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ELETROMAGNETISMO - LISTA DE EXERCÍCIOS II - 2009
1) Uma DDP senoidal com 12 V de pico e 12 kHz é aplicada sobre um capacitor de placas paralelas, quando então circula uma corrente de 497,6 mA de pico. Se cada placa do capacitor tem área igual a 4 cm2 e estão distantes 2 mm, determine o valor da constante dielétrica.
Resolução:
2) Considere que sobre o capacitor do exercício 1 é aplicada uma tensão C.C. de 36 V. Calcular o total de carga acumulada pelo capacitor, bem como o módulo do campo elétrico estabelecido no material dielétrico.
Resolução:
3) Dado o campo potencial , pede-se:
a) demonstrar que b) determinar A e B de forma que V=100 V e |E|=500 V/m no ponto P(ρ=1; ϕ=22,5º; z=2).
Resolução:a)
734.310102
1041085,8.10550
5501012212106,497
3
4129
33
=⋅
⋅⋅⋅=⋅
=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅
−
−−−
−
R
R
nFCC
ε
ε
π
mkVdVE
CCVQ
/1810236
8,193610550
3
9
=⋅
==
=⋅⋅==
−
−
µ
( ) ( ) VsenBAV φρρ 444 ⋅+= −
02 =∇ V
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
04161641616
0
416161
416444cos444
41616141616
444444
11
2
62622
2
2
622
2
2
442
244
6253
4453
2
2
2
2
22
=∇+⋅−−+⋅+=∇
=∂∂
⋅−−=∂∂⋅
⋅−⋅−=∂∂⇒⋅⋅−=
∂∂
⋅+=
∂∂⋅
∂∂⋅⇒⋅−=
∂∂⋅
∂∂
⋅−=∂∂⋅⇒⋅−=
∂∂
∂∂+
∂∂⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅=∇
−−
−
−−
−−
−−
VsenBAsenBAV
zV
senBAV
senBAVBAV
senBAVsenBAV
senBAVsenBAVzVVVV
φρρφρρ
φρρφρ
φρρφ
φρρφ
φρρρ
ρρρ
φρρρ
ρρ
φρρρ
ρφρρρ
φρρρ
ρρ
b)
4) Determinar a densidade volumétrica de carga, no espaço livre, se:
Resolução:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
5,125,112:Re
5,1125,12:Re
).(125
).(125
12550044
44
º90cos4º9044:
04cos41444
ˆ1
).(100º9011100:
4453
44
−==
=−=
−=−
=−
±=−⇒±=+−=
−−=
⋅⋅−−⋅−−=
−⋅⋅−⋅−⋅−−=
∂∂−
∂∂⋅−
∂∂−=− ∇=
=+⇒⋅⋅+⋅=
−−
−
BeAIIbeIsolvendo
BeAIIaeIsolvendo
IIbEqAB
IIaEqAB
ABBAE
âBAE
âBAâsenBAEPpontoNo
âBAâsenBAE
kzVâVâVVE
IEqBAsenBAPpontoNo
ρ
φρ
φρ
φρ
φρρρ
φρρ
φρρ
( ) ( )( ) ( )1;º60;5,02cos)
0;º30;220) 3
====
===⋅=
zPemVVb
rPemVrsenVa
φρρ
φ
φθθ
( )
( )
3
3
1,22
1021,2
º30º30º30cos
220
2º301201085,8:
cos20120
0
cos201
cos20
'''cos20cos20
1201
1206060
111)
11
625,0
2
5
875,1
5122
0
2
552
2
2
2
52
3
22
33
52
2
32
22
4
2
2
2222
22
mpC
V
mC
V
V
vu
sensen
senVPpontoNo
sensenrr
senV
V
sensenr
Vsensenr
rsenVsen
uvvuuvr
senVsenr
V
rsen
rVr
rr
rsen
rVr
rrsen
rVr
rsen
rV
Vsenr
Vsensenrr
Vrrr
Va
−=
⋅−=
−+⋅⋅−=∇⋅−=
−⋅+=∇
=∂∂
−⋅=
∂∂⋅
∂∂⋅
⋅
−⋅=
∂∂⋅
∂∂
+=⋅⋅=∂∂⋅⇒=
∂∂
=
∂∂⋅
∂∂⋅
=
∂∂⋅
∂∂⇒−=
∂∂⋅⇒−=
∂∂
∂∂⋅
⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅
⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅=∇
−
−
ρ
ρ
ερ
θθθθ
φ
θθθ
θθ
θθ
θθθ
θθ
θθθ
θθθ
θ
θθθφθθ
θθθ
5) Um filamento de corrente está situado ao longo do semieixo y positivo e conduz 10 A na direção +ĵ , (desde y=0 a +∞). Determine o vetor intensidade de campo magnético no ponto P(3;5;0).
