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Processamento Digital de Sinais – Aula 17– Professor Marcio Eisencraft – abril 2012

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AULA 17 A TRANSFORMADA Z - DEFINIÇÃO Bibliografia

� OPPENHEIM, A.V.; WILLSKY, A. S. Sinais e Sistemas, 2a edição, Pearson, 2010. ISBN 9788576055044.

Páginas 442-451.

� HAYKIN, S.; VAN VEEN, B. Sinais e sistemas, Bookman, 2001. ISBN 8573077417. Páginas 445-456.

6. A Transformada Z

6.1. Definição

� Vimos que qualquer sequência [ ]nx cuja soma dos módulos é finita pode ser

facilmente computada no domínio da frequência pela transformada de Fourier

( )ωjeX .

� No entanto, existem dois problemas na abordagem por transformadas de Fou-

rier. O primeiro é o fato de que estas transformadas são de tempo contínuo. A

solução para este problema, como também já vimos, é a definição da TFD e

da FFT.

� O segundo problema ainda não foi resolvido: existem muitos sinais úteis na

prática – como [ ]nu e [ ]nnu - para os quais a transformada de Fourier de tempo

discreto não existe.

� Sendo assim, consideraremos agora uma extensão da transformada de Fourier

de Tempo Discreto para resolver este segundo problema. Esta extensão é

chamada de Transformada Z. Sua versão bilateral (ou de dois lados) provê ou-

tro domínio no qual uma classe maior de sequências e sistemas pode ser ana-

lisada enquanto que a versão unilateral (ou de um lado) pode ser usada para

obter resposta de sistemas com condições iniciais e mudanças na entrada.

6.2. A Transformada Z Bilateral

� A transformada Z de uma sequência [ ]nx é dada por


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( ) n

n

X z x n x n z

∞−

=−∞

= = ∑Z

(1)

em que z é uma variável complexa.

� O conjunto de valores de z para os quais ( )zX existe é chamada de região de

convergência (RDC) e é dada por

+− << xx RzR (2)

para números positivos −xR e +xR .

� A transformada z inversa de uma função complexa ( )zX é dada por

[ ] ( )[ ] ( )∫−− ==

C

n dzzzXj

zXZnx 11

21π (3)

em que C é um contorno no sentido anti-horário englobando a origem e con-

tido na RDC.

Comentários:

1. A variável complexa z é chamada de frequência complexa e é dada por ωjezz = , em que z é a atenuação e ω é a frequência real.

2. Como a RDC (1) é definida em termos do módulo z , a RDC terá sempre a

forma de um anel aberto como mostrado a seguir. Note que −xR pode ser igual

a zero e +xR pode ser ∞ .

3. Se −+ < xx RR então a RDC é um espaço nulo e a transformada Z não existe.


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Figura 1 – A região de convergência da Transformada Z (INGLE; PROAKIS,

2000).

4. A função 1=z (ou ωjez = ) é uma circunferência de raio unitário no plano z e

é chamada de circunferência unitária. Se a RDC contém a circunferência uni-

tária, então podemos calcular ( )zX sobre a circunferência unitária.

( ) ( ) [ ] [ ][ ]nxFenxeXzXn

jj

ez j === ∑∞

−∞=

−=

ωωω

� Assim, a transformada de Fourier de tempo discreto ( )ωjeX pode ser vista

como um caso especial da transformada z ( )zX .

Exercício

1. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 81) Seja [ ] [ ]nuanx n=1 , ∞<< a0 . (Esta sequên-

cia é chamada de sequência de tempo positivo). Determine ( )zX1 e determine

a RDC.

� Muitas vezes ( )zX tem forma de uma função racional

( ) ( )( )zA

zBzX =


4

em que ( )zB é o polinômio numerador e ( )zA é o polinômio denominador.

� As raízes de ( )zB são chamadas de zeros de ( )zX e as raízes de ( )zA são cha-

madas de pólos de ( )zX . Desta forma, podemos representar [ ]nx por um dia-

grama de pólos e zeros no qual os zeros são denotados por ‘◦’ e os pólos por

‘×’.

Exercícios

2. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 82) Desenhe o diagrama de pólos e zeros do

sinal do Exercício 1.

3. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 82) Seja [ ] [ ]12 −−−= nubnx n , ∞<< b0 . (Esta

sequência é chamada de tempo negativo). Determine ( )zX2 , sua RDC e dese-

nhe seu diagrama de pólos e zeros.

4. (INGLE; PROAKIS, 2000, p. 83) Seja:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]1213 −−−=+= nubnuanxnxnx nn .

(Esta sequência é chamada de sequência de dois lados). Determine ( )zX3 , sua

RDC e desenhe seu diagrama de pólos e zeros.

� Observando as RDC’s dos exercícios anteriores, podemos estabelecer as se-

guintes propriedades:

I. A RDC é sempre limitada por uma circunferência já que a condição de

convergência está relacionada ao módulo z .


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II. A sequência [ ] [ ]nuanx n=1 do Exercício 1 é um caso especial de uma sequência

à direita, definida como uma sequência [ ]nx que vale zero para 0nn < . Do

Exercício 1 a sequência RDC para sequências à direita é sempre o exterior

de um círculo de raio −xR . Se 00 ≥n , então a sequência à direita é também

chamada de sequência causal.

III. A sequência [ ] [ ]12 −−−= nubnx n do Exercício 3 é um caso especial de uma

sequência à esquerda, definida como uma sequência [ ]nx que vale zero para

0nn ≥ . Se 00 ≤n , a sequência resultante é chamada de anti-causal. Do Exercí-

cio 3 a RDC de sequências de lado esquerdo é sempre o interior de uma cir-

cunferência de raio +xR .

IV. A sequência [ ]nx3 do Exercício 4 é uma sequência de dois lados. A RDC

para sequências com dois lados é sempre um anel aberto +− << xx RzR se

ela existir.

V. As sequências que valem zero para 1nn < e 2nn > são chamadas de se-

quências de duração finita. A RDC para tais sequências é o plano z inteiro.

Se 01 <n então ∞=z não está na RDC. Se 02 >n então 0=z não está na

RDC.

VI. A RDC não pode incluir pólos já que ( )zX converge uniformemente nesta

região.

VII. Existe ao menos um pólo na periferia de uma RDC para uma ( )zX racio-

nal.

VIII. A RDC é uma região contínua; isto é, a RDC não pode ser dividida em

pedaços.

� Em processamento digital de sinais, os sinais são considerados causais já que

quase todos os dados digitais são adquiridos em tempo real. Assim, a única

RDC de interesse para nós é a dada no comentário 2.


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Exercícios

5. Encontre a transformada-z de:

(a) [ ]nδ

(b) [ ]nu

(c) ( ) [ ]nunβcos

(d) [ ] [ ]5−− nunu

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