enem em fasciculos fasciculo 4 2013 matematica farias brito

INTRODUÇÃO

Os números soltos, isolados, para nada servem, mas, embutidos de signifi cados tudo explicam. Construir signifi cados para as razões, proporções e porcentagem é o foco principal do texto seguinte. Para isso, você terá acesso a uma consistente fundamentação teórica, acompanhada de situações-problema dentro das habilidades de Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias, matriz essa que serve de base para o Enem.

OBJETO DO CONHECIMENTO

Razões e ProporçõesNa fi cção ou na realidade, as razões e proporções

acompanham os seres. Afi nal, tudo é uma questão de escala. Vejamos dois questionamentos, sendo o primeiro fi ctício, nos quais os conceitos de razão e proporção são fundamentais para a compreensão e a elaboração das respectivas respostas.

1. O que aconteceria se alguém crescesse e se tornasse grande como um gigante?

Certamente cairia no chão com o fêmur quebrado ao dar o primeiro passo. Entendeu? Se não, observe: a altura aumenta em uma direção, a área, em duas e o volume, em três. Se a altura de uma mulher fi casse 10 vezes maior, a secção transversal (área) do conjunto de ossos e músculos que a sustenta contra a gravidade fi caria 10 · 10 = 100 vezes maior, já o seu volume (e, portanto, a sua massa) fi caria 10 · 10 · 10 = 1000 vezes maior. O resultado disso tudo é que os ossos destinados a mantê-la erguida não suportariam o seu peso, sendo estilhaçados. É por essas e outras que cada ser deve ter o tamanho certo, pois mudanças quantitativas podem fazer imensas diferenças qualitativas.

“Uma questão de escala”. In: O universo e a xícara de chá, K.C. Cole – Adaptado.

2. Qual é o automóvel mais econômico: o de Carlos que consome 24 litros de gasolina para percorrer 240 km ou o de Fabíola que percorre 180 km com 20 litros de gasolina? Quantos por cento mais econômico?

MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS

4Fascículo

ENEM EM FASCÍCULOS - 2013

O presente fascículo tem como objetivo geral o estudo da proporcionalidade voltada para situações-problema vivenciadas no cotidiano,

conforme se tem contemplado no Enem. Para uma melhor compreensão desse tema, dividiremos o assunto em três tópicos:

• Razões e Proporções;• Proporcionalidade na Geometria;• Função Afi m (Linearidade).

Bom estudo para você!

CARO ALUNO,

Dividindo-se o número de quilômetros percorridos pela respectiva quantidade de gasolina consumida, temos:I. Para o automóvel de Carlos:

N de km

N de litros

km

Lkm L

º

º/= =

240

2410

(dez quilômetros por litro)

Isso signifi ca que, em média, o automóvel de Carlos percorre 10 km para cada litro de combustível consumido.II. Para o automóvel de Fabíola:

N de km

N de litros

km

Lkm L

º

º/= =180

209

(nove quilômetros por litro)

Isso signifi ca que, em média, o automóvel de Fabíola percorre 9 km para cada litro de combustível consumido.

O automóvel mais econômico é o que gasta menos combustível para percorrer uma mesma distância. Observando que o m.m.c. (10, 9) = 90, consideremos a distância de 90 km. Como o automóvel de Carlos gasta, em média, 1 litro para percorrer 10 km, então para percorrer 90 km ele gastaria apenas 90 : 10 = 9 litros, enquanto o automóvel de Fabíola gastaria 90 : 9 = 10 litros. Assim, o automóvel de Carlos é o mais econômico, economizando 10 – 9 = 1 litro de gasolina para cada 10 litros consumidos pelo carro da Fabíola. Matematicamente, temos:

Economia de Carlos

Consumo de Fab ola

L

Lí= = = =1

10

1

10

10

10010%

(“1 para 10” ou “10 para 100” ou “dez por cento”).

Isso nos diz que para cada 100 litros de gasolina consumidos pelo carro de Fabíola, o automóvel de Carlos gastaria 10 litros a menos, para fazer o mesmo percurso.

Se o amigo leitor teve difi culdade para compreender alguma passagem nesses questionamentos, não se preocupe.

Leia com atenção os tópicos a seguir e, depois, volte e reveja-as.

Conceito de Razão• A razão entre duas grandezas é o quociente entre elas.

Assim, por exemplo, se numa festa comparecerem 20 homens e 30 mulheres, dizemos que:

I. A razão entre o número de homens e o de mulheres na festa é:

n de s

n de

º

º

homen

mulheres(lê -se: 2 para 3)= =20

30

2

3

Enem em fascículos 2013

2 Matemática e suas Tecnologias

Isso significa que para cada 2 homens existem 3 mulheres.

II. A razão entre o número de mulheres e o total de pessoas na festa é:

n de mulheres

n total de

º

º pessoas(lê -se: 3 para 5)=

+= =20

20 30

30

50

3

5

Isso nos diz que para cada 5 pessoas na festa, 3 são são mulheres.• As grandezas envolvidas em uma razão podem ser de

espécies diferentes. Por exemplo, se na festa citada, as mulheres consumiram 120 salgadinhos e os homens consumiram 100, dizemos que:

I. A razão entre o número de salgados consumidos pelos homens e o número de homens foi de:

n de s s

n de s

º

º

algado

homens

salgados

homensalgados / homem= =100

205

(lê-se: 5 salgados por homem)

Isto signifi ca que, em média, cada homem consumiu 5 salgados.

II. A razão entre o número de salgados consumidos e o número de pessoas foi de:

n de s s

n de pessoas

º

º

( )

( ),

algado

pessoas

salgados= ++

=120 100

30 204 44 salgados pessoa/

(lê-se: 4,4 salgados por pessoa)

Isto é, em média, cada pessoa consumiu 4,4 salgados.Em geral , dados dois números reais a e b , com

b ≠ 0 , usamos a

b ou a : b para indicar a razão entre a e b ,

respectivamente.

Na razão a

b (lê-se: a para b), o número a é chamado

de antecedente e o número b, de consequente.

Raz o entre ea

bã a b =

Porcentagem (ou percentagem)É a fração por cento de qualquer coisa, isto é, é a

quantidade correspondente a 100 coisas quaisquer.

Pp

por cento% ( )=100

l -se:ê p

Exemplo:a) Em um grupo de 100 estudantes, 13 falam inglês

fl uentemente, isto é, 13% (lê-se: 13 por cento) do grupo fala inglês. Note:

falam ingl s

totalpor cento

ê ê= =3

10013 13% ( )l -se:

Escalas numéricas (E)É a razão entre um comprimento no desenho (d) e o

seu correspondente comprimento no tamanho real (D), medidos numa mesma unidade.

