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GABARITO – ELETROMAGNETISMO – P2 – JUNDIAÍ – TIPO B
Questão 1 (2,5) Calcular a densidade volumétrica de carga no espaço livre, para cada um dos seguintes campos potenciais e pontos:
a)
b)
3
56,0
555
55
555
5,661085,8517,7
517,74
8,0.42,14:
4.42,14
4.
4.42,15
4.
4.
525
442,15
4425
4cos
425
0
12
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
02
mpC
VV
V
seneVPpontoNo
yseneyseneyseneV
ysenezVysene
zV
yseneyseneyVye
yVxV
zV
yV
xVV
V
zzz
zz
zzz
=⇒⋅⋅=
−=
⋅⋅−=∇
⋅−=
+
⋅−=∇
=
∂∂⇒
⋅−=
∂∂
⋅⋅−=
⋅
⋅⋅−=
∂∂⇒
⋅⋅⋅=
∂∂
=∂
∂∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
⋅− ∇=
−
−
−−−
−−
−−−
ρρ
π
πππ
ππ
πππππ
ερ
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )( ) ( )
3511085,8761,5
761,524
8,023
8,0º50.3:
433
333433.239
.23
333.2
3912
392
3cos3
.231
23
23
23
11
12
222
222
424222
42
2
3
22
2
222
2
2
2
222
2
2
2
2
22
02
mpC
VV
V
senVPponto
zzsenV
zsen
zsen
zsen
zsen
zsenV
zsen
zV
zsen
zV
zsenV
zsenV
zV
zsenV
zsenV
zsenV
zsenV
zVVVV
V
=⇒⋅⋅=
=
−
−⋅⋅
−=∇
−⋅=∇
⋅⋅+⋅
⋅−−=⋅⋅+⋅
⋅−⋅
=∇
⋅⋅=∂∂⇒⋅−=
∂∂
⋅⋅−=
∂∂⋅⇒⋅⋅−=
∂∂⇒⋅⋅=
∂∂
⋅=
∂∂
∂∂⋅
=
∂∂
∂∂⇒⋅=
∂∂⇒=
∂∂
∂∂+
∂∂⋅+
∂∂
∂∂⋅=∇
⋅− ∇=
− ρρ
ρρφ
φρρ
φφρρ
φρ
φ
φρφρρ
φφρ
φρφ
φρφ
ρφ
ρρ
ρρ
φρ
ρρ
φρρ
ρφρ
φρρρ
ρρ
ερ
)6,0;8,0;2,0(4
25 5 PemVyseneVz
⋅⋅=
− π
( ) )8,0;º50;2(2
32
−===⋅= zPemVz
senV φρφρ
c)
Questão 2 (2,5) Num capacitor de placas paralelas é aplicada uma DDP contínua quando se estabelece um campo elétrico de módulo igual a 5 kV/m e é acumulada um total de 16 nC de carga elétrica.Logo após, o capacitor é descarregado e então é aplicada uma tensão senoidal com 20 V de pico e frequência de 180 kHz, e detecta-se uma corrente com 22,6 mA de pico.Se o material dielétrico do capacitor tem εR=1507, então a área de cada placa metálica do capacitor é de:
a) 1,80 cm2
b) 2,10 cm2
c) 2,40 cm2 <==================
d) 3,00 cm2
e) 3,60 cm2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
33 397,010397,01085,810487,4
10487,4º15
9430
º300º15cos10:
943cos103cos903cos203cos60
3cos9013cos903coscos30
3cos201
3cos20310310
3cos601
3cos603cos303cos30
111
15125
525
2
2525552
252
2
2232
2
3
52
33
2
3
52
2
32
22
4
2
2
2222
22
02
mfC
mC
VV
V
sensenVPpontoNo
senrsen
senrsen
rsen
rsenV
senrsenV
senrrsenV
rV
rsenVsen
senr
rsensenVsen
rsensenVsen
rsensenV
rsen
rVr
rr
rsen
rVr
rrsenVr
rsen
rV
Vsenr
Vsensenrr
