eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 exercicios ii.pdf · eletromagnetismo - lista de...

7
ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada sobre um capacitor de placas paralelas, quando então circula uma corrente de 497,6 mA de pico. Se cada placa do capacitor tem área igual a 4 cm 2 e estão distantes 2 mm, determine o valor da constante dielétrica. Resolução: 2) Considere que sobre o capacitor do exercício 1 é aplicada uma tensão C.C. de 36 V. Calcular o total de carga acumulada pelo capacitor, bem como o módulo do campo elétrico estabelecido no material dielétrico. Resolução: 3) Dado o campo potencial , pede-se: a) demonstrar que b) determinar A e B de forma que V=100 V e |E|=500 V/m no ponto P(ρ=1; ϕ=22,5º; z=2). Resolução: a) 734 . 310 10 2 10 4 10 85 , 8 . 10 550 550 10 12 2 12 10 6 , 497 3 4 12 9 3 3 = = = = - - - - - R R nF C C ε ε π m kV d V E C CV Q / 18 10 2 36 8 , 19 36 10 550 3 9 = = = = = = - - μ ( 29 ( 29 V sen B A V φ ρ ρ 4 4 4 + = - 0 2 = V ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 [ ] ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 ( 29 0 0 4 16 16 4 16 16 0 4 16 16 1 4 16 4 4 4 cos 4 4 4 4 16 16 1 4 16 16 4 4 4 4 4 4 1 1 2 6 2 6 2 2 2 2 6 2 2 2 2 4 4 2 2 4 4 6 2 5 3 4 4 5 3 2 2 2 2 2 2 = + - - + + = = - - = - - = - = + = - = - = - = + + = - - - - - - - - - V sen B A sen B A V z V sen B A V sen B A V B A V sen B A V sen B A V sen B A V sen B A V z V V V V φ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ ρ φ ρ φ ρ ρ φ φ ρ ρ φ φ ρ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ φ ρ ρ ρ ρ ρ

Upload: phamkhanh

Post on 07-Feb-2019

223 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009

1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada sobre um capacitor de placas paralelas, quando então circula uma corrente de 497,6 mA de pico. Se cada placa do capacitor tem área igual a 4 cm2 e estão distantes 2 mm, determine o valor da constante dielétrica.

Resolução:

2) Considere que sobre o capacitor do exercício 1 é aplicada uma tensão C.C. de 36 V. Calcular o total de carga acumulada pelo capacitor, bem como o módulo do campo elétrico estabelecido no material dielétrico.

Resolução:

3) Dado o campo potencial , pede-se:

a) demonstrar que b) determinar A e B de forma que V=100 V e |E|=500 V/m no ponto P(ρ=1; ϕ=22,5º; z=2).

Resolução:a)

734.310102

1041085,8.10550

5501012212106,497

3

4129

33

=⋅

⋅⋅⋅=⋅

=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

−−−

R

R

nFCC

ε

ε

π

mkVdVE

CCVQ

/1810236

8,193610550

3

9

=⋅

==

=⋅⋅==

µ

( ) ( ) VsenBAV φρρ 444 ⋅+= −

02 =∇ V

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )0

04161641616

0

416161

416444cos444

41616141616

444444

11

2

62622

2

2

622

2

2

442

244

6253

4453

2

2

2

2

22

=∇+⋅−−+⋅+=∇

=∂∂

⋅−−=∂∂⋅

⋅−⋅−=∂∂⇒⋅⋅−=

∂∂

⋅+=

∂∂⋅

∂∂⋅⇒⋅−=

∂∂⋅

∂∂

⋅−=∂∂⋅⇒⋅−=

∂∂

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅=∇

−−

−−

−−

−−

VsenBAsenBAV

zV

senBAV

senBAVBAV

senBAVsenBAV

senBAVsenBAVzVVVV

φρρφρρ

φρρφρ

φρρφ

φρρφ

φρρρ

ρρρ

φρρρ

ρρ

φρρρ

ρφρρρ

φρρρ

ρρ

Page 2: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

b)