Ed

D=

Uma escala pode ser representada grafi camente. Nesse caso, usamos um segmento de reta graduado, em que cada graduação corresponde a 1 cm de comprimento no desenho.

Escala1 cm 1 cm

E E300 km 30.000.000 cm

ou 1:30.000.000

0 km 300 km 600 km 900 km 1200 km

Observe que, sendo a escala (E) um quociente, quanto maior o divisor (o denominador D, a distância real), menor é seu valor.

Exemplo:Em uma fotografi a aérea, um trecho retilíneo de uma

estrada que mede 12,5 km aparece medindo 5 cm e, na mesma fotografi a, uma área queimada aparece com 9 cm2.

Nessas condições, a fotograf ia está na esca la

Ecm

km

cm

cm= =5

12 5

5

1 250 000, . ., ou seja, E = 1

250 000.

E = 1: 250.000. Essa escala nos diz que 1 cm na fotografi a corresponde a 250.000 cm (2,5 km), na realidade. Assim, 9 cm2 (área queimada na fotografia) corresponde a 9 · (2,5 km)2 = 9 · (6,25 km2) = 56,25 km2.

ProporçãoProporção é uma igualdade entre duas razões. Quando

dizemos que os números reais a, b, c, d, não nulos, formam, nessa ordem, uma proporção, signifi ca que se tem a seguinte igualdade:

a

b

c

dou a b c d= =: :

(Lê-se: a está para b, assim como c está para d)

Observe, na última igualdade acima, que os termos a e d fi caram nas extremidades (a e d são chamados de extremos da proporção); já os termos b e c fi caram no meio (b e c são os meios da proporção).

Propriedades da proporção

Se a

b

c

d= , com a, b, c, d, reais não nulos, temos:

a

b

c

dk

a kbc kd

= = ⇒ =={ (k é a constante de proporcionalidade)

Sendo assim, temos as seguintes propriedades:

I. a

b

c

d= ⇒ ad bc (propriedade fundamental)

“Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.”

II. a

b

c

d

a

b

c

d

a c

b d= ⇒ = = +

+

III. a

b

c

d

a

a b

c

c d= ⇒

+=

+


3Matemática e suas Tecnologias

Exemplo:Duas jarras idênticas contêm poupa de fruta e água

nas proporções 3:7 na primeira e 3:5 na segunda. Julgando o suco da primeira “muito fraco” e o da segunda “muito forte”, Dona Benta resolveu juntar os conteúdos das duas jarras numa vasilha maior, obtendo, a seu ver, um suco na proporção ideal de poupa de fruta e água. Considerando J o volume de uma jarra, podemos descobrir essa proporção ideal, utilizando as propriedades das proporções. Veja:

I. Na primeira jarra:poupa

gua

poupa

poupa guapoupa J gua

á áá= ⇒

+=

+⇒ = ⋅ =3

7

3

3 7

3

10

7

10( ) e ⋅⋅ J

Note: poupa + água = J (volume da jarra)

II. Na segunda jarra:poupa

gua

poupa

poupa guapoupa J J

áá= ⇒

+=

+⇒ = ⋅ = ⋅3

5

3

3 5

3

8

5

8( )á e gua

III. Juntando-se as duas jarras, obteremos:

poupa

gua

J J

J J

J J

J Já=

⋅ + ⋅

⋅ + ⋅=

+

+= =

310

38

710

58

12 1540

28 2540

27

5327 : 553

Daí, a proporção ideal consiste em 27 partes de poupa de fruta para 53 partes de água.

Números diretamente proporcionais

Considere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência: (2, 6, 4, 10)

x2

x3

2ª sequência: (6, 18, 12, 30)

x2

x3

Nessas sequências, observe que elas crescem ou decrescem na mesma razão direta, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente desse elemento na outra sequência também triplica. Em outras palavras, os elementos correspondentes nas duas sequências estão na mesma razão. Veja:

6

2

18

6

12

4

30

103

612 3 430 3 10

= = = =

⋅⋅

= ⋅= ⋅

, isto ,

6 = 3 218 = 3é

Em geral, dizemos que os números da sucessão numérica (a

1, a

2, a

3, ..., a

n ) são diretamente proporcionais

(ou simplesmente proporcionais) aos números da sucessão (b

1, b

2, b

3, ..., b

n ) quando as razões entre seus respectivos

correspondentes forem iguais, ou seja:

a

b

a

b

a

b

a

bk

a k ba k b

a

n

n

n

1

2

2

2

3

3

1 1

2 2= = = = =

= ⋅= ⋅

....................

== ⋅

k bn

Esta razão constante k é chamada de fator de proporcionalidade e indica quantas vezes cada antecedente é maior que o respectivo consequente.

Exemplo:Os irmãos João Victor, Gabriela e Matheus têm 16 anos,

14 anos e 10 anos, respectivamente. Se o pai deles distribuir

R$ 240,00 entre eles, em partes diretamente proporcionais às

idades, quanto receberá cada um?

Sendo k a constante de proporcionalidade, a parte de

cada um será k vezes a respectiva idade, ou seja, as partes serão

16k (João Victor), 14k (Gabriela) e 10k (Matheus).

Daí:

16 14 10 240 616 16 6 9614 14 6 8410 10 6 60

k k k kkkk

+ + = ⇒ = ⇒= == == =

···

Sendo assim, temos que:João Victor, Gabriela e Matheus receberam,

respectivamente, R$ 96,00, R$ 84,00 e R$ 60,00.

Grandezas diretamente proporcionaisObserve na tabela seguinte as quantidades (Q) de

picolés comprados a R$ 3,00 reais cada um e os respectivos valores pagos:

Valor (V) 3 6 15 24 18 36

Quantidade (Q) 1 2 5 8 6 12

Note que as razões obtidas entre os respectivos elementos das sequências de valores (V) e de quantidades (Q) são iguais.

V

Q

V

QCoeficiente deproporcionalidade

= = = = = ⇒ =3

1

6

2

15

5

36

123...

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são diretamente proporcionais quando uma aumenta e a outra também aumenta na mesma proporção, isto é, quando as razões obtidas entre os valores assumidos por uma das grandezas e os respectivos valores assumidos pela outra forem iguais.

Em símbolos:

A A k

onde

∝ ⇔ =B

B ,

a constante de proporcionalidadek é

Números inversamente proporcionaisConsidere as seguintes sequências numéricas:

1ª sequência: 1

2

1

6

1

4

1

10; ; ;

x

x

1

12

3

formada pelos

respectivos inversos de (2, 6, 4, 10).



