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ELETROMAGNETISMO II – 4300304 Lista de Exerc´ ıcios 6 1. Mostre que as transforma¸c˜oes de Lorentz conectando dois sistemas K e K 0 podem ser escritas como x 01 = x 1 ,x 02 = x 2 ,x 03 = x 3 cosh α - ct sinh α, t 0 = t cosh α - (x 3 /c) sinh α, onde tanh α = v/c. Mostre que a transforma¸c˜ ao de Lorentz corresponde a uma rota¸ c˜aodeˆangulo no espa¸ co quadridimensio- nal. 2. Use o fato de que uma onda plana no sistema K aparecer´ a tamb´ em como uma onda plana no siustema K 0 (porque?) para definir um vetor de propaga¸ c˜ao quadridimensional. Mostre que as components espaciais s˜ ao aquelas de ~ k e que a quarta componente ´ e ω/c. Obtenhaasequa¸c˜oesque transformam (ω/c, ~ k) de K para K 0 . Se a velocidade de K 0 relativa ` a K ´ e ~v e se o angulo entre ~ k e ~v ´ e θ, mostre que a frequˆ encia medida em K 0 ´ e ω 0 = [1 - (v/c) cos θ]ω/ p 1 - v 2 /c 2 . Esta ´ e a express˜ao familiar para o efeito Doppler, mas modificada pela presen¸ca do radical no denominador. ´ E esta diferen¸ca do caso n˜ ao-relativ´ ıstico que d´a origem a um efeitos mesmo para θ = π/2, o chamado efeito Doppler transverso. 3. Mostre que se ~ E ´ e perpendicular `a ~ B em K , ent˜ ao ~ E 0 ´ e perpendicular ` a ~ B 0 em qualquer outro sistema K 0 .

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ELETROMAGNETISMO II – 4300304

Lista de Exercıcios 6

1. Mostre que as transformacoes de Lorentz conectando dois sistemas K eK ′ podem ser escritas como x′1 = x1, x′2 = x2, x′3 = x3 coshα−ct sinhα, t′ =t coshα − (x3/c) sinhα, onde tanhα = v/c. Mostre que a transformacao deLorentz corresponde a uma rotacao de angulo iα no espaco quadridimensio-nal.

2. Use o fato de que uma onda plana no sistema K aparecera tambemcomo uma onda plana no siustema K ′ (porque?) para definir um vetorde propagacao quadridimensional. Mostre que as components espaciais saoaquelas de ~k e que a quarta componente e ω/c. Obtenha as equacoes que

transformam (ω/c,~k) de K para K ′. Se a velocidade de K ′ relativa a K e

~v e se o angulo entre ~k e ~v e θ, mostre que a frequencia medida em K ′ eω′ = [1− (v/c) cos θ]ω/

√1 − v2/c2. Esta e a expressao familiar para o efeito

Doppler, mas modificada pela presenca do radical no denominador. E estadiferenca do caso nao-relativıstico que da origem a um efeitos mesmo paraθ = π/2, o chamado efeito Doppler transverso.

3. Mostre que se ~E e perpendicular a ~B em K, entao ~E ′ e perpendiculara ~B′ em qualquer outro sistema K ′.