Resolução:
6) Determinar a intensidade de campo magnético em P(0,4; 0,3; 0) no campo de um filamento de corrente de 8 A dirigida para a origem a partir do infinito, situado no semieixo x positivo, e depois dirigido para o infinito, situado no semieixo y positivo.
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
0
2cos412cos422
2cos1
2cos2cos2cos
11)
32
2
22
2
3
22
2
2
2
2
22
=∂
∂
−=∂∂⋅⇒−=
∂∂⇒−=
∂∂
=
∂∂⋅
∂∂⋅
=
∂∂⋅
∂∂⇒−=
∂∂⋅⇒−=
∂∂
∂∂+
∂∂⋅+
∂∂⋅
∂∂⋅=∇
zV
VVsenV
V
VVV
zVVVVb
ρφ
φρρφ
φρφ
φ
ρφ
ρρ
ρρ
ρφ
ρρ
ρρφ
ρρ
ρφ
ρ
φρρρ
ρρ
H
z
y
x
10 A 5
3 .P
α1 α2
( ) mAkHkH
sen
sen
ˆ493,0ˆ85749,0134
101º90
85749,0345
355
22
221
−=⇒+⋅⋅⋅
−=
=⇒=
−=−=+
−=
π
αα
α
z
y
x
8 A 0,3
0,4 .P
αy1 αy28 A
αx1
αx2
7) Calcular a densidade de corrente de:
Resolução:
mA
yx
mA
yy
yy
y
mA
xx
xx
x
kHkkHHH
kHkH
sen
sen
kHkH
sen
sen
ˆ20ˆ8ˆ12
ˆ8ˆ4,03,0
3,014,04
8
1º904,03,0
3,0
ˆ12ˆ4,03,0
4,013,04
8
1º904,03,0
4,0
22
22
221
22
22
221
πππ
ππ
αα
α
ππ
αα
α
−=⇒−−=+=
−=⇒
++⋅
⋅⋅−=
=⇒=+
−=
−=⇒
++⋅
⋅⋅−=
=⇒=+
−=
( )( ) ( ) ( )
===
⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=
−===
⋅+⋅⋅⋅−⋅=
6;;05,0
21002cos1002100)
2;º40;3,0
ˆcos.1515cos.20)
2
2
22
πφπθ
θφθφθφφρ
φρφρφρ
φθ
φρ
rpontono
âr
sensenâr
senâr
sensenHb
zpontonokâsenzâHa
mA
R
mA
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
2ˆ42,4289,6
ˆº403,020º40230º40cos3,030
:
ˆ2030cos300
ˆ2030ˆ11
20120
30130
cos30cos300
cos30
0
015151
15
15115
ˆ111)
2
2
mA
z
z
z
zz
zz
kâJ
ksensenâJ
PpontoNoksensenzââHJ
ksensenzkH
H
senH
senH
senzHsenzH
âââHzH
HzH
ââsensenâzHH
senzH
senHsenH
kH
HâHzH
âzHHHJa
+−=
⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−=
⋅⋅+⋅⋅−+⋅⋅−=×∇=
⋅⋅+⋅⋅−=
∂
∂⋅−⋅∂
∂∂⋅
⋅⋅−=∂
∂⋅⇒⋅⋅−=
∂∂
⋅⋅−=⋅∂∂∂⋅⇒⋅⋅⋅−=⋅∂
∂∂
⋅⋅−=⋅⋅−=
∂
∂−∂
∂
⋅⋅=∂
∂
=∂
∂
=⋅⋅+⋅⋅−=
∂
∂−
∂∂⋅
⋅⋅−=∂
∂
⋅⋅−=∂
∂⋅⇒⋅⋅−=∂
∂
∂
∂⋅−⋅∂
∂∂⋅+
∂
∂−∂
∂+
∂
∂−
∂∂⋅=×∇=
φ
φ
φρ
ρφ
ρρ
φφ
φφφρ
ρ
ρρρφ
φ
ρφφ
ρρ
φ
φρφφρ
φρφφρρρ
φρφρ
φρφ
φρρ
φρρ
φρφρρ
φρρ
φρφρφρ
φρ
φρφρ
φρφ
φρρρρφρ
8) Se , determinar:
a) a densidade de corrente;b) a corrente total que atravessa a superfície z=4 (1≤x≤2 e 3≤y≤5) na direção +z, usando o membro direito do Teorema de Stokes.
Resolução:
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
693,08,06,1
6928208000001600000
05,0cos..100
05,0cos.200
cos05,0
.200:
cos.2.1002cos.200cos2.200
cos.2.100.1
cos.2.100
0.
2cos.200.11
0.
2cos.2001.2cos.200
cos2.200cos.
.2.200..
1
.2.200
cos..2.200.2.100
.
.1.11..