2ª sequência: (6, 18, 12, 30)

x 3

x 2

Nessas sequências, observe, elas crescem ou decrescem na razão inversa, isto é, se um dado elemento de uma delas triplica, por exemplo, o correspondente deste elemento na outra sequência reduz-se à sua terça parte.

Note que os inversos dos números da 1ª sequência são diretamente proporcionais aos números da 2ª sequência.

Inversos da 1ª sequência (2, 6, 4, 10)

x 3

x 2

Em geral, dizemos que os números da sequência (a

1, a

2, a

3, ..., a

n) são inversamente proporcionais aos números

da sequência (b1, b

2, b

3, ..., b

n) quando os números de uma

delas forem, respectivamente, diretamente proporcionais aos inversos da outra, ou seja:

a

b

b

b

a

b

a

b

kn

n

1

1

2

2

3

3

1 1 1 1= = = = =...

ou de outra forma:

ab a b a b a b kn n1 1 2 2 3 3= = = = =...

Aqui, a constante k também é chamada de fator ou coefi ciente

de proporcionalidade e indica o produto entre os respectivos

elementos das sequências inversamente proporcionais.

Exemplo:Os funcionários de uma fábrica, Lucas, Raquel e Elias,

no mês de maio, faltaram ao serviço 8 dias, 5 dias e 2 dias,

respectivamente. Se o diretor fi nanceiro dessa fábrica dividir

R$ 396, 00 entre os citados funcionários, em partes inversamente

proporcionais às faltas, podemos calcular a parte de cada um.

Veja:As partes devem ser diretamente proporcionais aos

inversos dos números de faltas 1

8

1

5

1

2, ,e

respectivamente.

Sendo k a constante de proporcionalidade, as partes serão, então:

1

8

1

5

1

2

5 2396 5 8

· ( ), · ( ) · ( ).k Lucas k Raquel e k Elias Daí

k kk

:

k

8+ + = ⇒ + kk k k

k

k

k

+ = ⇒ = ⇒

= =

= =

=

20 396 40 480

1

8

1

8480 60

1

5

1

5480 96

1

2

1

248

·

· ·

· ·

· · 00 240=

Sendo assim, temos que:Lucas, Raquel e Elias receberão R$ 60,00, R$ 96,00 e

R$ 240,00, respectivamente.

Grandezas inversamente proporcionaisMatheus quer dividir todos os seus 60 bombons entre

os amigos, em partes iguais. Observe na tabela seguinte os possíveis números de amigos e as respectivas quantidades (B) de bombons recebidos por cada amigo:

Numero de amigos (A)

2 3 4 5 6 10 30

Bombons recebidos (B)

30 20 15 12 10 6 2

Note que os produtos obtidos entre os respectivos elementos das sequências “número de amigos” (A) e “número de bombons recebidos“ (B) são iguais:

A B A B⋅ = ⋅ = ⋅ = = ⋅ ⇒ ⋅ =2 30 3 20 30 2 60�

Coefi ciente de proporcionalidade

Em geral, dizemos que duas grandezas A e B são inversamente proporcionais quando uma aumenta e a outra diminui na razão inversa, isto é, quando os produtos obtidos multiplicando-se cada valor assumido por uma das grandezas pelo respectivo valor assumido pela outra forem iguais.

Em símbolos:

AB

A B k

onde

∝ ⇔ ⋅ =1

,

a constante de proporcionalidadek é

Exemplo:

Se 20 operários, todos com a mesma capacidade de

trabalho, realizam determinado serviço em 15 dias, podemos

inferir em quantos dias 24 desses operários farão serviço

idêntico. Para isso, note que as grandezas, “nº de operários”

(H) e “nº dias” (D) são inversamente proporcionais (note:

“quanto mais homens trabalhando, menos dias eles gastam”).

Daí, H · D = k, onde k é constante.

Daí, para os dois serviços, devemos ter:

H · D = 20 · 15 = 24 · x = k, onde x é o número de dias

para a realização do outro serviço.

Assim, x = =20 15

2412 5

·, .

Grandezas proporcionais a duas ou mais outras grandezas

Se uma grandeza A é proporcional às grandezas B e C, então A é proporcional ao produto B · C, isto é:

C

constante

A

Bk

onde⋅

= ,

k é

Essa propriedade se estende para mais de duas outras grandezas. Por exemplo:a) A grandeza X é proporcional às grandezas Y, Z e W. Então:

X

Y Z Wconstante

⋅ ⋅=



b) A grandeza M é diretamente proporcional às grandezas A e B e inversamente proporcional à grandeza C. Então:

M C

A Bconstante

⋅⋅

=

c) A grandeza X é inversamente proporcional às grandezas P, Q, R e diretamente proporcional à grandeza S. Então:

X

S

P Q Rconstante

⋅ ⋅ ⋅ =

Regra de sociedade

Em uma sociedade, os lucros e os prejuízos devem ser distribuídos entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais empregados pelos respectivos sócios e ao tempo durante o qual esses capitais estiveram empregados na constituição da sociedade. É justo quem aplicou mais ganhar mais. É justo quem aplicou seu dinheiro por mais tempo ganhar mais.

A regra de sociedade é uma aplicação prática da divisão

em partes proporcionais.

Lucro

capital( ) (tempo)constante

⋅=

Regra de três simples e regra de três composta

Existe uma regra prática que nos permite relacionar dois

valores de uma grandeza A com dois valores, respectivamente,

de outra ou outras grandezas proporcionais à grandeza A.

Essa regra pode ser resumida assim:

– 1º passo: Montamos uma tabela colocando em cada

coluna, ordenadamente, os valores de cada grandeza.

– 2º passo: Escolhemos uma grandeza para servir de

referência, de preferência a que se quer saber o valor.

– 3º passo: À grandeza de referência, associamos uma seta

com sentido para baixo (é só uma convenção, poderia ser

para cima).

– 4º passo: Comparamos esta grandeza de referência

a cada uma das outras, isoladamente, identifi cando se

há proporcionalidade direta (setas no mesmo sentido) ou

inversa (setas invertidas).

– 5º passo: Montamos a proporção. Para isso, colocamos a

razão da grandeza de referência isolada no 1º membro e, no

2º membro, colocamos a outra razão ou o produto das outras

razões, caso tenha mais de uma outra, lembrando de sempre

inverter a razão correspondente à grandeza inversamente

proporcional.

Se o problema envolve apenas duas grandezas

proporcionais, temos uma regra de três simples. Caso o problema

envolva mais de duas grandezas proporcionais, tratar-se-á de uma

regra de três composta.