Vrrr
V
V
−=⋅−=⇒⋅⋅⋅−=
⋅=
−⋅⋅⋅=∇
−⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅=∇
⋅⋅⋅−=
∂∂⋅
⋅⇒⋅⋅−=
∂∂⇒⋅⋅=
∂∂
⋅⋅−=
∂∂⋅
∂∂⋅
⋅
⋅⋅⋅−=
∂∂⋅
∂∂⇒⋅⋅−=
∂∂⋅⇒⋅⋅−=
∂∂
⋅⋅=
∂∂⋅
∂∂⋅
⋅⋅=
∂∂⋅
∂∂⇒⋅⋅−=
∂∂⋅⇒⋅⋅−=
∂∂
∂∂⋅
⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅
⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅=∇
⋅− ∇=
−−−
−
ρρ
θφθ
θφθφθφθ
θφθ
φθφθ
φφθ
φ
φθθ
θθθ
φθθθ
θθ
φθθ
θφθθ
φθ
φθφθρ
φθφθθ
θθθ
ερ
( ) ( ) )º100;º15;30(3cos103 ===⋅⋅= φθφθ rPemVrsenV
224
12
39
3
9
9
3
3
4,2104,2
1085,81507102,310
102,3500016
1610.110.16
120101802
106,221
cmSmS
dCSdSC
mdEVddEV
VCQV
VQC
nFVIC
CIV
=⇒⋅=
⋅⋅⋅⋅=⋅=⇒=
⋅=⇒==⇒⋅=
===⇒=
=⋅⋅⋅
⋅==⇒=
−
−
−−
−
−
−
−
εε
πωω
Questão 3 (2,5) Um filamento de corrente de 0,1 A, dirigida para -∞ a partir da origem, está situado no semieixo x negativo. As intensidades do campo magnético nos pontos P1(-3;4; 0) e P2(0;4;0) são, respectivamente:
<====================
Questão 4 (2,5 Pontos): Calcular a corrente total que atravessa a superfície plana
z=5 (5≤x≤15 e 2≤y≤10) na direção +k se .
mmA
mA
P kkksenH ˆ18,3ˆ318,0ˆ53º90
4..41,0
1 −=−=
+⋅−=
π
( ) mmA
mA
P kkksensenH ˆ99,1ˆ00199,0ˆº0º904..41,0
2 −=−=−⋅−=π
z
x
y2
5
10
15
A
LS
5
mAkxzyj
zî
yxzH /ˆ4ˆ4
222
3 −+−=
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
mmA
keke
kekd
kekc
kekb
keka
ˆ98,3ˆ06,1)
ˆ98,3ˆ06,1)
ˆ99,1ˆ18,3)
ˆ98,3ˆ06,1)
ˆ99,1ˆ53,0)
−−
−
−−
−
−
dS
BC
D
0,1 A .P1-3
HP1
.P2
HP2
α1P1
z
y
x
α2P1
=90º
α2P2
=90ºα
1P2=0º 4
Pelo membro esquerdo do Teorema de Stokes:
Ou Pelo membro direito do Teorema de Stokes:
( )
( )
( )
AII
ydyyI
dyy
dyyxdydx
yxI
zdydxyxzI
dydxyxzSdH
kdydxSd
kyxzj
xzy
yxzî
zx
xzy
zyxz
kjîH
SdHI
zyx
S
000.3100
25112500
41
1001125001250025000
25225125125250
5,2
2
ˆ
ˆ20ˆ28384
44
ˆˆ
10
2
10
2
23
10
2
15
53
10
2
15
5
10
2
15
53
2
3
10
2
15
5 3
3
3
3
3
3
32
2
32
222
3
=⇒
−⋅−=
−⋅−=−==
−⋅===
==
=⋅×∇
=
++
−++
−=
−−
=×∇
⋅×∇=
∫
∫∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
−−
∂∂
∂∂
∂∂
( ) ( )
AII
I
xxI
dydxxdydxxI
dyz
dxyxzdy
zdx
yxzI
dzxzydy
zdx
yxzLdH
kdzjdyîdxLd
LdHLdHLdHLdHLdHI
zxzyzxzy
DACDBCABL
000.3125.3125
252258
12522525200125
8125
200125
254
4125
254
100125
44
44.
ˆˆ
.....
15
5
25
15
2
10
2
15
5
2
10
5
15
515
10
2 2
52
15
5 2
3
55
2
10 2
510
5
15 2
3
222
3
=⇒+−=
−⋅+−⋅=
+=
−+−=
−+−=
−+−=
++=
+++==
∫∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
========