1)
33
33
23
332
3
2
3
22
22
2
2
mMA
r
mA
r
r
r
r
r
r
rr
rrr
rrr
âââJ
âââJ
âsenââsensenJ
PpontoNo
âr
senâr
âsenrsenHJ
âr
senâHrHr
r
rsenH
rHr
âr
ârHrH
senr
rHr
rH
senrsenH
âsenrsenâsen
senrsensenâHsenH
senr
rsensenH
rsensenr
sensensenH
âHrHr
râ
rHrH
senrâHsenH
senrHJb
φθ
φθ
φ
π
θ
ππ
φθ
φφθ
θ
θθφ
φ
θφ
θ
φ
φθ
θφθφ
πππ
θφφθθφ
θφθ
θφθ
φφθ
φφθ
θφφ
θθφθθθ
θφφθ
θθ
θφφ
θθφθ
θφ
θθ
θφθφθθ
θ
−+−=
−+−=
−++⋅=
−++⋅=×∇=
−=
∂∂−
∂∂
=∂
∂
=∂
∂
=
∂
∂−
∂∂⋅
=∂
∂
=∂
∂⋅⇒=∂
∂
+⋅=+⋅=
∂
∂−∂
∂
−=∂
∂
=∂
∂
=∂
∂
∂∂−
∂∂+
∂
∂−
∂∂⋅+
∂
∂−∂
∂=×∇=
mAk
zj
zyxH ˆ2ˆ2
2 ++=
9) Usar o membro direito do Teorema de Stokes para calcular a mesma corrente do Exercício 8.
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( )
AI
dydxdydxz
I
dydxz
SdHkdydxSd
kz
îz
yxH
kz
jîz
yxH
SdHI
zz
yxzyx
kjî
HHH
zyx
kjî
S
zyx
125,0813512
161
411
1
ˆ
ˆ122
ˆ01ˆ00220
5
3
2
1 2
5
3
2
1 2
223
232
220
ˆˆˆˆ
=
=−⋅−⋅===
=⋅×∇
=
++=×∇
−+−+
++===×∇
⋅×∇=
∫ ∫∫ ∫
∫ ∫
+∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂
z
y
x
4
1
2
3 5
dS
SA B
CD
L
AI
yyyyI
dyydyydyz
yxdyz
yxI
dzz
dyz
yxLdH
kdzjdyîdxLd
LdHLdHLdHLdHLdHI
DABC
DACDBCAB
zxzx
L
125,0
81
162
1625593962510
16162
1621
16220202
22
ˆˆ
3
5
25
3
2
3
5
5
3
41
3
5 2
42
5
3 2
2
=
==−−++−−+=+++=
+++=+++++=
++=⋅
++=
⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=
∫∫∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
====
10) Calcular a corrente total que atravessa a superfície plana x=-10 (2≤y≤5 e 0≤z≤5), na direção -î, dado o campo:
Resolução:
Membro Esquerdo:
Membro Direito:
mAkxzsenjxzsenîxzseneH
y ˆ20
.10ˆ20
.1020
..10 4
−
+
= − πππ
z
y
x
5
-10
2 5
dSS
A B
CD
L
( ) AIsenI
dzzsendzzsendysenI
dzxzsendyxzsendzxzsendyxzsenI
dzxzsendyxzsendxxzseneLdH
kdzjdyîdxLd
kxzsenjxzsenîxzseneH
LdHLdHLdHLdHLdHI
xzxxzx
mA
DACDBCABL
y
y
30252
5.10
2.100
2.10
25.10
20.10
20.10
20.10
20.10
20.10
20.10
20..10
ˆˆ
ˆ20
.10ˆ20
.1020
..10
0
5
0
0
5
5
2
10
5
0
010
2
5
10
0
5
510
5
2
4
4
−=⇒−⋅
−=
−++
−−
−=
−
+
−
=
−
+
=⋅
++=
−
+
=
⋅+⋅+⋅+⋅=⋅=
=
−==−=−==−=
−
−
∫∫∫
∫∫∫∫
∫∫∫∫∫
π
πππ
ππππ
πππ
πππ
( )
( )
( ) ( )[ ] ( )
AI
dysensendysendydzzI
dzdyzdzdyxzxSdH
kxzsenezxzjxxzeîxxzH
îdzdySd
SdHI
z
x
yy
S
30
25.10010.52
cos5
2cos5
20cos
2
ˆ20
..4
102020
cos10ˆ02020
cos..102020
cos100
5
2 25
5
2
5
02
25
2
5
0
10
44
−=
−−=−=−=
−⋅−=
−⋅−=
⋅=⋅×∇
+⋅
+
−⋅
+
⋅
−=×∇
−=
⋅×∇=
∫∫∫ ∫
∫ ∫
−−
−
−=
−−
ππ
ππππ
ππππ
πππππππ