Exemplo:Para analisar a transpiração das plantas, os botânicos

precisam conhecer a área das suas folhas. Essa área pode ser obtida pelo seguinte processo: coloca-se a folha da planta sobre uma cartolina e traça-se o seu contorno.

Na mesma cartolina, desenha-se um quadrado com 10 cm de lado, como mostram as fi guras a seguir:

10 cm

10 cm

Após serem recortadas, as duas fi guras são pesadas em uma balança de alta precisão, que indica uma massa de 1,44 g para o quadrado da cartolina. Desse modo, usando grandezas proporcionais, os botânicos podem determinar a área das folhas. Supondo que o botânico obteve a massa da fi gura da folha igual a 3,24 g, ele poderia usar a seguinte regra de três:

Área (cm2) Massa (g)100

x1,443,24

Daí, 100 1 44

3 241 44 324 255

xx x= ⇒ = ⇒ =,

,,

Logo, a área da folha é 225 cm2.

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Avaliar a razoabilidade de um resultado numérico na construção de

argumentos sobre afi rmações quantitativas.

C-1H-4

• (UFG) Os sistemas de medidas de capacidade para líquidos no Reino Unido e nos Estados Unidos utilizam unidades com o mesmo nome, mas com medidas diferentes, como mostra a tabela a seguir, em valores aproximados, no sistema internacional:

Unidades e suas abreviações

Estados Unidos Reino Unido

Onça fl uida (fl oz) 29,57 mL 28,41 mL

Galão (gal) 128 fl oz = 3,78 L 160 fl oz = 4,55 LBRITISH IMPERIAL SYSTEM. Encyclopædia Britannica, 2011. Disponível em:

www.britannica.com/EBchecked/topic/80231/British-Imperial-System.Acesso em: 5 set. 2011. [Adaptado].

O ácido peracético, poderoso desinfetante utilizado na indústria de alimentos, em uma de suas formulações comerciais na Inglaterra, apresenta uma solução de CH

3COOOH (15% v/v), H

2O

2 (23% v/v), CH

3COOH

(16% v/v) em veículo estabilizante, com a recomendação de se diluir 4 onças do produto em um galão de água (3750 ppm). Um consumidor dos Estados Unidos que seguir esta recomendação obterá uma solução de ácido peracético com concentração



a) menor em, aproximadamente, 940 ppm.b) menor em, aproximadamente, 760 ppm.c) menor em, aproximadamente, 150 ppm.d) maior em, aproximadamente, 760 ppm.e) maior em, aproximadamente, 940 ppm.

Comentário

Inicialmente, esclarecemos que 3750 ppm (partes por milhão) é a concentração obtida por um inglês que segue a recomendação.

Observando que 1 litro (1 L) equivale a 1000 mL, temos:I. Na Inglaterra (Reino Unido), a concentração (CI) será:

Cl = = = =4 onças1 galão

4 · (28,41 mL)4,55 L

0,025 = = 2,5%2,5100

113,64 mL4550 mL

II. Nos Estados Unidos, a concentração (CE) será:

CE = = = =4 onças1 galão

4 · (29,57 mL)3,78 L

0,0313 = = 3,13%3,13100

118,28 mL3780 mL

III. Percentual aproximado de aumento:

=

=

AumentoConcentração na Inglaterra0,632,5

=0,252 = 25,2%

CE – CI

CI

= =3,13% – 2,5%

2,5%

Assim, o consumidor americano que seguir a recomendação obterá, em relação ao consumidor inglês, uma concentração maior em, aproximadamente, 25,2%. Ou seja:

Aumento ≈ 25,2% · (Concentração na Inglaterra)

Aumento

(aproximadamente 940 ppm)

≈ ⋅ =

=

25 2100

3750

945

,ppm

ppm

Resposta correta: e

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOCompreendendo a Habilidade– Utilizar a noção de escalas na leitura de representação de situação do

cotidiano.C-3

H-11

ItapipocaCamocim

Crateús

Petrolina

Jacobina

Garanhuns AgostinhoCabo de Santo

Caruaru RecifeTimbaúba

JoãoPessoa

Alagoas Maceió

Aracaju

Juazeirodo Norte

Pernambuco

Rio Grandedo Norte

Paraíba

Ceará

Fortaleza

Sergipe

Picos

Iguatu

Canindé

Mossoró

Natal

Caruaru

Cruz

Sobral

Distância: 630 km. Rota: 788,9 km.http://br.distance.to/Fortaleza_Recife

– Adaptado

01. João e sua família planejam conhecer o l itoral do Nordeste brasileiro, nas próximas férias escolares. Para planejar melhor a viagem, João já pesquisou a d i s tânc ia ent re as cidades de Fortaleza e Recife. O site utilizado para a pesquisa fornecia um mapa, a distância em linha reta e uma possível rota, conforme indicados a seguir.

Utilizando o mouse, João percebeu que poderia ampliar ou reduzir o mapa fornecido pelo site, mas imprimiu aquele cuja distância, em linha reta, de Fortaleza a Recife era igual a 7 cm.

Nessas condições, a escala do mapa impresso por João é igual aa) 1 : 11 270 000. b) 1 : 1 127 000.c) 1 : 9 000 000. d) 1 : 900 000.e) 1 : 90 000.

Compreendendo a Habilidade– Analisar informações envolvendo a variação de grandezas como

recurso para a construção de argumentação.C-4

H-17

02. (EPCar – Adaptado) Uma empresa foi contratada para executar serviço de pintura no alojamento dos alunos do 1º ano CPCAR. O prazo estabelecido no contrato para a conclusão do serviço foi de 10 dias.

O serviço começou a ser executado por uma equipe de 6 funcionários da empresa, cada um trabalhando 6 horas por dia.

Ao fi nal do 8º dia de serviço somente 3

5 do serviço de

pintura havia sido executado. Vendo que o serviço não seria concluído dentro do prazo,

o responsável pela obra incluiu na equipe de serviço mais 2 funcionários, determinou que todos trabalhassem 9 horas por dia e deu um incentivo fi nanceiro extra para que a produtividade da equipe aumentasse. Com isso a produtividade da equipe duplicou.

Nessas condições, a nova equipe, para concluir o serviço, gastoua) 1 dia, mais 2 horas de trabalho do segundo dia, entregando

obra antes do prazo fi nal.b) 1 dia, mais 3 horas do segundo dia, entregando a obra

antes do prazo fi nal.c) exatamente 2 dias, entregando a obra no limite do prazo

fi nal.d) 2 dias, mais 2 horas de trabalho do terceiro dia,

entregando a obra fora do prazo fi nal.e) 2 dias, mais 3 horas de trabalho do terceiro dia,

entregando a obra fora do prazo fi nal.

