média. Avalie a Irradiância incidente

no planeta nos pontos de máximo e mínimo afastamento.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a Irradiância é definida por

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴

e que através da superfície da estrela a Emitância é dada por

𝐼 =𝜙

4. 𝜋. 𝑅𝐸2

logo, o fluxo de energia através da superfície da estrela e dado por

𝜙 = 𝐼. 4. 𝜋. 𝑅𝐸2

Agora vamos considerar uma segunda esfera de raio R centrada no centro da estrela e que envolve a

referida estrela.

O fluxo de energia através dessa segunda esfera é

𝜙 = 𝐼𝑟 . 4. 𝜋. 𝑟2

onde IR é a Emitância produzida pela estrela sobre a superfície de raio R.

Aplicando o principio da conservação de energia, o fluxo através da superfície da estrela e da esfera de raio

R é o mesmo, então

𝐼. 4. 𝜋. 𝑅𝐸2 = 𝐼𝑟 . 4. 𝜋. 𝑟2 ⇒ 𝐼. 𝑅𝐸

2 = 𝐼𝑟 . 𝑟2 ⇒ 𝐼𝑟 = 𝐼.𝑅𝐸

2

𝑟2

E aplicando a lei de Stefan-Boltzman

𝐼 = 𝜎. 𝑇𝐸4 ⇒ 𝐼𝑟 = 𝜎. 𝑇𝐸

4.𝑅𝐸

2

𝑟2

Então, no periélio, onde r=Rmin= 0,8 R teremos

𝐼R𝑚𝑖𝑛= 𝜎. 𝑇𝐸

4.𝑅𝐸

2

(0,80𝑅)2= 1,56. 𝜎. 𝑇𝐸

4.𝑅𝐸

2

𝑅2

e no afélio,onde r= Rmax= 1,20 R teremos

𝐼R𝑚𝑎𝑥= 𝜎. 𝑇𝐸

4.𝑅𝐸

2

(1,20𝑅)2= 0,69. 𝜎. 𝑇𝐸

4.𝑅𝐸

2

𝑅2

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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EXERCÍCIO 4. Admitindo conhecidos a distância média entre Sol e Terra e o diâmetro do Sol e que não há

perdas de energia no trajeto calcular o fluxo de energia que o Sol emite admitindo que o valor da constante

colar é 1353 W/m2.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a Irradiância é definida por

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴

e que através da superfície do Sol a Emitância é dada por

𝐼𝑆 =𝜙

4. 𝜋. 𝑅𝑆2

logo, o fluxo de energia através da superfície da estrela e dado por

𝜙 = 𝐼𝑆. 4. 𝜋. 𝑅𝑆2

Agora vamos considerar uma segunda esfera de raio RST centrada no centro do Sol e que o envolve.

O fluxo de energia através dessa segunda esfera é

𝜙 = 𝐼𝑆𝑇 . 4. 𝜋. 𝑅𝑆𝑇2

onde IST é a Emitância produzida pelo Sol sobre a superfície de raio RST, e portanto IST= Go= 1353 W/m2

Aplicando o principio da conservação de energia, o fluxo através da superfície do Sol e da esfera de raio RST

é o mesmo, então

𝐼𝑆. 4. 𝜋. 𝑅𝑆2 = 𝐺𝑜 . 4. 𝜋. 𝑅𝑆𝑇

2 ⇒ 𝐼𝑆. 𝑅𝑆2 = 𝐺𝑜 . 𝑅𝑆𝑇

2 ⇒ 𝐼𝑆 = 𝐺𝑜 .𝑅𝑆𝑇

2

𝑅𝑆2

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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EXERCÍCIO 5. Admita uma lâmpada incandescente de potência nominal 100 W que emite de forma

isotrópica. Calcule a que distância dessa fonte deve ser colocado um anteparo para que incida sobre ele o

mesmo fluxo energético que o Sol produz sobre a Terra.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a Irradiância é definida por

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴

Para o Sol, no topo da atmosfera

𝐼 = 𝐺𝑜 = 1353 𝑊/𝑚2

Para a lâmpada à distância d

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴=

100

4. 𝜋. 𝑑2

Para que o fluxo energético da lâmpada no anteparo tenha mesma intensidade que o Sol produz sobre a

Terra

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴=

100

4. 𝜋. 𝑑2= 𝐺𝑜 ⇒ 𝑑2 =

100

4. 𝜋. 𝐺0 ⇒ 𝑑 = √

100

4. 𝜋. 𝐺0= 0,077 𝑚

ENERGIA SOLAR: CONCEITOS BASICOS

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EXERCÍCIO 6. Em 1967 a Volkswagen lançou o “fusca” com motor de 1300 cc e potência de 45 cv (1 hp=

1,0138 cv= 745,7 W). Admitindo que à velocidade de cruzeiro o “fusca” desenvolva a potência de 30 hp

calcule a área de coletor solar necessária para produzir essa potência. Admita eficiência 100 % e incidência

normal para os raios solares.

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a Irradiância é definida por

𝐼 =𝜙

𝑑𝐴 ⇒ 𝑑𝐴 =

𝜙

𝐼

Para o Sol, no topo da atmosfera

𝐼 = 𝐺𝑜 = 1353 𝑊/𝑚2

A potência necessária para mover o “fusca” nas condições do problema

𝜙 = 30 ℎ𝑝 = 30 ℎ𝑝. 745,7 𝑊

ℎ𝑝= 22371 𝑊

então, como

𝑑𝐴 =𝜙

𝐼=

22371 𝑊

1353 𝑊

𝑚2

= 16,5 𝑚2