4) Determinar a densidade volumétrica de carga, no espaço livre, se:

Resolução:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( )

5,125,112:Re

5,1125,12:Re

).(125

).(125

12550044

44

º90cos4º9044:

04cos41444

ˆ1

).(100º9011100:

4453

44

−==

=−=

−=−

=−

±=−⇒±=+−=

−−=

⋅⋅−−⋅−−=

−⋅⋅−⋅−⋅−−=

∂∂−

∂∂⋅−

∂∂−=− ∇=

=+⇒⋅⋅+⋅=

−−

BeAIIbeIsolvendo

BeAIIaeIsolvendo

IIbEqAB

IIaEqAB

ABBAE

âBAE

âBAâsenBAEPpontoNo

âBAâsenBAE

kzVâVâVVE

IEqBAsenBAPpontoNo

ρ

φρ

φρ

φρ

φρρρ

φρρ

φρρ

( ) ( )( ) ( )1;º60;5,02cos)

0;º30;220) 3

====

===⋅=

zPemVVb

rPemVrsenVa

φρρ

φ

φθθ

( )

( )

3

3

1,22

1021,2

º30º30º30cos

220

2º301201085,8:

cos20120

0

cos201

cos20

'''cos20cos20

1201

1206060

111)

11

625,0

2

5

875,1

5122

0

2

552

2

2

2

52

3

22

33

52

2

32

22

4

2

2

2222

22

mpC

V

mC

V

V

vu

sensen

senVPpontoNo

sensenrr

senV

V

sensenr

Vsensenr

rsenVsen

uvvuuvr

senVsenr

V

rsen

rVr

rr

rsen

rVr

rrsen

rVr

rsen

rV

Vsenr

Vsensenrr

Vrrr

Va

−=

⋅−=

−+⋅⋅−=∇⋅−=

−⋅+=∇

=∂∂

−⋅=

∂∂⋅

∂∂⋅

−⋅=

∂∂⋅

∂∂

+=⋅⋅=∂∂⋅⇒=

∂∂

=

∂∂⋅

∂∂⋅

=

∂∂⋅

∂∂⇒−=

∂∂⋅⇒−=

∂∂

∂∂⋅

⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅

⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅=∇

ρ

ρ

ερ

θθθθ

φ

θθθ

θθ

θθ

θθθ

θθ

θθθ

θθθ

θ

θθθφθθ

θθθ

Page 3: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

5) Um filamento de corrente está situado ao longo do semieixo y positivo e conduz 10 A na direção +ĵ , (desde y=0 a +∞). Determine o vetor intensidade de campo magnético no ponto P(3;5;0).

Resolução:

6) Determinar a intensidade de campo magnético em P(0,4; 0,3; 0) no campo de um filamento de corrente de 8 A dirigida para a origem a partir do infinito, situado no semieixo x positivo, e depois dirigido para o infinito, situado no semieixo y positivo.

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

0

2cos412cos422

2cos1

2cos2cos2cos

11)

32

2

22

2

3

22

2

2

2

2

22

=∂

−=∂∂⋅⇒−=

∂∂⇒−=

∂∂

=

∂∂⋅

∂∂⋅

=

∂∂⋅

∂∂⇒−=

∂∂⋅⇒−=

∂∂

∂∂+

∂∂⋅+

∂∂⋅

∂∂⋅=∇

zV

VVsenV

V

VVV

zVVVVb

ρφ

φρρφ

φρφ

φ

ρφ

ρρ

ρρ

ρφ

ρρ

ρρφ

ρρ

ρφ

ρ

φρρρ

ρρ

H

z

y

x

10 A 5

3 .P

α1 α2

( ) mAkHkH

sen

sen

ˆ493,0ˆ85749,0134

101º90

85749,0345

355

22

221

−=⇒+⋅⋅⋅

−=

=⇒=

−=−=+

−=

π

αα

α

z

y

x

8 A 0,3

0,4 .P

αy1 αy28 A

αx1

αx2

Page 4: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

7) Calcular a densidade de corrente de:

Resolução:

mA

yx

mA

yy

yy

y

mA

xx

xx

x

kHkkHHH

kHkH

sen

sen

kHkH

sen

sen

ˆ20ˆ8ˆ12

ˆ8ˆ4,03,0

3,014,04

8

1º904,03,0

3,0

ˆ12ˆ4,03,0

4,013,04

8

1º904,03,0

4,0

22

22

221

22

22

221

πππ

ππ

αα

α

ππ

αα

α

−=⇒−−=+=

−=⇒

++⋅

⋅⋅−=

=⇒=+

−=

−=⇒

++⋅

⋅⋅−=

=⇒=+

−=

( )( ) ( ) ( )

===

⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=

−===

⋅+⋅⋅⋅−⋅=

6;;05,0

21002cos1002100)

2;º40;3,0

ˆcos.1515cos.20)

2

2

22

πφπθ

θφθφθφφρ

φρφρφρ

φθ

φρ

rpontono

âr

sensenâr

senâr

sensenHb

zpontonokâsenzâHa

mA

R

mA

( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

2ˆ42,4289,6

ˆº403,020º40230º40cos3,030

:

ˆ2030cos300

ˆ2030ˆ11

20120

30130

cos30cos300

cos30

0

015151

15

15115

ˆ111)

2

2

mA

z

z

z

zz

zz

kâJ

ksensenâJ

PpontoNoksensenzââHJ

ksensenzkH

H

senH

senH

senzHsenzH

âââHzH

HzH

ââsensenâzHH

senzH

senHsenH

kH

HâHzH

âzHHHJa

+−=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=

⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅−=×∇=

⋅⋅+⋅⋅−=

∂⋅−⋅∂

∂∂⋅

⋅⋅−=∂

∂⋅⇒⋅⋅−=

∂∂

⋅⋅−=⋅∂∂∂⋅⇒⋅⋅⋅−=⋅∂

∂∂

⋅⋅−=⋅⋅−=

∂−∂

⋅⋅=∂

=∂

=⋅⋅+⋅⋅−=

∂−

∂∂⋅

⋅⋅−=∂

⋅⋅−=∂

∂⋅⇒⋅⋅−=∂

∂⋅−⋅∂

∂∂⋅+

∂−∂

∂+

∂−

∂∂⋅=×∇=

φ

φ

φρ

ρφ

ρρ

φφ

φφφρ

ρ

ρρρφ

φ

ρφφ

ρρ

φ

φρφφρ

φρφφρρρ

φρφρ

φρφ

φρρ

φρρ

φρφρρ

φρρ

φρφρφρ

φρ

φρφρ

φρφ

φρρρρφρ

Page 5: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

8) Se , determinar:

a) a densidade de corrente;b) a corrente total que atravessa a superfície z=4 (1≤x≤2 e 3≤y≤5) na direção +z, usando o membro direito do Teorema de Stokes.

Resolução:

( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

2

2

693,08,06,1

6928208000001600000

05,0cos..100

05,0cos.200

cos05,0

.200:

cos.2.1002cos.200cos2.200

cos.2.100.1

cos.2.100

0.

2cos.200.11

0.

2cos.2001.2cos.200

cos2.200cos.

.2.200..

1

.2.200

cos..2.200.2.100

.

.1.11..

1)