DE OLHO NO ENEM

O QUE É UM QUILATE DE OURO?

A palavra “quilate” vem do grego keratio, signifi cando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga

Grécia. Uma joia é considerada de n quilates se n

24 de sua

massa for de ouro, sendo n maior ou igual a 1 e menor ou igual a 24.

Assim, o ouro de um objeto com 18 partes de ouro e 6 de outro metal é de 18 quilates. Desta forma, o ouro 18 quilates tem 75% de ouro, e os 25% restantes são ligas adicionadas para garantir maior durabilidade e brilho à joia. Note que 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750).

O ouro puro tem 24 quilates (contém 100% de ouro) e é denominado ouro 1000. Na realidade, o ouro nunca tem uma pureza total, e a classifi cação mais alta cai para 999 pontos, na escala europeia, conforme mostra a tabela.



QuilatagemConteúdode Ouro

Pureza

24 K 100% 999

18 K 75% 750

14 K 58,3% 583

10 K 41,6% 416

Disponível em: http://pt.wikipedia.org - Adaptado.

INTRODUÇÃO

Caminhando em direção ao Enem, fi rmaremos neste momento alguns conhecimentos de proporcionalidade vinculados à geometria.

Nesta seção, nosso trabalho consistirá na fundamentação das propriedades decorrentes da ampliação e redução de objetos, assegurando uma maior confi ança na resolução dos quesitos a seguir.


Proporcionalidade na Geometria

A geometria surge a partir da necessidade de calcular distâncias, medir superfícies, construir habitações, templos e outras coisas. Através dos tempos, os seus registros estão presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus e árabes utilizaram as formas geométricas em seu dia a dia. Atualmente, o projeto de construção de um edifício ou de uma aeronave, por exemplo, com frequência requer a produção de modelos e maquetes em miniatura, com a mesma forma que o objeto original, permitindo obter um amplo entendimento de sua complexa estrutura. A ampliação ou redução fotográfi ca é outro recurso utilizado para revelar com detalhes aspectos de difícil visualização de certas situações, como a confecção da planta de uma cidade, por exemplo. Trata-se de um procedimento muito útil, pois preserva a forma dos objetos fotografados.

É incontestável que o desconhecimento das formas geométricas e suas propriedades, indubitavelmente comprometerá a percepção, a compreensão e a capacidade de raciocínio visual que a vida diária exige de nós. Através do estudo da geometria é possível observar, analisar e refl etir sobre as propriedades do plano e do espaço. Neste sentido, é importante que os estudantes adquiram a capacidade de observar, reconhecer as formas geométricas e através de suas propriedades, interpretar e solucionar situações-problema da vida cotidiana.

Teorema de Tales (proporcionalidade)O Teorema de Tales garante que um feixe de paralelas

determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais.

t’t

A’A

B’B

C’C

ca

db

v

s

r

r // s // v (paralelas)t e t’ (transversais)

Propriedade

a

b

c

d=

SemelhançaUm conceito muito utilizado em geometria é a ideia

de figuras semelhantes, que vem sendo utilizado desde a Antiguidade. Uma ampliação, uma redução e até uma congruência são exemplos claros de semelhança.

Entre as fi guras geométricas planas que são sempre semelhantes, temos todos os círculos e quadrados, enquanto na geometria tridimensional temos as esferas e os cubos.

As fi guras abaixo são semelhantes.

• Duas figuras são semelhantes quando os ângulos correspondentes são congruentes e a medida do comprimento dos segmentos que unem quaisquer dos pontos de uma é proporcional à medida do comprimento dos segmentos correspondentes na outra. Assim, duas fi guras são semelhantes se uma é ampliação ou redução da outra ou se são congruentes.

• Numa ampliação todos os comprimentos são multiplicados por um número maior do que 1 e, numa redução, todos os comprimentos são multiplicados por um número positivo menor do que 1.



• Para relacionar as dimensões de figuras semelhantes defi ne-se a razão de semelhança, r, que é o quociente entre as medidas dos comprimentos de qualquer segmento da fi gura transformada e as medidas dos comprimentos do segmento correspondente da fi gura inicial.

Se r > 1, a fi gura semelhante é uma ampliação. Se r < 1, a fi gura semelhante é uma redução. Se r = 1, as fi guras são congruentes ou geometricamente

iguais.• O fator de escala entre duas fi guras semelhantes é igual

ao valor da razão de semelhança.

Semelhança de triângulos

Dois triângulos dizem-se semelhantes quando têm seus pares de lados correspondentes ordenadamente proporcionais e os ângulos correspondentes iguais.

A

c

a

b

B C

A’

B’ C’

b’c’

a’

Se os triângulos ABC e A’ B’ C’ são semelhantes, então:

ˆ ˆ ’ˆ ˆ ’ˆ ˆ ’

’ ’ ’( )

A AB B

C C

ec

c

a

a

b

bk razão de semelhança

===

= = =

Casos de semelhança

• Primeiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes quando têm dois ângulos ordenadamente iguais.

• Segundo caso de semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes quando têm um ângulo igual, compreendido entre dois lados proporcionais.

• Terceiro caso de semelhança de triângulos: dois triângulos são semelhantes quando têm os três lados ordenadamente proporcionais.

Exemplo:O ângulo sob o qual um observador vê o topo de um

prédio de 88 m de altura duplica quando esse observador se aproxima 110 m do prédio, e triplica quando ele se aproxima mais 50 m. Neste instante, a distância entre o observador e o prédio pode ser inferida, usando-se semelhança de triângulos.

α 2αB

A

110 m 50 m C D

88 m

3α

Para isso, veja no modelo matemático seguinte que os triângulos AEC e EBC são semelhantes.

α

αα

2α 3α110 50 x

88

BA C D

E

Daí, CE

CECE

50

16080002= ⇒ =( )

Agora, usando o Teorema de Pitágoras no triângulo CDE, obtemos:

(CE)² = x² + 88² 8000 = x² + 7744 x = 16 m

Semelhança de PolígonosDois polígonos são semelhantes se for possível

estabelecer uma correspondência entre vértices e lados de modo que ângulos de vértices correspondentes sejam congruentes e lados correspondentes sejam proporcionais.

