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GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de carga no espaço livre, para cada um dos seguintes campos potenciais e pontos: a) b) 3 5 6 , 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 , 66 10 85 , 8 517 , 7 517 , 7 4 8 , 0 . 42 , 14 : 4 . 42 , 14 4 . 4 . 42 , 15 4 . 4 . 5 25 4 42 , 15 4 4 25 4 cos 4 25 0 12 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 m pC V V V sen e V P ponto No y sen e y sen e y sen e V y sen e z V y sen e z V y sen e y sen e y V y e y V x V z V y V x V V V z z z z z z z z = = - = - = - = + - = = - = - = - = = = + + = -∇ = - - - - - - - - - - ρ ρ π π π π π π π π π π π ε ρ ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 3 51 10 85 , 8 761 , 5 761 , 5 2 4 8 , 0 2 3 8 , 0 º 50 . 3 : 4 3 3 3 3 3 4 3 3 . 2 3 9 . 2 3 3 3 3 . 2 3 9 1 2 3 9 2 3 cos 3 . 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 1 12 2 2 2 2 2 2 4 2 4 2 2 2 4 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 m pC V V V sen V P ponto z z sen V z sen z sen z sen z sen z sen V z sen z V z sen z V z sen V z sen V z V z sen V z sen V z sen V z sen V z V V V V V = = = - - - = - = + - - = + - = = - = - = - = = = = = = + + = -∇ = - ρ ρ ρ ρ φ φ ρ ρ φ φ ρ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ ρ φ φ ρ φ ρ φ φ ρ φ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ ε ρ ) 6 , 0 ; 8 , 0 ; 2 , 0 ( 4 25 5 P em V y sen e V z = - π ( 29 ) 8 , 0 ; º 50 ; 2 ( 2 3 2 - = = = = z P em V z sen V φ ρ φ ρ

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Page 1: ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ - mauriciocury.com B... · GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de

GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B

Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de carga no espaço livre, para cada um dos seguintes campos potenciais e pontos:

a)

b)

3

56,0

555

55

555

5,661085,8517,7

517,74

8,0.42,14:

4.42,14

4.

4.42,15

4.

4.

525

442,15

4425

4cos

425

0

12

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22

02

mpC

VV

V

seneVPpontoNo

yseneyseneyseneV

ysenezVysene

zV

yseneyseneyVye

yVxV

zV

yV

xVV

V

zzz

zz

zzz

=⇒⋅⋅=

−=

⋅⋅−=∇

⋅−=

+

⋅−=∇

=

∂∂⇒

⋅−=

∂∂

⋅⋅−=

⋅⋅−=

∂∂⇒

⋅⋅⋅=

∂∂

=∂

∂∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

⋅− ∇=

−−−

−−

−−−

ρρ

π

πππ

ππ

πππππ

ερ

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( )

3511085,8761,5

761,524

8,023

8,0º50.3:

433

333433.239

.23

333.2

3912

392

3cos3

.231

23

23

23

11

12

222

222

424222

42

2

3

22

2

222

2

2

2

222

2

2

2

2

22

02

mpC

VV

V

senVPponto

zzsenV

zsen

zsen

zsen

zsen

zsenV

zsen

zV

zsen

zV

zsenV

zsenV

zV

zsenV

zsenV

zsenV

zsenV

zVVVV

V

=⇒⋅⋅=

=

−⋅⋅

−=∇

−⋅=∇

⋅⋅+⋅

⋅−−=⋅⋅+⋅

⋅−⋅

=∇

⋅⋅=∂∂⇒⋅−=

∂∂

⋅⋅−=

∂∂⋅⇒⋅⋅−=

∂∂⇒⋅⋅=

∂∂

⋅=

∂∂

∂∂⋅

=

∂∂

∂∂⇒⋅=

∂∂⇒=

∂∂

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂

∂∂⋅=∇

⋅− ∇=

− ρρ

ρρφ

φρρ

φφρρ

φρ

φ

φρφρρ

φφρ

φρφ

φρφ

ρφ

ρρ

ρρ

φρ

ρρ

φρρ

ρφρ

φρρρ

ρρ

ερ

)6,0;8,0;2,0(4

25 5 PemVyseneVz

⋅⋅=

− π

( ) )8,0;º50;2(2

32

−===⋅= zPemVz

senV φρφρ

Page 2: ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ - mauriciocury.com B... · GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de

c)

Questão 2 (2,5) Num capacitor de placas paralelas é aplicada uma DDP contínua quando se estabelece um campo elétrico de módulo igual a 5 kV/m e é acumulada um total de 16 nC de carga elétrica.Logo após, o capacitor é descarregado e então é aplicada uma tensão senoidal com 20 V de pico e frequência de 180 kHz, e detecta-se uma corrente com 22,6 mA de pico.Se o material dielétrico do capacitor tem εR=1507, então a área de cada placa metálica do capacitor é de:

a) 1,80 cm2

b) 2,10 cm2

c) 2,40 cm2 <==================

d) 3,00 cm2

e) 3,60 cm2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

33 397,010397,01085,810487,4

10487,4º15

9430

º300º15cos10:

943cos103cos903cos203cos60

3cos9013cos903coscos30

3cos201

3cos20310310

3cos601

3cos603cos303cos30

111

15125

525

2

2525552

252

2

2232

2

3

52

33

2

3

52

2

32

22

4

2

2

2222

22

02

mfC

mC

VV

V

sensenVPpontoNo

senrsen

senrsen

rsen

rsenV

senrsenV

senrrsenV

rV

rsenVsen

senr

rsensenVsen

rsensenVsen

rsensenV

rsen

rVr

rr

rsen

rVr

rrsenVr

rsen

rV

Vsenr

Vsensenrr

Vrrr

V

V

−=⋅−=⇒⋅⋅⋅−=

⋅=

−⋅⋅⋅=∇

−⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=∇

⋅⋅⋅−=

∂∂⋅

⋅⇒⋅⋅−=

∂∂⇒⋅⋅=

∂∂

⋅⋅−=

∂∂⋅

∂∂⋅

⋅⋅⋅−=

∂∂⋅

∂∂⇒⋅⋅−=

∂∂⋅⇒⋅⋅−=

∂∂

⋅⋅=

∂∂⋅

∂∂⋅

⋅⋅=

∂∂⋅

∂∂⇒⋅⋅−=

∂∂⋅⇒⋅⋅−=

∂∂

∂∂⋅

⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅

⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅=∇

⋅− ∇=

−−−

ρρ

θφθ

θφθφθφθ

θφθ

φθφθ

φφθ

φ

φθθ

θθθ

φθθθ

θθ

φθθ

θφθθ

φθ

φθφθρ

φθφθθ

θθθ

ερ

( ) ( ) )º100;º15;30(3cos103 ===⋅⋅= φθφθ rPemVrsenV

224

12

39

3

9

9

3

3

4,2104,2

1085,81507102,310

102,3500016

1610.110.16

120101802

106,221

cmSmS

dCSdSC

mdEVddEV

VCQV

VQC

nFVIC

CIV

=⇒⋅=

⋅⋅⋅⋅=⋅=⇒=

⋅=⇒==⇒⋅=

===⇒=

=⋅⋅⋅

⋅==⇒=

−−

εε

πωω

Page 3: ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ - mauriciocury.com B... · GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de

Questão 3 (2,5) Um filamento de corrente de 0,1 A, dirigida para -∞ a partir da origem, está situado no semieixo x negativo. As intensidades do campo magnético nos pontos P1(-3;4; 0) e P2(0;4;0) são, respectivamente:

<====================

Questão 4 (2,5 Pontos): Calcular a corrente total que atravessa a superfície plana

z=5 (5≤x≤15 e 2≤y≤10) na direção +k se .

mmA

mA

P kkksenH ˆ18,3ˆ318,0ˆ53º90

4..41,0

1 −=−=

+⋅−=

π

( ) mmA

mA

P kkksensenH ˆ99,1ˆ00199,0ˆº0º904..41,0

2 −=−=−⋅−=π

z

x

y2

5

10

15

A

LS

5

mAkxzyj

yxzH /ˆ4ˆ4

222

3 −+−=

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

mmA

keke

kekd

kekc

kekb

keka

ˆ98,3ˆ06,1)

ˆ98,3ˆ06,1)

ˆ99,1ˆ18,3)

ˆ98,3ˆ06,1)

ˆ99,1ˆ53,0)

−−

−−

dS

BC

D

0,1 A .P1-3

HP1

.P2

HP2

α1P1

z

y

x

α2P1

=90º

α2P2

=90ºα

1P2=0º 4

Page 4: ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ - mauriciocury.com B... · GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de

Pelo membro esquerdo do Teorema de Stokes:

Ou Pelo membro direito do Teorema de Stokes:

( )

( )

( )

AII

ydyyI

dyy

dyyxdydx

yxI

zdydxyxzI

dydxyxzSdH

kdydxSd

kyxzj

xzy

yxzî

zx

xzy

zyxz

kjîH

SdHI

zyx

S

000.3100

25112500

41

1001125001250025000

25225125125250

5,2

2

ˆ

ˆ20ˆ28384

44

ˆˆ

10

2

10

2

23

10

2

15

53

10

2

15

5

10

2

15

53

2

3

10

2

15

5 3

3

3

3

3

3

32

2

32

222

3

=⇒

−⋅−=

−⋅−=−==

−⋅===

==

=⋅×∇

=

++

−++

−=

−−

=×∇

⋅×∇=

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

−−

∂∂

∂∂

∂∂

( ) ( )

AII

I

xxI

dydxxdydxxI

dyz

dxyxzdy

zdx

yxzI

dzxzydy

zdx

yxzLdH

kdzjdyîdxLd

LdHLdHLdHLdHLdHI

zxzyzxzy

DACDBCABL

000.3125.3125

252258

12522525200125

8125

200125

254

4125

254

100125

44

44.

ˆˆ

.....

15

5

25

15

2

10

2

15

5

2

10

5

15

515

10

2 2

52

15

5 2

3

55

2

10 2

510

5

15 2

3

222

3

=⇒+−=

−⋅+−⋅=

+=

−+−=

−+−=

−+−=

++=

+++==

∫∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

========