33

33

23

332

3

2

3

22

22

2

2

mMA

r

mA

r

r

r

r

r

r

rr

rrr

rrr

âââJ

âââJ

âsenââsensenJ

PpontoNo

âr

senâr

âsenrsenHJ

âr

senâHrHr

r

rsenH

rHr

âr

ârHrH

senr

rHr

rH

senrsenH

âsenrsenâsen

senrsensenâHsenH

senr

rsensenH

rsensenr

sensensenH

âHrHr

rHrH

senrâHsenH

senrHJb

φθ

φθ

φ

π

θ

ππ

φθ

φφθ

θ

θθφ

φ

θφ

θ

φ

φθ

θφθφ

πππ

θφφθθφ

θφθ

θφθ

φφθ

φφθ

θφφ

θθφθθθ

θφφθ

θθ

θφφ

θθφθ

θφ

θθ

θφθφθθ

θ

−+−=

−+−=

−++⋅=

−++⋅=×∇=

−=

∂∂−

∂∂

=∂

=∂

=

∂−

∂∂⋅

=∂

=∂

∂⋅⇒=∂

+⋅=+⋅=

∂−∂

−=∂

=∂

=∂

∂∂−

∂∂+

∂−

∂∂⋅+

∂−∂

∂=×∇=

mAk

zj

zyxH ˆ2ˆ2

2 ++=

Page 6: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

9) Usar o membro direito do Teorema de Stokes para calcular a mesma corrente do Exercício 8.

( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( )

AI

dydxdydxz

I

dydxz

SdHkdydxSd

kz

îz

yxH

kz

jîz

yxH

SdHI

zz

yxzyx

kjî

HHH

zyx

kjî

S

zyx

125,0813512

161

411

1

ˆ

ˆ122

ˆ01ˆ00220

5

3

2

1 2

5

3

2

1 2

223

232

220

ˆˆˆˆ

=

=−⋅−⋅===

=⋅×∇

=

++=×∇

−+−+

++===×∇

⋅×∇=

∫ ∫∫ ∫

∫ ∫

+∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

z

y

x

4

1

2

3 5

dS

SA B

CD

L

AI

yyyyI

dyydyydyz

yxdyz

yxI

dzz

dyz

yxLdH

kdzjdyîdxLd

LdHLdHLdHLdHLdHI

DABC

DACDBCAB

zxzx

L

125,0

81

162

1625593962510

16162

1621

16220202

22

ˆˆ

3

5

25

3

2

3

5

5

3

41

3

5 2

42

5

3 2

2

=

==−−++−−+=+++=

+++=+++++=

++=⋅

++=

⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

====

Page 7: ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009 EXERCICIOS II.pdf · eletromagnetismo - lista de exercÍcios ii - 2009 1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada

10) Calcular a corrente total que atravessa a superfície plana x=-10 (2≤y≤5 e 0≤z≤5), na direção -î, dado o campo:

Resolução:

Membro Esquerdo:

Membro Direito:

mAkxzsenjxzsenîxzseneH

y ˆ20

.10ˆ20

.1020

..10 4

+

= − πππ

z

y

x

5

-10

2 5

dSS

A B

CD

L

( ) AIsenI

dzzsendzzsendysenI

dzxzsendyxzsendzxzsendyxzsenI

dzxzsendyxzsendxxzseneLdH

kdzjdyîdxLd

kxzsenjxzsenîxzseneH

LdHLdHLdHLdHLdHI

xzxxzx

mA

DACDBCABL

y

y

30252

5.10

2.100

2.10

25.10

20.10

20.10

20.10

20.10

20.10

20.10

20..10

ˆˆ

ˆ20

.10ˆ20

.1020

..10

0

5

0

0

5

5

2

10

5

0

010

2

5

10

0

5

510

5

2

4

4

−=⇒−⋅

−=

−++

−−

−=

+

=

+

=⋅

++=

+

=

⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=

=

−==−=−==−=

∫∫∫

∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

π

πππ

ππππ

πππ

πππ

( )

( )

( ) ( )[ ] ( )

AI

dysensendysendydzzI

dzdyzdzdyxzxSdH

kxzsenezxzjxxzeîxxzH

îdzdySd

SdHI

z

x

yy

S

30

25.10010.52

cos5

2cos5

20cos

2

ˆ20

..4

102020

cos10ˆ02020

cos..102020

cos100

5

2 25

5

2

5

02

25

2

5

0

10

44

−=

−−=−=−=

−⋅−=

−⋅−=

⋅=⋅×∇

+⋅

+

−⋅

+

−=×∇

−=

⋅×∇=

∫∫∫ ∫

∫ ∫

−−

−=

−−

ππ

ππππ

ππππ

πππππππ