B

A

E

D

C

c

ba

c d

A’

e’

E’

B’

a’

b’

C’

D’

d’

c’

ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’ , ˆ ˆ ’

’ ’ ’ ’ ’

A A B B C C D D E Ea

a

b

b

c

c

d

d

e

ek

= = = = =

= = = = =

⇒ ABCDE A CDE~ ’ ’ ’ ’ ’B

Importantíssimo:• k é chamado razão de semelhança.• Se dois triângulos são semelhantes, a proporcionalidade

se mantém constante para quaisquer dois segmentos correspondentes, tais como: lados, alturas, medianas, perímetros, inraios, circunraios etc.

• É fácil provar que se os polígonos são semelhantes com razão de semelhança k, a razão entre as áreas é k².

• Uma extensão razoável dos resultados acima vemos que na geometr ia espac ia l quando se tem do i s sólidos semelhantes, dizemos que a razão entre os volumes de dois sólidos semelhantes é igual ao cubo da razão de semelhança, isto é, k³.

Exemplo:Um bolo em forma de pirâmide tem altura 30 cm e

área da base igual a 150 cm2. Usando semelhança de sólidos geométricos, podemos determinar a área da secção superior do tronco da pirâmide obtida quando se corta o bolo paralelamente à base e a 17 cm dela. Veja:



Ab = 150 cm2

30

h

17

Devido a secção ser paralela ao plano da base (secção transversal), podemos concluir que:

• h = 30 – 17 = 13 é a razão de semelhança da pirâmide menor (acima do corte) e a maior (bolo completo) é

k = 13

30;

• Área da secção (pirâmide menor)

Área da base (pirâmide maior)k ;= 2

• Assim, .150

1330

2

=

Área da secção (pirâmide menor)

Logo, a área da secção é aproximadamente igual a 28,2 cm2.

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva medidas de grandezas.

C-3 H-12

• Um pedaço de queijo tem a forma de um prisma triangular reto tendo por base um triângulo com um dos lados medindo 8 cm. Suponha que o queijo foi dividido em dois pedaços de mesmo volume, a partir de um corte paralelo a uma das faces, como sugere a ilustração a seguir.

x

8 cm

Nessas condições, a medida x, em centímetros, é igual a:a) 2.

b) 2 2 .

c) 4.

d) 3 2 .

e) 4 2.

Comentário

Inicialmente, veja que o enunciado garante que os prismas obtidos a partir do corte, têm o mesmo volume (V) e a mesma altura (h).

h

x8 cm

h AA

Devido ao paralelismo ocasionado pelo corte, temos que os triângulos das faces destacadas (bases dos prismas, menor e maior) na fi gura acima são semelhantes.

Assim, podemos escrever:

x AA

I

8 2

2

=� ��

I: a razão entre as áreas é igual ao quadrado da razão entre as linhas homólogas.

Então:

x x8

12 8

1

2

2

= → =

Portanto:

x cm= 4 2 .

Resposta correta: e

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos

de espaço e forma.C-2

H-8

03. Um agricultor tem um terreno no formato de uma região quadrada de lado igual a 500 metros, dividido em quatro regiões I, II, III e IV, onde cultiva quatro tipos diferentes de produtos, um em cada região, conforme a fi gura a seguir.



B

Q

CPD

A

III

II

I

IV

Sabendo-se que P é o ponto médio de CD e Q é o ponto médio de BC, podemos concluir que a área reservada para a região I, em km2, é igual a

a) 1

152km .

b) 1

202km .

c) 1

302km .

d) 1

402km .

e) 1

802km .

Compreendendo a Habilidade– Avaliar o resultado de uma medição na construção de um argumento

consistente.C-3

H-13

04. Um recipiente em forma de cone circular reto, com raio da base R e altura h, está completamente cheio com água e óleo. Sabe-se que a superfície de contato entre os líquidos está inicialmente na metade da altura do cone. O recipiente dispõe de uma torneira que permite escoar os líquidos de seu interior, conforme indicado na fi gura. Se essa torneira for aberta, exatamente até o instante em que toda água e nenhum óleo escoar, a altura do nível do óleo, medida a partir do vértice será

R

Figura fora de escala

água

óleo

h

a) 7

2

3

h d) 23

2

3

h

b) 7

3

3

h e) 23

3

3

h

c) 12

2

3

h

DE OLHO NO ENEM

RETÂNGULO ÁUREO

Diz-se que um retângulo ABCD qualquer é áureo quando apresenta a seguinte propriedade: se dele retira-se o quadrado ABFE, o retângulo CDEF restante será semelhante ao retângulo original.

B

A

FF

a

a

b

ba

E

EC

C

D

D

B

A

FF

a

a

b

ba

E

EC

C

D

D

Como os retângulos ABCD e CDEF são semelhantes, temos:

a

a b

b

ab ab a

a

b

a

b+= ⇒ + = ⇒ + =

2 22

1

Daí, fazendo ka

b= , obtemos k² = k + 1

Portanto, ka

bn mero de ouro= = +1 5

2( )ú

Provavelmente, você não sabe que os cartões de crédito ou de débito que tanto usamos são retângulos áureos, ou seja, a razão entre seus lados é igual ao número de ouro:

a

b= +1 5

2

a

b



Observe, no modelo matemático seguinte, que os triângulos 1 e 2 são semelhantes.

a

T2

T1

a

θ

θ

α

α

a

a – b

b

b

b

b

Assim, temos b

a

a b

b= −

, o que nos dá a

b= +1 5

2

(número de ouro).

INTRODUÇÃO

A ideia de proporcionalidade está naturalmente embutida no raciocínio humano. Sua importância se dá pela sua ampla perspectiva de aplicação no estabelecimento de relações em todas as áreas do conhecimento. Diversas leis naturais, diversos fenômenos físicos, biológicos ou sociais podem ser explicados e quantifi cados através do conceito de proporcionalidade. Talvez nenhuma outra função matemática expresse tão bem essa ideia quanto a função afi m.


Função afi mToda função f de R em R dada por uma lei da forma

f(x) = ax + b, em que a 0 e b são constantes reais, é dita função afi m ou função do 1º grau, cuja representação gráfi ca é uma reta. Nessa função, o coefi ciente de x (a) é chamado de coefi ciente angular e o termo independente de x (b), de coefi ciente linear.

Observação:Para a > 0, o gráfi co de f é uma reta crescente e para

a < 0, uma reta decrescente.

y

x

raiz

b > 0a > 0

b < 0

b = 0

raiz raiz

y

xraizraiz

b > 0a < 0

b < 0

b = 0

raiz raiz

Taxa de variação

Sendo x1 e x

2 dois elementos distintos do domínio de f,

tais que f( x1 ) = y

1 e f( x

2 ) = y

2, temos:

f x ax +b y

f x ax +b y2 2 2

1 1 1

( ) = =( ) = =

Subtraindo membro a membro essas igualdades,

obtemos:

a( x2 – x

1) = y

2 – y

1 a

y y

x x= −

−2 1

2 1

Sendo assim, o coefi ciente angular de f, a, pode ser

interpretado como sendo a taxa de variação de f(x) = y, em

relação a x, no intervalo fechado [x1, x

2 ], isto é:

af x f x

x x= −

−( ) ( )2 1

2 1

(constante)

Já calculando o valor numérico de f(0), obtemos:

f(0) = a · 0 + b f(0) = b

Isso nos mostra que o coefi ciente linear b representa

o valor da função quando a variável assume o valor zero.

Frequentemente, b está associado ao valor inicial da função (ou

valor fi xo), enquanto que a está relacionado ao valor variável

(ou unitário).

QUESTÃO COMENTADACompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.

C-5 H-21

• O gráfi co no plano cartesiano expressa a alta dos preços médios de televisores de tela plana e alta defi nição, do modelo “LCD, full HD, 32 polegadas”, antes da Copa do Mundo na África do Sul e sua queda após o início. Os pontos A, A’ e C são colineares.



R$ 2.500,00

R$ 2.350,00R$ 2.400,00

y

Maio

0 1 2 3 x

A

A’

C

Junho Julho Agosto

Podemos afi rmar que o preço médio dessa TV em agosto em relação a maio sofreua) uma redução de mais de 10%.b) um aumento menor do que 5%.c) uma redução de mais de 8%.d) um aumento superior a 9%.e) uma redução de 7%.

Comentário

r A

myx

r

: AA’, A( , ) e ’ ( , )� ��

1 2500 2 23502350 2500

2 1150= =

−−

= −∆∆

(r): t – 2500 = –150(x – 1) ⇒ y = –150x + 2650Preço médio em agosto de 2010 (x = 3):y = –150 · 3 + 2650 = 2200Sendo Vi o valor em maio e Vf o valor em agosto, temos:Vf = Vi(1 + i)2200 = 2400(1 + i) ⇒ 0,917 = 1 + i ⇒ i ≅ –0,083 = –8,3%

Em agosto o preço médio fo i 8 ,3% menor (aproximadamente) do que o de maio.Resposta correta: c

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃOCompreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

05. Conforme divulgado pela ONU (Organização das Nações Unidas), a população mundial atingiu, em outubro de 2011, 7 bilhões de pessoas.

Suponha que o modelo matemático que permita obter uma estimativa dessa população, no mês de outubro, daqui a t anos, seja a equação da reta do gráfi co abaixo. Assinale a alternativa em que constam, respectivamente, essa equação e o ano em que, de acordo com ela, a população mundial atingiria 10 bilhões de seres humanos.

10

p (bilhões)

t (anos)

13

8

6

4

2

Equação Ano

a)p t= +

1

87 2050

b)p t= +

1

78 2039

c)p t= +

1

137 2050

d)p t= +

1

137 2100

e)p t= +

1

87 2013

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema cuja modelagem envolva conhecimentos

algébricos.C-5

H-21

06. Certa empresa de telefonia possui um plano em que cobra tempo de ligações em minutos de acordo com o gráfi co abaixo .

tempo total de ligações (min)

280

120

50

0 14

A

B

C

21 29 preço a pagar R$

No mês de maio, Pedro Lucas, um cliente dessa empresa, pagou R$ 25,00 em sua conta.

Desejando economizar, resolveu reduzir em junho o tempo total de ligações em 50%.

Dessa forma, ele espera pagar a) R$ 12,50. d) R$ 19,00.b) R$ 13,00. e) R$ 21,50.c) R$ 17,00.

DE OLHO NO ENEM

LEI DOLBEAR

Certamente todos nós já passamos, em algum momento, pelo incômodo de ouvir o estridente “criquilar” de um grilo. E, provavelmente, tenhamos verificado que num fi m de tarde muito quente, os grilos “cantam” com uma



frequência maior do que à noite, com temperatura mais fresca. Essa observação foi quantifi cada e publicada pela primeira vez em 1897 pelo inventor americano E. A. Dolbear, em um artigo chamado “O grilo como termômetro”, que forneceu a fórmula empírica:

TN= + −

1040

7

Essa fórmula, por vezes, é chamada de Lei de Dolbear, e foi formulada originalmente em graus Fahrenheit (mas acima, os valores estão em Celsius) e, é claro, varia de espécie para espécie. De acordo com a fórmula acima, se os grilos cantarem a uma taxa de 110 vezes por minuto, a temperatura é de 20 °C. Se cantarem 145 vezes por minuto, a temperatura é de 25 °C. Cada estrilado é feito quando o grilo fricciona sua asa dianteira direita contra sua asa dianteira esquerda, que é coberta de serras.

Nesse processo, a criação do som ocorre de maneira similar ao ato de passar sua unha sobre os dentes de um pente. Em insetos, a esse comportamento dá-se o nome de estridulação, já às pessoas que fazem barulho com as unhas e os dentes de um pente, dá-se apenas o nome de “chatos”.

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema envolvendo a variação de grandezas, direta

ou inversamente proporcionais.C-4

H-16

01. (UPE) As famílias Tatu, Pinguim e Pardal realizaram uma viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada família sabe muito bem quanto o seu carro consome de gasolina. O quadro a seguir mostra o carro de cada uma das famílias, com os respectivos consumos médios.

Família Carro Consumo

Tatu Tenault 20 km/L

Pinguim Pevrolet 15 km/L

Baleia Biat 12 km/L

Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o mesmo cartão de crédito. Ao fi nal da viagem, eles perceberam que consumiram 1200 litros de gasolina e gastaram 3 mil reais com esses abastecimentos.

Como eles decidiram dividir a despesa de forma proporcional ao que cada família consumiu, quanto deverá pagar a família Baleia? a) R$ 750,00b) R$ 1.000,00c) R$ 1.050,00d) R$ 1.250,00e) R$ 1.800,00



H-16

02. (UFG-Adaptado) Considere que a intensidade, em watts por metro quadrado, de um som que se propaga livremente no ar é inversamente proporcional ao quadrado da distância, em linha reta, até a fonte sonora. O som emitido pela sirene de uma ambulância possui uma intensidade de 10–2 W/m2 a 10 m da sirene e, para uma pessoa à margem de uma rodovia retilínea ouvir a sirene, o som deve chegar aos seus ouvidos com uma intensidade mínima de 10–6 W/m2.

Mediante estas condições, a distância máxima, em que é possível ouvir a sirene da ambulância é de a) 850 m.b) 900 m.c) 950 m.d) 1000 m.e) 1050 m.



H-16

03. (Profmat-Sbm) Um fazendeiro possui ração sufi ciente para alimentar suas 16 vacas durante 62 dias. Após 14 dias, ele vendeu 4 vacas. Passando mais 15 dias ele compra 9 vacas. Depois desta última compra, a reserva de ração foi sufi ciente para alimentar as vacas por maisa) 40 dias. b) 36 dias.c) 32 dias. d) 30 dias.e) 28 dias.

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos geométricos de espaço e forma na seleção de

argumentos propostos como solução de problemas do cotidiano.C-2

H-9

04. O formato dos papéis que utilizamos, tais como A0, A1, A2, A3, A4, ... ,A10, tem uma relação muito interessante, conforme descreveremos a seguir. Partindo do papel A0, obtém-se o papel A1 do seguinte modo: o menor lado do papel A1 é a metade do maior lado do papel A0, e o maior lado do papel A1 é igual ao menor lado do A0. Do mesmo modo, a folha do papel A2 é obtida da folha A1, a folha do papel A3 é obtida da folha de papel A2 e assim sucessivamente. Considerando que as folhas de papel descritas acima são retangulares e que os papéis como A0, A1, A2, A3, A4, ... , A10 são semelhantes, então a razão entre o maior e o menor lado do papel A4 é igual a

a) 2 .b) 2.

c) 1

2.

d) 2

2.

e) 3

2.



Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma.C-2

H-8

05. A “divina proporção”, também conhecida como proporção áurea, foi usada por Leonardo da Vinci para pintar a Mona Lisa, uma de suas mais notáveis obras. Em vários pontos do quadro aparece o retângulo áureo, como ilustrado na fi gura 1.

Na figura 2, os quadriláteros ABDF, CDFH, EFHJ, GHJK, IJKL são retângulos áureos semelhantes e os quadriláteros ABCH, CDEJ, EFGK, GHIL são quadrados.

F DE

G

H

A

Figura 1: Mona Lisa e proporções Figura 2: Retângulos áureos

B

CJI

L Kx

x

Sabendo-se que a razão entre o maior lado e o menor lado do retângulo áureo é igual ao número de ouro ϕ, e chamando a medida do lado do quadrado GHIL de x cm, pode-se afi rmar que a razão entre a área do quadrado GHIL e a área do quadrado ABCH é igual a

a) 16ϕ

. b) 14ϕ

.

c) 12ϕ

. d) 1

ϕ.

e) ϕ.

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva conhecimentos geométricos de

espaço e forma.C-2

H-8

06. Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição B e uma bola vermelha na posição V, conforme o esquema a seguir.

1,20 m

x

Q

P

0,90 m

0,80 m

0,40 m

V

R

B

S

Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória indicada na fi gura e atinja a bola vermelha.

Assumindo que, em cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os ângulos de incidência e de refl exão são iguais, a que distância x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?

a) 5

16m. b)

9

16m

c) 8

17m d) 7

17m

e) 6

17m

Compreendendo a Habilidade– Resolver situação-problema que envolva medidas de grandeza.C-3

H-12

07. A areia contida em um cone fechado, de altura 18 cm,

ocupa 7

8 da capacidade do cone.

18

h

Voltando-se o vértice do cone para cima, conforme indica a fi gura, a altura h do tronco de cone ocupado pela areia, em centímetros, éa) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 11


algébricos.C-5

H-21

08. Todos os anos, no mundo, milhões de bebês morrem de causas diversas. É um número escandaloso, mas que vem caindo. O caminho para se atingir o objetivo dependerá de muitos e variados meios, recursos, políticas e programas – dirigidos não só às crianças, mas às suas famílias e comunidades.

Panorama MundialMortalidade Infantil por Ano

(em milhões de bebês)

1980

15

11y

2000 2015 anos

Mor

talid

ade

Relatório de Desenvolvimento Humano 2004 –PNUD. Adaptado.



Admitindo-se que os pontos do gráfi co anterior pertencem a uma reta, a mortalidade infantil em 2015, em milhões, será igual aa) 9. b) 8.c) 7. d) 6.e) 5.


algébricos.C-5

H-21

09. Duas empresas (A e B), locadoras de veículos de passeio, apresentaram o valor da locação de um mesmo carro pelos gráfi cos abaixo. Considere y o valor pago, em reais, pela locação desse veículo e x a quantidade de quilômetros rodados.

Empresa Ay (reais) y (reais)

(300, 165)

100 200 300

30

50

x (km) x (km)

Empresa B(500, 250)

100 200 300 400 500

A partir dessas informações, é correto afi rmar quea) a empresa A cobra 0,50 centavos por quilômetro rodado

acrescido de uma taxa fi xa de 50 reais.b) a empresa B cobra somente a quilometragem rodada.c) para rodar 400 km, o valor cobrado pela empresa A é

igual ao cobrado pela B.d) para rodar uma distância de 300 km é mais vantajoso

alugar o carro da empresa B.e) para rodar uma distância de 500 km é mais vantajoso

alugar o carro da empresa A.

Compreendendo a Habilidade– Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como recurso para a

construção de argumentação.C-5

H-22

10. Até o ano de 2000, a infl ação num certo país manteve-se em 4% ao ano, aproximadamente. A partir daí sofreu aumentos sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando novamente em 2003, conforme mostra o gráfi co abaixo. Segundo previsões otimistas de que esse declínio se manterá constante pelos próximos anos, pode-se esperar que a infl ação volte ao patamar de 4% no ano de

8%

6%

4%

2000 2001 2002 2003

a) 2008. b) 2009.c) 2011. d) 2012.e) 2010.

GABARITOS

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO

01 02 03 04 05 06

c b e a c d

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01 02 03 04 05

d d e a a

06 07 08 09 10

e c b c e

ANOTAÇÕESANOTAÇÕES



ANOTAÇÕESANOTAÇÕES

Supervisão Gráfi ca: Andréa Menescal

Supervisão Pedagógica: Marcelo Pena

Gerente do SFB: Fernanda Denardin

Coordenação Gráfi ca: Felipe Marques e Sebastião Pereira

Projeto Gráfi co: Joel Rodrigues e Franklin Biovanni

Editoração Eletrônica: Thiago Lima

Ilustrações: João Lima

Revisão: Eveline Cunha

Expediente

OSG: 7279313

enem em fasciculos fasciculo 4 2013 matematica farias brito

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